Vérification d'une poutre métallique

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un plancher de bureaux repose sur des solives en IPE 240 de 6,00 mètres de portée. Le profilé a déjà été retenu — par un prédimensionnement, par une contrainte d'approvisionnement ou par une reprise d'ouvrage existant — et votre mission n'est pas de le choisir mais de le vérifier. La nuance est importante : là où le dimensionnement cherche la section la plus légère, la vérification établit si une section donnée convient. C'est l'exercice le plus fréquent en bureau d'études, et le seul qui s'applique aux ouvrages existants, où l'on ne choisit évidemment plus rien.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments structurent cette étude. Prenez le temps de les identifier avant d'écrire la moindre équation : c'est ce qui distingue une vérification conduite d'un enchaînement mécanique de formules.

L'ouvrage : Une solive de plancher en IPE 240, acier S235, de 6,00 m de portée sur deux appuis simples. Le profilé est imposé : on ne le choisit pas, on établit s'il convient — et si oui, avec quelle réserve.
Quatre vérifications, pas une : La flexion, le cisaillement, l'interaction entre les deux, et la flèche. Aucune ne se déduit des autres : une section peut passer trois critères et échouer au quatrième. C'est ce qui distingue une note complète d'une note partielle.
L'objectif final : Produire un tableau de taux de travail couvrant les quatre critères. C'est ce tableau, et non un simple verdict, qui permet de dire au maître d'œuvre ce qu'il peut ou ne peut pas modifier dans son projet.
La dette du poids propre : L'énoncé précise que les charges permanentes sont données hors poids propre. Or le profilé est connu dès le départ : rien ne justifie de laisser cette charge de côté. Un IPE 240 pèse 0,301 kN/m, soit 7,5 % des charges permanentes — une proportion qu'on ne peut pas écarter sans l'avoir chiffrée.

Votre Mission :

Vous devez produire la note de vérification de la solive courante, en menant les quatre contrôles réglementaires jusqu'au bout. La démarche part des combinaisons d'actions, en tire les sollicitations, puis confronte celles-ci aux résistances du profilé — et se referme en réintégrant le poids propre que l'énoncé avait mis de côté.

Le grand défi : Ne pas s'arrêter au premier critère satisfait. Une vérification complète exige de traiter tous les états limites, y compris ceux dont on pressent l'issue — car c'est précisément là que se logent les mauvaises surprises.
Votre rôle : Établir les deux combinaisons et les sollicitations, classer la section, vérifier flexion, cisaillement et interaction, puis contrôler la flèche et reprendre l'ensemble avec le poids propre du profilé.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

La charge de calcul à l'ELU \( p_{\text{Ed}} \), le moment fléchissant \( M_{\text{Ed}} \) et l'effort tranchant \( V_{\text{Ed}} \) maximaux, avec l'indication des sections où chacun est atteint.
La classe de la section établie pour l'âme et pour la semelle, puis la vérification en flexion assortie de son taux de travail et de l'expression normative employée.
L'aire de cisaillement calculée par la formule de la NF EN 1993-1-1, la vérification au cisaillement, et la conclusion sur l'interaction moment-effort tranchant.
La vérification de la flèche à l'ELS, puis la reprise complète des quatre critères avec le poids propre réintégré, et un tableau de synthèse désignant le critère gouvernant.

2. Données Techniques & Normes

Toutes les grandeurs de l'étude sont rassemblées ci-dessous. Les caractéristiques du profilé figurent dans l'encadré dépliable « Extraits de normes et abaques », avec les valeurs normalisées de la NF EN 10365. Deux points appellent votre attention : les charges permanentes sont données hors poids propre, qu'il faudra réintégrer en question 4 ; et la limite de flèche est un paramètre déterminé nationalement, fourni ici comme donnée d'énoncé.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Voici les outils mathématiques de cet exercice, dans l'ordre où vous en aurez besoin. Ne les apprenez pas par cœur : comprenez ce que chacun exprime physiquement, la formule se retrouve alors toute seule.

Combinaison fondamentale ELU \( p_{\text{Ed}} = 1{,}35\,G_{\text{k}} + 1{,}50\,Q_{\text{k}} \)
Combinaison caractéristique ELS \( p_{\text{ser}} = G_{\text{k}} + Q_{\text{k}} \)
Moment fléchissant maximal \( M_{\text{Ed}} = \dfrac{p_{\text{Ed}} L^2}{8} \)
Effort tranchant maximal \( V_{\text{Ed}} = \dfrac{p_{\text{Ed}} L}{2} \)
Résistance en flexion \( M_{\text{c},\text{Rd}} = \dfrac{W_{\text{pl},\text{y}} f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \)
Aire de cisaillement \( A_{\text{v}} = A - 2 b t_{\text{f}} + (t_{\text{w}} + 2r) t_{\text{f}} \)
Résistance au cisaillement \( V_{\text{pl},\text{Rd}} = \dfrac{A_{\text{v}} f_{\text{y}} / \sqrt{3}}{\gamma_{\text{M0}}} \)
Seuil d'interaction \( V_{\text{Ed}} \le 0{,}5\,V_{\text{pl},\text{Rd}} \)
Flèche à mi-portée \( f = \dfrac{5 p_{\text{ser}} L^4}{384 E I_{\text{y}}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

MATÉRIAU, PROFILÉ ET CRITÈRES

Symbole	Description	Valeur	Unité
IPE 240	Profilé imposé, laminé à chaud NF EN 10365	—	—
\( f_{\text{y}} \)	Limite d'élasticité de l'acier S235, pour \( t \le 16\ \text{mm} \) NF EN 1993-1-1, tab. 3.1	235	\( \text{MPa} \)
\( E \)	Module d'élasticité longitudinal NF EN 1993-1-1, art. 3.2.6	210 000	\( \text{MPa} \)
\( W_{\text{pl},\text{y}} \)	Module de résistance plastique, axe fort	366,6	\( \text{cm}^3 \)
\( I_{\text{y}} \)	Moment quadratique, axe fort	3 892	\( \text{cm}^4 \)
\( A \)	Aire de la section brute	39,12	\( \text{cm}^2 \)
\( \gamma_{\text{M0}} \)	Coefficient partiel, résistance des sections transversales NF EN 1993-1-1, art. 6.1	1,00	—
\( f_{\text{adm}} \)	Limite de flèche — donnée d'énoncé, voir note ci-dessous NF EN 1993-1-1/NA	L / 250	—

Cotes de l'IPE 240 et critères de classe

Cotes de section : \( h = 240 \ ; \ b = 120 \ ; \ t_{\text{w}} = 6{,}2 \ ; \ t_{\text{f}} = 9{,}8 \ ; \ r = 15 \text{ mm} \)
Ame flechie : \( c_{\text{w}} / t_{\text{w}} \le 72\,\varepsilon = \mathbf{72} \)
Semelle comprimee : \( c_{\text{f}} / t_{\text{f}} \le 9\,\varepsilon = \mathbf{9} \)
Limite de fleche : \( f_{\text{adm}} = 6\,000/250 = \mathbf{24{,}0} \text{ mm} \)

ACTIONS ET COMBINAISONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( L \)	Portée entre axes d'appuis	6,00	\( \text{m} \)
\( G_{\text{k}} \)	Charge permanente linéique, hors poids propre NF EN 1991-1-1	4,0	\( \text{kN/m} \)
\( Q_{\text{k}} \)	Charge d'exploitation linéique NF EN 1991-1-1	3,0	\( \text{kN/m} \)
\( \gamma_{\text{G}} \)	Coefficient partiel des actions permanentes défavorables NF EN 1990, art. 6.4.3.2	1,35	—
\( \gamma_{\text{Q}} \)	Coefficient partiel des actions variables défavorables NF EN 1990, art. 6.4.3.2	1,50	—
\( g_{\text{pp}} \)	Poids propre de l'IPE 240 — 30,7 kg/m, à réintégrer NF EN 10365	0,301	\( \text{kN/m} \)

Hypothèses de modélisation à ne pas perdre de vue

Modele : \( \text{poutre isostatique sur deux appuis} \)
Chargement : \( \text{uniformement reparti sur toute la portee} \)
Maintien lateral : \( \text{semelle comprimee tenue par le plancher} \)
Deversement : \( \text{ecarte par ce maintien continu} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Les caractéristiques ci-dessous sont celles de la NF EN 10365 pour l'IPE 240. L'aire de cisaillement est calculée par la formule de la NF EN 1993-1-1 art. 6.2.6(3)a, et non lue dans un tableau : c'est la seule façon d'en garantir l'exactitude. Toutes les valeurs portent sur l'axe fort \( y\text{-}y \), seul axe de flexion d'une poutre de plancher.

Caractéristiques de l'IPE 240 et coefficients de vérification

Grandeur	Valeur
Masse linéique et poids propre	30,7 kg/m soit 0,301 \( \text{kN/m} \)
Module élastique \( W_{\text{el},\text{y}} \)	324,3 \( \text{cm}^3 \)
Module plastique \( W_{\text{pl},\text{y}} \)	366,6 \( \text{cm}^3 \)
Facteur de forme \( W_{\text{pl},\text{y}}/W_{\text{el},\text{y}} \)	1,13
Moment quadratique \( I_{\text{y}} \)	3 892 \( \text{cm}^4 \)
Aire brute \( A \)	39,12 \( \text{cm}^2 \)
Aire de cisaillement \( A_{\text{v}} \) — calculée	19,15 \( \text{cm}^2 \)
Contrainte limite de cisaillement \( f_{\text{y}}/\sqrt{3} \)	135,7 \( \text{MPa} \)
Rappel — axe faible \( I_{\text{z}} \)	284 \( \text{cm}^4 \), sans objet ici

Deux points à connaître avant de calculer

La limite de flèche est un paramètre déterminé nationalement. Contrairement à ce qu'on lit parfois, elle n'est pas « laissée à l'appréciation de l'ingénieur » : elle est fixée par l'annexe nationale et dépend de la destination de l'ouvrage. La valeur \( L/250 \) est ici une donnée de l'étude : elle se lit dans la NF EN 1993-1-1/NA et peut être resserrée par les pièces du marché. Les valeurs usuelles vont de \( L/200 \) pour une toiture non accessible à \( L/500 \) pour un plancher supportant des cloisons fragiles.

L'aire de cisaillement se calcule, elle ne se lit pas. Les tableaux en circulation en donnent des valeurs discordantes : sur l'IPE 240, on rencontre 18,96 cm² là où la formule du § 6.2.6(3) donne 19,15 cm². Recalculez-la systématiquement à partir des cotes de section : c'est trois opérations et cela supprime toute incertitude sur la source.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche suit l'ordre logique de la vérification : établir ce que la poutre subit, puis confronter ces sollicitations à ce qu'elle peut opposer, critère après critère. La dernière question reprend l'ensemble avec le poids propre du profilé, que l'énoncé avait mis de côté sans jamais y revenir.

Question 1 : Combinaisons d'actions et sollicitations à l'ELU

Eurocode 0 — actions 20 min | Accessible

But de l'étape : Établir la charge de calcul et les deux sollicitations qui serviront à toutes les vérifications de résistance. Sans elles, aucun critère ne peut être évalué.

Énoncé Q1 : Appliquer la combinaison fondamentale à l'ELU puis la combinaison caractéristique à l'ELS, en citant la clause de la NF EN 1990 dont chacune relève. En déduire le moment fléchissant \( M_{\text{Ed}} \) et l'effort tranchant \( V_{\text{Ed}} \) maximaux, en précisant la section où chacun est atteint.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Les deux combinaisons n'ont pas le même objet. L'ELU vise la sécurité et pondère les actions ; l'ELS vise l'aptitude au service et les prend à leur valeur caractéristique, sans pondération.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Les efforts de calcul se déterminent toujours à partir de la combinaison ELU. La charge de service, calculée dès maintenant, ne servira qu'au critère de flèche de la question 4.

Question 2 : Classification et vérification en flexion

Eurocode 3 — flexion 20 min | Intermédiaire

But de l'étape : Établir la classe de la section, qui conditionne l'expression de la résistance, puis confronter le moment sollicitant au moment résistant du profilé imposé.

Énoncé Q2 : Classer la section de l'IPE 240 en traitant séparément l'âme fléchie et la semelle comprimée. En déduire l'expression applicable du moment résistant, calculer \( M_{\text{c},\text{Rd}} \) et le taux de travail en flexion. Commentez l'écart avec un calcul mené sur le module élastique.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'expression \( M_{\text{c},\text{Rd}} = W_{\text{pl},\text{y}} f_{\text{y}} / \gamma_{\text{M0}} \) n'est valable qu'en classe 1 ou 2. La classe se vérifie par deux divisions : elle ne se suppose pas, même si l'issue est prévisible sur un profilé laminé courant.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Les longueurs \( c \) se mesurent entre congés : \( c_{\text{w}} = h - 2t_{\text{f}} - 2r \) pour l'âme et \( c_{\text{f}} = (b - t_{\text{w}} - 2r)/2 \) pour la console de semelle. Le rayon de congé vaut 15 mm sur un IPE 240.

Question 3 : Cisaillement et interaction moment-effort tranchant

Eurocode 3 — cisaillement 25 min | Intermédiaire

But de l'étape : Vérifier que l'âme reprend l'effort tranchant sans plastifier, puis établir si le cisaillement réduit ou non la résistance en flexion calculée à la question précédente.

Énoncé Q3 : Calculer l'aire de cisaillement de l'IPE 240 par la formule de la NF EN 1993-1-1, en déduire \( V_{\text{pl},\text{Rd}} \) et le taux de travail. Examinez ensuite l'interaction moment-effort tranchant selon l'art. 6.2.8(2) et concluez sur la nécessité ou non de réduire le moment résistant.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'aire de cisaillement n'est ni l'aire totale, ni l'aire de l'âme seule. L'art. 6.2.6(3)a en donne l'expression exacte, qui inclut une contribution des congés de raccordement.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'interaction peut être négligée tant que \( V_{\text{Ed}} \le 0{,}5\,V_{\text{pl},\text{Rd}} \). Comparez donc l'effort tranchant à la moitié de la résistance, et non les taux de travail entre eux.

Question 4 (Finale) : Flèche à l'ELS et reprise avec le poids propre

Eurocode — ELS et bouclage 30 min | BOSS

But de l'étape : Achever la vérification par le critère de service, puis reprendre les quatre critères en réintégrant le poids propre du profilé — la seule charge qu'on ne pouvait pas connaître avant de l'avoir choisi.

Énoncé Q4 — le bouclage : Calculer la flèche à mi-portée sous les charges de service et la comparer à la limite admissible. Reprendre ensuite l'ensemble des quatre vérifications en réintégrant le poids propre de l'IPE 240, puis dresser le tableau de synthèse des taux de travail et désigner le critère qui gouverne.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Attention aux unités et aux ordres de grandeur : le dénominateur \( 384\,E\,I_{\text{y}} \) vaut environ \( 3{,}14 \times 10^{15} \) et non \( 10^{18} \). Un contrôle d'exposant évite ici une erreur d'un facteur mille.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le poids propre est une charge permanente : il s'ajoute à \( G_{\text{k}} \) et reçoit donc 1,35 à l'ELU, mais aucun coefficient à l'ELS. Les deux combinaisons doivent être reprises.

NOTE DE CALCULS

Vérification complète d'une poutre métallique IPE 240

Question 1 : Combinaisons d'actions et sollicitations à l'ELU

Dans la tête de l'ingénieur

"Le profilé est imposé, donc je ne cherche pas à choisir : je dois établir ce que la poutre subit, puis le confronter à ce qu'elle peut opposer. Première étape, les charges. La norme en impose deux versions, qui n'ont ni le même objet ni les mêmes coefficients — l'une couvre la ruine, l'autre décrit l'exploitation. Je vais donc calculer les deux dès maintenant, même si la seconde ne servira qu'en toute fin d'étude. C'est une discipline d'écriture qui évite bien des confusions. Ensuite viennent les deux sollicitations, et là je veux savoir non seulement combien mais surtout où : ce sont les sections que je vérifierai ensuite."

Observation : Deux charges linéiques déjà exprimées au mètre courant : la descente de charges est faite. C'est une différence notable avec un exercice de dimensionnement complet, où il faut partir de charges surfaciques et d'une bande d'influence.
Analyse du risque : Le piège majeur est d'employer une seule charge pour les deux états limites. L'écart n'a rien de marginal : 9,9 kN/m à l'ELU contre 7,0 kN/m à l'ELS, soit 41 % de plus, et la confusion peut aller dans les deux sens.
Choix stratégique : Calculer les deux combinaisons dès maintenant et les nommer distinctement, même si la seconde ne servira qu'en question 4. Un tableau à deux colonnes en tête de note supprime définitivement le risque de confusion.
Alternative : La NF EN 1990 propose aussi les expressions (6.10a) et (6.10b), moins conservatives d'environ 5 à 10 %. Sur une vérification isolée le gain ne justifie pas la complication ; sur un bâtiment entier, il peut faire descendre d'une taille de profilé.
Objectif visé : Disposer des deux sollicitations de calcul et de la charge de service, qui alimenteront séparément les trois vérifications de résistance et celle de la flèche.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( p_{\text{Ed}} = 9{,}9 \text{ kN/m} \) · \( M_{\text{Ed}} = 44{,}55 \text{ kN}\cdot\text{m} \) · \( V_{\text{Ed}} = 29{,}7 \text{ kN} \)

Rappel Théorique : Combinaisons d'actions et efforts internes

Deux notions distinctes structurent cette étape. Les combinaisons d'actions répondent à une question réglementaire : avec quels coefficients cumuler des charges de natures différentes ? Les efforts internes répondent à une question mécanique : que subit chaque section de la poutre ?

Deux natures d'actions : Les actions permanentes \( G_{\text{k}} \) sont présentes en permanence et connues avec une bonne précision : poids des matériaux, des revêtements, des cloisons fixes. Les actions variables \( Q_{\text{k}} \) fluctuent et sont estimées statistiquement : mobilier, personnes, matériel. Cette différence de connaissance justifie des coefficients partiels différents.
La combinaison fondamentale à l'ELU : L'expression (6.10) de la NF EN 1990, art. 6.4.3.2, applique \( \gamma_{\text{G}} = 1{,}35 \) aux actions permanentes défavorables et \( \gamma_{\text{Q}} = 1{,}50 \) aux actions variables. L'écart entre les deux reflète l'incertitude plus grande qui pèse sur les secondes : on majore davantage ce que l'on connaît moins bien.
La combinaison caractéristique à l'ELS : L'art. 6.5.3 de la NF EN 1990 retient les actions à leur valeur caractéristique, sans aucune pondération. La logique est différente : il ne s'agit plus de couvrir un événement rare mais de juger du comportement sous les charges réellement attendues en exploitation.
L'allure des diagrammes d'efforts : Sous charge uniformément répartie, l'effort tranchant varie linéairement depuis chaque appui jusqu'au milieu où il s'annule, et le moment fléchissant décrit une parabole nulle aux appuis et maximale à mi-portée. Cette allure se retient visuellement mieux qu'elle ne se mémorise.
Le déphasage des deux maximums : L'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant : le moment est donc extremum là où l'effort tranchant s'annule. Sur une poutre isostatique uniformément chargée, les deux ne culminent jamais dans la même section — ce qui rendra l'interaction sans objet en question 3.

Équations Fondamentales

Quatre relations composent cette étape : les deux combinaisons réglementaires, puis les deux expressions d'efforts. Elles sont traitées séparément car elles relèvent de logiques distinctes et alimenteront des vérifications différentes.

Combinaison fondamentale à l'ELU — EN 1990 expression (6.10) :

Elle fournit la charge de calcul servant aux trois vérifications de résistance.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la sécurité impose de couvrir des situations plus défavorables que celles attendues en exploitation courante. La pondération traduit l'incertitude qui pèse sur chaque nature d'action, et non une prévision de surcharge.

Contexte de validité : Situation de projet durable ou transitoire, avec une seule action variable. En présence de plusieurs, chacune devient tour à tour dominante et les autres sont affectées de leur coefficient \( \psi_0 \).
Avantage : L'expression (6.10) est la plus simple et la plus sûre des trois que propose la norme. Elle donne le résultat en une ligne, sans comparaison de combinaisons concurrentes.
Paramètre clé : Le rapport entre les deux coefficients. \( \gamma_{\text{Q}} = 1{,}50 \) excède \( \gamma_{\text{G}} = 1{,}35 \) parce que les charges d'exploitation sont beaucoup moins bien connues que le poids des matériaux.
Vérification : Le rapport \( p_{\text{Ed}}/p_{\text{ser}} \) doit se situer entre 1,35 et 1,50, puisqu'il s'agit d'une moyenne pondérée. Toute valeur hors de cette plage signale une erreur de coefficient.
Limite : Les coefficients changent de valeur lorsque l'action permanente est favorable — \( \gamma_{\text{G}} \) tombe alors à 1,00 — ou en situation accidentelle, où tous valent 1,00.

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} = \gamma_{\text{G}} \, G_{\text{k}} + \gamma_{\text{Q}} \, Q_{\text{k}} = 1{,}35 \, G_{\text{k}} + 1{,}50 \, Q_{\text{k}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? La pondération ne prédit pas une surcharge : elle couvre une incertitude. Le poids d'une dalle est connu à quelques pour cent près — on connaît l'épaisseur et la masse volumique — d'où un coefficient modéré. Le mobilier, les occupants et le matériel sont en revanche imprévisibles : une salle d'archives improvisée dans un plateau conçu pour des bureaux peut doubler la charge réelle. D'où le coefficient plus sévère. La logique est donc statistique et non physique : on majore d'autant plus qu'on connaît moins bien, et l'ensemble est calibré pour que la probabilité de ruine reste sous une valeur cible sur la durée de vie de l'ouvrage.

Décomposition des termes :

\( p_{\text{Ed}} \) : charge linéique de calcul à l'état limite ultime, unité : \( \text{kN/m} \)
\( G_{\text{k}} \) : charge linéique permanente caractéristique, unité : \( \text{kN/m} \)
\( Q_{\text{k}} \) : charge linéique d'exploitation caractéristique, unité : \( \text{kN/m} \)
\( \gamma_{\text{G}} \) : coefficient partiel des actions permanentes défavorables, unité : sans dimension
\( \gamma_{\text{Q}} \) : coefficient partiel des actions variables défavorables, unité : sans dimension

Combinaison caractéristique à l'ELS — EN 1990 art. 6.5.3 :

Elle fournit la charge de service servant à la vérification de la flèche.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la vérification du confort n'a aucune raison d'employer des charges majorées. On cherche à savoir comment la structure se comporte réellement en exploitation, pas à couvrir un scénario extrême.

Contexte de validité : Combinaison caractéristique, dite aussi rare, employée pour les effets irréversibles. La norme définit aussi des combinaisons fréquente et quasi-permanente, avec des coefficients réducteurs sur les actions variables.
Avantage : Aucun coefficient à appliquer : la somme directe des actions caractéristiques suffit. C'est la combinaison la plus simple de toute la NF EN 1990.
Paramètre clé : L'absence de pondération, qui est précisément ce qui distingue cette combinaison de la précédente. C'est le point sur lequel se concentrent les erreurs de méthode.
Vérification : La charge de service doit toujours être inférieure à la charge ultime. Trouver l'inverse signale une inversion des deux combinaisons.
Limite : Pour une flèche de longue durée, la combinaison quasi-permanente serait plus pertinente : elle n'applique que la fraction \( \psi_2 \) de la charge d'exploitation, soit 30 % pour des bureaux.

\[ \begin{aligned} p_{\text{ser}} = G_{\text{k}} + Q_{\text{k}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Cette combinaison décrit la structure telle qu'elle vit, avec les charges qu'elle porte effectivement un jour ordinaire. Elle ne cherche pas à couvrir la ruine mais à répondre à une question de bon sens : le plancher sera-t-il agréable à utiliser ? Les cloisons resteront-elles intactes, les portes s'ouvriront-elles, le sol paraîtra-t-il ferme sous le pas ? Ce sont des questions de fonction et de durabilité, non de sécurité — et il serait absurde de les traiter avec des charges majorées que la structure ne rencontrera peut-être jamais. Les conséquences d'un dépassement diffèrent d'ailleurs radicalement : à l'ELU on parle d'effondrement, à l'ELS de fissures et d'inconfort.

Décomposition des termes :

\( p_{\text{ser}} \) : charge linéique de service à l'état limite de service, unité : \( \text{kN/m} \)
\( G_{\text{k}} \) : charge linéique permanente caractéristique, unité : \( \text{kN/m} \)
\( Q_{\text{k}} \) : charge linéique d'exploitation caractéristique, unité : \( \text{kN/m} \)

Moment fléchissant maximal à mi-portée :

Il fournit la sollicitation qui sera confrontée au moment résistant du profilé.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est le moment qui gouverne le plus souvent une poutre fléchie. Sur une vérification, c'est lui qui donne le premier taux de travail et qui indique d'emblée si le profilé imposé a une chance de convenir.

Contexte de validité : Poutre isostatique sur deux appuis simples, charge uniformément répartie. Les appuis articulés ne transmettent aucun moment, ce qui annule le diagramme à ses deux extrémités.
Avantage : Une formule universellement connue, applicable de tête, qui fournit directement la valeur dimensionnante sans construire le diagramme complet.
Paramètre clé : La portée, qui intervient au carré. Augmenter la portée de 20 % majore le moment de 44 % : c'est le paramètre le plus sensible de la vérification.
Vérification : Le moment se retrouve par l'équilibre d'une demi-poutre : réaction fois demi-portée, moins la charge de la demi-travée fois son bras de levier. Le contrôle est gratuit.
Limite : Un encastrement à une extrémité déplacerait le maximum et en changerait la valeur : le moment sur appui encastré vaut \( pL^2/12 \) et devient souvent dimensionnant.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} = \frac{p_{\text{Ed}} \, L^2}{8} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le moment fléchissant mesure la tendance de la poutre à se plier dans une section donnée. Il est nul aux appuis, qui laissent la poutre tourner librement, et croît vers le milieu où le bras de levier des charges est maximal. Le carré de la portée traduit un double effet qui se multiplie : une poutre deux fois plus longue reçoit deux fois plus de charge, et chaque part de cette charge agit avec deux fois plus de bras de levier. D'où le facteur quatre. C'est la raison mécanique pour laquelle franchir de grandes portées coûte si cher en acier, et pourquoi l'ajout d'un appui intermédiaire est presque toujours plus économique qu'un profilé plus fort.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{Ed}} \) : valeur de calcul du moment fléchissant maximal, unité : \( \text{kN}\cdot\text{m} \)
\( p_{\text{Ed}} \) : charge linéique de calcul à l'ELU, unité : \( \text{kN/m} \)
\( L \) : portée entre axes d'appuis, unité : \( \text{m} \)

Effort tranchant maximal aux appuis :

Il fournit la sollicitation qui servira à vérifier l'âme du profilé.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la vérification au cisaillement doit porter sur la section la plus sollicitée. Sous charge uniformément répartie et appuis symétriques, c'est aux deux appuis que l'effort tranchant culmine, et il y vaut exactement la réaction.

Contexte de validité : Même cadre que pour le moment. Toute charge concentrée créerait un saut dans le diagramme d'effort tranchant et déplacerait potentiellement le maximum.
Avantage : Le résultat s'obtient sans passer par les réactions, puisque l'effort tranchant à l'appui leur est justement égal. Une seule division suffit.
Paramètre clé : La charge linéique, à ne jamais confondre avec la charge totale \( p_{\text{Ed}} L \). L'une s'exprime en kN par mètre, l'autre en kN : la confusion coûte ici un facteur six.
Vérification : La somme des deux réactions doit restituer la charge totale : \( 2 \times 29{,}7 = 59{,}4\ \text{kN} = 9{,}9 \times 6{,}00 \). Le contrôle ne coûte rien.
Limite : Sur une poutre continue, l'effort tranchant sur appui intermédiaire dépasse nettement \( pL/2 \), la travée voisine y apportant sa propre contribution.

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} = \frac{p_{\text{Ed}} \, L}{2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit une chose très simple : chaque appui reprend la moitié de ce qui tombe sur la poutre. La charge totale vaut \( p_{\text{Ed}} L \), la symétrie la partage également entre les deux supports, et l'effort tranchant au droit de l'appui est précisément cette réaction. En s'éloignant vers le milieu, une part croissante de la charge se trouve « derrière » la section considérée et vient compenser la réaction : l'effort tranchant décroît linéairement jusqu'à s'annuler à mi-portée. C'est la raison pour laquelle une poutre cède en cisaillement près de ses appuis, jamais en son milieu — un fait que confirme l'observation des ruines réelles.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{Ed}} \) : valeur de calcul de l'effort tranchant maximal, unité : \( \text{kN} \)
\( p_{\text{Ed}} \) : charge linéique de calcul à l'ELU, unité : \( \text{kN/m} \)
\( L \) : portée entre axes d'appuis, unité : \( \text{m} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants calculent une seule charge — souvent celle de l'ELU — et l'emploient aussi bien pour les efforts que pour la flèche…"

L'approche d'ingénieur : C'est l'erreur de méthode la plus répandue de la vérification de poutres. Elle peut aller dans les deux sens, et l'un des deux est franchement dangereux.

L'erreur : Employer \( p_{\text{Ed}} = 9{,}9\ \text{kN/m} \) dans la formule de la flèche : celle-ci ressortirait à 20,4 mm au lieu de 14,45. Ou l'inverse, employer \( p_{\text{ser}} \) pour les efforts : le moment tomberait à 31,5 kN·m au lieu de 44,55.
La bonne méthode : Calculer les deux combinaisons dès la première question et les nommer distinctement. Un tableau à deux colonnes en tête de note supprime définitivement le risque.
L'astuce de pro : Retenir la règle d'indice : toute grandeur portant \( Ed \) se calcule à partir de la combinaison ELU, toute formule de déformation appelle \( ser \). Ne jamais écrire \( p \) seul dans une note.
Le moyen mnémotechnique : « On majore pour ne pas casser, on ne majore pas pour juger du confort. » La sécurité couvre l'improbable, le service décrit l'ordinaire.
L'impact direct : Dans le sens sécuritaire, l'erreur coûte de l'acier inutile. Dans l'autre sens, elle conduit à déclarer vérifié un profilé qui ne l'est pas — et le désordre ne se manifeste que le jour de la combinaison la plus défavorable.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Charges linéiques : données en \( \text{kN/m} \), équivalentes à des \( \text{N/mm} \) — correspondance exacte et commode pour la flèche.
Portée : \( 6{,}00\ \text{m} \), conservée en mètres pour les efforts, à convertir en millimètres pour la flèche.
Moment : produit d'une charge linéique par une longueur au carré, donc en \( \text{kN}\cdot\text{m} \).
Effort tranchant : produit d'une charge linéique par une longueur, donc en \( \text{kN} \).
Coefficients partiels : rapports de grandeurs de même nature, donc sans dimension.

Quatre étapes s'enchaînent : les deux combinaisons, puis les deux sollicitations. L'ordre importe, car les efforts se déduisent de la charge pondérée et non des charges caractéristiques prises isolément.

1. Résolution Numérique Charge de calcul à l'état limite ultime

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les trois vérifications de résistance — flexion, cisaillement, interaction — se mènent sur des charges pondérées, seules capables de couvrir les incertitudes sur les actions.

Méthodologie du calcul :

On applique l'expression (6.10) en affectant chaque nature d'action de son coefficient partiel, puis on somme. Les deux termes sont conservés séparés pour rendre la relecture possible.

Substitution : On injecte \( G_{\text{k}} = 4{,}0\ \text{kN/m} \) avec \( \gamma_{\text{G}} = 1{,}35 \), et \( Q_{\text{k}} = 3{,}0\ \text{kN/m} \) avec \( \gamma_{\text{Q}} = 1{,}50 \).
Piège évité : Ne pas intervertir les coefficients. Le 1,50 s'applique aux charges variables, moins bien connues, et le 1,35 aux permanentes. L'inversion donnerait 10,05 au lieu de 9,90.
Hypothèse validée : Les deux actions sont défavorables : elles augmentent toutes deux les sollicitations. Une action permanente favorable recevrait \( \gamma_{\text{G}} = 1{,}00 \).
Vérification croisée : Le rapport \( p_{\text{Ed}}/p_{\text{ser}} = 9{,}9/7{,}0 = 1{,}414 \) se situe bien entre 1,35 et 1,50, comme l'exige la logique d'une moyenne pondérée.
Finalité : Obtenir la charge de calcul qui servira à établir le moment fléchissant et l'effort tranchant.

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= 1{,}35 \, G_{\text{k}} + 1{,}50 \, Q_{\text{k}} \\ &= 1{,}35 \times 4{,}0 + 1{,}50 \times 3{,}0 \\ &= 5{,}40 + 4{,}50 \\ &= \mathbf{9{,}90} \ \text{kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

9,90 kN/m à l'état limite ultime, soit 41 % de plus que la charge de service. Les deux termes pondérés sont proches, 5,40 et 4,50 kN/m, ce qui est caractéristique des planchers de bureaux.

Ordre de grandeur : 9,90 kN/m pour une charge de service de 7,00 : le rapport de 1,414 est bien la moyenne pondérée attendue entre 1,35 et 1,50.
Impact sur la suite : Cette valeur produira le moment fléchissant et l'effort tranchant, donc alimentera les trois vérifications de résistance de l'étude.
Cohérence : Les deux contributions pondérées sont du même ordre, ce qui reflète l'équilibre entre permanentes et exploitation propre aux planchers de bureaux.
Attention : Cette charge est établie hors poids propre du profilé, comme le précise l'énoncé. Elle devra être reprise en question 4 une fois cette charge réintégrée.
Comparaison : L'expression (6.10b), plus fine, appliquerait \( \xi = 0{,}85 \) aux permanentes et donnerait 9,09 kN/m, soit 8 % de moins.

Remarque pédagogique : Un mot sur les trois expressions que propose la NF EN 1990 pour l'ELU. La (6.10), employée ici, est la plus simple et la plus conservative. Les (6.10a) et (6.10b) forment un couple dont il faut retenir le résultat le plus défavorable : elles affectent les permanentes d'un facteur réducteur \( \xi = 0{,}85 \) ou l'exploitation de son coefficient \( \psi_0 \), et donnent typiquement 5 à 10 % de charge en moins. Sur une vérification isolée, le gain ne justifie pas la complication ; sur un bâtiment entier, il peut faire descendre d'une taille de profilé sur des centaines d'éléments et devient alors très rentable.

Charge de service à l'état limite de service

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la vérification de la flèche, en question 4, doit porter sur les charges réellement attendues en exploitation, et non sur des charges majorées pour couvrir la ruine.

Méthodologie du calcul :

On somme les deux charges caractéristiques, sans appliquer aucun coefficient. C'est le sens même de la combinaison caractéristique de l'art. 6.5.3.

Substitution : On additionne \( G_{\text{k}} = 4{,}0\ \text{kN/m} \) et \( Q_{\text{k}} = 3{,}0\ \text{kN/m} \), sans pondération d'aucune sorte.
Piège évité : Ne rien pondérer. Appliquer par réflexe les coefficients de l'ELU est l'erreur la plus fréquente de cette étape, et elle est difficile à repérer en relecture.
Hypothèse validée : La combinaison caractéristique est retenue, la flèche d'un plancher relevant d'effets irréversibles sur les éléments non structuraux.
Vérification croisée : La charge de service doit être inférieure à la charge ultime : 7,00 contre 9,90 kN/m, la relation attendue est respectée.
Finalité : Obtenir la charge qui servira exclusivement au calcul de la flèche, en question 4.

\[ \begin{aligned} p_{\text{ser}} &= G_{\text{k}} + Q_{\text{k}} \\ &= 4{,}0 + 3{,}0 \\ &= \mathbf{7{,}00} \ \text{kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

7,00 kN/m en service. C'est la charge que la solive portera réellement un jour ordinaire d'exploitation, et c'est elle seule qui gouverne la déformation ressentie par les usagers.

Ordre de grandeur : 7,00 kN/m contre 9,90 à l'ELU : l'écart de 41 % mesure exactement ce que coûte la couverture des incertitudes sur les actions.
Impact sur la suite : Cette charge alimentera uniquement le calcul de la flèche. Elle n'intervient dans aucune vérification de résistance.
Cohérence : \( p_{\text{ser}} \lt p_{\text{Ed}} \) : la relation attendue est respectée, ce qui écarte toute inversion des deux combinaisons.
Attention : Cette charge est elle aussi établie hors poids propre. Le bouclage de la question 4 devra la reprendre, sans pondération cette fois.
Comparaison : La combinaison quasi-permanente donnerait \( 4{,}0 + 0{,}3 \times 3{,}0 = 4{,}90\ \text{kN/m} \), soit 30 % de moins — et une flèche ramenée à 10 mm.

Remarque pédagogique : La NF EN 1990 définit en réalité trois combinaisons de service, et le choix entre elles n'est pas indifférent. La combinaison caractéristique, employée ici, cumule toutes les actions à leur valeur nominale et convient aux effets irréversibles — fissuration de cloisons, décollement de revêtements. La fréquente et la quasi-permanente appliquent des coefficients réducteurs aux actions variables, et conviennent respectivement au confort d'usage et aux effets de longue durée. Sur un plancher acier, l'usage courant retient la caractéristique — mais il faut savoir qu'elle est le choix le plus sévère des trois.

Moment fléchissant maximal à mi-portée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la sollicitation qui sera confrontée au moment résistant du profilé, et qui donnera le premier taux de travail de la vérification.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule du cas de charge uniformément réparti avec la charge pondérée, en veillant à élever la portée au carré avant la multiplication.

Substitution : On injecte \( p_{\text{Ed}} = 9{,}90\ \text{kN/m} \), issue de la combinaison fondamentale, et \( L = 6{,}00\ \text{m} \).
Piège évité : Le dénominateur vaut 8 pour une poutre sur deux appuis simples. Le facteur 12 correspond au moment sur appui d'une poutre bi-encastrée, le 4 à une charge concentrée à mi-portée.
Hypothèse validée : Les appuis sont articulés : le diagramme est bien une parabole s'annulant à ses deux extrémités, sans moment transmis aux appuis.
Vérification croisée : L'équilibre de la demi-poutre redonne \( 29{,}7 \times 3{,}00 - 9{,}90 \times 3{,}00 \times 1{,}50 = 89{,}1 - 44{,}55 = 44{,}55\ \text{kN}\cdot\text{m} \).
Finalité : Obtenir la sollicitation qui sera confrontée au moment résistant en question 2.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{p_{\text{Ed}} \, L^2}{8} \\ &= \frac{9{,}90 \times 6{,}00^2}{8} \\ &= \frac{9{,}90 \times 36{,}0}{8} \\ &= \frac{356{,}4}{8} \\ &= \mathbf{44{,}55} \ \text{kN}\cdot\text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

44,55 kN·m à mi-portée. C'est la sollicitation de flexion que l'IPE 240 devra reprendre, et elle laisse présager un taux de travail modéré au vu du module plastique du profilé.

Ordre de grandeur : 44,55 kN·m pour une portée de 6 m sous 9,90 kN/m : une valeur courante pour une solive de plancher de bureaux.
Impact sur la suite : Confrontée au moment résistant de l'IPE 240, cette valeur donnera le premier taux de travail de la vérification.
Cohérence : Le contrôle par équilibre de la demi-poutre redonne exactement la même valeur, ce qui valide simultanément le moment et l'effort tranchant.
Attention : Cette valeur n'inclut pas le poids propre du profilé. Elle devra être reprise en question 4.
Comparaison : Avec la charge de service, le moment tomberait à 31,5 kN·m — soit 29 % de moins. C'est l'écart exact que coûterait la confusion entre les deux combinaisons.

Remarque pédagogique : La dépendance quadratique à la portée est le fait le plus structurant du dimensionnement en flexion. Elle explique pourquoi les grandes portées coûtent si cher en acier, et pourquoi l'ajout d'un appui intermédiaire est presque toujours plus économique qu'un profilé plus fort : diviser la portée par deux divise le moment par quatre, et la flèche par seize. Sur une vérification d'ouvrage existant, ce constat prend un tour très concret : quand un profilé ne passe pas, ajouter un appui intermédiaire est souvent la seule intervention réalisable sans déposer la structure.

Effort tranchant maximal aux appuis

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la vérification au cisaillement de la question 3 portera sur cette section, la plus sollicitée de toute la poutre en effort tranchant.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule du cas de charge uniformément réparti avec la même charge pondérée. Le résultat est directement la réaction d'appui, la symétrie partageant la charge totale à parts égales.

Substitution : On injecte \( p_{\text{Ed}} = 9{,}90\ \text{kN/m} \) et \( L = 6{,}00\ \text{m} \), les mêmes grandeurs que pour le moment.
Piège évité : Employer la charge linéique et non la charge totale de 59,4 kN. La formule contient déjà la portée : la faire intervenir deux fois doublerait le résultat.
Hypothèse validée : La poutre est isostatique et symétriquement chargée : les deux réactions sont égales et valent chacune la moitié de la charge totale.
Vérification croisée : La somme des deux réactions doit restituer la charge totale : \( 29{,}7 + 29{,}7 = 59{,}4\ \text{kN} = 9{,}90 \times 6{,}00 \).
Finalité : Obtenir la sollicitation qui sera confrontée à la résistance au cisaillement \( V_{\text{pl},\text{Rd}} \) en question 3.

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} &= \frac{p_{\text{Ed}} \, L}{2} \\ &= \frac{9{,}90 \times 6{,}00}{2} \\ &= \frac{59{,}4}{2} \\ &= \mathbf{29{,}7} \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

29,7 kN à chaque appui, soit environ trois tonnes. C'est une valeur modeste pour un profilé métallique, et l'on peut déjà pressentir que le cisaillement ne sera pas le critère déterminant.

Ordre de grandeur : 29,7 kN correspond bien à la moitié de la charge totale de 59,4 kN. La symétrie du problème est respectée, ce qui valide le résultat sans autre calcul.
Impact sur la suite : Cette valeur sera comparée à la résistance au cisaillement de l'IPE 240, qui dépassera 250 kN : le taux de travail restera très faible.
Cohérence : L'effort tranchant est maximal aux appuis et nul à mi-portée, conformément à l'allure linéaire de son diagramme sous charge uniformément répartie.
Attention : Cet effort est aussi celui que devront reprendre les assemblages de la solive sur ses appuis. Une note complète doit les vérifier, ce qui sort du cadre de cet exercice.
Comparaison : Une charge concentrée de 59,4 kN à mi-portée donnerait le même effort tranchant, mais un moment supérieur de 50 %. Le mode de répartition compte davantage pour le moment que pour le tranchant.

Remarque pédagogique : Cet effort tranchant a une seconde vie que l'exercice n'aborde pas : c'est lui que doivent reprendre les assemblages d'extrémité de la solive, cornières ou platines boulonnées sur l'âme des poutres porteuses. Une note de calculs complète ne s'arrête donc pas au profilé : elle vérifie aussi la transmission de l'effort à ses deux extrémités, selon la NF EN 1993-1-8. C'est d'ailleurs souvent l'assemblage, et non la poutre, qui gouverne le coût réel d'une structure métallique — l'acier est bon marché, la main-d'œuvre de fabrication ne l'est pas.

RÉSULTAT FINAL

\( M_{\text{Ed}} / V_{\text{Ed}} \) = 44,55 / 29,7 kN·m et kN

"Avec p_ser = 7,00 kN/m mis de côté pour la flèche, les trois vérifications de résistance peuvent commencer."

Question 2 : Classification et vérification en flexion

Dans la tête de l'ingénieur

"Une question conditionne tout le reste : dois-je employer le module élastique ou le module plastique ? L'écart atteint 13 % sur un IPE, et la réponse ne dépend ni de mon choix ni de mon intuition mais de la classe de la section. Or la classe se vérifie par deux divisions, pas davantage. La tentation est grande d'employer le module plastique « puisque la section est sûrement de classe 1 ou 2 » sans jamais établir cette classe — c'est poser l'hypothèse sans la vérifier. Je vais donc classer d'abord, et n'appliquer l'expression de la résistance qu'ensuite, une fois son domaine de validité confirmé."

Observation : Un profilé laminé à chaud en acier S235, aux semelles de 9,8 mm et à l'âme de 6,2 mm. Ces épaisseurs sont généreuses au regard des dimensions, ce qui laisse présager une classe favorable et l'absence de voilement local.
Analyse du risque : Employer le module plastique sur une section de classe 3 surestimerait la résistance de 13 %, sans qu'aucun contrôle ultérieur ne le signale. Le calcul se déroulerait normalement et le résultat resterait plausible.
Choix stratégique : Traiter séparément l'âme et la semelle, puis retenir la plus défavorable des deux classes obtenues. Une section composée ne vaut jamais mieux que sa paroi la plus élancée.
Alternative : On pourrait dimensionner sur le module élastique par prudence, ce qui serait conservatif de 13 %. C'est obligatoire en classe 3, mais ce serait ici une pénalité gratuite : la classe 1 autorise la plastification complète.
Objectif visé : Établir le premier taux de travail de la vérification, et disposer de la résistance en flexion que l'interaction moment-tranchant pourrait venir réduire en question 3.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Section de classe 1 · \( M_{\text{c},\text{Rd}} = 86{,}15 \text{ kN}\cdot\text{m} \) · taux de travail 51,7 %

Rappel Théorique : Classes de section et modules de résistance

La résistance d'une section fléchie dépend de sa capacité à plastifier entièrement avant que ses parois ne voilent localement. La classification tranche cette question, et elle détermine lequel des deux modules de résistance — plastique ou élastique — peut être employé dans le calcul.

Le facteur de forme : Le rapport \( W_{\text{pl},\text{y}}/W_{\text{el},\text{y}} \), appelé facteur de forme, vaut 1,13 pour un IPE 240 et 1,5 pour une section rectangulaire pleine. Il mesure la réserve que le calcul élastique laisse inexploitée, et dépend uniquement de la géométrie — jamais du matériau ni du chargement.
Ce que dit la classe : Les classes 1 et 2 autorisent le module plastique, la première permettant en outre la rotation nécessaire à une analyse plastique globale. La classe 3 limite au module élastique. La classe 4 impose des propriétés efficaces réduites selon la NF EN 1993-1-5.
Deux parois, deux limites : Pour une poutre fléchie, l'âme est partiellement comprimée avec une limite de classe 1 à \( 72\,\varepsilon \), tandis que la semelle supérieure est entièrement comprimée avec une limite bien plus sévère de \( 9\,\varepsilon \). L'écart tient à ce que l'âme est tenue sur ses deux bords et n'est comprimée que sur la moitié de sa hauteur.
La classe de la section : C'est la plus défavorable des classes de ses parois. Une section dont l'âme serait de classe 1 mais la semelle de classe 3 est une section de classe 3. Il faut donc mener les deux vérifications, sans se contenter de celle qui paraît la plus critique à l'œil.
Le déversement, écarté mais jamais anodin : L'expression du moment résistant suppose que la poutre ne déverse pas. Sur une solive de plancher, le plancher lui-même assure ce maintien de façon continue. Mais sur une poutre nue en phase de montage, le déversement redevient déterminant — et c'est en phase provisoire que surviennent la plupart des sinistres.

Équations Fondamentales

Trois relations structurent cette question : les limites de classe qui conditionnent l'expression de la résistance, l'expression elle-même, et le critère réglementaire qu'elle doit satisfaire. Chacune fait l'objet d'un bloc distinct.

Limites de classe pour une section fléchie — EN 1993-1-1 tableau 5.2 :

Elles déterminent si la section peut développer sa pleine résistance plastique.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'expression du moment résistant diffère selon la classe. C'est la condition de validité de tout ce qui suit, et elle doit donc être établie avant et non après.

Contexte de validité : Les limites dépendent du diagramme de contraintes dans la paroi. Une âme fléchie, comprimée sur une moitié seulement, est bien plus tolérante qu'une âme entièrement comprimée : 72ε contre 33ε.
Avantage : Deux divisions suffisent à trancher, sans itération. Le résultat est binaire et vérifiable par un tiers en quelques secondes, ce qui en fait un excellent point de contrôle en début de note.
Paramètre clé : La semelle comprimée, dont la limite de \( 9\,\varepsilon \) est de loin la plus sévère. Son bord libre la rend bien plus sensible au voilement que l'âme, tenue sur ses deux bords.
Vérification : Les longueurs \( c \) se mesurent entre congés. Ignorer les rayons de raccordement — 15 mm sur un IPE 240 — gonflerait les élancements de paroi de plus de 15 %.
Limite : En acier S355, \( \varepsilon \) tombe à 0,81 et les limites se resserrent d'autant. Un profilé de classe 1 en S235 peut basculer en classe 2 sans qu'aucune cote n'ait changé.

\[ \begin{aligned} \text{ame flechie} &: \ \frac{c_{\text{w}}}{t_{\text{w}}} \le 72\,\varepsilon \\ &\quad \text{semelle comprimee} : \ \frac{c_{\text{f}}}{t_{\text{f}}} \le 9\,\varepsilon \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Ces critères mesurent la sveltesse locale de chaque paroi, à ne pas confondre avec l'élancement de la poutre entière. Une tôle trop mince par rapport à sa largeur se froisse sous la compression, comme une feuille de papier poussée par la tranche, sans que le matériau soit pour autant surchargé. L'écart considérable entre 72 et 9 s'explique par deux effets qui se cumulent : l'âme est tenue sur ses deux bords par les semelles, là où chaque demi-semelle possède un bord entièrement libre ; et l'âme n'est comprimée que sur la moitié de sa hauteur, l'autre moitié étant tendue et donc stabilisatrice.

Décomposition des termes :

\( c_{\text{w}} \) : hauteur droite de l'âme, mesurée entre les congés, unité : \( \text{mm} \)
\( t_{\text{w}} \) : épaisseur de l'âme, unité : \( \text{mm} \)
\( c_{\text{f}} \) : largeur de la console de semelle, du congé au bord libre, unité : \( \text{mm} \)
\( t_{\text{f}} \) : épaisseur de la semelle, unité : \( \text{mm} \)
\( \varepsilon \) : coefficient de nuance, \( \sqrt{235/f_{\text{y}}} \), unité : sans dimension

Moment résistant plastique — EN 1993-1-1 équation (6.13) :

Elle donne la résistance en flexion d'une section de classe 1 ou 2.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle relie une caractéristique géométrique tabulée à une résistance mécanique. C'est cette relation qui permet de statuer sur l'aptitude d'un profilé imposé sans recourir à l'essai.

Contexte de validité : Section de classe 1 ou 2 exclusivement. En classe 3, il faut substituer \( W_{\text{el},\text{y}} \) au module plastique ; en classe 4, un module efficace calculé selon la NF EN 1993-1-5.
Avantage : Elle exploite la réserve plastique de la section, soit 13 % de gain sur un IPE 240 par rapport au calcul élastique. C'est autant de marge supplémentaire à résistance réelle inchangée.
Paramètre clé : Le module plastique d'axe fort \( W_{\text{pl},\text{y}} \). Sur un IPE 240, il vaut 366,6 cm³ quand le module d'axe faible ne vaut que 73,9 cm³ — cinq fois moins.
Vérification : Le rapport \( W_{\text{pl},\text{y}}/W_{\text{el},\text{y}} = 366{,}6/324{,}3 = 1{,}13 \) correspond au facteur de forme attendu pour un profilé en I. Un écart notable signalerait une erreur de lecture.
Limite : L'expression suppose que le déversement est écarté. Sans maintien latéral de la semelle comprimée, il faudrait vérifier la poutre selon l'art. 6.3.2 et la résistance chuterait fortement.

\[ \begin{aligned} M_{\text{c},\text{Rd}} = \frac{W_{\text{pl},\text{y}} \, f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle décrit une section entièrement plastifiée : toutes les fibres au-dessus de l'axe neutre travaillent à \( f_{\text{y}} \) en compression, toutes celles en dessous à \( f_{\text{y}} \) en traction. Le module plastique n'est rien d'autre que le moment statique des deux demi-sections par rapport à cet axe, c'est-à-dire le bras de levier interne du couple ainsi formé. Le calcul élastique, lui, n'admet la limite d'élasticité que dans la fibre extrême et laisse tout le reste de la section sous-employé. L'écart de 13 % entre les deux mesure exactement la réserve que le calcul élastique gaspille — et cette réserve n'est mobilisable que si la section ne voile pas, ce que la classification vient précisément de garantir.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{c},\text{Rd}} \) : moment résistant de calcul de la section, unité : \( \text{N}\cdot\text{mm} \)
\( W_{\text{pl},\text{y}} \) : module de résistance plastique selon l'axe fort, unité : \( \text{mm}^3 \)
\( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de l'acier, unité : \( \text{MPa} \)
\( \gamma_{\text{M0}} \) : coefficient partiel de résistance des sections, unité : sans dimension

Critère de résistance en flexion — EN 1993-1-1 équation (6.12) :

Il énonce la condition réglementaire que toute section fléchie doit satisfaire.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est cette inégalité, et elle seule, qui engage la responsabilité du calculateur. Tout ce qui précède n'existe que pour permettre de l'écrire.

Contexte de validité : Flexion simple autour d'un axe principal, sans effort normal concomitant. En présence de compression, il faudrait passer par les critères d'interaction de l'art. 6.2.9, nettement plus restrictifs.
Avantage : Le critère fournit un taux de travail sans dimension, directement comparable à ceux du cisaillement et de la flèche. C'est ce qui permettra d'identifier le critère gouvernant.
Paramètre clé : L'indice Ed désigne l'effet des actions, l'indice Rd une résistance. Une vérification confronte toujours l'un à l'autre, jamais deux grandeurs de même nature.
Vérification : Sur une vérification — par opposition à un dimensionnement — un taux inférieur à 0,70 n'est pas un défaut mais une réserve. Le profilé étant imposé, on ne cherche pas l'optimum.
Limite : Satisfaire ce critère ne dit rien de la flèche ni de l'interaction avec le cisaillement. Les trois vérifications restantes demeurent entières.

\[ \begin{aligned} \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{\text{c},\text{Rd}}} \le 1{,}0 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit simplement que le moment appliqué ne doit pas dépasser celui que la section sait encaisser. Au-delà, la section plastifie entièrement et forme ce que l'on appelle une rotule plastique : la poutre continue de tourner sans reprendre davantage de moment, et le mécanisme de ruine s'installe. Sur une poutre isostatique comme celle-ci, une seule rotule suffit à transformer la structure en mécanisme, donc à provoquer l'effondrement. C'est ce qui rend le critère si strict : contrairement à une structure hyperstatique, il n'existe aucune redistribution possible vers un élément voisin.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{Ed}} \) : valeur de calcul du moment fléchissant sollicitant, unité : \( \text{kN}\cdot\text{m} \)
\( M_{\text{c},\text{Rd}} \) : moment résistant de calcul de la section transversale, unité : \( \text{kN}\cdot\text{m} \)
\( 1{,}0 \) : borne réglementaire du taux de travail, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants affirment employer le module plastique « pour une section de classe 1 ou 2 » sans jamais établir cette classe…"

L'approche d'ingénieur : C'est poser une hypothèse sans la vérifier. Sur un profilé laminé courant en S235, l'issue est prévisible — mais la prévisibilité d'un résultat n'a jamais dispensé de l'établir.

L'erreur : Supposer la classe au lieu de la calculer. Si la section se révélait de classe 3, la résistance tomberait de 86,15 à 76,21 kN·m, soit 13 % de moins — et le taux de travail passerait de 51,7 % à 58,5 %.
La bonne méthode : Deux divisions et deux comparaisons : trois lignes de calcul qui transforment une supposition en fait établi. Aucune vérification Eurocode ne coûte aussi peu pour un enjeu aussi direct.
L'astuce de pro : Retenir que les profilés laminés courants en S235 sont tous de classe 1 en flexion — les producteurs les calibrent pour cela. Mais vérifier quand même, car cette règle tombe dès qu'on change de nuance ou qu'on passe à un profil reconstitué soudé.
Le moyen mnémotechnique : « Classer d'abord, calculer ensuite. » La classe n'est pas un commentaire sur le résultat, c'est la condition de validité de la formule employée pour l'obtenir.
L'impact direct : Un profilé reconstitué soudé, dépourvu de congés de raccordement, présente des élancements de paroi sensiblement supérieurs et n'atteint pas systématiquement la classe 1. L'habitude prise sur les laminés devient alors une source d'erreur.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Cotes de section : données en millimètres, directement exploitables dans les rapports d'élancement de paroi.
Module plastique : \( 366{,}6\ \text{cm}^3 \) converti en \( 366\,600\ \text{mm}^3 \) par le facteur \( 10^3 \).
Limite d'élasticité : \( 235\ \text{MPa} = 235\ \text{N}/\text{mm}^2 \), strictement équivalent.
Moment résistant : produit \( \text{mm}^3 \times \text{MPa} \), donc en \( \text{N}\cdot\text{mm} \), à diviser par \( 10^6 \) pour obtenir des \( \text{kN}\cdot\text{m} \).
Élancements de paroi et taux de travail : rapports de grandeurs de même nature, donc sans dimension.

Deux étapes s'enchaînent dans un ordre imposé : classer la section, puis appliquer l'expression de résistance que cette classe autorise. La seconde n'a de validité que si la première l'établit.

1. Résolution Numérique Classification de la section IPE 240

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'expression du moment résistant à employer en dépend entièrement. C'est la condition de validité du calcul qui suit, et elle doit donc le précéder.

Méthodologie du calcul :

On calcule séparément l'élancement de l'âme et celui de la console de semelle, en mesurant les longueurs entre congés, puis on compare chacun à sa limite de classe 1.

Substitution : On injecte les cotes de l'IPE 240 : \( h = 240 \), \( b = 120 \), \( t_{\text{w}} = 6{,}2 \), \( t_{\text{f}} = 9{,}8 \) et \( r = 15\ \text{mm} \).
Piège évité : Les longueurs se mesurent entre congés : \( c_{\text{w}} = h - 2t_{\text{f}} - 2r \) et \( c_{\text{f}} = (b - t_{\text{w}} - 2r)/2 \). La console de semelle est une demi-largeur, d'où la division par deux.
Hypothèse validée : La poutre travaille en flexion simple : l'âme est comprimée sur la moitié de sa hauteur seulement, ce qui autorise la limite favorable de \( 72\,\varepsilon \).
Vérification croisée : Pour l'acier S235, \( \varepsilon = 1{,}00 \) exactement : les limites valent donc 72 et 9 en valeur brute, ce qui rend la comparaison immédiate.
Finalité : Autoriser — ou interdire — l'emploi du module plastique dans le calcul de la résistance en flexion.

\[ \begin{aligned} c_{\text{w}} &= 240 - 2(9{,}8) - 2(15) = 190{,}4 \ \text{mm} \\ &\quad \frac{c_{\text{w}}}{t_{\text{w}}} = \frac{190{,}4}{6{,}2} = 30{,}7 \ \le \ 72 \\ &\quad c_{\text{f}} = \frac{120 - 6{,}2 - 2(15)}{2} = 41{,}9 \ \text{mm} \\ &\quad \frac{c_{\text{f}}}{t_{\text{f}}} = \frac{41{,}9}{9{,}8} = 4{,}3 \ \le \ 9 \\ &\Rightarrow \ \mathbf{section\ de\ classe\ 1} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux parois satisfont très largement les limites de classe 1, avec des marges de 57 % et 52 %. L'emploi du module plastique est donc pleinement justifié.

Ordre de grandeur : 30,7 contre 72 pour l'âme, 4,3 contre 9 pour la semelle : les deux marges sont considérables. C'est le cas de tous les IPE en S235, calibrés par les producteurs pour la flexion.
Impact sur la suite : L'équation (6.13) est légitime : le moment résistant se calculera sur \( W_{\text{pl},\text{y}} = 366{,}6\ \text{cm}^3 \), et non sur le module élastique de 324,3 cm³.
Cohérence : La semelle reste le point le plus critique en valeur relative, ce qui est logique : son bord libre la rend plus sensible au voilement que l'âme, tenue sur ses deux bords.
Attention : En acier S355, les limites tomberaient à 58,6 et 7,3. L'IPE 240 resterait en classe 1, mais la marge sur la semelle passerait de 52 % à 41 %.
Comparaison : Si la poutre était entièrement comprimée au lieu d'être fléchie, la limite de l'âme tomberait de 72 à 33 : le classement dépend autant du chargement que de la géométrie.

Remarque pédagogique : Invoquer le module plastique « pour une section de classe 1 ou 2 » sans jamais établir cette classe est une facilité courante. Elle est d'autant plus regrettable que la vérification tient en trois lignes et qu'elle transforme une supposition en fait établi. Sur les profilés laminés courants en S235, l'issue est certes prévisible — mais deux situations la renversent : le passage à une nuance supérieure, qui resserre les limites, et l'emploi d'un profil reconstitué soudé, dépourvu de congés et donc bien plus élancé au niveau des parois.

Vérification de la résistance en flexion

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la première des quatre vérifications, et celle qui gouverne le plus souvent une poutre fléchie. Elle donne le premier taux de travail du tableau de synthèse.

Méthodologie du calcul :

On calcule le moment résistant à partir du module plastique tabulé, la classe 1 étant désormais établie, puis on forme le rapport avec le moment sollicitant issu de la question 1.

Substitution : On injecte \( W_{\text{pl},\text{y}} = 366\,600\ \text{mm}^3 \), \( f_{\text{y}} = 235\ \text{MPa} \) et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \), puis \( M_{\text{Ed}} = 44{,}55\ \text{kN}\cdot\text{m} \).
Piège évité : Le produit sort en \( \text{N}\cdot\text{mm} \). Diviser par \( 10^6 \) pour obtenir des \( \text{kN}\cdot\text{m} \) avant toute comparaison.
Hypothèse validée : La section est de classe 1 et le déversement est écarté par le maintien continu qu'apporte le plancher à la semelle comprimée.
Vérification croisée : Un calcul en \( \text{kN}\cdot\text{cm} \) donne \( 366{,}6 \times 23{,}5 = 8\,615\ \text{kN}\cdot\text{cm} \), soit 86,15 kN·m — confirmation par un autre système d'unités.
Finalité : Établir le premier taux de travail et disposer de la résistance que l'interaction moment-tranchant pourrait venir réduire.

\[ \begin{aligned} M_{\text{c},\text{Rd}} &= \frac{W_{\text{pl},\text{y}} \, f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \\ &= \frac{366\,600 \times 235}{1{,}00} \\ &= 86{,}15 \times 10^6 \ \text{N}\cdot\text{mm} = 86{,}15 \ \text{kN}\cdot\text{m} \\ &\quad \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{\text{c},\text{Rd}}} = \frac{44{,}55}{86{,}15} = \mathbf{0{,}517} \ \le \ 1{,}0 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un taux de travail de 51,7 % : le profilé dispose d'une réserve de 48 % en flexion. Sur une vérification d'ouvrage, cette réserve est une information aussi utile que le verdict lui-même.

Ordre de grandeur : 51,7 % est un taux confortable. Sur un dimensionnement, il signalerait un surdimensionnement ; sur une vérification de profilé imposé, il signale une marge disponible.
Impact sur la suite : Cette réserve permettrait d'absorber une augmentation de charge de 93 % avant que la flexion ne devienne critique — sous réserve que les autres critères suivent.
Cohérence : Le rapport \( M_{\text{Ed}}/M_{\text{c},\text{Rd}} \) est bien inférieur à l'unité, et la résistance calculée est supérieure au moment sollicitant, comme l'exige la logique du critère.
Attention : Ce taux n'intègre pas encore le poids propre du profilé. Il remontera légèrement en question 4, une fois cette charge réintégrée.
Comparaison : En calcul élastique, avec \( W_{\text{el},\text{y}} = 324{,}3\ \text{cm}^3 \), la résistance tomberait à 76,21 kN·m et le taux monterait à 58,5 %. La réserve plastique vaut ici près de sept points.

Remarque pédagogique : Ces sept points d'écart entre calcul élastique et plastique ne sont pas un artifice comptable : ils correspondent à une réserve physique réelle. La matière située entre l'axe neutre et les fibres extrêmes plastifie sans difficulté, alors que le calcul élastique la laisse sous-employée. Exploiter cette réserve suppose que la section puisse se déformer sans voiler — c'est exactement ce que la classification vient de garantir. Le lien entre les deux notions est donc direct : la classe n'est pas une formalité administrative, elle est la condition physique qui autorise à compter sur la plastification.

RÉSULTAT FINAL

\( M_{\text{Ed}}/M_{\text{c},\text{Rd}} \) = 0,517 ≤ 1,0 — flexion vérifiée

"Section de classe 1 : le module plastique est légitime et la réserve atteint 48 %."

Question 3 : Cisaillement et interaction moment-effort tranchant

Dans la tête de l'ingénieur

"Deux contrôles ici, et le second est souvent oublié. Le premier est la résistance au cisaillement, qui ne mobilise que l'âme du profilé — pas la section entière. L'aire à employer est donc une aire réduite, et je vais la calculer plutôt que la lire : les tableaux en circulation en donnent des valeurs discordantes — on rencontre 18,96 cm² sur ce profilé là où la formule normative donne 19,15. Le second contrôle est l'interaction : quand l'âme est déjà fortement engagée en cisaillement, elle ne peut plus donner sa pleine part au moment résistant. L'Eurocode fixe un seuil, et je dois l'examiner explicitement même si je pressens qu'il sera loin d'être atteint."

Observation : Un effort tranchant de 29,7 kN sur un profilé dont l'âme fait 6,2 mm d'épaisseur pour 240 mm de hauteur. La portée est grande devant la hauteur — un rapport de 25 — ce qui laisse présager un cisaillement très peu sollicitant.
Analyse du risque : Deux pièges se cumulent. Employer l'aire totale au lieu de l'aire de cisaillement surestimerait la résistance de 104 % ; et omettre l'examen de l'interaction laisserait la note incomplète, sans qu'aucun résultat ne le signale.
Choix stratégique : Calculer l'aire de cisaillement par la formule de l'art. 6.2.6(3)a plutôt que de la lire dans un tableau dont la source est inconnue. Trois opérations, et toute incertitude disparaît.
Alternative : On pourrait retenir l'aire de l'âme seule, ce qui serait conservatif de 23 %. C'est une approximation acceptable en avant-projet, mais l'article donne l'expression exacte : autant l'employer.
Objectif visé : Établir le deuxième taux de travail et statuer sur la nécessité ou non de réduire le moment résistant calculé à la question précédente.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( A_{\text{v}} = 19{,}15 \text{ cm}^2 \) · \( V_{\text{pl},\text{Rd}} = 259{,}8 \text{ kN} \) · taux 11,4 % · interaction sans objet

Rappel Théorique : Résistance au cisaillement et interaction avec la flexion

Une section fléchie subit simultanément un moment et un effort tranchant. Chacun sollicite la matière différemment — le moment par des contraintes normales, l'effort tranchant par des contraintes de cisaillement — et l'Eurocode traite d'abord chacun séparément, avant d'examiner leur interaction éventuelle.

Qui reprend le cisaillement : Dans un profilé en I, l'effort tranchant est repris presque exclusivement par l'âme. Les semelles, orientées perpendiculairement à l'effort, n'y contribuent que marginalement. C'est pourquoi l'aire de cisaillement n'est pas l'aire totale mais une aire réduite, qui vaut environ 49 % de l'aire brute pour un IPE 240.
L'aire de cisaillement exacte : L'expression \( A_{\text{v}} = A - 2 b t_{\text{f}} + (t_{\text{w}} + 2r) t_{\text{f}} \) retranche les semelles de l'aire totale, puis rajoute la contribution des congés de raccordement, qui appartiennent mécaniquement à l'âme. Négliger ce dernier terme sous-estimerait la résistance d'environ 19 % — sécuritaire, mais inutilement pénalisant.
Le critère de von Mises : Le facteur \( \sqrt{3} \) qui divise la limite d'élasticité vient du critère de plasticité de von Mises : un acier qui plastifie à \( f_{\text{y}} \) en traction pure plastifie à \( f_{\text{y}}/\sqrt{3} \), soit environ 58 % de cette valeur, en cisaillement pur. Ce n'est pas un coefficient de sécurité mais une propriété du matériau.
L'interaction moment-tranchant : Quand les deux sollicitations sont fortes simultanément, l'âme ne peut plus développer sa pleine résistance en flexion. L'art. 6.2.8(2) fixe un seuil de tolérance : tant que \( V_{\text{Ed}} \le 0{,}5\,V_{\text{pl},\text{Rd}} \), l'effet du cisaillement sur la résistance en flexion peut être négligé.
Pourquoi l'interaction est rare : Sur une poutre isostatique uniformément chargée, le moment est maximal là où l'effort tranchant s'annule, et réciproquement. Les deux sollicitations ne culminent donc jamais dans la même section : c'est ce déphasage naturel qui rend l'interaction sans objet dans la grande majorité des cas courants.

Équations Fondamentales

Trois relations composent cette question : l'aire de cisaillement, la résistance qu'elle permet avec son critère, et le seuil d'interaction. Chacune fait l'objet d'un bloc distinct.

Aire de cisaillement d'un profilé laminé en I — EN 1993-1-1 art. 6.2.6(3)a :

Elle définit la part de la section qui reprend effectivement l'effort tranchant.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la résistance au cisaillement ne mobilise pas toute la section. Retenir l'aire totale surestimerait la résistance de 104 % pour un IPE 240, dont les semelles représentent la majeure partie de la matière.

Contexte de validité : Profilé laminé en I ou en H, effort tranchant parallèle à l'âme. Les profilés en U, en T ou les sections creuses relèvent d'expressions distinctes, données aux alinéas suivants du même article.
Avantage : L'expression récupère la contribution des congés, que l'approximation par l'aire de l'âme seule laisse de côté. Sur un IPE 240, ils apportent 355 mm² sur 1 915, soit près de 19 %.
Paramètre clé : Le rayon de congé \( r \), souvent oublié dans les tableaux simplifiés. Il vaut 15 mm sur un IPE 240 et intervient doublé dans la parenthèse.
Vérification : Le résultat doit représenter environ la moitié de l'aire totale pour un IPE courant, et rester supérieur à la borne inférieure \( \eta\,h_{\text{w}}\,t_{\text{w}} \) imposée par la norme.
Limite : Pour les âmes très élancées, la ruine peut survenir par voilement par cisaillement avant plastification. L'art. 6.2.6(6) impose alors de passer par la NF EN 1993-1-5.

\[ \begin{aligned} A_{\text{v}} = A - 2 \, b \, t_{\text{f}} + (t_{\text{w}} + 2r) \, t_{\text{f}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle isole la partie de la section qui travaille réellement en cisaillement. Dans un profilé en I sollicité perpendiculairement à ses semelles, les contraintes de cisaillement se concentrent presque entièrement dans l'âme : les semelles, orientées à plat, ne peuvent guère s'opposer à un glissement vertical. L'expression retranche donc les deux semelles de l'aire totale, puis rend à l'âme les congés de raccordement qui, géométriquement, appartiennent à la zone de transition mais participent mécaniquement à la reprise de l'effort. Pour un IPE 240, l'aire de cisaillement représente ainsi 49 % de l'aire totale : moins de la moitié de l'acier travaille au cisaillement.

Décomposition des termes :

\( A_{\text{v}} \) : aire de cisaillement de la section, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( A \) : aire totale de la section brute, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( b \) : largeur des semelles, unité : \( \text{mm} \)
\( t_{\text{f}} \) : épaisseur des semelles, unité : \( \text{mm} \)
\( t_{\text{w}} \) : épaisseur de l'âme, unité : \( \text{mm} \)
\( r \) : rayon du congé de raccordement âme-semelle, unité : \( \text{mm} \)

Résistance au cisaillement et son critère — EN 1993-1-1 équations (6.18) et (6.17) :

Elles fournissent la capacité de l'âme et la condition qu'elle doit satisfaire.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une poutre peut satisfaire la flexion et échouer au cisaillement. Les deux critères sont indépendants et le second doit être vérifié dans la section d'appui, la plus sollicitée en effort tranchant.

Contexte de validité : Valable en l'absence de torsion et pour les âmes non élancées. Un moment de torsion concomitant réduirait cette résistance selon l'art. 6.2.7, non traité ici.
Avantage : Elle exploite la plastification complète de l'aire de cisaillement, et non la seule contrainte maximale. Le gain par rapport à une approche élastique atteint 50 % sur un profilé en I.
Paramètre clé : Le facteur \( \sqrt{3} \), issu du critère de von Mises. Il traduit une propriété du matériau et non une marge : l'acier résiste 42 % moins bien au glissement qu'à l'étirement.
Vérification : Pour un acier S235, la résistance vaut approximativement 135,7 N par mm² d'aire de cisaillement. Ce repère mémorisable permet un contrôle mental immédiat.
Limite : Sur une poutre de plancher courante, le taux de cisaillement dépasse rarement 20 %. Il devient déterminant sur les poutres courtes, où le rapport portée sur hauteur descend sous cinq.

\[ \begin{aligned} V_{\text{pl},\text{Rd}} = \frac{A_{\text{v}} \left( f_{\text{y}} / \sqrt{3} \right)}{\gamma_{\text{M0}}} \quad \text{avec} \quad \frac{V_{\text{Ed}}}{V_{\text{pl},\text{Rd}}} \le 1{,}0 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'expression décrit une âme entièrement plastifiée en cisaillement, où chaque point de la zone active travaille à la contrainte limite de glissement. Le facteur \( \sqrt{3} \) mérite qu'on s'y arrête : ce n'est pas un coefficient de sécurité mais une propriété mesurée. Un acier qui plastifie à 235 MPa sous traction pure plastifie à \( 235/\sqrt{3} = 136\ \text{MPa} \) sous cisaillement pur, parce que l'état de contrainte y est différent. Quant au critère, il exprime que l'âme ne doit pas céder par glissement — une ruine plus brutale que la flexion, car elle survient sans grande déformation préalable et donc sans avertissement.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{pl},\text{Rd}} \) : résistance plastique de calcul au cisaillement, unité : \( \text{N} \)
\( A_{\text{v}} \) : aire de cisaillement de la section, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de l'acier, unité : \( \text{MPa} \)
\( V_{\text{Ed}} \) : effort tranchant de calcul à l'ELU, unité : \( \text{N} \)
\( \gamma_{\text{M0}} \) : coefficient partiel de résistance des sections, unité : sans dimension

Seuil d'interaction moment-effort tranchant — EN 1993-1-1 art. 6.2.8(2) :

Il indique si le cisaillement réduit la résistance en flexion de la section.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une âme déjà fortement sollicitée en cisaillement ne peut plus contribuer pleinement à la flexion. La norme fixe un seuil de tolérance en deçà duquel cet effet est négligeable, et ce seuil doit être examiné explicitement.

Contexte de validité : Comparaison à mener dans la même section. Sur une poutre isostatique uniformément chargée, moment et effort tranchant ne culminent jamais au même endroit, ce qui rend l'interaction généralement sans objet.
Avantage : Le critère est binaire : en dessous du seuil, il n'y a strictement rien à faire. Au-dessus, l'art. 6.2.8(3) impose de recalculer la résistance en flexion avec une limite d'élasticité réduite sur l'aire de cisaillement.
Paramètre clé : Le facteur 0,5, seuil au-delà duquel l'âme est considérée comme trop engagée en cisaillement pour développer sa pleine contribution à la résistance en flexion.
Vérification : Le seuil se compare à \( V_{\text{Ed}} \), et non au taux de travail. Confondre les deux reviendrait à comparer un effort à un nombre sans dimension.
Limite : Le critère devient déterminant sur les poutres courtes, les consoles fortement chargées et les sections situées au droit d'appuis intermédiaires de poutres continues, où moment et tranchant sont tous deux maximaux.

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} \le 0{,}5 \, V_{\text{pl},\text{Rd}} \quad \Rightarrow \quad \text{interaction negligeable} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le principe est celui d'un partage de la matière. L'âme d'un profilé fléchi assure deux fonctions simultanées : elle reprend la totalité de l'effort tranchant, et elle contribue pour environ un quart au moment résistant. Tant que le cisaillement reste modéré, elle assume les deux sans difficulté. Mais lorsqu'il approche sa capacité, les contraintes de glissement consomment la réserve de plastification disponible pour les contraintes normales, et l'âme ne peut plus donner sa pleine part au moment résistant. Le seuil de 0,5 marque, expérimentalement, le point à partir duquel cette dégradation devient mesurable.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{Ed}} \) : valeur de calcul de l'effort tranchant dans la section, unité : \( \text{kN} \)
\( V_{\text{pl},\text{Rd}} \) : résistance plastique de calcul au cisaillement, unité : \( \text{kN} \)
\( 0{,}5 \) : seuil de tolérance fixé par l'art. 6.2.8(2), unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants lisent l'aire de cisaillement dans un tableau trouvé sur internet, sans vérifier qu'elle correspond bien à l'expression normative…"

L'approche d'ingénieur : Les valeurs en circulation sont fréquemment discordantes, et l'écart ne se voit pas dans le résultat final : le calcul se déroule normalement et la conclusion reste plausible. C'est précisément ce qui rend l'erreur difficile à détecter.

L'erreur : Reprendre une valeur tabulée sans contrôle. On rencontre 18,96 cm² là où la formule de l'art. 6.2.6(3)a donne 19,15 cm². L'écart était sécuritaire, mais la valeur ne correspondait à aucune expression de la norme.
La bonne méthode : Recalculer l'aire à partir des cotes de section. Trois opérations, et la valeur devient traçable jusqu'à l'article qui la définit — ce qu'un relecteur peut vérifier sans consulter la même source que vous.
L'astuce de pro : Retenir l'ordre de grandeur : pour un IPE, l'aire de cisaillement représente environ la moitié de l'aire totale. Un résultat très éloigné de cette proportion signale une erreur de formule ou de lecture.
Le moyen mnémotechnique : « Seule l'âme cisaille. » Les semelles travaillent en flexion, l'âme travaille au cisaillement. Chaque partie du profilé a sa fonction, et les confondre revient à additionner des grandeurs qui ne coopèrent pas.
L'impact direct : Sur une poutre de plancher, l'écart reste sans conséquence car le taux de travail est très faible. Sur une poutre courte et fortement chargée, où le cisaillement gouverne, une valeur erronée dans le sens optimiste conduirait directement à une âme sous-dimensionnée.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Aire : \( 39{,}12\ \text{cm}^2 \) convertie en \( 3\,912\ \text{mm}^2 \) par le facteur \( 10^2 \).
Cotes de section : données en millimètres, directement exploitables dans l'expression de l'aire de cisaillement.
Résistance au cisaillement : produit \( \text{mm}^2 \times \text{MPa} \), donc en newtons, à diviser par 1 000 pour obtenir des kN.
Contrainte limite de cisaillement : \( f_{\text{y}}/\sqrt{3} = 235/1{,}732 = \mathbf{135{,}7}\ \text{MPa} \) — repère à mémoriser pour le S235.
Taux de travail : rapport de deux efforts de même unité, donc sans dimension.

Trois étapes composent cette vérification : l'aire de cisaillement, la résistance qu'elle permet avec son taux de travail, et l'examen du seuil d'interaction. La dernière conditionne la validité du moment résistant établi en question 2.

1. Résolution Numérique Aire de cisaillement de l'IPE 240

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la résistance au cisaillement ne mobilise qu'une fraction de la section, et que cette fraction doit être calculée par l'expression normative et non lue dans un tableau de provenance incertaine.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule de l'art. 6.2.6(3)a aux cotes de l'IPE 240 : on retranche les deux semelles de l'aire totale, puis on rajoute la contribution des congés de raccordement.

Substitution : On injecte \( A = 3\,912\ \text{mm}^2 \), \( b = 120 \), \( t_{\text{f}} = 9{,}8 \), \( t_{\text{w}} = 6{,}2 \) et \( r = 15\ \text{mm} \).
Piège évité : Le terme \( (t_{\text{w}} + 2r)\,t_{\text{f}} \) se rajoute et ne se retranche pas. Il représente les congés, qui participent mécaniquement à la reprise du cisaillement.
Hypothèse validée : Le profilé est un laminé en I et l'effort tranchant est parallèle à l'âme : c'est bien l'alinéa a) de l'article qui s'applique.
Vérification croisée : Le résultat doit dépasser la borne \( \eta\,h_{\text{w}}\,t_{\text{w}} = 1{,}2 \times 220{,}4 \times 6{,}2 = 1\,640\ \text{mm}^2 \), ce qui est bien le cas.
Finalité : Alimenter le calcul de la résistance plastique au cisaillement de l'étape suivante.

\[ \begin{aligned} A_{\text{v}} &= A - 2 \, b \, t_{\text{f}} + (t_{\text{w}} + 2r) \, t_{\text{f}} \\ &= 3\,912 - 2 \times 120 \times 9{,}8 + (6{,}2 + 30) \times 9{,}8 \\ &= 3\,912 - 2\,352 + 355 \\ &= \mathbf{1\,915} \ \text{mm}^2 = 19{,}15 \ \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'aire de cisaillement représente 49 % de l'aire totale. Moins de la moitié de l'acier du profilé participe donc à la reprise de l'effort tranchant, ce qui est caractéristique des profilés en I.

Ordre de grandeur : 19,15 cm² pour 39,12 cm² d'aire totale, soit 49 %. La proportion attendue pour un IPE se situe autour de la moitié : le résultat est cohérent.
Impact sur la suite : Cette aire, multipliée par 135,7 MPa, donnera directement la résistance plastique au cisaillement du profilé.
Cohérence : L'aire de l'âme seule vaudrait \( 220{,}4 \times 6{,}2 = 1\,366\ \text{mm}^2 \). Les congés apportent donc 40 % de plus, ce qui justifie de ne pas les négliger.
Attention : Les tables en circulation donnent 18,96 cm², soit 1 % de moins. L'écart était minime mais la valeur ne correspondait à aucune expression normative.
Comparaison : Sur un IPE 270, l'aire de cisaillement atteindrait 22,14 cm². Elle croît plus vite que l'aire totale avec la taille du profilé, car l'âme gagne en hauteur.

Remarque pédagogique : Cette expression illustre une règle générale de l'Eurocode : chaque famille de sections possède sa propre définition de l'aire de cisaillement, et ces définitions ne se déduisent pas les unes des autres par analogie. Un profilé en U emploie \( (t_{\text{w}} + r)\,t_{\text{f}} \) et non \( (t_{\text{w}} + 2r)\,t_{\text{f}} \), parce qu'il n'a qu'un congé par semelle ; un tube rectangulaire emploie une expression proportionnelle au rapport des côtés. Prenez donc l'habitude de revenir au texte de l'article plutôt que de mémoriser une formule unique — c'est la seule façon de ne pas se tromper de famille.

Vérification de la résistance au cisaillement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une poutre peut satisfaire la flexion et échouer au cisaillement. Le critère doit être vérifié dans la section d'appui, où l'effort tranchant est maximal.

Méthodologie du calcul :

On applique l'équation (6.18) avec l'aire de cisaillement calculée, puis on forme le taux de travail avec l'effort tranchant établi en question 1.

Substitution : On injecte \( A_{\text{v}} = 1\,915\ \text{mm}^2 \), \( f_{\text{y}} = 235\ \text{MPa} \) et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \), puis \( V_{\text{Ed}} = 29{,}7\ \text{kN} \).
Piège évité : Ne pas oublier le facteur \( \sqrt{3} \), dont l'omission majorerait la résistance de 73 %. Il traduit le critère de von Mises et n'est pas un coefficient de sécurité.
Hypothèse validée : Aucune torsion n'est appliquée à la solive, et l'âme n'est pas assez élancée pour voiler : l'équation (6.18) s'applique sans correction.
Vérification croisée : \( f_{\text{y}}/\sqrt{3} = 235/1{,}732 = 135{,}7\ \text{MPa} \) : ce repère mémorisable permet un contrôle mental immédiat pour tout profilé en S235.
Finalité : Établir le deuxième taux de travail et disposer de \( V_{\text{pl},\text{Rd}} \) pour l'examen de l'interaction.

\[ \begin{aligned} V_{\text{pl},\text{Rd}} &= \frac{A_{\text{v}} \left( f_{\text{y}} / \sqrt{3} \right)}{\gamma_{\text{M0}}} \\ &= \frac{1\,915 \times 135{,}7}{1{,}00} \\ &= 259\,800 \ \text{N} = 259{,}8 \ \text{kN} \\ &\quad \frac{V_{\text{Ed}}}{V_{\text{pl},\text{Rd}}} = \frac{29{,}7}{259{,}8} = \mathbf{0{,}114} \ \le \ 1{,}0 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un taux de travail de 11,4 % : le cisaillement est très largement satisfait et n'a manifestement aucune chance de gouverner cette vérification.

Ordre de grandeur : 11,4 % est typique d'une poutre de plancher, où la portée est grande devant la hauteur. Le cisaillement n'y devient jamais déterminant.
Impact sur la suite : La valeur de \( V_{\text{pl},\text{Rd}} = 259{,}8\ \text{kN} \) servira directement à l'examen de l'interaction moment-effort tranchant de l'étape suivante.
Cohérence : Le rapport entre les deux taux — 51,7 % en flexion contre 11,4 % au cisaillement — confirme que c'est bien la flexion qui domine à l'ELU.
Attention : Avec cette aire minorée, la résistance tomberait à 257,2 kN et le taux montait à 11,5 %. Sécuritaire, mais non traçable à la norme.
Comparaison : Il faudrait une charge huit fois plus forte pour que le cisaillement atteigne sa limite — bien avant quoi la poutre aurait rompu en flexion et fléchi de façon spectaculaire.

Remarque pédagogique : Le taux de 11,4 % pose une question légitime : à quoi bon mener une vérification dont on pressent l'issue ? La réponse tient en deux points. D'abord parce que l'intuition se trompe dès qu'on sort du cas courant : la même charge sur une portée de 2 m donnerait un taux tout autre. Ensuite parce que cette vérification alimente l'examen de l'interaction : sans \( V_{\text{pl},\text{Rd}} \), on ne peut pas statuer sur la nécessité de réduire le moment résistant. Une vérification apparemment superflue est souvent la donnée d'entrée de la suivante.

Examen de l'interaction moment-effort tranchant

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la norme impose de tenir compte de l'effet du cisaillement sur la résistance en flexion, et que cette obligation ne tombe qu'après vérification explicite d'un seuil.

Méthodologie du calcul :

On compare l'effort tranchant sollicitant à la moitié de la résistance au cisaillement, seuil fixé par l'art. 6.2.8(2), et l'on conclut sur la nécessité ou non de réduire le moment résistant établi en question 2.

Substitution : On confronte \( V_{\text{Ed}} = 29{,}7\ \text{kN} \) à \( 0{,}5 \times V_{\text{pl},\text{Rd}} = 0{,}5 \times 259{,}8 = 129{,}9\ \text{kN} \).
Piège évité : Le seuil porte sur l'effort et non sur le taux de travail. Comparer 0,114 à 0,5 revient au même ici, mais confond deux grandeurs de nature différente.
Hypothèse validée : La comparaison porte bien sur la même section. Le moment maximal se situant à mi-portée où \( V \) s'annule, l'interaction y serait d'ailleurs doublement sans objet.
Vérification croisée : L'effort tranchant représente 23 % du seuil : la marge est telle qu'aucune imprécision de calcul ne saurait inverser la conclusion.
Finalité : Statuer définitivement sur l'état limite ultime et confirmer la validité du moment résistant calculé en question 2.

\[ \begin{aligned} 0{,}5 \, V_{\text{pl},\text{Rd}} &= 0{,}5 \times 259{,}8 = 129{,}9 \ \text{kN} \\ &\quad V_{\text{Ed}} = 29{,}7 \le 129{,}9 \\ &\Rightarrow \ \mathbf{interaction\ negligeable} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'effort tranchant représente moins du quart du seuil réglementaire. L'interaction est donc sans objet et le moment résistant conserve sa pleine valeur de 86,15 kN·m : l'état limite ultime est intégralement vérifié.

Ordre de grandeur : 29,7 kN contre un seuil de 129,9 kN : la marge est de 77 %. Aucune ambiguïté possible sur la conclusion.
Impact sur la suite : Le moment résistant conserve sa valeur, et le taux de travail en flexion reste établi à 51,7 %. L'ELU est clos, il ne reste que la flèche.
Cohérence : Sur une poutre isostatique uniformément chargée, moment et effort tranchant ne culminent jamais dans la même section : le résultat était prévisible, mais il devait être établi.
Attention : Sur une poutre continue, moment et tranchant sont tous deux maximaux au droit des appuis intermédiaires : l'interaction y devient souvent déterminante.
Comparaison : Au-delà du seuil, l'art. 6.2.8(3) imposerait de recalculer le moment résistant avec une limite d'élasticité réduite sur l'aire de cisaillement, ce qui peut coûter plusieurs pour cent de résistance.

Remarque pédagogique : Cette vérification, ici purement formelle, mérite malgré tout d'être menée et surtout écrite. Un relecteur ne peut pas savoir que vous y avez pensé si elle ne figure pas dans la note : l'absence d'une vérification et sa conclusion favorable se ressemblent beaucoup sur une feuille blanche. Retenez les trois situations où l'interaction cesse d'être formelle : les poutres courtes, les consoles, et les appuis intermédiaires de poutres continues. Dans ces trois cas, moment et effort tranchant sont maximaux au même endroit.

LA LOI DE PÉNALITÉ ET SON SEUIL

RÉSULTAT FINAL

\( V_{\text{Ed}}/V_{\text{pl},\text{Rd}} \) = 0,114 ≤ 1,0 — ELU vérifié

"Interaction sans objet : le moment résistant conserve sa pleine valeur et l'état limite ultime est clos."

Question 4 : Flèche à l'ELS et reprise avec le poids propre

Dans la tête de l'ingénieur

"Dernière vérification, et une dette à solder. La flèche d'abord : elle ne partage aucune grandeur avec les vérifications de résistance — ni la limite d'élasticité, ni les modules de résistance — et rien de ce qui précède ne permet d'en préjuger. Je dois donc la calculer pour de bon, et surveiller les ordres de grandeur : le dénominateur \( 384\,E\,I \) vaut environ trois millions de milliards, et une erreur d'exposant est vite arrivée. Ensuite la dette : les charges permanentes sont données « hors poids propre », et il faut y revenir. Or le profilé est connu depuis le début. Un IPE 240 pèse 0,301 kN/m, soit 7,5 % des permanentes : ce n'est pas une poussière."

Observation : La flèche ne fait intervenir ni la limite d'élasticité, ni les modules de résistance, mais le module d'élasticité et le moment quadratique. Ce sont deux familles de grandeurs entièrement distinctes de celles de l'ELU.
Analyse du risque : Deux risques ici. Le premier est l'erreur d'exposant dans un calcul mêlant \( 10^{15} \) et \( 10^{16} \) ; elle porte couramment sur un facteur mille. Le second est de laisser le poids propre hors calcul alors que le profilé est connu.
Choix stratégique : Calculer la flèche sans le poids propre pour disposer d'un point de comparaison, puis reprendre les quatre critères en l'intégrant. L'écart entre les deux séries sera parlant.
Alternative : On pourrait intégrer le poids propre dès la question 1, ce qui éviterait l'itération. C'est possible ici puisque le profilé est imposé dès l'énoncé — ce serait même la démarche la plus directe.
Objectif visé : Clore la vérification par un tableau de taux de travail complet, poids propre inclus, et quantifier la réserve dont dispose le profilé sur chaque critère.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( f = 14{,}45 \text{ mm} \le 24{,}0 \text{ mm} \) — poids propre inclus : 62,8 %

Rappel Théorique : L'état limite de service et le bouclage du calcul

L'état limite ultime garantit que la structure ne s'effondre pas. L'état limite de service garantit qu'elle reste utilisable. Les deux relèvent de logiques différentes et ne partagent aucune grandeur — ce qui rend la vérification de l'un totalement muette sur l'autre.

Deux états limites indépendants : L'ELU met en jeu \( f_{\text{y}} \) et les modules de résistance ; l'ELS met en jeu \( E \) et le moment quadratique. Aucune grandeur n'est commune. Un profilé peut passer les trois critères de résistance avec de larges marges et échouer au critère de flèche — c'est même le cas le plus fréquent sur les planchers.
La puissance quatrième de la portée : La flèche varie comme \( L^4 \), là où le moment ne varie que comme \( L^2 \). Doubler la portée multiplie le moment par quatre mais la flèche par seize. C'est la raison mécanique pour laquelle le critère de service prend le dessus dès que les portées s'allongent.
Pourquoi la nuance d'acier ne sert à rien : Le module d'élasticité vaut environ 210 000 MPa pour tous les aciers de construction, du S235 au S460. Deux poutres identiques de nuances différentes fléchissent exactement pareil. Monter en nuance améliore la résistance sans toucher à la raideur : c'est le levier le plus inefficace quand la flèche gouverne.
Ce que le critère protège : La limite de flèche n'a rien à voir avec la rupture. Elle protège les éléments non structuraux — cloisons, carrelages, huisseries — qui se fissurent ou se décollent sous des déformations que la structure porteuse encaisse sans dommage. Elle protège aussi le confort : un plancher trop souple vibre au passage.
Le poids propre, donnée et résultat : Le poids d'un élément fait partie des charges permanentes qui le sollicitent. Lorsque le profilé est imposé dès l'énoncé, comme ici, rien n'empêche de l'intégrer d'emblée. Le laisser hors calcul sans justification revient à ignorer une action réelle de 7,5 % des permanentes.

Équations Fondamentales

Trois relations composent cette dernière étape : l'expression de la flèche, le critère qui la borne, et les combinaisons révisées intégrant le poids propre. Chacune fait l'objet d'un bloc distinct.

Flèche à mi-portée sous charge uniformément répartie :

Elle donne la déformation maximale de la poutre sous les charges de service.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la grandeur que le critère de service borne, et parce qu'elle gouverne le dimensionnement de la plupart des planchers de bâtiment dès que la portée dépasse cinq mètres.

Contexte de validité : Poutre isostatique sur deux appuis, section constante, comportement élastique, charge uniformément répartie. Toute autre configuration possède sa propre expression tabulée.
Avantage : Une formule fermée, sans intégration. Le coefficient \( 5/384 \) est celui du cas de charge réparti ; il vaut \( 1/48 \) pour une charge concentrée à mi-portée.
Paramètre clé : La portée, qui intervient à la puissance quatrième. Une erreur de 10 % sur la portée produit une erreur de 46 % sur la flèche : c'est de loin le paramètre le plus sensible.
Vérification : Le dénominateur \( 384\,E\,I_{\text{y}} \) vaut ici environ \( 3{,}14 \times 10^{15} \). Contrôler cet ordre de grandeur évite l'erreur d'exposant, qui est la plus fréquente de ce calcul.
Limite : La charge employée doit être celle de la combinaison de service et non celle de l'ELU. Employer \( p_{\text{Ed}} \) surestimerait la flèche de 41 %.

\[ \begin{aligned} f = \frac{5 \, p_{\text{ser}} \, L^4}{384 \, E \, I_{\text{y}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle traduit un affrontement entre la charge et la raideur. Le numérateur mesure ce qui pousse la poutre à se courber : la charge, et surtout la portée, dont l'influence est démultipliée. Le dénominateur mesure ce qui s'y oppose : le produit \( EI \), où le module décrit la rigidité du matériau et le moment quadratique la façon dont la matière est éloignée de l'axe. La puissance quatrième de la portée s'explique par un cumul de trois effets — une poutre plus longue reçoit plus de charge, chaque part agit avec plus de bras de levier, et la courbure accumulée s'intègre sur une plus grande distance. C'est ce cumul qui fait de la flèche le critère le plus impitoyable des grandes portées.

Décomposition des termes :

\( f \) : flèche maximale à mi-portée, unité : \( \text{mm} \)
\( p_{\text{ser}} \) : charge linéique de service, unité : \( \text{N/mm} \)
\( L \) : portée entre axes d'appuis, unité : \( \text{mm} \)
\( E \) : module d'élasticité longitudinal de l'acier, unité : \( \text{MPa} \)
\( I_{\text{y}} \) : moment quadratique de la section selon l'axe fort, unité : \( \text{mm}^4 \)

Critère de limitation de la flèche à l'état limite de service :

Il borne la déformation admissible en fonction de la portée de l'élément.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une structure peut être parfaitement sûre et parfaitement inutilisable. Ce critère traduit une exigence fonctionnelle, non une exigence de sécurité, et il gouverne le dimensionnement de la plupart des planchers.

Contexte de validité : La limite s'exprime en fraction de la portée et non en valeur absolue, parce que c'est la courbure relative qui gêne les éléments rapportés, non le déplacement en soi.
Avantage : Le critère est immédiat à évaluer une fois la flèche connue, et il produit un taux de travail directement comparable à ceux de l'état limite ultime.
Paramètre clé : Le dénominateur, qui dépend de la destination de l'ouvrage et de la sensibilité des éléments rapportés. Passer de \( L/250 \) à \( L/500 \) double l'exigence et peut coûter deux tailles de profilé.
Vérification : Une flèche de \( L/250 \) sur 6 mètres vaut 24 mm : une valeur qu'un œil averti perçoit distinctement sur un plancher, ce qui donne la mesure de l'exigence.
Limite : La valeur est un paramètre déterminé nationalement, fixé par l'annexe nationale — et non « laissé à l'appréciation de l'ingénieur » comme on le lit parfois. La valeur applicable se lit dans la NF EN 1993-1-1/NA de cet exercice.

\[ \begin{aligned} f \le f_{\text{adm}} = \frac{L}{250} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Ce critère ne protège pas la poutre, qui encaisserait sans dommage une flèche bien supérieure : il protège tout ce qui repose dessus. Une cloison maçonnée posée sur un plancher qui s'affaisse de plusieurs centimètres se fissure en diagonale ; un carrelage se décolle ; une porte finit par frotter dans son huisserie. La limite s'exprime en fraction de portée parce que c'est la courbure relative qui crée ces désordres, et non le déplacement absolu : 24 mm sur 6 mètres passent inaperçus, 24 mm sur 1 mètre feraient basculer les meubles. S'y ajoute un critère de confort, plus subjectif mais bien réel — un plancher trop souple vibre au passage, et cette sensation d'instabilité suffit à faire rejeter un ouvrage par ses occupants.

Décomposition des termes :

\( f \) : flèche calculée à mi-portée, unité : \( \text{mm} \)
\( f_{\text{adm}} \) : flèche admissible fixée par l'annexe nationale, unité : \( \text{mm} \)
\( L \) : portée entre axes d'appuis, unité : \( \text{mm} \)

Combinaisons révisées avec le poids propre du profilé :

Elles referment la vérification en intégrant la charge que le profilé apporte lui-même.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le poids propre est une charge permanente à part entière. Le profilé étant imposé dès l'énoncé, aucune raison ne justifie de le laisser hors calcul jusqu'au bout.

Contexte de validité : Le poids propre s'ajoute aux charges permanentes \( G_{\text{k}} \), et reçoit donc \( \gamma_{\text{G}} = 1{,}35 \) à l'ELU mais aucun coefficient à l'ELS.
Avantage : La reprise est immédiate : seules les charges changent, le profilé et ses résistances restent identiques. Trois lignes suffisent à actualiser les quatre taux de travail.
Paramètre clé : La masse linéique du profilé, lue au catalogue et convertie en charge par multiplication par l'accélération de la pesanteur. Un IPE 240 pèse 30,7 kg/m, soit 0,301 kN/m.
Vérification : Le poids propre doit représenter 2 à 8 % des charges permanentes sur un plancher courant. Une proportion très différente signale une erreur de conversion ou de lecture.
Limite : Si la reprise faisait échouer un critère, il faudrait remonter d'une taille de profilé — dont le poids propre serait à son tour plus élevé, d'où une nouvelle itération.

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= 1{,}35 \left( G_{\text{k}} + g_{\text{pp}} \right) + 1{,}50 \, Q_{\text{k}} \\ &\quad p_{\text{ser}} = G_{\text{k}} + g_{\text{pp}} + Q_{\text{k}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Ces deux expressions traduisent une évidence physique que le calcul initial escamotait : la poutre se porte elle-même. Avant même de recevoir la moindre charge de plancher, elle fléchit sous son propre poids, et cette déformation s'ajoute à toutes les autres. Le montant paraît dérisoire — 0,301 kN/m contre 7,00 — mais il faut le rapporter à la marge disponible, non à la charge totale. Ici la marge est confortable et le résultat n'en sera guère affecté ; sur un dimensionnement optimisé où le taux frôle 95 %, les mêmes 4 % de charge supplémentaire consommeraient la moitié de la réserve. C'est toute la différence entre une grandeur négligeable dans l'absolu et une grandeur décisive dans le contexte.

Décomposition des termes :

\( g_{\text{pp}} \) : poids propre linéique du profilé imposé, unité : \( \text{kN/m} \)
\( G_{\text{k}} \) : charges permanentes hors poids propre, unité : \( \text{kN/m} \)
\( Q_{\text{k}} \) : charges d'exploitation caractéristiques, unité : \( \text{kN/m} \)
\( p_{\text{Ed}} \) : charge de calcul révisée à l'ELU, unité : \( \text{kN/m} \)
\( p_{\text{ser}} \) : charge de service révisée à l'ELS, unité : \( \text{kN/m} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants écrivent un dénominateur en \( 10^{18} \) là où il vaut \( 10^{15} \), et obtiennent quand même le bon résultat parce qu'ils ont divisé correctement à la calculatrice…"

L'approche d'ingénieur : Cette erreur est particulièrement sournoise : le résultat final est juste, seule l'étape intermédiaire est fausse — de sorte que rien ne la signale au relecteur.

L'erreur : Écrire \( f = 4{,}536 \times 10^{16} / 3{,}139 \times 10^{18} \approx 14{,}45 \). Le rapport vaut en réalité 0,01445. L'exposant du dénominateur est faux de trois ordres de grandeur.
La bonne méthode : Contrôler l'ordre de grandeur de chaque produit avant d'écrire : \( 384 \times 2{,}1 \times 10^5 \times 3{,}89 \times 10^7 \) donne bien \( 3{,}14 \times 10^{15} \), soit trois millions de milliards.
L'astuce de pro : Compter les puissances de dix séparément avant de faire le calcul : \( 10^2 \times 10^5 \times 10^7 = 10^{14} \), et le facteur numérique restant porte le résultat à \( 10^{15} \). Deux secondes de contrôle mental.
Le moyen mnémotechnique : « La flèche se compte en millimètres, pas en microns ni en mètres. » Un résultat de 0,014 mm ou de 14 450 mm doit immédiatement alerter, quel que soit le chemin qui y a mené.
L'impact direct : Une note dont les étapes intermédiaires sont fausses est impossible à relire. Le relecteur ne peut plus distinguer une coquille d'une erreur de fond, et doit refaire l'intégralité du calcul pour se prononcer.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Charge de service : \( 7{,}00\ \text{kN/m} \) équivalente à \( 7{,}00\ \text{N/mm} \) — correspondance exacte.
Portée : \( 6{,}00\ \text{m} \) convertie en \( 6\,000\ \text{mm} \), puis élevée à la puissance quatrième.
Moment quadratique : \( 3\,892\ \text{cm}^4 \) converti en \( 3{,}892 \times 10^7\ \text{mm}^4 \) par le facteur \( 10^4 \).
Masse linéique : \( 30{,}7\ \text{kg/m} \) convertie en charge par \( \times\, 9{,}81 \), soit \( 0{,}301\ \text{kN/m} \).
Flèche : résultat homogène à une longueur, donc en \( \text{mm} \), directement comparable à la limite admissible.

Quatre étapes closent la vérification : la limite admissible, la flèche sous les charges de service initiales, la reprise des combinaisons avec le poids propre, et la synthèse des quatre taux de travail.

1. Résolution Numérique Flèche admissible imposée par le critère de service

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il faut disposer du seuil avant de calculer la flèche : sans lui, le résultat du calcul ne serait qu'un nombre dépourvu de signification.

Méthodologie du calcul :

On applique la fraction de portée imposée au projet, en convertissant la portée en millimètres pour obtenir directement une flèche dans l'unité de travail.

Substitution : On injecte \( L = 6\,000\ \text{mm} \) dans la fraction \( L/250 \) donnée par l'énoncé comme critère de service.
Piège évité : Convertir la portée en millimètres avant la division. Diviser 6,00 m par 250 donnerait 0,024 m, qu'il faudrait reconvertir — une étape de plus, donc une occasion d'erreur supplémentaire.
Hypothèse validée : La valeur \( L/250 \) est une donnée d'énoncé. C'est un paramètre déterminé nationalement, à confirmer auprès de la NF EN 1993-1-1/NA avant tout usage professionnel.
Vérification croisée : 24 mm sur 6 mètres représente un affaissement de 4 millimètres par mètre : un ordre de grandeur perceptible à l'œil sur un plancher fini.
Finalité : Disposer du seuil auquel confronter la flèche calculée, et du dénominateur du quatrième taux de travail.

\[ \begin{aligned} f_{\text{adm}} &= \frac{L}{250} \\ &= \frac{6\,000}{250} \\ &= \mathbf{24{,}0} \ \text{mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

24 mm de flèche admissible sur une portée de 6 mètres. C'est une exigence relativement souple, correspondant à un plancher sans éléments rapportés particulièrement fragiles.

Ordre de grandeur : 24 mm, soit près de deux centimètres et demi. C'est visible à l'œil nu sur un plancher de 6 mètres, ce qui donne la mesure concrète de ce que le critère autorise déjà.
Impact sur la suite : Cette valeur sera le dénominateur du quatrième taux de travail, celui qui gouverne le plus souvent les planchers.
Cohérence : La limite s'exprime en fraction de portée, ce qui est logique : c'est la courbure relative qui gêne les éléments rapportés, non le déplacement absolu.
Attention : Cette valeur est un paramètre national, et non un choix du calculateur. Elle varie de \( L/200 \) pour une toiture non accessible à \( L/500 \) pour un plancher à cloisons fragiles.
Comparaison : Sous le critère plus sévère de \( L/400 \), la limite tomberait à 15 mm et le taux de travail passerait de 63 % à 100 % : l'IPE 240 serait tout juste à sa limite.

Remarque pédagogique : Un point de vocabulaire mérite d'être fixé, car on l'entend souvent de travers. Les limites de flèche ne sont pas « laissées à l'appréciation de l'ingénieur » : ce sont des paramètres déterminés nationalement. L'Eurocode se contente d'exiger une limitation et renvoie à l'annexe nationale pour la valeur, qui dépend de la destination de l'ouvrage et de la sensibilité des éléments rapportés. Le calculateur choisit la ligne du tableau qui correspond à son cas, il ne choisit pas le nombre. La nuance est importante : elle sépare une décision technique justifiable d'une préférence personnelle indéfendable devant un contrôleur.

Flèche sous les charges de service initiales

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le dernier des quatre critères, et celui qui gouverne le plus souvent les planchers de bâtiment.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule de la flèche avec la charge de service établie en question 1, en convertissant toutes les grandeurs en newtons et millimètres et en contrôlant l'ordre de grandeur du dénominateur.

Substitution : On injecte \( p_{\text{ser}} = 7{,}00\ \text{N/mm} \), \( L = 6\,000\ \text{mm} \), \( E = 210\,000\ \text{MPa} \) et \( I_{\text{y}} = 3{,}892 \times 10^7\ \text{mm}^4 \).
Piège évité : Contrôler l'ordre de grandeur du dénominateur : \( 384 \times 2{,}1 \times 10^5 \times 3{,}89 \times 10^7 = 3{,}14 \times 10^{15} \). On y voit couramment écrire \( 10^{18} \).
Hypothèse validée : Le moment quadratique employé est celui de l'axe fort \( y\text{-}y \). L'axe faible vaudrait 284 cm⁴, soit quatorze fois moins.
Vérification croisée : Le rapport \( f/L = 14{,}45/6\,000 = 1/415 \) est bien plus favorable que le 1/250 admissible, ce qui confirme une marge confortable.
Finalité : Disposer d'une flèche de référence, à laquelle comparer celle obtenue une fois le poids propre réintégré.

\[ \begin{aligned} f &= \frac{5 \, p_{\text{ser}} \, L^4}{384 \, E \, I_{\text{y}}} \\ &= \frac{5 \times 7{,}00 \times (6\,000)^4}{384 \times 210\,000 \times 3{,}892 \times 10^7} \\ &= \frac{4{,}536 \times 10^{16}}{3{,}139 \times 10^{15}} \\ &= \mathbf{14{,}45} \ \text{mm} \ \le \ 24{,}0 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

14,45 mm pour 24 mm admissibles : le critère passe avec une marge de 40 %. C'est nettement plus confortable que sur un dimensionnement optimisé, où l'on cherche à s'approcher de la limite.

Ordre de grandeur : \( f/L = 1/415 \) contre le \( 1/250 \) exigé : le critère est satisfait avec une réserve substantielle.
Impact sur la suite : Cette marge de 9,55 mm permettra d'absorber sans difficulté le poids propre du profilé, ce que l'étape suivante va confirmer par le calcul.
Cohérence : Le dénominateur vaut bien \( 3{,}139 \times 10^{15} \) et non \( 10^{18} \) : le rapport donne 14,45 mm, ordre de grandeur attendu pour une flèche de plancher.
Attention : Avec la charge de l'ELU, la flèche ressortirait à 20,4 mm — encore sous la limite ici, mais l'erreur de combinaison resterait une faute de méthode.
Comparaison : Un IPE 220, de moment quadratique 2 772 cm⁴, donnerait 20,3 mm et passerait encore. Un IPE 200 atteindrait 29,0 mm et échouerait.

Remarque pédagogique : Sur une vérification — par opposition à un dimensionnement — un taux de 60 % n'est pas un défaut mais une information. Il indique que le profilé imposé dispose d'une réserve de 40 % sur ce critère, donc qu'il pourrait absorber une augmentation de charge substantielle. C'est précisément ce que le maître d'œuvre veut savoir quand il envisage de changer la destination d'un plateau ou d'y ajouter des équipements. Une note qui se contente de conclure « vérifié » sans donner les taux prive son destinataire de l'essentiel de l'information.

Reprise des combinaisons avec le poids propre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le poids propre est une charge permanente réelle, connue depuis le départ puisque le profilé est imposé, et que rien ne justifie de la laisser hors calcul.

Méthodologie du calcul :

On convertit la masse linéique du profilé en charge, on l'ajoute aux charges permanentes, puis on reprend les deux combinaisons de la question 1 avec cette valeur corrigée.

Substitution : On injecte la masse de l'IPE 240, 30,7 kg/m, convertie en charge par multiplication par 9,81, soit \( 0{,}301\ \text{kN/m} \).
Piège évité : Le poids propre s'ajoute aux charges permanentes et reçoit donc 1,35 à l'ELU. L'affecter du coefficient 1,50 des charges variables serait une erreur de nature.
Hypothèse validée : Le profilé étant imposé dès l'énoncé, son poids propre est connu depuis le début : aucune itération n'était en réalité nécessaire, seule une omission l'a rendue tardive.
Vérification croisée : Le poids propre représente \( 0{,}301/4{,}00 = 7{,}5\ \% \) des charges permanentes, proportion plus élevée que sur un plancher lourd car les permanentes sont ici modestes.
Finalité : Obtenir les charges de calcul définitives, qui serviront à la synthèse finale des quatre taux de travail.

\[ \begin{aligned} g_{\text{pp}} &= 30{,}7 \times 9{,}81 \times 10^{-3} = 0{,}301 \ \text{kN/m} \\ &\quad G_{\text{tot}} = 4{,}00 + 0{,}301 = 4{,}301 \ \text{kN/m} \\ &\quad p_{\text{Ed}} = 1{,}35 \times 4{,}301 + 1{,}50 \times 3{,}00 = \mathbf{10{,}31} \ \text{kN/m} \\ &\quad p_{\text{ser}} = 4{,}301 + 3{,}00 = \mathbf{7{,}30} \ \text{kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux charges augmentent d'environ 4,3 %. La proportion est supérieure à celle d'un plancher lourd, parce que les charges permanentes de cet énoncé sont relativement modestes.

Ordre de grandeur : 0,301 kN/m pour 4,00 de charges permanentes, soit 7,5 %. C'est davantage que les 2 à 5 % d'un plancher lourd, les permanentes étant ici plus faibles.
Impact sur la suite : La charge de service passe de 7,00 à 7,30 kN/m, ce qui va majorer la flèche proportionnellement — la formule étant linéaire en \( p \).
Cohérence : Le rapport \( p_{\text{Ed}}/p_{\text{ser}} = 10{,}31/7{,}30 = 1{,}412 \) reste voisin de celui de la question 1, ce qui valide la reprise des deux combinaisons.
Attention : La proportion du poids propre croît quand les charges permanentes diminuent. Sur une toiture légère, elle peut atteindre 20 % et devient alors franchement dimensionnante.
Comparaison : Sur un IPE 300, le poids propre atteindrait 0,414 kN/m, soit 10,4 % des permanentes de cet énoncé. La proportion croît avec la taille du profilé.

Remarque pédagogique : Le cas de figure traité ici est plus simple que celui d'un dimensionnement : le profilé étant imposé au départ, son poids propre était connu dès la première question et rien n'obligeait à procéder par itération. L'écarter aurait donc relevé de l'oubli, non d'une nécessité de méthode. Retenez la règle générale : le poids propre ne se néglige que lorsque le profilé est encore inconnu, et il faut alors y revenir explicitement. Dès qu'il est connu, l'intégrer d'emblée est plus simple, plus sûr et plus court.

Synthèse des quatre taux de travail

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour clore la note par un tableau qui dise d'un coup d'œil si l'ouvrage est vérifié, quel critère le gouverne, et quelle réserve il conserve.

Méthodologie du calcul :

On recalcule les sollicitations et la flèche avec les charges révisées, les résistances du profilé restant inchangées, puis on compare les quatre taux pour identifier le critère dimensionnant.

Substitution : On injecte \( p_{\text{Ed}} = 10{,}31\ \text{kN/m} \) et \( p_{\text{ser}} = 7{,}30\ \text{kN/m} \) dans les expressions des efforts et de la flèche.
Piège évité : Les résistances ne changent pas : elles dépendent du profilé, non des charges. Seules les sollicitations sont à recalculer, ce qui limite la reprise à trois lignes.
Hypothèse validée : Le profilé reste l'IPE 240 de classe 1 : ni le module plastique, ni l'aire de cisaillement, ni le moment quadratique ne sont affectés par la reprise.
Vérification croisée : La flèche révisée doit valoir la précédente multipliée par le rapport des charges : \( 14{,}45 \times 7{,}30/7{,}00 = 15{,}07\ \text{mm} \).
Finalité : Statuer définitivement sur la validité du profilé imposé et quantifier la réserve disponible sur chaque critère.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{10{,}31 \times 36}{8} = 46{,}4 \ \text{kN}\cdot\text{m} \ \Rightarrow \ \frac{46{,}4}{86{,}15} = 0{,}538 \\ &\quad V_{\text{Ed}} = \frac{10{,}31 \times 6}{2} = 30{,}9 \ \text{kN} \ \Rightarrow \ \frac{30{,}9}{259{,}8} = 0{,}119 \\ &\quad f = 14{,}45 \times \frac{7{,}30}{7{,}00} = 15{,}07 \ \text{mm} \ \Rightarrow \ \frac{15{,}07}{24{,}0} = \mathbf{0{,}628} \\ &\Rightarrow \ \text{la fleche gouverne} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Quatre taux : 53,8 % en flexion, 11,9 % au cisaillement, interaction sans objet, 62,8 % en flèche. L'IPE 240 est vérifié avec une réserve confortable sur l'ensemble des critères.

Ordre de grandeur : 62,8 % contre 53,8 % : le critère de service reste le plus contraignant, mais l'écart est bien moindre que sur un dimensionnement optimisé.
Impact sur la suite : Le profilé pourrait absorber une augmentation de charge de 59 % avant que la flèche n'atteigne sa limite. C'est l'information la plus utile de toute la note.
Cohérence : La flèche a augmenté de 4,3 % exactement, comme les charges de service : la formule étant linéaire en \( p \), la proportionnalité est attendue.
Attention : Le poids propre a fait passer le taux de flèche de 60,2 % à 62,8 %. Sur ce cas la conséquence est mineure, mais elle ne l'aurait pas été si le taux initial avait avoisiné 95 %.
Comparaison : Avec une limite de \( L/400 \) au lieu de \( L/250 \), la flèche admissible tomberait à 15,0 mm et le taux atteindrait 100,5 % : l'IPE 240 échouerait de justesse.

Remarque pédagogique : Le tableau final des taux de travail est ce qu'un relecteur regarde en premier, et il faut le lui donner explicitement. Sur une vérification, il porte une information que le simple verdict ne contient pas : la réserve disponible sur chaque critère. Ici, 46 % en flexion, 88 % au cisaillement et 37 % en flèche — ce qui signifie que le plancher pourrait accueillir une charge d'exploitation sensiblement plus élevée avant qu'un critère ne bascule. C'est précisément ce que veut savoir un maître d'ouvrage qui envisage un changement de destination, et c'est ce qui distingue une note utile d'une note qui se contente de conclure.

RÉSULTAT FINAL

\( f / f_{\text{adm}} \) = 0,628 ≤ 1,0 — IPE 240 vérifié

"Poids propre inclus, les quatre critères passent : la flèche gouverne avec 37 % de réserve."

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

BILAN DES CALCULS

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cette étude, vérifiez que vous avez assimilé la démarche complète de vérification, des combinaisons au tableau de synthèse :

J'ai distingué la combinaison ELU, où les actions sont pondérées, de la combinaison ELS, où elles ne le sont pas, et je sais à quelle vérification chacune sert. J'ai vérifié la classe de la section plutôt que de la supposer, sachant que c'est elle qui autorise le module plastique. J'ai calculé l'aire de cisaillement par la formule normative au lieu de la lire dans un tableau dont je ne connais pas la source. J'ai examiné l'interaction moment-effort tranchant et je sais dans quelles situations elle cesse d'être formelle. J'ai réintégré le poids propre du profilé et repris les quatre critères, au lieu de le laisser hors calcul comme le faisait l'énoncé.

Avis technique — IPE 240 CONFORME, avec une réserve confortable. Poids propre inclus, les quatre taux s'établissent à 53,8 % en flexion, 11,9 % au cisaillement, interaction moment-effort tranchant sans objet, et 62,8 % en flèche. C'est la déformation qui gouverne, mais avec 37 % de capacité disponible : aucun critère n'approche sa limite. Une réserve conditionne cet avis : la limite de flèche retenue est une donnée de projet ; un critère plus sévère, imposé par des cloisons fragiles, réduirait cette marge sans toutefois disqualifier le profilé. Deux vérifications restent hors périmètre : le déversement, écarté par l'hypothèse d'un maintien latéral continu, et le comportement vibratoire du plancher supporté.

La plus-value technique de cette étude tient précisément là : elle ne se contente pas de conclure que le profilé passe, elle mène les quatre vérifications jusqu'au bout, écarte l'interaction en le démontrant, et chiffre la réserve qui reste sur chacune.

Vérification d'une poutre métallique

Vérification d'une poutre métallique

Le premier mois à 1 €

Vérification complète d'une poutre métallique IPE 240

Contexte de l'Étude & Enjeux

MATÉRIAU, PROFILÉ ET CRITÈRES

ACTIONS ET COMBINAISONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Combinaisons d'actions et sollicitations à l'ELU

Question 2 : Classification et vérification en flexion

Question 3 : Cisaillement et interaction moment-effort tranchant

Question 4 (Finale) : Flèche à l'ELS et reprise avec le poids propre

Vérification complète d'une poutre métallique IPE 240

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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