Dimensionnement d'un assemblage boulonné à simple recouvrement
Deux plats en S235 assemblés par une file de boulons M20 8.8 — application du tableau 3.4 de l'EN 1993-1-8 et vérification de la section nette selon l'EN 1993-1-1 § 6.2.3.
Contexte de l'Étude & Enjeux
Le Contexte : Deux plats en acier S235 doivent transmettre un effort de traction de 350 kN par un assemblage à simple recouvrement, réalisé par une file de boulons M20 de classe 8.8. Le rôle de l'ingénieur est de déterminer combien de boulons sont nécessaires — et surtout de vérifier que la ruine ne surviendra par aucun des quatre modes possibles. Car un assemblage boulonné ne cède pas d'une seule façon : le boulon peut être cisaillé, la tôle peut être écrasée autour du trou, le plat peut se déchirer dans sa section affaiblie, et la matière située entre le trou et le bord peut se cisailler. La règle de l'assemblage est celle de la chaîne : sa résistance est celle de son maillon le plus faible.
Quatre éléments structurent cette étude. Prenez le temps de les identifier avant d'écrire la moindre équation : c'est ce qui distingue un dimensionnement conduit d'un enchaînement mécanique de formules.
-
L'ouvrage : Un assemblage à simple recouvrement entre deux plats de 12 mm en S235, reprenant 350 kN de traction. La configuration est la plus simple qui soit — une seule file de boulons — mais elle impose un seul plan de cisaillement par boulon, là où un double recouvrement en offrirait deux.
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La géométrie commande : Les pinces — distances aux bords \( e_1 \) et \( e_2 \) — et le pas \( p_1 \) ne sont pas des détails de dessin. Ils entrent directement dans le calcul de la pression diamétrale par les coefficients \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \), et ils font l'objet de minima réglementaires.
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L'objectif final : Déterminer le nombre minimal de boulons, mais aussi vérifier que le plat lui-même résiste. Un assemblage dont les boulons tiennent mais dont la tôle se déchire dans sa section affaiblie n'est pas un assemblage vérifié.
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Quatre modes de ruine : Le cisaillement du boulon, la pression diamétrale de la tôle, la plastification de la section brute du plat et sa rupture en section nette. Le dimensionnement retient le plus faible des quatre — et ce n'est pas toujours celui qu'on croit.
Vous devez produire la note de calculs de l'assemblage, en menant la démarche complète : vérifier la conformité des pinces, en déduire les coefficients géométriques, calculer les deux résistances du boulon, en retenir la plus faible, puis déterminer le nombre de boulons et vérifier le plat lui-même.
- Le grand défi : Comprendre qu'un assemblage se vérifie sous plusieurs modes de ruine indépendants. Le nombre de boulons découle du plus faible, et la section du plat doit être contrôlée séparément — elle peut très bien être le vrai point faible.
- Votre rôle : Contrôler les pinces au regard du tableau 3.3, calculer \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \), établir \( F_{\text{v},\text{Rd}} \) et \( F_{\text{b},\text{Rd}} \) selon le tableau 3.4, en déduire le nombre de boulons, puis vérifier la section nette du plat selon l'EN 1993-1-1.
- La vérification des pinces et du pas au regard des minima et maxima du tableau 3.3, puis les valeurs calculées des coefficients géométriques \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \), en distinguant boulon d'extrémité et boulon intérieur.
- La résistance au cisaillement \( F_{\text{v},\text{Rd}} \) d'un boulon, avec l'hypothèse explicite sur la position du plan de cisaillement et le nombre de plans mobilisés par la configuration.
- La résistance à la pression diamétrale \( F_{\text{b},\text{Rd}} \), la désignation du mode de ruine gouvernant et la résistance de calcul d'un boulon.
- Le nombre minimal de boulons et la vérification de la section nette du plat, assortie du taux de travail de chacun des modes de ruine examinés.
Toutes les grandeurs de l'étude sont rassemblées ci-dessous. Notez que les pinces et le pas figurent parmi les données : sans eux, les coefficients \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \) ne peuvent pas être calculés et la vérification à la pression diamétrale devient impossible à mener. La largeur du plat est également fournie, car elle conditionne la vérification de la section nette. Deux valeurs appellent une réserve, signalée dans la note en bas d'encadré.
Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)
Voici les outils mathématiques de cet exercice, dans l'ordre où vous en aurez besoin. Ne les apprenez pas par cœur : comprenez ce que chacun exprime physiquement, la formule se retrouve alors toute seule.
- Résistance au cisaillement \( F_{\text{v},\text{Rd}} = \dfrac{0{,}6 \, f_{\text{ub}} \, A_{\text{s}}}{\gamma_{\text{M2}}} \)
- Résistance à la pression diamétrale \( F_{\text{b},\text{Rd}} = \dfrac{k_1 \, \alpha_{\text{b}} \, f_{\text{u}} \, d \, t}{\gamma_{\text{M2}}} \)
- Coefficient \( \alpha_{\text{b}} \) \( \alpha_{\text{b}} = \min \left( \alpha_{\text{d}} \ ; \ \dfrac{f_{\text{ub}}}{f_{\text{u}}} \ ; \ 1{,}0 \right) \)
- Boulon d'extrémité \( \alpha_{\text{d}} = \dfrac{e_1}{3 d_0} \)
- Boulon intérieur \( \alpha_{\text{d}} = \dfrac{p_1}{3 d_0} - \dfrac{1}{4} \)
- Coefficient \( k_1 \), boulon de rive \( k_1 = \min \left( 2{,}8 \dfrac{e_2}{d_0} - 1{,}7 \ ; \ 2{,}5 \right) \)
- Résistance d'un boulon \( F_{\text{Rd}} = \min \left( F_{\text{v},\text{Rd}} \ ; \ F_{\text{b},\text{Rd}} \right) \)
- Plastification de la section brute \( N_{\text{pl},\text{Rd}} = \dfrac{A \, f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \)
- Rupture de la section nette \( N_{\text{u},\text{Rd}} = \dfrac{0{,}9 \, A_{\text{net}} \, f_{\text{u}}}{\gamma_{\text{M2}}} \)
BOULONS ET PLATS ASSEMBLÉS
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| M20 8.8 | Boulon à serrage non contrôlé, catégorie A NF EN 1993-1-8, art. 3.4.1 | — | — |
| \( d \) | Diamètre nominal du boulon | 20 | \( \text{mm} \) |
| \( d_0 \) | Diamètre du trou — trou normal, jeu de 2 mm NF EN 1090-2 | 22 | \( \text{mm} \) |
| \( A_{\text{s}} \) | Aire résistante du boulon M20 ISO 898-1 | 245 | \( \text{mm}^2 \) |
| \( f_{\text{ub}} \) | Résistance ultime du boulon de classe 8.8 NF EN 1993-1-8, tab. 3.1 | 800 | \( \text{MPa} \) |
| S235 | Nuance d'acier des deux plats NF EN 10025-2 | — | — |
| \( f_{\text{y}} \) | Limite d'élasticité des plats NF EN 1993-1-1, tab. 3.1 | 235 | \( \text{MPa} \) |
| \( f_{\text{u}} \) | Résistance ultime des plats — voir note ci-dessous NF EN 10025-2 | 360 | \( \text{MPa} \) |
| \( \gamma_{\text{M0}} \) | Coefficient partiel, résistance des sections transversales NF EN 1993-1-1, art. 6.1 | 1,00 | — |
| \( \gamma_{\text{M2}} \) | Coefficient partiel, résistance à la rupture — voir note NF EN 1993-1-8/NA | 1,25 | — |
- Plan de cisaillement : \( \text{passe par la partie filetee du boulon} \)
- Nombre de plans : \( \text{un seul : simple recouvrement} \)
- Serrage : \( \text{non controle : pas de resistance au glissement} \)
- Trous : \( \text{normaux, perces ou poinconnes puis alesés} \)
GÉOMÉTRIE DE L'ASSEMBLAGE ET SOLLICITATION
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( F_{\text{Ed}} \) | Effort de traction de calcul à l'ELU NF EN 1990 | 350 | \( \text{kN} \) |
| \( t \) | Épaisseur de chaque plat | 12 | \( \text{mm} \) |
| \( b \) | Largeur des plats | 140 | \( \text{mm} \) |
| \( e_1 \) | Pince longitudinale, du bord à l'axe du premier boulon NF EN 1993-1-8, tab. 3.3 | 40 | \( \text{mm} \) |
| \( e_2 \) | Pince transversale, du bord à l'axe de la file NF EN 1993-1-8, tab. 3.3 | 70 | \( \text{mm} \) |
| \( p_1 \) | Pas entre boulons, dans le sens de l'effort NF EN 1993-1-8, tab. 3.3 | 60 | \( \text{mm} \) |
- Pinces minimales : \( e_1 \ge 1{,}2\,d_0 \ ; \ e_2 \ge 1{,}2\,d_0 \)
- Pas minimal : \( p_1 \ge 2{,}2\,d_0 \)
- Pinces maximales : \( e_1 , e_2 \le 4t + 40 \text{ mm} \)
- Pas maximal : \( p_1 \le \min(14t \ ; \ 200 \text{ mm}) \)
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)
Les valeurs ci-dessous rassemblent les coefficients réglementaires nécessaires à l'étude. Elles sont issues des tableaux 3.1, 3.3 et 3.4 de la NF EN 1993-1-8, et de l'article 6.2.3 de la NF EN 1993-1-1 pour la vérification du plat.
Coefficients des assemblages boulonnés — NF EN 1993-1-8, tableaux 3.1, 3.3 et 3.4| Grandeur ou condition | Valeur ou expression |
|---|---|
| Classe 8.8 — limite d'élasticité \( f_{\text{yb}} \) | 640 \( \text{MPa} \) |
| Classe 8.8 — résistance ultime \( f_{\text{ub}} \) | 800 \( \text{MPa} \) |
| Classe 4.6 — résistance ultime \( f_{\text{ub}} \) | 400 \( \text{MPa} \) |
| Cisaillement, plan par la partie filetée | \( F_{\text{v},\text{Rd}} = 0{,}6 \, f_{\text{ub}} A_{\text{s}} / \gamma_{\text{M2}} \) |
| Cisaillement, plan par la partie lisse | \( F_{\text{v},\text{Rd}} = 0{,}6 \, f_{\text{ub}} A / \gamma_{\text{M2}} \) |
| Pinces minimales | \( e_1 \ge 1{,}2\,d_0 \) · \( e_2 \ge 1{,}2\,d_0 \) |
| Pas minimaux | \( p_1 \ge 2{,}2\,d_0 \) · \( p_2 \ge 2{,}4\,d_0 \) |
| Longueur d'assemblage sans réduction | \( L_{\text{j}} \le 15\,d \) |
| Rupture de la section nette | \( N_{\text{u},\text{Rd}} = 0{,}9 \, A_{\text{net}} f_{\text{u}} / \gamma_{\text{M2}} \) |
La résistance ultime de l'acier S235 vaut \( f_{\text{u}} = 360\ \text{MPa} \). Cette valeur est celle de la norme produit NF EN 10025-2, pour une épaisseur inférieure à 40 mm. Elle décroît avec l'épaisseur, comme la limite d'élasticité : sur les fortes tôles, il faut redescendre dans le tableau.
L'aire résistante d'un boulon M20 vaut 245 mm². Cette valeur de l'ISO 898-1 se recoupe par le calcul géométrique sur le diamètre résistant moyen, qui donne 244,8 mm². À ne pas confondre avec l'aire brute de la tige, \( \pi d^2/4 = 314\ \text{mm}^2 \), soit 28 % de plus.
3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé
La démarche suit l'ordre imposé par la logique réglementaire : on ne peut pas calculer la pression diamétrale sans avoir établi les coefficients géométriques, ni ceux-ci sans avoir vérifié que les pinces sont conformes. Nous partons donc de la géométrie, passons aux deux résistances du boulon, puis concluons par le nombre de boulons et la vérification du plat.
Question 1 : Conformité des pinces et coefficients géométriques
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Les minima s'expriment tous en multiples du diamètre du trou \( d_0 \) et non du diamètre du boulon. Pour un M20 en trou normal, \( d_0 = 22\ \text{mm} \).
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Le coefficient \( \alpha_{\text{d}} \) n'a pas la même expression selon la position du boulon : \( e_1/(3d_0) \) pour un boulon d'extrémité, \( p_1/(3d_0) - 1/4 \) pour un boulon intérieur. Le plus faible des deux gouverne.
Question 2 : Résistance au cisaillement d'un boulon
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
L'aire à employer dépend de la position du plan de cisaillement : aire résistante \( A_{\text{s}} \) si le plan passe par la partie filetée, aire brute \( A \) s'il passe par la partie lisse. L'écart atteint 28 %.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Un assemblage à simple recouvrement ne présente qu'un seul plan de glissement entre les deux plats, donc un seul plan de cisaillement par boulon. Un double recouvrement en offrirait deux, et doublerait la résistance.
Question 3 : Pression diamétrale et résistance du boulon
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
La pression diamétrale s'exerce sur la tôle, pas sur le boulon : c'est la résistance \( f_{\text{u}} \) de l'acier des plats qui intervient, et non celle du boulon.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Le boulon d'extrémité et le boulon intérieur n'ont pas la même résistance, puisque \( \alpha_{\text{b}} \) diffère. Le dimensionnement doit retenir le plus faible des deux, faute de quoi le premier boulon céderait avant les autres.
Question 4 (Finale) : Nombre de boulons et vérification du plat
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Le nombre de boulons s'obtient en divisant l'effort par la résistance d'un boulon, puis en arrondissant à l'entier supérieur. Un boulon et demi n'existe pas.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
La section nette est la section brute diminuée de l'aire des trous situés dans le plan de rupture considéré. Avec une file unique, un seul trou est à déduire : \( A_{\text{net}} = (b - d_0) \, t \).
Dimensionnement d'un assemblage boulonné à simple recouvrement
"Avant toute résistance, la géométrie. Deux raisons à cela. La première est réglementaire : les pinces et les pas font l'objet de minima et de maxima que la norme impose, et un assemblage qui ne les respecte pas n'est pas calculable — il est simplement non conforme. La seconde est calculatoire : les coefficients \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \) qui entrent dans la pression diamétrale se déduisent entièrement de ces distances. Les poser au jugé, comme on le voit trop souvent, revient à inventer le résultat. Je note enfin que le premier boulon et les suivants n'obéissent pas à la même expression : il faudra traiter les deux cas et retenir le plus défavorable."
- Observation : Une file unique de boulons M20 en trous normaux, donc \( d_0 = 22\ \text{mm} \). Toutes les limites réglementaires s'expriment en multiples de ce diamètre de trou, et non du diamètre du boulon — c'est le premier point de vigilance.
- Analyse du risque : Poser \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \) au jugé est le défaut le plus répandu des exercices d'assemblage. Ces coefficients varient de 0,3 à 1,0 selon la géométrie : une valeur supposée peut surestimer la résistance de moitié sans qu'aucun contrôle ne le signale.
- Choix stratégique : Vérifier d'abord la conformité, calculer ensuite les coefficients. L'ordre n'est pas indifférent : des pinces non conformes rendraient le calcul de résistance sans objet, puisque l'assemblage devrait être redessiné.
- Alternative : On pourrait retenir d'emblée les valeurs plafonds \( k_1 = 2{,}5 \) et \( \alpha_{\text{b}} = 1{,}0 \), ce qui simplifierait le calcul. Ce serait non sécuritaire : ces plafonds ne sont atteints qu'avec des pinces généreuses, ce qui n'est pas le cas ici pour \( \alpha_{\text{b}} \).
- Objectif visé : Établir les deux coefficients qui conditionneront entièrement la résistance à la pression diamétrale de la question 3, et identifier lequel des boulons sera le maillon faible de la file.
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La disposition des boulons dans un assemblage n'est pas libre. Elle obéit à des limites réglementaires qui protègent contre plusieurs mécanismes de ruine, et elle détermine directement la résistance à la pression diamétrale par l'intermédiaire de deux coefficients.
Quatre relations composent cette étape : les limites réglementaires, puis les deux expressions de \( \alpha_{\text{d}} \) selon la position du boulon, et enfin celle de \( k_1 \). Chacune fait l'objet d'un bloc distinct.
Limites de pinces et de pas — EN 1993-1-8 tableau 3.3 :Elles fixent le domaine à l'intérieur duquel la disposition des boulons est admissible.
Parce qu'un assemblage dont les pinces sont hors limites n'est pas un assemblage à faible résistance : c'est un assemblage non conforme, dont les formules de résistance ne s'appliquent plus. La vérification doit donc précéder tout calcul.
- \( e_1 \) : pince longitudinale, du bord à l'axe du boulon dans le sens de l'effort, unité : \( \text{mm} \)
- \( e_2 \) : pince transversale, du bord à l'axe du boulon perpendiculairement à l'effort, unité : \( \text{mm} \)
- \( p_1 \) : pas entre boulons consécutifs dans le sens de l'effort, unité : \( \text{mm} \)
- \( d_0 \) : diamètre du trou de perçage, unité : \( \text{mm} \)
- \( t \) : épaisseur de la tôle extérieure la plus mince, unité : \( \text{mm} \)
Il mesure la matière disponible entre le premier trou et le bord de la tôle.
Parce que le boulon situé le plus près du bord libre est celui qui dispose du moins de matière pour s'appuyer. C'est presque toujours lui qui gouverne la résistance à la pression diamétrale de toute la file.
- \( \alpha_{\text{d}} \) : coefficient de pression diamétrale lié à la position du boulon, unité : sans dimension
- \( e_1 \) : pince longitudinale du boulon d'extrémité, unité : \( \text{mm} \)
- \( d_0 \) : diamètre du trou de perçage, unité : \( \text{mm} \)
Il mesure la matière disponible entre deux trous consécutifs de la file.
Parce qu'un boulon intérieur ne pousse pas vers un bord libre mais vers le trou suivant. Le mécanisme est différent, et l'expression du coefficient l'est aussi — avec un terme correctif de \( -1/4 \) qui n'apparaît pas dans le cas précédent.
- \( \alpha_{\text{d}} \) : coefficient de pression diamétrale lié à la position du boulon, unité : sans dimension
- \( p_1 \) : pas entre boulons consécutifs dans le sens de l'effort, unité : \( \text{mm} \)
- \( d_0 \) : diamètre du trou de perçage, unité : \( \text{mm} \)
- \( 1/4 \) : terme correctif d'interaction entre trous voisins, unité : sans dimension
Il mesure la résistance transversale de la tôle, perpendiculairement à l'effort.
Parce que la tôle peut aussi se fendre latéralement sous la poussée du boulon, et pas seulement céder dans le sens de l'effort. Ce second mécanisme dépend de la pince transversale \( e_2 \).
- \( k_1 \) : coefficient de pression diamétrale lié à la pince transversale, unité : sans dimension
- \( e_2 \) : pince transversale, perpendiculaire à l'effort, unité : \( \text{mm} \)
- \( d_0 \) : diamètre du trou de perçage, unité : \( \text{mm} \)
- \( 2{,}5 \) : plafond du coefficient, fixé par la norme, unité : sans dimension
"Beaucoup d'énoncés posent \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \) comme des « valeurs supposées », faute de fournir les pinces…"
- L'erreur : Poser \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}73 \) sans justification. Le calcul réel donne ici 0,606, soit 17 % de moins, et une résistance à la pression diamétrale surestimée de 20 % — 126,1 kN annoncés contre 104,7 kN réels.
- La bonne méthode : Exiger les pinces et les pas comme données d'entrée, au même titre que le diamètre des boulons. Sans elles, la vérification à la pression diamétrale ne peut pas être menée et l'assemblage n'est pas calculable.
- L'astuce de pro : Retenir les deux ordres de grandeur : avec des pinces au minimum réglementaire, \( \alpha_{\text{b}} \) tombe à 0,40 ; il faut \( e_1 = 3\,d_0 \) pour atteindre le plafond de 1,0. Entre les deux, la résistance varie du simple au double et demi.
- Le moyen mnémotechnique : « Pas de pinces, pas de pression diamétrale. » Les deux coefficients sont des fonctions de la géométrie, pas des constantes du matériau.
- L'impact direct : Une résistance à la pression diamétrale surestimée de 20 % peut faire changer le mode de ruine gouvernant. On croit dimensionner sur le cisaillement du boulon alors que c'est la tôle qui cédera la première — et le calcul porte alors sur le mauvais mécanisme.
Exécution de la Note de Calculs
- Pinces et pas : donnés en millimètres, directement exploitables dans les rapports avec \( d_0 \).
- Diamètre de trou : \( d_0 = d + 2 = \mathbf{22}\ \text{mm} \) pour un M20 en trou normal — ne pas employer \( d = 20 \) dans les limites.
- Épaisseur : \( t = 12\ \text{mm} \), celle de la tôle extérieure la plus mince, qui gouverne les maxima.
- Coefficients \( \alpha_{\text{b}} \), \( \alpha_{\text{d}} \) et \( k_1 \) : rapports de longueurs, donc sans dimension.
- Rapport \( f_{\text{ub}}/f_{\text{u}} = 800/360 = \mathbf{2{,}22} \) : plafond de \( \alpha_{\text{b}} \), ici jamais atteint car supérieur à 1,0.
Trois étapes s'enchaînent : la vérification de conformité, puis le calcul des deux coefficients. La première conditionne les suivantes, puisqu'une disposition non conforme rendrait tout calcul de résistance sans objet.
1. Résolution Numérique Vérification de la conformité des pinces et du pasPourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un assemblage dont la disposition est hors limites n'est pas calculable : il doit être redessiné avant toute vérification de résistance.
On compare chacune des trois distances aux minima et maxima du tableau 3.3, en exprimant les minima en multiples du diamètre du trou et les maxima en fonction de l'épaisseur de tôle.
- Substitution : On injecte \( d_0 = 22\ \text{mm} \) et \( t = 12\ \text{mm} \), puis on confronte \( e_1 = 40 \), \( e_2 = 70 \) et \( p_1 = 60\ \text{mm} \).
- Piège évité : Les minima portent sur \( d_0 \) et non sur \( d \). Employer 20 mm au lieu de 22 abaisserait chaque seuil de 10 % et pourrait faire accepter une disposition non conforme.
- Hypothèse validée : Les trous sont normaux, percés au diamètre nominal augmenté de 2 mm. Des trous oblongs ou surdimensionnés relèveraient de limites différentes.
- Vérification croisée : Les maxima ne s'appliquent strictement qu'aux éléments exposés ou comprimés. Les respecter sur un assemblage tendu abrité reste néanmoins une bonne pratique.
- Finalité : Autoriser le calcul des coefficients géométriques, qui n'a de sens que sur une disposition conforme.
Les trois distances respectent les limites, avec des marges confortables sur les minima — 52 % sur \( e_1 \), 165 % sur \( e_2 \), 24 % sur \( p_1 \). La disposition est réglementaire et le calcul peut se poursuivre.
- Ordre de grandeur : \( e_1 = 40\ \text{mm} \) pour un minimum de 26,4 : la marge est confortable sans être excessive. C'est une pince courante sur un plat de 12 mm.
- Impact sur la suite : La conformité étant acquise, les coefficients géométriques peuvent être calculés et la vérification à la pression diamétrale menée.
- Cohérence : La pince transversale de 70 mm correspond exactement à la moitié de la largeur du plat de 140 mm : la file est bien centrée.
- Attention : Les maxima protègent contre la corrosion par décollement et le voilement local. Ils ne s'appliquent pas ici au sens strict, mais les respecter est une bonne pratique de conception.
- Comparaison : Avec \( e_1 \) porté au minimum de 26,4 mm, le coefficient \( \alpha_{\text{d}} \) tomberait à 0,40 et la résistance à la pression diamétrale chuterait de 34 %.
Remarque pédagogique : Cette vérification est toujours la première étape d'un calcul d'assemblage, et elle est trop souvent escamotée. Elle ne coûte que quatre comparaisons, mais elle change la nature du travail : sans elle, on vérifie la résistance d'une disposition dont on ignore si elle est admissible. Retenez aussi que les minima et les maxima ne protègent pas contre les mêmes choses — les premiers contre des mécanismes de ruine, les seconds contre la corrosion et le voilement. Ce sont deux familles d'exigences distinctes, et seuls les minima sont incontournables.
Coefficient de pression diamétrale des deux positions de boulonPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la résistance à la pression diamétrale en dépend directement, et que le boulon d'extrémité n'obéit pas à la même expression que ses voisins intérieurs.
On calcule \( \alpha_{\text{d}} \) séparément pour les deux positions, puis on applique à chacune les deux plafonds — le rapport \( f_{\text{ub}}/f_{\text{u}} \) et l'unité — pour obtenir \( \alpha_{\text{b}} \).
- Substitution : On injecte \( e_1 = 40\ \text{mm} \), \( p_1 = 60\ \text{mm} \) et \( d_0 = 22\ \text{mm} \), puis le rapport \( f_{\text{ub}}/f_{\text{u}} = 800/360 = 2{,}22 \).
- Piège évité : Ne pas oublier le terme correctif \( -1/4 \) dans l'expression du boulon intérieur. Son omission majorerait le coefficient de 38 % et fausserait la comparaison entre les deux positions.
- Hypothèse validée : L'effort est parallèle à la file de boulons : les expressions du tableau 3.4 s'appliquent directement, sans décomposition en composantes.
- Vérification croisée : Le rapport \( f_{\text{ub}}/f_{\text{u}} = 2{,}22 \) est supérieur à 1,0 : ce plafond ne peut donc jamais gouverner ici, seul celui de l'unité pourrait le faire.
- Finalité : Obtenir le coefficient le plus défavorable de la file, qui dimensionnera la résistance à la pression diamétrale de tous les boulons.
Le boulon d'extrémité gouverne, avec 0,606 contre 0,659 pour un boulon intérieur. C'est la situation habituelle : la pince est presque toujours plus courte que le pas.
- Ordre de grandeur : 0,606 pour un plafond de 1,0 : la tôle ne développe que 61 % de sa capacité potentielle en pression diamétrale, faute d'une pince suffisante.
- Impact sur la suite : C'est cette valeur, et non celle du boulon intérieur, qui sera injectée dans l'expression de \( F_{\text{b},\text{Rd}} \) — le dimensionnement retient toujours le maillon le plus faible.
- Cohérence : Le boulon intérieur est plus favorable de 9 %, ce qui est cohérent avec un pas de 60 mm supérieur à la pince de 40 mm.
- Attention : Aucun des deux plafonds n'est atteint : ni le rapport \( f_{\text{ub}}/f_{\text{u}} = 2{,}22 \), ni l'unité. C'est bien la géométrie seule qui gouverne ici.
- Comparaison : Avec des boulons de classe 4.6, le rapport \( f_{\text{ub}}/f_{\text{u}} \) tomberait à \( 400/360 = 1{,}11 \) — toujours au-dessus de 1,0, donc sans effet. Ce plafond ne joue qu'avec des tôles à très haute résistance.
Remarque pédagogique : L'écart de 9 % entre les deux positions illustre un principe de conception souvent négligé : il est plus efficace d'augmenter la pince que le pas. Porter \( e_1 \) de 40 à 50 mm ferait passer \( \alpha_{\text{b}} \) de 0,606 à 0,758, soit 25 % de résistance en plus, pour 10 mm de tôle supplémentaire. Augmenter le pas dans la même proportion n'apporterait rien, puisque c'est le boulon d'extrémité qui gouverne. Retenez la règle : quand la pression diamétrale est déterminante, c'est toujours vers la pince qu'il faut regarder en premier.
Coefficient transversal de la tôlePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la résistance à la pression diamétrale fait intervenir les deux directions : celle de l'effort par \( \alpha_{\text{b}} \), et la perpendiculaire par \( k_1 \).
On applique l'expression du boulon de rive, la file étant unique et centrée sur la largeur du plat, puis on retient le plus petit des deux termes de la comparaison.
- Substitution : On injecte \( e_2 = 70\ \text{mm} \) et \( d_0 = 22\ \text{mm} \) dans l'expression \( 2{,}8\,e_2/d_0 - 1{,}7 \).
- Piège évité : L'expression du boulon de rive fait intervenir la pince \( e_2 \), celle du boulon intérieur transversalement fait intervenir le pas \( p_2 \) avec un coefficient de 1,4 au lieu de 2,8.
- Hypothèse validée : La file est unique et centrée : chaque boulon est un boulon de rive vis-à-vis des deux bords parallèles à l'effort, et \( e_2 \) vaut la demi-largeur du plat.
- Vérification croisée : Le plafond de 2,5 est atteint dès \( e_2 \ge 1{,}5\,d_0 = 33\ \text{mm} \). Avec 70 mm, il l'est largement.
- Finalité : Compléter le jeu de coefficients nécessaires au calcul de la résistance à la pression diamétrale en question 3.
Le plafond de 2,5 est atteint, et largement : la valeur calculée le dépasse d'un facteur trois. La pince transversale n'est donc pas un facteur limitant de cet assemblage.
- Ordre de grandeur : 7,21 pour un plafond de 2,5 : la marge est considérable. C'est le cas de la quasi-totalité des assemblages sur plat, où la largeur disponible est généreuse.
- Impact sur la suite : \( k_1 = 2{,}5 \) sera injecté tel quel dans l'expression de \( F_{\text{b},\text{Rd}} \). C'est donc bien \( \alpha_{\text{b}} \) qui fait la différence sur cet assemblage.
- Cohérence : Le plafond serait atteint dès \( e_2 = 33\ \text{mm} \) ; avec 70 mm on en est loin. La saturation était prévisible dès la lecture des données.
- Attention : Sur une cornière ou une âme de poutre, la pince transversale est souvent bien plus serrée et le plafond n'est pas atteint : \( k_1 \) devient alors un facteur limitant réel.
- Comparaison : Avec \( e_2 \) réduit au minimum réglementaire de 26,4 mm, \( k_1 \) tomberait à 1,66 et la résistance à la pression diamétrale chuterait de 34 %.
Remarque pédagogique : La saturation de \( k_1 \) sur les assemblages courants explique pourquoi ce coefficient est souvent traité comme une constante — ce qu'il n'est pas. Sur un plat large, il vaut effectivement 2,5 et l'on peut se contenter de le vérifier rapidement. Mais sur une cornière boulonnée par une aile, sur une âme de poutre ou sur un gousset étroit, la pince transversale descend vers le minimum réglementaire et \( k_1 \) devient le facteur limitant. Prenez donc l'habitude de le calculer plutôt que de le supposer : c'est une ligne de calcul, et cela évite de transposer à tort une habitude prise sur un cas favorable.
"Le premier des quatre modes de ruine, et le plus intuitif : sous l'effort, les deux plats glissent l'un sur l'autre et tendent à sectionner le boulon comme une pince coupante. Une seule question conditionne le résultat, et elle est souvent escamotée : le plan de glissement passe-t-il par la partie filetée du boulon ou par sa partie lisse ? L'écart n'est pas anodin — 28 % de résistance — parce que le filetage retire de la matière. Sur un assemblage courant, où la longueur de serrage est ajustée au plus juste, le filetage se trouve presque toujours dans le plan de cisaillement. C'est l'hypothèse sécuritaire, et c'est celle que je retiens."
- Observation : Un assemblage à simple recouvrement : les deux plats se chevauchent sur une seule zone, ce qui ne crée qu'un seul plan de glissement par boulon. Un double recouvrement en offrirait deux et doublerait la résistance.
- Analyse du risque : Employer l'aire brute \( A = 314\ \text{mm}^2 \) au lieu de l'aire résistante \( A_{\text{s}} = 245\ \text{mm}^2 \) majorerait la résistance de 28 %. C'est admissible seulement si l'on garantit que le filetage reste hors du plan de cisaillement.
- Choix stratégique : Retenir l'hypothèse du plan passant par la partie filetée, qui est la plus défavorable et la plus réaliste sur un assemblage courant. Et surtout, l'énoncer explicitement dans la note.
- Alternative : On pourrait allonger la tige pour placer le filetage hors du plan de glissement et gagner 28 %. C'est possible mais fragile en exécution : une rondelle oubliée ou une tôle plus mince que prévu ramène le filetage dans le plan.
- Objectif visé : Établir le premier des deux modes de ruine du boulon, qui sera comparé à la pression diamétrale en question 3 pour désigner celui qui gouverne.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Sous un effort de traction, les deux plats assemblés tendent à glisser l'un sur l'autre. Le boulon s'y oppose en travaillant en cisaillement dans le plan de glissement. Deux paramètres gouvernent sa capacité : la classe du boulon et l'aire mobilisée dans ce plan.
Trois relations composent cette question : les deux expressions de la résistance selon la position du plan de cisaillement, et le critère réglementaire. Chacune fait l'objet d'un bloc distinct.
Cisaillement, plan par la partie filetée — EN 1993-1-8 tableau 3.4 :Elle donne la résistance du boulon lorsque le filetage traverse le plan de glissement.
Parce que c'est le cas le plus fréquent et le plus défavorable. Sur un assemblage courant, la longueur de serrage est ajustée au plus juste et le filetage se trouve presque toujours dans le plan de cisaillement.
- \( F_{\text{v},\text{Rd}} \) : résistance de calcul au cisaillement, par plan et par boulon, unité : \( \text{N} \)
- \( f_{\text{ub}} \) : résistance ultime à la traction du métal du boulon, unité : \( \text{MPa} \)
- \( A_{\text{s}} \) : aire résistante du boulon, tenant compte du filetage, unité : \( \text{mm}^2 \)
- \( \gamma_{\text{M2}} \) : coefficient partiel de résistance à la rupture, unité : sans dimension
Elle donne la résistance lorsque le filetage est maintenu hors du plan de glissement.
Parce qu'elle mesure ce que l'on perd en retenant l'hypothèse sécuritaire. La comparaison entre les deux expressions chiffre exactement l'enjeu du positionnement du filetage.
- \( F_{\text{v},\text{Rd}} \) : résistance de calcul au cisaillement, par plan et par boulon, unité : \( \text{N} \)
- \( f_{\text{ub}} \) : résistance ultime à la traction du métal du boulon, unité : \( \text{MPa} \)
- \( A \) : aire brute de la tige du boulon, unité : \( \text{mm}^2 \)
- \( d \) : diamètre nominal du boulon, unité : \( \text{mm} \)
Il énonce la condition que chaque boulon doit satisfaire individuellement.
Parce que la vérification porte sur le boulon le plus sollicité de l'assemblage. Sous répartition uniforme, tous reprennent la même part et le critère s'applique indifféremment à chacun.
- \( F_{\text{v},\text{Ed}} \) : effort de cisaillement de calcul repris par un boulon, unité : \( \text{kN} \)
- \( F_{\text{v},\text{Rd}} \) : résistance de calcul au cisaillement d'un boulon, unité : \( \text{kN} \)
- \( 1{,}0 \) : borne réglementaire du taux de travail, unité : sans dimension
"Beaucoup d'étudiants emploient l'aire brute \( \pi d^2/4 \) sans se demander où passe le plan de cisaillement, ou confondent aire résistante et aire du trou…"
- L'erreur : Employer \( A = 314\ \text{mm}^2 \) sans justifier la position du filetage. La résistance passerait de 94,08 à 120,6 kN, soit 28 % de plus, et trois boulons suffiraient au lieu de quatre.
- La bonne méthode : Retenir \( A_{\text{s}} \) par défaut, qui est l'hypothèse sécuritaire, et ne passer à l'aire brute que si la longueur de tige lisse est explicitement garantie sur les plans d'exécution.
- L'astuce de pro : Retenir les trois aires du M20 : aire du trou \( \pi \times 22^2/4 = 380\ \text{mm}^2 \), aire brute de tige 314 mm², aire résistante 245 mm². Chacune a son usage, aucune n'est interchangeable.
- Le moyen mnémotechnique : « Le filetage enlève un cinquième. » \( A_{\text{s}}/A = 0{,}78 \) pour tous les filetages métriques ISO à pas gros, quel que soit le diamètre.
- L'impact direct : Passer de quatre à trois boulons sur une hypothèse d'exécution non garantie, c'est faire reposer la sécurité de l'assemblage sur une longueur de tige que le chantier peut modifier — en ajoutant une rondelle, par exemple.
Exécution de la Note de Calculs
- Résistance ultime du boulon : \( f_{\text{ub}} = 800\ \text{MPa} = 800\ \text{N}/\text{mm}^2 \), strictement équivalent.
- Aire résistante : \( A_{\text{s}} = 245\ \text{mm}^2 \), donnée directement dans l'unité de travail — aucune conversion.
- Produit \( f_{\text{ub}} \times A_{\text{s}} \) : sort en newtons, à diviser par 1 000 pour obtenir des kN.
- Coefficient partiel : rapport de grandeurs de même nature, donc sans dimension.
- Aire brute de comparaison : \( \pi \times 20^2/4 = \mathbf{314}\ \text{mm}^2 \), à ne pas confondre avec l'aire du trou de 380 mm².
Deux étapes composent cette question : la résistance sous l'hypothèse retenue, puis la comparaison avec l'hypothèse alternative pour chiffrer l'enjeu du positionnement du filetage.
1. Résolution Numérique Résistance au cisaillement sous l'hypothèse du plan filetéPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le premier des quatre modes de ruine à examiner, et parce que l'hypothèse du plan fileté est la plus défavorable comme la plus réaliste sur un assemblage courant.
On applique l'expression du tableau 3.4 avec l'aire résistante du M20 et la résistance ultime de la classe 8.8, puis on divise par le coefficient partiel \( \gamma_{\text{M2}} \).
- Substitution : On injecte \( f_{\text{ub}} = 800\ \text{MPa} \), \( A_{\text{s}} = 245\ \text{mm}^2 \) et \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \), avec le coefficient \( \alpha_{\text{v}} = 0{,}6 \) de la classe 8.8.
- Piège évité : Employer l'aire résistante et non l'aire brute. La différence de 28 % ne se voit pas dans le résultat, qui reste plausible dans les deux cas.
- Hypothèse validée : Le plan de cisaillement est supposé passer par la partie filetée et l'assemblage à simple recouvrement n'en présente qu'un seul.
- Vérification croisée : Le produit \( 0{,}6 \times 800 = 480\ \text{MPa} \) est la contrainte de cisaillement admissible du métal du boulon, avant application du coefficient partiel.
- Finalité : Établir le premier des deux modes de ruine du boulon, à comparer à la pression diamétrale en question 3.
94,08 kN par boulon et par plan de cisaillement, soit un peu plus de neuf tonnes. C'est une valeur à retenir : elle revient dans la quasi-totalité des assemblages courants, le M20 8.8 étant le boulon standard de la construction métallique.
- Ordre de grandeur : 94,08 kN est la résistance de référence d'un M20 8.8 en simple cisaillement sur plan fileté. Elle mérite d'être mémorisée : elle permet un prédimensionnement de tête.
- Impact sur la suite : Cette valeur sera comparée à la résistance à la pression diamétrale pour désigner le mode de ruine gouvernant du boulon.
- Cohérence : La contrainte de cisaillement mobilisée vaut \( 94\,080/245 = 384\ \text{MPa} \), soit 48 % de \( f_{\text{ub}} \) — cohérent avec le coefficient 0,6 divisé par 1,25.
- Attention : Cette résistance vaut par plan de cisaillement. Sur un double recouvrement, le même boulon en offrirait deux et sa résistance serait de 188,2 kN.
- Comparaison : Avec \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}10 \), valeur de l'annexe nationale britannique, la résistance monterait à 106,9 kN — soit 14 % de plus. Le paramètre national n'est pas anodin.
Remarque pédagogique : Retenez cette valeur de 94 kN pour un M20 8.8 en simple cisaillement : elle est l'un des rares repères chiffrés qui permettent un prédimensionnement mental en construction métallique. Un assemblage reprenant 350 kN exigera manifestement quatre boulons, ce qu'on peut annoncer avant tout calcul. Attention cependant : ce repère est lié à un jeu d'hypothèses précis — classe 8.8, plan fileté, un seul plan, \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \). Changez l'une d'elles et la valeur change. En double cisaillement, elle double ; sur plan lisse, elle gagne 28 % ; avec le \( \gamma_{\text{M2}} \) britannique, 14 %.
Comparaison avec l'hypothèse du plan lissePourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer exactement ce que coûte l'hypothèse sécuritaire, et savoir si le détail d'exécution mérite d'être imposé sur les plans.
On recalcule la résistance avec l'aire brute de la tige, puis on forme le rapport entre les deux valeurs pour mesurer l'écart.
- Substitution : On remplace \( A_{\text{s}} = 245\ \text{mm}^2 \) par l'aire brute \( A = \pi \times 20^2/4 = 314\ \text{mm}^2 \), toutes choses égales par ailleurs.
- Piège évité : L'aire brute se calcule sur le diamètre nominal du boulon \( d = 20\ \text{mm} \), et non sur le diamètre du trou \( d_0 = 22\ \text{mm} \) — qui donnerait 380 mm².
- Hypothèse validée : Cette variante suppose que la longueur de tige lisse excède l'épaisseur assemblée, rondelles comprises, ce qui doit être porté sur les plans d'exécution.
- Vérification croisée : Le rapport \( A_{\text{s}}/A = 245/314 = 0{,}78 \) doit se retrouver dans le rapport des deux résistances, puisque tout le reste est identique.
- Finalité : Mesurer l'enjeu du détail d'exécution et décider s'il vaut la peine d'être imposé.
Placer le filetage hors du plan de cisaillement procurerait 28 % de résistance en plus, ce qui suffirait ici à ramener le nombre de boulons de quatre à trois. L'enjeu économique est donc réel.
- Ordre de grandeur : Le rapport de 1,28 correspond exactement à l'inverse de \( A_{\text{s}}/A = 0{,}78 \). Il vaut pour tous les filetages métriques ISO à pas gros, quel que soit le diamètre.
- Impact sur la suite : Avec 120,6 kN par boulon, il en faudrait \( 350/120{,}6 = 2{,}9 \), soit trois boulons au lieu de quatre. L'économie est de 25 % sur la boulonnerie.
- Cohérence : La pression diamétrale, à 104,7 kN, deviendrait alors le mode gouvernant : le gain réel serait limité à ce plafond, non aux 120,6 kN.
- Attention : L'hypothèse repose sur une tolérance d'exécution, non sur une propriété du matériau. Une rondelle ajoutée au montage suffit à la mettre en défaut, sans que personne ne s'en aperçoive.
- Comparaison : Un double recouvrement procurerait un gain bien supérieur — 100 % — et par un moyen bien plus robuste : la géométrie de l'assemblage, que le chantier ne peut pas modifier.
Remarque pédagogique : Cette comparaison éclaire un choix de conception qui revient souvent. Gagner 28 % en plaçant le filetage hors du plan de cisaillement est tentant, mais l'hypothèse est fragile en exécution : elle dépend d'une longueur de tige que le chantier peut modifier en ajoutant une rondelle, et rien dans l'ouvrage fini ne permet de la vérifier visuellement. Le double recouvrement, lui, procure 100 % de gain par la seule géométrie : le plat central est pris en sandwich, les deux plans de cisaillement sont visibles sur le plan et indéformables au montage. Quand il faut gagner de la résistance sur un assemblage boulonné, c'est vers cette solution qu'il faut regarder en premier.
"Deuxième mode de ruine, et il ne concerne plus le boulon mais la tôle. Sous l'effort, le boulon avance dans son trou et écrase la matière située devant lui : le trou s'ovalise, puis la tôle se déchire. C'est un mode de ruine ductile, à la différence du cisaillement — et c'est même une qualité recherchée, car il prévient avant de céder. Je dispose maintenant des coefficients calculés en question 1, donc je peux mener le calcul pour de bon. Deux positions à traiter, et je retiendrai la plus défavorable : c'est le boulon d'extrémité qui, disposant de moins de matière devant lui, cédera le premier."
- Observation : La pression diamétrale s'exerce sur la tôle, pas sur le boulon. C'est donc la résistance \( f_{\text{u}} \) de l'acier des plats qui intervient — 360 MPa — et non celle du boulon, quatre fois plus élevée.
- Analyse du risque : Traiter uniquement le boulon intérieur, plus favorable, conduirait à surestimer la résistance de 9 %. Or c'est le boulon d'extrémité qui cédera le premier : dans une chaîne, on ne dimensionne pas sur le maillon le plus fort.
- Choix stratégique : Calculer les deux positions et retenir la plus faible. Le surcoût est d'une ligne de calcul, et il évite de fonder tout le dimensionnement sur le mauvais boulon.
- Alternative : On pourrait augmenter la pince \( e_1 \) pour relever \( \alpha_{\text{b}} \) et faire passer la pression diamétrale au-dessus du cisaillement. Ce serait sans effet ici, puisque le cisaillement gouverne déjà — mais ce serait le bon levier si la tôle était le point faible.
- Objectif visé : Désigner le mode de ruine gouvernant du boulon et obtenir la résistance de calcul qui servira à déterminer leur nombre en question 4.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
La pression diamétrale est le second mode de ruine d'un boulon travaillant en cisaillement. Elle ne concerne pas l'organe mais la tôle assemblée : c'est le trou qui s'ovalise sous la poussée du boulon, jusqu'à la déchirure du plat.
Trois relations composent cette question : l'expression de la résistance à la pression diamétrale, son critère de vérification, et la règle du minimum qui désigne la résistance de calcul du boulon.
Résistance à la pression diamétrale — EN 1993-1-8 tableau 3.4 :Elle donne la capacité de la tôle à ne pas être écrasée autour du trou.
Parce qu'un boulon parfaitement résistant peut se révéler inutile si la tôle qu'il traverse s'ovalise sous sa poussée. Ce mode de ruine est totalement indépendant du cisaillement et doit être examiné séparément.
- \( F_{\text{b},\text{Rd}} \) : résistance de calcul à la pression diamétrale, par boulon, unité : \( \text{N} \)
- \( k_1 \) : coefficient lié à la pince transversale, unité : sans dimension
- \( \alpha_{\text{b}} \) : coefficient lié à la pince ou au pas longitudinal, unité : sans dimension
- \( f_{\text{u}} \) : résistance ultime de l'acier de la tôle, unité : \( \text{MPa} \)
- \( d \) : diamètre nominal du boulon, unité : \( \text{mm} \)
- \( t \) : épaisseur de la tôle la plus mince traversée, unité : \( \text{mm} \)
Il énonce la condition que la tôle doit satisfaire au droit de chaque boulon.
Parce que la vérification porte sur le boulon le plus défavorisé de la file, qui n'est pas nécessairement le plus chargé mais celui dont la tôle environnante offre le moins de résistance.
- \( F_{\text{b},\text{Ed}} \) : effort de calcul repris par un boulon en pression diamétrale, unité : \( \text{kN} \)
- \( F_{\text{b},\text{Rd}} \) : résistance de calcul à la pression diamétrale, unité : \( \text{kN} \)
- \( 1{,}0 \) : borne réglementaire du taux de travail, unité : sans dimension
Elle désigne, parmi les deux modes de ruine examinés, celui qui gouverne.
Parce qu'un assemblage cède par le premier mécanisme atteint, pas par le plus résistant. Retenir autre chose que le minimum reviendrait à supposer que la ruine attend d'être autorisée.
- \( F_{\text{Rd}} \) : résistance de calcul d'un boulon, tous modes confondus, unité : \( \text{kN} \)
- \( F_{\text{v},\text{Rd}} \) : résistance au cisaillement du boulon, unité : \( \text{kN} \)
- \( F_{\text{b},\text{Rd}} \) : résistance à la pression diamétrale de la tôle, unité : \( \text{kN} \)
"Beaucoup d'étudiants emploient \( f_{\text{ub}} \) au lieu de \( f_{\text{u}} \) dans la formule de la pression diamétrale, par analogie avec le calcul de cisaillement…"
- L'erreur : Employer \( f_{\text{ub}} = 800\ \text{MPa} \) au lieu de \( f_{\text{u}} = 360\ \text{MPa} \). La résistance à la pression diamétrale passerait de 104,7 à 232,7 kN, soit un facteur 2,2, et le mode de ruine réel serait complètement masqué.
- La bonne méthode : Se demander qui cède dans chaque mode. Au cisaillement, c'est le boulon : on emploie sa résistance. En pression diamétrale, c'est la tôle : on emploie la sienne. La formule suit le matériau qui se rompt.
- L'astuce de pro : Repérer l'indice : \( f_{\text{ub}} \) porte un « b » comme boulon, \( f_{\text{u}} \) n'en porte pas et désigne donc la tôle. La notation de l'Eurocode est systématique sur ce point.
- Le moyen mnémotechnique : « Le boulon cisaille, la tôle mate. » Deux mécanismes, deux matériaux, deux résistances — et jamais d'interversion possible.
- L'impact direct : Surestimer la pression diamétrale d'un facteur deux revient à croire que le boulon gouverne alors que c'est la tôle. On dimensionne alors le mauvais composant : on augmente le diamètre des boulons quand il aurait fallu épaissir le plat ou allonger la pince.
Exécution de la Note de Calculs
- Résistance ultime de la tôle : \( f_{\text{u}} = 360\ \text{MPa} = 360\ \text{N}/\text{mm}^2 \) — celle de l'acier S235, pas du boulon.
- Diamètre et épaisseur : donnés en millimètres, leur produit donne une surface en \( \text{mm}^2 \).
- Coefficients \( k_1 \) et \( \alpha_{\text{b}} \) : issus de la question 1, sans dimension.
- Produit \( k_1 \alpha_{\text{b}} f_{\text{u}} d t \) : sort en newtons, à diviser par 1 000 pour obtenir des kN.
- Comparaison finale : les deux résistances doivent être exprimées dans la même unité avant d'en prendre le minimum.
Trois étapes composent cette question : la résistance du boulon d'extrémité, celle du boulon intérieur pour comparaison, puis la désignation du mode de ruine gouvernant.
1. Résolution Numérique Pression diamétrale au droit du boulon d'extrémitéPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le boulon le plus défavorisé de la file : il ne dispose que de sa pince pour s'appuyer, là où les autres bénéficient du pas.
On applique l'expression du tableau 3.4 avec le coefficient \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}606 \) établi en question 1, le coefficient \( k_1 = 2{,}5 \) saturé, et les caractéristiques de la tôle.
- Substitution : On injecte \( k_1 = 2{,}5 \), \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}606 \), \( f_{\text{u}} = 360\ \text{MPa} \), \( d = 20\ \text{mm} \), \( t = 12\ \text{mm} \) et \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \).
- Piège évité : Employer \( f_{\text{u}} \) de la tôle et non \( f_{\text{ub}} \) du boulon. La confusion majorerait le résultat d'un facteur 2,2 et masquerait le mode de ruine réel.
- Hypothèse validée : L'assemblage est à simple recouvrement : chaque plat reprend la totalité de l'effort, et l'épaisseur à retenir est celle d'un plat, soit 12 mm.
- Vérification croisée : Le produit \( d \times t = 240\ \text{mm}^2 \) est la surface projetée de contact. Multipliée par \( f_{\text{u}} \), elle donne 86,4 kN avant application des coefficients.
- Finalité : Obtenir la résistance à la pression diamétrale du boulon le plus défavorisé, à comparer au cisaillement.
104,7 kN pour le boulon d'extrémité. La valeur est supérieure à la résistance au cisaillement de 94,08 kN, ce qui laisse présager que c'est le boulon, et non la tôle, qui gouvernera.
- Ordre de grandeur : 104,7 kN pour un M20 dans une tôle S235 de 12 mm : l'ordre de grandeur est cohérent avec les valeurs usuelles des assemblages de charpente.
- Impact sur la suite : Cette valeur sera comparée aux 94,08 kN du cisaillement pour désigner le mode gouvernant du boulon.
- Cohérence : Avec une valeur supposée \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}73 \), on obtenait 126,1 kN — soit 20 % de plus, sur un coefficient inventé.
- Attention : L'écart entre les deux modes n'est que de 11 % : l'assemblage est bien équilibré, aucun composant n'est franchement surdimensionné.
- Comparaison : Porter la pince \( e_1 \) de 40 à 50 mm relèverait \( \alpha_{\text{b}} \) à 0,758 et la résistance à 131 kN, éloignant nettement ce mode du cisaillement.
Remarque pédagogique : L'écart de 20 % entre le coefficient calculé et une valeur posée au jugé mérite qu'on s'y arrête, car il illustre le coût réel d'une supposition. Poser \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}73 \) au lieu de le calculer ne changeait pas la conclusion de cet exercice — le cisaillement gouverne dans les deux cas — mais c'est une coïncidence. Avec une pince de 30 mm, \( \alpha_{\text{b}} \) tomberait à 0,455 et la pression diamétrale à 78,6 kN : elle deviendrait alors le mode gouvernant, et le dimensionnement basé sur la valeur supposée serait non sécuritaire de 33 %. Un coefficient qu'on suppose est un coefficient qu'on ne maîtrise pas.
Pression diamétrale au droit d'un boulon intérieurPourquoi fait-on ce calcul ? Pour vérifier que le boulon d'extrémité est bien le plus défavorisé, et mesurer l'écart entre les deux positions.
On reprend la même expression avec le coefficient \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}659 \) du boulon intérieur, tous les autres paramètres restant identiques.
- Substitution : On remplace \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}606 \) par \( 0{,}659 \), valeur calculée en question 1 à partir du pas \( p_1 = 60\ \text{mm} \).
- Piège évité : Ne pas modifier \( k_1 \) : il dépend de la pince transversale \( e_2 \), identique pour tous les boulons de la file, et reste donc saturé à 2,5.
- Hypothèse validée : Tous les boulons reprennent la même part d'effort, la longueur d'assemblage restant inférieure à \( 15\,d \) — ce qui sera vérifié en question 4.
- Vérification croisée : Le rapport des deux résistances doit valoir celui des deux coefficients : \( 0{,}659/0{,}606 = 1{,}087 \), soit 8,7 % d'écart.
- Finalité : Confirmer que le boulon d'extrémité est le maillon faible et justifier de l'avoir retenu pour le dimensionnement.
Le boulon intérieur est plus résistant de 8,7 %, ce qui confirme que c'est bien celui d'extrémité qu'il faut retenir pour le dimensionnement de toute la file.
- Ordre de grandeur : 113,9 contre 104,7 kN : l'écart de 8,7 % correspond exactement au rapport des deux coefficients \( \alpha_{\text{b}} \), ce qui valide le calcul.
- Impact sur la suite : C'est la valeur du boulon d'extrémité, 104,7 kN, qui sera comparée au cisaillement. Le dimensionnement retient toujours le maillon le plus faible.
- Cohérence : L'écart est modeste parce que le pas de 60 mm n'excède la pince de 40 mm que de 50 %, et que le terme correctif \( -1/4 \) rogne une partie de cet avantage.
- Attention : Sur une file où le pas serait très supérieur à la pince, l'écart entre les deux positions deviendrait important et le boulon d'extrémité pénaliserait fortement l'ensemble.
- Comparaison : Avec un pas porté à 80 mm, le boulon intérieur atteindrait \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}962 \) et 166 kN — mais l'extrémité resterait à 104,7 kN et continuerait de gouverner seule.
Remarque pédagogique : Cette comparaison éclaire une règle de conception souvent ignorée : sur un assemblage dont la pression diamétrale gouverne, augmenter le pas ne sert à rien. Seul le boulon d'extrémité compte, et sa résistance ne dépend que de la pince \( e_1 \). C'est vers elle qu'il faut porter l'effort — et le gain est direct, puisque \( \alpha_{\text{b}} \) lui est proportionnel jusqu'au plafond de 1,0. Dix millimètres de pince supplémentaires valent ici 25 % de résistance, pour un coût de matière négligeable. C'est le genre d'arbitrage qu'un dessinateur ne peut pas faire seul : il faut que le calculateur le lui indique.
Désignation du mode de ruine gouvernantPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la résistance de calcul d'un boulon est le minimum de ses deux modes de ruine, et que cette désignation indique où porter l'effort si l'assemblage doit être renforcé.
On compare la résistance au cisaillement établie en question 2 à la résistance à la pression diamétrale du boulon le plus défavorisé, et l'on retient la plus faible des deux.
- Substitution : On confronte \( F_{\text{v},\text{Rd}} = 94{,}08\ \text{kN} \) et \( F_{\text{b},\text{Rd}} = 104{,}7\ \text{kN} \), toutes deux exprimées en kilonewtons.
- Piège évité : Ne pas additionner les deux résistances. Ce sont deux modes de ruine concurrents, pas deux contributions qui s'ajouteraient.
- Hypothèse validée : Les deux résistances portent bien sur le même boulon et la même configuration : un plan de cisaillement, tôle de 12 mm, boulon d'extrémité.
- Vérification croisée : L'écart de 11 % entre les deux valeurs signale un assemblage bien équilibré, où ni le boulon ni la tôle n'est franchement surdimensionné.
- Finalité : Obtenir la résistance de calcul d'un boulon, qui servira à déterminer leur nombre en question 4.
Le cisaillement du boulon gouverne, avec 94,08 kN contre 104,7 kN pour la pression diamétrale. L'écart de 11 % est faible : l'assemblage est bien proportionné.
- Ordre de grandeur : 94,08 kN par boulon, soit un peu plus de neuf tonnes. Avec 350 kN à reprendre, il en faudra manifestement quatre.
- Impact sur la suite : C'est cette valeur qui divisera l'effort total pour donner le nombre de boulons. Elle fixe aussi le levier de renforcement : boulon plus gros ou double recouvrement.
- Cohérence : Un écart de 11 % entre les deux modes est le signe d'un assemblage bien conçu. Un écart de 100 % signalerait un composant largement surdimensionné.
- Attention : Le cisaillement est un mode de ruine fragile : il sectionne sans prévenir. Certains concepteurs préfèrent que la pression diamétrale gouverne, pour son caractère ductile.
- Comparaison : En double recouvrement, le cisaillement passerait à 188,2 kN et la pression diamétrale deviendrait gouvernante à 104,7 kN — inversant le mécanisme et le rendant ductile.
Remarque pédagogique : La désignation du mode gouvernant n'est pas qu'un résultat de calcul : c'est une information de conception. Elle dit où porter l'effort si l'assemblage doit être renforcé — un boulon plus gros ou un double recouvrement si le cisaillement gouverne, une pince plus grande ou une tôle plus épaisse si c'est la pression diamétrale. Elle dit aussi comment l'assemblage cédera le jour où il cédera : net et sans prévenir dans le premier cas, par ovalisation progressive et visible dans le second. Sur un ouvrage exploité, cette seconde information vaut parfois plus que la première, et il arrive qu'on conçoive délibérément l'assemblage pour que la tôle mate avant que le boulon ne casse.
"Le nombre de boulons est une division suivie d'un arrondi : c'est la partie facile. Ce qui l'est moins, c'est de se souvenir qu'un assemblage ne se résume pas à ses boulons. Le plat lui-même est percé, donc affaibli, et il peut très bien se déchirer dans sa section réduite avant que les boulons ne cèdent. C'est le mode de ruine qu'on oublie le plus souvent, parce qu'on s'arrête au nombre de boulons. Je vais donc vérifier le plat sous ses deux modes : plastification de la section brute, loin des trous, et rupture de la section nette, au droit du premier perçage. Et je pressens que c'est là que se jouera la marge réelle."
- Observation : Un plat de 140 mm de large percé de trous de 22 mm : la section utile au droit d'un perçage n'est plus que de 118 mm de large, soit 16 % de matière en moins. Cette réduction ne peut pas être ignorée.
- Analyse du risque : S'arrêter au nombre de boulons est le défaut le plus répandu. Un assemblage dont les boulons tiennent mais dont la tôle se déchire dans sa section affaiblie n'est pas un assemblage vérifié — et c'est précisément ce qui gouverne ici.
- Choix stratégique : Vérifier le plat sous ses deux modes de ruine, puis dresser un tableau de synthèse couvrant les quatre mécanismes examinés. C'est ce tableau qui dit où se situe la vraie marge.
- Alternative : On pourrait décaler les trous en quinconce pour allonger le chemin de rupture et récupérer de la section nette. La NF EN 1993-1-1 art. 6.2.2.2 le permet, avec un terme correctif en \( s^2/4p \).
- Objectif visé : Conclure sur le nombre de boulons et sur la validité de l'assemblage dans son ensemble, en désignant le mode de ruine réellement gouvernant.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Un assemblage boulonné comporte deux familles de composants : les organes — les boulons — et les pièces assemblées — les plats. Les deux se vérifient séparément, et il arrive fréquemment que ce soient les secondes qui gouvernent.
Quatre relations composent cette dernière étape : le nombre de boulons, la limite de longueur d'assemblage, et les deux modes de ruine du plat. Chacune fait l'objet d'un bloc distinct.
Nombre de boulons nécessaires :Elle traduit l'effort à reprendre en un nombre entier d'organes.
Parce que la résistance du groupe est additive : chaque boulon reprend la même part, et il en faut assez pour que la somme couvre l'effort. C'est la conclusion opérationnelle de tout le calcul qui précède.
- \( n \) : nombre de boulons nécessaires, arrondi à l'entier supérieur, unité : sans dimension
- \( F_{\text{Ed}} \) : effort de traction de calcul à reprendre, unité : \( \text{kN} \)
- \( F_{\text{Rd}} \) : résistance de calcul du boulon le plus faible, unité : \( \text{kN} \)
Elle borne la longueur au-delà de laquelle la répartition uniforme cesse d'être admise.
Parce que l'additivité des résistances repose sur une hypothèse qui a ses limites. Sur une file longue, ajouter des boulons rapporte de moins en moins, et la norme impose alors un abattement.
- \( L_{\text{j}} \) : longueur d'assemblage entre axes des boulons extrêmes, unité : \( \text{mm} \)
- \( n \) : nombre de boulons de la file, unité : sans dimension
- \( p_1 \) : pas entre boulons consécutifs, unité : \( \text{mm} \)
- \( d \) : diamètre nominal du boulon, unité : \( \text{mm} \)
Elle donne la résistance du plat en dehors de la zone percée.
Parce que le plat doit résister sur toute sa longueur, y compris loin des trous. C'est le mode de ruine ductile du plat, celui qui se manifeste par un allongement visible avant toute rupture.
- \( N_{\text{pl},\text{Rd}} \) : résistance plastique de calcul de la section brute, unité : \( \text{N} \)
- \( A \) : aire de la section brute du plat, unité : \( \text{mm}^2 \)
- \( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de l'acier, unité : \( \text{MPa} \)
- \( \gamma_{\text{M0}} \) : coefficient partiel de résistance des sections, unité : sans dimension
Elle donne la résistance du plat au droit de la zone percée.
Parce que le trou retire de la matière et crée une concentration de contraintes. C'est le mode de ruine qu'on oublie le plus souvent, et c'est pourtant lui qui gouverne cet assemblage.
- \( N_{\text{u},\text{Rd}} \) : résistance ultime de calcul de la section nette, unité : \( \text{N} \)
- \( A_{\text{net}} \) : aire nette de la section, trous déduits, unité : \( \text{mm}^2 \)
- \( b \) : largeur du plat, unité : \( \text{mm} \)
- \( d_0 \) : diamètre du trou de perçage, unité : \( \text{mm} \)
- \( f_{\text{u}} \) : résistance ultime de l'acier du plat, unité : \( \text{MPa} \)
"Beaucoup d'énoncés s'arrêtent au nombre de boulons et ne vérifient jamais le plat percé…"
- L'erreur : Conclure « 4 boulons, assemblage vérifié » sans regarder le plat. Ici, la section nette travaille à 95,4 % contre 93,0 % pour le groupe de boulons : c'est le plat qui cédera le premier, et on l'aurait ignoré.
- La bonne méthode : Vérifier quatre mécanismes : cisaillement du boulon, pression diamétrale de la tôle, plastification de la section brute et rupture de la section nette. Le tableau de synthèse les rassemble et désigne le gouvernant.
- L'astuce de pro : Retenir que la section nette gouverne souvent en S235, où le rapport \( f_{\text{u}}/f_{\text{y}} = 1{,}53 \) est faible. En S355, où il tombe à 1,32, elle gouverne encore plus fréquemment.
- Le moyen mnémotechnique : « On vérifie les organes et les pièces. » Un boulon qui tient dans une tôle qui se déchire n'a servi à rien — et l'inverse est tout aussi vrai.
- L'impact direct : Ignorer la section nette conduit à choisir un plat trop étroit. Le désordre se manifeste par une déchirure amorcée au bord d'un trou, sans avertissement, puisque le mode est fragile.
Exécution de la Note de Calculs
- Effort de calcul : \( F_{\text{Ed}} = 350\ \text{kN} \), à comparer à des résistances exprimées dans la même unité.
- Largeur et épaisseur : données en millimètres, leur produit donne une aire en \( \text{mm}^2 \).
- Aire nette : \( (b - d_0) \, t \) avec le diamètre du trou \( d_0 = 22\ \text{mm} \), pas celui du boulon.
- Résistances du plat : produits \( \text{mm}^2 \times \text{MPa} \), donc en newtons, à diviser par 1 000.
- Longueur d'assemblage : \( L_{\text{j}} \) en millimètres, à comparer à \( 15\,d = 300\ \text{mm} \).
Quatre étapes closent l'étude : le nombre de boulons, le contrôle de la longueur d'assemblage, les deux modes de ruine du plat, puis la synthèse des taux de travail.
1. Résolution Numérique Nombre de boulons et contrôle de la longueur d'assemblagePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le livrable annoncé de l'exercice, et parce que le nombre obtenu conditionne la longueur de la file, dont la norme borne l'étendue.
On divise l'effort de calcul par la résistance du boulon le plus faible, on arrondit à l'entier supérieur, puis on vérifie que la file ainsi constituée n'excède pas quinze diamètres.
- Substitution : On injecte \( F_{\text{Ed}} = 350\ \text{kN} \) et \( F_{\text{Rd}} = 94{,}08\ \text{kN} \), résistance du boulon établie en question 3.
- Piège évité : Arrondir à l'entier supérieur, jamais par défaut. Trois boulons ne reprendraient que 282 kN, soit 68 kN de moins que l'effort à transmettre.
- Hypothèse validée : La répartition est supposée uniforme entre les boulons, hypothèse que le contrôle de longueur va précisément valider.
- Vérification croisée : La résistance du groupe vaut \( 4 \times 94{,}08 = 376{,}3\ \text{kN} \), à comparer aux 350 kN à reprendre — soit un taux de 93,0 %.
- Finalité : Fixer le nombre de boulons à porter sur le plan, et valider l'hypothèse de répartition uniforme sur laquelle repose tout le calcul.
Quatre boulons M20 de classe 8.8, et une longueur d'assemblage de 180 mm bien en deçà de la limite de 300 mm. L'hypothèse de répartition uniforme est donc justifiée.
- Ordre de grandeur : 3,72 arrondi à 4 : le taux de travail du groupe s'établit à 93,0 %, ce qui traduit un assemblage bien ajusté compte tenu du caractère entier du nombre de boulons.
- Impact sur la suite : Quatre boulons signifient quatre trous dans le plat, mais un seul par section transversale puisque la file est unique. C'est cette section qu'il faut maintenant vérifier.
- Cohérence : La longueur d'assemblage ne représente que 60 % de la limite : on pourrait ajouter deux boulons de plus avant que l'abattement \( \beta_{\text{Lf}} \) n'entre en jeu.
- Attention : Le nombre obtenu ne vaut que pour le mode de ruine du boulon. La résistance du plat reste entièrement à vérifier, et elle pourrait imposer une section plus large.
- Comparaison : En double recouvrement, la résistance par boulon passerait à 104,7 kN — plafonnée par la pression diamétrale — et il n'en faudrait plus que quatre également. Le gain serait nul ici.
Remarque pédagogique : Le taux de 93,0 % illustre une contrainte propre aux assemblages : le nombre de boulons est nécessairement entier. On ne peut pas ajuster finement la résistance comme on ajuste une section de poutre en changeant de profilé — les paliers sont larges. Avec trois boulons on serait à 124 % de la capacité, avec quatre on descend à 93 %, avec cinq on tomberait à 74 %. Cette discrétisation explique pourquoi les taux de travail des assemblages sont rarement optimaux, et pourquoi on ne cherche pas à les optimiser au-delà d'un certain point : le coût d'un boulon supplémentaire est négligeable devant celui d'une reprise.
Plastification de la section brute du platPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le plat doit résister en dehors de la zone percée, où il travaille sur sa pleine section. C'est le premier des deux modes de ruine du plat.
On calcule l'aire brute du plat à partir de sa largeur et de son épaisseur, puis on applique l'expression de l'équation (6.6) avec la limite d'élasticité et le coefficient \( \gamma_{\text{M0}} \).
- Substitution : On injecte \( b = 140\ \text{mm} \), \( t = 12\ \text{mm} \), \( f_{\text{y}} = 235\ \text{MPa} \) et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \).
- Piège évité : Employer la limite d'élasticité \( f_{\text{y}} \) et non la résistance ultime. Ce mode vérifie que la section ne plastifie pas, pas qu'elle ne rompt pas.
- Hypothèse validée : Le plat travaille en traction pure, sans flexion associée. L'excentricité propre au simple recouvrement est négligée, comme le fait l'usage courant sur ce type d'assemblage.
- Vérification croisée : Le coefficient partiel vaut 1,00 pour ce mode ductile, contre 1,25 pour la rupture fragile de la section nette. L'écart traduit la différence de comportement.
- Finalité : Obtenir la première des deux résistances du plat, à comparer à celle de la section nette.
394,8 kN de résistance pour 350 kN à reprendre, soit un taux de 88,7 %. La section brute passe, avec une marge de 11 %.
- Ordre de grandeur : 394,8 kN pour un plat de 1 680 mm² en S235 : la contrainte moyenne atteint 208 MPa, soit 89 % de la limite d'élasticité.
- Impact sur la suite : Ce résultat devra être comparé à celui de la section nette, qui mobilise une aire réduite mais une résistance ultime supérieure.
- Cohérence : Le taux de 88,7 % est inférieur à celui du groupe de boulons, 93,0 % : sur ce seul mode, le plat serait moins critique que la boulonnerie.
- Attention : Ce mode ne concerne que les sections non percées. Au droit d'un trou, c'est l'aire nette qu'il faut employer, avec une expression différente.
- Comparaison : En acier S355, la résistance monterait à 596 kN et le taux tomberait à 59 % : ce mode cesserait complètement d'être un enjeu.
Remarque pédagogique : Ce mode de ruine est le seul de tout l'exercice à ne subir aucune minoration — son coefficient partiel vaut 1,00. La raison tient à son caractère ductile : une section qui plastifie s'allonge de plusieurs pour cent avant de rompre, ce qui donne un avertissement visible et permet, dans une structure hyperstatique, une redistribution des efforts vers les éléments voisins. L'Eurocode récompense cette qualité. À l'inverse, tous les modes de ruine fragiles — cisaillement du boulon, rupture de la section nette — subissent \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \). Cette hiérarchie n'est pas arbitraire : elle traduit une préférence explicite du normalisateur pour les mécanismes qui préviennent avant de céder.
Rupture de la section nette au droit d'un perçagePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le trou réduit la section et concentre les contraintes. C'est le mode de ruine le plus souvent omis des notes de calculs, et il se révèle ici le plus critique de tous.
On déduit l'aire d'un trou de la section brute — un seul par section transversale, la file étant unique — puis on applique l'expression de l'équation (6.7) avec la résistance ultime, le coefficient 0,9 et \( \gamma_{\text{M2}} \).
- Substitution : On injecte \( b = 140 \), \( d_0 = 22 \), \( t = 12\ \text{mm} \), \( f_{\text{u}} = 360\ \text{MPa} \) et \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \).
- Piège évité : Déduire le diamètre du trou \( d_0 = 22\ \text{mm} \) et non celui du boulon. L'écart de 2 mm représente 24 mm² d'aire, soit 1,4 % de la section.
- Hypothèse validée : La file étant unique, une seule section transversale passe par un seul trou. Avec plusieurs rangées, il faudrait déduire tous les trous du plan de rupture considéré.
- Vérification croisée : Le coefficient 0,9 n'est pas facultatif : il tient compte de la concentration de contraintes autour du trou et de l'excentricité locale du flux d'efforts.
- Finalité : Obtenir la seconde résistance du plat et désigner celle qui gouverne entre section brute et section nette.
367,0 kN, soit un taux de travail de 95,4 %. C'est le mode le plus critique de tout l'assemblage — plus critique que les boulons eux-mêmes, à 93,0 %.
- Ordre de grandeur : 367,0 kN contre 394,8 pour la section brute : la section nette gouverne de 7 %, malgré une résistance ultime supérieure de 53 % à la limite d'élasticité.
- Impact sur la suite : Avec 95,4 %, ce mode devient le point faible de l'assemblage. C'est vers lui qu'il faudrait porter l'effort si le projet évoluait.
- Cohérence : Le cumul est défavorable : section réduite de 16 %, coefficient partiel porté à 1,25 et facteur 0,9. Ces trois pénalités l'emportent sur le gain de \( f_{\text{u}} \) par rapport à \( f_{\text{y}} \).
- Attention : Le mode est fragile : la rupture s'amorce au bord du trou sans allongement préalable notable. Il ne prévient pas, contrairement à la plastification de la section brute.
- Comparaison : Élargir le plat à 150 mm porterait la résistance à 398 kN et le taux à 88 %, ramenant ce mode au niveau des autres. Dix millimètres suffiraient.
Remarque pédagogique : Ce résultat est la découverte de l'exercice, et il justifie à lui seul d'avoir ajouté cette vérification. Le rapport \( f_{\text{u}}/f_{\text{y}} \) vaut 1,53 en S235, ce qui paraît confortable — mais il est entièrement consommé par le cumul des trois pénalités : réduction de section de 16 %, coefficient partiel de 1,25 au lieu de 1,00, et facteur 0,9. Le calcul complet donne \( 1{,}53 \times 0{,}84 \times 0{,}8 \times 0{,}9 = 0{,}93 \) : la section nette ne vaut que 93 % de la section brute. En S355, où le rapport tombe à 1,32, elle serait encore plus défavorable. Retenez la règle : plus l'acier est résistant, plus la section nette pénalise.
Synthèse des quatre modes de ruinePourquoi fait-on ce calcul ? Pour clore la note par un tableau qui dise d'un coup d'œil si l'assemblage est vérifié, quel mécanisme le gouverne, et quelle réserve il conserve.
On rassemble les quatre taux de travail calculés, on identifie le plus élevé, et l'on conclut sur la validité de l'assemblage et sur le levier de renforcement pertinent.
- Substitution : On confronte les quatre résistances à l'effort de 350 kN : groupe de boulons 376,3 kN, section brute 394,8 kN, section nette 367,0 kN.
- Piège évité : Ne pas comparer les résistances entre elles mais les taux de travail : ce sont eux qui sont homogènes et directement comparables.
- Hypothèse validée : Les quatre modes sont indépendants : ils ne se cumulent pas et le premier atteint provoque la ruine, quel que soit l'état des autres.
- Vérification croisée : Tous les taux doivent être inférieurs à l'unité pour que l'assemblage soit vérifié. Un seul dépassement suffirait à le rejeter.
- Finalité : Statuer définitivement sur la validité de l'assemblage et désigner le mécanisme qui cédera le premier.
Les quatre modes sont vérifiés, mais c'est la section nette du plat qui gouverne à 95,4 % — devant le cisaillement des boulons à 93,0 %. Le point faible n'est donc pas la boulonnerie mais la tôle.
- Ordre de grandeur : Les quatre taux s'échelonnent de 83,6 % à 95,4 % : l'assemblage est remarquablement équilibré, aucun composant n'étant franchement surdimensionné.
- Impact sur la suite : La marge résiduelle n'est que de 4,6 %. L'assemblage ne supporterait aucune augmentation significative de l'effort sans reprise du plat.
- Cohérence : La pression diamétrale, à 83,6 %, est le mode le moins sollicité — cohérent avec le fait qu'elle ne gouvernait déjà pas au niveau du boulon isolé.
- Attention : Le mode gouvernant est fragile : il rompt sans prévenir. Un concepteur soucieux de robustesse chercherait à ce qu'un mode ductile cède en premier.
- Comparaison : Élargir le plat de 140 à 150 mm ferait tomber le taux de section nette à 88 % et rendrait le cisaillement gouvernant, sans changer un seul boulon.
Remarque pédagogique : Ce tableau porte deux enseignements qui dépassent l'exercice. Le premier est que le mode gouvernant n'est pas celui qu'on attend : on dimensionne des boulons, et c'est la tôle qui cède. Le second concerne la nature du mode gouvernant. La section nette rompt de façon fragile, sans avertissement — alors que la plastification de la section brute, à 88,7 %, préviendrait par un allongement visible. Un concepteur attentif à la robustesse chercherait donc à inverser la hiérarchie, en élargissant légèrement le plat pour que le mode ductile soit atteint en premier. Dix millimètres de largeur suffiraient. C'est le genre d'arbitrage que seul un tableau de synthèse complet permet de poser.
BILAN FINAL DE LA MISSION
Checklist d'Auto-Évaluation
Avant de clore cette étude, vérifiez que vous avez assimilé la démarche complète, des pinces au tableau de synthèse :
Avis technique — assemblage CONFORME avec quatre M20 de classe 8.8, mais sans réserve. Le mode de ruine du boulon est le cisaillement, à 94,08 kN contre 104,7 kN pour la pression diamétrale : c'est lui qui fixe le nombre de boulons, et le groupe travaille à 93,0 %. Mais le point faible de l'ensemble n'est pas la boulonnerie. C'est la rupture de la section nette du plat, à 367,0 kN, dont le taux atteint 95,4 % : c'est la tôle qui commande, et ajouter un boulon n'améliorerait rien — cela retirerait au contraire de la matière. Une réserve conditionne cet avis : avec 4,6 % de marge sur le composant gouvernant, toute évolution de l'effort transmis imposerait d'élargir le plat ou de l'épaissir, et non de multiplier les boulons. Deux vérifications restent hors périmètre : la rupture de bloc en about de plat, et le glissement à l'ELS si l'assemblage devait être classé résistant au glissement.
La plus-value technique de cette étude tient précisément là : elle ne se contente pas de compter des boulons, elle vérifie la pièce qu'ils traversent, montre que c'est elle qui gouverne, et en tire la bonne conclusion sur le levier à employer.
