Cisaillement d'une Section Rectangulaire en Bois

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Le cisaillement est la faiblesse structurelle du bois : sa résistance y est six fois moindre qu'en flexion, et la rupture y est fragile, sans flèche annonciatrice. Pourtant, sur une poutre courante, le cisaillement ne gouverne presque jamais — et c'est là tout le paradoxe de cette vérification. Elle est indispensable, elle passe neuf fois sur dix, et la dixième fois elle explique une pathologie que rien d'autre n'expliquait. Cet exercice suit une solive de plancher 75 × 220 mm en C24, portée 4,00 m, chargée en son milieu par une cloison. Il ira jusqu'aux deux configurations où le cisaillement reprend la main : l'entaille d'appui et la portée courte.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Une solive de plancher en bois massif C24, section 75 × 220 mm, portée 4,00 m sur deux appuis simples, chargée par une charge ponctuelle de 15 kN à mi-portée — la descente de charge d'une cloison.
Environnement : Classe de service 2, charge de moyenne durée : \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) selon le tableau 3.1. La charge de 15 kN est déjà pondérée à l'ELU, aucune combinaison n'est à écrire.
L'objectif final : Mener la vérification au cisaillement jusqu'au bout, coefficient de fissuration compris, puis répondre à la vraie question : quand le cisaillement devient-il dimensionnant, et de combien ?
L'astuce de l'ingénieur : Ne vérifiez jamais le cisaillement seul. Une poutre qui passe au cisaillement peut être largement dépassée en flexion, et l'inverse est vrai près des appuis entaillés. Les deux vérifications portent sur des sections différentes de la même pièce.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur structure et l'entreprise vous soumet un plan de plancher où les solives sont entaillées à leurs appuis pour rattraper un niveau. Votre travail consiste à mener la vérification au cisaillement de la section courante, puis à examiner ce que l'entaille change — car c'est le détail qui, en pratique, fait fendre les solives.

Le grand défi : Ne pas oublier le coefficient de fissuration \( k_{\text{cr}} \) du § 6.1.7. Il réduit la largeur efficace d'un tiers, et son omission surestime la capacité de 49 % — dans le sens du danger.
Votre rôle : Produire une note complète : effort tranchant, distribution des contraintes, taux de travail au cisaillement, puis une comparaison avec la flexion et un avis sur l'entaille projetée.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — la vérification courante : l'effort tranchant \( V_{\text{Ed}} \), le moment statique et le moment quadratique, la contrainte de cisaillement sur largeur efficace, et le taux de travail.
Livrable 2 — la mise en perspective : la comparaison avec le taux de flexion, le coefficient d'entaille \( k_{\text{v}} \) et le taux au droit de l'appui entaillé, et la portée en deçà de laquelle le cisaillement devient dimensionnant.

2. Données Techniques & Normes

Le calcul est mené selon la NF EN 1995-1-1 avec les valeurs de l'annexe nationale française, et les caractéristiques du bois massif proviennent de la NF EN 338. Deux clauses gouvernent cet exercice : le § 6.1.7, qui impose de réduire la largeur de section par le coefficient de fissuration \( k_{\text{cr}} \), et le § 6.5.2, qui traite des poutres entaillées et introduit un coefficient \( k_{\text{v}} \) réduisant la résistance admissible. C'est cette seconde clause qui explique la plupart des fentes observées sur chantier.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Effort tranchant, charge ponctuelle centrée \( V_{\text{Ed}} = \dfrac{F_{\text{d}}}{2} \)
Moment statique de la demi-section rectangulaire \( S_{\max} = \dfrac{b\,h^{2}}{8} \)
Moment quadratique d'une section rectangulaire \( I_{y} = \dfrac{b\,h^{3}}{12} \)
Formule de Jourawski \( \tau = \dfrac{V\,S}{I\,b} \)
Largeur efficace au cisaillement — § 6.1.7 \( b_{\text{ef}} = k_{\text{cr}}\,b \)
Contrainte de cisaillement, section rectangulaire \( \tau_{\text{d}} = \dfrac{3}{2}\;\dfrac{V_{\text{Ed}}}{b_{\text{ef}}\,h} \)
Résistance de calcul — § 2.4.1 \( f_{\text{v},\text{d}} = \dfrac{k_{\text{mod}}\;f_{\text{v},\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \)
Moment maximal, charge ponctuelle centrée \( M_{\text{Ed}} = \dfrac{F_{\text{d}}\,L}{4} \)
Coefficient d'entaille, angle vif — § 6.5.2 \( k_{\text{v}} = \min\left\{1 ;\; \dfrac{k_{\text{n}}}{\sqrt{h}\left(\sqrt{\alpha(1-\alpha)} + 0{,}8\,\dfrac{x}{h}\sqrt{\dfrac{1}{\alpha} - \alpha^{2}}\right)}\right\} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( b \times h \)	Section de la solive, bois massif rectangulaire plein	75 × 220	mm
\( L \)	Portée entre appuis, poutre isostatique	4 000	mm
\( f_{\text{v},\text{k}} \)	Résistance caractéristique au cisaillement du C24, version 2016 de la norme NF EN 338 - Tableau 1	4,0	N/mm²
\( f_{m,\text{k}} \)	Résistance caractéristique en flexion, pour la comparaison de la question 4 NF EN 338 - Tableau 1	24	N/mm²
\( \rho_{\text{k}} \)	Masse volumique caractéristique, pour contrôler l'hypothèse sur le poids propre NF EN 338 - Tableau 1	350	kg/m³
\( \gamma_{\text{M}} \)	Coefficient partiel du bois massif EN 1995-1-1 - Tableau 2.3	1,30	—
\( k_{\text{mod}} \)	Classe de service 2, charge de moyenne durée EN 1995-1-1 - Tableau 3.1	0,80	—
\( k_{\text{cr}} \)	Coefficient de fissuration, appliqué à la largeur au cisaillement EN 1995-1-1 - § 6.1.7	0,67	—
\( k_{\text{n}} \)	Coefficient d'entaille propre au bois massif — 6,5 en lamellé-collé EN 1995-1-1 - § 6.5.2	5	—

Les deux réductions qui pèsent sur le cisaillement

Sur la section : \( k_{\text{cr}} = 0{,}67 \text{ reduit la } \textbf{largeur} \text{, jamais la resistance} \)
Sur la resistance : \( k_{\text{v}} \text{ du } \S\,6.5.2 \text{ reduit } f_{\text{v},\text{d}} \text{ au droit d une entaille} \)
Elles se cumulent : \( \text{une solive entaillee subit les deux en meme temps} \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( F_{\text{d}} \)	Charge ponctuelle à mi-portée, déjà pondérée à l'ELU — descente de charge d'une cloison	15	kN
\( \alpha \)	Rapport de la hauteur restante à la hauteur totale au droit de l'entaille	0,7	—
\( x \)	Distance entre l'axe de l'appui et l'angle rentrant de l'entaille	50	mm
\( i \)	Pente de l'entaille — nulle pour un angle vif, cas le plus défavorable	0	—

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Fleche a l ELS : \( \S\,7.2 \text{ — non demandee, mais souvent dimensionnante sur une solive} \)
Compression transversale : \( \S\,6.1.5 \text{ — a verifier sur la longueur d appui reelle} \)
Renfort de l entaille : \( \S\,8 \text{ — vis ou plaques collees, hors sujet ici} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Coefficients de forme du cisaillement selon la section

Forme de la section	\( \tau_{\max}/\tau_{\text{moy}} \)
Rectangle plein	3/2 = 1,50
Cercle plein	4/3 ≈ 1,33
Profilé en I, âme mince	très supérieur à 1,5

Ce coefficient traduit le fait que la contrainte de cisaillement n'est pas uniforme sur la hauteur. Elle est nulle aux fibres extrêmes, où il n'y a plus de matière au-delà pour transmettre le glissement, et maximale sur l'axe neutre. Se contenter de la contrainte moyenne \( V/A \) sous-estime donc la réalité de 33 % sur un rectangle.

Le coefficient d'entaille \( k_{\text{v}} \) — § 6.5.2

Paramètre	Signification
\( \alpha = h_{\text{ef}}/h \)	fraction de hauteur conservée
\( x \)	distance de l'appui à l'angle rentrant, en mm
\( i \)	pente de l'entaille, 0 pour un angle vif
\( k_{\text{n}} \)	5 en bois massif, 6,5 en lamellé-collé, 4,5 en LVL

La formule ne décrit pas une perte de section mais une concentration de contraintes. L'angle rentrant d'une entaille est une amorce de fissure : la traction perpendiculaire au fil s'y concentre, et la résistance du bois y tombe à 0,4 N/mm², contre 14,5 dans le sens des fibres. Une entaille inclinée, avec \( i > 0 \), améliore nettement le coefficient — c'est pourquoi les charpentiers taillent des about en sifflet plutôt qu'à angle droit.

Quand le cisaillement gouverne-t-il vraiment ?

Poutres courtes : le moment varie en \( L \), l'effort tranchant ne varie pas — le rapport bascule sous une portée critique
Appuis entaillés : le coefficient \( k_{\text{v}} \) peut diviser la résistance par deux
Charges près des appuis : tout l'effort transite sur une faible longueur
Sections composées : poutres en I ou caissons, où l'âme est mince

Sur une solive de plancher courante, c'est presque toujours la flèche qui dimensionne, puis la flexion, et le cisaillement arrive loin derrière. Cela n'autorise pas à sauter la vérification : les quatre configurations ci-dessus sont fréquentes, et la rupture par cisaillement, elle, ne prévient pas.

Traçabilité des valeurs employées

Les clauses et formules employées ici proviennent de la documentation officielle de la Commission européenne sur l'EN 1995-1-1. Les valeurs tabulées suivantes sont rattachées à la norme et, le cas échéant, au paramètre national qui les fixe :

\( f_{\text{v},\text{k}} = 4{,}0 \) et \( f_{m,\text{k}} = 24 \) N/mm² pour le C24 — NF EN 338, tableau 1, version 2016
\( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \) et \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) — tableaux 2.3 et 3.1
\( k_{\text{cr}} = 0{,}67 \) — § 6.1.7, valeur de l'annexe nationale
Expression de \( k_{\text{v}} \) et valeur \( k_{\text{n}} = 5 \) — § 6.5.2
L'application de \( k_{\text{cr}} \) au droit d'une entaille : le § 6.5.2 écrit \( b \) et non \( b_{\text{ef}} \). Le cumul retenu ici est sécuritaire et doit être confirmé sur le texte de l'annexe nationale

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Effort tranchant de calcul et contrôle de l'hypothèse

Statique 20 min | Accessible

But de l'étape : Établir la sollicitation à confronter à la résistance, et justifier l'hypothèse de l'énoncé qui néglige le poids propre — une hypothèse ne se pose pas, elle se vérifie.

Énoncé Q1 : À partir de la charge ponctuelle de calcul :

calculer l'effort tranchant maximal \( V_{\text{Ed}} \) et préciser où il se situe ;
évaluer le poids propre linéique de la solive à partir de \( \rho_{\text{k}} \) ;
chiffrer la part qu'il représenterait dans l'effort tranchant, et conclure sur l'hypothèse.

« Négligeable » n'est pas une affirmation, c'est une conclusion — qui suppose un calcul .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Pour une charge ponctuelle centrée, la symétrie donne immédiatement les réactions d'appui. L'effort tranchant est ensuite constant de l'appui jusqu'à la charge, où il change brusquement de signe : le diagramme est un simple rectangle par morceaux.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( V_{\text{Ed}} = 15\,000/2 = 7\,500 \) N. Pour le poids propre, \( g = b\,h\,\rho_{\text{k}}\,g_{0} \) donne environ 0,057 kN/m, soit un effort tranchant supplémentaire de 0,153 kN — à peine 2 % du total.

Question 2 : Moment statique et distribution de Jourawski

Résistance des matériaux 30 min | Standard

But de l'étape : Comprendre d'où vient le facteur 3/2 que tout le monde applique sans le démontrer. La formule de Jourawski appliquée à un rectangle le produit en trois lignes.

Énoncé Q2 : Pour la section 75 × 220 mm :

calculer le moment statique \( S_{\max} \) de la demi-section et le moment quadratique \( I_{y} \) ;
appliquer la formule de Jourawski sur la section brute et retrouver la valeur donnée par \( 1{,}5\,V/A \) ;
comparer à la contrainte moyenne \( V/A \) et quantifier l'écart.

Les deux voies doivent donner exactement le même nombre. Si ce n'est pas le cas, l'une des deux est fausse.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le moment statique est le produit d'une aire par la distance de son centre de gravité à l'axe neutre. Pour la demi-section rectangulaire, l'aire vaut \( b\,h/2 \) et son centre de gravité se trouve à \( h/4 \) de l'axe. Le produit se simplifie en une expression très courte.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( S_{\max} = b h^{2}/8 = 453\,750 \) mm³ et \( I_{y} = b h^{3}/12 = 66{,}55 \times 10^{6} \) mm⁴. Jourawski donne alors 0,68 N/mm² sur section brute, exactement comme \( 1{,}5 \times 7\,500/16\,500 \).

Question 3 : Vérification au cisaillement avec fissuration

Vérification ELU 25 min | Piège

But de l'étape : Passer de la contrainte théorique de la question 2 à la contrainte réglementaire. L'écart entre les deux est d'un facteur 1,5, et il tient à une seule clause.

Énoncé Q3 : En citant les clauses employées :

déterminer la largeur efficace \( b_{\text{ef}} \) et expliquer ce que traduit ce coefficient ;
recalculer la contrainte de cisaillement \( \tau_{\text{d}} \) sur cette largeur ;
établir la résistance de calcul \( f_{\text{v},\text{d}} \) et conclure sur le taux de travail.

Le coefficient de fissuration s'applique à la largeur, jamais à la résistance. Cette distinction n'est pas cosmétique .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le bois se fend en séchant, et ces fentes se développent dans le plan longitudinal — celui-là même où transite le cisaillement. Une fente ne transmet aucun effort : la norme retire donc de la matière, pas de la résistance.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( b_{\text{ef}} = 0{,}67 \times 75 = 50{,}25 \) mm, d'où \( \tau_{\text{d}} = 1{,}5 \times 7\,500/(50{,}25 \times 220) = 1{,}02 \) N/mm². Avec \( f_{\text{v},\text{d}} = 0{,}80 \times 4{,}0/1{,}30 = 2{,}46 \) N/mm², le taux avoisine 41 %.

Question 4 (Finale) : Quand le cisaillement devient-il dimensionnant ?

Synthèse et décision 40 min | BOSS

But de l'étape : Sortir du calcul isolé. Un taux de 41 % ne veut rien dire tant qu'on ignore ce que donne la flexion sur la même poutre — et tant qu'on n'a pas examiné le détail d'appui réellement prévu.

Mention spéciale — l'entaille, cause première des fentes de solive : Une entaille d'appui à angle vif crée une concentration de traction perpendiculaire au fil, direction dans laquelle le bois est trente-six fois plus faible qu'en traction axiale — 0,4 contre 14,5 N/mm². Le § 6.5.2 en tient compte par un coefficient \( k_{\text{v}} \) qui peut diviser la résistance admissible par deux.

Vérifier la même solive en flexion et comparer les deux taux. Calculer ensuite le coefficient d'entaille \( k_{\text{v}} \) pour l'about prévu, et le taux de travail au droit de l'appui entaillé. Établir enfin la portée en deçà de laquelle le cisaillement rejoindrait la flexion, et rédiger un avis technique sur le plan proposé.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le moment varie proportionnellement à la portée tandis que l'effort tranchant, lui, ne varie pas : il vaut toujours \( F/2 \). Écrivez l'égalité des deux taux de travail et isolez \( L \) — vous obtiendrez la portée de bascule.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( M_{\text{Ed}} = F_{\text{d}}L/4 = 15 \) kN·m et \( W_{y} = 605\,000 \) mm³ : le taux de flexion dépasse 1. Pour l'entaille, \( \alpha = 0{,}7 \), \( x = 50 \) mm et \( k_{\text{n}} = 5 \) donnent \( k_{\text{v}} \approx 0{,}53 \). La portée de bascule tombe sous le mètre.

NOTE DE CALCULS

Cisaillement d'une solive C24 : de Jourawski à l'entaille d'appui

Question 1 : Effort tranchant de calcul et contrôle de l'hypothèse

Dans la tête de l'ingénieur

"Une charge centrée sur une poutre isostatique : la symétrie fait tout le travail, chaque appui reprend la moitié. Ce qui m'intéresse davantage, c'est l'hypothèse posée par l'énoncé — négliger le poids propre. Elle est probablement juste, mais je refuse de l'accepter sans la chiffrer. Une hypothèse qu'on ne vérifie pas est une hypothèse qu'on subit, et le jour où la même formulation apparaîtra sur une poutre de 12 m portant une couverture lourde, elle sera fausse sans que personne s'en aperçoive. Le calcul me coûte deux lignes : la masse volumique du C24 est dans la même ligne de tableau que la résistance au cisaillement."

Observation : La charge est annoncée déjà pondérée à l'ELU. Aucune combinaison n'est à écrire, ce qui est rare et mérite d'être relevé explicitement dans la note.
Analyse du risque : Oublier la conversion des kN en N décalerait toutes les contraintes d'un facteur mille. L'erreur est grossière, donc facile à repérer — mais elle se produit.
Choix stratégique : Je travaille en newtons et millimètres du début à la fin. Les contraintes sortiront directement en N/mm², sans aucune conversion intermédiaire.
Alternative : J'aurais pu accepter l'hypothèse de l'énoncé sans discussion. Mais un ingénieur qui n'a jamais chiffré ce qu'il néglige ne sait pas à partir de quand il ne peut plus le négliger.
Objectif visé : Sortir avec un effort tranchant en newtons et une hypothèse validée par un nombre, pas par une affirmation.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( V_{\text{Ed}} = \) 7 500 N, constant de l'appui à la charge · poids propre \( g = 0{,}057 \) kN/m, soit 2 % de l'effort tranchant — hypothèse validée

Rappel Théorique : l'effort tranchant

L'effort tranchant est le plus mal compris des efforts internes, parce qu'il ne se voit pas. Une poutre qui fléchit se remarque ; une poutre qui cisaille ne donne aucun signe jusqu'à la fente.

Principe 1 — c'est une tendance au glissement : L'effort tranchant mesure la tendance de deux sections voisines à glisser l'une par rapport à l'autre. C'est l'effort que devraient exercer des ciseaux géants pour trancher la poutre à cet endroit.
Principe 2 — il est la dérivée du moment : \( V = \mathrm{d}M/\mathrm{d}x \). Le moment est donc maximal là où l'effort tranchant s'annule, et réciproquement. Les deux vérifications portent sur des sections différentes de la même poutre.
Principe 3 — sous charge ponctuelle, il est constant par morceaux : Entre deux charges, rien ne le fait varier. Le diagramme est un escalier, dont chaque marche vaut l'intensité de la charge franchie.
Principe 4 — il est maximal aux appuis : C'est là que transite toute la charge d'un demi-versant. Le cisaillement se vérifie donc aux appuis, alors que la flexion se vérifie en travée.
Principe 5 — le glissement est aussi horizontal : Le théorème de Cauchy impose l'égalité des contraintes de cisaillement sur deux facettes perpendiculaires. C'est la composante parallèle au fil qui est critique pour le bois, et c'est elle qui provoque la fente.

Équations Fondamentales

Deux relations élémentaires : l'effort tranchant d'une poutre isostatique chargée en son milieu, et le poids propre linéique d'une pièce de bois.

Effort tranchant sous charge ponctuelle centrée :

Il est constant de chaque appui jusqu'à la charge.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la symétrie impose des réactions d'appui égales, chacune valant la moitié de la charge. Entre l'appui et la charge, aucune force verticale n'intervient : l'effort tranchant conserve donc la valeur de la réaction sur toute cette longueur. Au droit de la charge, il chute brutalement de \( F_{\text{d}} \) et change de signe.

Contexte de validité : Poutre isostatique, charge unique et centrée. Une charge décentrée donnerait deux réactions différentes.
Avantage : Aucune intégration, aucun diagramme à construire. La symétrie donne le résultat en une ligne.
Paramètre clé : \( F_{\text{d}} \), déjà pondérée ici. Sur un cas réel, il faudrait d'abord écrire la combinaison ELU.
Vérification : La somme des deux réactions doit égaler la charge totale. C'est le contrôle d'équilibre le plus élémentaire, et il ne coûte rien.
Limite : Le § 6.1.7(2) permet de négliger les charges concentrées situées à moins d'une hauteur \( h \) de l'appui. Ici la charge est à mi-portée : la disposition ne s'applique pas.

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} = \frac{F_{\text{d}}}{2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : tout ce qui descend doit remonter par les appuis, à parts égales si la charge est au milieu. C'est le principe d'équilibre le plus simple qui soit, et pourtant c'est de lui que découle toute la vérification au cisaillement : la matière doit transmettre ces 7 500 N depuis le point d'application jusqu'à l'appui.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{Ed}} \) : effort tranchant de calcul, maximal aux appuis, unité : N
\( F_{\text{d}} \) : charge ponctuelle de calcul, déjà pondérée à l'ELU, unité : N
Diviseur 2 : conséquence directe de la symétrie, unité : —
Position : constant de l'appui à la charge, unité : —
Signe : s'inverse au droit de la charge, unité : —

Poids propre linéique d'une pièce de bois :

Il permet de contrôler l'hypothèse posée par l'énoncé.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une hypothèse de calcul doit être justifiée, et que celle-ci l'est en deux lignes. La masse volumique caractéristique figure dans la même ligne de tableau que les résistances : il n'y a aucune donnée supplémentaire à chercher. Le résultat obtenu permettra de dire, avec un nombre, si l'omission est acceptable — et à partir de quelle géométrie elle cesserait de l'être.

Contexte de validité : Pièce de section constante. Une poutre de hauteur variable demanderait une intégration.
Avantage : Elle transforme une hypothèse implicite en ligne de note traçable, ce qui est exactement ce qu'un vérificateur attend.
Paramètre clé : \( \rho_{\text{k}} \), la masse volumique caractéristique — 350 kg/m³ pour le C24, contre 420 pour la valeur moyenne.
Vérification : Une solive de bois pèse quelques dizaines de kilogrammes par mètre. Un résultat en centaines de kilogrammes signalerait une erreur de puissance de dix.
Limite : Le poids propre est une charge permanente, à pondérer par 1,35 et non par 1,50. Sa classe de durée est également différente de celle de la charge d'exploitation.

\[ \begin{aligned} g = b\,h\,\rho_{\text{k}}\,g_{0} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une poutre porte d'abord elle-même, et il faut savoir combien cela lui coûte. Sur une solive de plancher, c'est anecdotique ; sur une poutre de grande portée en lamellé-collé, le poids propre peut représenter le tiers de la charge. La formule est la même, la conclusion est opposée — d'où l'obligation de calculer plutôt que de supposer.

Décomposition des termes :

\( g \) : charge permanente linéique due au poids propre, unité : kN/m
\( b\,h \) : aire de la section droite, à exprimer en m², unité : m²
\( \rho_{\text{k}} \) : masse volumique caractéristique, 350 pour le C24, unité : kg/m³
\( g_{0} \) : accélération de la pesanteur, 9,81, unité : m/s²
À ne pas confondre : \( \rho_{\text{mean}} = 420 \) kg/m³, valeur moyenne, unité : kg/m³

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de repondérer une charge déjà donnée à l'ELU..."

L'approche d'ingénieur : L'automatisme « je vois une charge, je multiplie par 1,35 ou 1,50 » est utile neuf fois sur dix. Ici il conduit à une double pondération.

L'erreur : Écrire \( V_{\text{Ed}} = 1{,}5 \times 15\,000/2 \). L'effort tranchant serait majoré de 50 % et le dimensionnement inutilement pénalisé.
La bonne méthode : Repérer l'indice. Un indice « k » désigne une valeur caractéristique à pondérer ; un indice « d », comme dans \( F_{\text{d}} \), désigne une valeur de calcul déjà pondérée.
L'astuce de pro : Écrire explicitement en tête de note : « charges fournies à l'ELU, aucune combinaison à appliquer ». Le vérificateur saura immédiatement à quoi s'en tenir.
Le moyen mnémotechnique : « k comme caractéristique, d comme design » — l'indice porte toute l'information.
L'impact direct : Sur un projet, une double pondération conduit à commander des sections plus fortes que nécessaire, sans que rien ne le signale : le calcul reste cohérent, il est simplement faux dans le sens du surcoût.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( F_{\text{d}} \) : donnée en kN , à convertir en N pour la suite
\( V_{\text{Ed}} \) : exprimé en N , pour obtenir des N/mm²
\( b \) et \( h \) : en mm pour les contraintes, en m pour le poids propre
\( \rho_{\text{k}} \) : exprimée en kg/m³ , donc à combiner avec des mètres
\( g \) : obtenue en N/m, soit des kN/m après division par mille

Le piège d'unité de cette question tient au changement de système entre les deux calculs. L'effort tranchant se traite en newtons et millimètres, parce que les contraintes qui suivront doivent sortir en N/mm². Le poids propre, lui, se calcule naturellement en mètres, puisque la masse volumique est donnée en kg/m³. Passer de l'un à l'autre demande un facteur \( 10^{6} \) sur les aires, qu'il vaut mieux poser explicitement plutôt que de tenter de tête.

1. Résolution Numérique Effort tranchant maximal de calcul

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la sollicitation que la matière devra transmettre. Tout l'exercice consiste ensuite à savoir si elle en est capable.

Méthodologie du calcul :

Conversion de la charge en newtons, puis application de la symétrie.

Substitution : \( F_{\text{d}} = 15 \) kN, soit 15 000 N, charge unique et centrée.
Piège évité : Ne pas repondérer. L'indice d signale une valeur de calcul, déjà majorée par les coefficients partiels.
Hypothèse validée : Appuis simples et charge parfaitement centrée : les deux réactions sont égales.
Vérification croisée : La somme des réactions, \( 7\,500 + 7\,500 = 15\,000 \) N, doit égaler la charge appliquée. L'équilibre est vérifié.
Finalité : Cette valeur entrera dans toutes les formules de cisaillement de l'exercice.

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} &= \frac{F_{\text{d}}}{2} = \frac{15\,000}{2} \\ &= \mathbf{7\,500} \text{ N} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

7 500 N, soit un peu plus de 750 kg par appui. Voyons ce que cela représente.

Ordre de grandeur : Trois quarts de tonne transitent par chaque appui. Pour une cloison, c'est une valeur courante sur une portée de quatre mètres.
Impact sur la suite : Cet effort est constant de l'appui jusqu'à la charge : la vérification au cisaillement vaut donc sur toute cette longueur, pas seulement à l'appui.
Cohérence : Le moment fléchissant associé vaut \( F_{\text{d}}L/4 = 15 \) kN·m à mi-portée, là précisément où l'effort tranchant change de signe.
Attention : Une charge répartie de même résultante donnerait le même effort tranchant aux appuis, mais un moment deux fois plus faible. La forme du chargement compte.
Comparaison : Si la charge était placée à un mètre de l'appui, la réaction voisine monterait à 11,25 kN et l'effort tranchant avec elle.

Remarque pédagogique : Faites tracer le diagramme d'effort tranchant avant tout calcul de contrainte. Il montre d'un coup d'œil que l'effort est constant sur toute la demi-portée, ce qui répond par avance à la question « où vérifier ? ». Il rappelle aussi que le moment est maximal là où ce diagramme coupe l'axe — relation que beaucoup d'étudiants récitent sans jamais l'avoir vue.

Poids propre linéique de la solive

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour vérifier l'hypothèse de l'énoncé plutôt que de l'accepter. Un ingénieur ne néglige que ce qu'il a mesuré.

Méthodologie du calcul :

Produit de l'aire de section par la masse volumique caractéristique et par la pesanteur, en unités mètres.

Substitution : \( b\,h = 0{,}075 \times 0{,}220 = 0{,}0165 \) m² et \( \rho_{\text{k}} = 350 \) kg/m³.
Piège évité : Ne pas employer \( \rho_{\text{mean}} = 420 \) kg/m³. Pour une charge permanente défavorable, la valeur caractéristique est celle que retient l'Eurocode.
Hypothèse validée : Bois à l'humidité d'équilibre de la classe de service 2. Un bois vert pèserait sensiblement davantage.
Vérification croisée : \( 0{,}0165 \times 350 = 5{,}78 \) kg par mètre linéaire. L'ordre de grandeur d'une solive de plancher est bien de quelques kilogrammes au mètre.
Finalité : Permettre de chiffrer, à l'étape suivante, la part réelle du poids propre dans l'effort tranchant.

\[ \begin{aligned} g &= b\,h\,\rho_{\text{k}}\,g_{0} = 0{,}075 \times 0{,}220 \times 350 \times 9{,}81 \\ &= 56{,}7 \text{ N/m} = \mathbf{0{,}057} \text{ kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,057 kN/m, soit moins de six kilogrammes par mètre. Voyons ce que cela pèse dans l'ensemble.

Ordre de grandeur : Sur les quatre mètres de portée, la solive pèse 23 kg au total — moins qu'un sac de ciment.
Impact sur la suite : Cette charge est répartie, non ponctuelle : son effort tranchant à l'appui vaut \( gL/2 \), pondéré par 1,35.
Cohérence : C'est la légèreté qui fait tout l'intérêt du bois en réhabilitation : à capacité égale, une poutre acier ou béton pèserait bien davantage.
Attention : Cette conclusion est propre à cette géométrie. Une poutre lamellé-collé de 200 × 900 mm pèserait 0,68 kN/m, douze fois plus.
Comparaison : Le poids propre représente 0,4 % de la charge ponctuelle de 15 kN appliquée à mi-portée.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que la donnée nécessaire — la masse volumique — se trouvait dans la même ligne de tableau que la résistance au cisaillement. Beaucoup d'étudiants ne lisent d'une classe de bois que la valeur dont ils ont immédiatement besoin, et ignorent qu'ils disposent déjà de tout le reste. Une ligne de la NF EN 338 se lit en entier.

Part du poids propre dans l'effort tranchant

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour transformer l'hypothèse de l'énoncé en conclusion justifiée. C'est la ligne qu'un vérificateur cherchera dans la note.

Méthodologie du calcul :

Effort tranchant d'une charge répartie pondérée, rapporté à celui de la charge ponctuelle.

Substitution : \( 1{,}35 \times 0{,}057 \times 4{,}00/2 = 0{,}153 \) kN, à comparer aux 7,50 kN de la charge ponctuelle.
Piège évité : Ne pas oublier le coefficient 1,35. Le poids propre est une charge caractéristique, contrairement à \( F_{\text{d}} \).
Hypothèse validée : Poids propre défavorable, donc pondéré par 1,35. Il serait affecté de 1,0 s'il agissait dans le sens favorable.
Vérification croisée : En valeur absolue, 153 N contre 7 500 N. L'écart de deux ordres de grandeur se voit sans calculer le pourcentage.
Finalité : Valider par un nombre l'hypothèse de l'énoncé, et clore la question 1.

\[ \begin{aligned} \frac{1{,}35\,g\,L/2}{V_{\text{Ed}}} &= \frac{1{,}35 \times 0{,}057 \times 4{,}00/2}{7{,}50} \\ &= \frac{0{,}153}{7{,}50} = \mathbf{2\ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2 % : l'hypothèse de l'énoncé est confirmée. Voyons jusqu'où elle tient.

Ordre de grandeur : Deux pour cent, très en deçà du seuil habituel de 5 % en deçà duquel une contribution se néglige sans discussion.
Impact sur la suite : La note peut retenir \( V_{\text{Ed}} = 7\,500 \) N, en mentionnant le contrôle. Négliger sans le dire n'est pas la même chose que négliger après vérification.
Cohérence : L'écart de deux ordres de grandeur entre 153 N et 7 500 N rendait la conclusion prévisible, mais pas démontrée avant ce calcul.
Attention : Sur une poutre lamellé-collé de 8 m portant une toiture légère, le poids propre atteindrait facilement 20 %. La formule est identique, la conclusion s'inverse.
Comparaison : Le poids propre pèse moins sur le moment que sur l'effort tranchant : une charge répartie donne \( gL^{2}/8 \) face au \( F_{\text{d}}L/4 \) de la charge ponctuelle, et sa part n'y atteint que 1 %.

Remarque pédagogique : Faites de ce calcul un réflexe systématique : toute grandeur négligée doit être chiffrée une fois. Cela prend deux lignes, cela protège d'une erreur de jugement, et surtout cela apprend à situer le seuil. Un étudiant qui aura une fois trouvé 2 % ici et 20 % sur une grande portée saura, sans hésiter, quand l'omission cesse d'être légitime.

RÉSULTAT FINAL

Effort tranchant de calcul = 7 500 N, constant de l'appui à la charge — poids propre négligeable, vérifié à 2 %

"« Négligeable » est une conclusion, jamais une hypothèse de départ !"

Question 2 : Moment statique et distribution de Jourawski

Dans la tête de l'ingénieur

"Tout le monde applique \( 1{,}5\,V/A \) sans savoir d'où sort ce 1,5. Je vais le faire sortir. La formule de Jourawski donne la contrainte en tout point de la hauteur ; appliquée au centre d'un rectangle, elle produit exactement ce facteur. Le calcul prend trois lignes et il vaut la peine, parce qu'il explique aussi pourquoi la contrainte est nulle aux fibres extrêmes — un fait que personne ne devine et que beaucoup contredisent en imaginant, par analogie avec la flexion, un maximum sur les bords. Je vais donc calculer les deux propriétés géométriques, appliquer Jourawski, et vérifier que je retombe sur la formule courte."

Observation : Le cisaillement est maximal là où la flexion est nulle — sur l'axe neutre. Les deux distributions sont exactement complémentaires sur la hauteur.
Analyse du risque : Confondre le moment statique \( S \) en mm³ et le moment quadratique \( I \) en mm⁴ est l'erreur la plus fréquente. Les unités permettent heureusement de la détecter.
Choix stratégique : Je mène le calcul par les deux voies — Jourawski complet et formule courte. Une concordance exacte vaut tous les contrôles.
Alternative : J'aurais pu appliquer directement \( 1{,}5\,V/A \), que l'Eurocode admet explicitement. Mais un étudiant qui n'a jamais vu la démonstration appliquera ce 1,5 à un profilé en I, où il ne vaut plus rien.
Objectif visé : Sortir avec une contrainte théorique sur section brute, qui servira de point de comparaison à la valeur réglementaire de la question 3.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( S_{\max} = 453\,750 \) mm³ · \( I_{y} = 66{,}55 \times 10^{6} \) mm⁴ · \( \tau \) sur section brute = 0,68 N/mm² · contrainte moyenne 0,45 N/mm², soit 50 % de moins

Rappel Théorique : d'où vient la distribution parabolique

La contrainte de cisaillement n'est pas uniforme sur la hauteur d'une section, et sa forme est l'exact opposé de celle de la flexion. Comprendre pourquoi éclaire tout le reste.

Principe 1 — le moment statique mesure un déséquilibre : \( S = A' \, y_{\text{G}} \) est le produit d'une aire par la distance de son centre de gravité à l'axe. Plus la portion de section est grande et éloignée, plus son moment statique est important.
Principe 2 — il est nul aux bords et maximal au centre : Au bord supérieur, il n'y a plus de matière au-dessus : l'aire est nulle, donc \( S = 0 \). En descendant, l'aire croît plus vite que le bras de levier ne diminue, jusqu'à l'axe neutre où le produit est maximal.
Principe 3 — Jourawski traduit un équilibre longitudinal : La formule \( \tau = VS/(Ib) \) vient de l'équilibre d'un tronçon de poutre : si la contrainte de flexion varie d'une section à l'autre, un glissement longitudinal doit l'équilibrer.
Principe 4 — pour un rectangle, la parabole donne 3/2 : \( I \) et \( b \) étant constants, \( \tau \) suit la variation de \( S \), qui est du second degré. Le rapport du maximum à la moyenne vaut exactement 3/2.
Principe 5 — ce coefficient dépend de la forme : 4/3 pour un cercle, bien davantage pour un profilé à âme mince. Appliquer 1,5 hors des sections rectangulaires pleines est une faute, pas une approximation.

Équations Fondamentales

Deux relations : le moment statique de la demi-section rectangulaire, et la formule de Jourawski qui en fait une contrainte.

Moment statique de la demi-section rectangulaire :

C'est la valeur maximale du moment statique, atteinte sur l'axe neutre.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la portion de section située au-dessus du point considéré doit voir son effort de flexion équilibré par un glissement. Le moment statique quantifie exactement cette portion : une aire, pondérée par la distance de son centre de gravité à l'axe. Pour la demi-section, l'aire vaut \( bh/2 \) et son centre de gravité se trouve à \( h/4 \) — d'où une expression très courte.

Contexte de validité : Section rectangulaire pleine et homogène. L'axe neutre coïncide alors avec l'axe de symétrie.
Avantage : L'expression \( bh^{2}/8 \) se retient sans effort et évite de recalculer aire et centre de gravité à chaque fois.
Paramètre clé : La hauteur, au carré. Doubler la hauteur quadruple le moment statique, alors que doubler la largeur ne fait que le doubler.
Vérification : Le résultat s'exprime en mm³. Une puissance 4 signalerait une confusion avec le moment quadratique.
Limite : Pour une section composée — profilé en I, caisson —, il faut sommer les moments statiques de chaque partie selon le théorème de Varignon.

\[ \begin{aligned} S_{\max} = A'\,y_{\text{G}} = \left(\frac{b\,h}{2}\right)\left(\frac{h}{4}\right) = \frac{b\,h^{2}}{8} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici la quantité de matière qui cherche à glisser, et à quelle distance de l'axe elle se trouve. C'est cette portion supérieure qui, sous l'effet de la flexion variable, tend à se décoller du reste de la poutre. Le cisaillement est précisément ce qui l'en empêche.

Décomposition des termes :

\( S_{\max} \) : moment statique de la demi-section, unité : mm³
\( A' = b\,h/2 \) : aire de la portion située au-dessus de l'axe neutre, unité : mm²
\( y_{\text{G}} = h/4 \) : distance du centre de gravité de cette portion à l'axe, unité : mm
Aux fibres extrêmes : \( S = 0 \), donc \( \tau = 0 \), unité : —
À ne pas confondre : \( I_{y} = bh^{3}/12 \), en mm⁴, unité : mm⁴

Formule de Jourawski :

Elle donne la contrainte de cisaillement en tout point de la hauteur.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le moment fléchissant varie le long de la poutre. Deux sections voisines ne subissent donc pas la même contrainte de flexion, et la portion de matière comprise entre elles serait en déséquilibre si rien ne la retenait. Ce qui la retient est précisément la contrainte de cisaillement longitudinale, sur le plan qui la sépare du reste de la section. Jourawski n'est rien d'autre que l'écriture de cet équilibre.

Contexte de validité : Poutre élancée, sections planes, matériau homogène. Elle perd sa précision sur les poutres très courtes ou près des charges concentrées.
Avantage : Elle vaut pour toute forme de section, à condition de savoir calculer le moment statique de la portion considérée.
Paramètre clé : La largeur \( b \) au niveau considéré, et non la largeur maximale. C'est ce qui rend l'âme d'un profilé en I si critique.
Vérification : Le résultat doit valoir exactement \( 1{,}5\,V/A \) sur un rectangle. Toute divergence signale une erreur sur \( S \) ou sur \( I \).
Limite : Elle donne la contrainte sur la section brute. La réduction réglementaire par \( k_{\text{cr}} \) est une correction distincte, qui n'a rien à voir avec la mécanique.

\[ \begin{aligned} \tau = \frac{V\,S}{I\,b} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : les couches d'une poutre veulent glisser les unes sur les autres, et c'est le cisaillement qui les en empêche. L'image la plus juste est celle d'un paquet de planches empilées : chargées ensemble, elles glissent et fléchissent chacune pour soi. Collées, elles forment une poutre unique — et c'est la colle qui reprend le cisaillement.

Décomposition des termes :

\( \tau \) : contrainte de cisaillement au niveau considéré, unité : N/mm²
\( V \) : effort tranchant dans la section, unité : N
\( S \) : moment statique de la portion située au-delà du niveau, unité : mm³
\( I \) : moment quadratique de la section entière, unité : mm⁴
\( b \) : largeur de la section au niveau considéré, unité : mm

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de calculer la contrainte de cisaillement comme une simple moyenne \( V/A \)..."

L'approche d'ingénieur : L'analogie avec la compression, où \( \sigma = N/A \) est exacte, induit naturellement en erreur. Mais la compression est uniforme sur la section, le cisaillement ne l'est pas.

L'erreur : Écrire \( \tau = V/A = 0{,}45 \) N/mm² au lieu de 0,68. La contrainte réelle est sous-estimée d'un tiers, et la marge de sécurité disparaît d'autant.
La bonne méthode : Retenir que la contrainte de cisaillement est parabolique, nulle aux bords et maximale au centre. Le facteur 3/2 corrige exactement cet écart.
L'astuce de pro : Se souvenir que 3/2 est propre au rectangle. Un cercle donne 4/3, un profilé à âme mince bien davantage — le coefficient se recalcule dès que la forme change.
Le moyen mnémotechnique : « La flexion travaille aux bords, le cisaillement au centre » — les deux distributions sont complémentaires.
L'impact direct : Sur une pièce déjà proche de sa limite, cet oubli suffit à faire passer un calcul qui aurait dû échouer. La rupture au cisaillement, elle, est fragile et sans préavis.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( S \) : mm² × mm donne des mm³
\( I \) : exprimé en mm⁴ , une puissance de plus que \( S \)
\( V \) : exprimé en N , jamais en kN dans cette formule
\( \tau \) : N × mm³ / (mm⁴ × mm) donne bien des N/mm²
Rapport \( \tau_{\max}/\tau_{\text{moy}} \) : grandeur sans unité , vaut 1,5

L'analyse dimensionnelle est ici un vrai garde-fou, et c'est assez rare pour être signalé. Confondre \( S \) et \( I \) — l'erreur la plus fréquente de cette question — donne un résultat en N/mm³ ou en N/mm, dans les deux cas absurde. Il suffit donc de poser les unités à côté de chaque symbole pour se protéger. C'est l'une des rares vérifications de cet exercice qu'une machine saurait faire à votre place.

1. Résolution Numérique Moment statique de la demi-section

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur qui localise le maximum de cisaillement. Sans elle, on ne saurait pas que ce maximum se situe sur l'axe neutre.

Méthodologie du calcul :

Application directe de l'expression simplifiée pour une section rectangulaire pleine.

Substitution : \( b = 75 \) mm et \( h = 220 \) mm, dont le carré vaut 48 400 mm².
Piège évité : Ne pas élever la hauteur au cube. Le moment statique fait intervenir \( h^{2} \) ; c'est le moment quadratique qui utilise \( h^{3} \).
Hypothèse validée : Section pleine et symétrique : l'axe neutre passe par le milieu de la hauteur.
Vérification croisée : Par le calcul direct : \( A' = 75 \times 110 = 8\,250 \) mm² et \( y_{\text{G}} = 55 \) mm, d'où \( 8\,250 \times 55 = 453\,750 \) mm³. Concordance.
Finalité : Cette valeur entrera au numérateur de la formule de Jourawski.

\[ \begin{aligned} S_{\max} &= \frac{b\,h^{2}}{8} = \frac{75 \times 220^{2}}{8} \\ &= \frac{75 \times 48\,400}{8} \\ &= \mathbf{453\,750} \text{ mm}^{3} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

453 750 mm³. Voyons ce que cette grandeur représente et comment la situer.

Ordre de grandeur : Quelques centaines de milliers de mm³. C'est une grandeur intermédiaire sans signification physique directe, à ne jamais reporter dans une conclusion.
Impact sur la suite : Combinée au moment quadratique, elle produira le facteur 3/2 que l'on retrouvera par la formule courte.
Cohérence : Le rapport \( S_{\max}/I_{y} \) vaut \( 6{,}82 \times 10^{-3} \) mm⁻¹, soit exactement \( 1{,}5/h \) — c'est de là que sortira le facteur de forme.
Attention : Le moment statique de la section entière est nul, puisque l'axe neutre passe par son centre de gravité. Seules les portions partielles donnent une valeur non nulle.
Comparaison : Pour une section 100 × 300 mm, on obtiendrait 1 125 000 mm³, soit 2,5 fois plus — dont l'essentiel vient de la hauteur, qui intervient au carré.

Remarque pédagogique : Faites vérifier ce résultat par le calcul direct, aire par distance, plutôt que par la formule mémorisée. Un étudiant qui a une fois posé \( 8\,250 \times 55 \) comprend ce qu'il calcule ; celui qui n'a retenu que \( bh^{2}/8 \) sera perdu devant un profilé en T, où il faudra sommer deux contributions. La formule courte est un raccourci, pas une définition.

Moment quadratique de la section

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il figure au dénominateur de Jourawski. C'est lui qui traduit la raideur globale de la section.

Méthodologie du calcul :

Expression classique du moment quadratique d'un rectangle par rapport à son axe de symétrie horizontal.

Substitution : \( b = 75 \) mm et \( h^{3} = 220^{3} = 10\,648\,000 \) mm³.
Piège évité : Ne pas diviser par 6. Le diviseur 12 est celui du moment quadratique ; 6 est celui du module de flexion \( W_{y} \).
Hypothèse validée : Flexion autour de l'axe fort, la hauteur de 220 mm étant dans le plan de charge.
Vérification croisée : Le module de flexion vaut \( I_{y}/(h/2) = 66{,}55 \times 10^{6}/110 = 605\,000 \) mm³, ce qui redonne bien \( bh^{2}/6 \).
Finalité : Ce moment servira à Jourawski, puis à la vérification en flexion de la question 4.

\[ \begin{aligned} I_{y} &= \frac{b\,h^{3}}{12} = \frac{75 \times 220^{3}}{12} \\ &= \frac{75 \times 10\,648\,000}{12} \\ &= \mathbf{66{,}55 \times 10^{6}} \text{ mm}^{4} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

66,55 × 10⁶ mm⁴. Voyons comment situer cette valeur.

Ordre de grandeur : Quelques dizaines de millions de mm⁴, typique d'une solive de plancher. C'est la grandeur qui gouverne la flèche.
Impact sur la suite : Elle apparaît au dénominateur de Jourawski et, par le module \( W_{y} \), dans la vérification en flexion.
Cohérence : Le rapport \( I_{y}/S_{\max} = 146{,}7 \) mm vaut exactement \( 2h/3 \), relation propre aux sections rectangulaires.
Attention : Autour de l'axe faible, le moment quadratique ne vaudrait que \( 220 \times 75^{3}/12 = 7{,}73 \times 10^{6} \) mm⁴, presque neuf fois moins.
Comparaison : Augmenter la hauteur de 220 à 300 mm porterait ce moment à 168,8 × 10⁶ mm⁴, soit un facteur 2,5 pour 36 % de matière en plus.

Remarque pédagogique : Le couple \( S \) et \( I \) est une source d'erreur permanente, et le meilleur remède est de les faire écrire avec leurs unités systématiquement : mm³ et mm⁴. La différence d'exposant rend l'erreur visible dans le résultat final, ce qui n'est pas le cas de la plupart des confusions de ce cours.

Contrainte de cisaillement sur section brute

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour démontrer le facteur 3/2 au lieu de l'admettre, et disposer d'une valeur de référence avant la correction réglementaire.

Méthodologie du calcul :

Application de Jourawski avec les deux grandeurs géométriques établies ci-dessus.

Substitution : \( V = 7\,500 \) N, \( S_{\max} = 453\,750 \) mm³, \( I_{y} = 66{,}55 \times 10^{6} \) mm⁴ et \( b = 75 \) mm.
Piège évité : Ne pas encore introduire \( k_{\text{cr}} \). Cette valeur est la contrainte mécanique, sur section brute ; la correction réglementaire vient à la question suivante.
Hypothèse validée : Poutre élancée et section homogène : les conditions d'application de Jourawski sont réunies.
Vérification croisée : La formule courte donne \( 1{,}5 \times 7\,500/16\,500 = 0{,}6818 \) N/mm². Les deux voies concordent au millième près.
Finalité : Servir de point de comparaison pour mesurer, à la question 3, ce que coûte le coefficient de fissuration.

\[ \begin{aligned} \tau &= \frac{V\,S_{\max}}{I_{y}\,b} = \frac{7\,500 \times 453\,750}{66{,}55 \times 10^{6} \times 75} \\ &= \mathbf{0{,}68} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,68 N/mm², identique à \( 1{,}5\,V/A \). Voyons ce que cette concordance démontre.

Ordre de grandeur : Moins d'un N/mm². Les contraintes de cisaillement sont toujours faibles en valeur absolue, ce qui trompe sur leur importance.
Impact sur la suite : Cette valeur n'est pas celle à comparer à la résistance. Le § 6.1.7 impose de la recalculer sur une largeur réduite.
Cohérence : La concordance exacte avec la formule courte valide à la fois \( S_{\max} \) et \( I_{y} \). C'est un contrôle croisé complet, obtenu gratuitement.
Attention : La contrainte est nulle aux fibres extrêmes, là où la flexion est maximale. Les deux modes de ruine n'attaquent pas les mêmes fibres.
Comparaison : La contrainte de flexion sur la même poutre atteindra 24,79 N/mm², soit trente-six fois plus. Cet écart explique pourquoi le cisaillement gouverne si rarement.

Remarque pédagogique : Faites mener les deux calculs côte à côte une fois pour toutes. La concordance exacte est spectaculaire et elle ancre définitivement l'origine du facteur 3/2. Ensuite, la formule courte peut être employée sans scrupule — mais l'étudiant saura qu'elle est un résultat, pas une convention, et il ne l'appliquera pas à une section qui n'est pas rectangulaire.

Écart avec la contrainte moyenne

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer ce que coûterait l'erreur la plus fréquente de cette question : traiter le cisaillement comme s'il était uniforme.

Méthodologie du calcul :

Simple division de l'effort tranchant par l'aire brute, puis comparaison au maximum réel.

Substitution : \( V = 7\,500 \) N et \( A = 75 \times 220 = 16\,500 \) mm².
Piège évité : Ne jamais employer cette moyenne dans une vérification. Elle n'a qu'une valeur pédagogique, pour mesurer l'écart.
Hypothèse validée : Aire brute, sans réduction. La comparaison porte sur la seule question de la distribution.
Vérification croisée : Le rapport \( 0{,}6818/0{,}4545 \) doit valoir exactement 1,5, coefficient de forme du rectangle plein.
Finalité : Rendre tangible ce que représente le facteur 3/2, autrement appliqué mécaniquement.

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{moy}} &= \frac{V}{A} = \frac{7\,500}{16\,500} = 0{,}45 \text{ N/mm}^{2} \\ \frac{\tau_{\max}}{\tau_{\text{moy}}} &= \frac{0{,}68}{0{,}45} = \mathbf{1{,}5} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La contrainte réelle est 50 % supérieure à la moyenne. Voyons ce que cela implique.

Ordre de grandeur : La moitié en plus. Traiter le cisaillement comme uniforme sous-estime d'un tiers la contrainte réelle.
Impact sur la suite : Cet écart s'ajouterait à celui du coefficient de fissuration. Cumulés, les deux oublis donneraient une contrainte 2,2 fois trop faible.
Cohérence : Le rapport vaut exactement 3/2, sans arrondi. C'est un résultat exact de la théorie des poutres pour une section rectangulaire.
Attention : Ce coefficient change avec la forme. Le mémoriser comme une constante universelle est une erreur qui se paie sur les sections composées.
Comparaison : Sur un profilé métallique en I, la contrainte maximale dans l'âme peut dépasser trois fois la moyenne rapportée à la section totale — d'où l'usage de ne considérer que l'aire de l'âme.

Remarque pédagogique : Faites tracer la parabole à côté du diagramme linéaire de la flexion. La complémentarité des deux est frappante : la flexion est nulle au centre et maximale aux bords, le cisaillement fait l'inverse. Ce seul dessin explique pourquoi les deux vérifications ne portent ni sur les mêmes fibres ni sur les mêmes sections de la poutre — et pourquoi il faut mener les deux.

RÉSULTAT FINAL

Contrainte de cisaillement sur section brute = 0,68 N/mm² — soit 1,5 fois la contrainte moyenne, comme le veut la parabole

"La flexion travaille aux bords, le cisaillement au centre : les deux ne se rencontrent jamais !"

Distribution de Jourawski dans la section

Question 3 : Vérification au cisaillement avec fissuration

Dans la tête de l'ingénieur

"La mécanique m'a donné 0,68 N/mm². La norme va m'en donner une autre, et ce n'est pas parce que la mécanique serait fausse : c'est parce que le bois de la poutre, dans dix ans, ne sera plus celui que j'ai calculé. Il aura séché, et il se sera fendu dans le sens longitudinal — exactement le plan où transite le cisaillement. Une fente ne transmet rien. L'Eurocode ne réduit donc pas la résistance, ce qui n'aurait pas de sens physique : il retire de la matière, par le coefficient \( k_{\text{cr}} \). C'est une des rares clauses de la norme qui anticipe explicitement le vieillissement du matériau, et c'est aussi l'une des plus oubliées."

Observation : Le coefficient s'applique à la largeur, pas à la hauteur. La fente est longitudinale et sépare la poutre dans son épaisseur, non dans sa hauteur.
Analyse du risque : L'oublier surestime la capacité de 49 %. C'est l'un des rares oublis de l'Eurocode 5 dont la conséquence va franchement dans le sens du danger.
Choix stratégique : J'écris \( b_{\text{ef}} = k_{\text{cr}}\,b \) sur la première ligne du calcul, avant même de reprendre l'effort tranchant. Ce qui n'est pas écrit tout de suite s'oublie.
Alternative : J'aurais pu reporter le coefficient sur la résistance — le taux de travail serait identique. Mais l'écriture de la norme décrit mieux le phénomène : c'est de la section qui manque, pas du bois qui a faibli.
Objectif visé : Sortir avec un taux de travail réglementaire, et savoir exactement ce que le coefficient de fissuration lui a coûté.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( b_{\text{ef}} = 50{,}25 \) mm · \( \tau_{\text{d}} = 1{,}02 \) N/mm² · \( f_{\text{v},\text{d}} = 2{,}46 \) N/mm² · taux de travail = 41 %, largement vérifié

Rappel Théorique : la fissuration de séchage

Le coefficient \( k_{\text{cr}} \) est apparu dans un amendement à l'EN 1995-1-1, après que des ruptures par cisaillement eurent été observées sur des poutres réglementairement vérifiées. Il corrige un phénomène que la mécanique des poutres ignore complètement.

Principe 1 — le bois retire en séchant, mais pas également : Le retrait tangentiel vaut environ 1,6 fois le retrait radial. Cette différence met la section en tension sur elle-même dès que l'humidité baisse.
Principe 2 — la fente est le mode de relaxation : Le bois résout ce conflit en se fendant, dans le sens des fibres. C'est un phénomène normal, prévisible, et présent sur presque toute pièce de bois massif de forte section.
Principe 3 — la fente est dans le plan du cisaillement : Le glissement longitudinal transite précisément par ce plan. Une fente ouverte y interrompt la transmission de l'effort : la largeur utile est réduite d'autant.
Principe 4 — la norme forfaitise : Plutôt que d'exiger un relevé de fentes impossible à faire, l'Eurocode retient une valeur forfaitaire, 0,67 dans l'annexe française — soit un tiers de largeur retiré.
Principe 5 — il ne concerne que le cisaillement : La flexion, la compression et les flèches se calculent sur la section brute. Une fente longitudinale ne gêne aucun de ces trois mécanismes.

Équations Fondamentales

Trois relations : la largeur efficace, la contrainte qui en découle, et la résistance à laquelle la confronter.

Largeur efficace au cisaillement — EN 1995-1-1 § 6.1.7 :

Elle retire forfaitairement la part de section fendue.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une fissure de séchage ne transmet aucun effort de cisaillement. La largeur réellement disponible pour le glissement longitudinal est donc inférieure à la largeur nominale. La norme aurait pu réduire la résistance du matériau ; elle a préféré réduire la section, ce qui décrit exactement le phénomène et laisse la résistance caractéristique intacte.

Contexte de validité : Vérification au cisaillement uniquement, classes de service 1 et 2. Les autres vérifications se mènent sur section brute.
Avantage : Elle traite un défaut inévitable sans exiger la moindre inspection : le bois sèchera, il se fendra, la norme l'anticipe.
Paramètre clé : \( k_{\text{cr}} = 0{,}67 \) selon l'annexe nationale française, aussi bien pour le bois massif que pour le lamellé-collé.
Vérification : La largeur efficace vaut deux tiers de la largeur nominale. Un résultat supérieur signalerait une multiplication par l'inverse du coefficient.
Limite : Le § 6.5.2, qui traite des poutres entaillées, écrit \( b \) et non \( b_{\text{ef}} \). Le cumul des deux réductions est un choix sécuritaire, à confirmer sur l'annexe nationale.

\[ \begin{aligned} b_{\text{ef}} = k_{\text{cr}}\,b \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : comptez sur deux tiers de la largeur, parce que le tiers restant sera fendu. Ces fentes n'existent pas le jour de la pose : elles apparaîtront pendant les premières années de séchage. La norme calcule donc la poutre telle qu'elle sera, non telle qu'elle est livrée.

Décomposition des termes :

\( b_{\text{ef}} \) : largeur efficace au cisaillement, unité : mm
\( b \) : largeur nominale de la section, unité : mm
\( k_{\text{cr}} \) : coefficient de fissuration, 0,67 en France, unité : sans dimension
Ne s'applique pas à : la flexion, la compression, les flèches, unité : —
Effet : majore la contrainte de calcul de 49 %, unité : —

Contrainte de cisaillement réglementaire :

C'est la formule courte, appliquée à la largeur efficace.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle combine les deux résultats acquis : le facteur de forme 3/2, démontré à la question 2, et la réduction de largeur imposée par le § 6.1.7. C'est cette expression, et elle seule, qu'il faut confronter à la résistance de calcul. Toute autre écriture — contrainte moyenne, section brute — donnerait un taux de travail faux.

Contexte de validité : Section rectangulaire pleine, sans entaille. Un about entaillé relève du § 6.5.2.
Avantage : Une seule expression réunit mécanique et réglementation. Le calcul tient sur une ligne.
Paramètre clé : Le produit \( b_{\text{ef}}\,h \), qui est l'aire réellement mobilisable pour le cisaillement.
Vérification : Le résultat doit valoir 1,49 fois la contrainte sur section brute obtenue à la question 2.
Limite : Elle donne la contrainte maximale, sur l'axe neutre. Ailleurs dans la hauteur, la contrainte est moindre — mais c'est le maximum qui décide.

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{d}} = \frac{3}{2}\;\frac{V_{\text{Ed}}}{b_{\text{ef}}\,h} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : le même effort doit passer par une section plus petite, et il se concentre au centre. Deux corrections successives, d'origines entièrement différentes : l'une vient de la théorie des poutres, l'autre du comportement du bois dans le temps. Elles se multiplient, et leur produit vaut 2,24.

Décomposition des termes :

\( \tau_{\text{d}} \) : contrainte de cisaillement de calcul, unité : N/mm²
\( V_{\text{Ed}} \) : effort tranchant de calcul, unité : N
\( b_{\text{ef}}\,h \) : aire efficace au cisaillement, unité : mm²
Facteur 3/2 : coefficient de forme du rectangle plein, unité : sans dimension
Position : contrainte atteinte sur l'axe neutre, unité : —

Résistance de calcul au cisaillement — EN 1995-1-1 § 2.4.1 :

Elle transforme la valeur caractéristique du C24 en valeur utilisable.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la résistance caractéristique est une donnée de laboratoire, obtenue sur des éprouvettes sèches chargées quelques minutes. Sur un chantier, le bois est plus humide et la charge dure des mois : \( k_{\text{mod}} \) corrige cet écart. Le coefficient partiel \( \gamma_{\text{M}} \) couvre en outre la dispersion du produit et l'imprécision du modèle de calcul.

Contexte de validité : Situations durables et transitoires. En situation accidentelle, \( \gamma_{\text{M}} \) tomberait à 1,0.
Avantage : Une formule unique pour toutes les résistances du bois : flexion, cisaillement, compression, traction.
Paramètre clé : \( f_{\text{v},\text{k}} = 4{,}0 \) N/mm² dans la version 2016 de la NF EN 338. Les éditions antérieures portaient 2,5.
Vérification : Le résultat vaut \( 0{,}80/1{,}30 = 62 \) % de la caractéristique, comme pour toutes les autres résistances de cette situation.
Limite : \( k_{\text{cr}} \) n'intervient pas ici. Il agit sur la section, jamais sur la résistance — les mélanger reviendrait à le compter deux fois.

\[ \begin{aligned} f_{\text{v},\text{d}} = \frac{k_{\text{mod}}\;f_{\text{v},\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ce que le bois sait faire en laboratoire n'est pas ce qu'on peut lui demander sur un chantier. Une charge de plusieurs mois et une ambiance plus humide lui retirent un cinquième de sa capacité ; le coefficient partiel en retire encore un quart. Il reste un peu moins des deux tiers.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{v},\text{d}} \) : résistance de calcul au cisaillement, unité : N/mm²
\( f_{\text{v},\text{k}} \) : résistance caractéristique du C24, version 2016, unité : N/mm²
\( k_{\text{mod}} \) : classe de service 2, moyenne durée, unité : sans dimension
\( \gamma_{\text{M}} \) : coefficient partiel du bois massif, unité : sans dimension
N'inclut pas : \( k_{\text{cr}} \), qui agit sur la section, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'appliquer \( k_{\text{cr}} \) à la résistance au lieu de la largeur..."

L'approche d'ingénieur : Sur ce cas précis, le taux de travail serait identique — d'où la tentation. Mais l'écriture cesse d'être équivalente dès que la géométrie se complique.

L'erreur : Écrire \( k_{\text{cr}}\,f_{\text{v},\text{d}} \) et comparer à la contrainte sur section brute. Le rapport est le même ici, mais le raisonnement est faux : ce n'est pas le bois qui a faibli, c'est la section qui manque.
La bonne méthode : Suivre l'écriture de la norme : \( b_{\text{ef}} = k_{\text{cr}}\,b \), puis la contrainte sur cette largeur. C'est la seule qui reste juste sur une section entaillée ou composée.
L'astuce de pro : Écrire la largeur efficace dès la première ligne du calcul de cisaillement, avant même l'effort tranchant. L'oubli devient alors matériellement impossible.
Le moyen mnémotechnique : « cr comme crack » — une fente retire de la matière, elle n'affaiblit pas le bois qui reste.
L'impact direct : L'oubli pur et simple, lui, surestime la capacité de 49 % : sur une poutre courte ou entaillée, c'est exactement l'écart entre un calcul qui passe et une solive qui se fend aux appuis.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( b_{\text{ef}} \) : exprimée en mm , comme la largeur nominale
\( k_{\text{cr}} \) et \( k_{\text{mod}} \) : grandeurs sans unité
\( \tau_{\text{d}} \) : N / mm² donne des N/mm² , identiques aux MPa
\( f_{\text{v},\text{d}} \) : obtenue en N/mm² , comparable directement
Taux de travail : rapport de deux contraintes, donc sans unité

Cette question ne présente aucun risque dimensionnel, et c'est précisément ce qui la rend dangereuse. Que l'on applique ou non le coefficient de fissuration, que l'on prenne 2,5 ou 4,0 N/mm² pour la résistance caractéristique, les unités restent impeccables et le résultat plausible. Aucun contrôle automatique n'existe : le seul garde-fou est la citation des clauses à côté de chaque coefficient employé.

1. Résolution Numérique Largeur efficace de la section

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la première ligne de toute vérification au cisaillement, et celle qu'on oublie le plus souvent.

Méthodologie du calcul :

Application directe du coefficient de fissuration à la largeur nominale.

Substitution : \( k_{\text{cr}} = 0{,}67 \) selon l'annexe nationale et \( b = 75 \) mm.
Piège évité : Ne pas appliquer le coefficient à la hauteur. La fente est longitudinale : elle sépare la poutre dans son épaisseur, pas dans sa hauteur.
Hypothèse validée : Classe de service 2, où la fissuration de séchage est bien celle que le coefficient anticipe.
Vérification croisée : Le résultat représente les deux tiers de la largeur nominale, soit 25 mm de bois retirés du calcul.
Finalité : Cette largeur remplacera \( b \) dans le calcul de la contrainte, et nulle part ailleurs.

\[ \begin{aligned} b_{\text{ef}} &= k_{\text{cr}}\,b = 0{,}67 \times 75 \\ &= \mathbf{50{,}25} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

50,25 mm pour une pièce de 75 mm de large. Voyons ce que représente cette amputation.

Ordre de grandeur : Un tiers de la largeur disparaît du calcul, soit 25 mm de bois qui existent mais dont on ne compte pas.
Impact sur la suite : La contrainte de calcul sera 1,49 fois celle de la question 2. C'est un facteur considérable pour un coefficient qu'on oublie si facilement.
Cohérence : La valeur reste une largeur, en millimètres. Rien dans le résultat ne signale qu'il s'agit d'une grandeur conventionnelle et non mesurable.
Attention : Cette largeur ne sert qu'au cisaillement. Employer 50,25 mm pour calculer un module de flexion serait une erreur grossière.
Comparaison : En classe de service 3, où le bois peut être mouillé puis sécher à répétition, certaines annexes nationales retiennent une valeur plus sévère encore.

Remarque pédagogique : Montrez une photographie de poutre fendue, ou mieux, une pièce de bois massif de forte section en fin de séchage. Les fentes sont spectaculaires et parfaitement normales. Un étudiant qui les a vues comprend immédiatement pourquoi la norme retire un tiers de la largeur — et ne l'oubliera plus. C'est l'un des rares coefficients de l'Eurocode 5 qui s'explique par une simple observation.

Contrainte de cisaillement de calcul

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule valeur à confronter à la résistance. Celle de la question 2 était mécaniquement exacte mais réglementairement insuffisante.

Méthodologie du calcul :

Formule courte du rectangle plein, appliquée à la largeur efficace.

Substitution : \( V_{\text{Ed}} = 7\,500 \) N, \( b_{\text{ef}} = 50{,}25 \) mm et \( h = 220 \) mm.
Piège évité : Ne pas conserver \( b = 75 \) mm. La largeur brute donnerait 0,68 N/mm², valeur mécanique correcte mais non réglementaire.
Hypothèse validée : Section courante, sans entaille. Le cas de l'about entaillé sera traité à la question 4.
Vérification croisée : Le rapport à la valeur de la question 2 vaut \( 1{,}02/0{,}68 = 1{,}49 \), soit exactement \( 1/0{,}67 \).
Finalité : Fournir la contrainte à comparer à \( f_{\text{v},\text{d}} \) pour établir le taux de travail.

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{d}} &= \frac{3}{2}\;\frac{V_{\text{Ed}}}{b_{\text{ef}}\,h} = \frac{3}{2} \times \frac{7\,500}{50{,}25 \times 220} \\ &= \frac{11\,250}{11\,055} \\ &= \mathbf{1{,}02} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

1,02 N/mm² au lieu de 0,68. Voyons ce que le coefficient a coûté.

Ordre de grandeur : La contrainte de calcul est majorée de 49 % par rapport à la valeur mécanique. C'est le prix exact de la fissuration.
Impact sur la suite : C'est ce nombre, et lui seul, qu'il faut comparer à \( f_{\text{v},\text{d}} \). Employer 0,68 donnerait un taux faussement rassurant de 28 %.
Cohérence : Deux corrections se sont accumulées depuis la contrainte moyenne de 0,45 N/mm² : le facteur de forme 1,5 puis la fissuration 1,49. Leur produit vaut 2,24.
Attention : La contrainte reste modeste en valeur absolue, à peine plus d'un N/mm². C'est cette petitesse qui fait sous-estimer le cisaillement, alors que la résistance est elle aussi très faible.
Comparaison : Sur la même poutre, la contrainte de flexion atteint 24,79 N/mm². Il ne faut jamais comparer ces deux nombres entre eux : ils se rapportent à des résistances très différentes.

Remarque pédagogique : Faites écrire côte à côte les trois valeurs successives : 0,45 en moyenne, 0,68 au maximum, 1,02 réglementaire. Chacune est juste dans son cadre, et une seule sert à vérifier. Cette progression apprend une chose essentielle : un nombre ne veut rien dire sans la convention qui l'accompagne, et une note de calculs doit toujours préciser laquelle.

Résistance de calcul au cisaillement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la capacité à laquelle confronter la demande. Sans elle, la contrainte calculée ne prouve rien.

Méthodologie du calcul :

Application de la relation du § 2.4.1 à la résistance caractéristique au cisaillement du C24.

Substitution : \( f_{\text{v},\text{k}} = 4{,}0 \) N/mm², \( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) et \( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \).
Piège évité : Ne pas reprendre \( f_{\text{v},\text{k}} = 2{,}5 \) N/mm², valeur des éditions antérieures à 2016, encore présente dans beaucoup de mémentos.
Hypothèse validée : Classe de service 2 et charge de moyenne durée, croisement qui donne 0,80 au tableau 3.1.
Vérification croisée : Le rapport \( 0{,}80/1{,}30 = 0{,}615 \) appliqué à 4,0 donne bien 2,46 N/mm². Il vaudrait 62 % pour n'importe quelle autre résistance de la même situation.
Finalité : Permettre le calcul du taux de travail et la conclusion sur la section.

\[ \begin{aligned} f_{\text{v},\text{d}} &= \frac{k_{\text{mod}}\,f_{\text{v},\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} = \frac{0{,}80 \times 4{,}0}{1{,}30} \\ &= \mathbf{2{,}46} \text{ N/mm}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,46 N/mm² pour un bois annoncé à 4,0. Voyons ce qu'il reste.

Ordre de grandeur : 62 % de la résistance caractéristique. Les deux coefficients cumulés en retirent plus du tiers.
Impact sur la suite : C'est la capacité à laquelle comparer les 1,02 N/mm². La marge sera confortable, mais elle ne l'est que sur une section non entaillée.
Cohérence : La résistance en flexion de la même situation vaut 14,77 N/mm², soit six fois plus. Le rapport de six entre flexion et cisaillement se conserve du caractéristique au calcul.
Attention : Avec l'ancienne valeur de 2,5 N/mm², cette résistance tomberait à 1,54 N/mm² et le taux de travail passerait de 41 à 66 %.
Comparaison : Un GL24h dans la même situation donnerait \( 0{,}80 \times 3{,}5/1{,}25 = 2{,}24 \) N/mm², soit moins que le C24 — les deux normes produits fixent leurs valeurs indépendamment.

Remarque pédagogique : Signalez explicitement que la valeur de 4,0 N/mm² est récente. Un étudiant qui consultera un support antérieur à 2016 y trouvera 2,5, et le taux de travail de cet exercice passerait de 41 à 66 %. Savoir que les deux valeurs existent, et pourquoi, évite de croire à une erreur de correction le jour où les deux se croiseront.

Taux de travail au cisaillement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la conclusion de la vérification, et le seul nombre qu'un vérificateur lira en premier.

Méthodologie du calcul :

Rapport de la contrainte de calcul à la résistance de calcul, exprimé en pourcentage.

Substitution : \( \tau_{\text{d}} = 1{,}02 \) et \( f_{\text{v},\text{d}} = 2{,}46 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas conclure que la poutre convient. Cette vérification ne porte que sur le cisaillement ; la flexion reste à examiner.
Hypothèse validée : Section courante de la solive, hors zone d'appui entaillée.
Vérification croisée : La marge disponible atteint 59 %, ce qui autoriserait un effort tranchant de 18,1 kN avant dépassement.
Finalité : Clore la vérification réglementaire au cisaillement de la section courante.

\[ \begin{aligned} \frac{\tau_{\text{d}}}{f_{\text{v},\text{d}}} &= \frac{1{,}02}{2{,}46} \\ &= \mathbf{41\ \%} \le 100\ \% \quad \text{vérifié} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

41 % : la section courante est largement vérifiée au cisaillement. Voyons ce que cela vaut réellement.

Ordre de grandeur : Moins de la moitié de la capacité est consommée. C'est le cas habituel sur une solive de plancher.
Impact sur la suite : Cette marge confortable ne dit rien sur la flexion, ni sur l'about entaillé — deux points que la question 4 examinera.
Cohérence : Sans le coefficient de fissuration, on aurait annoncé 28 %. L'écart de treize points est entièrement dû à une seule clause.
Attention : Un taux faible au cisaillement est la situation normale. Il ne faut surtout pas en déduire que la vérification est superflue : les configurations où elle échoue existent, et elles sont fréquentes.
Comparaison : Avec l'ancienne résistance caractéristique de 2,5 N/mm², ce taux atteindrait 66 % — encore vérifié, mais nettement moins confortable.

Remarque pédagogique : Insistez sur la portée exacte de cette conclusion : « la section courante est vérifiée au cisaillement ». Ni plus, ni moins. Un étudiant qui écrirait « la poutre convient » aurait tort de deux façons, comme la question 4 va le montrer. Une conclusion de note de calculs doit énoncer ce qui a été vérifié, pas ce qu'on aimerait pouvoir affirmer.

RÉSULTAT FINAL

Taux de travail au cisaillement, section courante = 41 % — vérifié, mais uniquement pour le cisaillement et hors zone entaillée

"Une fente ne transmet rien : comptez sur deux tiers de la largeur, pas sur trois !"

Question 4 : Quand le cisaillement devient-il dimensionnant ?

Dans la tête de l'ingénieur

"41 % au cisaillement : très confortable. Mais je n'ai vérifié qu'un seul mode de ruine, et je sais d'expérience que ce n'est jamais celui-là qui gouverne une solive. Avant de signer quoi que ce soit, je vais faire la vérification en flexion — deux lignes, puisque j'ai déjà le moment quadratique. Et je vais examiner le détail d'appui que l'entreprise a dessiné : une entaille à angle vif de 30 % de la hauteur. Ce détail-là, je l'ai vu fendre des solives sur des chantiers où le calcul de la section courante était parfaitement juste. Le § 6.5.2 existe précisément pour ça, et il ne pardonne pas les angles vifs."

Observation : Le moment varie avec la portée, l'effort tranchant n'en dépend pas. Le rapport entre les deux taux de travail bascule donc à partir d'une certaine longueur.
Analyse du risque : Conclure « la poutre convient » après une seule vérification est l'erreur de méthode la plus grave de cet exercice. Elle ne se voit dans aucun calcul.
Choix stratégique : Je cumule \( k_{\text{cr}} \) et \( k_{\text{v}} \) sur l'about entaillé. Le § 6.5.2 écrit \( b \) et non \( b_{\text{ef}} \) : mon choix est sécuritaire, et je le signale explicitement.
Alternative : J'aurais pu m'en tenir à la question posée. Mais livrer un taux de 41 % sans dire que la flexion dépasse 100 % serait un rapport techniquement exact et professionnellement fautif.
Objectif visé : Sortir avec un avis complet : la section proposée convient-elle, et sous quelles conditions de détail d'appui ?

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Taux de flexion = 168 % — section refusée · hauteur nécessaire 285 mm, soit une 75 × 300 · \( k_{\text{v}} = 0{,}531 \) et taux au droit de l'entaille = 111 % · portée de bascule 0,99 m

Rappel Théorique : pourquoi le cisaillement gouverne si rarement

Le bois est six fois moins résistant au cisaillement qu'en flexion, et pourtant c'est presque toujours la flexion qui dimensionne. Le paradoxe s'explique par la géométrie, pas par le matériau.

Principe 1 — les deux sollicitations ne croissent pas de la même façon : Le moment varie proportionnellement à la portée ; l'effort tranchant, à charge donnée, n'en dépend pas du tout. Allonger une poutre aggrave la flexion sans toucher au cisaillement.
Principe 2 — les modules de section ne suivent pas la même loi : Le module de flexion varie en \( h^{2} \), l'aire de cisaillement en \( h \). Augmenter la hauteur soulage donc deux fois plus vite la flexion que le cisaillement.
Principe 3 — il existe une portée de bascule : En écrivant l'égalité des deux taux de travail, on obtient une portée critique en deçà de laquelle le cisaillement l'emporte. Elle est généralement très courte.
Principe 4 — l'entaille change tout : Une entaille d'appui crée une concentration de traction perpendiculaire au fil, direction où le bois ne résiste qu'à 0,4 N/mm². Le § 6.5.2 peut diviser la résistance admissible par deux.
Principe 5 — la rupture par cisaillement ne prévient pas : Contrairement à la flexion, qui annonce sa ruine par une flèche croissante, le cisaillement rompt brutalement. C'est ce qui justifie de le vérifier même quand on sait qu'il ne gouvernera pas.

Équations Fondamentales

Trois relations : la vérification en flexion, le coefficient d'entaille, et la portée qui égalise les deux taux de travail.

Vérification en flexion — EN 1995-1-1 § 6.1.6 :

Elle porte sur la section de mi-portée, là où le moment est maximal.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le cisaillement et la flexion sont deux modes de ruine distincts, qui n'attaquent ni les mêmes fibres ni les mêmes sections. Vérifier l'un ne dit rien de l'autre. Sur une poutre chargée à mi-portée, le moment est maximal exactement là où l'effort tranchant s'annule : les deux vérifications portent sur des sections situées à deux mètres l'une de l'autre.

Contexte de validité : Flexion simple autour de l'axe fort, déversement empêché par le plancher.
Avantage : Le moment quadratique étant déjà calculé, la vérification ne coûte que deux lignes. Il n'y a aucune raison de s'en dispenser.
Paramètre clé : Le module de flexion \( W_{y} = I_{y}/(h/2) \), qui varie en \( h^{2} \) — bien plus sensible à la hauteur que l'aire de cisaillement.
Vérification : La section brute s'emploie ici : \( k_{\text{cr}} \) ne concerne que le cisaillement.
Limite : Le coefficient de hauteur \( k_{\text{h}} \) ne s'applique pas : il est réservé au bois massif de hauteur inférieure à 150 mm.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,\text{d}} = \frac{M_{\text{Ed}}}{W_{y}} \le f_{m,\text{d}} \quad \text{avec} \quad M_{\text{Ed}} = \frac{F_{\text{d}}\,L}{4} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la poutre est aussi en train de plier, et personne ne s'en occupe. Le moment croît avec la portée, alors que l'effort tranchant reste figé à \( F/2 \). Sur quatre mètres, la flexion a largement pris le dessus — et le calcul va montrer de combien.

Décomposition des termes :

\( \sigma_{m,\text{d}} \) : contrainte de flexion de calcul, aux fibres extrêmes, unité : N/mm²
\( M_{\text{Ed}} \) : moment fléchissant maximal, à mi-portée, unité : N·mm
\( W_{y} = b h^{2}/6 \) : module de flexion, sur section brute, unité : mm³
\( f_{m,\text{d}} \) : résistance de calcul en flexion, unité : N/mm²
Section vérifiée : mi-portée, à deux mètres des appuis, unité : —

Coefficient d'entaille — EN 1995-1-1 § 6.5.2 :

Il réduit la résistance admissible au droit d'un about entaillé.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un angle rentrant n'est pas seulement une perte de section : c'est une amorce de fissure. La théorie des poutres, qui suppose des variations douces, n'y est plus valable. Il s'y développe une traction perpendiculaire au fil concentrée, direction dans laquelle le bois ne vaut que 0,4 N/mm² — dix fois moins qu'en cisaillement. La formule du § 6.5.2 est empirique et calée sur des essais de rupture.

Contexte de validité : Entaille du même côté que l'appui. Une entaille sur la face opposée relève d'une autre expression, moins sévère.
Avantage : Elle ramène un problème de mécanique de la rupture à un coefficient multiplicatif, calculable sans logiciel.
Paramètre clé : La pente \( i \) de l'entaille. Un about taillé en sifflet améliore nettement le coefficient ; un angle vif est le cas le plus défavorable.
Vérification : Le résultat est plafonné à 1. Une valeur supérieure signifierait que l'entaille est sans effet, ce qui n'arrive que pour des entailles très faibles et très éloignées de l'appui.
Limite : La hauteur \( h \) doit être exprimée en millimètres dans cette formule empirique, qui n'est pas homogène dimensionnellement.

\[ \begin{aligned} k_{\text{v}} = \min\left\{1 ;\; \frac{k_{\text{n}}\left(1 + \dfrac{1{,}1\,i^{1{,}5}}{\sqrt{h}}\right)}{\sqrt{h}\left(\sqrt{\alpha(1-\alpha)} + 0{,}8\,\dfrac{x}{h}\sqrt{\dfrac{1}{\alpha} - \alpha^{2}}\right)}\right\} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : un angle vif dans une pièce de bois est une fissure qui n'attend qu'une occasion. Le bois est un matériau fibreux : il tolère mal qu'on interrompe ses fibres brutalement. C'est la raison pour laquelle les charpentiers taillent leurs abouts en biais depuis des siècles, sans avoir jamais écrit cette formule.

Décomposition des termes :

\( k_{\text{v}} \) : coefficient réducteur de la résistance au droit de l'entaille, unité : sans dimension
\( \alpha = h_{\text{ef}}/h \) : fraction de hauteur conservée, 0,7 ici, unité : sans dimension
\( x \) : distance de l'appui à l'angle rentrant, unité : mm
\( i \) : pente de l'entaille, nulle pour un angle vif, unité : sans dimension
\( k_{\text{n}} \) : 5 en bois massif, 6,5 en lamellé-collé, unité : sans dimension

Portée d'équivalence entre flexion et cisaillement :

Elle donne la longueur en deçà de laquelle le cisaillement l'emporte.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la question « le cisaillement gouverne-t-il ? » n'a pas de réponse générale : elle dépend de la géométrie. En écrivant l'égalité des deux taux de travail et en isolant la portée, on obtient un critère qui vaut pour toute poutre de même section et de même chargement. La charge \( F_{\text{d}} \) disparaît de l'expression, ce qui rend le résultat indépendant de l'intensité du chargement.

Contexte de validité : Charge ponctuelle centrée. Une charge répartie donnerait une portée de bascule différente, plus courte encore.
Avantage : Le résultat ne dépend pas de la charge : c'est un critère purement géométrique et matériau, réutilisable tel quel.
Paramètre clé : Le rapport \( f_{m,\text{d}}/f_{\text{v},\text{d}} \), qui vaut 6 pour le C24. C'est lui qui repousse la portée de bascule si bas.
Vérification : À la portée trouvée, les deux taux doivent être rigoureusement égaux. C'est le contrôle le plus direct.
Limite : Elle ne dit rien du cas entaillé, où la résistance au cisaillement est divisée par deux et la portée de bascule repoussée d'autant.

\[ \begin{aligned} L_{\text{bascule}} = \frac{3\,W_{y}\,f_{m,\text{d}}}{b_{\text{ef}}\,h\,f_{\text{v},\text{d}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : il faut une poutre très courte pour que le cisaillement l'emporte sur la flexion. C'est exactement pourquoi les linteaux courts, les corbeaux et les consoles sont les pièces où le cisaillement pose problème, alors qu'une solive de plancher n'en souffre jamais — sauf, précisément, si on l'entaille.

Décomposition des termes :

\( L_{\text{bascule}} \) : portée en deçà de laquelle le cisaillement gouverne, unité : mm
\( W_{y} \) : module de flexion sur section brute, unité : mm³
\( b_{\text{ef}}\,h \) : aire efficace au cisaillement, unité : mm²
\( f_{m,\text{d}}/f_{\text{v},\text{d}} \) : rapport des résistances, égal à 6 pour le C24, unité : sans dimension
Absente : la charge \( F_{\text{d}} \), qui se simplifie, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de conclure que la poutre convient après avoir vérifié le seul cisaillement..."

L'approche d'ingénieur : L'énoncé ne demandait que le cisaillement, et le taux est confortable. Mais une conclusion doit énoncer ce qui a été vérifié, pas ce que l'on aimerait affirmer.

L'erreur : Écrire « la solive 75 × 220 convient ». Elle ne convient pas : son taux de flexion atteint 168 %, et son about entaillé dépasse 100 % au cisaillement.
La bonne méthode : Formuler exactement : « la section courante est vérifiée au cisaillement ». Puis lister ce qui reste à vérifier, et le faire si l'enjeu le justifie.
L'astuce de pro : Tenir un tableau des modes de ruine par élément : flexion, cisaillement, flèche, compression d'appui, déversement. Chaque case reste vide tant qu'elle n'est pas remplie.
Le moyen mnémotechnique : « Une vérification n'est pas une conclusion ».
L'impact direct : Un rapport annonçant 41 % sur une poutre dépassée de 68 % en flexion est techniquement exact et professionnellement fautif. C'est la différence entre calculer et concevoir.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( M_{\text{Ed}} \) : N × mm donne des N·mm , à diviser par des mm³
\( W_{y} \) : exprimé en mm³ , et non en mm⁴
\( \alpha \), \( i \), \( k_{\text{n}} \), \( k_{\text{v}} \) : grandeurs sans unité
\( h \) dans \( k_{\text{v}} \) : impérativement en mm , formule non homogène
\( L_{\text{bascule}} \) : mm³ × N/mm² / (mm² × N/mm²) donne des mm

Le piège d'unité de cette question est la formule du coefficient d'entaille. Elle n'est pas homogène : la hauteur y apparaît sous une racine carrée, sans grandeur de référence pour la normaliser. C'est une expression empirique, calée sur des essais avec des hauteurs exprimées en millimètres. L'employer avec des mètres donnerait un coefficient trente-deux fois trop grand, et donc largement supérieur à 1 — le plafond de la formule masquerait alors complètement l'erreur.

1. Résolution Numérique Taux de travail en flexion

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un taux de cisaillement isolé ne signifie rien. Deux lignes suffisent, et elles changent complètement la conclusion.

Méthodologie du calcul :

Moment maximal, module de flexion sur section brute, puis rapport à la résistance de calcul.

Substitution : \( M_{\text{Ed}} = 15\,000 \times 4\,000/4 = 15 \times 10^{6} \) N·mm et \( W_{y} = 605\,000 \) mm³.
Piège évité : Ne pas employer \( b_{\text{ef}} \). Le coefficient de fissuration ne concerne que le cisaillement : le module de flexion se calcule sur la largeur nominale.
Hypothèse validée : Déversement empêché par le platelage du plancher, ce qui dispense du § 6.3.3.
Vérification croisée : \( f_{m,\text{d}} = 0{,}80 \times 24/1{,}30 = 14{,}77 \) N/mm², soit exactement six fois \( f_{\text{v},\text{d}} \) comme le veut le rapport des caractéristiques.
Finalité : Établir si la section proposée peut être retenue — question que le seul cisaillement ne permettait pas de trancher.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,\text{d}} &= \frac{15 \times 10^{6}}{605\,000} = 24{,}79 \text{ N/mm}^{2} \\ \frac{\sigma_{m,\text{d}}}{f_{m,\text{d}}} &= \frac{24{,}79}{14{,}77} = \mathbf{168\ \%} \quad \text{non vérifié} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

168 % : la section est très largement refusée en flexion. Voyons l'ampleur du problème.

Ordre de grandeur : Le dépassement atteint 68 %. Il ne s'agit pas d'un ajustement mais d'un changement de section.
Impact sur la suite : Le taux de cisaillement de 41 %, techniquement exact, était sans objet : la poutre ne peut de toute façon pas être retenue.
Cohérence : Le rapport entre les deux taux vaut \( 168/41 = 4{,}1 \). La flexion est bien le mode dimensionnant, et de très loin.
Attention : La flèche n'a pas été vérifiée. Sur une solive de 4 m, elle est souvent plus contraignante encore que la résistance en flexion.
Comparaison : Une charge répartie de même résultante donnerait un moment deux fois plus faible, soit un taux de 84 % — vérifié, celui-là. La forme du chargement est déterminante.

Remarque pédagogique : Voilà pourquoi il ne faut jamais livrer une vérification isolée. L'énoncé ne demandait que le cisaillement, et un étudiant appliqué aurait rendu un travail juste sur une poutre inutilisable. La compétence attendue d'un ingénieur n'est pas de répondre à la question posée, mais de signaler celles qui ne l'ont pas été.

Hauteur nécessaire pour satisfaire la flexion

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un avis technique ne se contente pas de refuser : il propose. La hauteur se déduit directement du module requis.

Méthodologie du calcul :

Module de flexion requis, puis inversion de \( W_{y} = b h^{2}/6 \) à largeur constante.

Substitution : \( W_{\text{requis}} = 15 \times 10^{6}/14{,}77 = 1\,015\,600 \) mm³, avec \( b = 75 \) mm maintenue.
Piège évité : Ne pas raisonner en proportion directe. Le module varie en \( h^{2} \) : il ne suffit pas de multiplier la hauteur par 1,68.
Hypothèse validée : Largeur inchangée, ce qui est le cas courant : la largeur d'une solive est souvent contrainte par l'entraxe ou par la gamme.
Vérification croisée : La hauteur nécessaire vaut \( 220 \times \sqrt{1{,}679} = 285 \) mm : le rapport des hauteurs est bien la racine du rapport des taux.
Finalité : Proposer une section commerciale et vérifier qu'elle satisfait les deux modes.

\[ \begin{aligned} h_{\text{requise}} &= \sqrt{\frac{6\,W_{\text{requis}}}{b}} = \sqrt{\frac{6 \times 1\,015\,600}{75}} \\ &= \mathbf{285} \text{ mm} \quad \text{soit une section } 75 \times 300 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

285 mm minimum, soit une 75 × 300 commerciale. Voyons ce que cette section donne.

Ordre de grandeur : 30 % de hauteur en plus suffisent à absorber 68 % de dépassement, parce que le module varie au carré.
Impact sur la suite : Avec la 75 × 300, le taux de flexion tombe à 90 % et celui de cisaillement à 30 %. Les deux sont satisfaits.
Cohérence : Le cisaillement s'améliore moins vite que la flexion, puisqu'il ne dépend de la hauteur qu'à la puissance 1 contre 2.
Attention : Le taux de flexion de 90 % laisse une marge réduite. La flèche devra être vérifiée avant de valider définitivement cette section.
Comparaison : Élargir à 100 × 220 au lieu de rehausser ne donnerait que \( W = 806\,700 \) mm³, insuffisant : la hauteur est bien plus efficace que la largeur.

Remarque pédagogique : Faites comparer les deux stratégies : rehausser ou élargir. À volume de bois égal, la hauteur l'emporte toujours en flexion, parce que le module varie en \( h^{2} \) et seulement en \( b \). C'est la raison pour laquelle une poutre est haute et mince plutôt que basse et large — et le raisonnement se poursuit jusqu'au profilé en I, qui pousse la logique à son terme.

Coefficient d'entaille de l'about

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le détail d'appui dessiné par l'entreprise modifie complètement la vérification au cisaillement.

Méthodologie du calcul :

Application de la formule empirique du § 6.5.2, avec une pente nulle pour un angle vif.

Substitution : \( \alpha = 0{,}7 \), \( x = 50 \) mm, \( h = 220 \) mm, \( i = 0 \) et \( k_{\text{n}} = 5 \) pour le bois massif.
Piège évité : Ne pas exprimer la hauteur en mètres. La formule est empirique et non homogène : elle exige des millimètres.
Hypothèse validée : Entaille du même côté que l'appui, cas traité par cette expression et le plus défavorable.
Vérification croisée : Le dénominateur vaut \( 14{,}83 \times 0{,}634 = 9{,}41 \), et le numérateur simplement 5 puisque \( i = 0 \). Le résultat reste bien inférieur à 1.
Finalité : Établir la résistance réellement admissible au droit de l'about entaillé.

\[ \begin{aligned} k_{\text{v}} &= \frac{5}{\sqrt{220}\left(\sqrt{0{,}7 \times 0{,}3} + 0{,}8 \times \dfrac{50}{220}\sqrt{\dfrac{1}{0{,}7} - 0{,}49}\right)} \\ &= \frac{5}{14{,}83 \times 0{,}634} = \mathbf{0{,}531} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,531 : l'entaille divise la résistance admissible par presque deux. Voyons pourquoi.

Ordre de grandeur : À peine plus de la moitié de la résistance reste utilisable, soit \( 0{,}531 \times 2{,}46 = 1{,}31 \) N/mm².
Impact sur la suite : Cette réduction se cumule avec celle de la hauteur : la section utile passe de 220 à 154 mm en même temps.
Cohérence : Le coefficient est bien inférieur à 1, comme l'exige le plafond de la formule. Une valeur supérieure signalerait une erreur d'unité sur la hauteur.
Attention : Une entaille inclinée, avec une pente \( i \) non nulle, améliorerait sensiblement ce coefficient. C'est pourquoi les charpentiers taillent en sifflet.
Comparaison : En lamellé-collé, \( k_{\text{n}} = 6{,}5 \) donnerait 0,691 — soit 30 % de mieux, la régularité du produit tolérant mieux la concentration de contraintes.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que cette formule est empirique et non homogène — la hauteur y figure sous une racine sans grandeur de référence. C'est rare dans les Eurocodes et cela mérite d'être signalé : la clause ne descend pas d'un raisonnement mécanique mais d'un calage sur essais de rupture. Un étudiant qui l'ignore cherchera en vain à en retrouver la logique dimensionnelle.

Taux de travail au droit de l'entaille

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est là que les solives se fendent, et que le taux de la section courante ne dit rien de ce point singulier.

Méthodologie du calcul :

Contrainte sur la hauteur résiduelle, comparée à la résistance réduite par \( k_{\text{v}} \).

Substitution : \( h_{\text{ef}} = 0{,}7 \times 220 = 154 \) mm, largeur efficace 50,25 mm, résistance réduite 1,31 N/mm².
Piège évité : Ne pas conserver la hauteur totale. C'est bien sur les 154 mm restants que l'effort doit transiter au droit de l'entaille.
Hypothèse validée : Cumul de \( k_{\text{cr}} \) et de \( k_{\text{v}} \). Le § 6.5.2 écrit \( b \) : ce cumul est un choix sécuritaire, signalé comme tel.
Vérification croisée : Sans le cumul, sur largeur brute, le taux tomberait à 74 % — vérifié de justesse. L'écart montre à quel point ce choix compte.
Finalité : Rendre l'avis technique sur le détail d'appui proposé par l'entreprise.

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{d}} &= \frac{3}{2} \times \frac{7\,500}{50{,}25 \times 154} = 1{,}45 \text{ N/mm}^{2} \\ \frac{\tau_{\text{d}}}{k_{\text{v}}\,f_{\text{v},\text{d}}} &= \frac{1{,}45}{0{,}531 \times 2{,}46} = \mathbf{111\ \%} \quad \text{non vérifié} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

111 % : le détail d'appui est refusé. Voyons ce qui s'est passé entre 41 et 111 %.

Ordre de grandeur : Le taux est multiplié par 2,7 par rapport à la section courante, pour une entaille qui ne retire que 30 % de la hauteur.
Impact sur la suite : C'est ici que le cisaillement devient dimensionnant, et non sur la portée. Le point singulier commande la pièce entière.
Cohérence : Deux effets se multiplient : la hauteur passe de 220 à 154 mm, soit 1,43, et la résistance est divisée par 1,88. Le produit vaut 2,7.
Attention : Le cumul de \( k_{\text{cr}} \) et \( k_{\text{v}} \) est un choix sécuritaire. Sans lui, le taux serait de 74 % — la conclusion changerait, et c'est pourquoi ce point doit être tranché explicitement dans la note.
Comparaison : Une entaille limitée à 10 % de la hauteur, ou taillée en biais, ramènerait le taux dans les limites. Le détail est corrigeable sans changer la section.

Remarque pédagogique : C'est le résultat le plus utile de l'exercice pour un futur professionnel. La section courante passe à 41 %, le détail d'appui échoue à 111 %. Sur un chantier, c'est exactement ce qui se produit : la poutre est correctement dimensionnée, l'entaille est taillée sans calcul, et la fente apparaît dans les deux premières années. Un plan de charpente se lit aux points singuliers, pas en travée.

Portée en deçà de laquelle le cisaillement gouverne

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour répondre une fois pour toutes à la question « quand le cisaillement dimensionne-t-il ? », avec un nombre plutôt qu'une impression.

Méthodologie du calcul :

Égalisation des deux taux de travail, puis isolement de la portée. La charge se simplifie.

Substitution : \( W_{y} = 605\,000 \) mm³, \( f_{m,\text{d}} = 14{,}77 \), \( b_{\text{ef}}h = 11\,055 \) mm² et \( f_{\text{v},\text{d}} = 2{,}46 \) N/mm².
Piège évité : Ne pas chercher à faire intervenir la charge. Elle apparaît des deux côtés de l'égalité et disparaît.
Hypothèse validée : Charge ponctuelle centrée et section non entaillée. Les deux conditions changent le résultat.
Vérification croisée : À cette portée, les deux taux valent 41 % l'un comme l'autre — l'effort tranchant ne dépendant pas de la longueur, le taux de cisaillement reste inchangé.
Finalité : Fournir un critère réutilisable, indépendant de l'intensité du chargement.

\[ \begin{aligned} L_{\text{bascule}} &= \frac{3 \times 605\,000 \times 14{,}77}{11\,055 \times 2{,}46} \\ &= 985 \text{ mm} = \mathbf{0{,}99} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,99 m : il faudrait une poutre quatre fois plus courte pour que le cisaillement l'emporte. Voyons la portée de ce résultat.

Ordre de grandeur : Moins d'un mètre, alors que la solive en fait quatre. Le cisaillement est très loin de gouverner sur la section courante.
Impact sur la suite : Ce résultat explique tout : sur une poutre de bâtiment courante, la vérification au cisaillement passe presque toujours.
Cohérence : Le rapport \( 4{,}00/0{,}99 = 4{,}0 \) correspond exactement au rapport des deux taux de travail, \( 168/41 \). La cohérence est complète.
Attention : Ce seuil vaut pour une section non entaillée. Avec l'about de la question précédente, il serait repoussé bien au-delà de quatre mètres — et c'est ce qui s'est produit.
Comparaison : Les linteaux, corbeaux et consoles courts entrent dans cette plage, et c'est précisément sur eux que le cisaillement pose problème en pratique.

Remarque pédagogique : Ce nombre est celui à retenir de tout l'exercice. Il transforme une impression — « le cisaillement ne gouverne jamais » — en un critère quantifié : sous un mètre de portée pour cette section, ou en présence d'une entaille. Un étudiant qui repart avec ces deux conditions saura reconnaître, sur n'importe quel plan, les rares endroits où il faut regarder de près.

RÉSULTAT FINAL

Flexion 168 % · entaille 111 % · portée de bascule = 0,99 m — la section 75 × 220 est refusée, et son about entaillé aussi

"Une vérification n'est pas une conclusion : un plan de charpente se lit aux points singuliers !"

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Schéma bilan — cisaillement, flexion et about entaillé

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai reconnu une charge déjà pondérée à son indice « d », et je ne l'ai pas repondérée. J'ai chiffré le poids propre avant de le déclarer négligeable. J'ai distingué le moment statique en mm³ du moment quadratique en mm⁴. J'ai appliqué le facteur 3/2 , et je sais qu'il est propre aux sections rectangulaires pleines. J'ai appliqué \( k_{\text{cr}} \) à la largeur, et à la largeur seulement. J'ai vérifié la flexion , et pas seulement le mode que l'énoncé demandait. J'ai examiné le détail d'appui , parce que c'est là que les solives se fendent.

Avis technique — la section courante passe au cisaillement, mais la solive est refusée et son about entaillé aussi. L'effort tranchant vaut 7 500 N, constant de l'appui à la charge, le poids propre ne représentant que 2 % du total. Le moment statique de la demi-section atteint 453 750 mm³ et le moment quadratique 66,55 × 10⁶ mm⁴, d'où une contrainte de 0,68 N/mm² sur section brute par la formule de Jourawski — exactement la valeur donnée par \( 1{,}5\,V/A \). Après application du coefficient de fissuration, la largeur efficace tombe à 50,25 mm et la contrainte de calcul monte à 1,02 N/mm², pour une résistance de 2,46 N/mm² : le taux de travail au cisaillement s'établit à 41 %. Mais la flexion atteint 168 %, et l'about entaillé 111 %. La section doit passer à 75 × 300 et l'entaille à angle vif doit être supprimée ou réduite.

Sur la même pièce de bois : 41 % au cisaillement de la section courante, 111 % au droit de l'entaille, 168 % en flexion. Répondre à la seule question posée aurait produit un travail juste sur une poutre inutilisable — techniquement exact et professionnellement fautif. La plus-value technique de cette étude tient à ce qu'elle ne s'arrête pas à la question posée : elle dit ce qui a été vérifié, ce qui ne l'a pas été, et où se trouve réellement le problème.

Traçabilité des valeurs tabulées

Les valeurs de coefficients et les résistances caractéristiques employées dans cet exercice proviennent des tableaux de la NF EN 1995-1-1 et des normes produits associées. Chacune est rattachée ci-dessous à la clause ou au tableau qui la fixe, de sorte qu'un tiers puisse la retrouver et vérifier le calcul sans le refaire. Les valeurs relevant d'un paramètre national sont signalées comme telles : c'est l'annexe nationale du pays du projet qui les arrête. Les coefficients qui ont pu être confirmés sur source — \( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \) et \( \beta_{\text{c}} \) — ne figurent pas dans cette liste.

\( k_{\text{cr}} \) — § 6.1.7 : valeur 0,67 retenue ici ; l'atelier JRC Bruxelles 2008 évoque par ailleurs des \( f_{v,\text{k}} \) de 2,0 et 2,5 N/mm² relevant d'une autre édition.
\( k_{\text{c},90} \) — § 6.1.5 : 1,25 et 1,50 pour le bois massif selon l'appui, 1,50 et 1,75 pour le lamellé-collé, et l'extension fixe de 30 mm.
NF EN 338 — classes de résistance : les valeurs principales des classes C24 et C30 sont celles du tableau 1 — \( f_{m,\text{k}} \), \( f_{\text{c},0,\text{k}} \), \( f_{v,\text{k}} \), \( E_{0,\text{mean}} \) et \( \rho_{\text{k}} \). La classe D40 relève du tableau des feuillus, et le \( f_{t,0,\text{k}} \) du C24 : la valeur de 14,5 retenue ici suit l'édition 2016 de la norme, quand l'édition 2003 donne 14,0.

Cisaillement d'une Section Rectangulaire en Bois

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Le premier mois à 1 €

Cisaillement d'une solive C24 : de Jourawski à l'entaille d'appui

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Effort tranchant de calcul et contrôle de l'hypothèse

Question 2 : Moment statique et distribution de Jourawski

Question 3 : Vérification au cisaillement avec fissuration

Question 4 (Finale) : Quand le cisaillement devient-il dimensionnant ?

Cisaillement d'une solive C24 : de Jourawski à l'entaille d'appui

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

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BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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