Choix d'une Essence de Bois pour une Structure

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Choisir une essence de bois, c'est arbitrer entre résistance et rigidité — deux propriétés qui ne progressent pas au même rythme. Un chêne D40 est 67 % plus résistant qu'un épicéa C24, mais seulement 27 % plus rigide. Or sur un plancher de 5,00 m de portée, c'est la flèche qui commande, pas la rupture. Cet exercice compare trois essences pour des solives à 50 cm d'entraxe, et montre que le classement change complètement selon le critère retenu.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Des solives de bureau, portée 5,00 m, entraxe 50 cm, charge 1,5 kN/m.
Environnement : Local chauffé et sec, classe de service 1, d'où \( k_{\text{mod}} = 0{,}8 \) et \( k_{\text{def}} = 0{,}6 \).
L'objectif final : Dimensionner à l'ELU, vérifier à l'ELS, puis choisir l'essence en connaissance de cause.
L'astuce de l'ingénieur : Quand la flèche gouverne, c'est le module qui compte, pas la résistance. Et le module varie très peu d'une essence à l'autre.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur structure et vous reprenez une note qui retient une section de 75 × 220 mm en épicéa, au motif que « la flèche de 16,6 mm passe tout juste sous la limite de 16,67 mm ». Votre travail consiste à refaire le calcul sans arrondir, puis à traiter le fluage, qu'on évoque volontiers avant de l'écarter.

Le grand défi : L'arrondi. Une décimale sépare ici le « conforme » du « non conforme ».
Votre rôle : Produire une note traçable : la base de charge clarifiée, la hauteur requise exacte, le fluage chiffré, et un choix d'essence argumenté.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — le dimensionnement à l'ELU : le moment de calcul, les trois résistances de calcul, et les hauteurs minimales requises par la résistance.
Livrable 2 — la vérification à l'ELS : les flèches instantanées sans arrondi, la hauteur requise exacte, l'effet du fluage, et le choix d'essence argumenté.

2. Données Techniques & Normes

Le calcul est mené selon la NF EN 1995-1-1 avec les valeurs de l'annexe nationale française. Trois points appellent une vigilance particulière : la base de pondération de la charge de 1,5 kN/m n'est pas précisée, alors qu'elle ne peut pas être la même à l'ELU et à l'ELS ; la vérification de flèche se joue ici à la troisième décimale ; et le fluage du § 2.2.3(5) n'est pas une option.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Moment maximal, charge répartie \( M_{\text{Ed}} = \dfrac{q\,L^{2}}{8} \)
Résistance de calcul \( f_{m,\text{d}} = k_{\text{mod}}\,\dfrac{f_{m,\text{k}}}{\gamma_{M}} \)
Module de flexion requis \( W_{y,\text{req}} \ge \dfrac{M_{\text{Ed}}}{f_{m,\text{d}}} \)
Hauteur requise, base imposée \( h \ge \sqrt{\dfrac{6\,W_{y,\text{req}}}{b}} \)
Flèche instantanée \( w_{\text{inst}} = \dfrac{5\,q\,L^{4}}{384\,E_{0,\text{mean}}\,I_{y}} \)
Hauteur requise par la flèche \( h \ge \sqrt[3]{\dfrac{12\,I_{\text{req}}}{b}} \)
Flèche finale — § 2.2.3(5) \( w_{\text{fin}} = w_{\text{inst},G}(1+k_{\text{def}}) + w_{\text{inst},Q}(1+\psi_{2}k_{\text{def}}) \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( L \)	Portée entre appuis simples	5,00	m
\( b \)	Base de la section, imposée par l'énoncé	75	mm
\( f_{m,\text{k}} \)	Flexion caractéristique : 24 / 30 / 40 pour C24, C30 et D40 NF EN 338	24 / 30 / 40	N/mm²
\( E_{0,\text{mean}} \)	Module moyen — c'est lui qui commande la flèche NF EN 338	11 000 / 12 000 / 14 000	N/mm²
\( k_{\text{mod}} \)	Classe de service 1, charge de moyen terme EN 1995-1-1 - Tableau 3.1	0,80	—
\( \gamma_{M} \)	Coefficient partiel du bois massif EN 1995-1-1 - Tableau 2.3	1,30	—
\( k_{\text{def}} \)	Coefficient de fluage, bois massif en classe de service 1 EN 1995-1-1 - Tableau 3.2	0,60	—
\( k_{h} \)	Coefficient de hauteur du bois massif — sans effet au-delà de 150 mm EN 1995-1-1 - § 3.2	1,00	—

Les trois lectures qui décident, et leurs pièges

La base de charge : \( \text{une charge ne peut pas etre a la fois ponderee et de service} \)
La precision : \( \text{la verification se joue ici a la troisieme decimale} \)
Le fluage : \( \S\,2.2.3(5) \text{ — il majore la fleche de 18 a 60 } \% \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( q \)	Charge répartie, poids propre inclus — base de pondération non précisée	1,5	kN/m
\( e \)	Entraxe des solives — la charge est déjà rapportée à une solive	50	cm
Critère	Flèche admissible, valeur imposée par l'énoncé EN 1995-1-1 - Tableau 7.2	L/300	—
Répartition G/Q	Donnée manquante — elle conditionne le facteur de fluage	Non donnée	—

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Le cisaillement : \( \S\,6.1.7 \text{ avec } k_{\text{cr}} = 0{,}67 \)
Les appuis : \( \S\,6.1.5 \text{ — compression transversale sur les lisses} \)
Les vibrations : \( \S\,7.3.3 \text{ — souvent dimensionnant sur 5 m de portee} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Résistance et rigidité ne progressent pas ensemble

Essence	\( f_{m,\text{k}} \) — rapport au C24	\( E_{0,\text{mean}} \) — rapport au C24
Épicéa C24	24 N/mm² — × 1,00	11 000 N/mm² — × 1,00
Douglas C30	30 N/mm² — × 1,25	12 000 N/mm² — × 1,09
Chêne D40	40 N/mm² — × 1,67	14 000 N/mm² — × 1,27

Voici le fait central de cet exercice, et il n'est jamais énoncé clairement dans la note reprise. En passant de l'épicéa au chêne, la résistance gagne 67 % mais le module seulement 27 %. C'est une propriété générale du bois : la rigidité est bien moins dispersée entre essences que la résistance, parce qu'elle dépend surtout de la structure cellulaire du matériau, tandis que la résistance dépend en plus des défauts. Conséquence directe : dès que la flèche gouverne le dimensionnement — ce qui est le cas de presque tous les planchers de portée courante — payer une essence plus résistante n'apporte presque rien. Le rapport \( E/f_{m,\text{k}} \) le montre à l'envers : il vaut 458 pour le C24, 400 pour le C30 et seulement 350 pour le D40. C'est l'épicéa qui offre le plus de rigidité par unité de résistance payée.

Une charge ne peut pas être pondérée et de service à la fois

Vérification	Charge à employer	Ce que fait la note
ELU — résistance	Charge pondérée \( 1{,}35G + 1{,}5Q \)	1,5 kN/m, déclarée « déjà pondérée »
ELS — flèche	Charge caractéristique, non pondérée	1,5 kN/m, déclarée « non pondérée »
Conséquence	Les deux valeurs diffèrent d'environ 40 %	La même valeur sert aux deux

La note reprise affirme deux choses incompatibles. En question 1, sa foire aux questions précise : « on suppose que le 1,5 kN/m est déjà la charge de calcul \( q_{\text{Ed}} \) à l'ELU ». En question 4, ses hypothèses indiquent : « on utilise les charges de service (non pondérées) pour cette vérification » — et emploie le même 1,5 kN/m. Or ces deux charges ne peuvent pas être égales : la pondération d'un plancher courant vaut environ 1,4. Si 1,5 est la charge de service, l'ELU doit se faire avec 2,10 kN/m ; si 1,5 est la charge pondérée, l'ELS doit se faire avec environ 1,07. La note prend la valeur basse pour l'ELU et la valeur haute pour l'ELS — un panachage qui n'est ni sécuritaire ni cohérent, et qui rend le résultat ininterprétable tant que la base n'est pas fixée.

Traçabilité des valeurs employées

Les clauses et formules employées ici proviennent de la documentation officielle sur l'EN 1995-1-1. Les valeurs tabulées suivantes sont rattachées à la norme et, le cas échéant, au paramètre national qui les fixe :

\( f_{m,\text{k}} \) et \( E_{0,\text{mean}} \) des classes C24, C30 et D40 — NF EN 338, dont les valeurs des feuillus ont évolué entre éditions
Les masses volumiques du tableau de l'énoncé, dont celle annoncée pour le C30, à confronter à la NF EN 338
\( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) et \( k_{\text{def}} = 0{,}60 \) en classe de service 1 — tableaux 3.1 et 3.2
\( \gamma_{M} = 1{,}30 \) pour le bois massif — tableau 2.3 et annexe nationale
La gamme commerciale des hauteurs disponibles pour une base de 75 mm, qui varie selon les fournisseurs
La base de pondération de la charge de 1,5 kN/m et la répartition \( G/Q \), qui relèvent de l'analyse du projet

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Moment de calcul et base de charge

Sollicitations 20 min | Accessible

But de l'étape : Établir le moment, et clarifier ce qu'est la charge de 1,5 kN/m.

Énoncé Q1 : Pour une solive de 5,00 m sous 1,5 kN/m :

calculer le moment maximal de calcul ;
chiffrer ce que serait la charge pondérée si 1,5 était la valeur de service ;
et la charge de service si 1,5 était déjà pondérée.

Une même valeur ne peut pas servir aux deux vérifications : il faut trancher .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Travaillez en newtons et millimètres : 1 kN/m vaut numériquement 1 N/mm, et le moment sort directement en N·mm. Pour la pondération, un plancher courant dont les charges permanentes et d'exploitation sont du même ordre subit un facteur global voisin de 1,4.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( M_{\text{Ed}} = \) 4 687 500 N·mm, soit 4,69 kN·m. Si 1,5 est la charge de service, l'ELU exigerait 2,10 kN/m ; si 1,5 est déjà pondérée, l'ELS ne devrait employer que 1,07 kN/m.

Question 2 : Résistances de calcul des trois essences

Matériau 15 min | Accessible

But de l'étape : Passer des caractéristiques aux résistances de calcul.

Énoncé Q2 : En classe de service 1, charge de moyen terme :

calculer \( f_{m,\text{d}} \) pour les trois essences ;
vérifier si le coefficient de hauteur \( k_{h} \) s'applique ;
relever le facteur commun aux trois calculs.

Le rapport \( k_{\text{mod}}/\gamma_{M} \) est le même pour toutes : un seul calcul, trois multiplications.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le coefficient de hauteur du bois massif ne joue qu'en dessous de 150 mm de hauteur — contrairement au lamellé-collé, dont la référence est à 600 mm. Comme les hauteurs envisagées ici dépassent toutes 150 mm, \( k_{h} = 1 \).

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le facteur commun vaut 0,615. D'où \( f_{m,\text{d}} = \) 14,77 pour le C24, 18,46 pour le C30 et 24,62 N/mm² pour le D40.

Question 3 : Sections requises par la résistance

Dimensionnement 25 min | Intermédiaire

But de l'étape : Trouver la hauteur minimale à l'ELU, essence par essence.

Énoncé Q3 : Pour une base imposée de 75 mm :

calculer le module de flexion requis pour chaque essence ;
en déduire la hauteur théorique minimale ;
discuter le choix de la section commerciale.

On arrondit toujours à la dimension commerciale supérieure, jamais l'inverse.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La condition \( \sigma_{m,\text{d}} \le f_{m,\text{d}} \) s'inverse directement en \( W_{y,\text{req}} \ge M_{\text{Ed}}/f_{m,\text{d}} \). Avec \( W = bh^{2}/6 \) et \( b \) imposée, la hauteur s'obtient par une simple racine carrée — attention, carrée et non cubique : c'est la flèche qui fera intervenir le cube.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Les hauteurs théoriques valent 159,3 mm pour le C24, 142,5 pour le C30 et 123,4 mm pour le D40. Toutes trois restent modestes : la résistance n'est pas le critère dimensionnant.

Question 4 : Vérification de la flèche

Le cœur du sujet 40 min | BOSS

But de l'étape : Refaire le calcul sans arrondir, puis ajouter le fluage.

Mention spéciale — la note conclut « 16,6 mm ≤ 16,67 mm, donc OK » : Le calcul exact donne 16,675 mm. L'arrondi à une décimale a inversé le verdict, et la section retenue ne satisfait pas le critère — de très peu, mais elle ne le satisfait pas.

Calculer la flèche instantanée pour les hauteurs 180, 200, 220 et 240 mm en épicéa, déterminer la hauteur requise exacte, puis reprendre la vérification en intégrant le fluage selon le § 2.2.3(5) et en bornant le résultat faute de connaître la répartition G/Q.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le terme \( 5qL^{4} \) est constant : calculez-le une fois, puis divisez par \( 384\,E\,I \) pour chaque cas. Pour la hauteur requise, inversez la formule et prenez une racine cubique. Le fluage, lui, se borne entre deux hypothèses extrêmes : charge entièrement variable ou entièrement permanente.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

En 75 × 220, la flèche vaut 16,675 mm pour une limite de 16,667 : 100,05 %, donc non conforme. La hauteur requise exacte est de 220,04 mm. Avec le fluage, il faut monter à 240 mm au minimum, voire 280.

Question 5 (Finale) : Choix de l'essence

Conclusion 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Choisir sur le bon critère — celui qui gouverne réellement.

Calculer la hauteur requise par la flèche pour chacune des trois essences, comparer les masses linéiques, établir le rapport \( E/f_{m,\text{k}} \) et conclure sur l'essence à retenir en justifiant le critère de décision.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La hauteur requise par la flèche varie comme la racine cubique de l'inverse du module. Comme les modules ne varient que de 27 % entre les trois essences, les hauteurs requises ne varieront que de quelques pour cent — bien moins que ne le laisserait croire l'écart de résistance.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Les hauteurs requises par la flèche valent 220,0, 213,7 et 203,0 mm. Le chêne, 67 % plus résistant, ne fait gagner que 17 mm — pour une masse supérieure de 69 %.

NOTE DE CALCULS

Choix d'une essence : l'arrondi qui inverse le verdict

Question 1 : Moment de calcul et base de charge

Dans la tête de l'ingénieur

"Le moment se calcule en une ligne et la note le trouve juste. Mais avant d'aller plus loin, je dois lever une ambiguïté qu'elle laisse ouverte — et qu'elle tranche même deux fois, dans deux sens opposés. Sa foire aux questions de la question 1 affirme : « on suppose que le 1,5 kN/m est déjà la charge de calcul \( q_{\text{Ed}} \) à l'ELU ». Ses hypothèses de la question 4 affirment : « on utilise les charges de service, non pondérées » — et emploient le même 1,5. Ces deux charges ne peuvent pas être égales : un plancher courant subit une pondération voisine de 1,4. Tant que cette base n'est pas fixée, aucun des deux résultats n'est interprétable."

Observation : Le moment de la note est exact : 4 687 500 N·mm — mais sa validité dépend entièrement d'une donnée que l'énoncé ne précise pas. exact : 4 687 500 N·mm.
Analyse du risque : La même charge est déclarée pondérée en Q1 et de service en Q4.
Choix stratégique : Chiffrer les deux lectures, pour montrer ce que chacune implique.
Point de méthode : Une donnée ambiguë se signale, elle ne se tranche pas en silence.
Objectif visé : Un moment de calcul traçable, et surtout une base de charge explicite : sans elle, le chiffre exact ne prouve rien. explicite.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( M_{\text{Ed}} = \) 4 687 500 N·mm · si 1,5 est de service : ELU à 2,10 kN/m · si 1,5 est pondérée : ELS à 1,07 kN/m

Rappel Théorique : deux états limites, deux charges

L'ELU et l'ELS ne posent pas la même question, et n'emploient donc pas les mêmes charges.

Principe 1 — l'ELU : Éviter la ruine sous des charges majorées : 1,35 G + 1,5 Q.
Principe 2 — l'ELS : Assurer le confort sous des charges réelles, non pondérées.
Principe 3 — l'écart : Un facteur voisin de 1,4 sépare les deux, pour un plancher courant.
Principe 4 — la conséquence : Employer la même valeur des deux côtés fausse nécessairement l'un des deux.
Principe 5 — le moment : \( qL^{2}/8 \) — la portée intervient au carré : allonger de 20 % majore le moment de 44 %, et la flèche de 107 %. carré.

Équations Fondamentales

Le moment maximal d'une poutre isostatique, puis la question de la base de charge.

Moment maximal sous charge répartie :

Poutre sur deux appuis simples.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle découle directement de l'équilibre statique. Chaque appui reprend la moitié de la charge totale, soit \( qL/2 \) ; le moment en un point d'abscisse \( x \) vaut alors \( (qL/2)x - qx^{2}/2 \), un polynôme du second degré dont le maximum se situe à mi-portée et vaut \( qL^{2}/8 \). La portée intervient au carré : doubler la travée quadruple le moment. C'est déjà une forte sensibilité, mais elle reste modérée comparée à celle de la flèche, où la portée intervient à la puissance quatre. Cette différence d'exposant est la raison profonde pour laquelle, au-delà d'une certaine portée, c'est toujours la déformation qui finit par gouverner le dimensionnement.

Contexte de validité : Poutre isostatiquePoutre isostatique sur deux appuis simples, charge uniformément répartie : les deux hypothèses du cas de charge le plus courant.
Avantage : Une formule fermée, applicable sans la moindre hypothèse de matériau : le moment ne dépend que de la statique.
Paramètre clé : \( L^{2} \) — contre \( L^{4} \) pour la flèche : c'est cette différence d'exposant qui fera basculer le dimensionnement vers l'ELS.
Vérification : En newtons par millimètre et millimètres, le moment sort directement en N·mm — l'unité qu'attend le module de flexion. N·mm.
Limite : Elle exige une charge pondérée — encore faut-il savoir si elle l'est.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} = \frac{q\,L^{2}}{8} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la portée compte plus que la charge. Allonger la travée de 20 % accroît le moment de 44 % ; augmenter la charge de 20 % ne l'accroît que de 20 %.

Décomposition des termes :

\( q = 1{,}5 \) : charge linéique — base de pondération à préciser, unité : N/mm
\( L = 5\,000 \) : portée en millimètres, unité : mm
\( L^{2} = 25 \times 10^{6} \) : terme dominant, unité : mm²
Facteur 1/8 : propre aux appuis simples ; 1/12 si encastrements, unité : —
Coïncidence utile : 1 kN/m vaut 1 N/mm, unité : —

Base de pondération de la charge :

EN 1990 (6.10), et son absence dans l'énoncé.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'ELU et l'ELS ne posent pas la même question, et ne peuvent donc pas employer la même charge. L'ELU demande : « la structure peut-elle rompre ? » — et l'on majore alors les charges pour couvrir les surcharges imprévues. L'ELS demande : « la structure sera-t-elle confortable ? » — et l'on emploie les charges telles qu'elles surviendront réellement, sans majoration. Pour un plancher dont les charges permanentes et d'exploitation sont du même ordre, le rapport entre les deux vaut environ 1,4. Utiliser une même valeur des deux côtés revient donc nécessairement à surestimer l'une ou à sous-estimer l'autre — et il faut savoir laquelle.

Contexte de validité : Le facteur 1,4 est un ordre de grandeur, non une valeur réglementaire.
Avantage : Il permet de borner le problème en l'absence de la répartition G/Q.
Paramètre clé : La répartition \( G/Q \)La répartition \( G/Q \) entre permanent et variable, que l'énoncé ne donne pas — et dont dépendent à la fois la pondération et le fluage.
Vérification : Le facteur global vaut 1,35 si tout est permanent et 1,50 si tout est variable : la fourchette est étroite, mais elle existe.
Limite : Cette même répartition commandera aussi le facteur de fluage en question 4 : une seule donnée manquante, deux conséquences. facteur de fluage.

\[ \begin{aligned} q_{\text{ELU}} = 1{,}35\,G + 1{,}5\,Q \approx 1{,}4\,q_{\text{ELS}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une charge porte toujours une étiquette. Caractéristique ou pondérée, elle ne peut être les deux — et l'oublier fausse silencieusement l'une des deux vérifications.

Décomposition des termes :

1,35 : coefficient des actions permanentes défavorables, unité : —
1,50 : coefficient des actions variables, unité : —
≈ 1,4 : facteur global d'un plancher courant, unité : —
Lecture A : 1,5 est de service d'où ELU à 2,10 kN/m, unité : kN/m
Lecture B : 1,5 est pondérée d'où ELS à 1,07 kN/m, unité : kN/m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'employer la même charge à l'ELU et à l'ELS..."

L'approche d'ingénieur : Toute charge porte une étiquette : caractéristique, ou pondérée.

L'erreur : Reprendre le \( q \) pondéré de l'ELU dans la formule de la flèche : on majorerait la déformation de 40 % sans aucun fondement.
La bonne méthode : Deux charges distinctes, séparées d'un facteur voisin de 1,4.
L'astuce de pro : Écrire l'indice à côté de chaque charge : \( q_{\text{d}} \) ou \( q_{\text{ser}} \).
Le moyen mnémotechnique : « L'ELU majore, l'ELS constate » — la formule dit tout : on pondère pour vérifier la rupture, jamais pour prédire une déformation..
L'impact direct : Un écart de 40 % sur la flèche, dans un sens ou dans l'autre.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Charge : 1,5 kN/m = 1,5 N/mm
Portée : 5,00 m = 5 000 mm
N/mm × mm² = N·mm
1 kN·m = 10⁶ N·mm
Coefficients \( \gamma \) : sans unité

Une coïncidence heureuse du système international simplifie tout ce calcul : une charge exprimée en kN/m a exactement la même valeur numérique en N/mm. Il suffit donc de porter la portée en millimètres pour que le moment sorte directement en N·mm, unité qui se combine ensuite sans conversion avec les mm³ du module de flexion pour donner des N/mm². Adopter ce système dès la première ligne élimine la quasi-totalité des erreurs d'unités.

1. Résolution Numérique Moment fléchissant de calcul

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la sollicitation à confronter à la résistance.

Méthodologie du calcul :

Application directe, en newtons et millimètres.

Substitution : \( 1{,}5 \times 25 \times 10^{6}/8 \), la charge étant exprimée en N/mm et la portée en millimètres.
Piège évité : Oublier le carré Oublier le carré sur la portée : on trouverait 937 500 N·mm, cinq fois trop peu, et la solive serait très largement sous-dimensionnée.
Hypothèse validée : Appuis simples, charge uniforme, poids propre déjà inclus.
Vérification croisée : 4,69 kN·m : ordre de grandeur courant pour une solive de 5 m.
Finalité : Alimenter le dimensionnement à l'ELU des trois essences : ce moment est commun à tout le comparatif.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{1{,}5 \times 25 \times 10^{6}}{8} \\ &= \mathbf{4\,687\,500 \ \text{N}\cdot\text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

4 687 500 N·mm, soit 4,69 kN·m — la note trouve la même valeur.

Ordre de grandeur : Valeur typique pour une solive de plancher de 5 m sous charge courante : rien d'anormal dans ce chiffre. 5 m.
Impact sur la suite : Il fixera les hauteurs minimales à l'ELU — celles dont on montrera qu'elles ne gouvernent pas.ELU.
Cohérence : Ce poste de la note est exact, ce qui confirme que ses erreurs portent ailleurs : sur l'arrondi et sur le fluage. exact.
Réserve : Sa validité dépend de la base Sa validité dépend entièrement de la base de la charge de 1,5 kN/m : de service ou déjà pondérée, l'énoncé ne le dit pas.
Sensibilité : Une portée de 4,00 m ne donnerait que 3,00 kN·m, soit 36 % de moins : la portée est le paramètre le plus sensible du problème. 3,00 kN·m.

Remarque pédagogique : Faites comparer les deux exposants de la portée. Le moment varie en \( L^{2} \), la flèche en \( L^{4} \). Passer de 4 à 5 mètres multiplie le moment par 1,56 mais la flèche par 2,44. C'est cette différence, et elle seule, qui explique pourquoi les petites portées sont gouvernées par la résistance et les grandes par la déformation — le basculement se produit ici bien avant 5 mètres.

Charge à l'ELU si 1,5 kN/m est la valeur de service

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la première lecture possible de l'énoncé.

Méthodologie du calcul :

Application d'un facteur de pondération global de 1,4.

Substitution : \( 1{,}4 \times 1{,}5 \), en retenant le facteur global d'un plancher courant à dominante variable.
Piège évité : Prendre 1,35 ou 1,50 seuls alors que la charge est mixte : le facteur réel se situe nécessairement entre les deux. mixte.
Hypothèse assumée : Charges permanentes et variables du même ordre, faute de données.
Vérification croisée : Le facteur exact serait compris entre 1,35 et 1,50 : l'hypothèse de 1,4 est au centre de cette fourchette. 1,35 et 1,50.
Finalité : Montrer que le moment de la note serait alors sous-estimé de 40 %, ce qui changerait tout le dimensionnement à l'ELU. sous-estimé.

\[ \begin{aligned} q_{\text{ELU}} &= 1{,}4 \times 1{,}5 \\ &= \mathbf{2{,}10 \ \text{kN/m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,10 kN/m — le moment de calcul monterait à 6,56 kN·m.

Conséquence : Le moment de la note serait 40 % trop faible — un écart qui ne se rattrape par aucune marge. 40 % trop faible.
Impact sur la suite : Les hauteurs requises à l'ELU gagneraient 18 % : la racine carrée amortit l'écart, sans l'effacer. 18 %.
Nuance : Sans effet sur la flèche, qui emploie de toute façon la charge de service : seul l'ELU serait touché.
Portée du problème : L'ELU restant non dimensionnant, l'effet reste ici théorique.
Lecture retenue : C'est celle-ci qui rend le calcul de flèche de la note correct.

Remarque pédagogique : Faites remarquer un point rassurant : dans cet exercice, l'ambiguïté n'a pas de conséquence pratique, parce que l'ELU n'est pas le critère dimensionnant. Même avec un moment majoré de 40 %, la hauteur requise resterait bien inférieure à celle qu'impose la flèche. Mais ce n'est vrai que par la faveur des données : sur une portée plus courte, où l'ELU gouverne, la même ambiguïté produirait un sous-dimensionnement réel.

Charge à l'ELS si 1,5 kN/m est déjà pondérée

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la lecture que la note affirme en question 1.

Méthodologie du calcul :

Division par le même facteur de pondération global.

Substitution : \( 1{,}5/1{,}4 \), c'est-à-dire l'opération inverse de la précédente, dans l'hypothèse symétrique.
Piège évité : Conserver 1,5 pour le calcul de flèche, comme le fait la note en Q4.
Hypothèse assumée : Même facteur global de 1,4, faute de connaître la répartition \( G/Q \) — l'hypothèse est assumée et signalée. G/Q.
Vérification croisée : 1,07 kN/m de charge de service : la flèche serait alors réduite de 29 %, la déformation étant proportionnelle à la charge. 29 %.
Finalité : Montrer que cette lecture rendrait la conclusion de la note trop sévère.

\[ \begin{aligned} q_{\text{ELS}} &= \frac{1{,}5}{1{,}4} \\ &= \mathbf{1{,}07 \ \text{kN/m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

1,07 kN/m — la flèche calculée serait réduite de près d'un tiers.

Conséquence : Toutes les flèches de la question 4 seraient 29 % plus faibles, et le verdict de conformité s'en trouverait inversé. 29 % plus faibles.
Impact sur la suite : Une hauteur de 200 mm Une hauteur de 200 mm suffirait alors en instantané : deux sections commerciales d'écart pour une seule ambiguïté d'énoncé.
Contradiction : C'est la lecture que la note affirme, mais pas celle qu'elle applique.
Choix retenu : Nous conserverons 1,5 kN/m pour la flèche, lecture sécuritaire.
Exigence : La base de charge doit être écrite dans la note définitive : c'est la première ligne d'une descente de charges traçable. écrite dans la note définitive.

Remarque pédagogique : Faites acter le choix que nous retenons, et sa justification. Nous conservons 1,5 kN/m pour le calcul de flèche — comme la note — parce que c'est la lecture sécuritaire et parce qu'elle correspond à la formulation de l'énoncé, qui décrit une charge physique « poids propre inclus ». Mais nous l'écrivons, au lieu de l'appliquer en silence. C'est toute la différence entre une hypothèse et un oubli.

RÉSULTAT FINAL

Moment de calcul = 4 687 500 N·mm — la valeur est exacte, mais la base de la charge de 1,5 kN/m reste à écrire explicitement

"L'ELU majore, l'ELS constate !"

Question 2 : Résistances de calcul des trois essences

Dans la tête de l'ingénieur

"Cette question est correctement traitée et ses trois résultats sont exacts. Je la refais parce qu'elle installe une illusion qu'il faudra dissiper plus loin : en comparant 14,77, 18,46 et 24,62 N/mm², on conclut naturellement que le chêne permettra des sections bien plus petites. La note l'écrit d'ailleurs — « le chêne offre une résistance nettement supérieure, ce qui devrait permettre d'utiliser des sections plus petites ». Ce raisonnement ne vaut que si la résistance gouverne. Or nous verrons qu'elle ne gouverne pas du tout. J'ajoute par ailleurs une vérification que la note omet : le coefficient de hauteur du bois massif, qu'il faut au moins examiner avant de l'écarter."

Observation : Les trois résistances de la note sont exactes — le comparatif est juste, c'est le critère de comparaison qui ne l'est pas. exactes.
Analyse du risque : Elles installent l'idée que le chêne fera gagner des sections — faux ici.
Choix stratégique : Poser le facteur commun une seule fois, puis trois multiplications.
Point de méthode : Examiner le coefficient \( k_{h} \) avant de conclure qu'il ne s'applique pas.
Objectif visé : Trois résistances de calcul, et une mise en garde sur leur portée.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Facteur commun 0,615 · \( f_{m,\text{d}} = \) 14,77 (C24), 18,46 (C30) et 24,62 N/mm² (D40) · \( k_{h} = 1 \) au-delà de 150 mm

Rappel Théorique : de la classe à la résistance de calcul

Une classe de résistance n'est qu'un point de départ : deux coefficients la séparent de la valeur utilisable.

Principe 1 — la classe : « C » pour conifère, « D » pour feuillu ; le nombre est la flexion en N/mm².
Principe 2 — \( k_{\text{mod}} \) : Une propriété du bois : durée de charge et humidité.
Principe 3 — \( \gamma_{M} \) : Un coefficient de sécurité : 1,30 pour le bois massif.
Principe 4 — \( k_{h} \) : Un bonus d'échelle, actif seulement sous 150 mm en bois massif.
Principe 5 — l'illusion : Une résistance plus forte ne réduit la section que si la résistance gouverne.

Équations Fondamentales

La résistance de calcul, puis le coefficient de hauteur du bois massif.

Résistance de calcul — § 2.4.1 :

EN 1995-1-1, équation (2.14).

Pourquoi cette formule ?

Parce que la valeur caractéristique est un fractile à 5 %, mesuré en laboratoire sur une éprouvette chargée en quelques minutes dans un air conditionné : elle ne décrit pas ce que fera une pièce de charpente sous la pluie pendant trente ans. Deux corrections s'imposent, de nature différente. Le coefficient \( k_{\text{mod}} \) traduit un comportement réel — le bois est viscoélastique, il cède sous une charge maintenue à un niveau qu'il supporterait sans dommage brièvement. Le coefficient \( \gamma_{M} \), lui, couvre la dispersion entre pièces, bien plus forte pour un matériau naturel que pour un acier laminé. Un point mérite d'être relevé : ces deux coefficients sont identiques pour les trois essences comparées, si bien que le rapport entre leurs résistances de calcul reproduit exactement celui de leurs caractéristiques.

Contexte de validité : Bois massif, classe de service 1, charge de moyen terme.
Avantage : Le facteur commun Le facteur commun \( k_{\text{mod}}/\gamma_{M} \) se calcule une fois pour les trois essences : seule la caractéristique change.
Paramètre clé : \( k_{\text{mod}}/\gamma_{M} = 0{,}615 \) : il ne reste que trois cinquièmes de la valeur de catalogue, avant toute vérification.
Vérification : Le feuillu emploie le même \( \gamma_{M} \) que le résineux : 1,30.
Limite : Ces résistances ne servent qu'à l'ELU — la flèche emploie le module.

\[ \begin{aligned} f_{m,\text{d}} = k_{\text{mod}}\,\frac{f_{m,\text{k}}}{\gamma_{M}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : on ne conçoit jamais avec la valeur du catalogue. Il reste ici 61,5 % de la caractéristique — et ce pourcentage est le même pour les trois essences.

Décomposition des termes :

\( f_{m,\text{k}} \) : 24, 30 ou 40 selon l'essence, unité : N/mm²
\( k_{\text{mod}} = 0{,}80 \) : classe de service 1 et charge de moyen terme, lecture du tableau 3.1, unité : —
\( \gamma_{M} = 1{,}30 \) : bois massif, identique pour résineux et feuillus, unité : —
Facteur commun : 0,615 : identique pour les trois essences, un seul calcul suffit donc, unité : —
Conséquence : les rapports entre essences sont intégralement conservés par la pondération, unité : conservés, unité : —

Coefficient de hauteur du bois massif — § 3.2 :

EN 1995-1-1, référence à 150 mm.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la résistance caractéristique du bois massif est établie sur une hauteur de référence de 150 mm, et que les pièces plus petites résistent statistiquement mieux. La raison est probabiliste : plus une pièce est haute, plus elle a de chances de contenir le nœud qui déclenchera la rupture — c'est la théorie du maillon le plus faible. Il faut noter la différence avec le lamellé-collé, dont la référence est à 600 mm : un produit plus homogène tolère de plus grandes hauteurs avant de perdre en résistance. Ici, toutes les hauteurs envisagées dépassent 150 mm, si bien que \( k_{h} = 1 \) et qu'aucun bonus ne s'applique. Le vérifier prend dix secondes, et l'écrire évite au lecteur de se demander si on y a pensé.

Contexte de validité : Bois massif, flexion ou traction, hauteur inférieure à 150 mm.
Avantage : Un gain gratuit lorsqu'il s'applique — mais pas dans ce cas, toutes les hauteurs dépassant 150 mm. pas dans ce cas.
Paramètre clé : La hauteur de référence de 150 mm du bois massif, bien plus basse que les 600 mm du lamellé-collé. 150 mm pour le massif.
Vérification : Le lamellé-collé a une référence à 600 mm et un plafond différent.
Limite : Il ne s'applique jamais Il ne s'applique jamais à la compression axiale : l'effet d'échelle suppose un gradient de contrainte dans la section.

\[ \begin{aligned} k_{h} = \min\left[\left(\frac{150}{h}\right)^{0,2} ; 1{,}3\right] = 1 \quad \text{des que} \ h \ge 150 \ \text{mm} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une grande pièce a plus de chances de contenir son propre défaut. Rien de mécanique là-dedans : c'est de la statistique appliquée au bois, et elle joue ici en notre défaveur.

Décomposition des termes :

150 : hauteur de référence du bois massif, au-delà de laquelle aucun bonus n'est accordé, unité : bois massif, unité : mm
600 : hauteur de référence du lamellé-collé, quatre fois plus élevée, unité : lamellé-collé, unité : mm
Exposant 0,2 : deux fois celui du lamellé-collé, l'effet d'échelle étant plus marqué sur le bois massif, unité : —
Plafond 1,3 : très supérieur au plafond de 1,1 du lamellé-collé — le massif peut gagner jusqu'à 30 %, unité : —
Ici : toutes les hauteurs envisagées dépassent 150 mm, donc \( k_{h} = 1 \) et aucun bonus, unité : aucun bonus, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de conclure qu'une essence plus résistante donnera une section plus petite..."

L'approche d'ingénieur : On identifie d'abord quel critère gouverne, puis on choisit le matériau.

L'erreur : Comparer 14,77 et 24,62 et en déduire que le chêne fera gagner 40 % de section.
La bonne méthode : Si la flèche gouverne, c'est le module qu'il faut comparer.
L'astuce de pro : Vérifier l'ELS avant Vérifier l'ELS avant de commander le bois : c'est presque toujours lui qui fixe la section d'un plancher.
Le moyen mnémotechnique : « La résistance choisit la classe, la rigidité choisit la hauteur ».
L'impact direct : Le chêne, 67 % plus résistant, ne fera gagner que 17 mm de hauteur.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Résistances caractéristiques : en N/mm²
\( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \), \( k_{h} \) : sans unité
Résistances de calcul : en N/mm²
N/mm² = MPa , notations équivalentes
Le facteur commun se calcule une fois

Aucune conversion, et une économie à saisir : le rapport \( k_{\text{mod}}/\gamma_{M} \) est identique pour les trois essences, puisque toutes sont du bois massif employé dans les mêmes conditions. On le calcule donc une seule fois — 0,615 — puis on le multiplie par chaque résistance caractéristique. Trois divisions évitées, et surtout trois occasions d'erreur de saisie en moins.

1. Résolution Numérique Facteur commun et résistance de l'épicéa C24

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est l'essence de référence du comparatif.

Méthodologie du calcul :

Poser le facteur commun, puis multiplier par la caractéristique.

Substitution : \( 0{,}80/1{,}30 = 0{,}615 \), puis multiplication par 24 : le facteur commun d'abord, la caractéristique ensuite.
Piège évité : Employer la caractéristique brute dans la vérification : on surestimerait la résistance de 62,5 %, comme dans l'exercice 28. brute dans la vérification.
Hypothèse validée : Classe de service 1Classe de service 1 — local chauffé et couvert — et charge de moyen terme, conformément à l'énoncé.
Vérification croisée : 14,77 N/mm², valeur identique à celle de la note : ce poste ne demande aucune reprise.
Finalité : Fixer la référence à laquelle comparer les deux autres essences, toutes conditions d'emploi égales.

\[ \begin{aligned} f_{m,\text{d}} &= \frac{0{,}80}{1{,}30} \times 24 = 0{,}615 \times 24 \\ &= \mathbf{14{,}77 \ \text{N/mm}^{2}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

14,77 N/mm² — soit 61,5 % de la caractéristique.

Ordre de grandeur : Il reste trois cinquièmes Il ne reste que trois cinquièmes de la valeur de catalogue : la pondération n'est jamais anecdotique.
Décomposition : 20 % perdus par \( k_{\text{mod}} \), 23 % par \( \gamma_{M} \).
Cohérence : La note trouve la même valeur : ce poste est exact, et le désaccord portera sur l'usage qu'on en fait. exact.
Nature : Seul \( \gamma_{M} \) relève de la sécurité ; \( k_{\text{mod}} \) est physique.
Portée : Cette valeur ne sert qu'à l'ELU : la flèche, elle, ne fait intervenir que le module d'élasticité.ELU.

Remarque pédagogique : Faites distinguer les deux natures de coefficients. \( k_{\text{mod}} \) n'est pas une marge de sécurité : c'est la traduction d'un comportement réel du bois, qui cède effectivement sous charge maintenue. Seul \( \gamma_{M} \) est un coefficient de prudence. Un étudiant qui les confond croit que le bois est pénalisé de 38 % « par précaution », alors que la moitié de cette perte est physique.

Résistance du douglas C30

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est l'option intermédiaire du comparatif.

Méthodologie du calcul :

Même facteur commun, appliqué à la caractéristique du C30.

Substitution : \( 0{,}615 \times 30 \), le même facteur commun appliqué à la caractéristique du C30.
Piège évité : Croire qu'un résineux plus résistant a un autre \( \gamma_{M} \).
Hypothèse validée : Mêmes conditions d'emploi que pour l'épicéa : classe de service et durée de charge identiques, donc même \( k_{\text{mod}} \).
18,46 N/mm², soit 25 % de plus que le C24 — exactement le rapport des caractéristiques, la pondération étant commune. 18,46 N/mm², soit 25 % de plus que le C24.
Finalité : Alimenter le dimensionnement à l'ELU du douglas, pour mesurer ce que la classe supérieure apporte réellement.

\[ \begin{aligned} f_{m,\text{d}} &= 0{,}615 \times 30 \\ &= \mathbf{18{,}46 \ \text{N/mm}^{2}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

18,46 N/mm² — 25 % de plus que l'épicéa, comme les caractéristiques.

Cohérence : Le rapport 30/24 est intégralement conservé : la pondération est multiplicative, elle ne déforme pas le classement. intégralement conservé.
Impact sur la suite : Il réduira la hauteur requise à l'ELU de 11 % seulement : la racine carrée divise l'écart relatif par deux. 11 %.
Contraste : Son module, lui, ne gagne que 9 % — et c'est le module qui décidera, non la résistance. 9 %.
Disponibilité : Le douglas C30 est courant en France, à un surcoût modéré : l'obstacle n'est pas l'approvisionnement.
Anticipation : Ce gain de 25 % sera sans effet Ce gain de 25 % sera sans effet sur le dimensionnement réel, puisque c'est la flèche qui gouverne.

Remarque pédagogique : Faites relever que le rapport entre essences est intégralement conservé par la formule : 30/24 = 1,25, et 18,46/14,77 = 1,25 également. Les coefficients \( k_{\text{mod}} \) et \( \gamma_{M} \) étant communs, ils ne changent aucun classement. C'est une propriété utile pour les comparatifs : on peut raisonner directement sur les caractéristiques tant qu'on reste à conditions d'emploi identiques.

Résistance du chêne D40

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est l'essence qui semble la plus prometteuse.

Méthodologie du calcul :

Même facteur commun — le feuillu ne change rien à \( \gamma_{M} \).

Substitution : \( 0{,}615 \times 40 \), toujours le même facteur commun, appliqué cette fois au chêne D40.
Piège évité : Chercher un \( \gamma_{M} \) spécifique aux feuillus : il n'y en a pas.
Hypothèse validée : Valeurs du D40 lues au tableau des feuillus de la NF EN 338.
24,62 N/mm², soit 67 % de plus que le C24 : l'écart de résistance est spectaculaire, et trompeur. 24,62 N/mm², soit 67 % de plus que le C24.
Finalité : Compléter le comparatif — et préparer sa remise en cause, puisqu'il repose sur la mauvaise propriété.

\[ \begin{aligned} f_{m,\text{d}} &= 0{,}615 \times 40 \\ &= \mathbf{24{,}62 \ \text{N/mm}^{2}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

24,62 N/mm² — 67 % de plus que l'épicéa. L'écart semble décisif.

Illusion : Cet écart de 67 % ne se traduira pas en gain de section : à l'ELS, le chêne ne fera gagner que 17 mm. pas en gain de section.
Contraste : Le module, lui, ne gagne que 27 % — et la racine cubique n'en laissera qu'un peu plus du quart. 27 %.
Raison : La rigidité dépend de la structure cellulaire, la résistance des défauts.
Coût : Le chêne pèse 69 % Le chêne pèse 69 % de plus et coûte plusieurs fois le prix : deux coûts qui s'ajoutent au premier.
À suivre : Le gain de hauteur réel ne sera que de 17 mm — insuffisant pour changer de section commerciale. 17 mm.

Remarque pédagogique : Faites annoncer dès maintenant le retournement à venir. La note reprise écrit ici que « le chêne offre une résistance nettement supérieure, ce qui devrait permettre d'utiliser des sections plus petites ». C'est exact si la résistance gouverne — et nous verrons en question 4 qu'elle ne gouverne pas du tout. Anticiper cette question, « quel critère commande vraiment ? », avant de comparer des matériaux, évite de payer une essence pour une propriété qui ne sert à rien.

RÉSULTAT FINAL

Résistances de calcul = 14,77 / 18,46 / 24,62 N/mm² — trois valeurs exactes, dont l'écart de 67 % ne se traduira pas en gain de section

"La résistance choisit la classe, la rigidité choisit la hauteur !"

Question 3 : Sections requises par la résistance

Dans la tête de l'ingénieur

"Les trois hauteurs théoriques sont correctes : 159,3, 142,5 et 123,4 mm. Ce que je veux souligner, c'est leur petitesse. Une solive de 5 mètres qui ne réclamerait que 12 cm de hauteur pour ne pas rompre — c'est le signe que la résistance n'est pas le sujet. La note passe pourtant à côté de cette lecture : elle choisit 180 mm pour les trois, l'explique par la gamme commerciale, et écrit que « le chêne est largement surdimensionné ». Il l'est en effet — mais pas de la façon qu'elle croit. Nous verrons que même 220 mm ne suffit pas, et que ce n'est pas la résistance qui l'exige."

Observation : Les trois hauteurs théoriques de la note sont exactes.
Analyse du risque : Leur petitesse annonce que l'ELU n'est pas dimensionnant.
Choix stratégique : Chiffrer le taux de travail à l'ELU pour le confirmer.
Point de méthode : La gamme commerciale retenue doit être écrite, non supposée.
Objectif visé : Trois hauteurs ELU, et la démonstration qu'elles ne décideront de rien.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( h \ge \) 159,3 mm (C24), 142,5 (C30) et 123,4 mm (D40) · en 75 × 220, le C24 ne travaille qu'à 52,5 %

Rappel Théorique : dimensionner à l'ELU

Dimensionner, c'est inverser une vérification : on part de la sollicitation et l'on remonte à la géométrie.

Principe 1 — inverser la condition : \( \sigma \le f_{\text{d}} \) devient \( W_{\text{req}} \ge M/f_{\text{d}} \).
Principe 2 — la base imposée : Avec \( b \) fixée, la hauteur s'obtient par une racine carrée.
Principe 3 — l'arrondi : Toujours vers la dimension commerciale supérieure.
Principe 4 — la gamme : Elle varie selon les fournisseurs : elle doit être écrite.
Principe 5 — le doute utile : Une hauteur très faible signale que l'autre critère gouvernera.

Équations Fondamentales

Le module requis, puis la hauteur qui en découle à base imposée.

Module de flexion requis — § 6.1.6 :

Inversion de la condition de résistance.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la vérification et le dimensionnement sont la même relation lue dans deux sens. Vérifier, c'est calculer une contrainte et la comparer à une résistance ; dimensionner, c'est se donner la résistance et en déduire la géométrie minimale. Le module de flexion \( W \) joue le rôle de traducteur entre le monde des efforts, exprimés en N·mm, et celui des contraintes, exprimées en N/mm². Une fois \( W_{\text{req}} \) connu, on sait exactement ce qu'il faut à la section — et c'est seulement à ce moment que le choix de la géométrie intervient, avec sa contrainte propre : la base est imposée à 75 mm.

Contexte de validité : Flexion simple, sans risque de déversement — solives tenues par le platelage.
Avantage : Un seul nombre résume ce que la section doit fournir.
Paramètre clé : \( f_{m,\text{d}} \) — c'est là qu'intervient le choix d'essence.
Vérification : N·mm divisés par N/mm² donnent bien des mm³.
Limite : Ce module ne dit rien de la flèche, qui dépend de l'inertie.

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,\text{d}} \le f_{m,\text{d}} \quad \Longrightarrow \quad W_{y,\text{req}} \ge \frac{M_{\text{Ed}}}{f_{m,\text{d}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : vérifier et dimensionner, c'est la même relation dans les deux sens. Le module requis est inversement proportionnel à la résistance : un bois 67 % plus fort réclame 40 % de module en moins.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{Ed}} = 4\,687\,500 \) : moment de calcul, unité : N·mm
\( f_{m,\text{d}} \) : 14,77, 18,46 ou 24,62 selon l'essence, unité : N/mm²
\( W_{y,\text{req}} \) : ce que la section doit fournir, unité : mm³
\( b = 75 \) : base imposée par l'énoncé, unité : mm
Contrainte : seule la hauteur reste libre, unité : —

Hauteur requise à base imposée :

Inversion de \( W = bh^{2}/6 \).

Pourquoi cette formule ?

Parce que le module de flexion d'un rectangle varie comme le carré de la hauteur : l'inverser demande donc une racine carrée. Il faut bien distinguer cet exposant de celui qui interviendra pour la flèche : l'inertie varie comme le cube de la hauteur, et son inversion réclamera une racine cubique. Cette différence n'est pas anodine — elle signifie que la hauteur est un levier plus efficace contre la flèche que contre la rupture. Augmenter la hauteur de 10 % gagne 21 % de résistance, mais 33 % de rigidité. C'est une des raisons pour lesquelles, quand les deux critères sont serrés, c'est presque toujours la flèche qui finit par commander.

Contexte de validité : Section rectangulaire pleine, base imposée.
Avantage : Une racine carrée, et l'on a la hauteur théorique.
Paramètre clé : L'exposant 2 — contre 3 pour l'inertie.
Vérification : Arrondir toujours au-dessus, jamais en dessous.
Limite : La gamme commerciale disponible conditionne le résultat pratique.

\[ \begin{aligned} h \ge \sqrt{\frac{6\,W_{y,\text{req}}}{b}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la hauteur sert deux fois mieux la rigidité que la résistance. Carré d'un côté, cube de l'autre — cet écart d'exposant décide de quel critère gouverne.

Décomposition des termes :

Exposant 2 : la hauteur dans le module de flexion, unité : —
Exposant 3 : la hauteur dans le moment quadratique, unité : —
Facteur 6 : issu de \( W = I/v \) avec \( v = h/2 \), unité : —
\( +10 \% \) de hauteur : +21 % de résistance, +33 % de rigidité, unité : —
Gamme : les hauteurs commerciales avancent par paliers, unité : mm

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de s'arrêter au dimensionnement à l'ELU..."

L'approche d'ingénieur : Une hauteur ELU faible est un signal, pas une conclusion.

L'erreur : Commander du 75 × 180 parce que la résistance est vérifiée.
La bonne méthode : Vérifier l'ELS avant toute décision d'approvisionnement.
L'astuce de pro : Sur un plancher, estimer la hauteur par L/20 avant tout calcul.
Le moyen mnémotechnique : « L'ELU dit si ça casse, l'ELS dit si ça passe ».
L'impact direct : Ici, la flèche exigera 240 mm là où la résistance se contentait de 160.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Moment : en N·mm
Résistances : en N/mm²
N·mm / (N/mm²) = mm³
\( \sqrt{\text{mm}^{3}/\text{mm}} = \) mm
Arrondir au-dessus , à la gamme commerciale

Un contrôle dimensionnel simple confirme la cohérence : des newtons-millimètres divisés par des newtons par millimètre carré donnent bien des millimètres cubes. Puis, en divisant par une longueur et en prenant la racine carrée, on retombe sur une longueur. Ce type de vérification prend cinq secondes et détecte immédiatement une confusion entre module de flexion et moment quadratique, dont les unités diffèrent d'un facteur longueur.

1. Résolution Numérique Hauteur requise pour l'épicéa C24

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est l'essence la plus exigeante à l'ELU.

Méthodologie du calcul :

Module requis, puis hauteur par racine carrée.

Substitution : \( 4\,687\,500/14{,}77 = 317\,383 \) mm³, puis \( \sqrt{6 \times 317\,383/75} \).
Piège évité : Prendre une racine cubique : c'est le module, pas l'inertie.
Hypothèse validée : Pas de déversement : les solives sont tenues par le platelage.
Vérification croisée : 159,3 mm : à peine L/31, ce qui est très peu pour un plancher.
Finalité : Établir que la résistance ne sera pas le critère dimensionnant.

\[ \begin{aligned} W_{y,\text{req}} &= \frac{4\,687\,500}{14{,}77} = 317\,383 \ \text{mm}^{3} \\ h &\ge \sqrt{\frac{6 \times 317\,383}{75}} = \mathbf{159{,}3 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

159,3 mm — soit L/31, une élancement bien trop grand pour un plancher.

Signal : Un plancher se dimensionne plutôt autour de L/20.
Impact sur la suite : L'ELS exigera bien davantage.
Cohérence : La note trouve la même valeur : ce poste est exact, et le désaccord portera sur l'usage qu'on en fait. exact.
Lecture : Une hauteur ELU faible annonce que l'ELS gouvernera.
Anticipation : La flèche réclamera 220 mm au minimum.

Remarque pédagogique : Faites installer le réflexe du ratio d'élancement. Une solive de plancher se situe habituellement entre L/18 et L/22 de hauteur. Ici, 159 mm pour 5 mètres donne L/31 : c'est deux fois trop mince pour un plancher réel, et cela suffit à prédire, sans aucun calcul de flèche, que l'ELS sera le critère dimensionnant. Ce genre de repère se vérifie en trois secondes et oriente toute la suite.

Hauteur requise pour le douglas C30

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour mesurer le gain apporté par une classe supérieure.

Méthodologie du calcul :

Même démarche, avec la résistance de calcul du C30.

Substitution : \( 4\,687\,500/18{,}46 = 253\,906 \) mm³.
Piège évité : Croire que 25 % de résistance en plus donnent 25 % de hauteur en moins.
Hypothèse validée : Base toujours imposée à 75 mm.
Vérification croisée : 142,5 mm, soit 11 % de moins que le C24.
Finalité : Montrer l'effet amorti de la racine carrée.

\[ \begin{aligned} W_{y,\text{req}} &= \frac{4\,687\,500}{18{,}46} = 253\,906 \ \text{mm}^{3} \\ h &\ge \sqrt{\frac{6 \times 253\,906}{75}} = \mathbf{142{,}5 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

142,5 mm — seulement 11 % de moins, pour 25 % de résistance en plus.

Amortissement : La racine carrée divise par deux l'effet relatif.
Cohérence : \( \sqrt{24/30} = 0{,}894 \), soit exactement les 11 % constatés.
Vérification : La note trouve la même valeur.
Généralisation : Tout gain de résistance ne rend que sa racine en hauteur.
Anticipation : Sur la flèche, l'effet sera encore plus amorti — racine cubique.

Remarque pédagogique : Faites retenir la règle d'amortissement : à l'ELU, un gain de résistance ne rend que sa racine carrée en réduction de hauteur ; à l'ELS, un gain de rigidité ne rend que sa racine cubique. C'est la raison profonde pour laquelle changer de classe de bois est presque toujours un mauvais levier économique — et pourquoi il vaut mieux jouer sur la géométrie ou sur la portée.

Hauteur requise pour le chêne D40

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer le meilleur cas possible à l'ELU.

Méthodologie du calcul :

Même démarche, avec la résistance de calcul du D40.

Substitution : \( 4\,687\,500/24{,}62 = 190\,430 \) mm³.
Piège évité : Conclure trop vite que le chêne permettra une petite section.
Hypothèse validée : Résistance du D40 lue au tableau des feuillus de la NF EN 338.
Vérification croisée : 123,4 mm, soit 23 % de moins que le C24.
Finalité : Fixer la borne basse du comparatif à l'ELU.

\[ \begin{aligned} W_{y,\text{req}} &= \frac{4\,687\,500}{24{,}62} = 190\,430 \ \text{mm}^{3} \\ h &\ge \sqrt{\frac{6 \times 190\,430}{75}} = \mathbf{123{,}4 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

123,4 mm — soit 23 % de moins, pour 67 % de résistance en plus.

Amortissement : \( \sqrt{24/40} = 0{,}775 \), soit les 23 % constatés.
Illusion : Ce gain de 36 mm sera entièrement effacé par l'ELS.
Coût : Le chêne pèse 69 % de plus et coûte plusieurs fois le prix.
Cohérence : La note trouve la même valeur.
À suivre : À l'ELS, le chêne ne gagnera que 17 mm.

Remarque pédagogique : Faites comparer les deux amortissements successifs. À l'ELU, les 67 % de résistance supplémentaire du chêne ne rendent que 23 % de hauteur. À l'ELS, comme nous le verrons, ses 27 % de rigidité supplémentaire ne rendront que 8 %. C'est la double peine du choix d'essence : la propriété qui progresse le plus n'est pas celle qui sert, et l'exposant qui la traduit est le plus défavorable.

Taux de travail à l'ELU en section 75 × 220

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour confirmer que l'ELU ne décide de rien.

Méthodologie du calcul :

Contrainte réelle dans la section retenue, rapportée à la résistance du C24.

Substitution : \( W(75 \times 220) = 605\,000 \) mm³, d'où \( \sigma = 7{,}75 \) N/mm².
Piège évité : Ne jamais revenir vérifier le taux après avoir changé de section.
Hypothèse validée : Section 75 × 220, celle que retient la note.
Vérification croisée : \( 7{,}75/14{,}77 \), soit un peu plus de la moitié.
Finalité : Chiffrer l'écart entre les deux critères.

\[ \begin{aligned} \frac{M_{\text{Ed}}}{W(75 \times 220)\,f_{m,\text{d}}} &= \frac{4\,687\,500}{605\,000 \times 14{,}77} \\ &= \mathbf{52{,}5 \ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

52,5 % — la section imposée par la flèche travaille à moitié en résistance.

Confirmation : L'ELU dispose d'une marge de 47,5 %.
Conséquence : Toute la moitié supérieure de la capacité en flexion est inutilisée.
Diagnostic : Le dimensionnement est entièrement commandé par l'ELS.
Conséquence pratique : Payer une classe supérieure serait sans effet.
En D40 : Le taux ne serait plus que de 31,5 %.

Remarque pédagogique : Faites tirer la conséquence économique de ce 52,5 %. La moitié de la capacité en flexion du bois n'est pas utilisée, et elle ne le sera jamais : c'est la flèche qui impose la section. Acheter du douglas ou du chêne pour gagner en résistance revient donc à payer une propriété qu'on n'emploiera pas. C'est exactement le raisonnement que la question 5 devra formaliser.

RÉSULTAT FINAL

Hauteurs requises à l'ELU = 159,3 / 142,5 / 123,4 mm — toutes très faibles pour une portée de 5 m : la résistance ne sera pas le critère dimensionnant

"L'ELU dit si ça casse, l'ELS dit si ça passe !"

Question 4 : Vérification de la flèche

Dans la tête de l'ingénieur

"Voici le point le plus instructif de tout l'exercice, et il tient à une décimale. La note calcule la flèche de la section 75 × 220 en épicéa, annonce « environ 16,6 mm », la compare à 16,67 mm et conclut : conforme. Le calcul exact donne 16,675 mm. L'arrondi à une décimale — 16,675 devenu 16,6 au lieu de 16,7 — a inversé le verdict. La section ne satisfait pas le critère, de très peu, mais elle ne le satisfait pas : le taux est de 100,05 %. Et ce n'est que le début, parce que la note écarte ensuite le fluage après l'avoir explicitement mentionné dans sa propre foire aux questions."

Observation : « 16,6 mm ≤ 16,67 » — le calcul exact donne 16,675 : l'arrondi à une décimale a fait passer la flèche du mauvais côté du seuil. 16,675.
Analyse du risque : L'arrondi à une décimale a inversé la conclusion : huit millièmes de millimètre séparent la conformité annoncée du dépassement réel. inversé la conclusion.
Choix stratégique : Calculer la hauteur requise exacte, sans passer par des essais.
Point de méthode : Traiter le fluageTraiter le fluage, que la note mentionne puis écarte faute de connaître la répartition \( G/Q \) — une donnée manquante ne dispense pas de l'encadrement.
Objectif visé : Une hauteur défendableUne hauteur défendable, fluage compris, et non la plus petite qui passe de justesse en instantané.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

En 75 × 220 : 16,675 mm pour une limite de 16,667 — 100,05 %, non conforme · hauteur requise 220,04 mm · avec fluage : 240 mm au minimum

Rappel Théorique : la flèche, critère réellement dimensionnant

Sur un plancher de portée courante, ce n'est presque jamais la rupture qui commande : c'est la déformation.

Principe 1 — la portée à la puissance 4 : Contre \( L^{2} \) pour le moment : l'écart se creuse vite.
Principe 2 — la hauteur au cube : L'inertie varie en \( h^{3} \) : la hauteur est le bon levier.
Principe 3 — le module moyen : \( E_{0,\text{mean}} \) pour les déformations, jamais le fractile à 5 %.
Principe 4 — le fluage : § 2.2.3(5) — il majore la flèche de 18 à 60 % selon la nature des charges.
Principe 5 — la précision : Une vérification serrée se conduit sans arrondir.

Équations Fondamentales

La flèche instantanée, puis la combinaison qui intègre le fluage.

Flèche instantanée — § 7.2 :

Poutre isostatique sous charge répartie.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle résulte de la double intégration de la courbure le long de la poutre. Deux exposants y commandent tout. La portée intervient à la puissance quatre : c'est le paramètre le plus sensible de tout le calcul de structure, très loin devant la charge. Et la hauteur intervient au cube, par l'intermédiaire de l'inertie — ce qui en fait un levier remarquablement efficace. Comparons avec l'ELU, où le moment varie en \( L^{2} \) et le module en \( h^{2} \) : les deux exposants sont doublés côté flèche. C'est cette double différence, et non un quelconque effet de matériau, qui explique qu'au-delà d'une certaine portée le critère de déformation finisse toujours par l'emporter.

Contexte de validité : Poutre isostatique, charge uniforme, élasticité linéaire.
Avantage : Le terme \( 5qL^{4} \) est constant : un seul calcul pour tous les cas.
Paramètre clé : \( I = bh^{3}/12 \) — la hauteur au cube : c'est ce qui rend la flèche si sensible à la section, et si peu sensible à l'essence. cube.
Vérification : C'est le module moyen \( E_{0,\text{mean}} \) qui sert au calcul de flèche, non le fractile à 5 % — celui-ci est réservé aux vérifications d'instabilité.
Limite : Elle ne donne que la flèche instantanée : le fluage s'y ajoute ensuite, et il pèse ici de 18 à 60 % selon la répartition des charges. instantanée : le fluage s'y ajoute.

\[ \begin{aligned} w_{\text{inst}} = \frac{5\,q\,L^{4}}{384\,E_{0,\text{mean}}\,I_{y}} \quad \text{avec} \quad I_{y} = \frac{b\,h^{3}}{12} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : la hauteur est deux fois plus efficace contre la flèche que contre la rupture. Cube contre carré — c'est pourquoi on grandit une poutre plutôt que de changer son bois.

Décomposition des termes :

\( 5qL^{4} = 4{,}6875 \times 10^{15} \) : constante du problème, unité : N·mm³
\( L^{4} = 6{,}25 \times 10^{14} \) : terme dominant, unité : mm⁴
\( E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \) : module moyen : module moyen du C24, valeur recoupée sur tableau professionnel, unité : N/mm²
\( I_{y} \) : moment quadratique, en \( h^{3} \), unité : mm⁴
Critère : \( L/300 = 16{,}667 \) mm, critère de projet imposé par l'énoncé, unité : 16,667 mm, unité : mm

Combinaison des flèches finales — § 2.2.3(5) :

EN 1995-1-1, prise en compte du fluage.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le bois est viscoélastique : sous une charge maintenue, il continue lentement de se déformer pendant des années. Une étagère chargée de livres fléchit un peu le premier jour, et davantage un an plus tard, sans que le poids ait changé. Le coefficient \( k_{\text{def}} \) chiffre cet accroissement — 0,60 pour le bois massif en classe de service 1. La combinaison du § 2.2.3(5) applique ce fluage différemment selon la nature des charges : les permanentes fluent intégralement, d'où un facteur \( 1 + k_{\text{def}} = 1{,}60 \) ; les variables ne fluent qu'à hauteur de leur présence moyenne, d'où \( 1 + \psi_{2}k_{\text{def}} \), soit 1,18 pour un bureau. Ne connaissant pas la répartition \( G/Q \), nous bornerons le résultat entre ces deux extrêmes.

Contexte de validité : Classe de service 1, bois massif : \( k_{\text{def}} = 0{,}60 \).
Avantage : Deux facteurs simples encadrent le résultat sans exiger la répartition \( G/Q \) : on borne au lieu de renoncer.
Paramètre clé : La répartition \( G/Q \)La répartition \( G/Q \), absente de l'énoncé — la même donnée manquante qu'en question 1, avec ici un effet bien plus lourd.
Vérification : Les deux facteurs sont supérieurs à 1 : le fluage ne peut qu'ajouter.
Limite : En classe de service 3, \( k_{\text{def}} \) atteindrait 2,00 : la flèche finale triplerait, et aucune section raisonnable ne tiendrait. 2,00.

\[ \begin{aligned} w_{\text{fin}} = w_{\text{inst},G}\,(1 + k_{\text{def}}) + w_{\text{inst},Q}\,(1 + \psi_{2}\,k_{\text{def}}) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : le bois continue de céder longtemps après la mise en charge. Ignorer ce phénomène, c'est vérifier un plancher tel qu'il sera le jour de la livraison — et jamais tel qu'il sera dix ans plus tard.

Décomposition des termes :

\( k_{\text{def}} = 0{,}60 \) : bois massif en classe de service 1 — valeur du Tableau 3.2, unité : —
\( 1 + k_{\text{def}} = 1{,}60 \) : charge entièrement permanente : hypothèse d'une charge entièrement permanente, borne haute de l'encadrement, unité : —
\( 1 + \psi_{2}k_{\text{def}} = 1{,}18 \) : charge entièrement variable, bureau, unité : —
\( \psi_{2} = 0{,}3 \) : catégorie B, EN 1990 Tableau A1.1 — paramètre national, unité : —
Encadrement : le facteur réel se situe entre 1,18 et 1,60 selon la part permanente, unité : 1,18 et 1,60, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'arrondir avant de comparer à la limite..."

L'approche d'ingénieur : On compare les valeurs exactes, puis on arrondit pour communiquer.

L'erreur : Écrire « ≈ 16,6 mm » puis conclure que c'est inférieur à 16,67 : l'arrondi est fait avant la comparaison, et il la décide.
La bonne méthode : Calculer 16,675, comparer, puis annoncer le taux de 100,05 %.
L'astuce de pro : Exprimer le résultat en taux : un pourcentage ne se prête pas à l'ambiguïté.
Le moyen mnémotechnique : « On arrondit pour lire, jamais pour décider »« On arrondit pour lire, jamais pour décider » — l'arrondi appartient à la présentation du résultat, jamais au raisonnement qui y mène.
L'impact direct : Un verdict inversé, et une section commandée qui ne convient pas.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Charge : en N/mm , valeur numérique inchangée
Portée : 5 000 mm , à la puissance 4
Inertie : en mm⁴
N/mm × mm⁴ / (N/mm² × mm⁴) = mm
Conserver trois décimales sur la flèche

Aucune difficulté d'unités, mais une exigence de précision inhabituelle. La vérification se joue ici sur un écart de huit millièmes de millimètre : conserver deux décimales suffit, une seule ne suffit pas. Le remède le plus sûr n'est pas de compter les décimales mais de changer de format : exprimer le résultat en taux de travail. Un « 100,05 % » ne laisse aucune place à l'interprétation, là où « environ 16,6 mm » en laisse toute la place.

1. Résolution Numérique Flèche admissible

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la référence de toute la question.

Méthodologie du calcul :

Portée divisée par 300, en millimètres.

Substitution : \( 5\,000/300 \), la portée étant convertie en millimètres avant division.
Piège évité : Diviser 5,00 Diviser 5,00 par 300 et trouver 0,0167 — on obtiendrait des mètres présentés comme des millimètres, soit un facteur mille.
Hypothèse validée : Critère \( L/300 \) imposé par l'énoncé : c'est une exigence de projet, plus sévère que le L/200 réglementaire de la flèche finale. imposé par l'énoncé.
Vérification croisée : 16,667 mm — et non 16,67 : la troisième décimale comptera.
Finalité : Fixer le seuil auquel confronter toutes les flèches calculées, instantanées comme finales.

\[ \begin{aligned} w_{\text{lim}} &= \frac{5\,000}{300} \\ &= \mathbf{16{,}667 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

16,667 mm — la note écrit 16,67, ce qui suffira presque.

Ordre de grandeur : Un peu plus d'un centimètre et demi sur cinq mètres de portée — l'ordre de grandeur qu'un plancher courant ne doit pas dépasser.
Impact sur la suite : C'est le seuil que la section 75 × 220 va franchir de peu.
Précision : L'écart à venir sera de 0,008 mm L'écart à venir sera de 0,008 mm : à cette échelle, chaque décimale conservée décide du verdict.
Origine : \( L/300 \) est le bord sévère \( L/300 \) est le bord sévère de la plage du Tableau 7.2 ; l'annexe nationale le réserve d'ailleurs à la flèche instantanée.
Comparaison : À \( L/250 \), la limite serait de 20 mm et la section de la note passerait sans discussion : le critère fait le verdict. 20 mm.

Remarque pédagogique : Faites noter que 5 000 divisé par 300 ne tombe pas juste : 16,6666…. Écrire 16,67 est correct pour communiquer, mais il faut conserver la valeur exacte pour comparer. C'est un cas où le nombre lui-même prévient qu'il faudra faire attention — un quotient non exact au dénominateur d'une comparaison serrée est toujours un signal.

Flèche de la section 75 × 180

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la section retenue à l'ELU.

Méthodologie du calcul :

Terme constant divisé par \( 384\,E\,I \), avec \( I = 36{,}45 \times 10^{6} \) mm⁴.

Substitution : \( 4{,}6875 \times 10^{15}/(384 \times 11\,000 \times 36{,}45 \times 10^{6}) \).
Piège évité : Employer le module de flexion \( W \) au lieu de l'inertie \( I \).
Hypothèse validée : Charge de service prise à 1,5 kN/m, lecture sécuritaire retenue faute de précision de l'énoncé. 1,5 kN/m, lecture sécuritaire.
Vérification croisée : 30,4 mm, soit près du double de la limite — la section issue du seul ELU est très loin du compte. double de la limite.
Finalité : Établir que la section issue du seul ELU est très insuffisante, et non marginalement. très insuffisante.

\[ \begin{aligned} w_{\text{inst}} &= \frac{4{,}6875 \times 10^{15}}{384 \times 11\,000 \times 36{,}45 \times 10^{6}} \\ &= \mathbf{30{,}4 \ \text{mm}} \quad (182{,}7 \ \%) \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

30,4 mm — 182,7 % de la limite : la section de l'ELU est loin du compte.

Verdict : Non conforme, et de 83 % : ce n'est pas un ajustement, c'est un changement de section. 83 %.
Confirmation : C'est bien l'ELS qui gouverne, comme le laissait prévoir le ratio L/31.
Cohérence : La note trouve la même valeur : ce poste est exact, et le désaccord portera sur l'usage qu'on en fait. exact.
Sensation : Trois centimètres de flèche au milieu d'une portée de cinq mètres : un plancher inutilisable, visible à l'œil nu et inconfortable à la marche. inutilisable.
Levier : Il faut gagner un facteur 1,83 sur l'inertie — soit 22 % de hauteur en plus, la puissance cubique jouant ici en faveur. 1,83 sur l'inertie.

Remarque pédagogique : Faites mesurer l'écart entre les deux critères : la résistance se contentait de 159 mm, la flèche en réclame près de 221. Ce n'est pas un ajustement mais un changement de gamme. Sur les planchers de portée courante, cet écart est la règle et non l'exception — d'où l'habitude, en bureau d'études, de pré-dimensionner directement à l'ELS et de ne vérifier l'ELU qu'ensuite.

Flèche de la section 75 × 220 — sans arrondir

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la section que la note déclare conforme.

Méthodologie du calcul :

Même formule, avec \( I = 66{,}55 \times 10^{6} \) mm⁴, en conservant trois décimales.

Substitution : \( 4{,}6875 \times 10^{15}/(384 \times 11\,000 \times 66{,}55 \times 10^{6}) \).
Piège évité : Arrondir à 16,6 Arrondir à 16,6 et conclure à la conformité : c'est exactement l'erreur de la note, et elle suffit à inverser le verdict.
Hypothèse validée : \( I(75 \times 220) = 75 \times 220^{3}/12 = 66\,550\,000 \) mm⁴.
Vérification croisée : 16,675 dépasse 16,667 : le critère n'est pas satisfait, fût-ce de huit millièmes. pas satisfait.
Finalité : Rétablir le verdict que l'arrondi avait inversé, et le formuler en taux pour qu'il ne prête plus à discussion.

\[ \begin{aligned} w_{\text{inst}} &= \frac{4{,}6875 \times 10^{15}}{384 \times 11\,000 \times 66{,}55 \times 10^{6}} = 16{,}675 \ \text{mm} \\ \frac{16{,}675}{16{,}667} &= \mathbf{100{,}05 \ \%} > 100 \ \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

100,05 % — non conforme, de huit millièmes de millimètre.

Verdict : La section 75 × 220 ne satisfait pas le critère \( L/300 \).
Cause : Un arrondi de 16,675 à 16,6 Un arrondi de 16,675 à 16,6 au lieu de 16,7 : non seulement il précède la comparaison, mais il se fait dans le mauvais sens.
Ampleur : L'écart absolu vaut 0,008 mm L'écart absolu vaut 0,008 mm — dérisoire en valeur, mais du mauvais côté du seuil, ce qui suffit.
Format : Exprimé en tauxExprimé en taux — 100,05 % — le résultat ne prête plus à discussion : aucun arrondi ne peut le ramener sous 100.
À suivre : Le fluage rendra cet écart de huit millièmes anecdotique : il ajoutera de 18 à 60 % à la flèche. huit millièmes anecdotique.

Remarque pédagogique : Faites discuter la portée réelle de ce dépassement. Huit millièmes de millimètre n'ont aucune signification physique : aucun plancher ne se comporte différemment à 16,675 qu'à 16,667 mm. Mais une vérification réglementaire est binaire, et une note qui écrit « conforme » là où le calcul dit l'inverse engage la responsabilité de son auteur. Le bon réflexe n'est pas de tricher avec la décimale : c'est de signaler que la marge est nulle et de proposer la section supérieure.

Hauteur requise exacte

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour trancher sans procéder par essais.

Méthodologie du calcul :

Inertie requise, puis hauteur par racine cubique.

Substitution : \( I_{\text{req}} = 4{,}6875 \times 10^{15}/(384 \times 11\,000 \times 16{,}667) \).
Piège évité : Procéder par tâtonnementProcéder par tâtonnement, comme le fait la note : le calcul direct de la hauteur limite évite tout essai successif.
Hypothèse validée : Flèche instantanée Flèche instantanée seule à ce stade, le fluage étant traité séparément pour que chaque effet reste lisible.
Vérification croisée : \( I_{\text{req}} = 66{,}58 \times 10^{6} \), légèrement supérieur à celui du 220.
Finalité : Obtenir la hauteur limite exacte, celle en deçà de laquelle aucune section ne passe. exacte, sans ambiguïté.

\[ \begin{aligned} I_{\text{req}} &= 66{,}58 \times 10^{6} \ \text{mm}^{4} \\ h &\ge \sqrt[3]{\frac{12 \times 66{,}58 \times 10^{6}}{75}} = \mathbf{220{,}04 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

220,04 mm — quatre centièmes au-dessus de la section retenue par la note.

Verdict : 220 mm ne suffit pas : il faut passer à la hauteur commerciale supérieure, soit 240 mm. supérieure.
Méthode : Le calcul direct évite Le calcul direct de la hauteur requise évite tout tâtonnement, et donne du même coup la marge disponible.
Cohérence : Il confirme le taux de 100,05 % obtenu par l'autre voie : deux chemins indépendants, même conclusion.
Coïncidence : Tomber à 0,02 % Tomber à 0,02 % d'une section commerciale est très improbable : c'est le signe que la note a ajusté ses arrondis jusqu'à obtenir le résultat voulu.
À suivre : Le fluage portera cette exigence bien au-delà : de 232,5 à 257,4 mm selon la répartition des charges.

Remarque pédagogique : Faites adopter le calcul direct de la hauteur requise plutôt que la méthode par essais. La note procède par tâtonnement — « essayons 180, puis 220 » — ce qui fonctionne mais laisse le résultat dépendre de l'arrondi à chaque étape. Inverser la formule donne 220,04 mm en une ligne, valeur qu'aucune interprétation ne peut faire passer sous 220.

Flèche de la section 75 × 240

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la section commerciale immédiatement supérieure.

Méthodologie du calcul :

Même formule, avec \( I = 86{,}40 \times 10^{6} \) mm⁴.

Substitution : \( I = 75 \times 240^{3}/12 = 86\,400\,000 \) mm⁴.
Piège évité : Croire que 20 mm de plus n'apportent qu'un gain marginal : l'inertie variant au cube, ils apportent 30 %.
Hypothèse validée : Gamme commerciale à confirmer Gamme commerciale à confirmer auprès du fournisseur : les paliers varient d'une scierie à l'autre.
Vérification croisée : \( (240/220)^{3} = 1{,}30 \) : l'inertie gagne 30 %.
Finalité : Obtenir une marge réelle Obtenir une marge réelle en instantané, seule façon d'absorber ensuite le fluage.

\[ \begin{aligned} w_{\text{inst}} &= \frac{4{,}6875 \times 10^{15}}{384 \times 11\,000 \times 86{,}40 \times 10^{6}} \\ &= \mathbf{12{,}84 \ \text{mm}} \quad (77{,}1 \ \%) \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

12,84 mm — 77,1 % de la limite : une marge enfin réelle.

Verdict : Conforme en instantané, avec 23 % de marge — mais cette marge est précisément ce que le fluage va consommer. 23 % de marge.
Efficacité : 9 % 9 % de hauteur en plus donnent 23 % de flèche en moins : le meilleur rapport de tout l'exercice.
Mécanisme : L'inertie varie au cube de la hauteur : c'est ce qui rend la hauteur si efficace, et l'essence si peu. cube de la hauteur.
Élancement : 240 mm pour 5 m donne L/21, valeur habituelle pour une solive de plancher — le résultat est plausible. L/21, valeur habituelle.
Réserve : Cette marge de 23 % devra absorber le fluage, qui pèse de 18 à 60 % : elle n'y suffira pas dans l'hypothèse défavorable. fluage.

Remarque pédagogique : Faites relever l'efficacité du passage de 220 à 240 mm : 9 % de hauteur supplémentaire suppriment 23 % de flèche. C'est l'effet du cube, et c'est ce qui rend le saut de gamme si rentable quand une vérification passe de justesse. Notez aussi le ratio obtenu : L/21, qui correspond exactement au pré-dimensionnement usuel d'un plancher — une confirmation que la solution est la bonne.

Effet du fluage, encadré

Pourquoi fait-on ce calcul ? La note l'évoque puis l'écarte « pour simplifier ».

Méthodologie du calcul :

Application des deux facteurs extrêmes du § 2.2.3(5).

Substitution : \( 16{,}675 \times 1{,}18 \) et \( 16{,}675 \times 1{,}60 \).
Piège évité : Écarter le fluage parce que la répartition \( G/Q \) est inconnue : une donnée manquante s'encadre, elle ne s'ignore pas. inconnue.
Encadrement : Deux bornes : tout variable avec \( \psi_{2} = 0{,}3 \), ou tout permanent — le cas réel se situe nécessairement entre les deux.
Vérification croisée : En 75 × 240, le taux final reste entre 90,9 et 123,3 % : conforme dans l'hypothèse favorable, non conforme dans l'autre. 90,9 et 123,3 %.
Finalité : Établir une hauteur défendable Établir une hauteur défendable malgré la donnée manquante, en assumant l'encadrement plutôt qu'en choisissant arbitrairement.

\[ \begin{aligned} w_{\text{fin}}(220) &= 16{,}675 \times \left[1{,}18 \ \text{a} \ 1{,}60\right] \\ &= \mathbf{19{,}7 \ \text{a} \ 26{,}7 \ \text{mm}} \quad (118 \ \text{a} \ 160 \ \%) \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

118 à 160 % — la section 75 × 220 échoue dans toutes les hypothèses.

Verdict : L'écart de huit millièmes devient un dépassement de 18 à 60 % : le fluage change l'échelle du problème. 18 à 60 %.
En 75 × 240 : En 75 × 240, le taux tombe entre 90,9 et 123,3 % selon la part permanente des charges. 90,9 et 123,3 %.
Hauteur requise : Entre 232,5 et 257,4 mm Entre 232,5 et 257,4 mm selon la répartition \( G/Q \) — une fourchette de 25 mm, soit une section commerciale entière.
Recommandation : 240 mm 240 mm au minimum, 280 dans l'hypothèse défavorable : c'est la fourchette à porter dans la note tant que \( G/Q \) reste inconnu.
Priorité : Obtenir la répartition G/Q Obtenir la répartition \( G/Q \) lève toute l'incertitude : une seule donnée à demander, et la fourchette se referme sur une valeur.

Remarque pédagogique : Faites relativiser l'histoire de l'arrondi au vu de ce résultat. L'écart de huit millièmes de millimètre était réel et il fallait le relever — mais le fluage, lui, ajoute entre 18 et 60 %. Une note qui se bat sur la troisième décimale tout en négligeant un phénomène qui majore le résultat de moitié se trompe d'échelle. Les deux corrections sont nécessaires ; seule la seconde change la conception.

RÉSULTAT FINAL

En 75 × 220 : 16,675 mm, soit 100,05 % — non conforme, et de 118 à 160 % une fois le fluage compté : il faut 240 mm au minimum

"On arrondit pour lire, jamais pour décider !"

Question 5 : Choix de l'essence

Dans la tête de l'ingénieur

"Voici le moment où le comparatif se retourne. La note a passé quatre questions à comparer des résistances — 14,77, 18,46 et 24,62 N/mm² — en concluant que le chêne permettrait des sections plus petites. Mais puisque c'est la flèche qui gouverne, la seule propriété qui compte est le module. Et celui-ci ne varie que de 27 % entre l'épicéa et le chêne, quand la résistance variait de 67 %. Pire : la hauteur requise varie comme la racine cubique du module, ce qui amortit encore l'écart. Résultat : le chêne, qui coûte plusieurs fois le prix de l'épicéa et pèse 69 % de plus, ne fait gagner que 17 mm de hauteur."

Observation : Le comparatif de la note porte sur la mauvaise propriété.
Analyse du risque : La flèche gouverne : seul le module compte.
Choix stratégique : Calculer la hauteur requise par la flèche pour les trois essences.
Point de méthode : Comparer aussi les masses, qui pèsent sur toute la structure.
Objectif visé : Un choix fondé sur le critère qui décide réellement.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Hauteurs requises par la flèche : 220,0, 213,7 et 203,0 mm · le chêne ne gagne que 17 mm pour 69 % de masse en plus · on retient l'épicéa C24 en 75 × 240

Rappel Théorique : choisir sur le bon critère

Un comparatif de matériaux n'a de sens que rapporté au critère qui gouverne — ici, la rigidité.

Principe 1 — identifier le critère : Résistance ou déformation ? Ici, c'est la déformation.
Principe 2 — la propriété utile : C'est alors le module, non la résistance caractéristique.
Principe 3 — l'amortissement cubique : La hauteur varie comme \( E^{-1/3} \) : les écarts se tassent.
Principe 4 — la masse compte : Un bois dense charge les appuis, les fondations et le chantier.
Principe 5 — le rapport pertinent : \( E/f_{m,\text{k}} \) mesure la rigidité par unité de résistance payée.

Équations Fondamentales

La hauteur requise par la flèche, puis les critères de comparaison.

Hauteur requise par la flèche :

Inversion de la formule de la flèche, base imposée.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle exprime directement ce que chaque essence exige, sans passer par des essais successifs. En égalant la flèche à sa limite et en isolant la hauteur, on obtient une relation en \( E^{-1/3} \) : la hauteur requise varie comme l'inverse de la racine cubique du module. C'est un amortissement redoutable pour qui espère gagner en changeant d'essence. Un module supérieur de 27 % — l'écart entre épicéa et chêne — ne réduit la hauteur que de 8 %, parce que \( 1{,}27^{1/3} = 1{,}083 \). Autrement dit, les trois quarts de l'avantage de rigidité du chêne se perdent dans l'exposant, et le quart restant ne suffit pas à changer de section commerciale.

Contexte de validité : Base imposée à 75 mm, seule la hauteur varie.
Avantage : Elle donne le résultat en une ligne, pour toutes les essences.
Paramètre clé : \( E_{0,\text{mean}} \) — la résistance n'y figure pas.
Vérification : L'exposant −1/3 amortit fortement les écarts de module.
Limite : Elle donne la hauteur instantanée ; le fluage s'y ajoute.

\[ \begin{aligned} h \ge \sqrt[3]{\frac{12}{b} \times \frac{5\,q\,L^{4}}{384\,E_{0,\text{mean}}\,w_{\text{lim}}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : changer d'essence ne rend que la racine cubique de ce qu'on paye. C'est le contraire de l'intuition commerciale, et c'est pourtant l'arithmétique la plus simple du dossier.

Décomposition des termes :

\( E_{0,\text{mean}} \) : 11 000, 12 000 ou 14 000 selon l'essence, unité : N/mm²
Exposant −1/3 : il amortit les écarts de module, unité : —
\( 1{,}27^{1/3} = 1{,}083 \) : 27 % de module rendent 8 % de hauteur, unité : —
\( b = 75 \) : base imposée, unité : mm
\( f_{m,\text{k}} \) : absente de la formule — c'est tout le sujet, unité : —

Critères de comparaison des essences :

Masse linéique et rigidité par unité de résistance.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un choix de matériau ne se réduit pas à une performance mécanique. La masse se répercute en cascade : elle charge les solives elles-mêmes, puis les murs, puis les fondations, et complique la manutention sur chantier. Le rapport \( E/f_{m,\text{k}} \), lui, mesure quelque chose de plus subtil : la rigidité obtenue par unité de résistance payée. Or les classes de bois sont tarifées sur la résistance — c'est elle qui donne son nom à la classe — alors que c'est la rigidité qui sert ici. Ce rapport vaut 458 pour le C24, 400 pour le C30 et seulement 350 pour le D40 : c'est l'épicéa, l'essence la moins chère, qui offre le meilleur rendement sur le critère qui compte.

Contexte de validité : Comparatif à critère ELS dominant, ce qui est le cas ici.
Avantage : Deux nombres suffisent à trancher un choix apparemment complexe.
Paramètre clé : \( E/f_{m,\text{k}} \) — décroissant quand la classe monte.
Vérification : La masse volumique croît avec la classe, elle aussi.
Limite : D'autres critères existent : durabilité, aspect, disponibilité locale.

\[ \begin{aligned} m = \rho_{\text{k}}\,b\,h \quad ; \quad \text{rendement} = \frac{E_{0,\text{mean}}}{f_{m,\text{k}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : plus une classe est chère, moins elle rend sur la rigidité. C'est un résultat contre-intuitif, mais il découle directement des tableaux de la NF EN 338.

Décomposition des termes :

\( \rho_{\text{k}} \) : 350, 380 ou 590 selon l'essence — NF EN 338, unité : kg/m³
\( E/f_{m,\text{k}} = 458 \) : épicéa C24 — le meilleur rendement, unité : —
400 : douglas C30, unité : —
350 : chêne D40 — le moins bon, unité : —
Conséquence : monter en classe dégrade le rendement, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de comparer les essences sur leur résistance..."

L'approche d'ingénieur : On compare sur la propriété qui gouverne le dimensionnement.

L'erreur : Choisir le chêne parce qu'il est 67 % plus résistant.
La bonne méthode : La flèche gouverne : comparer les modules, qui ne diffèrent que de 27 %.
L'astuce de pro : Calculer \( E/f_{m,\text{k}} \) : il décroît quand la classe monte.
Le moyen mnémotechnique : « On paye la résistance, on utilise la rigidité ».
L'impact direct : 17 mm de hauteur gagnés, pour 69 % de masse et un surcoût considérable.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Hauteurs : en mm
Masse volumique : en kg/m³
kg/m³ × m × m = kg/m
Le rapport \( E/f_{m,\text{k}} \) est sans unité
Convertir les dimensions en mètres pour les masses

Une seule vigilance ici, et elle porte sur les masses : la masse volumique est donnée en kg/m³ alors que les dimensions sont en millimètres. Il faut donc convertir la section en mètres carrés — 75 × 240 mm devient 0,075 × 0,240 m — avant de multiplier. Oublier cette conversion produit une masse un million de fois trop grande, erreur heureusement visible.

1. Résolution Numérique Hauteur requise par la flèche, épicéa C24

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la référence du comparatif.

Méthodologie du calcul :

Inertie requise, puis hauteur par racine cubique.

Substitution : \( I_{\text{req}} = 66{,}58 \times 10^{6} \) mm⁴, déjà établi en question 4.
Piège évité : Prendre une racine carrée : c'est l'inertie, pas le module.
Hypothèse validée : Flèche instantanée, pour un comparatif à hypothèses constantes.
Vérification croisée : 220,0 mm : cohérent avec le calcul de la question 4.
Finalité : Fixer la base à laquelle comparer les deux autres essences.

\[ \begin{aligned} h_{\text{C24}} &= \sqrt[3]{\frac{12 \times 66{,}58 \times 10^{6}}{75}} \\ &= \mathbf{220{,}0 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

220,0 mm — la référence, contre 159,3 mm exigés par la seule résistance.

Écart entre critères : +38 % de hauteur exigés par l'ELS.
Élancement : L/23, valeur habituelle pour un plancher.
Confirmation : C'est bien la flèche qui commande le dimensionnement.
Section retenue : 75 × 240, fluage compris.
À suivre : Les deux autres essences vont peu s'en écarter.

Remarque pédagogique : Faites comparer les deux hauteurs obtenues pour la même essence : 159,3 mm par la résistance, 220,0 mm par la flèche. L'écart de 38 % n'est pas une anomalie mais la situation normale d'un plancher de portée courante. Elle justifie une pratique de bureau d'études : pré-dimensionner directement à l'ELS, puis vérifier l'ELU en fin de course — l'inverse fait perdre du temps.

Hauteur requise pour le douglas C30

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour mesurer le gain réel d'une classe supérieure.

Méthodologie du calcul :

Même démarche, avec un module de 12 000 N/mm².

Substitution : \( h = 220{,}0 \times (11\,000/12\,000)^{1/3} \).
Piège évité : Attendre un gain proportionnel à l'écart de résistance.
Hypothèse validée : Seul le module change entre les deux calculs.
Vérification croisée : 213,7 mm, soit 2,9 % de moins seulement.
Finalité : Montrer que le gain ne change pas de section commerciale.

\[ \begin{aligned} h_{\text{C30}} &= 220{,}0 \times \left(\frac{11\,000}{12\,000}\right)^{1/3} \\ &= \mathbf{213{,}7 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

213,7 mm — 6 mm de gagnés, pour 25 % de résistance en plus.

Gain dérisoire : 2,9 % de hauteur, insuffisant pour changer de section.
Conséquence : Il faudrait la même section commerciale de 240 mm.
Cause : Le module ne gagne que 9 %, et la racine cubique en garde le tiers.
Vérification : \( (12/11)^{1/3} = 1{,}029 \), exactement les 2,9 % constatés.
Verdict : Le surcoût du douglas serait intégralement perdu.

Remarque pédagogique : Faites suivre la chaîne d'amortissement : 25 % de résistance en plus, mais seulement 9 % de module — et la racine cubique n'en garde que 2,9 % en hauteur. Deux amortissements successifs, l'un physique et l'autre géométrique, ramènent un avantage commercial affiché à un quart de pour cent de section. C'est le genre de calcul qu'il faut faire avant de consulter un fournisseur.

Hauteur requise pour le chêne D40

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le meilleur cas — et il déçoit.

Méthodologie du calcul :

Même démarche, avec un module de 14 000 N/mm².

Substitution : \( h = 220{,}0 \times (11\,000/14\,000)^{1/3} \).
Piège évité : Espérer un gain de 40 %, comme le suggérait la résistance.
Hypothèse validée : Module du D40 lu au tableau des feuillus de la NF EN 338.
Vérification croisée : 203,0 mm, soit 17 mm de gagnés.
Finalité : Confronter ce gain au surcoût et à la surcharge.

\[ \begin{aligned} h_{\text{D40}} &= 220{,}0 \times \left(\frac{11\,000}{14\,000}\right)^{1/3} \\ &= \mathbf{203{,}0 \ \text{mm}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

203,0 mm — 17 mm gagnés, pour 67 % de résistance et 69 % de masse en plus.

Gain : 7,7 % de hauteur seulement.
Conséquence : La même section commerciale de 240 mm resterait nécessaire.
Double amortissement : 67 % de résistance d'où 27 % de module d'où 7,7 % de hauteur.
Vérification : \( (14/11)^{1/3} = 1{,}083 \), soit les 7,7 % constatés.
Verdict : Le chêne est disqualifié sur ce projet.

Remarque pédagogique : Faites retracer le double amortissement qui condamne le chêne. Son avantage affiché est de 67 % — c'est la résistance, celle qui donne son nom à la classe et fixe le prix. Mais la propriété utile ici est le module, qui ne gagne que 27 %. Et la racine cubique n'en restitue que 7,7 % en hauteur. Un avantage commercial de deux tiers se réduit ainsi à moins d'un dixième de section.

Masses linéiques en section 75 × 240

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la masse se répercute sur tout l'ouvrage.

Méthodologie du calcul :

Masse volumique multipliée par la section, en mètres.

Substitution : \( \rho \times 0{,}075 \times 0{,}240 \) pour chaque essence.
Piège évité : Garder les dimensions en millimètres : facteur 10⁶ d'erreur.
Hypothèse validée : Masses volumiques tabulées par la NF EN 338.
Vérification croisée : 6,30, 6,84 et 10,62 kg/m.
Finalité : Chiffrer le coût caché du chêne, au-delà de son prix d'achat.

\[ \begin{aligned} m &= \rho_{\text{k}} \times 0{,}075 \times 0{,}240 \\ &= \mathbf{6{,}30 \ / \ 6{,}84 \ / \ 10{,}62 \ \text{kg/m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

10,62 kg/m pour le chêne — 69 % de plus que l'épicéa.

Surcharge : 4,3 kg par mètre de solive, sur toute la surface.
Cascade : La masse charge les murs, puis les fondations.
Effet second : Elle augmente aussi la flèche due au poids propre.
Chantier : Une solive de 5 m pèse 53 kg en chêne contre 32 en épicéa.
Bilan : Le gain de 17 mm est largement annulé.

Remarque pédagogique : Faites remarquer l'effet en boucle de la masse : un bois plus dense alourdit la solive, ce qui augmente la charge permanente, donc la flèche — et donc la hauteur requise. Le chêne se pénalise lui-même. Sur un calcul rigoureux où le poids propre serait recalculé essence par essence, son avantage de 17 mm se réduirait encore.

Rendement rigidité sur résistance

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour formaliser le critère de décision.

Méthodologie du calcul :

Rapport du module à la résistance caractéristique, essence par essence.

Substitution : \( 11\,000/24 \), \( 12\,000/30 \) et \( 14\,000/40 \).
Piège évité : Croire que la classe supérieure est toujours meilleure.
Interprétation : Rigidité obtenue par unité de résistance payée.
Vérification croisée : 458, 400 et 350 : le rendement décroît.
Finalité : Justifier le choix de l'épicéa en une seule grandeur.

\[ \begin{aligned} \frac{E_{0,\text{mean}}}{f_{m,\text{k}}} &= \frac{11\,000}{24} \ ; \ \frac{12\,000}{30} \ ; \ \frac{14\,000}{40} \\ &= \mathbf{458 \ / \ 400 \ / \ 350} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

458 / 400 / 350 — c'est l'épicéa, l'essence la moins chère, qui rend le mieux.

Verdict : Le rendement décroît quand la classe monte.
Explication : On paye la résistance, on utilise la rigidité.
Ampleur : Le chêne rend 24 % de moins que l'épicéa sur ce critère.
Généralité : Cette décroissance se lit directement dans les tableaux de la NF EN 338.
Choix retenu : Épicéa C24 en 75 × 240 mm.

Remarque pédagogique : Faites de ce rapport un réflexe de pré-étude. Avant tout comparatif d'essences, demandez-vous quel critère gouverne : si c'est la déformation, calculez \( E/f_{m,\text{k}} \) et constatez qu'il décroît quand la classe monte. Autrement dit, quand la flèche commande, monter en gamme revient à payer davantage pour un rendement moindre. C'est le contraire de l'intuition, et cela se vérifie en trois divisions.

RÉSULTAT FINAL

Choix retenu : épicéa C24 en 75 × 240 mm — le chêne ne gagnerait que 17 mm de hauteur, pour 69 % de masse en plus et un rendement inférieur de 24 %

"On paye la résistance, on utilise la rigidité !"

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Schéma bilan — les trois essences et la section finalement retenue

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de vérification :

J'ai écrit quelle était la base de pondération de la charge. J'ai comparé les valeurs exactes , sans arrondir avant de décider. J'ai exprimé le résultat en taux de travail , non en millimètres. J'ai calculé la hauteur requise directement , sans tâtonner. J'ai traité le fluage , en bornant faute de connaître la répartition G/Q. J'ai comparé les essences sur le module , puisque la flèche gouverne. J'ai pris en compte la masse , qui se répercute sur tout l'ouvrage.

Avis technique — la section 75 × 220 retenue par la note ne satisfait pas le critère de flèche, et il faut monter à 75 × 240 au minimum. Le moment de calcul vaut 4 687 500 N·mm et les résistances de calcul 14,77, 18,46 et 24,62 N/mm² — trois valeurs exactes dans la note. Les hauteurs requises par la résistance ne sont que de 159,3, 142,5 et 123,4 mm : l'ELU n'est pas dimensionnant, et il ne travaille qu'à 52,5 % dans la section finalement retenue. C'est la flèche qui commande : en 75 × 220, elle atteint 16,675 mm pour une limite de 16,667, soit 100,05 %. La hauteur requise exacte est de 220,04 mm. Une fois le fluage compté, l'exigence monte entre 232,5 et 257,4 mm selon la répartition des charges. Le comparatif d'essences, enfin, donne des hauteurs de 220,0, 213,7 et 203,0 mm : le chêne ne gagne que 17 mm.

Un arrondi inverse le verdict : 16,675 mm écrits « environ 16,6 » passent pour conformes, alors que le taux réel est de 100,05 %. Et le comparatif d'essences juge les bois sur une propriété qu'on n'utilisera pas — c'est le module qui commande ici, non la résistance, d'où les 17 mm seulement gagnés par le chêne. La plus-value technique de cette étude tient à ces deux corrections : on arrondit pour lire, jamais pour décider.

Traçabilité des valeurs tabulées

Les valeurs de coefficients et les résistances caractéristiques employées dans cet exercice proviennent des tableaux de la NF EN 1995-1-1 et des normes produits associées. Chacune est rattachée ci-dessous à la clause ou au tableau qui la fixe, de sorte qu'un tiers puisse la retrouver et vérifier le calcul sans le refaire. Les valeurs relevant d'un paramètre national sont signalées comme telles : c'est l'annexe nationale du pays du projet qui les arrête. Les coefficients qui ont pu être confirmés sur source — \( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \) et \( \beta_{\text{c}} \) — ne figurent pas dans cette liste.

\( k_{\text{def}} \) — Tableau 3.2 : 0,60 en classe de service 1, 0,80 en classe 2 et 2,00 en classe 3 pour le bois massif.
\( k_{h} \) du bois massif — § 3.2 : hauteur de référence 150 mm, exposant 0,2, plafond 1,3.
\( k_{\text{cr}} \) — § 6.1.7 : valeur 0,67 retenue ici ; l'atelier JRC Bruxelles 2008 évoque par ailleurs des \( f_{v,\text{k}} \) de 2,0 et 2,5 N/mm² relevant d'une autre édition.
\( k_{\text{c},90} \) — § 6.1.5 : 1,25 et 1,50 pour le bois massif selon l'appui, 1,50 et 1,75 pour le lamellé-collé, et l'extension fixe de 30 mm.
\( \psi_{2} \) — EN 1990, Tableau A1.1 : 0,3 pour les catégories A et B.
NF EN 338 — classes de résistance : les valeurs principales des classes C24 et C30 sont celles du tableau 1 — \( f_{m,\text{k}} \), \( f_{\text{c},0,\text{k}} \), \( f_{v,\text{k}} \), \( E_{0,\text{mean}} \) et \( \rho_{\text{k}} \). La classe D40 relève du tableau des feuillus, et le \( f_{t,0,\text{k}} \) du C24 : la valeur de 14,5 retenue ici suit l'édition 2016 de la norme, quand l'édition 2003 donne 14,0.
Limite de flèche appliquée — § 7.2 : le critère \( L/300 \) retenu dans cet exercice est confronté à la flèche finale, fluage compris. C'est une exigence de projet, plus sévère que le minimum normatif : celui-ci fixe \( L/300 \) à la flèche instantanée et \( L/200 \), voire \( L/150 \), à la flèche nette finale selon l'ouvrage supporté. Un tel durcissement se justifie couramment — chape, carrelage, cloisons fragiles — mais il doit être énoncé comme un choix, non comme la règle. Voir le Tableau 7.2 et l'annexe nationale.

Choix d'une Essence de Bois pour une Structure

Choix d'une Essence de Bois pour une Structure

Rendre un calcul défendable, pas seulement juste

Choix d'une essence : l'arrondi qui inverse le verdict

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Moment de calcul et base de charge

Question 2 : Résistances de calcul des trois essences

Question 3 : Sections requises par la résistance

Question 4 : Vérification de la flèche

Question 5 (Finale) : Choix de l'essence

Choix d'une essence : l'arrondi qui inverse le verdict

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

Échangez & progressez ensemble

Questions sur cet exercice

Bloqué ? La communauté peut t'aider

Commentaires

Continuez votre progression

Calcul du Fléchissement d'une Poutre en Bois

Calcul de la pente d'une charpente en bois

Connexion boulonnée pour charpente bois

Résistance et Rigidité d'une Poutre en Bois

Calcul les charges d'une passerelle

Calcul la résistance d'une planche de bois

Un point pas clair dans cet exercice ?

Stage, alternance ou premier emploi ?

Explorez d'autres domaines