Calcul du Facteur de Sécurité
Vérification à l'état limite ultime d'un tirant d'ancrage en acier sollicité en traction axiale pure
Contexte de l'Étude & Enjeux
Le Contexte : La passerelle piétonne « Horizon » franchit une voie rapide urbaine par une travée unique suspendue à un mât incliné. Le mât ne tient pas seul : il est retenu à l'arrière par un tirant d'ancrage, la barre repérée T1, qui relie sa tête à un massif fondé dans le remblai. Tout ce que les haubans reprennent du tablier redescend dans le mât, puis remonte dans ce tirant : T1 est l'élément par lequel transite la totalité de l'effort de contrepoids. C'est aussi un élément non redondant — aucun autre chemin d'effort ne peut le remplacer —, ce qui justifie que le contrôleur technique en demande une vérification écrite.
Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :
-
Un seul mode de sollicitation : Le tirant est attaché par deux chapes articulées. Une articulation ne transmet pas de moment : la barre ne reçoit donc ni flexion ni torsion, seulement un effort normal dirigé selon son axe. C'est le cas de charge le plus simple de la résistance des matériaux, et celui où la contrainte est uniforme sur toute la section.
-
Une section pleine, sans affaiblissement : T1 est une barre laminée pleine de 30 mm de diamètre, soudée à ses chapes. Elle ne comporte ni perçage ni entaille sur sa longueur libre : la section qui résiste est la section géométrique complète, d'un bout à l'autre.
-
Une exigence réglementaire chiffrée : L'EN 1990 § 6.4.2 impose que l'effet des actions de calcul reste inférieur ou égal à la résistance de calcul. Vérifier T1, c'est établir ces deux nombres puis les comparer — et traduire l'écart entre eux en une marge lisible par le maître d'ouvrage.
Établir la note de calculs de vérification du tirant T1 à l'état limite ultime, et chiffrer la marge dont dispose réellement le dimensionnement retenu.
- Quantifier la matière : Calculer l'aire de la section brute qui reprend l'effort.
- Établir la capacité : Déterminer la résistance de calcul de la section en traction, coefficient partiel compris.
- Mesurer la marge : Exprimer le rapport entre effort et résistance sous ses deux formes usuelles, le taux de travail et le facteur de sécurité.
- Interpréter la marge : Remonter du facteur de sécurité au diamètre strictement nécessaire, pour savoir ce que cette marge représente géométriquement.
- L'aire de la section brute du tirant, exprimée en millimètres carrés.
- La résistance de calcul de la section en traction, exprimée en kilonewtons.
- Le taux de travail et le facteur de sécurité, accompagnés de la conclusion de conformité.
- Le diamètre minimal strictement nécessaire et la marge géométrique correspondante.
Les paramètres ci-dessous constituent l'intégralité des données nécessaires. Les caractéristiques mécaniques de l'acier sont des valeurs nominales de la nuance, et non des valeurs mesurées sur l'ouvrage : elles sont garanties par la norme de produit et adoptées comme valeurs caractéristiques pour le calcul.
Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)
Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !
- Aire d'un disque plein \( A = \dfrac{\pi\,d^2}{4} \)
- Contrainte normale uniforme \( \sigma = \dfrac{N}{A} \)
- Résistance de calcul en traction \( N_{\text{pl,Rd}} = \dfrac{A\,f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \)
- Critère de vérification \( \dfrac{N_{\text{Ed}}}{N_{\text{t,Rd}}} \le 1{,}0 \)
- Facteur de sécurité \( \text{FS} = \dfrac{N_{\text{t,Rd}}}{N_{\text{Ed}}} \)
Le tirant T1 : géométrie et matériau
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( d \) | Diamètre nominal de la barre pleine | 30 | mm |
| \( L \) | Longueur libre entre axes de chapes | 12,50 | m |
| \( f_{\text{y}} \) | Limite d'élasticité nominale de l'acier S355, épaisseur nominale 16 < t ≤ 40 mm EN 10025-2 | 345 | MPa |
| \( f_{\text{u}} \) | Résistance à la traction minimale garantie de la nuance S355 EN 10025-2 | 470 | MPa |
| \( E \) | Module d'élasticité longitudinale de l'acier de construction EN 1993-1-1 § 3.2.6(1) | 210 000 | MPa |
- Section pleine, sans perçage : \( A_{\text{net}} = A \)
- Rayon de la barre : \( r = d/2 = 15 \text{ mm} \)
- Élancement en compression, pour mémoire : \( \lambda = L/i \approx 1\,670 \)
L'action : effort normal de calcul à l'ELU
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( N_{\text{Ed}} \) | Effort normal de traction de calcul, combinaison fondamentale ELU EN 1990 § 6.4.2 | 180 | kN |
| \( \gamma_{\text{M0}} \) | Coefficient partiel de résistance des sections, quelle que soit leur classe EN 1993-1-1 § 6.1(1) | 1,00 | — |
| \( \gamma_{\text{M2}} \) | Coefficient partiel pour la ruine par rupture de la section nette EN 1993-1-1 § 6.2.3(3) | 1,25 | — |
- Effort déjà pondéré : \( N_{\text{Ed}} = 180 \text{ kN} \)
- Critère à satisfaire : \( N_{\text{Ed}} \le N_{\text{t,Rd}} \)
- Sens du chargement : \( N_{\text{Ed}} > 0 \) : traction
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)
Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.
Limite d'élasticité minimale des nuances courantes selon l'épaisseur nominale du produit| Nuance et tranche d'épaisseur nominale | \( f_{\text{y}} \) |
|---|---|
| S355 — 16 < t ≤ 40 mm (cas du tirant) | 345 MPa |
| S355 — t ≤ 16 mm | 355 MPa |
| S355 — 40 < t ≤ 63 mm | 335 MPa |
| S275 — 16 < t ≤ 40 mm | 265 MPa |
| S235 — 16 < t ≤ 40 mm | 225 MPa |
3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé
La vérification suit l'enchaînement logique de toute justification de section : on quantifie d'abord la matière, on en déduit ensuite la capacité, on la confronte à la sollicitation, et on termine en interprétant l'écart obtenu. Chaque étape ne réclame que le résultat de la précédente.
Question 1 : Aire de la section brute du tirant
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Le produit est désigné par son diamètre, pas par son rayon. Écrivez d'abord la formule du disque en fonction du rayon, puis substituez \( r = d/2 \) avant d'appliquer le carré.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
En substituant, le carré porte sur la fraction entière : \( (d/2)^2 = d^2/4 \). Le facteur 4 apparaît au dénominateur, pas le facteur 2.
Question 2 : Résistance de calcul de la section en traction
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Deux ruines sont possibles en traction : la plastification générale de la section brute, et la rupture de la section nette au droit d'un perçage. Demandez-vous si la seconde peut se produire sur cette barre.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Le mégapascal vaut exactement un newton par millimètre carré. Multiplier des millimètres carrés par des mégapascals donne donc directement des newtons, sans aucune conversion de longueur.
Question 3 : Taux de travail et facteur de sécurité
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Le taux de travail et le facteur de sécurité décrivent la même situation : l'un est l'inverse de l'autre. Vérifiez cette réciprocité sur vos deux résultats.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Les deux grandeurs comparées doivent être dans la même unité avant division. Le rapport obtenu est un nombre sans dimension.
Question 4 (Finale) : Diamètre strictement nécessaire et marge géométrique
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Écrivez l'égalité \( N_{\text{Ed}} = A\,f_{\text{y}}/\gamma_{\text{M0}} \) avec \( A = \pi d^2/4 \), puis isolez \( d \).
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
La résistance est proportionnelle au carré du diamètre. Le rapport des diamètres est donc la racine carrée du rapport des forces.
Calcul du Facteur de Sécurité
"Avant toute chose, je regarde ce qui résiste. Le tirant est une barre pleine : la totalité du disque de 30 mm reprend l'effort, sans évidement ni perçage. Je note aussi que le produit est désigné par son diamètre, alors que la formule du disque s'écrit naturellement avec le rayon — c'est là que naissent la plupart des erreurs d'un facteur 4."
- Ce que je cherche : L'aire de la section droite, c'est-à-dire la surface obtenue en coupant la barre perpendiculairement à son axe.
- Ce que je choisis : Je travaille en newtons et millimètres. Dans ce système, une contrainte en mégapascals est directement un newton par millimètre carré, et aucune puissance de dix n'apparaît dans la suite des calculs.
- Ce que je vérifie : L'ordre de grandeur. Un disque de 30 mm s'inscrit dans un carré de 900 mm² et en occupe environ les trois quarts : le résultat doit tomber autour de 700 mm².
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
En traction axiale, l'effort se répartit sur la surface que l'on obtiendrait en sciant la barre perpendiculairement à son axe. Cette surface s'appelle la section droite. Tout ce qui l'augmente accroît la capacité de la barre dans la même proportion ; tout ce qui l'ampute — un trou, une entaille, une corrosion — la diminue d'autant.
Une seule relation est nécessaire ici : celle qui donne l'aire d'un disque plein à partir de son diamètre. Elle est établie ci-dessous à partir de la forme classique en fonction du rayon.
Aire d'un disque plein :Elle convertit une dimension linéaire — le diamètre, seule donnée fournie par le fabricant — en une surface résistante.
On part de la forme usuelle du disque, écrite avec le rayon, et l'on y substitue \( r = d/2 \) puisque aucun catalogue ne désigne un produit par son rayon. Le carré porte alors sur la fraction entière, et c'est l'élévation au carré de son dénominateur qui fait apparaître le facteur 4 : \( (d/2)^2 = d^2/4 \). Ce 4 n'est donc pas une convention à retenir, il est le carré du 2 de la demi-largeur.
- \( A \) : aire de la section droite de la barre, unité : mm²
- \( d \) : diamètre nominal de la barre pleine, unité : mm
"Appliquer la formule du disque en remplaçant le rayon par le diamètre, c'est-à-dire écrire \( A = \pi d^2 \) au lieu de \( A = \pi d^2/4 \)."
- Ce qu'elle change numériquement : Elle donne \( \pi \times 900 = 2\,827 \text{ mm}^2 \) au lieu de \( 706{,}86 \text{ mm}^2 \), soit quatre fois trop. Reportée jusqu'au bout, elle conduirait à une résistance de 975 kN au lieu de 244 kN et ferait déclarer sûr un tirant quatre fois trop faible.
- Comment on la détecte : Le disque est inscrit dans le carré de côté \( d \) : son aire ne peut donc jamais dépasser \( d^2 = 900 \text{ mm}^2 \). Une valeur de 2 827 mm² est géométriquement impossible, et se repère sans aucun calcul.
- Comment on l'évite : En écrivant systématiquement la formule sous la forme \( \pi d^2/4 \) et jamais sous la forme \( \pi r^2 \) lorsque la donnée est un diamètre. La substitution est faite une seule fois, au moment d'établir la formule, et non à chaque application.
Exécution de la Note de Calculs
- Le diamètre est fourni en millimètres : aucune conversion préalable n'est nécessaire.
- Le carré d'une longueur en millimètres donne une surface en millimètres carrés.
- Le nombre \( \pi \) et le facteur 4 sont sans dimension : ils ne modifient pas l'unité du résultat.
Le calcul est mené en millimètres, unité dans laquelle le diamètre est donné et dans laquelle la limite d'élasticité s'exprimera à l'étape suivante.
1. Résolution Numérique Calcul de l'aire de la section brutePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la capacité du tirant est proportionnelle à cette aire : c'est la première grandeur dont dépend tout le reste de la vérification.
On substitue le diamètre nominal dans la formule du disque, on élève au carré, puis on divise par 4 avant de multiplier par \( \pi \). L'ordre des opérations n'a pas d'incidence sur le résultat, mais diviser d'abord garde des nombres plus petits et facilite le contrôle mental.
- Donnée employée : Le diamètre nominal de 30 mm, lu sur le plan de repérage.
- Précision retenue : Le résultat exact vaut \( 225\pi \). On le conserve avec deux décimales, ce qui représente une précision relative de \( 10^{-5} \) : très largement suffisante devant les tolérances de laminage.
Sept cent six millimètres carrés, soit 7,07 cm² : la section d'un tirant de passerelle tient dans la paume de la main. Rapportée au carré circonscrit de 900 mm², elle en représente bien 78,5 %, ce qui confirme l'application correcte du facteur \( \pi/4 \).
- Contrôle géométrique : \( 706{,}86 / 900 = 0{,}785 \), soit exactement \( \pi/4 \). La valeur est cohérente avec la seule propriété que doit vérifier tout disque.
- Ordre de grandeur : En prenant \( \pi \approx 3 \), le calcul mental donne \( 225 \times 3 = 675 \text{ mm}^2 \). L'écart de 4,7 % avec le résultat exact correspond exactement à l'écart entre 3 et \( \pi \).
Remarque pédagogique : Cette aire est celle de la section brute, notée \( A \) dans l'Eurocode. Elle ne se confond ni avec la section nette \( A_{\text{net}} \), qui déduit les perçages, ni avec l'aire efficace \( A_{\text{eff}} \), qui ne concerne que les sections minces sujettes au voilement local. Ici, aucun perçage et aucune paroi mince : les trois notions coïncident, mais il faut savoir qu'elles sont distinctes.
"Je dispose maintenant de l'aire ; il me faut la contrainte que l'acier peut y supporter. L'Eurocode ouvre deux vérifications en traction : la plastification de la section brute et la rupture de la section nette. La seconde ne concerne que les zones percées, ce qui n'est pas le cas ici. Je dois le dire explicitement plutôt que de l'omettre : c'est ce qui justifie que la première suffise."
- Ce que je cherche : La force maximale que la section peut équilibrer sans être considérée comme ruinée au sens de l'état limite ultime.
- Ce que je choisis : La vérification de la section brute de l'EN 1993-1-1 § 6.2.3(2), seule applicable à une barre continue non percée.
- Ce que je vérifie : L'homogénéité des unités. Des millimètres carrés multipliés par des mégapascals donnent des newtons, et rien d'autre.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Une pièce tendue peut céder de deux façons. Ou bien la section entière se met à couler plastiquement, ce qui survient lorsque la contrainte moyenne atteint la limite d'élasticité. Ou bien la matière se rompt franchement dans une zone rétrécie par des perçages, où la contrainte locale atteint la résistance à la traction. L'Eurocode formalise ces deux mécanismes par deux expressions distinctes, assorties de coefficients partiels différents.
Deux relations sont mises en regard : celle qui gouverne réellement le cas étudié, et celle qu'il faut savoir écarter avec un argument. Elles sont présentées séparément car elles décrivent deux mécanismes physiques différents.
Résistance plastique de la section brute :Elle donne la force au-delà de laquelle la section entière entre en écoulement plastique.
L'effort repris par une section est, par définition, l'intégrale de la contrainte sur son aire. À la ruine par plastification, cette contrainte atteint \( f_{\text{y}} \) en tout point : étant alors constante, elle sort de l'intégrale, et il ne subsiste que \( \int_A dA \), c'est-à-dire l'aire elle-même. Le produit \( A f_{\text{y}} \) n'est donc pas posé — il est ce que devient l'intégrale lorsque la contrainte est uniforme. La division par \( \gamma_{\text{M0}} \), portée d'un bout à l'autre de la chaîne, transforme cette capacité caractéristique en capacité de calcul.
- \( N_{\text{pl,Rd}} \) : résistance plastique de calcul de la section brute, unité : N
- \( A \) : aire de la section brute déterminée en question 1, unité : mm²
- \( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité nominale de la nuance d'acier, unité : MPa
- \( \gamma_{\text{M0}} \) : coefficient partiel de résistance des sections, unité : —
Elle donne la force de rupture d'une section affaiblie par des trous de fixation.
Au droit d'un perçage, la matière restante est moindre et la contrainte y est localement plus forte. La ruine s'y produit par rupture, à la résistance à la traction \( f_{\text{u}} \) et non à la limite d'élasticité. Le facteur 0,9 traduit la concentration de contrainte autour du trou, et \( \gamma_{\text{M2}} \) est plus sévère parce que cette ruine est fragile, sans déformation annonciatrice.
- \( N_{\text{u,Rd}} \) : résistance ultime de calcul de la section nette, unité : N
- \( A_{\text{net}} \) : aire de la section déduction faite des perçages, unité : mm²
- \( f_{\text{u}} \) : résistance à la traction minimale garantie de la nuance, unité : MPa
- \( \gamma_{\text{M2}} \) : coefficient partiel associé à la ruine par rupture, unité : —
"Lire la limite d'élasticité dans le nom de la nuance et retenir 355 MPa pour ce tirant, alors que le produit mesure 30 mm et relève de la tranche 16 < t ≤ 40 mm, où l'EN 10025-2 ne garantit plus que 345 MPa."
- Pourquoi la limite décroît avec l'épaisseur : Un produit épais subit un corroyage moindre et refroidit plus lentement à cœur. Le grain y est plus grossier, et la limite d'élasticité garantie sur l'ensemble de la section s'en trouve abaissée. L'EN 10025-2 traduit ce fait par des paliers : 355 MPa jusqu'à 16 mm, 345 MPa de 16 à 40 mm, 335 MPa de 40 à 63 mm.
- Ce que change l'erreur numériquement : Retenir 355 MPa donnerait \( 706{,}86 \times 355/1000 = 250{,}94 \text{ kN} \) au lieu de \( 243{,}87 \text{ kN} \), soit une capacité surestimée de 2,9 %. Le taux de travail annoncé serait 0,717 au lieu de 0,738 : la conclusion resterait favorable ici, mais elle basculerait pour tout élément dont le taux réel dépasse 0,97.
- Comment on l'évite : En lisant systématiquement \( f_{\text{y}} \) dans le tableau de la norme de produit, à la ligne de la nuance et à la colonne de l'épaisseur du produit réellement mis en œuvre. Pour un rond laminé à chaud, l'épaisseur nominale au sens de la norme est le diamètre ; pour un profilé, c'est l'épaisseur de la semelle.
Exécution de la Note de Calculs
- Un mégapascal vaut exactement un newton par millimètre carré : \( 1 \text{ MPa} = 1 \text{ N/mm}^2 \).
- Des millimètres carrés multipliés par des newtons par millimètre carré donnent des newtons.
- Le coefficient partiel est sans dimension : la division par \( \gamma_{\text{M0}} \) ne change pas l'unité.
- La conversion finale en kilonewtons est une division par 1 000.
Le calcul est conduit en newtons, puis converti en kilonewtons pour être comparé à l'effort de calcul, qui est fourni dans cette unité.
1. Résolution Numérique Calcul de la résistance plastique de la section brutePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la vérification que l'EN 1993-1-1 § 6.2.3(2) désigne comme gouvernante pour une section sans trous, ce qui est le cas du tirant T1 sur toute sa longueur libre.
On multiplie l'aire obtenue en question 1 par la limite d'élasticité de la nuance, puis on divise par le coefficient partiel. Le résultat sort en newtons, unité naturelle du produit millimètre carré × mégapascal.
- Données employées : \( A = 706{,}86 \text{ mm}^2 \) de la question 1, et \( f_{\text{y}} = 345 \text{ MPa} \), valeur de la nuance S355 dans la tranche 16 < t ≤ 40 mm à laquelle appartient un rond de 30 mm.
- Coefficient retenu : \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \) selon l'EN 1993-1-1 § 6.1(1). La division est neutre numériquement, mais elle doit figurer dans la note de calculs : c'est elle qui fait de \( N_{\text{pl,Rd}} \) une résistance de calcul.
Près de deux cent quarante-quatre mille newtons : la barre de 3 cm retient l'équivalent du poids de vingt-cinq tonnes avant d'entrer en écoulement. Cet ordre de grandeur est caractéristique des aciers de construction, dont la limite d'élasticité se compte en centaines de mégapascals.
- Contrôle par la contrainte : En divisant le résultat par l'aire, on doit retrouver exactement la limite d'élasticité : \( 243\,867/706{,}86 = 345 \text{ MPa} \). L'égalité confirme la chaîne de calcul.
- Sensibilité à la nuance : La même barre en S235, dont la limite tombe à 225 MPa dans cette tranche d'épaisseur, ne retiendrait que \( 706{,}86 \times 225 = 159{,}04 \text{ kN} \), soit 34,8 % de moins. Le choix de la nuance pèse ici autant qu'un changement de section.
Remarque pédagogique : Le mot « plastique » ne doit pas faire croire que l'on autorise la barre à se déformer irréversiblement. \( N_{\text{pl,Rd}} \) est la force qui amène la contrainte moyenne tout juste à \( f_{\text{y}} \) : en deçà, la section reste entièrement élastique. C'est donc la borne supérieure du domaine élastique. Quant à la valeur unitaire de \( \gamma_{\text{M0}} \), elle s'explique par la construction même des Eurocodes : la sécurité est portée par la pondération des actions et par le caractère caractéristique — donc déjà minoré — de \( f_{\text{y}} \), qui est un minimum garanti et non une moyenne. On ne la remet pas une troisième fois en divisant encore la limite d'élasticité, comme le faisaient les anciennes règles aux contraintes admissibles.
Conversion en kilonewtons et choix de la résistance gouvernantePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'effort de calcul est fourni en kilonewtons : la comparaison exige que les deux grandeurs soient exprimées dans la même unité.
On divise le résultat en newtons par 1 000. On acte ensuite que, la section étant dépourvue de trous, la résistance en traction \( N_{\text{t,Rd}} \) se confond avec la résistance plastique de la section brute.
- Conversion : Un kilonewton vaut mille newtons. La division ne modifie pas la valeur physique, seulement son écriture.
- Justification normative : L'EN 1993-1-1 § 6.2.3(2) énonce que, pour les sections sans trous, la résistance de calcul en traction est la résistance plastique de la section brute. Aucune comparaison avec \( N_{\text{u,Rd}} \) n'est donc requise.
La capacité du tirant s'établit à 243,87 kN. C'est le nombre qui sera confronté aux 180 kN de l'effort de calcul : la comparaison est désormais possible, les deux grandeurs étant homogènes.
- Cohérence de la conversion : 243 867 N et 243,87 kN désignent la même force. Seule l'unité change ; la valeur physique est identique.
- Portée du résultat : Cette valeur est une résistance de section. Elle ne préjuge en rien de la tenue des attaches, qui relève d'une vérification d'assemblage distincte.
Remarque pédagogique : Il vaut la peine de noter ce que donnerait la vérification de section nette si un perçage était pratiqué : 239,2 kN, soit 1,9 % de moins que la résistance plastique. L'écart est faible, mais il suffit à faire basculer la vérification du mode ductile vers le mode fragile — un argument technique décisif en faveur des attaches soudées ou par chape rapportée.
"J'ai deux nombres homogènes : 180 kN d'un côté, 243,87 kN de l'autre. Leur rapport suffit à conclure. Reste à choisir dans quel sens l'écrire : le taux de travail, que l'Eurocode compare à 1, ou le facteur de sécurité, plus parlant pour un maître d'ouvrage. Les deux disent la même chose et se contrôlent l'un l'autre."
- Ce que je cherche : Le rapport entre ce que la structure subit et ce qu'elle peut supporter, exprimé sous ses deux formes usuelles.
- Ce que je choisis : Le kilonewton pour les deux grandeurs. Un rapport de forces exprimé dans deux unités différentes n'aurait aucun sens.
- Ce que je vérifie : La réciprocité : le produit du taux de travail par le facteur de sécurité doit valoir 1. C'est un contrôle qui ne coûte rien et détecte toute inversion.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Vérifier une section, c'est comparer une sollicitation à une résistance. Cette comparaison s'écrit indifféremment comme un rapport inférieur à 1 ou comme un rapport supérieur à 1, selon le sens dans lequel on la pose. Les deux écritures coexistent dans la pratique et il faut savoir passer de l'une à l'autre sans hésitation.
Deux relations sont nécessaires, l'une inverse de l'autre. Elles sont présentées séparément parce qu'elles répondent à deux questions différentes : « quelle part de la capacité est utilisée ? » et « de combien peut-on encore charger ? ».
Taux de travail de la section :Il exprime la part de la capacité consommée par le chargement de calcul.
L'état limite ultime s'écrit \( N_{\text{Ed}} \le N_{\text{t,Rd}} \). En divisant les deux membres par la résistance, l'inégalité devient une comparaison à 1, indépendante de l'unité employée. La seconde ligne pousse la substitution plus loin en remplaçant \( N_{\text{t,Rd}} \) par l'expression établie précédemment : le taux se lit alors comme le rapport de l'effort à ce que la matière peut porter, à section et nuance données.
- \( \text{UR} \) : taux de travail de la section, unité : —
- \( N_{\text{Ed}} \) : effort normal de traction de calcul à l'ELU, unité : kN
- \( N_{\text{t,Rd}} \) : résistance de calcul de la section en traction, unité : kN
Il exprime le coefficient multiplicateur que l'effort de calcul pourrait encore supporter.
Le facteur de sécurité s'obtient en retournant le rapport précédent : numérateur et dénominateur y sont échangés, ce qui en fait l'inverse exact du taux de travail. La seconde ligne rend cette réciprocité visible, et fournit du même coup le contrôle qui l'accompagne — le produit des deux rapports vaut nécessairement 1. Le taux répond à la question du vérificateur, le facteur à celle du maître d'ouvrage.
- \( \text{FS} \) : facteur de sécurité de la section, unité : —
- \( N_{\text{t,Rd}} \) : résistance de calcul de la section en traction, unité : kN
- \( N_{\text{Ed}} \) : effort normal de traction de calcul à l'ELU, unité : kN
"Additionner le facteur de sécurité obtenu ici aux coefficients de pondération déjà appliqués aux actions, et annoncer une sécurité globale bien supérieure à la réalité."
- Où se trouve la première marge : Dans \( N_{\text{Ed}} \). Les charges caractéristiques ont déjà été majorées par les coefficients de la combinaison fondamentale avant d'arriver au calcul de section.
- Ce que change l'erreur numériquement : Annoncer une sécurité de 1,36 × 1,35 ≈ 1,83 revient à compter deux fois la même précaution. La marge réelle vis-à-vis des charges non pondérées est bien de cet ordre, mais elle ne vient pas s'ajouter à 1,36 : elle l'englobe.
- Comment on l'évite : En précisant toujours à quel niveau se situe la marge annoncée : vis-à-vis de l'effort de calcul, comme ici, ou vis-à-vis des charges réelles, ce qui est une tout autre affirmation.
Exécution de la Note de Calculs
- L'effort et la résistance sont tous deux exprimés en kilonewtons : la division est légitime.
- Le rapport de deux forces est un nombre sans dimension.
- La conversion en pourcentage est une multiplication par 100, sans changement de nature.
Les deux rapports sont formés à partir des mêmes valeurs, prises dans les deux sens. Chacun fait l'objet d'un bloc distinct, car ils répondent à deux questions différentes.
1. Résolution Numérique Calcul du taux de travailPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la forme sous laquelle l'Eurocode énonce le critère : un rapport comparé à l'unité.
On divise l'effort normal de calcul par la résistance de calcul, les deux étant exprimés en kilonewtons. Le résultat est reporté ensuite en pourcentage, forme sous laquelle il figure habituellement dans les tableaux de synthèse.
- Données employées : \( N_{\text{Ed}} = 180 \text{ kN} \) de l'énoncé et \( N_{\text{t,Rd}} = 243{,}87 \text{ kN} \) de la question 2.
- Précision retenue : Trois décimales, ce qui permet de vérifier la réciprocité avec le facteur de sécurité sans ambiguïté d'arrondi.
Le tirant consomme un peu moins de 74 % de sa capacité. Le critère de l'EN 1990 § 6.4.2 est satisfait, puisque ce taux reste inférieur à 1. Il reste 63,87 kN de réserve entre l'effort de calcul et la résistance.
- Position vis-à-vis du critère : \( 0{,}738 \le 1{,}00 \) : la section est vérifiée en traction à l'état limite ultime.
- Lecture de la réserve : \( 243{,}87 - 180 = 63{,}87 \text{ kN} \) séparent l'effort de calcul de la capacité. C'est la traduction du taux de travail en force plutôt qu'en rapport.
Remarque pédagogique : Un taux compris entre 0,7 et 0,95 est le domaine usuel d'un élément bien dimensionné. En deçà de 0,5, la matière est mal employée ; au-delà de 0,98, la moindre révision du chargement en cours d'étude oblige à redimensionner. La valeur obtenue ici place le tirant dans une zone confortable sans être dispendieuse.
Calcul du facteur de sécuritéPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la mission demande de chiffrer la marge, et que cette marge se communique plus naturellement sous la forme d'un coefficient multiplicateur que sous celle d'un pourcentage de capacité consommée.
On forme le rapport inverse du précédent, en divisant la résistance de calcul par l'effort normal de calcul.
- Données employées : Les mêmes que pour le taux de travail, prises dans l'ordre inverse.
- Contrôle intégré : Le produit des deux rapports doit valoir 1. Ce contrôle est réalisé immédiatement après le calcul.
L'effort de calcul pourrait être multiplié par 1,355 avant que la section n'atteigne sa limite d'écoulement. Autrement dit, la barre dispose de 35,5 % de réserve au-delà de l'effort déjà pondéré.
- Contrôle de réciprocité : \( 0{,}738 \times 1{,}355 = 1{,}000 \). Les deux résultats sont bien inverses l'un de l'autre : aucune inversion n'a été commise.
- Portée de la marge : Cette réserve s'entend au-delà de la pondération des actions. Elle couvre les écarts d'exécution et les révisions mineures de chargement, pas un changement d'usage de l'ouvrage.
Remarque pédagogique : Le facteur de sécurité est ici un résultat, non une donnée d'entrée. C'est une différence de fond avec les anciennes règles aux contraintes admissibles, où l'on divisait la résistance du matériau par un coefficient fixé à l'avance. Dans les Eurocodes, la sécurité est distribuée entre les actions et les résistances, et le rapport final se constate.
"Une marge de 35,5 % sur la force paraît confortable. Mais le maître d'ouvrage ne commande pas des kilonewtons, il commande des barres d'un certain diamètre. Je veux donc savoir ce que cette marge représente en millimètres — et je m'attends à ce que ce soit nettement moins, car la résistance varie comme le carré du diamètre."
- Ce que je cherche : Le diamètre qui conduirait à un taux de travail exactement égal à 1, puis l'écart entre ce diamètre et celui qui a été retenu.
- Ce que je choisis : Le raisonnement inverse : au lieu de partir de la géométrie pour aller vers la capacité, je pars de la capacité exigée pour remonter à la géométrie.
- Ce que je vérifie : La cohérence entre les deux marges. Le rapport des diamètres doit être la racine carrée du rapport des forces.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Vérifier et dimensionner sont deux opérations symétriques. Vérifier consiste à partir d'une géométrie connue pour établir une capacité, puis à la comparer à une sollicitation. Dimensionner consiste à partir de la sollicitation pour en déduire la géométrie strictement nécessaire. La seconde opération s'obtient en inversant la relation de la première.
Une seule relation est nécessaire, obtenue en isolant le diamètre dans l'expression de la résistance. Elle est établie ci-dessous puis appliquée.
Diamètre minimal nécessaire en traction :Il donne la plus petite barre pleine capable de reprendre l'effort de calcul sans dépasser le critère.
On écrit l'égalité stricte entre la capacité de la section et l'effort de calcul, ce qui correspond à un taux de travail unitaire, et l'on y remplace l'aire par son expression en fonction du diamètre : c'est la première ligne. La deuxième isole le carré du diamètre en faisant passer les autres facteurs de l'autre côté — le 4 du dénominateur monte au numérateur, le rapport des contraintes s'inverse. La troisième extrait la racine, dont seule la valeur positive a un sens pour un diamètre.
- \( d_{\text{min}} \) : diamètre minimal conduisant à un taux de travail unitaire, unité : mm
- \( N_{\text{Ed}} \) : effort normal de traction de calcul, exprimé en newtons, unité : N
- \( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité nominale de la nuance d'acier, unité : MPa
- \( \gamma_{\text{M0}} \) : coefficient partiel de résistance des sections, unité : —
"Conclure d'un facteur de sécurité de 1,355 que l'on pourrait réduire le diamètre de près de 35 %, et proposer une barre de 19,5 mm au lieu de 30 mm."
- Pourquoi elle se produit : Parce qu'on transpose sans y penser une marge établie sur une force à une grandeur qui n'y est pas proportionnelle. La résistance varie comme \( d^2 \), donc une réduction de 35 % du diamètre multiplie la capacité par \( 0{,}65^2 = 0{,}42 \), c'est-à-dire la réduit de 58 %.
- Ce qu'elle change numériquement : Une barre de 19,5 mm offre \( \pi \times 19{,}5^2/4 = 298{,}6 \text{ mm}^2 \), donc une résistance de \( 298{,}6 \times 345/1000 = 103{,}0 \text{ kN} \). Sous 180 kN, le taux de travail passerait à 1,75 : le tirant serait chargé à près du double de sa capacité et s'allongerait plastiquement jusqu'à la ruine de la passerelle.
- Comment on l'évite : En passant systématiquement par la relation inverse plutôt que par une règle de trois. La marge sur le diamètre est la racine carrée de la marge sur la force : \( \sqrt{1{,}355} = 1{,}164 \), soit 16,4 % et non 35,5 %.
Exécution de la Note de Calculs
- L'effort doit être introduit en newtons pour être homogène avec la limite d'élasticité en newtons par millimètre carré.
- Le quotient sous la racine est une surface, exprimée en millimètres carrés.
- La racine carrée d'une surface en millimètres carrés donne une longueur en millimètres.
- Les rapports de marges sont des nombres sans dimension.
Le diamètre minimal est d'abord établi, puis les deux marges — sur la force et sur le diamètre — sont comparées dans un second bloc.
1. Résolution Numérique Calcul du diamètre strictement nécessairePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule façon de savoir ce que la marge de sécurité représente réellement en termes de matière commandée.
On applique la relation inverse en introduisant l'effort de calcul en newtons, la limite d'élasticité en mégapascals et le coefficient partiel. Le quotient sous la racine est l'aire strictement nécessaire multipliée par 4 sur \( \pi \) ; sa racine carrée donne directement le diamètre.
- Données employées : \( N_{\text{Ed}} = 180\,000 \text{ N} \), \( f_{\text{y}} = 345 \text{ MPa} \) et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \).
- Conversion préalable : L'effort est converti de kilonewtons en newtons avant application, pour rester homogène avec la limite d'élasticité exprimée en newtons par millimètre carré.
Une barre de 25,77 mm suffirait tout juste. Comme aucun produit courant n'existe à ce diamètre exact, le projet retient le diamètre normalisé immédiatement supérieur : 30 mm. La marge constatée n'est donc pas le fruit d'un choix de prudence, mais celui de la gamme disponible.
- Contrôle par retour : \( \pi \times 25{,}77^2/4 = 521{,}5 \text{ mm}^2 \), et \( 521{,}5 \times 345/1000 = 179{,}9 \text{ kN} \). On retombe sur l'effort de calcul à l'arrondi près : le diamètre trouvé est bien celui du taux de travail unitaire.
- Comparaison des aires : \( 706{,}86/521{,}5 = 1{,}355 \). Le rapport des aires est exactement le facteur de sécurité, ce qui était attendu puisque la résistance est proportionnelle à l'aire.
Remarque pédagogique : Ce calcul éclaire la nature de la marge obtenue en question 3. Elle ne provient d'aucune intention particulière du projeteur : elle résulte de l'écart entre un besoin continu, 25,77 mm, et une offre discrète, la gamme des diamètres normalisés. C'est un phénomène général en construction, et il explique pourquoi les taux de travail réels sont rarement proches de 1.
Comparaison de la marge sur la force et de la marge sur le diamètrePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les deux marges sont différentes et que confondre l'une avec l'autre conduit à des propositions d'optimisation dangereuses.
On forme le rapport du diamètre retenu au diamètre strictement nécessaire, puis on le compare à la racine carrée du facteur de sécurité établi en question 3.
- Données employées : \( d = 30 \text{ mm} \) du projet et \( d_{\text{min}} = 25{,}77 \text{ mm} \) du bloc précédent.
- Relation attendue : Le rapport des diamètres doit être égal à \( \sqrt{\text{FS}} \), puisque la résistance varie comme le carré du diamètre.
Le diamètre installé n'excède que de 16,4 % le diamètre strictement nécessaire, alors que la marge sur la force atteint 35,5 %. La racine carrée du facteur de sécurité vaut \( \sqrt{1{,}355} = 1{,}164 \) : les deux voies concordent exactement.
- Concordance des deux voies : Le rapport géométrique direct et la racine carrée du facteur de sécurité donnent la même valeur à trois décimales. La relation \( \text{FS} = (d/d_{\text{min}})^2 \) est vérifiée.
- Ce qu'il faut en retenir : Une marge apparemment généreuse sur la force est en réalité modeste sur la géométrie. C'est la raison pour laquelle un élément vérifié avec 35 % de réserve ne peut pas descendre d'une taille dans la gamme sans repasser par le calcul.
Remarque pédagogique : Cette compression des marges vaut pour toutes les grandeurs qui interviennent au carré ou au cube dans une capacité. Pour une poutre fléchie, dont le module d'inertie varie comme le cube de la hauteur, une marge de 35,5 % sur le moment ne représenterait qu'environ 10,7 % sur la hauteur — soit une marge encore plus fine.
BILAN FINAL DE LA MISSION
Checklist d'Auto-Évaluation
Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :
Le tirant T1 de la passerelle « Horizon » est vérifié à l'état limite ultime. Sa section brute de 706,86 mm² développe une résistance de calcul de 243,87 kN, à opposer aux 180 kN de l'effort normal de calcul : le taux de travail s'établit à 0,738 et le facteur de sécurité à 1,355. Cette capacité repose sur une limite d'élasticité de 345 MPa, et non sur les 355 MPa que suggère le nom de la nuance : un rond de 30 mm appartient à la tranche d'épaisseur 16 < t ≤ 40 mm, où l'EN 10025-2 abaisse la valeur garantie d'un palier. La barre étant par ailleurs dépourvue de tout perçage sur sa longueur libre, la ruine par plastification de la section brute gouverne seule la vérification, sans qu'il y ait lieu d'examiner la section nette. Le dimensionnement est donc conforme, avec une réserve de 63,87 kN au-delà de l'effort déjà pondéré.
La lecture géométrique de cette marge en constitue l'enseignement principal. Les 35,5 % de réserve sur la force ne représentent que 16,4 % sur le diamètre, parce que la résistance croît comme le carré de celui-ci. Le diamètre strictement nécessaire, 25,77 mm, n'existant pas au catalogue, la marge observée résulte d'abord du passage au diamètre normalisé supérieur, et non d'une intention de surdimensionnement. Retenir cette distinction évite deux erreurs symétriques : proposer une économie de matière que le calcul ne permet pas, et annoncer une sécurité globale obtenue en cumulant des marges qui portent sur des grandeurs différentes.
