Déterminer la Surface d'un Plan

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Déterminer la surface d'une parcelle est l'un des actes les plus lourds de conséquences du métier. Une contenance figure dans un acte notarié, fonde un prix de vente, détermine un droit à construire, sert d'assiette à une taxe. Quand un géomètre écrit un nombre de mètres carrés, ce nombre engage.

La méthode employée est toujours la même depuis deux siècles et demi : la formule des lacets, ainsi nommée parce que les produits se croisent comme le laçage d'une chaussure. Elle est courte, mécanique, et elle ne demande que les coordonnées des sommets. Sa simplicité est un piège : on l'applique sans se demander ce que le résultat signifie, ni de quelle surface il s'agit exactement.

Les Points Clés du Projet

Quatre points à poser avant d'ouvrir la calculatrice. Les deux derniers sont ceux que l'on traite mal, ou pas du tout :

Fermer la boucle : la formule parcourt un contour fermé. Le dernier sommet doit être relié au premier, ce qui se traduit en pratique par la répétition du point de départ en fin de tableau. L'oublier ampute un côté et fausse tout.
Deux sommes, pas une : les produits descendants et les produits ascendants se calculent séparément, puis se soustraient. Les mélanger en une seule colonne est la première cause d'erreur, parce que le résultat reste vraisemblable.
Le signe se démontre : le signe de la somme indique le sens de parcours des sommets. Encore faut-il savoir lequel : c'est une propriété qui se démontre — sur un contour connu, ou par les produits vectoriels — et qui ne s'affirme pas.
De quelle surface parle-t-on ? la formule rend la surface dans le plan de projection, calculée à partir de coordonnées entachées d'une incertitude de mesure. Ce n'est ni la surface du terrain, ni une valeur exacte. L'écart se chiffre, et il est plus grand qu'on ne le croit.

Votre Mission :

Un géomètre-topographe a levé les cinq sommets d'une parcelle et vous transmet leurs coordonnées. Vous devez en calculer la surface, la contrôler, établir le sens de parcours par une démonstration, et dire dans quelle mesure le nombre livré correspond à la surface réelle du terrain.

Le grand défi : Ne rien affirmer sur le signe sans l'avoir démontré. Une affirmation fausse sur le sens de parcours entraîne, par contagion, des explications inventées pour la justifier — et c'est ainsi que naissent les faux savoirs.
Votre rôle : Livrer une contenance et sa qualité : la valeur, son incertitude, et la nature exacte de la surface calculée.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Le tableau complet des produits croisés, les deux sommes séparées, et le double de la surface avec son unité.
La surface en mètres carrés, sa conversion en unités agraires, et un contrôle d'ordre de grandeur chiffré.
Le calcul en sens inverse, et surtout la démonstration du sens réel de parcours — pas son affirmation.
L'incertitude de la surface livrée, et l'écart entre surface projetée et surface de terrain.

2. Données Techniques & Normes

Deux familles de données. Les coordonnées des cinq sommets viennent du levé : ce sont des mesures, donc des valeurs entachées d'incertitude, même si elles sont écrites au centimètre. Les paramètres de la classe de précision viennent de l'arrêté du 16 septembre 2003 : ce sont des constantes réglementaires.

Une précision d'honnêteté d'emblée : aucun texte du dossier de normes ne fixe de tolérance sur une surface calculée. L'arrêté de 2003 couvre bien les objets surfaciques, mais il spécifie une classe sur les positions, jamais sur l'aire qui en découle. Le passage de l'une à l'autre, en question 4, est donc une démonstration mathématique — et elle est présentée comme telle, jamais comme un seuil opposable.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Six relations. Les trois premières mènent à la surface ; les trois dernières servent à la qualifier, ce qui est le vrai sujet de cet exercice.

Formule des lacets, double de l'aire \( 2S = \sum_{i=1}^{n} \left( X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i \right) \)
Surface du polygone \( S = \dfrac{\left| 2S \right|}{2} \)
Conversion en unités agraires \( S_{\text{ha}} = \dfrac{S_{\text{m}^2}}{10\,000} \)
Orientation en un sommet, produit vectoriel \( z_i = \left( X_i - X_{i-1} \right)\left( Y_{i+1} - Y_i \right) - \left( Y_i - Y_{i-1} \right)\left( X_{i+1} - X_i \right) \)
Incertitude de la surface, coordonnées indépendantes \( \sigma_{\text{S}} = \dfrac{\sigma}{2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left[ \left( Y_{i+1} - Y_{i-1} \right)^2 + \left( X_{i+1} - X_{i-1} \right)^2 \right]} \)
Retour à la surface du terrain \( S_{\text{terrain}} = \dfrac{S_{\text{plan}}}{\left( 1 + m \right)^{2}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

COORDONNÉES DES SOMMETS RELEVÉS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( A \)	Premier sommet levé, point de départ du contour	100,00 ; 200,00	m
\( B \)	Deuxième sommet	150,00 ; 50,00	m
\( C \)	Troisième sommet	350,00 ; 100,00	m
\( D \)	Quatrième sommet	300,00 ; 250,00	m
\( E \)	Cinquième sommet, refermant le contour sur \( A \)	120,00 ; 260,00	m
\( n \)	Nombre de sommets du polygone	5	—

Ce que ces coordonnées sont — et ne sont pas

Nature : des mesures, pas des nombres exacts. Le « ,00 » indique le pas d'écriture, il ne certifie aucune précision.
Système : on parle parfois d'un « système de projection local ». Aucun système local n'a de valeur légale : le décret n° 2006-272 impose le RGF93 et la projection Lambert 93 en France métropolitaine.
Conséquence : ces valeurs se lisent comme des coordonnées relatives. La formule des lacets étant invariante par translation — ce qui sera démontré en question 3 — le résultat serait identique avec les coordonnées Lambert 93 complètes.
Orientation des axes : \( X \) vers l'Est, \( Y \) vers le Nord. C'est un repère direct, exactement comme le repère mathématique usuel — point capital pour la question 3.

PARAMÈTRES DE QUALITÉ ET DE PROJECTION

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( k \)	Coefficient de fiabilité en planimétrie, pour \( n = 2 \) dimensions Arrêté 16 sept. 2003	2,42	—
\( [xx] \) et \( C \)	Classe de précision planimétrique annoncée au marché et coefficient de sécurité Arrêté 16 sept. 2003	[2] et 2	cm et —
\( \sigma \)	Incertitude retenue sur chaque coordonnée, prise égale à la classe annoncée	2	cm
\( m \)	Altération linéaire de la projection Lambert 93, plage annoncée DT-DICT fasc. 2, p. 73	−1 à +3	m/km
—	Relation de conversion agraire, définition	1 ha = 100 a = 10 000 m²	—

Hypothèses de calcul imposées

Plan euclidien : les coordonnées sont traitées dans un plan à deux dimensions. La surface obtenue est une surface projetée, qui ignore les pentes du terrain.
Polygone simple : les côtés ne se croisent pas. La formule des lacets perd tout sens sur un contour qui se recoupe.
Erreurs indépendantes : pour la propagation de la question 4, les dix coordonnées sont supposées entachées d'erreurs indépendantes et de même écart-type — hypothèse d'école, favorable, explicitée comme telle.
Instrument : une station totale Leica TS16 est parfois mentionnée. Sa fiche technique est absente du dossier : aucune caractéristique instrumentale n'est donc invoquée dans la correction.

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

La formule des lacets est un résultat mathématique : aucune norme ne la prescrit, et aucune n'a à le faire. En revanche, deux textes déterminent la signification du nombre obtenu — le système de référence dans lequel les coordonnées sont exprimées, et la qualité qu'on peut leur attribuer.

Décret n° 2006-272 du 3 mars 2006, article 1er — références géodésiques légales

Zone	Système · ellipsoïde · projection
France métropolitaine	RGF93 · IAG GRS 1980 · Lambert 93
Guadeloupe, Martinique	WGS84 · IAG GRS 1980 · Coniques conformes 9 zones
Guyane	RGFG95 · IAG GRS 1980 · UTM Nord fuseau 22
La Réunion	RGR92 · IAG GRS 1980 · UTM Sud fuseau 40

Aucun système local ne figure dans ce tableau, et pour cause : une contenance n'a de valeur opposable que rattachée au système légal. Les coordonnées de l'énoncé se lisent donc comme des valeurs relatives — ce qui, la question 3 le démontrera, ne change strictement rien au résultat.

DT-DICT, guide fascicule 2 v3 (2024), page 73 — altération linéaire des projections

Projection	Altération linéaire
Lambert 93, projection légale unique	de −1 m/km à un peu plus de +3 m/km
Coniques conformes CC42 à CC50, 9 zones	inférieure à 10 cm/km

Le guide est explicite : une distance lue sur un plan Lambert 93 « doit donc être […] corrigée de ladite altération linéaire pour obtenir la valeur réelle ». Si la distance doit être corrigée, la surface aussi — et l'effet y est doublé, puisqu'une surface est le produit de deux longueurs. C'est tout le sujet de la question 4.

Arrêté du 16 septembre 2003 — classes de précision (NOR EQUP0300864A)

Élément	Expression ou valeur
Champ d'application	tous travaux topographiques de la sphère publique, couvrant les objets ponctuels, linéaires, surfaciques et volumiques
Coefficient de fiabilité \( k \)	3,23 si \( n = 1 \) · 2,42 si \( n = 2 \) · 2,11 si \( n = 3 \)
Tolérance individuelle	\( T = k \times [xx] \times \left(1 + \dfrac{1}{2C^{2}}\right) \)

L'arrêté couvre donc explicitement les objets surfaciques — mais il spécifie une classe sur les positions des points, et non sur l'aire calculée. C'est une distinction essentielle, et elle est reprise telle quelle en question 4.

Documents manquants au dossier. Aucun texte ne fixe de tolérance sur une surface calculée : la propagation menée en question 4 est une démonstration mathématique appuyée sur la classe de position, jamais un seuil opposable. Aucune formule d'altération surfacique n'y figure non plus : le passage au carré est une déduction géométrique, explicitée comme telle. Aucun texte sur le calcul des contenances cadastrales ni sur l'arpentage n'a été trouvé dans l'ensemble du dossier. Enfin, la fiche technique de la station totale Leica TS16 et la norme ISO 17123 sont absentes : aucune caractéristique instrumentale n'est invoquée.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Quatre étapes. Les deux premières sont mécaniques : elles produisent le nombre. La troisième est celle où l'on cesse d'affirmer pour démontrer — c'est celle que l'on saute le plus souvent. La quatrième demande ce qu'personne ne demande jamais : de quelle surface parle-t-on, et avec quelle incertitude.

Question 1 : Le double de la surface par la formule des lacets

Produits croisés 25 min | Accessible

But de l'étape : Appliquer la formule de manière systématique, en séparant les deux sommes, de façon qu'une erreur puisse être localisée au lieu d'être seulement constatée.

Énoncé Q1 : Calculez le double de la surface du polygone ABCDE par la formule des lacets, en parcourant les sommets dans l'ordre A → B → C → D → E → A.

Dressez un tableau à deux colonnes de produits, sans jamais les mélanger.
N'oubliez pas de fermer la boucle en ramenant le contour sur le point de départ.
Donnez le résultat avec son unité : \( 2S \) est homogène à une surface.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Écrivez les coordonnées en colonne, puis répétez le premier point à la fin. Les produits se lisent alors en diagonale : vers le bas à droite pour la première somme, vers le haut à droite pour la seconde.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Pour cinq sommets, il y a cinq produits descendants et cinq produits ascendants — pas quatre. Le cinquième couple relie E à A : c'est celui qu'on oublie.

Question 2 : La surface, en mètres carrés puis en unités agraires

Conversion et contrôle 20 min | Accessible

But de l'étape : Transformer une valeur intermédiaire en une contenance exploitable, dans l'unité qu'attend un acte, et la contrôler par un ordre de grandeur chiffré plutôt qu'estimé au jugé.

Énoncé Q2 : Déduisez la surface réelle du polygone en mètres carrés, convertissez-la en hectares, et contrôlez l'ordre de grandeur.

Justifiez la présence de la valeur absolue avant la division par deux.
Donnez aussi l'écriture cadastrale en hectares, ares et centiares.
Pour le contrôle, appuyez-vous sur la boîte englobante des sommets, qui se calcule en deux soustractions.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Une surface est une grandeur positive par nature. Le signe qui sort de la formule des lacets ne porte pas sur l'aire : il porte sur le sens de parcours.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La boîte englobante est le plus petit rectangle contenant tous les sommets : sa largeur est l'écart entre le plus grand et le plus petit \( X \), sa hauteur l'écart entre le plus grand et le plus petit \( Y \). La parcelle en occupe nécessairement une fraction.

Question 3 : Le contrôle par le sens inverse et la démonstration du sens de parcours

Orientation 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Contrôler le calcul, puis établir le sens de parcours au lieu de le supposer. C'est la question la plus importante de l'exercice, et celle où se glisse l'erreur la plus fréquente.

Énoncé Q3 : Recalculez le double de la surface en parcourant A → E → D → C → B → A, puis démontrez dans quel sens le parcours A → B → C → D → E est réellement effectué.

Ne vous contentez pas d'observer le signe : calibrez-le sur un contour dont le sens est connu d'avance.
Confirmez par un second argument, indépendant du signe global : l'orientation en chaque sommet.
Vérifiez enfin que le résultat ne dépend pas de l'origine choisie pour les coordonnées.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Pour savoir ce que signifie un signe, appliquez la formule à une figure dont vous connaissez déjà le sens de parcours — un carré, par exemple, parcouru délibérément dans le sens trigonométrique.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Second argument : en chaque sommet, le produit vectoriel des deux côtés qui s'y rejoignent dit si l'on tourne à gauche ou à droite. Si tous les virages vont dans le même sens, le polygone est convexe et son sens de parcours est celui de ces virages.

Question 4 (Finale) : Cette surface est-elle celle du terrain ?

Qualité de la contenance 35 min | BOSS

But de l'étape : Sortir de l'arithmétique. Le nombre obtenu est une surface projetée, calculée à partir de mesures. Ni l'un ni l'autre de ces deux mots n'est anodin, et les deux se chiffrent.

Mention spéciale — deux écarts de nature différente : Le premier vient de l'incertitude des mesures et se propage depuis la classe de précision annoncée. Le second vient de la projection elle-même : le Lambert 93 déforme les longueurs, donc doublement les surfaces. L'un est aléatoire, l'autre systématique — et ils ne sont pas du même ordre de grandeur.

Travail demandé : calculez la tolérance individuelle de l'arrêté du 16 septembre 2003 pour la classe annoncée ; propagez l'incertitude des coordonnées jusqu'à la surface ; chiffrez enfin l'écart entre la surface projetée et la surface du terrain aux deux bornes de l'altération linéaire du Lambert 93, et comparez les deux effets.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Pour propager une incertitude à travers une somme de produits, dérivez la formule par rapport à chaque coordonnée. Le coefficient qui apparaît devant chaque \( X_i \) est un bras de levier : l'écart entre les ordonnées des deux sommets voisins.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Pour l'altération : si toutes les longueurs du plan sont celles du terrain multipliées par \( (1 + m) \), alors toutes les surfaces sont multipliées par \( (1 + m)^{2} \). Une surface se comporte comme le carré d'une longueur : l'effet est doublé.

NOTE DE CALCULS

Déterminer la Surface d'un Plan

Question 1 : Le double de la surface par la formule des lacets

Dans la tête de l'ingénieur

"Dix produits à calculer, et une seule chose à ne pas rater : ne pas les mélanger. Je vais donc traiter les deux sommes séparément et intégralement, puis les soustraire à la fin. Si mon résultat est faux, je saurai dans quelle colonne chercher — ce qui n'est pas le cas si j'ai tout empilé en une seule opération."

Observation : Les coordonnées s'étalent sur 250 m en \( X \) et 210 m en \( Y \). L'aire ne peut donc pas dépasser 52 500 m², et \( 2S \) ne peut pas dépasser 105 000. Je connais mon plafond avant de commencer.
Analyse du risque : Deux pièges classiques. Oublier le cinquième couple, celui qui relie E à A — l'erreur est massive et pourtant invisible sur un tableau bien aligné. Et inverser les deux sommes, ce qui donne le bon nombre au signe près : l'aire finale reste juste, mais toute l'interprétation du signe s'effondre.
Choix stratégique : Séparer les deux sommes en deux calculs distincts, chacun contrôlable indépendamment. Le troisième calcul ne fera qu'une soustraction.
Alternative : J'aurais pu calculer les cinq termes \( X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i \) un par un et les additionner. C'est tout aussi juste, et cela révèle même une propriété intéressante — certains termes sont négatifs — mais cela multiplie par deux le nombre de soustractions, donc les occasions de se tromper de signe.
Objectif visé : Un nombre unique, avec son unité, dont je sais qu'il doit être inférieur à 105 000 en valeur absolue.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Σ↓ = 209 500 · Σ↑ = 133 500 · 2S = 76 000 m²

Rappel Théorique : d'où vient la formule des lacets

La formule n'est pas une recette : c'est la forme discrète du théorème de Green, qui relie une intégrale de contour à une intégrale sur la surface qu'il enferme. En pratique, elle revient à découper le polygone en triangles ayant tous l'origine pour sommet commun, et à sommer leurs aires signées.

Le terme élémentaire : \( X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i \) est le double de l'aire signée du triangle formé par l'origine et deux sommets consécutifs. C'est un déterminant \( 2 \times 2 \).
Pourquoi les aires signées suffisent : les triangles qui « débordent » du polygone comptent en négatif et se retranchent exactement de ceux qui débordent en positif. La compensation est parfaite, quelle que soit la position de l'origine.
D'où l'invariance : le résultat ne dépend pas de l'origine choisie. Déplacer le repère ne change pas l'aire — propriété qui sera démontrée en question 3.
La condition de validité : le polygone doit être simple, ses côtés ne doivent pas se croiser. Convexe ou concave n'a aucune importance ; auto-sécant, en revanche, rend la formule vide de sens.
L'unité : chaque terme est un produit de deux longueurs, donc une surface. Avec des coordonnées en mètres, \( 2S \) s'exprime en mètres carrés — et non sans unité, comme on le lit trop souvent.

Équations Fondamentales

Deux écritures de la même chose : la somme globale, telle qu'on l'applique, et le terme élémentaire, qui explique pourquoi elle fonctionne.

Formule des lacets — le double de l'aire :

La relation appliquée en pratique, sur le contour fermé.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle ne demande que les coordonnées : ni distances, ni angles, ni décomposition en triangles à faire soi-même. Un tableau de points suffit, ce qui la rend directement programmable — c'est elle qui tourne dans tout logiciel de topographie et dans tout SIG.

Contexte de validité : Tout polygone simple, convexe ou concave, à condition que ses côtés ne se croisent pas.
Avantage : Aucune construction géométrique n'est nécessaire. La formule s'applique à cinq sommets comme à cinq cents.
Paramètre clé : L'indice \( i+1 \) doit boucler : après le dernier sommet vient le premier. C'est là que se joue la moitié des erreurs.
Vérification : Le résultat doit rester inférieur, en valeur absolue, au double de la boîte englobante des sommets.
Limite : Elle rend une aire signée, qui peut être négative. Ce n'est pas encore une surface : il manquera la valeur absolue et la division par deux.

\[ \begin{aligned} 2S = \sum_{i=1}^{n} \left( X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i \right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : parcourez le contour, et accumulez ce que balaie le rayon issu de l'origine. Ce que ce rayon balaie en trop d'un côté, il le balaie en moins de l'autre : à la fin, il ne reste que l'intérieur du polygone.

Décomposition des termes :

\( 2S \) : double de l'aire signée du polygone, unité : mètre carré
\( X_i, Y_i \) : coordonnées du sommet de rang \( i \), unité : mètre
\( X_{i+1}, Y_{i+1} \) : coordonnées du sommet suivant, le rang \( n+1 \) désignant le premier sommet, unité : mètre
\( n \) : nombre de sommets, ici 5, unité : sans dimension

Terme élémentaire — le double de l'aire d'un triangle :

La brique dont la somme précédente est faite, et qui en explique le mécanisme.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle révèle le mécanisme de la formule des lacets : chaque côté du polygone, associé à l'origine, forme un triangle dont on ajoute l'aire — positivement ou négativement selon le sens dans lequel on le voit depuis l'origine. C'est ce jeu de compensations qui fait toute l'élégance de la méthode.

Contexte de validité : Chaque côté du polygone, sans exception, y compris le côté de fermeture.
Avantage : Elle explique pourquoi le résultat est le double de l'aire : chaque terme est déjà un double d'aire triangulaire.
Paramètre clé : Le signe du terme, qui dépend de la position du côté par rapport à l'origine, et non de la forme du polygone.
Vérification : La somme des cinq termes élémentaires doit redonner exactement la différence des deux sommes globales.
Limite : Prise isolément, elle n'a aucun sens physique pour la parcelle : ces triangles n'existent pas sur le terrain, ils ne sont qu'un intermédiaire de calcul.

\[ \begin{aligned} 2A_i = X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici l'aire, comptée avec son signe, du triangle formé par l'origine et ce côté. C'est un déterminant : il mesure l'aire du parallélogramme construit sur les deux rayons, donc le double du triangle.

Décomposition des termes :

\( 2A_i \) : double de l'aire signée du triangle origine-sommet \( i \)-sommet \( i+1 \), unité : mètre carré
\( X_i Y_{i+1} \) : produit descendant, terme positif du déterminant, unité : mètre carré
\( X_{i+1} Y_i \) : produit ascendant, terme négatif du déterminant, unité : mètre carré

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants oublient de refermer le contour sur le premier point et ne calculent que quatre couples..."

L'approche d'ingénieur : Un polygone à \( n \) sommets a exactement \( n \) côtés, pas \( n-1 \). Le dernier côté est celui qui referme la figure, et il pèse autant que les autres. La parade est mécanique : répéter le premier point en bas du tableau, et compter que le nombre de lignes de produits égale le nombre de sommets.

L'erreur : S'arrêter au couple D-E et oublier E-A. Le contour n'est alors plus fermé : on calcule l'aire d'une ligne brisée ouverte, ce qui ne veut rien dire.
La bonne méthode : Écrire la liste des sommets, recopier le premier à la fin, et vérifier que le tableau compte \( n+1 \) lignes de coordonnées pour \( n \) lignes de produits.
L'astuce de pro : Compter les produits avant de sommer : pour cinq sommets, il en faut cinq dans chaque colonne. Un compte de quatre signale immédiatement l'oubli.
Le moyen mnémotechnique : « Autant de côtés que de sommets ». Quatre mots, et le côté de fermeture ne s'oublie plus.
L'impact direct : Ici, oublier le couple E-A retirerait \( 24\,000 - 26\,000 \), soit +2 000 m² à \( 2S \), donc 1 000 m² à la surface. Sur une contenance cadastrale, mille mètres carrés d'erreur, c'est un litige.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Coordonnées \( X \) et \( Y \) : en mètre, toutes dans le même système
Chaque produit \( X \times Y \) : en mètre carré
Les deux sommes et leur différence : en mètre carré, donc soustrayables
Résultat \( 2S \) : en mètre carré — un double d'aire reste une aire

Trois calculs : la somme des produits descendants, celle des produits ascendants, puis leur différence. Les deux premiers sont indépendants — c'est ce qui rend l'erreur localisable.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — somme des produits descendants

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la première des deux sommes du déterminant, celle qui associe chaque abscisse à l'ordonnée du sommet suivant.

Méthodologie du calcul :

Cinq produits \( X_i \times Y_{i+1} \), pris en descendant le tableau, le cinquième bouclant de E vers A.

Substitution : \( 100 \times 50 \), \( 150 \times 100 \), \( 350 \times 250 \), \( 300 \times 260 \), et enfin \( 120 \times 200 \) pour la fermeture.
Piège évité : Le cinquième produit est bien présent : c'est celui qui referme le contour de E sur A.
Hypothèse validée : Toutes les coordonnées sont dans le même système et la même unité : les produits sont homogènes.
Vérification croisée : Cinq termes exactement, tous positifs, le plus grand étant celui du couple C-D.
Finalité : Fournir le premier opérande de la soustraction finale.

\[ \begin{aligned} \Sigma_{\downarrow} &= 100 \times 50 + 150 \times 100 + 350 \times 250 + 300 \times 260 + 120 \times 200 \\[4pt] &= 5\,000 + 15\,000 + 87\,500 + 78\,000 + 24\,000 \\[4pt] &= \mathbf{209\,500} \ \text{m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

209 500 m². Cette somme n'a aucune signification physique en elle-même : c'est un opérande, pas un résultat. Elle dépend de l'origine choisie, contrairement à la différence qui en sortira.

Ordre de grandeur : Cinq termes, dont un seul — celui du couple C-D — pèse à lui seul 42 % du total.
Impact sur la suite : C'est le plus grand des deux opérandes : la différence sera donc positive, ce qui sera lourd de sens en question 3.
Cohérence : Tous les termes sont positifs, les coordonnées l'étant toutes. Un terme négatif signalerait une faute de recopie.
Attention : Ce nombre n'est pas une aire de parcelle, malgré son unité. Le prendre pour tel donnerait une contenance cinq fois trop grande.
Comparaison : Il dépasse la boîte englobante — 52 500 m² — d'un facteur 4 : preuve qu'il ne s'agit pas d'une aire, mais d'un intermédiaire.

Remarque pédagogique : Séparer les deux sommes n'est pas une coquetterie : c'est ce qui permet, en cas d'écart, de savoir où chercher. Un calcul mené d'un seul bloc ne se dépanne pas.

Calcul 2 — somme des produits ascendants

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la seconde somme du déterminant, celle qui associe chaque ordonnée à l'abscisse du sommet suivant — le croisement inverse.

Méthodologie du calcul :

Cinq produits \( X_{i+1} \times Y_i \), pris en remontant le tableau en diagonale, le cinquième bouclant de A vers E.

Substitution : \( 150 \times 200 \), \( 350 \times 50 \), \( 300 \times 100 \), \( 120 \times 250 \), et \( 100 \times 260 \) pour la fermeture.
Piège évité : C'est bien l'abscisse du suivant multipliée par l'ordonnée du courant, et non l'inverse : intervertir ici change le signe du résultat final.
Hypothèse validée : Le même contour est parcouru dans le même ordre : les deux sommes portent bien sur les mêmes côtés.
Vérification croisée : Cinq termes également, et chacun doit réutiliser exactement les mêmes dix coordonnées que le calcul 1, autrement appariées.
Finalité : Fournir le second opérande de la soustraction finale.

\[ \begin{aligned} \Sigma_{\uparrow} &= 150 \times 200 + 350 \times 50 + 300 \times 100 + 120 \times 250 + 100 \times 260 \\[4pt] &= 30\,000 + 17\,500 + 30\,000 + 30\,000 + 26\,000 \\[4pt] &= \mathbf{133\,500} \ \text{m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

133 500 m². Nettement inférieur au premier opérande, et surtout beaucoup plus homogène : quatre des cinq termes sont voisins de 30 000, là où la première somme s'étalait de 5 000 à 87 500.

Ordre de grandeur : Les cinq termes tiennent entre 17 500 et 30 000 : aucun ne domine, contrairement au calcul 1.
Impact sur la suite : C'est le plus petit des deux opérandes ; la différence \( \Sigma_{\downarrow} - \Sigma_{\uparrow} \) sera donc positive.
Cohérence : Les dix mêmes coordonnées ont servi, appariées autrement : aucune valeur nouvelle n'est apparue.
Attention : Si l'on avait interverti les deux sommes, on obtiendrait −76 000 au lieu de +76 000. L'aire finale serait identique, mais toute l'interprétation du signe serait fausse.
Comparaison : L'écart entre les deux sommes ne représente que 36 % de la première : l'aire est une différence de grands nombres, ce qui la rend sensible aux erreurs de saisie.

Remarque pédagogique : Une différence de grands nombres perd des chiffres significatifs. Ici cela n'a pas d'incidence, les données étant exactes à la saisie — mais sur un polygone en coordonnées Lambert 93, à sept chiffres, un logiciel travaille toujours en coordonnées translatées pour cette raison précise.

Calcul 3 — le double de la surface

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour achever la formule des lacets : la différence des deux sommes est, par construction, le double de l'aire signée du polygone.

Méthodologie du calcul :

Soustraction des deux sommes, dans l'ordre imposé par la formule : descendants moins ascendants.

Substitution : \( \Sigma_{\downarrow} = 209\,500 \) m² et \( \Sigma_{\uparrow} = 133\,500 \) m².
Piège évité : L'ordre de la soustraction est imposé par la formule. L'inverser retourne le signe, donc l'interprétation du sens de parcours.
Hypothèse validée : Les deux opérandes sont homogènes, tous deux en mètres carrés : la soustraction a un sens.
Vérification croisée : La somme des cinq termes élémentaires — \( -25\,000 \), \( -2\,500 \), \( +57\,500 \), \( +48\,000 \), \( -2\,000 \) — doit redonner la même valeur.
Finalité : Livrer le double de l'aire signée, seul intrant de la question 2.

\[ \begin{aligned} 2S &= \Sigma_{\downarrow} - \Sigma_{\uparrow} \\[4pt] &= 209\,500 - 133\,500 \\[4pt] &= \mathbf{76\,000} \ \text{m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

+76 000 m². Bien inférieur au plafond de 105 000 fixé par la boîte englobante : l'ordre de grandeur est respecté. Le contrôle par les termes élémentaires concorde : \( -25\,000 - 2\,500 + 57\,500 + 48\,000 - 2\,000 = 76\,000 \).

Ordre de grandeur : 72,4 % du double de la boîte englobante — une valeur très plausible pour un pentagone bien rempli.
Impact sur la suite : La question 2 n'aura plus qu'à prendre la valeur absolue et diviser par deux.
Cohérence : Trois des cinq termes élémentaires sont négatifs, et pourtant la somme est positive : c'est exactement le mécanisme de compensation décrit par la théorie.
Attention : Le signe positif est une information, pas un détail — et il ne sera interprété qu'en question 3, après démonstration.
Comparaison : Oublier le côté de fermeture E-A aurait donné 78 000 m² : une erreur de 2,6 %, parfaitement crédible, et donc indétectable sans contrôle.

Remarque pédagogique : Notez l'unité : mètre carré. Beaucoup de corrigés livrent « 76 000 » tout court. Un nombre sans unité n'est pas un résultat d'ingénieur, et ici il masque le fait que \( 2S \) est déjà une surface.

LE CROISEMENT DES PRODUITS, COUPLE PAR COUPLE

RÉSULTAT FINAL

Σ↓ = 209 500 mètre carré

Σ↑ = 133 500 mètre carré

2S = 76 000 mètre carré

"Le double de l'aire, avec son unité et son signe. Le signe sera interprété — mais seulement après démonstration."

Question 2 : La surface, en mètres carrés puis en unités agraires

Dans la tête de l'ingénieur

"Deux divisions, et un contrôle. Les deux divisions sont triviales ; le contrôle ne l'est pas. Je refuse d'écrire « la parcelle fait grossièrement 200 mètres sur 200 » : c'est une estimation au jugé, qui ne contrôle rien. Je vais construire la boîte englobante des sommets, qui se calcule en deux soustractions et donne un majorant rigoureux."

Observation : La valeur absolue peut sembler superflue puisque \( 2S \) est déjà positif. Elle ne l'est pas : elle rend la formule indépendante du sens de parcours, ce qui est précisément ce qu'on attend d'une aire.
Analyse du risque : L'erreur classique est de s'arrêter à 2S et de livrer 76 000 m² comme contenance. Le résultat serait deux fois trop grand — et rien dans le nombre ne le signale, puisque l'unité est correcte.
Choix stratégique : Contrôler par un encadrement plutôt que par une estimation. La boîte englobante donne un majorant certain : le taux de remplissage doit tomber entre 50 % et 100 % pour un pentagone convexe.
Alternative : J'aurais pu contrôler en décomposant le pentagone en trois triangles et en sommant leurs aires par la formule de Héron. C'est un contrôle réellement indépendant, mais il demande cinq distances et trois applications d'une formule lourde — disproportionné ici.
Objectif visé : Une contenance dans les trois écritures qu'un dossier peut réclamer : mètres carrés, hectares, et hectares-ares-centiares.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

S = 38 000 m² = 3,8 ha = 3 ha 80 a 00 ca · taux de remplissage 72,4 %

Rappel Théorique : de l'aire signée à la contenance

La formule des lacets rend une aire signée, grandeur algébrique qui porte deux informations à la fois : la taille de la figure et le sens dans lequel on l'a parcourue. Une contenance, elle, ne porte que la première. Passer de l'une à l'autre, c'est jeter délibérément l'information de signe.

La valeur absolue : elle garantit que la surface est positive quel que soit l'ordre dans lequel les sommets ont été listés. Sans elle, la contenance dépendrait du sens dans lequel le géomètre a tourné autour de la parcelle — ce qui serait absurde.
La division par deux : elle vient du fait que chaque terme est le double d'une aire triangulaire. Ce n'est pas une correction empirique, c'est une conséquence directe de la construction.
Les unités agraires : \( 1 \ \text{ha} = 100 \ \text{a} = 10\,000 \ \text{m}^2 \). L'hectare est le carré de 100 m de côté ; le centiare est le mètre carré. Ce sont des unités acceptées avec le SI, sans en faire partie.
L'écriture cadastrale : un acte notarié écrit « 3 ha 80 a 00 ca », et non « 3,8 ha ». Les trois rangs sont toujours renseignés, y compris à zéro, exactement comme on n'écrit pas une heure « 3,5 h » sur un horaire.
La boîte englobante : plus petit rectangle à côtés parallèles aux axes contenant tous les sommets. Son aire est un majorant certain de celle du polygone, et le rapport des deux — le taux de remplissage — est un contrôle chiffré, pas une impression.

Équations Fondamentales

Deux relations, toutes deux élémentaires. Leur difficulté n'est pas dans le calcul mais dans ce qu'elles signifient : la première change la nature de la grandeur, la seconde seulement son unité.

De l'aire signée à la surface :

Elle transforme un nombre algébrique en une grandeur physique.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une surface est une grandeur positive par définition : une parcelle ne peut pas avoir une aire négative. La valeur absolue n'est donc pas une commodité de calcul, c'est ce qui fait passer d'un objet mathématique — l'aire orientée — à un objet du monde réel, la contenance.

Contexte de validité : Tout polygone simple, quel que soit le sens de parcours retenu. C'est précisément l'intérêt de la valeur absolue.
Avantage : Le résultat devient indépendant de l'ordre de saisie des sommets : deux opérateurs travaillant en sens contraires livrent la même contenance.
Paramètre clé : Le facteur 2, qui n'est pas ajustable : il découle de la construction en triangles.
Vérification : Le résultat doit être strictement inférieur à l'aire de la boîte englobante des sommets.
Limite : En prenant la valeur absolue, on détruit l'information de sens de parcours. Il faut donc l'avoir exploitée avant — c'est l'objet de la question 3.

\[ \begin{aligned} S = \frac{\left| 2S \right|}{2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ne gardez que la taille, oubliez le sens. C'est ce nombre-là, et lui seul, qui figurera dans l'acte.

Décomposition des termes :

\( S \) : surface du polygone, grandeur positive, unité : mètre carré
\( \left| 2S \right| \) : valeur absolue de l'aire signée issue de la question 1, unité : mètre carré
2 : facteur issu de la décomposition en triangles, unité : sans dimension

Conversion en unités agraires :

Elle change l'unité de lecture, sans rien changer à la grandeur.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le mètre carré devient illisible au-delà de quelques milliers : personne ne se représente 38 000 m². L'hectare, carré de cent mètres de côté, se visualise immédiatement — et c'est l'unité de tous les documents fonciers, agricoles et forestiers.

Contexte de validité : Toujours. Le facteur 10 000 est une définition exacte, pas une mesure.
Avantage : La division par 10 000 revient à décaler la virgule de quatre rangs : aucune calculatrice n'est nécessaire.
Paramètre clé : Le diviseur 10 000, et non 1 000. L'hectare est un carré de 100 m de côté : le facteur est un carré.
Vérification : Le résultat en hectares doit être dix mille fois plus petit qu'en mètres carrés — donc de l'ordre de quelques unités ici.
Limite : L'hectare n'appartient pas au Système international : c'est une unité tolérée avec lui. Un calcul scientifique se mène en mètres carrés.

\[ \begin{aligned} S_{\text{ha}} = \frac{S_{\text{m}^2}}{10\,000} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : combien de carrés de cent mètres de côté tiennent dans cette parcelle ? Un hectare, c'est un peu plus qu'un terrain de football et ses abords : voilà l'image qui rend le chiffre parlant.

Décomposition des termes :

\( S_{\text{ha}} \) : contenance exprimée en unité agraire, unité : hectare
\( S_{\text{m}^2} \) : contenance en unité SI, issue du calcul précédent, unité : mètre carré
10 000 : nombre de mètres carrés dans un hectare, soit \( 100^2 \), unité : mètre carré par hectare

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants livrent 2S comme contenance et annoncent une parcelle deux fois trop grande..."

L'approche d'ingénieur : C'est l'erreur la plus coûteuse de tout l'exercice, parce que le résultat reste parfaitement crédible : bonne unité, bon ordre de grandeur, aucun signal d'alarme. Seul un contrôle externe la révèle — et c'est exactement ce à quoi sert la boîte englobante.

L'erreur : Écrire « la parcelle mesure 76 000 m² ». Le nombre est le double de la contenance, et rien dans son écriture ne le trahit.
La bonne méthode : Nommer la variable « 2S » et non « S » dès la question 1. Un symbole bien choisi empêche à lui seul l'oubli de la division.
L'astuce de pro : Confronter systématiquement à la boîte englobante. Une aire supérieure à ce majorant est mathématiquement impossible : le contrôle est sans appel.
Le moyen mnémotechnique : « Les lacets donnent le double ». Quatre mots, et la division ne s'oublie plus.
L'impact direct : 38 000 m² de trop, soit 3,8 hectares fictifs. Sur un terrain à bâtir, c'est une erreur qui se compte en centaines de milliers d'euros, et une responsabilité professionnelle engagée.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( 2S \) : en mètre carré, issu de la question 1
Diviseur 2 : sans dimension, l'unité est donc conservée
Diviseur 10 000 : en mètre carré par hectare, ce qui laisse bien des hectares
Boîte englobante : deux écarts en mètre, dont le produit est en mètre carré

Trois calculs : la surface, sa conversion agraire, puis le contrôle par encadrement — le seul des trois qui apporte une information nouvelle.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — la surface du polygone

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour transformer l'aire signée de la question 1 en la contenance qui figurera au dossier.

Méthodologie du calcul :

Valeur absolue, puis division par deux. L'ordre importe conceptuellement, même s'il ne change rien ici où \( 2S \) est déjà positif.

Substitution : \( 2S = 76\,000 \) m², issu du calcul 3 de la question 1.
Piège évité : La division par deux est bien effectuée. C'est l'oubli le plus fréquent, et le plus indétectable.
Hypothèse validée : Le polygone est simple : ses côtés ne se croisent pas, ce que confirme le tracé des cinq sommets.
Vérification croisée : Le résultat doit être inférieur à 52 500 m², aire de la boîte englobante calculée au troisième calcul.
Finalité : Livrer la contenance en unité SI, seule forme admissible dans un calcul technique.

\[ \begin{aligned} S &= \frac{\left| 76\,000 \right|}{2} \\[4pt] &= \mathbf{38\,000} \ \text{m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

38 000 m². Une parcelle substantielle : l'équivalent de 5,3 terrains de football réglementaires de 105 sur 68 mètres. Bien inférieure au majorant de 52 500 m², comme il se doit.

Ordre de grandeur : La valeur absolue n'a rien changé ici, \( 2S \) étant positif — mais elle aurait été indispensable avec le parcours inverse de la question 3.
Impact sur la suite : C'est cette valeur qui sera convertie, puis dont l'incertitude sera propagée en question 4.
Cohérence : Le nombre est rond, ce qui n'a rien d'étonnant : toutes les coordonnées sont des multiples de 10.
Attention : Cette rondeur est trompeuse. Elle ne signifie pas que le résultat est exact : les coordonnées sont des mesures, et la question 4 le chiffrera.
Comparaison : Le périmètre du contour vaut 765,91 m. Un cercle de même périmètre enfermerait 46 682 m² : la parcelle atteint donc 81,4 % de cette compacité maximale, ce qui est cohérent pour un pentagone convexe assez régulier.

Remarque pédagogique : Nommer la variable de la question 1 « \( 2S \) » plutôt que « \( S \) » est le meilleur garde-fou contre l'oubli de la division. Un bon symbole vaut mieux qu'un bon souvenir.

Calcul 2 — la contenance en unités agraires

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour livrer la contenance dans l'unité qu'emploient les actes, les documents d'urbanisme et le cadastre.

Méthodologie du calcul :

Division par 10 000, puis décomposition en hectares, ares et centiares pour l'écriture cadastrale.

Substitution : \( S = 38\,000 \) m², diviseur 10 000 m²/ha.
Piège évité : Le diviseur est 10 000, et non 1 000 : le facteur d'une unité de surface est le carré du facteur de longueur.
Hypothèse validée : La relation \( 1 \ \text{ha} = 10\,000 \ \text{m}^2 \) est une définition : aucune approximation.
Vérification croisée : Décaler la virgule de quatre rangs vers la gauche doit donner le même résultat que la division posée.
Finalité : Fournir l'écriture attendue par un notaire ou un service d'urbanisme.

\[ \begin{aligned} S_{\text{ha}} &= \frac{38\,000}{10\,000} \\[4pt] &= \mathbf{3{,}8} \ \text{ha} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

3,8 hectares, soit 380 ares, soit en écriture cadastrale 3 ha 80 a 00 ca. Un nombre à un chiffre, immédiatement parlant, là où 38 000 m² ne l'était pas.

Ordre de grandeur : Dix mille fois plus petit qu'en mètres carrés : le décalage de quatre rangs est bien respecté.
Impact sur la suite : C'est l'écriture qui figurera au document d'arpentage — et c'est aussi sur ce rang de centiare que l'incertitude de la question 4 va porter.
Cohérence : Le centiare est le mètre carré : 3 ha 80 a 00 ca redonne bien 30 000 + 8 000 + 0 = 38 000 m².
Attention : Écrire « 3.8 ha » avec un point décimal est une faute de typographie française : la virgule est la seule séparatrice décimale admise, et le point pourrait se lire comme un séparateur de milliers.
Comparaison : Le kilomètre carré serait ici hors d'échelle : 3,8 ha ne font que 0,038 km². Chaque unité a son domaine.

Remarque pédagogique : L'écriture cadastrale renseigne toujours les trois rangs, même à zéro. « 3 ha 80 a 00 ca » n'est pas une coquetterie : c'est ce qui garantit qu'aucun rang n'a été omis à la recopie.

Calcul 3 — contrôle par la boîte englobante

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer d'un majorant certain de la surface, obtenu sans refaire le calcul des lacets, et donc réellement indépendant.

Méthodologie du calcul :

On relève les valeurs extrêmes des abscisses et des ordonnées, on en tire les côtés du rectangle englobant, puis le taux de remplissage.

Substitution : Abscisses de 100 à 350, ordonnées de 50 à 260.
Piège évité : On prend les écarts, pas les valeurs maximales : la boîte est un rectangle de 250 sur 210, pas de 350 sur 260.
Hypothèse validée : Le rectangle est à côtés parallèles aux axes : c'est ce qui rend son aire calculable en une multiplication.
Vérification croisée : Le taux de remplissage doit tomber entre 50 % et 100 % pour un polygone convexe touchant les quatre côtés de sa boîte.
Finalité : Valider la contenance par un raisonnement indépendant du calcul principal.

\[ \begin{aligned} \tau &= \frac{38\,000}{\left( 350 - 100 \right) \times \left( 260 - 50 \right)} \\[4pt] &= \frac{38\,000}{250 \times 210} \\[4pt] &= \frac{38\,000}{52\,500} \\[4pt] &= \mathbf{72{,}4} \ \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

72,4 %. La parcelle occupe près des trois quarts de son rectangle englobant : valeur tout à fait typique d'un pentagone convexe, et surtout inférieure à 100 %, ce qui valide la contenance.

Ordre de grandeur : Bien dans la fourchette 50-100 % attendue. Un taux supérieur à 100 % serait mathématiquement impossible et signalerait une erreur.
Impact sur la suite : La contenance est validée : la question 3 peut se consacrer entièrement au signe.
Cohérence : Ce contrôle est réellement indépendant : il n'utilise que quatre coordonnées extrêmes, et aucun produit croisé.
Attention : C'est un majorant, pas une vérification exacte. Il écarte les grosses erreurs — l'oubli de la division par deux aurait donné 145 % — mais pas une faute de quelques pour cent.
Comparaison : Une estimation du type « 200 m sur 200, soit 40 000 m² » n'est ni un majorant ni un minorant : elle ne démontre rien. La boîte englobante, elle, encadre rigoureusement.

Remarque pédagogique : Un contrôle utile est un contrôle qui peut échouer. Une estimation au jugé s'accommode de presque tout résultat ; un encadrement, non.

LA PARCELLE DANS SA BOÎTE ENGLOBANTE

RÉSULTAT FINAL

S = 38 000 mètre carré

S = 3,8 hectare — soit 3 ha 80 a 00 ca

taux de remplissage = 72,4 pour cent

"La contenance est établie et encadrée. Reste à savoir ce que le signe de la question 1 voulait dire."

Question 3 : Le contrôle par le sens inverse et la démonstration du sens de parcours

Dans la tête de l'ingénieur

"Le signe est positif. Bien. Mais qu'est-ce que cela veut dire ? Je n'en sais rien tant que je n'ai pas calibré la convention sur une figure dont je connais le sens à l'avance. Affirmer sans calibrer, c'est se condamner à inventer une explication le jour où le résultat ne cadre plus — et c'est exactement ce qui arrive dans les corrigés en circulation."

Observation : En lisant simplement les coordonnées : de A on descend vers B, on part à droite vers C, on remonte vers D, on revient à gauche par E. Descendre à gauche, longer en bas, remonter à droite, revenir en haut : c'est un tour anti-horaire. Le calcul devra le confirmer.
Analyse du risque : Le vrai danger n'est pas de se tromper de sens : c'est de construire une théorie pour justifier une erreur. Un corrigé qui affirme le sens horaire, obtient un signe positif, puis en conclut que le repère est « gaucher », a fabriqué un faux savoir à partir d'une simple inattention.
Choix stratégique : Calibrer la convention sur un carré unité que je parcours moi-même dans le sens trigonométrique. Le signe obtenu sur cette figure témoin donne la règle, une fois pour toutes.
Alternative : J'aurais pu invoquer le théorème de Green et le sens direct du bord. C'est rigoureux, mais inutilement lourd : un carré et cinq multiplications font le même travail, et se vérifient à la main.
Objectif visé : Un sens de parcours établi par deux arguments indépendants, plus une vérification que le résultat ne dépend pas de l'origine du repère.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

2S inverse = −76 000 m² · A → B → C → D → E est ANTI-HORAIRE · invariant par translation

Rappel Théorique : ce que dit le signe, et comment le savoir

Le signe de l'aire signée porte une information réelle — le sens de parcours — mais cette information n'est lisible qu'une fois la convention calibrée. Et la calibration dépend du repère : c'est là que se logent les confusions.

Le repère topographique est direct : \( X \) vers l'Est, \( Y \) vers le Nord. Dessiné comme on le dessine toujours — \( X \) vers la droite, \( Y \) vers le haut — c'est exactement le repère mathématique usuel. Il n'y a aucune inversion, et le Lambert 93 ne fait pas exception.
La règle qui en découle : dans un repère direct, un parcours anti-horaire — sens trigonométrique — donne une aire signée positive. Un parcours horaire la donne négative. Cette règle se vérifie en dix secondes sur un carré.
L'antisymétrie : inverser l'ordre des sommets échange exactement les deux sommes de produits. Le résultat change donc de signe sans changer de valeur absolue : c'est une propriété algébrique, pas une coïncidence numérique.
L'orientation locale : le produit vectoriel des deux côtés qui se rejoignent en un sommet indique si l'on tourne à gauche — valeur positive — ou à droite. Si tous les sommets tournent dans le même sens, le polygone est convexe, et ce sens est celui du parcours.
L'invariance par translation : ajouter une constante à toutes les abscisses, et une autre à toutes les ordonnées, ne change pas l'aire signée. C'est ce qui autorise à travailler en coordonnées locales, puis à conclure en Lambert 93.

Équations Fondamentales

Deux relations. La première dit ce qui se passe quand on retourne le parcours ; la seconde permet de lire le sens de parcours sommet par sommet, sans passer par le signe global.

Antisymétrie de l'aire signée :

Elle fonde le contrôle par parcours inverse.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'inverser l'ordre des sommets revient à échanger le rôle des deux colonnes de produits : ce qui était descendant devient ascendant. La différence change donc de signe, mécaniquement. Recalculer dans l'autre sens est ainsi un contrôle qui refait tous les produits, mais dans un ordre différent.

Contexte de validité : Tout polygone simple. La propriété est algébrique : elle ne dépend ni de la forme ni du repère.
Avantage : Le contrôle est total : les dix produits sont recalculés, et une faute de saisie sur une seule coordonnée casse l'égalité.
Paramètre clé : L'ordre des sommets, seule chose qui change. Les coordonnées, elles, sont strictement les mêmes.
Vérification : La somme des deux résultats doit être exactement nulle. C'est un test binaire, sans marge d'appréciation.
Limite : Ce contrôle valide le calcul, pas les données. Une coordonnée mal levée passera les deux fois sans être détectée.

\[ \begin{aligned} 2S_{\text{inverse}} = - \, 2S_{\text{direct}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : faire le tour dans l'autre sens ne change pas la parcelle, seulement le regard qu'on porte dessus. L'aire reste la même ; c'est l'orientation qui s'inverse.

Décomposition des termes :

\( 2S_{\text{direct}} \) : aire signée pour le parcours A vers B vers C vers D vers E, unité : mètre carré
\( 2S_{\text{inverse}} \) : aire signée pour le parcours retourné, unité : mètre carré
le signe moins : conséquence de l'échange des deux colonnes de produits, unité : sans dimension

Orientation locale par produit vectoriel :

Elle lit le sens du parcours en un sommet, indépendamment du signe global.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle donne un second argument, totalement indépendant du premier. Le signe global de \( 2S \) et l'orientation locale en chaque sommet sont deux chemins distincts vers la même conclusion : s'ils concordent, le doute n'est plus permis.

Contexte de validité : Tout sommet d'un polygone simple. Sur un polygone concave, les signes ne sont pas tous identiques : seule leur majorité donne le sens.
Avantage : Elle apporte un renseignement en bonus : si tous les signes concordent, le polygone est convexe.
Paramètre clé : Les trois sommets consécutifs : le précédent, le courant et le suivant. C'est un examen purement local.
Vérification : La somme des cinq produits vectoriels n'a pas de sens direct, mais leurs signes doivent s'accorder avec celui de \( 2S \).
Limite : Un produit vectoriel nul signale trois points alignés : le sommet est alors dégénéré et n'informe sur rien.

\[ \begin{aligned} z_i = \left( X_i - X_{i-1} \right)\left( Y_{i+1} - Y_i \right) - \left( Y_i - Y_{i-1} \right)\left( X_{i+1} - X_i \right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : en arrivant à ce sommet, tourne-t-on à gauche ou à droite ? Une valeur positive signifie « à gauche » — et tourner toujours à gauche, c'est faire le tour dans le sens trigonométrique.

Décomposition des termes :

\( z_i \) : composante verticale du produit vectoriel des deux côtés adjacents, unité : mètre carré
\( X_i - X_{i-1} \) et \( Y_i - Y_{i-1} \) : composantes du côté entrant, unité : mètre
\( X_{i+1} - X_i \) et \( Y_{i+1} - Y_i \) : composantes du côté sortant, unité : mètre

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants affirment le sens de parcours sans le vérifier, puis inventent une explication quand le signe ne colle pas..."

L'approche d'ingénieur : C'est la faute la plus grave de tout l'exercice, et elle n'est même pas numérique. Partant d'une affirmation non vérifiée — « le parcours est horaire » — on obtient un signe positif, on croit à une anomalie, et on fabrique une explication : un repère « gaucher », une convention topographique inversée. Rien de tout cela n'existe.

L'erreur : Annoncer « sens horaire » sans regarder les coordonnées, puis conclure d'un signe positif que le repère est inversé. Le repère \( X \) Est, \( Y \) Nord est direct, comme le repère mathématique — et le Lambert 93 également.
La bonne méthode : Calibrer la convention sur une figure témoin dont on maîtrise le sens — un carré parcouru délibérément dans le sens trigonométrique — avant d'interpréter quoi que ce soit.
L'astuce de pro : Doubler le contrôle par un argument d'une autre nature : le produit vectoriel en chaque sommet, qui ne passe pas par le signe global.
Le moyen mnémotechnique : « Trigonométrique et positif vont ensemble » — dans un repère direct, et il n'y en a pas d'autre en topographie française.
L'impact direct : Sur la contenance, aucun : la valeur absolue efface tout. Sur l'apprentissage, considérable : l'étudiant retient qu'il existerait des repères gauchers dont il faut se méfier. C'est un faux savoir, et il coûtera cher le jour où il faudra orienter un polygone dans un SIG.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Aire signée inverse : en mètre carré, comparable terme à terme avec la question 1
Carré témoin : côtés pris sans unité, seul le signe du résultat étant exploité
Produits vectoriels : différences de coordonnées en mètre, produits en mètre carré
Translation : constantes ajoutées en mètre, homogènes aux coordonnées

Quatre calculs : le parcours inverse, la calibration du signe sur une figure témoin, la confirmation par l'orientation locale, et la vérification d'invariance.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — le double de la surface en sens inverse

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour contrôler intégralement les dix produits de la question 1 en les recalculant dans un ordre différent.

Méthodologie du calcul :

Les mêmes coordonnées, prises dans l'ordre A → E → D → C → B → A. Les deux sommes s'échangent alors exactement.

Substitution : Les produits descendants deviennent 26 000, 30 000, 30 000, 17 500 et 30 000 ; les ascendants deviennent 24 000, 78 000, 87 500, 15 000 et 5 000.
Piège évité : Ne pas recopier le résultat précédent en changeant le signe : le contrôle n'aurait alors aucune valeur. Les dix produits sont réellement refaits.
Hypothèse validée : Le contour reste identique : même parcelle, mêmes sommets, seul l'ordre de parcours change.
Vérification croisée : Chacune des deux nouvelles sommes doit retomber sur une valeur déjà rencontrée en question 1 — c'est le signe que l'échange a bien eu lieu.
Finalité : Valider le calcul de la question 1 par un chemin qui recalcule tout.

\[ \begin{aligned} 2S_{\text{inverse}} &= 133\,500 - 209\,500 \\[4pt] &= \mathbf{-76\,000} \ \text{m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

−76 000 m². Même valeur absolue, signe opposé : \( 76\,000 + (-76\,000) = 0 \) exactement. Les deux sommes se sont bien échangées, ce qui confirme d'un coup les dix produits de la question 1.

Ordre de grandeur : Concordance exacte, au dernier chiffre. Un écart, même de 500, aurait signalé une faute de recopie.
Impact sur la suite : La contenance de 38 000 m² est confirmée : la valeur absolue est insensible au sens de parcours.
Cohérence : La somme descendante de ce calcul, 133 500, est exactement la somme ascendante du précédent : l'échange est vérifié.
Attention : Ce contrôle valide le calcul, pas le levé. Une coordonnée fausse sur le terrain passerait les deux fois.
Comparaison : Le signe est maintenant négatif. On ne sait toujours pas ce que cela signifie : c'est l'objet du calcul suivant.

Remarque pédagogique : Un contrôle n'a de valeur que s'il refait le travail. Écrire « par antisymétrie, on trouve −76 000 » n'est pas un contrôle : c'est une paraphrase.

Calcul 2 — calibration du signe sur une figure témoin

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir, sur un contour dont le sens est connu par construction, ce que signifie un signe positif.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule des lacets au carré de sommets (0 ; 0), (1 ; 0), (1 ; 1) et (0 ; 1), parcouru dans cet ordre — c'est-à-dire droite, haut, gauche, bas : le sens trigonométrique, sans le moindre doute possible.

Substitution : Quatre sommets, donc quatre couples de produits ; l'aire du carré vaut évidemment 1.
Piège évité : La figure témoin doit être parcourue dans un sens indiscutable. Un carré unité ne laisse aucune place à l'interprétation.
Hypothèse validée : Le repère est le même que celui de la parcelle : \( X \) vers la droite, \( Y \) vers le haut, repère direct.
Vérification croisée : La valeur absolue du résultat doit valoir 2, soit le double de l'aire du carré unité.
Finalité : Fixer la convention de signe une fois pour toutes, sur une base démontrée.

\[ \begin{aligned} 2S_{\square} &= \left( 0 \times 0 + 1 \times 1 + 1 \times 1 + 0 \times 0 \right) - \left( 1 \times 0 + 1 \times 0 + 0 \times 1 + 0 \times 1 \right) \\[4pt] &= 2 - 0 \\[4pt] &= \mathbf{+2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

+2, soit le double de l'aire du carré unité, avec un signe positif. La convention est donc établie : dans ce repère, positif signifie anti-horaire. Et puisque le parcours A → B → C → D → E donne +76 000, il est anti-horaire.

Ordre de grandeur : La valeur absolue vaut bien 2 pour une aire de 1 : la formule est correctement appliquée sur la figure témoin.
Impact sur la suite : On annonce souvent un « sens horaire » : c'est faux, et le parcours inverse A → E → D → C → B est celui qui est horaire.
Cohérence : La lecture directe des coordonnées le confirmait déjà : on descend, on longe en bas, on remonte, on revient en haut.
Attention : Il n'existe aucun repère topographique gaucher en France. \( X \) vers l'Est et \( Y \) vers le Nord forment un repère direct, et le Lambert 93 également. L'explication par un système « inversé » est une invention.
Comparaison : Le même carré parcouru dans l'autre ordre — (0 ; 0), (0 ; 1), (1 ; 1), (1 ; 0) — donne −2 : la règle fonctionne dans les deux sens.

Remarque pédagogique : Calibrer sur une figure témoin coûte trente secondes et immunise contre toute une famille d'erreurs. C'est le réflexe qui distingue une vérification d'une conviction.

Calcul 3 — confirmation par l'orientation locale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour confirmer le sens de parcours par un argument qui n'utilise pas le signe global, et donc ne peut pas hériter de son éventuelle erreur.

Méthodologie du calcul :

En chaque sommet, produit vectoriel du côté entrant par le côté sortant. On l'écrit intégralement au sommet A, les quatre autres se conduisant de la même façon.

Substitution : Au sommet A, le côté entrant vient de E — composantes \( -20 \) et \( -60 \) — et le côté sortant va vers B — composantes \( +50 \) et \( -150 \).
Piège évité : Respecter l'ordre entrant puis sortant : le produit vectoriel n'est pas commutatif, l'inverser retourne le signe.
Hypothèse validée : Aucun triplet de sommets n'est aligné : tous les produits vectoriels sont non nuls, donc tous informatifs.
Vérification croisée : Les quatre autres sommets donnent +32 500 en B, +32 500 en C, +26 500 en D et +11 000 en E.
Finalité : Établir le sens de parcours et la convexité du polygone.

\[ \begin{aligned} z_{\text{A}} &= \left( -20 \right) \times \left( -150 \right) - \left( -60 \right) \times 50 \\[4pt] &= 3\,000 + 3\,000 \\[4pt] &= \mathbf{+6\,000} \ \text{m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

+6 000 m², donc un virage à gauche. Et les quatre autres sommets donnent également des valeurs positives : cinq virages à gauche sur cinq. Le parcours est bien anti-horaire, et le polygone est convexe.

Ordre de grandeur : Les cinq valeurs s'échelonnent de +6 000 à +32 500 : toutes du même signe, aucune ambiguïté.
Impact sur la suite : Deux arguments indépendants concordent désormais. La conclusion est établie, pas supposée.
Cohérence : La convexité est un bonus intéressant : elle garantit qu'aucun côté ne rentre vers l'intérieur, donc qu'aucune erreur de saisie n'a créé un sommet aberrant.
Attention : Sur un polygone concave, certains \( z_i \) seraient négatifs. Le sens de parcours se lirait alors sur la majorité des signes, non sur leur unanimité.
Comparaison : C'est cette même propriété qu'utilisent les SIG pour orienter les contours : anneau extérieur dans un sens, anneau intérieur — un trou, une cour — dans l'autre.

Remarque pédagogique : Deux arguments qui empruntent le même chemin ne se contrôlent pas. Ici, l'un passe par le signe global, l'autre par la géométrie locale : c'est ce qui rend la conclusion solide.

Calcul 4 — invariance par translation du repère

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour vérifier que le résultat ne dépend pas de l'origine choisie — donc que travailler en coordonnées locales ne fausse rien, et que la contenance serait identique en Lambert 93.

Méthodologie du calcul :

On ajoute une constante \( a \) à toutes les abscisses et une constante \( b \) à toutes les ordonnées, puis on développe la somme des lacets.

Substitution : Les termes en \( a \) se regroupent en \( a \sum (Y_{i+1} - Y_i) \), et ceux en \( b \) en \( b \sum (X_i - X_{i+1}) \).
Piège évité : Ne pas oublier que le terme en \( a \times b \) apparaît deux fois avec des signes opposés : il disparaît de lui-même.
Hypothèse validée : Le contour est fermé : c'est ce qui annule les deux sommes télescopiques.
Vérification croisée : Le contrôle numérique avec \( a = 700\,000 \) et \( b = 6\,600\,000 \), ordres de grandeur d'un Lambert 93, doit redonner exactement 76 000 m².
Finalité : Établir que la contenance ne dépend pas du système de coordonnées choisi — ce qui prépare la question 4.

\[ \begin{aligned} 2S' &= 2S + a \sum_{i=1}^{n} \left( Y_{i+1} - Y_i \right) + b \sum_{i=1}^{n} \left( X_i - X_{i+1} \right) \\[4pt] &= 2S + a \times 0 + b \times 0 \\[4pt] &= \mathbf{76\,000} \ \text{m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

76 000 m², inchangé. Les deux sommes de différences sont télescopiques sur un contour fermé : chaque ordonnée y apparaît une fois en plus et une fois en moins. Elles s'annulent, quel que soit le décalage.

Ordre de grandeur : Le contrôle numérique avec un décalage de 700 000 m en \( X \) et 6 600 000 m en \( Y \) redonne bien 76 000 m².
Impact sur la suite : Les coordonnées de l'énoncé peuvent donc se lire comme des valeurs relatives : la contenance serait identique en Lambert 93. La question 4 pourra raisonner dans ce cadre.
Cohérence : Le résultat était prévisible : déplacer le repère ne déplace pas la parcelle.
Attention : L'invariance est exacte en mathématiques, mais un calcul numérique en coordonnées Lambert 93 manipulerait des produits à quatorze chiffres pour une différence à cinq. C'est pourquoi les logiciels translatent systématiquement les coordonnées avant de calculer.
Comparaison : L'invariance vaut pour la translation et pour la rotation, mais pas pour un changement d'échelle : c'est exactement ce que la question 4 va exploiter.

Remarque pédagogique : Savoir quelles transformations laissent un résultat invariant est plus utile que de savoir l'appliquer. C'est ce qui dit d'avance ce qui peut fausser un calcul — et ce qui ne le peut pas.

LE SENS DE PARCOURS, DÉMONTRÉ

RÉSULTAT FINAL

2S inverse = −76 000 mètre carré

sens de A → B → C → D → E : anti-horaire sens trigonométrique

z(A) = +6 000 mètre carré — virage à gauche

"Le signe se démontre, il ne s'affirme pas. Et une fois démontré, il n'y a plus aucun repère gaucher à inventer."

Question 4 (Finale) : Cette surface est-elle celle du terrain ?

Dans la tête de l'ingénieur

"38 000 m² pile. Le nombre est rond, et c'est justement ce qui doit m'alerter : il donne une impression d'exactitude que rien ne justifie. Ces coordonnées sont des mesures, et cette surface est calculée dans un plan de projection qui déforme les longueurs. Deux raisons pour que le nombre ne soit pas celui du terrain — et je vais chiffrer les deux."

Observation : Une erreur sur une coordonnée ne se propage pas de la même façon selon le sommet : elle est multipliée par un bras de levier, l'écart entre les deux sommets voisins. Les sommets « au milieu d'un long côté » pèsent donc plus lourd que les autres.
Analyse du risque : Le risque est de croire que l'incertitude de mesure est le problème principal. Elle ne l'est pas : c'est l'altération de la projection qui domine, et de très loin. Or elle est systématique, donc elle ne se compense jamais.
Choix stratégique : Traiter les deux effets séparément, puis les comparer. Mélanger un effet aléatoire et un effet systématique dans une même somme quadratique n'aurait aucun sens.
Alternative : J'aurais pu me contenter d'un ordre de grandeur : « l'incertitude relative sur la surface vaut à peu près le double de celle sur une longueur ». C'est vrai et rapide, mais cela ne dit pas quel sommet pèse le plus — information qui, elle, est actionnable sur le terrain.
Objectif visé : Une contenance assortie de son incertitude et de la nature exacte de la surface livrée — projetée, et non de terrain.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

T = 5,45 cm · σ(S) = 5,49 m² · altération : de −76 m² à +227 m²

Rappel Théorique : deux écarts de nature différente

Une contenance calculée s'écarte de la contenance réelle pour deux raisons qui n'ont rien à voir l'une avec l'autre. La première est aléatoire et vient des mesures ; la seconde est systématique et vient de la projection. On ne les combine pas, on les compare.

La classe de précision : l'arrêté du 16 septembre 2003 spécifie une classe sur les positions des points. La tolérance individuelle \( T = k \times [xx] \times (1 + 1/(2C^{2})) \) fixe l'écart maximal admissible sur un point contrôlé.
La propagation vers la surface : en dérivant la formule des lacets, on voit que chaque coordonnée intervient avec un bras de levier égal à l'écart entre les deux sommets voisins. Un sommet entouré de voisins éloignés pèse davantage.
Aucune tolérance normative sur la surface : aucun texte du dossier ne fixe de seuil sur une aire calculée. La propagation menée ici est une démonstration mathématique appuyée sur la classe de position, pas un critère opposable.
L'altération linéaire : aucune projection ne conserve les longueurs. Le guide DT-DICT annonce, pour le Lambert 93, une altération variant de −1 m/km à un peu plus de +3 m/km, et précise qu'une distance lue sur le plan doit en être corrigée.
L'effet est doublé sur les surfaces : si toutes les longueurs sont multipliées par \( (1+m) \), toutes les surfaces le sont par \( (1+m)^{2} \). Le dossier donne l'altération linéaire ; le passage au carré est une déduction géométrique, et elle est présentée comme telle.

Équations Fondamentales

Trois relations : le seuil réglementaire sur les positions, la propagation de l'incertitude vers la surface, et le retour de la surface projetée à celle du terrain.

Tolérance individuelle de l'arrêté du 16 septembre 2003 :

Le seuil sur la position d'un point contrôlé, point de départ de tout le raisonnement.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle traduit une classe annoncée au marché en un nombre de centimètres opposable. Le coefficient \( k \) vient de la loi statistique retenue par l'arrêté ; le terme en \( C \) relève le seuil quand les points de contrôle sont peu nombreux, la statistique étant alors moins fiable.

Contexte de validité : Contrôle de planimétrie, avec \( n = 2 \) dimensions et \( C \geq 2 \) points de contrôle.
Avantage : Elle donne un chiffre opposable, indépendant de l'appréciation de l'opérateur.
Paramètre clé : La classe \( [xx] \), engagement contractuel et non performance constatée.
Vérification : Avec \( C = 2 \), le majorant vaut 1,125 : le seuil dépasse \( k \times [xx] \) d'un huitième.
Limite : Elle porte sur une position, jamais sur une aire. C'est précisément le pont qu'il faut construire soi-même.

\[ \begin{aligned} T = k \times [xx] \times \left( 1 + \frac{1}{2C^{2}} \right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici l'écart maximal admissible sur la position d'un point, compte tenu de la classe promise et du nombre de contrôles. Au-delà, le levé est refusé.

Décomposition des termes :

\( T \) : tolérance individuelle sur un point contrôlé, unité : centimètre
\( k \) : coefficient de fiabilité, égal à 2,42 pour \( n = 2 \), unité : sans dimension
\( [xx] \) : classe de précision annoncée, ici 2 cm, unité : centimètre
\( C \) : nombre de points de contrôle, au minimum 2, unité : sans dimension

Propagation de l'incertitude vers la surface :

Elle transporte l'incertitude des dix coordonnées jusqu'à l'aire.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle vient de la dérivation directe de la formule des lacets. En dérivant \( 2S \) par rapport à \( X_i \), il ne subsiste que \( Y_{i+1} - Y_{i-1} \) : l'abscisse d'un sommet n'influence l'aire qu'à travers l'écart d'ordonnée de ses deux voisins. C'est ce coefficient qui joue le rôle de bras de levier.

Contexte de validité : Erreurs indépendantes et de même écart-type sur chaque coordonnée. Hypothèse d'école, plutôt optimiste : sur un levé réel, les erreurs sont corrélées.
Avantage : Elle désigne le sommet critique : celui dont les voisins sont les plus éloignés. C'est là qu'il faut soigner le levé.
Paramètre clé : Les bras de levier, écarts entre sommets voisins — et non les coordonnées elles-mêmes.
Vérification : L'incertitude relative sur la surface doit être de l'ordre du double de l'incertitude relative sur une dimension caractéristique.
Limite : C'est un écart-type, pas une tolérance. Aucun texte du dossier ne fixe de seuil sur une surface : ce nombre qualifie, il ne sanctionne pas.

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{S}} = \frac{\sigma}{2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left[ \left( Y_{i+1} - Y_{i-1} \right)^{2} + \left( X_{i+1} - X_{i-1} \right)^{2} \right]} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : chaque sommet mal placé fait pivoter la frontière, et d'autant plus que ses voisins sont loin. L'aire perdue d'un côté n'étant pas exactement celle gagnée de l'autre, l'écart s'accumule.

Décomposition des termes :

\( \sigma_{\text{S}} \) : écart-type de la surface calculée, unité : mètre carré
\( \sigma \) : écart-type commun à chaque coordonnée levée, unité : mètre
\( Y_{i+1} - Y_{i-1} \) : bras de levier de l'abscisse du sommet \( i \), unité : mètre
\( X_{i+1} - X_{i-1} \) : bras de levier de l'ordonnée du sommet \( i \), unité : mètre

De la surface projetée à la surface du terrain :

Elle corrige l'effet systématique de la projection.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une projection ne conserve pas les longueurs : elle les multiplie localement par \( (1+m) \). Une surface étant le produit de deux longueurs, elle est multipliée par le carré de ce facteur. C'est la raison pour laquelle l'altération, déjà sensible sur une distance, devient deux fois plus lourde sur une contenance.

Contexte de validité : Altération localement constante sur l'emprise de la parcelle — hypothèse raisonnable pour quelques centaines de mètres.
Avantage : Elle transforme une correction connue sur les distances en une correction sur les surfaces, sans nouvelle mesure.
Paramètre clé : L'altération \( m \), qui dépend du lieu. Sur le Lambert 93, elle varie de −1 à un peu plus de +3 m/km selon la latitude.
Vérification : Pour un \( m \) petit, \( (1+m)^{2} \approx 1 + 2m \) : la correction relative sur la surface est double de celle sur les longueurs.
Limite : Le dossier donne l'altération linéaire, pas de formule surfacique. Le passage au carré est une déduction géométrique — et le dossier ne fournit pas non plus de valeur ponctuelle de \( m \) : seules les bornes sont exploitées ici.

\[ \begin{aligned} S_{\text{terrain}} = \frac{S_{\text{plan}}}{\left( 1 + m \right)^{2}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la carte n'est pas le territoire, et l'écart se calcule. Une parcelle mesurée sur le plan Lambert 93 n'a pas exactement la contenance qu'on foulerait au sol.

Décomposition des termes :

\( S_{\text{terrain}} \) : surface sur l'ellipsoïde, avant projection, unité : mètre carré
\( S_{\text{plan}} \) : surface calculée par les lacets sur les coordonnées projetées, unité : mètre carré
\( m \) : altération linéaire locale de la projection, unité : mètre par kilomètre, soit sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants livrent une contenance au mètre carré près sans se demander si elle vaut mieux que ça..."

L'approche d'ingénieur : Un résultat rond n'est pas un résultat exact. « 38 000 m² » suggère une justesse au mètre carré que les mesures ne portent pas — et surtout, ce nombre est une surface projetée : la surface qu'on foulerait au sol en diffère bien davantage que de l'incertitude de mesure.

L'erreur : Écrire « 3 ha 80 a 00 ca » en pensant que les deux derniers zéros sont significatifs. Ils ne le sont pas : l'incertitude porte déjà sur le rang du centiare.
La bonne méthode : Livrer la contenance avec son incertitude, et préciser qu'il s'agit d'une surface dans le plan de projection.
L'astuce de pro : Retenir que l'incertitude relative d'une surface vaut environ le double de celle d'une longueur. C'est vrai pour l'incertitude de mesure comme pour l'altération.
Le moyen mnémotechnique : « Une surface, c'est deux longueurs : tout compte double ».
L'impact direct : L'altération du Lambert 93 peut décaler la contenance de 227 m², soit plus de deux ares. C'est quarante fois l'incertitude de mesure, et c'est ce que l'on ne mentionne presque jamais.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Tolérance \( T \) : en centimètre, conformément à la notation de la classe
Écart-type \( \sigma \) : converti en mètre avant la propagation, pour rester homogène aux coordonnées
Bras de levier : en mètre ; leur somme de carrés est en mètre carré
Altération \( m \) : en mètre par kilomètre, donc \( 10^{-3} \) une fois rendue sans dimension

Quatre calculs : le seuil réglementaire sur les positions, la propagation vers la surface, puis les deux bornes de l'altération du Lambert 93.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — la tolérance individuelle sur une position

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer du seul seuil que le dossier normatif fournisse réellement : celui qui porte sur la position d'un point.

Méthodologie du calcul :

Application directe de la formule de l'arrêté pour la classe [2] cm, en planimétrie, avec deux points de contrôle.

Substitution : \( k = 2{,}42 \), \( [xx] = 2 \) cm, \( C = 2 \).
Piège évité : Ne pas omettre le majorant \( 1 + 1/(2C^{2}) \), qui vaut 1,125 et relève le seuil de 12,5 %.
Hypothèse validée : \( k = 2{,}42 \) correspond bien à \( n = 2 \), c'est-à-dire au contrôle planimétrique — celui qui s'applique à des coordonnées \( X, Y \).
Vérification croisée : Le seuil doit valoir un peu moins de trois fois la classe annoncée.
Finalité : Établir le cadre réglementaire avant toute propagation.

\[ \begin{aligned} T &= 2{,}42 \times 2 \times \left( 1 + \frac{1}{2 \times 2^{2}} \right) \\[4pt] &= 2{,}42 \times 2 \times 1{,}125 \\[4pt] &= \mathbf{5{,}45} \ \text{cm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

5,45 cm sur la position d'un sommet. C'est un seuil de refus, pas une précision courante : l'écart-type effectif d'un bon levé est plus proche de la classe annoncée, soit 2 cm.

Ordre de grandeur : 2,72 fois la classe annoncée, conforme au produit \( 2{,}42 \times 1{,}125 \).
Impact sur la suite : Pour la propagation, on retient l'écart-type de 2 cm et non la tolérance : \( T \) est un couperet, pas une dispersion.
Cohérence : C'est bien la position qui est spécifiée, pas l'aire — d'où la nécessité de construire soi-même le pont vers la surface.
Attention : Avec moins de cinq points contrôlés, l'arrêté ne tolère aucun dépassement : un seul sommet hors seuil suffit à faire rejeter le levé.
Comparaison : Le critère maximal du même arrêté, \( 4{,}08 \times [xx] \), vaut ici 8,17 cm : aucun écart individuel ne peut le franchir, quelle que soit la taille de l'échantillon.

Remarque pédagogique : Distinguer une tolérance — seuil de refus — d'un écart-type — dispersion attendue — est essentiel. Confondre les deux surestime l'incertitude d'un facteur trois.

Calcul 2 — propagation jusqu'à la surface

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour savoir à quel rang la contenance est réellement significative, et donc jusqu'où il est honnête de l'écrire.

Méthodologie du calcul :

On calcule les bras de levier de chaque sommet, on somme leurs carrés, puis on applique la formule de propagation avec \( \sigma = 0{,}02 \) m.

Substitution : Les cinq contributions valent 45 000 en A, 72 500 en B, 62 500 en C, 78 500 en D et 42 500 en E, soit 301 000 m² au total.
Piège évité : Les bras de levier se prennent entre les deux voisins du sommet — le précédent et le suivant — et non entre le sommet et son voisin.
Hypothèse validée : Erreurs indépendantes et de même écart-type sur les dix coordonnées — hypothèse d'école, explicitement optimiste.
Vérification croisée : L'incertitude relative obtenue doit être de l'ordre du double du rapport \( \sigma \) sur une dimension caractéristique de la parcelle.
Finalité : Déterminer le nombre de chiffres réellement significatifs de la contenance.

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{S}} &= \frac{0{,}02}{2} \sqrt{301\,000} \\[4pt] &= 0{,}01 \times 548{,}63 \\[4pt] &= \mathbf{5{,}49} \ \text{m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

5,49 m², soit 144 millionièmes de la surface. La contenance ne peut donc pas s'écrire mieux qu'à cinq centiares près : « 38 000 m² » se lit en réalité « 38 000 ± 5 m² », et à deux écarts-types, ± 11 m².

Ordre de grandeur : 0,0144 % — environ le double du rapport de 2 cm à 250 m, comme le prévoyait le contrôle.
Impact sur la suite : Les deux zéros finaux de « 3 ha 80 a 00 ca » ne sont donc pas significatifs. Ils remplissent un format, ils ne certifient rien.
Cohérence : Le sommet le plus critique est D, avec 78 500 : ses deux voisins C et E sont les plus éloignés l'un de l'autre. C'est là qu'il faut soigner le levé.
Attention : L'hypothèse d'indépendance est favorable. Sur un levé réel depuis une même station, les erreurs sont corrélées, et l'incertitude réelle est supérieure.
Comparaison : À l'inverse, le sommet A ne pèse que 45 000 : ses voisins E et B sont proches en abscisse. Tous les points d'un levé ne se valent pas.

Remarque pédagogique : Aucun texte du dossier ne fixe de tolérance sur une surface. Ce chiffre qualifie le résultat ; il ne permet pas de le refuser. La distinction doit figurer noir sur blanc dans une note de calculs.

Calcul 3 — l'altération maximale du Lambert 93

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer l'écart entre la surface projetée que l'on vient de calculer et la surface du terrain, dans le cas le plus défavorable.

Méthodologie du calcul :

On prend la borne haute annoncée par le guide DT-DICT, on l'élève au carré, et on ramène la surface du plan à celle du terrain.

Substitution : \( m = +3 \) m/km, soit \( +3 \times 10^{-3} \) sans dimension ; \( S_{\text{plan}} = 38\,000 \) m².
Piège évité : On divise par \( (1+m)^2 \) : les coordonnées projetées sont celles du plan, et c'est la surface du terrain qui est recherchée.
Hypothèse validée : Altération supposée constante sur les 250 m d'emprise — hypothèse raisonnable à cette échelle.
Vérification croisée : L'écart relatif attendu vaut environ \( 2m \), soit 0,6 % : le double de l'altération linéaire.
Finalité : Mesurer l'effet systématique de la projection, et le comparer à l'effet aléatoire du calcul 2.

\[ \begin{aligned} S_{\text{terrain}} &= \frac{38\,000}{\left( 1 + 0{,}003 \right)^{2}} \\[4pt] &= \frac{38\,000}{1{,}006009} \\[4pt] &= \mathbf{37\,773} \ \text{m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

37 773 m², soit 227 m² de moins que la surface projetée. Deux ares et vingt-sept centiares d'écart, dus à la seule projection — et cet écart est quarante et une fois plus grand que l'incertitude de mesure du calcul 2.

Ordre de grandeur : 0,597 %, très proche du double de l'altération linéaire de 0,3 % : la règle du « tout compte double » se vérifie.
Impact sur la suite : C'est l'effet dominant. Toute discussion sur la précision d'une contenance qui l'ignore passe à côté du sujet.
Cohérence : L'écart est négatif pour une altération positive : le plan agrandit les longueurs, donc surestime la surface.
Attention : Cet écart est systématique : il ne se compense pas d'une parcelle à l'autre, il affecte toutes les contenances d'un même secteur dans le même sens.
Comparaison : Avec une projection conique conforme CC, dont l'altération reste sous 10 cm/km, l'écart tomberait à moins de 8 m². C'est précisément la raison d'être de ces neuf zones.

Remarque pédagogique : Le dossier fournit l'altération linéaire ; il ne donne ni formule surfacique ni valeur ponctuelle de \( m \). Le passage au carré est une déduction géométrique, et seules les bornes publiées sont exploitées ici.

Calcul 4 — l'autre borne, et la comparaison des deux effets

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour encadrer complètement l'écart et montrer qu'il change de sens selon le lieu, ce qui interdit toute correction forfaitaire.

Méthodologie du calcul :

Même relation, appliquée cette fois à la borne basse de l'altération du Lambert 93.

Substitution : \( m = -1 \) m/km, soit \( -1 \times 10^{-3} \) sans dimension.
Piège évité : Le signe de \( m \) doit être conservé : une altération négative agrandit la surface du terrain par rapport au plan.
Hypothèse validée : Les deux bornes sont celles publiées par le guide DT-DICT pour le Lambert 93 : elles ne sont pas estimées.
Vérification croisée : L'écart doit être environ trois fois plus faible que celui du calcul 3, dans le rapport des deux altérations.
Finalité : Encadrer l'écart et conclure sur la hiérarchie des deux sources.

\[ \begin{aligned} S_{\text{terrain}} &= \frac{38\,000}{\left( 1 - 0{,}001 \right)^{2}} \\[4pt] &= \frac{38\,000}{0{,}998001} \\[4pt] &= \mathbf{38\,076} \ \text{m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

38 076 m², soit 76 m² de plus. L'écart a changé de signe : selon l'endroit de France, la même parcelle projetée correspond à une surface de terrain plus petite ou plus grande. Au total, la contenance vraie est comprise entre 37 773 et 38 076 m², une plage de 303 m².

Ordre de grandeur : 0,200 %, exactement le double de l'altération linéaire de 0,1 % : la règle se vérifie une seconde fois.
Impact sur la suite : Aucune correction forfaitaire n'est possible : l'altération dépend du lieu, il faut la calculer pour la parcelle considérée.
Cohérence : La plage totale de 303 m² représente 55 fois l'écart-type de mesure. La hiérarchie est sans appel.
Attention : Cette surface reste une surface horizontale. Sur un terrain en pente, la surface réellement foulée est encore plus grande — mais c'est la surface projetée qui fait foi au cadastre.
Comparaison : Le levé peut être irréprochable et la contenance juste au centiare près dans le plan : cela ne dit rien de la surface au sol tant que l'altération n'est pas prise en compte.

Remarque pédagogique : Une erreur systématique quarante fois plus grande qu'une erreur aléatoire : voilà pourquoi soigner la mesure ne suffit jamais. Il faut d'abord savoir ce que l'on calcule.

HIÉRARCHIE DES ÉCARTS SUR LA CONTENANCE

RÉSULTAT FINAL

T = 5,45 centimètre — sur une position

σ(S) = 5,49 mètre carré — soit 144 ppm

S terrain, m = +3 m/km = 37 773 mètre carré

S terrain, m = −1 m/km = 38 076 mètre carré

"La mesure pèse cinq mètres carrés, la projection en pèse deux cent vingt-sept. On soigne d'abord ce qui compte."

SCHÉMA BILAN — LA PARCELLE ET SA CONTENANCE

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez assimilé la démarche et pas seulement les formules :

Je referme le contour et je vérifie qu'il y a autant de côtés que de sommets. Je calcule les deux sommes séparément, pour pouvoir localiser une erreur et pas seulement la constater. Je nomme la variable « 2S » et je n'oublie ni la valeur absolue ni la division par deux. Je contrôle par un encadrement — la boîte englobante — et non par une estimation au jugé. Je calibre la convention de signe sur une figure témoin avant d'interpréter quoi que ce soit. Je sais qu'un repère \( X \) Est, \( Y \) Nord est direct, et qu'aucun repère topographique gaucher n'existe en France. Je confirme une conclusion par un second argument de nature différente — ici le produit vectoriel. Je livre une contenance avec son incertitude, et je précise qu'il s'agit d'une surface projetée.

La formule des lacets donne 2S = 76 000 m², d'où une surface de 38 000 m², soit 3 ha 80 a 00 ca. Le parcours inverse restitue −76 000 m², et le calcul du terme de virage établit que le sens A → B → C → D → E est anti-horaire. Corrigée de l'altération linéaire, la surface de terrain se situe entre 37 773 m² et 38 076 m².

La formule des lacets rend une surface signée : son signe porte le sens de parcours, et il se démontre au lieu de s'affirmer. Une surface calculée sur des coordonnées projetées est par ailleurs celle du plan, non celle du terrain : l'altération linéaire déplace ici le résultat de trois cents mètres carrés, bien au-delà des 5,49 m² que propage l'incertitude de position. C'est la grandeur qu'il faut nommer avant de la porter sur un acte.

Déterminer la Surface d'un Plan

Déterminer la Surface d'un Plan

Rendre un calcul défendable, pas seulement juste

Déterminer la Surface d'un Plan

Contexte de l'Étude & Enjeux

COORDONNÉES DES SOMMETS RELEVÉS

PARAMÈTRES DE QUALITÉ ET DE PROJECTION

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Le double de la surface par la formule des lacets

Question 2 : La surface, en mètres carrés puis en unités agraires

Question 3 : Le contrôle par le sens inverse et la démonstration du sens de parcours

Question 4 (Finale) : Cette surface est-elle celle du terrain ?

Déterminer la Surface d'un Plan

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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