Calcul du gisement et de la distance
Passer des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires — et contrôler le gisement par un chemin qui ne pardonne rien
Contexte de l'Étude & Enjeux
Le Contexte : Deux bornes, quatre nombres. À partir de là, il faut produire les deux grandeurs dont vit toute la topographie : une distance et un gisement. C'est le passage des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires, et c'est l'opération la plus fréquente du métier — celle qu'on refait des dizaines de fois par cheminement.
Sa banalité est trompeuse. La distance ne pose aucune difficulté : Pythagore, et le résultat est robuste. Le gisement, lui, concentre trois pièges à la fois — le sens de la soustraction, la correction de quadrant, et le mode de la calculatrice. Et surtout, il se contrôle mal : un résultat faux reste souvent parfaitement plausible.
Quatre points à poser avant le premier calcul. Le troisième est celui qui distingue une note de calculs d'un brouillon :
-
Arrivée moins départ : les deltas sont les composantes d'un vecteur orienté. Inverser la soustraction ne change pas la distance, mais retourne le gisement de 200 gon — une erreur qui envoie exactement à l'opposé.
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L'arc tangente ne sait pas tout : elle ne rend qu'un angle entre −100 et +100 gon, alors que le cercle en compte 400. Les signes des deux deltas — et eux seuls — disent quelle constante ajouter.
-
Un contrôle qui ne pardonne rien : vérifier que le gisement « tombe dans le bon quadrant » valide n'importe quelle valeur sur cent grades de large. Le seul contrôle sérieux est le retour aux coordonnées : \( D \sin G \) doit redonner \( \Delta X \), et \( D \cos G \) doit redonner \( \Delta Y \).
-
Une distance plane n'est pas une distance de terrain : Pythagore appliqué à des coordonnées projetées rend une distance dans le plan de projection. Le Lambert 93 déforme les longueurs, et il faut savoir de combien.
Un géomètre doit déterminer la longueur et l'orientation de la limite matérialisée par les bornes A et B, dont il connaît les coordonnées. Vous devez calculer les deltas, la distance, le gisement — et démontrer que le gisement est juste au lieu de le déclarer plausible.
- Le grand défi : Le contrôle du gisement. Une erreur d'un demi-grade reste invisible à tout contrôle par quadrant, et déplace pourtant le point de plusieurs mètres à quelques centaines de mètres de portée.
- Votre rôle : Livrer une distance et un gisement contrôlés, avec leur incertitude et la nature exacte de la distance calculée.
- Les différences de coordonnées avec leur signe, et le quadrant qui en découle.
- La distance horizontale, encadrée avant calcul et contrôlée par un second chemin.
- Le gisement en grades, avec sa correction de quadrant et un contrôle par retour aux coordonnées.
- L'incertitude de la distance et du gisement, et l'écart entre distance plane et distance de terrain.
Deux familles de données seulement. Les quatre coordonnées viennent du levé : ce sont des mesures, écrites au centimètre. Les paramètres de la classe de précision viennent de l'arrêté du 16 septembre 2003 : ce sont des constantes réglementaires, et c'est d'elles que sortira la qualité du résultat.
Une précision d'honnêteté sur l'unité employée : aucun document du dossier de normes ne définit le grade ni le gisement. Le tour à 400 gon et la mesure horaire depuis le Nord sont traités comme des définitions. Le seul appui documentaire disponible est l'aide géodésique de l'IGN, qui publie ses latitudes d'origine simultanément en grades et en degrés — un constat d'usage, pas une prescription.
Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)
Six relations. Les quatre premières produisent les résultats ; les deux dernières les contrôlent et les qualifient, ce qui est le vrai sujet de cette note.
- Différences de coordonnées \( \Delta X = X_{\text{B}} - X_{\text{A}} \) et \( \Delta Y = Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}} \)
- Distance horizontale \( D_{\text{AB}} = \sqrt{\Delta X^{2} + \Delta Y^{2}} \)
- Gisement, avec correction de quadrant \( G_{\text{AB}} = \arctan\left( \dfrac{\Delta X}{\Delta Y} \right) + C \)
- Gisement inverse \( G_{\text{BA}} = G_{\text{AB}} + 200 \ \text{gon} \)
- Contrôle par retour aux coordonnées \( \Delta X = D \sin G \) et \( \Delta Y = D \cos G \)
- Retour à la distance de terrain \( D_{\text{terrain}} = \dfrac{D_{\text{plan}}}{1 + m} \)
COORDONNÉES DES DEUX BORNES
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( X_{\text{A}} \) | Abscisse de la borne A, vers l'Est | 520,45 | m |
| \( Y_{\text{A}} \) | Ordonnée de la borne A, vers le Nord | 1350,78 | m |
| \( X_{\text{B}} \) | Abscisse de la borne B, point d'arrivée du vecteur | 735,12 | m |
| \( Y_{\text{B}} \) | Ordonnée de la borne B | 1180,25 | m |
| — | Sens du calcul demandé, qui fixe l'ordre de la soustraction | de A vers B | — |
- Nature : des mesures, pas des nombres exacts. Les deux décimales indiquent le pas d'écriture, elles ne certifient aucune précision.
- Orientation des axes : \( X \) vers l'Est, \( Y \) vers le Nord. C'est un repère direct, et le gisement s'y mesure depuis le Nord dans le sens horaire — donc rétrograde par rapport au sens trigonométrique.
- Système : on parle parfois d'un « système de projection local ». Aucun système local n'a de valeur légale : le décret n° 2006-272 impose le RGF93 et la projection Lambert 93 en France métropolitaine.
- Conséquence : distance et gisement sont invariants par translation des coordonnées. Les valeurs de l'énoncé se lisent donc comme des coordonnées relatives, sans que cela change quoi que ce soit aux résultats.
PARAMÈTRES DE QUALITÉ ET DE PROJECTION
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( k \) | Coefficient de fiabilité en planimétrie, pour \( n = 2 \) dimensions Arrêté 16 sept. 2003 | 2,42 | — |
| \( [xx] \) et \( C \) | Classe de précision planimétrique annoncée et coefficient de sécurité Arrêté 16 sept. 2003 | [2] et 2 | cm et — |
| \( \sigma \) | Écart-type retenu sur chaque coordonnée, pris égal à la classe annoncée | 2 | cm |
| \( m \) | Altération linéaire de la projection Lambert 93, plage publiée DT-DICT fasc. 2, p. 73 | −1 à +3 | m/km |
| — | Tour complet en grades, définition de l'unité d'angle | 400 | gon |
- Projection horizontale : le calcul ne porte que sur \( X \) et \( Y \). Aucune altitude n'étant fournie, la distance obtenue est horizontale et non la distance suivant la pente.
- Mode de la calculatrice : tous les angles sont en grades. C'est la source d'erreur numéro un de cet exercice, et elle ne se voit pas sur le résultat.
- Erreurs indépendantes : pour la propagation de la question 4, les quatre coordonnées sont supposées entachées d'erreurs indépendantes et de même écart-type — hypothèse d'école, favorable, explicitée comme telle.
- Altération constante : sur les quelques centaines de mètres de l'exercice, l'altération linéaire est supposée constante. Seules les bornes publiées sont exploitées, jamais une valeur calculée en un point.
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)
Le calcul lui-même est mathématique : aucune norme ne prescrit Pythagore ni l'arc tangente. En revanche, trois documents du dossier déterminent la signification et la qualité des deux nombres obtenus.
Décret n° 2006-272 du 3 mars 2006, article 1er — références géodésiques légales| Zone | Système · ellipsoïde · projection |
|---|---|
| France métropolitaine | RGF93 · IAG GRS 1980 · Lambert 93 |
| Guadeloupe, Martinique | WGS84 · IAG GRS 1980 · Coniques conformes 9 zones |
| Guyane · La Réunion | RGFG95 · UTM Nord fuseau 22 · RGR92 · UTM Sud fuseau 40 |
| Projection | Altération linéaire |
|---|---|
| Lambert 93, projection légale unique | de −1 m/km à un peu plus de +3 m/km |
| Coniques conformes CC42 à CC50, 9 zones | inférieure à 10 cm/km |
| Élément | Expression ou valeur |
|---|---|
| Coefficient de fiabilité \( k \) | 3,23 si \( n = 1 \) · 2,42 si \( n = 2 \) · 2,11 si \( n = 3 \) |
| Tolérance individuelle | \( T = k \times [xx] \times \left( 1 + \dfrac{1}{2C^{2}} \right) \) |
3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé
Quatre étapes. Les deux premières sont sûres : une soustraction, une racine carrée, et des contrôles simples. La troisième est celle où tout se joue — c'est là que l'arc tangente, la correction de quadrant et le mode de la calculatrice se liguent. La quatrième dit ce que valent réellement les deux nombres livrés.
Question 1 : Les différences de coordonnées et le quadrant
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Les deltas sont les composantes d'un trajet : de combien faut-il se déplacer vers l'Est, puis vers le Nord, pour aller de A à B ? La règle tient en deux mots : arrivée moins départ.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Pour le quadrant : \( \Delta X \) positif signifie Est, négatif Ouest ; \( \Delta Y \) positif signifie Nord, négatif Sud. Les deux combinés donnent l'un des quatre quadrants, et donc l'intervalle du gisement.
Question 2 : La distance horizontale
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
L'hypoténuse d'un triangle rectangle est toujours plus grande que chacun des côtés de l'angle droit, et toujours plus petite que leur somme. Voilà l'encadrement, sans un seul calcul.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Pour le contrôle : en mettant \( \Delta Y^2 \) en facteur sous la racine, la distance s'écrit \( \left| \Delta Y \right| \sqrt{1 + t^{2}} \), où \( t \) est le rapport des deltas. Ce chemin n'élève qu'un seul nombre au carré.
Question 3 : Le gisement, et son contrôle par retour aux coordonnées
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
L'arc tangente ne rend qu'un angle entre −100 et +100 gon. La constante de quadrant — 0, 200 ou 400 — se lit dans les signes des deux deltas, et il n'y a pas d'autre façon de la trouver.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Pour le contrôle : si \( G \) est le bon gisement, alors \( D \sin G \) doit redonner exactement \( \Delta X \) et \( D \cos G \) redonner \( \Delta Y \), signes compris. Une erreur d'un demi-grade se voit immédiatement au décimètre.
Question 4 (Finale) : Que valent réellement ces deux nombres ?
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Chaque delta est une différence de deux coordonnées : son incertitude vaut donc \( \sigma\sqrt{2} \), et non \( \sigma \). C'est le point de départ de toute la propagation.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Pour le gisement : une incertitude transversale à la visée, divisée par la portée, donne directement l'incertitude angulaire en radians. Plus la visée est longue, mieux le gisement est déterminé.
Calcul du gisement et de la distance
"Deux soustractions, et pourtant tout l'exercice se joue ici. Ce ne sont pas les valeurs qui comptent le plus, ce sont les signes : ce sont eux, et eux seuls, qui décideront de la constante à ajouter au gisement. Une erreur de signe ne se rattrape jamais plus loin dans le calcul — elle se propage jusqu'au bout, en gardant l'air parfaitement normal."
- Observation : \( X_{\text{B}} \) est plus grand que \( X_{\text{A}} \), donc \( \Delta X \) sera positif. \( Y_{\text{B}} \) est plus petit que \( Y_{\text{A}} \), donc \( \Delta Y \) sera négatif. Je connais les deux signes avant d'avoir posé la moindre opération.
- Analyse du risque : Inverser la soustraction — faire départ moins arrivée — laisserait la distance inchangée et retournerait le gisement de 200 gon. C'est l'erreur parfaite : invisible sur un contrôle de distance, catastrophique sur l'orientation.
- Choix stratégique : Écrire les deux deltas avec leur signe explicite, et traduire chacun en direction cardinale. « +214,67 m » ne dit rien ; « 214,67 m vers l'Est » dit tout.
- Alternative : J'aurais pu déterminer le quadrant graphiquement, en plaçant les deux points sur un croquis. C'est une excellente vérification, mais la lecture des signes est infaillible, alors qu'un croquis mal orienté ne l'est pas.
- Objectif visé : Deux composantes signées, un quadrant nommé, et un encadrement du gisement de cent grades de large — qui servira de premier filtre en question 3.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Le repère planimétrique français place \( X \) vers l'Est et \( Y \) vers le Nord. Dessiné comme on le dessine toujours — \( X \) vers la droite, \( Y \) vers le haut — c'est le repère mathématique usuel. Ce qui change, c'est la façon de compter les angles : le gisement part du Nord et tourne dans le sens horaire, donc à l'envers du sens trigonométrique.
Deux soustractions. Leur simplicité ne doit pas masquer que l'ordre des termes y est tout aussi important que les valeurs.
Différence des abscisses :Elle donne le déplacement Est-Ouest du trajet.
Parce qu'un vecteur se définit par ses composantes, et qu'une composante est toujours une différence entre l'arrivée et le départ. L'ordre n'est pas une convention arbitraire : il porte l'orientation du trajet, et c'est cette orientation qui distingue le gisement de A vers B de celui de B vers A.
- \( \Delta X \) : composante Est-Ouest du vecteur AB, signée, unité : mètre
- \( X_{\text{B}} \) : abscisse du point d'arrivée, unité : mètre
- \( X_{\text{A}} \) : abscisse du point de départ, unité : mètre
Elle donne le déplacement Nord-Sud du même trajet.
Parce que la seconde composante est indispensable : à elle seule, l'une des deux ne dit rien de la direction. Et parce que c'est \( \Delta Y \) qui occupe le dénominateur de l'arc tangente en question 3 — position qui lui donne un rôle particulier, notamment quand il s'annule.
- \( \Delta Y \) : composante Nord-Sud du vecteur AB, signée, unité : mètre
- \( Y_{\text{B}} \) : ordonnée du point d'arrivée, unité : mètre
- \( Y_{\text{A}} \) : ordonnée du point de départ, unité : mètre
"Beaucoup d'étudiants inversent la soustraction et calculent le trajet de B vers A sans s'en apercevoir..."
- L'erreur : Écrire \( \Delta X = X_{\text{A}} - X_{\text{B}} \). On calcule alors le trajet de B vers A, ce qui n'est pas la question posée.
- La bonne méthode : Écrire le sens du trajet en toutes lettres avant de calculer : « de A vers B », et poser la soustraction dans cet ordre.
- L'astuce de pro : Contrôler par la lecture cardinale : B est-il vraiment à l'Est de A ? Au Sud ? Un croquis sommaire suffit à trancher.
- Le moyen mnémotechnique : « Arrivée moins départ ». Trois mots, et l'orientation est sauvée.
- L'impact direct : Un gisement faux de 200 gon envoie le point implanté diamétralement à l'opposé : à 274 m de portée, l'erreur de position atteint 548 m. C'est le genre de faute qui se voit sur le terrain — mais après coup.
Exécution de la Note de Calculs
- Les quatre coordonnées : en mètre, dans le même système
- Les deux deltas : en mètre, signés
- Le rapport des deltas : sans dimension, les mètres se simplifient
- Précision conservée : deux décimales, comme les données
Trois calculs : les deux composantes du vecteur, puis leur rapport — qui prépare directement l'arc tangente de la question 3 et fixe le quadrant.
1. Résolution Numérique Calcul 1 — composante Est-OuestPourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir le déplacement vers l'Est du trajet A vers B, première composante du vecteur.
Soustraction de l'abscisse de départ à l'abscisse d'arrivée, le signe étant conservé et commenté.
- Substitution : \( X_{\text{B}} = 735{,}12 \) m et \( X_{\text{A}} = 520{,}45 \) m.
- Piège évité : L'ordre est bien arrivée moins départ. L'inverser donnerait le trajet de B vers A.
- Hypothèse validée : Les deux abscisses sont dans le même système et la même unité.
- Vérification croisée : Le résultat doit être positif, l'abscisse d'arrivée étant la plus grande.
- Finalité : Fournir la première composante, et le premier des deux signes qui fixeront le quadrant.
+214,67 m, donc vers l'Est. Le signe positif est conforme à la lecture directe des données, et il place déjà la direction dans la moitié Est du cercle, c'est-à-dire entre 0 et 200 gon.
- Ordre de grandeur : Un peu plus de deux cents mètres : cohérent avec l'écart des abscisses de l'énoncé.
- Impact sur la suite : C'est le numérateur de l'arc tangente en question 3, et l'un des deux carrés de la distance.
- Cohérence : Pour le trajet inverse, de B vers A, on obtiendrait −214,67 m : même valeur, signe opposé.
- Attention : Le signe doit être écrit. « 214,67 m » sans signe est une information incomplète, et c'est ainsi que les erreurs d'orientation naissent.
- Comparaison : Cette composante est la plus grande des deux en valeur absolue : la direction penchera donc davantage vers l'Est que vers le Sud.
Remarque pédagogique : Annoncer le signe avant de calculer transforme le calcul en vérification. C'est un réflexe qui coûte trois secondes et détecte la moitié des erreurs de saisie.
Calcul 2 — composante Nord-SudPourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la seconde composante, celle dont le signe décidera de la constante de quadrant.
Même opération sur les ordonnées, dans le même ordre, le signe négatif attendu étant conservé tel quel.
- Substitution : \( Y_{\text{B}} = 1180{,}25 \) m et \( Y_{\text{A}} = 1350{,}78 \) m.
- Piège évité : Ne pas « corriger » le signe négatif ni prendre la valeur absolue : ce signe porte l'information Sud.
- Hypothèse validée : Même sens de trajet que pour le calcul 1 — sans quoi les deux composantes ne décriraient pas le même vecteur.
- Vérification croisée : Le résultat doit être négatif, l'ordonnée diminuant de A vers B.
- Finalité : Fournir le dénominateur de l'arc tangente, et le second signe du quadrant.
−170,53 m, donc vers le Sud. Combiné au calcul précédent, ce signe place la direction dans le quadrant Sud-Est, et donc le gisement entre 100 et 200 gon.
- Ordre de grandeur : Environ 170 m, un peu moins que la composante Est : cohérent avec les données.
- Impact sur la suite : Son signe négatif imposera la constante +200 gon à la question 3.
- Cohérence : Le point B est donc au Sud-Est de A : on descend et on va vers la droite, ce que confirme le croquis de l'énoncé.
- Attention : Ce nombre sera élevé au carré en question 2 : le signe y disparaîtra. Il ne faut surtout pas en conclure qu'il est inutile.
- Comparaison : Si \( \Delta Y \) avait été positif, la direction serait passée en Nord-Est et le gisement serait tombé entre 0 et 100 gon : un autre monde.
Remarque pédagogique : Un signe négatif n'est jamais une anomalie à corriger : c'est une information de direction. Le supprimer revient à jeter la moitié du résultat.
Calcul 3 — rapport des composantes et quadrantPourquoi fait-on ce calcul ? Pour préparer l'arc tangente de la question 3, et pour fixer dès maintenant l'intervalle dans lequel le gisement devra tomber.
Rapport de la composante Est à la composante Nord, signes conservés, puis lecture du quadrant dans le couple de signes.
- Substitution : \( \Delta X = +214{,}67 \) m et \( \Delta Y = -170{,}53 \) m.
- Piège évité : C'est bien \( \Delta X \) au numérateur. L'inverser donnerait un angle compté depuis l'Est, et non depuis le Nord.
- Hypothèse validée : \( \Delta Y \) est non nul : le rapport est défini, et l'arc tangente sera calculable.
- Vérification croisée : Le rapport doit être négatif et de valeur absolue supérieure à 1, la composante Est étant la plus grande.
- Finalité : Livrer l'argument de l'arc tangente et l'encadrement du gisement.
−1,258 84, sans dimension. Valeur absolue supérieure à 1, comme prévu. Le couple de signes — plus pour l'Est, moins pour le Nord — désigne sans ambiguïté le quadrant Sud-Est, donc un gisement entre 100 et 200 gon.
- Ordre de grandeur : Un rapport supérieur à 1 en valeur absolue signifie que la direction est plus proche de l'Est que du Sud — donc plus proche de 100 que de 200 gon.
- Impact sur la suite : C'est l'argument exact de l'arc tangente, et l'encadrement 100-200 gon servira de premier filtre en question 3.
- Cohérence : Le rapport étant supérieur à 1, l'angle depuis le Nord dépassera 50 gon en valeur absolue : le gisement sera donc inférieur à 150 gon.
- Attention : Le quadrant se lit dans les deux signes séparément, jamais dans le signe du rapport : un rapport négatif correspond aussi bien au Sud-Est qu'au Nord-Ouest.
- Comparaison : Avec \( \Delta X = -214{,}67 \) et \( \Delta Y = +170{,}53 \), le rapport vaudrait exactement le même nombre — mais le quadrant serait le Nord-Ouest et le gisement dépasserait 300 gon.
Remarque pédagogique : Le rapport perd une information que les deux deltas portaient : le quadrant. C'est précisément pourquoi l'arc tangente seule ne suffira jamais, et pourquoi il faut garder les signes sous la main.
"Pythagore, donc un calcul robuste : les signes disparaissent au carré, et il n'y a pas de quadrant à gérer. Mais avant de sortir la calculatrice, je vais encadrer le résultat. L'hypoténuse est toujours plus grande que chacun des côtés et plus petite que leur somme — deux inégalités gratuites qui me donnent une fourchette avant même de commencer."
- Observation : Les deux composantes sont du même ordre — 215 et 171 m — donc la distance sera nettement supérieure à la plus grande, sans approcher leur somme. J'attends une valeur autour de 270 m.
- Analyse du risque : Deux pièges de calculatrice. Oublier la racine carrée finale, ce qui donne un nombre à cinq chiffres, visiblement absurde. Et saisir \( -170{,}53^2 \) sans parenthèses, que la machine interprète comme \( -(170{,}53^2) \) : la somme des carrés devient alors une différence.
- Choix stratégique : Encadrer d'abord, calculer ensuite, contrôler enfin — par un chemin qui n'élève qu'un seul nombre au carré, donc qui ne peut pas reproduire l'erreur de parenthèses.
- Alternative : J'aurais pu contrôler avec la fonction polaire de la calculatrice, qui donne distance et angle d'un coup. C'est rapide, mais l'angle rendu est un angle mathématique, compté depuis l'axe des X dans le sens trigonométrique — donc à reconvertir, ce qui rajoute un risque au lieu d'en retirer.
- Objectif visé : Une distance au centimètre, tombant dans l'encadrement annoncé et confirmée par un second chemin.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Les deux composantes forment les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont la distance est l'hypoténuse. C'est la relation la plus ancienne et la plus sûre de tout l'exercice — et surtout la seule qui ne dépende pas du sens du trajet.
Deux relations : celle qui calcule, et celle qui encadre — cette dernière étant la plus utile des deux pour détecter une erreur.
Distance par le théorème de Pythagore :L'hypoténuse du triangle formé par les deux composantes.
Parce que les axes du repère sont perpendiculaires. C'est cette orthogonalité, et rien d'autre, qui autorise Pythagore : dans un repère oblique, la formule serait fausse. Une propriété du repère devient donc une méthode de calcul.
- \( D_{\text{AB}} \) : distance horizontale entre A et B, grandeur positive, unité : mètre
- \( \Delta X^{2} \) : carré de la composante Est-Ouest, unité : mètre carré
- \( \Delta Y^{2} \) : carré de la composante Nord-Sud, unité : mètre carré
Deux inégalités qui donnent une fourchette sans le moindre calcul.
Parce qu'un contrôle n'a de valeur que s'il est indépendant du calcul contrôlé. Ces deux inégalités ne coûtent rien — un maximum et une addition — et elles écartent d'un coup toutes les grosses erreurs : racine oubliée, parenthèse manquante, composante mal recopiée.
- \( \max(|\Delta X|, |\Delta Y|) \) : minorant, la plus grande des deux composantes en valeur absolue, unité : mètre
- \( |\Delta X| + |\Delta Y| \) : majorant, longueur du trajet en deux étapes, unité : mètre
- \( D_{\text{AB}} \) : distance recherchée, nécessairement comprise entre les deux, unité : mètre
"Beaucoup d'étudiants saisissent le carré d'un nombre négatif sans parenthèses sur leur calculatrice..."
- L'erreur : Saisir \( -170{,}53^2 \) au lieu de \( (-170{,}53)^2 \). Ici on obtiendrait \( 46\,083 - 29\,080 = 17\,003 \), donc 130,4 m au lieu de 274,16 m.
- La bonne méthode : Élever les valeurs absolues au carré. Les signes n'ont aucun rôle ici : autant les supprimer avant la saisie.
- L'astuce de pro : Contrôler la somme des carrés avant la racine : elle doit dépasser le plus grand des deux carrés. Ici 75 163 doit être supérieur à 46 083.
- Le moyen mnémotechnique : « Le carré d'un négatif est positif — la calculatrice, elle, l'ignore ».
- L'impact direct : Une distance de 130 m au lieu de 274 m tombe hors de l'encadrement établi juste avant : le contrôle la rejette immédiatement. C'est exactement à cela qu'il sert.
Exécution de la Note de Calculs
- Les deux composantes : en mètre, issues de la question 1
- Leurs carrés et leur somme : en mètre carré
- La racine : ramène des mètres carrés au mètre
- Le rapport \( t \) : sans dimension, donc \( \sqrt{1+t^2} \) aussi
Trois calculs : l'encadrement d'abord — donc avant de connaître le résultat — la distance ensuite, et un contrôle par une voie qui n'élève qu'un seul nombre au carré.
1. Résolution Numérique Calcul 1 — encadrement préalablePourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer d'une fourchette avant le calcul principal, de sorte que le contrôle ne puisse pas être influencé par le résultat.
On prend la plus grande des deux composantes en valeur absolue pour le minorant, et leur somme pour le majorant.
- Substitution : \( |\Delta X| = 214{,}67 \) m et \( |\Delta Y| = 170{,}53 \) m.
- Piège évité : On prend bien les valeurs absolues : un encadrement de longueur n'a que faire des signes.
- Hypothèse validée : Le triangle est rectangle, les axes du repère étant orthogonaux.
- Vérification croisée : Le majorant doit valoir environ 1,8 fois le minorant : c'est la largeur de la fourchette.
- Finalité : Disposer d'un filtre indépendant, posé avant tout calcul.
Entre 214,67 et 385,20 m. Une fourchette large de 170 m, ce qui peut sembler grossier — mais elle suffit à écarter les erreurs les plus fréquentes, qui sont toutes d'un facteur deux ou plus.
- Ordre de grandeur : Le majorant vaut 1,79 fois le minorant : fourchette typique de deux composantes du même ordre.
- Impact sur la suite : Tout résultat hors de cet intervalle sera rejeté sans discussion.
- Cohérence : Les deux composantes étant proches, la distance sera plutôt vers le milieu de la fourchette que vers ses bords.
- Attention : Ce contrôle est grossier : il ne détectera jamais une erreur de quelques pour cent. Il faut donc un second chemin, plus fin.
- Comparaison : Si l'une des composantes était nulle, la fourchette se refermerait complètement et la distance vaudrait exactement l'autre composante.
Remarque pédagogique : Un encadrement posé avant le calcul est un contrôle honnête. Posé après, il devient une justification — et l'esprit trouve toujours moyen de se convaincre.
Calcul 2 — la distance horizontalePourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la longueur du segment AB, l'une des deux grandeurs attendues en sortie.
Carrés des deux composantes, somme, puis racine carrée — chaque étape étant écrite pour être contrôlable.
- Substitution : \( \Delta X = 214{,}67 \) m et \( \Delta Y = -170{,}53 \) m, dont les carrés valent 46 083,2089 et 29 080,4809.
- Piège évité : Le carré de \( -170{,}53 \) est positif. La somme est donc bien supérieure à chacun des deux carrés.
- Hypothèse validée : Repère orthonormé, distance courte : Pythagore s'applique sans correction.
- Vérification croisée : La somme 75 163,6898 doit dépasser le plus grand des deux carrés, 46 083,2089 — et le résultat doit tomber dans la fourchette du calcul 1.
- Finalité : Livrer la distance horizontale au centimètre.
274,16 m. La valeur tombe bien dans l'encadrement 214,67 – 385,20 m, et près de son milieu comme prévu. Elle est aussi supérieure à 214,67 m, ce qui confirme qu'aucune racine n'a été oubliée.
- Ordre de grandeur : 1,28 fois la plus grande composante : proportion normale pour deux côtés de rapport 1,26.
- Impact sur la suite : Cette valeur servira au contrôle du gisement en question 3, puis à la propagation d'incertitude en question 4.
- Cohérence : La distance ne dépend pas du sens du trajet : \( D_{\text{BA}} \) vaut exactement la même chose.
- Attention : C'est une distance horizontale et projetée. Ni la pente du terrain ni l'altération de la projection n'y figurent — la question 4 chiffrera la seconde.
- Comparaison : Avec la faute de parenthèses évoquée plus haut, on obtiendrait 130,4 m — valeur inférieure au minorant, donc rejetée par l'encadrement.
Remarque pédagogique : Écrire la somme des carrés avant la racine permet un contrôle intermédiaire. Enchaîner les trois opérations d'un trait sur la calculatrice supprime ce point de contrôle.
Calcul 3 — contrôle par la forme factoriséePourquoi fait-on ce calcul ? Pour confirmer la distance par une voie qui n'élève qu'un seul nombre au carré, et qui réutilise le rapport déjà établi en question 1.
En mettant \( \Delta Y^2 \) en facteur sous la racine, la distance s'écrit comme le produit de \( |\Delta Y| \) par un facteur ne dépendant que du rapport \( t \).
- Substitution : \( |\Delta Y| = 170{,}53 \) m et \( t = -1{,}258\,84 \), dont le carré vaut 1,584 68.
- Piège évité : Le facteur porte sur \( |\Delta Y| \), la valeur absolue : une distance ne peut pas être négative.
- Hypothèse validée : \( \Delta Y \) est non nul, ce qui autorise la mise en facteur.
- Vérification croisée : Le résultat doit être identique à celui du calcul 2, au centimètre près.
- Finalité : Valider la distance par un chemin qui ne peut pas reproduire l'erreur de parenthèses.
274,16 m — identique au calcul 2. Les deux voies concordent au centimètre. La distance est validée, et elle peut servir de base au contrôle du gisement.
- Ordre de grandeur : Le facteur 1,607 69 est bien compris entre 1 et \( \sqrt{2} \times \) le rapport : cohérent avec un triangle allongé vers l'Est.
- Impact sur la suite : La distance est confirmée ; toute divergence en question 3 viendra donc du gisement, et non d'elle.
- Cohérence : Ce chemin n'élève au carré que le rapport \( t \) : il ne peut pas reproduire l'erreur de parenthèses du calcul 2.
- Attention : Le contrôle reste partiellement dépendant : il réutilise \( \Delta Y \) et \( t \), donc une erreur sur \( \Delta Y \) lui échapperait.
- Comparaison : La même factorisation avec \( \Delta X \) donnerait \( 214{,}67 \times \sqrt{1 + 1/t^2} \) — troisième chemin possible, et même résultat.
Remarque pédagogique : Un contrôle parfaitement indépendant est rare. L'important est de savoir ce qu'il couvre et ce qu'il ne couvre pas — ici, il couvre le calcul, pas la saisie de \( \Delta Y \).
"C'est ici que tout se joue, et pour une raison précise : le gisement est la seule grandeur de cet exercice qu'on ne sait pas contrôler à vue. Vérifier qu'il « tombe dans le bon quadrant » valide n'importe quelle valeur sur cent grades de large. Je vais donc calculer, puis reconstruire les deux deltas à partir de la distance et de l'angle. Ce contrôle-là ne laisse rien passer."
- Observation : Le rapport vaut −1,26 en valeur absolue, donc supérieur à 1 : l'angle depuis le Nord dépassera 50 gon. Combiné à la constante de 200, j'attends un gisement inférieur à 150 gon — encadrement déjà bien plus serré que le simple quadrant.
- Analyse du risque : Trois pièges se cumulent. Le mode de la calculatrice — degrés au lieu de grades — qui donne un nombre plausible et faux. La constante de quadrant, qu'on choisit parfois d'instinct. Et l'inversion du rapport, qui donne un angle compté depuis l'Est.
- Choix stratégique : Le contrôle par retour aux coordonnées. Si le gisement est juste, alors \( D \sin G \) et \( D \cos G \) redonnent exactement les deux deltas, signes compris. Une erreur d'un demi-grade se voit au décimètre.
- Alternative : J'aurais pu employer la fonction à deux arguments, qui gère seule le quadrant. C'est ce que font tous les logiciels — mais alors la correction de quadrant devient une boîte noire, et l'on ne sait plus la refaire à la main le jour où il le faut.
- Objectif visé : Un gisement au centigon, démontré par reconstruction des données, et son inverse.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Le gisement est l'angle mesuré depuis le Nord, dans le sens horaire, jusqu'à la direction considérée. Il vit sur un cercle complet de 400 gon. L'arc tangente, elle, ne rend qu'un angle entre −100 et +100 gon : elle couvre donc la moitié du cercle, et c'est tout le problème.
Deux relations : celle qui calcule le gisement, et celle qui le vérifie. La seconde est de loin la plus importante, et c'est celle que les corrigés omettent.
Gisement avec correction de quadrant :L'arc tangente du rapport, augmentée de la constante dictée par les signes.
Parce que la tangente prend la même valeur pour deux directions opposées de 200 gon. L'arc tangente doit donc choisir, et elle choisit toujours la moitié Nord. La constante \( C \) ne corrige pas une approximation : elle restitue une information que la division avait détruite.
- \( G_{\text{AB}} \) : gisement de A vers B, compté depuis le Nord dans le sens horaire, unité : grade (gon)
- \( \Delta X / \Delta Y \) : rapport de la composante Est à la composante Nord, unité : sans dimension
- \( C \) : constante de quadrant, valant 0, 200 ou 400, unité : grade (gon)
La reconstruction des deux composantes à partir de la distance et du gisement.
Parce qu'elle referme la boucle. On est parti de deux coordonnées pour obtenir une distance et un angle ; ces deux grandeurs doivent pouvoir reconstituer les coordonnées de départ. Si elles n'y parviennent pas, l'une des deux est fausse — et comme la distance a déjà été contrôlée en question 2, ce sera le gisement.
- \( D \) : distance horizontale validée en question 2, unité : mètre
- \( \sin G \) : projette la distance sur l'axe des abscisses, unité : sans dimension
- \( \cos G \) : projette la distance sur l'axe des ordonnées, unité : sans dimension
"Beaucoup d'étudiants se contentent de vérifier que le gisement tombe dans le bon quadrant, et déclarent le résultat cohérent..."
- L'erreur : Écrire « le résultat est bien compris entre 100 et 200 gon, donc cohérent ». Une valeur fausse de plusieurs grades passe ce test sans difficulté.
- La bonne méthode : Recalculer \( D \sin G \) et \( D \cos G \), et exiger de retrouver les deux deltas au centimètre, signes compris.
- L'astuce de pro : Ce contrôle vérifie trois choses à la fois : la distance, le gisement et la constante de quadrant. Une erreur de 200 gon retourne les deux signes, et saute immédiatement aux yeux.
- Le moyen mnémotechnique : « Un contrôle qui ne peut pas échouer ne contrôle rien ».
- L'impact direct : Une erreur de 0,67 gon — l'ordre de grandeur d'une faute d'arc tangente — reste dans le bon quadrant, et déplace pourtant le point de 2,90 m à 274 m de portée. Soit 53 fois la tolérance individuelle d'une classe [2] cm.
Exécution de la Note de Calculs
- Calculatrice en mode GRAD — vérifié avant toute saisie
- Argument de l'arc tangente : sans dimension
- Angles : en grade (gon), arrondis au centigon
- Contrôle : \( D \) en mètre, sinus et cosinus sans dimension, résultats en mètre
Quatre calculs : l'arc tangente, la correction de quadrant, puis deux contrôles — un par composante — qui reconstruisent les données de la question 1.
1. Résolution Numérique Calcul 1 — l'angle de basePourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir l'angle que rend la trigonométrie seule, avant toute correction de quadrant.
Arc tangente du rapport calculé en question 1, la calculatrice étant préalablement placée en mode grades.
- Substitution : \( t = -1{,}258\,84 \), sans dimension.
- Piège évité : Le mode GRAD est vérifié. En degrés, on obtiendrait −51,54 : un nombre parfaitement plausible, et faux de plus de cinq unités.
- Hypothèse validée : \( \Delta Y \) est non nul, donc l'arc tangente est bien définie.
- Vérification croisée : Le rapport étant supérieur à 1 en valeur absolue, l'angle doit dépasser 50 gon en valeur absolue, sans atteindre 100.
- Finalité : Fournir l'angle brut, à corriger au calcul suivant.
−57,2633 gon. Bien compris entre −100 et 0, et de valeur absolue supérieure à 50 comme annoncé. Contrôle indépendant : en degrés, \( \arctan(1{,}258\,84) = 51{,}537^\circ \), et \( 51{,}537 \times 10/9 = \mathbf{57{,}263} \) gon. Les deux voies concordent.
- Ordre de grandeur : Un rapport de 1,26 correspond à un angle un peu supérieur à 57 gon : plus proche de l'Est que du Sud, conformément à la question 1.
- Impact sur la suite : Cette valeur est négative et ne peut donc pas être un gisement : la correction de quadrant est indispensable.
- Cohérence : La vérification par le passage degré-grade est essentielle ici : c'est elle qui détecte une erreur de mode de la calculatrice.
- Attention : Une erreur de quelques dixièmes de grade à ce stade se propage intégralement au gisement final, sans être amortie.
- Comparaison : Une valeur de −56,59 gon serait fausse de 0,67 gon. Le contrôle du calcul 3 la rejette immédiatement.
Remarque pédagogique : Le contrôle degré-grade coûte une multiplication par 10/9 et détecte à lui seul la première cause d'erreur de tout l'exercice : le mode de la machine.
Calcul 2 — correction de quadrant et gisementPourquoi fait-on ce calcul ? Pour restituer l'information de quadrant que la division avait détruite, et obtenir enfin un gisement.
Ajout de la constante dictée par le quadrant Sud-Est identifié en question 1, à partir des signes des deux deltas.
- Substitution : Angle de base \( -57{,}2633 \) gon, constante \( C = +200 \) gon puisque \( \Delta Y < 0 \).
- Piège évité : La constante se lit dans les signes, non dans le signe de l'arc tangente. Ici c'est \( \Delta Y \) négatif qui impose 200.
- Hypothèse validée : Quadrant Sud-Est établi en question 1 par le couple de signes plus et moins.
- Vérification croisée : Le résultat doit tomber entre 100 et 150 gon — encadrement resserré établi au début de la question.
- Finalité : Livrer le gisement, à valider par les deux calculs suivants.
142,74 gon. La valeur tombe entre 100 et 150 gon, conformément à l'encadrement resserré. Le gisement inverse s'en déduit immédiatement : \( G_{\text{BA}} = 142{,}74 + 200 = \mathbf{342{,}74} \) gon.
- Ordre de grandeur : Plus proche de 100 que de 200 : la direction penche davantage vers l'Est que vers le Sud, comme le rapport le laissait prévoir.
- Impact sur la suite : Cette valeur doit maintenant être prouvée : c'est l'objet des deux calculs suivants.
- Cohérence : En degrés, ce gisement vaut 128,463° — utile si l'on doit dialoguer avec un logiciel travaillant en degrés décimaux.
- Attention : L'encadrement 100-150 gon reste large de cinquante grades. Il ne prouve rien : plusieurs valeurs fausses y tiendraient sans peine.
- Comparaison : Une valeur de 143,41 gon tomberait elle aussi dans cet encadrement — et elle serait fausse. C'est exactement pourquoi il faut aller plus loin.
Remarque pédagogique : Un encadrement large de cinquante grades ne valide rien : il écarte seulement les fautes énormes. C'est un filtre, pas une preuve.
Calcul 3 — contrôle sur la composante EstPourquoi fait-on ce calcul ? Pour reconstruire \( \Delta X \) à partir de la distance et du gisement, et vérifier qu'on retrouve exactement la donnée de la question 1.
Projection de la distance sur l'axe des abscisses par le sinus du gisement, la calculatrice restant en mode grades.
- Substitution : \( D = 274{,}16 \) m et \( G = 142{,}74 \) gon, dont le sinus vaut 0,782 98.
- Piège évité : C'est bien le sinus qui donne la composante Est — l'angle étant compté depuis l'axe des ordonnées, sinus et cosinus échangent leurs rôles habituels.
- Hypothèse validée : La distance a été contrôlée en question 2 : toute divergence viendra donc du gisement.
- Vérification croisée : Le résultat doit redonner +214,67 m, signe compris, au centimètre près.
- Finalité : Prouver le gisement sur sa première composante.
+214,66 m, contre +214,67 m en question 1. Un centimètre d'écart, signe compris — et cet écart n'est pas du bruit : c'est la signature exacte de l'arrondi du gisement au centigon. Le gisement est validé sur sa composante Est.
- Ordre de grandeur : Le sinus est positif, ce qui correspond bien à un gisement compris entre 0 et 200 gon, donc à la moitié Est.
- Impact sur la suite : Une composante est validée ; il reste à vérifier la seconde, qui portera sur le signe.
- Cohérence : Avec le gisement erroné de 143,41 gon, on obtiendrait 212,85 m — soit 1,82 m d'écart, immédiatement visible.
- Attention : Ce seul contrôle ne suffit pas : un gisement de 57,26 gon donnerait le même sinus. Il faut la seconde composante pour lever l'ambiguïté.
- Comparaison : C'est précisément l'opération qu'exécute une station totale lorsqu'elle implante un point à partir d'une distance et d'un angle.
Remarque pédagogique : Un contrôle sur une seule composante laisse subsister une ambiguïté de symétrie. Les deux ensemble ne laissent aucune échappatoire.
Calcul 4 — contrôle sur la composante NordPourquoi fait-on ce calcul ? Pour lever l'ambiguïté restante et vérifier le signe de la composante Nord, seul témoin de la correction de quadrant.
Projection de la distance sur l'axe des ordonnées par le cosinus du gisement, dont le signe est ici l'information décisive.
- Substitution : \( D = 274{,}16 \) m et \( \cos(142{,}74\ \text{gon}) = -0{,}622\,05 \).
- Piège évité : Le cosinus est négatif au-delà de 100 gon : ne pas « corriger » ce signe, c'est lui qui prouve la constante de quadrant.
- Hypothèse validée : Même distance et même gisement qu'au calcul 3 : les deux contrôles portent bien sur le même vecteur.
- Vérification croisée : Le résultat doit redonner −170,53 m, signe négatif compris.
- Finalité : Clore la démonstration : distance, gisement et quadrant sont alors tous trois validés.
−170,54 m, contre −170,53 m en question 1, signe compris. Là encore un centimètre, dû au même arrondi au centigon. Les deux composantes sont reconstruites : le gisement de 142,74 gon est démontré, et non plus seulement plausible.
- Ordre de grandeur : Le cosinus négatif confirme la moitié Sud, donc la constante +200 : la correction de quadrant est validée par le calcul.
- Impact sur la suite : La boucle est fermée : les deux coordonnées de départ ont été reconstruites depuis la forme polaire.
- Cohérence : Un gisement faux de 200 gon aurait retourné les deux signes : le contrôle l'aurait signalé sans ambiguïté.
- Attention : Le contrôle valide le calcul, pas les données : une coordonnée mal recopiée dès l'énoncé passerait les deux fois.
- Comparaison : Avec 143,41 gon, on obtiendrait −172,79 m au lieu de −170,53 : 2,26 m d'écart. Le contrôle rejette la valeur sans hésitation.
Remarque pédagogique : Ce double contrôle est celui qu'exécutent tous les logiciels de topographie après une conversion polaire. Le faire à la main une fois suffit à ne plus jamais s'en passer.
"J'ai écrit 274,16 m et 142,74 gon. Deux nombres nets, et deux nombres qui mentent sur leur propre précision. Les coordonnées d'où ils sortent sont des mesures, et elles sont projetées. Le premier mot pèse quelques centimètres ; le second, près d'un mètre. Et curieusement, c'est le second que personne ne mentionne jamais."
- Observation : Chaque delta est une différence de deux coordonnées. Son incertitude vaut donc \( \sigma\sqrt{2} \), et non \( \sigma \) : le point de départ est aussi mal connu que le point d'arrivée.
- Analyse du risque : Le risque est d'attribuer aux résultats la précision de leur écriture. Deux décimales sur la distance et deux sur le gisement suggèrent le centimètre et le centigon. L'une des deux affirmations est à peu près vraie, l'autre pas du tout.
- Choix stratégique : Traiter séparément l'effet aléatoire — les mesures — et l'effet systématique — la projection. Les additionner n'aurait aucun sens : le premier se compense entre points, le second jamais.
- Alternative : J'aurais pu me contenter d'annoncer « précision centimétrique ». C'est l'ordre de grandeur juste pour la distance, mais cela ne dirait rien du gisement — dont l'incertitude dépend de la portée, ce qui est bien plus intéressant.
- Objectif visé : Quatre chiffres : le seuil réglementaire, l'incertitude de la distance, celle du gisement, et l'écart dû à la projection.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Les deux résultats livrés ne sont ni exacts, ni de même nature. L'un subit une incertitude aléatoire, venue des mesures. L'autre — la distance seule — subit en plus une déformation systématique, venue de la projection. Le gisement, lui, y échappe : la projection Lambert 93 est conforme, donc elle conserve les angles.
Quatre relations : le seuil réglementaire de référence, puis les trois qui qualifient successivement les deltas, le gisement et la distance de terrain.
Tolérance individuelle de l'arrêté du 16 septembre 2003 :Le seuil de référence auquel confronter tous les écarts de cette question.
Parce qu'elle donne le seul chiffre opposable de tout l'exercice. Tout le reste — incertitudes, altérations — sont des grandeurs calculées ; celle-ci est un seuil réglementaire, et c'est à elle qu'on compare pour savoir si un écart est acceptable.
- \( T \) : tolérance individuelle sur un point contrôlé, unité : centimètre
- \( k \) : coefficient de fiabilité, 2,42 en planimétrie, unité : sans dimension
- \( [xx] \) : classe de précision annoncée, ici 2 cm, unité : centimètre
- \( C \) : coefficient de sécurité du contrôle, au minimum 2, unité : sans dimension
Le point d'entrée de toute la propagation.
Parce qu'un delta n'est pas une mesure : c'est une différence de deux mesures, et chacune apporte son incertitude. Les erreurs étant indépendantes, elles se composent quadratiquement — d'où le facteur \( \sqrt{2} \), qui n'a rien d'un raffinement puisqu'il majore l'incertitude de 41 %.
- \( \sigma_{\Delta} \) : écart-type sur une différence de coordonnées, unité : mètre
- \( \sigma \) : écart-type sur une coordonnée isolée, unité : mètre
- \( \sqrt{2} \) : facteur de composition de deux erreurs indépendantes, unité : sans dimension
Un écart transversal rapporté à la portée de la visée.
Parce qu'un angle vu depuis A est déterminé par la position de B perpendiculairement à la visée. Une incertitude latérale, divisée par la distance, donne directement l'incertitude angulaire en radians — c'est la définition même du radian, lue à l'envers.
- \( \sigma_{\text{G}} \) : écart-type du gisement, unité : radian, à convertir en grade
- \( \sigma_{\Delta} \) : incertitude transversale sur la position du point visé, unité : mètre
- \( D \) : portée de la visée, unité : mètre
La correction de l'effet systématique de la projection.
Parce qu'une projection ne conserve pas les longueurs : elle les multiplie localement par \( (1+m) \). La distance calculée sur des coordonnées Lambert 93 est donc une distance du plan, et le guide DT-DICT est explicite sur la nécessité de la corriger.
- \( D_{\text{terrain}} \) : distance sur l'ellipsoïde, avant projection, unité : mètre
- \( D_{\text{plan}} \) : distance calculée sur les coordonnées projetées, unité : mètre
- \( m \) : altération linéaire locale de la projection, unité : mètre par kilomètre, soit sans dimension
"Beaucoup d'étudiants annoncent une distance calculée comme si elle était mesurable au ruban sur le terrain..."
- L'erreur : Écrire « la distance entre A et B est de 274,16 m » sans préciser dans quel plan. Le géomètre qui ira vérifier au distancemètre ne trouvera pas cette valeur.
- La bonne méthode : Nommer la grandeur : distance en projection. Et si la comparaison avec une mesure de terrain est prévue, appliquer la correction d'altération.
- L'astuce de pro : Retenir l'ordre de grandeur : sur le Lambert 93, l'altération peut atteindre 3 mm par mètre. Sur 274 m, cela fait 82 cm.
- Le moyen mnémotechnique : « Le plan déforme les longueurs, jamais les angles » — vrai de toute projection conforme, dont le Lambert 93.
- L'impact direct : L'écart d'altération atteint 15 fois la tolérance individuelle d'une classe [2] cm, et 29 fois l'incertitude de mesure. C'est de loin l'effet dominant — et il est systématique, donc il ne se compense jamais.
Exécution de la Note de Calculs
- \( [xx] \) et \( T \) : en centimètre, conformément à la notation de la classe
- \( \sigma \) : converti en mètre avant toute division par une distance
- \( \sigma_{\text{G}} \) : obtenu en radian, converti en milligrade par le facteur \( 200/\pi \)
- \( m \) : en mètre par kilomètre, soit \( 10^{-3} \) une fois rendu sans dimension
Quatre calculs : le seuil réglementaire, l'incertitude de la distance, celle du gisement, puis l'encadrement de la distance de terrain.
1. Résolution Numérique Calcul 1 — la tolérance de référencePourquoi fait-on ce calcul ? Pour disposer du seul seuil opposable de l'exercice, auquel tous les écarts seront rapportés.
Application directe de la formule de l'arrêté pour la classe [2] cm en planimétrie, avec le coefficient de sécurité minimal.
- Substitution : \( k = 2{,}42 \), \( [xx] = 2 \) cm, \( C = 2 \).
- Piège évité : Ne pas omettre le majorant \( 1 + 1/(2C^{2}) = 1{,}125 \), qui relève le seuil de 12,5 %.
- Hypothèse validée : \( k = 2{,}42 \) correspond bien au contrôle planimétrique, celui qui porte sur une position en \( X, Y \).
- Vérification croisée : Le seuil doit valoir un peu moins de trois fois la classe annoncée.
- Finalité : Fixer l'étalon de comparaison des trois calculs suivants.
5,45 cm sur la position d'un point. C'est un seuil de refus, non une précision courante : un bon levé se tient plutôt autour de la classe annoncée, soit 2 cm.
- Ordre de grandeur : 2,72 fois la classe annoncée, conforme au produit \( 2{,}42 \times 1{,}125 \).
- Impact sur la suite : C'est l'étalon auquel seront comparées l'incertitude de mesure et l'altération de projection.
- Cohérence : Le seuil ne dépend ni de la distance, ni du gisement : c'est bien la marque d'une exigence contractuelle et non d'une propriété géométrique.
- Attention : Ce seuil porte sur une position. Il sert ici de référence de comparaison, pas de critère de conformité pour une distance ou un angle.
- Comparaison : L'erreur d'arc tangente écartée en question 3 valait 2,90 m : soit 53 fois ce seuil. Un ordre de grandeur qui situe la gravité de la faute.
Remarque pédagogique : Comparer un écart à un seuil sourcé plutôt qu'à une impression est ce qui transforme une remarque en argument. Le texte, l'article, la classe : les trois se citent.
Calcul 2 — incertitude de la distancePourquoi fait-on ce calcul ? Pour savoir à quel rang la distance de 274,16 m est réellement significative.
Chaque delta portant \( \sigma\sqrt{2} \), la propagation à travers Pythagore fait apparaître un carré parfait : l'incertitude de la distance vaut \( \sigma\sqrt{2} \) elle aussi, quelle que soit la direction du segment.
- Substitution : \( \sigma = 0{,}02 \) m sur chaque coordonnée, quatre coordonnées indépendantes.
- Piège évité : Ne pas prendre \( \sigma \) seul : chaque delta est une différence, donc porte déjà \( \sigma\sqrt{2} \).
- Hypothèse validée : Erreurs indépendantes et de même écart-type — hypothèse explicitement optimiste.
- Vérification croisée : Le résultat ne doit dépendre ni de la longueur ni de l'orientation du segment : c'est la propriété remarquable annoncée.
- Finalité : Qualifier la précision réelle de la distance livrée.
2,83 cm. La distance s'écrit donc 274,16 ± 0,03 m. Les deux décimales sont à peine justifiées : la seconde est déjà dans le bruit. Et ce chiffre reste inférieur à la tolérance de 5,45 cm.
- Ordre de grandeur : 1,41 fois l'incertitude d'une coordonnée : le facteur \( \sqrt{2} \) se lit directement.
- Impact sur la suite : C'est aussi l'incertitude transversale sur la position de B, qui servira au calcul du gisement.
- Cohérence : Le résultat est indépendant de la direction du segment : la propagation à travers Pythagore recompose exactement un carré parfait.
- Attention : En relatif, cela fait 1/9 700 — excellent pour un chaînage, mais sans rapport avec l'écart de projection qui va suivre.
- Comparaison : Sur un segment de 10 m, l'incertitude serait la même, 2,83 cm — mais elle représenterait alors 1/350 en relatif. Les courtes distances sont les plus fragiles.
Remarque pédagogique : Qu'une incertitude de distance calculée soit indépendante de la distance surprend toujours. C'est pourtant la conséquence directe du fait qu'elle vient des points, et non du segment.
Calcul 3 — incertitude du gisementPourquoi fait-on ce calcul ? Pour savoir si le centigon affiché sur le gisement a un sens, ou s'il relève de l'affichage.
L'incertitude transversale sur B, divisée par la portée, donne l'incertitude angulaire en radians, à convertir en milligrades.
- Substitution : \( \sigma_{\Delta} = 0{,}0283 \) m et \( D = 274{,}16 \) m, puis conversion par \( 200/\pi \).
- Piège évité : Le quotient sort en radians. Oublier la conversion donnerait un nombre 63,7 fois trop petit.
- Hypothèse validée : Petit angle : l'arc et sa tangente se confondent à mieux qu'un millionième.
- Vérification croisée : Le résultat doit être de l'ordre du milligrade pour une visée de quelques centaines de mètres au centimètre près.
- Finalité : Décider du nombre de décimales légitimes sur le gisement.
6,57 mgon, soit 2,13 secondes d'arc. Le gisement s'écrit donc 142,74 ± 0,007 gon. Le centigon affiché ne vaut que 1,5 fois l'écart-type : la seconde décimale est marginale, et c'est bien elle qui produisait le centimètre d'écart au contrôle de la question 3.
- Ordre de grandeur : Quelques milligrades, comme attendu d'une visée de quelques centaines de mètres levée au centimètre.
- Impact sur la suite : Écrire le gisement au milligrade serait honnête ; au décimilligrade, cela relèverait de l'affichage.
- Cohérence : Le contrôle de la question 3 retombait à 1 cm près, ce qui correspond exactement à l'effet de l'arrondi au centigon : les deux constats se confirment mutuellement.
- Attention : Cette incertitude décroît avec la portée. Sur une visée de 27 m au lieu de 274, elle serait dix fois plus grande, soit 66 mgon.
- Comparaison : C'est précisément pourquoi une orientation de station se prend sur le point de référence le plus éloigné disponible, et jamais sur le plus proche.
Remarque pédagogique : Le nombre de décimales d'un résultat n'est pas un choix esthétique : il se calcule. En publier davantage, c'est promettre une précision qu'on n'a pas.
Calcul 4 — de la distance plane à la distance de terrainPourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer l'écart entre la distance calculée et celle qu'un distancemètre lirait sur le terrain.
Application de la correction d'altération aux deux bornes publiées pour le Lambert 93, ce qui donne un encadrement de la distance réelle.
- Substitution : \( D_{\text{plan}} = 274{,}16 \) m, puis \( m = +3 \times 10^{-3} \) et \( m = -1 \times 10^{-3} \).
- Piège évité : On divise par \( (1+m) \) : les coordonnées sont celles du plan, et c'est la distance de terrain qui est recherchée.
- Hypothèse validée : Altération constante sur 274 m — hypothèse raisonnable à cette échelle.
- Vérification croisée : L'écart relatif doit valoir \( m \) exactement, et non \( 2m \) comme ce serait le cas pour une surface.
- Finalité : Encadrer la distance réelle et hiérarchiser les deux effets.
273,34 m, soit 82,0 cm de moins que la distance du plan. À l'autre borne, avec \( m = -1 \) m/km, on obtiendrait 274,43 m, soit 27,4 cm de plus. La distance réelle est donc encadrée par 273,34 et 274,43 m — une plage de 1,09 m.
- Ordre de grandeur : 0,3 % à la borne haute — exactement l'altération, sans doublement : une distance n'est qu'une longueur.
- Impact sur la suite : C'est l'effet dominant : 29 fois l'incertitude de mesure et 15 fois la tolérance individuelle de la classe [2] cm.
- Cohérence : L'écart change de signe selon le lieu : aucune correction forfaitaire n'est possible, il faut calculer l'altération de la zone.
- Attention : Le gisement n'est pas concerné : le Lambert 93 étant une projection conforme, il conserve les angles. Seules les longueurs sont déformées.
- Comparaison : Avec une projection conique conforme CC, dont l'altération reste sous 10 cm/km, l'écart tomberait à moins de 3 cm sur cette distance. C'est toute la raison d'être des neuf zones.
Remarque pédagogique : Un effet systématique vingt-neuf fois plus grand qu'un effet aléatoire : voilà pourquoi soigner la mesure ne suffit jamais si l'on ne sait pas ce que l'on calcule.
BILAN FINAL DE LA MISSION
Checklist d'Auto-Évaluation
Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez assimilé la démarche et pas seulement les formules :
Les différences de coordonnées valent ΔX = +214,67 m et ΔY = −170,53 m, quadrant Sud-Est. La distance horizontale s'établit à 274,16 m, dans l'encadrement 214,67 – 385,20 m posé d'avance. Le gisement vaut 142,74 gon, soit 128,463 degrés, et le gisement de retour 342,74 gon.
Un encadrement de distance et un contrôle de quadrant ne suffisent pas : une valeur fausse peut tomber dans les deux. Seul le retour aux coordonnées — recalculer les composantes depuis le gisement obtenu — juge réellement le résultat. Reste que ces deux nombres sont issus de mesures : avec 2,83 cm sur la distance et 6,57 mgon sur le gisement, et une altération linéaire qui place la distance de terrain entre 273,34 et 274,43 m, les décimales affichées ne décrivent que la calculatrice.
