Dimensionnement d'un éclissage de membrures

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un éclissage est un chemin de reprise : l'effort quitte une pièce, traverse des tôles intermédiaires, et rejoint la pièce suivante. Chaque maillon doit être vérifié — les boulons, la pièce principale, les couvre-joints — et il faut savoir quel effort chacun transmet. C'est précisément ce qu'une formulation courante laisse dans l'ombre : on annonce « l'éclissage de la semelle supérieure d'une poutre en treillis, la semelle étant constituée d'un profilé IPE 300 », puis l'on fait porter à cette seule semelle la totalité des 450 kN. Or une semelle d'IPE 300 ne représente que 29,8 % de la section. Selon la lecture retenue, le taux de travail vaut 0,46 ou 1,53.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments structurent cette étude. Le premier est une donnée absente, les deux suivants des erreurs de méthode, le dernier une impossibilité géométrique.

Une donnée manquante qui décide de tout : Les 450 kN sont-ils l'effort de la semelle ou de la membrure ? Les deux lectures donnent 1,53 et 0,46 — des verdicts opposés.
Quatre boulons par côté déclarés suffisants : \( 4 \times 101{,}6 = 406{,}2\ \text{kN} \lt 450 \) : taux 1,11. Le nombre par côté se confond aisément avec le nombre total.
Deux coefficients posés au lieu d'être calculés : \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \) se déduisent des pinces et entraxes — dont aucun n'est donné. Une disposition conforme est posée explicitement.
Un couvre-joint qui ne rentre pas : L'intérieur doit dégager l'âme et ses congés : 112,9 mm utilisables et non 150. L'aire nette de l'éclisse chute de 18 %.

Votre Mission :

Vous devez produire la note de vérification d'un éclissage boulonné : résistances élémentaires d'un boulon, nombre requis de chaque côté du joint, section nette de la pièce principale par les deux critères de l'article 6.2.3, puis vérification des couvre-joints avec leur géométrie réelle.

Le grand défi : Établir quel effort l'éclissage transmet. C'est la donnée que les données ne fournissent pas, et c'est elle qui décide du verdict.
Votre rôle : Poser explicitement les hypothèses que l'on laisse d'ordinaire implicites — la disposition des boulons, la largeur des couvre-joints, la répartition de l'effort — plutôt que de les subir.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Les deux résistances élémentaires d'un boulon, avec une disposition d'assemblage posée explicitement faute d'être donnée.
Le nombre de boulons requis de chaque côté du joint, justifié par l'article 3.7 sur les groupes de fixations.
La section nette de la semelle et les deux résistances de l'article 6.2.3, dont l'ordre renseigne sur le mode de ruine.
La résistance des couvre-joints avec la largeur que l'âme du profilé laisse réellement disponible.
Le verdict sous chacune des deux lectures possibles, et le recensement des vérifications hors périmètre.

2. Données Techniques & Normes

Toutes les grandeurs de l'étude sont rassemblées ci-dessous. Deux absences appellent votre attention : la disposition des boulons, sans laquelle la pression diamétrale ne se calcule pas, et la répartition de l'effort, sans laquelle aucun verdict n'est possible.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Voici les outils de cet exercice, dans l'ordre où vous en aurez besoin. Le sixième n'est pas une formule mais une règle de bon sens sur le cheminement des efforts.

Résistance au cisaillement d'un boulon \( F_{\text{v},\text{Rd}} = n_{\text{pl}} \, \dfrac{\alpha_{\text{v}} \, f_{\text{ub}} \, A_{\text{s}}}{\gamma_{\text{M2}}} \)
Résistance à la pression diamétrale \( F_{\text{b},\text{Rd}} = \dfrac{k_1 \, \alpha_{\text{b}} \, f_{\text{u}} \, d \, t}{\gamma_{\text{M2}}} \)
Les deux coefficients géométriques \( \alpha_{\text{b}} = \min\!\left(\tfrac{e_1}{3d_0} ; \tfrac{p_1}{3d_0} - \tfrac{1}{4} ; \tfrac{f_{\text{ub}}}{f_{\text{u}}} ; 1\right) \ ; \ k_1 = \min\!\left(\tfrac{2{,}8e_2}{d_0} - 1{,}7 ; \tfrac{1{,}4p_2}{d_0} - 1{,}7 ; 2{,}5\right) \)
Pinces et entraxes minimaux — tableau 3.3 \( e_1, e_2 \ge 1{,}2 d_0 \ ; \ p_1 \ge 2{,}2 d_0 \ ; \ p_2 \ge 2{,}4 d_0 \)
Groupe de fixations — article 3.7 \( F_{\text{v},\text{Rd}} \ge F_{\text{b},\text{Rd}} \ \Rightarrow \ F_{\text{gr},\text{Rd}} = \textstyle\sum F_{\text{b},\text{Rd},\text{i}} \)
Nombre de boulons — par côté du joint \( n \ge \dfrac{N_{\text{Ed}}}{F_{\text{boulon},\text{Rd}}} \ \text{de CHAQUE cote} \)
Traction d'une section percée — article 6.2.3 \( N_{\text{t},\text{Rd}} = \min\!\left(\dfrac{A f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \ ; \ \dfrac{0{,}9 A_{\text{net}} f_{\text{u}}}{\gamma_{\text{M2}}}\right) \)
Largeur utilisable d'un couvre-joint intérieur \( b_{\text{p},\text{int}} = 2\left(\dfrac{b_{\text{f}} - t_{\text{w}}}{2} - r\right) \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

EFFORT, PROFILÉ ET COUVRE-JOINTS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( N_{\text{Ed}} \)	Effort de traction de calcul — de la semelle ou de la membrure ? Énoncé	450	\( \text{kN} \)
IPE 300	Profilé — \( h = 300 \), \( b_{\text{f}} = 150 \), \( t_{\text{w}} = 7{,}1 \), \( t_{\text{f}} = 10{,}7 \), \( r = 15\ \text{mm} \) NF EN 10365	42,2	\( \text{kg}/\text{m} \)
\( A \)	Aire de la section complète du profilé NF EN 10365	53,8	\( \text{cm}^2 \)
\( A_{\text{sem}} \)	Aire d'une semelle — 29,8 % de la section Calculé	1 605	\( \text{mm}^2 \)
\( t_{\text{p}} \)	Épaisseur de chaque couvre-joint Énoncé	10	\( \text{mm} \)
S235	Nuance d'acier du profilé et des couvre-joints NF EN 10025-2	—	—
\( f_{\text{y}} \)	Limite d'élasticité NF EN 10025-2	235	\( \text{MPa} \)
\( f_{\text{u}} \)	Résistance ultime à la traction NF EN 10025-2	360	\( \text{MPa} \)

Repères de contrôle à garder en tête

Aire recalculee a partir des cotes du catalogue : \( 5\,381 \ \text{contre} \ 5\,380 \ \text{mm}^2 \ \text{— ecart } 0{,}02 \ \% \)
Masse lineique d'un profile en acier : \( 7\,850 \times A = 42{,}23 \ \text{kg/m — catalogue } 42{,}2 \)
Part des deux semelles dans la section : \( 3\,210/5\,380 = \mathbf{59{,}7} \ \% \ \text{— l'ame en porte } 40{,}3 \)
Seuil ou l'ultime gouverne la traction : \( A_{\text{net}}/A \lt f_{\text{y}}\gamma_{\text{M2}}/(0{,}9 f_{\text{u}} \gamma_{\text{M0}}) = \mathbf{0{,}907} \)
Un joint a DEUX cotes : \( \text{l'effort traverse DEUX groupes de boulons successifs} \)

BOULONS, COEFFICIENTS ET DISPOSITION POSÉE

Symbole	Description	Valeur	Unité
M20 · 8.8	Boulons à haute résistance en double cisaillement Énoncé	—	—
\( A_{\text{s}} \)	Section résistante du boulon, au droit du filetage NF EN 1993-1-8 · SCI P358	245	\( \text{mm}^2 \)
\( f_{\text{ub}} \)	Résistance ultime de l'acier du boulon Énoncé	800	\( \text{MPa} \)
\( \alpha_{\text{v}} \)	Coefficient de cisaillement — 0,6 en classe 8.8, 0,5 en 10.9 NF EN 1993-1-8, art. 3.6	0,6	—
\( d_0 \)	Diamètre du trou — ne pas confondre avec \( d = 20 \) NF EN 1993-1-8	22	\( \text{mm} \)
\( \gamma_{\text{M2}} \)	Coefficient partiel des vérifications à la rupture NF EN 1993-1-8, art. 2.2	1,25	—
\( \gamma_{\text{M0}} \)	Coefficient partiel de résistance des sections NF EN 1993-1-1, art. 6.1	1,00	—
Disposition	\( e_1 = 45 \), \( e_2 = 40 \), \( p_1 = 60 \), \( p_2 = 70\ \text{mm} \) — posée, non donnée Hypothèse	—	\( \text{mm} \)

Hypothèses de modélisation à ne pas perdre de vue

Repartition de l'effort dans la section : \( \text{NON DONNEE — les deux lectures sont traitees} \)
Disposition des boulons : \( \text{POSEE explicitement, conforme au tableau 3.3} \)
Plan de cisaillement : \( \text{suppose dans la partie FILETEE — hypothese defavorable} \)
Largeur du couvre-joint interieur : \( 112{,}9 \ \text{mm et non } 150 \ \text{— l'ame prend la place} \)
Eclissage de l'ame : \( \text{jamais evoque par l'enonce — } 40{,}3 \ \% \ \text{de la section} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Le tableau ci-dessous confronte l'enchaînement courant à celui du calcul complet. Les résistances de boulon sont exactes et confirmées par les tables publiées ; c'est à partir des coefficients géométriques que le calcul repose sur des valeurs posées.

Chaîne de vérification — calcul courant contre calcul complet

Grandeur ou étape	Valeur annoncée · valeur recalculée · verdict
Résistance au cisaillement	94,08 kN par plan et 188,16 en double — exactes, confirmées mot pour mot par le tableau « Bolt Resistances » du SCI P358
Coefficients \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \)	0,61 et 2,5 « valeurs standards » — ils se calculent à partir de pinces qui ne sont pas données
Pression diamétrale	93,85 kN annoncés contre 101,6 avec une disposition conforme posée explicitement — 8 % d'écart
Article 3.7, groupe de fixations	jamais cité — la sommation est bien autorisée puisque \( F_{\text{v},\text{Rd}} \gt F_{\text{b},\text{Rd}} \), mais l'article n'est presque jamais invoqué
Nombre de boulons	\( 450/93{,}85 = 4{,}79 \Rightarrow 6 \) — exact, mais c'est un nombre par côté, soit 12 au total
Disposition retenue	« 4 boulons par côté, soit 8 au total, largement suffisante » — \( 4 \times 101{,}6 = 406{,}2 \lt 450 \), taux 1,11
Aire nette de la semelle	1 134,2 mm² — exacte, soit 70,7 % de l'aire brute
Résistance plastique \( N_{\text{pl},\text{Rd}} \)	jamais calculée — elle vaut 377,2 kN, et la norme demande le minimum des deux
Résistance ultime \( N_{\text{u},\text{Rd}} \)	294,07 kN — exacte, et c'est bien le minimum ici : le chiffre est juste, la méthode incomplète
Mode de ruine	non examiné — \( N_{\text{pl},\text{Rd}}/N_{\text{u},\text{Rd}} = 1{,}28 \) : la semelle romprait de manière fragile au droit des trous
Largeur des couvre-joints	150 mm des deux côtés — l'intérieur ne dispose que de 112,9 mm, l'âme et ses congés prenant la place
Résistance des couvre-joints	549,5 kN — arithmétique exacte, mais 453,3 kN avec la géométrie réelle, soit 18 % de moins
Verdict sur la semelle	450 > 294, rupture — vrai si les 450 kN sont l'effort de semelle, faux s'ils sont celui de la membrure : 0,46

Quatre réserves à connaître avant de calculer

La donnée qui décide de tout n'est jamais fournie. On lit « l'éclissage de la semelle supérieure d'une poutre en treillis. La semelle est constituée d'un profilé IPE 300 » — formulation en elle-même contradictoire, puisqu'une semelle est une partie d'un profilé. Puis l'on compare la section nette d'une seule semelle aux 450 kN entiers. Or une semelle d'IPE 300 ne représente que 29,8 % de la section. Si les 450 kN sont l'effort de la membrure, l'éclissage d'une semelle n'en transmet que 134,2 et le taux vaut 0,46 ; s'ils sont l'effort de la semelle, il vaut 1,53. Aucune erreur de calcul de cet exercice n'a un effet comparable.

Quatre boulons par côté sont déclarés suffisants alors qu'ils ne le sont pas. Le calcul donne correctement 5 ou 6 boulons, puis l'on conclut que « la disposition initiale proposée avec 4 boulons par côté, soit 8 au total, est donc largement suffisante ». Le « 8 au total » est comparé aux « 6 » qui viennent d'être obtenus — mais ces 6 étaient déjà un nombre par côté. Un éclissage a deux côtés : l'effort traverse deux groupes successifs, et chacun doit le reprendre intégralement. Quatre boulons résistent à 406,2 kN pour 450 appliqués, soit un taux de 1,11 — et même avec la résistance minorée de 93,85 kN, \( 4 \times 93{,}85 = 375{,}4\ \text{kN} \) donne 1,20.

Deux coefficients sont posés au lieu d'être calculés. \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}61 \) et \( k_1 = 2{,}5 \) sont présentés comme des « valeurs standards ». Ce sont des résultats : ils dépendent des quatre distances \( e_1 \), \( e_2 \), \( p_1 \) et \( p_2 \), dont aucune ne figure dans les données. Les valeurs courantes sont plausibles — \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}61 \) correspond à \( e_1 = 40{,}3\ \text{mm} \) — mais rien ne les impose. Une disposition conforme au tableau 3.3 est donc posée explicitement ici, ce qui donne \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}659 \) et une résistance à la pression supérieure de 8 %.

Deux vérifications sont incomplètes et une géométrie est impossible. L'article 6.2.3 définit la résistance en traction comme le minimum de \( N_{\text{pl},\text{Rd}} \) et \( N_{\text{u},\text{Rd}} \) ; on ne calcule d'ordinaire que la seconde. Le chiffre se trouve être le bon, mais la méthode ne le garantissait pas — et elle ne permet pas de constater que le rapport des deux, 1,28, annonce une rupture fragile au droit des trous. Enfin, on suppose volontiers des couvre-joints de 150 mm de large des deux côtés. C'est vrai pour l'extérieur, impossible pour l'intérieur : glissé sous la semelle, il doit dégager l'âme et ses congés, et ne dispose que de 112,9 mm. L'aire nette de l'éclisse chute de 18 % — la règle de bonne pratique reste heureusement satisfaite, avec un rapport de 1,54 au lieu de 1,87.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche établit d'abord ce qu'un boulon peut reprendre, puis combien il en faut de chaque côté, puis ce que la pièce percée supporte — et ne conclut qu'après avoir posé la question que l'on laisse d'ordinaire ouverte.

Question 1 : Résistance d'un boulon — cisaillement et pression diamétrale

Eurocode 3 — art. 3.6 et 3.7 35 min | Accessible

But de l'étape : Établir les deux résistances élémentaires, en posant la disposition que les données ne fixent pas.

Énoncé Q1 : Calculer la résistance au cisaillement d'un boulon M20 de classe 8.8 en double cisaillement. Constater ensuite que les coefficients \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \) ne peuvent être calculés sans la disposition, poser une disposition conforme au tableau 3.3, et en déduire la résistance à la pression diamétrale.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

\( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \) sont des minimums de plusieurs expressions faisant intervenir les pinces et les entraxes. Ce ne sont pas des constantes de la norme.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Pour la pression diamétrale, comparez l'épaisseur de la pièce centrale à la somme des épaisseurs des deux couvre-joints. La plus faible gouverne.

Question 2 : Groupe de fixations et nombre de boulons — par côté, pas au total

Eurocode 3 — art. 3.7 et 3.8 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Justifier la sommation par l'article 3.7, puis établir le nombre de boulons de chaque côté du joint.

Énoncé Q2 : Déterminer laquelle des deux règles de l'article 3.7 s'applique à ce groupe de boulons. En déduire le nombre requis, en précisant bien à quoi ce nombre se rapporte. Vérifier enfin la disposition à 4 boulons par côté que l'on retient d'ordinaire.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Un éclissage a deux côtés. L'effort quitte la première pièce par un groupe de boulons et rejoint la seconde par un autre : chacun doit le reprendre intégralement.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'article 3.7 n'autorise la somme des résistances à la pression que si le cisaillement de chaque boulon lui est supérieur ou égal. Sinon, il faut multiplier la plus petite résistance par le nombre.

Question 3 : Section nette de la semelle et les deux résistances de l'article 6.2.3

Eurocode 3 — art. 6.2.3 35 min | Intermédiaire

But de l'étape : Calculer les deux résistances de la section percée et lire ce que leur ordre signifie.

Énoncé Q3 : Établir l'aire nette de la semelle sur la ligne de rupture la plus défavorable. Calculer ensuite la résistance plastique de la section brute et la résistance ultime de la section nette, retenir le minimum, et qualifier le mode de ruine que leur ordre annonce.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'article 6.2.3 définit \( N_{\text{t},\text{Rd}} \) comme le minimum de deux grandeurs. Rien ne dit a priori laquelle gouverne — il faut calculer les deux.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le nombre de trous à déduire est celui de la ligne critique, pas du groupe entier. Ajouter des rangées dans le sens de l'effort ne change rien à la section nette.

Question 4 (Finale) : Couvre-joints, la donnée manquante et le verdict

Eurocode 3 — synthèse 35 min | BOSS

But de l'étape : Vérifier l'éclisse avec sa géométrie réelle, puis trancher la question que l'on laisse ouverte.

Énoncé Q4 : Déterminer la largeur que l'âme du profilé laisse réellement disponible pour le couvre-joint intérieur, et en déduire la résistance de l'éclisse. Établir ensuite la part de l'effort de membrure revenant à une semelle, conclure sous chacune des deux lectures, et recenser ce que la note ne couvre pas.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le couvre-joint intérieur se glisse sous la semelle, à l'intérieur du profilé. Il y rencontre l'âme et ses congés de raccordement : que reste-t-il de chaque côté ?

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Sous traction centrée, l'effort se répartit proportionnellement aux aires. Que représente une semelle d'IPE 300 dans la section totale du profilé ?

NOTE DE CALCULS

Dimensionnement d'un éclissage de membrures

Question 1 : Résistance d'un boulon — cisaillement et pression diamétrale

Dans la tête de l'ingénieur

"Deux modes de ruine se disputent la résistance d'un boulon : le cisaillement du boulon lui-même et la pression diamétrale sur les tôles qu'il traverse. Le premier se calcule sans aucune donnée géométrique — les 94,08 et 188,16 kN sont confirmés mot pour mot par le tableau des résistances de boulons du SCI P358. Le second, en revanche, dépend entièrement des pinces et entraxes de l'assemblage — et aucune distance n'est donnée. On pose alors \( k_1 = 2{,}5 \) et \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}61 \) comme des « valeurs standards ». Ce ne sont pas des constantes : ce sont des résultats."

Observation : \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \) sont des minimums de plusieurs expressions faisant intervenir \( e_1 \), \( e_2 \), \( p_1 \) et \( p_2 \). Aucune de ces quatre distances ne figure dans les données.
Analyse du risque : Poser un coefficient géométrique sans donner la géométrie rend le calcul invérifiable. Rien ne garantit que la disposition retenue en atelier produira ces valeurs.
Choix stratégique : Poser explicitement une disposition conforme aux minimums du tableau 3.3, puis en déduire les deux coefficients. Ce qui est écrit peut être discuté ; ce qui est posé sans le dire ne le peut pas.
Alternative : On peut aussi vérifier la plausibilité des valeurs usuelles : \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}61 \) correspond à \( e_1 = 40{,}3\ \text{mm} \), et \( k_1 = 2{,}5 \) exige \( e_2 \ge 33\ \text{mm} \). Toutes deux sont réalisables, mais rien ne les impose.
Objectif visé : Disposer des deux résistances élémentaires, dont la plus faible fixera la capacité de chaque boulon.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( F_{\text{v},\text{Rd}} = 188{,}16\ \text{kN} \) · \( F_{\text{b},\text{Rd}} = 101{,}6\ \text{kN} \) — la pression gouverne

Rappel Théorique : Les deux résistances élémentaires d'un boulon en cisaillement

Un boulon travaillant au cisaillement peut céder de deux manières bien distinctes : par rupture de son propre corps, ou par écrasement de la tôle qu'il presse. La première ne dépend que du boulon, la seconde que des tôles et de la géométrie.

Le cisaillement du boulon ne dépend d'aucune géométrie d'assemblage : \( F_{\text{v},\text{Rd}} = \alpha_{\text{v}} f_{\text{ub}} A / \gamma_{\text{M2}} \), avec \( \alpha_{\text{v}} = 0{,}6 \) pour les classes 4.6, 5.6 et 8.8. La section retenue est \( A_{\text{s}} \) si le plan de cisaillement traverse la partie filetée.
Le nombre de plans de cisaillement multiplie la résistance : Un boulon traversant trois tôles — la pièce centrale et deux couvre-joints — travaille en double cisaillement : sa résistance est doublée. C'est la raison d'être de l'éclissage symétrique.
La pression diamétrale dépend de la tôle et de la géométrie : \( F_{\text{b},\text{Rd}} = k_1 \alpha_{\text{b}} f_{\text{u}} d t / \gamma_{\text{M2}} \). Ni \( k_1 \) ni \( \alpha_{\text{b}} \) ne sont des constantes : ils se calculent à partir des pinces et des entraxes.
L'épaisseur à retenir est la plus faible de part et d'autre : Pour un assemblage symétrique, on compare l'épaisseur de la pièce centrale à la somme des épaisseurs des deux couvre-joints. La plus faible gouverne.
Les pinces et entraxes ont des minimums réglementaires : Le tableau 3.3 impose \( e_1, e_2 \ge 1{,}2 d_0 \), \( p_1 \ge 2{,}2 d_0 \) et \( p_2 \ge 2{,}4 d_0 \). En deçà, la tôle se déchire avant que le boulon ne travaille.

Équations Fondamentales

Deux formules de résistance et deux coefficients géométriques. Ce sont ces derniers qui font toute la difficulté de la question.

Résistance au cisaillement et à la pression diamétrale d'un boulon :

Elles donnent les deux capacités élémentaires dont la plus faible fixera celle de l'assemblage.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un assemblage boulonné n'a pas une résistance mais autant que de modes de ruine possibles, et qu'il faut les établir toutes avant de conclure. Le boulon et la tôle sont deux pièces distinctes, faites d'aciers différents, et rien ne dit a priori laquelle cédera la première.

Contexte de validité : \( \alpha_{\text{v}} = 0{,}6 \) vaut pour les classes 4.6, 5.6 et 8.8. Il tombe à 0,5 pour les classes 4.8, 5.8, 6.8 et 10.9 — une distinction qu'on oublie facilement.
Avantage : La résistance au cisaillement est tabulée dans tous les guides de conception : pour un M20 de classe 8.8, on lit directement 94,1 kN en simple cisaillement et 188 en double.
Paramètre clé : L'épaisseur \( t \) dans la pression diamétrale. C'est elle qui fait de la semelle de 10,7 mm le maillon faible devant les deux couvre-joints cumulés à 20 mm.
Vérification : Le tableau « Bolt Resistances » du SCI P358 donne, pour un M20 : \( A_{\text{s}} = 245\ \text{mm}^2 \), simple 94,1 kN, double 188 kN. Le calcul se recoupe donc au centième près.
Limite : Ces deux résistances valent pour un boulon isolé. Un groupe de boulons relève de l'article 3.7, et un assemblage long de l'article 3.8 — deux points examinés en question 2.

\[ \begin{aligned} F_{\text{v},\text{Rd}} = n_{\text{pl}} \, \frac{\alpha_{\text{v}} \, f_{\text{ub}} \, A_{\text{s}}}{\gamma_{\text{M2}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? La distinction entre ces deux modes de ruine est plus profonde qu'il n'y paraît, et elle commande toute la philosophie de conception des assemblages. Le cisaillement du boulon est une rupture fragile et soudaine : le corps du boulon cède net, sans avertissement, et l'assemblage perd instantanément sa capacité. La pression diamétrale, à l'inverse, est un mode ductile : le trou s'ovalise progressivement, la tôle se déforme, l'assemblage glisse et se plastifie longuement avant de rompre. Cette asymétrie a une conséquence pratique importante — on cherche généralement à concevoir les assemblages pour que la pression diamétrale gouverne, précisément parce qu'elle annonce la ruine au lieu de la précipiter. C'est le cas ici : 101,6 kN contre 188,2, la tôle cédera bien avant le boulon. Ce n'est donc pas un défaut de l'assemblage mais un choix sain, et cela explique aussi pourquoi il est fréquent d'employer des boulons de classe élevée sur des tôles de nuance courante : on déporte volontairement la faiblesse du côté ductile.

Décomposition des termes :

\( F_{\text{v},\text{Rd}} \) : résistance de calcul au cisaillement du boulon, tous plans confondus, unité : \( \text{N} \)
\( n_{\text{pl}} \) : nombre de plans de cisaillement, égal à 2 dans un éclissage symétrique, unité : —
\( \alpha_{\text{v}} \) : coefficient dépendant de la classe du boulon, 0,6 pour la classe 8.8, unité : —
\( f_{\text{ub}} \) : résistance ultime à la traction de l'acier du boulon, unité : \( \text{N}/\text{mm}^2 \)
\( A_{\text{s}} \) : section résistante du boulon, mesurée au droit du filetage, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( F_{\text{b},\text{Rd}} \) : résistance de calcul à la pression diamétrale de la tôle, unité : \( \text{N} \)
\( k_1 \), \( \alpha_{\text{b}} \) : coefficients géométriques calculés à partir des pinces et des entraxes, unité : —
\( d \), \( t \) : diamètre du boulon et épaisseur de tôle gouvernante, unité : \( \text{mm} \)

Résistance à la pression diamétrale — EN 1993-1-8, tableau 3.4 :

Elle donne la charge qu'un boulon peut transmettre à la tôle sans que celle-ci ne s'ovalise ou ne se déchire au droit du trou.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un assemblage boulonné ne ruine pas toujours par les boulons. La tige appuie sur le bord du trou et y crée une pression très élevée sur une surface minuscule ; si la tôle est mince ou le boulon proche du bord, c'est l'acier de la pièce qui cède le premier, par matage puis déchirure. Cette formule chiffre ce second mode de ruine, et c'est très souvent lui qui gouverne.

Contexte de validité : Les deux coefficients \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \) dépendent de la position du boulon : rive ou intérieur, dans le sens de l'effort ou perpendiculairement. Le tableau 3.4 donne quatre colonnes.
Avantage : Elle est linéaire en épaisseur : doubler la tôle double la résistance. C'est le levier le plus direct quand la pression diamétrale gouverne.
Paramètre clé : L'épaisseur \( t \), qui est celle de la pièce la plus mince de l'assemblage. Ici la semelle de 10,7 mm, et non le couvre-joint de 20.
Vérification : \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \) sont sans dimension et bornés : \( \alpha_{\text{b}} \le 1 \) et \( k_1 \le 2{,}5 \). Une valeur au-delà signale une erreur de lecture du tableau.
Limite : On pose volontiers ces deux coefficients sans jamais les calculer. Or ils font varier la résistance du simple au double selon la disposition retenue.

\[ \begin{aligned} F_{\text{b},\text{Rd}} = \frac{k_1 \, \alpha_{\text{b}} \, f_{\text{u}} \, d \, t}{\gamma_{\text{M2}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? La pression diamétrale décrit un mécanisme très différent du cisaillement du boulon, et c'est ce qui explique la forme inhabituelle de la formule. La tige cylindrique appuie sur la paroi du trou : le contact est théoriquement une ligne, et la pression y serait infinie si l'acier ne plastifiait pas. Il plastifie donc immédiatement, le trou s'ovalise, et la surface de contact s'étend jusqu'à ce qu'un équilibre s'établisse. C'est pourquoi la formule retient le produit \( d \times t \) — la surface projetée du contact — plutôt qu'une surface réelle impossible à définir. Les deux coefficients corrigent ensuite ce modèle simple : \( \alpha_{\text{b}} \) tient compte de la distance au bord, car un boulon trop près du bord ne mate pas la tôle mais la déchire en poussant devant lui un bloc d'acier ; \( k_1 \) tient compte de l'espacement transversal, qui conditionne la largeur de tôle disponible pour diffuser l'effort.

Décomposition des termes :

\( F_{\text{b},\text{Rd}} \) : résistance de calcul à la pression diamétrale, par boulon, unité : \( \text{kN} \)
\( k_1 \) : coefficient lié à l'espacement transversal, plafonné à 2,5, unité : —
\( \alpha_{\text{b}} \) : coefficient lié à la distance au bord dans le sens de l'effort, plafonné à 1, unité : —
\( f_{\text{u}} \) : résistance ultime à la traction de la pièce assemblée, unité : \( \text{MPa} \)
\( d \) : diamètre nominal du boulon, unité : \( \text{mm} \)
\( t \) : épaisseur de la pièce la plus mince de l'assemblage, unité : \( \text{mm} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"On prend \( k_1 = 2{,}5 \) et \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}61 \), valeurs standards…"

L'approche d'ingénieur : Ces deux nombres ont l'air de constantes de la norme. Ils n'en sont pas : ce sont des résultats de la géométrie de l'assemblage, et cette géométrie n'est nulle part dans les données.

L'erreur : Traiter \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \) comme des données. Ils valent \( \alpha_{\text{b}} = \min(e_1/3d_0 \ ; \ p_1/3d_0 - 1/4 \ ; \ f_{\text{ub}}/f_{\text{u}} \ ; \ 1) \) et \( k_1 = \min(2{,}8 e_2/d_0 - 1{,}7 \ ; \ 1{,}4 p_2/d_0 - 1{,}7 \ ; \ 2{,}5) \).
La bonne méthode : Poser une disposition explicite et conforme au tableau 3.3, puis calculer. Avec \( e_1 = 45 \), \( e_2 = 40 \), \( p_1 = 60 \) et \( p_2 = 70\ \text{mm} \), on obtient \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}659 \) et \( k_1 = 2{,}50 \).
L'astuce de pro : Vérifier que la disposition tient dans la largeur. Ici \( 2e_2 + p_2 = 150\ \text{mm} \), exactement la largeur de la semelle : la disposition est au maximum de ce qui rentre.
Le moyen mnémotechnique : « Pas de pince, pas de pression diamétrale. » Sans les quatre distances, la résistance à la pression ne peut tout simplement pas être calculée.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Résistances des aciers : en MPa, identiques à des \( \text{N}/\text{mm}^2 \). C'est l'unité naturelle des calculs d'assemblage, où les aires sont en \( \text{mm}^2 \) et les efforts en newtons.
Section résistante du boulon : en \( \text{mm}^2 \), lue directement dans les tables. Pour un M20 elle vaut 245 mm², soit 78 % de l'aire du fût lisse — le filetage retire près d'un quart de la matière.
Diamètres : le boulon \( d = 20\ \text{mm} \) entre dans la pression diamétrale, le trou \( d_0 = 22\ \text{mm} \) dans les coefficients géométriques et dans la section nette. Les confondre est l'erreur la plus classique.
Pinces et entraxes : en millimètres, et rapportés à \( d_0 \) dans les critères. Il est commode de les exprimer en multiples de \( d_0 \) pour contrôler les minimums d'un coup d'œil.
Coefficient partiel \( \gamma_{\text{M2}} \) : sans dimension, il vaut 1,25 pour toutes les vérifications d'assemblage à la rupture — valeur recommandée par l'EN et retenue en France.

Trois étapes : la résistance au cisaillement, la disposition qu'il faut poser faute d'être donnée, puis la résistance à la pression diamétrale qui en découle.

1. Résolution Numérique La résistance du boulon lui-même

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule des deux résistances qui ne dépende d'aucune donnée géométrique, et qu'elle se contrôle directement sur les tables publiées.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule de l'article 3.6 pour un plan de cisaillement, puis on double le résultat pour tenir compte de la configuration symétrique à deux couvre-joints.

Substitution : \( \alpha_{\text{v}} = 0{,}6 \) pour la classe 8.8, \( f_{\text{ub}} = 800\ \text{MPa} \), \( A_{\text{s}} = 245\ \text{mm}^2 \) et \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \).
Piège évité : Oublier le facteur 2 du double cisaillement, ce qui diviserait la résistance par deux. Ou l'appliquer alors que l'assemblage n'a qu'un seul couvre-joint — erreur inverse et dangereuse.
Hypothèse validée : Le plan de cisaillement est supposé traverser la partie filetée, ce qui impose \( A_{\text{s}} \) et non l'aire du fût lisse. C'est l'hypothèse la plus défavorable, et celle qu'il faut retenir.
Vérification croisée : Le tableau « Bolt Resistances » du SCI P358 donne pour un M20 : 94,1 kN en simple cisaillement et 188 kN en double. Confirmation directe.
Finalité : Disposer de la première des deux résistances élémentaires du boulon.

\[ \begin{aligned} F_{\text{v},\text{Rd}} &= n_{\text{pl}} \, \frac{\alpha_{\text{v}} \, f_{\text{ub}} \, A_{\text{s}}}{\gamma_{\text{M2}}} \\ &= 2 \times \frac{0{,}6 \times 800 \times 245}{1{,}25} \\ &= 2 \times \frac{117\,600}{1{,}25} \\ &= 2 \times 94{,}08 \\ &= \mathbf{188{,}16} \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La résistance au cisaillement vaut 188,16 kN par boulon en double cisaillement. Cette valeur est confirmée mot pour mot par les tables du SCI P358.

Ordre de grandeur : Près de 19 tonnes par boulon. Un M20 de classe 8.8 en double cisaillement est un élément de fixation puissant, et c'est pourquoi il est si répandu en charpente.
Impact sur la suite : Cette valeur sera comparée à la résistance à la pression diamétrale. La plus faible des deux fixera la capacité de chaque boulon, et déterminera aussi quel article régit le groupe.
Cohérence : La section résistante de 245 mm² représente 78 % de l'aire du fût lisse (314 mm²). Le filetage retire près d'un quart de la matière, ce qui justifie de le prendre comme section de calcul.
Attention : Le coefficient \( \alpha_{\text{v}} \) vaut 0,6 pour la classe 8.8 mais 0,5 pour la classe 10.9. Monter en classe de boulon n'améliore donc pas la résistance dans la proportion qu'on croit.
Comparaison : Un M24 de même classe offrirait \( A_{\text{s}} = 353\ \text{mm}^2 \), soit 271 kN en double cisaillement — 44 % de plus pour un diamètre 20 % supérieur.

Remarque pédagogique : Il vaut la peine de comprendre pourquoi la norme retient la section filetée alors que le plan de cisaillement pourrait fort bien tomber sur le fût lisse. La raison est constructive : dans un assemblage réel, la position exacte du filetage par rapport aux plans de cisaillement dépend de la longueur du boulon commandée, de l'épaisseur des rondelles, des tolérances de fabrication et du soin apporté au montage. Rien ne garantit qu'un boulon donné présentera son fût lisse là où on l'attend, et un lot livré avec une longueur de filetage différente suffirait à invalider un calcul mené sur l'aire pleine. L'Eurocode permet formellement d'employer l'aire du fût lisse quand le plan de cisaillement le traverse — c'est même une distinction explicite de l'article 3.6 — mais la pratique courante retient systématiquement \( A_{\text{s}} \), par prudence et parce que le gain, de l'ordre de 28 %, ne vaut pas le risque d'une erreur de montage. C'est le choix retenu ici.

Ce qu'il faut poser faute de le trouver

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les coefficients \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \) ne peuvent être calculés sans les quatre distances, et qu'aucune ne figure dans les données.

Méthodologie du calcul :

On adopte une disposition explicite satisfaisant les minimums du tableau 3.3 et tenant dans la largeur de la semelle, puis on vérifie chaque critère.

Substitution : \( d_0 = 22\ \text{mm} \), d'où les minimums \( e_1, e_2 \ge 26{,}4 \), \( p_1 \ge 48{,}4 \) et \( p_2 \ge 52{,}8\ \text{mm} \).
Piège évité : Choisir des distances qui ne tiennent pas dans la semelle. Avec deux files de boulons, il faut \( 2e_2 + p_2 \le b_{\text{f}} = 150 \), contrainte qui borne sévèrement les choix.
Hypothèse validée : La disposition retenue est posée explicitement et non déduite : elle constitue une hypothèse de l'exercice, signalée comme telle et donc discutable.
Vérification croisée : Contrôle de largeur : \( 2 \times 40 + 70 = \mathbf{150\ \text{mm}} \), exactement la largeur disponible. La disposition est au maximum de ce qui rentre.
Finalité : Disposer d'une géométrie complète permettant de calculer les deux coefficients de la pression diamétrale.

\[ \begin{aligned} \text{pinces et entraxes} &: \ e_1 = 2{,}05 \, d_0 \ \ge \ 1{,}2 \, d_0 \\ &\quad e_2 = 1{,}82 \, d_0 \ \ge \ 1{,}2 \, d_0 \\ &\quad p_1 = 2{,}73 \, d_0 \ \ge \ 2{,}2 \, d_0 \\ &\quad p_2 = 3{,}18 \, d_0 \ \ge \ 2{,}4 \, d_0 \\ &\quad 2 e_2 + p_2 = 150 \ \le \ b_{\text{f}} = 150 \\ &\Rightarrow \ \textbf{disposition conforme, mais juste} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La disposition retenue satisfait les quatre minimums du tableau 3.3 avec des marges de 24 à 70 %, et occupe exactement la largeur de la semelle. Elle est réalisable, mais elle reste une hypothèse.

Ordre de grandeur : Les valeurs retenues sont des multiples ronds de 5 mm, ce qui correspond à la pratique de traçage en atelier. Une disposition calculée au dixième de millimètre n'aurait aucun sens.
Impact sur la suite : Elles donneront \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}659 \) et \( k_1 = 2{,}50 \), soit une résistance à la pression diamétrale 8 % supérieure à celle des valeurs usuelles.
Cohérence : Les valeurs usuelles correspondraient à \( e_1 = 40{,}3\ \text{mm} \) et \( e_2 \ge 33\ \text{mm} \). Elles sont donc plausibles — simplement, rien ne les impose.
Attention : Le contrôle de largeur est saturé : \( 2e_2 + p_2 \) vaut exactement 150 mm. Un \( p_2 \) plus grand ne rentrerait plus, et il faudrait alors une seule file de boulons.
Comparaison : Avec les minimums stricts du tableau 3.3 — \( e_1 = 26{,}4 \), \( p_1 = 48{,}4 \) —, on obtiendrait \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}40 \), soit une résistance 39 % plus faible. Les pinces se paient cher.

Remarque pédagogique : La contrainte de largeur mérite qu'on s'y arrête, car elle est plus serrée qu'il n'y paraît et elle explique une pratique courante. Sur une semelle d'IPE 300 large de 150 mm, deux files de boulons M20 exigent \( 2e_2 + p_2 \ge 2 \times 26{,}4 + 52{,}8 = 105{,}6\ \text{mm} \) au strict minimum réglementaire — il reste donc théoriquement de la marge. Mais il faut aussi loger les clés de serrage : une clé pour M20 demande un dégagement d'une trentaine de millimètres autour de l'écrou, et l'entraxe transversal se trouve en pratique borné par le bas bien plus par l'outillage que par la norme. C'est pourquoi, sur des semelles étroites, on renonce souvent à la seconde file et l'on allonge l'éclisse à la place — quitte à basculer dans le domaine des joints longs de l'article 3.8, avec la réduction de résistance qui l'accompagne. L'arbitrage entre largeur et longueur d'un éclissage n'est donc jamais purement un calcul : c'est d'abord une question de ce qui se monte.

Alpha b, que l'on pose sans jamais le calculer

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est lui qui traduit la proximité du bord, et parce qu'on l'écrit dans la formule sans jamais en donner la valeur.

Méthodologie du calcul :

Le tableau 3.4 le définit comme le plus petit de quatre termes, dont trois dépendent de la géométrie et le dernier est un plafond.

Substitution : \( e_1 = 45 \), \( p_1 = 60 \), \( d_0 = 22\ \text{mm} \), \( f_{\text{ub}} = 800 \) et \( f_{\text{u}} = 360\ \text{MPa} \).
Piège évité : Employer le terme de rive \( e_1/(3 d_0) \) pour un boulon intérieur, ou l'inverse. Le tableau distingue les deux, et l'écart peut atteindre un facteur deux.
Hypothèse validée : La rangée la plus défavorable est celle de rive, dont la distance au bord \( e_1 = 45 \) mm est la plus contraignante des quatre termes.
Vérification croisée : Les quatre termes valent 0,682 · 0,659 · 2,222 · 1. Le minimum est bien le deuxième, celui de l'entraxe, et non celui du bord.
Finalité : Obtenir le coefficient qui entrera dans la résistance à la pression diamétrale.

\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{b}} &= \min\left(\frac{e_1}{3 d_0} \ ; \ \frac{p_1}{3 d_0} - \frac{1}{4} \ ; \ \frac{f_{\text{ub}}}{f_{\text{u}}} \ ; \ 1\right) \\ &= \min\left(\frac{45}{66} \ ; \ \frac{60}{66} - 0{,}25 \ ; \ \frac{800}{360} \ ; \ 1\right) \\ &= \min(0{,}682 \ ; \ 0{,}659 \ ; \ 2{,}222 \ ; \ 1) \\ &= \mathbf{0{,}659} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le coefficient vaut 0,659, et c'est l'entraxe qui le gouverne, non la distance au bord. La résistance à la pression diamétrale sera donc réduite d'un tiers par rapport à son plafond.

Ordre de grandeur : Un \( \alpha_{\text{b}} \) compris entre 0,6 et 0,8 est typique d'une disposition courante. Une valeur proche de 1 signalerait des pinces très généreuses, donc une tôle inutilement large.
Impact sur la suite : Il réduit la résistance de 34 % par rapport au plafond de 1. C'est ce qui fera basculer le mode de ruine du côté de la tôle.
Cohérence : Le troisième terme, \( f_{\text{ub}}/f_{\text{u}} = 2{,}22 \), n'est jamais gouvernant avec des boulons 8.8 sur du S235 : il ne le devient qu'avec des boulons doux sur de l'acier à haute résistance.
Attention : Écrire \( \alpha_{\text{b}} \) dans la formule sans jamais le calculer rend le résultat irreproductible : un tiers ne peut ni le refaire, ni savoir s'il est juste.
Comparaison : Porter l'entraxe de 60 à 70 mm ferait passer \( \alpha_{\text{b}} \) à 0,811, soit 23 % de résistance en plus pour 10 mm de tôle supplémentaires.

Remarque pédagogique : Le fait que ce soit l'entraxe, et non la distance au bord, qui gouverne ici mérite d'être relevé, car il contredit l'intuition courante. On imagine volontiers que le danger vient du bord : un boulon trop près de l'extrémité arrache un bloc de tôle, et l'image est parlante. Mais le tableau 3.4 tient aussi compte d'un mécanisme moins visible — l'interaction entre boulons successifs d'une même file. Chaque boulon mate la tôle devant lui et la refoule vers le suivant ; si les boulons sont trop rapprochés, les zones plastifiées se rejoignent et la file entière se comporte comme une déchirure continue plutôt que comme une série d'appuis indépendants. Le terme \( p_1/(3d_0) - 1/4 \) chiffre cette perte, et il devient gouvernant dès que l'entraxe descend sous environ trois diamètres de trou. C'est une raison pratique de ne pas resserrer les files pour gagner de la place : on perd en résistance plus qu'on ne gagne en compacité.

k1, plafonné et souvent atteint

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il complète le précédent dans la direction perpendiculaire à l'effort, et parce qu'il atteint ici son plafond — ce qu'il faut établir, pas supposer.

Méthodologie du calcul :

Le tableau 3.4 le définit comme le plus petit de trois termes pour un boulon de rive, dont un plafond fixe.

Substitution : \( e_2 = 40 \), \( p_2 = 70 \) et \( d_0 = 22\ \text{mm} \), pour une rangée de rive.
Piège évité : Oublier le plafond de 2,5. Les deux premiers termes valent ici 3,39 et 2,75 : sans le plafond, on surestimerait la résistance de 36 %.
Hypothèse validée : La formule retenue est celle des boulons de rive. Pour un boulon intérieur, seul le terme en \( p_2 \) subsiste, avec le même plafond.
Vérification croisée : Les trois termes valent 3,39 · 2,75 · 2,50. Le plafond gouverne, ce qui signifie que les pinces transversales sont généreuses et n'ont aucun effet réducteur.
Finalité : Compléter le couple de coefficients qui module la résistance à la pression diamétrale.

\[ \begin{aligned} k_1 &= \min\left(\frac{2{,}8 \, e_2}{d_0} - 1{,}7 \ ; \ \frac{1{,}4 \, p_2}{d_0} - 1{,}7 \ ; \ 2{,}5\right) \\ &= \min\left(\frac{2{,}8 \times 40}{22} - 1{,}7 \ ; \ \frac{1{,}4 \times 70}{22} - 1{,}7 \ ; \ 2{,}5\right) \\ &= \min(3{,}39 \ ; \ 2{,}75 \ ; \ 2{,}50) \\ &= \mathbf{2{,}50} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le coefficient atteint son plafond de 2,50 : les pinces transversales sont assez généreuses pour n'imposer aucune réduction. C'est le cas le plus favorable, et il fallait l'établir.

Ordre de grandeur : Le plafond de 2,5 est atteint dès que \( e_2 \ge 1{,}5 \, d_0 \), soit 33 mm ici. Avec 40 mm, la marge est confortable.
Impact sur la suite : Le produit \( k_1 \alpha_{\text{b}} = 2{,}50 \times 0{,}659 = \mathbf{1{,}65} \) entrera dans la résistance. C'est bien \( \alpha_{\text{b}} \) qui la bride, pas \( k_1 \).
Cohérence : Que le plafond soit atteint est cohérent avec la vérification des pinces : \( e_2 = 1{,}82 \, d_0 \) dépasse largement le minimum réglementaire de 1,2.
Attention : Le plafond de 2,5 ne signifie pas que la pression diamétrale est sans effet : elle reste ici le mode de ruine gouvernant, à 101,6 kN contre 188,2 pour le cisaillement.
Comparaison : Réduire \( e_2 \) à 30 mm ferait tomber \( k_1 \) à 2,12, soit 15 % de résistance en moins — pour 10 mm de tôle économisés de chaque côté.

Remarque pédagogique : L'existence d'un plafond sur \( k_1 \) mais pas sur la pensée du concepteur mérite un mot, car elle éclaire la logique du tableau 3.4. Les deux coefficients ne jouent pas le même rôle : \( \alpha_{\text{b}} \) est une réduction — il vaut au plus 1 et pénalise les dispositions serrées — tandis que \( k_1 \) est un facteur d'amplification qui monte jusqu'à 2,5. Autrement dit, la formule de base \( f_{\text{u}} d t/\gamma_{\text{M2}} \) n'est pas la résistance maximale mais une référence, que la géométrie transversale peut multiplier par deux et demi. La raison physique est que l'effort de matage diffuse latéralement dans la tôle : plus il y a de largeur disponible de part et d'autre du trou, plus la zone plastifiée peut s'étendre avant que la déchirure ne s'amorce. Le plafond de 2,5 marque le point au-delà duquel élargir encore n'apporte plus rien, parce qu'un autre mécanisme — le cisaillement du boulon, ou la ruine de la section nette — prend forcément le relais.

La résistance de la tôle et le maillon faible

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la résistance qui gouverne ici, et parce qu'elle décide aussi de la règle applicable au groupe de boulons.

Méthodologie du calcul :

On calcule les deux coefficients géométriques, on identifie l'épaisseur gouvernante, puis on compare la résistance obtenue à celle du cisaillement.

Substitution : \( f_{\text{u}} = 360\ \text{MPa} \), \( d = 20\ \text{mm} \), et les deux épaisseurs candidates \( t_{\text{f}} = 10{,}7 \) contre \( 2 t_{\text{p}} = 20\ \text{mm} \).
Piège évité : Comparer \( t_{\text{f}} \) à \( t_{\text{p}} \) au lieu de \( 2 t_{\text{p}} \). L'effort se partage entre les deux couvre-joints, dont les épaisseurs s'additionnent vis-à-vis de la pression.
Hypothèse validée : Les couvre-joints et la semelle sont de même nuance, S235. Si elles différaient, il faudrait comparer les produits \( f_{\text{u}} t \) et non les seules épaisseurs.
Vérification croisée : \( \alpha_{\text{b}} \) est gouverné par \( p_1 \) et non par \( e_1 \) : \( 0{,}659 \lt 0{,}682 \). C'est donc l'entraxe qui limite, ce qui est fréquent dès que les pinces sont généreuses.
Finalité : Établir la résistance d'un boulon et identifier le mode de ruine gouvernant.

\[ \begin{aligned} F_{\text{b},\text{Rd}} &= \frac{k_1 \, \alpha_{\text{b}} \, f_{\text{u}} \, d \, t}{\gamma_{\text{M2}}} \\ &= \frac{2{,}50 \times 0{,}659 \times 360 \times 20 \times 10{,}7}{1{,}25} \\ &= \frac{126\,975}{1{,}25} \\ &= 101\,580 \ \text{N} = \mathbf{101{,}6} \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La résistance à la pression diamétrale vaut 101,6 kN, contre 188,16 au cisaillement. C'est donc la tôle qui gouverne, et l'épaisseur déterminante est celle de la semelle.

Ordre de grandeur : La pression diamétrale ne vaut que 54 % du cisaillement. L'écart est confortable et place l'assemblage du côté ductile, ce qui est souhaitable.
Impact sur la suite : Puisque \( F_{\text{b},\text{Rd}} \lt F_{\text{v},\text{Rd}} \), l'article 3.7 permettra de sommer les résistances individuelles à la pression. C'est le cas favorable du groupe de fixations.
Cohérence : Avec les coefficients usuels, on obtiendrait 93,85 kN. L'écart de 8 % vient entièrement du \( \alpha_{\text{b}} \) retenu : 0,61 posé, 0,659 avec la disposition explicite.
Attention : Le critère \( f_{\text{ub}}/f_{\text{u}} = 2{,}22 \) n'est jamais limitant ici, mais il le deviendrait avec des boulons de classe faible sur des tôles de nuance élevée — configuration à ne pas écarter sans l'avoir vérifiée.
Comparaison : Avec des couvre-joints de 5 mm, l'épaisseur gouvernante tomberait à 10 mm et la résistance à 94,9 kN. Le maillon faible basculerait alors du côté des couvre-joints.

Remarque pédagogique : Le fait que \( \alpha_{\text{b}} \) soit gouverné par l'entraxe \( p_1 \) plutôt que par la pince \( e_1 \) est instructif, car c'est le cas le plus fréquent et le moins intuitif. On imagine spontanément que le danger vient du bord — que la tôle se déchire vers l'extérieur — et l'on soigne donc la pince d'extrémité. Mais l'expression \( p_1/3d_0 - 1/4 \) est plus sévère que \( e_1/3d_0 \) pour toute valeur de \( p_1 \) inférieure à \( e_1 + 0{,}75 d_0 \), c'est-à-dire presque toujours : le terme \( -1/4 \) pénalise structurellement l'entraxe. La raison physique est que deux boulons trop rapprochés se disputent la même zone de tôle, chacun affaiblissant l'ancrage de l'autre, alors qu'un boulon de rive ne dispute rien à personne. La conséquence pratique est nette : quand un assemblage bute sur la pression diamétrale, il est souvent plus efficace d'écarter les boulons que de les éloigner du bord — à condition de rester sous le seuil des joints longs.

RÉSULTAT FINAL

\( F_{\text{v},\text{Rd}} \ ; \ F_{\text{b},\text{Rd}} \) = 188,16 ; 101,6 kN

"La tôle cède avant le boulon — c'est le mode ductile, et c'est souhaitable."

Question 2 : Groupe de fixations et nombre de boulons — par côté, pas au total

Dans la tête de l'ingénieur

"Un éclissage a deux côtés. L'effort entre par la pièce de gauche, transite par les couvre-joints, et ressort par la pièce de droite : il traverse donc deux fois un groupe de boulons. Le nombre calculé par la division \( N_{\text{Ed}}/F_{\text{boulon}} \) est celui qu'il faut de chaque côté, non au total. On obtient 4,79, on en déduit 6, puis l'on conclut que « 4 boulons par côté, soit 8 au total » suffisent largement. Or 4 boulons par côté ne résistent qu'à 406 kN pour 450 appliqués."

Observation : Le « 8 au total » se compare aux « 6 » qui viennent d'être calculés. Mais ces 6 étaient déjà un nombre par côté : il faudrait donc 12 boulons au total, pas 8.
Analyse du risque : Un assemblage sous-dimensionné de 11 % déclaré « largement suffisant » est plus dangereux qu'un assemblage rejeté à tort : personne ne le revérifiera.
Choix stratégique : Poser explicitement que le nombre calculé s'entend par côté du joint, et vérifier la disposition proposée plutôt que de la reprendre telle quelle.
Alternative : L'article 3.7 mérite d'être invoqué avant de sommer : il ne va pas de soi que la résistance d'un groupe soit la somme des résistances individuelles.
Objectif visé : Établir le nombre de boulons réellement nécessaire de chaque côté, et statuer sur la disposition annoncée.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

5 boulons par côté minimum, 6 pour la symétrie — les 4 proposés donnent 1,11

Rappel Théorique : Résistance d'un groupe de fixations et logique d'un éclissage

Deux notions se croisent ici. La première est normative : la résistance d'un groupe n'est pas toujours la somme des résistances individuelles. La seconde est géométrique : un éclissage a deux côtés.

L'effort traverse deux fois un groupe de boulons : Il quitte la pièce de gauche par un premier groupe, transite par les couvre-joints, et rejoint la pièce de droite par un second. Chaque groupe doit reprendre l'intégralité de l'effort.
L'article 3.7 distingue deux cas : Si la résistance au cisaillement de chaque boulon est supérieure ou égale à sa résistance à la pression, la résistance du groupe est la somme des résistances à la pression. Sinon, c'est le nombre de boulons multiplié par la plus petite résistance individuelle.
Les résistances à la pression peuvent varier d'un boulon à l'autre : Les boulons de rive ont une pince \( e_1 \), les autres un entraxe \( p_1 \) : leurs coefficients \( \alpha_{\text{b}} \) diffèrent. C'est pourquoi l'article parle de somme et non de produit.
Le nombre de boulons s'arrondit toujours à l'entier supérieur : Et l'on retient généralement un nombre pair par côté, pour que la disposition reste symétrique par rapport à l'axe de la pièce.
Un assemblage trop long perd de son efficacité : Au-delà de \( 15 d \) entre premier et dernier boulon, l'article 3.8 impose un coefficient réducteur \( \beta_{\text{Lf}} \) : les boulons d'extrémité travaillent plus que ceux du milieu.

Équations Fondamentales

Une règle de choix, une division et un arrondi. La difficulté n'est pas dans le calcul mais dans l'unité du résultat : des boulons par côté.

Résistance d'un groupe de fixations et nombre requis :

Elles convertissent la capacité d'un boulon en un nombre de boulons de chaque côté du joint.

Pourquoi cette formule ?

Parce que dimensionner un assemblage revient à répéter une brique élémentaire jusqu'à couvrir l'effort, mais que cette répétition n'est légitime que si les boulons se partagent réellement la charge. L'article 3.7 est la clause qui l'autorise — ou qui la restreint.

Contexte de validité : La sommation suppose une répartition uniforme de l'effort entre les boulons. Elle vaut pour les assemblages courts et rigides, et cesse de valoir au-delà du seuil des joints longs.
Avantage : Le cas favorable de l'article 3.7 permet de sommer les résistances réelles de chaque boulon plutôt que de multiplier la plus faible par leur nombre. Sur un assemblage aux pinces inégales, l'écart est sensible.
Paramètre clé : Le sens de l'inégalité entre \( F_{\text{v},\text{Rd}} \) et \( F_{\text{b},\text{Rd}} \). C'est lui, et lui seul, qui décide de la règle applicable au groupe.
Vérification : Contrôle du sens du résultat : \( n \times F_{\text{boulon}} \) doit dépasser \( N_{\text{Ed}} \) de chaque côté. Avec 4 boulons : \( 4 \times 101{,}6 = 406{,}2 \lt 450 \).
Limite : L'article 3.8 pourrait imposer une réduction si l'assemblage était long. Le contrôle exige \( p_1 \), qui ne figure pas dans les données — il est mené sur la disposition posée en question 1.

\[ \begin{aligned} F_{\text{gr},\text{Rd}} = \sum_{\text{i}} F_{\text{b},\text{Rd},\text{i}} \ \ \text{si} \ \ F_{\text{v},\text{Rd}} \ge F_{\text{b},\text{Rd}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? La condition de l'article 3.7 paraît technique ; elle traduit en réalité une observation de bon sens sur la ductilité. Quand la pression diamétrale gouverne, chaque boulon atteint sa capacité en ovalisant progressivement son trou ; il se déforme sans céder, et l'effort qu'il ne prend plus se reporte sur ses voisins, qui font de même. Le groupe se plastifie donc dans son ensemble et chaque boulon peut atteindre sa propre résistance : la somme est légitime. Quand le cisaillement gouverne, en revanche, le premier boulon à atteindre sa capacité casse net. Sa charge se reporte brutalement sur les autres, qui cèdent à leur tour en cascade. Aucun report progressif n'est possible, et il serait imprudent de compter sur autre chose que la plus faible des résistances multipliée par le nombre. La norme encode ainsi une différence de mécanisme de ruine, pas une convention de calcul. Ici, \( F_{\text{b},\text{Rd}} = 101{,}6 \lt F_{\text{v},\text{Rd}} = 188{,}2 \) : on est dans le cas ductile, et la sommation est autorisée.

Décomposition des termes :

\( F_{\text{gr},\text{Rd}} \) : résistance de calcul du groupe de fixations d'un côté du joint, unité : \( \text{N} \)
\( F_{\text{b},\text{Rd},\text{i}} \) : résistance à la pression diamétrale du boulon numéro i du groupe, unité : \( \text{N} \)
\( F_{\text{boulon},\text{Rd}} \) : plus petite des deux résistances élémentaires d'un boulon, unité : \( \text{N} \)
\( n \) : nombre de boulons nécessaires de chaque côté du joint, arrondi au supérieur, unité : —
\( L_{\text{j}} \) : longueur du joint, du premier au dernier boulon dans le sens de l'effort, unité : \( \text{mm} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Il faut 6 boulons, on en met 8 : c'est largement suffisant…"

L'approche d'ingénieur : Le raisonnement serait juste si les deux nombres se rapportaient à la même chose. Ils ne s'y rapportent pas : le premier est un nombre par côté, le second un total. Comparer les deux revient à diviser par deux la sécurité de l'assemblage.

L'erreur : Interpréter le résultat de \( N_{\text{Ed}}/F_{\text{boulon}} \) comme un nombre total. C'est un nombre par côté : l'effort traverse deux groupes successifs, et chacun doit le reprendre intégralement.
La bonne méthode : \( n \ge 450/101{,}6 = 4{,}43 \), soit 5 par côté au minimum et 6 pour la symétrie — donc 12 boulons au total, et non 8.
L'astuce de pro : Vérifier la disposition annoncée plutôt que de la croire. \( 4 \times 101{,}6 = 406{,}2\ \text{kN} \) pour 450 appliqués : taux 1,11, l'assemblage est insuffisant de 11 %.
Le moyen mnémotechnique : « Un joint, deux groupes. » Dessiner le cheminement de l'effort règle la question en un trait de crayon : il entre par un groupe et sort par l'autre.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Nombre de boulons : sans dimension et nécessairement entier. L'arrondi se fait toujours à l'entier supérieur, et l'on retient de préférence un nombre pair par côté pour la symétrie de la disposition.
Résistances : en kilonewtons pour la division, ce qui évite de manipuler des newtons à six chiffres. Le quotient de deux forces est bien sans dimension.
Longueur de joint : en millimètres, mesurée du premier au dernier boulon dans le sens de l'effort. Elle se compare à \( 15 d \), soit 300 mm pour un M20.
Coefficient réducteur des joints longs : sans dimension, il vaut 1,0 en deçà du seuil et décroît linéairement au-delà, jusqu'à un plancher de 0,75.
Taux de travail : quotient de l'effort appliqué par la résistance du groupe, donc sans dimension. Il doit rester inférieur à 1,0 de chaque côté du joint.

Trois étapes : la règle applicable au groupe, le nombre de boulons par côté, puis la vérification de la disposition que l'on retient d'ordinaire.

1. Résolution Numérique Peut-on sommer les résistances individuelles ?

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la réponse n'est pas toujours oui, et parce qu'on somme d'ordinaire sans jamais invoquer la clause qui l'y autorise.

Méthodologie du calcul :

On compare les deux résistances élémentaires établies en question 1 et l'on en déduit lequel des deux cas de l'article 3.7 s'applique.

Substitution : \( F_{\text{v},\text{Rd}} = 188{,}16\ \text{kN} \) et \( F_{\text{b},\text{Rd}} = 101{,}6\ \text{kN} \), valeurs de la question 1.
Piège évité : Sommer sans vérifier. Si le cisaillement gouvernait, il faudrait multiplier la plus petite résistance individuelle par le nombre de boulons — ce qui est plus pénalisant dès que les pinces sont inégales.
Hypothèse validée : Tous les boulons sont supposés de même diamètre et même classe, ce qui garantit une résistance au cisaillement identique. La clause le suppose explicitement.
Vérification croisée : Le SCI P362 énonce la clause mot pour mot : la résistance du groupe est la somme des résistances à la pression « provided that the design shear resistance of each individual fastener is greater than or equal to » celle à la pression.
Finalité : Justifier la sommation avant de l'effectuer, ce que l'on omet de faire.

\[ \begin{aligned} F_{\text{gr},\text{Rd}} &= \sum_{\text{i}} F_{\text{b},\text{Rd},\text{i}} \\ &\quad \text{car} \ F_{\text{v},\text{Rd}} = 188{,}16 \ \gt \ F_{\text{b},\text{Rd}} = 101{,}6 \\ &= n \times 101{,}6 \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La condition est satisfaite : \( F_{\text{v},\text{Rd}} \) dépasse \( F_{\text{b},\text{Rd}} \) de 85 %. La résistance du groupe est donc bien la somme des résistances à la pression. Encore fallait-il l'établir avant de sommer.

Ordre de grandeur : Un écart de 85 % entre les deux modes place l'assemblage très clairement dans le cas ductile. Il n'y a aucune ambiguïté à lever.
Impact sur la suite : La capacité d'un boulon vaut donc 101,6 kN, et celle du groupe s'obtient par simple multiplication puisque tous les boulons ont ici la même disposition.
Cohérence : Si les pinces différaient d'un boulon à l'autre — cas fréquent avec des boulons de rive —, la somme autorisée par la clause donnerait davantage que le produit par la plus petite valeur.
Attention : On somme d'ordinaire sans jamais citer l'article 3.7. Le fond est juste, mais une note de calcul doit justifier ce qu'elle fait, pas seulement le faire correctement.
Comparaison : Avec des couvre-joints de 5 mm, \( F_{\text{b},\text{Rd}} \) tomberait à 94,9 kN — la condition resterait satisfaite. Il faudrait des tôles bien plus épaisses pour que le cisaillement devienne gouvernant.

Remarque pédagogique : La clause de l'article 3.7 a une conséquence pratique qu'on exploite rarement et qui vaut d'être signalée. Dans un groupe réel, les boulons d'extrémité ont une pince \( e_1 \) qui leur donne un \( \alpha_{\text{b}} \) différent de celui des boulons intérieurs, gouvernés par l'entraxe \( p_1 \). Leurs résistances à la pression diffèrent donc, souvent de 10 à 20 %. Le calcul courant retient la plus faible pour tous, par commodité — c'est ce qui est fait ici. Mais la clause autorise formellement à sommer les valeurs réelles, boulon par boulon, dès lors que le cisaillement ne gouverne pas. Sur un assemblage tendu où l'on cherche à économiser un boulon, ce raffinement peut suffire à faire passer la vérification sans rien changer à la géométrie. Il demande simplement de tenir un petit tableau plutôt qu'un seul chiffre — et il illustre bien que les clauses les plus techniques de l'Eurocode ne sont pas toujours des contraintes : certaines sont des autorisations qu'on oublie d'utiliser.

Combien de boulons de chaque côté du joint

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le résultat opérationnel de tout ce qui précède, et parce que son unité — des boulons par côté — est ce qu'on perd de vue.

Méthodologie du calcul :

On divise l'effort à transmettre par la capacité d'un boulon, on arrondit à l'entier supérieur, puis on retient un nombre pair pour la symétrie.

Substitution : \( N_{\text{Ed}} = 450\ \text{kN} \) et \( F_{\text{boulon},\text{Rd}} = 101{,}6\ \text{kN} \), résistance à la pression diamétrale établie en question 1.
Piège évité : Prendre le résultat pour un nombre total. L'effort traverse deux groupes successifs : le nombre obtenu est celui de chaque côté.
Hypothèse validée : L'effort est supposé se répartir uniformément entre les boulons d'un même groupe. Hypothèse valable pour un assemblage court, vérifiée à l'étape suivante.
Vérification croisée : Contrôle par le sens inverse : \( 5 \times 101{,}6 = \mathbf{507{,}8\ \text{kN}} \ \gt \ 450 \). Cinq boulons suffisent, quatre non.
Finalité : Fixer le nombre de boulons de chaque côté et le nombre total de l'assemblage.

\[ \begin{aligned} n &\ge \frac{N_{\text{Ed}}}{F_{\text{boulon},\text{Rd}}} \\ &\ge \frac{450}{101{,}6} = 4{,}43 \\ &\Rightarrow \ n = 5 \ \text{minimum, soit} \ \mathbf{6} \ \text{par cote} \\ &\Rightarrow \ n_{\text{total}} = 2 \times 6 = \mathbf{12} \ \text{boulons} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Il faut 5 boulons par côté au minimum, et l'on en retiendra 6 pour la symétrie — soit 12 au total. Conclure à 6 puis en proposer 8 au total revient à n'en mettre que 4 par côté.

Ordre de grandeur : Six boulons M20 par côté, disposés en 3 rangées de 2, occupent une longueur de 2 × 60 = 120 mm plus les pinces. L'éclisse reste compacte.
Impact sur la suite : Avec 6 boulons par côté, la capacité du groupe atteint \( 6 \times 101{,}6 = \mathbf{609{,}3\ \text{kN}} \), soit un taux de 0,74 : marge confortable.
Cohérence : L'hésitation entre « minimum de 5 boulons » et « minimum de 6 » se rencontre souvent : le premier est le résultat de la division, le second l'arrondi pair de symétrie.
Attention : Le résultat de la division n'a de sens que rapporté à un côté du joint. C'est une unité, pas un détail de rédaction, et c'est elle qui se perd.
Comparaison : Pour \( N_{\text{Ed}} = 800\ \text{kN} \), il faudrait \( 800/101{,}6 = 7{,}88 \), soit 8 boulons par côté et 16 au total.

Remarque pédagogique : La confusion entre le nombre par côté et le nombre total est l'une des erreurs les plus faciles à commettre en assemblage, et l'une des plus difficiles à repérer en relecture, parce que les deux chiffres sont du même ordre et que le second paraît toujours plus rassurant. La parade tient en un geste : dessiner le cheminement de l'effort. On part de la pièce de gauche, on suit l'effort qui la quitte par un premier groupe de boulons, on traverse les couvre-joints, et l'on rejoint la pièce de droite par un second groupe. Deux passages, deux groupes, chacun devant reprendre la totalité. Le croquis prend dix secondes et il rend l'erreur impossible. C'est un rappel plus général : dans un calcul d'assemblage, la géométrie est rarement optionnelle. Presque toutes les erreurs qu'on rencontre — celle-ci, celle sur les pinces, celle sur la largeur du couvre-joint intérieur qu'on verra en question 4 — se voient sur un dessin à l'échelle et ne se voient sur aucune formule.

Les 4 boulons par côté annoncés sont-ils suffisants ?

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'on les déclare volontiers « largement suffisants » et qu'on fonde toute la suite sur cette disposition.

Méthodologie du calcul :

On calcule la capacité du groupe proposé et on la confronte à l'effort, puis on contrôle que l'assemblage retenu ne bascule pas dans le domaine des joints longs.

Substitution : Disposition retenue d'ordinaire : 4 boulons par côté, soit 2 rangées de 2, contre \( N_{\text{Ed}} = 450\ \text{kN} \).
Piège évité : Accepter la disposition sans la vérifier parce qu'elle est présentée comme acquise. Une disposition annoncée est une donnée à contrôler, pas un résultat.
Hypothèse validée : Le contrôle des joints longs est mené sur la disposition posée en question 1, avec \( p_1 = 60\ \text{mm} \). Sans \( p_1 \), ce contrôle est impossible.
Vérification croisée : Avec 6 boulons par côté en 3 rangées : \( L_{\text{j}} = 2 p_1 = 120\ \text{mm} \), à comparer à \( 15 d = 300\ \text{mm} \). Pas de réduction.
Finalité : Statuer sur la disposition proposée et retenir celle qui convient.

\[ \begin{aligned} \text{taux}_{4 \ \text{boulons}} &= \frac{N_{\text{Ed}}}{4 \, F_{\text{b},\text{Rd}}} \\ &= \frac{450}{4 \times 101{,}6} \\ &= \frac{450}{406{,}2} \\ &= \mathbf{1{,}11} \ \gt \ 1{,}00 \ \Rightarrow \ \textbf{INSUFFISANT} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les 4 boulons par côté annoncés donnent un taux de 1,11 : l'assemblage est insuffisant de 11 %. Il en faut 6, qui ramènent le taux à 0,74 et laissent 26 % de réserve.

Ordre de grandeur : Un dépassement de 11 % n'est pas spectaculaire, et c'est précisément ce qui le rend dangereux : rien dans le résultat ne saute aux yeux.
Impact sur la suite : Calculer ensuite la section nette « avec la disposition proposée, 4 boulons par côté » fait reposer toute la conclusion sur un assemblage non conforme.
Cohérence : Le contrôle des joints longs passe largement : \( 120\ \text{mm} \) contre un seuil de 300. Il faudrait six rangées pour s'en approcher.
Attention : Passer de 4 à 6 boulons par côté ne change pas le nombre de trous dans la section critique, qui reste de 2 — la section nette de la question 3 est donc inchangée.
Comparaison : Avec les coefficients usuels, \( F_{\text{b}} = 93{,}85 \), 4 boulons ne donneraient que 375,4 kN et le taux monterait à 1,20. L'insuffisance est encore plus nette.

Remarque pédagogique : Le dernier point de comparaison mérite d'être souligné, car il montre que l'erreur ne tient pas au désaccord sur \( \alpha_{\text{b}} \). Avec les coefficients usuels — \( k_1 = 2{,}5 \), \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}61 \), \( F_{\text{b},\text{Rd}} = 93{,}85\ \text{kN} \) — quatre boulons ne reprennent que 375,4 kN pour 450 appliqués, soit un taux de 1,20. L'assemblage déclaré « largement suffisant » est donc insuffisant de 20 % dans ce système de valeurs aussi. Il ne s'agit pas d'une divergence d'hypothèses mais d'une contradiction interne : le calcul donne correctement 5 ou 6 boulons, puis l'on en propose 4 par côté en croyant en proposer 8. La leçon est moins sur l'assemblage que sur la relecture : quand un calcul produit un nombre et qu'une phrase plus loin en utilise un autre, il faut toujours vérifier qu'ils désignent la même grandeur. Ici, les deux se comptaient en boulons, mais l'un par côté et l'autre au total.

RÉSULTAT FINAL

n = 6 boulons par côté

"Soit 12 au total — en proposer 8 revient à croire dépasser les 6 requis."

Question 3 : Section nette de la semelle et les deux résistances de l'article 6.2.3

Dans la tête de l'ingénieur

"Percer une tôle lui retire de la matière, mais l'article 6.2.3 ne se contente pas de cette évidence : il impose de calculer deux résistances et de retenir la plus petite. La résistance plastique de la section brute, gouvernée par \( f_{\text{y}} \), et la résistance ultime de la section nette, gouvernée par \( f_{\text{u}} \). On ne calcule d'ordinaire que la seconde. Le chiffre obtenu — 294 kN — se trouve être le bon, parce que c'est effectivement le minimum ici. Mais rien dans la démarche ne le garantissait, et l'ordre des deux valeurs dit quelque chose d'important sur la manière dont la pièce romprait."

Observation : On écrit \( N_{\text{net},\text{Rd}} \) et l'on s'arrête là. La norme parle de \( N_{\text{t},\text{Rd}} \), qui est le minimum de \( N_{\text{pl},\text{Rd}} \) et de \( N_{\text{u},\text{Rd}} \) — deux grandeurs, pas une.
Analyse du risque : Sur une pièce peu percée ou de nuance élevée, c'est la résistance plastique qui gouverne. Ne calculer que l'ultime donnerait alors une valeur trop forte, du côté du danger.
Choix stratégique : Calculer les deux, prendre le minimum, et lire leur ordre : il renseigne sur le caractère ductile ou fragile de la ruine annoncée.
Alternative : Le rapport \( N_{\text{pl},\text{Rd}}/N_{\text{u},\text{Rd}} \) se calcule directement : il vaut \( \dfrac{A f_{\text{y}} \gamma_{\text{M2}}}{0{,}9 A_{\text{net}} f_{\text{u}} \gamma_{\text{M0}}} \), soit 1,28 ici. Un rapport supérieur à 1 signale la rupture fragile.
Objectif visé : Obtenir la résistance de la semelle percée, et savoir de quelle manière elle céderait.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( N_{\text{pl},\text{Rd}} = 377{,}2 \) · \( N_{\text{u},\text{Rd}} = 294{,}0\ \text{kN} \) — l'ultime gouverne, rupture fragile

Rappel Théorique : Les deux résistances d'une section tendue percée

Une pièce tendue percée peut céder de deux façons : en s'allongeant plastiquement sur toute sa longueur, ou en rompant net au droit des trous. La norme exige d'examiner les deux et de retenir la plus faible.

La résistance plastique porte sur la section brute : \( N_{\text{pl},\text{Rd}} = A f_{\text{y}} / \gamma_{\text{M0}} \). Elle décrit la plastification générale de la pièce, un phénomène ductile qui s'accompagne d'un allongement visible.
La résistance ultime porte sur la section nette : \( N_{\text{u},\text{Rd}} = 0{,}9 A_{\text{net}} f_{\text{u}} / \gamma_{\text{M2}} \). Elle décrit la rupture locale au droit des trous, un phénomène fragile et sans avertissement.
La norme retient le minimum des deux : L'article 6.2.3 est explicite : pour une section avec trous, \( N_{\text{t},\text{Rd}} \) est la plus petite de \( N_{\text{pl},\text{Rd}} \) et \( N_{\text{u},\text{Rd}} \). Sans trous, seule la première existe.
Le coefficient 0,9 et le passage à γ_M2 ne sont pas fortuits : Le 0,9 couvre la concentration de contraintes autour des trous, et \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \) au lieu de 1,00 traduit qu'on vérifie une rupture et non une plastification.
Le diamètre à déduire est celui du trou, pas du boulon : \( d_0 = d + 2\ \text{mm} \) pour les diamètres courants. Employer \( d \) surestimerait l'aire nette de 10 % sur cette semelle.

Équations Fondamentales

Deux formules de résistance et une aire à établir. C'est la comparaison des deux résultats, plus que chacun pris isolément, qui porte l'information.

Aire nette et double vérification d'une section tendue :

Elles donnent la capacité de la pièce percée et le mode selon lequel elle céderait.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un assemblage parfaitement dimensionné du côté des boulons ne sert à rien si la pièce qu'il relie cède la première. Percer une semelle pour la raccorder l'affaiblit précisément là où on la sollicite le plus — c'est le paradoxe de tout assemblage boulonné.

Contexte de validité : L'aire nette se calcule sur la ligne de rupture la plus défavorable. Pour des trous alignés, c'est la coupe droite ; pour des trous en quinconce, une ligne brisée que l'article 6.2.2.2 traite spécifiquement.
Avantage : Les deux résistances se calculent indépendamment l'une de l'autre et n'exigent aucune donnée d'assemblage autre que le nombre de trous dans la section critique.
Paramètre clé : Le nombre de trous alignés. Passer de 2 à 1 trou dans la section critique ferait remonter la résistance de 294 à 355 kN, soit 21 % de plus.
Vérification : Le rapport des deux résistances se calcule directement : \( \dfrac{A f_{\text{y}} \gamma_{\text{M2}}}{0{,}9 A_{\text{net}} f_{\text{u}} \gamma_{\text{M0}}} = \mathbf{1{,}28} \), sans repasser par les valeurs absolues.
Limite : Cette vérification ne couvre pas le cisaillement de bloc de l'article 3.10.2, qui examine l'arrachement d'un pavé de tôle contenant tous les trous. Il exige la disposition complète.

\[ \begin{aligned} N_{\text{t},\text{Rd}} = \min\left(\frac{A \, f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \ ; \ \frac{0{,}9 \, A_{\text{net}} \, f_{\text{u}}}{\gamma_{\text{M2}}}\right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'ordre dans lequel se rangent les deux résistances n'est pas une curiosité de calcul : il décrit comment la pièce va se rompre, et c'est l'information la plus utile de toute la question. Si \( N_{\text{pl},\text{Rd}} \) est inférieure, la section brute plastifie d'abord : la pièce s'allonge visiblement, l'effort se redistribue, et la ruine s'annonce longuement avant de survenir. C'est la situation recherchée, celle qui laisse le temps de constater un problème. Si au contraire \( N_{\text{u},\text{Rd}} \) est inférieure — le cas ici — la section nette rompt avant que la section brute n'ait eu le temps de plastifier : la rupture est brutale, localisée, et rien ne la précède. C'est précisément pour éviter cette configuration que la conception en capacité impose \( N_{\text{pl},\text{Rd}} \le N_{\text{u},\text{Rd}} \) sur les éléments dissipatifs. Le rapport vaut ici 1,28 : la semelle percée de cet exercice romprait de manière fragile. Ce n'est pas interdit dans un bâtiment courant, mais c'est un fait qu'une note de calcul devrait mentionner — et qu'on ne peut même pas constater si l'on ne calcule qu'une des deux résistances.

Décomposition des termes :

\( A_{\text{net}} \) : aire nette de la section, déduction faite des trous de la ligne critique, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( N_{\text{pl},\text{Rd}} \) : résistance plastique de calcul de la section brute en traction, unité : \( \text{N} \)
\( N_{\text{u},\text{Rd}} \) : résistance ultime de calcul de la section nette au droit des trous, unité : \( \text{N} \)
\( N_{\text{t},\text{Rd}} \) : résistance de calcul en traction retenue, minimum des deux précédentes, unité : \( \text{N} \)
\( n_{\text{trous}} \) : nombre de trous coupés par la ligne de rupture la plus défavorable, unité : —
\( d_0 \) : diamètre du trou, supérieur de 2 mm à celui du boulon pour les diamètres courants, unité : \( \text{mm} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"On calcule la section nette, c'est la résistance en traction…"

L'approche d'ingénieur : La section nette donne une des deux résistances, pas la résistance. L'oubli est sans conséquence ici, où elle se trouve être la plus faible — mais cette coïncidence ne se reproduit pas toujours.

L'erreur : S'arrêter à \( N_{\text{u},\text{Rd}} \). La norme définit \( N_{\text{t},\text{Rd}} \) comme le minimum de deux grandeurs, et rien ne dit a priori laquelle gouverne.
La bonne méthode : Calculer les deux. \( N_{\text{pl},\text{Rd}} = 1\,605 \times 235 = \mathbf{377{,}2\ \text{kN}} \) et \( N_{\text{u},\text{Rd}} = \mathbf{294{,}0\ \text{kN}} \). Le minimum est bien l'ultime, mais on le sait maintenant.
L'astuce de pro : Le rapport se prévoit sans calcul détaillé : il vaut environ \( \dfrac{f_{\text{y}}}{0{,}8 f_{\text{u}}} \times \dfrac{A}{A_{\text{net}}} \). Dès que la section nette descend sous 78 % de la brute en S235, l'ultime gouverne.
Le moyen mnémotechnique : « Deux résistances, un minimum, et leur ordre parle. » Le minimum donne le chiffre ; l'ordre donne le mode de ruine.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Aires : en \( \text{mm}^2 \) tout au long du calcul, ce qui s'accorde directement avec des contraintes en MPa. La semelle brute fait 1 605 mm² et il faut en retirer 470,8.
Limites d'élasticité et de rupture : en MPa. Le S235 donne \( f_{\text{y}} = 235 \) et \( f_{\text{u}} = 360 \), soit un rapport de 1,53 — c'est ce rapport qui commande lequel des deux critères gouverne.
Coefficients partiels : sans dimension, mais différents pour les deux vérifications. \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \) pour la plastification, \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \) pour la rupture.
Diamètre du trou : en millimètres, et c'est bien \( d_0 = 22 \) qu'il faut déduire, non \( d = 20 \). L'écart représente 10 % de l'aire retirée.
Coefficient 0,9 : sans dimension, il minore la résistance ultime pour couvrir la concentration de contraintes au bord des trous. Il n'a pas d'équivalent dans la vérification plastique.

Trois étapes : l'aire nette de la semelle, les deux résistances de l'article 6.2.3, puis ce que leur ordre nous apprend sur le mode de ruine.

1. Résolution Numérique Ce que les trous retirent à la semelle

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule grandeur géométrique de la question, et qu'elle conditionne la résistance ultime.

Méthodologie du calcul :

On établit l'aire brute de la semelle, on identifie la ligne de rupture la plus défavorable et l'on en déduit l'aire nette.

Substitution : IPE 300 : \( b_{\text{f}} = 150\ \text{mm} \) et \( t_{\text{f}} = 10{,}7\ \text{mm} \), avec 2 trous de \( d_0 = 22\ \text{mm} \) sur la ligne critique.
Piège évité : Déduire le diamètre du boulon au lieu de celui du trou. L'écart de 2 mm par trou représente ici 42,8 mm², soit 10 % de l'aire retirée.
Hypothèse validée : Les boulons sont supposés alignés et non en quinconce. Une disposition en quinconce relèverait de l'article 6.2.2.2 et de sa correction en \( s^2/4p \).
Vérification croisée : L'aire brute recoupée sur le catalogue : la section entière de l'IPE 300 vaut 5 380 mm², dont 2 × 1 605 = 3 210 pour les deux semelles, soit 59,7 %.
Finalité : Disposer de l'aire qui entrera dans la résistance ultime.

\[ \begin{aligned} A_{\text{net}} &= b_{\text{f}} \, t_{\text{f}} - n_{\text{trous}} \, d_0 \, t_{\text{f}} \\ &= 150 \times 10{,}7 - 2 \times 22 \times 10{,}7 \\ &= 1\,605 - 470{,}8 \\ &= \mathbf{1\,134{,}2} \ \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'aire nette vaut 1 134,2 mm², soit 70,7 % de l'aire brute. Les trous retirent donc près d'un tiers de la matière de la semelle.

Ordre de grandeur : Perdre 29 % de section est considérable, et c'est le prix normal de deux files de boulons sur une semelle de 150 mm : les deux trous occupent 44 mm sur 150.
Impact sur la suite : C'est ce rapport de 0,707 qui décidera lequel des deux critères de l'article 6.2.3 gouverne. Le seuil se situe autour de 0,78 en S235.
Cohérence : Le contrôle du catalogue confirme les dimensions : IPE 300, \( b = 150 \), \( t_{\text{f}} = 10{,}7 \), et l'aire totale recalculée à partir des cotes tombe à 0,02 % de la valeur tabulée.
Attention : Le nombre de trous à déduire est celui de la ligne critique, pas du groupe entier. Passer de 4 à 6 boulons par côté ne change rien ici, puisque la ligne critique en coupe toujours 2.
Comparaison : Avec une seule file de boulons, l'aire nette monterait à 1 369,6 mm² et la résistance ultime à 355 kN — 21 % de plus, pour un éclissage simplement plus long.

Remarque pédagogique : Le fait que le nombre de trous à déduire soit celui de la ligne critique et non du groupe entier est une source de confusion fréquente, et il vaut la peine de bien voir pourquoi. Une pièce tendue ne rompt pas en tous ses points : elle rompt sur une section, celle où l'aire résistante est minimale. Ajouter des boulons dans le sens de l'effort — donc des rangées supplémentaires — ne modifie en rien cette section critique, puisque chaque rangée nouvelle crée sa propre coupe, aussi affaiblie mais pas davantage. En revanche, ajouter des boulons en travers — une file supplémentaire — augmente le nombre de trous sur une même coupe et affaiblit directement la section. Il en découle une règle de conception simple et souvent décisive : quand une pièce tendue bute sur sa section nette, il faut allonger l'assemblage plutôt que l'élargir. C'est exactement la solution que l'on suggère volontiers — « 3 rangées de 2 boulons au lieu de 2 rangées de 4 » — et elle est parfaitement juste, même si elle ne change rien dans le cas présent, où la ligne critique coupe déjà seulement 2 trous.

Ce que l'article 6.2.3 demande vraiment

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la norme définit la résistance en traction comme un minimum de deux grandeurs, et qu'on n'en calcule d'ordinaire qu'une.

Méthodologie du calcul :

On calcule la résistance plastique de la section brute et la résistance ultime de la section nette, puis on retient la plus petite des deux.

Substitution : \( A = 1\,605\ \text{mm}^2 \) avec \( f_{\text{y}} = 235 \) et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \) ; \( A_{\text{net}} = 1\,134{,}2\ \text{mm}^2 \) avec \( f_{\text{u}} = 360 \) et \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \).
Piège évité : Employer \( \gamma_{\text{M0}} \) pour les deux, ou \( f_{\text{y}} \) sur la section nette. Chaque vérification a son couple : plastification avec \( f_{\text{y}} \) et 1,00, rupture avec \( f_{\text{u}} \) et 1,25.
Hypothèse validée : L'article 6.2.3 est cité verbatim par le SCI P362 : « For sections with holes \( N_{\text{t},\text{Rd}} \) should be taken as the smaller of \( N_{\text{pl},\text{Rd}} \) and \( N_{\text{u},\text{Rd}} \) ».
Vérification croisée : Le rapport se recalcule sans passer par les valeurs : \( \dfrac{235 \times 1{,}25}{0{,}9 \times 360 \times 0{,}707} = \mathbf{1{,}28} \), identique au quotient des deux résistances.
Finalité : Obtenir la résistance de calcul de la semelle et savoir laquelle des deux vérifications la gouverne.

\[ \begin{aligned} N_{\text{t},\text{Rd}} &= \min\left(\frac{A \, f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \ ; \ \frac{0{,}9 \, A_{\text{net}} \, f_{\text{u}}}{\gamma_{\text{M2}}}\right) \\ &= \min\left(\frac{1\,605 \times 235}{1{,}00} \ ; \ \frac{0{,}9 \times 1\,134{,}2 \times 360}{1{,}25}\right) \\ &= \min(377\,175 \ ; \ 293\,977) \ \text{N} \\ &= \mathbf{294{,}0} \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La résistance retenue vaut 294,0 kN, gouvernée par la section nette. Le chiffre est juste — mais on ne peut le savoir qu'après avoir calculé l'autre branche.

Ordre de grandeur : La résistance ultime ne vaut que 78 % de la plastique, alors que \( f_{\text{u}} \) dépasse \( f_{\text{y}} \) de 53 %. Le coefficient 0,9, le \( \gamma_{\text{M2}} \) de 1,25 et la perte de 29 % de section se cumulent.
Impact sur la suite : C'est 294 kN qui sera confronté à l'effort en question 4. Encore faut-il savoir quel effort — et c'est précisément la donnée qui manque.
Cohérence : Le rapport de 1,28 se retrouve par deux voies indépendantes : le quotient des résistances et l'expression littérale. Les deux concordent à la troisième décimale.
Attention : Si la semelle était en S355, \( f_{\text{y}} = 355 \) et \( f_{\text{u}} = 490 \) : le rapport monterait à 1,42. Monter en nuance aggrave le caractère fragile de la ruine.
Comparaison : Sans les trous, la semelle résisterait à 377,2 kN. Les percer coûte donc 83 kN, soit 22 % de la capacité — pour un affaiblissement géométrique de 29 %.

Remarque pédagogique : Le seuil qui décide lequel des deux critères gouverne se calcule une fois pour toutes et mérite d'être retenu. La résistance ultime devient inférieure à la plastique dès que \( \dfrac{A_{\text{net}}}{A} \lt \dfrac{f_{\text{y}} \gamma_{\text{M2}}}{0{,}9 f_{\text{u}} \gamma_{\text{M0}}} \). En S235 avec les coefficients français, cela donne \( 235 \times 1{,}25 / (0{,}9 \times 360) = \mathbf{0{,}907} \) — autrement dit, il suffit que les trous retirent plus de 9 % de la section pour que la rupture fragile gouverne. C'est très peu : un seul trou de 22 mm sur une semelle de 150 suffit déjà largement. En pratique, sur toute pièce tendue réellement boulonnée, c'est donc presque toujours la section nette qui décide, et l'on comprend pourquoi tant de calculs se contentent de la vérifier. Cette habitude est statistiquement défendable, mais elle cesse de l'être sur les pièces peu percées — un tirant à œil, une barre soudée avec un seul trou de montage — où le critère plastique reprend la main. Connaître le seuil dispense d'avoir à se demander lequel appliquer.

Ce que l'ordre des deux résistances signifie

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'information la plus utile de la question, et qu'elle n'apparaît que si l'on a calculé les deux valeurs.

Méthodologie du calcul :

On compare la résistance plastique à la résistance ultime et l'on en déduit le caractère ductile ou fragile de la ruine annoncée.

Substitution : \( N_{\text{pl},\text{Rd}} = 377{,}2\ \text{kN} \) contre \( N_{\text{u},\text{Rd}} = 294{,}0\ \text{kN} \), soit un rapport de 1,28.
Piège évité : Prendre ce critère pour une obligation générale. Il relève de la conception en capacité, c'est-à-dire de l'EN 1998 en zone sismique — pas de la vérification courante d'un bâtiment.
Hypothèse validée : L'EN 1998 ne s'applique pas hors zone sismique. Le critère est donc présenté comme une observation de comportement, non comme une prescription à respecter.
Vérification croisée : Le rapport de 1,28 est très supérieur à 1 : il n'y a aucune ambiguïté sur le mode de ruine. Un rapport proche de l'unité laisserait la question ouverte.
Finalité : Qualifier le comportement de la semelle percée, information qu'une note de calcul devrait porter.

\[ \begin{aligned} \frac{N_{\text{pl},\text{Rd}}}{N_{\text{u},\text{Rd}}} &= \frac{377{,}2}{294{,}0} \\ &= \mathbf{1{,}28} \ \gt \ 1 \\ &\Rightarrow \ \textbf{rupture FRAGILE au droit des trous} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La résistance plastique dépasse l'ultime de 28 % : la semelle romprait au droit des trous avant d'avoir plastifié sur sa section brute. La ruine serait fragile, sans déformation annonciatrice.

Ordre de grandeur : Le rapport de section nette vaut 0,707 pour un seuil de 0,907. On est très loin du domaine ductile, et il faudrait réduire les trous à moins d'un dixième de la section pour y revenir.
Impact sur la suite : Cette observation ne change pas le chiffre de la vérification, mais elle devrait figurer dans la note : elle qualifie le risque plutôt qu'elle ne le mesure.
Cohérence : Ne calculer que \( N_{\text{u},\text{Rd}} \) interdit cette observation : on conclut correctement sur le chiffre et l'on passe à côté de l'information sur le comportement.
Attention : Ce critère n'est pas une obligation en bâtiment courant. Le signaler comme telle serait une erreur symétrique de celle qui consiste à l'ignorer.
Comparaison : Une pièce soudée, sans aucun trou, aurait \( N_{\text{t},\text{Rd}} = N_{\text{pl},\text{Rd}} = 377{,}2\ \text{kN} \) et une ruine pleinement ductile. C'est l'un des arguments structurels en faveur de la soudure.

Remarque pédagogique : Il faut se garder de deux excès symétriques sur ce critère. Le premier consiste à l'ignorer : on perd alors une information réelle sur le comportement de la pièce, et l'on ne peut pas distinguer un assemblage qui préviendra d'un assemblage qui cassera net. Le second consiste à en faire une prescription générale et à rejeter tout assemblage où \( N_{\text{pl},\text{Rd}} \) dépasse \( N_{\text{u},\text{Rd}} \) — ce qui reviendrait à condamner la quasi-totalité des assemblages boulonnés en traction, puisque le seuil de 0,907 est franchi dès le premier trou. La position juste est intermédiaire : le critère est une exigence de conception en capacité, qui s'impose sur les éléments dissipatifs d'une structure parasismique et dans quelques situations où la ductilité est explicitement recherchée. Ailleurs, il reste une information qu'une note de calcul soignée mentionne sans en faire un verdict. L'EN 1998 ne s'appliquant pas ici, il est ici présenté ainsi — signalé, chiffré, mais non imposé.

ARTICLE 6.2.3 — DEUX RÉSISTANCES, ON RETIENT LA PLUS PETITE

RÉSULTAT FINAL

\( N_{\text{t},\text{Rd}} \) = 294,0 kN

"C'est la section nette qui gouverne — encore fallait-il calculer les deux."

Question 4 : Couvre-joints, la donnée manquante et le verdict

Dans la tête de l'ingénieur

"Il reste deux choses à faire, et la seconde décide de tout. La première est de vérifier les couvre-joints, ce qui se mène avec une arithmétique exacte mais une géométrie irréalisable : le couvre-joint intérieur, placé sous la semelle supérieure, ne peut pas faire 150 mm de large puisqu'il doit dégager l'âme et ses congés. La seconde est de répondre à la question qu'on ne pose jamais : ces 450 kN sont-ils l'effort de la semelle seule, ou celui de la membrure IPE 300 entière ? Les deux lectures donnent des verdicts opposés."

Observation : Une semelle d'IPE 300 ne représente que 29,8 % de la section du profilé. Faire porter à cette seule semelle la totalité de l'effort de membrure n'a aucun sens mécanique.
Analyse du risque : Le verdict bascule de 1,53 à 0,46 selon la lecture. Aucune correction de calcul n'a un tel effet : c'est la donnée manquante qui décide.
Choix stratégique : Traiter les deux lectures et dire laquelle est mécaniquement cohérente, plutôt que d'en choisir une silencieusement.
Alternative : Un éclissage de membrure complet reprend l'effort proportionnellement aux aires : les semelles en portent 59,7 % et l'âme 40,3 %. Cette dernière doit donc être éclissée elle aussi, ce qu'on n'évoque jamais.
Objectif visé : Conclure sur les couvre-joints, trancher la question des 450 kN, et déclarer ce que la note ne couvre pas.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Couvre-joints : 453,3 kN et non 549,5 · verdict selon la lecture : 1,53 ou 0,46

Rappel Théorique : Éclissage complet d'une membrure et règle de l'éclisse

Un éclissage doit reprendre l'effort là où il passe, et dans les proportions où il passe. C'est ce qui commande à la fois le dimensionnement des couvre-joints et la répartition entre semelles et âme.

L'effort se répartit dans une section proportionnellement aux aires : Sous traction centrée et contrainte uniforme, chaque fibre porte la même contrainte. Une semelle d'IPE 300 représente 29,8 % de l'aire, elle porte donc 29,8 % de l'effort.
Un éclissage complet couvre toutes les parties de la section : Éclisser les seules semelles laisse l'âme — 40,3 % de la section — sans continuité mécanique. Un éclissage de membrure comporte donc toujours des couvre-joints d'âme.
L'éclisse doit être au moins aussi résistante que la pièce éclissée : Règle de bonne pratique, non de norme : l'aire nette cumulée des couvre-joints doit dépasser celle de la pièce, afin que la ruine éventuelle survienne dans la pièce et non dans l'organe de raccordement.
Le couvre-joint intérieur est contraint par la géométrie du profilé : Placé sous la semelle, il doit dégager l'âme et ses congés de raccordement. Sur un IPE 300, il ne reste que 2 × 56,45 mm utilisables au lieu de 150.
Un couvre-joint unique introduit une excentricité : L'effort ne passe plus dans le plan de la semelle : un moment secondaire apparaît. C'est pourquoi l'éclissage symétrique à deux couvre-joints est préféré, et c'est ce qui est retenu ici.

Équations Fondamentales

Une formule déjà connue, appliquée à une géométrie qu'il faut d'abord établir, puis un simple partage proportionnel. La difficulté est de savoir ce qu'on partage.

Résistance des couvre-joints et répartition dans la membrure :

Elles bouclent la vérification de l'éclisse et situent l'effort dans la section.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un éclissage n'est pas seulement un assemblage de boulons : c'est un chemin de reprise complet, qui va d'une pièce à l'autre en passant par des tôles intermédiaires. Chaque maillon de ce chemin doit être vérifié, et la géométrie réelle des tôles n'est pas négociable.

Contexte de validité : La sommation des deux couvre-joints suppose qu'ils se partagent l'effort proportionnellement à leurs aires. C'est vrai s'ils sont de même nuance et symétriquement disposés.
Avantage : La règle de l'éclisse plus forte que la pièce est un contrôle immédiat : il suffit de comparer deux aires nettes, sans passer par les résistances.
Paramètre clé : La largeur utilisable du couvre-joint intérieur, \( (b_{\text{f}} - t_{\text{w}})/2 - r \) de chaque côté de l'âme. Elle ne se lit sur aucune formule : seul un croquis à l'échelle la révèle.
Vérification : L'aire nette cumulée des couvre-joints doit dépasser celle de la semelle : \( 1\,749 / 1\,134 = \mathbf{1{,}54} \). La règle reste satisfaite malgré la correction.
Limite : Cette vérification ne couvre pas le cisaillement de bloc des couvre-joints, ni leur flambement entre boulons si l'effort venait à s'inverser en compression.

\[ \begin{aligned} b_{\text{p},\text{int}} = 2\left(\frac{b_{\text{f}} - t_{\text{w}}}{2} - r\right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? La contrainte géométrique du couvre-joint intérieur est un bon exemple de ce qu'aucune formule ne signale et que seul un dessin révèle. Un couvre-joint extérieur se pose librement sur la face supérieure de la semelle : rien ne l'empêche de faire toute la largeur du profilé. Le couvre-joint intérieur, en revanche, se glisse sous cette même semelle, à l'intérieur de la section — et il y rencontre l'âme, qui monte au milieu, flanquée de ses deux congés de raccordement. Sur un IPE 300, l'âme fait 7,1 mm et les congés 15 mm de rayon : il ne reste donc que \( (150 - 7{,}1)/2 - 15 = 56{,}45\ \text{mm} \) de plat de chaque côté. Le couvre-joint intérieur ne peut être qu'une paire de bandes totalisant 112,9 mm, soit trois quarts de la largeur supposée. Cette contrainte n'est pas un raffinement : elle retire 18 % de l'aire nette de l'éclisse. Et elle est parfaitement invisible dans le calcul — la formule \( 2 \times (b_{\text{p}} t_{\text{p}} - n d_0 t_{\text{p}}) \) accepte sans broncher un \( b_{\text{p}} \) de 150 mm qui ne rentre pas.

Décomposition des termes :

\( b_{\text{p},\text{int}} \) : largeur totale utilisable pour le couvre-joint intérieur, en deux bandes, unité : \( \text{mm} \)
\( t_{\text{w}} \), \( r \) : épaisseur d'âme et rayon de congé du profilé éclissé, unité : \( \text{mm} \)
\( A_{\text{net},\text{cj}} \) : aire nette cumulée des couvre-joints intérieur et extérieur, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( N_{\text{semelle}} \) : part de l'effort de membrure revenant à une semelle, unité : \( \text{kN} \)
\( A \) : aire de la section complète du profilé éclissé, unité : \( \text{mm}^2 \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Les deux couvre-joints font 150 mm de large comme la semelle…"

L'approche d'ingénieur : L'hypothèse est naturelle et se pose volontiers sans examen. Elle vaut pour le couvre-joint extérieur ; elle est impossible pour l'intérieur, et rien dans la formule ne le signale.

L'erreur : Retenir \( b_{\text{p}} = 150\ \text{mm} \) pour les deux tôles. La tôle intérieure bute sur l'âme et ses congés : elle ne dispose que de 2 × 56,45 = 112,9 mm.
La bonne méthode : Calculer la largeur disponible par \( (b_{\text{f}} - t_{\text{w}})/2 - r \) de chaque côté, et traiter le couvre-joint intérieur comme deux bandes distinctes. L'aire nette cumulée tombe de 2 120 à 1 749 mm².
L'astuce de pro : Dessiner la coupe à l'échelle avant de calculer. Cette erreur — comme celle sur le nombre de boulons par côté — se voit sur un croquis et sur aucune formule.
Le moyen mnémotechnique : « Dedans, l'âme prend la place. » Tout ce qui se glisse à l'intérieur d'un profilé en I doit composer avec l'âme et ses congés.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Largeurs : en millimètres. Le calcul de la largeur intérieure disponible fait intervenir le rayon de congé \( r \), donnée du catalogue qu'on oublie facilement de relever.
Aires nettes : en \( \text{mm}^2 \), cumulées sur les deux couvre-joints. Il faut sommer les aires avant de calculer la résistance, ou sommer les résistances — les deux voies sont équivalentes.
Part de l'effort : le rapport de deux aires est sans dimension, et il se multiplie directement par l'effort en kilonewtons pour donner la part d'une semelle.
Taux de travail : quotient de deux forces, sans dimension. Il vaut 1,53 ou 0,46 selon ce que représentent les 450 kN — un facteur 3,4 entre les deux lectures.
Rapport des aires nettes : sans dimension lui aussi, il mesure directement si l'éclisse est plus forte que la pièce. Il doit dépasser 1,0 et vaut ici 1,54.

Trois étapes : la géométrie réelle des couvre-joints et leur résistance, la question des 450 kN et ses deux réponses, puis le verdict et le périmètre de la note.

1. Résolution Numérique La largeur que l'âme laisse disponible

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'hypothèse courante sur la largeur du couvre-joint intérieur est géométriquement impossible, et qu'elle surestime l'éclisse de 18 %.

Méthodologie du calcul :

On calcule la largeur libre de chaque côté de l'âme, on en déduit l'aire nette cumulée des deux couvre-joints, puis leur résistance.

Substitution : IPE 300 : \( b_{\text{f}} = 150 \), \( t_{\text{w}} = 7{,}1 \) et \( r = 15\ \text{mm} \), avec des couvre-joints de \( t_{\text{p}} = 10\ \text{mm} \).
Piège évité : Oublier le congé de raccordement. Ne déduire que l'âme laisserait 71,45 mm de chaque côté au lieu de 56,45 : l'erreur serait de 30 mm sur la largeur totale.
Hypothèse validée : Le couvre-joint extérieur est supposé faire toute la largeur de la semelle, soit 150 mm : rien ne l'en empêche puisqu'il se pose sur la face supérieure.
Vérification croisée : La largeur intérieure disponible représente \( 112{,}9/150 = \mathbf{75\ \%} \) de celle supposée. L'aire nette cumulée chute dans une proportion voisine.
Finalité : Obtenir la résistance réelle de l'éclisse et vérifier qu'elle reste supérieure à celle de la pièce.

\[ \begin{aligned} N_{\text{u},\text{Rd},\text{cj}} &= \frac{0{,}9 \, A_{\text{net},\text{cj}} \, f_{\text{u}}}{\gamma_{\text{M2}}} \\ &= \frac{0{,}9 \times (689 + 1\,060) \times 360}{1{,}25} \\ &= \frac{0{,}9 \times 1\,749 \times 360}{1{,}25} \\ &= \mathbf{453{,}3} \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'aire nette cumulée vaut 1 749 mm² et non 2 120, soit 18 % de moins. La résistance des couvre-joints tombe de 549,5 à 453,3 kN. L'arithmétique est exacte ; c'est sa géométrie ne l'est pas.

Ordre de grandeur : Le couvre-joint intérieur ne dispose que de 75 % de la largeur supposée. C'est une contrainte de montage, invisible dans toute formule.
Impact sur la suite : La règle de bonne pratique reste satisfaite : \( 1\,749/1\,134 = \mathbf{1{,}54} \). L'éclisse demeure plus forte que la pièce éclissée, ce qui est l'essentiel.
Cohérence : Avec l'hypothèse courante, le rapport vaudrait 1,87. Il tombe à 1,54 — la correction réduit la marge sans changer la conclusion sur ce point précis.
Attention : L'oubli du congé serait une seconde erreur, en sens inverse : il donnerait 71,45 mm au lieu de 56,45 de chaque côté, soit 30 mm de trop sur la largeur totale.
Comparaison : Pour compenser la perte, il suffirait de porter le couvre-joint extérieur à 14 mm d'épaisseur au lieu de 10, sans toucher à l'intérieur. La parade est simple une fois le problème vu.

Remarque pédagogique : Cette contrainte de montage a une conséquence pratique qui explique une disposition courante en charpente. Puisque le couvre-joint intérieur ne peut jamais couvrir toute la largeur d'une semelle de profilé en I, on renonce souvent à la symétrie parfaite et l'on épaissit le couvre-joint extérieur pour rattraper la différence — ce qui introduit une légère excentricité mais reste très acceptable. Une autre solution, employée sur les assemblages fortement chargés, consiste à porter la largeur du couvre-joint extérieur au-delà de celle de la semelle, en débordant de part et d'autre : la tôle extérieure n'étant contrainte par rien, elle peut faire 200 ou 250 mm si la place le permet. Enfin, sur les profilés à âme épaisse ou à congés généreux — les HEM, par exemple — la perte de largeur intérieure devient telle qu'on abandonne le couvre-joint intérieur et qu'on double simplement la tôle extérieure. Dans les trois cas, la décision se prend sur un croquis à l'échelle, jamais sur une feuille de calcul.

Ces 450 kN sont-ils l'effort de la semelle ou de la membrure ?

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule question qui décide du verdict, et qu'on ne la pose jamais.

Méthodologie du calcul :

On établit la part d'une semelle dans la section de l'IPE 300, puis on calcule le taux de travail sous chacune des deux lectures possibles.

Substitution : Aire d'une semelle \( 1\,605\ \text{mm}^2 \) sur une section totale de \( 5\,380\ \text{mm}^2 \), et \( N_{\text{t},\text{Rd}} = 294{,}0\ \text{kN} \) établie en question 3.
Piège évité : Trancher silencieusement, en comparant 450 kN à la section nette d'une seule semelle. Une hypothèse implicite ne peut pas être discutée.
Hypothèse validée : Le partage proportionnel aux aires suppose une traction centrée et une contrainte uniforme dans la section. C'est le cas d'une membrure de treillis correctement conçue.
Vérification croisée : Les deux semelles portent \( 2 \times 29{,}8 = 59{,}7\ \% \) et l'âme avec ses congés 40,3 %. La somme fait bien 100 %.
Finalité : Expliciter les deux réponses possibles et dire laquelle est mécaniquement cohérente.

\[ \begin{aligned} \frac{\text{taux (b)}}{\text{taux (a)}} &= \frac{450/294{,}0}{450 \times 0{,}298/294{,}0} \\ &= \frac{1{,}53}{0{,}46} \\ &= \mathbf{3{,}35} \\ &\Rightarrow \ \textbf{deux verdicts OPPOSES} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Si les 450 kN sont l'effort de la membrure, l'éclissage d'une semelle n'en transmet que 134,2 et le taux vaut 0,46 : conforme. S'ils sont l'effort de la semelle, le taux vaut 1,53 : non conforme. Un facteur 3,4 entre les deux.

Ordre de grandeur : Une semelle d'IPE 300 ne porte que 29,8 % de la section. Lui faire porter la totalité de l'effort de membrure revient à ignorer les deux tiers du profilé.
Impact sur la suite : Sous la lecture (a), l'âme porte 40,3 % de l'effort et doit être éclissée elle aussi — vérification presque toujours absente et non menée ici, faute de données.
Cohérence : On lit « l'éclissage de la semelle supérieure d'une poutre en treillis. La semelle est constituée d'un profilé IPE 300 ». La formulation elle-même est contradictoire : une semelle n'est pas un profilé.
Attention : La lecture (b) n'est pas absurde : on peut concevoir une membrure faite d'un IPE dont seule la semelle est reprise, l'âme n'étant pas continue. Mais alors l'assemblage est bel et bien insuffisant.
Comparaison : Pour que la lecture (b) passe, il faudrait une semelle de 16,4 mm d'épaisseur au lieu de 10,7, à largeur égale — ou n'aligner qu'un seul trou, ce qui donnerait 355 kN, encore insuffisants.

Remarque pédagogique : Cette ambiguïté n'est pas un simple défaut de rédaction : elle porte sur ce qui structure tout l'exercice. Sa phrase — « la semelle est constituée d'un profilé IPE 300 » — est en elle-même contradictoire, puisqu'une semelle est une partie d'un profilé, pas un profilé. La lecture la plus naturelle est que la membrure de treillis est un IPE 300 portant 450 kN, et que l'exercice s'intéresse à l'éclissage de sa semelle supérieure. Dans ce cas, cet éclissage ne transmet que 134,2 kN, tout passe largement, et il resterait à traiter l'âme — soit 40,3 % de l'effort, c'est-à-dire 181 kN, jamais évoqués. La lecture alternative, celle que l'on applique de fait, suppose que la semelle porte seule les 450 kN ; elle est mécaniquement concevable mais laisse sans emploi les deux tiers de la section. Aucune des deux ne peut être écartée à partir du texte fourni, et c'est le vrai enseignement de cette question : une donnée manquante coûte plus cher que dix erreurs de calcul, parce qu'elle ne se corrige pas — elle se demande.

Ce qui est établi et ce qui reste ouvert

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une note de calcul doit dire ce qu'elle conclut, sous quelles hypothèses, et ce qu'elle laisse de côté.

Méthodologie du calcul :

On rassemble les résultats des trois questions précédentes, on énonce le verdict sous chaque lecture, puis on recense les vérifications non menées.

Substitution : Boulons : 6 par côté requis contre 4 proposés. Semelle : \( N_{\text{t},\text{Rd}} = 294{,}0\ \text{kN} \). Couvre-joints : \( 453{,}3\ \text{kN} \).
Piège évité : Conclure sur le seul critère habituellement examiné. Trois vérifications distinctes ont été menées, et l'une d'elles échoue indépendamment de la lecture retenue : le nombre de boulons.
Hypothèse validée : Toutes les conclusions reposent sur la disposition posée en question 1 — \( e_1 = 45 \), \( e_2 = 40 \), \( p_1 = 60 \), \( p_2 = 70\ \text{mm} \) — qui ne figure pas dans les données.
Vérification croisée : La hiérarchie des résistances est cohérente : couvre-joints 453,3 kN > semelle 294,0 kN. Le maillon faible est bien la pièce principale, comme il se doit.
Finalité : Livrer une conclusion assortie de ses hypothèses et de ses limites.

\[ \begin{aligned} \text{synthese des taux} &: \ \text{boulons, 4 par cote} = 1{,}11 \ \Rightarrow \ \textbf{insuffisant} \\ &\quad \text{semelle, lecture (a)} = 0{,}46 \ \Rightarrow \ \text{conforme} \\ &\quad \text{semelle, lecture (b)} = 1{,}53 \ \Rightarrow \ \text{non conforme} \\ &\quad \text{couvre-joints} = 0{,}65 \ \Rightarrow \ \text{conforme} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le nombre de boulons est insuffisant dans tous les cas : il en faut 6 par côté et non 4. La semelle passe ou ne passe pas selon ce que représentent les 450 kN. Les couvre-joints conviennent, avec la géométrie corrigée.

Ordre de grandeur : Un seul des trois critères examinés échoue de manière certaine : le nombre de boulons. Les deux autres dépendent d'une donnée absente ou d'une géométrie à corriger.
Impact sur la suite : La correction est simple : porter l'assemblage à 6 boulons par côté, soit 12 au total, et épaissir le couvre-joint extérieur si l'on veut restaurer la marge de l'éclisse.
Cohérence : La hiérarchie des résistances est saine : l'éclisse est 1,54 fois plus forte que la pièce en aire nette. Une éclisse plus faible serait un défaut de conception.
Attention : Quatre vérifications restent hors périmètre, dont l'éclissage de l'âme — 40,3 % de la section — qui n'est jamais évoqué et qu'aucune donnée ne permet de mener.
Comparaison : Sous la lecture (a), l'âme porterait 181 kN. C'est plus que la part d'une semelle, et cela mériterait au moins autant d'attention.

Remarque pédagogique : Il faut recenser ce que cette note ne couvre pas, car la liste est longue et trois de ses quatre entrées tiennent à des données absentes. Le cisaillement de bloc de l'article 3.10.2, qui examine l'arrachement d'un pavé de tôle contenant tous les trous, exige la disposition complète et ne peut être mené que sur la géométrie posée en question 1 — il n'est donc pas chiffré ici. L'éclissage de l'âme, qui porte 40,3 % de la section sous la lecture (a), n'est évoqué nulle part dans les données : ni l'épaisseur de couvre-joint, ni le nombre de boulons ne sont donnés. Le critère de ductilité examiné en question 3 relève de l'EN 1998, hors du périmètre de l'étude, et il est signalé sans être imposé. Enfin les joints longs de l'article 3.8 ont été contrôlés sur la disposition posée et passent largement — 120 mm contre un seuil de 300 — mais ce contrôle serait impossible avec les seules données de les données, qui ne fournissent aucun entraxe. Une note qui énumère ainsi ses angles morts vaut mieux qu'une note qui conclut sans réserve : elle indique au lecteur suivant où porter son attention.

LE COUVRE-JOINT INTÉRIEUR NE PEUT PAS FAIRE 150 mm

RÉSULTAT FINAL

\( \text{verdict} \) = 0,46 ou 1,53 selon la lecture

"Une donnée manquante coûte plus cher que dix erreurs de calcul."

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

BILAN DES CALCULS

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cette étude, vérifiez que vous avez assimilé ce qui distingue une note d'assemblage complète d'une suite de vérifications :

J'ai posé explicitement la disposition des boulons, faute d'être donnée, et vérifié qu'elle respecte les minimums du tableau 3.3. J'ai justifié la sommation des résistances par l'article 3.7 avant de l'effectuer, au lieu de la supposer acquise. J'ai compté les boulons par côté du joint, en me rappelant que l'effort traverse deux groupes successifs. J'ai calculé les deux résistances de l'article 6.2.3 et lu ce que leur ordre dit du mode de ruine. J'ai vérifié que le couvre-joint intérieur rentre, en tenant compte de l'âme et de ses congés. J'ai traité les deux lectures de l'effort au lieu d'en choisir une silencieusement, et déclaré les vérifications hors périmètre.

Avis technique — éclissage ACCEPTÉ SOUS RÉSERVE, à six boulons par côté. Chaque M20 de classe 8.8 en double cisaillement résiste à 188,2 kN, mais la pression diamétrale sur la semelle de 10,7 mm plafonne à 101,6 kN : c'est elle qui gouverne, et le groupe se calcule alors comme la somme des résistances individuelles. Il faut donc six boulons par côté du joint, soit douze au total, pour un taux de 0,74. La disposition retenue satisfait les quatre exigences de pinces et d'entraxes, mais tout juste : la largeur occupée, 150 mm, égale exactement la largeur de semelle disponible. Deux réserves conditionnent cet avis. La section nette de la semelle ruine à 294,0 kN contre 377,2 en section brute, soit un rapport de ductilité de 1,28 : la rupture serait fragile, sans déformation annonciatrice, ce qui devrait conduire à élargir la semelle ou à réduire le diamètre. Et le couvre-joint intérieur ne peut pas mesurer 150 mm de large : la place réellement disponible entre congés n'est que de 112,9 mm. Une donnée manque pour conclure : les 450 kN ne sont pas rattachés à un élément précis — effort de la seule semelle ou de la membrure entière. Les deux lectures donnent des taux de 0,46 et 1,53, et cette cote doit être levée avant exécution.

La plus-value technique de cette étude tient précisément là : elle ne se contente pas de compter des boulons, elle désigne le mode de ruine gouvernant, contrôle la place réellement disponible, examine le caractère fragile ou ductile de la rupture, et nomme la donnée qui manque pour trancher.

Dimensionnement d'un éclissage de membrures

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Le premier mois à 1 €

Dimensionnement d'un éclissage de membrures

Contexte de l'Étude & Enjeux

EFFORT, PROFILÉ ET COUVRE-JOINTS

BOULONS, COEFFICIENTS ET DISPOSITION POSÉE

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Résistance d'un boulon — cisaillement et pression diamétrale

Question 2 : Groupe de fixations et nombre de boulons — par côté, pas au total

Question 3 : Section nette de la semelle et les deux résistances de l'article 6.2.3

Question 4 (Finale) : Couvre-joints, la donnée manquante et le verdict

Dimensionnement d'un éclissage de membrures

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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