Conception d'un Assemblage Moisé par Boulons

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Dans une structure en bois, la pièce résiste rarement avant l'assemblage. Une membrure tendue en lamellé-collé peut porter plusieurs centaines de kilonewtons ; l'assemblage qui la raccorde en porte souvent trois fois moins. Cet exercice dimensionne un assemblage moisé bois-acier-bois : deux moises en GL24h de 40 mm enserrent un plat d'acier de 10 mm, et des boulons de 16 mm transmettent un effort de traction permanent de 150 kN. Deux points y sont systématiquement mal traités : les modes de ruine retenus, et le fait qu'une file de boulons ne travaille jamais à pleine capacité.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Un assemblage bois-acier-bois à plat central : deux moises en GL24h de 40 mm d'épaisseur, un plat d'acier de 10 mm, des boulons de 16 mm travaillant en double cisaillement.
Environnement : Classe de service 1, local chauffé. L'effort est permanent : \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \). Le coefficient partiel des assemblages vaut 1,3, quelle que soit la classe de bois.
L'objectif final : Déterminer la portance d'un boulon par la théorie de Johansen, puis le nombre de boulons réellement nécessaire — en tenant compte du nombre efficace du § 8.5.1.1 — et proposer une disposition conforme.
L'astuce de l'ingénieur : Dans une file de boulons alignés parallèlement au fil, les premiers travaillent plus que les autres. La norme traduit ce déséquilibre par un nombre efficace inférieur au nombre réel — et l'écart peut atteindre le quart.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur structure et vous reprenez la note de calculs d'un assemblage déjà dessiné. Votre travail consiste à refaire la vérification avec le bon jeu de formules, à mesurer l'écart, et à proposer une disposition réellement conforme.

Le grand défi : Le nombre efficace de boulons. La note reprise l'a posé égal au nombre réel : c'est admis nulle part dans la norme, et cela suffit ici à faire passer un assemblage qui ne passe pas.
Votre rôle : Produire une note traçable : les trois modes de ruine chiffrés, la portance d'un boulon, le nombre efficace, la vérification, et un plan de perçage conforme au tableau 8.4.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — la portance : la portance locale du bois et le moment de plastification du boulon, les trois modes de ruine de l'équation (8.11) chiffrés, et la portance caractéristique puis de calcul d'un boulon.
Livrable 2 — l'assemblage : le nombre efficace de boulons par file, la vérification de la disposition envisagée, le nombre réellement nécessaire, et un plan de perçage conforme au tableau 8.4 avec son encombrement.

2. Données Techniques & Normes

Le calcul est mené selon la NF EN 1995-1-1, chapitre 8, avec les valeurs de l'annexe nationale française ; la masse volumique du lamellé-collé provient de la NF EN 14080. Trois points appellent une vigilance particulière : le jeu de formules à retenir, qui dépend de la position de l'acier dans l'assemblage ; le nombre efficace de boulons d'une file, qui n'est jamais égal au nombre réel ; et les distances minimales du tableau 8.4, qui dépendent de l'angle entre l'effort et le fil.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Portance locale, boulons jusqu'à 30 mm — § 8.5.1.1 \( f_{h,0,\text{k}} = 0{,}082\,(1 - 0{,}01\,d)\,\rho_{\text{k}} \)
Moment de plastification d'un boulon — § 8.5.1.1 \( M_{y,\text{Rk}} = 0{,}3\,f_{u,\text{k}}\,d^{2,6} \)
Mode (f) — écrasement du bois seul \( F_{v,\text{Rk}} = f_{h,1,\text{k}}\,t_{1}\,d \)
Mode (g) — une rotule plastique par plan \( F_{v,\text{Rk}} = f_{h,1,\text{k}}\,t_{1}\,d\left[\sqrt{2 + \dfrac{4M_{y,\text{Rk}}}{f_{h,1,\text{k}}\,d\,t_{1}^{2}}} - 1\right] \)
Mode (h) — deux rotules plastiques par plan \( F_{v,\text{Rk}} = 2{,}3\sqrt{M_{y,\text{Rk}}\,f_{h,1,\text{k}}\,d} \)
Résistance de calcul d'un assemblage — § 2.4.1 \( F_{v,\text{Rd}} = \dfrac{k_{\text{mod}}\,F_{v,\text{Rk}}}{\gamma_{\text{M}}} \)
Nombre efficace d'une file — § 8.5.1.1(4) \( n_{\text{ef}} = \min\left(n\ ;\ n^{0,9}\sqrt[4]{\dfrac{a_{1}}{13\,d}}\right) \)
Critère de vérification d'un assemblage \( N_{\text{Ed}} \le n_{\text{ef,total}}\,F_{v,\text{Rd}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( t_{1} \)	Épaisseur de chaque moise en bois — c'est elle qui entre dans les modes de ruine	40	mm
\( t_{2} \)	Épaisseur du plat central en acier — n'intervient pas dans l'équation (8.11)	10	mm
\( d \)	Diamètre des boulons, classe 8.8	16	mm
\( \rho_{\text{k}} \)	Masse volumique caractéristique du GL24h — et non 380, valeur de l'ancienne EN 1194 NF EN 14080 - Tableau 5	385	kg/m³
\( f_{u,\text{k}} \)	Résistance à la rupture de l'acier des boulons, classe 8.8 NF EN ISO 898-1	800	N/mm²
\( \gamma_{\text{M}} \)	Coefficient partiel des assemblages — indépendant de la classe de bois EN 1995-1-1 - Tableau 2.3	1,30	—
\( k_{\text{mod}} \)	Classe de service 1, action permanente — valeur la plus sévère du tableau EN 1995-1-1 - Tableau 3.1	0,60	—

Les trois lectures qui décident, et leurs pièges

La configuration : \( \text{plat acier } \textbf{central} \Rightarrow \text{equation (8.11), trois modes} \)
La file : \( n_{\text{ef}} < n \text{ des que les boulons sont alignes dans le sens de l effort} \)
L angle : \( \alpha = 0 \Rightarrow a_{1} = (4 + |\cos\alpha|)\,d = 5d \text{, et non } 7d \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( N_{\text{Ed}} \)	Effort de traction à transmettre, déjà pondéré à l'ELU	150	kN
Classe de durée	L'effort est permanent : il ne s'interrompt jamais EN 1995-1-1 - Tableau 2.2	Permanente	—
\( \alpha \)	Angle entre l'effort et le fil du bois — la traction est parallèle au fil	0	°
Plans de cisaillement	Assemblage à double cisaillement : un plan de part et d'autre du plat	2	—

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Section nette : \( \S\,6.1.2 \text{ — la traction sur la section reduite par les percages} \)
Rupture de bloc : \( \text{annexe A — arrachement d un bloc de bois autour du groupe} \)
Effet de corde : \( \S\,8.2.2(2) \text{ — neglige ici, ecrous non serres a fond} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Extrait de la NF EN 14080 — masses volumiques des lamellés-collés homogènes

Grandeur	GL24h	GL28h	GL32h
Masse volumique \( \rho_{\text{k}} \)	385	425	440
Masse volumique moyenne \( \rho_{\text{mean}} \)	420	460	490
Portance locale pour \( d = 16 \) mm	26,52	29,27	30,31

Les masses volumiques sont en kg/m³, la portance locale en N/mm². La valeur 380 kg/m³ pour le GL24h, encore très répandue dans les notes de calculs, provient de l'ancienne EN 1194, remplacée par la NF EN 14080 en 2013. L'écart est faible — 1,3 % sur la portance locale — mais c'est le genre de valeur périmée qui traverse les décennies par simple recopie d'un formulaire à l'autre.

Extrait du tableau 8.4 — distances minimales pour les boulons

Distance	Expression générale	Pour \( \alpha = 0 \)
\( a_{1} \) — entraxe parallèle au fil	\( (4 + \|\cos\alpha\|)\,d \)	5d
\( a_{2} \) — entraxe perpendiculaire au fil	\( 4d \)	4d
\( a_{3,t} \) — rive d'extrémité chargée	\( \max(7d\ ;\ 80\ \text{mm}) \)	7d
\( a_{4,c} \) — rive latérale non chargée	\( 3d \)	3d

La confusion la plus fréquente porte sur \( a_{1} \), souvent pris à 7d par contamination avec la rive d'extrémité \( a_{3,t} \). Pour un effort parallèle au fil, l'entraxe minimal vaut 5d. La confusion est ici sans danger — elle est sécuritaire — mais elle masque un fait important : contrairement aux autres distances, \( a_{1} \) n'est pas seulement un minimum constructif, c'est un paramètre de calcul qui gouverne le nombre efficace de boulons.

Extrait du tableau 3.1 — coefficient \( k_{\text{mod}} \), lamellé-collé

Classe de durée	Service 1	Service 2	Service 3
Permanente	0,60	0,60	0,50
Long terme	0,70	0,70	0,55
Moyen terme	0,80	0,80	0,65
Court terme	0,90	0,90	0,70
Instantanée	1,10	1,10	0,90

Pour un assemblage entre deux pièces de bois de classes de service différentes, la norme impose la moyenne géométrique des deux coefficients. Ici l'assemblage est bois-acier : seul le bois est sensible à la durée et à l'humidité, et c'est donc son coefficient qui s'applique tel quel.

Quel jeu de formules pour quelle configuration ?

Plat acier au centre, double cisaillement — éq. (8.11) : trois modes, dont deux font intervenir le moment de plastification
Plats acier à l'extérieur, plat mince — éq. (8.13) : deux modes, avec le facteur 1,15 et une racine en \( \sqrt{2M_{y}f_{h}d} \)
Plats acier à l'extérieur, plat épais — éq. (8.13) : deux modes, avec le facteur 2,3
Bois-bois, double cisaillement — éq. (8.7) : la portance du bois central intervient en plus

Ces jeux de formules ne sont pas interchangeables. Importer le facteur 1,15 d'un assemblage à plats extérieurs minces dans un assemblage à plat central est une erreur de configuration, pas une erreur de calcul — et rien dans le résultat ne la signale. La première question à se poser devant un assemblage n'est jamais « quelle formule ? » mais « où est l'acier ? ».

Traçabilité des valeurs employées

Les clauses et formules employées ici proviennent de la documentation officielle de la Commission européenne sur l'EN 1995-1-1. Les valeurs tabulées suivantes sont rattachées à la norme et, le cas échéant, au paramètre national qui les fixe :

\( \rho_{\text{k}} = 385 \) kg/m³ pour le GL24h — NF EN 14080, tableau 5, lamellés homogènes
\( f_{u,\text{k}} = 800 \) N/mm² pour la classe 8.8 — NF EN ISO 898-1
\( \gamma_{\text{M}} = 1{,}3 \) pour les assemblages — tableau 2.3 et annexe nationale
\( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \) — tableau 3.1, classe de service 1, action permanente
Les distances du tableau 8.4 et l'expression du nombre efficace du § 8.5.1.1(4)

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Portance caractéristique d'un boulon

Théorie de Johansen 35 min | BOSS

But de l'étape : Identifier le maillon faible entre le bois qui s'écrase et le boulon qui plie, en chiffrant les trois modes de ruine applicables.

Énoncé Q1 : Pour un boulon de 16 mm dans les moises de 40 mm :

calculer la portance locale \( f_{h,0,\text{k}} \) du bois et le moment de plastification \( M_{y,\text{Rk}} \) du boulon ;
chiffrer les trois modes de l'équation (8.11) et désigner le mode gouvernant ;
en déduire la portance caractéristique d'un boulon en double cisaillement.

Le plat d'acier est au centre : c'est l'équation (8.11) qui s'applique, et elle comporte trois modes, pas deux .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Menez tout le calcul en newtons et millimètres. La portance locale sort en N/mm², le moment de plastification en N·mm, les portances en N. L'exposant 2,6 du moment de plastification se calcule à la machine : \( 16^{2,6} \) n'est pas \( 16^{2} \times 16^{0,6} \) de tête.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( f_{h,0,\text{k}} = 26{,}52 \) N/mm² et \( M_{y,\text{Rk}} = 324\,282 \) N·mm. Les trois modes donnent 16 972, 16 591 et 26 979 N par plan : c'est le mode (g) qui gouverne, de très peu.

Question 2 : Résistance de calcul d'un boulon

Lecture normative 15 min | Accessible

But de l'étape : Passer de la valeur d'essai à la valeur utilisable en projet, avec les deux coefficients propres aux assemblages.

Énoncé Q2 : En citant la ligne de tableau employée pour chaque coefficient :

établir la résistance de calcul \( F_{v,\text{Rd}} \) d'un boulon ;
chiffrer ce que donnait la note reprise et mesurer l'écart ;
calculer ce que vaudrait cette résistance sous une charge de courte durée.

Le coefficient partiel des assemblages vaut 1,3 : il ne suit pas la classe de bois, contrairement à celui des sections.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La formule est la même que pour une section : on multiplie par \( k_{\text{mod}} \) et on divise par \( \gamma_{\text{M}} \). Seule la valeur du coefficient partiel change — 1,3 pour les assemblages, contre 1,25 pour une section en lamellé-collé.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( F_{v,\text{Rd}} = 0{,}60 \times 33\,182/1{,}3 = \) 15 315 N, soit 15,31 kN. La réduction depuis la valeur caractéristique atteint 54 %.

Question 3 : Nombre de boulons et nombre efficace

Le cœur du sujet 35 min | BOSS

But de l'étape : Découvrir qu'une file de boulons ne vaut jamais la somme de ses boulons, et en tirer le nombre réellement nécessaire.

Énoncé Q3 : La note reprise propose 2 files de 5 boulons avec un entraxe de 120 mm :

calculer le nombre de boulons sans réduction de file, comme le faisait la note reprise ;
calculer le nombre efficace d'une file de 5 et vérifier la disposition proposée ;
proposer deux dispositions qui satisfont réellement le critère, et les comparer.

Le nombre efficace ne dépend pas que du nombre de boulons : l'entraxe \( a_{1} \) y entre aussi, à la puissance un quart.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La réduction ne s'applique qu'aux boulons alignés dans le sens de l'effort. Deux files parallèles de 5 boulons comptent donc deux fois le nombre efficace d'une file de 5 — et non le nombre efficace d'une file de 10.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Une file de 5 avec \( a_{1} = 120 \) mm ne vaut que 3,71 boulons. Les 10 boulons proposés ne portent donc que 113,6 kN au lieu des 150 demandés : le taux atteint 132 % et l'assemblage est refusé.

Question 4 (Finale) : Disposition conforme et encombrement

Synthèse et décision 30 min | Piège

But de l'étape : Traduire le calcul en plan de perçage, et découvrir que l'entraxe \( a_{1} \) est un levier qui sature très vite.

Mention spéciale — \( a_{1} \) n'est pas seulement un minimum constructif : Contrairement aux trois autres distances du tableau 8.4, l'entraxe parallèle au fil entre directement dans le calcul du nombre efficace. L'augmenter améliore la capacité de l'assemblage — mais à la puissance un quart seulement, ce qui rend le levier vite inopérant.

Calculer les quatre distances minimales du tableau 8.4 pour \( \alpha = 0 \). Déterminer ensuite quel entraxe \( a_{1} \) permettrait aux 10 boulons d'origine de suffire, et conclure sur la viabilité de cette piste. Établir enfin l'encombrement de la disposition retenue et rédiger l'avis technique.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Pour trouver l'entraxe qui rendrait 10 boulons suffisants, écrivez l'égalité \( N_{\text{Ed}} = 2\,n_{\text{ef}}\,F_{v,\text{Rd}} \) et inversez la formule du nombre efficace. La puissance un quart devient une puissance quatre.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Les minimums valent 80 / 64 / 112 / 48 mm. Il faudrait porter \( a_{1} \) à 364 mm pour que 10 boulons suffisent, ce qui étirerait l'assemblage sur plus de 1,50 m : la piste est abandonnée au profit de 3 files de 5.

NOTE DE CALCULS

Assemblage moisé bois-acier-bois : le nombre efficace de boulons décide

Question 1 : Portance caractéristique d'un boulon

Dans la tête de l'ingénieur

"Avant d'ouvrir la moindre formule, je regarde où est l'acier. Ici il est au centre, entre deux moises : c'est l'équation (8.11), et elle comporte trois modes. La note que je reprends n'en a retenu que deux, et a écarté le troisième en le décrivant comme la « ruine du plat central en acier » — ce n'est pas cela : le mode (g) est celui où le boulon forme une rotule plastique par plan de cisaillement, la rotule se situant dans le bois. C'est justement lui qui va gouverner. Elle a par ailleurs importé pour le dernier mode le facteur 1,15 d'un assemblage à plats extérieurs minces, et fait une erreur d'exposant sur le moment de plastification. Trois lectures fausses dans une seule question."

Observation : Les moises sont minces — 40 mm pour un boulon de 16, soit 2,5 diamètres. C'est le domaine où le bois s'écrase avant que le boulon ne plie complètement.
Analyse du risque : L'exposant 2,6 du moment de plastification est le piège arithmétique classique : \( 16^{2,6} \) vaut 1 351, pas 2 785. Une erreur d'un facteur deux passe inaperçue si le mode concerné ne gouverne pas.
Choix stratégique : Je calcule les trois modes, même ceux dont je pressens qu'ils ne gouverneront pas. Une note de calculs se lit aussi pour ce qu'elle écarte.
Alternative : Des broches de même diamètre donneraient la même portance de Johansen, mais des distances minimales plus faibles et donc un assemblage plus compact.
Objectif visé : Sortir avec une portance caractéristique par boulon, et le nom du mode qui la gouverne.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( f_{h,0,\text{k}} = \) 26,52 N/mm² · \( M_{y,\text{Rk}} = \) 324 282 N·mm · modes 16 972 / 16 591 / 26 979 N · \( F_{v,\text{Rk}} = \) 33 182 N — mode (g) gouvernant

Rappel Théorique : la théorie de Johansen

Un assemblage à tige ne se rompt pas d'une seule manière. Selon les épaisseurs et le diamètre, c'est le bois qui cède, la tige qui plie, ou les deux — et la norme énumère tous les scénarios pour retenir le plus faible.

Principe 1 — deux matériaux, deux comportements : Le bois s'écrase sous la tige, en pression diamétrale ; l'acier plie et forme des rotules plastiques. La ruine combine les deux.
Principe 2 — chaque mode est un mécanisme cinématique : Les modes se distinguent par le nombre de rotules formées : aucune, une par plan, deux par plan. Plus il y en a, plus la tige est sollicitée en flexion.
Principe 3 — la configuration commande le jeu de formules : Acier au centre, acier à l'extérieur, plat mince ou épais, bois-bois : chaque cas a ses propres équations. Elles ne sont pas interchangeables.
Principe 4 — on retient toujours le minimum : La portance de l'assemblage est celle du mécanisme le plus facile à déclencher. Omettre un mode revient à interdire une ruine qui se produira quand même.
Principe 5 — le double cisaillement double la portance : Les formules donnent la portance par plan. Avec un plat central, chaque boulon possède deux plans, et la portance totale est double.

Équations Fondamentales

Deux propriétés à établir d'abord, puis le jeu de modes propre à la configuration.

Portance locale du bois — EN 1995-1-1 § 8.5.1.1 :

La résistance du bois à l'écrasement sous une tige.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la contrainte sous un boulon n'est pas une compression ordinaire : elle est localisée, appliquée sur une surface courbe, et le bois voisin non chargé vient épauler la zone comprimée. La résistance mobilisable y est donc supérieure à la résistance en compression de la pièce. La formule est empirique, calée sur des milliers d'essais : elle croît avec la masse volumique et décroît avec le diamètre, un gros boulon répartissant moins bien sa pression.

Contexte de validité : Boulons et broches jusqu'à 30 mm. Au-delà, la formule n'est plus couverte par la norme.
Avantage : Elle ne demande qu'une seule donnée matériau, la masse volumique caractéristique, disponible pour toutes les classes.
Paramètre clé : \( \rho_{\text{k}} \), et non \( \rho_{\text{mean}} \). Pour le GL24h la NF EN 14080 donne 385 kg/m³, l'ancienne EN 1194 donnait 380.
Vérification : Le résultat se situe toujours entre 20 et 35 N/mm² pour les résineux courants. Une valeur hors de cette plage signale une erreur d'unité.
Limite : Cette expression vaut pour un effort parallèle au fil. Un effort incliné impose de passer par le coefficient \( k_{90} \).

\[ \begin{aligned} f_{h,0,\text{k}} = 0{,}082\,(1 - 0{,}01\,d)\,\rho_{\text{k}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : plus le bois est dense, plus il résiste au poinçonnement d'une tige ; plus la tige est grosse, moins le bois en profite. Le terme correcteur en diamètre traduit un fait d'expérience : un gros boulon concentre sa pression sur une longueur de fibres plus courte relativement à sa taille, et le bois environnant l'épaule moins bien.

Décomposition des termes :

\( f_{h,0,\text{k}} \) : portance locale caractéristique, parallèle au fil, unité : N/mm²
\( 0{,}082 \) : constante empirique, unité : N·m³/(mm²·kg)
\( d = 16 \) : diamètre du boulon, unité : mm
\( \rho_{\text{k}} = 385 \) : masse volumique caractéristique du GL24h, unité : kg/m³
Facteur de diamètre : 0,84 pour 16 mm — 16 % de perte par rapport à une tige infiniment fine, unité : —

Moment de plastification d'un boulon — EN 1995-1-1 § 8.5.1.1 :

Le moment qui provoque la rotule plastique dans la tige.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une section circulaire pleine entièrement plastifiée développe un moment proportionnel à \( f_{u}d^{3}/6 \) — soit un exposant 3, et non 2,6. L'exposant réduit de la norme traduit le fait que la plastification n'est jamais complète au moment où le mécanisme se forme, et que l'écrouissage réel de l'acier ne suit pas exactement le modèle. Le coefficient 0,3 et l'exposant 2,6 sont le résultat d'un calage sur essais, pas d'une démonstration.

Contexte de validité : Boulons, broches et vis à tige lisse. Les clous relèvent d'une expression différente.
Avantage : Une seule caractéristique acier suffit : la résistance à la rupture, et non la limite d'élasticité.
Paramètre clé : L'exposant 2,6. Il se calcule à la machine — aucune décomposition mentale ne donne le bon chiffre.
Vérification : Pour un boulon de 16 mm en classe 8.8, l'ordre de grandeur est de 0,3 kN·m. Un résultat au-delà du double signale une erreur d'exposant.
Limite : Elle suppose la tige pleine et de section constante. Une tige partiellement filetée réduit la valeur dans la zone filetée.

\[ \begin{aligned} M_{y,\text{Rk}} = 0{,}3\,f_{u,\text{k}}\,d^{2,6} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : un boulon deux fois plus gros résiste six fois mieux à la flexion. C'est ce que vaut \( 2^{2,6} \). Le diamètre est donc un levier bien plus puissant que la classe d'acier : passer de 8.8 à 10.9 ne gagne que 25 %, passer de 16 à 20 mm en gagne 79.

Décomposition des termes :

\( M_{y,\text{Rk}} \) : moment de plastification caractéristique, unité : N·mm
\( 0{,}3 \) : coefficient de calage sur essais, unité : sans dimension
\( f_{u,\text{k}} = 800 \) : résistance à la rupture de l'acier 8.8, unité : N/mm²
\( d^{2,6} \) : \( 16^{2,6} = 1\,351{,}2 \) — et non 2 785, unité : mm^2,6
Ordre de grandeur : quelques centaines de milliers de N·mm pour les diamètres courants, unité : —

Les trois modes de ruine — EN 1995-1-1 § 8.2.3, équation (8.11) :

Jeu de formules du plat acier central en double cisaillement.

Pourquoi cette formule ?

Parce que chaque expression correspond à un mécanisme différent, et que la ruine emprunte celui qui demande le moins d'effort. Le mode (f) est l'écrasement pur : le boulon reste droit et laboure le bois. Le mode (g) ajoute une rotule plastique par plan, formée dans l'épaisseur de la moise. Le mode (h) en ajoute une seconde, la tige se pliant en S. Plus le bois est mince, plus les modes avec rotules sont difficiles à atteindre — et c'est pourquoi les moises minces font gouverner les premiers.

Contexte de validité : Plat d'acier central, d'épaisseur quelconque, en double cisaillement. Le plat lui-même se vérifie séparément.
Avantage : L'épaisseur du plat n'intervient pas : l'acier est supposé rigide vis-à-vis du bois, ce qui simplifie considérablement.
Paramètre clé : L'épaisseur \( t_{1} \) de la moise, qui figure dans deux modes sur trois — et au carré dans le mode (g).
Vérification : Le mode (g) est toujours compris entre les deux autres ou égal à l'un d'eux. Un mode (g) hors de cet encadrement signale une erreur.
Limite : Ne pas confondre avec l'équation (8.13), qui traite les plats extérieurs et fait apparaître un facteur 1,15 sur une racine différente.

\[ \begin{aligned} F_{v,\text{Rk}} = \min \begin{cases} f_{h,1,\text{k}}\,t_{1}\,d & \text{(f)} \\ f_{h,1,\text{k}}\,t_{1}\,d\left[\sqrt{2 + \dfrac{4M_{y,\text{Rk}}}{f_{h,1,\text{k}}\,d\,t_{1}^{2}}} - 1\right] & \text{(g)} \\ 2{,}3\sqrt{M_{y,\text{Rk}}\,f_{h,1,\text{k}}\,d} & \text{(h)} \end{cases} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : l'assemblage cédera par le mécanisme le plus facile, et c'est celui-là qu'il faut chiffrer. Écarter un mode sans le calculer, c'est décider à la place du matériau. Ici le mode écarté par la note reprise est justement celui qui gouverne — de peu, mais il gouverne.

Décomposition des termes :

Mode (f) : écrasement du bois seul, boulon rigide, unité : N
Mode (g) : écrasement et une rotule plastique par plan, unité : N
Mode (h) : deux rotules par plan, le boulon se plie en S, unité : N
\( t_{1} = 40 \) : épaisseur de la moise en bois, unité : mm
Résultat : portance par plan de cisaillement, à doubler ensuite, unité : N

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'écarter un mode en le jugeant non dimensionnant, sans l'avoir calculé..."

L'approche d'ingénieur : Un mode de ruine n'est pas une option de calcul : c'est un mécanisme physique qui existe indépendamment de ce qu'on en pense.

L'erreur : Décrire le mode (g) comme « la ruine du plat central en acier » et l'omettre. Il s'agit en réalité du mécanisme à une rotule plastique par plan, et il gouverne ici avec 16 591 N contre 16 972 pour le mode (f).
La bonne méthode : Écrire les trois lignes, les chiffrer, entourer le minimum. Trois lignes de calcul coûtent moins qu'une justification à produire six mois plus tard.
L'astuce de pro : Le mode (g) est toujours encadré par les deux autres. S'il tombe en dehors, c'est qu'une donnée est fausse — le contrôle est immédiat.
Le moyen mnémotechnique : « Où est l'acier ? » — la réponse désigne l'équation, et l'équation désigne les modes.
L'impact direct : Ici l'écart n'est que de 2,2 %. Avec des moises plus épaisses, il aurait dépassé 20 % — et l'omission serait devenue une faute lourde.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( \rho_{\text{k}} \) : en kg/m³ , sans conversion — la constante 0,082 l'intègre
\( f_{h,0,\text{k}} \) : en N/mm² , comme toute résistance
\( M_{y,\text{Rk}} \) : N/mm² × mm^2,6 donne des N·mm
Modes (f) et (g) : N/mm² × mm × mm = N
Mode (h) : racine de N·mm × N/mm² × mm = N

Toute la question se mène en newtons et millimètres, sans une seule conversion. La seule vigilance porte sur la masse volumique, qui reste en kg/m³ : la constante 0,082 a été calée pour cela, et la « corriger » en kg/mm³ donnerait un résultat un million de fois trop faible. Le contrôle de plausibilité est simple : une portance locale se situe entre 20 et 35 N/mm², une portance de boulon entre 10 et 50 kN.

1. Résolution Numérique Portance locale du bois

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elle entre dans les trois modes de ruine : c'est la donnée la plus structurante de la question.

Méthodologie du calcul :

Application directe de l'expression du § 8.5.1.1 avec la masse volumique du GL24h.

Substitution : \( d = 16 \) mm et \( \rho_{\text{k}} = 385 \) kg/m³, valeur de la NF EN 14080.
Piège évité : Ne pas employer 380 kg/m³, valeur de l'ancienne EN 1194 remplacée en 2013 et encore présente dans beaucoup de formulaires.
Hypothèse validée : Effort parallèle au fil : c'est bien \( f_{h,0,\text{k}} \) qui s'applique, sans coefficient \( k_{90} \).
Vérification croisée : Le rapport à la masse volumique vaut 0,0689 : la portance locale représente environ 7 % de la masse volumique exprimée en kg/m³, repère utile pour un contrôle de tête.
Finalité : Alimenter les trois modes de ruine de l'équation (8.11).

\[ \begin{aligned} f_{h,0,\text{k}} &= 0{,}082 \times (1 - 0{,}01 \times 16) \times 385 \\ &= 0{,}082 \times 0{,}84 \times 385 = \mathbf{26{,}52 \ \text{N/mm}^2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

26,52 N/mm². Voyons ce que cela représente.

Ordre de grandeur : Plus élevé que la résistance en compression du GL24h, qui vaut 24 N/mm². Le confinement par le bois voisin explique cet écart.
Impact sur la suite : Multipliée par la surface projetée \( t_{1}d \), elle donne directement le mode (f), le plus simple des trois.
Cohérence : Avec l'ancienne valeur de 380 kg/m³, on obtiendrait 26,17 N/mm² : l'écart n'est que de 1,3 %, mais la valeur reste périmée.
Attention : Perpendiculairement au fil, la portance serait divisée par \( k_{90} \approx 1{,}6 \) pour ce diamètre. La direction de l'effort n'est pas un détail.
Comparaison : En GL28h, plus dense, elle atteindrait 29,27 N/mm² — soit 10 % de mieux pour une classe de résistance supérieure de 17 %.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que la portance locale dépasse la résistance en compression du bois. C'est contre-intuitif et c'est vrai : sous un boulon, le bois est latéralement épaulé par les fibres voisines qui ne travaillent pas. Cet effet de confinement se retrouve partout en génie civil, du béton fretté au sol sous une semelle, et le comprendre une fois sur un cas simple évite bien des étonnements.

Moment de plastification du boulon

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il gouverne les deux modes avec rotules plastiques, et que son exposant est un piège classique.

Méthodologie du calcul :

Application de l'expression du § 8.5.1.1 avec la résistance à la rupture de l'acier 8.8.

Substitution : \( f_{u,\text{k}} = 800 \) N/mm² et \( d^{2,6} = 16^{2,6} = 1\,351{,}2 \).
Piège évité : L'exposant 2,6 se calcule à la machine. La note reprise avait retenu 2 785,5, soit plus du double de la valeur exacte.
Hypothèse validée : Tige pleine et lisse dans les plans de cisaillement, comme il est de règle pour un boulon de charpente correctement disposé.
Vérification croisée : Un contrôle immédiat : \( 16^{2,6} \) doit être compris entre \( 16^{2} = 256 \) et \( 16^{3} = 4\,096 \), et bien plus près du premier. La valeur 1 351 le confirme, 2 785 non.
Finalité : Alimenter les modes (g) et (h).

\[ \begin{aligned} M_{y,\text{Rk}} &= 0{,}3 \times 800 \times 16^{2,6} \\ &= 240 \times 1\,351{,}2 = \mathbf{324\,282 \ \text{N}\cdot\text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

324 282 N·mm, soit 0,324 kN·m. La note reprise annonçait 668 525.

Ordre de grandeur : L'écart avec la note reprise est d'un facteur 2,06. Ce n'est pas une imprécision, c'est une erreur d'évaluation de la puissance.
Impact sur la suite : Elle gonfle les modes (g) et (h) de plus de 40 %, sans effet sur le mode (f) qui n'en dépend pas.
Cohérence : Comparaison utile : le moment plastique théorique d'une section circulaire pleine, \( f_{u}d^{3}/6 \), vaudrait 546 000 N·mm. La norme retient 59 % de cette valeur.
Cas d'école : Ici l'erreur n'a aucune conséquence : les modes qu'elle affecte ne gouvernent pas. C'est le pire des cas, car rien ne la révèle.
Comparaison : Un boulon de 20 mm donnerait 579 281 N·mm, soit 79 % de plus pour 25 % de diamètre en plus.

Remarque pédagogique : Faites systématiquement encadrer une puissance non entière entre les deux puissances entières voisines. Ici \( 16^{2,6} \) doit tomber entre 256 et 4 096, et l'exposant étant plus proche de 2 que de 3, la valeur doit être plus proche de 256. Ce réflexe de dix secondes attrape la quasi-totalité des erreurs de calculatrice, qui sont bien plus fréquentes que les erreurs de méthode.

Mode (f) — écrasement du bois seul

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le mécanisme le plus simple : le boulon reste droit et laboure le bois.

Méthodologie du calcul :

Produit de la portance locale par la surface projetée du boulon dans la moise.

Substitution : \( f_{h,0,\text{k}} = 26{,}52 \) N/mm², \( t_{1} = 40 \) mm et \( d = 16 \) mm.
Piège évité : C'est l'épaisseur de la moise, 40 mm, qui intervient — jamais celle du plat d'acier ni la somme des deux.
Hypothèse validée : Pression uniforme sur toute l'épaisseur de la moise, ce qui suppose le boulon parfaitement rigide.
Vérification croisée : La surface projetée vaut 640 mm², soit à peine 6,4 cm² : c'est sur cette minuscule surface que transite l'effort d'un boulon.
Finalité : Fournir la première des trois valeurs à comparer.

\[ \begin{aligned} F_{v,\text{Rk,f}} &= 26{,}52 \times 40 \times 16 \\ &= \mathbf{16\,972 \ \text{N}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

16 972 N par plan de cisaillement, soit environ 17 kN.

Ordre de grandeur : Près de 1,7 tonne par plan. Pour un seul boulon de 16 mm dans 40 mm de bois, c'est déjà considérable.
Impact sur la suite : Ce mode sert de plafond au mode (g), qui lui est nécessairement inférieur ou égal.
Cohérence : La contrainte moyenne sur la surface projetée vaut bien 26,52 N/mm², par construction.
Attention : Ce mode ignore la flexion du boulon. Il ne peut donc être retenu seul, quelle que soit l'intuition qu'on en a.
Comparaison : Avec des moises de 60 mm, il monterait à 25 458 N — mais le mode (g), à 17 514 N, prendrait alors nettement l'avantage.

Remarque pédagogique : Faites calculer la surface projetée avant la portance : 40 × 16 = 640 mm². Voir ce nombre rend le résultat tangible — tout l'effort d'un boulon transite par 6,4 cm² de bois. C'est cette image qui fait comprendre pourquoi les assemblages sont le point faible des structures en bois, et pourquoi les distances aux bords sont si sévères.

Mode (g) — une rotule plastique par plan

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le mode écarté par la note reprise, et qu'il gouverne.

Méthodologie du calcul :

Application de la deuxième ligne de l'équation (8.11), qui combine écrasement et flexion.

Substitution : Le terme sous la racine vaut \( 4 \times 324\,282/(26{,}52 \times 16 \times 40^{2}) = 1{,}911 \).
Piège évité : L'épaisseur de la moise intervient au carré au dénominateur, et une seule fois au numérateur du facteur qui précède. Les deux ne se simplifient pas.
Hypothèse validée : La rotule se forme dans le bois, à une profondeur que le mécanisme détermine. Elle n'est pas située au droit du plat.
Vérification croisée : Le crochet vaut 0,978 : il réduit le mode (f) de 2,2 %. Un crochet supérieur à 1 signalerait une erreur.
Finalité : Fournir la valeur qui, ici, gouverne l'assemblage.

\[ \begin{aligned} F_{v,\text{Rk,g}} &= 16\,972 \times \left[\sqrt{2 + 1{,}911} - 1\right] \\ &= 16\,972 \times 0{,}978 = \mathbf{16\,591 \ \text{N}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

16 591 N : le minimum des trois modes, de très peu.

Ordre de grandeur : Seulement 2,2 % en dessous du mode (f). Les moises minces rapprochent les deux mécanismes.
Impact sur la suite : C'est cette valeur, et non celle du mode (f), qui sera doublée puis divisée par les coefficients partiels.
Cohérence : Elle est bien encadrée par les deux autres modes, 16 972 et 26 979 N, comme la théorie l'exige.
Attention : L'écart faible ne rend pas l'omission acceptable. Avec des moises de 60 mm, le mode (g) descendrait 31 % sous le mode (f).
Comparaison : Avec le moment de plastification erroné de la note reprise, ce mode aurait donné 24 389 N et n'aurait plus gouverné. Deux erreurs se seraient alors couvertes l'une l'autre.

Remarque pédagogique : Faites interpréter le crochet comme un coefficient réducteur du mode (f). Écrit ainsi, le mode (g) cesse d'être une formule opaque : c'est l'écrasement du bois, corrigé du fait que le boulon plie un peu et ne mobilise donc pas uniformément toute l'épaisseur. Quand le crochet vaut presque 1, le boulon se comporte presque comme une tige rigide — et l'on retrouve le mode (f).

Mode (h) — deux rotules plastiques par plan

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il faut vérifier qu'il ne gouverne pas, et parce que c'est là que la note reprise a importé une formule étrangère.

Méthodologie du calcul :

Application de la troisième ligne de l'équation (8.11), avec le facteur 2,3.

Substitution : \( \sqrt{324\,282 \times 26{,}52 \times 16} = 11\,730 \), puis multiplication par 2,3.
Piège évité : Ne pas employer \( 1{,}15\sqrt{2M_{y}f_{h}d} \), expression de l'équation (8.13) réservée aux plats extérieurs minces.
Hypothèse validée : Le plat central est supposé rigide et suffisamment épais pour bloquer la rotation du boulon en son milieu.
Vérification croisée : Ce mode ne dépend pas de l'épaisseur de la moise : il correspond à un boulon assez long pour plier deux fois par plan.
Finalité : Confirmer que le mécanisme le plus « ductile » n'est pas atteint ici.

\[ \begin{aligned} F_{v,\text{Rk,h}} &= 2{,}3\sqrt{324\,282 \times 26{,}52 \times 16} \\ &= 2{,}3 \times 11\,730 = \mathbf{26\,979 \ \text{N}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

26 979 N : largement au-dessus des deux autres. Ce mode ne se produira pas.

Ordre de grandeur : 63 % au-dessus du mode gouvernant. Le boulon n'a aucune chance de se plier en S avant que le bois ne cède.
Impact sur la suite : Aucun — mais son calcul justifie qu'on l'écarte, ce que la note reprise n'avait pas fait pour le mode (g).
Cohérence : La formule erronée en 1,15 aurait donné 19 077 N : plus faible, mais toujours au-dessus du mode gouvernant. L'erreur restait sans effet.
Attention : Un mode qui ne gouverne pas est le pire endroit où loger une erreur : rien ne la révèle, et elle attend la prochaine géométrie pour se manifester.
Comparaison : Il faudrait des moises de 64 mm environ pour que le mode (f) rejoigne ce niveau et que la ruine ductile devienne accessible.

Remarque pédagogique : Faites observer que le mode le plus ductile est aussi le plus résistant, et qu'on ne l'atteint donc jamais quand le bois est mince. C'est une contrariété bien connue du calcul parasismique : pour dissiper de l'énergie, il faut que le boulon plie, donc il faut du bois épais. Les assemblages à moises minces sont résistants mais fragiles, et cela se conçoit dès le choix des épaisseurs.

Portance caractéristique d'un boulon

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les formules donnent la portance par plan, et qu'un boulon en possède deux ici.

Méthodologie du calcul :

Le minimum des trois modes, multiplié par le nombre de plans de cisaillement.

Substitution : \( \min(16\,972\ ;\ 16\,591\ ;\ 26\,979) = 16\,591 \) N, doublé.
Piège évité : Ne pas oublier le facteur 2. C'est l'erreur la plus fréquente sur les assemblages à plat central, et elle divise la capacité par deux.
Hypothèse validée : Les deux moises sont identiques : les deux plans ont la même portance et le doublement est légitime.
Vérification croisée : La note reprise annonçait 33 472 N, soit 0,9 % de plus. Trois erreurs qui se compensent presque exactement.
Finalité : Fournir la valeur caractéristique à minorer à la question 2.

\[ \begin{aligned} F_{v,\text{Rk}} &= 2 \times 16\,591 \\ &= \mathbf{33\,182 \ \text{N}} = 33{,}18 \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

33,18 kN par boulon, valeur caractéristique.

Ordre de grandeur : Environ 3,4 tonnes par boulon. Il en faudra donc plusieurs pour les 150 kN à transmettre.
Impact sur la suite : Cette valeur sera divisée par plus de deux par les coefficients de la question 2 avant tout dimensionnement.
Cohérence : Trois erreurs dans la note reprise — masse volumique périmée, exposant faux, mode omis — et un écart final de 0,9 %. La coïncidence est instructive.
Attention : Un résultat juste par compensation ne valide rien. La même omission du mode (g) sur des moises de 60 mm aurait surestimé la portance de 45 %.
Comparaison : Un boulon de 20 mm porterait 40 410 N, soit 22 % de plus — mais exigerait des entraxes 25 % plus grands.

Remarque pédagogique : Faites toujours reconstituer le chiffre d'une note contestée avant de la critiquer. Ici, la reconstitution révèle mieux qu'une démonstration : trois erreurs indépendantes aboutissent à 0,9 % près au bon résultat. L'étudiant comprend alors qu'un résultat juste ne prouve rien sur la méthode, et que c'est la méthode qu'on vérifie — parce que c'est elle qu'on réutilisera demain sur une autre géométrie.

RÉSULTAT FINAL

Portance caractéristique = 33 182 N — soit 33,18 kN par boulon ; le mode gouvernant est le mode (g), écarté par la note reprise

"Où est l'acier ? La réponse désigne l'équation, et l'équation désigne les modes !"

Question 2 : Résistance de calcul d'un boulon

Dans la tête de l'ingénieur

"Une seule formule, deux coefficients, et pourtant plus de la moitié de la portance disparaît. Le coefficient de durée est le même que pour une section — 0,60 pour du permanent en classe de service 1 — mais le coefficient partiel, lui, change : les assemblages ont leur propre ligne au tableau 2.3, avec 1,3, indépendamment de la classe de bois. C'est un point que les étudiants manquent presque tous, parce qu'ils viennent d'apprendre que le lamellé-collé a droit à 1,25. Sur ce point précis, la note que je reprends est juste. Je vais quand même reconstituer son chiffre, parce que c'est la seule façon de mesurer l'effet réel des erreurs de la question 1."

Observation : La réduction cumulée atteint 54 % : d'une portance de 33,18 kN, il ne reste que 15,31 kN utilisables.
Analyse du risque : Le coefficient partiel des assemblages vaut 1,3. Employer 1,25, valeur des sections en lamellé-collé, surestimerait la capacité de 4 %.
Choix stratégique : Je chiffre aussi la variante courte durée, parce qu'elle mesure d'un coup le poids du coefficient de durée dans tout l'exercice.
Alternative : Si les deux pièces assemblées étaient en bois avec des classes de service différentes, il faudrait prendre la moyenne géométrique des deux coefficients de durée.
Objectif visé : Disposer de la résistance d'un boulon à opposer à l'effort, boulon par boulon.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( F_{v,\text{Rd}} = \) 15 315 N, soit 15,31 kN · réduction de 54 % depuis la valeur caractéristique · la note reprise annonçait 15 449 N · sous charge de courte durée : 22 972 N

Rappel Théorique : les coefficients propres aux assemblages

Le passage de la valeur caractéristique à la valeur de calcul obéit à la même règle que pour une section — mais les valeurs des coefficients ne sont pas les mêmes.

Principe 1 — le coefficient de durée est celui du bois : Dans un assemblage bois-acier, seul le bois flue et se dégrade sous charge maintenue. C'est donc son \( k_{\text{mod}} \) qui s'applique, sans correction.
Principe 2 — deux bois, moyenne géométrique : Si les deux pièces assemblées sont en bois avec des coefficients différents, la norme impose \( \sqrt{k_{\text{mod},1}\,k_{\text{mod},2}} \), et non la plus petite des deux valeurs.
Principe 3 — les assemblages ont leur propre coefficient partiel : 1,3, quelle que soit la classe et quel que soit le produit. Il ne suit ni le 1,3 du bois massif ni le 1,25 du lamellé-collé : c'est une coïncidence avec le premier.
Principe 4 — la réduction est énorme : Le produit des deux coefficients divise la portance par 2,17. C'est bien plus sévère que pour une section en lamellé-collé, où le facteur n'est que de 2,08.
Principe 5 — la comparaison doit rester homogène : Une valeur de calcul se compare à un effort de calcul. Confronter \( N_{\text{Ed}} \) à \( F_{v,\text{Rk}} \) est une erreur de nature, pas d'arrondi.

Équations Fondamentales

Une seule relation — mais dont les deux paramètres se lisent dans des tableaux différents.

Résistance de calcul d'un assemblage — EN 1995-1-1 § 2.4.1 :

Elle transforme la portance d'essai en portance utilisable.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les essais de Johansen sont conduits en quelques minutes, sur des éprouvettes conditionnées, avec un bois trié. La réalité d'un assemblage de charpente est autre : il porte pendant cinquante ans, dans une ambiance qui varie, et il a été percé sur chantier avec les tolérances du chantier. Le premier coefficient corrige le temps et l'humidité, le second couvre la dispersion du bois, celle de l'acier et les écarts de mise en œuvre.

Contexte de validité : Tout assemblage vérifié aux états limites ultimes. Le calcul du glissement relève d'autres règles.
Avantage : Elle est identique à celle des sections : un seul mécanisme à retenir pour tout l'Eurocode 5.
Paramètre clé : \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}3 \), ligne « assemblages » du tableau 2.3 — à ne pas confondre avec la ligne du produit.
Vérification : La valeur de calcul vaut toujours moins de la moitié de la valeur caractéristique sous charge permanente.
Limite : Elle porte sur un organe. Le passage au groupe fait intervenir le nombre efficace, objet de la question suivante.

\[ \begin{aligned} F_{v,\text{Rd}} = \frac{k_{\text{mod}}\,F_{v,\text{Rk}}}{\gamma_{\text{M}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ce qu'un boulon a tenu au laboratoire, il ne le tiendra pas pendant cinquante ans. Le bois autour de la tige flue, la pression diamétrale s'installe, l'assemblage se déforme lentement. Le coefficient de durée n'est pas une marge de sécurité : c'est une propriété du matériau, mesurée et tabulée.

Décomposition des termes :

\( F_{v,\text{Rd}} \) : résistance de calcul d'un organe, unité : N
\( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \) : charge permanente, classe de service 1, tableau 3.1, unité : sans dimension
\( F_{v,\text{Rk}} = 33\,182 \) : portance caractéristique de la question 1, unité : N
\( \gamma_{\text{M}} = 1{,}3 \) : coefficient partiel des assemblages, tableau 2.3, unité : sans dimension
Facteur global : 0,46, soit une division par 2,17, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de prendre le coefficient partiel du produit plutôt que celui des assemblages..."

L'approche d'ingénieur : Le tableau 2.3 comporte une ligne « assemblages » distincte des lignes de produits. Elle vaut pour toutes les classes et tous les organes.

L'erreur : Retenir \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \) parce que les moises sont en lamellé-collé. La résistance de calcul passerait à 15 927 N, soit 4 % de trop.
La bonne méthode : Se demander ce qu'on vérifie, et non de quoi c'est fait. On vérifie ici un assemblage : c'est la ligne « assemblages » qui s'applique.
L'astuce de pro : La coïncidence numérique avec le bois massif, également à 1,3, entretient la confusion. Ce n'est qu'une coïncidence : les deux lignes sont indépendantes.
Le moyen mnémotechnique : « On ne classe pas un assemblage, on le calcule ».
L'impact direct : Sur un assemblage de 10 boulons, 4 % représentent près de 6 kN de capacité fictive — de quoi faire basculer une conclusion serrée.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( F_{v,\text{Rk}} \) : en N , issu directement de la question 1
\( k_{\text{mod}} \) et \( \gamma_{\text{M}} \) : grandeurs sans unité
\( F_{v,\text{Rd}} \) : en N , converti ensuite en kN pour la lecture
\( N_{\text{Ed}} \) : donné en kN, à passer en N pour la comparaison
Le rapport des deux : grandeur sans unité

Aucune conversion n'est nécessaire dans le calcul lui-même : tout reste en newtons. Le seul risque apparaît à la question suivante, lorsqu'on divisera l'effort par la résistance : mélanger kN et N y donnerait un résultat faux d'un facteur mille, et donc soit un boulon, soit dix mille. L'ordre de grandeur attendu pour la résistance d'un boulon de charpente est de 10 à 30 kN.

1. Résolution Numérique Résistance de calcul d'un boulon

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule valeur qu'on ait le droit d'opposer à l'effort de calcul.

Méthodologie du calcul :

Application du § 2.4.1 avec le coefficient de durée du bois et le coefficient partiel des assemblages.

Substitution : \( F_{v,\text{Rk}} = 33\,182 \) N, \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \) et \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}3 \).
Piège évité : Ne pas retenir 1,25, valeur des sections en lamellé-collé. Les assemblages ont leur propre ligne au tableau 2.3.
Hypothèse validée : Assemblage bois-acier : seul le bois est sensible à la durée, son coefficient s'applique tel quel.
Vérification croisée : Le facteur global vaut 0,60/1,30 = 0,462, soit une division par 2,17. Le contrôle se fait de tête.
Finalité : Fournir la brique élémentaire du dimensionnement de l'assemblage.

\[ \begin{aligned} F_{v,\text{Rd}} &= \frac{0{,}60 \times 33\,182}{1{,}3} \\ &= \frac{19\,909}{1{,}3} = \mathbf{15\,315 \ \text{N}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

15 315 N, soit 15,31 kN par boulon. Voyons où est passée la moitié.

Ordre de grandeur : La réduction atteint 54 %. Le coefficient de durée en retire 40 %, le coefficient partiel 23 % du reste.
Impact sur la suite : Rapporté aux 150 kN à transmettre, il faudra au moins dix boulons — et davantage une fois la réduction de file prise en compte.
Cohérence : Un assemblage est plus pénalisé qu'une section en lamellé-collé : division par 2,17 contre 2,08, à durée égale.
Attention : Cette valeur est celle d'un boulon isolé. La multiplier par le nombre de boulons est précisément l'erreur que la question 3 va corriger.
Comparaison : Avec \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}25 \) employé par erreur, on obtiendrait 15 927 N, soit 4 % de trop.

Remarque pédagogique : Faites écrire à côté de chaque coefficient la ligne exacte du tableau dont il sort. « \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}3 \), tableau 2.3, ligne assemblages » n'est pas une coquetterie de rédaction : c'est ce qui permet à un vérificateur de valider la note sans la refaire, et à celui qui l'a écrite d'en retrouver le fil six mois plus tard. Une note de calculs se juge autant sur sa traçabilité que sur ses résultats.

Ce qu'annonçait la note reprise

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il mesure l'effet réel des trois erreurs de la question 1, une fois les coefficients appliqués.

Méthodologie du calcul :

Même formule, mêmes coefficients — mais avec la portance caractéristique erronée de la note d'origine.

Substitution : \( F_{v,\text{Rk}} = 33\,472 \) N, valeur obtenue en omettant le mode (g).
Piège évité : Les coefficients de la note reprise sont corrects : ce n'est pas ici que se situent ses défauts, et il faut le dire.
Hypothèse validée : La reconstitution reproduit exactement le chiffre publié, ce qui confirme qu'on a bien compris sa démarche.
Vérification croisée : L'écart relatif est le même qu'à la question 1, 0,9 %, puisque les coefficients sont identiques.
Finalité : Établir que l'erreur décisive de cette note n'est pas dans la portance d'un boulon.

\[ \begin{aligned} F_{v,\text{Rd}}^{\text{note}} &= \frac{0{,}60 \times 33\,472}{1{,}3} \\ &= \frac{20\,083}{1{,}3} = \mathbf{15\,449 \ \text{N}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

15 449 contre 15 315 N : moins de 1 % d'écart. Voilà qui mérite un commentaire.

Ordre de grandeur : 0,9 % après trois erreurs de nature différente. Aucun contrôle de plausibilité ne pouvait les détecter.
Impact sur la suite : Sur le nombre de boulons, l'écart ne représente rien : 9,71 au lieu de 9,79, et le même arrondi à 10.
Cohérence : La masse volumique périmée abaissait le résultat, l'omission du mode (g) le relevait : les deux se sont presque annulées.
Attention : Le défaut grave de cette note est ailleurs — dans le nombre efficace, qu'elle a posé égal au nombre réel. C'est l'objet de la question 3.
Comparaison : Avec des moises de 60 mm, l'omission du mode (g) aurait surestimé la portance de 45 %, et serait devenue impossible à manquer.

Remarque pédagogique : Faites énoncer clairement ce que cette question innocente. Une critique de note de calculs perd toute crédibilité si elle reproche tout à tout le monde : ici les deux coefficients sont justes, le résultat est juste à 1 % près, et il faut le dire avant de pointer le défaut réel. Savoir reconnaître ce qui est correct dans un travail qu'on conteste est une qualité professionnelle, pas une concession.

Variante : le même assemblage en courte durée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il mesure le poids du coefficient de durée sur un cas concret.

Méthodologie du calcul :

Même assemblage, même portance caractéristique : seule la classe de durée change.

Substitution : \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \), valeur du court terme en classe de service 1.
Piège évité : Ne pas transposer ce résultat au cas réel : l'effort de l'exercice est bien permanent.
Hypothèse validée : La portance de Johansen ne dépend pas de la durée : les modes de ruine sont inchangés.
Vérification croisée : Le rapport des deux résistances vaut exactement 0,90/0,60 = 1,5.
Finalité : Situer l'importance relative de la durée par rapport aux autres paramètres.

\[ \begin{aligned} F_{v,\text{Rd}}^{\text{court}} &= \frac{0{,}90 \times 33\,182}{1{,}3} \\ &= \frac{29\,864}{1{,}3} = \mathbf{22\,972 \ \text{N}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

22 972 N : 50 % de plus, sans toucher à un seul boulon.

Ordre de grandeur : La moitié de capacité en plus, par le seul classement de l'action. C'est le paramètre le plus influent de tout l'exercice.
Impact sur la suite : Sous cette hypothèse, les 10 boulons de la note reprise suffiraient — malgré la réduction de file.
Cohérence : Le nombre de boulons nécessaires tomberait de 9,79 à 6,53 avant réduction de file.
Attention : Un effort de traction dans une membrure de contreventement est souvent instantané, mais celui d'un tirant de charpente ne l'est jamais. Le classement se justifie, il ne se choisit pas.
Comparaison : Sous action instantanée, avec 1,10, la résistance atteindrait 28 077 N — près du double du cas permanent.

Remarque pédagogique : Faites classer les actions avant d'ouvrir le moindre tableau de résistance. La différence entre 0,60 et 1,10 vaut un facteur 1,8 sur toute la note, et aucune finesse de calcul ne compense une erreur de classement. C'est aussi le point sur lequel un vérificateur regarde en premier, parce que c'est là que se logent les écarts les plus lourds.

RÉSULTAT FINAL

Résistance de calcul = 15 315 N — soit 15,31 kN par boulon, après une réduction de 54 % de la valeur caractéristique

"On ne classe pas un assemblage, on le calcule : le coefficient partiel vaut 1,3 !"

Question 3 : Nombre de boulons et nombre efficace

Dans la tête de l'ingénieur

"C'est ici que tout bascule. La note que je reprends divise l'effort par la résistance d'un boulon, trouve 9,7, arrondit à 10, et conclut. Elle mentionne bien le nombre efficace — puis écrit, en une ligne : « pour cet exercice, nous supposerons \( n_{\text{ef}} = n \) ». Cette supposition n'existe nulle part dans la norme. Le § 8.5.1.1(4) est une clause de calcul, pas une raffinerie optionnelle : dès que des boulons sont alignés dans le sens de l'effort, la file vaut moins que la somme de ses organes. Ici la perte atteint un quart, et elle transforme un assemblage confortable en assemblage refusé à 132 %."

Observation : Cinq boulons en file avec un entraxe de 120 mm ne valent que 3,71 boulons. Ce n'est pas une correction de second ordre.
Analyse du risque : La réduction ne s'applique qu'aux boulons alignés dans le sens de l'effort. Deux files parallèles comptent deux fois le nombre efficace d'une file, pas le nombre efficace de dix boulons.
Choix stratégique : Je compare deux dispositions qui satisfont le critère, sur le nombre de boulons mais aussi sur l'encombrement. Ce n'est pas la même chose.
Alternative : Des broches à la place des boulons donneraient un entraxe minimal plus faible, mais le nombre efficace suit la même loi : le gain serait sur l'encombrement, pas sur la capacité.
Objectif visé : Sortir avec un nombre de boulons réellement suffisant, et deux dispositions chiffrées à soumettre au projeteur.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( n \ge 9{,}79 \) sans réduction · \( n_{\text{ef}} = \) 3,71 pour une file de 5 · les 10 boulons ne portent que 113,6 kN — taux 132 %, refusé · solution retenue : 3 files de 5, taux 88 %

Rappel Théorique : pourquoi une file de boulons vaut moins que ses boulons

L'hypothèse d'une répartition égale entre organes est commode, mais fausse. Elle ne devient acceptable que si l'assemblage est parfaitement souple — ce qu'aucun assemblage réel n'est.

Principe 1 — l'effort ne se répartit pas également : Dans une file, les boulons d'extrémité reprennent davantage que ceux du milieu, parce que les pièces assemblées se déforment axialement entre deux organes.
Principe 2 — la ruine est en chaîne : Le boulon le plus chargé atteint sa portance en premier ; le bois se fend autour de lui, et l'effort se reporte sur le suivant, qui cède à son tour. La file ne redistribue pas.
Principe 3 — seul le sens de l'effort compte : La réduction s'applique aux boulons alignés parallèlement au fil et à l'effort. Des files parallèles côte à côte ne se pénalisent pas mutuellement.
Principe 4 — l'entraxe est un paramètre de calcul : Espacer davantage les boulons laisse au bois le temps de redistribuer. Le nombre efficace croît avec \( a_{1} \) — mais à la puissance un quart seulement.
Principe 5 — la loi sature au-delà de 13d : Au-delà de cet entraxe, le facteur d'espacement dépasse 1 mais le nombre efficace reste plafonné au nombre réel de boulons.

Équations Fondamentales

Le critère de vérification, puis la clause qui en modifie profondément la portée.

Critère de vérification d'un assemblage — ELU :

L'effort appliqué doit rester sous la capacité du groupe.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un assemblage n'est pas un organe isolé mais un groupe, et que la capacité du groupe n'est pas la somme des capacités individuelles. La formulation retient un nombre efficace d'organes, ce qui permet de conserver la forme la plus simple qui soit — un effort d'un côté, une capacité de l'autre — tout en intégrant un phénomène de répartition qui, sans cela, exigerait un calcul de rigidités.

Contexte de validité : Assemblage sollicité en cisaillement dans le plan des organes, effort centré sur le groupe.
Avantage : Le critère reste additif : on peut sommer les contributions de plusieurs files sans calcul de structure.
Paramètre clé : \( n_{\text{ef,total}} \), somme des nombres efficaces de chaque file prise séparément.
Vérification : Le nombre efficace total est toujours inférieur au nombre réel de boulons. S'il lui est égal, c'est qu'on a oublié la clause.
Limite : Il ne couvre ni la rupture de bloc, ni la section nette de la pièce, qui se vérifient séparément.

\[ \begin{aligned} N_{\text{Ed}} \le n_{\text{ef,total}}\,F_{v,\text{Rd}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ce qu'on demande au groupe doit rester sous ce que le groupe peut réellement donner. Et « réellement » est le mot important : dix boulons ne donnent pas dix fois un boulon. La différence entre le nombre écrit sur le plan et le nombre qui travaille est tout l'objet de cette question.

Décomposition des termes :

\( N_{\text{Ed}} = 150 \) : effort de traction de calcul, unité : kN
\( n_{\text{ef,total}} \) : nombre efficace de l'ensemble du groupe, unité : sans dimension
\( F_{v,\text{Rd}} = 15\,315 \) : résistance de calcul d'un boulon, unité : N
Somme par files : chaque file est traitée séparément puis additionnée, unité : —
Taux de travail : le rapport des deux membres, exprimé en pourcentage, unité : %

Nombre efficace d'une file — EN 1995-1-1 § 8.5.1.1(4) :

La clause qui change tout dans cet exercice.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les essais montrent qu'une file de boulons rompt en chaîne, et non simultanément. Le premier boulon atteint sa portance, le bois se fend localement, et l'effort se reporte brutalement sur le suivant, déjà chargé. La rupture progresse d'un organe à l'autre sans que la file n'ait jamais mobilisé toute sa capacité théorique. L'exposant 0,9 et la racine quatrième traduisent ce comportement, mesuré et non démontré.

Contexte de validité : Boulons alignés parallèlement au fil, effort dans cette même direction. Perpendiculairement au fil, aucune réduction.
Avantage : Elle donne un levier de conception : augmenter \( a_{1} \) augmente la capacité, sans ajouter un seul boulon.
Paramètre clé : Le rapport \( a_{1}/13d \). L'entraxe de 13 diamètres est celui à partir duquel la file ne perd plus rien de ce fait.
Vérification : Le résultat est toujours inférieur ou égal à \( n \), le minimum en tenant lieu de plafond.
Limite : Elle vaut pour les boulons et broches. Les clous et vis relèvent d'expressions différentes, parfois sans réduction.

\[ \begin{aligned} n_{\text{ef}} = \min\left(n\ ;\ n^{0,9}\sqrt[4]{\frac{a_{1}}{13\,d}}\right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : plus la file est longue, moins chaque boulon rapporte ; plus les boulons sont espacés, mieux la file se comporte. Les deux effets se combinent en une seule expression. L'exposant 0,9 sur le nombre pénalise l'allongement de la file ; la racine quatrième sur l'entraxe récompense l'espacement, mais faiblement.

Décomposition des termes :

\( n_{\text{ef}} \) : nombre efficace de boulons d'une file, unité : sans dimension
\( n \) : nombre réel de boulons de cette file, unité : sans dimension
\( a_{1} \) : entraxe parallèle au fil réellement adopté, unité : mm
\( 13\,d = 208 \) : entraxe de saturation pour un boulon de 16 mm, unité : mm
Exposant 0,9 : pénalité d'allongement de la file, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de supposer \( n_{\text{ef}} = n \) pour simplifier..."

L'approche d'ingénieur : Le § 8.5.1.1(4) n'est pas une clause facultative. Une hypothèse simplificatrice ne peut aller que dans le sens de la sécurité ; celle-ci va dans l'autre.

L'erreur : Écrire « nous supposerons \( n_{\text{ef}} = n \) ». Sur deux files de 5 boulons, cela surestime la capacité de 35 % et fait conclure à tort.
La bonne méthode : Calculer le nombre efficace file par file, avec l'entraxe réellement porté sur le plan — et non l'entraxe minimal réglementaire.
L'astuce de pro : Pour un prédimensionnement rapide, retenir un abattement de l'ordre de 20 à 30 % sur les files de 4 à 6 boulons. On affine ensuite.
Le moyen mnémotechnique : « Une file rompt en chaîne, pas en bloc ».
L'impact direct : Ici, l'assemblage annoncé vérifié à 97 % travaille en réalité à 132 %. C'est le seul défaut de cette note qui change la conclusion.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( N_{\text{Ed}} \) : converti en N , soit 150 000
\( F_{v,\text{Rd}} \) : en N , soit 15 315
\( a_{1} \) et \( 13d \) : tous deux en mm , leur rapport est sans unité
\( n \) et \( n_{\text{ef}} \) : grandeurs sans dimension
Capacité du groupe : \( n_{\text{ef}} \times \) N donne des N

Le seul piège dimensionnel est la conversion de l'effort : diviser 150 kN par 15 315 N donnerait 0,0098 boulon. L'erreur est grossière et se repère seule, mais elle coûte du temps. Le repère utile est ailleurs : un assemblage de charpente courant compte entre 4 et 20 boulons ; en deçà on aurait choisi un autre système, au-delà l'encombrement devient déraisonnable.

1. Résolution Numérique Nombre de boulons sans réduction de file

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le point de départ de tout dimensionnement d'assemblage — et le point d'arrivée de la note reprise.

Méthodologie du calcul :

Division de l'effort de calcul par la résistance d'un boulon, puis arrondi à l'entier supérieur.

Substitution : \( N_{\text{Ed}} = 150\,000 \) N et \( F_{v,\text{Rd}} = 15\,315 \) N.
Piège évité : Ne jamais arrondir à l'entier inférieur. Un résultat de 9,1 exige dix boulons, pas neuf.
Hypothèse validée : Ce chiffre suppose une répartition égale entre organes — hypothèse qui va être levée dès le calcul suivant.
Vérification croisée : 150 kN divisés par 15 kN font environ 10 : l'ordre de grandeur se contrôle de tête.
Finalité : Fournir une borne inférieure du nombre de boulons, jamais un résultat final.

\[ \begin{aligned} n &\ge \frac{150\,000}{15\,315} \\ &\ge 9{,}79 \ \Rightarrow \ \mathbf{10 \ \text{boulons}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

10 boulons — c'est ici que la note reprise s'est arrêtée.

Ordre de grandeur : Dix boulons pour 150 kN, soit 15 kN par organe. C'est cohérent avec un assemblage de charpente courant.
Impact sur la suite : Ce nombre est une borne inférieure. La réduction de file ne peut que l'augmenter, jamais le diminuer.
Cohérence : La note reprise trouvait 9,71 avec sa portance légèrement différente : même arrondi, même conclusion à ce stade.
Attention : L'arrondi à 10 ne laisse qu'une marge de 2 %. Sur un assemblage, une marge aussi mince est imprudente même sans réduction de file.
Comparaison : Sous charge de courte durée, ce nombre tomberait à 6,53, soit 7 boulons.

Remarque pédagogique : Faites nommer ce résultat une borne inférieure et non un nombre de boulons. Le mot compte : un étudiant qui écrit « il faut 10 boulons » a terminé son travail, celui qui écrit « il en faut au moins 10 » sait qu'il lui reste une étape. La différence entre les deux formulations vaut ici cinq boulons et une conclusion inversée.

Nombre efficace d'une file de cinq boulons

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la clause que la note reprise a écartée, et qu'elle décide de tout.

Méthodologie du calcul :

Application du § 8.5.1.1(4) à la disposition proposée : 2 files de 5, entraxe 120 mm.

Substitution : \( n = 5 \) par file, \( a_{1} = 120 \) mm et \( 13d = 208 \) mm, d'où un rapport de 0,577.
Piège évité : Prendre \( n = 5 \), le nombre de boulons d'une file, et non 10, le nombre total. Chaque file se traite séparément.
Hypothèse validée : Les deux files sont parallèles à l'effort et identiques : leurs nombres efficaces s'additionnent.
Vérification croisée : Le résultat, 3,71, est bien inférieur à 5. Le minimum de la formule n'est donc pas atteint par le plafond.
Finalité : Établir la capacité réelle de la disposition envisagée.

\[ \begin{aligned} n_{\text{ef}} &= 5^{0,9} \times \sqrt[4]{\frac{120}{208}} \\ &= 4{,}257 \times 0{,}872 = \mathbf{3{,}71} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

3,71 boulons efficaces sur 5 posés : 26 % de perte.

Ordre de grandeur : Plus d'un boulon sur quatre ne sert à rien. Ce n'est pas une correction fine, c'est un changement d'ordre.
Impact sur la suite : Les deux files n'apportent que 7,42 boulons efficaces au lieu des 10 comptés par la note reprise.
Cohérence : Les deux facteurs contribuent : l'exposant 0,9 retire 15 % et le facteur d'espacement 13 % supplémentaires.
Cas d'école : Avec un entraxe de 208 mm, le facteur d'espacement vaudrait 1 et le nombre efficace remonterait à 4,26 — encore loin de 5.
Comparaison : Une file de 3 boulons ne perdrait que 22 %, une file de 8 en perdrait 30. La pénalité croît avec la longueur de la file.

Remarque pédagogique : Faites calculer séparément les deux facteurs de la formule avant de les multiplier. On voit alors que l'allongement de la file et le resserrement des boulons pèsent du même ordre, et que le second est le seul sur lequel le projeteur garde la main. C'est ce genre de décomposition qui transforme une formule appliquée en formule comprise.

Vérification de la disposition proposée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le verdict sur les 10 boulons de la note reprise.

Méthodologie du calcul :

Capacité du groupe, puis comparaison à l'effort par un taux de travail.

Substitution : \( n_{\text{ef,total}} = 2 \times 3{,}71 = 7{,}42 \) et \( F_{v,\text{Rd}} = 15\,315 \) N.
Piège évité : Ne pas calculer le nombre efficace d'une file fictive de 10 boulons, qui donnerait 6,92 — valeur encore plus basse et tout aussi fausse.
Hypothèse validée : L'effort se partage également entre les deux files, ce que garantit la symétrie de l'assemblage.
Vérification croisée : Le déficit de capacité vaut 36,4 kN, soit exactement 2,38 fois la résistance d'un boulon : il en manque donc plus de deux.
Finalité : Conclure formellement sur la disposition d'origine.

\[ \begin{aligned} \frac{N_{\text{Ed}}}{n_{\text{ef,total}}F_{v,\text{Rd}}} &= \frac{150\,000}{7{,}42 \times 15\,315} \\ &= \frac{150\,000}{113\,632} = \mathbf{132\ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

132 % : l'assemblage est NON VÉRIFIÉ. La note reprise annonçait 97 %.

Ordre de grandeur : Dépassement de 32 %. Aucun ajustement de détail ne le rattrapera : il faut des boulons en plus.
Impact sur la suite : La capacité réelle n'est que de 113,6 kN pour 150 demandés. Il manque 36,4 kN.
Cohérence : L'écart avec les 97 % annoncés vient entièrement du nombre efficace : 10/7,42 = 1,35, et 97 × 1,35 donne bien 132.
Cas d'école : Une ruine par fendage le long de la file est fragile et sans signe avant-coureur. C'est précisément ce que la clause cherche à éviter.
Comparaison : Sous charge de courte durée, cette même disposition donnerait 88 % et passerait sans difficulté.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que l'écart entre 97 et 132 % ne vient d'aucune des erreurs de la question 1. Trois lectures fausses sur les modes de ruine, et un résultat juste à 1 % ; une seule hypothèse commode sur le nombre efficace, et la conclusion s'inverse. Toutes les erreurs ne se valent pas, et savoir laquelle porte à conséquence est le cœur du métier de vérificateur.

Première solution : deux files de sept boulons

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la correction la plus directe : allonger les files existantes.

Méthodologie du calcul :

Reprise du nombre efficace avec 7 boulons par file, entraxe inchangé.

Substitution : \( 7^{0,9} = 5{,}762 \), multiplié par le même facteur d'espacement 0,872.
Piège évité : Ne pas croire que passer de 5 à 7 boulons ajoute deux boulons efficaces : il n'en ajoute que 1,31 par file.
Hypothèse validée : L'entraxe reste à 120 mm, valeur supérieure au minimum réglementaire de 80 mm.
Vérification croisée : Il fallait \( n_{\text{ef,total}} \ge 9{,}79 \) ; on obtient 10,04. La marge est donc mince.
Finalité : Chiffrer la première des deux dispositions viables.

\[ \begin{aligned} n_{\text{ef,total}} &= 2 \times 5{,}762 \times 0{,}872 \\ &= 10{,}04 \ \Rightarrow \ \text{capacité } \mathbf{153{,}8 \ \text{kN}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

153,8 kN pour 150 demandés : taux de 98 %, vérifié de justesse.

Ordre de grandeur : 14 boulons au lieu de 10, soit quatre de plus pour 32 % de dépassement à rattraper.
Impact sur la suite : La zone d'assemblage s'étire sur 832 mm : c'est le principal inconvénient de cette solution.
Cohérence : Le rendement décroît : chaque boulon ajouté n'apporte plus que 0,66 boulon efficace.
Attention : Une marge de 2 % est faible pour un assemblage, où les tolérances de perçage et l'humidité du bois introduisent de la dispersion.
Comparaison : Avec 6 boulons par file, la capacité ne serait que de 133,9 kN et le taux de 112 % : insuffisant.

Remarque pédagogique : Faites tracer la capacité en fonction du nombre de boulons par file. La courbe est concave : chaque organe supplémentaire rapporte moins que le précédent. Allonger une file est donc le plus mauvais moyen d'augmenter la capacité d'un assemblage — et c'est pourtant le réflexe naturel, parce que c'est le seul qui ne demande pas de repenser la géométrie.

Seconde solution : trois files de cinq boulons

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'ajouter une file n'est pas pénalisé, contrairement à l'allongement d'une file.

Méthodologie du calcul :

Trois fois le nombre efficace d'une file de 5, déjà calculé.

Substitution : \( 3 \times 3{,}71 = 11{,}13 \) boulons efficaces, pour 15 boulons posés.
Piège évité : La troisième file impose une largeur suffisante des moises. Il faut la vérifier avant de retenir cette solution.
Hypothèse validée : Aucune pénalité entre files : la clause ne vise que l'alignement dans le sens de l'effort.
Vérification croisée : Le rendement est de 11,13/15 = 74 %, identique à celui d'une file de 5 : ajouter une file ne dégrade rien.
Finalité : Chiffrer la solution recommandée.

\[ \begin{aligned} n_{\text{ef,total}} &= 3 \times 3{,}71 = 11{,}13 \\ \text{capacité} &= 11{,}13 \times 15\,315 = \mathbf{170{,}4 \ \text{kN}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

170,4 kN pour 150 demandés : taux de 88 %, avec une vraie marge.

Ordre de grandeur : 15 boulons, soit un de plus que la première solution — pour 12 points de taux gagnés.
Impact sur la suite : La zone d'assemblage ne mesure que 592 mm de long, contre 832 pour la première solution.
Cohérence : Trois files de 5 rendent 11,13 boulons efficaces quand deux files de 7 n'en rendent que 10,04, pour un boulon posé de moins.
Attention : Il faut des moises d'au moins 224 mm de large. Cette condition est à vérifier sur le plan avant de conclure.
Comparaison : Trois files de 4 ne donneraient que 139,4 kN, soit un taux de 108 % : encore insuffisant.

Remarque pédagogique : Faites comparer les deux solutions sur trois critères : nombre de boulons, encombrement, et marge. La première est plus longue de 240 mm pour un boulon de moins et 10 points de marge en moins ; la seconde demande une largeur de moise supérieure. C'est exactement le type d'arbitrage qu'un bureau d'études soumet au projeteur, et il ne se tranche pas dans la feuille de calcul.

RÉSULTAT FINAL

Taux de travail des 10 boulons = 132 % — NON VÉRIFIÉ — solution retenue : 3 files de 5 boulons, soit 15 boulons, taux 88 %

"Une file rompt en chaîne, pas en bloc : dix boulons ne donnent pas dix fois un boulon !"

Question 4 : Disposition conforme et encombrement

Dans la tête de l'ingénieur

"Reste à transformer le calcul en plan de perçage. Le tableau 8.4 donne quatre distances, et deux d'entre elles sont mal lues dans la note que je reprends : l'entraxe parallèle au fil y figure à 7d alors qu'il vaut 5d pour un effort parallèle au fil, et la rive latérale à 4d alors qu'elle vaut 3d. Les deux erreurs sont sécuritaires, et j'aurais pu les laisser passer — sauf que \( a_{1} \) n'est pas seulement une distance : c'est un paramètre de calcul. Je veux savoir jusqu'où on peut jouer dessus avant de renoncer, et la réponse est instructive : le levier existe, mais il sature très vite."

Observation : Trois des quatre distances sont de simples minimums constructifs. Seul \( a_{1} \) entre dans une formule de résistance.
Analyse du risque : Le tableau 8.4 dépend de l'angle entre l'effort et le fil. Toutes les valeurs lues à \( \alpha = 0 \) sont fausses pour un effort incliné.
Choix stratégique : Je chiffre l'impasse avant de recommander : montrer qu'une piste ne mène nulle part vaut mieux que de ne pas l'avoir explorée.
Alternative : Adopter des broches plutôt que des boulons réduirait \( a_{1} \) à 5d également mais \( a_{2} \) à 3d, gagnant 32 mm de largeur par file.
Objectif visé : Sortir avec un plan coté et son encombrement, prêt à être confronté aux dimensions réelles des moises.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Minimums 80 / 64 / 112 / 48 mm · il faudrait \( a_{1} = \) 364 mm pour que 10 boulons suffisent · disposition retenue : 3 files de 5, 592 × 224 mm, taux 88 %

Rappel Théorique : pourquoi des distances minimales

Les distances du tableau 8.4 n'ont rien d'arbitraire : chacune protège d'un mode de ruine fragile que la théorie de Johansen ne couvre pas.

Principe 1 — l'entraxe parallèle protège du fendage : Deux boulons trop proches dans le sens du fil font se rejoindre leurs zones de traction transversale, et le bois se fend le long de la file.
Principe 2 — la rive d'extrémité protège du cisaillement de bout : Un boulon trop près du bout arrache un bloc de bois en cisaillement longitudinal. D'où la valeur la plus sévère du tableau, 7d.
Principe 3 — les distances dépendent de l'angle : L'expression \( (4 + |\cos\alpha|)d \) vaut 5d parallèlement au fil et 4d perpendiculairement. Une lecture sans l'angle n'a pas de sens.
Principe 4 — les boulons exigent plus que les broches : La tolérance de perçage d'un boulon, jusqu'à 1 mm, provoque une mise en charge inégale que les distances doivent compenser.
Principe 5 — seul \( a_{1} \) rapporte de la capacité : Les trois autres distances sont des seuils : les dépasser n'apporte rien. L'entraxe parallèle, lui, figure dans le calcul du nombre efficace.

Équations Fondamentales

Les distances réglementaires, puis la traduction du plan de perçage en encombrement.

Distances minimales pour boulons — EN 1995-1-1 tableau 8.4 :

Quatre distances, toutes exprimées en diamètres.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la théorie de Johansen suppose que la ruine se produit par écrasement du bois et plastification de la tige — jamais par fendage ni par arrachement de bloc. Cette hypothèse n'est valable que si les organes sont assez éloignés les uns des autres et des bords. Les distances minimales sont donc la condition d'application de tout ce qui précède : sans elles, les portances calculées aux questions 1 à 3 n'ont aucune valeur.

Contexte de validité : Boulons. Les broches, les clous et les vis ont chacun leur propre tableau, avec des valeurs plus faibles.
Avantage : Exprimées en diamètres, elles se transposent immédiatement d'un diamètre à l'autre.
Paramètre clé : L'angle \( \alpha \) entre l'effort et le fil. Ici \( \alpha = 0 \), d'où \( |\cos\alpha| = 1 \) et \( a_{1} = 5d \).
Vérification : La rive d'extrémité chargée est toujours la plus sévère des quatre : c'est elle qui protège du mode de ruine le plus brutal.
Limite : Ce sont des minimums, non des valeurs à adopter. Le plan porte des cotes rondes, supérieures et pratiques à percer.

\[ \begin{aligned} \begin{cases} a_{1} = (4 + |\cos\alpha|)\,d \\ a_{2} = 4\,d \\ a_{3,t} = \max(7\,d\ ;\ 80\ \text{mm}) \\ a_{4,c} = 3\,d \end{cases} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : laissez au bois assez de matière autour de chaque tige pour qu'il puisse s'écraser au lieu de se fendre. Le fendage est une ruine fragile, sans déformation annonciatrice ; l'écrasement est ductile et visible. Toute la géométrie du tableau 8.4 sert à forcer le second au détriment du premier.

Décomposition des termes :

\( a_{1} \) : entraxe entre boulons parallèlement au fil, unité : mm
\( a_{2} \) : entraxe entre files, perpendiculairement au fil, unité : mm
\( a_{3,t} \) : distance à l'extrémité chargée de la pièce, unité : mm
\( a_{4,c} \) : distance à la rive latérale non chargée, unité : mm
\( \alpha = 0 \) : effort parallèle au fil, unité : °

Encombrement de la zone d'assemblage :

La traduction du plan de perçage en dimensions de pièce.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un assemblage calculé mais irréalisable ne sert à rien. La longueur de recouvrement conditionne la quantité de bois à prévoir en about de membrure, et la largeur conditionne la section des moises. Beaucoup d'assemblages parfaitement dimensionnés se révèlent impossibles à la mise au plan, parce que personne n'a additionné les entraxes avant de valider le nombre d'organes.

Contexte de validité : Groupe rectangulaire régulier. Les dispositions en quinconce se traitent au cas par cas.
Avantage : Deux additions suffisent pour savoir si l'assemblage tient dans la pièce prévue.
Paramètre clé : Le nombre d'intervalles, égal au nombre de boulons moins un. C'est l'erreur d'indice la plus fréquente.
Vérification : La longueur doit rester compatible avec la longueur de recouvrement disponible entre membrure et moises.
Limite : Elle ne dit rien de la section nette de la pièce, réduite par les perçages, qui se vérifie séparément.

\[ \begin{aligned} \begin{cases} L = a_{3,t} + (m - 1)\,a_{1} \\ B = 2\,a_{4,c} + (p - 1)\,a_{2} \end{cases} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : un assemblage occupe de la place, et cette place doit exister. Chaque boulon ajouté à une file allonge la zone d'un entraxe entier. C'est ce qui rend l'allongement des files si coûteux, et l'ajout d'une file si intéressant tant que la largeur le permet.

Décomposition des termes :

\( L \) : longueur de la zone d'assemblage depuis l'about, unité : mm
\( B \) : largeur minimale des moises, unité : mm
\( m \) : nombre de boulons par file, unité : sans dimension
\( p \) : nombre de files parallèles, unité : sans dimension
\( m - 1 \) et \( p - 1 \) : nombres d'intervalles, à ne pas confondre avec les nombres d'organes, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de croire qu'augmenter les entraxes au-delà du minimum n'apporte rien..."

L'approche d'ingénieur : C'est vrai pour trois distances sur quatre. C'est faux pour l'entraxe parallèle au fil, qui figure dans le calcul du nombre efficace.

L'erreur : Traiter \( a_{1} \) comme un simple minimum constructif. Le porter de 120 à 208 mm augmente pourtant la capacité de l'assemblage de 15 %, à nombre de boulons constant.
La bonne méthode : Retenir l'entraxe réellement porté au plan dans la formule du nombre efficace — jamais la valeur minimale du tableau, sauf si c'est elle qui est adoptée.
L'astuce de pro : Le levier sature : la racine quatrième fait qu'un doublement de l'entraxe ne rapporte que 19 %. Au-delà de 13d, il ne rapporte plus rien.
Le moyen mnémotechnique : « Trois seuils et un paramètre ».
L'impact direct : Ici, exploiter ce levier jusqu'au bout exigerait \( a_{1} = 364 \) mm et un assemblage de plus de 1,50 m : la piste existe, mais elle n'est pas praticable.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( d \) : en mm , toutes les distances en sont des multiples
\( a_{1} \) à \( a_{4,c} \) : en mm
La borne de 80 mm de \( a_{3,t} \) : en mm , valeur absolue et non relative
\( L \) et \( B \) : en mm , sommes de distances
Nombres de files et de boulons : grandeurs entières

Cette question ne comporte aucun risque dimensionnel : tout y est en millimètres. Le seul piège est un piège de comptage : cinq boulons en file font quatre intervalles, et trois files font deux intervalles. L'erreur d'indice ajoute ou retire un entraxe entier, soit plus de 100 mm sur la longueur annoncée — assez pour rendre le plan faux sans que rien ne le signale.

1. Résolution Numérique Les quatre distances minimales

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce sont les conditions d'application de tout ce qui précède.

Méthodologie du calcul :

Lecture du tableau 8.4 pour un effort parallèle au fil, avec \( d = 16 \) mm.

Substitution : \( \alpha = 0 \), donc \( |\cos\alpha| = 1 \) et \( a_{1} = 5d \).
Piège évité : Ne pas prendre \( a_{1} = 7d \) par contamination avec la rive d'extrémité. La note reprise faisait cette confusion.
Hypothèse validée : Les rives latérales sont non chargées, l'effort étant longitudinal : c'est bien \( a_{4,c} = 3d \) qui s'applique.
Vérification croisée : Pour un boulon de 16 mm, la borne de 80 mm de \( a_{3,t} \) n'est pas active : 7d = 112 mm la dépasse.
Finalité : Fixer le cadre géométrique dans lequel la disposition doit s'inscrire.

\[ \begin{aligned} a_{1} &= 5 \times 16 = \mathbf{80} \quad a_{2} = 4 \times 16 = \mathbf{64} \\ a_{3,t} &= 7 \times 16 = \mathbf{112} \quad a_{4,c} = 3 \times 16 = \mathbf{48 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

80 / 64 / 112 / 48 mm. La note reprise annonçait 112 / 64 / 112 / 64.

Ordre de grandeur : La rive d'extrémité chargée est la plus sévère, à 7 diamètres. C'est là que la ruine serait la plus brutale.
Impact sur la suite : L'entraxe de 120 mm envisagé est largement supérieur au minimum de 80 : la disposition est conforme de ce point de vue.
Cohérence : Les deux erreurs de la note reprise sont sécuritaires : elle imposait des distances plus grandes que nécessaire.
Attention : Sécuritaire ne veut pas dire juste. Croire que \( a_{1} \) vaut 7d empêche de comprendre qu'on peut resserrer la file — ou qu'on doit l'écarter.
Comparaison : Pour des broches de même diamètre, \( a_{2} \) tomberait à 3d = 48 mm : 16 mm de gagnés par intervalle de file.

Remarque pédagogique : Faites toujours écrire l'angle avant d'ouvrir le tableau 8.4. La moitié des distances en dépendent, et un étudiant qui recopie « \( a_{1} \ge 7d \) » d'un formulaire ne saura jamais dire d'où sort ce 7. Écrire « \( \alpha = 0 \), donc \( a_{1} = (4+1)d = 5d \) » prend cinq secondes et rend la valeur défendable devant n'importe quel vérificateur.

Entraxe qui rendrait dix boulons suffisants

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'avant d'ajouter des boulons, il faut savoir si le levier de l'entraxe suffirait.

Méthodologie du calcul :

Inversion de la formule du nombre efficace : la racine quatrième devient une puissance quatre.

Substitution : Il faut \( n_{\text{ef}} \ge 150\,000/(2 \times 15\,315) = 4{,}897 \) par file, contre 4,257 pour le seul terme \( 5^{0,9} \).
Piège évité : Vérifier que le résultat reste inférieur à 5 : au-delà, le plafond du minimum rendrait l'équation insoluble.
Hypothèse validée : La disposition reste 2 files de 5 : seul l'entraxe varie.
Vérification croisée : Le rapport à atteindre est \( (4{,}897/4{,}257)^{4} = 1{,}752 \), à multiplier par 208 mm.
Finalité : Établir si cette piste est praticable — et conclure qu'elle ne l'est pas.

\[ \begin{aligned} a_{1} &= 13 \times 16 \times \left(\frac{4{,}897}{4{,}257}\right)^{4} \\ &= 208 \times 1{,}752 = \mathbf{364 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

364 mm d'entraxe, soit 23 diamètres. La piste est théorique.

Ordre de grandeur : Trois fois l'entraxe envisagé, et bien au-delà des 208 mm de saturation de la formule.
Impact sur la suite : La zone d'assemblage mesurerait 1 568 mm de long. Aucune membrure courante n'offre un tel recouvrement.
Cohérence : Le nombre efficace obtenu, 4,897, reste bien inférieur à 5 : la solution mathématique existe, elle est seulement inutilisable.
Cas d'école : Ce calcul illustre la saturation d'une loi en puissance un quart : tripler l'entraxe ne gagne que 32 % de nombre efficace.
Comparaison : Au-delà de 396 mm, le plafond \( n_{\text{ef}} = n \) serait atteint et l'entraxe cesserait totalement d'agir.

Remarque pédagogique : Faites inverser les formules aussi souvent que les appliquer. Un étudiant qui sait seulement calculer \( n_{\text{ef}} \) à partir de \( a_{1} \) subit la norme ; celui qui sait retrouver \( a_{1} \) à partir d'un \( n_{\text{ef}} \) visé la pilote. C'est la différence entre vérifier un assemblage et le concevoir, et elle s'acquiert en manipulant les mêmes formules dans les deux sens.

Encombrement de la disposition retenue

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un assemblage doit tenir dans les pièces prévues.

Méthodologie du calcul :

Somme des entraxes pour 3 files de 5, avec les cotes portées au plan.

Substitution : \( a_{3,t} = 112 \) mm, \( a_{1} = 120 \) mm avec 4 intervalles, \( a_{2} = 64 \) mm avec 2 intervalles, \( a_{4,c} = 48 \) mm de part et d'autre.
Piège évité : Compter quatre intervalles pour cinq boulons, et deux pour trois files. L'erreur d'indice coûterait 120 et 64 mm.
Hypothèse validée : Disposition rectangulaire régulière, symétrique par rapport à l'axe de la membrure.
Vérification croisée : Toutes les cotes retenues dépassent leurs minimums : 120 > 80, 64 = 64, 112 = 112, 48 = 48.
Finalité : Produire les deux dimensions à confronter au plan d'exécution.

\[ \begin{aligned} L &= 112 + 4 \times 120 = \mathbf{592 \ \text{mm}} \\ B &= 2 \times 48 + 2 \times 64 = \mathbf{224 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

592 × 224 mm : une zone d'assemblage de dimensions courantes.

Ordre de grandeur : Près de 60 cm de recouvrement. C'est le prix d'un assemblage à 150 kN par organes de type tige.
Impact sur la suite : Les moises doivent mesurer au moins 224 mm de large. Une section de 40 × 240 mm conviendrait.
Cohérence : La solution à deux files de 7 mesurerait 832 mm de long pour 160 de large : 40 % plus longue, pour un boulon de moins.
Attention : Ces cotes sont des minimums de calcul. Le plan retiendra des valeurs rondes et un peu supérieures, faciles à tracer sur chantier.
Comparaison : La solution théorique à \( a_{1} = 364 \) mm aurait mesuré 1 568 mm : deux fois et demie la longueur retenue.

Remarque pédagogique : Faites terminer toute étude d'assemblage par un croquis coté, même sommaire. C'est là que se révèlent les incohérences : une largeur de moise insuffisante, un recouvrement impossible, un boulon qui tombe dans un about. Le calcul dit combien d'organes ; seul le dessin dit s'ils tiennent, et un bureau d'études qui livre l'un sans l'autre livre un travail incomplet.

Effet d'un entraxe porté à la valeur de saturation

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il mesure ce que rapporte réellement le seul levier gratuit de l'assemblage.

Méthodologie du calcul :

Reprise de la disposition retenue avec \( a_{1} = 13d = 208 \) mm, où le facteur d'espacement vaut exactement 1.

Substitution : Le facteur d'espacement passe de 0,872 à 1, d'où \( n_{\text{ef}} = 5^{0,9} = 4{,}257 \) par file.
Piège évité : Ne pas croire que le nombre efficace atteindrait 5. Le terme en \( n^{0,9} \) subsiste : il retire encore 15 %.
Hypothèse validée : Même nombre de boulons, même disposition en trois files : seul l'espacement longitudinal change.
Vérification croisée : Le gain de capacité vaut \( 1/0{,}872 = 1{,}147 \), soit exactement le rapport 195,6/170,4.
Finalité : Quantifier le compromis entre capacité et encombrement.

\[ \begin{aligned} n_{\text{ef,total}} &= 3 \times 4{,}257 = 12{,}77 \\ \text{capacité} &= 12{,}77 \times 15\,315 = \mathbf{195{,}6 \ \text{kN}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

195,6 kN au lieu de 170,4 : 15 % de capacité en plus, sans un boulon de plus.

Ordre de grandeur : Le taux de travail tomberait de 88 à 77 %. Le gain est réel mais modeste.
Impact sur la suite : La zone passerait de 592 à 944 mm, soit 60 % plus longue pour 15 % de capacité.
Cohérence : Au-delà de 208 mm, le facteur d'espacement serait plafonné : aucun gain supplémentaire.
Attention : L'arbitrage dépend du projet : si le recouvrement est disponible, le gain est gratuit ; s'il ne l'est pas, la question ne se pose pas.
Comparaison : Ajouter une quatrième file apporterait 3,71 boulons efficaces de plus, soit bien davantage — mais exige 64 mm de largeur en plus.

Remarque pédagogique : Faites classer les trois leviers par efficacité : ajouter une file rapporte 3,71 boulons efficaces, allonger les files en rapporte 0,66 par boulon posé, et écarter les boulons jusqu'à saturation en rapporte 1,64 au total. La hiérarchie est nette et contre-intuitive — le réflexe naturel, allonger la file, est le plus mauvais des trois. Une fois vue sur un cas chiffré, elle ne s'oublie plus.

RÉSULTAT FINAL

Disposition retenue = 3 files de 5 boulons — entraxes 120 et 64 mm, pinces 112 et 48 mm, zone de 592 × 224 mm, taux 88 %

"Trois seuils et un paramètre : seul l'entraxe parallèle au fil rapporte de la capacité !"

Disposition retenue — vue en plan cotée

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Schéma bilan — la disposition de boulons finalement retenue

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai commencé par identifier où se trouve l'acier , ce qui désigne le jeu d'équations applicable. J'ai chiffré les trois modes de l'équation (8.11) et retenu le minimum, sans en écarter aucun. J'ai vérifié l'exposant 2,6 en encadrant \( 16^{2,6} \) entre 256 et 4 096. J'ai doublé la portance par plan, l'assemblage travaillant en double cisaillement. J'ai employé \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}3 \) , ligne « assemblages » du tableau 2.3, et non 1,25. J'ai calculé le nombre efficace file par file, sans jamais le supposer égal au nombre réel. J'ai lu le tableau 8.4 en partant de l' angle \( \alpha \), et j'ai terminé par un croquis coté.

Avis technique — l'assemblage à 10 boulons est NON VÉRIFIÉ, avec un taux de travail de 132 %. La disposition retenue compte 15 boulons en 3 files de 5. La portance locale du GL24h vaut 26,52 N/mm² et le moment de plastification d'un boulon de 16 mm en classe 8.8 324 282 N·mm. Les trois modes de l'équation (8.11) donnent 16 972, 16 591 et 26 979 N par plan de cisaillement : c'est le mode (g), à une rotule plastique par plan, qui gouverne. La portance caractéristique d'un boulon s'établit donc à 33 182 N en double cisaillement, et sa résistance de calcul à 15 315 N après application de \( k_{\text{mod}} = 0{,}60 \) et \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}3 \). Dix boulons en deux files de cinq ne valent que 7,42 boulons efficaces et ne portent que 113,6 kN pour 150 demandés. La disposition retenue — 3 files de 5, entraxes 120 et 64 mm, pinces 112 et 48 mm — offre 11,13 boulons efficaces, 170,4 kN de capacité et un taux de 88 %, dans une zone de 592 × 224 mm.

Six défauts dans la note reprise, et un seul qui change la conclusion : la phrase « nous supposerons \( n_{\text{ef}} = n \) » surestime la capacité de 35 % et transforme 132 % en 97 %. Une hypothèse commode qui va contre la sécurité n'est pas une simplification, c'est une omission. La plus-value technique de cette étude tient à ce qu'elle dit lequel des six défauts porte à conséquence, et quel levier de conception rapporte le plus par millimètre de bois.

Traçabilité des valeurs tabulées

Les valeurs de coefficients et les résistances caractéristiques employées dans cet exercice proviennent des tableaux de la NF EN 1995-1-1 et des normes produits associées. Chacune est rattachée ci-dessous à la clause ou au tableau qui la fixe, de sorte qu'un tiers puisse la retrouver et vérifier le calcul sans le refaire. Les valeurs relevant d'un paramètre national sont signalées comme telles : c'est l'annexe nationale du pays du projet qui les arrête. Les coefficients qui ont pu être confirmés sur source — \( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \) et \( \beta_{\text{c}} \) — ne figurent pas dans cette liste.

NF EN 14080 — bois lamellé-collé : les valeurs caractéristiques du GL24h employées ici.

Conception d'un Assemblage Moisé par Boulons

Conception d'un Assemblage Moisé par Boulons

Le premier mois à 1 €

Assemblage moisé bois-acier-bois : le nombre efficace de boulons décide

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Portance caractéristique d'un boulon

Question 2 : Résistance de calcul d'un boulon

Question 3 : Nombre de boulons et nombre efficace

Question 4 (Finale) : Disposition conforme et encombrement

Assemblage moisé bois-acier-bois : le nombre efficace de boulons décide

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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