Dimensionnement d'un Contreventement en Bois

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un portique bois reprend très mal les efforts horizontaux : ses assemblages sont trop souples pour former des encastrements. On le triangule donc par une croix de Saint-André, deux diagonales qui transforment la poussée du vent en efforts axiaux. Cet exercice traite un portique de halle de 7,00 m de haut sur 5,00 m de large, contreventé par des diagonales en lamellé-collé GL24h de 80 × 180 mm, sous une poussée de vent de 25 kN. Le point décisif n'est ni la trigonométrie ni la formule de flambement : c'est la longueur de flambement que l'on a le droit de retenir.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Un portique de halle de 7,00 m de haut sur 5,00 m de large, contreventé par une croix de Saint-André en 80 × 180 mm, GL24h, sous une poussée de vent de 25 kN.
Environnement : Halle industrielle fermée et chauffée, donc classe de service 1. L'action dominante est le vent, dont la classe de durée conditionne \( k_{\text{mod}} \).
L'objectif final : Établir la géométrie, l'effort axial dans la diagonale, son élancement, et vérifier sa stabilité au flambement selon le § 6.3.2 de l'EN 1995-1-1.
L'astuce de l'ingénieur : Dans une croix de Saint-André, les deux diagonales se croisent à mi-longueur. Les assembler en ce point divise par deux la longueur de flambement — mais encore faut-il l'écrire.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur structure et vous reprenez une note de calculs de contreventement qui conclut au refus de la section. Votre travail consiste à refaire entièrement la vérification, car le refus est prononcé sur des chiffres qui ne se déduisent pas des hypothèses écrites, puis à proposer une solution.

Le grand défi : La longueur de flambement. La note pose \( l_{\text{k}} = L_{\text{diag}} \) puis annonce un élancement qui correspond à la moitié de cette longueur.
Votre rôle : Produire une note traçable : la géométrie, l'effort axial et sa composante verticale, les élancements dans les deux plans, les coefficients propres au lamellé-collé, et une solution chiffrée.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — la mise en efforts : la longueur et l'inclinaison de la diagonale, l'effort axial de calcul, et la composante verticale transmise aux fondations.
Livrable 2 — la stabilité : les élancements selon l'hypothèse de maintien retenue, les coefficients \( k_{\text{c}} \) du lamellé-collé, le taux de travail et une solution chiffrée.

2. Données Techniques & Normes

Le calcul est mené selon la NF EN 1995-1-1 avec les valeurs de l'annexe nationale française, les caractéristiques du GL24h provenant de la NF EN 14080. Trois points appellent une vigilance particulière : le lamellé-collé a ses propres coefficients, \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \) et \( \beta_{\text{c}} = 0{,}1 \), qui ne sont pas ceux du bois massif ; la longueur de flambement dépend d'une disposition constructive qui doit être écrite et dessinée ; et la classe de durée du vent relève de l'annexe nationale.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Longueur de la diagonale \( L_{\text{diag}} = \sqrt{H^{2} + L^{2}} \)
Inclinaison sur l'horizontale \( \alpha = \arctan\!\left(\dfrac{H}{L}\right) \)
Équilibre horizontal du nœud de tête \( N_{\text{d}} = \dfrac{F_{\text{vent}}}{\cos\alpha} \)
Composante verticale sur le poteau \( V = N_{\text{d}}\sin\alpha = F_{\text{vent}}\tan\alpha \)
Rayon de giration d'un rectangle \( i = \dfrac{d}{\sqrt{12}} \)
Élancement mécanique \( \lambda = \dfrac{l_{\text{k}}}{i} \)
Élancement relatif — § 6.3.2(1) \( \lambda_{\text{rel}} = \dfrac{\lambda}{\pi}\sqrt{\dfrac{f_{c,0,\text{k}}}{E_{0,05}}} \)
Coefficient de flambement — § 6.3.2(3) \( k_{\text{c}} = \dfrac{1}{k + \sqrt{k^{2} - \lambda_{\text{rel}}^{2}}} \)
Critère de vérification — expression (6.23) \( \sigma_{c,0,\text{d}} \le k_{\text{c}}\,f_{c,0,\text{d}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( H \) et \( L \)	Hauteur et largeur du portique, entre axes des nœuds	7,00 et 5,00	m
\( b \times h \)	Section des diagonales — la largeur est perpendiculaire au plan du portique	80 × 180	mm
\( f_{c,0,\text{k}} \)	Compression axiale du GL24h NF EN 14080	24	N/mm²
\( f_{t,0,\text{k}} \)	Traction axiale du GL24h — utile pour la variante en tirant NF EN 14080	19,2	N/mm²
\( E_{0,05} \)	Fractile 5 % du module — c'est lui qui sert au flambement, et non le module moyen de 11 500 NF EN 14080	9 600	N/mm²
\( \beta_{\text{c}} \)	Coefficient de rectitude du lamellé-collé — et non 0,2, valeur du bois massif EN 1995-1-1 - § 6.3.2(3)	0,1	—
\( \gamma_{\text{M}} \)	Coefficient partiel du lamellé-collé — et non 1,30, valeur du bois massif EN 1995-1-1 - Tableau 2.3	1,25	—
\( k_{\text{mod}} \)	Classe de service 1, action instantanée du vent — paramètre national EN 1995-1-1 - Tableau 3.1	1,10	—

Les trois lectures qui décident, et leurs pièges

La longueur : \( l_{\text{k}} \text{ depend d une disposition constructive, pas d un choix de calcul} \)
Le materiau : \( \gamma_{M} = 1{,}25 \text{ et } \beta_{\text{c}} = 0{,}1 \text{ en lamelle-colle} \)
Le module : \( E_{0,05} = 9\,600 \text{ et non } E_{0,\text{mean}} = 11\,500 \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( F_{\text{vent}} \)	Poussée horizontale en tête de portique, déjà pondérée à l'ELU	25	kN
Modèle	Barres articulées aux deux extrémités : effort purement axial, \( \beta = 1{,}0 \)	Articulé	—
Croisement	Assemblage des deux diagonales à mi-longueur : à décider, il conditionne \( l_{\text{k}} \)	À décider	—
Hypothèse	La note reprise fait travailler la diagonale comprimée seule — hypothèse à discuter	Comprimée	—

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Assemblages : \( \S\,8 \text{ — les pieds de diagonale reprennent l effort axial entier} \)
Fondations : \( \text{la composante verticale peut soulever le poteau au vent} \)
Autres cas : \( \text{vent dans l autre sens, et contreventement de la direction perpendiculaire} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Bois massif et lamellé-collé — deux jeux de coefficients distincts

Grandeur	Bois massif	Lamellé-collé
Coefficient partiel \( \gamma_{\text{M}} \) — Tableau 2.3	1,30	1,25
Rectitude \( \beta_{\text{c}} \) — § 6.3.2(3)	0,2	0,1
Effet d'échelle en traction — seuil de hauteur	150 mm	600 mm
Norme produit	NF EN 338	NF EN 14080

Le lamellé-collé est un matériau reconstitué : les lamelles sont purgées de leurs plus gros défauts, puis réparties dans la hauteur. Sa dispersion est donc plus faible que celle du bois massif, ce que l'Eurocode traduit par un coefficient partiel plus faible — 1,25 au lieu de 1,30 — et par une rectitude supposée meilleure — 0,1 au lieu de 0,2. Reprendre les coefficients du bois massif sur un lamellé-collé n'est pas une erreur « du côté de la sécurité » anodine : c'est un défaut de traçabilité qui rend la note incohérente avec son propre matériau.

Extrait de la NF EN 14080 — lamellé-collé homogène

Grandeur	GL24h	GL28h	GL32h
Compression axiale \( f_{c,0,\text{k}} \)	24	28	32
Traction axiale \( f_{t,0,\text{k}} \)	19,2	22,3	25,6
Fractile 5 % \( E_{0,05} \)	9 600	10 200	11 200
Module moyen \( E_{0,\text{mean}} \)	11 500	12 600	14 200

Deux remarques de traçabilité. D'abord, ces valeurs sont celles de la NF EN 14080:2013, qui a remplacé l'ancienne EN 1194 : la traction du GL24h y est passée de 16,5 à 19,2 N/mm², soit 16 % de plus. Ensuite, monter en classe est un remède très inefficace contre le flambement : passer du GL24h au GL32h augmente \( f_{c,0,\text{k}} \) de 33 % mais \( E_{0,05} \) de 17 % seulement, et c'est le module qui gouverne l'instabilité. Contre le flambement, on change la géométrie, pas la classe.

Ce qui fixe la longueur de flambement d'une diagonale de croix

Disposition constructive	Longueur de flambement hors plan	Condition à respecter
Diagonales indépendantes, simplement croisées	\( l_{\text{k}} = L_{\text{diag}} \)	aucune — c'est le cas par défaut
Diagonales assemblées au croisement	\( l_{\text{k}} = L_{\text{diag}}/2 \)	la seconde diagonale doit être tendue
Diagonale doublée par une lisse intermédiaire	\( l_{\text{k}} = L_{\text{diag}}/2 \) ou moins	la lisse doit être contreventée

La longueur de flambement n'est pas un paramètre de calcul que l'on choisit : c'est la traduction d'une disposition constructive. Retenir \( L_{\text{diag}}/2 \) revient à s'engager sur un boulon au croisement des deux diagonales — qui doit figurer sur les plans, être dimensionné, et être exécuté. Le mécanisme est simple : la diagonale tendue, parfaitement rectiligne sous son effort, sert de point fixe hors plan à la diagonale comprimée qui cherche à s'échapper. Si les deux diagonales se croisent sans être assemblées, ce point fixe n'existe pas.

Traçabilité des valeurs employées

Les clauses et formules employées ici proviennent de la documentation officielle de la Commission européenne sur l'EN 1995-1-1. Les valeurs tabulées suivantes sont rattachées à la norme et, le cas échéant, au paramètre national qui les fixe :

\( f_{c,0,\text{k}} = 24 \), \( f_{t,0,\text{k}} = 19{,}2 \) et \( E_{0,05} = 9\,600 \) N/mm² pour le GL24h — NF EN 14080
\( \beta_{\text{c}} = 0{,}1 \) pour le lamellé-collé — § 6.3.2(3)
\( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \) pour le lamellé-collé — tableau 2.3 et annexe nationale
\( k_{\text{mod}} = 1{,}10 \) — tableau 3.1, classe de service 1 ; le classement du vent en action instantanée relève de l'annexe nationale et doit être confirmé sur le texte officiel
Toute limite d'élancement invoquée : l'EN 1995-1-1 n'en fixe aucune, et une valeur plafond ne peut venir que de l'annexe nationale ou d'une règle interne de bureau d'études
Le caractère pondéré de la poussée de 25 kN, qui relève de l'analyse du projet

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Géométrie de la diagonale

Trigonométrie 15 min | Accessible

But de l'étape : Poser la géométrie exacte : c'est elle qui conditionne à la fois l'effort et l'élancement.

Énoncé Q1 : Pour le portique de 7,00 m sur 5,00 m :

calculer la longueur de la diagonale ;
déterminer l'angle qu'elle forme avec l'horizontale, ainsi que son sinus et son cosinus ;
chiffrer l'effet d'une hauteur réduite à 6,00 m sur ces deux grandeurs.

L'hypoténuse est toujours plus longue que chacun des côtés : c'est le premier contrôle d'ordre de grandeur .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Gardez les rapports exacts plutôt que les valeurs arrondies : \( \cos\alpha = L/L_{\text{diag}} \) et \( \sin\alpha = H/L_{\text{diag}} \). Vous éviterez ainsi de passer par l'angle en degrés, source d'arrondis et d'erreurs de mode de calculatrice.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( L_{\text{diag}} = \sqrt{74} = \) 8,602 m et \( \alpha = \) 54,46°, d'où \( \cos\alpha = 0{,}5812 \) et \( \sin\alpha = 0{,}8137 \).

Question 2 : Effort de compression et descente de charges

Statique 25 min | Accessible

But de l'étape : Convertir la poussée horizontale en effort axial — et ne pas oublier ce qui part vers le bas.

Énoncé Q2 : En isolant le nœud de tête du portique :

écrire l'équilibre horizontal et en déduire l'effort axial dans la diagonale ;
calculer la composante verticale transmise au poteau et à la fondation ;
comparer au cas idéal d'une diagonale à 45° et discuter l'hypothèse de la note reprise.

Une diagonale trop redressée reprend mal une poussée horizontale : elle fabrique surtout du vertical.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

C'est le cosinus qui intervient, puisqu'on projette l'effort de la diagonale sur l'horizontale pour équilibrer le vent. La composante verticale s'obtient ensuite très simplement : \( V = F_{\text{vent}}\tan\alpha \), sans repasser par l'effort axial.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( N_{c,\text{d}} = \) 43,01 kN, soit 1,72 fois la poussée de vent, et la composante verticale vaut exactement 35,00 kN.

Question 3 : Élancements de la diagonale

Le point critique 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Calculer les élancements — et surtout déclarer la longueur de flambement retenue.

Énoncé Q3 : Pour la diagonale 80 × 180 en GL24h :

calculer l'aire et les deux rayons de giration de la section ;
établir l'élancement hors plan dans les deux hypothèses de croisement ;
établir l'élancement dans le plan du portique et dire lequel gouverne.

Un élancement ne se lit pas seul : il faut toujours l'accompagner de la longueur de flambement qui l'a produit.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Pour une section rectangulaire, le rayon de giration se réduit à \( d/\sqrt{12} \), où \( d \) est la dimension perpendiculaire à l'axe de flambement. Inutile de calculer l'aire et le moment quadratique séparément.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( i_{z} = \) 23,09 mm et \( i_{y} = \) 51,96 mm. Sans assemblage au croisement, l'élancement hors plan atteint 372,5 ; avec assemblage, il retombe à 186,2.

Question 4 (Finale) : Vérification au flambement et remède

Le cœur du sujet 45 min | BOSS

But de l'étape : Mener la vérification avec les bons coefficients, dans les deux plans, puis proposer une solution chiffrée.

Mention spéciale — la note reprise emploie les coefficients du bois massif sur du lamellé-collé : Elle prend \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \) au lieu de 1,25 et \( \beta_{\text{c}} = 0{,}2 \) au lieu de 0,1, en écrivant explicitement que ce dernier vaut 0,2 « pour le bois massif et le lamellé-collé ». Elle ne vérifie par ailleurs qu'un seul plan de flambement.

Établir \( f_{c,0,\text{d}} \) et la contrainte appliquée, puis calculer \( \lambda_{\text{rel}} \) et \( k_{\text{c}} \) par la chaîne du § 6.3.2, dans les deux plans. Conclure par le taux de travail, puis proposer un redimensionnement chiffré et discuter la conception alternative en tirant tendu.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Pour le GL24h, \( \sqrt{f_{c,0,\text{k}}/E_{0,05}} = \sqrt{24/9\,600} = 0{,}05 \) exactement. L'élancement relatif se réduit donc à \( \lambda/62{,}83 \), ce qui allège beaucoup les calculs et fournit un excellent contrôle.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Avec assemblage au croisement, \( k_{\text{c},z} = \) 0,110 et le taux atteint 128,5 % : la section est refusée. Passer la largeur à 100 mm ramène le taux à 82 %, gouverné cette fois par le plan du portique.

NOTE DE CALCULS

Croix de Saint-André : l'élancement qui a été divisé par deux

Question 1 : Géométrie de la diagonale

Dans la tête de l'ingénieur

"De la trigonométrie de collège — et la note que je reprends la traite correctement. Je vais tout de même la refaire avec soin, pour une raison précise : la longueur de la diagonale servira deux fois, une fois pour l'effort et une fois pour l'élancement. Une erreur ici se propagerait partout. Et je vais garder les rapports exacts \( L/L_{\text{diag}} \) et \( H/L_{\text{diag}} \) plutôt que de repasser par l'angle en degrés : à 54,46°, un arrondi au centième de degré se voit déjà sur la troisième décimale du cosinus."

Observation : Le portique est plus haut que large : la diagonale sera nettement redressée, au-delà de 45°.
Analyse du risque : Aucun risque de calcul, mais un risque d'arrondi : l'angle sert ensuite au dénominateur d'un cosinus.
Choix stratégique : Conserver les rapports de longueurs, qui sont exacts, plutôt que le cosinus d'un angle arrondi.
Point de méthode : La longueur de la diagonale conditionne à la fois l'effort et l'élancement : c'est la grandeur pivot.
Objectif visé : Une géométrie exacte, et une première idée du rendement de ce contreventement.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( L_{\text{diag}} = \) 8,602 m · \( \alpha = \) 54,46° · \( \cos\alpha = \) 0,5812 · \( \sin\alpha = \) 0,8137

Rappel Théorique : la géométrie précède toujours la mécanique

Aucune norme ne régit cette étape — c'est de la géométrie pure. Mais toute la suite en dépend, et une erreur y est indétectable plus loin.

Principe 1 — Pythagore : La diagonale est l'hypoténuse du rectangle formé par le portique.
Principe 2 — l'angle de référence : Ici \( \alpha \) est mesuré sur l'horizontale ; le prendre sur la verticale échangerait sinus et cosinus.
Principe 3 — les rapports exacts : \( \cos\alpha = L/L_{\text{diag}} \) et \( \sin\alpha = H/L_{\text{diag}} \) évitent tout passage par les degrés.
Principe 4 — axes des nœuds : Les dimensions sont celles des axes, non des faces : le modèle doit correspondre à l'ouvrage.
Principe 5 — le rendement d'un contreventement : Une diagonale à 45° est la plus efficace ; s'en écarter coûte de l'effort dans la barre.

Équations Fondamentales

La longueur de la diagonale, puis son inclinaison.

Longueur de la diagonale :

Théorème de Pythagore appliqué au rectangle du portique.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le portique contreventé est, géométriquement, un rectangle traversé par ses diagonales. Les nœuds étant supposés articulés, un rectangle seul est un mécanisme : il se déforme en parallélogramme sans qu'aucune barre ne s'allonge. La diagonale supprime ce degré de liberté en triangulant la maille — et sa longueur, c'est l'hypoténuse. Toute la stabilité d'ensemble du bâtiment tient à cette barre oblique et à la longueur que l'on vient de calculer.

Contexte de validité : Portique rectangulaire ; un portique trapézoïdal exigerait la loi des cosinus.
Avantage : Une seule opération donne la grandeur qui servira partout ensuite.
Paramètre clé : Les dimensions entre axes des nœuds, non les dimensions hors tout.
Vérification : L'hypoténuse dépasse toujours le plus grand des deux côtés — ici 7,00 m.
Limite : Cette longueur est celle de l'épure ; la barre livrée sera plus longue des about d'assemblage.

\[ \begin{aligned} L_{\text{diag}} = \sqrt{H^{2} + L^{2}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : plus le portique est élancé, plus la diagonale est longue. Et c'est un cercle vicieux : une diagonale longue est une diagonale élancée, donc sensible au flambement, alors même que l'effort qu'elle doit reprendre augmente lui aussi. Un portique haut et étroit est le pire cas pour un contreventement en croix.

Décomposition des termes :

\( H = 7\,000 \) : hauteur du portique entre axes, unité : mm
\( L = 5\,000 \) : largeur du portique entre axes, unité : mm
\( L_{\text{diag}} \) : longueur d'épure de la diagonale, unité : m ou mm
\( H/L = 1{,}4 \) : élancement du portique, qui gouverne toute la géométrie, unité : —
Racine de 74 : valeur exacte à conserver dans les calculs enchaînés, unité : m

Inclinaison sur l'horizontale :

Définition de la tangente dans le triangle rectangle.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'effort du vent est horizontal et que la diagonale est oblique : il faudra projeter. L'angle sur l'horizontale est donc l'angle utile, celui qui apparaîtra dans le cosinus de l'équilibre. Une convention différente — l'angle avec le poteau, par exemple — n'est pas fausse, mais elle échange sinus et cosinus dans toutes les équations suivantes. C'est l'une des sources d'erreur les plus fréquentes et les plus difficiles à repérer, parce que le résultat reste plausible.

Contexte de validité : L'angle est mesuré depuis l'horizontale, et il faut le dire explicitement.
Avantage : Une tangente se contrôle de tête : 7/5 = 1,4, donc un angle un peu au-dessus de 54°.
Paramètre clé : Le mode degrés de la calculatrice : en radians, l'arc tangente de 1,4 vaut 0,95.
Vérification : \( \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1 \) : un contrôle gratuit et infaillible.
Limite : Un angle arrondi propage son erreur dans le cosinus, qui est au dénominateur.

\[ \begin{aligned} \alpha = \arctan\!\left(\frac{H}{L}\right) \quad ; \quad \cos\alpha = \frac{L}{L_{\text{diag}}} \quad ; \quad \sin\alpha = \frac{H}{L_{\text{diag}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : l'inclinaison de la diagonale mesure le rendement du contreventement. À 45°, l'effort horizontal et l'effort vertical se partagent également. Au-delà, la barre fabrique surtout du vertical — qui n'aide en rien à reprendre le vent, mais qu'il faudra descendre jusqu'aux fondations.

Décomposition des termes :

\( \alpha \) : angle de la diagonale avec l'horizontale, unité : degrés
\( \tan\alpha = 1{,}4 \) : rapport \( H/L \), valeur exacte ici, unité : —
\( \cos\alpha \) : facteur qui divise la poussée de vent pour donner l'effort axial, unité : —
\( \sin\alpha \) : facteur de la composante verticale descendue au poteau, unité : —
45° : inclinaison de référence, où sinus et cosinus s'égalisent, unité : degrés

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de ne pas préciser depuis quelle direction l'angle est mesuré..."

L'approche d'ingénieur : On écrit la convention en toutes lettres et on la reporte sur le schéma.

L'erreur : Noter « \( \alpha = 54{,}46° \) » sans dire s'il s'agit de l'angle avec l'horizontale ou avec le poteau.
La bonne méthode : Écrire « angle avec l'horizontale », et le tracer sur le croquis avec son arc de cercle.
L'astuce de pro : Contrôler par le complémentaire : si l'angle avec l'horizontale vaut 54,46°, celui avec le poteau vaut 35,54°.
Le moyen mnémotechnique : « Un angle sans origine n'est pas un angle ».
L'impact direct : Intervertir les deux conventions remplacerait le cosinus 0,581 par 0,814 : l'effort axial tomberait à 30,7 kN au lieu de 43,01, soit 29 % de moins, du mauvais côté.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Hauteur et largeur : en mètres pour la géométrie
Longueur de diagonale : à convertir en mm pour l'élancement
Angle : en degrés , mode de calculatrice à vérifier
Sinus et cosinus : sans unité , compris entre 0 et 1
Tangente : sans unité , non bornée

Le seul piège d'unité de cette question est le passage des mètres aux millimètres pour la suite : l'élancement se calcule en millimètres, avec un rayon de giration de l'ordre de la vingtaine de millimètres. Un mètre oublié à cet endroit donnerait un élancement mille fois trop petit, et un \( k_{\text{c}} \) égal à 1 — c'est-à-dire la disparition pure et simple du phénomène que l'on cherche à vérifier.

1. Résolution Numérique Longueur de la diagonale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette longueur servira deux fois : pour l'effort et pour l'élancement.

Méthodologie du calcul :

Application directe du théorème de Pythagore aux dimensions entre axes.

Substitution : \( H = 7{,}00 \) m et \( L = 5{,}00 \) m, donc 49 + 25 = 74.
Piège évité : Conserver racine de 74 comme valeur exacte pour les rapports trigonométriques.
Hypothèse validée : Portique rectangulaire, nœuds aux quatre coins de l'épure.
Vérification croisée : 8,60 m dépasse bien les 7,00 m du plus grand côté, de 22,9 %.
Finalité : Fournir la longueur de flambement de référence pour la question 3.

\[ \begin{aligned} L_{\text{diag}} &= \sqrt{7{,}00^{2} + 5{,}00^{2}} = \sqrt{74} \\ &= \mathbf{8{,}602 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

8,602 m, soit 8 602 mm — une barre très longue pour une section de 80 mm.

Ordre de grandeur : Le rapport longueur / largeur atteint 108 : la barre est extraordinairement svelte.
Impact sur la suite : C'est cette longueur qui produira un élancement hors norme en question 3.
Cohérence : L'hypoténuse dépasse le plus grand côté de 22,9 % : conforme à un rapport \( H/L \) de 1,4.
Cas d'école : Une pièce de 8,60 m justifie à elle seule le recours au lamellé-collé, le bois massif étant rare au-delà de 6 m.
Comparaison : La barre pèse environ 48 kg : sa mise en œuvre demande deux personnes ou un engin.

Remarque pédagogique : Faites relever tout de suite le rapport entre la longueur et la largeur de la barre : 8 602 contre 80, soit un facteur 108. Une règle plate de 30 cm dont l'épaisseur serait dans le même rapport ferait moins de 3 mm. Personne n'imaginerait la comprimer par ses extrémités. C'est pourtant ce que la note reprise demande à cette diagonale.

Inclinaison de la diagonale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'angle qui projettera la poussée du vent.

Méthodologie du calcul :

Arc tangente du rapport \( H/L \), en degrés.

Substitution : \( \tan\alpha = 7{,}00/5{,}00 = 1{,}4 \), valeur exacte.
Piège évité : Le mode radians de la calculatrice, qui donnerait 0,95 au lieu de 54,46.
Hypothèse validée : Angle mesuré depuis l'horizontale, convention déclarée.
Vérification croisée : \( \tan 45° = 1 \) et \( \tan 60° = 1{,}73 \) : un angle de 54° encadre bien une tangente de 1,4.
Finalité : Disposer de l'angle qui apparaîtra dans l'équilibre du nœud.

\[ \begin{aligned} \alpha &= \arctan(1{,}4) \\ &= \mathbf{54{,}46°} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

54,46° — nettement au-dessus de l'inclinaison optimale de 45°.

Ordre de grandeur : Un contreventement travaille bien entre 30 et 60° ; on est dans la plage, mais du mauvais côté.
Impact sur la suite : Le cosinus étant inférieur à 0,707, l'effort axial dépassera 1,41 fois la poussée de vent.
Cohérence : L'angle complémentaire, avec le poteau, vaut 35,54° : les deux somment bien à 90°.
Attention : C'est la géométrie du bâtiment qui impose cet angle : on ne peut pas le choisir librement.
Comparaison : Pour ramener l'angle à 45°, il faudrait contreventer sur deux niveaux de 3,50 m, ou élargir la travée à 7,00 m.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que l'angle n'est pas une donnée libre. Il découle des dimensions du bâtiment, que l'architecte a fixées. Le seul levier de l'ingénieur est de découper la hauteur : deux croix superposées de 3,50 m dans la même travée de 5,00 m donneraient des diagonales à 35°, deux fois plus courtes et bien plus efficaces. C'est le vrai remède, et il est de conception, pas de calcul.

Cosinus et sinus directeurs

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce sont ces deux nombres, et non l'angle, qui entrent dans les équations.

Méthodologie du calcul :

Rapports des côtés à l'hypoténuse, sans passer par l'angle arrondi.

Substitution : \( \cos\alpha = 5{,}00/8{,}602 \) et \( \sin\alpha = 7{,}00/8{,}602 \).
Piège évité : Reprendre \( \cos(54{,}46°) \) sur un angle déjà arrondi, ce qui cumule deux approximations.
Hypothèse validée : Les deux rapports sont exacts, puisque construits sur les données brutes.
Vérification croisée : \( 0{,}5812^{2} + 0{,}8137^{2} = 1{,}000 \) : l'identité de Pythagore est vérifiée.
Finalité : Alimenter directement l'équilibre du nœud de la question 2.

\[ \begin{aligned} \cos\alpha &= \frac{5{,}00}{8{,}602} = \mathbf{0{,}5812} \\ \sin\alpha &= \frac{7{,}00}{8{,}602} = \mathbf{0{,}8137} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,5812 et 0,8137 — le sinus l'emporte largement.

Ordre de grandeur : À 45°, les deux vaudraient 0,707 : l'écart mesure le déséquilibre du contreventement.
Impact sur la suite : Le cosinus, au dénominateur, amplifiera la poussée de vent d'un facteur 1,72.
Cohérence : Le rapport \( \sin/\cos = 1{,}400 \) redonne exactement la tangente de départ.
Attention : Le sinus élevé signifie qu'une large part de l'effort partira vers le bas, pas vers le vent.
Comparaison : Pour 1 kN de vent repris, la diagonale encaisse 1,72 kN et transmet 1,40 kN au poteau.

Remarque pédagogique : Faites systématiquement contrôler la somme des carrés. C'est une vérification qui ne coûte rien, qui détecte immédiatement une interversion sinus / cosinus, une erreur de longueur d'hypoténuse ou un mode de calculatrice erroné. Peu de contrôles offrent un tel rapport entre le temps investi et le nombre d'erreurs attrapées.

Effet d'une hauteur réduite

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il chiffre le levier de conception le plus efficace.

Méthodologie du calcul :

Reprise des deux formules avec une hauteur de 6,00 m au lieu de 7,00.

Substitution : \( \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \) et \( \arctan(1{,}2) \).
Piège évité : Croire que réduire la hauteur de 14 % réduit la diagonale d'autant : la relation n'est pas linéaire.
Hypothèse validée : Largeur inchangée à 5,00 m, seule la hauteur varie.
Vérification croisée : La diagonale ne perd que 9,2 % alors que la hauteur en perd 14,3.
Finalité : Mesurer la sensibilité du problème à la géométrie du bâtiment.

\[ \begin{aligned} L_{\text{diag}} &= \sqrt{61} = \mathbf{7{,}810 \ \text{m}} \\ \alpha &= \arctan(1{,}2) = \mathbf{50{,}19°} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

7,810 m et 50,19° — une amélioration réelle mais limitée.

Ordre de grandeur : Un mètre de moins en hauteur ne fait gagner que 0,79 m sur la diagonale.
Impact sur la suite : L'élancement baisserait de 9 % seulement — insuffisant pour sauver la section.
Cohérence : La racine carrée amortit toujours les variations : c'est la nature de Pythagore.
Attention : La hauteur libre d'une halle est une donnée du programme, rarement négociable.
Comparaison : Contreventer sur deux niveaux de 3,50 m donnerait une diagonale de 6,10 m : voilà un vrai gain.

Remarque pédagogique : Faites comparer les deux leviers. Baisser la hauteur du bâtiment d'un mètre — ce qui est presque toujours impossible — ne fait gagner que 9 % sur la diagonale. Superposer deux croix dans la même travée — ce qui ne coûte qu'une lisse intermédiaire — la ramène à 6,10 m, soit 29 % de moins, et divise son élancement d'autant. En conception, le levier le plus efficace n'est presque jamais celui auquel on pense d'abord.

RÉSULTAT FINAL

Diagonale : 8,602 m à 54,46° — \( \cos\alpha = 0{,}5812 \) et \( \sin\alpha = 0{,}8137 \), rapports exacts conservés pour la suite

"Un angle sans origine n'est pas un angle !"

Géométrie de la diagonale

Question 2 : Effort de compression et descente de charges

Dans la tête de l'ingénieur

"L'équilibre du nœud est correct dans la note reprise, et je retrouve ses 43,01 kN. Mais elle s'arrête là, et c'est un oubli. Un contreventement ne se contente pas de reprendre l'horizontal : il fabrique du vertical. Ici, 35,00 kN descendent dans le poteau au vent — et remontent dans l'autre, en soulèvement. C'est très souvent l'ancrage en pied qui devient le point critique d'un contreventement, pas la diagonale elle-même. Je vais aussi discuter l'hypothèse « seule la comprimée travaille », qui n'est pas du tout la conception habituelle d'une croix de Saint-André."

Observation : La note calcule l'effort axial mais ne descend aucune charge jusqu'aux fondations.
Analyse du risque : Le poteau sous le vent subit un soulèvement de 35 kN : sans ancrage, la croix ne sert à rien.
Choix stratégique : Calculer la composante verticale par \( F\tan\alpha \), sans repasser par l'effort axial.
Point de conception : Une croix de Saint-André se conçoit d'ordinaire en diagonales tendues, pas comprimées.
Objectif visé : L'effort axial de calcul, la charge descendue, et une discussion du modèle.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( N_{c,\text{d}} = \) 43,01 kN · composante verticale 35,00 kN · soit 1,72 et 1,40 fois la poussée de vent

Rappel Théorique : l'équilibre d'un nœud articulé

Un nœud sans moment est en équilibre si la somme vectorielle des forces qui y aboutissent est nulle. Deux équations scalaires en découlent.

Principe 1 — projection : \( \sum F_{x} = 0 \) donne l'effort de la diagonale, seule barre oblique du nœud.
Principe 2 — l'amplification : Diviser par un cosinus inférieur à 1 augmente toujours l'effort dans la barre.
Principe 3 — la contrepartie verticale : Toute diagonale transforme une poussée horizontale en couple de forces verticales.
Principe 4 — l'optimum à 45° : C'est l'inclinaison qui minimise l'effort axial pour un vent donné.
Principe 5 — le choix du modèle : Faire travailler la diagonale tendue ou la comprimée n'est pas un détail de calcul, mais un choix de conception.

Équations Fondamentales

L'effort axial issu de la projection horizontale, puis la charge verticale qu'il engendre.

Équilibre horizontal du nœud de tête :

Principe fondamental de la statique, \( \sum F_{x} = 0 \).

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'au nœud de tête du portique, trois éléments se rencontrent : la traverse, le poteau et la diagonale. La traverse est horizontale mais ne peut pas équilibrer seule le vent, puisqu'elle transmettrait simplement la poussée au poteau opposé, qui n'est pas plus capable de la reprendre. Le poteau est vertical et n'a donc aucune composante horizontale. Reste la diagonale : c'est elle, et elle seule, qui peut équilibrer la poussée — mais uniquement par sa projection horizontale, d'où le cosinus.

Contexte de validité : Nœuds articulés et une seule diagonale active dans ce sens de vent.
Avantage : Une seule équation, une seule inconnue : la résolution est immédiate.
Paramètre clé : Le cosinus, au dénominateur : plus la diagonale est redressée, plus l'effort explose.
Vérification : L'effort dans la barre est toujours supérieur à la poussée qu'elle reprend.
Limite : Si les deux diagonales sont actives, elles se partagent l'effort et le calcul diffère.

\[ \begin{aligned} \sum F_{x} = 0 \ \Rightarrow \ N_{c,\text{d}}\cos\alpha = F_{\text{vent}} \quad \Rightarrow \quad N_{c,\text{d}} = \frac{F_{\text{vent}}}{\cos\alpha} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une barre oblique doit forcer plus qu'elle ne pousse dans la direction utile. C'est le même phénomène que lorsqu'on tire un traîneau avec une corde inclinée : une partie de l'effort sert à faire avancer, l'autre à soulever ou à plaquer au sol. Plus la corde est redressée, plus il faut tirer fort pour avancer d'autant.

Décomposition des termes :

\( F_{\text{vent}} = 25 \) : poussée horizontale en tête, déjà pondérée, unité : kN
\( \cos\alpha = 0{,}5812 \) : projection de la diagonale sur l'horizontale, unité : —
\( N_{c,\text{d}} \) : effort axial de compression dans la diagonale, unité : kN
\( 1/\cos\alpha = 1{,}72 \) : facteur d'amplification propre à cette géométrie, unité : —
Indice d : valeur de calcul, à l'état limite ultime, unité : —

Composante verticale transmise au poteau :

Projection de l'effort axial sur la verticale.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un contreventement ne fait pas disparaître la poussée du vent : il la transforme. La croix convertit une force horizontale appliquée en tête en un couple de forces verticales aux deux pieds de poteaux — l'une descendante, l'autre ascendante. C'est ce couple qui équilibre le moment de renversement du vent. Le calculer n'est donc pas un raffinement : c'est ce qui permet de dimensionner l'ancrage, et l'ancrage est très souvent le maillon faible.

Contexte de validité : Une seule diagonale active ; avec deux, le couple se répartit différemment.
Avantage : \( F\tan\alpha \) évite de repasser par l'effort axial, donc par deux arrondis.
Paramètre clé : La tangente, qui n'est pas bornée : elle explose pour les portiques très hauts.
Vérification : Le moment de renversement \( F\!\cdot\!H \) doit égaler le couple \( V\!\cdot\!L \) : un contrôle direct.
Limite : Le poids propre du bâtiment vient soulager le soulèvement, mais il faut le justifier.

\[ \begin{aligned} V = N_{c,\text{d}}\sin\alpha = F_{\text{vent}}\tan\alpha = F_{\text{vent}}\,\frac{H}{L} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : le vent bascule le bâtiment, la croix transforme ce basculement en un couple de forces verticales. Le rapport \( H/L \) est le bras de levier de l'affaire : plus la travée contreventée est étroite pour une hauteur donnée, plus les forces d'ancrage augmentent, exactement comme un tabouret étroit bascule plus facilement qu'un tabouret large.

Décomposition des termes :

\( V \) : effort vertical au pied de chaque poteau de la travée, unité : kN
\( \tan\alpha = H/L = 1{,}4 \) : rapport d'élancement de la travée contreventée, unité : —
Signe : compression sous le vent, soulèvement à l'opposé, unité : —
\( F\!\cdot\!H \) : moment de renversement du vent, unité : kN·m
\( V\!\cdot\!L \) : moment stabilisant du couple d'ancrage, unité : kN·m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de croire qu'un contreventement absorbe le vent..."

L'approche d'ingénieur : On suit la charge jusqu'au sol, sans jamais la perdre en route.

L'erreur : S'arrêter à l'effort axial de la diagonale et considérer la stabilité comme assurée.
La bonne méthode : Descendre la composante verticale jusqu'aux pieds de poteaux, puis jusqu'aux fondations.
L'astuce de pro : Contrôler par les moments : \( F\!\cdot\!H = 175 \) kN·m doit égaler \( V\!\cdot\!L = 175 \) kN·m.
Le moyen mnémotechnique : « Une charge ne disparaît jamais, elle change de direction ».
L'impact direct : Le poteau sous le vent subit un soulèvement de 35 kN, soit 3,6 tonnes. Un ancrage non dimensionné pour cela rend la croix parfaitement inutile.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Poussée de vent : 25 kN = 25 000 N
Sinus, cosinus, tangente : sans unité
Efforts axiaux : en kN pour la statique
Conversion en N au moment de la contrainte
Moments : kN × m = kN·m

Rester en kilonewtons tant que l'on fait de la statique, et ne passer aux newtons qu'au moment de diviser par une aire en mm². L'ordre de grandeur attendu pour l'effort axial se déduit immédiatement : le cosinus valant 0,58, l'effort sera compris entre 1,5 et 2 fois la poussée, donc entre 38 et 50 kN. Tout résultat hors de cette fourchette signale une erreur de projection.

1. Résolution Numérique Effort axial dans la diagonale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la sollicitation que la barre devra encaisser.

Méthodologie du calcul :

Division de la poussée par le cosinus exact obtenu en question 1.

Substitution : \( F_{\text{vent}} = 25 \) kN et \( \cos\alpha = 0{,}5812 \).
Piège évité : Employer le sinus au lieu du cosinus, ce qui donnerait 30,7 kN et sous-estimerait de 29 %.
Hypothèse validée : Une seule diagonale reprend la totalité de la poussée.
Vérification croisée : Le rapport \( N/F = 1{,}72 \) est bien compris entre 1,41 — à 45° — et l'infini.
Finalité : Alimenter la contrainte de compression de la question 4.

\[ \begin{aligned} N_{c,\text{d}} &= \frac{25}{0{,}5812} \\ &= \mathbf{43{,}01 \ \text{kN}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

43,01 kN, soit 1,72 fois la poussée qu'il s'agit de reprendre.

Ordre de grandeur : Environ 4,4 tonnes dans une barre de 80 × 180 : la contrainte restera modeste.
Impact sur la suite : La contrainte vaudra moins de 3 N/mm² — c'est l'instabilité, non la résistance, qui décidera.
Cohérence : À 45°, l'effort ne serait que de 35,36 kN : l'inclinaison coûte ici 21,7 % d'effort.
Attention : Cet effort transite en entier par les assemblages de pied et de tête, hors périmètre ici.
Comparaison : Si la travée contreventée faisait 7,00 m de large, l'angle tomberait à 45° et l'effort avec lui.

Remarque pédagogique : Faites retenir le facteur 1/cos α comme mesure du rendement d'un contreventement. À 45° il vaut 1,41 ; à 54° il vaut 1,72 ; à 70° il atteint 2,92. Choisir la travée à contreventer — quand on a le choix — c'est choisir ce facteur. Contreventer la travée la plus large du bâtiment est presque toujours le bon réflexe.

Composante verticale descendue au poteau

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est elle qui dimensionne les ancrages.

Méthodologie du calcul :

Produit de la poussée par la tangente, sans repasser par l'effort axial.

Substitution : \( 25 \times 1{,}4 \), la tangente étant ici exactement 7/5.
Piège évité : Repasser par \( N\sin\alpha \) cumulerait deux arrondis pour le même résultat.
Hypothèse validée : Le couple est repris par les deux pieds de la travée contreventée.
Vérification croisée : \( 25 \times 7{,}00 = 175 \) et \( 35 \times 5{,}00 = 175 \) kN·m : les moments s'équilibrent.
Finalité : Transmettre au lot fondations une valeur chiffrée de soulèvement.

\[ \begin{aligned} V &= 25 \times \frac{7{,}00}{5{,}00} \\ &= \mathbf{35{,}00 \ \text{kN}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

35,00 kN — descendants d'un côté, ascendants de l'autre.

Ordre de grandeur : 3,6 tonnes de soulèvement : bien plus que le poids propre d'un poteau bois.
Impact sur la suite : L'ancrage devient un point de vérification obligatoire, absent de la note reprise.
Cohérence : Le contrôle par les moments donne 175 kN·m des deux côtés : l'équilibre global est vérifié.
Cas d'école : La valeur est exacte — 25 × 1,4 — parce que la tangente l'est : un cas rare et confortable.
Comparaison : Le vertical vaut 1,40 fois l'horizontal : le contreventement fabrique plus de vertical qu'il ne reprend d'horizontal.

Remarque pédagogique : Faites énoncer la règle générale : le rapport entre l'effort vertical d'ancrage et la poussée horizontale vaut exactement H/L, l'élancement de la travée contreventée. Une travée deux fois plus étroite double les efforts d'ancrage. C'est pourquoi on contrevente de préférence sur des travées larges — et pourquoi les palées de stabilité étroites des bâtiments de grande hauteur exigent des fondations si massives.

Comparaison au contreventement idéal à 45°

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il chiffre ce que coûte une géométrie subie.

Méthodologie du calcul :

Reprise de la même formule avec \( \cos 45° = 0{,}7071 \).

Substitution : \( 25/0{,}7071 = 25\sqrt{2} \), l'effort minimal théorique.
Piège évité : Croire que 45° est un optimum absolu : c'est l'optimum pour l'effort, pas pour l'élancement.
Hypothèse validée : Même poussée de vent, seule l'inclinaison change.
Vérification croisée : \( 25\sqrt{2} = 35{,}36 \) kN, valeur que l'on peut poser de tête.
Finalité : Quantifier le surcoût d'effort imposé par la géométrie du bâtiment.

\[ \begin{aligned} N_{45°} &= \frac{25}{0{,}7071} = 35{,}36 \ \text{kN} \\ \text{surcoût} &= \frac{43{,}01}{35{,}36} - 1 = \mathbf{21{,}7 \ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

21,7 % d'effort en plus, uniquement à cause de l'inclinaison.

Ordre de grandeur : Un cinquième d'effort supplémentaire : significatif, mais pas déterminant ici.
Impact sur la suite : Ce n'est pas le surcroît d'effort qui fera échouer la vérification, mais l'élancement.
Cohérence : Le rapport des cosinus, 0,7071/0,5812, redonne bien 1,217.
Attention : Une diagonale à 45° dans ce portique mesurerait 9,90 m : plus longue encore, donc plus élancée.
Comparaison : L'optimum de l'effort et l'optimum de la stabilité ne coïncident pas : il faut arbitrer.

Remarque pédagogique : Faites relativiser la règle des « 45° idéaux », souvent récitée sans nuance. Elle minimise l'effort axial, ce qui est le bon critère pour une diagonale tendue. Pour une diagonale comprimée, l'ennemi n'est pas l'effort mais la longueur : le meilleur angle est alors celui qui donne la barre la plus courte, c'est-à-dire le plus proche possible de l'horizontale ou de la verticale.

Effort dans la diagonale tendue

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'autre modèle possible, et de loin le plus courant.

Méthodologie du calcul :

Sous le même vent, la diagonale opposée s'allonge et reprend le même effort, en traction.

Substitution : Même équilibre de nœud, même géométrie : 43,01 kN en valeur absolue.
Piège évité : Faire travailler les deux diagonales à la fois : c'est un système hyperstatique, à traiter comme tel.
Hypothèse validée : La croix est symétrique : sous vent inversé, les rôles s'échangent.
Vérification croisée : La contrainte est identique, 2,99 N/mm² : seul le signe change.
Finalité : Préparer la comparaison des deux conceptions en question 4.

\[ \begin{aligned} N_{t,\text{d}} = \frac{F_{\text{vent}}}{\cos\alpha} = \mathbf{+43{,}01 \ \text{kN}} \ \text{(traction)} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le même 43,01 kN — mais une barre tendue ne flambe pas.

Ordre de grandeur : En traction, la section 80 × 180 encaisserait 243 kN : plus de cinq fois l'effort.
Impact sur la suite : La conception en tirants rendrait tout le calcul de flambement sans objet.
Cohérence : C'est bien le même équilibre de nœud, appliqué à l'autre diagonale de la croix.
Attention : Une conception en tirants exige que le vent soit repris dans les deux sens : les deux diagonales sont nécessaires.
Comparaison : Le vrai point dur d'une conception en tirants se déplace vers les assemblages, qui reprennent 43 kN en traction pure.

Remarque pédagogique : Faites discuter l'hypothèse de la note reprise, qui affirme faire travailler « seule la diagonale comprimée » et qualifie ce choix de sécuritaire. Il l'est au sens où il vérifie le mode de ruine le plus défavorable pour cette barre. Mais ce n'est pas la conception habituelle d'une croix de Saint-André : on dimensionne d'ordinaire les diagonales en tirants et on néglige purement et simplement la comprimée, qui flambe. Vérifier le mauvais modèle n'est pas être prudent : c'est répondre à la mauvaise question.

RÉSULTAT FINAL

Effort axial de calcul = 43,01 kN — accompagné de 35,00 kN verticaux à descendre aux fondations, dont un soulèvement du poteau au vent

"Une charge ne disparaît jamais, elle change de direction !"

Question 3 : Élancements de la diagonale

Dans la tête de l'ingénieur

"C'est ici que la note reprise décroche, et de façon spectaculaire. Elle écrit \( l_{\text{k}} = \beta \cdot L_{\text{diag}} \) avec \( \beta = 1{,}0 \), pose \( 8\,600/23{,}09 \) — et annonce 186,2. Or 8 600 divisé par 23,09 fait 372,5. Le chiffre annoncé correspond à la moitié de la longueur, c'est-à-dire à une hypothèse que la note ne formule nulle part : l'assemblage des deux diagonales à leur croisement. Cette hypothèse est physiquement excellente et je vais la retenir — mais il faut l'écrire, la dessiner et la faire exécuter. Un chiffre juste obtenu par une hypothèse non déclarée reste un chiffre injustifiable."

Observation : L'élancement annoncé vaut exactement la moitié de celui que produit l'hypothèse écrite.
Analyse du risque : Si le croisement n'est pas assemblé sur le chantier, l'élancement réel est 372,5 et la barre n'a plus aucune capacité.
Choix stratégique : Retenir le maintien au croisement, mais en le déclarant comme une prescription d'exécution.
Point de méthode : Calculer aussi l'élancement dans le plan, que la note ne mentionne pas.
Objectif visé : Trois élancements chiffrés, chacun rattaché à une hypothèse explicite.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( i_{z} = \) 23,09 mm · \( i_{y} = \) 51,96 mm · hors plan 372,5 sans maintien, 186,2 avec · dans le plan 165,6

Rappel Théorique : élancement et longueur de flambement

L'élancement mesure la sveltesse d'une barre comprimée. Il ne dépend pas de la barre seule, mais de la barre et de ce qui la tient.

Principe 1 — le rayon de giration : \( i = \sqrt{I/A} \), qui se réduit à \( d/\sqrt{12} \) pour un rectangle.
Principe 2 — deux axes, deux valeurs : Une section rectangulaire a deux rayons de giration, dans le rapport de ses dimensions.
Principe 3 — la longueur de flambement : \( l_{\text{k}} \) est la distance entre deux points effectivement maintenus, pas la longueur de la barre.
Principe 4 — le maintien doit exister : Un point d'appui non assemblé, non dimensionné et non dessiné ne maintient rien.
Principe 5 — c'est le plus grand qui gouverne : La barre flambe là où elle est la plus souple, dans le plan où \( \lambda \) est maximal.

Équations Fondamentales

Le rayon de giration d'un rectangle, puis l'élancement qui en découle.

Rayon de giration d'une section rectangulaire :

Définition \( i = \sqrt{I/A} \), simplifiée pour le rectangle.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le rayon de giration mesure l'éloignement moyen de la matière par rapport à l'axe de flexion. Deux sections de même aire mais de formes différentes ne résistent pas de la même manière au flambement : celle qui éloigne sa matière de l'axe est bien plus stable. Pour un rectangle, le calcul se simplifie remarquablement — le \( b^{3} \) du moment quadratique et le \( b \) de l'aire laissent un \( b^{2}/12 \), donc \( i = b/\sqrt{12} \). Il est inutile de calculer séparément l'aire et le moment quadratique.

Contexte de validité : Section rectangulaire pleine ; toute autre forme exige le calcul complet.
Avantage : Un seul rapport à retenir : \( \sqrt{12} = 3{,}464 \), soit environ 29 % de la dimension.
Paramètre clé : La dimension perpendiculaire à l'axe autour duquel la barre fléchit.
Vérification : Le rapport des deux rayons de giration égale celui des dimensions : ici 180/80 = 2,25.
Limite : Une section en I ou en caisson aurait un rayon de giration bien supérieur à aire égale.

\[ \begin{aligned} i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \sqrt{\frac{h\,b^{3}/12}{b\,h}} = \frac{b}{\sqrt{12}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : seule la dimension dans le sens du flambement compte. Une barre de 80 × 180 se comporte, pour le flambement hors plan, exactement comme une barre carrée de 80 × 80 : les 100 mm supplémentaires ajoutent de la matière et du poids, mais aucune stabilité dans cette direction.

Décomposition des termes :

\( I \) : moment quadratique autour de l'axe de flexion, unité : mm⁴
\( A = 14\,400 \) : aire de la section, unité : mm²
\( \sqrt{12} = 3{,}464 \) : constante propre au rectangle plein, unité : —
\( b = 80 \) : largeur, dimension mobilisée hors du plan du portique, unité : mm
\( h = 180 \) : hauteur, dimension mobilisée dans le plan du portique, unité : mm

Élancement mécanique :

EN 1995-1-1 § 6.3.2(1).

Pourquoi cette formule ?

Parce que la charge critique d'Euler fait intervenir la longueur au carré au dénominateur et le moment quadratique au numérateur. Le rapport \( l_{\text{k}}/i \) résume ces deux effets en un seul nombre. Le terme décisif est \( l_{\text{k}} \), la longueur de flambement : ce n'est pas la longueur de la barre, mais la distance entre deux points où elle est effectivement empêchée de se déplacer latéralement. Cette distinction est toute la question de cet exercice.

Contexte de validité : \( \beta = 1{,}0 \) pour une barre articulée à ses deux extrémités.
Avantage : Un seul nombre pour comparer des barres de sections et de longueurs différentes.
Paramètre clé : \( l_{\text{k}} \), qui traduit une disposition constructive et non un choix de calcul.
Vérification : Diviser \( l_{\text{k}} \) par deux divise l'élancement par deux — un contrôle immédiat.
Limite : L'EN 1995-1-1 ne fixe aucune valeur plafond d'élancement : toute limite invoquée doit être tracée.

\[ \begin{aligned} \lambda = \frac{l_{\text{k}}}{i} = \frac{\beta\,L_{\text{diag}}}{i} \quad \text{avec} \quad \beta = 1{,}0 \ \text{entre points maintenus} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ce qui compte n'est pas la barre, mais la portion libre de la barre. Un boulon au bon endroit vaut mieux que dix centimètres de section en plus : il divise l'élancement par deux là où doubler la largeur ferait la même chose pour un volume de bois deux fois supérieur.

Décomposition des termes :

\( l_{\text{k}} \) : longueur de flambement, entre points effectivement maintenus, unité : mm
\( \beta = 1{,}0 \) : coefficient d'encastrement, articulé aux deux bouts, unité : —
\( L_{\text{diag}} = 8\,602 \) : longueur d'épure de la diagonale, unité : mm
\( \lambda \) : élancement mécanique, sans unité, unité : —
Indices y et z : y désigne l'axe fort, z l'axe faible, selon la convention de l'Eurocode, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'appliquer une longueur de flambement réduite sans avoir vérifié que le maintien existe..."

L'approche d'ingénieur : On écrit la disposition constructive qui justifie chaque longueur de flambement retenue.

L'erreur : Prendre \( L_{\text{diag}}/2 \) « parce que les diagonales se croisent au milieu », sans assembler ce croisement.
La bonne méthode : Le maintien n'existe que si les deux diagonales sont assemblées en ce point, et que la seconde est tendue.
L'astuce de pro : Écrire dans la note : « l'élancement retenu suppose un boulon au croisement, à porter sur les plans d'exécution ».
Le moyen mnémotechnique : « Pas de boulon, pas de maintien ».
L'impact direct : Ici, l'écart entre les deux hypothèses est de 372,5 contre 186,2, et le coefficient de flambement passe de 0,028 à 0,110 — un facteur 3,9.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Longueur de diagonale : 8,602 m = 8 602 mm
Dimensions de section : en mm
Rayon de giration : en mm , de l'ordre de b/3,5
Élancement : mm / mm, donc sans unité
Moment quadratique : en mm⁴ , si on le calcule

Tout doit être en millimètres dans cette question : mélanger mètres et millimètres donnerait un élancement mille fois trop petit ou trop grand. L'ordre de grandeur attendu est le vrai garde-fou : un élancement de charpente courante se situe entre 50 et 150. Au-delà de 200, la barre n'a pratiquement plus de capacité en compression, et l'on doit se demander si le modèle lui-même est le bon.

1. Résolution Numérique Aire de la section

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elle servira à la contrainte de la question suivante.

Méthodologie du calcul :

Produit des deux dimensions, en millimètres.

Substitution : \( 80 \times 180 \), section courante de lamellé-collé.
Piège évité : L'aire ne dit rien de la stabilité : c'est la forme, non la quantité de matière, qui décide.
Hypothèse validée : Section constante sur toute la longueur, sans affaiblissement courant.
Vérification croisée : 14 400 mm² = 144 cm², section moyenne pour du lamellé-collé.
Finalité : Permettre le calcul de \( \sigma_{c,0,\text{d}} \) en question 4.

\[ \begin{aligned} A = 80 \times 180 = \mathbf{14\,400 \ \text{mm}^{2}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

14 400 mm² — une section généreuse, pour une barre qui n'en tirera presque rien.

Ordre de grandeur : 144 cm² est une section confortable pour un effort de 43 kN.
Impact sur la suite : La contrainte sera faible — moins de 3 N/mm² — et pourtant la barre sera refusée.
Cohérence : Le rapport h/b = 2,25 traduit une section nettement dissymétrique.
Attention : Les 100 mm de hauteur au-delà de la largeur n'apportent rien au flambement hors plan.
Comparaison : Une section carrée de 120 × 120 aurait la même aire, mais un rayon de giration 50 % plus grand hors plan.

Remarque pédagogique : Faites comparer 80 × 180 et 120 × 120 : même aire, même prix, même poids. La première est un excellent choix pour une poutre fléchie, qui a besoin de hauteur. La seconde est le bon choix pour une barre comprimée, qui a besoin d'être également raide dans les deux directions. Choisir la section, c'est d'abord choisir la forme, et la forme découle du mode de sollicitation.

Rayons de giration selon les deux axes

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une section rectangulaire a deux raideurs, pas une.

Méthodologie du calcul :

Chaque dimension divisée par racine de 12, sans passer par \( I \) et \( A \).

Substitution : \( 80/3{,}464 \) hors plan et \( 180/3{,}464 \) dans le plan.
Piège évité : Confondre les axes : le flambement hors plan mobilise la largeur, pas la hauteur.
Hypothèse validée : La hauteur de 180 mm est disposée dans le plan du portique, comme il se doit.
Vérification croisée : Le rapport 51,96/23,09 vaut 2,25, exactement celui des dimensions.
Finalité : Disposer des deux dénominateurs des élancements à venir.

\[ \begin{aligned} i_{z} &= \frac{80}{\sqrt{12}} = \mathbf{23{,}09 \ \text{mm}} \\ i_{y} &= \frac{180}{\sqrt{12}} = \mathbf{51{,}96 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

23,09 et 51,96 mm — un rapport de 2,25 entre les deux directions.

Ordre de grandeur : Le rayon de giration vaut toujours 29 % de la dimension correspondante.
Impact sur la suite : C'est \( i_{z} \), le plus petit, qui produira l'élancement maximal.
Cohérence : Le calcul complet donnerait \( I_{z} = 7{,}68 \times 10^{6} \) mm⁴, et la racine de \( I/A \) redonne bien 23,09.
Attention : Ce rapport de 2,25 ne se retrouvera pas sur les élancements, les longueurs de flambement étant différentes.
Comparaison : Pour égaliser les deux élancements, il faudrait un maintien hors plan tous les 2,25 fois moins que dans le plan.

Remarque pédagogique : Faites retenir la simplification \( i = d/\sqrt{12} \approx 0{,}29\,d \) : elle évite tout calcul de moment quadratique et permet de vérifier de tête n'importe quel élancement de section rectangulaire. C'est l'un des rares raccourcis de l'Eurocode 5 qui soit à la fois exact, universel pour les rectangles, et immédiat.

Élancement hors plan sans maintien intermédiaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est ce que produit l'hypothèse écrite dans la note reprise.

Méthodologie du calcul :

Longueur entière de la diagonale divisée par le petit rayon de giration.

Substitution : \( l_{\text{k}} = 8\,602 \) mm, conformément à \( \beta = 1{,}0 \), et \( i_{z} = 23{,}09 \) mm.
Piège évité : C'est exactement le calcul que la note annonce — mais son résultat en diffère d'un facteur 2.
Hypothèse validée : Croisement des diagonales non assemblé : aucune retenue latérale.
Vérification croisée : \( 23{,}09 \times 372{,}5 = 8\,602 \) : la longueur de départ est bien retrouvée.
Finalité : Montrer que l'hypothèse écrite conduit à une barre sans aucune capacité.

\[ \begin{aligned} \lambda_{z} &= \frac{8\,602}{23{,}09} \\ &= \mathbf{372{,}5} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

372,5 — et non 186,2 : la note reprise a divisé la longueur par deux sans le dire.

Ordre de grandeur : Un élancement de 372 est hors de toute pratique constructive.
Impact sur la suite : Le coefficient de flambement tomberait à 0,028 : la barre ne mobiliserait que 3 % de sa résistance.
Cohérence : Le rapport à la valeur annoncée est exactement 2,000 : la signature d'une longueur divisée par deux.
Cas d'école : Ce n'est pas une erreur de calcul mais une hypothèse implicite — et c'est plus grave.
Comparaison : La capacité de la barre tomberait à 8,5 kN, à comparer aux 43,01 appliqués.

Remarque pédagogique : Faites refaire à la main la division 8 600 / 23,09. C'est un exercice de trente secondes qui aurait suffi à détecter l'incohérence de la note reprise. La leçon dépasse cet exercice : un ordre de grandeur vérifié mentalement attrape plus d'erreurs qu'une relecture complète. Ici, il suffisait de remarquer que 23 × 186 fait 4 300, et non 8 600.

Élancement hors plan avec maintien au croisement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'hypothèse que la note a employée sans la déclarer, et qu'elle est bonne.

Méthodologie du calcul :

La diagonale tendue, rectiligne, sert de point fixe hors plan à mi-longueur.

Substitution : \( l_{\text{k}} = 8\,602/2 = 4\,301 \) mm, et toujours \( i_{z} = 23{,}09 \) mm.
Piège évité : Le maintien n'existe que si les deux diagonales sont boulonnées à leur croisement.
Hypothèse validée : La seconde diagonale est tendue sous ce sens de vent : elle est donc raide et stable.
Vérification croisée : 186,2 est bien la moitié de 372,5, la relation étant linéaire en \( l_{\text{k}} \).
Finalité : Retenir une hypothèse défendable, à condition de la prescrire.

\[ \begin{aligned} \lambda_{z} &= \frac{4\,301}{23{,}09} \\ &= \mathbf{186{,}2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

186,2 — la valeur de la note, enfin justifiée par une hypothèse explicite.

Ordre de grandeur : 186 reste très élevé : au-delà de 150, la capacité en compression s'effondre.
Impact sur la suite : Le coefficient de flambement vaudra 0,110 — encore très pénalisant.
Cohérence : La division par deux de \( l_{\text{k}} \) multiplie la capacité par 3,9, non par deux : la loi est quadratique.
Prescription : Cette valeur engage un boulon au croisement, à porter sur les plans d'exécution.
Comparaison : C'est la valeur que l'on retiendra pour la vérification, faute d'un maintien plus rapproché.

Remarque pédagogique : Faites comprendre le mécanisme du maintien au croisement, qui n'est pas évident. La diagonale tendue est parfaitement rectiligne sous son effort : elle ne peut ni flamber ni se déplacer latéralement de façon significative. Boulonnée à la diagonale comprimée en leur point commun, elle lui interdit de s'échapper hors du plan à cet endroit précis. Le maintien est donc gratuit en matière — il ne coûte qu'un organe d'assemblage — mais il n'est pas gratuit en attention : il doit figurer partout, du calcul au chantier.

Élancement dans le plan du portique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la note reprise ne le fait pas, et qu'il pourrait gouverner.

Méthodologie du calcul :

Longueur entière de la diagonale divisée par le grand rayon de giration.

Substitution : \( l_{\text{k}} = 8\,602 \) mm et \( i_{y} = 51{,}96 \) mm.
Piège évité : Ne pas appliquer ici la réduction du croisement : dans le plan, le maintien est bien plus discutable.
Hypothèse validée : Choix conservatif : on ne compte sur aucun maintien dans le plan du portique.
Vérification croisée : 165,6 est bien inférieur à 186,2 : c'est donc l'axe faible qui gouverne, mais de peu.
Finalité : Identifier le second critère, qui deviendra dimensionnant après redimensionnement.

\[ \begin{aligned} \lambda_{y} &= \frac{8\,602}{51{,}96} \\ &= \mathbf{165{,}6} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

165,6 — à peine inférieur à l'élancement hors plan, et lui aussi très élevé.

Ordre de grandeur : Les deux plans sont dans le même domaine critique : aucun n'offre de marge.
Impact sur la suite : L'axe faible gouverne de peu — 186,2 contre 165,6 — mais les deux échoueront.
Cohérence : Le rapport n'est que de 1,12, alors que les rayons de giration sont dans un rapport de 2,25.
Explication : Le maintien au croisement a compensé la faiblesse de l'axe z, presque exactement.
Comparaison : Élargir la barre déplacera donc le critère vers l'axe fort, ce que la question 4 confirmera.

Remarque pédagogique : Faites observer le rééquilibrage produit par le maintien. Sans lui, les deux élancements sont dans le rapport 2,25 des dimensions et l'axe faible domine largement. Avec lui, ils se rapprochent à 1,12 : la barre travaille presque également dans les deux directions. Un maintien bien placé ne fait pas que réduire un élancement — il rééquilibre la section, et permet enfin d'exploiter la matière que l'on a payée.

RÉSULTAT FINAL

Élancement gouvernant = 186,2 — hors plan, avec maintien au croisement ; 372,5 sans ce maintien, et 165,6 dans le plan du portique

"Pas de boulon, pas de maintien !"

Question 4 : Vérification au flambement et remède

Dans la tête de l'ingénieur

"La note reprise conclut au refus, et je vais y arriver aussi — mais par un chemin entièrement différent, et avec un chiffre différent. Elle emploie sur du lamellé-collé les coefficients du bois massif : \( \gamma_{M} = 1{,}30 \) au lieu de 1,25, et surtout \( \beta_{\text{c}} = 0{,}2 \) au lieu de 0,1, en écrivant noir sur blanc que cette valeur vaut « pour le bois massif et le lamellé-collé ». C'est faux, et l'EN 1995-1-1 est parfaitement explicite au § 6.3.2(3). Elle ne vérifie par ailleurs qu'un seul plan. Je vais tout reprendre, puis proposer une solution — parce qu'une note qui refuse sans proposer ne sert à rien."

Observation : Les coefficients du bois massif sont appliqués à une barre en lamellé-collé.
Analyse du risque : Les corrections vont toutes dans le sens favorable — mais le refus subsiste.
Choix stratégique : Vérifier les deux plans, avec les coefficients du bon matériau.
Point de conception : Proposer un redimensionnement chiffré, et discuter la conception en tirants.
Objectif visé : Un taux de travail défendable et une solution exécutable.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( f_{c,0,\text{d}} = \) 21,12 MPa · \( \sigma_{c,0,\text{d}} = \) 2,99 MPa · \( k_{\text{c},z} = \) 0,110 · taux 128,5 % — refusé · avec b = 100 mm : 81,6 %

Rappel Théorique : le flambement selon l'EN 1995-1-1 § 6.3.2

Une barre comprimée élancée ne s'écrase pas : elle se dérobe. Le coefficient \( k_{\text{c}} \) chiffre cette perte, et dépend du matériau.

Principe 1 — la résistance de calcul : \( f_{c,0,\text{d}} = k_{\text{mod}}\,f_{c,0,\text{k}}/\gamma_{M} \), avec le \( \gamma_{M} \) du matériau réel.
Principe 2 — l'élancement relatif : Il rapporte l'élancement géométrique au couple \( f_{c,0,\text{k}} \) / \( E_{0,05} \).
Principe 3 — le facteur de rectitude : \( \beta_{\text{c}} \) vaut 0,2 en massif et 0,1 en lamellé-collé — jamais l'inverse.
Principe 4 — le plan gouvernant : On calcule \( k_{\text{c}} \) dans chaque plan et on retient le plus petit.
Principe 5 — le bon remède : Contre le flambement, on agit sur la géométrie — longueur ou section — jamais sur la classe de bois.

Équations Fondamentales

Le critère de stabilité, puis la chaîne qui produit le coefficient de flambement.

Critère de stabilité en compression axiale :

EN 1995-1-1 § 6.3.2(3), expression (6.23) réduite à la compression seule.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la ruine d'une barre élancée n'est pas un problème de résistance mais de stabilité. Le matériau n'atteint jamais sa limite : bien avant, un équilibre latéral se rompt et la barre part brutalement de côté. L'Eurocode traduit ce phénomène de la manière la plus simple possible, en affectant la résistance d'un coefficient réducteur \( k_{\text{c}} \) au lieu de changer de critère. La vérification garde ainsi la forme familière « contrainte inférieure à résistance », mais la résistance a été amputée de tout ce que l'instabilité fait perdre.

Contexte de validité : Compression axiale seule ; avec flexion, il faut les expressions (6.23) et (6.24) complètes.
Avantage : La forme du critère reste inchangée : seul le second membre est réduit.
Paramètre clé : \( \gamma_{M} = 1{,}25 \) pour le lamellé-collé, Tableau 2.3.
Vérification : \( k_{\text{c}} \) est toujours compris entre 0 et 1 ; toute valeur supérieure signale une erreur.
Limite : Le critère porte sur la barre : les assemblages se vérifient séparément.

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{c,0,\text{d}}}{k_{\text{c}}\,f_{c,0,\text{d}}} \leq 1 \quad \text{avec} \quad f_{c,0,\text{d}} = \frac{k_{\text{mod}}\,f_{c,0,\text{k}}}{\gamma_{M}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la barre ne dispose que d'une fraction de la résistance de son bois. Et cette fraction ne dépend pas du bois : elle dépend de la forme et de la longueur. Payer un bois plus résistant sans toucher à la géométrie revient à acheter une capacité que la barre ne pourra pas utiliser.

Décomposition des termes :

\( f_{c,0,\text{k}} = 24 \) : compression axiale du GL24h, NF EN 14080, unité : N/mm²
\( k_{\text{mod}} = 1{,}10 \) : classe de service 1, action instantanée du vent, unité : —
\( \gamma_{M} = 1{,}25 \) : coefficient partiel du lamellé-collé — et non 1,30, unité : —
\( k_{\text{c}} \) : fraction de la résistance réellement mobilisable, unité : —
\( \sigma_{c,0,\text{d}} = N/A \) : contrainte de compression appliquée, unité : N/mm²

Élancement relatif et coefficient de flambement :

EN 1995-1-1 § 6.3.2, expressions (6.21), (6.27) et (6.25).

Pourquoi cette formule ?

Parce que la charge critique d'Euler suppose une barre parfaite : rigoureusement droite, parfaitement élastique, chargée exactement dans l'axe. Aucune barre réelle ne l'est. Le coefficient \( \beta_{\text{c}} \) introduit une imperfection initiale de rectitude, exprimée en fraction de la longueur. Il vaut 0,2 pour le bois massif, dont la rectitude dépend de la croissance de l'arbre et du séchage, et 0,1 pour le lamellé-collé, fabriqué sous presse à partir de lamelles calibrées. Confondre les deux, c'est se tromper d'un facteur deux sur le défaut supposé de la pièce.

Contexte de validité : \( k_{\text{c}} = 1 \) tant que \( \lambda_{\text{rel}} \le 0{,}3 \) : la barre s'écrase avant de flamber.
Avantage : Une formule continue, du poteau trapu à la barre très élancée.
Paramètre clé : Pour le GL24h, \( \sqrt{24/9\,600} = 0{,}05 \) exactement : \( \lambda_{\text{rel}} = \lambda/62{,}83 \).
Vérification : Pour \( \lambda_{\text{rel}} \) grand, \( k_{\text{c}} \) tend vers \( 1/\lambda_{\text{rel}}^{2} \) : un encadrement par le haut.
Limite : Le radicande \( k^{2} - \lambda_{\text{rel}}^{2} \) est toujours positif : un résultat négatif signale une erreur.

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel}} = \frac{\lambda}{\pi}\sqrt{\frac{f_{c,0,\text{k}}}{E_{0,05}}} \quad ; \quad k = 0{,}5\left[1 + \beta_{\text{c}}(\lambda_{\text{rel}} - 0{,}3) + \lambda_{\text{rel}}^{2}\right] \quad ; \quad k_{\text{c}} = \frac{1}{k + \sqrt{k^{2} - \lambda_{\text{rel}}^{2}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la capacité s'effondre comme le carré de l'élancement. Ce n'est pas une perte progressive mais une chute : entre \( \lambda = 186 \) et \( \lambda = 372 \), la capacité n'est pas divisée par deux mais par près de quatre. C'est ce qui rend le flambement si redoutable — et si rentable à combattre par un maintien bien placé.

Décomposition des termes :

\( E_{0,05} = 9\,600 \) : fractile 5 % du module du GL24h — pas les 11 500 du module moyen, unité : N/mm²
\( \beta_{\text{c}} = 0{,}1 \) : rectitude du lamellé-collé, § 6.3.2(3), unité : —
Seuil 0,3 : en deçà, aucune réduction n'est appliquée, unité : —
\( k \) : grandeur intermédiaire sans signification physique directe, unité : —
62,83 : diviseur propre au GL24h, égal à \( \pi/0{,}05 \), unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'appliquer au lamellé-collé les coefficients du bois massif..."

L'approche d'ingénieur : On identifie le matériau avant d'ouvrir le moindre tableau de coefficients.

L'erreur : Prendre \( \gamma_{M} = 1{,}30 \) et \( \beta_{\text{c}} = 0{,}2 \) sur une barre en GL24h.
La bonne méthode : Le lamellé-collé a ses propres valeurs : 1,25 et 0,1, et sa norme produit est la NF EN 14080.
L'astuce de pro : Le repère est simple : dès que la référence commence par GL, tous les coefficients changent.
Le moyen mnémotechnique : « GL, c'est 1,25 et 0,1 ».
L'impact direct : Les deux corrections vont dans le sens favorable et redressent le taux de 168 % à 128,5 % — mais la section reste refusée.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Effort : 43,01 kN = 43 012 N
Contrainte : N / mm² = MPa
\( \lambda_{\text{rel}} \), \( k \), \( k_{\text{c}} \) : sans unité
\( k_{\text{mod}} \) et \( \gamma_{M} \) : sans unité
Taux de travail : rapport de deux MPa, donc sans unité

Cette question ne comporte presque que des grandeurs sans dimension, ce qui prive du contrôle par les unités. Les garde-fous sont ailleurs : \( k_{\text{c}} \) doit rester entre 0 et 1, le radicande doit rester positif, et l'asymptote \( 1/\lambda_{\text{rel}}^{2} \) encadre toujours \( k_{\text{c}} \) par le haut. Trois contrôles gratuits qui attrapent l'essentiel des erreurs de saisie.

1. Résolution Numérique Résistance de calcul en compression

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est ici que se joue la première correction de matériau.

Méthodologie du calcul :

Application de \( k_{\text{mod}} \) et du \( \gamma_{M} \) du lamellé-collé.

Substitution : \( f_{c,0,\text{k}} = 24 \) MPa, \( k_{\text{mod}} = 1{,}10 \), \( \gamma_{M} = 1{,}25 \).
Piège évité : Le \( \gamma_{M} = 1{,}30 \) du bois massif, employé à tort dans la note reprise.
Hypothèse validée : Vent classé en action instantanée par l'annexe nationale — à confirmer sur le texte.
Vérification croisée : \( k_{\text{mod}}/\gamma_{M} = 0{,}88 \) : la résistance de calcul vaut 88 % de la caractéristique.
Finalité : Fournir la borne que \( k_{\text{c}} \) viendra ensuite réduire.

\[ \begin{aligned} f_{c,0,\text{d}} &= \frac{1{,}10 \times 24}{1{,}25} \\ &= \mathbf{21{,}12 \ \text{MPa}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

21,12 MPa, contre 16,62 dans la note reprise — 27 % de plus.

Ordre de grandeur : Un \( k_{\text{mod}} \) supérieur à 1 est normal pour une action instantanée : le bois est plus résistant sous charge brève.
Impact sur la suite : Cette correction fait à elle seule passer le taux de 168 % à environ 132 %.
Cohérence : Avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \), la valeur serait de 17,28 MPa et le taux de 157 %.
Attention : La classe de durée du vent relève de l'annexe nationale et doit être tracée dans la note.
Comparaison : La conclusion est robuste : à 1,10 comme à 0,90, la section est refusée.

Remarque pédagogique : Faites tester la robustesse d'une conclusion vis-à-vis d'un coefficient incertain. Ici, la classe de durée du vent est le seul point qui dépende d'une lecture de l'annexe nationale. En calculant les deux cas — 157 % et 128,5 % — on démontre que la conclusion ne dépend pas de cette lecture. C'est bien plus solide que d'affirmer une valeur, et cela évite d'avoir à refaire la note si le contrôle tranche autrement.

Contrainte de compression appliquée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur que le critère compare à la capacité.

Méthodologie du calcul :

Effort axial en newtons divisé par l'aire en mm².

Substitution : \( 43\,012 \) N et \( A = 14\,400 \) mm².
Piège évité : La conversion kN d'où N, oubli le plus fréquent de toute la mécanique.
Hypothèse validée : Effort centré, section constante, pas d'affaiblissement en travée.
Vérification croisée : 43 000 / 14 400 ≈ 3 : l'ordre de grandeur se pose de tête.
Finalité : Obtenir le numérateur du taux de travail.

\[ \begin{aligned} \sigma_{c,0,\text{d}} &= \frac{43\,012}{14\,400} \\ &= \mathbf{2{,}99 \ \text{MPa}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,99 MPa — soit 14 % seulement de la résistance de calcul.

Ordre de grandeur : Une contrainte très faible : sans flambement, la barre serait largement vérifiée.
Impact sur la suite : C'est bien l'instabilité, et elle seule, qui va faire échouer la vérification.
Cohérence : Le rapport \( \sigma/f_{c,0,\text{d}} = 14{,}1 \ \% \) : c'est le taux qu'on obtiendrait en oubliant le flambement.
Attention : Conclure ici serait l'erreur capitale : 14 % contre 128,5 %, un facteur neuf.
Comparaison : En traction, cette même contrainte donnerait un taux de 17,7 % — et la barre passerait sans discussion.

Remarque pédagogique : Faites mesurer l'écart entre les deux lectures de ce même chiffre. Comparé à la résistance du matériau, il donne 14 % et une impression de grande sécurité. Comparé à la capacité réelle de la barre, il donne 128,5 % et un refus. C'est exactement le piège que la note reprise a évité — elle a bien fait la vérification au flambement — mais que beaucoup d'étudiants ne franchissent pas.

Élancement relatif hors plan

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il normalise l'élancement géométrique par le matériau.

Méthodologie du calcul :

Division par 62,83, le diviseur propre au GL24h.

Substitution : \( \lambda_{z} = 186{,}2 \) et \( \sqrt{24/9\,600} = 0{,}05 \).
Piège évité : Employer \( E_{0,\text{mean}} = 11\,500 \) au lieu du fractile : \( \lambda_{\text{rel}} \) chuterait de 9 %.
Hypothèse validée : Maintien au croisement prescrit, donc \( \lambda_{z} = 186{,}2 \).
Vérification croisée : Le rapport 0,05 est exact pour le GL24h : 24/9 600 = 1/400.
Finalité : Alimenter la formule du coefficient de flambement.

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel},z} &= \frac{186{,}2}{\pi} \times 0{,}05 \\ &= \mathbf{2{,}964} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,964 — soit près de dix fois le seuil de 0,3 en deçà duquel il n'y a pas de flambement.

Ordre de grandeur : Au-delà de \( \lambda_{\text{rel}} = 2 \), la barre est en plein domaine d'Euler.
Impact sur la suite : \( k_{\text{c}} \) sera de l'ordre de 0,11, très proche de l'asymptote \( 1/\lambda_{\text{rel}}^{2} = 0{,}114 \).
Cohérence : Le repère \( \lambda/62{,}83 \) redonne bien 2,964 : le contrôle est immédiat.
Cas d'école : À ce niveau, le matériau ne compte presque plus : seule la géométrie décide.
Comparaison : Sans le maintien au croisement, \( \lambda_{\text{rel}} \) atteindrait 5,93, valeur sans aucun sens constructif.

Remarque pédagogique : Faites relever la coïncidence heureuse du GL24h : \( f_{c,0,\text{k}}/E_{0,05} = 24/9\,600 = 1/400 \), dont la racine vaut exactement 0,05. L'élancement relatif se réduit alors à \( \lambda/62{,}83 \), un rapport qu'on retient sans effort. Beaucoup de classes de bois offrent ainsi un raccourci : le repérer fait gagner du temps et fournit un contrôle instantané des résultats.

Coefficient de flambement hors plan

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est ici que se joue la seconde correction de matériau.

Méthodologie du calcul :

Expressions (6.27) puis (6.25), avec \( \beta_{\text{c}} = 0{,}1 \) du lamellé-collé.

Substitution : \( k = 0{,}5\,[1 + 0{,}1 \times 2{,}664 + 8{,}786] = 5{,}026 \).
Piège évité : \( \beta_{\text{c}} = 0{,}2 \), valeur du bois massif, employée à tort dans la note reprise.
Hypothèse validée : Barre droite à la livraison, comme le suppose tout le modèle de l'Eurocode.
Vérification croisée : Le radicande \( 25{,}265 - 8{,}786 = 16{,}479 \) est bien positif.
Finalité : Obtenir la fraction de résistance réellement mobilisable.

\[ \begin{aligned} k &= 5{,}026 \\ k_{\text{c},z} &= \frac{1}{5{,}026 + \sqrt{25{,}265 - 8{,}786}} = \mathbf{0{,}110} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,110, contre 0,107 dans la note reprise — la correction de \( \beta_{\text{c}} \) est ici modeste.

Ordre de grandeur : 89 % de la résistance du bois est perdue par la seule instabilité.
Impact sur la suite : La capacité tombe à 2,32 MPa, inférieure aux 2,99 appliqués.
Cohérence : L'asymptote \( 1/\lambda_{\text{rel}}^{2} = 0{,}114 \) encadre bien le résultat par le haut.
Nuance : À très fort élancement, \( \beta_{\text{c}} \) pèse peu : le terme \( \lambda_{\text{rel}}^{2} \) domine tout.
Comparaison : Sur une barre trapue, l'écart entre 0,1 et 0,2 atteindrait plusieurs pour cent : ce n'est pas toujours négligeable.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que la correction de \( \beta_{\text{c}} \) ne change presque rien ici — 0,110 au lieu de 0,107 — parce que l'élancement est énorme et que le terme quadratique écrase tout. Ce n'est pas une raison pour la négliger. Une note de calculs se juge sur sa traçabilité, pas seulement sur ses chiffres : écrire que \( \beta_{\text{c}} \) vaut 0,2 pour le lamellé-collé est une affirmation fausse, quelle que soit son influence numérique dans ce cas particulier.

Taux de travail hors plan

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la conclusion normative de l'étude.

Méthodologie du calcul :

Rapport de la contrainte à la capacité réduite par le flambement.

Substitution : \( 2{,}99 \) MPa et \( 0{,}110 \times 21{,}12 = 2{,}32 \) MPa.
Piège évité : Appliquer \( k_{\text{c}} \) à la contrainte au lieu de la résistance.
Hypothèse validée : Le maintien au croisement est prescrit ; sans lui, le taux serait bien pire.
Vérification croisée : La capacité de la barre vaut 33,5 kN, pour 43,01 appliqués.
Finalité : Prononcer un refus chiffré et justifiable.

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{c,0,\text{d}}}{k_{\text{c},z}\,f_{c,0,\text{d}}} &= \frac{2{,}99}{2{,}32} \\ &= \mathbf{128{,}5 \ \%} > 100 \ \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

128,5 % — la section est refusée, mais le dépassement n'est plus celui annoncé.

Ordre de grandeur : Le dépassement est de 28,5 %, contre 68 % dans la note reprise.
Impact sur la suite : Un dépassement de 28 % se rattrape par un petit changement de section.
Cohérence : Le vent de calcul admissible tomberait à 19,5 kN au lieu des 25 prévus.
Robustesse : Avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \), le taux monterait à 157 % : le refus tient dans les deux cas.
Comparaison : Sans maintien au croisement, le taux atteindrait 505 % : le maintien n'est pas optionnel.

Remarque pédagogique : Faites noter que la conclusion de la note reprise était juste — la section ne passe pas — alors que presque tous ses chiffres étaient faux. C'est le cas le plus insidieux : une note qui se trompe partout mais tombe juste à la fin ne déclenche aucune alerte, et sera reprise telle quelle sur le projet suivant, où la compensation d'erreurs ne jouera plus.

Vérification dans le plan du portique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la note reprise l'omet, et qu'il échoue lui aussi.

Méthodologie du calcul :

Même chaîne de calcul, avec \( \lambda_{y} = 165{,}6 \) et la longueur entière.

Substitution : \( \lambda_{\text{rel},y} = 165{,}6/62{,}83 = 2{,}635 \).
Piège évité : Croire que l'axe fort est toujours le moins critique : les longueurs de flambement diffèrent.
Hypothèse validée : Aucun maintien intermédiaire retenu dans le plan du portique.
Vérification croisée : \( k_{\text{c},y} = 0{,}139 \) est bien supérieur à \( k_{\text{c},z} = 0{,}110 \) : l'axe faible gouverne.
Finalité : Montrer que les deux plans échouent, ce qui change la stratégie de reprise.

\[ \begin{aligned} k_{\text{c},y} &= 0{,}139 \\ \text{taux} &= \frac{2{,}99}{0{,}139 \times 21{,}12} = \mathbf{102{,}0 \ \%} > 100 \ \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

102,0 % — l'axe fort échoue lui aussi, de très peu.

Ordre de grandeur : Les deux plans sont tous deux en dépassement : élargir la barre ne suffira pas seul.
Impact sur la suite : Le remède doit agir sur l'axe fort aussi, donc sur l'aire ou la longueur.
Cohérence : L'écart entre les deux taux n'est que de 26 points, la section étant bien équilibrée par le maintien.
Cas d'école : Vérifier un seul plan aurait ici manqué un critère qui échoue de 2 % — de justesse, mais il échoue.
Comparaison : Après élargissement, c'est cet axe qui reprendra la main et deviendra dimensionnant.

Remarque pédagogique : Faites retenir qu'un critère qui échoue de 2 % compte autant qu'un critère qui échoue de 30 %. La différence est de l'ordre du remède à apporter, pas de la conclusion à prononcer. Un ingénieur qui écrit « 102 %, donc ça passe » commet la même faute qu'un ingénieur qui n'aurait pas fait le calcul : il substitue son jugement à la règle qu'il a lui-même choisi d'appliquer.

Redimensionnement à 100 × 180 mm

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une note qui refuse sans proposer ne sert à rien.

Méthodologie du calcul :

Reprise complète de la chaîne avec une largeur portée à 100 mm.

Substitution : \( A = 18\,000 \) mm², \( \sigma = 2{,}39 \) MPa, \( \lambda_{z} = 149{,}0 \).
Piège évité : Oublier que l'élancement dans le plan ne change pas : la hauteur reste de 180 mm.
Hypothèse validée : Maintien au croisement toujours prescrit, sans lequel rien ne passe.
Vérification croisée : Hors plan, \( k_{\text{c},z} = 0{,}170 \) et le taux tombe à 66,5 %.
Finalité : Fournir une section commandable et vérifiée dans les deux plans.

\[ \begin{aligned} \text{hors plan} &: \ \frac{2{,}39}{0{,}170 \times 21{,}12} = 66{,}5 \ \% \\ \text{dans le plan} &: \ \frac{2{,}39}{0{,}139 \times 21{,}12} = \mathbf{81{,}6 \ \%} \leq 100 \ \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

81,6 % — vérifié, et le critère a changé de plan.

Ordre de grandeur : Une marge de 18 % : correcte pour un élément de contreventement.
Impact sur la suite : C'est désormais le plan du portique qui gouverne : élargir davantage ne servirait plus à rien.
Cohérence : 25 % de largeur en plus font gagner 47 points de taux : le rendement est excellent.
Praticité : 100 × 180 est une section courante de lamellé-collé, sans surcoût de fabrication.
Comparaison : Pour descendre plus bas, il faudrait augmenter la hauteur, ou raccourcir la barre.

Remarque pédagogique : Faites observer le basculement du critère. Avant élargissement, c'est l'axe faible qui gouverne à 128,5 %. Après, c'est l'axe fort à 81,6 %, l'axe faible étant redescendu à 66,5 %. Continuer d'élargir n'améliorerait plus rien : le dimensionnement optimal est atteint quand les deux critères s'égalisent. C'est un réflexe qui vaut bien au-delà du bois.

Variante : conception en diagonale tendue

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la conception habituelle d'une croix de Saint-André.

Méthodologie du calcul :

La section initiale 80 × 180, vérifiée en traction axiale selon le § 6.1.2.

Substitution : \( f_{t,0,\text{k}} = 19{,}2 \) MPa pour le GL24h, même \( k_{\text{mod}} \) et même \( \gamma_{M} \).
Piège évité : La valeur 16,5 MPa de l'ancienne EN 1194, encore présente dans beaucoup de formulaires.
Hypothèse validée : \( k_{h} = 1 \) : la hauteur de 180 mm est très en deçà du seuil de 600 mm du lamellé-collé.
Vérification croisée : L'effort admissible en traction atteint 243 kN, contre 33,5 en compression.
Finalité : Chiffrer l'alternative de conception, et non seulement de dimensionnement.

\[ \begin{aligned} f_{t,0,\text{d}} &= \frac{1{,}10 \times 19{,}2}{1{,}25} = 16{,}90 \ \text{MPa} \\ \text{taux} &= \frac{2{,}99}{16{,}90} = \mathbf{17{,}7 \ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

17,7 % — la même barre, le même effort, mais tendue au lieu d'être comprimée.

Ordre de grandeur : Un taux sept fois plus faible qu'en compression, pour une section identique.
Impact sur la suite : La section 80 × 180 convient parfaitement si la croix travaille en tirants.
Cohérence : Le rapport des capacités, 243 contre 33,5 kN, mesure tout ce que coûte l'instabilité.
Attention : Le point dur se déplace vers les assemblages, qui doivent reprendre 43 kN en traction pure.
Comparaison : Une conception en tirants rend le calcul de flambement entièrement sans objet.

Remarque pédagogique : Faites conclure sur la hiérarchie des remèdes. Changer de modèle — faire travailler la diagonale tendue — ramène le taux à 17,7 % sans toucher à la section. Changer la section le ramène à 81,6 % en consommant 25 % de bois en plus. Changer la classe de bois ne ferait presque rien, le module ne progressant que de 17 % du GL24h au GL32h. En stabilité, le meilleur levier est presque toujours le modèle, puis la géométrie, et jamais le matériau.

RÉSULTAT FINAL

Taux de travail au flambement = 128,5 % — section refusée dans les deux plans ; 81,6 % avec une largeur portée à 100 mm, ou 17,7 % en conception à diagonale tendue

"GL, c'est 1,25 et 0,1 !"

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Schéma bilan — les efforts dans la croix et ce qui refuse la section

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de vérification :

J'ai déclaré depuis quelle direction l' angle est mesuré, et je l'ai reporté sur le schéma. J'ai descendu la composante verticale jusqu'aux fondations, sans perdre la charge en route. J'ai écrit la disposition constructive qui justifie la longueur de flambement retenue. J'ai contrôlé mon élancement par un ordre de grandeur calculé de tête. J'ai pris les coefficients du lamellé-collé , 1,25 et 0,1, et non ceux du bois massif. J'ai vérifié les deux plans de flambement, et non le seul axe faible. J'ai proposé une solution chiffrée , et pas seulement prononcé un refus.

Avis technique — la diagonale 80 × 180 en GL24h est refusée à 128,5 %, et non à 168 % comme l'annonçait la note reprise. La diagonale mesure 8,602 m et fait 54,46° avec l'horizontale. L'effort axial atteint 43,01 kN, soit 1,72 fois la poussée de vent, accompagné de 35,00 kN verticaux à descendre aux fondations — dont un soulèvement du poteau au vent, que la note ne mentionne jamais. L'élancement hors plan vaut 372,5 sans maintien intermédiaire et 186,2 si les deux diagonales sont assemblées à leur croisement ; dans le plan du portique, il vaut 165,6. Avec les coefficients du lamellé-collé, \( k_{\text{c},z} = \) 0,110 et le taux atteint 128,5 %. Le plan du portique échoue lui aussi, à 102,0 %. Porter la largeur à 100 mm ramène le taux à 81,6 %, gouverné cette fois par le plan du portique.

Le défaut central de la note reprise est un élancement qui ne se déduit pas de ses propres hypothèses : 186,2 au lieu de 372,5, soit la moitié de la longueur — c'est-à-dire un boulon de croisement jamais formulé, qu'il faut pourtant dessiner, dimensionner et poser. La plus-value technique de cette étude tient à ce qu'elle corrige une chaîne de traçabilité : une longueur de flambement n'est pas un paramètre que l'on choisit, mais une disposition constructive que l'on prescrit.

Traçabilité des valeurs tabulées

Les valeurs de coefficients et les résistances caractéristiques employées dans cet exercice proviennent des tableaux de la NF EN 1995-1-1 et des normes produits associées. Chacune est rattachée ci-dessous à la clause ou au tableau qui la fixe, de sorte qu'un tiers puisse la retrouver et vérifier le calcul sans le refaire. Les valeurs relevant d'un paramètre national sont signalées comme telles : c'est l'annexe nationale du pays du projet qui les arrête. Les coefficients qui ont pu être confirmés sur source — \( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \) et \( \beta_{\text{c}} \) — ne figurent pas dans cette liste.

NF EN 338 — classes de résistance : les valeurs principales des classes C24 et C30 sont celles du tableau 1 — \( f_{m,\text{k}} \), \( f_{\text{c},0,\text{k}} \), \( f_{v,\text{k}} \), \( E_{0,\text{mean}} \) et \( \rho_{\text{k}} \). La classe D40 relève du tableau des feuillus, et le \( f_{t,0,\text{k}} \) du C24 : la valeur de 14,5 retenue ici suit l'édition 2016 de la norme, quand l'édition 2003 donne 14,0.
NF EN 14080 — bois lamellé-collé : les valeurs caractéristiques du GL24h employées ici.

Dimensionnement d'un Contreventement en Bois

Dimensionnement d'un Contreventement en Bois

Le premier mois à 1 €

Croix de Saint-André : l'élancement qui a été divisé par deux

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Géométrie de la diagonale

Question 2 : Effort de compression et descente de charges

Question 3 : Élancements de la diagonale

Question 4 (Finale) : Vérification au flambement et remède

Croix de Saint-André : l'élancement qui a été divisé par deux

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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