Calcul d'une poutre en acier

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un plateau de bureaux de 6,00 mètres de portée repose sur un solivage métallique dont les éléments sont espacés de 2,50 mètres. Le bureau d'études vous confie le dimensionnement de la solive courante, de la descente de charges jusqu'à la vérification finale. C'est l'exercice le plus complet de la série, parce qu'il parcourt toute la chaîne : partir de charges exprimées au mètre carré, les ramener à la poutre, les pondérer selon deux combinaisons distinctes, en tirer les efforts, choisir un profilé, puis le vérifier sous tous les critères — et reboucler pour tenir compte du poids de la solive elle-même, qu'on ne connaissait pas au départ.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments structurent cette étude. Prenez le temps de les identifier avant d'écrire la moindre équation : c'est ce qui distingue un dimensionnement conduit d'un enchaînement mécanique de formules.

L'ouvrage : Une solive de plancher en acier S235, de 6,00 m de portée, simplement appuyée sur deux poutres maîtresses. Elle fait partie d'un solivage régulier dont l'entraxe de 2,50 m définit la bande de plancher qu'elle doit reprendre.
Deux combinaisons, pas une : La NF EN 1990 impose des combinaisons différentes selon l'état limite. À l'ELU, les actions sont pondérées — 1,35 sur les permanentes, 1,50 sur les d'exploitation. À l'ELS, elles ne le sont pas. Employer la même charge pour les deux est l'erreur la plus répandue du dimensionnement de plancher.
L'objectif final : Désigner le profilé IPE le plus léger satisfaisant l'ensemble des critères : résistance en flexion, résistance au cisaillement, et limitation de la flèche à \( L/300 \). La masse au mètre est le critère économique de départage.
Le bouclage sur le poids propre : Le poids de la solive fait partie des charges permanentes — mais on ne le connaît qu'après avoir choisi le profilé. La démarche est donc nécessairement itérative : on dimensionne sans lui, puis on reprend le calcul en l'intégrant. C'est ce bouclage qui distingue un dimensionnement complet d'un simple enchaînement de formules.

Votre Mission :

Vous devez produire la note de dimensionnement complète de la solive courante. La démarche parcourt quatre étapes : ramener les charges surfaciques à la poutre et appliquer les deux combinaisons réglementaires, en déduire les efforts à l'ELU, classer la section et choisir le profilé, puis mener les vérifications finales en réintégrant le poids propre du profilé retenu.

Le grand défi : Mener un dimensionnement vraiment complet, c'est-à-dire qui se referme sur lui-même. Le poids propre du profilé est une donnée d'entrée du calcul et un résultat de ce même calcul : seule une itération permet de sortir de ce cercle.
Votre rôle : Calculer les charges linéiques et les deux combinaisons, en déduire \( M_{\text{Ed}} \) et \( V_{\text{Ed}} \), classer la section, sélectionner le profilé, puis vérifier flexion, cisaillement et flèche avec le poids propre réintégré.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Les charges linéiques permanente et d'exploitation reprises par une solive, puis les deux combinaisons \( p_{\text{Ed}} \) à l'ELU et \( p_{\text{ser}} \) à l'ELS, avec la référence de la clause appliquée pour chacune.
Le moment fléchissant \( M_{\text{Ed}} \) et l'effort tranchant \( V_{\text{Ed}} \) maximaux à l'ELU, avec l'indication des sections où chacun est atteint.
La classe de la section établie pour l'âme et pour la semelle, le module plastique requis, le profilé retenu et son taux de travail en flexion.
Les vérifications finales — aire de cisaillement, résistance au cisaillement, flèche — menées poids propre réintégré, et une conclusion chiffrée désignant le critère qui gouverne le dimensionnement.

2. Données Techniques & Normes

Toutes les grandeurs de l'étude sont rassemblées ci-dessous. Les charges sont fournies au mètre carré et devront être ramenées au mètre linéaire de solive : c'est l'objet de la question 1. Le catalogue de profilés figure dans l'encadré dépliable « Extraits de normes et abaques », avec les caractéristiques normalisées de la NF EN 10365. Notez que le poids propre de la solive ne figure pas dans les charges permanentes : il ne sera connu qu'une fois le profilé choisi, et devra être réintégré en fin d'étude.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Voici les outils mathématiques de cet exercice, dans l'ordre où vous en aurez besoin. Ne les apprenez pas par cœur : comprenez ce que chacun exprime physiquement, la formule se retrouve alors toute seule.

Charge surfacique vers linéique \( p = p' \times e \)
Combinaison fondamentale ELU \( p_{\text{Ed}} = 1{,}35\,G + 1{,}50\,Q \)
Combinaison caractéristique ELS \( p_{\text{ser}} = G + Q \)
Moment fléchissant maximal \( M_{\text{Ed}} = \dfrac{p_{\text{Ed}} L^2}{8} \)
Effort tranchant maximal \( V_{\text{Ed}} = \dfrac{p_{\text{Ed}} L}{2} \)
Module plastique requis \( W_{\text{pl},\text{y},\text{req}} \ge \dfrac{M_{\text{Ed}} \gamma_{\text{M0}}}{f_{\text{y}}} \)
Aire de cisaillement \( A_{\text{v}} = A - 2 b t_{\text{f}} + (t_{\text{w}} + 2r) t_{\text{f}} \)
Résistance au cisaillement \( V_{\text{pl},\text{Rd}} = \dfrac{A_{\text{v}} f_{\text{y}} / \sqrt{3}}{\gamma_{\text{M0}}} \)
Flèche à mi-portée \( f = \dfrac{5 p_{\text{ser}} L^4}{384 E I_{\text{y}}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

MATÉRIAU, GÉOMÉTRIE ET CRITÈRES

Symbole	Description	Valeur	Unité
S235	Nuance d'acier des solives NF EN 10025-2	—	—
\( f_{\text{y}} \)	Limite d'élasticité, pour \( t \le 16\ \text{mm} \) NF EN 1993-1-1, tab. 3.1	235	\( \text{MPa} \)
\( E \)	Module d'élasticité longitudinal NF EN 1993-1-1, art. 3.2.6	210 000	\( \text{MPa} \)
\( L \)	Portée des solives entre poutres maîtresses	6,00	\( \text{m} \)
\( e \)	Entraxe des solives, largeur de la bande d'influence	2,50	\( \text{m} \)
\( \gamma_{\text{M0}} \)	Coefficient partiel, résistance des sections transversales NF EN 1993-1-1, art. 6.1	1,00	—
\( f_{\text{adm}} \)	Limite de flèche — donnée d'énoncé, voir note ci-dessous NF EN 1993-1-1/NA	L / 300	—
\( \varepsilon \)	Coefficient de nuance, \( \sqrt{235/f_{\text{y}}} \) NF EN 1993-1-1, tab. 5.2	1,00	—

Critères et coefficients à retenir

Ame flechie : \( c_{\text{w}} / t_{\text{w}} \le 72\,\varepsilon = \mathbf{72} \)
Semelle comprimee : \( c_{\text{f}} / t_{\text{f}} \le 9\,\varepsilon = \mathbf{9} \)
Limite de fleche : \( f_{\text{adm}} = 6\,000/300 = \mathbf{20{,}0} \text{ mm} \)
Interaction M-V negligeable si : \( V_{\text{Ed}} \le \mathbf{0{,}5}\,V_{\text{pl},\text{Rd}} \)

ACTIONS ET COMBINAISONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( G' \)	Charges permanentes surfaciques, hors poids propre de la solive NF EN 1991-1-1	3,0	\( \text{kN/m}^2 \)
\( Q' \)	Charges d'exploitation surfaciques, bureaux — catégorie B NF EN 1991-1-1	2,5	\( \text{kN/m}^2 \)
\( \gamma_{\text{G}} \)	Coefficient partiel des actions permanentes défavorables NF EN 1990, art. 6.4.3.2	1,35	—
\( \gamma_{\text{Q}} \)	Coefficient partiel des actions variables défavorables NF EN 1990, art. 6.4.3.2	1,50	—
\( g_{\text{pp}} \)	Poids propre de la solive — inconnu au départ, à réintégrer une fois le profilé choisi	?	\( \text{kN/m} \)

Hypothèses de modélisation à ne pas perdre de vue

Modele : \( \text{poutre isostatique sur deux appuis} \)
Repartition : \( \text{plancher reportant sur la bande d'influence} \)
Maintien lateral : \( \text{semelle comprimee tenue par le plancher} \)
Deversement : \( \text{ecarte par ce maintien continu} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Le catalogue ci-dessous rassemble les caractéristiques normalisées des profilés IPE susceptibles de convenir. Les valeurs sont celles de la NF EN 10365 ; l'aire de cisaillement \( A_{\text{v}} \) est calculée par la formule de la NF EN 1993-1-1 art. 6.2.6(3)a. Toutes portent sur l'axe fort \( y\text{-}y \), seul axe de flexion d'une poutre de plancher.

Extrait du catalogue de profilés IPE — caractéristiques NF EN 10365, axe fort y-y

Profilé, masse et poids propre	\( W_{\text{el},\text{y}} \) · \( W_{\text{pl},\text{y}} \) · \( I_{\text{y}} \) · \( A_{\text{v}} \)
IPE 220 — 26,2 kg/m — 0,257 kN/m	252,0 · 285,4 \( \text{cm}^3 \) · 2 772 \( \text{cm}^4 \) · 15,88 \( \text{cm}^2 \)
IPE 240 — 30,7 kg/m — 0,301 kN/m	324,3 · 366,6 \( \text{cm}^3 \) · 3 892 \( \text{cm}^4 \) · 19,15 \( \text{cm}^2 \)
IPE 270 — 36,1 kg/m — 0,354 kN/m	428,9 · 484,0 \( \text{cm}^3 \) · 5 790 \( \text{cm}^4 \) · 22,14 \( \text{cm}^2 \)
IPE 300 — 42,2 kg/m — 0,414 kN/m	557,1 · 628,4 \( \text{cm}^3 \) · 8 356 \( \text{cm}^4 \) · 25,68 \( \text{cm}^2 \)
Cotes de l'IPE 270	\( h = 270 \) · \( b = 135 \) · \( t_{\text{w}} = 6{,}6 \) · \( t_{\text{f}} = 10{,}2 \) · \( r = 15 \) mm · \( A = 45{,}95\ \text{cm}^2 \)
Rappel — axe faible de l'IPE 270	\( I_{\text{z}} = 420\ \text{cm}^4 \) et \( W_{\text{el},\text{z}} = 62{,}2\ \text{cm}^3 \), sans objet ici

Trois points à connaître avant de calculer

L'axe de flexion est l'axe fort. Une poutre de plancher fléchit autour de \( y\text{-}y \), et toutes les caractéristiques employées doivent porter cet indice. Confondre avec l'axe faible \( z\text{-}z \) diviserait l'inertie par treize sur un IPE 270. C'est l'erreur de notation la plus fréquente des notes de calculs.

La limite de flèche est un paramètre national. La NF EN 1993-1-1 exige que la flèche soit limitée sans en fixer la valeur : celle-ci se lit dans l'annexe nationale et peut être resserrée par les pièces du marché. Le \( L/300 \) employé ici est une donnée de l'étude. Sur un plancher de bureaux, les valeurs rencontrées vont de \( L/250 \) à \( L/350 \) selon la fragilité des cloisons et des revêtements portés.

La charge d'exploitation relève d'une catégorie d'usage. La valeur de 2,5 kN/m² correspond à la catégorie B — bureaux — de la NF EN 1991-1-1. Le tableau des catégories et les valeurs associées relèvent eux aussi de l'annexe nationale : on ne les improvise pas, on les lit.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche suit la chaîne complète du dimensionnement, de la charge au profilé. Chaque étape produit la donnée d'entrée de la suivante, et la dernière revient sur la première pour y réintégrer le poids propre — c'est ce bouclage qui referme le dimensionnement sur lui-même.

Question 1 : Descente de charges et combinaisons réglementaires

Eurocode 0 — actions 20 min | Accessible

But de l'étape : Ramener des charges exprimées au mètre carré à la poutre étudiée, puis leur appliquer les deux combinaisons réglementaires. Sans cette étape, aucune sollicitation ne peut être calculée.

Énoncé Q1 : Déterminer les charges linéiques permanente \( G \) et d'exploitation \( Q \) reprises par une solive courante, en justifiant la largeur de bande retenue. Appliquer ensuite la combinaison fondamentale à l'ELU puis la combinaison caractéristique à l'ELS, en citant la clause de la NF EN 1990 dont chacune relève.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Chaque solive reprend la charge d'une bande de plancher centrée sur elle, dont la largeur est égale à l'entraxe. Cette bande porte le nom de surface d'influence.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Les deux combinaisons n'ont pas le même objet. L'ELU vise la sécurité et pondère les actions ; l'ELS vise l'aptitude au service et les prend à leur valeur caractéristique, sans pondération.

Question 2 : Efforts internes maximaux à l'état limite ultime

Résistance des matériaux 15 min | Accessible

But de l'étape : Traduire la charge pondérée en sollicitations de calcul. Ce sont elles, et non la charge elle-même, qui seront confrontées aux résistances du profilé.

Énoncé Q2 : Calculer le moment fléchissant maximal \( M_{\text{Ed}} \) et l'effort tranchant maximal \( V_{\text{Ed}} \) à l'état limite ultime. Précisez la section où chacun est atteint et expliquez pourquoi ces deux maximums ne coïncident jamais sur une poutre isostatique uniformément chargée.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Attention à employer la charge pondérée \( p_{\text{Ed}} \) et non la charge de service. Les efforts de calcul se déterminent toujours à partir de la combinaison ELU.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant le long de la poutre. Le moment est donc extremum là où l'effort tranchant s'annule, c'est-à-dire à mi-portée par symétrie.

Question 3 : Classification, module requis et choix du profilé

Eurocode 3 — flexion 25 min | Intermédiaire

But de l'étape : Choisir le profilé sur le critère de résistance, en s'assurant au préalable que la section autorise l'emploi du module plastique — faute de quoi la capacité serait surestimée de 13 %.

Énoncé Q3 : Déterminer le module de résistance plastique requis, sélectionner le profilé IPE le plus léger qui le satisfait, puis vérifier sa classe en traitant séparément l'âme et la semelle comprimée. Concluez par le taux de travail en flexion du profilé retenu et commentez l'écart avec un calcul mené en élastique.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'expression \( M_{\text{c},\text{Rd}} = W_{\text{pl},\text{y}} f_{\text{y}} / \gamma_{\text{M0}} \) n'est valable qu'en classe 1 ou 2. La classe doit donc être vérifiée, et non supposée : c'est elle qui autorise le module plastique plutôt que l'élastique.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Toutes les caractéristiques employées doivent porter l'indice \( y \), celui de l'axe fort. Le module \( W_{\text{pl},\text{z}} \) de l'axe faible vaut sept fois moins et n'a aucun rôle dans une poutre de plancher.

Question 4 (Finale) : Vérifications finales et bouclage sur le poids propre

Eurocode 3 — ELU et ELS 35 min | BOSS

But de l'étape : Achever le dimensionnement en vérifiant le cisaillement et la flèche, puis refermer l'itération en réintégrant le poids propre du profilé — donnée qui n'était pas disponible au début de l'étude.

Énoncé Q4 — le bouclage : Calculer l'aire de cisaillement du profilé retenu par la formule de la NF EN 1993-1-1, en déduire \( V_{\text{pl},\text{Rd}} \) et le taux de travail. Vérifier ensuite la flèche à l'ELS. Reprendre enfin l'ensemble des vérifications en réintégrant le poids propre de la solive, et conclure sur la validité du dimensionnement et sur le critère qui le gouverne.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'aire de cisaillement n'est pas l'aire de l'âme seule ni l'aire totale. L'art. 6.2.6(3)a en donne l'expression exacte pour les profilés laminés en I, incluant la contribution des congés de raccordement.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le poids propre est une charge permanente : il s'ajoute à \( G \) et se trouve donc pondéré par 1,35 à l'ELU, mais pris tel quel à l'ELS. Les deux combinaisons doivent être reprises.

NOTE DE CALCULS

Dimensionnement d'une solive de plancher de bureaux

Question 1 : Descente de charges et combinaisons réglementaires

Dans la tête de l'ingénieur

"Les charges me sont données au mètre carré, mais ma poutre est un objet linéaire : il faut donc les ramener au mètre courant de solive. Le raisonnement est celui de la bande d'influence — chaque solive collecte ce qui tombe sur une largeur égale à l'entraxe, la moitié de part et d'autre. Ensuite viennent les combinaisons, et c'est là que se joue l'essentiel. La norme en impose deux, qui n'ont ni le même objet ni les mêmes coefficients : l'une pondère les actions pour couvrir la ruine, l'autre les prend telles quelles pour juger du confort. Les confondre est l'erreur la plus répandue du dimensionnement de plancher, et elle va toujours dans le même sens : elle surestime la flèche et fait choisir un profilé inutilement lourd."

Observation : Des charges exprimées en kilonewtons par mètre carré et une poutre linéaire : la conversion est obligatoire avant tout calcul d'effort. L'entraxe de 2,50 m est la seule donnée géométrique qui intervienne à cette étape.
Analyse du risque : Le piège majeur est d'employer une seule charge pour les deux états limites. La NF EN 1990 impose des combinaisons distinctes, et l'écart n'a rien de marginal : 19,5 kN/m à l'ELU contre 13,75 kN/m à l'ELS, soit 42 % de plus.
Choix stratégique : Calculer d'abord les deux charges linéiques séparément, puis appliquer les combinaisons. Mélanger les deux opérations dans un seul calcul rend la relecture impossible et masque les erreurs de coefficient.
Alternative : La NF EN 1990 propose aussi les expressions (6.10a) et (6.10b), légèrement moins conservatives que la (6.10) employée ici. Elles font intervenir un coefficient \( \xi \) de 0,85 sur les charges permanentes, mais compliquent le calcul pour un gain modeste sur un cas aussi simple.
Objectif visé : Disposer des deux charges de calcul qui alimenteront séparément les vérifications de résistance et celle de la flèche. Une erreur ici se propagerait à l'intégralité de la note sans qu'aucun contrôle ultérieur ne la révèle.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( p_{\text{Ed}} = 19{,}5 \text{ kN/m} \) à l'ELU et \( p_{\text{ser}} = 13{,}75 \text{ kN/m} \) à l'ELS

Rappel Théorique : Surface d'influence et combinaisons d'actions

Deux notions distinctes structurent cette étape. La surface d'influence répond à une question géométrique : quelle part du plancher chaque poutre reprend-elle ? Les combinaisons d'actions répondent à une question réglementaire : avec quels coefficients faut-il cumuler des charges de natures différentes ?

La surface d'influence : Chaque solive d'un solivage régulier reprend la charge d'une bande de plancher centrée sur elle, s'étendant jusqu'à mi-distance des solives voisines. Sa largeur est donc exactement égale à l'entraxe. L'image la plus parlante est celle d'une gouttière : chaque solive collecte ce qui tombe sur sa bande, ni plus ni moins.
Deux natures d'actions : Les actions permanentes \( G \) sont présentes en permanence et connues avec une bonne précision : poids du plancher, des revêtements, des cloisons fixes. Les actions variables \( Q \) fluctuent et sont estimées statistiquement : mobilier, personnes, matériel. Cette différence de connaissance justifie des coefficients partiels différents.
La combinaison fondamentale à l'ELU : L'expression (6.10) de la NF EN 1990, art. 6.4.3.2, applique \( \gamma_{\text{G}} = 1{,}35 \) aux actions permanentes défavorables et \( \gamma_{\text{Q}} = 1{,}50 \) aux actions variables. L'écart entre les deux coefficients reflète l'incertitude plus grande qui pèse sur les secondes : on majore davantage ce que l'on connaît moins bien.
La combinaison caractéristique à l'ELS : L'art. 6.5.3 de la NF EN 1990 retient les actions à leur valeur caractéristique, sans aucune pondération. La logique est différente : il ne s'agit plus de couvrir un événement rare et catastrophique, mais de juger du comportement sous les charges réellement attendues en exploitation.
Pourquoi la distinction est décisive : Employer la charge ELU pour vérifier la flèche surestime celle-ci de 42 % dans ce cas précis. L'erreur est sécuritaire, mais elle conduit à choisir un profilé nettement trop lourd — et sur un solivage complet, le surcoût d'acier se compte en tonnes.

Équations Fondamentales

Trois relations composent cette étape : la conversion géométrique des charges, puis les deux combinaisons réglementaires. Elles sont traitées séparément car elles relèvent de logiques distinctes — la première est de la géométrie, les deux autres de la norme.

Conversion d'une charge surfacique en charge linéique :

Elle ramène une charge répartie sur le plancher à la poutre qui la reprend.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les charges de plancher sont toujours données au mètre carré — c'est ainsi que les normes et les descriptifs les expriment — alors que les formules d'efforts d'une poutre attendent une charge par mètre courant.

Contexte de validité : Solivage régulier, à entraxe constant, dont les éléments sont identiques. Une solive de rive ne reprendrait que la moitié d'une bande, et une solive voisine d'une trémie une bande dissymétrique.
Avantage : Une simple multiplication suffit à passer de la charge du plancher à celle de la poutre. C'est la première étape de toute descente de charges, et elle se répète à chaque niveau porteur de l'ouvrage.
Paramètre clé : L'entraxe, qui fixe la largeur de bande. Une erreur de 20 % sur cette valeur se répercute intégralement sur les charges, donc sur les efforts, donc sur le profilé retenu.
Vérification : La charge totale reprise par la solive doit correspondre à celle de sa bande : \( 3{,}0 \times 2{,}50 \times 6{,}00 = 45\ \text{kN} \) de permanentes, ce que le produit \( G \times L \) doit redonner.
Limite : L'expression suppose que le plancher reporte uniquement sur les solives. Une dalle portant dans deux directions, ou un plancher collaborant continu, redistribuerait les charges différemment.

\[ \begin{aligned} p = p' \times e \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'image la plus juste est celle d'une gouttière. Chaque solive collecte ce qui tombe sur une bande de plancher centrée sur elle, s'étendant jusqu'à mi-distance de ses voisines : la moitié de l'entraxe de chaque côté, soit l'entraxe complet au total. Ce qui tombe entre deux solives se partage à parts égales entre elles, exactement comme l'eau ruisselant sur un toit se dirige vers la gouttière la plus proche. La conversion n'est donc pas un artifice de calcul mais la traduction d'un cheminement réel des efforts dans la structure — celui-là même qu'on suivra ensuite jusqu'aux poutres maîtresses, aux poteaux, puis aux fondations.

Décomposition des termes :

\( p \) : charge linéique reprise par la poutre, unité : \( \text{kN/m} \)
\( p' \) : charge surfacique appliquée au plancher, unité : \( \text{kN/m}^2 \)
\( e \) : entraxe des solives, largeur de la bande d'influence, unité : \( \text{m} \)

Combinaison fondamentale à l'ELU — EN 1990 expression (6.10) :

Elle fournit la charge de calcul servant aux vérifications de résistance.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la sécurité impose de couvrir des situations plus défavorables que celles attendues en exploitation courante. La pondération traduit l'incertitude qui pèse sur chaque nature d'action, et non une prévision de surcharge.

Contexte de validité : Situation de projet durable ou transitoire, avec une seule action variable. En présence de plusieurs actions variables, chacune devient tour à tour dominante et les autres sont affectées de leur coefficient \( \psi_0 \).
Avantage : L'expression (6.10) est la plus simple et la plus sûre des trois que propose la norme. Elle donne le résultat en une ligne, sans avoir à comparer deux combinaisons concurrentes.
Paramètre clé : Le rapport entre les deux coefficients partiels. \( \gamma_{\text{Q}} = 1{,}50 \) excède \( \gamma_{\text{G}} = 1{,}35 \) parce que les charges d'exploitation sont beaucoup moins bien connues que le poids des matériaux.
Vérification : Le rapport \( p_{\text{Ed}}/p_{\text{ser}} \) doit se situer entre 1,35 et 1,50, puisqu'il s'agit d'une moyenne pondérée des deux coefficients. Toute valeur hors de cette plage signale une erreur.
Limite : Les coefficients changent de valeur lorsque l'action permanente est favorable — \( \gamma_{\text{G}} \) tombe alors à 1,00 — ou en situation accidentelle, où tous valent 1,00.

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} = \gamma_{\text{G}} \, G + \gamma_{\text{Q}} \, Q = 1{,}35 \, G + 1{,}50 \, Q \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? La pondération ne prédit pas une surcharge : elle couvre une incertitude. Le poids d'une dalle de béton est connu à quelques pour cent près — on connaît l'épaisseur et la masse volumique — d'où un coefficient modéré de 1,35. Le mobilier, les occupants et le matériel d'un bureau sont en revanche imprévisibles : une salle d'archives improvisée dans un plateau conçu pour des postes de travail peut doubler la charge réelle. D'où le coefficient plus sévère de 1,50. La logique est donc statistique et non physique : on majore d'autant plus qu'on connaît moins bien, et l'ensemble est calibré pour que la probabilité de ruine reste inférieure à une valeur cible sur la durée de vie de l'ouvrage.

Décomposition des termes :

\( p_{\text{Ed}} \) : charge linéique de calcul à l'état limite ultime, unité : \( \text{kN/m} \)
\( G \) : charge linéique permanente caractéristique, unité : \( \text{kN/m} \)
\( Q \) : charge linéique d'exploitation caractéristique, unité : \( \text{kN/m} \)
\( \gamma_{\text{G}} \) : coefficient partiel des actions permanentes défavorables, unité : sans dimension
\( \gamma_{\text{Q}} \) : coefficient partiel des actions variables défavorables, unité : sans dimension

Combinaison caractéristique à l'ELS — EN 1990 art. 6.5.3 :

Elle fournit la charge de service servant à la vérification de la flèche.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la vérification du confort n'a aucune raison d'employer des charges majorées. On cherche à savoir comment la structure se comporte réellement en exploitation, pas à couvrir un scénario extrême.

Contexte de validité : Combinaison caractéristique, dite aussi rare, employée pour les effets irréversibles. La norme définit aussi des combinaisons fréquente et quasi-permanente, avec des coefficients \( \psi_1 \) et \( \psi_2 \) réducteurs sur les actions variables.
Avantage : Aucun coefficient à appliquer : la somme directe des actions caractéristiques suffit. C'est la combinaison la plus simple de toute la NF EN 1990.
Paramètre clé : L'absence de pondération, qui est précisément ce qui distingue cette combinaison de la précédente. C'est le point sur lequel se concentrent les erreurs de méthode.
Vérification : La charge de service doit toujours être inférieure à la charge ultime. Trouver l'inverse signale une inversion des deux combinaisons.
Limite : Pour une flèche de longue durée, la combinaison quasi-permanente serait plus pertinente : elle n'applique que la fraction \( \psi_2 \) de la charge d'exploitation, soit 30 % pour des bureaux.

\[ \begin{aligned} p_{\text{ser}} = G + Q \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Cette combinaison décrit la structure telle qu'elle vit, avec les charges qu'elle porte effectivement un jour ordinaire. Elle ne cherche pas à couvrir la ruine mais à répondre à une question de bon sens : le plancher sera-t-il agréable à utiliser ? Les cloisons resteront-elles intactes, les portes s'ouvriront-elles, le sol paraîtra-t-il ferme sous le pas ? Ce sont des questions de fonction et de durabilité, non de sécurité — et il serait absurde de les traiter avec des charges majorées que la structure ne rencontrera peut-être jamais. C'est aussi pourquoi les conséquences d'un dépassement diffèrent radicalement : à l'ELU on parle d'effondrement, à l'ELS de fissures et d'inconfort.

Décomposition des termes :

\( p_{\text{ser}} \) : charge linéique de service à l'état limite de service, unité : \( \text{kN/m} \)
\( G \) : charge linéique permanente caractéristique, unité : \( \text{kN/m} \)
\( Q \) : charge linéique d'exploitation caractéristique, unité : \( \text{kN/m} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants calculent une seule charge — souvent celle de l'ELU — et l'emploient aussi bien pour les efforts que pour la flèche…"

L'approche d'ingénieur : C'est l'erreur de méthode la plus répandue du dimensionnement de plancher. Elle est sécuritaire, ce qui explique qu'elle passe souvent inaperçue en correction, mais elle coûte cher en acier et révèle une confusion sur la nature des deux états limites.

L'erreur : Employer \( p_{\text{Ed}} = 19{,}5\ \text{kN/m} \) dans la formule de la flèche. Celle-ci ressortirait à 27,1 mm au lieu de 19,1, soit un dépassement apparent de la limite — et le choix d'un IPE 300 parfaitement inutile.
La bonne méthode : Calculer les deux combinaisons dès la première question et les nommer distinctement. Un tableau à deux colonnes en tête de note supprime définitivement le risque de confusion.
L'astuce de pro : Retenir la règle mnémotechnique de l'indice : \( Ed \) pour l'ultime, \( ser \) pour le service. Toute formule de résistance appelle un \( Ed \), toute formule de déformation appelle un \( ser \).
Le moyen mnémotechnique : « On majore pour ne pas casser, on ne majore pas pour juger du confort. » La sécurité couvre l'improbable, le service décrit l'ordinaire.
L'impact direct : Sur ce plancher, l'erreur ferait passer de l'IPE 270 à l'IPE 300, soit 17 % d'acier en plus. Sur un solivage complet de plusieurs centaines de mètres de solives, le surcoût se compte en tonnes et en milliers d'euros.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Charges surfaciques : exprimées en \( \text{kN/m}^2 \), unité usuelle des descriptifs et des normes d'actions.
Entraxe : exprimé en mètres, ce qui donne directement une charge linéique en \( \text{kN/m} \).
Charges linéiques : en \( \text{kN/m} \), équivalentes à des \( \text{N/mm} \) — correspondance utile pour la flèche.
Coefficients partiels : rapports de grandeurs de même nature, donc sans dimension.
Charge totale de contrôle : \( p \times L \), en \( \text{kN} \) — grandeur de vérification, jamais à substituer à la charge linéique.

Quatre étapes s'enchaînent : les deux conversions de charges, puis les deux combinaisons. L'ordre importe, car les combinaisons portent sur des charges déjà ramenées au mètre linéaire.

1. Résolution Numérique Charge linéique permanente reprise par une solive

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les formules d'efforts d'une poutre attendent une charge par mètre courant, et non par mètre carré. C'est la première étape obligatoire de toute descente de charges.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la charge surfacique permanente par la largeur de la bande d'influence, égale à l'entraxe des solives. Le résultat est la charge que reprend chaque mètre courant de solive.

Substitution : On injecte \( G' = 3{,}0\ \text{kN/m}^2 \) et \( e = 2{,}50\ \text{m} \), les deux données de l'énoncé relatives aux charges permanentes.
Piège évité : La largeur de bande vaut l'entraxe complet et non sa moitié : chaque solive collecte 1,25 m de chaque côté, soit 2,50 m au total.
Hypothèse validée : Le solivage est régulier et la solive étudiée est courante, non de rive : elle reprend bien une bande entière, symétrique de part et d'autre.
Vérification croisée : La charge permanente totale sur la solive vaut \( 7{,}50 \times 6{,}00 = 45{,}0\ \text{kN} \), ce qui correspond bien à \( 3{,}0 \times 2{,}50 \times 6{,}00 \).
Finalité : Obtenir le terme \( G \) qui sera pondéré par 1,35 à l'ELU et pris tel quel à l'ELS.

\[ \begin{aligned} G &= G' \times e \\ &= 3{,}0 \times 2{,}50 \\ &= \mathbf{7{,}50} \ \text{kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

7,50 kN par mètre courant de solive. C'est une valeur courante pour un plancher de bureaux, correspondant typiquement à une dalle collaborante, une chape et un revêtement de sol.

Ordre de grandeur : 3,0 kN/m² de charges permanentes correspond à environ 12 cm de béton avec ses revêtements : l'ordre de grandeur est parfaitement plausible pour un plancher de bureaux.
Impact sur la suite : Cette valeur interviendra dans les deux combinaisons, avec un coefficient de 1,35 à l'ELU et de 1,00 à l'ELS.
Cohérence : La charge totale de 45,0 kN sur la solive correspond bien à celle de sa bande de 15 m² de plancher, ce qui valide la conversion.
Attention : Cette valeur n'inclut pas le poids propre de la solive, encore inconnu à ce stade. Il faudra le réintégrer en question 4, une fois le profilé choisi.
Comparaison : Une solive de rive ne reprendrait que la moitié de cette bande, soit 3,75 kN/m — mais elle recevrait en contrepartie la charge de la façade, souvent bien supérieure.

Remarque pédagogique : La descente de charges est l'exercice le plus sous-estimé de la construction, et pourtant celui où se logent le plus d'erreurs de conception. Elle consiste à suivre le cheminement des efforts depuis leur point d'application jusqu'aux fondations, en passant par chaque élément porteur. Une erreur de bande d'influence à ce stade ne se rattrape à aucune étape ultérieure : tous les calculs qui suivent seront rigoureusement exacts sur une donnée fausse. C'est pourquoi les bureaux d'études font systématiquement relire la descente de charges par un second calculateur, avant même d'engager le moindre dimensionnement.

Charge linéique d'exploitation reprise par une solive

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour la même raison que la précédente, mais sur une action de nature différente — qui recevra donc un coefficient partiel différent dans la combinaison ELU.

Méthodologie du calcul :

On applique la même conversion géométrique à la charge d'exploitation. La bande d'influence est identique : c'est la nature de l'action qui change, pas la géométrie du report.

Substitution : On injecte \( Q' = 2{,}5\ \text{kN/m}^2 \), valeur correspondant à la catégorie B — bureaux — et le même entraxe de 2,50 m.
Piège évité : Ne pas cumuler les deux charges surfaciques avant la conversion. Elles doivent rester séparées jusqu'à la combinaison, puisqu'elles y reçoivent des coefficients distincts.
Hypothèse validée : La charge d'exploitation est supposée appliquée sur toute la bande, ce qui est le cas le plus défavorable pour le moment à mi-portée.
Vérification croisée : Le rapport \( Q/G = 6{,}25/7{,}50 = 0{,}83 \) est typique d'un plancher de bureaux, où les deux natures de charges sont du même ordre.
Finalité : Obtenir le terme \( Q \) qui sera pondéré par 1,50 à l'ELU et pris tel quel à l'ELS.

\[ \begin{aligned} Q &= Q' \times e \\ &= 2{,}5 \times 2{,}50 \\ &= \mathbf{6{,}25} \ \text{kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

6,25 kN par mètre courant. La charge d'exploitation représente ici 83 % de la charge permanente, proportion caractéristique des planchers de bureaux.

Ordre de grandeur : 2,5 kN/m² correspond à la catégorie B de la NF EN 1991-1-1, celle des bureaux. Un plancher d'archives monterait à 5,0 kN/m², un logement descendrait à 1,5 kN/m².
Impact sur la suite : Cette valeur recevra le coefficient le plus sévère à l'ELU, 1,50 contre 1,35, en raison de l'incertitude plus grande qui pèse sur elle.
Cohérence : Charges permanentes et d'exploitation du même ordre de grandeur : c'est la signature d'un plancher de bureaux, là où une toiture serait dominée par les permanentes.
Attention : Cette valeur relève d'une catégorie d'usage réglementaire. Changer la destination du plateau — archives, salle de sport, stockage — invaliderait tout le dimensionnement.
Comparaison : En catégorie E1, celle des aires de stockage, la charge atteindrait 7,5 kN/m² : la charge linéique triplerait et le profilé changerait complètement.

Remarque pédagogique : Retenez que la charge d'exploitation dépend d'une catégorie d'usage définie par la NF EN 1991-1-1, et que cette catégorie engage l'ouvrage pour toute sa durée de vie. Un plateau de bureaux dimensionné à 2,5 kN/m² ne peut pas accueillir une salle d'archives sans vérification : la charge y serait doublée, et le plancher passerait de 79 % à plus de 100 % de sa capacité. C'est la raison pour laquelle les changements de destination d'un bâtiment imposent réglementairement une étude de structure, et pourquoi les notes de calculs doivent mentionner explicitement la catégorie retenue.

Combinaison fondamentale à l'état limite ultime

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les vérifications de résistance — flexion et cisaillement — se mènent sur des charges pondérées, seules capables de couvrir les incertitudes sur les actions.

Méthodologie du calcul :

On applique l'expression (6.10) de la NF EN 1990 en affectant chaque nature d'action de son coefficient partiel, puis on somme. Les deux termes sont conservés séparés pour rendre la relecture possible.

Substitution : On injecte \( G = 7{,}50\ \text{kN/m} \) avec \( \gamma_{\text{G}} = 1{,}35 \), et \( Q = 6{,}25\ \text{kN/m} \) avec \( \gamma_{\text{Q}} = 1{,}50 \).
Piège évité : Ne pas intervertir les coefficients. Le 1,50 s'applique aux charges variables, moins bien connues, et le 1,35 aux permanentes. L'inversion donnerait 19,5 kN/m également ici, par coïncidence — d'où la nécessité d'écrire les termes séparément.
Hypothèse validée : Les deux actions sont défavorables : elles augmentent toutes deux les sollicitations. Une action permanente favorable recevrait \( \gamma_{\text{G}} = 1{,}00 \).
Vérification croisée : Le rapport \( p_{\text{Ed}}/p_{\text{ser}} = 19{,}5/13{,}75 = 1{,}42 \) se situe bien entre 1,35 et 1,50, comme l'exige la logique d'une moyenne pondérée.
Finalité : Obtenir la charge de calcul qui servira à établir le moment fléchissant et l'effort tranchant de la question 2.

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= 1{,}35 \, G + 1{,}50 \, Q \\ &= 1{,}35 \times 7{,}50 + 1{,}50 \times 6{,}25 \\ &= 10{,}125 + 9{,}375 \\ &= \mathbf{19{,}50} \ \text{kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

19,50 kN/m à l'état limite ultime, soit 42 % de plus que la charge de service. Les deux termes pondérés sont d'ailleurs très proches, 10,1 et 9,4 kN/m, ce qui est caractéristique des planchers de bureaux.

Ordre de grandeur : 19,50 kN/m pour une charge de service de 13,75 : le rapport de 1,42 est bien la moyenne pondérée attendue entre 1,35 et 1,50.
Impact sur la suite : Cette valeur produira le moment fléchissant qui dimensionnera le profilé, et l'effort tranchant qui servira à vérifier l'âme.
Cohérence : Les deux contributions pondérées sont quasi égales, ce qui reflète l'équilibre entre permanentes et exploitation propre aux planchers de bureaux.
Attention : Cette charge ne doit jamais servir au calcul de la flèche. L'employer ainsi la surestimerait de 42 % et conduirait à un profilé inutilement lourd.
Comparaison : L'expression (6.10b), plus fine, appliquerait \( \xi = 0{,}85 \) aux permanentes et donnerait 18,0 kN/m, soit 8 % de moins. Le gain existe mais complique la note.

Remarque pédagogique : Un mot sur les trois expressions que propose la NF EN 1990 pour l'ELU. La (6.10), employée ici, est la plus simple et la plus conservative. Les (6.10a) et (6.10b) forment un couple dont il faut retenir le résultat le plus défavorable : elles affectent les permanentes d'un facteur réducteur \( \xi = 0{,}85 \) ou l'exploitation de son coefficient \( \psi_0 \), et donnent typiquement 5 à 10 % de charge en moins. Sur un ouvrage isolé, le gain ne justifie pas la complication ; sur un bâtiment entier, il peut faire descendre d'une taille de profilé sur des centaines d'éléments et devient alors très rentable.

Combinaison caractéristique à l'état limite de service

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la vérification de la flèche doit porter sur les charges réellement attendues en exploitation, et non sur des charges majorées pour couvrir la ruine.

Méthodologie du calcul :

On somme les deux charges linéiques caractéristiques, sans appliquer aucun coefficient. C'est le sens même de la combinaison caractéristique de l'art. 6.5.3.

Substitution : On additionne \( G = 7{,}50\ \text{kN/m} \) et \( Q = 6{,}25\ \text{kN/m} \), sans pondération d'aucune sorte.
Piège évité : Ne rien pondérer. Appliquer par réflexe les coefficients de l'ELU est l'erreur la plus fréquente de cette étape, et elle est difficile à repérer en relecture.
Hypothèse validée : La combinaison caractéristique est retenue, la flèche d'un plancher relevant d'effets irréversibles sur les éléments non structuraux.
Vérification croisée : La charge de service doit être inférieure à la charge ultime. Trouver l'inverse signalerait une inversion des deux combinaisons.
Finalité : Obtenir la charge qui servira exclusivement au calcul de la flèche, en question 4.

\[ \begin{aligned} p_{\text{ser}} &= G + Q \\ &= 7{,}50 + 6{,}25 \\ &= \mathbf{13{,}75} \ \text{kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

13,75 kN/m en service. C'est la charge que la solive portera réellement un jour ordinaire d'exploitation, et c'est elle seule qui gouverne la déformation ressentie par les usagers.

Ordre de grandeur : 13,75 kN/m contre 19,50 à l'ELU : l'écart de 42 % mesure exactement ce que coûte la couverture des incertitudes sur les actions.
Impact sur la suite : Cette charge alimentera uniquement le calcul de la flèche. Elle n'intervient dans aucune vérification de résistance.
Cohérence : \( p_{\text{ser}} \lt p_{\text{Ed}} \) : la relation attendue est respectée, ce qui écarte toute inversion des deux combinaisons.
Attention : Pour une flèche de longue durée, la combinaison quasi-permanente serait plus pertinente : elle ne retiendrait que 30 % de la charge d'exploitation en catégorie B.
Comparaison : La combinaison quasi-permanente donnerait \( 7{,}50 + 0{,}3 \times 6{,}25 = 9{,}38\ \text{kN/m} \), soit 32 % de moins — et une flèche ramenée à 13 mm.

Remarque pédagogique : La NF EN 1990 définit en réalité trois combinaisons de service, et le choix entre elles n'est pas indifférent. La combinaison caractéristique, employée ici, cumule toutes les actions à leur valeur nominale et convient aux effets irréversibles — fissuration de cloisons, décollement de revêtements. La fréquente et la quasi-permanente appliquent des coefficients réducteurs \( \psi_1 \) et \( \psi_2 \) aux actions variables, et conviennent respectivement au confort d'usage et aux effets de longue durée comme le fluage. Sur un plancher acier, l'usage courant retient la caractéristique — mais il faut savoir qu'elle est le choix le plus sévère des trois.

BANDE DE CHARGEMENT ET COMBINAISONS

RÉSULTAT FINAL

\( p_{\text{Ed}} / p_{\text{ser}} \) = 19,50 / 13,75 kN/m

"Deux combinaisons distinctes, deux usages distincts : l'ultime pour la résistance, la caractéristique pour la flèche."

Question 2 : Efforts internes maximaux à l'état limite ultime

Dans la tête de l'ingénieur

"Le calcul est immédiat, mais deux points méritent mon attention. Le premier est le choix de la charge : les efforts de calcul se déterminent à partir de la combinaison ELU, jamais de la charge de service — celle-ci ne servira qu'à la flèche. Le second est la localisation des maximums. Je ne veux pas seulement des nombres, je veux savoir dans quelle section chacun est atteint, parce que ce sont ces sections que je vérifierai. Et il y a là une propriété élégante à ne pas oublier : le moment culmine exactement là où l'effort tranchant s'annule. Les deux ne coïncident donc jamais, ce qui rendra l'interaction sans objet."

Observation : Une charge uniformément répartie de 19,50 kN/m sur une poutre isostatique de 6,00 m. C'est le cas d'école dont les deux formules se retiennent une fois pour toutes, mais dont il faut savoir justifier la localisation des extremums.
Analyse du risque : Employer la charge de service au lieu de la charge ultime sous-estimerait les efforts de 30 %. Le profilé retenu serait alors insuffisant à l'ELU, sans qu'aucune vérification ultérieure ne révèle l'origine du problème.
Choix stratégique : Appliquer les deux formules classiques en justifiant la position de chaque maximum, plutôt qu'en récitant le résultat. Cette justification permettra de traiter plus tard un cas de charge non symétrique.
Alternative : On pourrait tracer les diagrammes complets par intégration, ce qui donnerait l'allure sur toute la portée. C'est indispensable pour positionner un renfort ou vérifier une section intermédiaire, mais superflu sur une poutre uniforme.
Objectif visé : Disposer des deux sollicitations de calcul qui alimenteront le choix du profilé et l'ensemble des vérifications de résistance de la suite de l'étude.

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\( M_{\text{Ed}} = 87{,}75 \text{ kN}\cdot\text{m} \) à mi-portée et \( V_{\text{Ed}} = 58{,}5 \text{ kN} \) aux appuis

Rappel Théorique : Diagrammes d'efforts d'une poutre isostatique uniformément chargée

Une poutre chargée développe dans chaque section deux efforts internes : un effort tranchant qui tend à la cisailler et un moment fléchissant qui tend à la courber. Leurs diagrammes sont liés par une relation de dérivation, ce qui permet de les reconstituer sans effort de mémoire et de localiser les extremums à coup sûr.

L'allure des deux diagrammes : Sous charge uniformément répartie, l'effort tranchant varie linéairement depuis chaque appui, où il vaut la réaction, jusqu'au milieu où il s'annule. Le moment fléchissant décrit une parabole, nulle aux appuis articulés qui ne transmettent aucun moment, et maximale à mi-portée. Cette allure se retient visuellement mieux qu'elle ne se mémorise.
La relation de dérivation : L'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant le long de la poutre. Il en découle une propriété très utile : le moment atteint un extremum exactement là où l'effort tranchant change de signe. Cette propriété permet de localiser le moment maximal sans construire tout le diagramme, y compris sous chargement dissymétrique.
Le déphasage des deux maximums : Sur une poutre isostatique uniformément chargée, le moment est maximal au milieu où l'effort tranchant est nul, et l'effort tranchant est maximal aux appuis où le moment est nul. Les deux ne culminent jamais dans la même section, ce qui rend l'interaction moment-tranchant sans objet — un confort que les poutres continues ne procurent pas.
L'influence de la portée : Le moment varie comme le carré de la portée quand l'effort tranchant n'y varie que linéairement. C'est ce déséquilibre qui explique pourquoi la flexion gouverne les poutres longues et le cisaillement les poutres courtes : le rapport portée sur hauteur est le véritable arbitre.
L'indice de calcul : L'indice Ed signale qu'il s'agit d'une valeur de calcul, issue d'une combinaison pondérée. Elle se confronte toujours à une résistance d'indice Rd, jamais à une autre sollicitation ni à une valeur caractéristique.

Équations Fondamentales

Deux relations suffisent, chacune correspondant à une section différente de la poutre. Elles sont traitées séparément car elles alimenteront des vérifications distinctes : la première le choix du profilé, la seconde le contrôle de l'âme.

Moment fléchissant maximal à mi-portée :

Il fournit la sollicitation qui déterminera la taille du profilé.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est le moment qui dimensionne une poutre fléchie. Il fixe à lui seul le module de résistance requis, donc la section, donc le coût de l'acier. Toutes les autres vérifications ne font que confirmer ou infirmer le choix qu'il commande.

Contexte de validité : Poutre isostatique sur deux appuis simples, charge uniformément répartie sur toute la portée. Les appuis articulés ne transmettent aucun moment, ce qui annule le diagramme à ses deux extrémités.
Avantage : Une formule universellement connue, applicable de tête, qui fournit directement la valeur dimensionnante sans construire le diagramme complet.
Paramètre clé : La portée, qui intervient au carré. Augmenter la portée de 20 % majore le moment de 44 % : c'est le paramètre le plus sensible du dimensionnement d'un plancher.
Vérification : Le moment se retrouve par l'équilibre d'une demi-poutre : réaction fois demi-portée, moins la charge de la demi-travée fois son bras de levier. Le contrôle est gratuit.
Limite : Un encastrement à une extrémité déplacerait le maximum et en changerait la valeur. Le moment sur appui encastré vaut \( pL^2/12 \) et devient souvent dimensionnant.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} = \frac{p_{\text{Ed}} \, L^2}{8} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le moment fléchissant mesure la tendance de la poutre à se plier dans une section donnée. Il est nul aux appuis, qui laissent la poutre tourner librement, et croît vers le milieu où le bras de levier des charges est maximal. Le carré de la portée traduit un double effet qui se multiplie : une poutre deux fois plus longue reçoit deux fois plus de charge, et chaque part de cette charge agit avec deux fois plus de bras de levier. D'où le facteur quatre. C'est la raison mécanique pour laquelle franchir de grandes portées coûte si cher en acier, et pourquoi l'ajout d'un appui intermédiaire est presque toujours plus économique qu'un profilé plus fort.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{Ed}} \) : valeur de calcul du moment fléchissant maximal, unité : \( \text{kN}\cdot\text{m} \)
\( p_{\text{Ed}} \) : charge linéique de calcul à l'ELU, unité : \( \text{kN/m} \)
\( L \) : portée entre axes d'appuis, unité : \( \text{m} \)

Effort tranchant maximal aux appuis :

Il fournit la sollicitation qui servira à vérifier l'âme du profilé.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la vérification au cisaillement doit porter sur la section la plus sollicitée. Sous charge uniformément répartie et appuis symétriques, c'est aux deux appuis que l'effort tranchant culmine, et il y vaut exactement la réaction.

Contexte de validité : Même cadre que pour le moment : poutre isostatique sur deux appuis, charge uniformément répartie. Toute charge concentrée créerait un saut dans le diagramme d'effort tranchant.
Avantage : Le résultat s'obtient sans passer par les réactions, puisque l'effort tranchant à l'appui leur est justement égal. Une seule division suffit.
Paramètre clé : La charge linéique, à ne jamais confondre avec la charge totale \( p_{\text{Ed}} L \). L'une s'exprime en kN par mètre, l'autre en kN : la confusion coûte ici un facteur six.
Vérification : La somme des deux réactions doit restituer la charge totale : \( 2 \times 58{,}5 = 117\ \text{kN} = 19{,}50 \times 6{,}00 \). Le contrôle ne coûte rien.
Limite : Sur une poutre continue, l'effort tranchant sur appui intermédiaire dépasse nettement \( pL/2 \), la travée voisine y apportant sa propre contribution.

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} = \frac{p_{\text{Ed}} \, L}{2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit une chose très simple : chaque appui reprend la moitié de ce qui tombe sur la poutre. La charge totale vaut \( p_{\text{Ed}} L \), la symétrie la partage également entre les deux supports, et l'effort tranchant au droit de l'appui est précisément cette réaction. En s'éloignant vers le milieu, une part croissante de la charge se trouve « derrière » la section considérée et vient compenser la réaction : l'effort tranchant décroît linéairement jusqu'à s'annuler à mi-portée. C'est la raison pour laquelle une poutre cède en cisaillement près de ses appuis, jamais en son milieu — un fait que confirme l'observation des ruines réelles.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{Ed}} \) : valeur de calcul de l'effort tranchant maximal, unité : \( \text{kN} \)
\( p_{\text{Ed}} \) : charge linéique de calcul à l'ELU, unité : \( \text{kN/m} \)
\( L \) : portée entre axes d'appuis, unité : \( \text{m} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants calculent les efforts avec la charge de service, par réflexe ou parce qu'elle leur paraît « la vraie charge »…"

L'approche d'ingénieur : Cette erreur inverse exactement celle de la question précédente, et elle est bien plus grave : là où confondre les combinaisons dans le sens sécuritaire coûte de l'acier, la confondre dans ce sens-ci compromet la sécurité.

L'erreur : Employer \( p_{\text{ser}} = 13{,}75\ \text{kN/m} \) au lieu de \( p_{\text{Ed}} = 19{,}50 \). Le moment ressortirait à 61,9 kN·m au lieu de 87,75, soit une sous-estimation de 30 %, et conduirait au choix d'un IPE 240 insuffisant.
La bonne méthode : Retenir la règle d'indice : toute grandeur portant \( Ed \) se calcule à partir de la combinaison ELU. La charge de service n'apparaît que dans les formules de déformation.
L'astuce de pro : Nommer explicitement les deux charges dès la question 1 et ne jamais écrire \( p \) seul dans la suite de la note. L'indice porte l'information : le supprimer, c'est ouvrir la porte à la confusion.
Le moyen mnémotechnique : « La résistance se calcule au pire, la déformation au réel. » L'ELU couvre l'improbable, l'ELS décrit l'ordinaire — et les deux ne se substituent jamais l'un à l'autre.
L'impact direct : Un profilé dimensionné sur la charge de service passerait le montage et les premières années d'exploitation sans problème apparent. Il plastifierait le jour où la combinaison la plus défavorable surviendrait — et la déformation résiduelle serait irréversible.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Charge de calcul : \( 19{,}50\ \text{kN/m} \), équivalente à \( 19{,}50\ \text{N/mm} \) — correspondance exacte et commode.
Portée : \( 6{,}00\ \text{m} \), conservée en mètres pour les efforts, à convertir en millimètres pour la flèche.
Moment : produit d'une charge linéique par une longueur au carré, donc en \( \text{kN}\cdot\text{m} \).
Effort tranchant : produit d'une charge linéique par une longueur, donc en \( \text{kN} \).
Charge totale de contrôle : \( p_{\text{Ed}} L = 117\ \text{kN} \) — grandeur de vérification, jamais à substituer à la charge linéique.

Les deux efforts sont calculés séparément, car ils concernent des sections différentes de la poutre et alimenteront des vérifications distinctes. Chacun est accompagné de la justification de sa localisation.

1. Résolution Numérique Moment fléchissant maximal à mi-portée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est ce moment qui déterminera la taille du profilé. Toute la sélection de la question 3 repose sur cette unique valeur.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule du cas de charge uniformément réparti avec la charge pondérée issue de la combinaison ELU, en veillant à élever la portée au carré avant la multiplication.

Substitution : On injecte \( p_{\text{Ed}} = 19{,}50\ \text{kN/m} \), issue de la combinaison fondamentale, et \( L = 6{,}00\ \text{m} \).
Piège évité : Le dénominateur vaut 8 pour une poutre sur deux appuis simples, et non 4 ni 12. Le facteur 12 correspond au moment sur appui d'une poutre bi-encastrée, le 4 à une charge concentrée à mi-portée.
Hypothèse validée : Les appuis sont articulés : le diagramme est bien une parabole s'annulant à ses deux extrémités, sans moment transmis aux poutres maîtresses.
Vérification croisée : L'équilibre de la demi-poutre redonne \( 58{,}5 \times 3{,}00 - 19{,}50 \times 3{,}00 \times 1{,}50 = 175{,}5 - 87{,}75 = 87{,}75\ \text{kN}\cdot\text{m} \).
Finalité : Obtenir la grandeur qui sera convertie en module plastique requis, puis confrontée à la résistance en flexion du profilé retenu.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{p_{\text{Ed}} \, L^2}{8} \\ &= \frac{19{,}50 \times 6{,}00^2}{8} \\ &= \frac{19{,}50 \times 36{,}0}{8} \\ &= \frac{702{,}0}{8} \\ &= \mathbf{87{,}75} \ \text{kN}\cdot\text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

87,75 kN·m à mi-portée. C'est cette valeur qui va dimensionner le profilé, en imposant un module de résistance minimal que le catalogue devra satisfaire.

Ordre de grandeur : 87,75 kN·m pour une portée de 6 m et une bande de 2,50 m : une valeur caractéristique d'un solivage de bureaux, qui laisse présager un profilé de la série IPE 240 à IPE 300.
Impact sur la suite : Divisé par la limite d'élasticité, ce moment donnera directement le module plastique requis et permettra de lire le profilé dans le catalogue.
Cohérence : Le contrôle par équilibre de la demi-poutre redonne exactement la même valeur, ce qui valide simultanément le moment et l'effort tranchant.
Attention : Cette valeur n'inclut pas le poids propre de la solive, encore inconnu. Elle devra être reprise en question 4, une fois le profilé choisi.
Comparaison : Avec la charge de service, le moment tomberait à 61,9 kN·m — soit 30 % de moins. C'est l'écart exact que coûterait la confusion entre les deux combinaisons.

Remarque pédagogique : La dépendance quadratique à la portée est le fait le plus structurant du dimensionnement en flexion, et il mérite d'être intériorisé. Elle explique pourquoi les grandes portées coûtent si cher en acier, et pourquoi l'ajout d'un appui intermédiaire est presque toujours plus économique qu'un profilé plus fort : diviser la portée par deux divise le moment par quatre, et la flèche par seize. C'est le premier réflexe de conception à acquérir — regarder la trame porteuse avant le catalogue de profilés, car aucun choix de section ne rattrape une trame mal conçue.

Effort tranchant maximal aux appuis

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la vérification au cisaillement de la question 4 portera sur cette section, la plus sollicitée de toute la poutre en effort tranchant.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule du cas de charge uniformément réparti avec la même charge pondérée. Le résultat est directement la réaction d'appui, la symétrie partageant la charge totale à parts égales.

Substitution : On injecte \( p_{\text{Ed}} = 19{,}50\ \text{kN/m} \) et \( L = 6{,}00\ \text{m} \), les mêmes grandeurs que pour le moment.
Piège évité : Employer la charge linéique et non la charge totale de 117 kN. La formule contient déjà la portée : la faire intervenir deux fois doublerait le résultat.
Hypothèse validée : La poutre est isostatique et symétriquement chargée : les deux réactions sont égales et valent chacune la moitié de la charge totale.
Vérification croisée : La somme des deux réactions doit restituer la charge totale : \( 58{,}5 + 58{,}5 = 117{,}0\ \text{kN} = 19{,}50 \times 6{,}00 \).
Finalité : Obtenir la sollicitation qui sera confrontée à la résistance au cisaillement \( V_{\text{pl},\text{Rd}} \) du profilé retenu.

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} &= \frac{p_{\text{Ed}} \, L}{2} \\ &= \frac{19{,}50 \times 6{,}00}{2} \\ &= \frac{117{,}0}{2} \\ &= \mathbf{58{,}5} \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

58,5 kN à chaque appui, soit près de six tonnes. C'est une valeur substantielle, mais qui restera très en deçà de la capacité au cisaillement du profilé retenu.

Ordre de grandeur : 58,5 kN correspond bien à la moitié de la charge totale de 117 kN. La symétrie du problème est respectée, ce qui valide le résultat sans autre calcul.
Impact sur la suite : Cette valeur sera comparée à la résistance au cisaillement du profilé, qui dépassera 300 kN pour un IPE 270 : le taux de travail restera faible.
Cohérence : L'effort tranchant est maximal aux appuis et nul à mi-portée, conformément à l'allure linéaire de son diagramme sous charge uniformément répartie.
Attention : Cet effort est aussi celui que devront reprendre les assemblages de la solive sur les poutres maîtresses. Une note complète doit les vérifier, ce qui sort du cadre de cet exercice.
Comparaison : Une charge concentrée de 117 kN à mi-portée donnerait le même effort tranchant de 58,5 kN, mais un moment supérieur de 50 %. Le mode de répartition compte davantage pour le moment.

Remarque pédagogique : Cet effort tranchant a une seconde vie que l'exercice n'aborde pas : c'est lui que doivent reprendre les assemblages d'extrémité de la solive, cornières ou platines boulonnées sur l'âme des poutres maîtresses. Une note de calculs complète ne s'arrête donc pas au profilé : elle vérifie aussi la transmission de l'effort à ses deux extrémités, selon la NF EN 1993-1-8. C'est d'ailleurs souvent l'assemblage, et non la poutre, qui gouverne le coût réel d'une structure métallique — l'acier est bon marché, la main-d'œuvre de fabrication ne l'est pas.

RÉSULTAT FINAL

\( M_{\text{Ed}} \) = 87,75 kN·m

"Avec V_Ed = 58,5 kN aux appuis, les deux sollicitations de calcul sont établies : le choix du profilé peut commencer."

Question 3 : Classification, module requis et choix du profilé

Dans la tête de l'ingénieur

"Je dois traduire un moment en une caractéristique de catalogue. Mais avant même de diviser quoi que ce soit, une question conditionne tout : dois-je employer le module élastique ou le module plastique ? L'écart n'est pas négligeable — il atteint 13 % sur un IPE — et la réponse dépend entièrement de la classe de la section. Or la classe se vérifie, elle ne se suppose pas : c'est un calcul de trois lignes qui autorise ou interdit l'emploi de la réserve plastique. Je vais donc classer d'abord, choisir ensuite. Dernier point de vigilance : toutes les caractéristiques que je vais lire doivent porter l'indice \( y \), celui de l'axe fort. Une poutre de plancher ne fléchit que dans un seul plan."

Observation : Un moment de 87,75 kN·m, un acier à 235 MPa, et un catalogue dont les modules plastiques s'échelonnent de 285 à 628 cm³. Le seuil recherché se situera manifestement au milieu de cette plage.
Analyse du risque : Deux pièges se cumulent ici. Employer le module élastique sans vérifier la classe gaspille 13 % de capacité ; employer le module de l'axe faible diviserait la résistance par sept. Le second est une erreur de notation, le premier une erreur de méthode.
Choix stratégique : Classer avant de choisir, et non l'inverse. La classe conditionne l'expression même de la résistance : la déterminer après coup reviendrait à valider rétroactivement un calcul dont on ignorait la légitimité.
Alternative : On pourrait dimensionner sur le module élastique par prudence, ce qui serait conservatif de 13 %. C'est obligatoire en classe 3, mais ce serait ici un gaspillage : la classe 1 autorise la plastification complète de la section.
Objectif visé : Désigner le profilé le plus léger satisfaisant la résistance en flexion, et disposer de son taux de travail pour la comparaison finale avec les autres critères.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( W_{\text{pl},\text{y},\text{req}} = 373{,}4 \text{ cm}^3 \) : IPE 270 retenu, classe 1, taux de flexion 77,2 %

Rappel Théorique : Classes de section et modules de résistance

La résistance d'une section fléchie dépend de sa capacité à plastifier entièrement avant que ses parois ne voilent localement. La classification tranche cette question, et elle détermine lequel des deux modules de résistance — plastique ou élastique — peut être employé dans le calcul.

Le facteur de forme : Le rapport \( W_{\text{pl},\text{y}}/W_{\text{el},\text{y}} \), appelé facteur de forme, vaut environ 1,13 pour un profilé en I et 1,5 pour une section rectangulaire pleine. Il mesure la réserve que le calcul élastique laisse inexploitée, et il dépend uniquement de la géométrie de la section — jamais du matériau ni du chargement.
Ce que dit la classe : Les classes 1 et 2 autorisent le module plastique, la première permettant en outre la rotation nécessaire à une analyse plastique globale. La classe 3 limite au module élastique. La classe 4 impose des propriétés efficaces réduites selon la NF EN 1993-1-5.
Deux parois, deux limites : Pour une poutre fléchie, l'âme est partiellement comprimée avec une limite de classe 1 à \( 72\,\varepsilon \), tandis que la semelle supérieure est entièrement comprimée avec une limite bien plus sévère de \( 9\,\varepsilon \). L'écart tient à ce que l'âme est tenue sur ses deux bords et n'est comprimée que sur la moitié de sa hauteur.
La classe de la section : C'est la plus défavorable des classes de ses parois. Une section dont l'âme serait de classe 1 mais la semelle de classe 3 est une section de classe 3. Il faut donc mener les deux vérifications, sans se contenter de celle qui paraît la plus critique à l'œil.
L'indice d'axe : Toutes les caractéristiques d'une poutre fléchie portent l'indice \( y \), celui de l'axe fort perpendiculaire à l'âme. Les caractéristiques d'axe faible \( z \) existent et figurent dans les catalogues, mais elles n'ont aucun rôle dans une poutre de plancher : sur un IPE 270, \( I_{\text{z}} \) vaut treize fois moins que \( I_{\text{y}} \).

Équations Fondamentales

Trois relations structurent cette question : les limites de classe qui conditionnent l'expression de la résistance, le module requis qui découle de l'inversion du critère, et le critère lui-même. Chacune fait l'objet d'un bloc distinct.

Limites de classe pour une section fléchie — EN 1993-1-1 tableau 5.2 :

Elles déterminent si la section peut développer sa pleine résistance plastique.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'expression du moment résistant diffère selon la classe. Employer le module plastique sur une section de classe 3 surestimerait la résistance de 13 %, sans qu'aucun contrôle ultérieur ne le signale.

Contexte de validité : Les limites dépendent du diagramme de contraintes dans la paroi. Une âme fléchie, comprimée sur une moitié seulement, est bien plus tolérante qu'une âme entièrement comprimée : 72ε contre 33ε.
Avantage : Deux divisions suffisent à trancher, sans itération. Le résultat est binaire et vérifiable par un tiers en quelques secondes, ce qui en fait un excellent point de contrôle en début de note.
Paramètre clé : La semelle comprimée, dont la limite de \( 9\,\varepsilon \) est de loin la plus sévère. Son bord libre la rend bien plus sensible au voilement que l'âme, tenue sur ses deux bords.
Vérification : Les longueurs \( c \) se mesurent entre congés. Ignorer les rayons de raccordement — 15 mm sur un IPE 270 — gonflerait artificiellement les élancements de paroi de plus de 15 %.
Limite : En acier S355, \( \varepsilon \) tombe à 0,81 et les limites se resserrent d'autant. Un profilé de classe 1 en S235 peut basculer en classe 2 sans qu'aucune cote n'ait changé.

\[ \begin{aligned} \text{ame flechie} &: \ \frac{c_{\text{w}}}{t_{\text{w}}} \le 72\,\varepsilon \\ &\quad \text{semelle comprimee} : \ \frac{c_{\text{f}}}{t_{\text{f}}} \le 9\,\varepsilon \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Ces critères mesurent la sveltesse locale de chaque paroi, à ne pas confondre avec l'élancement de la poutre entière. Une tôle trop mince par rapport à sa largeur se froisse sous la compression, comme une feuille de papier poussée par la tranche, sans que le matériau soit pour autant surchargé. L'écart considérable entre 72 et 9 s'explique par deux effets qui se cumulent : l'âme est tenue sur ses deux bords par les semelles, là où chaque demi-semelle possède un bord entièrement libre ; et l'âme n'est comprimée que sur la moitié de sa hauteur, l'autre moitié étant tendue et donc stabilisatrice.

Décomposition des termes :

\( c_{\text{w}} \) : hauteur droite de l'âme, mesurée entre les congés, unité : \( \text{mm} \)
\( t_{\text{w}} \) : épaisseur de l'âme, unité : \( \text{mm} \)
\( c_{\text{f}} \) : largeur de la console de semelle, du congé au bord libre, unité : \( \text{mm} \)
\( t_{\text{f}} \) : épaisseur de la semelle, unité : \( \text{mm} \)
\( \varepsilon \) : coefficient de nuance, \( \sqrt{235/f_{\text{y}}} \), unité : sans dimension

Module de résistance plastique requis — inversion de l'équation (6.13) :

Il transforme le moment à reprendre en un seuil lisible dans le catalogue.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le catalogue ne fournit pas des résistances mais des caractéristiques géométriques. En inversant l'expression du moment résistant, on obtient directement la colonne à consulter et la valeur à y chercher.

Contexte de validité : Section de classe 1 ou 2 exclusivement, et flexion simple autour de l'axe fort. En classe 3, il faudrait chercher \( W_{\text{el},\text{y}} \) et le seuil serait identique — mais la colonne consultée, différente.
Avantage : Il ramène la sélection à une simple lecture de colonne, sans avoir à calculer la résistance de chaque profilé candidat. Le gain de temps est réel et le risque d'erreur bien moindre.
Paramètre clé : Le coefficient partiel \( \gamma_{\text{M0}} \), qui vaut 1,00 selon l'annexe nationale française. Sa valeur unitaire ne dispense pas de l'écrire : d'autres annexes retiennent 1,05.
Vérification : Un calcul en \( \text{kN}\cdot\text{cm} \) donne le même résultat en \( \text{cm}^3 \) : \( 8\,775/23{,}5 = 373{,}4 \). Le double système d'unités est un contrôle gratuit.
Limite : Le seuil ne porte que sur la flexion. Le profilé retenu devra encore être vérifié au cisaillement et surtout en flèche, critère qui gouverne souvent les planchers.

\[ \begin{aligned} W_{\text{pl},\text{y},\text{req}} \ge \frac{M_{\text{Ed}} \, \gamma_{\text{M0}}}{f_{\text{y}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le module plastique est le moment statique des deux demi-sections par rapport à l'axe neutre, c'est-à-dire le bras de levier interne du couple que la section peut développer. L'inversion du critère consiste à demander : quelle géométrie faut-il pour que ce couple équilibre le moment appliqué ? Le geste est le même que pour toute condition normative de la forme « effet ≤ résistance » — il transforme une vérification en dimensionnement. C'est ce renversement qui distingue le calculateur qui contrôle un ouvrage existant de celui qui en conçoit un nouveau.

Décomposition des termes :

\( W_{\text{pl},\text{y},\text{req}} \) : module de résistance plastique minimal requis, unité : \( \text{mm}^3 \)
\( M_{\text{Ed}} \) : moment fléchissant de calcul à l'ELU, unité : \( \text{N}\cdot\text{mm} \)
\( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de l'acier, unité : \( \text{MPa} \)
\( \gamma_{\text{M0}} \) : coefficient partiel de résistance des sections, unité : sans dimension

Moment résistant et critère de flexion — EN 1993-1-1 équations (6.13) et (6.12) :

Ils fournissent la résistance du profilé retenu et la condition qu'elle doit satisfaire.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la sélection reposait sur un seuil arrondi. Il faut confronter le moment sollicitant à la résistance réelle du profilé et en tirer un taux de travail, seule grandeur comparable aux autres critères.

Contexte de validité : Section de classe 1 ou 2, flexion simple, déversement écarté. Sans maintien latéral de la semelle comprimée, il faudrait passer par l'art. 6.3.2 et la résistance chuterait fortement.
Avantage : Le taux de travail est sans dimension, donc directement comparable à ceux du cisaillement et de la flèche. C'est ce qui permettra d'identifier le critère gouvernant.
Paramètre clé : Le module plastique d'axe fort. Sur un IPE 270, \( W_{\text{pl},\text{y}} = 484\ \text{cm}^3 \) quand \( W_{\text{pl},\text{z}} \) ne vaut que 97 cm³ — cinq fois moins.
Vérification : Le taux de travail doit être cohérent avec la marge constatée sur le module : 373,4 requis pour 484,0 disponibles donne 77 %, ce que le calcul doit retrouver.
Limite : Satisfaire ce critère ne dit rien de la flèche. Les deux vérifications relèvent d'états limites différents et sont entièrement indépendantes.

\[ \begin{aligned} M_{\text{c},\text{Rd}} = \frac{W_{\text{pl},\text{y}} \, f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \quad \text{avec} \quad \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{\text{c},\text{Rd}}} \le 1{,}0 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'expression décrit une section entièrement plastifiée : toutes les fibres au-dessus de l'axe neutre travaillent à \( f_{\text{y}} \) en compression, toutes celles en dessous à \( f_{\text{y}} \) en traction. Le calcul élastique, lui, n'admet la limite d'élasticité que dans la fibre extrême et laisse tout le reste de la section sous-employé — d'où l'écart de 13 %. Quant au critère, il exprime que le moment appliqué ne doit pas dépasser celui que la section sait encaisser. Au-delà, une rotule plastique se forme : la poutre continue de tourner sans reprendre davantage de moment. Sur une poutre isostatique, une seule rotule suffit à créer un mécanisme, donc l'effondrement — il n'existe aucune redistribution possible.

Décomposition des termes :

\( M_{\text{c},\text{Rd}} \) : moment résistant de calcul de la section, unité : \( \text{N}\cdot\text{mm} \)
\( W_{\text{pl},\text{y}} \) : module de résistance plastique selon l'axe fort, unité : \( \text{mm}^3 \)
\( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de l'acier, unité : \( \text{MPa} \)
\( \gamma_{\text{M0}} \) : coefficient partiel de résistance des sections, unité : sans dimension
\( M_{\text{Ed}} \) : moment fléchissant de calcul à l'ELU, unité : \( \text{N}\cdot\text{mm} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants écrivent \( I_{\text{z}} \) et \( W_{\text{z}} \) tout en employant les valeurs numériques de l'axe fort, ou l'inverse — ils lisent la bonne colonne mais notent le mauvais indice…"

L'approche d'ingénieur : Cette confusion d'axe est la plus insidieuse des erreurs de notation, parce qu'elle ne se voit pas dans le résultat quand les valeurs sont justes, et qu'elle devient catastrophique quand elles ne le sont pas.

L'erreur : Employer \( I_{\text{z}} = 420\ \text{cm}^4 \) au lieu de \( I_{\text{y}} = 5\,790\ \text{cm}^4 \) sur un IPE 270. La flèche serait treize fois plus grande et le profilé déclaré incapable de porter quoi que ce soit.
La bonne méthode : Écrire l'indice d'axe systématiquement, dès la lecture du catalogue, et vérifier qu'il est cohérent avec le plan de flexion. Une poutre de plancher fléchit autour de \( y\text{-}y \), toujours.
L'astuce de pro : Se rappeler que l'axe fort est celui perpendiculaire à l'âme, donc celui autour duquel la section paraît la plus haute. C'est visuel et cela ne trompe pas, contrairement à l'ordre des colonnes d'un tableau.
Le moyen mnémotechnique : « On pose la poutre sur le chant, pas à plat. » Une solive posée à plat fléchirait autour de son axe faible et serait treize fois plus souple : personne ne construit ainsi.
L'impact direct : Quand les symboles et les valeurs se contredisent, la note devient impossible à relire. Le relecteur ne peut plus distinguer une coquille d'une erreur de fond, et doit refaire l'intégralité du calcul.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Moment : \( 87{,}75\ \text{kN}\cdot\text{m} \) converti en \( 87{,}75 \times 10^6\ \text{N}\cdot\text{mm} \) pour l'homogénéité avec les MPa.
Module plastique : rapport \( \text{N}\cdot\text{mm} / (\text{N}/\text{mm}^2) \), donc en \( \text{mm}^3 \).
Catalogue : \( W_{\text{pl},\text{y}} \) tabulé en \( \text{cm}^3 \), converti par le facteur \( 10^3 \) — l'exposant est celui de la longueur.
Cotes de section : données en millimètres, directement exploitables dans les rapports d'élancement de paroi.
Taux de travail : rapport de deux moments de même unité, donc sans dimension.

Quatre étapes s'enchaînent dans l'ordre imposé par la norme : établir le seuil, lire le catalogue, valider la classe du profilé retenu, puis en tirer le taux de travail réel. La troisième conditionne rétroactivement les deux premières.

1. Résolution Numérique Module de résistance plastique requis

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour traduire le moment à reprendre en une grandeur géométrique lisible dans le catalogue, et transformer ainsi une condition mécanique en simple lecture de colonne.

Méthodologie du calcul :

On inverse le critère de flexion en y substituant l'expression du moment résistant, ce qui isole le module plastique. Le moment est converti en newtons-millimètres pour rester homogène avec la limite d'élasticité.

Substitution : On injecte \( M_{\text{Ed}} = 87{,}75 \times 10^6\ \text{N}\cdot\text{mm} \), \( f_{\text{y}} = 235\ \text{MPa} \) et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \).
Piège évité : Convertir le moment en \( \text{N}\cdot\text{mm} \) avant la division. Diviser des \( \text{kN}\cdot\text{m} \) par des MPa donnerait un résultat dépourvu de signification.
Hypothèse validée : On recherche un module plastique, pariant sur une section de classe 1 ou 2. Ce pari sera vérifié dans les deux étapes suivantes, et invalidé s'il se révélait faux.
Vérification croisée : Un calcul en \( \text{kN}\cdot\text{cm} \) donne \( 8\,775/23{,}5 = 373{,}4\ \text{cm}^3 \), confirmant le résultat par un autre système d'unités.
Finalité : Obtenir le seuil de lecture à appliquer à la colonne \( W_{\text{pl},\text{y}} \) du catalogue de profilés.

\[ \begin{aligned} W_{\text{pl},\text{y},\text{req}} &\ge \frac{M_{\text{Ed}} \, \gamma_{\text{M0}}}{f_{\text{y}}} \\ &\ge \frac{87{,}75 \times 10^6 \times 1{,}00}{235} \\ &\ge 373\,404 \ \text{mm}^3 \\ &\ge \mathbf{373{,}4} \ \text{cm}^3 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un module plastique d'au moins 373,4 cm³ est nécessaire. Ce seuil se situe entre l'IPE 240 et l'IPE 270 du catalogue, ce qui désigne immédiatement le candidat.

Ordre de grandeur : 373,4 cm³ pour un moment de 87,75 kN·m en S235 : cohérent avec les solivages de bureaux de 6 m de portée, qui se situent presque toujours entre IPE 240 et IPE 300.
Impact sur la suite : Ce seuil sera confronté à la colonne \( W_{\text{pl},\text{y}} \) pour désigner le profilé le plus léger satisfaisant la résistance en flexion.
Cohérence : Le contrôle en \( \text{kN}\cdot\text{cm} \) redonne exactement la même valeur, ce qui valide la conversion d'unités, étape la plus exposée de ce calcul.
Attention : Ce seuil suppose une section de classe 1 ou 2. En classe 3, il faudrait le comparer au module élastique, ce qui écarterait l'IPE 240 comme l'IPE 270 est aujourd'hui retenu.
Comparaison : En acier S355, le seuil tomberait à \( 87{,}75 \times 10^6/355 = 247\ \text{cm}^3 \), et l'IPE 220 suffirait — pour la résistance seule, s'entend.

Remarque pédagogique : Inverser un critère de vérification pour en faire un critère de choix est le geste fondamental du dimensionnement. Chaque fois qu'une norme énonce une condition de la forme « effet ≤ résistance », cette condition peut se retourner en un seuil sur la caractéristique géométrique recherchée. C'est ce qui permet de passer de la vérification — je teste un profilé que je connais — au dimensionnement — je cherche le profilé que je ne connais pas encore. Toute la différence entre contrôler et concevoir tient dans ce renversement, et il se retrouvera à l'identique sur le critère de flèche en question 4.

Lecture du catalogue et sélection du profilé

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le seuil calculé n'a d'intérêt que confronté à l'offre réelle des profilés laminés. C'est le catalogue, et non le calcul, qui fournit la solution.

Méthodologie du calcul :

On parcourt la colonne \( W_{\text{pl},\text{y}} \) par masses croissantes et l'on retient la première ligne qui franchit le seuil. La masse linéique étant le critère économique, elle fixe l'ordre de parcours.

Substitution : On confronte le seuil de 373,4 cm³ aux valeurs du catalogue : IPE 240 à 366,6 cm³, puis IPE 270 à 484,0 cm³.
Piège évité : Lire la colonne \( W_{\text{pl},\text{y}} \) et non \( W_{\text{el},\text{y}} \). Sur l'IPE 270, l'écart entre les deux atteint 55 cm³, soit de quoi changer de profilé dans un cas limite.
Hypothèse validée : Les valeurs employées sont celles de la NF EN 10365, recoupées par le calcul depuis les cotes de section — les tableaux en circulation comportent fréquemment des erreurs.
Vérification croisée : L'IPE 240 est écarté de très peu : 366,6 contre 373,4 requis, soit 1,8 % de déficit. C'est le genre d'écart qu'une erreur de catalogue peut inverser.
Finalité : Désigner le profilé sur lequel porteront la classification et toutes les vérifications ultérieures.

\[ \begin{aligned} \text{IPE 240} &: \ W_{\text{pl},\text{y}} = 366{,}6 \ \lt \ 373{,}4 \ \Rightarrow \ \text{insuffisant} \\ &\quad \text{IPE 270} : \ W_{\text{pl},\text{y}} = 484{,}0 \ \ge \ 373{,}4 \ \Rightarrow \ \mathbf{retenu} \\ &\quad \text{masse} = 36{,}1 \ \text{kg/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'IPE 270 est le profilé le plus léger satisfaisant le critère de flexion. L'IPE 240 échoue de 1,8 % seulement — un écart minime, mais un critère réglementaire ne se négocie pas.

Ordre de grandeur : 484,0 cm³ pour 373,4 requis : le profilé retenu offre une marge de 30 % en flexion. C'est le lot des choix en catalogue, où l'on ne dispose que de tailles discrètes.
Impact sur la suite : Toutes les vérifications ultérieures porteront sur ce profilé, avec ses caractéristiques propres : module, inertie, aire de cisaillement et poids propre.
Cohérence : Un IPE 270 pour une solive de 6 m sous 2,50 m d'entraxe : l'ordre de grandeur est conforme à la pratique courante des planchers de bureaux.
Attention : Ce n'est qu'une sélection sur un seul critère. Le cisaillement et surtout la flèche restent à vérifier, et le poids propre du profilé n'a pas encore été intégré.
Comparaison : En calcul élastique, le seuil de 373,4 cm³ comparé à \( W_{\text{el},\text{y}} = 324{,}3\ \text{cm}^3 \) aurait écarté l'IPE 240 bien plus nettement — mais aurait désigné le même IPE 270.

Remarque pédagogique : Le cas de l'IPE 240, écarté de 1,8 %, illustre la discrétisation du catalogue. On ne dispose pas d'une infinité de sections mais d'une série de tailles normalisées, et le profilé retenu est presque toujours sensiblement surdimensionné par rapport au strict nécessaire. C'est une contrainte industrielle, non un défaut de méthode : produire une gamme continue de profilés serait économiquement absurde. La conséquence pratique est qu'un taux de travail de 100 % n'existe jamais dans une note réelle, et qu'un taux de 70 à 95 % correspond en fait à un dimensionnement optimal.

Classification de la section retenue

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le module plastique employé pour la sélection n'est légitime qu'en classe 1 ou 2. Cette vérification valide rétroactivement les deux étapes précédentes.

Méthodologie du calcul :

On calcule séparément l'élancement de l'âme et celui de la console de semelle, en mesurant les longueurs entre congés à partir des cotes de l'IPE 270, puis on compare chacun à sa limite de classe 1.

Substitution : On injecte les cotes de l'IPE 270 : \( h = 270 \), \( b = 135 \), \( t_{\text{w}} = 6{,}6 \), \( t_{\text{f}} = 10{,}2 \) et \( r = 15\ \text{mm} \).
Piège évité : Les longueurs se mesurent entre congés : \( c_{\text{w}} = h - 2t_{\text{f}} - 2r \) et \( c_{\text{f}} = (b - t_{\text{w}} - 2r)/2 \). La console de semelle est une demi-largeur, d'où la division par deux.
Hypothèse validée : La poutre travaille en flexion simple : l'âme est comprimée sur la moitié de sa hauteur seulement, ce qui autorise la limite favorable de \( 72\,\varepsilon \).
Vérification croisée : Pour l'acier S235, \( \varepsilon = 1{,}00 \) exactement : les limites valent donc 72 et 9 en valeur brute, ce qui rend la comparaison immédiate.
Finalité : Confirmer la légitimité du module plastique employé pour la sélection, et autoriser son emploi dans le calcul du taux de travail.

\[ \begin{aligned} c_{\text{w}} &= 270 - 2(10{,}2) - 2(15) = 219{,}6 \ \text{mm} \\ &\quad \frac{c_{\text{w}}}{t_{\text{w}}} = \frac{219{,}6}{6{,}6} = 33{,}3 \ \le \ 72 \\ &\quad c_{\text{f}} = \frac{135 - 6{,}6 - 2(15)}{2} = 49{,}2 \ \text{mm} \\ &\quad \frac{c_{\text{f}}}{t_{\text{f}}} = \frac{49{,}2}{10{,}2} = 4{,}8 \ \le \ 9 \\ &\Rightarrow \ \mathbf{section\ de\ classe\ 1} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux parois satisfont largement les limites de classe 1, avec des marges de 54 % et 46 %. L'emploi du module plastique est donc pleinement justifié, et le pari de l'étape précédente confirmé.

Ordre de grandeur : 33,3 contre 72 pour l'âme, 4,8 contre 9 pour la semelle : les deux marges sont confortables. C'est le cas de tous les IPE en S235, calibrés par les producteurs pour la flexion.
Impact sur la suite : L'équation (6.13) est légitime : le moment résistant se calculera sur \( W_{\text{pl},\text{y}} = 484{,}0\ \text{cm}^3 \), et non sur le module élastique de 428,9 cm³.
Cohérence : La semelle reste le point le plus critique en valeur relative, ce qui est logique : son bord libre la rend plus sensible au voilement que l'âme, tenue sur ses deux bords.
Attention : En acier S355, les limites tomberaient à 58,6 et 7,3. L'IPE 270 resterait en classe 1, mais la marge sur la semelle passerait de 46 % à 34 %.
Comparaison : Si la poutre était entièrement comprimée au lieu d'être fléchie, la limite de l'âme tomberait de 72 à 33 et la section serait tout juste en classe 1 : le classement dépend autant du chargement que de la géométrie.

Remarque pédagogique : Une contradiction revient si souvent dans les notes de calculs qu'elle mérite d'être nommée : écrire « on suppose la section de classe 1 ou 2 », puis dimensionner sur le module élastique. Les deux ne vont pas ensemble. Si la classe 1 est acquise, le module plastique est autorisé et la résistance passe ici de 100,8 à 113,7 kN·m. Deux leçons en découlent. La première est qu'une classe se vérifie, elle ne se suppose pas : c'est trois lignes de calcul. La seconde est qu'une hypothèse posée doit être exploitée jusqu'au bout — l'affirmer pour ne pas s'en servir revient à s'imposer une pénalité de 13 % sans raison.

Vérification de la résistance en flexion

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la sélection reposait sur un seuil arrondi. Il faut confronter le moment sollicitant à la résistance réelle du profilé et en tirer un taux de travail comparable aux autres critères.

Méthodologie du calcul :

On calcule le moment résistant à partir du module plastique tabulé, la classe 1 étant désormais établie, puis on forme le rapport avec le moment sollicitant issu de la question 2.

Substitution : On injecte \( W_{\text{pl},\text{y}} = 484\,000\ \text{mm}^3 \), \( f_{\text{y}} = 235\ \text{MPa} \) et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \), puis \( M_{\text{Ed}} = 87{,}75\ \text{kN}\cdot\text{m} \).
Piège évité : Le produit sort en \( \text{N}\cdot\text{mm} \). Diviser par \( 10^6 \) pour obtenir des \( \text{kN}\cdot\text{m} \) avant toute comparaison.
Hypothèse validée : La section est de classe 1, établie à l'étape précédente, et le déversement est écarté par le maintien continu qu'apporte le plancher à la semelle comprimée.
Vérification croisée : Le rapport des modules, \( 373{,}4/484{,}0 = 0{,}771 \), doit redonner le taux de travail, les deux étant proportionnels à \( f_{\text{y}}/\gamma_{\text{M0}} \).
Finalité : Établir le premier des trois taux de travail qui permettront d'identifier le critère gouvernant le dimensionnement.

\[ \begin{aligned} M_{\text{c},\text{Rd}} &= \frac{W_{\text{pl},\text{y}} \, f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \\ &= \frac{484\,000 \times 235}{1{,}00} \\ &= 113{,}74 \times 10^6 \ \text{N}\cdot\text{mm} = 113{,}7 \ \text{kN}\cdot\text{m} \\ &\quad \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{\text{c},\text{Rd}}} = \frac{87{,}75}{113{,}7} = \mathbf{0{,}772} \ \le \ 1{,}0 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un taux de travail de 77,2 % : le profilé est bien ajusté en flexion, avec une réserve de 23 %. C'est précisément la zone que recherche un dimensionnement économique.

Ordre de grandeur : 77,2 % se situe dans la plage optimale de 70 à 95 %. La marge restante correspond au saut entre deux tailles de catalogue, inévitable puisque les sections sont discrètes.
Impact sur la suite : Ce taux confirme la sélection. Il restera à voir s'il est gouvernant ou si le critère de flèche se révèle plus contraignant — ce qui est fréquent sur un plancher.
Cohérence : Le rapport des modules redonne exactement le taux de travail, ce qui valide à la fois le seuil calculé et la lecture du catalogue.
Attention : Ce taux n'intègre pas encore le poids propre de la solive. Il remontera légèrement en question 4, une fois cette charge réintégrée.
Comparaison : En calcul élastique, avec \( W_{\text{el},\text{y}} = 428{,}9\ \text{cm}^3 \), le taux monterait à 87 %. La réserve plastique vaut ici dix points de taux de travail.

Remarque pédagogique : Ces dix points d'écart entre calcul élastique et plastique méritent qu'on s'y arrête, car ils ne sont pas un artifice comptable. Ils correspondent à une réserve physique réelle : la matière située entre l'axe neutre et les fibres extrêmes, que le calcul élastique laisse sous-employée alors qu'elle plastifie sans difficulté. Exploiter cette réserve suppose que la section puisse se déformer sans voiler — c'est exactement ce que la classification garantit. Le lien entre les deux notions est donc direct : la classe n'est pas une formalité administrative, elle est la condition physique qui autorise à compter sur la plastification.

RÉSULTAT FINAL

IPE 270 = 0,772 en flexion — classe 1

"Profilé retenu sur le critère de résistance ; le cisaillement, la flèche et le poids propre restent à traiter."

Question 4 : Vérifications finales et bouclage sur le poids propre

Dans la tête de l'ingénieur

"Il me reste deux vérifications et une dette. Les vérifications sont le cisaillement, que je pressens très largement satisfait, et la flèche, dont je me méfie parce que c'est elle qui gouverne les planchers. La dette, c'est le poids propre de la solive : je l'ai écarté en question 1 parce que je ne connaissais pas encore le profilé, mais maintenant je le connais. Un IPE 270 pèse 36,1 kg par mètre, soit 0,354 kN/m — moins de 5 % des charges permanentes. Négligeable ? C'est la conclusion qu'on entend le plus souvent. Je préfère le vérifier, parce que si la flèche passe déjà à 95 %, ces 5 % ne sont plus une poussière : ils sont la marge qui reste."

Observation : Le profilé est désormais connu, donc son poids propre aussi : 0,354 kN/m pour un IPE 270. La donnée qui manquait en question 1 est maintenant disponible, et le calcul peut se refermer sur lui-même.
Analyse du risque : Écarter le poids propre en invoquant une marge de sécurité qu'on n'a pas vérifiée est une pratique dangereuse. Si la flèche frôle déjà la limite, cette marge invoquée peut ne pas exister — c'est précisément le cas ici.
Choix stratégique : Mener d'abord les vérifications sans le poids propre, pour disposer d'un point de comparaison, puis reprendre les deux combinaisons en l'intégrant. L'écart entre les deux séries sera parlant.
Alternative : On pourrait estimer le poids propre a priori, à 4 ou 5 % des charges permanentes, et l'intégrer dès la question 1. C'est la pratique des bureaux d'études expérimentés, qui évite l'itération — mais elle suppose de savoir déjà quel ordre de profilé on vise.
Objectif visé : Clore le dimensionnement par un tableau de taux de travail complet, poids propre inclus, et désigner sans ambiguïté le critère qui gouverne.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Poids propre inclus : flexion 79,1 % · cisaillement 20,0 % · flèche 97,9 % — IPE 270 validé

Rappel Théorique : Cisaillement, flèche, et caractère itératif du dimensionnement

Cette dernière étape rassemble trois logiques différentes : une vérification de résistance qui mobilise l'âme seule, une vérification de service qui ne met en jeu aucune limite d'élasticité, et une reprise du calcul rendue nécessaire par le fait qu'une donnée d'entrée dépendait du résultat.

Qui reprend le cisaillement : Dans un profilé en I, l'effort tranchant est repris presque exclusivement par l'âme. Les semelles, orientées perpendiculairement à l'effort, n'y contribuent que marginalement. L'aire de cisaillement n'est donc pas l'aire totale mais une aire réduite, définie par l'art. 6.2.6(3)a — elle vaut environ 48 % de l'aire brute pour un IPE.
Le facteur racine de trois : Le critère de plasticité de von Mises établit qu'un acier plastifiant à \( f_{\text{y}} \) en traction pure plastifie à \( f_{\text{y}}/\sqrt{3} \) en cisaillement pur, soit environ 58 % de cette valeur. Ce n'est pas un coefficient de sécurité mais une propriété mesurée du matériau.
Les deux états limites ne partagent rien : La résistance met en jeu \( f_{\text{y}} \) et les modules ; la flèche met en jeu \( E \) et le moment quadratique. Aucune grandeur n'est commune. Satisfaire l'un n'apprend rigoureusement rien sur l'autre, et c'est pourquoi les deux vérifications doivent être menées séparément jusqu'au bout.
Le poids propre, donnée et résultat : Le poids d'un élément fait partie des charges permanentes qui le sollicitent, mais il n'est connu qu'une fois l'élément choisi. Le dimensionnement est donc circulaire par nature, et seule une itération explicite permet de refermer le cercle honnêtement.
L'ordre de grandeur du poids propre : Sur un plancher métallique courant, le poids propre de la solive représente typiquement 2 à 5 % des charges permanentes. Négligeable quand le taux de travail est modéré, il devient décisif quand celui-ci frôle l'unité — situation fréquente sur le critère de flèche.

Équations Fondamentales

Quatre relations sont mobilisées : l'aire de cisaillement, la résistance qu'elle permet, la flèche à mi-portée, et le critère qui la borne. Chacune fait l'objet d'un bloc distinct.

Aire de cisaillement d'un profilé laminé en I — EN 1993-1-1 art. 6.2.6(3)a :

Elle définit la part de la section qui reprend effectivement l'effort tranchant.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la résistance au cisaillement ne mobilise pas toute la section. Retenir l'aire totale surestimerait la résistance de plus de 100 % pour un IPE, dont les semelles représentent la majeure partie de la matière.

Contexte de validité : Profilé laminé en I ou en H, effort tranchant parallèle à l'âme. Les profilés en U, en T ou les sections creuses relèvent d'expressions distinctes, données aux alinéas suivants du même article.
Avantage : L'expression récupère la contribution des congés de raccordement, que l'approximation par l'aire de l'âme seule laisse de côté. Sur un IPE 270, ils apportent 373 mm² sur 2 214, soit 17 %.
Paramètre clé : Le rayon de congé \( r \), souvent oublié dans les tableaux simplifiés. Il vaut 15 mm sur un IPE 270 et intervient doublé dans la parenthèse.
Vérification : Le résultat doit représenter environ la moitié de l'aire totale pour un IPE courant, et rester supérieur à la borne inférieure \( \eta\,h_{\text{w}}\,t_{\text{w}} \) imposée par la norme.
Limite : Pour les âmes très élancées, la ruine peut survenir par voilement par cisaillement avant plastification. L'art. 6.2.6(6) impose alors de passer par la NF EN 1993-1-5.

\[ \begin{aligned} A_{\text{v}} = A - 2 \, b \, t_{\text{f}} + (t_{\text{w}} + 2r) \, t_{\text{f}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle isole la partie de la section qui travaille réellement en cisaillement. Dans un profilé en I sollicité perpendiculairement à ses semelles, les contraintes de cisaillement se concentrent presque entièrement dans l'âme : les semelles, orientées à plat, ne peuvent guère s'opposer à un glissement vertical. L'expression retranche donc les deux semelles de l'aire totale, puis rend à l'âme les congés de raccordement qui, géométriquement, appartiennent à la zone de transition mais participent mécaniquement à la reprise de l'effort. Pour un IPE 270, l'aire de cisaillement représente ainsi 48 % de l'aire totale : moins de la moitié de l'acier travaille au cisaillement.

Décomposition des termes :

\( A_{\text{v}} \) : aire de cisaillement de la section, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( A \) : aire totale de la section brute, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( b \) : largeur des semelles, unité : \( \text{mm} \)
\( t_{\text{f}} \) : épaisseur des semelles, unité : \( \text{mm} \)
\( t_{\text{w}} \) : épaisseur de l'âme, unité : \( \text{mm} \)
\( r \) : rayon du congé de raccordement âme-semelle, unité : \( \text{mm} \)

Résistance au cisaillement et son critère — EN 1993-1-1 équations (6.18) et (6.17) :

Elles fournissent la capacité de l'âme et la condition qu'elle doit satisfaire.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une poutre peut satisfaire la flexion et échouer au cisaillement. Les deux critères sont indépendants et le second doit être vérifié dans la section d'appui, la plus sollicitée en effort tranchant.

Contexte de validité : Valable en l'absence de torsion et pour les âmes non élancées. Un moment de torsion concomitant réduirait cette résistance selon l'art. 6.2.7, non traité ici.
Avantage : Elle exploite la plastification complète de l'aire de cisaillement, et non la seule contrainte maximale. Le gain par rapport à une approche élastique atteint 50 % sur un profilé en I.
Paramètre clé : Le facteur \( \sqrt{3} \), issu du critère de von Mises. Il traduit une propriété du matériau et non une marge : l'acier résiste 42 % moins bien au glissement qu'à l'étirement.
Vérification : Pour un acier S235, la résistance vaut approximativement 135,7 N par mm² d'aire de cisaillement. Ce repère mémorisable permet un contrôle mental immédiat.
Limite : Au-delà de \( 0{,}5\,V_{\text{pl},\text{Rd}} \), l'art. 6.2.8(3) impose de réduire le moment résistant : les deux vérifications cessent alors d'être indépendantes.

\[ \begin{aligned} V_{\text{pl},\text{Rd}} = \frac{A_{\text{v}} \left( f_{\text{y}} / \sqrt{3} \right)}{\gamma_{\text{M0}}} \quad \text{avec} \quad \frac{V_{\text{Ed}}}{V_{\text{pl},\text{Rd}}} \le 1{,}0 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'expression décrit une âme entièrement plastifiée en cisaillement, où chaque point de la zone active travaille à la contrainte limite de glissement. Le facteur \( \sqrt{3} \) mérite qu'on s'y arrête : ce n'est pas un coefficient de sécurité mais une propriété mesurée. Un acier qui plastifie à 235 MPa sous traction pure plastifie à \( 235/\sqrt{3} = 136\ \text{MPa} \) sous cisaillement pur, parce que l'état de contrainte y est différent. Quant au critère, il exprime que l'âme ne doit pas céder par glissement — une ruine plus brutale que la flexion, car elle survient sans grande déformation préalable et donc sans avertissement.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{pl},\text{Rd}} \) : résistance plastique de calcul au cisaillement, unité : \( \text{N} \)
\( A_{\text{v}} \) : aire de cisaillement de la section, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de l'acier, unité : \( \text{MPa} \)
\( V_{\text{Ed}} \) : effort tranchant de calcul à l'ELU, unité : \( \text{N} \)
\( \gamma_{\text{M0}} \) : coefficient partiel de résistance des sections, unité : sans dimension

Flèche à mi-portée sous charge uniformément répartie :

Elle donne la déformation maximale de la solive sous les charges de service.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la grandeur que le critère de service borne, et parce que c'est elle qui gouverne le dimensionnement de la plupart des planchers de bâtiment dès que la portée dépasse cinq mètres.

Contexte de validité : Poutre isostatique sur deux appuis, section constante, comportement élastique, charge uniformément répartie. Toute autre configuration possède sa propre expression tabulée.
Avantage : Une formule fermée, sans intégration. Le coefficient \( 5/384 \) est celui du cas de charge réparti ; il vaut \( 1/48 \) pour une charge concentrée à mi-portée.
Paramètre clé : La portée, qui intervient à la puissance quatrième. Une erreur de 10 % sur la portée produit une erreur de 46 % sur la flèche : c'est de loin le paramètre le plus sensible.
Vérification : La charge employée doit être celle de la combinaison de service et non celle de l'ELU. Employer \( p_{\text{Ed}} \) surestimerait la flèche de 42 %.
Limite : Le module d'élasticité vaut 210 000 MPa pour toutes les nuances d'acier de construction. Monter en nuance n'améliore donc en rien la raideur : c'est le levier le plus inefficace contre la flèche.

\[ \begin{aligned} f = \frac{5 \, p_{\text{ser}} \, L^4}{384 \, E \, I_{\text{y}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle traduit un affrontement entre la charge et la raideur. Le numérateur mesure ce qui pousse la poutre à se courber : la charge, et surtout la portée, dont l'influence est démultipliée. Le dénominateur mesure ce qui s'y oppose : le produit \( EI \), où le module décrit la rigidité du matériau et le moment quadratique la façon dont la matière est éloignée de l'axe. La puissance quatrième de la portée s'explique par un cumul de trois effets — une poutre plus longue reçoit plus de charge, chaque part agit avec plus de bras de levier, et la courbure accumulée s'intègre sur une plus grande distance. C'est ce cumul qui fait de la flèche le critère le plus impitoyable des grandes portées.

Décomposition des termes :

\( f \) : flèche maximale à mi-portée, unité : \( \text{mm} \)
\( p_{\text{ser}} \) : charge linéique de service, unité : \( \text{N/mm} \)
\( L \) : portée entre axes d'appuis, unité : \( \text{mm} \)
\( E \) : module d'élasticité longitudinal de l'acier, unité : \( \text{MPa} \)
\( I_{\text{y}} \) : moment quadratique de la section selon l'axe fort, unité : \( \text{mm}^4 \)

Combinaisons révisées avec le poids propre du profilé :

Elles referment le dimensionnement en intégrant la charge que le profilé apporte lui-même.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le poids propre est une charge permanente à part entière, et qu'il n'était pas disponible au moment d'établir les combinaisons initiales. L'écarter définitivement reviendrait à ignorer une action réelle.

Contexte de validité : Le poids propre s'ajoute aux charges permanentes \( G \), et reçoit donc \( \gamma_{\text{G}} = 1{,}35 \) à l'ELU mais aucun coefficient à l'ELS.
Avantage : La reprise est immédiate : seules les charges changent, la géométrie et le profilé restent identiques. Les résistances calculées précédemment demeurent valables.
Paramètre clé : La masse linéique du profilé, lue au catalogue et convertie en charge par multiplication par l'accélération de la pesanteur. Un IPE 270 pèse 36,1 kg/m, soit 0,354 kN/m.
Vérification : Le poids propre doit représenter 2 à 5 % des charges permanentes sur un plancher courant. Une proportion très différente signale une erreur de conversion ou de lecture.
Limite : Si la reprise faisait échouer un critère, il faudrait remonter d'une taille de profilé — dont le poids propre serait à son tour plus élevé, d'où une nouvelle itération.

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= 1{,}35 \left( G + g_{\text{pp}} \right) + 1{,}50 \, Q \\ &\quad p_{\text{ser}} = G + g_{\text{pp}} + Q \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Ces deux expressions traduisent une évidence physique que le calcul initial escamotait : la poutre se porte elle-même. Avant même de recevoir la moindre charge de plancher, elle fléchit sous son propre poids, et cette déformation s'ajoute à toutes les autres. Le montant paraît dérisoire — 0,354 kN/m contre 13,75 — mais il faut le rapporter à la marge disponible, non à la charge totale. Quand un critère est satisfait à 95 %, il ne reste que 5 % de marge, et 2,6 % de charge supplémentaire en consomme la moitié. C'est toute la différence entre une grandeur négligeable dans l'absolu et une grandeur décisive dans le contexte.

Décomposition des termes :

\( g_{\text{pp}} \) : poids propre linéique du profilé retenu, unité : \( \text{kN/m} \)
\( G \) : charges permanentes hors poids propre, unité : \( \text{kN/m} \)
\( Q \) : charges d'exploitation caractéristiques, unité : \( \text{kN/m} \)
\( p_{\text{Ed}} \) : charge de calcul révisée à l'ELU, unité : \( \text{kN/m} \)
\( p_{\text{ser}} \) : charge de service révisée à l'ELS, unité : \( \text{kN/m} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants écartent le poids propre de la solive en affirmant qu'il « sera couvert par la marge de sécurité »…"

L'approche d'ingénieur : Cette formule est commode mais elle ne repose sur rien. Une marge de sécurité, cela se constate après calcul ; l'invoquer avant revient à supposer le résultat qu'on cherche à établir.

L'erreur : Déclarer le poids propre négligeable sans vérifier la marge. Ici, la flèche passait déjà à 95,4 % de la limite : la marge invoquée valait 0,92 mm, et le poids propre en consomme la moitié.
La bonne méthode : Reprendre les deux combinaisons une fois le profilé connu, et recalculer les trois taux de travail. Cela coûte cinq minutes et transforme une supposition en fait établi.
L'astuce de pro : Estimer le poids propre a priori, à 4 ou 5 % des charges permanentes, et l'intégrer dès la première combinaison. On évite ainsi l'itération, et l'estimation se vérifie en fin de note.
Le moyen mnémotechnique : « Une marge, cela se mesure, cela ne se suppose pas. » Tant qu'un taux de travail n'a pas été calculé, aucune affirmation sur la réserve disponible n'est recevable.
L'impact direct : Sur ce plancher, le résultat tient encore : 97,9 % au lieu de 95,4 %. Mais avec une portée de 6,50 m ou une limite de \( L/350 \), le même raisonnement aurait fait basculer le critère sans que personne ne s'en aperçoive.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Aire : \( 45{,}95\ \text{cm}^2 \) converti en \( 4\,595\ \text{mm}^2 \) par le facteur \( 10^2 \).
Moment quadratique : \( 5\,790\ \text{cm}^4 \) converti en \( 5{,}79 \times 10^7\ \text{mm}^4 \) par le facteur \( 10^4 \).
Charge de service : \( 13{,}75\ \text{kN/m} \) équivalente à \( 13{,}75\ \text{N/mm} \) — correspondance exacte.
Masse linéique : \( 36{,}1\ \text{kg/m} \) convertie en charge par \( \times\, 9{,}81 \), soit \( 0{,}354\ \text{kN/m} \).
Résistance au cisaillement : produit \( \text{mm}^2 \times \text{MPa} \), donc en newtons, à diviser par 1 000 pour obtenir des kN.

Cinq étapes closent le dimensionnement : l'aire de cisaillement, la résistance qu'elle permet, la flèche sous les charges initiales, la reprise des combinaisons avec le poids propre, et la synthèse des taux de travail.

1. Résolution Numérique Aire de cisaillement du profilé retenu

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la résistance au cisaillement ne mobilise qu'une fraction de la section, et que cette fraction doit être calculée par l'expression normative et non estimée.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule de l'art. 6.2.6(3)a aux cotes de l'IPE 270 : on retranche les deux semelles de l'aire totale, puis on rajoute la contribution des congés de raccordement.

Substitution : On injecte \( A = 4\,595\ \text{mm}^2 \), \( b = 135 \), \( t_{\text{f}} = 10{,}2 \), \( t_{\text{w}} = 6{,}6 \) et \( r = 15\ \text{mm} \).
Piège évité : Le terme \( (t_{\text{w}} + 2r)\,t_{\text{f}} \) se rajoute et ne se retranche pas. Il représente les congés, qui participent mécaniquement à la reprise du cisaillement.
Hypothèse validée : Le profilé est un laminé en I et l'effort tranchant est parallèle à l'âme : c'est bien l'alinéa a) de l'article qui s'applique.
Vérification croisée : Le résultat doit dépasser la borne \( \eta\,h_{\text{w}}\,t_{\text{w}} = 1{,}2 \times 249{,}6 \times 6{,}6 = 1\,977\ \text{mm}^2 \), ce qui est le cas.
Finalité : Alimenter le calcul de la résistance plastique au cisaillement de l'étape suivante.

\[ \begin{aligned} A_{\text{v}} &= A - 2 \, b \, t_{\text{f}} + (t_{\text{w}} + 2r) \, t_{\text{f}} \\ &= 4\,595 - 2 \times 135 \times 10{,}2 + (6{,}6 + 30) \times 10{,}2 \\ &= 4\,595 - 2\,754 + 373 \\ &= \mathbf{2\,214} \ \text{mm}^2 = 22{,}14 \ \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'aire de cisaillement représente 48 % de l'aire totale. Moins de la moitié de l'acier du profilé participe donc à la reprise de l'effort tranchant, ce qui est caractéristique des profilés en I.

Ordre de grandeur : 22,14 cm² pour 45,95 cm² d'aire totale, soit 48 %. La proportion attendue pour un IPE se situe autour de la moitié : le résultat est cohérent.
Impact sur la suite : Cette aire, multipliée par 135,7 MPa, donnera directement la résistance plastique au cisaillement du profilé.
Cohérence : L'aire de l'âme seule vaudrait \( 249{,}6 \times 6{,}6 = 1\,647\ \text{mm}^2 \). Les congés apportent donc 34 % de plus, ce qui justifie de ne pas les négliger.
Attention : On rencontre 2 030 mm² en catalogue, soit 8,3 % de moins. L'écart était sécuritaire mais ne correspondait à aucune expression normative.
Comparaison : Sur un IPE 240, l'aire de cisaillement vaut 19,15 cm² et non 18,9 comme on le lit parfois : la même erreur s'y répète.

Remarque pédagogique : Cette expression illustre une règle générale de l'Eurocode : chaque famille de sections possède sa propre définition de l'aire de cisaillement, et ces définitions ne se déduisent pas les unes des autres par analogie. Un profilé en U emploie \( (t_{\text{w}} + r)\,t_{\text{f}} \) et non \( (t_{\text{w}} + 2r)\,t_{\text{f}} \), parce qu'il n'a qu'un congé par semelle ; un tube rectangulaire emploie une expression proportionnelle au rapport des côtés. Prenez donc l'habitude de revenir au texte de l'article plutôt que de mémoriser une formule unique — c'est la seule façon de ne pas se tromper de famille.

Vérification de la résistance au cisaillement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une poutre peut satisfaire la flexion et échouer au cisaillement. Le critère doit être vérifié dans la section d'appui, où l'effort tranchant est maximal.

Méthodologie du calcul :

On applique l'équation (6.18) avec l'aire de cisaillement calculée, puis on forme le taux de travail avec l'effort tranchant établi en question 2. On vérifie enfin le seuil d'interaction.

Substitution : On injecte \( A_{\text{v}} = 2\,214\ \text{mm}^2 \), \( f_{\text{y}} = 235\ \text{MPa} \) et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \), puis \( V_{\text{Ed}} = 58{,}5\ \text{kN} \).
Piège évité : Ne pas oublier le facteur \( \sqrt{3} \), dont l'omission majorerait la résistance de 73 %. Il traduit le critère de von Mises et n'est pas un coefficient de sécurité.
Hypothèse validée : Aucune torsion n'est appliquée à la solive, et l'âme n'est pas assez élancée pour voiler : l'équation (6.18) s'applique sans correction.
Vérification croisée : \( f_{\text{y}}/\sqrt{3} = 235/1{,}732 = 135{,}7\ \text{MPa} \) : ce repère mémorisable permet un contrôle mental immédiat pour tout profilé en S235.
Finalité : Établir le deuxième taux de travail et statuer sur l'interaction moment-tranchant.

\[ \begin{aligned} V_{\text{pl},\text{Rd}} &= \frac{2\,214 \times (235/\sqrt{3})}{1{,}00} \\ &= 2\,214 \times 135{,}7 = 300\,400 \ \text{N} = 300{,}4 \ \text{kN} \\ &\quad \frac{V_{\text{Ed}}}{V_{\text{pl},\text{Rd}}} = \frac{58{,}5}{300{,}4} = \mathbf{0{,}195} \\ &\quad 58{,}5 \le 0{,}5 \times 300{,}4 = 150{,}2 \ \Rightarrow \ \text{interaction negligeable} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un taux de travail de 19,5 %, et un effort tranchant très inférieur au seuil d'interaction. Le cisaillement est largement satisfait et n'a aucune chance de gouverner ce dimensionnement.

Ordre de grandeur : 19,5 % est typique d'une poutre de plancher, où la portée est grande devant la hauteur. Le cisaillement n'y devient jamais déterminant.
Impact sur la suite : L'interaction moment-tranchant étant sans objet, le moment résistant conserve sa pleine valeur de 113,7 kN·m calculée en question 3.
Cohérence : Le rapport entre les deux taux de travail — 77 % en flexion contre 19,5 % au cisaillement — confirme que c'est bien la flexion qui domine à l'ELU.
Attention : Avec l'aire erronée de 2 030 mm², la résistance tomberait à 275,4 kN et le taux montait à 21,2 %. Sécuritaire, mais faux.
Comparaison : Sur une poutre dont le rapport portée sur hauteur descendrait sous cinq, le rapport s'inverserait et le cisaillement deviendrait le critère gouvernant.

Remarque pédagogique : Le taux de 19,5 % pose une question légitime : à quoi bon mener une vérification dont on pressent l'issue ? La réponse tient en deux points. D'abord parce que l'intuition se trompe dès qu'on sort du cas courant : la même charge sur une portée de 2 m donnerait un taux tout autre. Ensuite parce que cette vérification alimente l'examen de l'interaction : sans \( V_{\text{pl},\text{Rd}} \), on ne peut pas statuer sur la nécessité de réduire le moment résistant. Une vérification apparemment superflue est souvent la donnée d'entrée de la suivante.

Flèche sous les charges initiales

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le critère qui gouverne réellement les planchers, et parce qu'il faut un point de comparaison avant d'y ajouter le poids propre.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule de la flèche avec la charge de service établie en question 1, en convertissant toutes les grandeurs en newtons et millimètres.

Substitution : On injecte \( p_{\text{ser}} = 13{,}75\ \text{N/mm} \), \( L = 6\,000\ \text{mm} \), \( E = 210\,000\ \text{MPa} \) et \( I_{\text{y}} = 5{,}79 \times 10^7\ \text{mm}^4 \).
Piège évité : Employer la charge de service et non celle de l'ELU. \( p_{\text{Ed}} \) donnerait 27,1 mm, un dépassement apparent qui conduirait à changer inutilement de profilé.
Hypothèse validée : Le moment quadratique employé est celui de l'axe fort \( y\text{-}y \). L'axe faible vaudrait 420 cm⁴, soit treize fois moins.
Vérification croisée : L'ordre de grandeur se contrôle par le rapport \( f/L = 19{,}08/6\,000 = 1/314 \), à comparer au 1/300 admissible.
Finalité : Disposer d'une flèche de référence, à laquelle comparer celle obtenue une fois le poids propre réintégré.

\[ \begin{aligned} f &= \frac{5 \, p_{\text{ser}} \, L^4}{384 \, E \, I_{\text{y}}} \\ &= \frac{5 \times 13{,}75 \times (6\,000)^4}{384 \times 210\,000 \times 5{,}79 \times 10^7} \\ &= \frac{8{,}910 \times 10^{16}}{4{,}669 \times 10^{15}} \\ &= \mathbf{19{,}08} \ \text{mm} \ \le \ 20{,}0 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

19,08 mm pour 20 mm admissibles : le critère passe, mais à 95,4 %. La marge résiduelle n'est que de 0,92 mm — autant dire qu'elle n'existe pratiquement pas.

Ordre de grandeur : \( f/L = 1/314 \) contre le \( 1/300 \) exigé : le critère est satisfait de justesse, avec 4,6 % de marge seulement.
Impact sur la suite : Cette marge de 0,92 mm est ce qui reste pour absorber le poids propre de la solive. C'est précisément ce que l'étape suivante va mettre à l'épreuve.
Cohérence : Le taux de 95,4 % dépasse largement celui de la flexion, 77,2 % : le critère de service est bien le plus contraignant, comme attendu sur un plancher.
Attention : Un critère satisfait à 95 % ne laisse aucune marge d'erreur. C'est exactement dans cette situation qu'une simplification écartée à la légère peut faire basculer le résultat.
Comparaison : L'IPE 240, écarté en question 3 pour la flexion, aurait donné 28,4 mm de flèche — soit 142 % de la limite. Il était de toute façon exclu.

Remarque pédagogique : Ce résultat à 95,4 % est le point de bascule de l'exercice. Un taux de travail aussi élevé change le statut de toutes les simplifications consenties en amont : ce qui était négligeable quand la marge était de 40 % ne l'est plus quand elle tombe à 5 %. Le poids propre écarté en question 1, la valeur exacte de la limite nationale, le choix de la combinaison de service — chacun de ces points, anodin isolément, devient susceptible d'inverser la conclusion. C'est la règle à retenir : plus le taux de travail est élevé, plus les hypothèses doivent être examinées.

Reprise des combinaisons avec le poids propre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le poids propre est une charge permanente réelle, désormais connue, et que la marge de 0,92 mm constatée ne permet plus de l'écarter par principe.

Méthodologie du calcul :

On convertit la masse linéique du profilé en charge, on l'ajoute aux charges permanentes, puis on reprend les deux combinaisons de la question 1 avec cette valeur corrigée.

Substitution : On injecte la masse de l'IPE 270, 36,1 kg/m, convertie en charge par multiplication par 9,81, soit \( 0{,}354\ \text{kN/m} \).
Piège évité : Le poids propre s'ajoute aux charges permanentes et reçoit donc 1,35 à l'ELU. L'affecter du coefficient 1,50 des charges variables serait une erreur de nature.
Hypothèse validée : Le profilé est désormais connu : la donnée qui manquait en question 1 est disponible, et l'itération peut se refermer.
Vérification croisée : Le poids propre représente \( 0{,}354/7{,}50 = 4{,}7\ \% \) des charges permanentes, ce qui est l'ordre de grandeur attendu pour un plancher métallique.
Finalité : Obtenir les charges de calcul définitives, qui serviront à la synthèse finale des taux de travail.

\[ \begin{aligned} g_{\text{pp}} &= 36{,}1 \times 9{,}81 \times 10^{-3} = 0{,}354 \ \text{kN/m} \\ &\quad G_{\text{tot}} = 7{,}50 + 0{,}354 = 7{,}854 \ \text{kN/m} \\ &\quad p_{\text{Ed}} = 1{,}35 \times 7{,}854 + 1{,}50 \times 6{,}25 = \mathbf{19{,}98} \ \text{kN/m} \\ &\quad p_{\text{ser}} = 7{,}854 + 6{,}25 = \mathbf{14{,}10} \ \text{kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux charges augmentent de 2,5 %. C'est peu dans l'absolu, mais il faut rapporter cette hausse à la marge disponible et non à la charge totale — et cette marge n'était que de 4,6 %.

Ordre de grandeur : 0,354 kN/m pour 7,50 de charges permanentes, soit 4,7 %. La proportion est conforme à ce qu'on attend d'un plancher métallique courant.
Impact sur la suite : La charge de service passe de 13,75 à 14,10 kN/m, ce qui va majorer la flèche proportionnellement — la formule étant linéaire en \( p \).
Cohérence : Le rapport \( p_{\text{Ed}}/p_{\text{ser}} = 19{,}98/14{,}10 = 1{,}42 \) reste identique à celui de la question 1, ce qui valide la reprise des deux combinaisons.
Attention : Si un critère venait à échouer après cette reprise, il faudrait remonter d'une taille — dont le poids propre serait à son tour plus élevé, d'où une nouvelle itération.
Comparaison : Sur un IPE 300, le poids propre atteindrait 0,414 kN/m, soit 5,5 % des permanentes. La proportion croît avec la taille du profilé.

Remarque pédagogique : Ce bouclage illustre une propriété structurelle du dimensionnement : il est circulaire par nature. La donnée d'entrée — le poids propre — dépend du résultat — le profilé retenu. Deux stratégies permettent d'en sortir. La première, employée ici, consiste à dimensionner sans, puis à reprendre avec. La seconde, plus rapide et pratiquée en bureau d'études, consiste à estimer le poids propre a priori à 4 ou 5 % des permanentes et à vérifier l'estimation en fin de note. Les deux sont légitimes ; ce qui ne l'est pas, c'est de déclarer la question réglée sans l'avoir posée.

Synthèse des taux de travail et conclusion

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour clore la note par un tableau qui dise d'un coup d'œil si l'ouvrage est vérifié et quel critère le gouverne — c'est ce qu'un relecteur regarde en premier.

Méthodologie du calcul :

On recalcule les trois taux de travail avec les charges révisées, les résistances du profilé restant inchangées, puis on les compare pour identifier le critère dimensionnant.

Substitution : On injecte \( p_{\text{Ed}} = 19{,}98\ \text{kN/m} \) et \( p_{\text{ser}} = 14{,}10\ \text{kN/m} \) dans les expressions des efforts et de la flèche.
Piège évité : Les résistances ne changent pas : elles dépendent du profilé, non des charges. Seules les sollicitations sont à recalculer, ce qui limite la reprise à trois lignes.
Hypothèse validée : Le profilé reste l'IPE 270 de classe 1 : ni le module plastique, ni l'aire de cisaillement, ni le moment quadratique ne sont affectés par la reprise.
Vérification croisée : La flèche révisée doit valoir la précédente multipliée par le rapport des charges : \( 19{,}08 \times 14{,}10/13{,}75 = 19{,}57\ \text{mm} \).
Finalité : Statuer définitivement sur la validité du dimensionnement et désigner le critère qui le gouverne.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{19{,}98 \times 36}{8} = 89{,}9 \ \text{kN}\cdot\text{m} \ \Rightarrow \ \frac{89{,}9}{113{,}7} = 0{,}791 \\ &\quad V_{\text{Ed}} = \frac{19{,}98 \times 6}{2} = 59{,}9 \ \text{kN} \ \Rightarrow \ \frac{59{,}9}{300{,}4} = 0{,}200 \\ &\quad f = 19{,}08 \times \frac{14{,}10}{13{,}75} = 19{,}57 \ \text{mm} \ \Rightarrow \ \frac{19{,}57}{20{,}0} = \mathbf{0{,}979} \\ &\Rightarrow \ \text{la fleche gouverne} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Trois taux : 79,1 % en flexion, 20,0 % au cisaillement, 97,9 % en flèche. Tous les critères sont satisfaits, mais la marge sur la flèche est tombée à 0,43 mm.

Ordre de grandeur : 97,9 % contre 79,1 % : le critère de service est de loin le plus contraignant. C'est la signature d'un plancher de bâtiment de 6 m de portée.
Impact sur la suite : Le dimensionnement est validé mais tendu. Aucune augmentation de charge, aucun durcissement de la limite de flèche ne serait absorbable sans changer de profilé.
Cohérence : La flèche a augmenté de 2,6 % exactement, comme les charges de service : la formule étant linéaire en \( p \), la proportionnalité est attendue.
Attention : Le poids propre a consommé la moitié de la marge disponible, qui passe de 0,92 à 0,43 mm. L'affirmation qu'il serait « couvert par la marge » était donc infondée.
Comparaison : Avec une limite de \( L/350 \) au lieu de \( L/300 \), la flèche admissible tomberait à 17,1 mm et l'IPE 270 échouerait : il faudrait passer à l'IPE 300.

Remarque pédagogique : Le tableau final des taux de travail est ce qu'un relecteur regarde en premier, et il faut le lui donner explicitement. Il dit d'un coup d'œil quel critère commande, donc où porter l'effort si le projet évolue. Ici, la réponse est sans ambiguïté : la flèche, à 97,9 %, ne laisse aucune réserve. Une augmentation de charge de 3 %, un changement de destination du plateau, ou simplement une limite nationale plus sévère que celle retenue feraient basculer le résultat. À l'inverse, la flexion à 79 % et le cisaillement à 20 % offrent des réserves confortables. Identifier le critère dominant est ce qui transforme une note de calculs en outil de conception — et c'est aussi ce qui permet de dire au maître d'œuvre ce qu'il peut, ou ne peut pas, changer.

RÉSULTAT FINAL

\( f / f_{\text{adm}} \) = 0,979 ≤ 1,0 — IPE 270 validé

"Poids propre réintégré, la marge tombe à 0,43 mm : la flèche gouverne et le dimensionnement est tendu."

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

BILAN DES CALCULS

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cette étude, vérifiez que vous avez assimilé la chaîne complète, de la charge surfacique au profilé validé :

J'ai distingué la combinaison ELU, où les actions sont pondérées, de la combinaison ELS, où elles ne le sont pas, et je sais à quelle vérification chacune sert. J'ai employé les caractéristiques de l'axe fort \( y\text{-}y \) et non celles de l'axe faible, dont l'inertie est treize fois plus petite. J'ai vérifié la classe de la section plutôt que de la supposer, sachant que c'est elle qui autorise le module plastique. J'ai systématiquement vérifié les unités, notamment le passage des \( \text{kN/m} \) aux \( \text{N/mm} \) et des \( \text{cm}^4 \) aux \( \text{mm}^4 \). J'ai réintégré le poids propre du profilé retenu et repris les vérifications, au lieu de le déclarer couvert par une marge de sécurité supposée.

Avis technique — IPE 270 en S235 CONFORME, mais tendu. Poids propre réintégré, la solive est sollicitée à 79 % en flexion, 20 % au cisaillement et 98 % en flèche. Le dimensionnement est donc gouverné par le critère de service, et la marge résiduelle est mince : 0,43 mm sur les 20 admissibles. Une réserve conditionne cet avis : avec 2 % de capacité disponible sur le critère gouvernant, ce profilé ne supporterait ni une augmentation de charge, ni un durcissement de la limite de flèche. Si le programme du bâtiment n'est pas figé, le cran au-dessus mérite d'être chiffré. Deux vérifications restent hors périmètre : le déversement, écarté par l'hypothèse d'un maintien latéral par le plancher, et l'assemblage de la solive sur la poutre maîtresse.

La plus-value technique de cette étude tient précisément là : elle ne se contente pas de retenir un profilé, elle reboucle sur son poids propre réel, désigne le critère qui gouverne, et dit en millimètres ce qui sépare la solution de sa limite.

Calcul d'une poutre en acier

Calcul d'une poutre en acier

Le premier mois à 1 €

Dimensionnement d'une solive de plancher de bureaux

Contexte de l'Étude & Enjeux

MATÉRIAU, GÉOMÉTRIE ET CRITÈRES

ACTIONS ET COMBINAISONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Descente de charges et combinaisons réglementaires

Question 2 : Efforts internes maximaux à l'état limite ultime

Question 3 : Classification, module requis et choix du profilé

Question 4 (Finale) : Vérifications finales et bouclage sur le poids propre

Dimensionnement d'une solive de plancher de bureaux

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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