Déversement d'une Poutre en Lamellé-Collé

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Une poutre haute et étroite ne rompt pas toujours par excès de contrainte : elle peut d'abord s'échapper latéralement en se tordant, bien avant d'atteindre sa résistance en flexion. Ce phénomène s'appelle le déversement, et il ne concerne pas la solidité du matériau mais la forme de la pièce. L'Eurocode 5 le traite par un coefficient \( k_{\text{crit}} \) qui réduit la résistance en flexion, avec un seuil net : en dessous d'un élancement relatif de 0,75, on n'en tient pas compte ; au-dessus, il faut le chiffrer. Cet exercice porte sur une panne en GL24h de 120 × 360 mm sur 6,00 m, et l'intérêt du cas est qu'elle se situe exactement sur ce seuil — le verdict dépend de la formule employée.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Une panne de toiture en lamellé-collé GL24h, section 120 × 360 mm, portée 6,00 m sur appuis simples, sous charge répartie. Elle est maintenue contre la torsion aux extrémités seulement — aucun appui latéral intermédiaire.
Environnement : Classe de service 2, action de longue durée : \( k_{\text{mod}} = 0{,}70 \). Le coefficient partiel du lamellé-collé vaut 1,25, et non 1,30 comme en bois massif.
L'objectif final : Établir la contrainte critique de déversement par les deux voies de l'Eurocode — la formule simplifiée et la formule exacte — et conclure sur le coefficient \( k_{\text{crit}} \). Les deux voies ne donnent pas le même verdict.
L'astuce de l'ingénieur : Le déversement est une instabilité : elle se calcule avec le module au fractile 5 %, jamais avec le module moyen. C'est la pièce la plus souple qui déverse, pas la pièce moyenne.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur structure et vous reprenez une note de calculs établie par un confrère, qui conclut à l'absence de risque de déversement. Votre travail consiste à refaire la vérification avec les bonnes valeurs normatives, à mesurer l'écart, et à dire sous quelles conditions cette panne resterait stable.

Le grand défi : La longueur efficace n'est pas la portée. Le tableau 6.1 donne \( l_{\text{ef}} = 0{,}9\,l \) pour une charge répartie, mais impose d'ajouter \( 2h \) si la charge s'applique sur la fibre comprimée — ce qui est le cas d'une panne de toiture.
Votre rôle : Produire une note traçable : longueur efficace justifiée, contrainte critique par les deux voies, élancement relatif, coefficient \( k_{\text{crit}} \), et un avis sur les dispositions constructives.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — les grandeurs de base : le moment de calcul, le module de flexion, la contrainte \( \sigma_{m,\text{d}} \) et la résistance \( f_{m,\text{d}} \) du GL24h en classe de service 2.
Livrable 2 — la stabilité : la longueur efficace justifiée par le tableau 6.1, la contrainte critique par les deux voies, l'élancement relatif, le coefficient \( k_{\text{crit}} \) et un avis sur les dispositions constructives.

2. Données Techniques & Normes

Le calcul est mené selon la NF EN 1995-1-1 avec les valeurs de l'annexe nationale française, et les caractéristiques du lamellé-collé proviennent de la NF EN 14080. Trois points appellent une vigilance particulière : la formule simplifiée du § 6.3.3(5) emploie \( E_{0,05} \) et non \( E_{0,\text{mean}} \) ; la longueur efficace se lit dans le tableau 6.1 et se corrige selon la position de la charge sur la hauteur ; et la formule exacte du § 6.3.3(2) fait intervenir la rigidité de torsion, qui n'apparaît pas dans la version simplifiée.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Moment maximal, charge uniformément répartie \( M_{\text{d}} = \dfrac{q_{\text{d}}\,L^{2}}{8} \)
Module de flexion et moment quadratique latéral \( W_{y} = \dfrac{b\,h^{2}}{6} \) · \( I_{z} = \dfrac{h\,b^{3}}{12} \)
Constante de torsion d'une section rectangulaire \( I_{\text{tor}} = \beta\,h\,b^{3} \)
Longueur efficace — tableau 6.1, charge répartie \( l_{\text{ef}} = 0{,}9\,l + 2h \)
Contrainte critique, formule simplifiée — § 6.3.3(5) \( \sigma_{m,\text{crit}} = \dfrac{0{,}78\,b^{2}}{h\,l_{\text{ef}}}\,E_{0,05} \)
Moment critique, formule exacte — § 6.3.3(2) \( M_{y,\text{crit}} = \dfrac{\pi}{l_{\text{ef}}}\sqrt{E_{0,05}\,I_{z}\;G_{05}\,I_{\text{tor}}} \)
Élancement relatif au déversement \( \lambda_{\text{rel},m} = \sqrt{\dfrac{f_{m,\text{k}}}{\sigma_{m,\text{crit}}}} \)
Coefficient de déversement — § 6.3.3(4) \( k_{\text{crit}} = 1{,}56 - 0{,}75\,\lambda_{\text{rel},m} \) pour \( 0{,}75 < \lambda_{\text{rel},m} \le 1{,}4 \)
Critère de vérification au déversement \( \sigma_{m,\text{d}} \le k_{\text{crit}}\,f_{m,\text{d}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( b \times h \)	Section de la panne, rapport h/b = 3	120 × 360	mm
\( L \)	Portée entre appuis, poutre isostatique	6 000	mm
\( f_{m,\text{k}} \)	Résistance caractéristique en flexion du GL24h NF EN 14080 - Tableau 5	24	N/mm²
\( E_{0,\text{mean}} \)	Module axial moyen — réservé aux flèches, à ne pas employer ici NF EN 14080 - Tableau 5	11 500	N/mm²
\( E_{0,05} \)	Fractile 5 % du module axial — obligatoire pour toute instabilité NF EN 14080 - Tableau 5	9 600	N/mm²
\( G_{05} \)	Fractile 5 % du module de cisaillement, pour la formule exacte NF EN 14080 - Tableau 5	540	N/mm²
\( \beta \)	Coefficient de torsion d'un rectangle pour \( h/b = 3 \)	0,263	—
\( \gamma_{\text{M}} \)	Coefficient partiel du lamellé-collé — et non 1,30 EN 1995-1-1 - Tableau 2.3	1,25	—
\( k_{\text{mod}} \)	Classe de service 2, action de longue durée EN 1995-1-1 - Tableau 3.1	0,70	—

Les trois pièges de cette vérification

Le module : \( E_{0,05} \text{ et non } E_{0,\text{mean}} \text{ — une instabilite est gouvernee par la piece la plus souple} \)
La longueur : \( l_{\text{ef}} \ne L \text{ — le tableau 6.1 corrige selon le chargement et la position de la charge} \)
Le seuil : \( \lambda_{\text{rel},m} = 0{,}75 \text{ — en dessous } k_{\text{crit}} = 1 \text{, au-dessus il faut le calculer} \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( q_{\text{d}} \)	Charge uniformément répartie, déjà pondérée à l'ELU	2,5	kN/m
Position	Charge appliquée sur la fibre comprimée — cas défavorable, qui majore \( l_{\text{ef}} \) de \( 2h \) EN 1995-1-1 - Tableau 6.1	Supérieure	—
Maintiens	Torsion empêchée aux appuis seulement, aucun maintien latéral intermédiaire	2	—

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Cisaillement : \( \S\,6.1.7 \text{ — non demande, la charge etant faible} \)
Fleche a l ELS : \( \S\,7.2 \text{ — a mener separement avec } E_{0,\text{mean}} \)
Effet de hauteur : \( k_{\text{h}} \text{ du } \S\,3.3 \text{ — applicable ici, mais neglige de facon securitaire} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Longueur efficace — extrait du tableau 6.1

Type de poutre et de chargement	\( l_{\text{ef}}/l \)
Sur deux appuis, moment constant	1,0
Sur deux appuis, charge uniformément répartie	0,9
Sur deux appuis, charge concentrée à mi-portée	0,8
Console, charge répartie	0,5
Console, charge concentrée en extrémité	0,8

Ces rapports valent pour une poutre dont la torsion est empêchée aux appuis et dont la charge est appliquée au centre de gravité de la section. Deux corrections s'y ajoutent : si la charge s'applique sur la fibre comprimée, \( l_{\text{ef}} \) doit être majorée de \( 2h \) ; si elle s'applique sur la fibre tendue, elle peut être réduite de \( 0{,}5h \). Sur une panne de toiture, la charge arrive par le dessus : c'est le cas défavorable.

Coefficient de déversement \( k_{\text{crit}} \) — § 6.3.3(4)

Domaine	\( k_{\text{crit}} \)
\( \lambda_{\text{rel},m} \le 0{,}75 \)	1,0
\( 0{,}75 < \lambda_{\text{rel},m} \le 1{,}4 \)	\( 1{,}56 - 0{,}75\,\lambda_{\text{rel},m} \)
\( \lambda_{\text{rel},m} > 1{,}4 \)	\( 1/\lambda_{\text{rel},m}^{2} \)

La courbe est continue : à \( \lambda_{\text{rel},m} = 0{,}75 \), la seconde expression donne bien 1,0, et à 1,4 les deuxième et troisième donnent toutes deux 0,51. Le palier initial traduit le fait qu'une poutre trapue rompt par excès de contrainte avant d'avoir le temps de déverser. La zone linéaire correspond à une ruine mixte, et la zone hyperbolique à une instabilité purement élastique, où la résistance du bois ne joue plus aucun rôle.

Deux formules pour une même contrainte critique

Formule exacte, § 6.3.3(2) : elle fait intervenir la rigidité de flexion latérale \( E_{0,05}I_{z} \) et la rigidité de torsion \( G_{05}I_{\text{tor}} \)
Formule simplifiée, § 6.3.3(5) : elle condense les deux en un coefficient 0,78, mais le texte la réserve aux résineux de section rectangulaire pleine
Écart : sur cette poutre, la formule simplifiée est plus favorable que l'exacte — les deux encadrent le seuil de 0,75

Le coefficient 0,78 résulte d'un calage sur les propriétés élastiques moyennes des résineux massifs, pour lesquels le rapport \( G/E \) est voisin de 1/16. Le lamellé-collé s'en écarte légèrement, et la formule simplifiée devient alors optimiste. C'est sans conséquence quand la poutre est loin du seuil ; ici, elle est dessus, et le choix de la formule décide du verdict.

Traçabilité des valeurs employées

Les clauses et formules employées ici proviennent de la documentation officielle de la Commission européenne sur l'EN 1995-1-1. Les valeurs tabulées suivantes sont rattachées à la norme et, le cas échéant, au paramètre national qui les fixe :

\( f_{m,\text{k}} = 24 \), \( E_{0,\text{mean}} = 11\,500 \), \( E_{0,05} = 9\,600 \) et \( G_{05} = 540 \) N/mm² pour le GL24h — NF EN 14080, tableau 5
Le module de cisaillement moyen du GL24h vaut 650 N/mm² dans la NF EN 14080 ; l'ancienne EN 1194 portait 720, valeur encore présente dans beaucoup de supports
\( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \) et \( k_{\text{mod}} = 0{,}70 \) — tableaux 2.3 et 3.1
Rapports \( l_{\text{ef}}/l \) et corrections de position de charge — tableau 6.1 et sa note
\( \beta = 0{,}263 \) pour \( h/b = 3 \) : valeur classique de la théorie de la torsion des rectangles, non tabulée par l'Eurocode

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Sollicitation et résistance de calcul

Flexion simple 20 min | Accessible

But de l'étape : Établir les deux termes que la vérification finale confrontera : la contrainte de flexion et la résistance de calcul. Le déversement viendra ensuite réduire la seconde.

Énoncé Q1 : À partir de la charge de calcul :

calculer le moment maximal \( M_{\text{d}} \) et le module de flexion \( W_{y} \) ;
en déduire la contrainte de flexion \( \sigma_{m,\text{d}} \) ;
établir la résistance de calcul \( f_{m,\text{d}} \) en citant les deux coefficients employés.

Le coefficient partiel du lamellé-collé n'est pas celui du bois massif .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Rien de nouveau dans cette question : c'est la vérification en flexion simple que vous savez mener. Elle sert de point de départ, et le taux de travail obtenu ici sera la référence à laquelle comparer le résultat final.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( M_{\text{d}} = 2{,}5 \times 6^{2}/8 = 11{,}25 \) kN·m et \( W_{y} = 120 \times 360^{2}/6 = 2\,592\,000 \) mm³, d'où \( \sigma_{m,\text{d}} = 4{,}34 \) N/mm². Avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}70 \) et \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \), la résistance vaut 13,44 N/mm².

Question 2 : Longueur efficace et contrainte critique

Stabilité élastique 35 min | Piège

But de l'étape : Chiffrer la capacité de la forme, indépendamment de la résistance du bois. Deux formules coexistent dans l'Eurocode, et elles ne donnent pas le même résultat.

Énoncé Q2 : En justifiant chaque terme par sa référence :

déterminer la longueur efficace \( l_{\text{ef}} \) à partir du tableau 6.1 et de sa note ;
calculer \( \sigma_{m,\text{crit}} \) par la formule simplifiée du § 6.3.3(5) ;
recalculer la même grandeur par la formule exacte du § 6.3.3(2) et commenter l'écart.

Une instabilité se calcule avec le module au fractile 5 %. Employer \( E_{0,\text{mean}} \) surestimerait la stabilité de 20 %.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La longueur efficace n'est pas la portée. Le tableau 6.1 la réduit à 0,9 l pour une charge répartie — parce que le moment n'est maximal qu'en une section — mais sa note impose d'ajouter \( 2h \) lorsque la charge s'applique sur la fibre comprimée, ce qui est le cas d'une panne.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( l_{\text{ef}} = 0{,}9 \times 6\,000 + 2 \times 360 = 6\,120 \) mm — soit un peu plus que la portée. La formule simplifiée donne alors 48,94 N/mm², et la formule exacte 41,53 N/mm².

Question 3 : Élancement relatif et coefficient de déversement

Lecture critique 30 min | Piège

But de l'étape : Situer la poutre par rapport au seuil de 0,75. C'est ici que l'exercice devient intéressant : les deux voies de calcul tombent de part et d'autre de ce seuil.

Énoncé Q3 : À partir des deux contraintes critiques de la question 2 :

calculer les deux élancements relatifs correspondants ;
en déduire le coefficient \( k_{\text{crit}} \) dans chaque cas ;
refaire le calcul avec les valeurs de la note du confrère — \( E_{0,\text{mean}} \) et \( l_{\text{ef}} = L \) — et chiffrer l'écart.

Un élancement est une racine carrée : une erreur de 22 % sur la contrainte critique n'en fait que 10 % sur l'élancement. C'est ce qui rend l'erreur difficile à repérer .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'élancement relatif compare la résistance du matériau à la capacité de la forme. Quand la contrainte critique est très supérieure à la résistance, la poutre casse avant de déverser et l'élancement est faible. Quand elle lui est inférieure, l'instabilité prend le dessus.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( \lambda_{\text{rel},m} = \sqrt{24/48{,}94} = 0{,}700 \) par la voie simplifiée, et \( \sqrt{24/41{,}53} = 0{,}760 \) par la voie exacte. Le seuil est à 0,75 : les deux voies l'encadrent, et le verdict change.

Question 4 (Finale) : Vérification et dispositions constructives

Synthèse et décision 35 min | BOSS

But de l'étape : Conclure sur la panne, puis répondre à la vraie question d'un concepteur : à partir de quand le déversement devient-il un problème, et que faire pour l'écarter définitivement ?

Mention spéciale — le levier le plus efficace n'est pas la section : La contrainte critique varie en \( b^{2}/(h\,l_{\text{ef}}) \). Réduire la longueur efficace par un maintien latéral intermédiaire est donc bien plus rentable que d'élargir la poutre — et cela ne coûte qu'une entretoise.

Mener la vérification finale avec le \( k_{\text{crit}} \) le plus défavorable. Établir ensuite la portée limite au-delà de laquelle le déversement devrait être pris en compte, puis chiffrer deux dispositions : un maintien latéral à mi-portée et un élargissement à 160 mm. Conclure par un avis sur la charge admissible de la panne.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Pour la portée limite, posez \( \lambda_{\text{rel},m} = 0{,}75 \), remontez à la contrainte critique correspondante, puis à la longueur efficace, et enfin à la portée en retranchant les \( 2h \). Le résultat tombe sur un nombre rond.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Au seuil, \( \sigma_{m,\text{crit}} = 24/0{,}75^{2} = 42{,}67 \) N/mm², d'où \( l_{\text{ef}} = 7\,020 \) mm et une portée de 7,00 m. Un maintien à mi-portée ramènerait l'élancement à 0,523, très en deçà du seuil.

NOTE DE CALCULS

Déversement d'une poutre GL24h : longueur efficace et coefficient de stabilité

Question 1 : Sollicitation et résistance de calcul

Dans la tête de l'ingénieur

"Cette question ne présente aucune difficulté, et c'est justement pour cela qu'elle mérite d'être menée proprement : elle fixe les deux termes de la vérification finale. La contrainte de flexion d'un côté, la résistance de calcul de l'autre. Le déversement n'interviendra qu'après, en rabaissant le second terme. Un seul point de vigilance ici : le coefficient partiel. Le nombre 24 apparaît aussi bien dans le C24 que dans le GL24h, et beaucoup enchaînent machinalement avec \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \). Pour un lamellé-collé, c'est 1,25 — le produit est plus régulier, la norme lui accorde une marge plus faible."

Observation : La charge est donnée déjà pondérée à l'ELU. Aucune combinaison n'est à écrire, ce qui est rare et mérite d'être noté dans la note.
Analyse du risque : Prendre \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \) au lieu de 1,25 fait perdre 4 % de résistance. L'erreur est sécuritaire, mais elle signale une lecture superficielle du tableau 2.3.
Choix stratégique : Je néglige le coefficient de hauteur \( k_{\text{h}} \) du § 3.3, qui serait pourtant applicable ici. C'est un choix sécuritaire, et je le signale.
Alternative : J'aurais pu appliquer \( k_{\text{h}} = 1{,}052 \) et gagner 5 % de résistance. Sur une poutre au voisinage du seuil de déversement, mieux vaut garder cette marge en réserve que la consommer.
Objectif visé : Sortir avec un taux de travail en flexion simple, qui servira de référence pour mesurer ce que le déversement coûtera réellement.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( M_{\text{d}} = 11{,}25 \) kN·m · \( W_{y} = 2\,592\,000 \) mm³ · \( \sigma_{m,\text{d}} = \) 4,34 N/mm² · \( f_{m,\text{d}} = \) 13,44 N/mm², soit un taux de 32 % en flexion simple

Rappel Théorique : résistance et stabilité, deux questions distinctes

Une poutre peut céder de deux façons entièrement différentes, et l'Eurocode les traite séparément. Comprendre ce partage évite bien des confusions dans la suite de l'exercice.

Principe 1 — la résistance dépend du matériau : La rupture par excès de contrainte survient quand \( \sigma_{m,\text{d}} \) dépasse \( f_{m,\text{d}} \). Elle ne fait intervenir que la résistance du bois et le module de la section.
Principe 2 — la stabilité dépend de la forme : Le déversement, lui, ne fait intervenir que des rigidités — \( E \), \( G \) — et des dimensions. La résistance du bois n'y joue aucun rôle : une poutre en acier de même géométrie déverserait pour la même raison.
Principe 3 — les deux se rencontrent dans \( k_{\text{crit}} \) : L'Eurocode ne crée pas un critère séparé : il réduit la résistance par un coefficient qui traduit le risque d'instabilité. La vérification garde ainsi la forme habituelle.
Principe 4 — les modules ne se choisissent pas au hasard : La flexion et la flèche s'évaluent avec \( E_{0,\text{mean}} \) ; toute instabilité exige \( E_{0,05} \). C'est la pièce la plus souple d'un lot qui déverse, pas la pièce moyenne.
Principe 5 — le lamellé-collé a ses propres coefficients : \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \) et non 1,30, un coefficient de hauteur fondé sur 600 mm et non 150. Le nombre 24 est le même que pour le C24, tout le reste diffère.

Équations Fondamentales

Deux relations élémentaires : le moment d'une poutre isostatique sous charge répartie, et la résistance de calcul du § 2.4.1.

Moment maximal sous charge uniformément répartie :

Il est atteint à mi-portée, là où l'effort tranchant s'annule.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le moment est la primitive de l'effort tranchant, lequel varie linéairement sous charge répartie. Le diagramme des moments est donc une parabole, dont le sommet se situe là où sa dérivée s'annule — au milieu, par symétrie. La valeur \( qL^{2}/8 \) est l'un des résultats les plus employés de toute la statique.

Contexte de validité : Poutre isostatique sur deux appuis simples, charge uniforme sur toute la portée.
Avantage : Elle donne directement le maximum, sans construire le diagramme complet.
Paramètre clé : La portée, au carré. C'est aussi elle qui gouvernera la longueur efficace de déversement.
Vérification : Sous charge ponctuelle de même résultante, le moment serait \( qL^{2}/4 \), soit le double. La répartition est toujours plus favorable.
Limite : C'est un moment du premier ordre. L'amplification due au déplacement latéral de la poutre n'y figure pas : elle sera prise en compte forfaitairement par \( k_{\text{crit}} \).

\[ \begin{aligned} M_{\text{d}} = \frac{q_{\text{d}}\,L^{2}}{8} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ce qui coûte cher, ce n'est pas la charge, c'est la portée. Doubler la charge double le moment ; doubler la portée le quadruple. Et pour le déversement, l'effet est plus fort encore : la contrainte critique décroît elle aussi avec la longueur.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{d}} \) : moment fléchissant de calcul, à mi-portée, unité : kN·m
\( q_{\text{d}} \) : charge répartie de calcul, déjà pondérée, unité : kN/m
\( L \) : portée entre appuis, unité : m
Diviseur 8 : propre à la poutre isostatique sous charge uniforme, unité : —
Conversion : 1 kN·m vaut \( 10^{6} \) N·mm, unité : —

Résistance de calcul en flexion — EN 1995-1-1 § 2.4.1 :

Elle emploie les coefficients propres au lamellé-collé.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la résistance caractéristique de 24 N/mm² est mesurée en laboratoire, sur des éprouvettes sèches chargées quelques minutes. Une panne de toiture porte sa charge pendant des années, dans une ambiance plus humide : \( k_{\text{mod}} \) corrige cet écart. Le coefficient partiel \( \gamma_{\text{M}} \) couvre en outre la dispersion du produit — et le lamellé-collé, fait de lamelles purgées et redistribuées, est plus régulier que le bois massif.

Contexte de validité : Situations durables et transitoires. Le coefficient partiel tomberait à 1,0 en situation accidentelle.
Avantage : Une formule unique pour toutes les résistances. Seuls les deux coefficients demandent une décision de l'ingénieur.
Paramètre clé : \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \), propre au lamellé-collé. La ligne du tableau 2.3 se lit avant de recopier la valeur la plus connue.
Vérification : Le résultat vaut \( 0{,}70/1{,}25 = 56 \) % de la résistance caractéristique. Une action de longue durée coûte cher.
Limite : Cette résistance sera encore réduite par \( k_{\text{crit}} \) si le déversement doit être considéré. Ce n'est pas la valeur finale.

\[ \begin{aligned} f_{m,\text{d}} = \frac{k_{\text{mod}}\;f_{m,\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une charge qui dure des années coûte trente pour cent de résistance. Le coefficient partiel en retire encore un cinquième. Sur les 24 N/mm² annoncés, il en reste un peu plus de treize — et le déversement pourrait en retirer davantage.

Décomposition des termes :

\( f_{m,\text{d}} \) : résistance de calcul en flexion, unité : N/mm²
\( f_{m,\text{k}} \) : résistance caractéristique du GL24h, unité : N/mm²
\( k_{\text{mod}} = 0{,}70 \) : classe de service 2, action de longue durée, unité : sans dimension
\( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \) : coefficient partiel du lamellé-collé, unité : sans dimension
Négligé ici : \( k_{\text{h}} = 1{,}052 \), coefficient de hauteur du § 3.3, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de prendre \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \) pour un GL24h, par analogie avec le C24..."

L'approche d'ingénieur : Le nombre 24 est identique dans les deux désignations, et c'est exactement ce qui égare. Il désigne la même résistance caractéristique, pour deux produits différents.

L'erreur : Écrire \( f_{m,\text{d}} = 0{,}70 \times 24/1{,}30 = 12{,}92 \) N/mm² au lieu de 13,44. La perte est de 4 %, sécuritaire mais injustifiée.
La bonne méthode : Lire la ligne du produit dans le tableau 2.3 : 1,30 pour le bois massif, 1,25 pour le lamellé-collé, 1,20 pour le LVL et les panneaux.
L'astuce de pro : Retenir la logique plutôt que les nombres : plus un produit est régulier, plus son coefficient partiel est faible. Le lamellé-collé, aux lamelles purgées et redistribuées, l'est davantage que le bois massif.
Le moyen mnémotechnique : « GL comme glued laminated, et comme gamma light ».
L'impact direct : Sur une poutre au voisinage du seuil de déversement, ces 4 % peuvent suffire à faire basculer une conclusion. Ce n'est pas le cas ici, mais la marge n'est pas si large.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( q_{\text{d}} \) : donnée en kN/m , avec la portée en m
\( M_{\text{d}} \) : obtenu en kN·m , à convertir en N·mm
\( W_{y} \) : exprimé en mm³ , et non en mm⁴
\( \sigma_{m,\text{d}} \) : N·mm / mm³ donne des N/mm²
\( k_{\text{mod}} \) et \( \gamma_{\text{M}} \) : grandeurs sans unité

Le seul risque d'unité de cette question est le facteur un million entre kN·m et N·mm. Une puissance de dix oubliée donne une contrainte cent fois trop faible ou trop forte, écart si grossier qu'il se repère immédiatement à l'ordre de grandeur : une contrainte de flexion en bois se compte toujours en quelques N/mm², jamais en centaines ni en centièmes.

1. Résolution Numérique Moment fléchissant de calcul

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la sollicitation à laquelle la poutre devra résister, et le point de départ de toute la note.

Méthodologie du calcul :

Application directe de la formule de la poutre isostatique sous charge uniforme.

Substitution : \( q_{\text{d}} = 2{,}5 \) kN/m et \( L = 6{,}00 \) m, dont le carré vaut 36 m².
Piège évité : Ne pas repondérer la charge. L'indice d signale une valeur de calcul déjà majorée par les coefficients partiels.
Hypothèse validée : Appuis simples et charge uniforme sur toute la portée, conformément à l'énoncé.
Vérification croisée : L'effort tranchant aux appuis vaut \( q_{\text{d}}L/2 = 7{,}5 \) kN, et le moment doit valoir ce tranchant multiplié par \( L/4 \), soit \( 7{,}5 \times 1{,}5 = 11{,}25 \) kN·m.
Finalité : Ce moment donnera la contrainte de flexion, unique sollicitation de cet exercice.

\[ \begin{aligned} M_{\text{d}} &= \frac{q_{\text{d}}\,L^{2}}{8} = \frac{2{,}5 \times 6{,}00^{2}}{8} \\ &= \frac{90}{8} = \mathbf{11{,}25} \text{ kN}\cdot\text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

11,25 kN·m sur une poutre de 120 × 360 mm. Voyons ce que cela représente.

Ordre de grandeur : Un peu plus d'une tonne-mètre. C'est modeste pour une section de cette taille : la panne est faiblement chargée.
Impact sur la suite : Le taux de travail en flexion sera faible. Ce n'est donc pas la résistance qui posera problème, mais éventuellement la stabilité.
Cohérence : Une charge ponctuelle de même résultante, 15 kN à mi-portée, donnerait 22,5 kN·m — le double. La répartition est toujours plus favorable.
Attention : Le poids propre de la panne, environ 0,18 kN/m, est supposé inclus dans les 2,5 kN/m annoncés à l'ELU.
Comparaison : À portée doublée, soit 12 m, ce moment atteindrait 45 kN·m — et la stabilité au déversement deviendrait le problème principal.

Remarque pédagogique : Faites remarquer dès maintenant que cette poutre est faiblement chargée pour sa section. C'est le cas typique où le déversement devient la question centrale : une pièce haute, étroite, longue, et qui n'a pas besoin de toute sa résistance. La stabilité et la résistance ne se posent pas dans les mêmes situations.

Module de flexion de la section

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il transforme un moment en contrainte. C'est la grandeur géométrique qui gouverne la flexion.

Méthodologie du calcul :

Expression classique du module de flexion d'une section rectangulaire autour de son axe fort.

Substitution : \( b = 120 \) mm et \( h^{2} = 360^{2} = 129\,600 \) mm².
Piège évité : Ne pas diviser par 12. Le diviseur 6 est celui du module de flexion ; 12 est celui du moment quadratique.
Hypothèse validée : Flexion autour de l'axe fort, la hauteur de 360 mm étant dans le plan de charge.
Vérification croisée : Le moment quadratique vaut \( I_{y} = bh^{3}/12 = 466{,}56 \times 10^{6} \) mm⁴, et \( I_{y}/(h/2) \) redonne bien 2 592 000 mm³.
Finalité : Ce module servira à la contrainte de flexion, puis à la conversion du moment critique de déversement.

\[ \begin{aligned} W_{y} &= \frac{b\,h^{2}}{6} = \frac{120 \times 360^{2}}{6} \\ &= \frac{120 \times 129\,600}{6} = \mathbf{2\,592\,000} \text{ mm}^{3} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2 592 000 mm³. Voyons comment situer cette section.

Ordre de grandeur : Quelques millions de mm³, valeur courante pour une panne de lamellé-collé de cette taille.
Impact sur la suite : Ce module servira deux fois : pour la contrainte de flexion, et pour convertir le moment critique de déversement en contrainte critique.
Cohérence : Le moment quadratique latéral \( I_{z} = hb^{3}/12 = 51{,}84 \times 10^{6} \) mm⁴ est neuf fois plus faible que \( I_{y} \). C'est cette disproportion qui rend le déversement possible.
Attention : Une section carrée de même aire ne déverserait jamais : les deux moments quadratiques seraient égaux et il n'y aurait pas de direction faible.
Comparaison : Le rapport h/b = 3 place cette poutre dans la zone où le déversement doit être examiné. En dessous de 2, la question ne se pose presque jamais.

Remarque pédagogique : Faites calculer les deux moments quadratiques, \( I_{y} \) et \( I_{z} \), même si le second ne sert pas encore. Le rapport de neuf entre les deux est la cause physique du déversement : la poutre est très raide dans le plan où on la charge, et très souple dans l'autre. Elle s'échappe donc par là.

Contrainte de flexion de calcul

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le premier terme de la vérification finale, celui qui ne changera plus dans tout l'exercice.

Méthodologie du calcul :

Division du moment par le module de flexion, après conversion en N·mm.

Substitution : \( M_{\text{d}} = 11{,}25 \times 10^{6} \) N·mm et \( W_{y} = 2\,592\,000 \) mm³.
Piège évité : Ne pas oublier le facteur un million. Une contrainte de flexion en bois se compte en quelques N/mm².
Hypothèse validée : Section brute : aucun coefficient de fissuration ne s'applique à la flexion.
Vérification croisée : La contrainte est bien inférieure à la résistance caractéristique de 24 N/mm². La poutre travaille loin de sa capacité.
Finalité : Cette contrainte sera confrontée, en fin d'exercice, à la résistance réduite par le coefficient de déversement.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,\text{d}} &= \frac{M_{\text{d}}}{W_{y}} = \frac{11{,}25 \times 10^{6}}{2\,592\,000} \\ &= \mathbf{4{,}34} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

4,34 N/mm² pour un bois annoncé à 24. Voyons ce que cela signifie.

Ordre de grandeur : À peine 18 % de la résistance caractéristique. La poutre est très largement surdimensionnée en résistance pure.
Impact sur la suite : Une marge aussi confortable signifie que même un \( k_{\text{crit}} \) sévère ne mettrait pas la poutre en défaut.
Cohérence : Cette contrainte est indépendante de tout ce qui suivra. Le déversement n'agit que sur la résistance, jamais sur la sollicitation.
Attention : Un taux faible ne dispense pas de la vérification au déversement. Une poutre peut déverser bien avant d'atteindre sa contrainte admissible.
Comparaison : La contrainte critique de déversement, calculée à la question 2, sera de l'ordre de 40 à 50 N/mm² : nous en sommes très loin, mais le rapport à la résistance sera plus serré.

Remarque pédagogique : Insistez sur le fait que la contrainte de calcul ne change pas avec le déversement. Beaucoup d'étudiants s'attendent à ce que l'instabilité augmente la sollicitation — ce qui est physiquement vrai, puisque le déplacement latéral amplifie le moment. L'Eurocode a choisi de traiter cet effet du côté de la résistance, par un coefficient réducteur. C'est une convention, et il faut la connaître pour ne pas la compter deux fois.

Résistance de calcul en flexion

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le second terme de la vérification, celui que le déversement viendra réduire.

Méthodologie du calcul :

Application de la relation du § 2.4.1 avec les coefficients propres au lamellé-collé.

Substitution : \( f_{m,\text{k}} = 24 \) N/mm², \( k_{\text{mod}} = 0{,}70 \) et \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \).
Piège évité : Ne pas prendre 1,30. Le tableau 2.3 distingue le bois massif du lamellé-collé, et le nombre 24 ne dit rien du produit.
Hypothèse validée : Classe de service 2 et action de longue durée, croisement qui donne 0,70 au tableau 3.1.
Vérification croisée : Le rapport \( 0{,}70/1{,}25 = 0{,}56 \) appliqué à 24 donne bien 13,44 N/mm².
Finalité : Cette résistance sera multipliée par \( k_{\text{crit}} \) dans la vérification finale.

\[ \begin{aligned} f_{m,\text{d}} &= \frac{k_{\text{mod}}\,f_{m,\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} = \frac{0{,}70 \times 24}{1{,}25} \\ &= \mathbf{13{,}44} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

13,44 N/mm², soit 56 % de la caractéristique. Voyons le taux de travail qui en découle.

Ordre de grandeur : Un peu plus de la moitié de la résistance annoncée. L'action de longue durée est responsable de l'essentiel de cette perte.
Impact sur la suite : Le taux de travail en flexion simple vaut \( 4{,}34/13{,}44 = 32 \) %. C'est la référence à laquelle comparer le résultat final.
Cohérence : Avec \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \), on aurait obtenu 12,92 N/mm². L'écart de 4 % tient au seul coefficient partiel.
Attention : En courte durée, avec \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \), la résistance monterait à 17,28 N/mm². La classe de durée pèse bien plus lourd que le coefficient partiel.
Comparaison : Le coefficient de hauteur \( k_{\text{h}} = 1{,}052 \), applicable mais négligé ici, porterait cette résistance à 14,14 N/mm².

Remarque pédagogique : Faites relever que le taux de travail en flexion simple n'est que de 32 %. Un étudiant pourrait en conclure que la vérification est terminée — et c'est exactement l'erreur que cet exercice veut prévenir. Une poutre peut être largement suffisante en résistance et insuffisante en stabilité : ce sont deux questions indépendantes, et la seconde ne se déduit jamais de la première.

RÉSULTAT FINAL

Contrainte et résistance de calcul = 4,34 / 13,44 N/mm² — soit 32 % en flexion simple, avant toute prise en compte du déversement

"Résistance et stabilité sont deux questions distinctes : la seconde ne se déduit jamais de la première !"

Question 2 : Longueur efficace et contrainte critique

Dans la tête de l'ingénieur

"Trois décisions à prendre avant le moindre calcul. D'abord le module : une instabilité se traite avec le fractile 5 %, jamais avec la moyenne, et la note que je reprends emploie \( E_{0,\text{mean}} \). Ensuite la longueur efficace : elle n'est pas la portée. Le tableau 6.1 la réduit à 0,9 fois la portée pour une charge répartie, mais sa note impose d'ajouter deux fois la hauteur quand la charge arrive par le dessus — ce qui est le cas d'une panne. Ces deux corrections vont en sens contraire, et le résultat net dépasse légèrement la portée. Enfin, la formule : l'Eurocode en propose deux, et la simplifiée est explicitement réservée aux résineux massifs. Je vais faire les deux et comparer."

Observation : Les deux corrections de longueur se compensent presque : 0,9 réduit, 2h rallonge. Le résultat net vaut 1,02 fois la portée, ce qui donne l'illusion que \( l_{\text{ef}} = L \) serait acceptable.
Analyse du risque : Employer \( E_{0,\text{mean}} \) surestime la contrainte critique de 20 %. Combinée à \( l_{\text{ef}} = L \), l'erreur atteint 22 % — et elle va dans le sens du danger.
Choix stratégique : Je mène le calcul par les deux formules. Sur une poutre loin du seuil, cela n'aurait aucun intérêt ; ici, la poutre est dessus.
Alternative : J'aurais pu m'en tenir à la formule simplifiée, comme le fait la majorité des bureaux. Mais son texte la réserve aux résineux de section rectangulaire pleine, et un lamellé-collé n'entre pas exactement dans cette catégorie.
Objectif visé : Sortir avec deux valeurs de contrainte critique et un écart chiffré, pour pouvoir discuter le verdict à la question suivante.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( l_{\text{ef}} = 6\,120 \) mm, soit 1,02 fois la portée · \( \sigma_{m,\text{crit}} = \) 48,94 N/mm² par la formule simplifiée et 41,53 N/mm² par la formule exacte, soit 15 % de moins

Rappel Théorique : la mécanique du déversement

Le déversement combine deux mouvements que rien n'oblige a priori à se produire ensemble : un déplacement latéral et une torsion. Comprendre leur couplage éclaire toutes les formules qui suivent.

Principe 1 — la fibre comprimée se comporte en poteau : Dans une poutre fléchie, la partie supérieure est comprimée sur toute la longueur. Comme un poteau, elle cherche à flamber latéralement dès que la charge devient suffisante.
Principe 2 — la fibre tendue la retient : La partie inférieure, tendue, reste droite. La section ne peut donc pas se déplacer en bloc : elle est obligée de tourner. Déplacement latéral et torsion sont indissociables.
Principe 3 — deux rigidités s'opposent au phénomène : La rigidité de flexion latérale \( E_{0,05}I_{z} \) s'oppose au déplacement, la rigidité de torsion \( G_{05}I_{\text{tor}} \) s'oppose à la rotation. La formule exacte fait apparaître leur produit sous une racine.
Principe 4 — la position de la charge compte : Une charge appliquée sur la fibre comprimée accompagne le mouvement et l'aggrave — c'est l'effet de la corde qu'on pousse plutôt qu'on ne la tire. D'où la majoration de \( 2h \) imposée par le tableau 6.1.
Principe 5 — le rapport h/b gouverne tout : Une section carrée ne déverse jamais : les deux moments quadratiques sont égaux et il n'y a pas de direction faible. Le risque apparaît au-delà de \( h/b \approx 2 \) et croît rapidement ensuite.

Équations Fondamentales

Trois relations : la longueur efficace du tableau 6.1, puis les deux expressions de la contrainte critique que propose l'Eurocode.

Longueur efficace — EN 1995-1-1 tableau 6.1 :

Elle traduit à la fois la forme du diagramme des moments et la position de la charge.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le déversement dépend du moment sur toute la longueur, pas seulement de son maximum. Sous charge répartie, le moment ne vaut son maximum qu'en une section et décroît de part et d'autre : la poutre est donc moins sollicitée qu'elle ne le serait sous moment constant, d'où le coefficient 0,9. À l'inverse, une charge appliquée sur la fibre comprimée accompagne le mouvement de déversement au lieu de s'y opposer, ce que la norme traduit par une majoration forfaitaire de \( 2h \).

Contexte de validité : Poutre dont la torsion est empêchée aux appuis. C'est la condition minimale, et elle doit être vérifiée sur le détail d'assemblage.
Avantage : Elle ramène tous les cas de chargement à une longueur équivalente, exactement comme la longueur de flambement pour un poteau.
Paramètre clé : La position de la charge sur la hauteur. Entre une charge en fibre comprimée et une charge en fibre tendue, l'écart atteint \( 2{,}5h \).
Vérification : Sur une poutre élancée, où \( h \) est petit devant \( L \), la longueur efficace tend vers 0,9 L. Ici la poutre est courte et haute, et le \( 2h \) reprend le dessus.
Limite : Un maintien latéral intermédiaire change complètement la donne : la longueur efficace se calcule alors sur la distance entre maintiens.

\[ \begin{aligned} l_{\text{ef}} = 0{,}9\,l + 2h \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une charge posée sur le dessus pousse la poutre à basculer, une charge suspendue en dessous la redresse. C'est le principe du pendule : un poids placé au-dessus du point de rotation est instable, placé en dessous il est stabilisant. La norme chiffre cette différence en longueur équivalente.

Décomposition des termes :

\( l_{\text{ef}} \) : longueur efficace de déversement, unité : mm
\( 0{,}9\,l \) : correction de forme du diagramme, charge répartie, unité : mm
\( +2h \) : correction de position de charge, fibre comprimée, unité : mm
Cas favorable : \( -0{,}5h \) si la charge est suspendue en fibre tendue, unité : mm
Condition : torsion empêchée aux deux appuis, unité : —

Contrainte critique, formule simplifiée — § 6.3.3(5) :

Elle condense les deux rigidités dans un coefficient unique.

Pourquoi cette formule ?

Parce que pour un rectangle plein, la rigidité de torsion s'exprime en fonction des mêmes dimensions que la rigidité de flexion latérale. On peut donc éliminer \( G \) et \( I_{\text{tor}} \) de l'expression exacte, à condition d'admettre un rapport \( G/E \) fixe. Le coefficient 0,78 résulte de ce calage, effectué sur les propriétés des résineux massifs — c'est pourquoi le texte de la norme réserve explicitement cette formule à ce cas.

Contexte de validité : Résineux de section rectangulaire pleine. Son emploi sur du lamellé-collé est courant mais constitue une extension.
Avantage : Elle ne demande aucune constante de torsion et tient sur une ligne. C'est la forme employée dans la quasi-totalité des notes de calculs.
Paramètre clé : La largeur, au carré. C'est de très loin le levier le plus efficace sur la stabilité au déversement.
Vérification : Le module employé doit être \( E_{0,05} \). C'est écrit dans le texte de la clause, et c'est l'erreur la plus fréquente sur cette formule.
Limite : Sur un produit dont le rapport \( G/E \) s'écarte de celui des résineux massifs, elle devient optimiste. Le lamellé-collé est dans ce cas.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,\text{crit}} = \frac{0{,}78\,b^{2}}{h\,l_{\text{ef}}}\;E_{0,05} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : pour stabiliser une poutre au déversement, élargissez-la — ne la rehaussez pas. La largeur intervient au carré au numérateur, la hauteur au premier degré au dénominateur : passer de 120 à 160 mm de large multiplie la contrainte critique par 1,78, tandis que rehausser la poutre la diminue.

Décomposition des termes :

\( \sigma_{m,\text{crit}} \) : contrainte de flexion provoquant le déversement, unité : N/mm²
\( b^{2} \) : largeur au carré — le levier le plus efficace, unité : mm²
\( h\,l_{\text{ef}} \) : hauteur et longueur efficace, toutes deux défavorables, unité : mm²
\( E_{0,05} \) : fractile 5 % du module axial, jamais la moyenne, unité : N/mm²
Coefficient 0,78 : calage sur les résineux massifs, unité : sans dimension

Moment critique, formule exacte — § 6.3.3(2) :

Elle fait apparaître explicitement les deux rigidités qui s'opposent au phénomène.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le déversement couple un déplacement latéral et une torsion, et que chacun est freiné par une rigidité différente. Le produit apparaît sous une racine carrée parce que les deux mécanismes agissent simultanément : améliorer l'un seul ne rapporte que la racine du gain. La forme est la même que celle du déversement des profilés métalliques, à ceci près que le bois n'a pas de rigidité de gauchissement significative.

Contexte de validité : Toute section et tout produit bois, à condition de savoir calculer \( I_{z} \) et \( I_{\text{tor}} \).
Avantage : Elle est générale et fait apparaître la physique du phénomène, là où la version simplifiée la masque dans un coefficient.
Paramètre clé : La constante de torsion \( I_{\text{tor}} = \beta\,h\,b^{3} \), que l'Eurocode ne tabule pas et qu'il faut aller chercher dans la théorie de la torsion.
Vérification : La contrainte critique s'obtient en divisant par \( W_{y} \). Sur un résineux massif, le résultat doit s'approcher de celui de la formule simplifiée.
Limite : Elle demande \( G_{05} \), valeur beaucoup moins connue que \( G_{\text{mean}} \) et souvent absente des mémentos.

\[ \begin{aligned} M_{y,\text{crit}} = \frac{\pi}{l_{\text{ef}}}\sqrt{E_{0,05}\,I_{z}\;G_{05}\,I_{\text{tor}}} \quad \text{avec} \quad \sigma_{m,\text{crit}} = \frac{M_{y,\text{crit}}}{W_{y}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : pour déverser, la poutre doit à la fois se déplacer et se tordre — il faut donc vaincre les deux résistances à la fois. C'est pourquoi leur produit apparaît sous une racine : renforcer une seule des deux rigidités ne rapporte que la moitié du gain, en termes relatifs. Une poutre-caisson, très raide en torsion, ne déverse pratiquement jamais.

Décomposition des termes :

\( M_{y,\text{crit}} \) : moment provoquant le déversement, unité : N·mm
\( E_{0,05}\,I_{z} \) : rigidité de flexion latérale, unité : N·mm²
\( G_{05}\,I_{\text{tor}} \) : rigidité de torsion, unité : N·mm²
\( I_{\text{tor}} = \beta\,h\,b^{3} \) : constante de torsion, \( \beta = 0{,}263 \) pour \( h/b = 3 \), unité : mm⁴
\( \pi/l_{\text{ef}} \) : héritage de la théorie du flambement d'Euler, unité : mm⁻¹

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'employer \( E_{0,\text{mean}} \) dans la formule de la contrainte critique..."

L'approche d'ingénieur : C'est le module que l'on manipule le plus souvent, et beaucoup de supports pédagogiques l'écrivent effectivement dans cette formule. Le texte de la clause, lui, dit \( E_{0,05} \).

L'erreur : Écrire \( \sigma_{m,\text{crit}} \) avec 11 500 au lieu de 9 600 N/mm². La contrainte critique est surestimée de 20 %, l'élancement sous-estimé de 9 %, et la poutre peut passer sous le seuil à tort.
La bonne méthode : Retenir la règle générale : toute instabilité — flambement, déversement — se calcule au fractile 5 %. C'est la pièce la plus souple qui décide, et elle est seule face à son défaut.
L'astuce de pro : Contrôler l'ordre de grandeur : pour un résineux ou un lamellé-collé, \( E_{0,05} \) vaut environ deux tiers à cinq sixièmes de \( E_{0,\text{mean}} \). Un module rond comme 11 500 est presque toujours une valeur moyenne.
Le moyen mnémotechnique : « Ce qui flambe ou déverse, on le calcule au fractile ».
L'impact direct : Combinée à \( l_{\text{ef}} = L \), cette erreur porte la contrainte critique de 48,94 à 59,80 N/mm² — 22 % de trop, dans le sens du danger.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( l_{\text{ef}} \), \( b \), \( h \) : toutes en mm , sans exception
\( E_{0,05} \) et \( G_{05} \) : en N/mm²
\( I_{z} \) et \( I_{\text{tor}} \) : en mm⁴ , une puissance de plus que \( W_{y} \)
\( M_{y,\text{crit}} \) : mm⁻¹ × N·mm² donne des N·mm
\( \sigma_{m,\text{crit}} \) : N·mm / mm³ donne des N/mm²

La formule simplifiée offre un contrôle dimensionnel agréable : \( b^{2}/(h\,l_{\text{ef}}) \) est sans dimension, et le résultat sort donc directement dans l'unité du module. La formule exacte est plus délicate : sous la racine figure un produit de deux rigidités en N²·mm⁴, dont la racine donne des N·mm², qu'il faut ensuite diviser par une longueur pour obtenir un moment. Poser les unités à chaque étape évite de s'y perdre.

1. Résolution Numérique Longueur efficace de déversement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la première décision de la vérification, et celle qui est le plus souvent expédiée sans justification.

Méthodologie du calcul :

Lecture du tableau 6.1 pour le cas « charge répartie », puis application de la correction de position de charge.

Substitution : \( l = 6\,000 \) mm, rapport \( l_{\text{ef}}/l = 0{,}9 \), et \( h = 360 \) mm pour la correction.
Piège évité : Ne pas s'arrêter au coefficient 0,9. La note du tableau impose la majoration de \( 2h \) pour une charge en fibre comprimée.
Hypothèse validée : Torsion empêchée aux appuis, condition minimale du tableau 6.1, à vérifier sur le détail d'assemblage.
Vérification croisée : Le rapport \( l_{\text{ef}}/l = 1{,}02 \) : les deux corrections se compensent presque exactement sur cette géométrie.
Finalité : Cette longueur figure au dénominateur des deux formules de contrainte critique.

\[ \begin{aligned} l_{\text{ef}} &= 0{,}9\,l + 2h = 0{,}9 \times 6\,000 + 2 \times 360 \\ &= 5\,400 + 720 = \mathbf{6\,120} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

6 120 mm pour une portée de 6 000. Voyons ce que révèle cette valeur.

Ordre de grandeur : La longueur efficace dépasse la portée de 2 %. Le résultat surprend, et il est pourtant conforme au tableau.
Impact sur la suite : Prendre \( l_{\text{ef}} = L \) donnerait une contrainte critique 2 % trop élevée. C'est peu, mais l'erreur s'ajoute à celle du module.
Cohérence : Les deux corrections vont en sens contraire : −600 mm pour la forme du diagramme, +720 mm pour la position de la charge.
Attention : Si la charge était suspendue sous la poutre, la correction deviendrait \( -0{,}5h = -180 \) mm et la longueur efficace tomberait à 5 220 mm, soit 15 % de moins.
Comparaison : Sur une poutre de 12 m de même hauteur, le \( 2h \) ne pèserait plus que 6 % de la longueur efficace, qui vaudrait alors 0,96 fois la portée.

Remarque pédagogique : Faites remarquer le caractère contre-intuitif du résultat : la longueur efficace dépasse la portée réelle. Beaucoup d'étudiants, voyant le coefficient 0,9, concluent qu'elle sera plus courte et oublient la note du tableau. Or c'est précisément cette note qui traduit la physique du phénomène — une charge posée sur le dessus accompagne le basculement au lieu de s'y opposer.

Contrainte critique par la formule simplifiée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la voie employée dans la quasi-totalité des notes de calculs, et celle que la question demande en premier.

Méthodologie du calcul :

Application de l'expression du § 6.3.3(5), avec le module au fractile 5 %.

Substitution : \( b^{2} = 14\,400 \) mm², \( h = 360 \) mm, \( l_{\text{ef}} = 6\,120 \) mm et \( E_{0,05} = 9\,600 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas employer \( E_{0,\text{mean}} = 11\,500 \) N/mm². C'est l'erreur que contenait la note du confrère, et elle vaut 20 %.
Hypothèse validée : Section rectangulaire pleine. L'extension au lamellé-collé est admise en pratique, et sera discutée par comparaison.
Vérification croisée : Le facteur géométrique \( 0{,}78\,b^{2}/(h\,l_{\text{ef}}) \) vaut 0,005098, sans dimension. Multiplié par le module, il donne bien des N/mm².
Finalité : Cette contrainte donnera le premier des deux élancements relatifs de la question 3.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,\text{crit}} &= \frac{0{,}78 \times 120^{2}}{360 \times 6\,120} \times 9\,600 \\ &= \frac{11\,232}{2\,203\,200} \times 9\,600 \\ &= \mathbf{48{,}94} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

48,94 N/mm², à comparer aux 24 N/mm² de résistance caractéristique. Voyons ce que ce rapport annonce.

Ordre de grandeur : Environ deux fois la résistance caractéristique. La poutre casserait donc théoriquement avant de déverser — mais de peu.
Impact sur la suite : L'élancement relatif vaudra \( \sqrt{24/48{,}94} = 0{,}700 \), soit juste en dessous du seuil de 0,75.
Cohérence : Cette contrainte est purement théorique : elle n'est jamais atteinte, puisque la contrainte de calcul ne vaut que 4,34 N/mm². Elle sert uniquement à situer le risque.
Attention : Avec \( E_{0,\text{mean}} \) et \( l_{\text{ef}} = L \), on obtiendrait 59,80 N/mm² — la valeur de la note du confrère, 22 % trop haute.
Comparaison : Avec une largeur de 160 mm, cette contrainte monterait à 87,01 N/mm². La largeur au carré est un levier considérable.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que cette contrainte n'est pas une résistance. C'est un seuil de stabilité : la contrainte de flexion à partir de laquelle une poutre parfaitement droite basculerait. Elle ne se compare donc jamais directement à la contrainte de calcul — elle sert à former un élancement, qui lui-même donnera un coefficient réducteur. Confondre les deux est l'erreur conceptuelle la plus fréquente sur ce sujet.

Contrainte critique par la formule exacte

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la formule simplifiée est calée sur les résineux massifs, et que la poutre se situe exactement au voisinage du seuil.

Méthodologie du calcul :

Calcul des deux rigidités, puis du moment critique, puis conversion en contrainte par le module de flexion.

Substitution : \( I_{z} = 51{,}84 \times 10^{6} \) mm⁴, \( I_{\text{tor}} = 0{,}263 \times 360 \times 120^{3} = 163{,}6 \times 10^{6} \) mm⁴, \( E_{0,05} = 9\,600 \) et \( G_{05} = 540 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas confondre \( I_{\text{tor}} \) et \( I_{z} \). La constante de torsion est ici trois fois plus grande que le moment quadratique latéral.
Hypothèse validée : \( \beta = 0{,}263 \) pour \( h/b = 3 \), valeur classique de la théorie de la torsion des rectangles.
Vérification croisée : L'approximation \( I_{\text{tor}} \approx \frac{1}{3}h\,b^{3}(1 - 0{,}63\,b/h) \) donne 163,8 × 10⁶ mm⁴, à 0,13 % près.
Finalité : Fournir la seconde valeur d'élancement relatif, et permettre de discuter le verdict.

\[ \begin{aligned} M_{y,\text{crit}} &= \frac{\pi}{6\,120}\sqrt{9\,600 \times 51{,}84 \times 10^{6} \times 540 \times 163{,}6 \times 10^{6}} \\ &= 107{,}64 \times 10^{6} \text{ N}\cdot\text{mm} \\ \sigma_{m,\text{crit}} &= \frac{107{,}64 \times 10^{6}}{2\,592\,000} = \mathbf{41{,}53} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

41,53 N/mm², soit 15 % de moins que par la formule simplifiée. Voyons la portée de cet écart.

Ordre de grandeur : Un écart de 15 % entre deux formules du même Eurocode. Ce n'est pas une erreur : les deux sont valides, dans des domaines différents.
Impact sur la suite : L'élancement relatif passera de 0,700 à 0,760, ce qui fait franchir le seuil de 0,75. Le verdict change.
Cohérence : La formule simplifiée est plus favorable, ce qui est logique : son coefficient 0,78 est calé sur des résineux massifs dont le rapport \( G/E \) est plus élevé.
Attention : Le moment critique de 107,64 kN·m représente près de dix fois le moment appliqué. La poutre est loin de déverser en pratique.
Comparaison : La rigidité de torsion \( G_{05}I_{\text{tor}} \) vaut 8,83 × 10¹⁰ N·mm², contre 4,98 × 10¹¹ pour la flexion latérale. La torsion est cinq fois plus faible : c'est elle qui limite.

Remarque pédagogique : Cet écart de 15 % entre deux formules normatives mérite d'être discuté franchement avec les étudiants. Il ne s'agit pas d'un défaut de la norme mais d'un domaine d'application : la version simplifiée est explicitement réservée aux résineux massifs, et son emploi sur du lamellé-collé est une extension d'usage. Tant que la poutre est loin du seuil, la question est théorique. Ici elle ne l'est plus — et c'est ce qui rend ce cas instructif.

RÉSULTAT FINAL

Contrainte critique — simplifiée / exacte = 48,94 / 41,53 N/mm² — pour une longueur efficace de 6 120 mm, supérieure à la portée

"Ce qui flambe ou déverse se calcule au fractile 5 %, jamais avec le module moyen !"

Question 3 : Élancement relatif et coefficient de déversement

Dans la tête de l'ingénieur

"Deux contraintes critiques, donc deux élancements, et je pressens qu'ils vont tomber de part et d'autre du seuil. C'est la configuration la plus inconfortable qui soit : selon la formule employée, je dois appliquer un coefficient réducteur ou je n'ai rien à faire. Un point mérite d'être souligné — l'élancement est une racine carrée. Les 22 % d'erreur que contenait la note du confrère sur la contrainte critique ne se traduisent que par 10 % sur l'élancement. C'est ce qui rend ce type d'erreur si difficile à repérer : le résultat reste plausible, et la conclusion peut basculer sans que rien ne le signale. Je vais donc refaire son calcul pour chiffrer exactement l'écart."

Observation : Le seuil de 0,75 n'est pas une frontière physique mais une convention : en deçà, la norme juge que la ruine par excès de contrainte précède l'instabilité.
Analyse du risque : La racine carrée amortit les erreurs de moitié. Une erreur de 22 % en amont ne se voit plus qu'à 10 % en aval — et l'ordre de grandeur reste convaincant.
Choix stratégique : Je retiens le résultat le plus défavorable, celui de la formule exacte. Devant un bureau de contrôle, c'est la seule position défendable quand deux voies encadrent un seuil.
Alternative : J'aurais pu m'en tenir à la formule simplifiée et conclure que \( k_{\text{crit}} = 1 \). Ce serait recevable, et probablement ce que fera la majorité — mais je n'aurais pas su à quel point la conclusion était fragile.
Objectif visé : Sortir avec un coefficient \( k_{\text{crit}} \) assumé, et une mesure de l'erreur que contenait la note reprise.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( \lambda_{\text{rel},m} = \) 0,700 par la voie simplifiée et 0,760 par la voie exacte · \( k_{\text{crit}} = 1{,}0 \) ou 0,990 selon la voie · la note reprise annonçait 0,634

Rappel Théorique : l'élancement relatif et la courbe de déversement

L'élancement relatif est le même outil conceptuel que pour le flambement des poteaux : il compare la capacité du matériau à la capacité de la forme. Sa valeur situe la pièce sur une courbe en trois zones.

Principe 1 — c'est un rapport de deux contraintes : Sous la racine figure \( f_{m,\text{k}}/\sigma_{m,\text{crit}} \). Quand la contrainte critique est bien supérieure à la résistance, la poutre casse avant de déverser et l'élancement est faible.
Principe 2 — la racine amortit tout : Une erreur de 20 % sur la contrainte critique ne produit que 10 % sur l'élancement. La méthode est robuste, mais l'erreur devient d'autant plus difficile à détecter.
Principe 3 — trois zones, trois comportements : En dessous de 0,75, ruine par excès de contrainte et \( k_{\text{crit}} = 1 \). Entre 0,75 et 1,4, ruine mixte et décroissance linéaire. Au-delà de 1,4, instabilité purement élastique et loi en \( 1/\lambda^{2} \).
Principe 4 — la courbe est continue : À 0,75, l'expression linéaire donne exactement 1,0 ; à 1,4, la linéaire et l'hyperbolique donnent toutes deux 0,51. Les raccords sont soignés, ce qui n'est pas toujours le cas dans les Eurocodes.
Principe 5 — au-delà de 1,4, le bois ne compte plus : La loi en \( 1/\lambda^{2} \) redonne exactement \( \sigma_{m,\text{crit}} \) : la ruine est élastique, et augmenter la classe de résistance du bois n'apporterait strictement rien.

Équations Fondamentales

Deux relations : l'élancement relatif, puis la courbe en trois morceaux qui en déduit le coefficient réducteur.

Élancement relatif au déversement :

Il compare la résistance du bois à la stabilité de la forme.

Pourquoi cette formule ?

Parce que ni la résistance seule ni la contrainte critique seule ne disent quel mode de ruine surviendra le premier. C'est leur rapport qui tranche. La racine carrée n'est pas cosmétique : elle place l'élancement relatif sur la même échelle que l'élancement géométrique d'un poteau, ce qui permet de traiter tous les phénomènes d'instabilité avec des courbes de même allure.

Contexte de validité : Poutre fléchie autour de son axe fort. Une flexion autour de l'axe faible ne déverse pas.
Avantage : Un nombre unique résume géométrie, chargement, conditions d'appui et propriétés du matériau.
Paramètre clé : \( \sigma_{m,\text{crit}} \), qui porte toute la géométrie. La résistance caractéristique, elle, est fixée par la classe de bois.
Vérification : Un élancement inférieur à 1 signifie que la contrainte critique dépasse la résistance : la poutre casserait avant de déverser.
Limite : Il emploie \( f_{m,\text{k}} \), valeur caractéristique et non de calcul. C'est une comparaison de grandeurs physiques, pas une vérification.

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel},m} = \sqrt{\frac{f_{m,\text{k}}}{\sigma_{m,\text{crit}}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : qui, de la matière ou de la forme, cédera le premier ? Un élancement faible désigne la matière, un élancement fort désigne la forme. Toute la subtilité de l'Eurocode tient dans la zone intermédiaire, où les deux mécanismes se disputent la ruine — et c'est précisément là que se trouve cette poutre.

Décomposition des termes :

\( \lambda_{\text{rel},m} \) : élancement relatif au déversement, unité : sans dimension
\( f_{m,\text{k}} \) : résistance caractéristique en flexion, unité : N/mm²
\( \sigma_{m,\text{crit}} \) : contrainte critique de déversement, unité : N/mm²
Seuil 0,75 : en dessous, le déversement ne se vérifie pas, unité : sans dimension
Seuil 1,4 : au-delà, instabilité purement élastique, unité : sans dimension

Coefficient de déversement — EN 1995-1-1 § 6.3.3(4) :

Il réduit la résistance en flexion selon l'élancement relatif.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'Eurocode a choisi de conserver la forme habituelle de la vérification — une contrainte comparée à une résistance — plutôt que d'introduire un critère à part. Toute la difficulté du déversement se trouve ainsi concentrée dans un coefficient multiplicatif. Les trois branches de la courbe correspondent à trois mécanismes de ruine distincts, et non à un découpage arbitraire.

Contexte de validité : Poutre en flexion simple. En flexion composée avec compression, il faut combiner avec les critères du § 6.3.3(6).
Avantage : La vérification garde la forme \( \sigma \le k\,f \), immédiatement lisible et comparable aux autres vérifications de la note.
Paramètre clé : Le seuil de 0,75, qui décide s'il y a lieu de calculer quoi que ce soit. Une poutre juste en dessous n'a rien à faire, une poutre juste au-dessus doit tout justifier.
Vérification : Le coefficient est toujours inférieur ou égal à 1. Une valeur supérieure signale une erreur de branche.
Limite : Il ne s'applique qu'à la résistance en flexion. Le cisaillement, la compression transversale et les flèches n'en sont pas affectés.

\[ \begin{aligned} k_{\text{crit}} = \begin{cases} 1 & \text{si } \lambda_{\text{rel},m} \le 0{,}75 \\ 1{,}56 - 0{,}75\,\lambda_{\text{rel},m} & \text{si } 0{,}75 < \lambda_{\text{rel},m} \le 1{,}4 \\ 1/\lambda_{\text{rel},m}^{2} & \text{si } \lambda_{\text{rel},m} > 1{,}4 \end{cases} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : plus une poutre est encline à basculer, moins on a le droit de compter sur sa résistance. Le palier initial dit qu'une poutre trapue casse avant d'avoir le temps de déverser. La branche hyperbolique finale dit l'inverse : au-delà de 1,4, la ruine est purement élastique et changer de classe de bois n'apporterait rien du tout.

Décomposition des termes :

\( k_{\text{crit}} \) : coefficient réducteur de la résistance en flexion, unité : sans dimension
Branche 1 : palier à 1,0 — ruine par excès de contrainte, unité : —
Branche 2 : décroissance linéaire — ruine mixte, unité : —
Branche 3 : loi en \( 1/\lambda^{2} \) — instabilité élastique, unité : —
Continuité : 1,0 à \( \lambda = 0{,}75 \) et 0,51 à \( \lambda = 1{,}4 \), unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de conclure sans vérifier la robustesse d'un résultat proche du seuil..."

L'approche d'ingénieur : Un élancement de 0,70 face à un seuil de 0,75 n'est pas la même chose qu'un élancement de 0,30. La distance au seuil fait partie du résultat.

L'erreur : Écrire « 0,700 < 0,75, donc \( k_{\text{crit}} = 1 \) » et passer à la suite. La marge n'est que de 7 %, et une hypothèse légèrement différente la ferait disparaître.
La bonne méthode : Quand un résultat tombe à moins de 10 % d'un seuil réglementaire, tester la sensibilité : changer de formule, resserrer une hypothèse, et voir si la conclusion tient.
L'astuce de pro : Devant deux voies normatives qui encadrent un seuil, retenir la plus défavorable. C'est la seule position défendable devant un bureau de contrôle, et elle ne coûte ici que 1 % de résistance.
Le moyen mnémotechnique : « Un résultat près d'un seuil n'est pas un résultat, c'est une question ».
L'impact direct : Ici la conséquence est mineure : \( k_{\text{crit}} = 0{,}990 \) ne retire que 1 % de résistance. Sur une poutre plus élancée, le même raisonnement porterait sur 30 ou 40 %.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( f_{m,\text{k}} \) et \( \sigma_{m,\text{crit}} \) : toutes deux en N/mm²
Leur rapport : grandeur sans unité , comme sa racine
\( \lambda_{\text{rel},m} \) : grandeur sans dimension
\( k_{\text{crit}} \) : grandeur sans dimension , comprise entre 0 et 1
Seuils 0,75 et 1,4 : valeurs numériques de la norme

Cette question ne comporte aucun risque dimensionnel : tout y est sans unité. Le seul contrôle possible est celui de l'ordre de grandeur et de la branche employée : un coefficient supérieur à 1 signale une erreur de branche, un élancement supérieur à 2 sur une poutre de bâtiment signale une erreur sur la contrainte critique. Ce sont deux contrôles de bon sens, et ils sont les seuls disponibles.

1. Résolution Numérique Élancement relatif par la voie simplifiée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la voie usuelle, celle qu'emploiera la majorité des bureaux d'études.

Méthodologie du calcul :

Racine du rapport entre résistance caractéristique et contrainte critique simplifiée.

Substitution : \( f_{m,\text{k}} = 24 \) N/mm² et \( \sigma_{m,\text{crit}} = 48{,}94 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas employer \( f_{m,\text{d}} \). L'élancement compare des grandeurs caractéristiques, pas des valeurs de calcul.
Hypothèse validée : Contrainte critique issue de la formule simplifiée du § 6.3.3(5), avec \( E_{0,05} \).
Vérification croisée : Le rapport sous la racine vaut 0,490, donc l'élancement doit être voisin de 0,70. La racine de 0,49 vaut exactement 0,7.
Finalité : Situer la poutre par rapport au seuil de 0,75 selon la voie usuelle.

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel},m} &= \sqrt{\frac{24}{48{,}94}} = \sqrt{0{,}4904} \\ &= \mathbf{0{,}700} \quad \le 0{,}75 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,700, juste en dessous du seuil. Voyons de combien exactement.

Ordre de grandeur : La marge au seuil n'est que de 7 %. Ce n'est pas un résultat confortable.
Impact sur la suite : Par cette voie, \( k_{\text{crit}} = 1 \) et le déversement n'a pas à être pris en compte. La conclusion est fragile.
Cohérence : Un élancement inférieur à 1 signifie que la contrainte critique dépasse la résistance caractéristique. La poutre casserait avant de déverser.
Attention : Un allongement de portée de seulement 1,00 m suffirait à franchir le seuil, comme le montrera la question 4.
Comparaison : Avec une largeur de 160 mm, l'élancement tomberait à 0,525 et la marge au seuil deviendrait de 30 %.

Remarque pédagogique : Faites calculer la marge au seuil et non seulement le verdict. « 0,700 < 0,75 » est une réponse binaire ; « 0,700, soit 7 % sous le seuil » est une information d'ingénieur. La seconde formulation appelle naturellement la question suivante : qu'est-ce qui ferait basculer ce résultat ?

Élancement relatif par la voie exacte

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la marge de 7 % est trop faible pour se contenter d'une formule dont le domaine d'application ne couvre pas exactement ce produit.

Méthodologie du calcul :

Même relation, appliquée à la contrainte critique issue de la formule exacte.

Substitution : \( f_{m,\text{k}} = 24 \) N/mm² et \( \sigma_{m,\text{crit}} = 41{,}53 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas mélanger les deux voies. Un élancement se calcule avec la contrainte critique issue de la même formule, du début à la fin.
Hypothèse validée : Formule exacte du § 6.3.3(2), avec \( \beta = 0{,}263 \) et les fractiles 5 % des deux modules.
Vérification croisée : Le rapport des deux élancements vaut \( \sqrt{48{,}94/41{,}53} = 1{,}086 \), soit la racine du rapport des contraintes critiques.
Finalité : Établir si le seuil est franchi selon la voie la plus rigoureuse pour un lamellé-collé.

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel},m} &= \sqrt{\frac{24}{41{,}53}} = \sqrt{0{,}5779} \\ &= \mathbf{0{,}760} \quad > 0{,}75 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,760 : le seuil est franchi, de très peu. Voyons ce que cela change.

Ordre de grandeur : Le dépassement n'est que de 1,4 %. Les deux voies encadrent le seuil, à quelques pour cent près de part et d'autre.
Impact sur la suite : Le coefficient \( k_{\text{crit}} \) doit être calculé, et il vaudra très peu en dessous de 1 : la branche linéaire commence tout juste.
Cohérence : L'écart de 15 % sur la contrainte critique ne produit que 8,6 % sur l'élancement. La racine carrée amortit, comme prévu.
Attention : Ce franchissement du seuil est une question de méthode, pas de sécurité : la poutre n'est en danger dans aucun des deux cas.
Comparaison : La note du confrère annonçait 0,634 : elle plaçait la poutre 15 % sous le seuil, ce qui donnait une fausse impression de confort.

Remarque pédagogique : Voilà le cœur de l'exercice : deux formules du même Eurocode, appliquées à la même poutre, donnent des verdicts opposés. Ce n'est ni une contradiction ni un défaut de la norme — c'est une question de domaine d'application. Un étudiant qui a rencontré ce cas une fois ne dira plus jamais « la norme dit que », mais « telle clause, dans son domaine, dit que ».

Coefficient de déversement retenu

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la position défendable devant un vérificateur est celle de la voie la plus défavorable.

Méthodologie du calcul :

Application de la branche linéaire de la courbe, valable entre 0,75 et 1,4.

Substitution : \( \lambda_{\text{rel},m} = 0{,}760 \), issu de la voie exacte.
Piège évité : Ne pas employer la branche en \( 1/\lambda^{2} \), réservée aux élancements supérieurs à 1,4.
Hypothèse validée : Choix de la voie exacte, plus défavorable, assumé et signalé dans la note.
Vérification croisée : À \( \lambda_{\text{rel},m} = 0{,}75 \) exactement, la formule donnerait \( 1{,}56 - 0{,}5625 = 0{,}9975 \), soit pratiquement 1. La continuité de la courbe est vérifiée.
Finalité : Fournir le coefficient qui réduira la résistance dans la vérification finale.

\[ \begin{aligned} k_{\text{crit}} &= 1{,}56 - 0{,}75\,\lambda_{\text{rel},m} = 1{,}56 - 0{,}75 \times 0{,}760 \\ &= 1{,}56 - 0{,}570 = \mathbf{0{,}990} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,990 : la pénalité est de 1 %. Voyons ce que cela représente réellement.

Ordre de grandeur : Un pour cent de résistance en moins. C'est négligeable en pratique, et c'est bien pourquoi le débat sur la formule reste ici théorique.
Impact sur la suite : La résistance passe de 13,44 à 13,31 N/mm². Le taux de travail bougera d'un point.
Cohérence : La branche linéaire commence à peine : le coefficient est proche de 1 parce que l'élancement est proche du seuil.
Attention : À \( \lambda_{\text{rel},m} = 1{,}4 \), ce coefficient tomberait à 0,51. La pente est raide : ce qui est anodin ici deviendrait déterminant sur une poutre plus élancée.
Comparaison : La note du confrère, avec \( \lambda_{\text{rel},m} = 0{,}634 \), concluait à \( k_{\text{crit}} = 1 \). L'écart final n'est que de 1 % — l'erreur était sans conséquence ici, mais elle était réelle.

Remarque pédagogique : Soyez explicite sur la portée du résultat : l'erreur de la note reprise était réelle mais sans conséquence sur ce cas précis. C'est une distinction que les étudiants ont du mal à faire, et elle est essentielle. Une erreur de méthode doit être corrigée même quand son effet est nul, parce que la même méthode servira sur une poutre où l'effet ne le sera pas.

Ce que donnait la note reprise

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer l'erreur du confrère plutôt que de la signaler en termes vagues. Un écart annoncé sans nombre ne convainc personne.

Méthodologie du calcul :

Reprise de la chaîne complète avec les deux hypothèses fautives : module moyen et longueur efficace égale à la portée.

Substitution : \( E_{0,\text{mean}} = 11\,500 \) N/mm² et \( l_{\text{ef}} = L = 6\,000 \) mm.
Piège évité : Ne pas présenter ce résultat comme une variante acceptable. Les deux hypothèses sont contraires au texte des clauses.
Hypothèse validée : Reproduction fidèle du calcul repris, aux fins de comparaison seulement.
Vérification croisée : Les deux erreurs se cumulent multiplicativement : 1,198 pour le module et 1,020 pour la longueur, soit 1,222 au total.
Finalité : Documenter l'écart dans la note de reprise, avec les clauses à l'appui.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,\text{crit}}^{\text{note reprise}} &= \frac{0{,}78 \times 120^{2}}{360 \times 6\,000} \times 11\,500 = 59{,}80 \text{ N/mm}^{2} \\ \lambda_{\text{rel},m} &= \sqrt{\frac{24}{59{,}80}} = \mathbf{0{,}634} \quad \text{d'où } k_{\text{crit}} = 1 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,634 au lieu de 0,760, soit 20 % d'écart sur l'élancement. Voyons ce que cela masquait.

Ordre de grandeur : Un élancement 20 % trop faible, qui plaçait la poutre confortablement sous le seuil au lieu de la placer juste au-dessus.
Impact sur la suite : La conclusion « pas de risque de déversement » était juste par chance, non par méthode. Sur une poutre de 7 m, elle aurait été fausse.
Cohérence : Les deux erreurs pesaient très inégalement : 20 % pour le module, seulement 2 % pour la longueur efficace.
Attention : L'erreur va dans le sens du danger : elle surestime la stabilité. C'est ce qui la rend inacceptable, même quand son effet chiffré est nul.
Comparaison : Sur une poutre au voisinage de \( \lambda_{\text{rel},m} = 1{,}2 \), la même erreur ferait passer \( k_{\text{crit}} \) de 0,66 à 0,81, soit 23 % de résistance surestimée.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que les deux erreurs de la note reprise ne pesaient pas du tout le même poids : 20 % pour le module, 2 % pour la longueur efficace. Un étudiant qui doit hiérarchiser ses vérifications a tout intérêt à savoir lesquelles comptent. Le module est ici l'erreur grave ; la longueur efficace, sur cette géométrie, ne l'est pas — mais elle le deviendrait sur une poutre plus haute.

RÉSULTAT FINAL

Élancement relatif et coefficient retenus = 0,760 / 0,990 — le seuil de 0,75 est franchi par la voie exacte, la note reprise annonçait 0,634

"Un résultat près d'un seuil n'est pas un résultat, c'est une question !"

Question 4 : Vérification et dispositions constructives

Dans la tête de l'ingénieur

"La vérification elle-même va être expédiée : la poutre travaille à 32 % en flexion simple, et le déversement ne lui retire qu'un pour cent. Elle passe très largement. Mais ce n'est pas la réponse la plus utile que je puisse donner. Un concepteur ne demande pas « est-ce que ça passe ? », il demande jusqu'où ça passe et qu'est-ce qui le ferait basculer. Je vais donc chercher la portée limite au-delà de laquelle le déversement devrait être pris en compte, puis chiffrer deux dispositions — un maintien latéral à mi-portée et un élargissement — pour comparer leur efficacité. Je pressens déjà le résultat : la contrainte critique varie en \( b^{2}/l_{\text{ef}} \), donc raccourcir coûte moins cher qu'élargir."

Observation : Le déversement ne retire ici que 1 % de résistance. Toute la question 3 aura servi à établir un coefficient sans effet pratique — ce qui est fréquent, et ce n'est pas une raison de sauter l'étape.
Analyse du risque : La poutre est à 1,00 m de la portée où le déversement devient un vrai sujet. Un changement de trame en cours de projet suffirait à la faire basculer.
Choix stratégique : Je chiffre la portée limite plutôt que de me contenter du verdict. C'est un critère réutilisable, qui servira sur toutes les pannes de même section du projet.
Alternative : J'aurais pu conclure en trois lignes. Mais une note qui dit seulement « vérifié » n'aide personne le jour où la portée change ; une note qui dit « vérifié jusqu'à 7,00 m » reste utile.
Objectif visé : Sortir avec un avis de conception : la charge admissible, la portée limite, et le classement des deux remèdes possibles.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Taux de travail = 33 %, largement vérifié · portée limite 7,00 m · un maintien à mi-portée ramène l'élancement à 0,523 · charge admissible 7,66 kN/m

Rappel Théorique : agir sur la stabilité au déversement

La contrainte critique varie en \( b^{2}/(h\,l_{\text{ef}}) \). Cette seule expression classe tous les leviers d'action, et le classement est contre-intuitif pour qui a l'habitude de la flexion.

Principe 1 — la largeur est le levier le plus fort : Elle intervient au carré. Passer de 120 à 160 mm multiplie la contrainte critique par 1,78, alors que le volume de bois n'augmente que d'un tiers.
Principe 2 — la hauteur agit à contresens : Rehausser une poutre améliore la flexion et aggrave le déversement. C'est le seul cas de l'Eurocode 5 où ces deux vérifications s'opposent frontalement.
Principe 3 — la longueur efficace est le levier le moins cher : Un maintien latéral intermédiaire divise \( l_{\text{ef}} \) par deux, ce qui double presque la contrainte critique — pour le prix d'une entretoise.
Principe 4 — la classe de bois ne sert à rien : La contrainte critique ne dépend que de rigidités. Passer du GL24h au GL32h n'améliorerait la stabilité que de quelques pour cent, et augmenterait même l'élancement relatif.
Principe 5 — la position de la charge est gratuite : Suspendre une charge sous la poutre plutôt que la poser dessus fait gagner \( 2{,}5h \) de longueur efficace. Ce n'est pas toujours possible, mais cela ne coûte rien quand ça l'est.

Équations Fondamentales

Deux relations : le critère de vérification du § 6.3.3(6), puis l'inversion qui donne la portée limite.

Critère de vérification au déversement — § 6.3.3(6) :

Il compare la contrainte de calcul à la résistance réduite.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'Eurocode a choisi de traiter l'instabilité du côté de la résistance. Physiquement, c'est pourtant la sollicitation qui augmente : le déplacement latéral crée un moment supplémentaire. Mais réduire la résistance revient au même dans une inéquation, et cela permet de conserver la forme habituelle. Il faut simplement savoir que l'effet n'est pas compté deux fois : le moment de la question 1 reste celui du premier ordre.

Contexte de validité : Poutre en flexion simple. Avec un effort normal de compression, il faut passer aux critères d'interaction du § 6.3.3(6).
Avantage : La vérification garde la forme contrainte sur résistance, immédiatement comparable aux autres lignes de la note.
Paramètre clé : \( k_{\text{crit}} \), qui vaut ici 0,990 mais pourrait descendre à 0,51 sur une poutre nettement plus élancée.
Vérification : Le taux obtenu doit être très proche de celui de la flexion simple quand \( k_{\text{crit}} \) avoisine 1. L'écart mesure exactement le coût du déversement.
Limite : Ce critère ne couvre que le déversement. Le cisaillement, la compression d'appui et la flèche restent à vérifier séparément.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,\text{d}} \le k_{\text{crit}}\,f_{m,\text{d}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : on n'a pas le droit de compter sur toute la résistance d'une poutre qui pourrait basculer avant de rompre. C'est une convention d'écriture, pas une description physique : dans la réalité, c'est la sollicitation qui s'amplifie. Le résultat est identique, à condition de ne pas compter l'effet deux fois.

Décomposition des termes :

\( \sigma_{m,\text{d}} \) : contrainte de flexion de calcul, du premier ordre, unité : N/mm²
\( k_{\text{crit}} \) : coefficient de déversement, unité : sans dimension
\( f_{m,\text{d}} \) : résistance de calcul en flexion, unité : N/mm²
Produit : résistance effectivement disponible, unité : N/mm²
Ne couvre pas : cisaillement, compression d'appui, flèche, unité : —

Portée limite au seuil de déversement :

Elle s'obtient en inversant la chaîne de calcul depuis \( \lambda_{\text{rel},m} = 0{,}75 \).

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un projet évolue. Une trame se déplace, une portée s'allonge, et il est bien plus utile de savoir jusqu'où une section reste valable que de savoir qu'elle l'est pour la portée d'aujourd'hui. L'inversion ne coûte rien : on remonte du seuil de 0,75 à la contrainte critique correspondante, puis à la longueur efficace, puis à la portée en retranchant les \( 2h \).

Contexte de validité : Section et produit fixés, charge répartie appliquée en fibre comprimée. La portée est la seule variable.
Avantage : Le résultat ne dépend pas de la charge. Il vaut pour toutes les pannes de même section du projet, quel que soit leur chargement.
Paramètre clé : Le seuil de 0,75, qui fixe la contrainte critique à ne pas descendre en dessous : \( f_{m,\text{k}}/0{,}75^{2} \).
Vérification : À la portée trouvée, l'élancement doit valoir exactement 0,75. C'est le contrôle le plus direct.
Limite : Franchir ce seuil ne signifie pas que la poutre est refusée : cela signifie qu'il faut calculer \( k_{\text{crit}} \) et vérifier avec.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,\text{crit}} = \frac{f_{m,\text{k}}}{0{,}75^{2}} \quad \Longrightarrow \quad l_{\text{ef}} = \frac{0{,}78\,b^{2}\,E_{0,05}}{h\,\sigma_{m,\text{crit}}} \quad \Longrightarrow \quad L = \frac{l_{\text{ef}} - 2h}{0{,}9} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une section a une portée au-delà de laquelle sa stabilité devient un sujet, et cette portée ne dépend pas de la charge. C'est une propriété purement géométrique de la pièce, associée à son produit. Un bureau d'études a tout intérêt à tabuler ce seuil pour ses sections courantes, une fois pour toutes.

Décomposition des termes :

\( f_{m,\text{k}}/0{,}75^{2} \) : contrainte critique au seuil, soit \( 24/0{,}5625 \), unité : N/mm²
\( l_{\text{ef}} \) : longueur efficace correspondante, unité : mm
\( -2h \) : retrait de la correction de position de charge, unité : mm
\( /0{,}9 \) : retrait de la correction de forme du diagramme, unité : —
Indépendant de : la charge \( q_{\text{d}} \), qui n'apparaît nulle part, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de vouloir rehausser une poutre qui déverse, par réflexe de flexion..."

L'approche d'ingénieur : L'automatisme est excellent en flexion, où le module varie en \( h^{2} \). Il est exactement contre-productif ici.

L'erreur : Passer de 360 à 450 mm de hauteur pour « renforcer » la poutre. La contrainte critique diminuerait de 22 %, et l'élancement relatif augmenterait de 13 %.
La bonne méthode : Lire la formule : \( \sigma_{m,\text{crit}} \) varie en \( b^{2}/(h\,l_{\text{ef}}) \). Pour stabiliser, il faut élargir ou raccourcir, jamais rehausser.
L'astuce de pro : Le levier le moins cher reste le maintien latéral intermédiaire : il divise la longueur efficace, et une entretoise coûte infiniment moins qu'une section élargie sur toute la longueur.
Le moyen mnémotechnique : « Contre le déversement, on élargit ou on tient — on ne rehausse pas ».
L'impact direct : C'est le seul endroit de l'Eurocode 5 où flexion et stabilité demandent des actions opposées. Une poutre optimisée en flexion est, par construction, la plus exposée au déversement.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( \sigma_{m,\text{d}} \) et \( f_{m,\text{d}} \) : toutes deux en N/mm²
Taux de travail : rapport de deux contraintes, donc sans unité
\( l_{\text{ef}} \) et \( L \) : exprimées en mm dans l'inversion
Charge admissible : N·mm / m² donne des kN/m après conversion
\( k_{\text{crit}} \) : grandeur sans unité

Le seul point délicat de cette question est l'inversion de la portée limite. Il faut y retrancher le \( 2h \) avant de diviser par 0,9, et non l'inverse — les deux corrections ne commutent pas. Un contrôle immédiat existe : reprendre la portée trouvée, recalculer la longueur efficace dans le sens direct, et vérifier qu'on retombe sur la même valeur.

1. Résolution Numérique Vérification au déversement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la conclusion de la mission, et le seul nombre qu'un vérificateur lira en premier.

Méthodologie du calcul :

Rapport de la contrainte de calcul à la résistance réduite par le coefficient de déversement.

Substitution : \( \sigma_{m,\text{d}} = 4{,}34 \), \( k_{\text{crit}} = 0{,}990 \) et \( f_{m,\text{d}} = 13{,}44 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas appliquer \( k_{\text{crit}} \) à la contrainte. Il réduit la résistance, il ne majore pas la sollicitation — et l'effet ne se compte qu'une fois.
Hypothèse validée : Coefficient issu de la voie exacte, la plus défavorable des deux, choix assumé et signalé.
Vérification croisée : Le taux doit dépasser d'un point celui de la flexion simple, qui valait 32 %. L'écart mesure exactement le coût du déversement.
Finalité : Conclure sur la panne telle qu'elle est proposée.

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{m,\text{d}}}{k_{\text{crit}}\,f_{m,\text{d}}} &= \frac{4{,}34}{0{,}990 \times 13{,}44} = \frac{4{,}34}{13{,}31} \\ &= \mathbf{33\ \%} \le 100\ \% \quad \text{vérifié} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

33 % : la panne est très largement vérifiée. Voyons ce que le déversement lui a réellement coûté.

Ordre de grandeur : Un tiers de la capacité consommée. La marge est considérable, et le déversement n'y change presque rien.
Impact sur la suite : Passer de 32 à 33 % : le déversement coûte un point de taux de travail. Toute la question 3 aboutit à cela.
Cohérence : C'est le cas habituel : sur une poutre juste au-dessus du seuil, le coefficient est proche de 1 et l'effet est marginal.
Attention : Cette conclusion ne vaut que pour le déversement. La flèche, le cisaillement et la compression d'appui restent à vérifier.
Comparaison : Sur une poutre où \( \lambda_{\text{rel},m} \) atteindrait 1,4, le coefficient tomberait à 0,51 et le taux de travail doublerait.

Remarque pédagogique : Assumez le résultat : toute cette vérification aboutit à un point de taux de travail. C'est une leçon en soi. Une vérification réglementaire n'a pas pour but de produire un grand effet, mais de démontrer qu'il n'y en a pas. On ne sait qu'un risque est négligeable qu'après l'avoir chiffré — et pas avant.

Portée limite au-delà de laquelle le déversement compte

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le résultat réutilisable de l'étude : il vaudra pour toutes les pannes de même section, quel que soit leur chargement.

Méthodologie du calcul :

Inversion de la chaîne depuis le seuil, par la voie simplifiée.

Substitution : \( \sigma_{m,\text{crit}} = 24/0{,}75^{2} = 42{,}67 \) N/mm², puis remontée à \( l_{\text{ef}} \) et à \( L \).
Piège évité : Retrancher les \( 2h \) avant de diviser par 0,9. Les deux corrections ne commutent pas.
Hypothèse validée : Section et produit inchangés, charge répartie appliquée en fibre comprimée.
Vérification croisée : À \( L = 7\,000 \) mm, on retrouve bien \( l_{\text{ef}} = 0{,}9 \times 7\,000 + 720 = 7\,020 \) mm. L'inversion est cohérente.
Finalité : Fournir un critère de projet, valable sur toute la gamme de portées.

\[ \begin{aligned} l_{\text{ef}} &= \frac{0{,}78 \times 120^{2} \times 9\,600}{360 \times 42{,}67} = 7\,020 \text{ mm} \\ L &= \frac{7\,020 - 720}{0{,}9} = \mathbf{7\,000} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

7,00 m : la panne est à un mètre de ce seuil. Voyons ce que cela implique.

Ordre de grandeur : Un mètre de marge sur six, soit 17 %. Un changement de trame en cours de projet suffirait à franchir le seuil.
Impact sur la suite : Ce nombre mérite de figurer en tête de la note d'hypothèses, à côté de la section : « 120 × 360 GL24h, déversement à vérifier au-delà de 7,00 m ».
Cohérence : Le résultat ne dépend pas de la charge : il caractérise la géométrie et le produit, pas le chargement.
Attention : Franchir ce seuil ne signifie pas « refusé », mais « à calculer ». À 8,00 m, le coefficient vaudrait encore 0,96.
Comparaison : Par la voie exacte, ce seuil serait franchi dès la portée actuelle de 6,00 m. Les deux voies encadrent la situation, comme à la question 3.

Remarque pédagogique : Faites tabuler ce seuil pour quelques sections courantes : 100 × 300, 120 × 360, 140 × 450. En dix minutes, on obtient un tableau qui évite de refaire la vérification à chaque projet, et qui apprend surtout à reconnaître d'un coup d'œil les sections exposées. C'est ainsi que travaille un bureau d'études expérimenté.

Effet d'un maintien latéral à mi-portée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le remède le moins coûteux, et qu'il faut savoir combien il rapporte avant de le proposer.

Méthodologie du calcul :

Recalcul de la longueur efficace sur la distance entre maintiens, soit 3 000 mm.

Substitution : \( l = 3\,000 \) mm au lieu de 6 000, la correction \( +2h \) restant inchangée.
Piège évité : Ne pas diviser simplement la longueur efficace par deux. Le \( 2h \) ne se divise pas : il reste à 720 mm.
Hypothèse validée : Le maintien doit empêcher le déplacement latéral de la fibre comprimée, et être lui-même stabilisé par un contreventement.
Vérification croisée : La contrainte critique passe de 48,94 à 87,58 N/mm², soit un facteur 1,79 — exactement le rapport des longueurs efficaces.
Finalité : Chiffrer le gain avant de comparer à la solution par élargissement.

\[ \begin{aligned} l_{\text{ef}} &= 0{,}9 \times 3\,000 + 720 = 3\,420 \text{ mm} \\ \sigma_{m,\text{crit}} &= 87{,}58 \text{ N/mm}^{2} \quad \Longrightarrow \quad \lambda_{\text{rel},m} = \mathbf{0{,}523} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,523 au lieu de 0,700 : la poutre s'éloigne nettement du seuil. Voyons le rapport coût-efficacité.

Ordre de grandeur : L'élancement chute de 25 % et la marge au seuil passe de 7 à 30 %. Le déversement cesse d'être un sujet.
Impact sur la suite : \( k_{\text{crit}} = 1 \) sans discussion possible, quelle que soit la formule employée. Le débat de la question 3 s'éteint.
Cohérence : La longueur efficace n'est pas divisée par deux mais par 1,79, parce que le \( 2h \) reste entier. Le gain est moindre qu'on ne l'imagine.
Attention : Le maintien doit être effectif : une simple panne posée dessus ne suffit pas, il faut un assemblage capable de reprendre l'effort de stabilisation.
Comparaison : Avec deux maintiens au tiers, la longueur efficace tomberait à 2 520 mm et l'élancement à 0,449. Le rendement décroît rapidement.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que le \( 2h \) ne se divise pas. C'est le genre de détail que les étudiants négligent en raisonnant par proportion, et qui fait ici passer le gain de 2,0 à 1,79. Sur une poutre haute et courte, cette correction devient rapidement le terme dominant — au point qu'un maintien supplémentaire n'apporterait presque plus rien.

Effet d'un élargissement de la section

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour comparer les deux remèdes à effet équivalent, et pouvoir trancher sur le coût.

Méthodologie du calcul :

Reprise de la formule simplifiée avec une largeur portée à 160 mm, tout le reste inchangé.

Substitution : \( b = 160 \) mm, soit \( b^{2} = 25\,600 \) mm², avec \( l_{\text{ef}} = 6\,120 \) mm inchangée.
Piège évité : Ne pas oublier que le rapport \( h/b \) change aussi, ce qui modifierait \( \beta \) dans la voie exacte. La voie simplifiée n'en tient pas compte.
Hypothèse validée : Hauteur et portée inchangées : seul l'élargissement est examiné.
Vérification croisée : La contrainte critique est multipliée par \( (160/120)^{2} = 1{,}78 \), soit exactement le rapport des carrés des largeurs.
Finalité : Comparer à la solution par maintien, à effet quasiment identique.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,\text{crit}} &= \frac{0{,}78 \times 160^{2}}{360 \times 6\,120} \times 9\,600 = 87{,}01 \text{ N/mm}^{2} \\ \lambda_{\text{rel},m} &= \sqrt{\frac{24}{87{,}01}} = \mathbf{0{,}525} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,525, soit pratiquement le même résultat que le maintien à mi-portée. Voyons ce qui les départage.

Ordre de grandeur : Les deux remèdes donnent 0,523 et 0,525 : à effet égal, c'est le coût qui décide.
Impact sur la suite : L'élargissement représente 33 % de bois en plus sur toute la longueur ; le maintien coûte une entretoise de deux mètres.
Cohérence : Le facteur 1,78 sur la contrainte critique est exactement \( (160/120)^{2} \). La largeur au carré est bien le levier annoncé.
Attention : L'élargissement améliore aussi la flexion et le cisaillement, ce que le maintien latéral ne fait pas. Sur une poutre tendue sur plusieurs critères, il peut redevenir préférable.
Comparaison : Rehausser à 450 mm ferait au contraire chuter la contrainte critique à 38,03 N/mm² et monterait l'élancement à 0,794 — au-delà du seuil.

Remarque pédagogique : Deux remèdes, un effet identique, des coûts sans commune mesure : voilà exactement le genre d'arbitrage qui distingue le calcul de la conception. Faites aussi calculer la variante « rehausser » — elle aggrave le problème, et c'est la meilleure démonstration que l'intuition de la flexion ne s'applique pas ici.

Charge admissible de la panne

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un avis technique gagne à dire jusqu'où la section tient, et pas seulement qu'elle tient.

Méthodologie du calcul :

Moment admissible au déversement, puis inversion de la formule du moment pour remonter à la charge.

Substitution : \( k_{\text{crit}}\,f_{m,\text{d}}\,W_{y} = 0{,}990 \times 13{,}44 \times 2\,592\,000 \) N·mm, puis \( q = 8M/L^{2} \).
Piège évité : Ne pas oublier que cette charge est déjà à l'ELU. Ramenée en caractéristique, elle vaudrait de l'ordre de 5 kN/m selon la composition des actions.
Hypothèse validée : Le déversement est le critère retenu. La flèche pourrait s'avérer plus contraignante et n'a pas été vérifiée.
Vérification croisée : Le rapport à la charge appliquée vaut \( 7{,}66/2{,}5 = 3{,}07 \), cohérent avec un taux de travail de 33 %.
Finalité : Clore l'avis technique par une capacité chiffrée, exploitable si le programme évolue.

\[ \begin{aligned} M_{\text{adm}} &= 0{,}990 \times 13{,}44 \times 2\,592\,000 = 34{,}49 \times 10^{6} \text{ N}\cdot\text{mm} \\ q_{\text{adm}} &= \frac{8 \times 34{,}49}{6{,}00^{2}} = \mathbf{7{,}66} \text{ kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

7,66 kN/m contre 2,5 appliqués : la panne peut porter trois fois sa charge. Voyons ce que cela dit du projet.

Ordre de grandeur : Un facteur trois de réserve. La section a manifestement été choisie sur un autre critère que la résistance.
Impact sur la suite : Ce critère est très probablement la flèche, qui sur une panne de 6 m est presque toujours dimensionnante.
Cohérence : Un taux de travail de 33 % correspond bien à un rapport de capacité de \( 1/0{,}33 = 3{,}0 \). Les deux lectures concordent.
Attention : Cette capacité ne vaut que pour le déversement. Le cisaillement et surtout la flèche pourraient la limiter bien plus tôt.
Comparaison : À cette charge, l'élancement relatif ne changerait pas : la contrainte critique est indépendante du chargement. Seul le taux de travail évoluerait.

Remarque pédagogique : Terminez sur cette observation : la panne est trois fois surdimensionnée en résistance. Cela signifie que sa section a été fixée par un autre critère — presque certainement la flèche. Un étudiant qui apprend à lire un dimensionnement à rebours, en se demandant « quel critère a décidé de cette section ? », comprend beaucoup plus vite comment un projet se construit réellement.

RÉSULTAT FINAL

Taux de travail au déversement = 33 % — vérifié ; portée limite 7,00 m et charge admissible 7,66 kN/m

"Contre le déversement, on élargit ou on tient — on ne rehausse jamais !"

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Schéma bilan — la longueur efficace et le mode de déversement

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai pris \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \) pour le lamellé-collé , malgré le 24 commun avec le C24. J'ai employé \( E_{0,05} \) et non \( E_{0,\text{mean}} \) dans la contrainte critique. J'ai lu la note du tableau 6.1 et ajouté \( 2h \) pour une charge en fibre comprimée. J'ai vérifié que la formule simplifiée du § 6.3.3(5) est réservée aux résineux massifs . J'ai calculé la marge au seuil de 0,75, et pas seulement rendu un verdict binaire. J'ai appliqué \( k_{\text{crit}} \) à la résistance , et non à la contrainte. J'ai retenu qu'on élargit ou on tient une poutre qui déverse — jamais on ne la rehausse.

Avis technique — la panne 120 × 360 GL24h est vérifiée au déversement, avec un taux de 33 % et une portée limite de 7,00 m. Le moment de calcul vaut 11,25 kN·m pour un module de flexion de 2 592 000 mm³, soit une contrainte de 4,34 N/mm² face à une résistance de 13,44 N/mm². La longueur efficace, corrigée selon le tableau 6.1 et sa note, vaut 6 120 mm — soit 2 % de plus que la portée. La contrainte critique s'établit à 48,94 N/mm² par la formule simplifiée et à 41,53 N/mm² par la formule exacte, d'où des élancements relatifs de 0,700 et 0,760 qui encadrent le seuil de 0,75. En retenant la voie la plus défavorable, \( k_{\text{crit}} = 0{,}990 \) et le taux de travail atteint 33 %. La charge admissible au déversement s'élève à 7,66 kN/m, soit trois fois la charge appliquée.

Des deux erreurs de la note reprise, une seule comptait : le module. Toute instabilité se calcule au fractile 5 %, \( E_{0,05} \), parce que c'est la pièce la plus souple d'un lot qui cède et non la pièce moyenne — d'où 20 % d'écart sur la contrainte critique. La conclusion du confrère était donc juste par chance : à 7,00 m de portée, elle aurait été fausse. La plus-value technique de cette étude tient à ce qu'elle dit laquelle des deux erreurs comptait, et à partir de quand elle devenait décisive.

Traçabilité des valeurs tabulées

Les valeurs de coefficients et les résistances caractéristiques employées dans cet exercice proviennent des tableaux de la NF EN 1995-1-1 et des normes produits associées. Chacune est rattachée ci-dessous à la clause ou au tableau qui la fixe, de sorte qu'un tiers puisse la retrouver et vérifier le calcul sans le refaire. Les valeurs relevant d'un paramètre national sont signalées comme telles : c'est l'annexe nationale du pays du projet qui les arrête. Les coefficients qui ont pu être confirmés sur source — \( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \) et \( \beta_{\text{c}} \) — ne figurent pas dans cette liste.

\( k_{h} \) du lamellé-collé — § 3.3 : hauteur de référence 600 mm, exposant 0,1, plafond 1,1.
\( k_{\text{cr}} \) — § 6.1.7 : valeur 0,67 retenue ici ; l'atelier JRC Bruxelles 2008 évoque par ailleurs des \( f_{v,\text{k}} \) de 2,0 et 2,5 N/mm² relevant d'une autre édition.
\( k_{\text{c},90} \) — § 6.1.5 : 1,25 et 1,50 pour le bois massif selon l'appui, 1,50 et 1,75 pour le lamellé-collé, et l'extension fixe de 30 mm.
NF EN 14080 — bois lamellé-collé : les valeurs caractéristiques du GL24h employées ici.

Déversement d'une Poutre en Lamellé-Collé

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Le premier mois à 1 €

Déversement d'une poutre GL24h : longueur efficace et coefficient de stabilité

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Sollicitation et résistance de calcul

Question 2 : Longueur efficace et contrainte critique

Question 3 : Élancement relatif et coefficient de déversement

Question 4 (Finale) : Vérification et dispositions constructives

Déversement d'une poutre GL24h : longueur efficace et coefficient de stabilité

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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