Cisaillement et Moment d'un Profilé HEA

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Une potence est une console, et une console inverse presque tout ce qu'on croit savoir d'une poutre. Son moment vaut quatre fois celui d'une travée de même portée, sa flèche près de dix fois, ses deux maximums coexistent dans la même section, et sa semelle comprimée est l'inférieure — celle qui ne porte rien. Cet exercice en fait la démonstration, et la conclusion ne surprendra personne : c'est la rigidité qui dimensionne une console, pas la résistance. Le chemin qui y mène est en revanche semé de valeurs de catalogue à recouper, d'une classe de section qui se joue à 2 % près, et d'un remède qu'on énonce volontiers sans le vérifier — et qui ne convient qu'à moitié.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments structurent cette étude. Les deux premiers faussent des chiffres, le troisième une frontière, le dernier une conclusion.

Un module plastique qui est un module élastique : 1 260 cm³ annoncés pour le HEA 300, c'est exactement son \( W_{\text{el}} \). Le facteur de forme vaudrait 1,000 — impossible. La valeur réelle est 1 383.
Une aire de cisaillement surestimée de moitié : 55,0 cm² annoncés contre 37,25 par l'article 6.2.6(3). Le rapport \( A_{\text{v}}/A \) atteindrait 48,9 % quand un HEA se tient entre 30 et 35 %.
Une classe supposée, qui se joue à 2 % : Le HEA 300 en S275 donne \( c_{\text{f}}/t_{\text{f}} = 8{,}48 \) pour une limite de classe 1 à 8,32 : il est de classe 2. Sans conséquence — mais il fallait le voir.
Un remède qui ne convient qu'à moitié : « Un HEA 360 ou un HEA 400 » se propose vite, mais un seul convient. Le HEA 360 échoue à 1,255 ; seul le HEA 400 passe, et de justesse une fois son poids propre réintégré.

Votre Mission :

Vous devez produire la note de vérification de la potence : charges de calcul, efforts à l'encastrement, présélection sur un catalogue recoupé, classification, vérifications de résistance et d'interaction, puis flèche — et le profilé définitif, vérifié plutôt que suggéré.

Le grand défi : Recouper deux valeurs de catalogue par deux rapports connus : le facteur de forme pour le module, le rapport \( A_{\text{v}}/A \) pour l'aire de cisaillement. Deux divisions, deux erreurs détectées.
Votre rôle : Établir les efforts, désigner le profilé sur des valeurs vérifiées, établir la classe au lieu de la supposer, et vérifier chaque candidat avant de le proposer.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Les deux chargements de calcul, avec l'hypothèse de poids propre chiffrée plutôt qu'affirmée — elle pèse jusqu'à un quart de la charge permanente.
Les efforts à l'encastrement, la position de leurs maximums, et le signe du moment avec ce qu'il implique pour la stabilité.
Le module requis et le profilé présélectionné, après recoupement des deux valeurs de catalogue par leurs rapports de contrôle respectifs.
La classe de section établie paroi par paroi, puis les vérifications de flexion, de cisaillement et d'interaction.
La flèche à l'ELS, la mise à l'épreuve des deux profilés suggérés, et le profilé définitif vérifié poids propre compris.

2. Données Techniques & Normes

Toutes les grandeurs de l'étude sont rassemblées ci-dessous. Deux points appellent votre attention. Le poids propre est déclaré inclus dans \( G \) sans que la répartition soit donnée, alors qu'il pèse ici bien plus que sur un plancher. Et la course du chariot n'est pas précisée : le palan est supposé en position extrême, cas le plus défavorable.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Voici les outils de cet exercice, dans l'ordre où vous en aurez besoin. Les deux derniers sont des contrôles plutôt que des formules — et ce sont eux qui rectifient les chiffres.

Combinaison fondamentale à l'ELU \( p_{\text{Ed}} = 1{,}35\,G + 1{,}50\,S \ ; \ F_{\text{Ed}} = 1{,}35\,F_{\text{G}} + 1{,}50\,F_{\text{Q}} \)
Efforts maximaux d'une console, à l'encastrement \( V_{\text{Ed}} = p_{\text{Ed}}L + F_{\text{Ed}} \ ; \ M_{\text{Ed}} = \dfrac{p_{\text{Ed}}L^2}{2} + F_{\text{Ed}}L \)
Module plastique requis par le moment de calcul \( W_{\text{pl},\text{y},\text{req}} \ge \dfrac{M_{\text{Ed}}\,\gamma_{\text{M0}}}{f_{\text{y}}} \)
Moment résistant d'une section de classe 1 ou 2 \( M_{\text{c},\text{Rd}} = \dfrac{W_{\text{pl},\text{y}}\,f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \)
Aire de cisaillement d'un profilé laminé, congés restitués \( A_{\text{v}} = A - 2\,b\,t_{\text{f}} + (t_{\text{w}} + 2r)\,t_{\text{f}} \)
Résistance au cisaillement et seuil d'interaction \( V_{\text{pl},\text{Rd}} = \dfrac{A_{\text{v}}\,f_{\text{y}}}{\sqrt{3}\,\gamma_{\text{M0}}} \ ; \ V_{\text{Ed}} \le 0{,}5\,V_{\text{pl},\text{Rd}} \Rightarrow \text{interaction sans objet} \)
Flèche en bout de console, par superposition \( \delta = \dfrac{p_{\text{ser}}L^4}{8EI_{\text{y}}} + \dfrac{F_{\text{ser}}L^3}{3EI_{\text{y}}} \)
Deux contrôles internes d'un catalogue de profilés \( \dfrac{W_{\text{pl}}}{I_{\text{y}}/(h/2)} \approx 1{,}10 \ ; \ \dfrac{A_{\text{v}}}{A} = 30 \ \text{à} \ 35\ \% \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

GÉOMÉTRIE, CHARGEMENT ET MATÉRIAU

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( L \)	Longueur de la potence, du nu de l'encastrement à l'extrémité libre Énoncé	5,00	\( \text{m} \)
\( G \)	Charge répartie permanente — poids propre supposé inclus Énoncé	5,00	\( \text{kN/m} \)
\( S \)	Charge répartie d'exploitation Énoncé	4,00	\( \text{kN/m} \)
\( F_{\text{G}} \)	Charge ponctuelle permanente en bout — chariot et accessoires Énoncé	10,00	\( \text{kN} \)
\( F_{\text{Q}} \)	Charge ponctuelle d'exploitation en bout — le palan Énoncé	15,00	\( \text{kN} \)
S275	Nuance d'acier de la potence NF EN 10025-2	—	—
\( f_{\text{y}} \)	Limite d'élasticité, semelle de 14 mm du HEA 300 NF EN 10025-2	275	\( \text{MPa} \)
\( E \)	Module d'élasticité, identique pour toutes les nuances NF EN 1993-1-1, art. 3.2.6	210 000	\( \text{MPa} \)
HEA 400	Profilé retenu — le HEA 360, souvent proposé, échoue NF EN 10365	125,0	\( \text{kg}/\text{m} \)
\( \delta_{\text{adm}} \)	Critère de flèche — donnée de l'étude, voir note Énoncé	L / 250	—

Caractéristiques des profilés et repères de contrôle

Modules plastiques reels, NF EN 10365 : \( \text{HEA 300} : \mathbf{1\,383} \ ; \ \text{HEA 400} : \mathbf{2\,562} \ \text{cm}^3 \)
Modules annonces par l'enonce : \( 1\,076 \ \text{et} \ 1\,260 \ \text{cm}^3 \rightarrow \text{FAUX} \)
Aires de cisaillement reelles, art. 6.2.6(3) : \( \text{HEA 300} : \mathbf{37{,}25} \ ; \ \text{HEA 400} : \mathbf{57{,}35} \ \text{cm}^2 \)
Inerties reelles selon l'axe fort : \( \text{HEA 300} : 18\,260 \ ; \ \text{HEA 400} : \mathbf{45\,070} \ \text{cm}^4 \)

COEFFICIENTS PARTIELS ET HYPOTHÈSES

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( \gamma_{\text{G}} \)	Coefficient partiel des actions permanentes défavorables NF EN 1990, art. 6.4.3.2	1,35	—
\( \gamma_{\text{Q}} \)	Coefficient partiel des actions variables défavorables NF EN 1990, art. 6.4.3.2	1,50	—
\( \gamma_{\text{M0}} \)	Coefficient partiel de résistance des sections transversales NF EN 1993-1-1, art. 6.1	1,00	—
\( \varepsilon \)	Coefficient de nuance du S275, \( \sqrt{235/275} \) NF EN 1993-1-1, tableau 5.2	0,924	—
\( \sqrt{3} \)	Facteur du critère de von Mises en cisaillement pur NF EN 1993-1-1, art. 6.2.6	1,732	—
0,5	Seuil d'interaction moment-tranchant, en fraction de \( V_{\text{pl},\text{Rd}} \) NF EN 1993-1-1, art. 6.2.8	0,50	—

Hypothèses de modélisation à ne pas perdre de vue

Modele de calcul retenu pour la potence : \( \text{console ISOSTATIQUE, encastrement parfait} \)
Position du palan sur la potence : \( \text{extremite libre, cas le plus defavorable} \)
Signe du moment a l'encastrement : \( M_{\text{Ed}} \lt 0 \rightarrow \text{semelle INFERIEURE comprimee} \)
Deversement de la potence : \( \text{ecarte par hypothese — a verifier, voir note} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Le tableau ci-dessous confronte les valeurs de catalogue couramment employées aux caractéristiques normalisées de la NF EN 10365, et récapitule les vérifications que l'on omet le plus souvent.

Catalogue HEA et vérifications — valeurs courantes contre recalcul

Grandeur ou profilé	Valeur annoncée · valeur recalculée · verdict
Charges et efforts — questions 1 et 2	\( p_{\text{Ed}} = 12{,}75 \) · \( F_{\text{Ed}} = 36{,}0 \) · \( V_{\text{Ed}} = 99{,}75 \) · \( M_{\text{Ed}} = 339{,}4\ \text{kN}\cdot\text{m} \) — exacts
HEA 300 — module plastique	1 260 annoncés contre 1 383 \( \text{cm}^3 \) — 1 260 est exactement \( I_{\text{y}}/(h/2) \), donc le module élastique
Le contrôle qui le trahit en une division	facteur de forme annoncé 1,000 — un HEA se tient vers 1,098, et un \( W_{\text{pl}} \) est toujours supérieur au \( W_{\text{el}} \)
HEA 300 — aire de cisaillement	55,0 annoncés contre 37,25 \( \text{cm}^2 \) par l'art. 6.2.6(3) — soit 48 % de trop
Le second contrôle	\( A_{\text{v}}/A \) doit valoir 30 à 35 % pour un HEA ; l'annonce en donne 48,9 %, hors plage
Classe du HEA 300 en S275 — supposée, jamais établie	\( c_{\text{f}}/t_{\text{f}} = 8{,}48 \) contre \( 9\varepsilon = 8{,}32 \), donc classe 2 et non 1
Taux de résistance	flexion 0,892 et non 0,979 · cisaillement 0,169 et non 0,114
Interaction moment-tranchant — jamais examinée	les deux maximums coexistent à l'encastrement · 99,75 contre un seuil de 295,7 kN, donc sans objet
Flèche du HEA 300 — la vérification qui décide	\( 18{,}34 + 27{,}16 = \mathbf{45{,}50}\ \text{mm} = L/110 \) contre 20 admissibles, soit 128 % de trop
Les remèdes suggérés, mis à l'épreuve	HEA 360 : 1,255 — refusé · HEA 400 : 0,922, puis 0,972 poids propre compris · son \( I_{\text{y}} \) annoncé, 51 580, dépasse de 14 % les 45 070 réels

Quatre réserves à connaître avant de calculer

Le module plastique de catalogue peut n'être que le module élastique. La valeur de 1 260 cm³ circule pour le HEA 300 ; or \( W_{\text{el}} = I_{\text{y}}/(h/2) = 18\,260/14{,}5 = 1\,259{,}3\ \text{cm}^3 \). Le facteur de forme qui en découlerait vaudrait donc 1,000, ce qui reviendrait à dire qu'une section entièrement plastifiée ne résiste pas mieux qu'une section dont seule la fibre extrême a cédé. C'est mécaniquement impossible : un HEA se tient vers 1,098. La valeur réelle est 1 383 cm³. Le HEA 280 est dans le même cas, plus discrètement — 1 076 de catalogue contre 1 112 normalisés.

L'aire de cisaillement se surestime facilement de moitié. On lit volontiers 55,0 cm² pour le HEA 300 quand l'article 6.2.6(3) en donne 37,25. Le contrôle est immédiat : le rapport \( A_{\text{v}}/A \) doit tomber entre 30 et 35 % pour un profilé HEA, et cette valeur en donnerait 48,9 %. Les deux erreurs vont en sens opposés, et cela compte : un module sous-estimé fait rejeter des profilés qui conviennent — sans danger — tandis qu'une aire surestimée fait valider une résistance qui n'existe pas. Ici le taux de cisaillement reste à 0,17 et l'erreur est sans portée ; sur un corbeau court, elle validerait une âme insuffisante.

La classe se suppose souvent, et elle se joue ici à 2 %. « On suppose que le profilé est de classe 1, 2 ou 3, ce qui est le cas des HEA courants » : l'affirmation est commode. Calculée, la semelle du HEA 300 en S275 donne \( c_{\text{f}}/t_{\text{f}} = 8{,}48 \) pour une limite de classe 1 à \( 9\varepsilon = 8{,}32 \) : la section est de classe 2. Sans conséquence sur la résistance — les classes 1 et 2 emploient toutes deux \( W_{\text{pl}} \) — mais le même profilé serait de classe 1 en S235 et de classe 3 en S460, où le module plastique deviendrait inutilisable.

Le remède qui vient à l'esprit ne convient qu'à moitié. Une fois établi que la rigidité gouverne, on suggère volontiers « un HEA 360 ou un HEA 400 » sans vérifier ni l'un ni l'autre. L'inertie requise vaut \( 18\,260 \times 2{,}275 = 41\,542\ \text{cm}^4 \) : le HEA 360 n'en offre que 33 090 et donne un taux de flèche de 1,255 — il est refusé. Seul le HEA 400 passe, à 0,922, et retombe à 0,972 une fois son propre poids propre réintégré. Une valeur de 51 580 cm⁴ circule également pour l'inertie du HEA 400 : elle dépasse de 14 % les 45 070 normalisés, et fausserait toute vérification de flèche menée sur elle.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche suit la chaîne complète du dimensionnement d'une console. La troisième question est celle où le catalogue trahit et où la classe se joue ; la quatrième est celle qui décide — car sur un porte-à-faux, c'est la rigidité qui gouverne.

Question 1 : Charges de calcul à l'état-limite ultime

Eurocode 0 — actions 25 min | Accessible

But de l'étape : Établir les deux chargements majorés, en chiffrant l'hypothèse de poids propre que l'on se contente d'ordinaire d'affirmer.

Énoncé Q1 : Appliquer la combinaison fondamentale aux charges réparties puis aux charges ponctuelles. Chiffrer ensuite ce que pèse le profilé lui-même et juger si l'affirmation courante — poids propre « supposé inclus » dans \( G \) — tient.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le coefficient dépend de la nature de la charge, pas de sa forme. Une charge ponctuelle permanente reçoit 1,35 exactement comme une charge répartie permanente.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Sur une potence, où \( G \) est faible et le profilé lourd, le poids propre peut atteindre un quart de la charge permanente — bien plus que sur un plancher, où la dalle domine.

Question 2 : Efforts maximaux à l'encastrement

Statique — efforts internes 25 min | Accessible

But de l'étape : Établir les deux efforts, mesurer la part de chaque charge, et lire le signe du moment.

Énoncé Q2 : Calculer l'effort tranchant et le moment maximaux en superposant les deux chargements. Noter précisément où chacun est maximal, puis déduire du signe du moment quelle semelle est comprimée.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Sur une console, les deux diagrammes sont monotones : inutile de chercher un extremum intermédiaire, le maximum est nécessairement à l'encastrement.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Comptez les inconnues de liaison et les équations d'équilibre avant d'accepter le qualificatif d'« hyperstatique » que l'on applique volontiers à une console. Un encastrement apporte trois inconnues, l'équilibre fournit trois équations.

Question 3 : Catalogue, classe de section et vérifications de résistance

Eurocode 3 — sections 40 min | Intermédiaire

But de l'étape : Désigner le profilé sur des valeurs recoupées, établir la classe, et mener les trois vérifications de la section d'encastrement.

Énoncé Q3 : Calculer le module requis, puis recouper les deux valeurs de catalogue — module plastique et aire de cisaillement — par leurs rapports de contrôle respectifs. Établir la classe paroi par paroi, puis vérifier la flexion, le cisaillement et leur interaction.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Un module plastique est toujours supérieur au module élastique. Divisez l'un par l'autre : un HEA se tient vers 1,10, et une valeur de 1,000 signifie qu'on vous a donné le mauvais module.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La limite de classe 1 pour une semelle en console est \( 9\varepsilon \), celle de classe 2 \( 10\varepsilon \). En S275, \( \varepsilon = 0{,}924 \) : les deux valent 8,32 et 9,24.

Question 4 (Finale) : Flèche à l'ELS et profilé définitif

Eurocode 3 — ELS 35 min | BOSS

But de l'étape : Trouver le critère qui gouverne réellement, et vérifier chaque profilé de remplacement au lieu de le suggérer.

Énoncé Q4 : Calculer la flèche en bout sous charges de service et conclure sur le HEA 300. Mettre ensuite à l'épreuve les deux profilés que l'on propose d'ordinaire en remède, puis vérifier le profilé définitif poids propre compris.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La flèche varie en \( 1/I_{\text{y}} \). Calculez l'inertie requise une fois pour toutes, et le catalogue se lit alors d'un trait — comme pour le module plastique à l'ELU.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La formule suppose un encastrement parfaitement rigide. Aucune liaison réelle ne l'est : gardez cette réserve à l'esprit au moment de juger une marge de quelques pourcents.

NOTE DE CALCULS

Potence en console — cisaillement, moment et flèche d'un profilé HEA

Question 1 : Charges de calcul à l'état-limite ultime

Dans la tête de l'ingénieur

"La combinaison ne pose aucune difficulté : deux charges réparties, deux charges ponctuelles, un coefficient chacune. Ce qui mérite l'arrêt, c'est le statut du poids propre. On le déclare volontiers « supposé inclus dans la charge répartie permanente », sans jamais le chiffrer ni refermer la boucle. Or un HEA de cette taille pèse lourd : le HEA 300 représente 17 % des cinq kilonewtons par mètre annoncés, et le HEA 400 qui sera finalement retenu en représente près du quart. Sur un profilé aussi massif, l'hypothèse n'a plus rien d'anodin."

Observation : Quatre charges à combiner. La part variable est élevée : 44 % du chargement réparti et 60 % du chargement ponctuel.
Analyse du risque : Un poids propre « supposé inclus » sans chiffre est une hypothèse invérifiable. Sur un HEA 400, il pèse 1,23 kN/m — le quart de la charge permanente annoncée.
Choix stratégique : Chiffrer ce que pèse chaque candidat plausible, le rapporter à \( G \), et refermer la boucle en question 4 une fois le profilé désigné.
Alternative : On pourrait ajouter le poids propre à \( G \) plutôt que l'y supposer inclus. Il faudrait alors itérer, puisqu'il dépend du profilé — mais la note serait plus lisible.
Objectif visé : Disposer des deux chargements majorés, en sachant précisément ce qu'ils contiennent et ce qui reste à vérifier.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( p_{\text{Ed}} = 12{,}75\ \text{kN/m} \) et \( F_{\text{Ed}} = 36{,}0\ \text{kN} \)

Rappel Théorique : Combiner des charges de formes différentes

Deux distinctions se croisent, et il ne faut pas les confondre. La première oppose permanent et variable : elle décide du coefficient. La seconde oppose réparti et ponctuel : elle décide de la formule d'effort.

Le coefficient dépend de la nature, pas de la forme : \( 1{,}35 \) pour tout ce qui est permanent, \( 1{,}50 \) pour tout ce qui est variable — que la charge soit répartie sur la potence ou concentrée en son extrémité.
Chaque forme se majore séparément : On obtient deux chargements de calcul, l'un en \( \text{kN/m} \) et l'autre en \( \text{kN} \). Ils ne s'additionnent jamais directement.
Le poids propre est une action permanente : Il se déduit de la masse linéique du catalogue. Sur un profilé lourd, il peut représenter le quart de la charge permanente d'une potence.
Une charge en bout coûte plus que son intensité : Elle agit avec le bras de levier maximal. Le palan ne pèse ici que 36 % du chargement, mais il produira 53 % du moment et 60 % de la flèche.
La combinaison de service s'obtient sans coefficient : \( p_{\text{ser}} = G + S \) et \( F_{\text{ser}} = F_{\text{G}} + F_{\text{Q}} \). Elle servira à la vérification de flèche, qui gouvernera ici le dimensionnement.

Équations Fondamentales

Une seule relation, appliquée deux fois — une fois aux charges réparties, une fois aux charges ponctuelles.

Combinaison fondamentale à l'état-limite ultime :

Elle transforme des charges de service en charges de calcul.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les actions ne sont pas connues avec la même précision. Le poids d'une structure se calcule à quelques pourcents près ; la charge que soulèvera un palan un jour donné ne se prévoit qu'en distribution.

Contexte de validité : Les deux actions variables — charge répartie et palan — sont traitées comme simultanées et affectées du même coefficient. C'est le choix retenu pour l'étude, et il est conservatif.
Avantage : Le format est additif : la contribution de chaque action reste lisible dans le résultat, ce qui permet de voir immédiatement laquelle gouverne.
Paramètre clé : L'écart entre 1,35 et 1,50, qui traduit une différence de dispersion et non de gravité. Les deux actions sont également défavorables.
Vérification : Le rapport \( p_{\text{Ed}}/p_{\text{ser}} \) doit tomber entre 1,35 et 1,50. Ici \( 12{,}75/9{,}00 = \mathbf{1{,}417} \) : cohérent avec une part variable de 44 %.
Limite : Cette combinaison ne sert qu'à l'ELU de résistance. La flèche de la question 4 — qui gouvernera — exigera des charges de service, sans aucun coefficient.

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} = \gamma_{\text{G}}\,G + \gamma_{\text{Q}}\,S \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'expression ne décrit aucun phénomène mécanique : c'est une convention de sécurité, construite pour que la probabilité de ruine reste sous un seuil convenu. Ce qu'elle traduit vraiment, c'est une hiérarchie de l'ignorance. Une charge permanente se pèse : on connaît la section du profilé, la masse volumique de l'acier, le poids des équipements fixés, et l'écart entre le calcul et la réalité dépasse rarement quelques pourcents. Une charge de palan ne se pèse pas, elle se parie : la valeur caractéristique n'est qu'un fractile élevé de ce qu'un opérateur soulèvera réellement, et rien n'interdit à quelqu'un d'accrocher davantage un jour de presse. Majorer plus fortement ce que l'on connaît le moins bien est la seule idée derrière ces deux nombres — et sur une potence industrielle, où l'usage réel s'écarte souvent de l'usage prévu, elle est particulièrement justifiée.

Décomposition des termes :

\( p_{\text{Ed}} \) : charge répartie de calcul à l'état-limite ultime, unité : \( \text{kN/m} \)
\( G, S \) : charges réparties permanente et d'exploitation, poids propre supposé inclus, unité : \( \text{kN/m} \)
\( F_{\text{G}}, F_{\text{Q}} \) : charges ponctuelles permanente et d'exploitation en bout de potence, unité : \( \text{kN} \)
\( \gamma_{\text{G}}, \gamma_{\text{Q}} \) : coefficients partiels des actions permanentes et variables défavorables, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Le poids propre est supposé inclus dans G, on n'a donc pas à s'en occuper…"

L'approche d'ingénieur : L'affirmation se rencontre partout, et jamais accompagnée du moindre chiffre. L'hypothèse est peut-être vraie — mais sur un profilé de 125 kg au mètre, elle mérite d'être vérifiée plutôt que crue.

L'erreur : Accepter une hypothèse de poids propre sans la chiffrer. Le HEA 400 finalement retenu pèse 1,23 kN/m, soit 24,5 % des 5,0 kN/m de charge permanente annoncés.
La bonne méthode : Chiffrer le poids de chaque candidat, le rapporter à \( G \), et refermer la boucle une fois le profilé désigné. Une seule itération suffit.
L'astuce de pro : Sur une potence industrielle, où \( G \) est faible et le profilé lourd, le poids propre peut atteindre 20 à 30 % du permanent — bien plus que sur un plancher, où la dalle domine.
Le moyen mnémotechnique : « On suppose au début, on vérifie à la fin. » Une note de calcul qui ne referme pas ses hypothèses n'est pas terminée.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Charges réparties : en \( \text{kN/m} \) tout au long du calcul, ce qui donnera des moments en \( \text{kN}\cdot\text{m} \) avec une portée en mètres.
Charges ponctuelles : en \( \text{kN} \), à ne jamais additionner aux précédentes — les deux grandeurs n'ont pas la même dimension.
Masse linéique : le catalogue la donne en \( \text{kg/m} \), convertie en \( \text{kN/m} \) par \( g = 9{,}81\ \text{m}/\text{s}^2 \) puis division par 1 000.
Coefficients partiels : sans dimension — ils ne changent jamais l'unité de ce qu'ils majorent.
Repère de contrôle : le rapport \( p_{\text{Ed}}/p_{\text{ser}} \) est sans dimension et doit toujours tomber entre 1,35 et 1,50.

Trois étapes : les deux chargements de calcul, puis le chiffrage du poids propre — celui que l'on écarte d'ordinaire, et qu'il faudra reprendre en question 4.

1. Résolution Numérique Chargement uniformément réparti de calcul

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la charge qui produit près de la moitié du moment à l'encastrement, et qu'elle est la plus simple à établir.

Méthodologie du calcul :

On applique la combinaison fondamentale aux deux charges réparties, chacune affectée du coefficient correspondant à sa nature.

Substitution : \( G = 5{,}0\ \text{kN/m} \) affecté de 1,35 et \( S = 4{,}0\ \text{kN/m} \) affecté de 1,50.
Piège évité : Intervertir les deux coefficients. Le 1,50 va toujours au variable ; l'inversion donnerait 12,15 au lieu de 12,75, soit une sous-estimation de 4,7 %.
Hypothèse validée : La charge d'exploitation est bien défavorable : elle s'ajoute au permanent et augmente le moment. Un cas favorable exigerait \( \gamma_{\text{Q}} = 0 \).
Vérification croisée : Somme de contrôle : \( 6{,}75 + 6{,}00 = 12{,}75 \). Les deux contributions sont presque égales, ce qui est rare et tient à la part variable élevée.
Finalité : Disposer du chargement réparti qui alimentera le terme en \( p_{\text{Ed}}L^2/2 \) du moment.

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= 1{,}35 \times 5{,}00 + 1{,}50 \times 4{,}00 \\ &= 6{,}75 + 6{,}00 \\ &= \mathbf{12{,}75} \ \text{kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La charge répartie de calcul s'établit à 12,75 kN/m. Les deux contributions sont presque égales — 6,75 et 6,00 — ce qui reflète une part variable inhabituellement élevée pour une charge permanente.

Ordre de grandeur : 12,75 kN/m sur une potence de 5 m représente environ 6,5 tonnes de charge répartie majorée. C'est un équipement industriel sérieux.
Impact sur la suite : Elle fournira 159,4 kN·m sur les 339,4 du moment total, soit 47 %. Le palan en fournira davantage.
Cohérence : La combinaison majore la charge de service de 41,7 % — un rapport toujours compris entre 1,35 et 1,50. Ici 1,417 : cohérent avec la part du variable.
Attention : Cette valeur suppose le poids propre déjà contenu dans les 5,0 kN/m de \( G \). L'hypothèse sera vérifiée à la troisième étape de cette question.
Comparaison : Le rapport à la charge de service vaut 1,417, au milieu de l'intervalle 1,35–1,50. Sur un plancher béton, il descendrait vers 1,39 ; sur une charpente légère, il monterait vers 1,47.

Remarque pédagogique : La part variable de cette potence — 44 % du chargement réparti — mérite d'être relevée, car elle distingue cet ouvrage d'un plancher courant. Sur un plancher béton, le permanent domine largement : la dalle pèse deux fois l'exploitation, et le rapport \( p_{\text{Ed}}/p_{\text{ser}} \) tend vers 1,35. Sur une potence industrielle, la structure est légère et l'usage lourd : les deux parts s'équilibrent, et le rapport remonte. La conséquence pratique est que le dimensionnement d'une potence est plus sensible aux hypothèses d'usage qu'aux hypothèses de poids. Une charge de palan sous-estimée de 20 % coûte plus cher qu'une erreur équivalente sur le poids propre — ce qui n'excuse pas d'ignorer le second, comme nous allons le voir.

Charge concentrée de calcul en extrémité de potence

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une charge en bout de console agit avec le bras de levier maximal, et que son effet est sans commune mesure avec son intensité.

Méthodologie du calcul :

On applique la même combinaison aux deux charges ponctuelles, en gardant à l'esprit qu'elles s'expriment en kilonewtons et non en kilonewtons par mètre.

Substitution : \( F_{\text{G}} = 10{,}0\ \text{kN} \) affecté de 1,35 et \( F_{\text{Q}} = 15{,}0\ \text{kN} \) affecté de 1,50.
Piège évité : Additionner cette charge à la précédente. Une charge en \( \text{kN} \) et une charge en \( \text{kN/m} \) n'ont pas la même dimension et entrent séparément dans les formules d'effort.
Hypothèse validée : Le palan est supposé en position extrême, à l'extrémité libre. C'est la configuration la plus défavorable, et c'est celle qu'il faut retenir.
Vérification croisée : Somme de contrôle : \( 13{,}50 + 22{,}50 = 36{,}00 \). La part variable domine — 62,5 % du total — puisque le palan lève une fois et demie son propre poids.
Finalité : Disposer de la charge concentrée qui alimentera le terme en \( F_{\text{Ed}}L \) du moment.

\[ \begin{aligned} F_{\text{Ed}} &= 1{,}35 \times 10{,}00 + 1{,}50 \times 15{,}00 \\ &= 13{,}50 + 22{,}50 \\ &= \mathbf{36{,}00} \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La charge ponctuelle de calcul atteint 36,00 kN. Rapportée à la charge répartie intégrée sur la potence — 63,75 kN —, elle ne représente que 36 % du chargement total, et pourtant elle produira davantage de moment.

Ordre de grandeur : 36 kN, soit près de 3,7 tonnes majorées. Un palan de deux tonnes nominales avec son chariot et ses accessoires donne bien cet ordre de grandeur.
Impact sur la suite : Elle fournira 180 kN·m sur les 339,4 du moment, soit 53 % — davantage que la charge répartie, alors qu'elle pèse presque deux fois moins.
Cohérence : Le palan pèse 24 kN à vide et de service ; majoré de 1,50, il en donne 36,0. Le rapport se lit d'un coup d'œil, sans calculatrice — c'est le meilleur des contrôles.
Attention : Sur la flèche, la disproportion sera plus marquée encore : cette charge produira 60 % de la déformation en bout. Nous le verrons en question 4.
Comparaison : Le même palan placé à mi-portée ne produirait que 90 kN·m au lieu de 180. Sur une console, la position d'une charge compte autant que son intensité.

Remarque pédagogique : La disproportion entre le poids d'une charge et son effet est la signature de la console, et elle se mesure plutôt qu'elle ne se devine. Le palan représente ici 36 % du chargement, 53 % du moment et — nous le verrons — 60 % de la flèche. Trois pourcentages croissants pour une même charge, parce que chaque grandeur pèse le bras de levier différemment : l'effort tranchant l'ignore complètement, le moment le compte une fois, la flèche le compte davantage encore. La leçon pratique est qu'on ne néglige jamais une charge de bout de console sur la foi de son intensité, et qu'on ne l'accepte jamais sans savoir précisément où elle peut aller. Sur une potence, c'est même la question centrale : la course du chariot fixe le bras de levier maximal, et donc tout le dimensionnement.

L'hypothèse de poids propre, enfin chiffrée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un HEA de cette taille pèse lourd, et parce qu'on se contente trop souvent d'affirmer que ce poids est « supposé inclus » dans la charge permanente.

Méthodologie du calcul :

On chiffre le poids linéique des profilés plausibles et on le rapporte à la charge permanente annoncée, pour juger si l'affirmation tient.

Substitution : HEA 300 : 88,3 kg/m ; HEA 400 : 125,0 kg/m, selon la NF EN 10365. Ce sont les deux candidats plausibles.
Piège évité : Confondre masse et poids. Il faut multiplier par \( g = 9{,}81\ \text{m}/\text{s}^2 \), faute de quoi le poids propre est sous-estimé d'un facteur dix.
Hypothèse validée : Ce poids s'ajoute directement à la charge répartie permanente : c'est une charge linéique par nature, portée par la potence elle-même.
Vérification croisée : La charge permanente annoncée vaut 5,0 kN/m. Elle doit couvrir à la fois le profilé et les équipements fixes — rail, chemin de câbles, protections.
Finalité : Mesurer d'avance ce que l'omission représente, et retenir le contrôle à refermer en question 4.

\[ \begin{aligned} g_{\text{pp}}\,(\text{HEA 300}) &= \frac{88{,}3 \times 9{,}81}{1\,000} = 0{,}866 \ \text{kN/m} \ \Rightarrow \ 17{,}3 \ \% \ \text{de} \ G \\ &\quad g_{\text{pp}}\,(\text{HEA 400}) = \frac{125{,}0 \times 9{,}81}{1\,000} = \mathbf{1{,}226} \ \text{kN/m} \ \Rightarrow \ \mathbf{24{,}5} \ \% \ \text{de} \ G \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le profilé pèse à lui seul 17 à 25 % de la charge permanente annoncée, selon le candidat. L'hypothèse d'un poids propre déjà inclus reste tenable — mais elle ne laisse que 3,8 kN/m pour tout le reste.

Ordre de grandeur : Sur une potence, le profilé pèse bien davantage qu'il ne le ferait sur un plancher, où la dalle domine. Ici il représente le quart du permanent, contre 3 à 5 % sur une solive.
Impact sur la suite : Avec le HEA 400, les 1,23 kN/m de poids propre laissent 3,77 kN/m pour le rail, les protections et les équipements. C'est plausible, mais serré.
Cohérence : Dire que le poids propre est « supposé inclus dans G » n'a de sens que si l'on vérifie ensuite que son poids réel est bien couvert. C'est cette seconde moitié de la phrase qui se perd le plus souvent.
Attention : La flèche sera le critère gouvernant, et elle est directement proportionnelle à la charge. Une charge permanente sous-estimée s'y traduit immédiatement.
Comparaison : En réintégrant explicitement son propre poids propre, le HEA 400 passera d'un taux de flèche de 0,922 à 0,972. La marge fond de moitié.

Remarque pédagogique : Le poids propre pose un problème logique qu'on ne rencontre nulle part ailleurs en dimensionnement : c'est la seule charge qui dépend du résultat du calcul. Toutes les autres sont des données du problème, connues avant d'ouvrir un catalogue ; celle-ci ne l'est qu'après. La sortie de cette circularité est l'itération — on suppose, on calcule, on vérifie, on recommence si l'écart est trop grand. Sur un plancher, une seule boucle suffit toujours, parce que le profilé pèse peu devant la dalle. Sur une potence, c'est moins évident : le profilé y représente le quart du permanent, et passer d'un HEA 300 à un HEA 400 ajoute 0,36 kN/m, soit 7 % de \( G \). L'itération reste convergente, mais elle n'est plus une formalité — et c'est précisément le genre d'ouvrage où l'omettre finit par se voir.

RÉSULTAT FINAL

\( p_{\text{Ed}} \ ; \ F_{\text{Ed}} \) = 12,75 ; 36,0 kN/m et kN

"Le poids propre du profilé pèse jusqu'à 24,5 % de G : l'hypothèse tient, mais elle restait à chiffrer."

Question 2 : Efforts maximaux à l'encastrement

Dans la tête de l'ingénieur

"Les deux formules sont connues et leur application ne pose aucune difficulté. Ce qui mérite l'arrêt tient en deux mots qu'on emploie souvent sans en tirer parti. Le premier est hyperstatique : on présente volontiers une console comme « une structure hyperstatique simple », alors qu'elle est isostatique — et c'est précisément ce qui la rend sans redondance. Le second est plus fécond : le moment et l'effort tranchant sont maximaux au même endroit, constat que l'on énonce sans jamais en tirer l'examen d'interaction qu'il appelle."

Observation : Le moment atteint 339,4 kN·m et l'effort tranchant 99,75 kN, tous deux à l'encastrement. Aucune autre section n'est plus sollicitée, ni en flexion ni en cisaillement.
Analyse du risque : Le risque n'est pas dans le calcul, qui ne présente aucun piège, mais dans ce qu'on n'en tire pas : vérifier l'effort tranchant seul ne dispense pas d'examiner son interaction avec le moment.
Choix stratégique : Établir les deux efforts, mesurer la part de chaque charge, et noter explicitement que les deux maximums coexistent — ce qui appelle un examen d'interaction.
Alternative : On pourrait chercher la section la plus défavorable par balayage. C'est inutile : sur une console chargée dans un seul sens, les deux diagrammes sont monotones.
Objectif visé : Disposer de \( M_{\text{Ed}} \) et \( V_{\text{Ed}} \), et du signe du moment — qui décidera quelle semelle est comprimée.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( M_{\text{Ed}} = -339{,}4\ \text{kN}\cdot\text{m} \) et \( V_{\text{Ed}} = 99{,}75\ \text{kN} \), tous deux à l'encastrement

Rappel Théorique : Les efforts internes d'une console

La console est le schéma statique le plus simple qui soit : isostatique, un seul appui, aucune redondance. Cette simplicité a un revers — rien ne peut se redistribuer, et la totalité des efforts converge vers une seule section.

Une console est isostatique, pas hyperstatique : Trois inconnues de liaison à l'encastrement, trois équations d'équilibre. Les efforts se calculent par la statique seule, sans recourir à la raideur de la poutre.
Les efforts croissent de l'extrémité vers l'encastrement : Nuls en bout pour le moment, égaux à la charge ponctuelle pour le tranchant, ils culminent tous deux à l'appui. Aucun extremum intermédiaire n'existe.
Le moment se superpose, contribution par contribution : \( pL^2/2 \) pour la charge répartie — dont la résultante agit à mi-portée — et \( FL \) pour la charge en bout, avec le bras de levier maximal.
Le moment est négatif, et ce signe engage la stabilité : La console tend sa fibre supérieure et comprime l'inférieure. C'est l'inverse d'une poutre sur appuis, et cela décide de quelle semelle il faudrait maintenir.
Les deux maximums coexistent : Contrairement à une poutre sur appuis — où le tranchant s'annule là où le moment culmine —, la console les réunit dans la même section. L'article 6.2.8 prend alors tout son sens.

Équations Fondamentales

Deux relations de statique élémentaire, obtenues en écrivant l'équilibre du tronçon situé à droite d'une coupure.

Efforts maximaux d'une console à l'encastrement :

Ils donnent les deux sollicitations de la section déterminante.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la totalité des charges appliquées doit être équilibrée par une seule liaison. Il n'y a pas de second appui pour partager, ni de continuité pour redistribuer.

Contexte de validité : Console isostatique parfaitement encastrée, chargée vers le bas. La rigidité réelle de l'encastrement ne change rien aux efforts — seulement à la flèche.
Avantage : Elles sont indépendantes de la raideur de la poutre. Changer de profilé ne modifie pas les efforts, ce qui simplifie considérablement l'itération de dimensionnement.
Paramètre clé : La portée, au carré pour la charge répartie et à la puissance un pour la charge en bout. C'est le paramètre le plus influent du problème.
Vérification : Le rapport au moment d'une poutre sur appuis de même portée et même charge vaut 4. Une console encaisse quatre fois le moment d'une travée équivalente.
Limite : Le moment obtenu est négatif. Sa valeur absolue suffit pour la résistance, mais le signe est indispensable au raisonnement de stabilité.

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} = p_{\text{Ed}}\,L + F_{\text{Ed}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Les deux expressions ne sont que la somme des forces et la somme de leurs moments, prises par rapport à l'encastrement. La charge répartie équivaut à une résultante \( p_{\text{Ed}}L \) agissant au milieu de la potence, d'où un bras de levier de \( L/2 \) ; la charge du palan agit en bout, avec le bras maximal \( L \). Ce qui rend la console si exigeante, c'est qu'aucune de ces contributions ne peut être partagée. Sur une poutre sur deux appuis, chaque charge se répartit entre les deux réactions et les moments de part et d'autre se compensent partiellement ; ici, il n'y a rien en face. Il faut y ajouter un second handicap, moins visible : la console est isostatique, donc dépourvue de toute redondance. Une travée continue qui plastifie sur appui redistribue son moment vers la travée voisine ; une console qui plastifie à l'encastrement n'a rien vers quoi redistribuer — elle tombe.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{Ed}} \) : moment fléchissant de calcul à l'encastrement, négatif par convention, unité : \( \text{kN}\cdot\text{m} \)
\( V_{\text{Ed}} \) : effort tranchant de calcul à l'encastrement, somme de toutes les charges, unité : \( \text{kN} \)
\( p_{\text{Ed}} \) : charge répartie de calcul établie en question 1, unité : \( \text{kN/m} \)
\( F_{\text{Ed}} \) : charge ponctuelle de calcul appliquée en extrémité de potence, unité : \( \text{kN} \)
\( L \) : longueur de la console, du nu de l'encastrement à l'extrémité libre, unité : \( \text{m} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Une console est une structure hyperstatique simple…"

L'approche d'ingénieur : L'affirmation est courante, et c'est exactement l'inverse. La confusion n'a pas de conséquence sur les chiffres — les formules restent les mêmes — mais elle masque ce qui fait la fragilité de ce schéma statique.

L'erreur : Qualifier la console d'hyperstatique. Elle est isostatique : trois inconnues de liaison, trois équations d'équilibre, et les efforts se calculent sans connaître la raideur.
La bonne méthode : Compter les inconnues de liaison et les comparer aux équations disponibles. Un encastrement en apporte trois dans le plan ; l'équilibre en fournit trois. Degré d'hyperstaticité : zéro.
L'astuce de pro : Ce n'est pas qu'une querelle de mots. Une structure isostatique n'a aucune redondance : la ruine d'une section entraîne celle de l'ouvrage. Une structure hyperstatique redistribue et prévient.
Le moyen mnémotechnique : « Un seul appui, aucun secours. » La console est le schéma le plus simple à calculer et le moins tolérant à l'erreur.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Charge répartie en \( \text{kN/m} \) et portée en \( \text{m} \) : le moment sort directement en \( \text{kN}\cdot\text{m} \), sans conversion.
Charge ponctuelle en \( \text{kN} \) multipliée par une portée en mètres : même unité de moment, les deux termes sont bien additionnables.
Effort tranchant : en \( \text{kN} \), somme d'une résultante et d'une force — homogène par construction.
Pour la suite : \( 1\ \text{kN}\cdot\text{m} = \mathbf{10^6\ \text{N}\cdot\text{mm}} \), conversion indispensable dès qu'on divisera par une limite d'élasticité en MPa.
Signe : le moment est négatif, mais la vérification de résistance porte sur sa valeur absolue — le signe sert au raisonnement de stabilité.

Trois étapes : l'effort tranchant, le moment fléchissant décomposé contribution par contribution, puis la lecture des diagrammes — qui prépare deux vérifications que l'on omet le plus souvent.

1. Résolution Numérique Somme des charges transitant par la section d'encastrement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur la plus simple du problème, et parce qu'elle vaut exactement la totalité de ce qui pèse sur la potence.

Méthodologie du calcul :

On additionne la résultante de la charge répartie et la charge ponctuelle, l'ensemble devant transiter par la section d'appui.

Substitution : Résultante répartie \( 12{,}75 \times 5{,}00 = 63{,}75\ \text{kN} \), plus la charge du palan de 36,00 kN.
Piège évité : Diviser par deux. Sur une poutre sur appuis, chaque appui reprend la moitié de la charge ; sur une console, l'unique appui reprend tout.
Hypothèse validée : Toutes les charges sont verticales descendantes, donc elles s'additionnent sans composition vectorielle.
Vérification croisée : Par équilibre global, \( V_{\text{Ed}} \) doit égaler la réaction verticale du mur. Les deux calculs donnent bien 99,75 kN.
Finalité : Disposer de l'effort à confronter à la résistance au cisaillement, et du terme qui entrera dans l'examen d'interaction.

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} &= 12{,}75 \times 5{,}00 + 36{,}00 \\ &= 63{,}75 + 36{,}00 \\ &= \mathbf{99{,}75} \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'effort tranchant atteint 99,75 kN à l'encastrement. Il s'agit, tout simplement, de la totalité des charges appliquées sur la potence — près de dix tonnes majorées.

Ordre de grandeur : 99,75 kN est un effort tranchant modeste pour un HEA de cette taille. La résistance au cisaillement dépassera 590 kN : la marge sera d'un facteur six.
Impact sur la suite : Ce sera l'objet d'une vérification en question 3, ainsi que d'un examen d'interaction que l'on omet le plus souvent.
Cohérence : Le tranchant vaut exactement la somme des charges portées : 63,75 de réparti plus 36,0 de ponctuel. Sur une console, tout ce qui monte redescend par l'encastrement — le contrôle est immédiat.
Attention : Cet effort coexiste avec le moment maximal dans la même section. C'est exactement la configuration que vise l'article 6.2.8, et elle appelle un examen que le seul calcul des deux efforts ne remplace pas.
Comparaison : Si la potence ne mesurait qu'un mètre, le moment tomberait à 42,4 kN·m tandis que le tranchant ne descendrait qu'à 48,8. Le rapport entre les deux s'inverserait.

Remarque pédagogique : L'effort tranchant d'une console possède une propriété qu'il vaut la peine de retenir : il ne dépend pas de la portée pour la part ponctuelle, alors que le moment y est proportionnel. Raccourcir une console divise donc son moment bien plus vite que son tranchant, ce qui fait basculer le critère gouvernant. Sur une potence de cinq mètres comme celle-ci, la flexion domine largement — le rapport des deux taux sera d'environ cinq. Sur un corbeau de trente centimètres portant la même charge, le cisaillement deviendrait le seul sujet, et l'on dimensionnerait l'âme avant la semelle. C'est pourquoi les corbeaux de reprise sont des pièces trapues et raidies, alors que les potences sont des profilés élancés : deux ouvrages de même schéma statique, gouvernés par des phénomènes opposés.

Moment de calcul à l'encastrement, contribution par contribution

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la sollicitation qui dictera le choix du profilé, et parce que la décomposition révèle laquelle des deux charges gouverne.

Méthodologie du calcul :

On calcule séparément la contribution de la charge répartie et celle du palan, puis on les additionne — les deux agissant dans le même sens.

Substitution : \( p_{\text{Ed}} = 12{,}75\ \text{kN/m} \), \( F_{\text{Ed}} = 36{,}00\ \text{kN} \) et \( L = 5{,}00\ \text{m} \).
Piège évité : Diviser par 8 au lieu de 2. Le diviseur 2 est celui de la console ; le 8 appartient à la poutre sur deux appuis et diviserait le moment par quatre.
Hypothèse validée : L'encastrement est supposé parfait. Comme la console est isostatique, cette hypothèse n'influence pas les efforts — seulement la flèche.
Vérification croisée : Ordre de grandeur de tête : \( 13 \times 25/2 = 162 \) et \( 36 \times 5 = 180 \), soit environ 342. On retrouve bien 339,4.
Finalité : Disposer du moment qui, divisé par la limite d'élasticité, donnera le module plastique requis en question 3.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{12{,}75 \times 5{,}00^2}{2} + 36{,}00 \times 5{,}00 \\ &= 159{,}4 + 180{,}0 \\ &= \mathbf{339{,}4} \ \text{kN}\cdot\text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le moment atteint 339,4 kN·m. Le palan en fournit 53 % et la charge répartie 47 %, alors que le palan ne représente que 36 % du chargement.

Ordre de grandeur : 339,4 kN·m pour 5 m de console. Une poutre sur deux appuis de même portée et même chargement ne développerait que 85 kN·m — quatre fois moins.
Impact sur la suite : C'est ce moment qui donnera \( W_{\text{pl},\text{req}} = 1\,234\ \text{cm}^3 \), et donc le profilé présélectionné. Toute la question 3 en découle.
Cohérence : Le rapport du moment au tranchant vaut 3,40 m : c'est le bras de levier moyen du chargement, nécessairement compris entre 2,50 — le centre du réparti — et 5,00, la position du palan. Le recoupement est immédiat.
Attention : Le moment est négatif. Sa valeur absolue servira aux vérifications de résistance, mais son signe désigne la semelle inférieure comme comprimée.
Comparaison : Si la potence mesurait 4 m au lieu de 5, le moment tomberait à 246 kN·m, soit 27 % de moins pour 20 % de portée en moins. L'effet du carré est bien visible.

Remarque pédagogique : Le fait que le palan fournisse plus de moment que la charge répartie, tout en pesant deux fois moins, mérite d'être mesuré une fois pour toutes. La charge répartie agit avec un bras de levier moyen de \( L/2 \) ; le palan agit avec le bras maximal \( L \). Le rapport d'efficacité est donc de deux à charge totale égale. C'est ce qui explique une règle de conception des potences : la course du chariot est le paramètre qu'on négocie en premier. Limiter la course à 4 mètres au lieu de 5, sur cette potence, ferait tomber la contribution du palan de 180 à 144 kN·m — soit un gain de 11 % sur le moment total pour une perte d'usage souvent acceptable. Aucune optimisation de profilé n'offre un rendement comparable, et c'est une discussion qui se tient avec l'exploitant, pas avec le catalogue.

Où sont les maximums, et quelle semelle est comprimée ?

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ces deux lectures conditionnent la suite : l'une appelle un examen d'interaction, l'autre engage la question de la stabilité latérale.

Méthodologie du calcul :

On situe les maximums sur les deux diagrammes, puis on déduit du signe du moment quelle fibre est tendue et quelle fibre est comprimée.

Substitution : Diagramme du tranchant : linéaire de 36,0 kN en bout à 99,75 à l'encastrement. Diagramme du moment : parabolique, nul en bout, −339,4 à l'encastrement.
Piège évité : Chercher un extremum intermédiaire. Sur une console chargée dans un seul sens, les deux diagrammes sont monotones : le maximum est nécessairement à l'encastrement.
Hypothèse validée : Le moment est négatif au sens de la convention usuelle : il tend la fibre supérieure. La déformée est concave vers le bas.
Vérification croisée : Contrôle par la déformée : la potence s'affaisse en bout, donc sa face supérieure s'allonge. Une fibre qui s'allonge est une fibre tendue.
Finalité : Établir que les deux maximums coexistent, et que la semelle inférieure travaille en compression.

\[ \begin{aligned} \text{section determinante} &: \ x = 0, \ \text{l'encastrement} \\ &\quad M_{\text{Ed}} \ \text{et} \ V_{\text{Ed}} : \ \text{maximaux dans la MEME section} \\ &\quad \frac{M_{\text{Ed}}}{V_{\text{Ed}}\,L} = \frac{339{,}4}{498{,}8} = 0{,}68 \ \Rightarrow \ \text{le moment gouverne} \\ &\quad M_{\text{Ed}} \lt 0 \ : \Rightarrow \ \textbf{semelle inferieure comprimee} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux maximums occupent la même section, ce qui rend l'examen de leur interaction pertinent. Et le moment étant négatif, c'est la semelle inférieure qui est comprimée — celle qui ne porte rien.

Ordre de grandeur : Le rapport \( M_{\text{Ed}}/(V_{\text{Ed}}L) = 0{,}68 \). Au-dessus de 0,5, c'est le moment qui gouverne — ce que la question 3 confirmera avec un rapport de cinq entre les deux taux.
Impact sur la suite : Deux conséquences. L'interaction moment-tranchant devra être examinée, et l'hypothèse de non-déversement devra être regardée de près.
Cohérence : Que « le moment maximal et l'effort tranchant maximal se situent au même endroit » rend la vérification de cette section critique. Encore faut-il en tirer la vérification d'interaction que ce constat appelle.
Attention : On qualifie volontiers la console d'hyperstatique. Elle est isostatique — sans conséquence sur les chiffres, mais la nuance est loin d'être vaine.
Comparaison : Sur une poutre sur appuis, tout s'inverse : les deux maximums sont aux antipodes, l'interaction est formelle, et la semelle comprimée est la supérieure.

Remarque pédagogique : Le signe du moment engage bien plus qu'une convention, et il vaut la peine de formuler la règle une fois pour toutes : ce qu'il faut maintenir, c'est la semelle comprimée, et le diagramme des moments seul dit laquelle c'est. Sur une travée isostatique chargée vers le bas, c'est la supérieure sur toute la longueur, et le plancher ou la couverture fait naturellement l'affaire — ce qui explique qu'on n'y pense jamais. Sur une console, c'est l'inférieure, et ce qui repose sur la potence ne sert à rien de ce point de vue. Écarter le déversement par hypothèse est admissible en exercice, à la condition expresse de dire qu'il s'agit d'une hypothèse et non d'un résultat. Nous y reviendrons en question 4, où le profilé retenu jouera en sa faveur : un HEA offre une inertie transversale sans commune mesure avec celle d'un IPE.

RÉSULTAT FINAL

\( M_{\text{Ed}} \ ; \ V_{\text{Ed}} \) = 339,4 ; 99,75 kN·m et kN, à l'encastrement

"Les deux maximums coexistent dans la même section — ce qui appelle un examen d'interaction."

Question 3 : Catalogue, classe de section et vérifications de résistance

Dans la tête de l'ingénieur

"Le module requis se calcule en une division, et cette division ne pose aucun piège : 1 234,1 cm³. Tout se joue ensuite sur le catalogue — et deux valeurs y circulent qui sont fausses, de natures différentes. Le module plastique attribué au HEA 300, 1 260 cm³, est exactement son module élastique : le facteur de forme vaudrait 1,000, ce qu'aucune section ne peut donner. Et l'aire de cisaillement de 55 cm² dépasse de moitié la valeur réglementaire. S'y ajoute une classe que l'on suppose sans la vérifier — alors que le HEA 300 en S275 tombe précisément entre deux limites."

Observation : Deux erreurs de catalogue en sens opposés : le module plastique est sous-estimé de 9 %, l'aire de cisaillement surestimée de 48 %. Les deux passent inaperçues sans contrôle.
Analyse du risque : Un module sous-estimé fait rejeter des profilés qui conviennent ; une aire surestimée fait valider une résistance qui n'existe pas. Seule la seconde met en jeu la sécurité.
Choix stratégique : Recouper chaque valeur par un rapport connu : le facteur de forme pour le module, le rapport \( A_{\text{v}}/A \) pour l'aire de cisaillement. Deux divisions suffisent.
Alternative : On pourrait accepter le catalogue et conclure à 0,98 en flexion. Le profilé serait le même, mais on croirait travailler au bord de la rupture alors qu'il reste 11 % de marge.
Objectif visé : Établir la classe, désigner le profilé sur des valeurs vérifiées, et mener les trois vérifications applicables à la section d'encastrement.

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\( W_{\text{pl},\text{req}} = 1\,234{,}1\ \text{cm}^3 \) — HEA 300, classe 2, taux réel 0,892

Rappel Théorique : Du moment au profilé, en recoupant les données

Trois éléments conditionnent le choix : la sollicitation, établie en question 2 ; les données de catalogue, qui doivent être recoupées ; et la classe de section, qui décide du module utilisable.

Le module requis ne dépend d'aucun profilé : \( W_{\text{pl},\text{req}} = M_{\text{Ed}}\gamma_{\text{M0}}/f_{\text{y}} \) est une grandeur du problème. Elle se calcule avant d'ouvrir le moindre catalogue et vaut pour toute la série.
Le facteur de forme borne le module plastique : \( W_{\text{pl}}/W_{\text{el}} \) vaut environ 1,10 pour un HEA, dont les semelles larges concentrent déjà la matière loin de l'axe. Une valeur de 1,000 signifie que le module annoncé est le module élastique.
L'aire de cisaillement se calcule, elle ne se lit pas : \( A_{\text{v}} = A - 2bt_{\text{f}} + (t_{\text{w}} + 2r)t_{\text{f}} \). Elle retranche les semelles, qui ne cisaillent pas, et restitue les congés, qui cisaillent.
La classe se joue paroi par paroi : Semelle en console : 9ε / 10ε / 14ε pour les classes 1, 2 et 3. Âme fléchie : 72ε / 83ε / 124ε. C'est la plus défavorable qui l'emporte.
Les classes 1 et 2 partagent le même module : Toutes deux autorisent \( W_{\text{pl}} \). La différence porte sur la capacité de rotation — donc sur l'aptitude à l'analyse plastique, pas sur la résistance de section.

Équations Fondamentales

Trois relations et deux contrôles. Les relations sont classiques ; ce sont les contrôles qui changent les chiffres.

Module plastique requis et contrôles de catalogue :

Ils désignent un candidat, et permettent de vérifier les données qui le désignent.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'inverser la relation de résistance donne directement le seuil à franchir, et parce qu'un catalogue est une table de nombres qu'on recopie sans jamais la questionner — alors qu'elle se contrôle en deux divisions.

Contexte de validité : Le module plastique n'est utilisable qu'en classe 1 ou 2. L'expression de \( A_{\text{v}} \) vaut pour un profilé laminé chargé parallèlement à son âme.
Avantage : Les deux contrôles n'exigent aucune autre source : les colonnes du même tableau suffisent, ce qui les rend utilisables partout et en quelques secondes.
Paramètre clé : Les deux plages de référence : facteur de forme voisin de 1,10 pour un HEA, rapport \( A_{\text{v}}/A \) entre 30 et 35 %.
Vérification : Sur les valeurs normalisées, le facteur vaut 1,098 pour les HEA 280 et 300, et \( A_{\text{v}}/A \) donne 32,6 et 33,1 %. Les deux contrôles concordent.
Limite : Ils détectent une incohérence, pas toutes les erreurs. Deux colonnes fausses du même facteur y échapperaient ; c'est pourquoi il en faut deux, portant sur des grandeurs différentes.

\[ \begin{aligned} W_{\text{pl},\text{y},\text{req}} \ge \frac{M_{\text{Ed}}\,\gamma_{\text{M0}}}{f_{\text{y}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le facteur de forme mesure ce qu'une section gagne à plastifier toute sa hauteur plutôt que sa seule fibre extrême, et c'est une propriété de la forme, indépendante du matériau et de la taille. Pour un rectangle plein, dont la matière est répartie uniformément, il vaut exactement 1,50 : la moitié du métal, proche de l'axe neutre, était très sous-employée en régime élastique. Pour un profilé en H, la matière est déjà concentrée là où elle sert — dans les semelles — et il ne reste presque rien à récupérer : 1,10 pour un HEA, dont les semelles sont particulièrement larges, contre 1,13 pour un IPE plus élancé. Un module plastique annoncé égal au module élastique donnerait 1,000, ce qui reviendrait à dire qu'une section entièrement plastifiée ne résiste pas mieux qu'une section dont seule la fibre extrême a atteint sa limite. C'est mécaniquement impossible, et c'est ce qui trahit ici la valeur du HEA 300.

Décomposition des termes :

\( W_{\text{pl},\text{y},\text{req}} \) : module plastique minimal que doit offrir le profilé selon l'axe fort, unité : \( \text{cm}^3 \)
\( M_{\text{Ed}} \) : moment de calcul à l'encastrement établi en question 2, unité : \( \text{kN}\cdot\text{m} \)
\( A_{\text{v}} \) : aire de cisaillement du profilé, âme droite et congés restitués, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( b, t_{\text{f}}, t_{\text{w}}, r \) : largeur de semelle, épaisseurs de semelle et d'âme, rayon de congé, unité : \( \text{mm} \)
\( \gamma_{\text{M0}} \) : coefficient partiel de résistance des sections transversales, unité : —

Classification des parois et résistances de section :

Elles décident du module utilisable et donnent les deux résistances.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une paroi trop élancée voile localement avant que la section n'ait plastifié. La classification vérifie que la géométrie autorise le mode de ruine qu'on veut exploiter.

Contexte de validité : Semelle en console — un seul bord maintenu — et âme fléchie, donc partiellement comprimée. Les limites diffèrent pour une âme entièrement comprimée : 33ε au lieu de 72ε.
Avantage : Les classes 1 et 2 autorisent le même module. Constater qu'on est en classe 2 plutôt qu'en classe 1 ne change donc rien à la résistance de section.
Paramètre clé : Le coefficient de nuance \( \varepsilon = \sqrt{235/f_{\text{y}}} \), qui vaut 0,924 en S275 et resserre toutes les limites de 8 % par rapport au S235.
Vérification : Sur un HEA, c'est presque toujours la semelle qui décide : elle est large, donc en console longue, alors que l'âme est courte et trapue.
Limite : La classe 2 interdit l'analyse plastique globale avec redistribution, qui exige une capacité de rotation. Sur une console isostatique, cette restriction est sans objet.

\[ \begin{aligned} M_{\text{c},\text{Rd}} = \frac{W_{\text{pl},\text{y}}\,f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le facteur \( \sqrt{3} \) n'est pas un coefficient de sécurité mais un résultat de plasticité. Le critère de von Mises établit que la plastification survient lorsque l'énergie de distorsion atteint un seuil ; en traction simple ce seuil correspond à \( \sigma = f_{\text{y}} \), mais en cisaillement pur il correspond à \( \tau = f_{\text{y}}/\sqrt{3} \), soit environ 159 MPa en S275. L'acier est donc intrinsèquement moins résistant au cisaillement qu'à la traction, dans un rapport que la théorie fixe et que l'expérience confirme. Quant à la restriction à l'âme seule, elle traduit la distribution réelle des contraintes dans une section en H : elles sont quasi constantes dans l'âme et quasi nulles dans les semelles. Les semelles portent le moment, l'âme porte le tranchant — et sur un HEA, dont les semelles sont larges, cette répartition est encore plus marquée que sur un IPE : l'aire de cisaillement n'y représente qu'un tiers de l'aire totale contre près de la moitié.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{c},\text{Rd}} \) : moment résistant de calcul de la section transversale, unité : \( \text{kN}\cdot\text{m} \)
\( V_{\text{pl},\text{Rd}} \) : résistance plastique de calcul au cisaillement, unité : \( \text{kN} \)
\( \varepsilon \) : coefficient de nuance, égal à \( \sqrt{235/f_{\text{y}}} \), unité : —
\( c_{\text{f}}, c_{\text{w}} \) : longueurs droites de paroi, congés déduits, unité : \( \text{mm} \)
\( \sqrt{3} \) : facteur du critère de von Mises en cisaillement pur, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Le catalogue donne 1 260 cm³ et 55 cm², on les utilise…"

L'approche d'ingénieur : Employer des valeurs de catalogue est ce qu'on fait tous les jours, et c'est légitime. Ce qui ne l'est pas, c'est de les employer sans les recouper — surtout quand le tableau lui-même contient de quoi le faire.

L'erreur : Prendre 1 260 cm³ pour le module plastique du HEA 300. C'est son module élastique : le facteur de forme annoncé vaudrait 1,000, ce qu'aucune section ne peut donner.
La bonne méthode : Diviser par le module élastique. Un HEA se tient vers 1,10. Et recalculer l'aire de cisaillement depuis les cotes plutôt que de la lire.
L'astuce de pro : Le rapport \( A_{\text{v}}/A \) tranche en une division : 30 à 35 % pour un HEA, 45 à 50 % pour un IPE. Les 55 cm² annoncés en donneraient 48,9 % — hors plage pour un HEA.
Le moyen mnémotechnique : « Le plastique dépasse toujours l'élastique. » D'un dixième sur un HEA, de moitié sur un rectangle plein — jamais de zéro.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Moment : converti en \( \text{N}\cdot\text{mm} \) pour le calcul du seuil, soit un facteur \( 10^6 \) depuis les \( \text{kN}\cdot\text{m} \).
Module de résistance : obtenu en \( \text{mm}^3 \), affiché en \( \text{cm}^3 \) comme le catalogue — facteur \( 10^3 \).
Aire de cisaillement : calculée en \( \text{mm}^2 \) depuis les cotes en millimètres, affichée en \( \text{cm}^2 \) — facteur \( 10^2 \).
Coefficient de nuance : sans dimension, \( \varepsilon = \sqrt{235/275} = 0{,}924 \) en S275.
Élancements de paroi, facteur de forme et taux de travail : sans dimension, rapports de grandeurs de même unité.

Quatre étapes : le seuil de module, le contrôle des deux valeurs de catalogue — cœur de la question —, la classe de section qui se joue à la frontière, puis les trois vérifications de la section d'encastrement.

1. Résolution Numérique Module plastique nécessaire pour reprendre le moment

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur qui permet de lire un catalogue d'un trait plutôt que de vérifier les profilés un par un.

Méthodologie du calcul :

On divise le moment de calcul par la limite d'élasticité, en veillant à la cohérence des unités.

Substitution : \( M_{\text{Ed}} = 339{,}4\ \text{kN}\cdot\text{m} = 339{,}4 \times 10^6\ \text{N}\cdot\text{mm} \), \( f_{\text{y}} = 275\ \text{N}/\text{mm}^2 \), \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \).
Piège évité : Oublier la conversion. Une puissance perdue et le seuil est faux d'un facteur mille — erreur voyante, contrairement à celles du catalogue.
Hypothèse validée : Le module plastique est employé, ce qui suppose une section de classe 1 ou 2. L'hypothèse sera établie à la troisième étape, pas supposée.
Vérification croisée : Contrôle de tête : \( 339/0{,}275 \approx 1\,233 \), en milliers de \( \text{mm}^3 \). On retrouve bien 1 234 cm³.
Finalité : Disposer du seuil à confronter à la colonne des modules plastiques, une fois celle-ci recoupée.

\[ \begin{aligned} W_{\text{pl},\text{y},\text{req}} &\ge \frac{339{,}4 \times 10^6 \times 1{,}00}{275} \\ &\ge 1\,234\,091 \ \text{mm}^3 \\ &\ge \mathbf{1\,234{,}1} \ \text{cm}^3 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le seuil s'établit à 1 234,1 cm³. Cette division ne présente aucune difficulté, et c'est bien ce qui rend la suite instructive : le risque ne porte pas sur le calcul, mais sur la table qu'on interroge ensuite.

Ordre de grandeur : 1 234 cm³ pour 339 kN·m en S275. Le même moment en S355 ne réclamerait que 956 cm³, soit un HEA 280 — un cran de moins.
Impact sur la suite : C'est ce seuil qui sera confronté au catalogue. Il tombe entre le module réel du HEA 280 (1 112) et celui du HEA 300 (1 383) : le choix est net.
Cohérence : Un module de 1 234 cm³ correspond à un profilé de 290 à 310 mm de hauteur dans la série HEA. L'ordre de grandeur est cohérent avec une console de 5 m ainsi chargée.
Attention : Ce seuil ne tranche que la flexion. Sur une console, la flèche renverse presque toujours le choix — et ce sera le cas ici, spectaculairement.
Comparaison : Une poutre sur deux appuis de même portée et même chargement ne réclamerait que 309 cm³, soit un IPE 240. Le facteur quatre sur le moment se retrouve intégralement sur le module.

Remarque pédagogique : L'écart entre les deux nuances mérite un mot, parce qu'il éclaire un arbitrage qui se pose souvent sur les potences. Le S355 réduirait le module requis d'un quart et permettrait de descendre d'un cran pour la résistance. Mais la flèche de la question 4 ne dépend pas de la nuance : le module d'élasticité vaut 210 000 MPa pour tous les aciers de construction. Or c'est la flèche qui gouvernera ici, et de très loin — le taux atteindra 2,28 quand celui de la flexion n'est qu'à 0,89. Passer au S355 ne servirait donc strictement à rien sur cet ouvrage : on paierait un acier plus cher pour un profilé de taille identique, imposé par la rigidité. C'est un piège classique, et les consoles y tombent plus que les autres éléments.

Les deux valeurs annoncées sont-elles possibles ?

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que toute la vérification en dépend, et parce que deux divisions suffisent à faire tomber les deux.

Méthodologie du calcul :

On calcule le facteur de forme que donnerait le module annoncé, puis le rapport \( A_{\text{v}}/A \) que donnerait l'aire annoncée, et l'on confronte chacun à sa plage de référence.

Substitution : HEA 300 : \( I_{\text{y}} = 18\,260\ \text{cm}^4 \), \( h = 290\ \text{mm} \), \( A = 112{,}5\ \text{cm}^2 \), \( b = 300 \), \( t_{\text{f}} = 14 \), \( t_{\text{w}} = 8{,}5 \), \( r = 27\ \text{mm} \).
Piège évité : Juger une valeur isolément. 1 260 cm³ pour un HEA 300 n'a rien d'aberrant en soi ; c'est sa relation au module élastique qui la trahit.
Hypothèse validée : Les inerties et aires de la NF EN 10365 servent de référence, ce qui est légitime : \( W_{\text{el}} = I_{\text{y}}/(h/2) = 18\,260/14{,}5 = 1\,259{,}3 \), identique au dixième près à la valeur tabulée.
Vérification croisée : L'aire de cisaillement recalculée donne \( 11\,250 - 8\,400 + 875 = 3\,725\ \text{mm}^2 \), soit 33,1 % de l'aire totale — dans la plage attendue.
Finalité : Établir quelles valeurs employer avant de mener la moindre vérification.

\[ \begin{aligned} \text{module annonce} &: \ \frac{1\,260}{1\,260} = 1{,}000 \ \Rightarrow \ \textbf{impossible} \\ &\quad \text{module NF EN 10365} : \ \frac{1\,383}{1\,260} = 1{,}098 \ \Rightarrow \ \text{coherent} \\ &\quad \text{aire annoncee} : \ \frac{5\,500}{11\,250} = 48{,}9 \ \% \ \Rightarrow \ \textbf{hors plage} \\ &\quad \text{aire art. 6.2.6(3)} : \ \frac{3\,725}{11\,250} = 33{,}1 \ \% \ \Rightarrow \ \text{coherent} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux valeurs annoncées sont fausses, et en sens opposés : le module est sous-estimé de 9 %, l'aire de cisaillement surestimée de 48 %. Les valeurs correctes sont 1 383 cm³ et 37,25 cm².

Ordre de grandeur : Un facteur de forme de 1,000 signifierait qu'une section entièrement plastifiée ne résiste pas mieux qu'une section dont seule la fibre extrême a cédé. C'est absurde.
Impact sur la suite : Le taux de flexion passera de 0,979 à 0,892 et celui du cisaillement de 0,114 à 0,169. Le profilé ne change pas, les marges si.
Cohérence : Le module annoncé pour le HEA 280 — 1 076 contre 1 112 réels — donne un facteur de 1,062. C'est sous la plage sans être absurde : le contrôle le signale, mais moins nettement.
Attention : L'erreur sur l'aire de cisaillement va dans le sens du danger : elle surestime une résistance. Elle est ici sans conséquence — le taux reste à 0,17 — mais sur une console courte elle serait grave.
Comparaison : Les congés apportent à eux seuls 875 mm² à l'aire de cisaillement, soit près d'un quart du total. Les négliger serait aussi faux que de les surestimer.

Remarque pédagogique : Ces deux erreurs illustrent une distinction qu'il vaut la peine de tenir : toutes les erreurs de catalogue ne se valent pas, et leur sens compte autant que leur ampleur. Un module plastique sous-estimé de 9 % fait rejeter des profilés qui conviennent : cela coûte de l'acier, cela ne met personne en danger, et la conclusion paraît même prudente — ce qui la rend difficile à détecter. Une aire de cisaillement surestimée de 48 % fait au contraire croire à une résistance qui n'existe pas : cela ne coûte rien tant que le taux reste bas, et cela devient dangereux dès qu'il monte. Sur cette potence de cinq mètres, où le cisaillement travaille à 0,17, l'erreur est sans portée. Sur un corbeau de quelques dizaines de centimètres portant la même charge, elle validerait une âme insuffisante. Les deux se détectaient pourtant par le même réflexe : recouper une valeur avant de l'employer, au moyen d'un rapport qu'on connaît par cœur.

La classe du HEA 300 en S275, qui se joue à la frontière

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'on se contente volontiers de supposer « classe 1, 2 ou 3 », et parce que cette section tombe précisément entre deux limites.

Méthodologie du calcul :

On calcule le coefficient de nuance, puis les deux longueurs droites de paroi — congés déduits — et on les confronte aux limites successives du tableau 5.2.

Substitution : HEA 300 : \( h = 290 \), \( b = 300 \), \( t_{\text{w}} = 8{,}5 \), \( t_{\text{f}} = 14 \), \( r = 27\ \text{mm} \).
Piège évité : Prendre la largeur totale de semelle. Seule la partie droite en console peut voiler, soit \( (b - t_{\text{w}} - 2r)/2 \) : les congés sont rigides.
Hypothèse validée : \( \varepsilon = \sqrt{235/275} = 0{,}924 \), et l'épaisseur de semelle — 14 mm — reste sous 16 mm : \( f_{\text{y}} = 275\ \text{MPa} \) sans abattement de tranche.
Vérification croisée : Sur un HEA, c'est la semelle qui décide : elle est large, donc en console longue. L'âme, courte et trapue, reste très loin de sa limite.
Finalité : Légitimer — ou non — l'emploi du module plastique dans la vérification qui suit.

\[ \begin{aligned} \varepsilon &= \sqrt{235/275} = 0{,}924 \\ &\quad \frac{c_{\text{f}}}{t_{\text{f}}} = \frac{(300 - 8{,}5 - 54)/2}{14} = \frac{118{,}75}{14} = 8{,}48 \\ &\quad 9\,\varepsilon = 8{,}32 \ \lt \ 8{,}48 \ \le \ 10\,\varepsilon = 9{,}24 \ \Rightarrow \ \text{semelle de classe 2} \\ &\quad \frac{c_{\text{w}}}{t_{\text{w}}} = \frac{290 - 28 - 54}{8{,}5} = 24{,}5 \ \le \ 72\,\varepsilon = 66{,}6 \ \Rightarrow \ \text{ame de classe 1} \\ &\Rightarrow \ \textbf{section de classe 2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La section est de classe 2, et non de classe 1 : la semelle donne 8,48 quand la limite de classe 1 est à 8,32. Sans conséquence sur la résistance — la classe 2 autorise le module plastique — mais il fallait l'établir.

Ordre de grandeur : 8,48 pour une limite de classe 1 à 8,32 : le dépassement n'est que de 2 %. C'est exactement le genre de frontière qu'une hypothèse sans calcul fait manquer.
Impact sur la suite : Aucun sur la résistance de section : les classes 1 et 2 emploient toutes deux \( W_{\text{pl},\text{y}} \). La différence porte sur la capacité de rotation, sans objet sur une console isostatique.
Cohérence : En S235, le même profilé serait de classe 1 : \( \varepsilon = 1{,}00 \) porterait la limite à 9,00, au-dessus des 8,48. C'est la nuance qui fait basculer, pas la géométrie.
Attention : « On suppose que le profilé est de classe 1, 2 ou 3, ce qui est le cas des HEA courants » est vrai mais vague : la classe 4 changerait tout, et la classification prend trente secondes.
Comparaison : Le HEA 400 qui sera finalement retenu donne 6,18, largement en classe 1. Les grands HEA sont plus favorables : leurs semelles s'épaississent plus vite qu'elles ne s'élargissent.

Remarque pédagogique : Que le HEA 300 en S275 bascule en classe 2 illustre un mécanisme qu'on oublie d'autant plus facilement qu'il joue dans le mauvais sens. Monter en nuance augmente la résistance — c'est ce qu'on retient — mais réduit simultanément toutes les limites d'élancement, puisque \( \varepsilon = \sqrt{235/f_{\text{y}}} \) décroît. Autrement dit, un acier plus résistant voile plus tôt : la contrainte critique de voilement dépend de la géométrie et du module d'élasticité, pas de la limite d'élasticité, si bien qu'en montant en nuance on rapproche la plastification du voilement. Ce profilé est de classe 1 en S235, de classe 2 en S275, et il serait de classe 3 en S460 — où la limite tomberait à 6,43 et où le module plastique deviendrait inutilisable. La règle apprise — « les HEA sont de classe 1 » — vaut pour le S235 et se dégrade ensuite.

Flexion, cisaillement et interaction dans la section d'encastrement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la conclusion de l'état-limite ultime, et parce que l'interaction est ici pertinente — les deux maximums coexistant.

Méthodologie du calcul :

On calcule le moment résistant sur le module normalisé, la résistance au cisaillement sur l'aire recalculée, puis on confronte l'effort tranchant au seuil de l'article 6.2.8.

Substitution : \( W_{\text{pl},\text{y}} = 1\,383\ \text{cm}^3 \) et \( A_{\text{v}} = 3\,725\ \text{mm}^2 \), avec \( f_{\text{y}} = 275\ \text{MPa} \) et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \).
Piège évité : Employer les valeurs annoncées. Le moment résistant vaudrait 346,5 kN·m au lieu de 380,3, et la résistance au cisaillement 873 kN au lieu de 591.
Hypothèse validée : La classe 2 vient d'être établie. L'emploi du module plastique est donc légitime dans la formule de flexion.
Vérification croisée : Le rapport des deux taux vaut 5,3 : la flexion domine très largement, ce qui est l'ordre attendu sur une console de cinq mètres.
Finalité : Conclure sur l'ELU avant d'aborder la flèche, qui renversera le choix.

\[ \begin{aligned} M_{\text{c},\text{Rd}} &= \frac{1\,383 \times 10^3 \times 275}{1{,}00} = 380{,}3 \ \text{kN}\cdot\text{m} \ \Rightarrow \ \text{taux} \ \mathbf{0{,}892} \\ &\quad V_{\text{pl},\text{Rd}} = \frac{3\,725 \times 275}{\sqrt{3}} = 591{,}4 \ \text{kN} \ \Rightarrow \ \text{taux} \ \mathbf{0{,}169} \\ &\quad \text{interaction} : \ 99{,}75 \ \le \ 0{,}5\,V_{\text{pl},\text{Rd}} = 295{,}7 \ \Rightarrow \ \text{sans objet} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le HEA 300 passe l'ELU : 0,892 en flexion, 0,169 au cisaillement, interaction sans objet. Le module de catalogue conduirait à 0,98 et ferait décrire le profilé comme « très optimisé » — il lui reste en réalité 11 % de marge.

Ordre de grandeur : Un taux de 0,892 est serré mais confortable. À 0,98, il ne resterait plus rien pour un aléa de charge — d'où l'importance de la valeur exacte.
Impact sur la suite : Le HEA 300 est validé à l'ELU. La question 4 va pourtant le rejeter — sur la flèche, avec un taux de 2,28.
Cohérence : L'interaction est sans objet de très loin : 99,75 kN contre un seuil de 295,7. Elle méritait néanmoins d'être examinée, les deux maximums occupant la même section.
Attention : Constater que les deux maximums coïncident sans en tirer l'examen d'interaction, c'est s'arrêter au milieu du raisonnement : le constat sans la conséquence.
Comparaison : Pour que l'interaction devienne active, il faudrait un effort tranchant trois fois supérieur — soit une console de moins de deux mètres portant la même charge totale.

Remarque pédagogique : L'écart entre 0,98 et 0,892 n'a l'air de rien et compte pourtant, parce que c'est dans cet intervalle que se prennent les décisions de projet. Un ingénieur qui lit 0,98 sait qu'il n'a plus aucune marge : la moindre charge supplémentaire, le moindre équipement ajouté sur la potence, et le seuil est franchi. Le même ingénieur qui lit 0,892 dispose de 11 %, soit de quoi absorber un rail plus lourd ou un palan surdimensionné. Les deux nombres décrivent le même profilé sous les mêmes charges, mais ils n'appellent pas les mêmes décisions — et sur une potence industrielle, où les usages évoluent et où l'on accroche volontiers ce qui n'était pas prévu, cette marge n'est pas théorique. C'est ce qui rend une erreur de catalogue si insidieuse : elle ne provoque pas d'effondrement, elle déplace le curseur du risque à l'insu de celui qui l'utilise.

DEUX VALEURS DE CATALOGUE ET UNE CLASSE À LA FRONTIÈRE

RÉSULTAT FINAL

\( M_{\text{Ed}}/M_{\text{c},\text{Rd}} \) = 0,892 — HEA 300, classe 2

"Le module annoncé est le module élastique et l'aire de cisaillement dépasse de moitié la valeur réglementaire."

Question 4 : Flèche à l'ELS et profilé définitif

Dans la tête de l'ingénieur

"La flèche du HEA 300 atteint plus du double de la limite, et la conclusion s'impose : le dimensionnement de cette potence est piloté par la rigidité et non par la résistance. Le piège se referme juste après. « Prendre un HEA 360 ou un HEA 400 » se propose vite, et l'on croit le problème réglé : or le HEA 360 ne passe pas, avec un taux de 1,255. S'y ajoute une valeur d'inertie de 51 580 cm⁴ qui circule pour le HEA 400 et dépasse de 14 % la valeur normalisée — de quoi valider un profilé sur une rigidité qu'il n'a pas."

Observation : La flèche atteint 45,50 mm pour une limite de 20 : dépassement de 128 %. Le HEA 300, validé à l'ELU, est très largement rejeté à l'ELS.
Analyse du risque : Un remède suggéré et non vérifié est plus dangereux qu'un problème signalé sans solution : il donne le sentiment que la question est réglée. Le HEA 360 échoue.
Choix stratégique : Vérifier chaque candidat, réintégrer le poids propre du profilé retenu, et mesurer ce qu'il reste de marge une fois la boucle refermée.
Alternative : Une contre-flèche à la fabrication compenserait l'affaissement dû au permanent. Sur une potence, où le palan doit rouler droit, c'est une solution sérieuse — mais elle ne dispense pas de vérifier la part variable.
Objectif visé : Désigner un profilé vérifié sur les quatre critères, et non simplement proposé.

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\( \delta = 45{,}50\ \text{mm} \gt 20 \) : HEA 300 refusé — le HEA 360 aussi — HEA 400 retenu

Rappel Théorique : Pourquoi la flèche gouverne les consoles

Une console fléchit près de dix fois plus qu'une travée de même portée et même charge. C'est ce rapport, purement géométrique, qui fait que l'état-limite de service y décide presque toujours.

Les effets se superposent : Charge répartie en \( pL^4/8EI \), charge en bout en \( FL^3/3EI \). Les deux s'additionnent, et la seconde pèse ici 60 % du total alors qu'elle ne représente que 36 % du chargement.
La console fléchit dix fois plus qu'une travée : Le rapport des coefficients vaut \( (1/8)/(5/384) = \mathbf{9{,}6} \). C'est le vrai coût du porte-à-faux, bien plus que le facteur quatre sur le moment.
La flèche ne dépend pas de la nuance d'acier : \( E = 210\,000\ \text{MPa} \) pour tous les aciers de construction. Passer au S355 sur un élément gouverné par la flèche ne sert à rien.
Elle se calcule sous charges de service : Sans aucun coefficient partiel. Employer les charges de calcul surestimerait la flèche de 42 % et conduirait à un surdimensionnement gratuit.
La formule est optimiste par construction : Elle suppose un encastrement parfaitement rigide. Aucune liaison réelle ne l'est, et le supplément de flèche atteint couramment 10 à 30 %.

Équations Fondamentales

Une seule relation, obtenue par superposition — et un critère de comparaison dont l'origine mérite d'être précisée.

Flèche en bout de console par superposition :

Elle donne la déformation verticale à l'extrémité libre sous charges de service.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la résistance ne garantit pas l'aptitude au service. Une potence qui s'affaisse de quatre centimètres sous charge inquiète l'opérateur, fausse le roulement du chariot et rend le palan difficile à positionner.

Contexte de validité : Comportement élastique linéaire et encastrement parfaitement rigide. Ces deux hypothèses sont optimistes : la flèche réelle dépasse toujours la flèche calculée.
Avantage : La superposition permet de traiter chaque charge séparément et de voir immédiatement laquelle contribue le plus — information qu'une formule globale masquerait.
Paramètre clé : La portée à la puissance quatrième pour la charge répartie, au cube pour la charge en bout. C'est ce qui rend les potences profondes si coûteuses.
Vérification : Le rapport \( \delta/L \) doit rester dans les ordres de grandeur usuels : entre L/100 et L/500 pour un élément métallique. Ici L/110 avant correction — franchement souple.
Limite : Elle ignore la souplesse de l'encastrement. Sur une potence scellée dans un mur, un supplément de 10 à 30 % n'a rien d'exceptionnel — et il s'ajoute à une marge déjà mince.

\[ \begin{aligned} \delta = \frac{p_{\text{ser}}\,L^4}{8\,E\,I_{\text{y}}} + \frac{F_{\text{ser}}\,L^3}{3\,E\,I_{\text{y}}} \ \le \ \delta_{\text{adm}} = \frac{L}{250} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Les deux dénominateurs — 8 et 3 — encodent la manière dont chaque chargement distribue sa courbure le long de la console. Une charge en bout produit un moment qui croît linéairement depuis zéro ; une charge répartie produit une variation parabolique, donc davantage de courbure concentrée près de l'encastrement, là où le bras de levier est faible. En intégrant deux fois ces courbures, on obtient les coefficients. Ce qu'il faut en retenir tient en une comparaison : pour un même moment à l'encastrement, la charge en bout fléchit davantage que la charge répartie. C'est pourquoi le palan de cet exercice, qui ne fournit que 53 % du moment, produit 60 % de la flèche. Sur une potence, cela a une conséquence directe : limiter la course du chariot est le levier le plus efficace dont on dispose, bien avant le choix du profilé.

Décomposition des termes :

\( \delta \) : flèche verticale à l'extrémité libre de la potence, unité : \( \text{mm} \)
\( p_{\text{ser}} \) : charge répartie de service, sans aucun coefficient partiel, unité : \( \text{N}/\text{mm} \)
\( F_{\text{ser}} \) : charge ponctuelle de service appliquée en extrémité, unité : \( \text{N} \)
\( E \) : module d'élasticité de l'acier, identique pour toutes les nuances, unité : \( \text{MPa} \)
\( I_{\text{y}} \) : moment quadratique de la section selon l'axe fort de flexion, unité : \( \text{mm}^4 \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Le HEA 300 est trop souple, on passe à un HEA 360 ou 400 et c'est réglé…"

L'approche d'ingénieur : C'est la conclusion qui vient spontanément, et elle est à moitié fausse. Sur les deux profilés ainsi proposés, un seul convient — et aucun des deux n'a été vérifié.

L'erreur : Proposer deux profilés sans les calculer. Le HEA 360 donne 25,11 mm pour une limite de 20 : il est refusé de 26 %.
La bonne méthode : Calculer l'inertie requise : \( I_{\text{req}} = I_{300} \times 2{,}275 = 41\,542\ \text{cm}^4 \). Seul le HEA 400, à 45 070, la dépasse.
L'astuce de pro : La flèche varie en \( 1/I_{\text{y}} \) : le rapport des flèches est l'inverse du rapport des inerties. Une seule division suffit à balayer tout un catalogue.
Le moyen mnémotechnique : « Un profilé suggéré n'est pas un profilé vérifié. » L'intuition donne le bon ordre de grandeur une fois sur deux.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Charges de service : en \( \text{N}/\text{mm} \) et \( \text{N} \) — soit la même valeur numérique en \( \text{N}/\text{mm} \) qu'en \( \text{kN/m} \), coïncidence commode.
Portée : en \( \text{mm} \), élevée à la puissance quatrième — \( 5\,000^4 = 6{,}25 \times 10^{14} \).
Moment quadratique : catalogue en \( \text{cm}^4 \), converti en \( \text{mm}^4 \) par \( 10^4 \).
Flèche : obtenue directement en \( \text{mm} \) si tout est en newtons et millimètres.
Critère : exprimé en fraction de la portée, donc sans dimension — \( L/250 \) vaut 20 mm pour 5 m.

Trois étapes : la flèche du HEA 300 et son verdict, la mise à l'épreuve des deux profilés que l'on propose d'ordinaire en remède, puis le profilé définitif une fois son propre poids propre réintégré.

1. Résolution Numérique Déformation en bout sous charges de service

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la résistance est acquise et que c'est la déformation qui va décider — comme presque toujours sur une console.

Méthodologie du calcul :

On forme les charges de service sans coefficient partiel, on convertit en newtons et millimètres, puis on superpose les deux contributions.

Substitution : \( p_{\text{ser}} = 5{,}0 + 4{,}0 = 9{,}0\ \text{N}/\text{mm} \), \( F_{\text{ser}} = 10 + 15 = 25\,000\ \text{N} \), \( L = 5\,000\ \text{mm} \), \( I_{\text{y}} = 18\,260 \times 10^4\ \text{mm}^4 \).
Piège évité : Employer les charges de calcul. La flèche vaudrait 64,6 mm au lieu de 45,5, et l'on rejetterait des profilés qui conviennent.
Hypothèse validée : La combinaison caractéristique est retenue, la plus courante pour la flèche instantanée. Le critère \( L/250 \) est une donnée de l'étude.
Vérification croisée : Ordre de grandeur : une console fléchit environ 9,6 fois plus qu'une travée équivalente. Une poutre sur appuis donnerait 4,7 mm ici — on retrouve bien 45,5.
Finalité : Confronter la flèche au critère et mesurer l'ampleur du dépassement, dont dépendra le remède.

\[ \begin{aligned} \delta_{\text{p}} &= \frac{9{,}0 \times (5\,000)^4}{8 \times 210\,000 \times 18\,260 \times 10^4} = 18{,}34 \ \text{mm} \\ &\quad \delta_{\text{F}} = \frac{25\,000 \times (5\,000)^3}{3 \times 210\,000 \times 18\,260 \times 10^4} = 27{,}16 \ \text{mm} \\ &\quad \delta = 18{,}34 + 27{,}16 = \mathbf{45{,}50} \ \text{mm} \\ &\quad \delta_{\text{adm}} = \frac{5\,000}{250} = 20{,}0 \ \text{mm} \ \Rightarrow \ \text{taux} \ \mathbf{2{,}275} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La flèche atteint 45,50 mm contre 20 admissibles : dépassement de 128 %. Le HEA 300, pourtant validé à l'ELU, est très largement refusé — et le palan fournit 60 % de cette déformation.

Ordre de grandeur : 45,5 mm sur 5 m, soit L/110. C'est un affaissement de quatre centimètres et demi en bout de potence : parfaitement visible, et gênant pour le roulement d'un chariot.
Impact sur la suite : Il faut au moins \( 18\,260 \times 2{,}275 = \mathbf{41\,542\ \text{cm}^4} \) d'inertie. Cela exclut d'emblée tous les HEA jusqu'au 360 inclus.
Cohérence : Le taux de flèche vaut 2,275 quand celui de flexion valait 0,892 : le rapport des deux, 2,55, mesure d'un chiffre combien la rigidité l'emporte ici sur la résistance.
Attention : Le palan produit 27,16 mm sur les 45,50, soit 60 %, alors qu'il ne représente que 36 % du chargement. Sur une console, une charge en bout coûte bien plus que son poids.
Comparaison : Le taux de flèche vaut 2,275 quand celui de la flexion n'est qu'à 0,892. Le rapport de 2,6 entre les deux mesure exactement l'écart entre résistance et rigidité sur cet ouvrage.

Remarque pédagogique : Il vaut la peine de mesurer ce que la console coûte réellement, parce que les deux chiffres ne sont pas du même ordre. En moment, elle vaut quatre fois une travée de même portée. En flèche, elle en vaut 9,6. Cette seconde disproportion explique un fait d'observation constant : sur une console, l'état-limite de service gouverne presque toujours, alors que sur une travée courante c'est la résistance qui décide. La raison est purement géométrique — la flèche intègre deux fois la courbure, et la courbure d'une console ne change jamais de signe, si bien que les contributions s'accumulent au lieu de se compenser comme elles le font de part et d'autre du point d'inflexion d'une travée. La conséquence pratique est qu'il faut, sur une console, commencer par la flèche plutôt que la garder pour la fin : c'est elle qui désigne le profilé, la résistance ne faisant que confirmer.

Le HEA 360 couramment suggéré convient-il ?

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'on propose volontiers deux profilés sans en vérifier aucun, et que l'un des deux ne passe pas.

Méthodologie du calcul :

On calcule l'inertie requise, puis on balaie la série en exploitant le fait que la flèche varie comme l'inverse de l'inertie.

Substitution : Inerties NF EN 10365 : HEA 340 = 27 690, HEA 360 = 33 090, HEA 400 = 45 070 \( \text{cm}^4 \).
Piège évité : Employer les 51 580 cm⁴ qui circulent pour le HEA 400. La valeur normalisée est 45 070 : l'écart est de 14,4 %.
Hypothèse validée : La flèche varie en \( 1/I_{\text{y}} \), les charges restant inchangées. Un simple rapport d'inerties suffit donc à balayer toute la série.
Vérification croisée : Inertie requise : \( 18\,260 \times 2{,}275 = 41\,542\ \text{cm}^4 \). Le HEA 360 n'en offre que 33 090 : il échoue de 20 %.
Finalité : Désigner le premier profilé de la série qui satisfait réellement le critère.

\[ \begin{aligned} I_{\text{req}} &= 18\,260 \times 2{,}275 = 41\,542 \ \text{cm}^4 \\ &\quad \text{HEA 340} : \ 27\,690 \ \Rightarrow \ \delta = 30{,}01 \ \text{mm}, \ \text{taux} \ 1{,}500 \ \Rightarrow \ \text{refuse} \\ &\quad \text{HEA 360} : \ 33\,090 \ \Rightarrow \ \delta = 25{,}11 \ \text{mm}, \ \text{taux} \ \mathbf{1{,}255} \ \Rightarrow \ \textbf{refuse} \\ &\quad \text{HEA 400} : \ 45\,070 \ \Rightarrow \ \delta = 18{,}43 \ \text{mm}, \ \text{taux} \ \mathbf{0{,}922} \ \Rightarrow \ \text{convient} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le HEA 360 est refusé, avec un taux de 1,255. Seul le HEA 400 satisfait le critère, à 0,922. Les proposer tous deux revenait donc à se tromper une fois sur deux.

Ordre de grandeur : Trois crans de profilé séparent le HEA 300 du HEA 400, et la masse passe de 88,3 à 125,0 kg/m — soit 42 % de plus. C'est le prix de la rigidité.
Impact sur la suite : Le HEA 400 devra encore être vérifié avec son propre poids propre, qui est nettement supérieur à celui du HEA 300. La marge de 8 % va se réduire.
Cohérence : La valeur d'inertie de 51 580 cm⁴ qui circule pour le HEA 400 dépasse de 14,4 % la valeur normalisée. Employée telle quelle, elle ferait conclure à un taux de 0,806 au lieu de 0,922.
Attention : Suggérer « un HEA 360 ou HEA 400 » revient à laisser croire que les deux conviennent. Un lecteur pressé retiendra le plus léger — celui qui ne passe pas.
Comparaison : En resserrant la course du chariot à 4 mètres, la flèche du HEA 300 tomberait à 23,4 mm — encore refusée, mais le HEA 340 suffirait alors. Un mètre de course vaut deux crans de profilé.

Remarque pédagogique : Le rapport entre flèche et inertie offre un outil de balayage qu'il vaut la peine d'employer systématiquement. Comme les charges ne changent pas et que la flèche varie en \( 1/I_{\text{y}} \), il suffit de calculer une seule flèche puis de multiplier par le rapport des inerties pour obtenir toutes les autres. Mieux : on peut inverser et calculer directement l'inertie requise — ici \( 18\,260 \times 2{,}275 = 41\,542\ \text{cm}^4 \) —, ce qui transforme la recherche en une simple lecture de colonne. Cette démarche est l'exact pendant, pour l'état-limite de service, du module plastique requis pour l'état-limite ultime : dans les deux cas, on convertit une vérification en critère de sélection, et le catalogue se lit alors d'un trait. Sur une console, où c'est la flèche qui gouverne, c'est même par là qu'il faudrait commencer.

Le HEA 400 vérifié, poids propre réintégré

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un profilé n'est retenu qu'après vérification complète, et parce que l'hypothèse de poids propre de la question 1 reste ouverte.

Méthodologie du calcul :

On reprend les quatre vérifications sur le HEA 400 — classe, flexion, cisaillement, flèche — en réintégrant cette fois son poids propre dans la charge permanente.

Substitution : HEA 400 : \( W_{\text{pl},\text{y}} = 2\,562\ \text{cm}^3 \), \( I_{\text{y}} = 45\,070\ \text{cm}^4 \), \( A_{\text{v}} = 57{,}33\ \text{cm}^2 \), 125,0 kg/m.
Piège évité : Oublier de refermer la boucle. Le HEA 400 pèse 1,226 kN/m, soit 0,36 de plus que le HEA 300 : cela ajoute 0,4 % à la charge de service.
Hypothèse validée : La classe redevient 1 : \( c_{\text{f}}/t_{\text{f}} = 6{,}18 \le 9\varepsilon = 8{,}32 \). Les grands HEA épaississent leurs semelles plus vite qu'ils ne les élargissent.
Vérification croisée : Si l'on suppose que les 5,0 kN/m annoncés ne couvraient que le HEA 300, il faut ajouter la différence — et la flèche monte à 19,45 mm, soit un taux de 0,972.
Finalité : Conclure sur un profilé vérifié, et dire ce qu'il reste de marge.

\[ \begin{aligned} \text{classe} &: \ c_{\text{f}}/t_{\text{f}} = 6{,}18 \ \le \ 9\,\varepsilon = 8{,}32 \ \Rightarrow \ \textbf{classe 1} \\ &\quad \text{flexion} : \ M_{\text{c},\text{Rd}} = 704{,}5 \ \text{kN}\cdot\text{m} \ \Rightarrow \ \text{taux} \ 0{,}482 \\ &\quad \text{cisaillement} : \ V_{\text{pl},\text{Rd}} = 910{,}6 \ \text{kN} \ \Rightarrow \ \text{taux} \ 0{,}110 \\ &\quad \text{fleche} : \ \delta = 7{,}43 + 11{,}01 = 18{,}43 \ \text{mm} \ \Rightarrow \ \text{taux} \ \mathbf{0{,}922} \\ &\quad \text{avec son poids propre} : \ \delta = 19{,}45 \ \text{mm} \ \Rightarrow \ \text{taux} \ \mathbf{0{,}972} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le HEA 400 satisfait les quatre critères, et c'est la flèche qui gouverne à 0,922 — ou 0,972 si l'on réintègre explicitement son poids propre. La flexion, elle, n'est plus qu'à 0,482.

Ordre de grandeur : La flexion tombe à 0,482 quand la flèche est à 0,922. L'écart d'un facteur deux mesure exactement le surdimensionnement en résistance qu'impose le critère de rigidité.
Impact sur la suite : La marge en flèche n'est que de 2,8 % une fois le poids propre réintégré. Or la formule ignore la souplesse de l'encastrement, qui peut ajouter 10 à 30 %.
Cohérence : La classe redevient 1 sur le HEA 400 alors que le HEA 300 était en classe 2. Les grands profilés de la série sont plus favorables — leurs semelles s'épaississent plus vite qu'elles ne s'élargissent.
Attention : Avec 2,8 % de marge et un encastrement dont la raideur n'est pas modélisée, ce dimensionnement est fragile. Un HEA 450, à 0,652, ou une contre-flèche seraient plus sûrs.
Comparaison : Le HEA 450 donnerait 13,04 mm, soit un taux de 0,652, pour 14,8 kg/m de plus. Sur une potence dont l'encastrement est incertain, le supplément se défend.

Remarque pédagogique : La marge de 2,8 % appelle une réserve, parce que la formule employée est optimiste par construction. Elle suppose un encastrement parfaitement rigide, c'est-à-dire une liaison qui ne tourne pas d'un degré sous le moment de 339 kN·m qu'elle encaisse. Aucune liaison réelle ne fait cela : une potence scellée dans un mur, boulonnée sur un poteau ou fixée par une platine présente toujours une souplesse en rotation, et cette rotation se traduit directement en flèche supplémentaire à l'extrémité — proportionnellement à la longueur de la console. Un supplément de 10 à 30 % est courant. Avec 15 % seulement, la flèche du HEA 400 passerait à 22,4 mm et franchirait la limite. Sur une potence, où l'encastrement est rarement modélisé finement, il est donc prudent soit de garder une marge plus confortable, soit de calculer la raideur de la liaison — ce qui vaut toujours mieux qu'une hypothèse.

FLÈCHE EN BOUT DE CONSOLE — LA LIMITE EST À 20 mm

RÉSULTAT FINAL

\( \delta \) = 45,50 mm > 20 — HEA 300 refusé

"Le HEA 360 suggéré ne passe pas non plus : il faut un HEA 400, qui retombe à 0,972 avec son poids propre."

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

BILAN DES CALCULS

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cette étude, vérifiez que vous avez assimilé ce qui distingue une console d'une poutre sur appuis :

J'ai recoupé les deux valeurs de catalogue — module plastique et aire de cisaillement — par leurs rapports de contrôle, avant de les employer. J'ai chiffré l'hypothèse de poids propre et refermé la boucle une fois le profilé choisi. J'ai établi la classe paroi par paroi, en tenant compte du coefficient de nuance qui resserre les limites en S275. J'ai examiné l'interaction moment-tranchant, pertinente ici puisque les deux maximums coexistent à l'encastrement. J'ai vérifié chaque profilé de remplacement au lieu de le suggérer, et réintégré son propre poids propre.

Avis technique — potence CONFORME avec un HEA 400. Sur 5,00 m de porte-à-faux, la console reprend 339,4 kN·m de moment et 99,75 kN d'effort tranchant à l'encastrement, tous deux maximaux dans la même section. C'est la flèche qui dimensionne : le HEA 400 fléchit de 18,43 mm pour 20,0 admissibles, soit 0,922 — et 0,972 une fois son propre poids réintégré, ce qui n'est pas négligeable puisqu'il représente 24,5 % des charges permanentes. La flexion, elle, ne travaille qu'à 0,482 et le cisaillement à 0,110. Une réserve conditionne cet avis : la marge de flèche n'est que de 2,8 % poids propre compris, si bien qu'un équipement suspendu à la potence — palan, chemin de roulement, protection — imposerait un nouveau calcul. Deux vérifications restent hors périmètre : le déversement, qui est la vraie question d'une console de cette longueur puisque le moment négatif comprime la semelle inférieure, celle qu'aucun plancher ne maintient ; et l'assemblage d'encastrement, qui doit transmettre 339 kN·m et n'est pas décrit.

La plus-value technique de cette étude tient précisément là : elle ne se contente pas de vérifier une section, elle désigne le critère qui dimensionne, réintègre un poids propre qui pèse un quart des charges, et nomme l'instabilité qui reste à traiter.

Cisaillement et Moment d'un Profilé HEA

Cisaillement et Moment d'un Profilé HEA

Le premier mois à 1 €

Potence en console — cisaillement, moment et flèche d'un profilé HEA

Contexte de l'Étude & Enjeux

GÉOMÉTRIE, CHARGEMENT ET MATÉRIAU

COEFFICIENTS PARTIELS ET HYPOTHÈSES

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Charges de calcul à l'état-limite ultime

Question 2 : Efforts maximaux à l'encastrement

Question 3 : Catalogue, classe de section et vérifications de résistance

Question 4 (Finale) : Flèche à l'ELS et profilé définitif

Potence en console — cisaillement, moment et flèche d'un profilé HEA

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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