Exercice corrigé NF EN ISO 17892-9 NF EN ISO 17892-8 NF EN ISO 17892 NF EN 1997-1 NF P94-070

Calcul du chemin des contraintes

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 29 juillet 2026• 75 min de lecture

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NIVEAU : Licence / Master — Géotechnique DOMAINE : Mécanique des Sols THÈME : Essai triaxial CU et chemins de contraintes dans le plan p-q

Calcul du Chemin des Contraintes

Deux trajets pour un même essai — celui qu'on applique, et celui que le sol subit vraiment

⏱️

TEMPS ESTIMÉ 80 min

🧠

PRÉREQUIS Contrainte effective de Terzaghi · Essai triaxial · Invariants p et q · Critère de Mohr-Coulomb

🏗️ Contexte de la Mission Essai triaxial en laboratoire

🧪

📖 Ce qu'on applique n'est pas ce que le sol ressent

Un essai non drainé sépare deux histoires. D'un côté, celle de la machine : elle serre l'échantillon à confinement constant et pousse sur le piston. De l'autre, celle du squelette de grains : l'eau enfermée dans les pores monte en pression et lui reprend une partie de la charge. Les deux histoires se racontent dans le même diagramme, et c'est leur écart qui contient toute la géotechnique de l'essai.

🔒 La condition non drainée : la vanne de drainage est fermée . L'eau ne peut pas sortir, le volume ne peut pas changer, et toute tendance du sol à se contracter se convertit en surpression interstitielle .
📉 Le paradoxe qui en découle : on charge de plus en plus fort et, dans le même temps, la contrainte réellement supportée par les grains diminue . C'est pour cela que l'échantillon finit par rompre alors même que le confinement appliqué n'a pas bougé d'un kilopascal.
📐 L'outil de lecture : le plan p-q . Deux nombres au lieu de trois contraintes, un point par instant de l'essai, et deux trajets qui s'écartent l'un de l'autre exactement de la pression de l'eau.

🎯 La problématique

ENJEU

🔍

❓ La question posée Un échantillon d'argile saturée, consolidé sous 200 kPa, puis cisaillé vanne fermée. Six paliers de chargement, six mesures de pression interstitielle. Il faut en tirer les deux chemins de contraintes , et surtout l' angle de frottement effectif — le seul paramètre qui servira ensuite à dimensionner une fondation ou vérifier un talus.

Les cinq questions auxquelles il faut répondre

Les quatre premières construisent le tableau, palier par palier. La cinquième le fait parler.

1️⃣

L'état initial Les contraintes effectives à la fin de la consolidation — le point de départ commun aux deux chemins.
2️⃣

Les contraintes totales Ce que la machine applique — et la pente imposée au chemin total, qui ne dépend d'aucune propriété du sol.
3️⃣

Les contraintes effectives Ce que les grains supportent réellement, une fois l'eau déduite des deux côtés.
4️⃣

Les invariants p et q Le passage de six contraintes à deux coordonnées, et le contrôle qui doit tomber juste à chaque ligne du tableau.
☠️

L'angle de frottement effectif Tracer, mesurer la pente, en déduire φ′ — et vérifier que le chiffre obtenu est crédible pour le matériau annoncé.

📋

🏗️

Ingénieur géotechnicien — interprétation d'essais

Le laboratoire a rendu six lignes de mesures. Le bureau d'études attend un angle de frottement effectif pour lancer les calculs de stabilité, et il l'utilisera tel quel.

🎯 Livrable attendu : le tableau complet des contraintes et invariants, les deux chemins tracés, et φ′ avec le jugement qui l'accompagne.
⚠️ Contrainte : l'essai s'arrête au sixième palier. Rien ne dit que ce palier soit la rupture — il faudra le discuter avant d'en tirer un angle.

📊 LA CELLULE TRIAXIALE EN PHASE DE CISAILLEMENT

📌

Lecture du schéma : l'eau de la cellule presse l'éprouvette de tous les côtés — c'est le confinement σ₃ , et il ne bougera plus une fois le cisaillement lancé. Le piston ajoute par le haut le déviateur Δσ , si bien que la contrainte axiale vaut σ₁ = σ₃ + Δσ. Le point décisif est en bas à droite : la vanne de drainage est fermée . L'eau des pores est prisonnière, son volume ne peut pas changer, et le capteur mesure la pression qu'elle prend. C'est cette pression, et elle seule, qui sépare ce que la machine applique de ce que les grains subissent.

📌

Ce qu'il faut savoir avant de commencer

▸ Le principe de Terzaghi : σ′ = σ − u. L'eau ne peut pas transmettre de cisaillement ; elle se contente de porter une part de la compression. Ce qui reste pour les grains est la contrainte effective , et c'est elle, jamais la totale, qui gouverne la résistance.
▸ Les invariants : p = (σ₁ + 2σ₃)/3 mesure la compression moyenne , q = σ₁ − σ₃ mesure le cisaillement . Le facteur 2 vient de la symétrie de révolution : la contrainte radiale agit dans deux directions sur trois.
▸ CU, UU, CD : un essai CU consolide d'abord l'éprouvette drainage ouvert, puis la cisaille drainage fermé. C'est le seul des trois qui donne à la fois une résistance non drainée et, grâce à la mesure de u, les paramètres effectifs.

⚠️

🛑

Le réflexe à prendre dès maintenant

Regardez la dernière ligne du tableau de mesures : le déviateur y vaut encore 20 kPa de plus que le palier précédent.

🔍 Ce que cela signifie : le déviateur croît toujours quand l'essai s'arrête. Aucun maximum n'a été franchi, aucun palier n'a été observé.
⚠️ Pourquoi c'est décisif : tout l'exercice va prendre ce dernier point pour la rupture . C'est une hypothèse, pas une mesure — et l'angle de frottement en dépend directement.
📐 Gardez-le en tête : la question 5 y reviendra, et le chiffre obtenu devra être confronté à ce que l'on attend d'une argile.

📐 Données de l'Étude

Un échantillon d'argile saturée est consolidé de manière isotrope dans une cellule triaxiale, puis cisaillé drainage fermé (essai CU) avec mesure de la pression interstitielle.

🎓 Objectifs pédagogiques de l'exercice

À la fin de cet exercice, vous saurez :

✓ Distinguer contrainte totale et contrainte effective sur un cas chiffré
✓ Calculer les invariants p, q, p′ et q′ à partir des contraintes principales
✓ Tracer et lire un chemin de contraintes totales et un chemin effectif
✓ Déduire l'angle de frottement effectif de la pente de rupture
✓ Recouper ce résultat par un second chemin de calcul indépendant
✓ Juger si un angle de frottement est plausible pour le sol annoncé

🔢

Données chiffrées et cadre normatif

📊 Conditions de l'essai

Caractéristique	Symbole	Valeur
Condition de drainage	—	Consolidé Non Drainé (CU), avec mesure de u
Pression de consolidation isotrope	σ_3c	200 kPa
Pression interstitielle initiale	u₀	0 kPa (consolidation achevée)
Confinement pendant le cisaillement	σ₃	200 kPa, maintenu constant

📋 Relevé de la phase de cisaillement

Palier	Déviateur Δσ = σ₁ − σ₃ (kPa)	Pression interstitielle u (kPa)
0	0	0
1	50	28
2	100	55
3	150	82
4	180	105
5 dernier palier	200	120

🧮

Ce que l'énoncé ne donne pas

Déformation axiale aucune valeur de ε : impossible de dire où en est l'éprouvette de son écrasement
Nature exacte du sol « argile saturée », sans limites d'Atterberg ni granulométrie
Second essai un seul confinement : la cohésion effective c′ ne peut pas être mesurée, elle est posée nulle

📕 Références et fondements applicables

Référence	Objet	Statut
Terzaghi (1925)	Principe de la contrainte effective σ′ = σ − u	Fondement
NF EN ISO 17892-9	Essais triaxiaux de compression consolidés sur sols saturés (CU et CD) — c'est la norme de cet essai	En vigueur (2018)
NF EN ISO 17892-8	Essai triaxial non consolidé non drainé (UU)	En vigueur (2018)
Mohr-Coulomb	Critère de rupture τ = c′ + σ′ tan φ′	Fondement
NF EN 1997-1	Eurocode 7 : emploi des paramètres c′ et φ′ en calcul de stabilité	En vigueur

🧭

Conventions retenues

Saturation éprouvette entièrement saturée , coefficient de Skempton B = 1
Symétrie révolution : σ₂ = σ₃ , d'où le facteur 2 dans l'expression de p
Compressions comptées positives , convention de la mécanique des sols
Cohésion sol supposé normalement consolidé , donc c′ = 0 et droite de rupture par l'origine

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un diagnostic sûr et conforme aux normes en vigueur, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : L'état de contrainte initial

🏷️ Application ⏱️ 10 min | ⭐ Facile

🎯 But de l'étape : Fixer le point de départ commun aux deux chemins, avant que le cisaillement ne les sépare.

👉 Calculer σ′_1c et σ′_3c en fin de consolidation, puis en déduire les coordonnées du point de départ dans le plan p-q.

💡 Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La consolidation est achevée : la surpression s'est dissipée. Que vaut alors u ?

🔑 Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

σ′ = σ − u avec u = 0. Et « isotrope » signifie que les trois contraintes principales sont égales — donc que le déviateur est nul.

Question 2 : Les contraintes totales

🏷️ Application ⏱️ 12 min | ⭐ Facile

🎯 But de l'étape : Décrire ce que la machine impose, indépendamment de toute propriété du sol.

👉 Calculer σ₁ pour chaque palier, puis établir la pente du chemin total dans le plan p-q.

💡 Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

σ₃ ne bouge pas. Une addition suffit pour σ₁.

🔑 Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Pour la pente, remplacez σ₁ par σ₃ + q dans p = (σ₁ + 2σ₃)/3 et simplifiez. Vous obtiendrez p en fonction de q seul.

Question 3 : Les contraintes effectives

🏷️ Application ⏱️ 12 min | ⭐⭐ Moyen

🎯 But de l'étape : Retirer l'eau des deux côtés et voir ce qu'il reste réellement pour les grains.

👉 Calculer σ′₁ et σ′₃ au palier final, et constater le sens d'évolution du confinement effectif.

💡 Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Une soustraction. Mais elle porte sur les deux contraintes principales, pas seulement sur l'axiale.

🔑 Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

σ₃ est constant et u augmente : que devient σ′₃ = σ₃ − u au fil de l'essai ? C'est là toute la mécanique de la rupture non drainée.

Question 4 : Les invariants p et q

🏷️ Synthèse ⏱️ 18 min | ⭐⭐ Moyen

🎯 But de l'étape : Ramener six contraintes à deux coordonnées, et construire le tableau qui portera tout le reste.

👉 Calculer p et p′ au palier final, appliquer le contrôle p − p′ = u , et dresser le tableau complet des six paliers.

💡 Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Attention au facteur 2 sur la contrainte radiale — et à ne pas confondre avec le centre du cercle de Mohr, qui est (σ₁ + σ₃)/2.

🔑 Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le contrôle est gratuit : puisque σ′ = σ − u sur les deux contraintes, la moyenne effective vaut la moyenne totale moins u . Chaque ligne doit le vérifier.

Question 5 (Finale) : L'angle de frottement effectif

🏷️ Décision ⏱️ 28 min | ☠️ BOSS

🎯 But de l'étape : Sortir le paramètre que le bureau d'études attend — et dire ce qu'il vaut vraiment.

☠️ Mention spéciale — un angle ne se livre jamais seul : la pente de rupture se lit sur un seul point , celui du dernier palier, dont rien ne prouve qu'il soit la rupture. Et le résultat devra être confronté à ce qu'on attend d'une argile : un angle de frottement trop élevé n'est pas une bonne nouvelle, c'est un signal.

👉 Calculer la pente M, en déduire φ′, puis recouper par un chemin indépendant , et enfin juger la plausibilité du résultat à l'aide de la résistance non drainée.

💡 Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

M est le rapport q/p′ au point de rupture, puisque la droite passe par l'origine.

🔑 Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

sin φ′ = 3M/(6 + M). Et pour le recoupement, souvenez-vous que Mohr-Coulomb s'écrit aussi sin φ′ = (σ′₁ − σ′₃)/(σ′₁ + σ′₃) — aucun invariant nécessaire.

🛑

Sas de Préparation

Avant de consulter la correction détaillée, assurez-vous d'avoir pris le temps de chercher. La vraie progression se trouve dans la réflexion, pas dans la lecture passive !

📝 Brouillon prêt 📐 Calculatrice ON 🧠 Neurones chauds

NOTE DE CALCULS

Calcul du Chemin des Contraintes

Question 1 : L'état de contrainte initial

🧠

💡
Dans la tête de l'ingénieur

"Avant de tracer quoi que ce soit, il me faut le point de départ. Il est commun aux deux chemins — ils ne se sépareront qu'au premier tour de piston, quand l'eau commencera à monter en pression." 🎯

🔎 Observation : « consolidation achevée » n'est pas une formule de style. Cela veut dire que l'eau a eu le temps de sortir, que la surpression s'est entièrement dissipée , et que le squelette porte désormais la totalité de la charge.
🤔 Analyse du risque : l'oubli d'une contre-pression . Presque tous les laboratoires en appliquent une pour saturer l'éprouvette ; l'énoncé n'en mentionne aucune, mais la vérifier sur la feuille d'essai est un réflexe qui a sauvé bien des interprétations.
✅ Choix stratégique : calculer les contraintes effectives, puis immédiatement les traduire en coordonnées p-q . C'est dans ce plan que tout le reste de l'exercice se joue, autant y entrer tout de suite.
💡 Ce qu'il faut retenir : un état isotrope a un déviateur nul . Le point de départ est donc sur l'axe horizontal du diagramme, et le cercle de Mohr correspondant se réduit à un point.
🎯 Objectif visé : deux contraintes en kPa et un couple de coordonnées (p′, q).

👀 Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

σ′_1c = σ′_3c = 200 kPa → point de départ (p′ = 200 kPa ; q = 0)

AIDE-MÉMOIRE

📋 Données extraites pour l'étape :

🔸 Pression de consolidation isotrope : 200 kPa · énoncé
🔸 Pression interstitielle initiale : 0 kPa · consolidation achevée

Rappel Théorique : pourquoi l'eau ne compte pas dans la résistance

Le principe le plus important de toute la mécanique des sols tient en trois symboles. 💧

Ce que fait l'eau : elle transmet la pression dans toutes les directions, également. C'est un fluide au repos : elle ne peut porter aucun cisaillement .
Ce qu'il en découle : la résistance ne peut venir que du contact entre grains. La part de la contrainte reprise par l'eau est donc, du point de vue de la résistance, perdue — d'où σ′ = σ − u.
La consolidation : un transfert progressif. Au moment où l'on applique la pression de cellule, l'eau la prend presque entièrement. Puis elle s'échappe par les drains, et la charge passe peu à peu de l'eau au squelette. Quand plus rien ne sort, le transfert est complet.
« Isotrope » : la même pression dans les trois directions. Cela reproduit grossièrement l'état d'un élément de sol en profondeur — grossièrement seulement, car in situ la contrainte verticale et l'horizontale diffèrent d'un facteur K₀.
La contre-pression : une pression d'eau appliquée volontairement, en plus, pour dissoudre les dernières bulles d'air et garantir la saturation. Elle s'ajoute à la pression de cellule et se retranche dans le calcul des contraintes effectives — les deux effets s'annulent exactement.

📐 Équations Fondamentales

Le principe de Terzaghi, puis les coordonnées du plan de travail.

Contrainte effective et invariants :

La définition qui fonde l'exercice, et la transformation qui le rend lisible.

💡 Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un essai triaxial produit trois contraintes principales à chaque instant, et qu'on ne trace pas une courbe dans un espace à trois dimensions. Les invariants p et q résument cet état en deux nombres qui ne dépendent pas du repère choisi : l'un mesure la compression, l'autre le cisaillement. 📐

📐 Contexte de validité : sol saturé — sans quoi l'air comprimé dans les pores fausse la mesure de u — et symétrie de révolution σ₂ = σ₃.
🏗️ Avantage : un point du plan p-q décrit tout l'état de contrainte. Toute l'histoire de l'essai devient une courbe, et la rupture une frontière à ne pas franchir.
⚙️ Paramètre clé : le facteur 2 devant σ₃. Il traduit le fait que la contrainte radiale agit dans deux directions de l'espace sur trois.
🔍 Vérification : en état isotrope, q doit être exactement nul et p doit valoir la pression appliquée. Un résultat différent signale une erreur de transcription.
⚠️ Limite : p n'est pas le centre du cercle de Mohr, qui vaut (σ₁ + σ₃)/2. Les deux se ressemblent, ne coïncident jamais hors de l'isotropie, et les confondre fausse tout le tracé.

\[ \sigma' = \sigma - u \]

\[ p = \frac{\sigma_1 + 2\sigma_3}{3} \quad ; \quad q = \sigma_1 - \sigma_3 \]

🔍 Que dit cette équation physiquement ? 💧 « Retire à la charge appliquée la part que l'eau porte : ce qui reste presse les grains les uns contre les autres, et c'est cela seul qui résiste. » 📐 Les invariants ne font ensuite que ranger cette information en deux cases.

Décomposition des termes :

σ : contrainte totale, unité : kPa — ce que la machine applique
u : pression interstitielle, unité : kPa — ce que l'eau porte
σ′ : contrainte effective, unité : kPa — ce que le squelette porte
p : contrainte moyenne, unité : kPa — liée aux variations de volume
q : déviateur, unité : kPa — lié à la distorsion, donc au cisaillement

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Poser u₀ = 0 par habitude, sans regarder la feuille d'essai. Si une contre-pression de saturation a été maintenue — ce qui est le cas dans la grande majorité des laboratoires — la pression interstitielle initiale vaut cette contre-pression, et non zéro..."

✅ L'approche d'ingénieur : lire ce qui est écrit, pas ce qu'on attend. 📐

À quoi sert une contre-pression : à mettre l'eau des pores sous pression pour dissoudre les bulles d'air résiduelles. Sans elle, l'air comprimé absorbe une partie du chargement et la mesure de u devient fausse.
Ce que cela change au calcul : la contrainte effective devient σ′_3c = σ_3c − u_b. Une cellule à 350 kPa avec 50 kPa de contre-pression ne consolide qu'à 300 kPa effectifs , pas 350.
Pourquoi l'erreur est indolore ici : parce que l'énoncé annonce explicitement u₀ = 0. La démarche reste néanmoins fautive : elle ne serait pas transposable au prochain rapport d'essai.
Le contrôle qui rattrape : comparer la contrainte effective de consolidation à la profondeur simulée. 200 kPa effectifs correspondent à une dizaine de mètres de terrain — si le chiffre paraît absurde, la contre-pression a probablement été oubliée.
La règle : sur une feuille d'essai triaxial, on relève trois pressions : cellule, contre-pression, interstitielle. En manquer une fausse tout ce qui suit. 🏗️

Exécution de la Note de Calculs

⚠️ Check-up des Unités

Des kPa moins des kPa : kPa ✓
p et q sont des contraintes, donc en kPa également
Contrôle : en isotrope, q doit valoir exactement 0

🎯 Les contraintes effectives de consolidation, puis le point de départ dans le plan p-q.

1. Résolution Numérique Contraintes effectives en fin de consolidation

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que tout l'exercice consiste à suivre l'évolution de ces deux nombres. Sans leur valeur de départ, les six paliers qui suivent ne décrivent aucun trajet — juste une liste de points sans origine.

🔧 Méthode retenue

📐 Ce qu'on applique : le principe de Terzaghi avec u₀ = 0, sur la contrainte radiale — l'axiale lui étant égale par isotropie.
⚠️ Le point de vigilance : ne pas confondre « pression interstitielle nulle » et « absence d'eau ». L'éprouvette est saturée ; c'est la surpression qui est nulle, l'eau étant à la pression de référence.
🎯 Finalité : disposer de l'état de contrainte effective avant tout cisaillement.

\[ \begin{aligned} \sigma'_{3c} = \sigma'_{1c} &= \sigma_{3c} - u_0 \\ &= 200 - 0 \\ &= \mathbf{200} \ \text{kPa} \end{aligned} \]

📊 Analyse intermédiaire du chiffre :

200 kPa dans les trois directions : le squelette porte la totalité de la pression appliquée. ✅

✅ Ce que cet état représente : une compression pure, sans aucun cisaillement. Le cercle de Mohr correspondant se réduit à un point sur l'axe des contraintes normales.
📌 L'ordre de grandeur : 200 kPa effectifs, c'est l'équivalent d'une dizaine de mètres de terrain au-dessus de l'échantillon. L'essai reproduit donc une profondeur courante de fondation profonde ou de talus.
⚠️ La limite de la reproduction : in situ, la contrainte horizontale ne vaut pas la verticale mais K₀ fois celle-ci, soit environ la moitié pour une argile normalement consolidée. Une consolidation isotrope est donc une simplification de laboratoire, pas une image fidèle du terrain.

2. Résolution Numérique Point de départ dans le plan p-q

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'origine des deux chemins. Tant que le cisaillement n'a pas commencé, la pression interstitielle est nulle : le chemin total et le chemin effectif partent du même point , et ne s'écarteront qu'ensuite.

🔧 Méthode retenue

📐 Ce qu'on applique : les définitions des invariants avec σ′₁ = σ′₃ = 200 kPa.
⚠️ Le point de vigilance : le facteur 2 ne se voit pas ici, puisque les deux contraintes sont égales. Il faudra s'en souvenir dès la question 4, où il fera toute la différence.
🎯 Finalité : obtenir les coordonnées du point d'origine du diagramme.

\[ \begin{aligned} p'_0 &= \frac{\sigma'_{1c} + 2\sigma'_{3c}}{3} = \frac{200 + 2 \times 200}{3} = \mathbf{200} \ \text{kPa} \\ q_0 &= \sigma'_{1c} - \sigma'_{3c} = 200 - 200 = \mathbf{0} \ \text{kPa} \end{aligned} \]

📊 Analyse intermédiaire du chiffre :

Le point (200 ; 0) : sur l'axe horizontal, au pied du diagramme. 🎯

✅ Le contrôle est immédiat : q = 0 comme attendu en isotrope, et p′ égale la pression appliquée. Les deux vérifications annoncées sont satisfaites.
📌 Ce que le point annonce : les deux chemins partiront d'ici et divergeront . Leur écart horizontal, à chaque instant, vaudra exactement la pression interstitielle du moment.
⚠️ Ce qu'il ne dit pas : où se trouve la frontière de rupture. Un point de départ ne renseigne en rien sur la distance qui reste à parcourir — c'est la question 5 qui la mesurera.

✨

🎉

RÉSULTAT FINAL

σ′_1c = σ′_3c = 200 kPa · point de départ (p′ = 200 ; q = 0)

"Un état isotrope, donc un cercle de Mohr réduit à un point. C'est d'ici que les deux chemins partent — et c'est le seul instant où ils se confondent."

🌿

☕
Le mot de la fin (Sur le Chantier)

"La phase de consolidation ne produit aucun résultat exploitable, elle ne fait que préparer l'essai — et c'est pourtant elle qui décide de sa durée." ⏳

⏳ Combien de temps : sur une argile de 38 mm de diamètre, la consolidation demande couramment 24 à 48 heures . La saturation sous contre-pression peut en demander autant. Le cisaillement lui-même, à côté, est rapide.
💰 Ce que cela coûte : un essai triaxial CU complet occupe une cellule pendant une semaine. C'est pour cela qu'un rapport en contient rarement plus de trois, et que le géotechnicien choisit ses confinements avec soin.
🔬 Comment on sait que c'est fini : on suit le volume d'eau expulsé . Quand la courbe s'aplatit et que plus rien ne sort, le transfert vers le squelette est achevé.
⚠️ L'erreur qui ruine l'essai : lancer le cisaillement trop tôt. Il reste alors une surpression résiduelle, et la mesure de u pendant le cisaillement mélange deux phénomènes sans qu'on puisse les démêler.
🤝 Ce qui doit figurer au procès-verbal : la pression de cellule, la contre-pression et le coefficient de saturation B mesuré. Sans B, rien ne prouve que l'éprouvette était saturée — et sans saturation, la mesure de u ne vaut rien. 📕

🏗️

🤔

Et si... ? (Analyse de Sensibilité)

Et si l'essai avait été mené avec une pression de cellule de 350 kPa et une contre-pression de 50 kPa ? 🤔

🔄 Modification : la contrainte effective de consolidation deviendrait σ′_3c = 350 − 50 = 300 kPa , et non 350.
📈 Nouvel Impact : le point de départ se déplacerait à (300 ; 0), et toute la suite de l'essai serait décalée vers la droite du diagramme.
💡 Conclusion : l'angle de frottement, lui, ne changerait pas . C'est une propriété du matériau : la droite de rupture passe par l'origine avec la même pente, quel que soit le confinement de départ.
⚠️ Bénéfice/Risque : en revanche la résistance non drainée c_u, elle, augmenterait proportionnellement. C'est la différence de fond entre un paramètre effectif, intrinsèque, et un paramètre non drainé, qui dépend de l'état de consolidation.
🔮 Perspective : c'est précisément pour cela qu'on réalise trois essais à trois confinements différents. Un seul point ne permet pas de distinguer une droite passant par l'origine d'une droite qui aurait une ordonnée — c'est-à-dire une cohésion.

Question 2 : Les contraintes totales

🧠

💡
Dans la tête de l'ingénieur

"Une addition par palier. Le calcul le plus simple de l'exercice — mais il cache une propriété remarquable : le chemin total ne dépend d'aucune caractéristique du sol. Je peux le tracer avant même de connaître le matériau." ⚙️

🔎 Observation : σ₃ reste à 200 kPa du premier au dernier palier. Seule la contrainte axiale monte, et elle monte exactement du déviateur imposé par le piston.
🤔 Analyse du risque : glisser Δσ à la place de σ₁ dans la formule des invariants. Le déviateur est une différence , pas une contrainte principale ; l'introduire tel quel dans p = (σ₁ + 2σ₃)/3 donne un résultat qui ne veut rien dire.
✅ Choix stratégique : faire le calcul sur le palier final, puis établir la pente du chemin total une fois pour toutes par le calcul littéral. Ce sera un contrôle gratuit sur les six lignes du tableau.
💡 Ce qu'il faut retenir : dans un essai triaxial à confinement constant, le chemin total est une droite de pente 3 dans le plan p-q. Toujours, quel que soit le sol.
🎯 Objectif visé : les six contraintes axiales et la pente qui les relie.

👀 Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

σ₁ = 200 → 400 kPa selon le palier · chemin total de pente 3

AIDE-MÉMOIRE

📋 Données extraites pour l'étape :

🔸 Confinement constant : σ₃ = 200 kPa · énoncé
🔸 Déviateurs imposés : 0 · 50 · 100 · 150 · 180 · 200 kPa · relevé d'essai

Rappel Théorique : ce que la machine contrôle, et ce qu'elle subit

Dans un essai triaxial de compression, deux grandeurs sont pilotées et une seule est mesurée. ⚙️

Piloté — le confinement : la pression de l'eau de cellule, maintenue rigoureusement constante par un contrôleur pression-volume. C'est σ₃, et c'est le réglage de l'essai.
Piloté — la vitesse : le piston avance à déformation imposée, assez lentement pour que la pression interstitielle s'égalise dans toute l'éprouvette, assez vite pour qu'aucun drainage parasite ne se produise.
Mesuré — la force : le capteur donne la force axiale, dont on déduit le déviateur Δσ. C'est la réponse du sol, la seule vraie mesure mécanique de l'essai.
La contrainte axiale totale : σ₁ = σ₃ + Δσ. Elle n'est pas mesurée directement : c'est une reconstruction, la somme du confinement et de la charge du piston.
Pourquoi le chemin total est une droite : en remplaçant σ₁ par σ₃ + q dans la définition de p, tous les termes en σ₃ se regroupent et il reste p = σ₃ + q/3. La relation entre p et q est affine , de pente 3 quand on porte q en ordonnée.

📐 Équations Fondamentales

La reconstruction de la contrainte axiale, puis la pente qu'elle impose au chemin total.

Chargement à confinement constant :

Une somme, et la droite qui en découle dans le plan p-q.

💡 Pourquoi cette formule ?

Parce que le capteur de force ne mesure pas σ₁ mais la charge supplémentaire appliquée au-dessus du confinement. Le déviateur est donc la grandeur naturelle de l'essai ; la contrainte principale se reconstruit en lui ajoutant σ₃. ⚙️

📐 Contexte de validité : essai de compression à confinement constant. En extension, ou si l'on faisait varier σ₃, la pente du chemin total serait différente.
🏗️ Avantage : la pente 3 est un contrôle universel . Tracez le chemin total : s'il n'est pas rectiligne de pente 3, une valeur du tableau est fausse.
⚙️ Paramètre clé : le déviateur Δσ, qui est aussi, directement, le q du diagramme. Aucune conversion n'est nécessaire entre les deux.
🔍 Vérification : σ₁ doit toujours être supérieure ou égale à σ₃ en compression. Une valeur inférieure signalerait un essai d'extension, pas une erreur d'arithmétique.
⚠️ Limite : ces contraintes totales ne disent rien de la résistance du sol. Elles décrivent l'action de la machine ; c'est la question 3 qui décrira la réaction du matériau.

\[ \sigma_1 = \sigma_3 + \Delta\sigma \]

\[ p = \sigma_3 + \frac{q}{3} \quad \Longleftrightarrow \quad q = 3\,(p - \sigma_3) \]

🔍 Que dit cette équation physiquement ? ⚙️ « À confinement bloqué, chaque kilopascal de cisaillement ajouté fait monter la compression moyenne d'un tiers de kilopascal. » 📐 D'où une droite, et d'où sa pente de 3.

Décomposition des termes :

σ₁ : contrainte principale axiale totale, unité : kPa — reconstruite, non mesurée
σ₃ : confinement radial total, unité : kPa — piloté, constant
Δσ : déviateur appliqué, unité : kPa — mesuré par le capteur de force, et égal à q
p : contrainte moyenne totale, unité : kPa — abscisse du chemin total

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Reporter le déviateur Δσ dans la case σ₁ du tableau. Au palier 0, cela donne p = (0 + 400)/3 = 133,3 kPa au lieu de 200 — et le contrôle de pente ne le voit pas , car tout le chemin se retrouve simplement translaté de 66,7 kPa vers la gauche, en gardant sa pente 3..."

✅ L'approche d'ingénieur : distinguer une contrainte d'une différence de contraintes. 📐

Ce qu'est σ₁ : une contrainte principale , mesurée depuis zéro. Elle comprend le confinement.
Ce qu'est Δσ : un écart entre deux contraintes principales. Il vaut zéro en état isotrope, alors même que les contraintes valent 200 kPa.
Pourquoi cette erreur est sournoise : elle décale le chemin de σ₃/3 = 66,7 kPa vers la gauche sans changer sa pente . Le graphique reste une belle droite à 3 pour 1, parfaitement rassurante, et complètement décalée.
Le contrôle qui l'attrape : le point de départ . Au palier 0 le déviateur est nul, donc p doit valoir exactement le confinement, soit 200 kPa. Trouver 133,3 signe l'erreur immédiatement.
La règle : dans le plan p-q, seul q est un écart. Toutes les autres grandeurs — p, p′, σ₁, σ₃ — sont des contraintes absolues. Ne jamais les mélanger dans une même colonne. 🏗️

Exécution de la Note de Calculs

⚠️ Check-up des Unités

Des kPa plus des kPa : kPa ✓
La pente 3 est un rapport de contraintes : sans dimension
Contrôle : σ₁ ≥ σ₃ à tous les paliers

⚙️ La contrainte axiale au palier final, puis la pente du chemin total.

1. Résolution Numérique Contrainte axiale totale au palier final

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le palier qui servira de point de rupture à la question 5. Les cinq autres se calculent exactement de la même façon, et le tableau ci-dessous les rassemble.

🔧 Méthode retenue

📐 Ce qu'on applique : l'addition du confinement et du déviateur mesuré, pour Δσ = 200 kPa.
⚠️ Le point de vigilance : σ₃ ne change pas d'un palier à l'autre. Toute variation de σ₃ dans le tableau serait le signe d'un contrôleur de pression défaillant, pas d'un calcul.
🎯 Finalité : disposer des deux contraintes principales totales à la rupture supposée.

\[ \begin{aligned} \sigma_1 &= \sigma_3 + \Delta\sigma \\ &= 200 + 200 \\ &= \mathbf{400} \ \text{kPa} \end{aligned} \]

📊 Analyse intermédiaire du chiffre :

400 kPa axialement contre 200 kPa radialement : la contrainte axiale a doublé le confinement. ⚙️

Palier	Δσ = q (kPa)	σ₁ (kPa)	σ₃ (kPa)
0	0	200	200
1	50	250	200
2	100	300	200
3	150	350	200
4	180	380	200
5	200	400	200

✅ Le contrôle annoncé : σ₁ ≥ σ₃ sur les six lignes, avec égalité au palier 0. L'essai est bien un essai de compression .
📌 La colonne σ₃ est constante : c'est la signature d'un essai à confinement maintenu. Elle rendra le chemin total parfaitement rectiligne.
⚠️ Ce que ce tableau ne dit toujours pas : rien sur le sol. Ces six lignes seraient identiques sur du sable, sur de l'argile ou sur du béton — c'est le programme de la machine, pas la réponse du matériau.

2. Résolution Numérique Pente du chemin des contraintes totales

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une propriété établie une fois par le calcul littéral vaut mieux que six vérifications numériques. Et parce que cette pente servira de garde-fou : tout point du tableau qui s'en écarte est faux.

🔧 Méthode retenue

📐 Ce qu'on applique : la substitution de σ₁ = σ₃ + q dans la définition de p, puis la simplification.
⚠️ Le point de vigilance : la pente vaut 3 quand on porte q en ordonnée et p en abscisse — la convention usuelle. Dans l'autre sens elle vaudrait 1/3, et le graphique serait illisible.
🎯 Finalité : obtenir une relation valable à tous les paliers, indépendante des mesures.

\[ \begin{aligned} p &= \frac{\sigma_1 + 2\sigma_3}{3} = \frac{(\sigma_3 + q) + 2\sigma_3}{3} \\ &= \frac{3\sigma_3 + q}{3} = \sigma_3 + \frac{q}{3} \\ \Longrightarrow \quad \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}p} &= \mathbf{3} \end{aligned} \]

📊 Analyse intermédiaire du chiffre :

Une pente de 3 , indépendante du sol, du confinement et du niveau de chargement. 📏

✅ Vérification sur le tableau : entre le palier 0 et le palier 5, q passe de 0 à 200 kPa et p de 200 à 266,7 kPa. Le rapport vaut 200/66,7 = 3,00. La relation littérale est confirmée par les chiffres.
📌 Ce que la pente signifie : pour trois kilopascals de cisaillement imposé, la compression moyenne n'augmente que d'un. La machine cisaille beaucoup plus qu'elle ne comprime.
⚠️ Le chemin effectif, lui, ne sera pas droit : il partira du même point mais partira vers la gauche , parce que la pression de l'eau grandit plus vite que p n'augmente. C'est tout l'objet de la question suivante.

✨

🎉

RÉSULTAT FINAL

σ₁ de 200 à 400 kPa · σ₃ = 200 kPa constant · chemin total de pente 3

"Six lignes qui décrivent la machine, pas le sol. Elles seraient les mêmes sur n'importe quel matériau."

🌿

☕
Le mot de la fin (Sur le Chantier)

"La pente 3 du chemin total est le premier contrôle qu'un ingénieur expérimenté fait sur un rapport d'essai triaxial. Il ne prend pas dix secondes." 📏

📐 Comment il s'utilise : on pose une règle sur les points du chemin total. S'ils ne sont pas alignés, ou si la pente n'est pas 3, une colonne du tableau est erronée — inutile d'aller plus loin.
🔁 Quand la pente change : si le laboratoire fait varier σ₃ pendant le cisaillement — essais à p constant, essais d'extension — la pente devient autre chose. Elle reste prévisible , et donc contrôlable de la même manière.
🧭 Ce que le chemin total sert vraiment : à rien, du point de vue de la résistance. On le trace pour mesurer son écart au chemin effectif, écart qui est la pression interstitielle et qui se lit à l'horizontale sur le graphique.
⚠️ L'erreur qui coûte cher : déduire un angle de frottement du chemin total . On obtient alors un « angle non drainé » sans aucun sens physique, et généralement bien inférieur à la réalité.
🤝 Ce qui doit figurer au procès-verbal : la vitesse de cisaillement . Trop rapide, la pression interstitielle n'a pas le temps de s'uniformiser dans l'éprouvette et la mesure à la base ne représente plus rien. 📕

🏗️

🤔

Et si... ? (Analyse de Sensibilité)

Et si l'on avait conduit un essai d' extension , où la contrainte axiale diminue au lieu d'augmenter ? 🤔

🔄 Modification : à un déviateur de −50 kPa, la contrainte axiale vaudrait σ₁ = 200 − 50 = 150 kPa , inférieure au confinement.
📈 Nouvel Impact : la contrainte axiale ne serait plus la contrainte principale majeure : les rôles de σ₁ et σ₃ s'échangeraient, et le déviateur redeviendrait positif une fois les indices remis dans l'ordre.
💡 Conclusion : le chemin partirait vers la gauche et le bas du diagramme au lieu de monter vers la droite. La pente du chemin total y vaut −3, et non 3.
⚠️ Bénéfice/Risque : l'extension n'est pas un exercice d'école. C'est l'état de contrainte réel sous une excavation , où l'on décharge verticalement en laissant le confinement latéral : le sol de fond de fouille y est sollicité exactement ainsi.
🔮 Perspective : et les sols y sont moins résistants qu'en compression, d'un tiers environ pour une argile. Dimensionner un fond de fouille avec un angle mesuré en compression est du côté non conservateur.

Question 3 : Les contraintes effectives

🧠

💡
Dans la tête de l'ingénieur

"Voilà le moment où l'essai devient intéressant. Le confinement appliqué n'a pas bougé — et pourtant le confinement que les grains ressentent est en train de fondre. C'est là, et nulle part ailleurs, que se joue la rupture." 🔻

🔎 Observation : la même pression u se retranche des deux contraintes principales. Elle décale l'état de contrainte sans en changer la taille : le cercle de Mohr se translate vers la gauche, son diamètre reste identique.
🤔 Analyse du risque : ne soustraire u que de la contrainte axiale. L'erreur est facile — c'est l'axiale qu'on suit du regard — et elle fausse aussitôt le déviateur effectif, qui devrait rester égal au déviateur total.
✅ Choix stratégique : calculer les deux contraintes effectives au palier final, puis vérifier immédiatement que leur différence redonne le déviateur mesuré . Le contrôle ne coûte rien et attrape l'erreur ci-dessus à coup sûr.
💡 Ce qu'il faut retenir : σ′₃ = σ₃ − u avec σ₃ constant et u croissant : le confinement effectif diminue tout au long de l'essai. C'est le mécanisme de la rupture non drainée en un seul membre d'équation.
🎯 Objectif visé : les deux contraintes effectives au palier final, et le tableau complet.

👀 Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Au palier final : σ′₁ = 280 kPa · σ′₃ = 80 kPa

AIDE-MÉMOIRE

📋 Données extraites pour l'étape :

🔸 Contraintes totales au palier final : σ₁ = 400, σ₃ = 200 kPa · question 2
🔸 Pression interstitielle au palier final : 120 kPa · relevé d'essai

Rappel Théorique : d'où vient la surpression interstitielle

L'eau ne monte pas en pression toute seule : elle est mise sous pression par ce que le squelette voudrait faire et ne peut pas. 🔻

La tendance contrariée : cisaillée, une argile normalement consolidée cherche à se contracter — ses grains veulent se réarranger dans un volume plus petit. Drainage fermé, ce volume ne peut pas diminuer.
La conséquence : faute de pouvoir partir, l'eau prend la charge à sa place. La surpression u monte, et d'autant plus vite que le sol est contractant.
Le cas inverse : un sable dense ou une argile surconsolidée se dilatent au cisaillement. L'eau est alors mise en dépression, u devient négatif, et les contraintes effectives augmentent . Le même essai donne un comportement opposé.
Le coefficient de Skempton A : le rapport Δu/Δq. Il mesure cette tendance : voisin de 1 pour une argile très contractante, autour de 0,5 pour une argile normalement consolidée, négatif pour un sol dilatant.
Pourquoi la liquéfaction s'explique ici : un sable lâche saturé, cisaillé brutalement par un séisme, est contractant et non drainé. Si u atteint σ₃, la contrainte effective s'annule : il n'y a plus de contact entre grains, le sol devient un liquide.

📐 Équations Fondamentales

Le principe de Terzaghi appliqué aux deux contraintes principales, et l'invariance du déviateur qui en découle.

Passage aux contraintes effectives :

Deux soustractions, et la propriété remarquable qu'elles laissent intacte.

💡 Pourquoi cette formule ?

Parce que la pression de l'eau est isotrope : elle pousse également dans toutes les directions. Elle se retranche donc identiquement de σ₁ et de σ₃, ce qui déplace l'état de contrainte sans jamais en modifier le cisaillement. 🔻

📐 Contexte de validité : sol saturé . En sol non saturé, l'air et l'eau n'ont pas la même pression et la contrainte effective demande une formulation plus riche, celle de Bishop.
🏗️ Avantage : c'est ce passage qui rend l'essai exploitable pour le dimensionnement. Les contraintes totales décrivent la machine ; les effectives décrivent le sol.
⚙️ Paramètre clé : la mesure de u . Elle est la seule information sur le comportement du matériau dans tout l'essai — le reste est du réglage.
🔍 Vérification : q′ = σ′₁ − σ′₃ doit valoir exactement q . La démonstration tient en une ligne : (σ₁ − u) − (σ₃ − u) = σ₁ − σ₃.
⚠️ Limite : u est mesurée à la base de l'éprouvette et supposée uniforme. Si le cisaillement va trop vite, elle ne l'est pas, et toutes les contraintes effectives calculées sont fausses.

\[ \sigma'_1 = \sigma_1 - u \quad ; \quad \sigma'_3 = \sigma_3 - u \]

\[ q' = \sigma'_1 - \sigma'_3 = (\sigma_1 - u) - (\sigma_3 - u) = q \]

🔍 Que dit cette équation physiquement ? 🔻 « L'eau allège la compression, jamais le cisaillement. Elle déplace le cercle de Mohr vers la gauche sans en changer le diamètre. » 📐 C'est pour cela que le déviateur, lui, ne connaît pas la différence entre total et effectif.

Décomposition des termes :

σ′₁ : contrainte effective axiale, unité : kPa — ce que les grains portent verticalement
σ′₃ : contrainte effective radiale, unité : kPa — le confinement réel, celui qui fond
u : pression interstitielle mesurée, unité : kPa — identique dans toutes les directions
q′ : déviateur effectif, unité : kPa — rigoureusement égal au déviateur total

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Ne retrancher u que de la contrainte axiale, et laisser σ′₃ = σ₃ = 200 kPa. Au palier final on obtiendrait alors σ′₁ = 280 et σ′₃ = 200, soit un déviateur effectif de 80 kPa quand le capteur en a mesuré 200 ..."

✅ L'approche d'ingénieur : se souvenir que la pression d'un fluide n'a pas de direction. 📐

L'argument physique : l'eau des pores entoure chaque grain de tous les côtés. Elle pousse autant latéralement que verticalement — il n'y a aucune raison de la retrancher d'un seul côté.
Le contrôle qui l'attrape en trois secondes : q′ doit égaler q. Trouver 80 au lieu de 200 signe l'erreur sans ambiguïté possible.
La conséquence si elle passe : le point de rupture se retrouverait en (p′ = 226,7 ; q = 80). La pente M tomberait à 0,35 et l'angle de frottement à moins de 10° — un chiffre qu'aucune argile ne présente, et qui conduirait à condamner un terrain parfaitement sain.
L'image à garder : le passage aux contraintes effectives est une translation du cercle de Mohr, pas une déformation. Le cercle glisse vers la gauche ; son rayon ne change pas.
La règle : toute grandeur isotrope se retranche de toutes les contraintes normales à la fois, et d'aucune contrainte de cisaillement. 🏗️

Exécution de la Note de Calculs

⚠️ Check-up des Unités

Des kPa moins des kPa : kPa ✓
Contrôle : σ′ < σ tant que u est positive
Contrôle : σ′₁ − σ′₃ doit redonner exactement le déviateur mesuré

🔻 Les deux contraintes effectives au palier final, puis le tableau complet.

1. Résolution Numérique Contrainte effective axiale au palier final

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la contrainte que les grains portent réellement dans la direction du chargement. C'est elle, associée à sa jumelle radiale, qui décidera si le sol tient ou cède.

🔧 Méthode retenue

📐 Ce qu'on applique : le principe de Terzaghi sur la contrainte axiale totale du palier final, avec u = 120 kPa.
⚠️ Le point de vigilance : utiliser la contrainte totale σ₁ = 400 kPa, et non le déviateur. C'est le piège de la question précédente qui se prolonge ici.
🎯 Finalité : obtenir la contrainte principale majeure effective à la rupture supposée.

\[ \begin{aligned} \sigma'_1 &= \sigma_1 - u \\ &= 400 - 120 \\ &= \mathbf{280} \ \text{kPa} \end{aligned} \]

📊 Analyse intermédiaire du chiffre :

280 kPa : la contrainte axiale effective a tout de même augmenté depuis les 200 kPa du départ. 📈

✅ Ce que cela confirme : la charge du piston, 200 kPa, l'emporte sur la surpression, 120 kPa. Verticalement, le squelette est donc davantage comprimé qu'au début.
📌 La nuance importante : +40 % sur l'axiale, alors que la totale a augmenté de +100 %. L'eau a absorbé plus de la moitié de l'effort appliqué.
⚠️ Ce chiffre seul ne dit rien : une contrainte majeure qui augmente n'annonce ni la rupture ni la stabilité. C'est son rapport à la contrainte mineure qui compte — d'où le calcul suivant.

2. Résolution Numérique Contrainte effective radiale au palier final

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le vrai moteur de la rupture non drainée. La machine n'a pas touché au confinement, mais l'eau, elle, le grignote palier après palier — et un sol dont le confinement effectif s'effondre finit toujours par céder.

🔧 Méthode retenue

📐 Ce qu'on applique : la même soustraction, sur la contrainte radiale totale restée à 200 kPa.
⚠️ Le point de vigilance : c'est la même valeur de u qu'à l'étape précédente. Une pression interstitielle n'a pas de composante radiale distincte de sa composante axiale.
🎯 Finalité : obtenir la contrainte principale mineure effective, celle qui commande la résistance disponible.

\[ \begin{aligned} \sigma'_3 &= \sigma_3 - u \\ &= 200 - 120 \\ &= \mathbf{80} \ \text{kPa} \end{aligned} \]

📊 Analyse intermédiaire du chiffre :

80 kPa contre 200 au départ : le confinement effectif a été divisé par deux et demi , sans que la machine n'ait touché à quoi que ce soit. 🔻

q (kPa)	u (kPa)	σ′₁ (kPa)	σ′₃ (kPa)	σ′₁ − σ′₃
0	0	200	200	0 ✓
50	28	222	172	50 ✓
100	55	245	145	100 ✓
150	82	268	118	150 ✓
180	105	275	95	180 ✓
200	120	280	80	200 ✓

✅ Le contrôle passe sur les six lignes : la dernière colonne redonne exactement le déviateur mesuré. Aucune ligne du tableau ne souffre de l'erreur du piège.
📌 La lecture d'ensemble : σ′₁ monte de 200 à 280, σ′₃ descend de 200 à 80. Les deux s'écartent l'une de l'autre, et c'est cet écartement qui rapproche le sol de sa rupture.
⚠️ Le rapport qui compte vraiment : σ′₁/σ′₃ passe de 1,0 à 3,5 . C'est ce nombre, et non les contraintes prises séparément, que le critère de Mohr-Coulomb plafonne — la question 5 s'en servira comme contrôle indépendant.

✨

🎉

RÉSULTAT FINAL

σ′₁ = 280 kPa · σ′₃ = 80 kPa · confinement effectif divisé par 2,5

"La machine n'a pas desserré d'un kilopascal. C'est l'eau qui a fait tout le travail de démolition."

🌿

☕
Le mot de la fin (Sur le Chantier)

"Ce mécanisme — la charge qui monte, le confinement effectif qui fond — explique les ruptures les plus brutales de la géotechnique." ⚠️

🌊 Le remblai sur sol mou : monté trop vite sur une argile, il ne laisse pas le temps à l'eau de partir. La surpression s'accumule sous la charge, le confinement effectif s'effondre, et le remblai se couche d'un bloc — parfois plusieurs jours après la fin des travaux.
⏱️ La parade : monter par étapes , avec des paliers de consolidation, et suivre la surpression au piézomètre. On ne recharge que lorsqu'elle est retombée.
🏗️ Pourquoi le court terme est le cas critique : pour une argile, la situation la plus défavorable est juste après le chargement, quand u est maximale. Avec le temps l'eau part, les contraintes effectives remontent, et la sécurité augmente. C'est l'inverse d'un sable.
📉 Le cas extrême : si u atteignait 200 kPa, σ′₃ tomberait à zéro . Plus aucun contact entre grains, plus aucune résistance : c'est la liquéfaction . Ici on s'arrête à 120 kPa, donc loin du compte — mais un sable lâche y arriverait en quelques secondes de séisme.
🤝 Ce qui doit figurer au procès-verbal : la courbe u en fonction de la déformation, pas seulement la valeur finale . C'est sa forme qui dit si le sol est contractant ou dilatant, et donc comment il se comportera sur le terrain. 📕

🏗️

🤔

Et si... ? (Analyse de Sensibilité)

Et si le sol avait été surconsolidé au lieu de normalement consolidé ? 🤔

🔄 Modification : cisaillé, il chercherait à se dilater . Drainage fermé, l'eau passerait en dépression et u deviendrait négatif .
📈 Nouvel Impact : les contraintes effectives deviendraient supérieures aux totales. Le confinement effectif augmenterait au lieu de fondre, et le chemin effectif partirait vers la droite .
💡 Conclusion : le même essai, sur le même minéral, donnerait une allure de courbe opposée. Ce n'est pas la nature du sol qui décide, c'est son histoire de chargement .
⚠️ Bénéfice/Risque : la résistance à court terme y est plus élevée — mais c'est un piège. Avec le temps, l'eau revient, la dépression se dissipe, les contraintes effectives retombent , et la sécurité diminue. Pour un sol surconsolidé, le cas critique est le long terme .
🔮 Perspective : c'est pourquoi un talus d'argile raide taillé peut tenir vingt ans, puis glisser un hiver pluvieux sans qu'aucune charge nouvelle n'ait été ajoutée.

Question 4 : Les invariants p et q

🧠

💡
Dans la tête de l'ingénieur

"Douze contraintes principales à ranger en douze coordonnées. C'est mécanique — et c'est exactement pour cela qu'il faut un contrôle automatique sur chaque ligne, sinon une erreur de recopie passera inaperçue jusqu'au graphique." 🧮

🔎 Observation : le déviateur est déjà connu — c'est la colonne Δσ de l'énoncé. Il n'y a donc qu' une seule grandeur à calculer par ligne et par famille : la contrainte moyenne.
🤔 Analyse du risque : écrire (σ₁ + σ₃)/2 au lieu de (σ₁ + 2σ₃)/3. Les deux expressions sont des moyennes, se ressemblent, et donnent des valeurs du même ordre — ce qui rend l'erreur presque invisible.
✅ Choix stratégique : calculer p et p′ au palier final, puis vérifier que leur écart vaut u . Ce contrôle découle de la définition même de la contrainte effective : il doit tomber juste à la ligne près.
💡 Ce qu'il faut retenir : p − p′ = u, toujours. C'est ce qui donne au diagramme sa lecture la plus utile : l' écart horizontal entre les deux chemins se lit directement comme la pression de l'eau.
🎯 Objectif visé : le tableau complet des six paliers, contrôlé ligne par ligne.

👀 Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Au palier final : p = 266,7 kPa · p′ = 146,7 kPa · q = 200 kPa

AIDE-MÉMOIRE

📋 Données extraites pour l'étape :

🔸 Contraintes totales au palier final : 400 et 200 kPa · question 2
🔸 Contraintes effectives au palier final : 280 et 80 kPa · question 3
🔸 Pression interstitielle : 120 kPa · relevé d'essai

Rappel Théorique : pourquoi ce sont ces deux nombres-là

Un état de contrainte comporte six composantes. On en garde deux, et ce n'est pas un appauvrissement arbitraire. 🧮

Ce qu'est un invariant : une combinaison des contraintes qui ne dépend pas du repère choisi. Tourner les axes ne la change pas — elle décrit l'état lui-même, pas la façon de le regarder.
p, la partie sphérique : la moyenne des trois contraintes principales. Elle décrit la compression d'ensemble , celle qui change le volume sans changer la forme.
q, la partie déviatorique : ce qui reste une fois la partie sphérique retirée. Elle décrit la distorsion , le changement de forme à volume constant — c'est-à-dire le cisaillement.
D'où le facteur 2 : en symétrie de révolution, σ₂ = σ₃. La moyenne (σ₁ + σ₂ + σ₃)/3 devient donc (σ₁ + 2σ₃)/3. Le 2 n'est pas une pondération choisie, c'est un comptage de directions .
Ce que p n'est pas : le centre du cercle de Mohr. Celui-ci vaut (σ₁ + σ₃)/2 et ignore σ₂ ; c'est une grandeur du plan de coupe, pas de l'état de contrainte tridimensionnel.

📐 Équations Fondamentales

Les deux invariants, et l'identité qui relie les deux chemins.

Coordonnées du plan de travail :

La contrainte moyenne effective, et la relation qui la contrôle.

💡 Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle transforme une suite de mesures en une trajectoire . Chaque palier devient un point, l'essai devient une courbe, et la rupture devient une frontière qu'on voit approcher. Aucune autre représentation ne rend le comportement non drainé aussi lisible. 🧮

📐 Contexte de validité : symétrie de révolution, σ₂ = σ₃. Sous une semelle réelle, où les trois contraintes diffèrent, la définition générale de q est plus lourde et se réduit à celle-ci uniquement au triaxial.
🏗️ Avantage : c'est le plan dans lequel travaillent tous les modèles de comportement modernes, Cam-Clay en tête. Ce tableau est donc le format d'entrée d'un calcul aux éléments finis.
⚙️ Paramètre clé : l' écart p − p′ . Il vaut la pression interstitielle et se lit horizontalement sur le graphique, sans aucun calcul.
🔍 Vérification : p − p′ = u sur chaque ligne. C'est un contrôle exact, pas une approximation : il ne tolère aucun écart au-delà de l'arrondi.
⚠️ Limite : ces deux nombres perdent l' orientation des contraintes. Ils disent l'intensité du cisaillement, jamais le plan sur lequel il s'exerce — pour cela il faut revenir au cercle de Mohr.

\[ p' = \frac{\sigma'_1 + 2\sigma'_3}{3} \quad ; \quad q' = q = \sigma_1 - \sigma_3 \]

\[ p - p' = u \]

🔍 Que dit cette équation physiquement ? 🧮 « Les deux chemins avancent à la même hauteur et se séparent horizontalement, d'une distance qui est exactement la pression de l'eau. » 📐 Le diagramme devient ainsi un piézomètre graphique.

Décomposition des termes :

p : contrainte moyenne totale, unité : kPa — abscisse du chemin total
p′ : contrainte moyenne effective, unité : kPa — abscisse du chemin effectif
q : déviateur, unité : kPa — ordonnée commune aux deux chemins
u : pression interstitielle, unité : kPa — l'écart horizontal entre les deux

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Calculer p′ comme le centre du cercle de Mohr, (σ′₁ + σ′₃)/2 = 180 kPa au lieu de 146,7. L'écart n'a l'air de rien — et pourtant il conduit à un angle de frottement de 28° au lieu de 33,7° . Le pire est que 28° paraît plus crédible pour une argile : rien n'alerte..."

✅ L'approche d'ingénieur : se rappeler que les deux moyennes ne comptent pas le même nombre de directions. 📐

(σ₁ + 2σ₃)/3 : la moyenne des trois contraintes principales de l'espace. C'est p, l'invariant.
(σ₁ + σ₃)/2 : la moyenne de deux d'entre elles. C'est le centre du cercle de Mohr, souvent noté s — une grandeur du plan de coupe, qui ignore purement et simplement σ₂.
Pourquoi l'erreur est traître : les deux valeurs restent du même ordre, et la formule de conversion sin φ′ = 3M/(6 + M) accepte n'importe quelle pente sans broncher. Aucun contrôle d'unité, aucun ordre de grandeur ne se déclenche.
Le contrôle qui l'attrape : p − p′ = u. Avec la fausse formule, l'écart vaut 300 − 180 = 120 au palier final… par coïncidence, puisque cette erreur affecte identiquement p et p′. Il faut donc aussi vérifier que p vaut bien σ₃ + q/3, soit 266,7 et non 300.
La règle : deux plans, deux moyennes. Dans le plan de Mohr on travaille avec s et t ; dans le plan des invariants avec p et q. On ne mélange jamais un couple avec l'autre. 🏗️

Exécution de la Note de Calculs

⚠️ Check-up des Unités

Une somme de kPa divisée par 3 : kPa ✓
Contrôle : p = σ₃ + q/3 à chaque palier
Contrôle : p − p′ = u , exactement

🧮 La contrainte moyenne totale, l'effective, puis le contrôle qui valide les six lignes.

1. Résolution Numérique Contrainte moyenne totale au palier final

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'abscisse du dernier point du chemin total. Elle servira à mesurer, sur le graphique, l'écart qui sépare les deux trajets au moment le plus critique de l'essai.

🔧 Méthode retenue

📐 Ce qu'on applique : la définition de l'invariant avec σ₁ = 400 kPa et σ₃ = 200 kPa.
⚠️ Le point de vigilance : le facteur 2 devant la contrainte radiale, et la division par 3 et non par 2. C'est là que se joue le piège de cette question.
🎯 Finalité : obtenir l'abscisse du point final du chemin total.

\[ \begin{aligned} p &= \frac{\sigma_1 + 2\sigma_3}{3} \\ &= \frac{400 + 2 \times 200}{3} = \frac{800}{3} \\ &= \mathbf{266{,}7} \ \text{kPa} \end{aligned} \]

📊 Analyse intermédiaire du chiffre :

266,7 kPa, contre 200 au départ : la compression moyenne appliquée a augmenté de 66,7 kPa . 📈

✅ Le contrôle de la question 2 : σ₃ + q/3 = 200 + 200/3 = 266,7 kPa. La relation littérale et le calcul direct concordent exactement.
📌 Ce que confirme le tiers : 200 kPa de déviateur n'ont fait monter la compression moyenne que d'un tiers de cette valeur. La machine cisaille bien plus qu'elle ne comprime.
⚠️ Le contraste à venir : cette abscisse a augmenté . Celle du chemin effectif, elle, va diminuer — et c'est cette divergence qui fait tout l'intérêt du diagramme.

2. Résolution Numérique Contrainte moyenne effective au palier final

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule abscisse qui compte pour la résistance. Le point (p′ ; q) est celui que le critère de rupture regarde ; le point total, lui, n'est qu'un témoin.

🔧 Méthode retenue

📐 Ce qu'on applique : la même définition, sur les contraintes effectives σ′₁ = 280 kPa et σ′₃ = 80 kPa.
⚠️ Le point de vigilance : le facteur 2 porte sur la contrainte radiale effective , qui est justement celle qui s'est effondrée. C'est elle qui tire p′ vers le bas, et deux fois plutôt qu'une.
🎯 Finalité : obtenir l'abscisse du point de rupture supposé.

\[ \begin{aligned} p' &= \frac{\sigma'_1 + 2\sigma'_3}{3} \\ &= \frac{280 + 2 \times 80}{3} = \frac{440}{3} \\ &= \mathbf{146{,}7} \ \text{kPa} \end{aligned} \]

📊 Analyse intermédiaire du chiffre :

146,7 kPa, contre 200 au départ : la compression moyenne effective a chuté de 27 % alors que la totale montait de 33 %. 🔻

✅ Le mécanisme en une ligne : la surpression, 120 kPa, monte plus vite que le tiers du déviateur, 66,7 kPa. L'eau prend plus que ce que la machine ajoute : p′ recule.
📌 Le critère général : le chemin effectif part vers la gauche dès que le coefficient de Skempton dépasse 1/3 . Ici il vaut 0,60 — le sol est franchement contractant.
⚠️ La forme du chemin : il n'est pas rectiligne. Les paliers 1 à 3 donnent un A voisin de 0,55, les paliers 4 et 5 montent à 0,58 puis 0,60 : le chemin s'incurve vers la gauche en approchant de la rupture, comportement classique d'une argile normalement consolidée.

3. Résolution Numérique Contrôle de cohérence sur les six paliers

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que douze contraintes recopiées à la main, c'est douze occasions de se tromper. Ce contrôle est exact, gratuit, et il valide d'un seul coup toute la chaîne des questions 2 à 4.

🔧 Méthode retenue

📐 Ce qu'on applique : la différence des deux contraintes moyennes, à confronter à la pression interstitielle mesurée.
⚠️ Le point de vigilance : ce contrôle est exact , pas approché. Tout écart supérieur à l'arrondi d'affichage signale une erreur, jamais une imprécision de mesure.
🎯 Finalité : valider le tableau complet avant de le porter au graphique.

\[ \begin{aligned} p - p' &= \frac{\sigma_1 + 2\sigma_3}{3} - \frac{(\sigma_1 - u) + 2(\sigma_3 - u)}{3} \\ &= \frac{3u}{3} = u \\ 266{,}7 - 146{,}7 &= \mathbf{120} \ \text{kPa} \quad \checkmark \end{aligned} \]

📊 Analyse intermédiaire du chiffre :

120 kPa retrouvés exactement — et la démonstration montre que ce n'est pas une coïncidence du dernier palier mais une identité . ✅

q (kPa)	u (kPa)	σ₁	σ′₁	σ′₃	p (kPa)	p′ (kPa)	p − p′
0	0	200	200	200	200,0	200,0	0 ✓
50	28	250	222	172	216,7	188,7	28 ✓
100	55	300	245	145	233,3	178,3	55 ✓
150	82	350	268	118	250,0	168,0	82 ✓
180	105	380	275	95	260,0	155,0	105 ✓
200	120	400	280	80	266,7	146,7	120 ✓

✅ Six lignes, six contrôles satisfaits : et le contrôle de pente de la question 2 l'est aussi — p passe de 200,0 à 266,7 pendant que q passe de 0 à 200, soit un rapport de 3,00.
📌 Ce que le tableau raconte : p′ ne cesse de descendre, 200 → 188,7 → 178,3 → 168,0 → 155,0 → 146,7, pendant que q monte. Le chemin effectif remonte vers la gauche , en s'incurvant.
⚠️ Le tableau est prêt, la conclusion ne l'est pas : il reste à savoir où passe la frontière de rupture, et si le dernier point l'a réellement atteinte. C'est tout l'objet de la question suivante.

✨

🎉

RÉSULTAT FINAL

Point final : (p′ = 146,7 ; q = 200) kPa · contre (p = 266,7 ; q = 200) en total

"Deux points à la même hauteur, séparés de 120 kPa. Cet écart, c'est l'eau — et il se lit à la règle sur le graphique."

🌿

☕
Le mot de la fin (Sur le Chantier)

"Le plan p-q n'est pas un exercice d'école : c'est le format d'entrée de tous les modèles de sol des logiciels de calcul." 💻

💻 À quoi sert ce tableau : à caler un modèle de comportement. Cam-Clay, Hardening Soil, Mohr-Coulomb — tous demandent des paramètres qui se lisent dans ce plan, pas sur des cercles de Mohr.
📊 Pourquoi les logiciels l'ont adopté : parce que p et q sont indépendants du repère . Un élément fini n'a pas d'orientation privilégiée ; il lui faut des grandeurs qui n'en demandent pas.
🔁 La correspondance avec Mohr : elle existe et reste utile — s = (σ₁ + σ₃)/2 et t = (σ₁ − σ₃)/2 forment le plan de Lambe, encore employé en Amérique du Nord. Les deux plans coexistent, ne se mélangent pas , et n'ont pas les mêmes formules de conversion vers φ′.
⚠️ L'erreur de traduction : appliquer la formule sin φ′ = 3M/(6 + M), valable dans le plan p-q, à une pente lue dans le plan de Lambe. Là-bas c'est simplement sin φ′ = tan(pente).
🤝 Ce qui doit figurer au procès-verbal : le plan employé , explicitement. « M = 1,36 » ne veut rien dire sans préciser dans quel système de coordonnées la pente a été mesurée. 📕

🏗️

🤔

Et si... ? (Analyse de Sensibilité)

Et si la surpression au palier final n'avait atteint que 100 kPa au lieu de 120 ? 🤔

🔄 Modification : les contraintes effectives deviendraient σ′₁ = 300 et σ′₃ = 100 kPa, d'où p′ = 166,7 kPa au lieu de 146,7.
📈 Nouvel Impact : le point de rupture glisserait de 20 kPa vers la droite. La pente M tomberait de 1,364 à 1,200 .
💡 Conclusion : l'angle de frottement passerait de 33,75° à 30,0° exactement. Vingt kilopascals de mesure font près de quatre degrés.
⚠️ Bénéfice/Risque : or 20 kPa sur une mesure de pression interstitielle, ce n'est pas énorme — un capteur mal saturé, une vitesse de cisaillement un peu rapide, et l'écart est là. La sensibilité de φ′ à cette mesure est le point faible de tout essai CU.
🔮 Perspective : c'est pourquoi on ne conclut jamais sur un seul essai. Trois confinements donnent trois points de rupture, et c'est la droite de régression qui livre l'angle — bien plus robuste qu'un point unique.

Question 5 : L'angle de frottement effectif

🧠

💡
Dans la tête de l'ingénieur

"Le chiffre que tout le monde attend. Il va sortir d'une division et d'un arc sinus — trente secondes. Le vrai travail est après : décider si je peux le signer." ☠️

🔎 Observation : la droite de rupture est supposée passer par l'origine, faute de cohésion. Un seul point suffit donc à la définir — et c'est aussi la fragilité de toute la démarche.
🤔 Analyse du risque : lire la pente sur le mauvais chemin . Le chemin total est plus long, plus visible, et donne un angle apparemment raisonnable — mais dépourvu de sens physique.
✅ Choix stratégique : calculer φ′ par les invariants, puis le recalculer par un chemin totalement indépendant — le critère de Mohr-Coulomb écrit directement sur les contraintes principales. Deux routes, un seul résultat attendu.
💡 Ce qu'il faut retenir : un angle de frottement se juge autant qu'il se calcule. 34° pour une argile n'est pas une bonne nouvelle : c'est un signal qu'il faut interpréter.
🎯 Objectif visé : une pente, un angle, une vérification croisée et un avis motivé.

👀 Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

M = 1,364 · sin φ′ = 5/9 · φ′ = 33,75° · c_u = 100 kPa

AIDE-MÉMOIRE

📋 Données extraites pour l'étape :

🔸 Contrainte moyenne effective au dernier palier : 146,7 kPa · question 4
🔸 Déviateur au dernier palier : 200 kPa · relevé d'essai
🔸 Contraintes principales effectives : 280 et 80 kPa · question 3
🔸 Cohésion effective : c′ = 0 kPa · hypothèse, sol normalement consolidé

Rappel Théorique : la frontière que le sol ne peut pas franchir

Tout état de contrainte est permis, sauf ceux qui dépassent une certaine ligne. Cette ligne est la résistance du matériau. ☠️

Mohr-Coulomb : la rupture survient quand le cisaillement sur une facette atteint τ = c′ + σ′ tan φ′. L'angle φ′ mesure la part de résistance qui vient du frottement entre grains , donc proportionnelle à la contrainte qui les serre.
Dans le plan p-q : ce critère devient une droite q = M p′ + d. Pour un sol sans cohésion, d = 0 et la droite passe par l' origine .
La conversion : M et φ′ décrivent la même chose dans deux langages. Le passage de l'un à l'autre, sin φ′ = 3M/(6 + M), n'est pas une approximation : c'est une identité algébrique en compression triaxiale.
La forme directe : écrit sur les contraintes principales, le même critère donne sin φ′ = (σ′₁ − σ′₃)/(σ′₁ + σ′₃). Aucun invariant n'y figure — d'où son intérêt comme contrôle indépendant .
Ce que c′ = 0 signifie vraiment : non pas que l'argile ne colle pas, mais qu'elle est normalement consolidée — jamais chargée plus qu'aujourd'hui. Une argile surconsolidée, elle, présente une cohésion effective réelle, et la droite ne passe plus par l'origine.

📐 Équations Fondamentales

La pente de rupture dans le plan des invariants, et le même critère écrit sur les contraintes principales.

Critère de rupture, deux écritures :

La conversion pente-angle, et la forme directe qui servira de contrôle.

💡 Pourquoi cette formule ?

Parce que la pente M dépend du système de coordonnées, alors que φ′ n'en dépend pas. M est ce qu'on mesure sur le graphique ; φ′ est ce qu'on transmet au bureau d'études, et ce qui entrera dans les calculs de stabilité. ☠️

📐 Contexte de validité : compression triaxiale, cohésion nulle, droite par l'origine. En extension la relation change de forme, et avec une cohésion il faut deux essais au minimum.
🏗️ Avantage : φ′ est un paramètre intrinsèque . Il ne dépend ni du confinement, ni de l'état de consolidation, ni de la géométrie de l'ouvrage — c'est ce qui le rend transportable d'un calcul à l'autre.
⚙️ Paramètre clé : p′ à la rupture. Toute erreur sur la pression interstitielle s'y reporte intégralement, et de là sur l'angle.
🔍 Vérification : les deux écritures doivent donner exactement le même sinus. Un écart signale une erreur d'invariant, pas une imprécision.
⚠️ Limite : la formule ne sait pas si le point qu'on lui donne est vraiment à la rupture. Elle calcule une pente sur le point fourni, quel qu'il soit — la pertinence du point reste entièrement à la charge de l'ingénieur.

\[ M = \frac{q_f}{p'_f} \quad ; \quad \sin\varphi' = \frac{3M}{6 + M} \]

\[ \sin\varphi' = \frac{\sigma'_1 - \sigma'_3}{\sigma'_1 + \sigma'_3} \]

🔍 Que dit cette équation physiquement ? ☠️ « Un sol pulvérulent ne supporte qu'un cisaillement proportionnel à la compression qui le serre. Le coefficient de proportionnalité, c'est son frottement interne. » 📐 Toute la question est de savoir si l'on a bien atteint ce plafond.

Décomposition des termes :

M : pente de la droite de rupture dans le plan p′-q, unité : sans — dépend du système de coordonnées
q_f : déviateur à la rupture, unité : kPa — ordonnée du point critique
p′_f : contrainte moyenne effective à la rupture, unité : kPa — abscisse du point critique
φ′ : angle de frottement effectif, unité : degrés — propriété intrinsèque du matériau

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Mesurer la pente sur le chemin des contraintes totales . On obtient M = 200/266,7 = 0,75, donc sin φ = 0,333 et un angle de 19,5° . Le chiffre est plausible pour une argile — et il est dénué de sens physique..."

✅ L'approche d'ingénieur : la résistance est effective, ou elle n'est rien. 📐

Pourquoi le chemin total ne peut pas servir : il décrit ce que la machine applique. Or l'eau reprend une part de cette charge, et cette part ne serre aucun grain. Un « angle » lu là-dessus mélange une propriété du sol et une pression de fluide.
Le symptôme : le résultat dépendrait du confinement . Refaire l'essai à 400 kPa donnerait un autre « angle » — ce qui suffit à disqualifier la grandeur, puisqu'un paramètre intrinsèque ne bouge pas.
L'ampleur de l'erreur : 19,5° au lieu de 33,75°, soit 14 degrés perdus . Sur un calcul de stabilité de talus, c'est un coefficient de sécurité amputé de moitié et un projet condamné sans raison.
Ce qui rend l'erreur dangereuse : elle va dans le sens conservateur . Personne ne s'alarme d'un résultat prudent, et l'erreur peut traverser toute une étude sans être détectée.
La règle : toute droite de rupture se trace sur des contraintes effectives . Le chemin total ne sert qu'à une chose : mesurer, par son écart, la pression interstitielle. 🏗️

Exécution de la Note de Calculs

⚠️ Check-up des Unités

M : des kPa divisés par des kPa, sans dimension ✓
Un sinus est sans dimension et compris entre 0 et 1
Contrôle : les deux écritures du critère doivent donner le même sinus

☠️ La pente, l'angle, le recoupement indépendant, puis le jugement de plausibilité.

1. Résolution Numérique Pente de la droite de rupture

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la droite est supposée passer par l'origine : sa pente se lit donc directement comme le rapport des coordonnées du point de rupture, sans aucune régression.

🔧 Méthode retenue

📐 Ce qu'on applique : le quotient du déviateur par la contrainte moyenne effective au dernier palier.
⚠️ Le point de vigilance : c'est p′ au dénominateur, jamais p. Le piège de cette question tient tout entier dans ce prime.
🎯 Finalité : obtenir la pente de la frontière de résistance dans le plan des invariants.

\[ \begin{aligned} M &= \frac{q_f}{p'_f} \\ &= \frac{200}{146{,}7} \\ &= \mathbf{1{,}364} \end{aligned} \]

📊 Analyse intermédiaire du chiffre :

1,364 : le sol supporte un cisaillement valant 1,36 fois la compression moyenne qui le serre. 📐

✅ Contrôle d'ordre de grandeur : M se situe entre 0,8 et 1,6 pour la quasi-totalité des sols. La valeur est dans la plage, en partie haute.
📌 La valeur exacte : 200 ÷ (440/3) = 600/440 = 15/11 . Une fraction franche, qui donnera un sinus tout aussi franc à l'étape suivante.
⚠️ Ce que M ne dit pas : dans quel plan il a été mesuré. Le même sol donnerait une pente différente dans le plan de Lambe, sans que sa résistance ait changé d'un iota.

2. Résolution Numérique Angle de frottement effectif

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que M n'est compris par personne en dehors du plan p-q, tandis que φ′ entre directement dans les formules de portance, de poussée et de stabilité de pente. C'est la traduction du résultat en langage de projet.

🔧 Méthode retenue

📐 Ce qu'on applique : la relation sin φ′ = 3M/(6 + M), puis l'arc sinus.
⚠️ Le point de vigilance : cette relation vaut en compression triaxiale. En extension, le dénominateur devient 6 − M, et confondre les deux donne plusieurs degrés d'écart.
🎯 Finalité : obtenir l'angle de frottement effectif en degrés.

\[ \begin{aligned} \sin\varphi' &= \frac{3M}{6 + M} = \frac{3 \times 1{,}364}{6 + 1{,}364} \\ &= \frac{4{,}091}{7{,}364} = \frac{5}{9} = 0{,}5556 \\ \varphi' &= \arcsin(0{,}5556) = \mathbf{33{,}75^\circ} \end{aligned} \]

📊 Analyse intermédiaire du chiffre :

Le sinus tombe sur 5/9 exactement , d'où φ′ = 33,75°. Aucune approximation n'intervient dans cette chaîne. 📐

✅ Sur l'arrondi : la valeur exacte est arcsin(5/9) = 33,749°, qui s'écrit 33,75° . On lit parfois 33,7 : c'est une troncature, sans conséquence pratique mais qui n'est pas l'arrondi correct.
📌 La plage attendue : les argiles normalement consolidées se situent entre 20 et 28° . Les limons et sables limoneux montent à 30–35°. Notre 33,75° est hors de la plage des argiles .
⚠️ Ce n'est pas une erreur de calcul : l'arithmétique est irréprochable. C'est la donnée ou l' hypothèse de rupture qui doit être interrogée — les deux calculs suivants s'en chargent.

3. Résolution Numérique Contrôle par un chemin indépendant

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le résultat précédent traverse trois questions et une dizaine d'opérations. L'écrire directement sur les contraintes principales court-circuite tout cela : ni invariant, ni facteur 2, ni division par 3. Si les deux chemins concordent, l'ensemble de la chaîne est validé d'un coup.

🔧 Méthode retenue

📐 Ce qu'on applique : la forme directe du critère de Mohr-Coulomb sur σ′₁ = 280 kPa et σ′₃ = 80 kPa.
⚠️ Le point de vigilance : cette écriture n'est valable que pour c′ = 0. Avec une cohésion, il faudrait ajouter le terme c′·cot φ′ aux deux contraintes.
🎯 Finalité : recalculer le sinus sans passer par les invariants.

\[ \begin{aligned} \sin\varphi' &= \frac{\sigma'_1 - \sigma'_3}{\sigma'_1 + \sigma'_3} \\ &= \frac{280 - 80}{280 + 80} = \frac{200}{360} \\ &= \frac{5}{9} = \mathbf{0{,}5556} \end{aligned} \]

📊 Analyse intermédiaire du chiffre :

Le même 5/9 , obtenu sans le moindre invariant. Les deux chemins se recoupent exactement. ✅

✅ Ce que le recoupement valide : les contraintes effectives de la question 3, les invariants de la question 4 et la conversion pente-angle. Une erreur dans l'un des trois aurait rompu l'égalité.
📌 Le troisième contrôle, encore plus rapide : le rapport σ′₁/σ′₃ = 280/80 = 3,5 , à comparer à (1 + sin φ′)/(1 − sin φ′) = 1,556/0,444 = 3,5. Identique. Ce rapport est d'ailleurs le plus simple des indicateurs de rupture , et il se calcule de tête.
⚠️ Ce que ce recoupement ne valide pas : l'hypothèse de rupture. Les trois chemins partent du même point de mesure ; s'il n'est pas à la rupture, ils se trompent tous les trois ensemble.

4. Résolution Numérique Jugement de plausibilité par la résistance non drainée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un angle de 33,75° pour une argile sort de la plage attendue, et qu'une seule anomalie ne suffit pas à conclure. La résistance non drainée offre un second indicateur, indépendant, dont on connaît bien les valeurs de référence.

🔧 Méthode retenue

📐 Ce qu'on applique : c_u = q_f/2, le rayon du cercle de Mohr à la rupture, puis son rapport à la contrainte de consolidation.
⚠️ Le point de vigilance : c_u n'est pas une propriété intrinsèque : elle dépend de la consolidation. C'est justement son rapport à σ′_3c qui, lui, est comparable d'un site à l'autre.
🎯 Finalité : disposer d'un second indicateur pour trancher sur la nature du matériau.

\[ \begin{aligned} c_u &= \frac{q_f}{2} = \frac{200}{2} = \mathbf{100} \ \text{kPa} \\ \frac{c_u}{\sigma'_{3c}} &= \frac{100}{200} = \mathbf{0{,}50} \end{aligned} \]

📊 Analyse intermédiaire du chiffre :

Un rapport de 0,50 , quand une argile normalement consolidée se situe entre 0,20 et 0,30 . Le second indicateur pointe dans la même direction que le premier. ⚠️

✅ Deux anomalies concordantes : φ′ trop élevé pour une argile et c_u/σ′_3c deux fois trop fort. Quand deux indicateurs indépendants s'écartent dans le même sens, ce n'est plus le hasard.
📌 L'interprétation la plus probable : le matériau n'est pas une argile franche mais un limon ou une argile très silteuse . Les deux valeurs sont alors parfaitement cohérentes entre elles.
⚠️ L'hypothèse alternative : le sol serait légèrement surconsolidé . Sa cohésion effective ne serait alors pas nulle, la droite de rupture ne passerait pas par l'origine, et forcer son passage par zéro surestime l'angle. Un second essai à un autre confinement trancherait immédiatement.

📊 LES DEUX CHEMINS DE CONTRAINTES ET LA DROITE DE RUPTURE

📌

Lecture du graphique : les deux chemins partent du même point, sur l'axe horizontal, puis se séparent immédiatement . Le bleu monte vers la droite en ligne droite : c'est la machine, pente 3, rien d'autre. Le vert part vers la gauche en s'incurvant : c'est le sol, dont le confinement effectif s'effondre à mesure que l'eau monte en pression. À chaque hauteur, la distance horizontale entre les deux courbes vaut exactement la pression interstitielle du moment — 120 kPa tout en haut. Le chemin effectif vient buter contre la droite de rupture : c'est ce contact, et lui seul, qui donne l'angle de frottement.

✨

🎉

RÉSULTAT FINAL

φ′ = 33,75° · M = 1,364 · c_u = 100 kPa · valeur haute pour une argile

"L'arithmétique est exacte à la fraction près. C'est l'étiquette « argile » qui demande à être revue, pas le calcul."

🌿

☕
Le mot de la fin (Sur le Chantier)

"Un essai triaxial ne dit jamais tout seul où est la rupture. C'est l'ingénieur qui la déclare — et cette décision vaut plus que tout le reste du calcul." ☠️

📈 Ce qu'on cherche sur la courbe : un pic de déviateur, ou un palier. Ici le déviateur croît encore de 20 kPa au dernier point relevé : ni l'un ni l'autre n'a été observé.
📏 La convention de repli : faute de pic, on retient conventionnellement la valeur atteinte à 15 % de déformation axiale . Encore faut-il disposer des déformations — l'énoncé n'en donne aucune.
🔀 L'autre définition, tout aussi légitime : le maximum du rapport σ′₁/σ′₃, qui ne survient pas au même instant que le maximum du déviateur. Deux définitions, deux angles, et il faut dire laquelle on a employée.
⚠️ Le sens de l'incertitude : si l'essai s'est arrêté avant la rupture, le vrai point critique est plus haut sur le chemin effectif, donc l'angle réel est supérieur à 33,75°. L'écart avec la plage des argiles se creuserait encore.
🤝 Ce qui doit figurer au procès-verbal : le critère de rupture retenu , la courbe déviateur-déformation, et l'identification du sol par ses limites d'Atterberg. Sans elles, impossible de dire si 33,75° est aberrant ou parfaitement normal. 📕

🏗️

🤔

Et si... ? (Analyse de Sensibilité)

Et si un second essai, à un autre confinement, révélait une cohésion effective non nulle ? 🤔

🔄 Modification : la droite de rupture ne passerait plus par l'origine. Son équation deviendrait q = M p′ + d, avec d lié à c′.
📈 Nouvel Impact : la pente M deviendrait plus faible que le simple rapport q_f/p′_f, puisqu'une partie de la résistance viendrait de l'ordonnée à l'origine et non du frottement.
💡 Conclusion : l'angle de 33,75° serait surestimé . Forcer une droite par l'origine sur un sol cohérent attribue au frottement une résistance qui vient de la cohésion.
⚠️ Bénéfice/Risque : et l'erreur va dans le sens dangereux . Un angle surestimé donne des poussées trop faibles et des portances trop élevées — l'inverse du piège du chemin total, qui était conservateur.
🔮 Perspective : d'où la règle : un couple (c′, φ′) ne se détermine jamais sur un seul essai. Il en faut trois, à trois confinements espacés, et l'on ajuste la droite sur les trois points de rupture.

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL & PERFORMANCES

📋

📝

Rapport de Fin de Mission

✅ Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

Je retranche u des deux contraintes principales, jamais d'une seule. Je distingue p = (σ₁ + 2σ₃)/3 du centre du cercle de Mohr (σ₁ + σ₃)/2. Je contrôle chaque ligne par p − p′ = u et par q′ = q. Je vérifie que le chemin total est bien une droite de pente 3 partant de (σ₃ ; 0). Je ne lis jamais un angle de frottement sur le chemin des contraintes totales . Je recoupe φ′ par sin φ′ = (σ′₁ − σ′₃)/(σ′₁ + σ′₃) , qui n'utilise aucun invariant. Je confronte l'angle obtenu à la plage attendue pour le sol annoncé. Je vérifie qu'un pic ou un palier de déviateur a réellement été atteint avant de parler de rupture.

La chaîne de calcul se déroule sans accroc et se contrôle à chaque étape. La consolidation isotrope laisse σ′_1c = σ′_3c = 200 kPa , d'où un point de départ en (p′ = 200 ; q = 0), commun aux deux chemins. Le cisaillement à confinement constant donne σ₁ = 200 + Δσ, et la substitution littérale établit que le chemin total est une droite de pente 3 — un contrôle valable sur les six paliers. Les contraintes effectives se déduisent en retranchant u des deux contraintes principales : au dernier palier, σ′₁ = 280 kPa et σ′₃ = 80 kPa , soit un confinement effectif divisé par 2,5 alors que la machine n'a pas desserré d'un kilopascal. Les invariants suivent : p = 266,7 kPa , p′ = 146,7 kPa , et l'identité p − p′ = u se vérifie exactement sur les six lignes du tableau. 🧮

L'exploitation donne M = 200/146,7 = 15/11 = 1,364 , puis sin φ′ = 3M/(6 + M) = 5/9 exactement, d'où φ′ = 33,75° . On lit parfois 33,7 : c'est une troncature, l'arrondi correct de arcsin(5/9) = 33,749° étant 33,75. Le résultat a été recoupé par un chemin totalement indépendant , la forme directe du critère de Mohr-Coulomb : sin φ′ = (σ′₁ − σ′₃)/(σ′₁ + σ′₃) = 200/360 = 5/9. Même fraction, sans le moindre invariant. Un troisième contrôle, calculable de tête, achève de valider la chaîne : σ′₁/σ′₃ = 280/80 = 3,5, à comparer à (1 + sin φ′)/(1 − sin φ′) = 3,5. Les trois routes convergent, ce qui met les questions 2 à 4 hors de cause. 📐

Deux réserves de fond subsistent pourtant, et elles ne portent pas sur l'arithmétique. La première : rien ne démontre que le dernier palier soit la rupture . Le déviateur y croît encore de 20 kPa par rapport au palier précédent ; ni pic ni plateau n'a été observé, et aucune déformation axiale n'est fournie qui permettrait d'appliquer la convention des 15 %. Si l'essai a été interrompu avant la rupture, le point critique réel se situe plus haut sur le chemin effectif, et l'angle véritable est supérieur à 33,75°. La seconde réserve : 33,75° est hors de la plage des argiles , qui se situent entre 20 et 28° à l'état normalement consolidé. Un second indicateur, indépendant, va dans le même sens — la résistance non drainée vaut c_u = q_f/2 = 100 kPa , soit un rapport c_u/σ′_3c = 0,50 quand une argile normalement consolidée donne 0,20 à 0,30. Deux anomalies concordantes ne sont plus une coïncidence : le matériau se comporte comme un limon ou une argile très silteuse , pas comme une argile franche. L'hypothèse alternative, tout aussi défendable, est un sol légèrement surconsolidé dont la cohésion effective ne serait pas nulle — auquel cas forcer la droite de rupture par l'origine surestime l'angle. ⚠️

Une précision normative s'impose également. Cet essai est parfois rattaché aux normes NF P94-070 et NF P94-074 . Ces textes ont bien porté sur l'appareil triaxial de révolution, mais ils ont été remplacés par la série européenne : la référence applicable à un essai consolidé, CU comme CD, est NF EN ISO 17892-9 (2018), l'essai non consolidé non drainé relevant de la partie 8 . La confusion est répandue — l'ancienne série française NF P94 a été largement absorbée par la série NF EN ISO 17892, et les habitudes de citation n'ont pas toutes suivi — mais elle ne peut pas subsister dans un rapport d'essai, qui est un document contractuel. 📕

Reste la leçon d'ensemble, et elle tient dans la géométrie du graphique. Les deux chemins partent du même point et divergent aussitôt : le total monte vers la droite en ligne droite, parce que la machine ajoute de la compression moyenne à raison d'un tiers du déviateur ; l'effectif part vers la gauche en s'incurvant, parce que l'eau prend davantage que ce que la machine ajoute. Le critère qui départage les deux comportements est net : le chemin effectif recule dès que le coefficient de Skempton dépasse 1/3 , et il vaut ici 0,55 à 0,60 selon le palier. C'est cette divergence, et elle seule, qui explique qu'un sol puisse rompre sous un confinement qu'on n'a jamais relâché — le mécanisme même des ruptures de remblais sur sols mous, où le danger se situe non pas des années plus tard mais juste après la fin des travaux. Enfin, un couple (c′, φ′) ne se détermine jamais sur un essai unique : il en faut trois , à trois confinements espacés, pour distinguer une droite passant par l'origine d'une droite qui aurait une ordonnée. ✅

📊 Tableau de Bord des Performances

📐

Angle de frottement effectif

φ′ = 33,75° — sin φ′ = 5/9, recoupé deux fois

🔻

Confinement effectif à la fin

σ′₃ = 80 kPa — divisé par 2,5 sans desserrer

⚠️

Plausibilité du matériau

c_u/σ′_3c = 0,50 — deux fois la valeur d'une argile NC

DÉCISION DU DIRECTEUR TECHNIQUE

⚠️ CALCULS VALIDÉS — φ′ = 33,75° À NE PAS DIFFUSER SANS IDENTIFICATION DU SOL

"Le calcul est propre, et vos deux recoupements me font gagner une relecture : les trois routes tombent sur 5/9, il n'y a rien à redire à l'arithmétique. Cinq remarques quand même. Un : je ne diffuse pas ce 33,75° en l'état. Trente-quatre degrés pour une argile, c'est hors plage, et votre rapport c_u/σ′_3c à 0,50 dit la même chose par un autre chemin. Deux indicateurs indépendants qui se trompent ensemble, ça n'existe pas — je veux les limites d'Atterberg avant toute diffusion. Si c'est un limon, tout est cohérent et on avance. Deux : rien ne prouve que le dernier palier soit la rupture. Le déviateur monte encore de vingt kilopascals, il n'y a ni pic ni plateau, et sans les déformations je ne peux même pas appliquer la convention des quinze pour cent. Écrivez-le noir sur blanc : rupture supposée au dernier palier mesuré . Trois : qu'on cesse d'écrire « NF P94-074 » . La bonne référence est NF EN ISO 17892-9 de 2018, partie 8 pour l'UU. Une norme périmée dans un document contractuel, c'est une non-conformité au premier contrôle. Quatre : je veux deux essais de plus , à cent et quatre cents kilopascals. Avec un seul point on ne distingue pas une droite par l'origine d'une droite avec cohésion — et si ce sol est légèrement surconsolidé, votre angle est surestimé , donc du mauvais côté. Cinq : gardez ce graphique tel quel dans la note. L'écart horizontal entre les deux chemins qui vaut exactement la pression interstitielle, c'est ce qui fait comprendre en trois secondes pourquoi un remblai se couche alors qu'on n'a rien desserré."

Signature : L'Ingénieur en Chef 👷

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