Choix de la nuance d'acier pour une structure

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un acier plus résistant permet-il de faire des poutres plus fines ? La question paraît évidente et la réponse est non — du moins quand c'est la déformation qui décide. La nuance fixe la résistance par sa limite d'élasticité, mais la rigidité tient au module d'élasticité, identique à 210 000 MPa du S235 au S460. Sur cette solive de 7 mètres, la flèche vaut 55 mm pour une limite de 28 : elle est 62 % plus contraignante que la résistance, et aucune nuance ne peut y changer un millimètre. Cette démonstration se mène sans difficulté — c'est le cœur du sujet. Deux pièges l'entourent : le module de flexion élastique s'emploie volontiers là où la classe 1 impose le plastique, et la solution qu'on retient d'ordinaire passe avec 0,15 % de marge.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments structurent cette étude. Le premier est une contradiction interne, le deuxième une démonstration réussie, les deux derniers des marges mal mesurées.

Une phrase qui se contredit elle-même : « \( M_{\text{c},\text{Rd}} = W_{\text{el}} f_{\text{y}}/\gamma_{\text{M0}} \) [...] pour les sections de classe 1 ou 2 ». L'article 6.2.5 impose \( W_{\text{pl}} \) pour ces classes — 13,5 % d'écart.
Une démonstration centrale parfaitement menée : Le S355 corrige l'ELU et laisse l'ELS strictement inchangé. C'est juste, et c'est le cœur du sujet.
Un candidat proposé qui échoue : L'IPE 220, évoqué dans les réflexions, satisfait l'ELU à 0,950 et échoue l'ELS à 1,393, avec 39 mm de flèche.
Une solution qui passe de justesse : L'IPE 240 est conforme à 0,998 — 6 cm⁴ de marge sur 3 885 requis. Un pour cent de charge en plus et il bascule.

Votre Mission :

Vous devez produire la note de dimensionnement d'une solive de plancher : charges pondérées et de service, moment de calcul, classe de section et résistance en flexion, flèche à l'ELS — puis répondre à la question du titre, et choisir un profilé en mesurant sa réserve réelle.

Le grand défi : Identifier quel critère gouverne avant de choisir le levier. Le rapport entre les deux taux le dit en un chiffre, et il vaut ici 1,62.
Votre rôle : Établir la classe avant de choisir le module, et lire la marge plutôt que le seul verdict binaire — 0,998 et 0,676 sont tous deux conformes, et ce sont deux décisions différentes.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Les deux jeux de charges — pondéré pour l'ELU, de service pour l'ELS — et le moment de calcul qui en découle.
La classe de section établie plutôt qu'affirmée, et la résistance en flexion que le module correspondant autorise.
La flèche sous charges de service, et la démonstration chiffrée que la nuance d'acier n'a aucune prise sur elle.
L'inertie strictement requise, obtenue en inversant la formule de la flèche, et la marge réelle de chaque profilé candidat.
Le choix d'un profilé assorti de sa réserve, et le recensement des vérifications hors périmètre.

2. Données Techniques & Normes

Toutes les grandeurs de l'étude sont rassemblées ci-dessous. Un point appelle votre attention immédiate : le catalogue donne deux modules de flexion dans deux colonnes voisines, et l'on y lit volontiers la mauvaise.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Voici les outils de cet exercice, dans l'ordre où vous en aurez besoin. Le sixième n'est qu'une inversion du cinquième — mais elle transforme une vérification en dimensionnement.

Combinaisons d'actions — ELU et ELS \( q_{\text{Ed}} = 1{,}35\,G + 1{,}50\,Q \ ; \ q_{\text{ser}} = G + Q \)
Moment et effort tranchant d'une poutre isostatique \( M_{\text{Ed}} = \dfrac{q L^2}{8} \ ; \ V_{\text{Ed}} = \dfrac{q L}{2} \)
Résistance en flexion selon la classe \( M_{\text{c},\text{Rd}} = \dfrac{W_{\text{pl}} f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \ \text{(classes 1 et 2)} \ ; \ \dfrac{W_{\text{el}} f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \ \text{(classe 3)} \)
Facteur de forme d'une section \( \dfrac{W_{\text{pl}}}{W_{\text{el}}} \approx 1{,}14 \ \text{sur un IPE} \ \cdot \ 1{,}10 \ \text{sur un HEA} \ \cdot \ 1{,}50 \ \text{sur un rectangle} \)
Flèche d'une poutre uniformément chargée \( f_{\text{max}} = \dfrac{5 \, q_{\text{ser}} \, L^4}{384 \, E \, I_{\text{y}}} \)
Inertie requise — la formule inversée \( I_{\text{requis}} = \dfrac{5 \, q_{\text{ser}} \, L^4}{384 \, E \, f_{\text{lim}}} \)
Résistance plastique au cisaillement \( V_{\text{pl},\text{Rd}} = \dfrac{A_{\text{v}} \, f_{\text{y}}}{\sqrt{3} \, \gamma_{\text{M0}}} \)
Le rapport qui désigne le levier \( \dfrac{\text{taux ELS}}{\text{taux ELU}} \ \gt \ 1 \ \Rightarrow \ \text{la geometrie, pas la nuance} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PORTÉE, CHARGES ET PROFILÉ

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( L \)	Portée de la solive entre appuis Énoncé	7,00	\( \text{m} \)
\( G_{\text{k}} \)	Charges permanentes hors poids propre Énoncé	3,0	\( \text{kN}/\text{m} \)
\( Q_{\text{k}} \)	Charges d'exploitation Énoncé	4,0	\( \text{kN}/\text{m} \)
IPE 200	Profilé — 22,4 kg/m, soit 0,224 kN/m avec \( g = 10 \) NF EN 10365	22,4	\( \text{kg}/\text{m} \)
\( I_{\text{y}} \)	Moment quadratique — commande la flèche NF EN 10365	1 943	\( \text{cm}^4 \)
\( W_{\text{el},\text{y}} \)	Module élastique — celui qu'on emploie à tort NF EN 10365	194,3	\( \text{cm}^3 \)
\( W_{\text{pl},\text{y}} \)	Module plastique — ce qu'impose la classe 1 NF EN 10365	220,6	\( \text{cm}^3 \)
\( A_{\text{vz}} \)	Aire de cisaillement — celle qu'on n'emploie jamais NF EN 10365	14,00	\( \text{cm}^2 \)
S235	Nuance d'acier de départ NF EN 10025-2	—	—
\( f_{\text{y}} \)	Limite d'élasticité NF EN 10025-2	235	\( \text{MPa} \)
\( f_{\text{lim}} \)	Flèche admissible — donnée de l'étude Énoncé	L/250	—

Repères de contrôle à garder en tête

Facteur de forme d'un profile en I : \( W_{\text{pl}}/W_{\text{el}} = 220{,}6/194{,}3 = \mathbf{1{,}135} \)
Majoration globale des charges : \( q_{\text{Ed}}/q_{\text{ser}} \ \text{doit tomber entre} \ 1{,}35 \ \text{et} \ 1{,}50 \)
Fleche relative d'un plancher courant : \( \text{entre} \ L/250 \ \text{et} \ L/500 \ \text{— ici} \ \mathbf{L/126} \)
Le module d'elasticite ne depend pas de la nuance : \( E = 210\,000 \ \text{MPa du S235 au S460} \)
Le rapport qui designe le levier : \( \text{ELS/ELU} = \mathbf{1{,}62} \ \text{— la fleche gouverne} \)

COEFFICIENTS ET PROFILÉS CANDIDATS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( E \)	Module d'élasticité — identique pour toutes les nuances NF EN 1993-1-1, art. 3.2.6	210 000	\( \text{MPa} \)
\( \gamma_{\text{M0}} \)	Coefficient partiel de résistance des sections NF EN 1993-1-1, art. 6.1	1,00	—
\( \gamma_{\text{G}} \), \( \gamma_{\text{Q}} \)	Coefficients partiels des actions NF EN 1990, art. 6.4.3.2	1,35 · 1,50	—
Classe	Classe de section en flexion — 1 en S355 et en S460 NF EN 10365	1	—
IPE 220	Candidat — \( I_{\text{y}} = 2\,771 \), \( W_{\text{pl}} = 285{,}4 \) NF EN 10365	26,2	\( \text{kg}/\text{m} \)
IPE 240	Candidat — \( I_{\text{y}} = 3\,891 \), \( W_{\text{pl}} = 366{,}6 \) NF EN 10365	30,7	\( \text{kg}/\text{m} \)
IPE 270	Candidat — \( I_{\text{y}} = 5\,789 \), \( W_{\text{pl}} = 483{,}9 \) NF EN 10365	36,1	\( \text{kg}/\text{m} \)

Hypothèses de modélisation à ne pas perdre de vue

Maintien lateral de la poutre : \( \text{suppose — le deversement est ecarte par hypothese} \)
Convention de pesanteur : \( g = 10 \ \text{m/s}^2 \ \text{— conservatif de} \ 1{,}9 \ \%\)
Critere de fleche : \( L/250 \ \text{— donnee de l'etude, convention de projet} \)
Second critere de fleche : \( w_3 \ \text{chiffre mais NON CONCLU, valeur admissible non donnee} \)
Vibration du plancher : \( \text{non examinee — hors du perimetre de l'etude} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Le tableau ci-dessous confronte l'enchaînement courant à celui du calcul complet. L'essentiel est exact, et la démonstration centrale est juste. Deux points seulement appellent correction.

Chaîne de vérification — calcul courant contre calcul complet

Grandeur ou étape	Valeur annoncée · valeur recalculée · verdict
Charges permanentes et pondération	\( 3{,}224 \) puis \( 10{,}3524\ \text{kN/m} \) — exactes, majoration globale de 1,433
Moment de calcul	63,39 kN·m annoncés contre 63,41 — l'écart vient de l'arrondi de la charge à 10,35
Classe de section	affirmée, jamais établie — le catalogue donne classe 1 en flexion en S355 et S460, donc a fortiori en S235
Module de flexion retenu	\( W_{\text{el}} = 194{,}3\ \text{cm}^3 \) — l'article 6.2.5 impose \( W_{\text{pl}} = 220{,}6 \) pour les classes 1 et 2
Résistance en flexion	45,59 kN·m annoncés contre 51,84 — 13,5 % d'écart, soit exactement le facteur de forme
Vérification ELU	taux 1,39 annoncé contre 1,223 — le verdict est le même, la marge est fausse
Flèche à l'ELS	55,4 mm pour 28 admissibles — exacte, y compris la gestion des unités, souvent délicate
Vérification ELS	taux 1,977 — exact, et 62 % plus contraignant que l'ELU : c'est la flèche qui dimensionne
Le passage en S355	corrige l'ELU (0,810 avec \( W_{\text{pl}} \)) et laisse l'ELS strictement inchangé — démonstration juste
Candidat IPE 220	candidat naturel à l'ELU, où il travaille à 0,950 — il échoue l'ELS à 1,393, soit L/180
Solution retenue : IPE 240	conforme, mais à 0,998 — 6 cm⁴ de marge sur 3 885 requis, soit 0,15 %
Cisaillement et second critère de flèche	jamais examinés — taux de cisaillement 0,19, et \( w_3 = 30{,}65\ \text{mm} \) sur l'IPE 200

Quatre réserves à connaître avant de calculer

Une formulation très répandue se contredit elle-même. On lit mot pour mot que « la formule \( M_{\text{c},\text{Rd}} = W_{\text{el}} f_{\text{y}}/\gamma_{\text{M0}} \) est donnée dans l'Eurocode 3, clause 6.2.5, pour les sections de classe 1 ou 2 ». Or l'article 6.2.5 pose exactement l'inverse : pour ces classes, \( M_{\text{c},\text{Rd}} = M_{\text{pl},\text{Rd}} = W_{\mathbf{pl}} \, f_{\text{y}}/\gamma_{\text{M0}} \). La condition énoncée est la bonne, la formule appliquée ne l'est pas. L'écart vaut 13,5 %, soit exactement le facteur de forme \( W_{\text{pl}}/W_{\text{el}} \) de la section. Le verdict n'en est pas changé — l'IPE 200 reste insuffisant — mais la marge annoncée l'est : 1,223 et non 1,389.

La démonstration centrale, elle, est parfaitement menée. C'est le point fort de cet exercice et il faut le dire. Le module d'élasticité de l'acier vaut 210 000 MPa du S235 au S460, si bien que la flèche ne contient aucune trace de la nuance : passer en S355 corrige l'ELU — le taux tombe à 0,810 — et laisse l'ELS strictement inchangé à 1,977. Pire, il aggrave le déséquilibre : le rapport entre les deux critères passe de 1,62 à 2,44. La nuance corrige le seul critère qui ne gouvernait pas.

L'un des deux candidats habituels échoue. On évoque volontiers « par exemple un IPE 220 ou un IPE 240 ». L'IPE 220 satisfait pourtant l'ELU à 0,950 — un dimensionnement en apparence excellent — et échoue l'ELS à 1,393, avec une flèche de 39 mm, soit L/180. Un lecteur pressé le retiendrait pourtant sans le vérifier. C'est l'illustration parfaite de ce que l'exercice enseigne : sur une poutre de plancher de grande portée, il faut dimensionner par la flèche et vérifier la résistance ensuite.

La solution retenue passe avec 0,15 % de marge. L'IPE 240 est conforme, à 0,998 : son inertie de 3 891 cm⁴ dépasse de six centimètres à la puissance quatre les 3 885 strictement requis. Une augmentation de 1 % de la charge de service porte la flèche à 28,24 mm et le fait basculer. Conforme n'est pas dimensionné : la marge d'un calcul ne constitue pas une sécurité supplémentaire — celle-ci est déjà dans les coefficients partiels — mais une capacité disponible pour absorber ce qui n'a pas été prévu. L'IPE 270, qui coûte 5,4 kg/m de plus, offre 32 % de réserve.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche établit les deux jeux de charges, mène les deux vérifications, puis identifie lequel des deux critères gouverne — c'est lui qui désigne le levier.

Question 1 : Charges pondérées à l'ELU et moment de calcul

Eurocode 0 — combinaisons d'actions 25 min | Accessible

But de l'étape : Établir les deux jeux de charges et le moment de calcul, sans jamais les confondre.

Énoncé Q1 : Calculer les charges permanentes totales en n'oubliant pas le poids propre, puis la charge pondérée de l'ELU et la charge de service de l'ELS. En déduire le moment de calcul maximal et l'effort tranchant d'appui.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le poids propre est une charge permanente : il rejoint \( G_{\text{k}} \) avant la pondération, jamais après.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le rapport \( q_{\text{Ed}}/q_{\text{ser}} \) doit toujours tomber entre 1,35 et 1,50. Sa position dans cet intervalle renseigne sur la composition des charges.

Question 2 : Classe de section et résistance en flexion — W_pl et non W_el

Eurocode 3 — art. 5.5 et 6.2.5 35 min | Intermédiaire

But de l'étape : Établir la classe de section, puis employer le module de flexion qu'elle impose.

Énoncé Q2 : Déterminer la classe de l'IPE 200 en flexion, en S235. En déduire le module de flexion applicable selon l'article 6.2.5, calculer la résistance de la section, et conclure sur la vérification à l'ELU.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le catalogue tabule la classe pour les nuances S355 et S460. Que peut-on en déduire pour le S235, dont le coefficient de nuance est plus favorable ?

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'article 6.2.5 ne laisse aucune latitude : la classe choisit le module. Classes 1 et 2 : \( W_{\text{pl}} \). Classe 3 : \( W_{\text{el}} \).

Question 3 : Flèche à l'ELS et pourquoi la nuance n'y peut rien

Eurocode 3 — art. 7.2 35 min | Intermédiaire

But de l'étape : Calculer la flèche, identifier le critère gouvernant, et répondre à la question du titre.

Énoncé Q3 : Déterminer la flèche sous charges de service et la comparer à la limite. Mesurer ensuite le rapport entre les deux taux, ELS et ELU. Examiner enfin ce que le passage en S355 changerait — et ce qu'il ne changerait pas.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La formule de la flèche contient \( E \) et \( I \). Cherchez-y une trace de la limite d'élasticité : il n'y en a aucune.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le module d'élasticité de l'acier vaut 210 000 MPa du S235 au S460. C'est une propriété du réseau cristallin du fer, que les éléments d'alliage ne modifient pas.

Question 4 (Finale) : Choix du profilé — et une marge qui n'en est pas une

Eurocode 3 — synthèse 35 min | BOSS

But de l'étape : Dimensionner par la rigidité, mesurer la réserve réelle de chaque candidat, et déclarer ce que la note ne couvre pas.

Énoncé Q4 : Inverser la formule de la flèche pour obtenir l'inertie strictement requise. Examiner ensuite les trois profilés candidats — IPE 220, 240 et 270 — en mesurant la marge de chacun, puis choisir en connaissance de cause et recenser les vérifications hors périmètre.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'inertie requise dépend du poids propre, donc du profilé. Une itération est nécessaire, mais elle converge en une passe.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Un taux de 0,998 et un taux de 0,676 sont tous deux conformes. Ce sont pourtant deux décisions très différentes — testez la sensibilité à une hausse de 1 % de la charge.

NOTE DE CALCULS

Choix de la nuance d'acier pour une structure

Question 1 : Charges pondérées à l'ELU et moment de calcul

Dans la tête de l'ingénieur

"Cette première question ne présente aucune difficulté : 10,3524 kN/m puis 63,4 kN·m, au centième près. Elle mérite pourtant qu'on s'y arrête, car elle installe la distinction qui portera tout l'exercice — celle entre les deux jeux de charges. À l'ELU on majore pour se prémunir de la ruine ; à l'ELS on ne majore pas, parce qu'on s'intéresse au comportement en service. Confondre les deux est l'erreur qui coûte le plus cher, dans un sens comme dans l'autre."

Observation : Le poids propre annoncé, 0,224 kN/m, correspond aux 22,4 kg/m de l'IPE 200 avec \( g = 10\ \text{m/s}^2 \). Avec 9,81 on obtiendrait 0,220 — l'écart de 1,9 % est conservatif.
Analyse du risque : Oublier le poids propre est l'erreur classique. Il ne pèse ici que 7 % des charges permanentes, mais il croît avec le profilé — et c'est précisément quand on monte en gamme qu'il devient sensible.
Choix stratégique : Séparer clairement les deux combinaisons dès cette question, et calculer les deux : \( q_{\text{Ed}} \) pour l'ELU et \( q_{\text{ser}} \) pour l'ELS, qui servira en question 3.
Alternative : Le rapport \( q_{\text{Ed}}/q_{\text{ser}} = 10{,}352/7{,}224 = \mathbf{1{,}433} \) mesure directement la majoration globale. Il se situe toujours entre 1,35 et 1,50 selon la part de charge variable.
Objectif visé : Disposer des deux charges et du moment de calcul, données d'entrée de toutes les vérifications qui suivent.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( q_{\text{Ed}} = 10{,}35\ \text{kN/m} \) · \( M_{\text{Ed}} = 63{,}4\ \text{kN·m} \) · \( q_{\text{ser}} = 7{,}22\ \text{kN/m} \)

Rappel Théorique : Combinaisons d'actions et moment isostatique

Deux notions élémentaires, mais dont la confusion est la source d'erreur la plus fréquente en dimensionnement de poutres. La première distingue deux états limites, la seconde donne le résultat le plus employé de toute la résistance des matériaux.

L'ELU majore les charges pour se prémunir de la ruine : \( 1{,}35 G_{\text{k}} + 1{,}50 Q_{\text{k}} \) pour la combinaison fondamentale d'un bâtiment courant. Les charges permanentes, mieux connues, sont moins majorées que les charges variables.
L'ELS emploie les charges de service, sans majoration : \( G_{\text{k}} + Q_{\text{k}} \) pour la combinaison caractéristique. On ne cherche pas à prévenir un effondrement mais à garantir le confort et la durabilité en usage normal.
Le poids propre est une charge permanente : Il s'ajoute aux autres charges permanentes avant pondération. C'est l'oubli le plus classique, et il croît quand on monte en gamme de profilé — d'où la nécessité d'itérer.
Le moment isostatique d'une poutre uniformément chargée vaut qL²/8 : Résultat de la double intégration de la charge, avec moment nul aux appuis articulés. Le diagramme est une parabole maximale à mi-portée.
La portée intervient au carré dans le moment : Doubler la portée quadruple le moment. C'est la sensibilité la plus forte du problème, avant même celle de la flèche — qui, elle, varie à la puissance quatre.

Équations Fondamentales

Trois formules distinctes, à ne jamais mélanger : deux combinaisons d'actions qui ne poursuivent pas le même but, et le résultat de RDM qui les transforme en sollicitation.

Combinaison fondamentale à l'ELU — EN 1990, expression (6.10) :

Elle transforme les charges de projet en une charge de calcul majorée, destinée aux vérifications de résistance.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les charges réelles sont incertaines et que la sécurité repose sur une approche semi-probabiliste : on majore les actions et l'on minore les résistances, chacune par un coefficient calé sur sa propre variabilité. Une charge permanente bien connue est moins majorée qu'une charge d'exploitation qui dépend de l'usage — d'où deux coefficients différents dans une même expression, ce qui distingue l'Eurocode d'un coefficient de sécurité global unique.

Contexte de validité : L'expression \( 1{,}35G + 1{,}50Q \) vaut pour une seule action variable. Avec plusieurs, il faut affecter les actions d'accompagnement de leurs coefficients \( \psi_0 \).
Avantage : Elle est directement applicable sans jugement : les deux coefficients sont fixés par l'annexe nationale et ne dépendent ni du matériau ni de la géométrie.
Paramètre clé : La part relative des deux natures de charge. C'est elle qui situe la majoration globale entre 1,35 et 1,50, et elle seule.
Vérification : La majoration globale vaut \( 10{,}352/7{,}224 = \mathbf{1{,}433} \), valeur qui doit toujours se situer entre les deux coefficients partiels employés.
Limite : L'EN 1990 propose aussi le couple (6.10a) et (6.10b), souvent moins pénalisant. C'est (6.10) qui est retenue ici, la plus courante et la plus simple.

\[ \begin{aligned} q_{\text{Ed}} = 1{,}35 \, (G_{\text{k}} + P_{\text{p}}) + 1{,}50 \, Q_{\text{k}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Les valeurs de 1,35 et 1,50 ne sont pas des marges arbitraires mais le résultat d'un calage probabiliste mené dans les années 1970 et reconduit lors de la rédaction des Eurocodes. L'idée est de viser une probabilité de ruine cible — de l'ordre de \( 10^{-6} \) par an pour un bâtiment courant — en tenant compte de la dispersion propre à chaque type d'action. Une charge permanente est bien connue : on pèse le béton, on mesure les épaisseurs, et sa dispersion réelle ne dépasse guère quelques pour cent ; d'où un coefficient modeste. Une charge d'exploitation, elle, dépend de l'usage que fera l'occupant, de la densité de mobilier, d'un déménagement, d'un rassemblement exceptionnel : sa dispersion est bien plus large, et le coefficient s'en ressent. Les deux nombres ne mesurent donc pas une prudence mais une ignorance, et chacun mesure la sienne.

Décomposition des termes :

\( q_{\text{Ed}} \) : charge de calcul pondérée à l'état limite ultime, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
\( G_{\text{k}} \) : valeur caractéristique des charges permanentes hors poids propre, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
\( P_{\text{p}} \) : poids propre linéique du profilé, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
\( Q_{\text{k}} \) : valeur caractéristique des charges d'exploitation, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)

Combinaison caractéristique à l'ELS — EN 1990, annexe A1.4 :

Elle donne la charge réellement présente en usage normal, destinée aux vérifications de déformation.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'on ne cherche plus ici à prévenir un effondrement mais à garantir le confort et la durabilité. Vérifier la flèche sous une charge exceptionnelle qui ne surviendra peut-être jamais n'aurait aucun sens : le risque encouru n'est pas une ruine mais un désagrément, et il ne justifie pas la même prudence. C'est toute la raison d'être d'une seconde combinaison, sans coefficient.

Contexte de validité : C'est la combinaison caractéristique, employée pour les états limites irréversibles. Une combinaison quasi-permanente, avec \( \psi_2 Q_{\text{k}} \), servirait pour le fluage ou la fissuration.
Avantage : Aucun coefficient à retenir : c'est la somme brute des charges de projet, celle-là même que l'on pèserait sur la structure achevée.
Paramètre clé : Sa différence avec la charge pondérée. Le rapport de 1,433 entre les deux est ce qui explique qu'un critère puisse gouverner et l'autre non.
Vérification : Elle doit toujours être inférieure à la charge pondérée. Si les deux sont égales, c'est qu'un coefficient a été oublié dans la première.
Limite : Employer cette charge à l'ELU donnerait un moment de 44,2 kN·m au lieu de 63,4, et ferait croire que l'IPE 200 convient presque. C'est l'erreur la plus dangereuse de la question.

\[ \begin{aligned} q_{\text{ser}} = G_{\text{k}} + P_{\text{p}} + Q_{\text{k}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? La coexistence de deux combinaisons pour une même structure traduit une idée qui structure tout l'Eurocode : une construction n'a pas un seuil de défaillance, elle en a plusieurs, et ils n'ont pas la même gravité. Un plancher qui s'effondre tue ; un plancher qui fléchit de quatre centimètres fissure les cloisons, bloque les portes et inquiète les occupants. Les deux situations sont à éviter, mais pas au même prix. On accepte donc de vérifier la première sous des charges majorées, très improbables, et la seconde sous les charges réellement attendues. C'est aussi pourquoi les coefficients partiels de matériau disparaissent à l'ELS : on n'y calcule pas une résistance mais un comportement, et le module d'élasticité d'un acier est bien mieux connu que sa limite d'élasticité.

Décomposition des termes :

\( q_{\text{ser}} \) : charge de service non pondérée, pour l'état limite de service, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
\( G_{\text{k}} \) : valeur caractéristique des charges permanentes hors poids propre, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
\( P_{\text{p}} \) : poids propre linéique du profilé, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
\( Q_{\text{k}} \) : valeur caractéristique des charges d'exploitation, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)

Moment maximal d'une poutre isostatique uniformément chargée :

Il transforme la charge de calcul en la sollicitation qui sera confrontée à la résistance de la section.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est le résultat le plus employé de toute la résistance des matériaux, et parce qu'il est exact : il découle de la seule statique, sans hypothèse sur le matériau. Il se calcule donc avant tout choix de profilé et de nuance, ce qui en fait le point de départ naturel de tout dimensionnement de poutre.

Contexte de validité : La poutre doit être isostatique et la charge uniformément répartie. Une poutre continue verrait son moment de travée réduit d'environ 20 %, au prix d'un moment sur appui.
Avantage : Il ne dépend d'aucune propriété du matériau : la même formule vaut pour l'acier, le béton ou le bois. C'est de la statique pure.
Paramètre clé : La portée, qui intervient au carré. Les 7,00 m de cette solive sont considérables : à 6 m, le moment tomberait de 27 %.
Vérification : Le diagramme est une parabole nulle aux appuis et maximale à mi-portée. Un maximum situé ailleurs signale une charge non uniforme.
Limite : Ces charges sont supposées uniformément réparties. Une charge concentrée changerait la formule du moment et, davantage encore, celle de la flèche.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} = \frac{q_{\text{Ed}} \, L^2}{8} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le huitième au dénominateur mérite d'être compris plutôt que retenu, car il se reconstruit en deux lignes. Sous une charge uniforme \( q \), la réaction d'appui vaut \( qL/2 \) par symétrie. À mi-portée, le moment est celui que produit cette réaction, \( (qL/2)(L/2) = qL^2/4 \), diminué de celui de la demi-charge portée par la moitié gauche, appliquée à son centre de gravité : \( (qL/2)(L/4) = qL^2/8 \). La différence donne bien \( qL^2/8 \). Cette construction éclaire un point souvent mal perçu : le moment maximal n'est pas proportionnel à la charge totale et à la portée, mais à leur produit par la portée — c'est-à-dire que la géométrie compte deux fois. C'est la raison pour laquelle une poutre de grande portée devient si vite coûteuse, et pourquoi réduire la portée est presque toujours le levier le plus efficace dont dispose le concepteur.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{Ed}} \) : moment fléchissant de calcul maximal, à mi-portée, unité : \( \text{kN} \cdot \text{m} \)
\( q_{\text{Ed}} \) : charge de calcul pondérée uniformément répartie, unité : \( \text{kN}/\text{m} \)
\( L \) : portée de la poutre entre axes d'appuis, unité : \( \text{m} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"On calcule la charge pondérée, elle servira pour tout…"

L'approche d'ingénieur : Cette confusion mérite qu'on y insiste : c'est l'erreur qui, dans un sens, conduit à un surdimensionnement coûteux et, dans l'autre, à une structure inconfortable.

L'erreur : Employer \( q_{\text{Ed}} = 10{,}35\ \text{kN/m} \) pour calculer la flèche. On obtiendrait 79,3 mm au lieu de 55,4 — une surestimation de 43 % qui conduirait à surdimensionner sans raison.
La bonne méthode : Calculer les deux charges dès le départ et les nommer distinctement. \( q_{\text{Ed}} \) pour la résistance, \( q_{\text{ser}} \) pour la déformation.
L'astuce de pro : L'erreur inverse est plus grave : employer \( q_{\text{ser}} \) à l'ELU donnerait un moment de 44,2 kN·m au lieu de 63,4, et ferait croire que l'IPE 200 convient presque.
Le moyen mnémotechnique : « Pondéré pour la ruine, nu pour le confort. » L'ELU se prémunit d'un effondrement, l'ELS d'un désagrément — les deux n'appellent pas la même prudence.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Charges linéiques : en \( \text{kN}/\text{m} \). Le poids propre du catalogue est donné en kg/m et se convertit en divisant par 100 avec la convention \( g = 10 \) — les 22,4 kg/m de l'IPE 200 donnent ainsi 0,224 kN/m.
Portée : en mètres pour le calcul du moment, mais elle devra être convertie en millimètres à la question 3 pour la flèche. C'est la conversion la plus souvent oubliée dans cet exercice.
Moment fléchissant : le produit \( \text{kN}/\text{m} \times \text{m}^2 \) donne des \( \text{kN} \cdot \text{m} \), unité standard des moments en note de calcul.
Coefficients partiels : sans dimension, ils ne modifient jamais l'unité de la charge qu'ils multiplient. Leur valeur relève de l'annexe nationale.
Rapport de majoration : sans dimension, il vaut 1,433 ici et permet un contrôle instantané — il doit toujours se situer entre les deux coefficients partiels employés.

Cinq calculs séparés : les charges permanentes totales, les deux combinaisons prises l'une après l'autre, puis le moment de calcul et l'effort tranchant d'appui.

1. Résolution Numérique Ne pas oublier que la poutre se porte elle-même

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'oubli le plus classique, et parce que ce poids propre changera à chaque fois qu'on changera de profilé.

Méthodologie du calcul :

On additionne les charges permanentes de projet au poids propre du profilé, converti en charge linéique.

Substitution : \( G_{\text{k}} = 3{,}0\ \text{kN/m} \) et un IPE 200 de 22,4 kg/m, soit \( P_{\text{p}} = 0{,}224\ \text{kN/m} \) avec la convention de l'étude.
Piège évité : Additionner le poids propre après pondération, ou l'affecter du coefficient des charges variables. C'est une charge permanente : elle rejoint \( G_{\text{k}} \) avant le 1,35.
Hypothèse validée : Le poids propre est calculé avec \( g = 10\ \text{m/s}^2 \), convention de l'étude. Avec 9,81 on obtiendrait 0,220 kN/m — l'écart de 1,9 % est conservatif.
Vérification croisée : Le poids propre ne représente que \( 0{,}224/3{,}224 = \mathbf{6{,}9\ \%} \) des charges permanentes. Sur une solive légère, c'est normal — sur une poutre maîtresse, il peut atteindre 20 %.
Finalité : Disposer de la charge permanente complète, base des deux combinaisons.

\[ \begin{aligned} G_{\text{total}} &= G_{\text{k}} + P_{\text{p}} \\ &= 3{,}0 + \frac{22{,}4 \times 10}{1\,000} \\ &= 3{,}0 + 0{,}224 \\ &= \mathbf{3{,}224} \ \text{kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les charges permanentes totales valent 3,224 kN/m. Le poids propre n'en représente que 6,9 %, mais il augmentera à chaque changement de profilé.

Ordre de grandeur : Une solive de plancher qui pèse 22,4 kg/m sous 3 kN/m de charges permanentes : le rapport est typique d'un plancher léger, sec ou à dalle mince.
Impact sur la suite : Cette valeur entrera dans les deux combinaisons. Elle devra être recalculée pour chaque profilé candidat en question 4.
Cohérence : L'IPE 240 pèse 30,7 kg/m et l'IPE 270 36,1 : passer de l'un à l'autre ajoute 0,054 kN/m, soit moins de 1 % de la charge de service. L'itération converge vite.
Attention : La convention \( g = 10 \) n'est pas rigoureuse mais elle est conservative et très répandue en avant-projet. Elle est conservée ici pour rester comparable.
Comparaison : Sur une poutre maîtresse HEB 400 de 155 kg/m, le poids propre atteindrait 1,55 kN/m — soit la moitié des charges permanentes de cette solive.

Remarque pédagogique : Le fait que le poids propre dépende du profilé qu'on cherche rend le dimensionnement itératif par nature, et il vaut la peine de voir pourquoi cela reste sans difficulté. On part d'une estimation, on dimensionne, et l'on vérifie que le profilé retenu n'invalide pas l'estimation de départ. Le processus converge très vite parce que le poids propre est une part faible du total : ici, passer de l'IPE 200 à l'IPE 270 fait croître les charges permanentes de 3,224 à 3,361 kN/m, soit 4 %, et la charge de service de moins de 2 %. Une seule itération suffit donc presque toujours. Ce n'est plus vrai sur les structures où le poids propre domine — un pont de grande portée, un plancher à forte inertie — où l'on peut avoir besoin de deux ou trois passes, et où le dimensionnement finit parfois par diverger : alourdir la poutre augmente la charge, ce qui exige de l'alourdir encore. C'est la limite classique des très grandes portées, et la raison pour laquelle on y recourt à des structures allégées.

La charge de calcul à l'état limite ultime

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est elle qui donnera le moment de la question 2, et parce que chaque nature de charge y reçoit son propre coefficient.

Méthodologie du calcul :

On applique les coefficients partiels de la combinaison fondamentale, chacun à la nature de charge qui lui correspond.

Substitution : \( G_{\text{total}} = 3{,}224 \) et \( Q_{\text{k}} = 4{,}0\ \text{kN/m} \), avec \( \gamma_{\text{G}} = 1{,}35 \) et \( \gamma_{\text{Q}} = 1{,}50 \).
Piège évité : Appliquer 1,35 à l'ensemble, ou 1,50. Chaque nature de charge a son coefficient, et c'est précisément ce qui distingue l'approche semi-probabiliste d'un coefficient de sécurité global.
Hypothèse validée : Une seule action variable est présente. Avec plusieurs, les actions d'accompagnement seraient affectées de leurs coefficients \( \psi_0 \).
Vérification croisée : Les deux termes valent 4,352 et 6,000 : la part variable pèse 58 % de la charge pondérée alors qu'elle ne représente que 55 % de la charge brute. La pondération l'a bien accentuée.
Finalité : Disposer de la charge qui alimentera le moment de calcul et la vérification de résistance.

\[ \begin{aligned} q_{\text{Ed}} &= 1{,}35 \, G_{\text{total}} + 1{,}50 \, Q_{\text{k}} \\ &= 1{,}35 \times 3{,}224 + 1{,}50 \times 4{,}0 \\ &= 4{,}352 + 6{,}000 \\ &= \mathbf{10{,}352} \ \text{kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La charge pondérée vaut 10,352 kN/m. La charge variable, majorée davantage, y pèse désormais 58 % du total contre 55 % avant pondération.

Ordre de grandeur : Une charge pondérée de 10,35 kN/m sur une solive de plancher est courante. Rapportée à un entraxe de 2 m, elle correspond à environ 5 kN/m² de plancher pondéré.
Impact sur la suite : C'est cette valeur, et elle seule, qui donnera le moment de calcul. L'employer pour la flèche donnerait 79,3 mm au lieu de 55,4.
Cohérence : Les deux termes se contrôlent séparément : \( 1{,}35 \times 3{,}224 \) doit valoir un peu plus de 4, et \( 1{,}50 \times 4 \) exactement 6. Le second est immédiat de tête.
Attention : L'EN 1990 propose aussi le couple (6.10a) et (6.10b), qui donne parfois une combinaison moins pénalisante. C'est (6.10) qui est retenue ici, la plus courante et la plus simple.
Comparaison : Avec \( Q_{\text{k}} = 5{,}0\ \text{kN/m} \), la charge pondérée monterait à 11,852 kN/m, soit 14 % de plus pour 25 % de charge variable supplémentaire.

Remarque pédagogique : L'emploi de deux coefficients distincts dans une même expression est la signature de l'approche semi-probabiliste, et il vaut la peine de mesurer ce qu'elle apporte par rapport à la pratique antérieure. Les règles françaises CM 66 travaillaient avec un coefficient de sécurité global unique, appliqué indifféremment à toutes les charges. Le résultat était que deux structures aussi différentes qu'un silo — presque uniquement chargé par du permanent, très bien connu — et une salle de spectacle — dominée par une occupation variable et incertaine — recevaient la même marge. L'une était donc surdimensionnée et l'autre trop juste, sans qu'on puisse le savoir. En attribuant à chaque nature d'action un coefficient calé sur sa propre dispersion, l'Eurocode répartit la marge là où l'incertitude se trouve. C'est plus laborieux à appliquer, et c'est la contrepartie d'une fiabilité homogène d'un ouvrage à l'autre.

La charge réellement présente en usage normal

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est elle qui donnera la flèche de la question 3, et parce que la confondre avec la précédente est l'erreur la plus coûteuse de l'exercice.

Méthodologie du calcul :

On somme les charges de projet sans aucun coefficient : c'est la combinaison caractéristique de l'annexe A1.4 de l'EN 1990.

Substitution : \( G_{\text{total}} = 3{,}224 \) et \( Q_{\text{k}} = 4{,}0\ \text{kN/m} \), pris tels quels sans pondération.
Piège évité : Reprendre par réflexe les coefficients de l'ELU. Ils n'ont pas leur place ici : on ne se prémunit pas d'une ruine mais on décrit un comportement en service.
Hypothèse validée : C'est la combinaison caractéristique, adaptée aux états limites irréversibles comme la fissuration d'une cloison. La combinaison quasi-permanente relèverait du fluage.
Vérification croisée : Le rapport à la charge pondérée vaut \( 10{,}352/7{,}224 = \mathbf{1{,}433} \), bien compris entre 1,35 et 1,50. La part variable étant majoritaire, on est plus près de 1,50.
Finalité : Disposer de la charge qui alimentera le calcul de flèche, critère qui se révélera gouvernant.

\[ \begin{aligned} q_{\text{ser}} &= G_{\text{total}} + Q_{\text{k}} \\ &= 3{,}224 + 4{,}0 \\ &= \mathbf{7{,}224} \ \text{kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La charge de service vaut 7,224 kN/m. La majoration globale de 1,433 entre les deux combinaisons se situe bien entre les deux coefficients partiels.

Ordre de grandeur : La charge variable représente 55 % du total de service. C'est ce qui rapproche la majoration globale de 1,50 plutôt que de 1,35.
Impact sur la suite : \( q_{\text{ser}} \) donnera la flèche de la question 3. Les deux charges ne doivent jamais être échangées, dans un sens comme dans l'autre.
Cohérence : La majoration de 43 % s'explique entièrement par la composition des charges — aucun coefficient supplémentaire n'intervient.
Attention : Employer cette charge à l'ELU donnerait un moment de 44,2 kN·m au lieu de 63,4, et ferait croire que l'IPE 200 convient presque. C'est l'erreur dangereuse, l'autre n'étant que coûteuse.
Comparaison : Sur une toiture, où la part permanente domine, le rapport tomberait vers 1,38. Sa position dans l'intervalle est une signature de la nature de l'ouvrage.

Remarque pédagogique : Le rapport de majoration globale est un contrôle qu'il vaut la peine d'automatiser mentalement, car il détecte instantanément deux erreurs fréquentes. Il doit toujours se situer entre les deux coefficients partiels employés — ici entre 1,35 et 1,50 — puisqu'il n'est qu'une moyenne pondérée de ces deux nombres par les parts respectives de charge permanente et variable. Un résultat inférieur à 1,35 signale qu'on a oublié une charge dans la pondération ; un résultat supérieur à 1,50 qu'on a appliqué un coefficient de trop. Et sa position dans l'intervalle renseigne directement sur la composition des charges : proche de 1,35 pour une structure dominée par le permanent — un plancher béton épais, une toiture lourde — proche de 1,50 pour une structure dominée par l'exploitation, comme ici. Cette lecture prend deux secondes et remplace avantageusement une relecture ligne à ligne.

Le résultat le plus employé de la RDM

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la sollicitation qui sera confrontée à la résistance de la section en question 2.

Méthodologie du calcul :

On applique le résultat classique du moment isostatique pour une poutre sur deux appuis uniformément chargée.

Substitution : \( q_{\text{Ed}} = 10{,}352\ \text{kN/m} \) et \( L = 7{,}00\ \text{m} \), portée entre axes d'appuis.
Piège évité : Oublier le carré sur la portée. Le moment est très sensible à la portée, et l'erreur donnerait 9,1 kN·m au lieu de 63,4.
Hypothèse validée : La poutre est isostatique, simplement appuyée, et la charge uniformément répartie. Ce sont les hypothèses de l'étude.
Vérification croisée : L'effort tranchant d'appui vaut \( q_{\text{Ed}} L/2 = \mathbf{36{,}2\ \text{kN}} \), grandeur qui servira à contrôler que le cisaillement n'est pas dimensionnant.
Finalité : Obtenir la sollicitation à confronter à la résistance de la section.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{q_{\text{Ed}} \, L^2}{8} \\ &= \frac{10{,}352 \times 7{,}00^2}{8} \\ &= \frac{10{,}352 \times 49}{8} \\ &= \frac{507{,}25}{8} \\ &= \mathbf{63{,}41} \ \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le moment de calcul vaut 63,41 kN·m, ou 63,39 si l'on arrondit la charge à 10,35. C'est la valeur qui décidera de la résistance en question 2.

Ordre de grandeur : Une portée de 7,00 m pour une solive est considérable. C'est elle, bien plus que les charges, qui rend cet exercice difficile — le moment varie comme son carré et la flèche comme sa puissance quatre.
Impact sur la suite : Ce moment sera confronté à \( M_{\text{c},\text{Rd}} \) en question 2. Le résultat dépendra du module de section retenu — et c'est là que le calcul dérape le plus souvent.
Cohérence : L'effort tranchant de 36,2 kN sera à comparer aux 190 kN de résistance plastique au cisaillement de l'IPE 200 : taux 0,19, jamais dimensionnant sur une poutre de cet élancement.
Attention : Le cisaillement ne se calcule presque jamais sur une solive. C'est sans conséquence ici, mais une note complète le mentionne, ne serait-ce que pour l'écarter.
Comparaison : À 6,00 m de portée, le moment tomberait à 46,6 kN·m et la flèche à 29,9 mm : l'exercice changerait complètement de nature.

Remarque pédagogique : Il vaut la peine de mesurer à quel point la portée de 7 mètres est ce qui fait la difficulté de cet exercice, bien avant le niveau des charges. Le moment varie comme \( L^2 \) et la flèche comme \( L^4 \) : passer de 6 à 7 mètres, soit 17 % de portée en plus, augmente le moment de 36 % et la flèche de 85 %. À 6 mètres, l'IPE 200 aurait une flèche de 29,9 mm contre une limite de 24 — il échouerait encore, mais de peu. À 5 mètres, il passerait largement. C'est pourquoi la première question à se poser devant une poutre de plancher qui ne passe pas n'est pas « quel profilé prendre ? » mais « puis-je réduire la portée ? » — en ajoutant une file de poteaux, une poutre maîtresse intermédiaire, ou en réorientant le sens de portée du plancher. Le levier est sans commune mesure avec celui du profilé, et il coûte souvent moins cher.

La sollicitation que l'on ne calcule jamais

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une note de calcul complète mentionne le cisaillement, ne serait-ce que pour l'écarter — et parce qu'on l'omet presque toujours.

Méthodologie du calcul :

L'effort tranchant maximal d'une poutre isostatique uniformément chargée est la réaction d'appui, qui vaut la moitié de la charge totale par symétrie.

Substitution : \( q_{\text{Ed}} = 10{,}352\ \text{kN/m} \) et \( L = 7{,}00\ \text{m} \), soit une charge totale de 72,46 kN répartie sur deux appuis.
Piège évité : Employer la charge de service. Le cisaillement est une vérification de résistance : elle relève de l'ELU, exactement comme le moment, et emploie donc la charge pondérée.
Hypothèse validée : Les deux appuis sont symétriques et la charge uniforme : les réactions sont donc égales, chacune valant la moitié du total.
Vérification croisée : Contrôle par la charge totale : \( 10{,}352 \times 7 = 72{,}46 \) kN, dont la moitié fait bien 36,2. Le diagramme est linéaire et s'annule à mi-portée.
Finalité : Disposer de la grandeur qui permettra d'écarter le cisaillement comme critère dimensionnant, plutôt que de le passer sous silence.

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} &= \frac{q_{\text{Ed}} \, L}{2} \\ &= \frac{10{,}352 \times 7{,}00}{2} \\ &= \frac{72{,}46}{2} \\ &= \mathbf{36{,}23} \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'effort tranchant d'appui vaut 36,2 kN. Face aux 190 kN de résistance plastique au cisaillement de l'IPE 200, le taux n'atteint que 0,19 : le cisaillement ne dimensionne pas.

Ordre de grandeur : Un taux de cisaillement de 0,19 est typique d'une poutre élancée sous charge répartie. C'est la flexion qui domine largement dès que l'élancement dépasse une dizaine.
Impact sur la suite : Le cisaillement restant sous la moitié de la résistance plastique, aucune interaction moment-effort tranchant n'est à considérer au sens de l'article 6.2.8.
Cohérence : \( V_{\text{pl},\text{Rd}} = A_{\text{vz}} f_{\text{y}}/(\sqrt{3} \, \gamma_{\text{M0}}) = 1\,400 \times 235/1{,}732 = \mathbf{190\ \text{kN}} \), avec l'aire de cisaillement tabulée au catalogue à 14,00 cm².
Attention : Cette grandeur ne se calcule presque jamais, pas même pour l'écarter. C'est sans conséquence ici, mais l'omission serait grave sur une poutre courte ou chargée près d'un appui.
Comparaison : Sur une poutre de 2 m portant la même charge, le moment tomberait à 5,2 kN·m alors que le tranchant ne descendrait qu'à 10,4 : le rapport entre les deux critères serait bouleversé.

Remarque pédagogique : L'habitude d'écarter le cisaillement sans le calculer est répandue et généralement sans conséquence, mais elle mérite d'être interrogée car elle repose sur une condition qu'on oublie de vérifier. Sur une poutre uniformément chargée, le moment croît comme \( L^2 \) tandis que l'effort tranchant ne croît que comme \( L \) : plus la poutre est longue, plus la flexion domine, et l'écart devient tel qu'un contrôle formel paraît superflu. Mais ce raisonnement s'inverse dès que la géométrie change. Une poutre courte et fortement chargée — un linteau, une console massive, une poutre-cloison — peut parfaitement être dimensionnée par le cisaillement. Il en va de même d'une poutre portant une charge concentrée à proximité immédiate d'un appui, où le tranchant atteint presque la totalité de la charge sans que le moment n'augmente beaucoup. La règle pratique est donc simple : chiffrer le cisaillement une fois, en deux lignes, et écrire le taux obtenu. Une note qui l'affiche à 0,19 démontre qu'on l'a examiné ; une note qui n'en parle pas laisse planer le doute.

RÉSULTAT FINAL

\( M_{\text{Ed}} \) = 63,41 kN·m — avec q_Ed = 10,35 et q_ser = 7,22 kN/m

"Deux charges distinctes dès le départ — l'une pour la ruine, l'autre pour le confort."

Question 2 : Classe de section et résistance en flexion — W_pl et non W_el

Dans la tête de l'ingénieur

"On lit couramment, mot pour mot : « la formule de résistance \( M_{\text{c},\text{Rd}} = W_{\text{el}} \, f_{\text{y}}/\gamma_{\text{M0}} \) est donnée dans l'Eurocode 3, clause 6.2.5, pour les sections de classe 1 ou 2 ». La phrase se contredit elle-même : l'article 6.2.5 pose que pour ces classes, \( M_{\text{c},\text{Rd}} = M_{\text{pl},\text{Rd}} = W_{\mathbf{pl}} \, f_{\text{y}}/\gamma_{\text{M0}} \). Employer le module élastique sur une section de classe 1 revient à s'interdire la plastification qu'on vient de s'autoriser. L'écart est de 13,5 %."

Observation : Le catalogue donne \( W_{\text{el}} = 194{,}3 \) et \( W_{\text{pl}} = 220{,}6\ \text{cm}^3 \) pour l'IPE 200. Le rapport vaut 1,135, valeur typique d'un profilé en I.
Analyse du risque : L'erreur est du côté de la sécurité — elle sous-estime la résistance — mais elle fausse la marge annoncée et pourrait conduire à rejeter un profilé qui convient.
Choix stratégique : Établir la classe avant de choisir le module, plutôt que l'affirmer. Le catalogue tabule la classe en flexion pour S355 et S460 ; le S235, plus favorable, s'en déduit.
Alternative : Le rapport \( W_{\text{pl}}/W_{\text{el}} \) est le facteur de forme de la section. Il vaut environ 1,14 sur un IPE, 1,10 sur un HEA, 1,50 sur un rectangle plein et 1,70 sur un rond.
Objectif visé : Obtenir la résistance en flexion de la section, avec le module que sa classe autorise.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Classe 1 · \( M_{\text{c},\text{Rd}} = 51{,}8\ \text{kN·m} \) et non 45,7 — taux 1,22

Rappel Théorique : Classification des sections et modules de flexion

Le module de section à retenir n'est pas un choix mais une conséquence de la classe. Celle-ci mesure la capacité de la section à développer sa résistance plastique sans que ses parois ne voilent localement.

La classe décide du module employé : Classes 1 et 2 : \( W_{\text{pl}} \). Classe 3 : \( W_{\text{el}} \). Classe 4 : \( W_{\text{eff}} \). C'est l'article 6.2.5, et le choix ne se discute pas une fois la classe établie.
Les classes 1 et 2 diffèrent par la capacité de rotation : Toutes deux atteignent le moment plastique et emploient donc \( W_{\text{pl}} \). Seule la classe 1 peut ensuite tourner assez pour permettre une analyse plastique de la structure.
Le module plastique dépasse toujours le module élastique : Leur rapport est le facteur de forme de la section. Il vaut 1,14 sur un IPE, 1,50 sur un rectangle plein — la matière éloignée de l'axe neutre profite moins de la plastification.
La classe dépend de la nuance par le coefficient ε : Un acier plus résistant plastifie plus tard, donc ses parois voilent relativement plus tôt. Une section de classe 1 en S235 peut tomber en classe 2 ou 3 en S355 — jamais l'inverse.
Le catalogue tabule les classes des nuances supérieures : Les colonnes « Pure Bending y-y » donnent la classe en S355 et S460. Le S235 n'y figure pas, car il est toujours au moins aussi favorable.

Équations Fondamentales

Deux formules de résistance qui portent le même nom et donnent des résultats différents. Toute la difficulté de la question est de savoir laquelle s'applique — et c'est la classe de section, non l'ingénieur, qui en décide.

Résistance en flexion d'une section de classe 1 ou 2 — art. 6.2.5 :

Elle donne la capacité de la section, avec le module que sa classe autorise.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une section ne développe sa résistance plastique que si ses parois tiennent assez longtemps pour que toutes ses fibres atteignent la limite d'élasticité. Une paroi trop élancée voile avant, et la section ne peut alors mobiliser qu'une partie de sa capacité — d'où les quatre classes et les trois modules.

Contexte de validité : La formule suppose l'absence de déversement. Une poutre non maintenue latéralement relève de l'article 6.3.2, avec un coefficient réducteur \( \chi_{\text{LT}} \).
Avantage : Le module plastique est tabulé dans tous les catalogues au même titre que le module élastique. Il n'y a rien à calculer, seulement la bonne colonne à lire.
Paramètre clé : La classe de section. Elle fait varier la résistance de 13,5 % entre classe 2 et classe 3 sur un IPE, et davantage encore en classe 4.
Vérification : Le facteur de forme \( W_{\text{pl}}/W_{\text{el}} \) doit valoir environ 1,14 sur un IPE. Les quatre profilés candidats de cet exercice donnent 1,135 · 1,133 · 1,130 · 1,129.
Limite : La résistance calculée ici est celle de la section. Elle suppose aussi que l'effort tranchant reste sous la moitié de la résistance plastique au cisaillement — ce qui sera vérifié.

\[ \begin{aligned} M_{\text{c},\text{Rd}} = M_{\text{pl},\text{Rd}} = \frac{W_{\text{pl}} \, f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? La différence entre les deux modules se lit directement sur le diagramme des contraintes. Au moment élastique, la contrainte varie linéairement de zéro à l'axe neutre jusqu'à \( f_{\text{y}} \) en fibre extrême : seule la fibre la plus éloignée travaille à pleine capacité, tout le reste moins. Au moment plastique, la section entière a plastifié et chaque fibre travaille à \( f_{\text{y}} \), en compression au-dessus de l'axe neutre et en traction en dessous. Le gain est donc l'aire comprise entre le triangle élastique et le rectangle plastique — et il dépend entièrement de la répartition de la matière. Sur un rectangle plein, où la matière est uniformément distribuée, le gain atteint 50 %. Sur un profilé en I, où l'essentiel de la matière est déjà concentrée dans les semelles, donc déjà proche de \( f_{\text{y}} \) au stade élastique, il ne reste que l'âme à « rattraper » : le gain tombe à 14 %. Autrement dit, le facteur de forme mesure exactement ce que la section gaspillait au stade élastique — et un profilé en I en gaspille peu, ce qui est précisément sa qualité.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{c},\text{Rd}} \) : résistance de calcul en flexion de la section transversale, unité : \( \text{kN} \cdot \text{m} \)
\( M_{\text{pl},\text{Rd}} \) : moment résistant plastique, atteint par les classes 1 et 2, unité : \( \text{kN} \cdot \text{m} \)
\( W_{\text{pl}} \) : module de flexion plastique, tabulé au catalogue, unité : \( \text{cm}^3 \)
\( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de la nuance d'acier retenue, unité : \( \text{MPa} \)
\( \gamma_{\text{M0}} \) : coefficient partiel de résistance des sections, fixé à 1,00 en France, unité : —

Résistance en flexion d'une section de classe 3 — art. 6.2.5 :

Elle donne la capacité d'une section qui voile avant d'avoir pu plastifier entièrement, et se limite donc au moment élastique.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une section de classe 3 atteint la limite d'élasticité en fibre extrême et s'arrête là : ses parois voilent avant que la plastification n'ait eu le temps de se propager vers l'axe neutre. Le moment résistant n'est donc plus le moment plastique mais le moment élastique, calculé avec le module \( W_{\text{el}} \). C'est la même formule que la précédente, avec un module plus petit — et c'est précisément cette formule que l'on emploie volontiers, après avoir pourtant annoncé la classe 1.

Contexte de validité : Le module à retenir est \( W_{\text{el},\text{min}} \), le plus petit des modules élastiques de la section. Sur un profilé symétrique comme un IPE, les deux sont égaux et la précision ne joue pas.
Avantage : Elle est toujours du côté de la sécurité : l'appliquer à une section de classe 1 ou 2 sous-estime la capacité sans jamais la surestimer. C'est ce qui rend cette confusion sans danger.
Paramètre clé : Le rapport \( W_{\text{pl}}/W_{\text{el}} \), ou facteur de forme, qui mesure exactement ce que l'on perd en restant élastique : 14 % sur un IPE, 50 % sur un rectangle plein.
Vérification : Le catalogue donne les deux modules dans deux colonnes voisines. Un écart de 13 à 14 % entre deux calculs de résistance signale immédiatement que l'un des deux a lu la mauvaise colonne.
Limite : Employer cette formule sur une section de classe 1 ou 2 n'est pas dangereux mais fausse la marge annoncée, et peut conduire à rejeter un profilé qui convenait.

\[ \begin{aligned} M_{\text{c},\text{Rd}} = M_{\text{el},\text{Rd}} = \frac{W_{\text{el},\text{min}} \, f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'existence de deux formules pour la même grandeur traduit un fait physique et non une convention de calcul : une section fléchie ne ruine pas toujours de la même façon. Si ses parois sont assez trapues, la plastification qui commence en fibre extrême progresse tranquillement vers l'axe neutre jusqu'à ce que toute la hauteur ait plastifié — c'est le moment plastique, et la section se comporte alors comme une rotule. Si ses parois sont élancées, la partie comprimée voile — elle gondole hors de son plan — avant que ce processus n'ait pu s'achever, et la section perd sa capacité sans avoir atteint son potentiel. Les quatre classes de l'Eurocode ne sont donc pas des catégories administratives : elles décrivent quatre modes de ruine distincts, et le module de flexion à employer n'est que la conséquence chiffrée du mode auquel on a affaire. C'est pourquoi la classe doit être établie avant toute chose, et jamais affirmée.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{c},\text{Rd}} \) : résistance de calcul en flexion de la section transversale, unité : \( \text{kN} \cdot \text{m} \)
\( M_{\text{el},\text{Rd}} \) : moment résistant élastique, plafond des sections de classe 3, unité : \( \text{kN} \cdot \text{m} \)
\( W_{\text{el},\text{min}} \) : plus petit module de flexion élastique de la section, unité : \( \text{cm}^3 \)
\( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de la nuance d'acier retenue, unité : \( \text{MPa} \)
\( \varepsilon \) : coefficient de nuance, qui commande les limites de classification, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Classe 1 ou 2, donc \( M_{\text{c},\text{Rd}} = W_{\text{el}} f_{\text{y}}/\gamma_{\text{M0}} \)…"

L'approche d'ingénieur : La phrase énonce la bonne condition et applique la mauvaise formule. C'est une contradiction interne : si la section est de classe 1 ou 2, c'est précisément qu'elle peut développer son moment plastique.

L'erreur : Employer \( W_{\text{el}} = 194{,}3\ \text{cm}^3 \) sur une section de classe 1. L'article 6.2.5 impose \( W_{\text{pl}} = 220{,}6 \), soit 13,5 % de plus.
La bonne méthode : Établir la classe, puis lire le module correspondant. Ici : classe 1 en flexion, donc \( M_{\text{c},\text{Rd}} = 220{,}6 \times 235 = 51{,}8\ \text{kN·m} \).
L'astuce de pro : Le contrôle est immédiat : si l'on emploie \( W_{\text{el}} \), le facteur de forme de 1,14 qu'on gaspille se retrouve exactement dans l'écart de résistance. Un écart de 13 à 14 % entre deux calculs signale ce choix.
Le moyen mnémotechnique : « La classe choisit le module, pas l'ingénieur. » Une fois la classe établie, l'article 6.2.5 ne laisse aucune latitude.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Module de section : le catalogue le donne en \( \text{cm}^3 \). Multiplié par une contrainte en MPa, il faut le convertir en \( \text{mm}^3 \) par 1 000 — les 220,6 cm³ valent 220 600 mm³.
Résistance : le produit \( \text{mm}^3 \times \text{N}/\text{mm}^2 \) donne des \( \text{N} \cdot \text{mm} \), convertis en kN·m par un million. C'est la conversion la plus souvent ratée de cette question.
Une voie plus sûre : travailler en kN et cm. La limite d'élasticité vaut alors 23,5 kN/cm², le module reste en cm³, et le produit sort directement en kN·cm — qu'il suffit de diviser par 100.
Facteur de forme : rapport de deux modules, donc sans dimension. Il ne dépend que de la géométrie de la section, jamais de la nuance ni des charges.
Coefficient partiel : \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \) en France, sans dimension. Il divise la résistance et ne change donc rien numériquement, mais il doit figurer pour que la note reste transposable.

Trois étapes : la classe de section établie plutôt qu'affirmée, la résistance qu'elle autorise, puis la comparaison avec ce que donne le module élastique.

1. Résolution Numérique Établir la classe avant de choisir le module

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est elle qui décide du module, et qu'on l'affirme volontiers sans jamais l'établir.

Méthodologie du calcul :

On lit la classe tabulée pour les nuances supérieures, puis on en déduit celle du S235 par un raisonnement sur le coefficient de nuance.

Substitution : Catalogue IPE 200, colonnes « Pure Bending y-y » : 1 en S355 et 1 en S460.
Piège évité : Chercher la classe du S235 dans le catalogue. Elle n'y est pas tabulée, parce qu'elle est toujours au moins aussi favorable que celle des nuances supérieures.
Hypothèse validée : \( \varepsilon \) passe de 0,814 en S355 à 1,00 en S235 : les limites de classification sont 23 % plus généreuses. Une section de classe 1 en S355 l'est a fortiori en S235.
Vérification croisée : Le raisonnement se confirme sur les autres profilés : l'IPE 240 est également classe 1 en flexion en S355 et S460, l'IPE 270 aussi. Toute la gamme IPE est de classe 1 en flexion.
Finalité : Établir que le module plastique est le module à employer.

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{\text{S235}} &= \sqrt{\frac{235}{f_{\text{y}}}} = \sqrt{\frac{235}{235}} \\ &= 1{,}00 \ \gt \ \varepsilon_{\text{S355}} = 0{,}814 \\ &\Rightarrow \ \text{limites de classification } 23 \ \% \ \text{plus genereuses} \\ &\Rightarrow \ \textbf{classe 1} \ \text{en S235, a fortiori} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'IPE 200 est de classe 1 en flexion, en S235 comme en S355 et en S460. Le module plastique s'applique donc, quelle que soit la nuance envisagée — ce qui simplifiera la comparaison de la question 4.

Ordre de grandeur : Toute la gamme IPE est de classe 1 en flexion jusqu'en S460. Ce n'est pas un hasard : les lamineurs dimensionnent les épaisseurs pour que le profilé développe sa pleine capacité.
Impact sur la suite : C'est \( W_{\text{pl}} = 220{,}6\ \text{cm}^3 \) qui entrera dans la résistance, et non les 194,3 du module élastique.
Cohérence : En compression, le même catalogue donne classe 2 en S355 et 3 en S460 pour l'IPE 200. La classification dépend bien du mode de sollicitation, pas seulement de la section.
Attention : Le raisonnement « classe 1 en S355 donc classe 1 en S235 » ne fonctionne que dans ce sens. Une section de classe 1 en S235 peut fort bien tomber en classe 3 en S460.
Comparaison : Un IPE 600, plus élancé d'âme, reste classe 1 en flexion mais tombe en classe 4 en compression dès le S355. La flexion est bien plus clémente que la compression pure.

Remarque pédagogique : Le fait que la flexion soit systématiquement plus clémente que la compression mérite d'être compris, car il explique la structure même des tableaux de classification. Dans une âme fléchie, la moitié supérieure est comprimée et la moitié inférieure tendue ; or la traction est un état intrinsèquement stable, et cette moitié tendue joue le rôle d'un appui élastique continu qui empêche la moitié comprimée de voiler. La limite de classification s'en trouve considérablement relevée : 72ε en flexion contre 33ε en compression pure, soit plus du double. C'est pourquoi un profilé de plancher, sollicité en flexion, est presque toujours de classe 1, tandis que le même profilé employé en poteau peut tomber en classe 4. La conséquence pratique est directe : la classification doit être refaite pour chaque mode de sollicitation, et un profilé validé en flexion ne l'est pas automatiquement en compression.

Le module que la classe autorise

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la capacité qui sera confrontée au moment de calcul, et parce que le module employé est souvent le mauvais.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule de l'article 6.2.5 pour une section de classe 1, avec le module plastique tabulé.

Substitution : \( W_{\text{pl}} = 220{,}6\ \text{cm}^3 \), \( f_{\text{y}} = 235\ \text{MPa} = 23{,}5\ \text{kN}/\text{cm}^2 \) et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \).
Piège évité : Reprendre les 194,3 cm³ du module élastique. Le catalogue donne les deux modules dans deux colonnes voisines, et il est facile de lire la mauvaise.
Hypothèse validée : La poutre est supposée maintenue latéralement par le plancher, ce qui écarte le déversement. C'est une hypothèse légitime pour une solive supportant une dalle.
Vérification croisée : Le rapport des deux résistances doit valoir celui des deux modules : \( 51{,}84/45{,}66 = 1{,}135 = W_{\text{pl}}/W_{\text{el}} \). Identique, comme il se doit.
Finalité : Obtenir la capacité réelle de la section en flexion.

\[ \begin{aligned} M_{\text{c},\text{Rd}} &= \frac{W_{\text{pl}} \, f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \\ &= \frac{220{,}6 \times 23{,}5}{1{,}00} \\ &= 5\,184 \ \text{kN} \cdot \text{cm} \\ &= \mathbf{51{,}84} \ \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La résistance en flexion vaut 51,84 kN·m, contre 45,59 avec le module élastique. L'écart de 13,5 % est exactement le facteur de forme de la section.

Ordre de grandeur : Le facteur de forme de 1,135 est caractéristique d'un IPE. Sur un HEA il tomberait à 1,10, sur un rectangle plein il monterait à 1,50.
Impact sur la suite : Le taux de travail passe de 1,389 à 1,223. Le verdict ne change pas — la section reste insuffisante — mais la marge annoncée est fausse.
Cohérence : Le rapport des deux résistances vaut exactement celui des deux modules, ce qui confirme que tout le reste est identique : même \( f_{\text{y}} \), même coefficient partiel.
Attention : L'erreur va dans le sens de la sécurité. Elle ne met personne en danger, mais elle fausse le diagnostic et pourrait faire rejeter un profilé acceptable.
Comparaison : En S355, le même module plastique donnerait 78,31 kN·m au lieu des 68,98 du module élastique — l'écart de 13,5 % se propage identiquement.

Remarque pédagogique : Il vaut la peine de préciser dans quel cas le module élastique serait le bon, car la confusion n'est pas absurde : elle correspond à une situation réelle. Employer \( W_{\text{el}} \) est la bonne formule pour une section de classe 3, c'est-à-dire une section dont les parois voilent avant que la plastification ne se soit propagée dans toute la hauteur. Sur un profilé laminé courant sollicité en flexion, ce cas ne se présente pratiquement jamais — toute la gamme IPE est de classe 1 jusqu'en S460. Mais il devient fréquent sur les profilés reconstitués soudés à âme mince, sur les profilés formés à froid, et sur les sections en caisson de faible épaisseur. L'habitude de raisonner en élastique vient d'ailleurs de là, et plus encore de la période antérieure aux Eurocodes, où les règles françaises CM 66 travaillaient en contraintes admissibles et n'admettaient pas la plastification. Passer à \( W_{\text{pl}} \) n'est donc pas un raffinement de calcul : c'est un changement de modèle de ruine, et il vaut 14 % de capacité gratuite sur tout profilé de classe 1 ou 2.

Ce que donne le module élastique, et ce qu'il coûte

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il faut chiffrer l'écart pour savoir s'il change le verdict ou seulement la marge, et parce que le même calcul mené deux fois révèle exactement où se loge la différence.

Méthodologie du calcul :

On reprend la formule de la classe 3 avec le module élastique du catalogue, toutes les autres grandeurs restant identiques.

Substitution : \( W_{\text{el}} = 194{,}3\ \text{cm}^3 \) au lieu de 220,6, avec la même limite d'élasticité et le même coefficient partiel.
Piège évité : Croire que l'écart provient d'un autre paramètre. Seul le module change : le rapport des deux résistances doit donc être exactement celui des deux modules.
Hypothèse validée : Cette formule serait la bonne si la section était de classe 3. Elle ne l'est pas — le calcul précédent l'a établi — mais elle correspond à une situation réelle et fréquente sur les profilés reconstitués soudés.
Vérification croisée : \( 51{,}84/45{,}66 = \mathbf{1{,}135} \), identique au rapport \( W_{\text{pl}}/W_{\text{el}} = 220{,}6/194{,}3 \). La cohérence est parfaite, ce qui confirme qu'aucune autre erreur ne s'est glissée.
Finalité : Mesurer en pourcentage ce que l'emploi du mauvais module coûte à la marge annoncée.

\[ \begin{aligned} M_{\text{c},\text{Rd},\text{el}} &= \frac{W_{\text{el}} \, f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \\ &= \frac{194{,}3 \times 23{,}5}{1{,}00} \\ &= 4\,566 \ \text{kN} \cdot \text{cm} \\ &= \mathbf{45{,}66} \ \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La lecture élastique donne 45,66 kN·m, soit 13,5 % de moins que la valeur correcte. L'écart est exactement le facteur de forme de la section — aucune autre cause n'intervient.

Ordre de grandeur : Un écart de 13,5 % sur une résistance est important sans être spectaculaire. C'est précisément ce qui rend l'erreur difficile à repérer : elle ne produit aucun résultat aberrant.
Impact sur la suite : Le taux de travail passera de 1,223 à 1,389. Le verdict ne changera pas — la section reste insuffisante — mais la marge annoncée sera fausse.
Cohérence : Le rapport des deux résistances vaut exactement celui des deux modules, ce qui confirme que tout le reste est identique : même \( f_{\text{y}} \), même coefficient partiel, même section.
Attention : L'erreur va dans le sens de la sécurité. Elle ne met personne en danger, mais elle fausse le diagnostic et pourrait faire rejeter un profilé acceptable — ce qui coûte de l'acier.
Comparaison : En S355, le même écart de 13,5 % séparerait 78,31 de 68,98 kN·m. Le facteur de forme ne dépend pas de la nuance : il est purement géométrique.

Remarque pédagogique : Mener le calcul deux fois, avec les deux modules, n'est pas une redondance mais une méthode de contrôle qu'il vaut la peine d'adopter. Lorsqu'on soupçonne qu'un résultat publié diffère du sien, la première question à se poser est : quel rapport les sépare ? Un rapport de 1,135 sur une résistance en flexion désigne immédiatement le facteur de forme d'un profilé en I, donc une confusion entre les deux modules. Un rapport de 1,5 désignerait un rectangle plein, un rapport de 1,10 un profilé à larges ailes. Un rapport de 1,5 ou de 1,35 sur une charge désignerait un coefficient partiel oublié ; un rapport de 1 000 une conversion d'unité ; un rapport de 2 ou de 8 une formule de flèche confondue avec une autre condition d'appui. Cette lecture par les rapports permet de localiser une divergence en quelques secondes, là où une relecture ligne à ligne prendrait un quart d'heure. Elle suppose seulement d'avoir en tête le petit répertoire des rapports caractéristiques, et il est court.

L'IPE 200 en S235 est-il suffisant ?

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la question posée, et parce que la réponse ne change pas — seule la marge change.

Méthodologie du calcul :

On confronte le moment de calcul à la résistance de la section, avec les deux modules, pour mesurer ce que l'erreur coûte.

Substitution : \( M_{\text{Ed}} = 63{,}41\ \text{kN} \cdot \text{m} \) contre \( M_{\text{c},\text{Rd}} = 51{,}84 \) avec \( W_{\text{pl}} \) et 45,66 avec \( W_{\text{el}} \).
Piège évité : Conclure que le verdict change. Il ne change pas : la section est bien insuffisante dans les deux lectures. C'est le chiffre qui diffère, pas la conclusion.
Hypothèse validée : Le cisaillement est supposé non dimensionnant. Contrôle : \( V_{\text{Ed}} = 36{,}2 \) contre \( V_{\text{pl},\text{Rd}} = 190\ \text{kN} \), soit un taux de 0,19. Confirmé.
Vérification croisée : Le rapport des deux taux vaut \( 1{,}389/1{,}223 = \mathbf{1{,}135} \), encore une fois le facteur de forme. Toute la chaîne est cohérente.
Finalité : Statuer sur la résistance et mesurer ce qu'il manque.

\[ \begin{aligned} \text{taux}_{\text{ELU}} &= \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{\text{c},\text{Rd}}} \\ &= \frac{63{,}41}{51{,}84} \\ &= \mathbf{1{,}223} \ \gt \ 1{,}00 \ \Rightarrow \ \text{INSUFFISANT} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le taux vaut 1,223 : l'IPE 200 en S235 est insuffisant en résistance. La lecture élastique conclut dans le même sens avec 1,389 — la conclusion est la même, le chiffre non.

Ordre de grandeur : Il manque 22 % de capacité, et non 39 %. La différence compte : elle rapproche sensiblement la section du seuil d'acceptabilité.
Impact sur la suite : Ce taux sera comparé à celui de la flèche en question 3. C'est leur rapport qui dira lequel des deux critères gouverne, et donc quel levier employer.
Cohérence : Le cisaillement ne pose aucun problème : taux 0,19. Sur une poutre de 7 m de portée sous charge répartie, c'est toujours la flexion qui domine largement.
Attention : Le cisaillement ne se calcule presque jamais, pas même pour l'écarter. C'est une omission mineure ici, mais une note complète le mentionne.
Comparaison : Il faudrait \( W_{\text{pl}} \ge 63{,}41 \times 1\,000/235 = \mathbf{270\ \text{cm}^3} \) pour passer en S235 — soit un IPE 220, dont le \( W_{\text{pl}} \) vaut 285,4.

Remarque pédagogique : Le dernier point de comparaison prépare la suite et mérite d'être noté dès maintenant : le module plastique strictement nécessaire pour satisfaire l'ELU en S235 vaut 270 cm³, et l'IPE 220 en offre 285,4. Autrement dit, un seul cran de profilé suffirait à régler le problème de résistance. Cette observation est importante parce qu'elle situe l'ampleur réelle du déficit : la section n'est pas gravement sous-dimensionnée, elle manque d'un cran. On verra en question 3 que le critère de flèche, lui, en réclame bien davantage — et c'est tout l'intérêt de mener les deux vérifications avant de conclure. Un ingénieur qui s'arrêterait à la résistance commanderait un IPE 220, le poserait, et découvrirait un plancher qui vibre. L'ordre dans lequel on mène les vérifications n'a pas d'importance ; l'ordre dans lequel on conclut en a beaucoup.

RÉSULTAT FINAL

\( M_{\text{c},\text{Rd}} \ ; \ \text{taux} \) = 51,84 ; 1,223 kN·m et sans dimension

"La classe choisit le module, pas l'ingénieur — et la classe 1 impose W_pl."

Question 3 : Flèche à l'ELS et pourquoi la nuance n'y peut rien

Dans la tête de l'ingénieur

"C'est ici que se joue le cœur du sujet, et la démonstration est juste et bien menée. La flèche vaut 55,4 mm pour une limite de 28, et elle ne dépend que de \( E \) et de \( I \) — jamais de \( f_{\text{y}} \). Or le module d'élasticité de l'acier vaut 210 000 MPa quelle que soit la nuance : passer en S355 ne changera pas d'un millimètre la déformation de cette poutre. Le titre de l'exercice pose une question dont la réponse est ici, et elle est négative."

Observation : Le rapport des deux critères vaut \( 1{,}977/1{,}223 = \mathbf{1{,}62} \) en S235. La flèche gouverne déjà largement — et le passage en S355 porterait ce rapport à 2,44.
Analyse du risque : Croire qu'un acier plus résistant règle un problème de déformation est l'erreur de raisonnement la plus coûteuse de la construction métallique. Elle fait acheter du S355 qui ne sert à rien.
Choix stratégique : Calculer la flèche, la comparer, puis mesurer le rapport entre les deux critères — c'est lui qui désigne le levier à employer.
Alternative : On peut inverser la formule pour obtenir directement l'inertie requise : \( I \ge 5 q_{\text{ser}} L^4/(384 E f_{\text{lim}}) \). Cela évite de tester les profilés un par un.
Objectif visé : Établir la flèche, conclure sur le critère de service, et démontrer que la nuance n'a aucune prise sur lui.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( f = 55{,}4\ \text{mm} \) pour \( f_{\text{lim}} = 28 \) — taux 1,98, identique en S355

Rappel Théorique : Flèche d'une poutre et propriétés du matériau

Deux propriétés du matériau interviennent en construction métallique, et il est capital de ne pas les confondre : la résistance, qui dépend de la nuance, et la rigidité, qui n'en dépend pas.

La flèche d'une poutre uniformément chargée vaut 5qL⁴/384EI : Résultat de la double intégration de la courbure. La portée y intervient à la puissance quatre : c'est la sensibilité la plus forte de tout le calcul de structure.
Le module d'élasticité est identique pour toutes les nuances : \( E = 210\,000\ \text{MPa} \), du S235 au S460. Il mesure la raideur des liaisons atomiques du fer, que les éléments d'alliage ne modifient pratiquement pas.
La rigidité est donc une propriété purement géométrique : Elle se joue entièrement sur le moment quadratique \( I \). Seul un changement de section — ou de portée, ou de schéma statique — peut y changer quelque chose.
La flèche se vérifie sous les charges de service : Sans coefficient de pondération. On ne cherche pas à prévenir un effondrement mais un désagrément : vibrations, fissures de cloisons, portes qui coincent.
L'EN 1990 distingue plusieurs flèches : Son annexe A1.4 définit \( w_{\text{max}} \), flèche totale, et \( w_3 \), part due aux seules actions variables. Les critères associés diffèrent, et relèvent de l'annexe nationale.

Équations Fondamentales

Deux formules distinctes : celle qui donne la déformation, et celle qui fixe la limite à ne pas dépasser. La difficulté n'est pas dans le calcul mais dans ce qu'on en conclut sur le levier à employer.

Flèche maximale d'une poutre isostatique uniformément chargée :

Elle mesure la déformation de la poutre en usage normal, sous charges de service.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une poutre parfaitement résistante peut être parfaitement inutilisable. Un plancher qui s'affaisse de cinq centimètres ne s'effondre pas, mais il fissure les cloisons, bloque les portes, et donne aux occupants une sensation de sol mouvant. La vérification à l'ELS ne relève pas de la sécurité mais de l'aptitude au service — et elle gouverne bien plus souvent qu'on ne le croit.

Contexte de validité : La formule vaut pour une poutre isostatique uniformément chargée. Une poutre continue sur trois appuis fléchirait 2,5 fois moins pour la même portée.
Avantage : La formule s'inverse directement pour donner l'inertie requise, ce qui transforme une vérification en dimensionnement : \( I \ge 5 q L^4/(384 E f_{\text{lim}}) \).
Paramètre clé : La portée, à la puissance quatre. Réduire la portée de 15 % divise la flèche par deux — aucun autre levier n'approche ce rendement.
Vérification : Contrôle par la flèche relative : \( 55{,}35/7\,000 = 1/126{,}5 \). Un plancher qui fléchit de L/127 est manifestement hors de toute pratique acceptable.
Limite : Le critère de \( L/250 \) est une donnée de l'étude. L'EN 1993-1-1, art. 7.2, impose de vérifier les déformations et renvoie les valeurs limites à l'annexe nationale ou à l'accord contractuel.

\[ \begin{aligned} f_{\text{max}} = \frac{5 \, q_{\text{ser}} \, L^4}{384 \, E \, I_{\text{y}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'invariance du module d'élasticité entre nuances est un fait remarquable qui mérite d'être compris plutôt que retenu. La rigidité d'un métal mesure la force nécessaire pour écarter ses atomes de leur position d'équilibre : c'est une propriété du réseau cristallin du fer lui-même, gouvernée par la nature des liaisons métalliques, et les quelques dixièmes de pour cent de carbone, de manganèse ou de silicium qu'on ajoute pour faire un S355 plutôt qu'un S235 n'y changent rien. La résistance, en revanche, mesure tout autre chose : la difficulté qu'ont les dislocations à se déplacer dans ce réseau. Or ces éléments d'alliage font précisément cela — ils créent des obstacles au mouvement des dislocations, par précipitation, par affinement du grain, par distorsion locale du réseau. On peut donc doubler la limite d'élasticité d'un acier sans toucher à son module d'élasticité, et c'est exactement ce que fait la métallurgie des aciers de construction. La conséquence pour l'ingénieur est brutale et sans exception : aucune nuance d'acier n'achète de la rigidité.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{max}} \) : flèche maximale à mi-portée sous les charges de service, unité : \( \text{mm} \)
\( q_{\text{ser}} \) : charge de service non pondérée établie en question 1, unité : \( \text{N}/\text{mm} \)
\( E \) : module d'élasticité de l'acier, identique pour toutes les nuances, unité : \( \text{MPa} \)
\( I_{\text{y}} \) : moment quadratique de la section selon l'axe de flexion, unité : \( \text{mm}^4 \)
\( L \) : portée entre appuis, intervenant à la puissance quatre, unité : \( \text{mm} \)

Flèche admissible — NF EN 1993-1-1, art. 7.2 :

Elle fixe la déformation au-delà de laquelle la structure cesse d'être apte au service, indépendamment de toute question de résistance.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une poutre parfaitement résistante peut être parfaitement inutilisable. Un plancher qui s'affaisse de cinq centimètres ne s'effondre pas, mais il fissure les cloisons, bloque les portes et donne aux occupants une sensation de sol mouvant. La vérification ne relève donc pas de la sécurité mais de l'aptitude au service — et elle gouverne bien plus souvent qu'on ne le croit sur les poutres de grande portée.

Contexte de validité : L'article 7.2 impose de vérifier les déformations mais renvoie les valeurs à l'annexe nationale. La limite n'est donc jamais dans la norme européenne elle-même.
Avantage : L'expression sous forme de fraction de la portée rend le critère comparable d'un projet à l'autre : L/250 signifie la même exigence sur une poutre de 3 m et sur une poutre de 12 m.
Paramètre clé : Le dénominateur, qui traduit une exigence d'usage et non un calcul. Il vaut couramment 250 pour une poutre courante, 300 à 500 lorsque des cloisons fragiles sont supportées.
Vérification : Contrôle par la flèche relative : \( 55{,}35/7\,000 = 1/126{,}5 \). Un plancher qui fléchit de L/127 est manifestement hors de toute pratique acceptable.
Limite : Le critère de \( L/250 \) est ici une donnée de l'étude. L'annexe nationale française ne tabule pas de flèche admissible pour les planchers : elle relève de la convention de projet.

\[ \begin{aligned} f_{\text{lim}} = \frac{L}{250} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le choix du dénominateur n'a rien d'un paramètre de calcul : il traduit une exigence d'usage, et sa valeur se comprend en regardant ce qui repose sur la poutre. Une charpente de hangar, qui ne supporte qu'une couverture souple et que personne ne regarde de près, tolère L/200 sans difficulté. Un plancher courant se cale sur L/250 à L/300, parce qu'au-delà les occupants perçoivent l'affaissement — l'œil humain détecte assez bien une flèche supérieure au millième de la portée. Un plancher supportant des cloisons maçonnées ou des menuiseries descend à L/500, non par confort mais parce que ces éléments, très raides, se fissurent avant que la poutre n'ait fini de fléchir. On voit que le critère ne protège pas la poutre : il protège ce qui est posé dessus. C'est pourquoi il ne peut pas figurer dans une norme de calcul de l'acier et relève de l'annexe nationale, voire du cahier des charges du projet.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{lim}} \) : flèche admissible, fraction de la portée fixée par le projet, unité : \( \text{mm} \)
\( L \) : portée de la poutre entre appuis, unité : \( \text{mm} \)
\( w_{\text{max}} \) : flèche totale au sens de l'EN 1990, annexe A1.4, unité : \( \text{mm} \)
\( w_3 \) : part de flèche due aux seules actions variables, unité : \( \text{mm} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"La poutre est trop souple, prenons du S355…"

L'approche d'ingénieur : Ce réflexe mérite qu'on s'en garde, et c'est le point le plus fort. Il vaut la peine de le chiffrer, car l'intuition contraire est tenace.

L'erreur : Croire qu'un acier « plus fort » est aussi « plus raide ». La flèche ne contient aucun \( f_{\text{y}} \) : elle vaut 55,4 mm en S235 comme en S355 comme en S460.
La bonne méthode : Identifier le critère gouvernant avant de choisir le levier. Ici le rapport ELS/ELU vaut 1,62 : c'est la flèche qui décide, et seule la géométrie peut y agir.
L'astuce de pro : Le passage en S355 ne fait pas que ne rien régler : il aggrave le déséquilibre. Le rapport ELS/ELU passe de 1,62 à 2,44, le seul critère corrigé étant celui qui ne gouvernait pas.
Le moyen mnémotechnique : « La nuance porte, la géométrie tient. » \( f_{\text{y}} \) donne la capacité, \( I \) donne la raideur — et ce sont deux problèmes distincts.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Charge de service : convertie de kN/m en N/mm, ce qui revient à ne rien changer numériquement — 7,224 kN/m valent 7,224 N/mm. C'est la conversion la plus commode et la moins connue.
Portée : convertie en millimètres, soit 7 000 mm. Élevée à la puissance quatre, elle donne \( 2{,}401 \times 10^{15} \) — un nombre qu'il faut manipuler en notation scientifique.
Moment quadratique : converti des \( \text{cm}^4 \) du catalogue en \( \text{mm}^4 \) par \( 10^4 \). Les 1 943 cm⁴ valent \( 1{,}943 \times 10^7\ \text{mm}^4 \).
Module d'élasticité : en MPa, identiques à des \( \text{N}/\text{mm}^2 \). Avec toutes les autres grandeurs en N et mm, la flèche sort directement en millimètres.
Flèche relative : rapport de deux longueurs, donc sans dimension. Elle s'exprime conventionnellement sous la forme \( L/n \), ce qui permet de la comparer d'un projet à l'autre indépendamment de la portée.

Trois étapes : la flèche sous charges de service, la comparaison à la limite, puis la démonstration que la nuance n'y peut rien.

1. Résolution Numérique La déformation en usage normal

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur qui décidera du dimensionnement, et parce que la puissance quatre sur la portée en fait la plus sensible de l'exercice.

Méthodologie du calcul :

On convertit toutes les grandeurs en newtons et millimètres, puis on applique la formule classique de la poutre isostatique uniformément chargée.

Substitution : \( q_{\text{ser}} = 7{,}224\ \text{N/mm} \), \( L = 7\,000\ \text{mm} \), \( E = 210\,000\ \text{MPa} \) et \( I_{\text{y}} = 1{,}943 \times 10^7\ \text{mm}^4 \).
Piège évité : Employer la charge pondérée. Avec 10,352 N/mm on obtiendrait 79,3 mm au lieu de 55,4, soit une surestimation de 43 % qui ferait surdimensionner sans raison.
Hypothèse validée : La flèche est calculée sous la totalité des charges de service, comme le pose l'étude. C'est la flèche \( w_{\text{max}} \) de l'EN 1990.
Vérification croisée : Contrôle par la flèche relative : \( 55{,}35/7\,000 = \mathbf{L/126{,}5} \). Un plancher courant se situe entre L/250 et L/500 — on en est très loin.
Finalité : Obtenir la déformation à confronter au critère de service.

\[ \begin{aligned} f_{\text{max}} &= \frac{5 \times 7{,}224 \times 7\,000^4}{384 \times 210\,000 \times 1{,}943 \times 10^7} \\ &= \frac{8{,}672 \times 10^{16}}{1{,}567 \times 10^{15}} \\ &= \mathbf{55{,}35} \ \text{mm} \ = \ \frac{L}{126{,}5} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La flèche vaut 55,35 mm. C'est \( L/126 \) — une déformation visible à l'œil nu sur une portée de 7 mètres, et totalement hors des pratiques acceptables.

Ordre de grandeur : Plus de cinq centimètres d'affaissement au milieu d'une solive. Un occupant le verrait, le sentirait, et les cloisons posées dessus fissureraient.
Impact sur la suite : Cette valeur sera comparée aux 28 mm de la limite. Le taux dépassera 1,9 — bien plus que le 1,22 de la résistance.
Cohérence : La flèche relative de L/126 est un contrôle indépendant du calcul : elle situe immédiatement le résultat par rapport aux ordres de grandeur professionnels, sans repasser par la formule.
Attention : Le calcul ne présente aucun piège ici. La gestion des unités, souvent délicate ici, est correctement menée et bien expliquée.
Comparaison : La même poutre sur trois appuis — deux travées de 3,50 m — fléchirait de 1,4 mm seulement : la flèche varie comme la puissance quatre de la portée de travée.

Remarque pédagogique : Le contrôle par la flèche relative mérite d'être systématisé, car il détecte instantanément les erreurs d'ordre de grandeur que la formule ne signale pas. Exprimer la flèche sous la forme \( L/n \) plutôt qu'en millimètres permet de la comparer directement aux repères professionnels, indépendamment de la portée : un plancher courant se situe entre L/250 et L/500, une charpente de couverture accepte L/200, un pont-roulant exige L/750 ou davantage. Obtenir L/126 comme ici signale immédiatement une poutre très insuffisante ; obtenir L/2000 signalerait à l'inverse un surdimensionnement considérable ou une erreur de calcul. Ce repère est d'autant plus utile qu'il est indépendant du système d'unités : c'est un pur rapport, et il survit à toutes les erreurs de conversion qui font la difficulté de ce calcul. Sur une formule contenant une puissance quatre et trois conversions d'unités, disposer d'un contrôle qui ne dépend d'aucune des deux est précieux.

Le verdict de service

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est ce critère qui gouvernera, et parce que son origine mérite d'être précisée.

Méthodologie du calcul :

On calcule la flèche admissible à partir de la fraction de portée donnée par l'étude, puis on forme le taux de travail.

Substitution : \( f_{\text{lim}} = L/250 = 7\,000/250 = 28{,}0\ \text{mm} \), critère donné par l'étude.
Piège évité : Présenter \( L/250 \) comme une prescription de l'Eurocode. L'EN 1993-1-1 renvoie les valeurs à l'annexe nationale ; ce critère est ici une donnée de projet.
Hypothèse validée : L'annexe nationale ne tabule aucune flèche admissibles pour les planchers. Le critère est donc traité comme donnée de l'étude et signalé comme tel.
Vérification croisée : Rapport des deux critères : \( 1{,}977/1{,}223 = \mathbf{1{,}62} \). La flèche est 62 % plus contraignante que la résistance — c'est elle qui dimensionne.
Finalité : Statuer sur le critère de service et identifier lequel des deux gouverne.

\[ \begin{aligned} \text{taux}_{\text{ELS}} &= \frac{f_{\text{max}}}{f_{\text{lim}}} \\ &= \frac{55{,}35}{7\,000/250} \\ &= \frac{55{,}35}{28{,}0} \\ &= \mathbf{1{,}977} \ \gt \ 1{,}00 \ \Rightarrow \ \text{NON CONFORME} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le taux de service vaut 1,977 : la flèche est presque le double de la limite. Et surtout, elle est 62 % plus contraignante que la résistance — c'est elle qui dimensionne cette poutre.

Ordre de grandeur : Un taux de 1,98 signifie qu'il faudrait pratiquement doubler l'inertie. C'est un déficit d'un tout autre ordre que les 22 % de la résistance.
Impact sur la suite : Le critère gouvernant étant l'ELS, le levier à employer est géométrique. C'est ce que la question 4 exploitera.
Cohérence : Le rapport de 1,62 entre les deux critères est le chiffre le plus utile de l'exercice : il désigne sans ambiguïté quel paramètre modifier.
Attention : Le critère de \( L/250 \) est une donnée de l'étude, non une ligne de tableau. L'EN 1993-1-1 impose de vérifier et renvoie les valeurs à l'annexe nationale.
Comparaison : Avec un critère plus sévère de \( L/300 \) — courant sous cloisons fragiles — la limite tomberait à 23,3 mm et le taux monterait à 2,37.

Remarque pédagogique : L'EN 1990 distingue plusieurs flèches, distinction qu'on signale volontiers sans le mettre en œuvre. Son annexe A1.4 définit \( w_{\text{max}} \), la flèche totale sous l'ensemble des charges — c'est celle qu'on vient de calculer — et \( w_3 \), la part due aux seules actions variables. Cette seconde grandeur est souvent la plus pertinente en pratique, parce que c'est elle qui décrit ce qui se passe après la pose des cloisons et des revêtements : la flèche due aux charges permanentes est déjà acquise au moment où l'on pose les finitions, et ne les endommage pas. Sur cette poutre, \( w_3 = 5 \times 4{,}0 \times L^4/(384 E I) = \mathbf{30{,}65\ \text{mm}} \). Le critère qui lui est associé — souvent \( L/300 \) ou \( L/350 \) — ne figure pas dans les données, et la norme documentaire ne contient pas les valeurs pour les planchers : la vérification est donc signalée et non chiffrée. On peut simplement noter qu'avec 30,65 mm contre un repère de 23,3 mm pour L/300, elle échouerait elle aussi largement.

Pourquoi le S355 ne change rien

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la question du titre de l'exercice, et parce que la démonstration est ici sans faille.

Méthodologie du calcul :

On examine quelles propriétés du matériau entrent dans chacun des deux critères, et l'on en déduit ce qu'un changement de nuance peut et ne peut pas.

Substitution : En S355 : \( f_{\text{y}} \) passe de 235 à 355 MPa, soit +51 %. \( E \) reste à 210 000 MPa, soit +0 %.
Piège évité : Croire que la formule de la flèche contient une trace de la nuance. Elle contient \( E \) et \( I \), et rien d'autre qui dépende du matériau.
Hypothèse validée : L'IPE 200 reste de classe 1 en flexion en S355, comme établi en question 2. Le module plastique s'applique donc dans les deux nuances.
Vérification croisée : En S355 : \( M_{\text{c},\text{Rd}} = 220{,}6 \times 35{,}5 = 78{,}31\ \text{kN·m} \), taux 0,810. L'ELU passe, l'ELS reste à 1,977 — inchangé.
Finalité : Répondre à la question du titre : la nuance ne peut pas régler ce problème.

\[ \begin{aligned} \text{taux}_{\text{ELU},\text{S355}} &= \frac{M_{\text{Ed}} \, \gamma_{\text{M0}}}{W_{\text{pl}} \, f_{\text{y}}} \\ &= \frac{63{,}41}{220{,}6 \times 35{,}5 \times 10^{-2}} \\ &= \frac{63{,}41}{78{,}31} \\ &= \mathbf{0{,}810} \ \le \ 1{,}00 \ \Rightarrow \ \text{l'ELU passe} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le passage en S355 corrige l'ELU — le taux tombe à 0,810 — et laisse l'ELS strictement inchangé à 1,977. Pire, il aggrave le déséquilibre : le rapport entre les deux critères passe de 1,62 à 2,44.

Ordre de grandeur : Le S355 apporte 51 % de résistance et 0 % de rigidité. Il corrige exactement le critère qui n'était pas le plus contraignant.
Impact sur la suite : La seule voie possible est géométrique : augmenter \( I \). C'est l'objet de la question 4.
Cohérence : Avec le module élastique, on obtiendrait 0,92 en S355, contre 0,810 avec le module plastique correct. Sa conclusion — l'ELU passe — est juste dans les deux cas.
Attention : Le S355 n'est pas inutile en soi : il l'est ici, parce que le critère gouvernant est la flèche. Sur un poteau court fortement chargé, il serait au contraire le levier le plus efficace.
Comparaison : Même en S460, la flèche resterait à 55,35 mm. Aucune nuance existante, si performante soit-elle, ne peut changer un millimètre à cette déformation.

Remarque pédagogique : Il faut se garder de tirer de cet exercice la conclusion que le S355 serait inutile en général — et il faut s'en garder, ce que la conclusion précise correctement. Ce que cet exercice démontre est plus circonscrit : quand le critère gouvernant est la rigidité, la nuance n'est pas le levier. Le S355 est en revanche très efficace partout où la résistance décide et où la déformation ne pose pas de problème : les poteaux courts fortement chargés, les poutres de faible portée sous charges lourdes, les assemblages, les éléments tendus. Sur un tirant, par exemple, monter en nuance réduit la section proportionnellement à la limite d'élasticité, et le gain est intégral. La règle de conduite est donc simple à formuler : identifier d'abord quel critère gouverne, choisir le levier ensuite. Et le rapport entre les deux taux — ici 1,62 — fournit précisément cette information, en un seul chiffre calculé sans effort supplémentaire.

Le rapport qui désigne le levier, avant et après

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un seul chiffre suffit à dire quel critère gouverne, et parce que monter en nuance ne le corrige pas : il l'aggrave.

Méthodologie du calcul :

On rapporte le taux de service au taux de résistance, dans chacune des deux nuances, et l'on compare les deux rapports obtenus.

Substitution : En S355, le taux ELS reste à 1,977 — la flèche ne contient aucun \( f_{\text{y}} \) — tandis que le taux ELU est tombé à 0,810.
Piège évité : Recalculer la flèche en S355 en espérant un changement. Elle vaut 55,35 mm dans les deux nuances, au millième de millimètre près, puisque \( E \) est identique.
Hypothèse validée : Le profilé est inchangé : même \( I_{\text{y}} \), même \( W_{\text{pl}} \). Seule la limite d'élasticité varie, ce qui isole parfaitement l'effet de la nuance.
Vérification croisée : Le rapport doit être multiplié par \( 355/235 = 1{,}511 \) en passant au S355 : \( 1{,}62 \times 1{,}511 = \mathbf{2{,}44} \). Confirmé.
Finalité : Établir en un chiffre que la nuance corrige le seul critère qui ne gouvernait pas, et qu'elle éloigne les deux critères l'un de l'autre.

\[ \begin{aligned} \frac{\text{taux}_{\text{ELS}}}{\text{taux}_{\text{ELU}}} &= \frac{1{,}977}{0{,}810} \ \text{en S355} \\ &= \mathbf{2{,}44} \\ &\gt \ 1{,}62 \ \text{obtenu en S235} \\ &\Rightarrow \ \textbf{desequilibre aggrave} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le rapport passe de 1,62 à 2,44. Monter en nuance n'a pas rapproché les deux critères : cela les a éloignés de moitié, en corrigeant celui qui ne gouvernait pas.

Ordre de grandeur : Un rapport supérieur à 1 signale que l'ELS gouverne ; supérieur à 2, qu'il gouverne largement, et qu'il est inutile de chercher du côté de la résistance.
Impact sur la suite : La seule voie possible est géométrique : augmenter \( I \). C'est exactement ce que fera la question 4, en inversant la formule de la flèche.
Cohérence : Le rapport est multiplié par le rapport des limites d'élasticité, 1,511, ce qui confirme que la nuance n'agit que sur le dénominateur et pas du tout sur le numérateur.
Attention : Un taux ELU de 0,810 pourrait faire croire à un dimensionnement réussi. Pris isolément, il est excellent — et la poutre est pourtant inutilisable.
Comparaison : En S460, le rapport atteindrait 3,17. Plus l'acier est performant, plus la flèche domine — ce qui est le paradoxe complet de cet exercice.

Remarque pédagogique : Ce rapport entre les deux taux mérite de devenir un réflexe, car il transforme deux vérifications indépendantes en une information de conception. Vérifier séparément la résistance et la flèche répond à la question « est-ce conforme ? » ; comparer les deux taux répond à la question bien plus utile « qu'est-ce qui gouverne ? », et donc « sur quoi agir ? ». Un rapport proche de 1 signale un dimensionnement équilibré, où les deux critères sont simultanément près de leur limite — c'est l'optimum théorique, rarement atteint. Un rapport nettement supérieur à 1 désigne la rigidité, donc la géométrie : inertie, portée, continuité. Un rapport nettement inférieur désigne la résistance, donc la nuance ou la section. Le calcul ne coûte rien puisque les deux taux sont déjà là, et il évite l'erreur la plus fréquente en conception, qui consiste à renforcer avec application ce qui n'était pas le maillon faible.

DEUX PROPRIÉTÉS DU MATÉRIAU, UNE SEULE CHANGE

RÉSULTAT FINAL

\( f_{\max} \) = 55,35 mm, pour une limite de 28,0 — taux 1,977

"La nuance porte, la géométrie tient — et c'est la géométrie qui manque ici."

Question 4 : Choix du profilé — et une marge qui n'en est pas une

Dans la tête de l'ingénieur

"La conclusion s'impose : il faut changer de profilé. On propose volontiers « par exemple un IPE 220 ou un IPE 240 » dans ses réflexions, puis retient l'IPE 240 dans son résultat final. Les deux propositions ne se valent pas : l'IPE 220 échoue nettement en flèche, avec un taux de 1,393. L'IPE 240 passe — mais à 0,998. Son inertie de 3 891 cm⁴ dépasse de 6 cm⁴ les 3 885 strictement requis, soit 0,15 %. Ce n'est pas un dimensionnement, c'est une coïncidence."

Observation : Une augmentation de 1 % de la charge de service porte la flèche à 28,24 mm et fait basculer l'IPE 240 en non-conformité. Aucun aléa n'est absorbé.
Analyse du risque : Un profilé retenu à 0,998 est conforme mais non dimensionné. La moindre révision de programme — une chape plus épaisse, un revêtement plus lourd — le met en défaut.
Choix stratégique : Calculer l'inertie strictement requise plutôt que tester les profilés un par un, puis choisir en connaissance de la marge réelle.
Alternative : Réduire la portée est le levier le plus puissant : la flèche varie comme \( L^4 \). Une file de poteaux intermédiaire diviserait la flèche par seize.
Objectif visé : Retenir un profilé, en mesurer la réserve réelle, et déclarer ce que la note ne couvre pas.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

IPE 240 conforme à 0,998 · IPE 270 à 0,676 — 6 cm⁴ de marge contre 1 904

Rappel Théorique : Dimensionner par la rigidité et lire une marge

Quand le critère gouvernant est la flèche, le dimensionnement s'inverse commodément : plutôt que de tester des profilés, on calcule l'inertie requise et l'on cherche le premier profilé qui la dépasse.

La formule de la flèche s'inverse en inertie requise : \( I \ge 5 q_{\text{ser}} L^4/(384 E f_{\text{lim}}) \). Une seule ligne de calcul remplace l'essai successif de plusieurs profilés — et donne au passage la marge réelle.
Le poids propre impose une itération : L'inertie requise dépend de la charge, qui dépend du profilé. Une itération suffit en pratique, le poids propre ne pesant que quelques pour cent de la charge totale.
Conforme n'est pas dimensionné : Un taux de 0,998 satisfait le critère et n'absorbe aucun aléa. Un projet se dimensionne généralement entre 0,7 et 0,95, précisément pour laisser une réserve exploitable.
La portée est le levier le plus puissant : La flèche varie comme \( L^4 \). Diviser la portée par deux divise la flèche par seize — aucun changement de profilé n'approche ce rendement.
Le schéma statique est un levier gratuit : Rendre la poutre continue sur trois appuis, au lieu de deux poutres isostatiques, réduit la flèche d'un facteur voisin de 2,5 sans ajouter un gramme d'acier.

Équations Fondamentales

Une formule inversée et un critère de choix. La première remplace une série d'essais, la seconde relève du jugement d'ingénieur plutôt que du calcul.

Inertie requise et lecture de la réserve :

Elle transforme une vérification en dimensionnement direct.

Pourquoi cette formule ?

Parce que tester les profilés un par un est fastidieux et ne renseigne pas sur la marge. Inverser la formule donne en une ligne le seuil à franchir, et permet de comparer chaque candidat à ce seuil plutôt qu'au seul critère binaire de conformité.

Contexte de validité : L'inversion suppose la charge connue, donc le poids propre estimé. Une itération est nécessaire, mais elle converge en une passe.
Avantage : Le résultat se compare directement au catalogue : on lit la colonne \( I_{\text{y}} \) et l'on retient le premier profilé qui dépasse, en voyant de combien.
Paramètre clé : La flèche admissible, qui figure au dénominateur. Passer de \( L/250 \) à \( L/300 \) augmente l'inertie requise de 20 % — et disqualifierait l'IPE 240.
Vérification : L'inertie requise doit reproduire le taux : \( 3\,885/3\,891 = 0{,}9985 \), identique au taux de flèche de 0,998. Les deux voies concordent.
Limite : Ce dimensionnement ne couvre que la flèche totale. Le second critère de l'EN 1990, portant sur les seules actions variables, n'est pas chiffrable faute de valeur admissible.

\[ \begin{aligned} I_{\text{requis}} = \frac{5 \, q_{\text{ser}} \, L^4}{384 \, E \, f_{\text{lim}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'écart entre conforme et dimensionné mérite d'être posé clairement, car il est souvent mal compris. Un taux de travail inférieur à 1,0 signifie que la structure satisfait le critère, et rien de plus : la sécurité est déjà entièrement contenue dans les coefficients partiels — ceux qui majorent les charges et minorent les résistances. La marge qui reste entre le taux obtenu et l'unité n'est donc pas une sécurité supplémentaire : c'est une capacité inemployée, disponible pour absorber ce que le calcul n'a pas prévu. Or il y a toujours quelque chose : une chape plus épaisse que prévu, un revêtement changé en cours de chantier, un équipement ajouté dix ans plus tard, une révision du programme. Un taux de 0,998 signifie qu'aucun de ces aléas ne pourra être absorbé sans reprise du calcul. Sur un critère de service comme la flèche, la conséquence n'est pas un effondrement mais un désagrément — ce qui rend le risque acceptable dans certains cas, et fait de ce choix une décision de projet plutôt qu'une règle. Encore faut-il que la décision soit prise en connaissance du chiffre, ce que les données ne permettent pas.

Décomposition des termes :

\( I_{\text{requis}} \) : moment quadratique strictement nécessaire pour satisfaire la flèche admissible, unité : \( \text{cm}^4 \)
\( q_{\text{ser}} \) : charge de service, dépendant du profilé par son poids propre, unité : \( \text{N}/\text{mm} \)
\( f_{\text{lim}} \) : flèche admissible fixée par le projet, unité : \( \text{mm} \)
\( E \) : module d'élasticité de l'acier, identique pour toutes les nuances, unité : \( \text{MPa} \)

Marge réelle d'un profilé candidat :

Elle mesure la capacité disponible entre l'inertie offerte par un profilé et celle que le critère exige strictement.

Pourquoi cette formule ?

Parce que « conforme » est un verdict binaire qui ne dit rien de ce qui reste. Deux profilés peuvent tous deux satisfaire le critère et représenter des décisions de projet radicalement différentes : l'un à 0,15 % de sa limite, l'autre à 32 %. C'est cette information, et non le verdict, qui sera consultée dans dix ans lorsqu'on demandera si le plancher peut recevoir un équipement supplémentaire.

Contexte de validité : La marge se calcule sur l'inertie, pas sur la flèche. Les deux sont inversement proportionnelles, si bien qu'une marge de 32 % sur l'inertie correspond à un taux de flèche de 0,76.
Avantage : Elle s'exprime en pourcentage, donc sans dimension, ce qui la rend comparable d'un critère à l'autre et d'un projet à l'autre.
Paramètre clé : L'inertie strictement requise, qui joue le rôle de référence. Elle doit être recalculée pour chaque candidat, puisque le poids propre change.
Vérification : La marge et le taux sont liés par \( \text{marge} = 1/\text{taux} - 1 \). Un taux de 0,998 donne bien 0,2 % de marge, un taux de 0,676 en donne 48 %.
Limite : Une marge n'est pas une sécurité supplémentaire : la sécurité est déjà entièrement contenue dans les coefficients partiels. C'est une capacité disponible, ce qui n'est pas la même chose.

\[ \begin{aligned} \text{marge} = \frac{I_{\text{profil}}}{I_{\text{requis}}} - 1 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? La distinction entre marge et sécurité est subtile et vaut la peine d'être posée nettement, car elle est constamment confondue. La sécurité d'un ouvrage est entièrement logée dans les coefficients partiels : le 1,35 et le 1,50 qui majorent les charges, le \( \gamma_{\text{M}} \) qui minore les résistances. Ces coefficients ont été calés pour atteindre une probabilité de ruine cible, et lorsqu'un taux de travail atteint 1,00 exactement, l'ouvrage est aussi sûr que la norme l'exige — ni plus, ni moins. Ce qui reste entre le taux obtenu et l'unité n'est donc pas de la sécurité en réserve, mais une capacité disponible pour absorber ce qui n'avait pas été prévu : une chape plus épaisse que dessinée, un revêtement changé en cours de chantier, un équipement ajouté dix ans plus tard, un changement d'usage du local. Sur un critère de service comme la flèche, l'enjeu n'est d'ailleurs pas un effondrement mais un désagrément — ce qui rend une marge faible acceptable dans certains cas, et en fait une décision de projet plutôt qu'une règle. Encore faut-il que la décision soit prise en connaissance du chiffre.

Décomposition des termes :

marge : capacité disponible entre l'offre du profilé et l'exigence du critère, unité : %
\( I_{\text{profil}} \) : moment quadratique du profilé candidat, lu au catalogue, unité : \( \text{cm}^4 \)
\( I_{\text{requis}} \) : moment quadratique strictement nécessaire, unité : \( \text{cm}^4 \)
taux : rapport de la sollicitation à la résistance, inverse de la marge augmentée de 1, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"L'IPE 240 passe, on le retient…"

L'approche d'ingénieur : Il passe en effet : 27,96 mm pour une limite de 28,0. Mais une marge de 0,04 mm sur une flèche de 28 n'est pas une marge — c'est le bruit du calcul.

L'erreur : S'arrêter au verdict binaire. L'IPE 240 est conforme à 0,998, avec 6 cm⁴ de marge sur les 3 885 requis — soit 0,15 %.
La bonne méthode : Calculer l'inertie requise et lire la marge. L'IPE 270 offre 5 789 cm⁴ pour 3 914 requis, soit 48 % de réserve et un taux de 0,676.
L'astuce de pro : Tester la sensibilité : +1 % sur la charge porte la flèche de l'IPE 240 à 28,24 mm et le fait basculer. Ce test prend dix secondes et éclaire la décision.
Le moyen mnémotechnique : « Conforme n'est pas dimensionné. » Le taux dit si l'on passe ; la marge dit si l'on a de quoi voir venir.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Inertie requise : en \( \text{mm}^4 \) si l'on travaille en N et mm, à convertir en \( \text{cm}^4 \) par \( 10^4 \) pour la comparaison au catalogue.
Marge : rapport de deux inerties, donc sans dimension. Elle s'exprime commodément en pourcentage, et son inverse redonne exactement le taux de travail.
Poids propre des candidats : en kg/m au catalogue, converti en kN/m avec la convention de l'étude. L'IPE 240 pèse 30,7 kg/m et l'IPE 270 36,1.
Taux de travail : sans dimension. Il doit rester inférieur à 1,0, et un projet bien dimensionné se situe entre 0,7 et 0,95 — ni gaspilleur, ni sans réserve.
Flèche admissible : en millimètres, obtenue en divisant la portée par le dénominateur du critère. Elle est proportionnelle à la portée, ce qui explique qu'un critère en \( L/n \) devienne plus sévère à mesure que la portée croît.

Trois étapes : l'inertie strictement requise, l'examen des trois candidats, puis le verdict et le recensement de ce que la note ne couvre pas.

1. Résolution Numérique Inverser la formule plutôt que tester

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cela donne en une ligne le seuil à franchir, et surtout la marge de chaque candidat — information que le test binaire ne fournit pas.

Méthodologie du calcul :

On inverse la formule de la flèche, en employant le poids propre du profilé candidat pour boucler l'itération.

Substitution : \( q_{\text{ser}} = 7{,}307\ \text{N/mm} \) avec le poids propre de l'IPE 240, \( L = 7\,000\ \text{mm} \), \( E = 210\,000 \) et \( f_{\text{lim}} = 28{,}0\ \text{mm} \).
Piège évité : Conserver le poids propre de l'IPE 200. Le profilé retenu pèse 30,7 kg/m au lieu de 22,4, ce qui alourdit la charge de 1,1 % et relève l'inertie requise d'autant.
Hypothèse validée : L'itération converge en une passe : le poids propre ne pèse que 4 % de la charge de service, et sa variation entre deux crans de profilé reste sous 1 %.
Vérification croisée : L'inertie requise doit reproduire le taux : \( 3\,885/3\,891 = \mathbf{0{,}9985} \), identique au 0,998 obtenu par la voie directe.
Finalité : Disposer du seuil auquel comparer chaque profilé candidat.

\[ \begin{aligned} I_{\text{requis}} &= \frac{5 \, q_{\text{ser}} \, L^4}{384 \, E \, f_{\text{lim}}} \\ &= \frac{5 \times 7{,}307 \times 2{,}401 \times 10^{15}}{384 \times 210\,000 \times 28{,}0} \\ &= 1{,}943 \times 10^8 \ \text{mm}^4 = \mathbf{3\,885} \ \text{cm}^4 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'inertie strictement requise vaut 3 885 cm⁴. L'IPE 240 en offre 3 891 : la marge est de 6 cm⁴, soit 0,15 %. L'IPE 220, avec 2 771, est très loin du compte.

Ordre de grandeur : Il faut doubler l'inertie de l'IPE 200, qui n'offre que 1 943 cm⁴. C'est cohérent avec le taux de flèche de 1,977 obtenu en question 3.
Impact sur la suite : Ce seuil permet d'écarter immédiatement l'IPE 220 et de mesurer la réserve réelle de chaque candidat, plutôt que de se contenter d'un verdict binaire.
Cohérence : Le taux calculé par les inerties reproduit exactement celui calculé par les flèches. Les deux voies sont algébriquement identiques, et leur concordance valide la chaîne.
Attention : Cette inertie requise dépend du critère retenu. Avec \( L/300 \), elle monterait à 4 662 cm⁴ et l'IPE 240 serait disqualifié.
Comparaison : Une poutre continue sur trois appuis de 3,50 m demanderait \( I \ge \mathbf{200\ \text{cm}^4} \) : un IPE 120 suffirait. Le schéma statique pèse infiniment plus que le profilé.

Remarque pédagogique : La comparaison finale mérite d'être développée, car elle remet toute la question à sa place. Sur cette poutre de 7 mètres, on hésite entre un IPE 240 et un IPE 270 — soit entre 30,7 et 36,1 kg/m. Si l'on pouvait au contraire ajouter un appui intermédiaire et travailler en deux travées de 3,50 m, l'inertie requise tomberait à deux cents centimètres à la puissance quatre, et un IPE 120 de 10,4 kg/m suffirait. Le rapport de masse est de trois. Cette disproportion vient de la puissance quatre : diviser la portée par deux divise la flèche par seize, et la continuité y ajoute encore un facteur voisin de 2,5. Bien entendu, l'appui intermédiaire a lui-même un coût — une poutre maîtresse, un poteau, une fondation — et l'arbitrage réel se joue à l'échelle du plancher entier, pas de la solive. Mais l'ordre de grandeur montre que la question posée par l'exercice — quelle nuance, quel profilé — est en réalité la dernière qu'un concepteur devrait se poser, une fois la trame et le schéma statique arrêtés.

Le premier candidat évoqué — et qui échoue

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'on l'évoque volontiers sans jamais le vérifier, et parce qu'il satisfait la résistance, ce qui le rend d'autant plus tentant.

Méthodologie du calcul :

On recalcule la charge de service avec le poids propre de ce profilé, puis le taux de flèche à partir de son moment quadratique.

Substitution : IPE 220 : \( I_{\text{y}} = 2\,771\ \text{cm}^4 \), \( W_{\text{pl}} = 285{,}4\ \text{cm}^3 \), 26,2 kg/m, soit \( q_{\text{ser}} = 7{,}262\ \text{kN/m} \).
Piège évité : Conserver le poids propre de l'IPE 200. Chaque profilé porte le sien, et l'écart atteint 0,038 kN/m ici — faible, mais il doit être repris.
Hypothèse validée : L'IPE 220 est de classe 1 en flexion en S235, comme tous les candidats. Le module plastique s'applique.
Vérification croisée : Contrôle par les inerties : \( 3\,861/2\,771 = \mathbf{1{,}393} \), soit exactement le taux obtenu. La chaîne est cohérente.
Finalité : Établir si le premier candidat mentionné convient — il ne convient pas.

\[ \begin{aligned} \text{taux}_{\text{ELS},220} &= \frac{5 \, q_{\text{ser}} \, L^4}{384 \, E \, I_{\text{y}} \, f_{\text{lim}}} \\ &= \frac{I_{\text{requis}}}{I_{\text{y}}} = \frac{3\,861}{2\,771} \\ &= \mathbf{1{,}393} \ \gt \ 1{,}00 \ \Rightarrow \ \text{ECHOUE} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'IPE 220 échoue nettement en flèche, à 1,393, alors qu'il satisfait l'ELU à 0,950. Sa flèche atteindrait 39 mm, soit L/180 — bien au-delà de toute pratique acceptable.

Ordre de grandeur : L'IPE 220 satisfait pourtant l'ELU à 0,950. Un ingénieur qui se serait arrêté à la résistance l'aurait commandé — et aurait obtenu un plancher qui fléchit de 39 mm.
Impact sur la suite : Le choix se joue donc entre l'IPE 240, conforme sans réserve, et l'IPE 270, qui offre 32 % de marge pour 5,4 kg/m de plus.
Cohérence : La flèche gouverne sur les trois candidats : rapport ELS/ELU de 1,47 · 1,34 · 1,19. Le déséquilibre décroît quand on monte en gamme, sans jamais s'inverser.
Attention : L'IPE 220 se mentionne volontiers à côté de l'IPE 240, comme si les deux convenaient. Le premier est refusé par la flèche.
Comparaison : Passer de l'IPE 240 à l'IPE 270 coûte 5,4 kg/m, soit 18 % de masse — et fait passer la réserve de 0,2 % à 32 %. Le rapport qualité-prix est excellent.

Remarque pédagogique : Le cas de l'IPE 220 illustre parfaitement pourquoi l'ordre des vérifications importe moins que l'ordre des conclusions. Ce profilé satisfait l'état limite ultime avec un taux de 0,950 — un dimensionnement en apparence excellent, tendu comme il faut, sans gaspillage. Un ingénieur qui aurait mené la seule vérification de résistance l'aurait retenu sans hésiter, et se serait félicité de son optimisation. Le plancher aurait ensuite fléchi de 39 millimètres sous charge de service, soit L/180 : les cloisons auraient fissuré, les portes se seraient coincées, et les occupants auraient signalé un sol qui bouge. Le désordre n'aurait rien eu de dangereux, mais il aurait été irréversible sans dépose complète du plancher. C'est pourquoi, sur les poutres de plancher de grande portée, la pratique consiste à dimensionner d'abord par la flèche et à vérifier la résistance ensuite : dans neuf cas sur dix, le profilé retenu par le critère de service satisfait largement celui de résistance, et l'on économise une itération.

Le profilé habituellement retenu — et sa marge réelle

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la réponse courante, et parce que sa conformité ne dit rien de la réserve qu'elle laisse.

Méthodologie du calcul :

Même démarche, avec le poids propre et le moment quadratique de ce profilé. Le taux se lit directement comme le rapport des inerties.

Substitution : IPE 240 : \( I_{\text{y}} = 3\,891\ \text{cm}^4 \), \( W_{\text{pl}} = 366{,}6\ \text{cm}^3 \), 30,7 kg/m, soit \( q_{\text{ser}} = 7{,}307\ \text{kN/m} \).
Piège évité : Reprendre l'inertie requise calculée pour l'IPE 200. Le poids propre ayant augmenté, l'inertie requise passe de 3 861 à 3 885 cm⁴ — l'itération doit être refaite, même si elle converge vite.
Hypothèse validée : Le catalogue donne \( I_{\text{y}} = 3\,891 \), qu'on arrondit parfois à 3 892. L'écart de 0,03 % est négligeable mais la valeur du catalogue est retenue.
Vérification croisée : Contrôle par la flèche : \( 27{,}96\ \text{mm} \) pour une limite de 28,0. L'écart est de quatre centièmes de millimètre.
Finalité : Établir la conformité du profilé retenu et mesurer précisément ce qui reste entre lui et la limite.

\[ \begin{aligned} \text{taux}_{\text{ELS},240} &= \frac{I_{\text{requis}}}{I_{\text{y}}} \\ &= \frac{3\,885}{3\,891} \\ &= \mathbf{0{,}998} \ \le \ 1{,}00 \ \Rightarrow \ \text{CONFORME} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'IPE 240 est conforme, à 0,998. Mais son inertie de 3 891 cm⁴ ne dépasse que de six centimètres à la puissance quatre les 3 885 strictement requis, soit 0,15 % de marge.

Ordre de grandeur : Six centimètres à la puissance quatre sur 3 885, c'est 0,15 % — moins que la précision avec laquelle on connaît la charge d'exploitation ou l'épaisseur réelle d'une chape.
Impact sur la suite : Une telle marge appelle un test de sensibilité avant de conclure. C'est l'objet du calcul suivant.
Cohérence : Le taux ELU du même profilé vaut 0,744 : la flèche gouverne toujours, avec un rapport ELS/ELU de 1,34 — moindre que sur l'IPE 200 mais toujours supérieur à 1.
Attention : On conclut « changer le profilé pour un IPE plus grand, par exemple un IPE 240 » sans jamais chiffrer la marge obtenue. La conformité est bonne, l'information est incomplète.
Comparaison : Le second critère de flèche donnerait ici \( w_3 = 15{,}3\ \text{mm} \), contre un repère de 23,3 mm pour \( L/300 \) : il passerait, ce qui conforte le choix sans le sauver.

Remarque pédagogique : Une marge de 0,15 % pose une question qui n'est pas de calcul mais de jugement, et elle mérite d'être posée franchement. Six centimètres à la puissance quatre, sur une poutre de sept mètres, est une quantité qui n'a aucune existence physique distincte : elle est très inférieure aux tolérances de laminage, à la précision avec laquelle on estime une charge d'exploitation, ou à l'épaisseur réelle d'une chape par rapport à celle qui est dessinée. Dire que l'IPE 240 « passe » est donc rigoureusement exact au sens de la norme, et en même temps un peu trompeur : ce que le calcul établit, c'est que le profilé se trouve exactement à la limite, du bon côté par accident plutôt que par construction. La règle professionnelle n'est pas de refuser ce résultat — il est conforme, et sur un critère de service le risque encouru est un désagrément, pas une ruine. Elle est de l'écrire, pour que la personne qui reprendra le dossier sache qu'il n'y a rien à ajouter sur ce plancher sans tout recalculer.

Ce qui suffirait à faire basculer l'IPE 240

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une marge ne se juge pas en valeur absolue mais par ce qu'il faudrait pour la consommer entièrement.

Méthodologie du calcul :

On majore la charge de service de 1 %, valeur inférieure à l'incertitude courante sur une descente de charges, et l'on recalcule le taux.

Substitution : \( q_{\text{ser}} \) passe de 7,307 à \( 7{,}380\ \text{kN/m} \), soit l'équivalent d'une chape de deux millimètres plus épaisse que prévu.
Piège évité : Tester une variation de 10 %, qui ferait basculer n'importe quel dimensionnement. La question n'est pas de trouver une limite mais de mesurer si l'ouvrage résiste aux aléas ordinaires.
Hypothèse validée : La flèche est proportionnelle à la charge : le taux se multiplie donc directement par le facteur d'accroissement, sans qu'il soit nécessaire de tout reprendre.
Vérification croisée : Contrôle par la flèche : \( 27{,}96 \times 1{,}01 = \mathbf{28{,}24}\ \text{mm} \) contre une limite de 28,0. Le dépassement est confirmé.
Finalité : Chiffrer la robustesse du choix, et non seulement sa conformité.

\[ \begin{aligned} \text{taux}_{\text{ELS},240}^{+1\%} &= 0{,}998 \times 1{,}01 \\ &= \mathbf{1{,}008} \ \gt \ 1{,}00 \\ &\Rightarrow \ \textbf{le profile bascule} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un pour cent de charge supplémentaire suffit à faire basculer l'IPE 240 en non-conformité. C'est moins que l'incertitude ordinaire d'une descente de charges, ce qui situe exactement la valeur de sa marge.

Ordre de grandeur : Un pour cent de 7,3 kN/m représente 73 N/m, soit deux millimètres de chape supplémentaires. Aucun chantier ne garantit une telle précision.
Impact sur la suite : Le choix bascule vers l'IPE 270, dont il faut maintenant mesurer la réserve pour savoir ce que coûtent ces 5,4 kg/m supplémentaires.
Cohérence : La proportionnalité directe entre charge et flèche rend ce test immédiat : aucun recalcul n'est nécessaire, une simple multiplication suffit.
Attention : Ce test n'est pas une vérification normative. Il ne figure dans aucun article de l'Eurocode : c'est un outil de jugement, à mener en plus et non à la place.
Comparaison : Il faudrait 48 % de charge supplémentaire pour faire basculer l'IPE 270. Le rapport entre les deux robustesses est de près de cinquante.

Remarque pédagogique : Le test de sensibilité est un réflexe qui distingue nettement une note de calcul professionnelle d'un simple corrigé, et il ne coûte presque rien. Son principe est de demander non pas « est-ce conforme ? » mais « que faudrait-il pour que cela ne le soit plus ? ». La réponse situe immédiatement le résultat dans son contexte d'incertitude. Ici, un pour cent suffit — c'est-à-dire moins que ce qui sépare une chape dessinée d'une chape coulée, moins que la variation d'épaisseur d'un revêtement de sol, moins que ce qu'ajoute un faux plafond non prévu au moment de l'étude. Le dimensionnement n'est donc pas faux, il est fragile, et ces deux mots désignent des situations très différentes. Sur un critère de résistance, une telle fragilité serait inacceptable ; sur un critère de service, elle constitue une décision de projet légitime, à condition qu'elle soit prise et non subie. C'est toute la différence entre un résultat qu'on a vérifié et un résultat qu'on a compris.

Ce que coûte une réserve réelle

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la question n'est plus de savoir ce qui passe, mais ce qu'il en coûte d'avoir de quoi voir venir.

Méthodologie du calcul :

Même démarche une dernière fois, avec le profilé du cran supérieur, pour chiffrer la réserve obtenue et son prix en kilogrammes.

Substitution : IPE 270 : \( I_{\text{y}} = 5\,789\ \text{cm}^4 \), \( W_{\text{pl}} = 483{,}9\ \text{cm}^3 \), 36,1 kg/m, soit \( q_{\text{ser}} = 7{,}361\ \text{kN/m} \).
Piège évité : Croire que l'inertie requise reste identique. Elle croît légèrement avec le poids propre — de 3 885 à 3 913 cm⁴ — mais l'inertie offerte croît bien plus vite.
Hypothèse validée : L'IPE 270 reste de classe 1 en flexion en S235, et son élancement d'âme demeure très en deçà de la limite de \( 72 \varepsilon \).
Vérification croisée : Contrôle par la flèche : \( 18{,}9\ \text{mm} \) pour une limite de 28,0, soit L/370. Un plancher de cette qualité ne se remarque pas.
Finalité : Chiffrer l'alternative pour que le choix final soit une décision informée.

\[ \begin{aligned} \text{taux}_{\text{ELS},270} &= \frac{I_{\text{requis}}}{I_{\text{y}}} \\ &= \frac{3\,913}{5\,789} \\ &= \mathbf{0{,}676} \ \le \ 1{,}00 \ \Rightarrow \ \text{CONFORME} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'IPE 270 passe à 0,676, soit près de 48 % de réserve sur l'inertie, pour 5,4 kg/m de plus. C'est le choix qu'un projet retiendrait.

Ordre de grandeur : Une flèche de 18,9 mm sur 7 mètres, soit L/370, correspond à un plancher que les occupants ne remarquent pas — et qui accepte des cloisons ordinaires sans réserve.
Impact sur la suite : Le choix final se joue entre deux profilés tous deux conformes : c'est une décision de projet, arbitrée sur la tolérance au risque de révision et non sur le calcul.
Cohérence : Son taux ELU vaut 0,568, et le rapport ELS/ELU tombe à 1,19 : le déséquilibre décroît quand on monte en gamme, sans jamais s'inverser.
Attention : L'IPE 270 n'est pas « plus sûr » que l'IPE 240 : les deux atteignent le même niveau de fiabilité normative. Il est plus disponible, ce qui n'est pas la même chose.
Comparaison : Les 5,4 kg/m supplémentaires représentent 18 % de masse de solive, et une fraction bien plus faible du coût total du plancher, chape et revêtement compris.

Remarque pédagogique : Le choix entre ces deux profilés est un bon exemple de décision qui ne se tranche pas par le calcul, et qu'une note doit donc présenter plutôt que résoudre d'autorité. Les deux sont conformes ; la norme n'a plus rien à dire. Ce qui les sépare relève du contexte du projet : sur un bâtiment dont l'usage est parfaitement figé, dont les charges sont maîtrisées et qui n'évoluera pas, l'IPE 240 est un choix légitime et économe. Sur un plateau de bureaux susceptible d'être recloisonné, sur un bâtiment dont le programme n'est pas arrêté, ou simplement lorsque le maître d'ouvrage envisage un changement d'affectation, les 5,4 kg/m de l'IPE 270 achètent une souplesse dont la valeur dépasse largement le prix de l'acier. La bonne pratique consiste donc à présenter les deux avec leur marge et à laisser la décision remonter, plutôt qu'à trancher silencieusement au fond d'une note de calcul. C'est aussi la meilleure protection de l'ingénieur : le choix devient explicite et daté.

Ce qui est établi et ce qui reste ouvert

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une conclusion de dimensionnement doit indiquer sous quelles hypothèses elle vaut, et quelles vérifications restent à mener.

Méthodologie du calcul :

On rassemble les résultats, on formule le choix avec sa réserve, puis on recense les vérifications non menées.

Substitution : IPE 240 conforme à 0,998 · IPE 270 conforme à 0,676 · l'un et l'autre satisfaisant l'ELU avec 26 % et 43 % de réserve.
Piège évité : Conclure sans mentionner la marge. Un taux de 0,998 et un taux de 0,676 sont tous deux conformes, et ce sont pourtant deux décisions très différentes.
Hypothèse validée : Le critère de \( L/250 \) est une donnée de l'étude. Toute la conclusion en dépend, et un critère plus sévère disqualifierait immédiatement l'IPE 240.
Vérification croisée : Sensibilité de l'IPE 240 : +1 % sur la charge porte la flèche à 28,24 mm et le taux à 1,008. Le profilé bascule.
Finalité : Livrer un choix assorti de sa réserve et de ses limites.

\[ \begin{aligned} \text{marge}_{270} &= \frac{I_{\text{profil}}}{I_{\text{requis}}} - 1 \\ &= \frac{5\,789}{3\,913} - 1 \\ &= 1{,}479 - 1 \\ &= \mathbf{48} \ \% \ \text{de capacite disponible} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'IPE 240 est conforme et c'est bien la réponse attendue. Mais sa marge de 0,15 % n'absorbe aucun aléa : l'IPE 270, qui coûte 5,4 kg/m de plus, offre 32 % de réserve et constitue le choix qu'un projet retiendrait.

Ordre de grandeur : Sur une trame de plancher, 5,4 kg/m représente quelques pour cent du coût total de l'ouvrage. La réserve achetée est sans commune mesure avec la dépense.
Impact sur la suite : Le choix est une décision de projet, pas un résultat de calcul. Les deux profilés sont conformes ; c'est la tolérance au risque de révision qui tranche.
Cohérence : Le second critère de flèche donnerait \( w_3 = 15{,}3\ \text{mm} \) sur l'IPE 240 contre un repère de 23,3 mm pour \( L/300 \) : il passerait, ce qui conforte le choix.
Attention : Trois vérifications restent hors périmètre : le second critère de flèche, la vibration d'un plancher de 7 m, et le déversement — écarté par hypothèse de maintien latéral.
Comparaison : Le cisaillement ne pose aucun problème : \( V_{\text{Ed}} = 36{,}2 \) contre 190 kN de résistance sur l'IPE 200 déjà, soit un taux de 0,19. Il ne se calcule presque jamais.

Remarque pédagogique : Il faut signaler ce que cette note ne couvre pas, et deux points méritent une mention particulière. Le premier est le second critère de flèche : l'EN 1990 distingue la flèche totale de celle due aux seules actions variables, et c'est cette dernière qui décrit ce qui se passe après la pose des cloisons. Sur l'IPE 240 elle vaut 15,3 mm, ce qui passerait sous un critère de \( L/300 \) — mais ce critère ne figure pas dans les données et la norme documentaire ne contient pas les valeurs pour les planchers : le point est signalé, chiffré, non conclu. Le second est la vibration. Un plancher métallique de 7 mètres de portée, léger et peu amorti, est un candidat sérieux à l'inconfort vibratoire — un critère qui gouverne fréquemment ce type d'ouvrage, parfois plus sévèrement que la flèche elle-même. L'EN 1990 le traite en annexe A1.4.4 et renvoie les seuils à l'annexe nationale. Il est donc mentionné sans être chiffré — mais un projet réel de cette portée ne pourrait pas s'en dispenser.

L'IPE 240 PASSE — AVEC 0,15 % DE MARGE SUR L'INERTIE

RÉSULTAT FINAL

\( I_{\text{requis}} \ ; \ \text{choix} \) = 3 885 ; IPE 270 cm⁴

"L'IPE 240 est conforme à 0,998 — l'IPE 270 est dimensionné."

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

BILAN DES CALCULS

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cette étude, vérifiez que vous avez assimilé ce qui distingue le choix d'une nuance de celui d'un profilé :

J'ai calculé les deux jeux de charges dès le départ et ne les ai jamais confondus. J'ai établi la classe de section avant de choisir le module de flexion, plutôt que de l'affirmer. J'ai employé \( W_{\text{pl}} \) sur une section de classe 1, comme l'impose l'article 6.2.5. J'ai mesuré le rapport entre les deux taux pour identifier le critère gouvernant, et donc le levier à employer. J'ai vérifié qu'un changement de nuance ne touche pas la flèche, le module d'élasticité étant identique pour tous les aciers. J'ai lu la marge de chaque candidat et non le seul verdict binaire, et déclaré les vérifications hors périmètre.

Avis technique — solive IPE 200 en S235 REFUSÉE. Sous 7,00 m de portée et une charge de service de 7,224 kN/m, la flèche atteint 55,4 mm pour 28 admissibles, soit un taux de 1,977 ; la résistance en flexion, calculée avec le module plastique qu'autorise la classe 1, plafonne à 51,84 kN·m pour 63,41 sollicitants, soit 1,223. C'est la déformation qui gouverne, avec un rapport de 1,62 entre les deux taux, et monter en nuance n'y changerait rien : le module d'élasticité vaut 210 000 MPa du S235 au S460, si bien que le S355 ramènerait l'ELU à 0,810 en laissant l'ELS strictement inchangé. La seule voie est géométrique. L'inertie strictement requise vaut 3 885 cm⁴. Recommandation : IPE 270, conforme à 0,676 avec 48 % de capacité disponible, plutôt que l'IPE 240 qui passe à 0,998 — six centimètres à la puissance quatre de marge, qu'un pour cent de charge supplémentaire suffit à consommer. Deux vérifications restent hors périmètre : le second critère de flèche, chiffré à 15,3 mm sur l'IPE 240 mais sans valeur admissible disponible, et le comportement vibratoire d'un plancher de 7 mètres.

La plus-value technique de cette étude tient précisément là : elle ne se contente pas de constater qu'un profilé ne passe pas, elle identifie lequel des deux critères gouverne, démontre pourquoi la nuance n'a aucune prise sur lui, et chiffre la réserve réelle de chaque solution proposée.

Choix de la nuance d'acier pour une structure

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Le premier mois à 1 €

Choix de la nuance d'acier pour une structure

Contexte de l'Étude & Enjeux

PORTÉE, CHARGES ET PROFILÉ

COEFFICIENTS ET PROFILÉS CANDIDATS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Charges pondérées à l'ELU et moment de calcul

Question 2 : Classe de section et résistance en flexion — W_pl et non W_el

Question 3 : Flèche à l'ELS et pourquoi la nuance n'y peut rien

Question 4 (Finale) : Choix du profilé — et une marge qui n'en est pas une

Choix de la nuance d'acier pour une structure

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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