Exercice corrigé

Calcul des Gisements Compensés d'un Cheminement

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 5 juillet 2026• 83 min de lecture• 4 vues

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Étude de cas · Note de calculs Réf. TOPO-PLA-06

Calcul des Gisements Compensés d'un Cheminement

Fermer un polygone en angles — et découvrir qu'une fermeture angulaire parfaite ne dit rien de la fermeture linéaire

NiveauBTS / BUT Génie civil

DomaineTopographie · Calculs planimétriques

ThèmeCheminement polygonal fermé : fermeture, compensation, transport de gisement

PrérequisSomme des angles d'un polygone · Grade (gon) · Gisement et quadrants · Transport de gisement · Coordonnées partielles · Classes de précision topographiques

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un géomètre doit implanter plusieurs bornes nouvelles pour un projet d'aménagement. Il part d'un point connu, stationne successivement chaque sommet, et revient à son point de départ. Cette boucle n'est pas un caprice : c'est le seul moyen de contrôler ses propres mesures.

Un cheminement fermé offre en effet deux contrôles indépendants : la fermeture angulaire, qui teste les angles, et la fermeture linéaire, qui teste tout le reste. Les confondre — ou se contenter du premier — est l'erreur de raisonnement la plus répandue.

Les Points Clés du Projet

Quatre points à poser avant le premier calcul. Le dernier est celui qui décide de la valeur du levé :

La somme des angles est une contrainte, pas une mesure : dans un polygone à \( n \) sommets, elle vaut obligatoirement \( (n-2) \times 200 \) gon. L'écart à cette valeur est une erreur, jamais une propriété du terrain.
Le transport de gisement doit boucler : après un tour complet, on doit retomber exactement sur le gisement de départ. Ce contrôle attrape toute erreur de signe sur les 200 gon.
Chaque coordonnée partielle se contrôle par retour : les deux composantes d'un côté doivent restituer sa distance et son gisement. Un couple trigonométrique emprunté à un angle voisin ne survit pas à ce test.
Une bonne fermeture angulaire ne garantit rien : elle ne teste que les angles. Les distances, elles, n'entrent que dans la fermeture linéaire — et c'est là que se révèlent les incohérences les plus graves.

Votre Mission :

À partir du carnet de levé d'un cheminement polygonal fermé à quatre sommets, vous devez calculer la fermeture angulaire, compenser les angles, transporter les gisements tout autour du polygone, en déduire les coordonnées partielles de chaque côté, et conclure sur la qualité réelle du levé.

Le grand défi : Ne pas s'arrêter au contrôle qui rassure. La fermeture angulaire de ce levé est excellente ; la fermeture linéaire, elle, raconte une tout autre histoire.
Votre rôle : Livrer des gisements bouclés, des composantes contrôlées côté par côté, et un jugement honnête sur ce que ces mesures permettent — ou ne permettent pas — de faire.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

La fermeture angulaire du cheminement, et la nature exacte du seuil auquel on la compare.
Les angles compensés et les gisements compensés de chaque côté, avec le contrôle de bouclage.
Les coordonnées partielles de chaque côté, chacune vérifiée par un contrôle par retour.
La fermeture linéaire du cheminement, et le verdict qu'elle impose sur ce jeu de mesures.

2. Données Techniques & Normes

Deux familles de données. Les angles et les distances sont des mesures de terrain, portées au carnet de levé. Les coordonnées de S1 et le gisement de départ sont connus : ils orientent et positionnent l'ensemble du cheminement.

Une distinction qui décidera de tout : la fermeture angulaire ne teste que les angles ; les distances n'interviennent qu'à la fermeture linéaire. Deux contrôles, deux portées — et s'arrêter au premier ne prouve rien.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Six relations. Les deux premières contrôlent les angles, les deux suivantes les compensent et les transportent, les deux dernières projettent et contrôlent l'ensemble.

Somme théorique des angles \( \sum \alpha_{\text{th}} = (n-2) \times 200 \ \text{gon} \)
Fermeture angulaire \( f_{\text{a}} = \sum \alpha_{\text{mes}} - \sum \alpha_{\text{th}} \)
Compensation unitaire \( C_{\text{a}} = - \dfrac{f_{\text{a}}}{n} \)
Transport de gisement \( G_{\text{suiv}} = G_{\text{prec}} + \alpha'_{\text{sommet}} - 200 \ \text{gon} \)
Coordonnées partielles \( \Delta X = D \sin G \) et \( \Delta Y = D \cos G \)
Fermeture linéaire \( f_{\text{L}} = \sqrt{ \left( \sum \Delta X \right)^{2} + \left( \sum \Delta Y \right)^{2} } \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

CARNET DE LEVÉ ET POINT CONNU

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( \alpha_{\text{S1}} \)	Angle intérieur mesuré à la station S1	105,1510	gon
\( \alpha_{\text{S2}} \)	Angle intérieur mesuré à la station S2	88,8870	gon
\( \alpha_{\text{S3}} \)	Angle intérieur mesuré à la station S3	120,3710	gon
\( \alpha_{\text{S4}} \)	Angle intérieur mesuré à la station S4	85,6000	gon
\( D \)	Distances horizontales des quatre côtés, dans l'ordre du parcours	150,00 · 111,80 · 170,00 · 180,28	m
\( G_{\text{S1-S2}} \)	Gisement de départ, connu et supposé exempt d'erreur	125,0000	gon
\( X_{\text{S1}} \) et \( Y_{\text{S1}} \)	Coordonnées du point de départ, connues	1000,00 et 5000,00	m

Ce que la structure du cheminement impose, avant tout calcul

Quatre sommets : la somme des angles intérieurs vaut obligatoirement \( (4-2) \times 200 = 400 \) gon. Tout écart est une erreur de mesure.
Un tour complet : après quatre transports de gisement, on doit retomber sur le gisement de départ. Ce n'est pas une coïncidence, c'est une conséquence algébrique de la contrainte précédente.
Un circuit fermé : la somme des quatre \( \Delta X \) et celle des quatre \( \Delta Y \) doivent être nulles. C'est le second contrôle, indépendant du premier.
Deux contrôles, deux portées : le premier ne teste que les angles ; le second teste les angles et les distances ensemble. Le second est donc strictement plus exigeant.

SEUILS ET PARAMÈTRES DE QUALITÉ

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( T_{\text{a}} \)	Tolérance angulaire imposée par l'énoncé, égale à \( 0{,}02 \sqrt{n} \) hors dossier	\( 0{,}02 \sqrt{n} \)	gon
\( k \)	Coefficient de fiabilité en planimétrie, pour \( n = 2 \) dimensions Arrêté 16 sept. 2003	2,42	—
\( [xx] \) et \( C \)	Classe de précision planimétrique et coefficient de sécurité Arrêté 16 sept. 2003	[2] et 2	cm et —
—	Méthodes de compensation admises pour un cheminement DT-DICT fasc. 2, p. 255	moindres carrés ou répartition	—
—	Tolérance réglementaire de fermeture, angulaire ou linéaire absente du dossier	—	—
—	Incertitude des angles et des distances mesurés non chiffrable	—	—

Hypothèses de calcul imposées

Angles intérieurs : les quatre angles du carnet sont les angles intérieurs du polygone. Des angles extérieurs auraient une somme théorique de \( (n+2) \times 200 \) gon.
Gisement de départ exact : \( G_{\text{S1-S2}} \) est supposé sans erreur. Un gisement de départ faux ferait pivoter tout le levé d'un bloc, sans que le bouclage ne le détecte.
Distances horizontales : les quatre distances sont déjà réduites à l'horizon. Aucune réduction de pente n'est à faire.
Mode angulaire : tous les calculs trigonométriques se font en grades. Un mode en degrés donnerait des valeurs plausibles et fausses.

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Il faut être clair sur un point : aucun texte du dossier de normes ne fixe de tolérance de fermeture, ni angulaire ni linéaire. La formule \( 0{,}02\sqrt{n} \) de l'énoncé est une donnée d'exercice, pas une norme. Ce que le dossier fournit, en revanche, ce sont des critères de conformité en position et des recommandations de méthode — l'un et l'autre parfaitement applicables ici.

Arrêté du 16 septembre 2003 — classes de précision (NOR EQUP0300864A)

Critère	Expression
Coefficient de fiabilité \( k \)	3,23 si \( n = 1 \) · 2,42 si \( n = 2 \) · 2,11 si \( n = 3 \)
Critère de moyenne	\( E_{\text{moy}} < [xx] \times \left( 1 + \dfrac{1}{8} \right) \)
Tolérance individuelle	\( T = k \times [xx] \times \left( 1 + \dfrac{1}{2C^{2}} \right) \)
Critère maximal, en planimétrie	\( 1{,}5 \times k \times [xx] \times \left( 1 + \dfrac{1}{8} \right) = 4{,}08 \times [xx] \)
Échantillon réduit	si \( N < 5 \), aucun dépassement de \( T \) n'est toléré

La circulaire du même jour cite explicitement le cheminement polygonal parmi les exemples d'application de son annexe technique : cet arrêté est donc bien le texte de référence pour juger un cheminement. Il ne raisonne cependant pas en fermeture, mais en écart de position sur des points contrôlés.

DT-DICT, fascicule 2 v3 (2024), page 255 — fiche OL-STT « La station totale »

Recommandation	Portée pour cet exercice
« d'effectuer un cheminement en boucle ou encadré »	c'est exactement la configuration de l'exercice : elle seule fournit un contrôle de fermeture
« de compenser ses calculs (méthode en bloc par les moindres carrés ou répartition de l'erreur de cheminement) »	l'équirépartition employée ici est la seconde des deux voies citées : la méthode est sourcée
« de vérifier la cohérence des stations de références ainsi que le système de coordonnées »	le gisement de départ et les coordonnées de S1 sont pris pour exacts : c'est une hypothèse, pas un fait
« On évitera autant que possible les cheminements en antenne, qui n'apportent aucun contrôle de fermeture »	justifie a contrario tout l'intérêt du polygone fermé étudié ici

Le guide nomme les moindres carrés comme méthode alternative, mais aucun document du dossier n'en donne la mise en œuvre. Elle sera donc citée, jamais appliquée.

Arrêté du 15 février 2012 modifié, article 15 — informations obligatoires par relevé

Rang	Information à associer à chaque relevé topographique
8	« La marque et le numéro de série de l'appareil de mesure »
9	« L'incertitude maximale de la mesure (en différenciant, le cas échéant, les trois directions) »

Rappelé page 74 du fascicule 2. Le carnet de levé de cet énoncé ne comporte ni l'un ni l'autre : l'incertitude des angles et des distances n'est donc pas chiffrable, alors même que la réglementation en impose la déclaration.

Documents manquants au dossier. Aucune tolérance de fermeture n'y figure, ni angulaire ni linéaire : la formule de l'énoncé est traitée comme une donnée, et les seuils de l'arrêté du 16 septembre 2003 servent d'ordre de grandeur, non de seuil réglementaire direct. Aucune spécification instrumentale n'y figure — ni fiche technique de station totale, ni norme ISO 17123 — de sorte que l'incertitude des mesures n'est pas chiffrable. Enfin, aucun document n'expose la compensation par moindres carrés, pourtant citée par le guide DT-DICT : elle est nommée, jamais mise en œuvre.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Quatre étapes. La première contrôle les angles, la deuxième les compense et transporte les gisements, la troisième projette chaque côté sur les deux axes. La quatrième pose la question décisive : ce polygone se referme-t-il vraiment ?

Question 1 : La fermeture angulaire, et le seuil auquel on la compare

Contrôle angulaire 25 min | Accessible

But de l'étape : Confronter la somme des angles mesurés à la somme géométriquement imposée — puis dire exactement quelle est la nature du seuil auquel on compare l'écart obtenu.

Énoncé Q1 : Calculez la fermeture angulaire \( f_{\text{a}} \), comparez-la à la tolérance \( T_{\text{a}} = 0{,}02\sqrt{n} \) gon imposée par l'énoncé, et traduisez cet écart en écart de position.

La somme théorique ne dépend que du nombre de sommets : \( (n-2) \times 200 \) gon.
Comparez toujours la valeur absolue de la fermeture au seuil.
Demandez-vous d'où vient ce seuil : figure-t-il dans un texte, ou dans l'énoncé ?

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Un angle n'est pas une longueur : pour juger de sa gravité, il faut le convertir en écart de position à la distance de la visée. Un grade vaut \( \pi/200 \) radian.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La formule \( 0{,}02\sqrt{n} \) modélise l'accumulation quadratique des erreurs accidentelles : \( n \) mesures indépendantes de même qualité produisent une erreur globale en \( \sqrt{n} \), et non en \( n \).

Question 2 : Les angles compensés et le transport des gisements

Compensation et transport 35 min | Intermédiaire

But de l'étape : Répartir l'erreur angulaire sur les quatre sommets, puis orienter chaque côté du polygone — et boucler pour prouver que la chaîne de transport est juste.

Énoncé Q2 : Calculez la compensation unitaire \( C_{\text{a}} \) et les quatre angles compensés, puis transportez le gisement de départ tout autour du polygone et vérifiez le bouclage.

Le signe de la compensation est toujours opposé à celui de la fermeture.
Vérifiez que la somme des angles compensés vaut exactement la somme théorique.
Ramenez chaque gisement dans l'intervalle 0 – 400 gon avant de le reporter.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Transporter un gisement, c'est se retourner puis pivoter : on repasse d'abord de la visée « avant » à la visée « arrière » — un demi-tour de 200 gon — avant d'ajouter l'angle intérieur du sommet.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le bouclage n'est pas un miracle : après \( n \) transports on a ajouté \( \sum \alpha' - n \times 200 = (n-2) \times 200 - n \times 200 = -400 \) gon, soit un tour complet. On retombe donc nécessairement sur le gisement de départ — si les angles sont bien compensés.

Question 3 : Les coordonnées partielles, contrôlées côté par côté

Projection et contrôle par retour 40 min | Intermédiaire

But de l'étape : Projeter chaque côté sur les deux axes — et surtout vérifier chaque couple obtenu en reconstituant la distance et le gisement dont il est censé provenir.

Énoncé Q3 : Calculez les coordonnées partielles \( \Delta X \) et \( \Delta Y \) des quatre côtés, et contrôlez chaque côté par retour.

Annoncez les signes à partir du quadrant du gisement, avant tout calcul.
Le sinus va sur \( \Delta X \), le cosinus sur \( \Delta Y \).
Chaque couple doit restituer la distance du côté : \( \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} = D \).

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le gisement se compte depuis l'axe des ordonnées. Dans le triangle rectangle dont la distance est l'hypoténuse, \( \Delta X \) est le côté opposé et \( \Delta Y \) le côté adjacent.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le contrôle par retour est double : la racine de la somme des carrés doit rendre la distance, et l'arc tangente du rapport doit rendre le gisement. Le premier voit les longueurs, le second voit la direction.

Question 4 (Finale) : La fermeture linéaire — le contrôle que l'on n'exécute jamais

Fermeture linéaire 40 min | BOSS

But de l'étape : Additionner les quatre \( \Delta X \) et les quatre \( \Delta Y \). Sur un cheminement fermé, les deux sommes doivent être nulles. L'écart mesure la qualité réelle de l'ensemble du levé — angles et distances.

Mention spéciale — les deux contrôles n'ont pas la même portée : La fermeture angulaire ne teste que les angles : elle serait parfaite même si toutes les distances étaient fausses. La fermeture linéaire teste les angles, les distances et leur cohérence mutuelle. Conclure sur la qualité d'un levé à partir de la seule fermeture angulaire est donc une faute de raisonnement, quelle que soit sa valeur.

Travail demandé : calculez les fermetures partielles \( f_{\text{x}} \) et \( f_{\text{y}} \), puis la fermeture linéaire \( f_{\text{L}} \) ; rapportez-la au périmètre du cheminement pour obtenir la précision relative ; comparez-la aux seuils de l'arrêté du 16 septembre 2003 ; concluez sur ce que ce jeu de mesures permet réellement, et dites explicitement ce que le dossier de normes ne permet pas de chiffrer.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La précision relative d'un cheminement s'exprime traditionnellement sous la forme d'une fraction : \( f_{\text{L}} \) rapportée au périmètre parcouru. Un cheminement courant se situe entre \( 1/5\,000 \) et \( 1/20\,000 \).

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Si la fermeture linéaire dépasse largement toute tolérance imaginable, la question n'est plus de compenser : c'est que les données elles-mêmes sont incohérentes. Aucune compensation ne rattrape un jeu de mesures qui ne décrit aucune figure fermée.

NOTE DE CALCULS

Calcul des Gisements Compensés d'un Cheminement

Question 1 : La fermeture angulaire, et le seuil auquel on la compare

Dans la tête de l'ingénieur

"Une addition et une soustraction. Mais c'est le premier verrou de tout le calcul : si la somme des angles s'écarte trop de ce que la géométrie impose, rien de ce qui suit n'a de sens. Et je vais surtout regarder d'où vient le seuil qu'on me demande d'appliquer — parce que tous les seuils ne se valent pas."

Observation : Quatre sommets : la somme des angles intérieurs vaut nécessairement 400 gon. Un quadrilatère est le cas le plus facile à mémoriser de toute la topographie.
Analyse du risque : Deux dangers. Une faute de frappe dans l'addition, banale et sans gravité si l'on vérifie deux fois. Et surtout, prendre pour une norme un seuil qui n'est qu'une convention de chantier.
Choix stratégique : Calculer, comparer au seuil imposé par l'énoncé — puis convertir l'écart angulaire en écart de position, seule grandeur que les textes du dossier savent juger.
Alternative : On pourrait se contenter du verdict binaire « dans la tolérance ». C'est suffisant pour avancer, mais cela n'apprend rien sur ce que cet écart représente réellement sur le terrain.
Objectif visé : Une fermeture angulaire chiffrée, un verdict — et une lucidité complète sur la nature du seuil employé.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Σα = 400,0090 gon · somme théorique 400,0000 gon · f(a) = +0,0090 gon · T(a) = 0,0400 gon → accepté

Rappel Théorique : la contrainte géométrique, et la nature des seuils

La somme des angles intérieurs d'un polygone simple à \( n \) sommets est une constante : elle ne dépend que du nombre de côtés, jamais de la forme. C'est le premier et le plus solide des contrôles topographiques.

La contrainte : \( \sum \alpha_{\text{th}} = (n-2) \times 200 \) gon pour des angles intérieurs. Pour des angles extérieurs — un tour d'horizon — elle vaudrait \( (n+2) \times 200 \) gon.
La fermeture : \( f_{\text{a}} \) est l'écart entre le mesuré et le théorique. Positive, on a mesuré « en trop » ; négative, « en moins ».
Pourquoi une racine dans les tolérances : les erreurs accidentelles s'accumulent de façon quadratique. Sur \( n \) mesures indépendantes de même qualité, l'erreur globale croît en \( \sqrt{n} \), pas en \( n \) : elles se compensent partiellement.
Ce que le dossier de normes contient : l'arrêté du 16 septembre 2003 fixe des critères de conformité en position — écart moyen, tolérance individuelle, écart maximal. Il ne fixe aucune tolérance de fermeture angulaire.
Ce qu'il faut donc faire : appliquer le seuil de l'énoncé en le nommant pour ce qu'il est, puis convertir l'écart angulaire en écart de position pour le confronter à un texte réel.

Équations Fondamentales

Trois relations : la contrainte géométrique, l'écart qui en découle, et le seuil de comparaison imposé par l'énoncé.

Somme théorique des angles intérieurs :

La valeur que les angles doivent atteindre, quelle que soit la forme du polygone.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un polygone à \( n \) côtés se découpe en \( (n-2) \) triangles, et que la somme des angles d'un triangle vaut 200 gon. La contrainte est donc purement géométrique : elle ne suppose aucune qualité de mesure.

Contexte de validité : Polygone simple — sans côté qui se croise — et angles intérieurs.
Avantage : Aucune donnée de terrain n'entre dans cette formule : elle est un point de référence absolument fiable.
Paramètre clé : Le nombre de sommets, et le sens dans lequel les angles ont été mesurés.
Vérification : Pour un quadrilatère, la somme vaut 400 gon — un tour complet, facile à retenir.
Limite : Elle ne teste que les angles. Les distances n'y figurent pas, et pourraient être toutes fausses sans que cela se voie.

\[ \begin{aligned} \sum \alpha_{\text{th}} = \left( n - 2 \right) \times 200 \ \text{gon} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voilà ce que la géométrie exige, quelles que soient vos mesures. C'est la référence absolue du contrôle.

Décomposition des termes :

\( \sum \alpha_{\text{th}} \) : somme théorique des angles intérieurs, unité : grade (gon)
\( n \) : nombre de sommets du polygone, unité : sans dimension
\( 200 \ \text{gon} \) : somme des angles d'un triangle, unité : grade (gon)

Fermeture angulaire :

L'écart entre ce qu'on a mesuré et ce que la géométrie impose.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la différence entre une mesure et une contrainte exacte est, par définition, l'erreur commise. Le signe de cet écart indique le sens du défaut, et sa valeur absolue sa gravité.

Contexte de validité : Cheminement fermé. Sur un cheminement encadré, la contrainte porte sur les gisements de départ et d'arrivée, non sur une somme d'angles.
Avantage : Elle isole les erreurs angulaires des erreurs de distance : c'est un diagnostic ciblé.
Paramètre clé : Le signe, qui dira le sens de la compensation à appliquer.
Vérification : La somme des angles compensés devra restituer exactement la somme théorique.
Limite : Une fermeture angulaire nulle ne prouve rien sur le levé : deux erreurs opposées sur deux angles se compenseraient exactement.

\[ \begin{aligned} f_{\text{a}} = \sum \alpha_{\text{mes}} - \sum \alpha_{\text{th}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : de combien mes angles s'écartent-ils, ensemble, de la figure parfaite ? C'est un bilan global, pas un diagnostic par angle.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{a}} \) : fermeture angulaire, signée, unité : grade (gon)
\( \sum \alpha_{\text{mes}} \) : somme des angles portés au carnet, unité : grade (gon)
\( \sum \alpha_{\text{th}} \) : somme imposée par la géométrie, unité : grade (gon)

Tolérance angulaire imposée par l'énoncé :

Le seuil de comparaison — et il faut être précis sur son statut.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle modélise l'accumulation quadratique des erreurs accidentelles : sur \( n \) mesures indépendantes de même qualité, l'erreur globale croît comme \( \sqrt{n} \). C'est le raisonnement statistique standard.

Contexte de validité : Elle suppose que les \( n \) mesures ont été faites dans des conditions comparables, avec le même instrument et le même opérateur.
Avantage : Elle s'adapte automatiquement à la taille du cheminement : plus il y a de stations, plus la tolérance s'élargit.
Paramètre clé : Le coefficient 0,02 gon, qui représente la qualité attendue d'une seule station.
Vérification : Pour \( n \) entre 4 et 9, la tolérance se situe entre 0,04 et 0,06 gon : un ordre de grandeur à connaître.
Limite : Cette formule ne figure dans aucun document du dossier de normes. C'est une donnée d'énoncé, souvent présentée comme une tolérance de chantier courante — pas un seuil réglementaire.

\[ \begin{aligned} T_{\text{a}} = 0{,}02 \times \sqrt{n} \ \text{gon} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voilà l'erreur que \( n \) stations peuvent accumuler sans qu'on soupçonne une faute. Encore faut-il savoir qui a fixé le 0,02.

Décomposition des termes :

\( T_{\text{a}} \) : tolérance de fermeture angulaire, unité : grade (gon)
\( 0{,}02 \) : qualité attendue d'une station, donnée d'énoncé, unité : grade (gon)
\( \sqrt{n} \) : accumulation quadratique sur \( n \) stations, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants présentent la tolérance de l'énoncé comme une norme réglementaire..."

L'approche d'ingénieur : Un seuil n'a de valeur que par sa source. Une tolérance de chantier engage celui qui la choisit ; une tolérance réglementaire s'impose à tous. Confondre les deux, c'est croire opposable un critère qui ne l'est pas — et découvrir le contraire au moment de la réception des travaux.

L'erreur : Écrire « la tolérance réglementaire est de \( 0{,}02\sqrt{n} \) gon ». Cette formule ne figure dans aucun texte du dossier de normes.
La bonne méthode : La nommer pour ce qu'elle est — une donnée d'énoncé — l'appliquer, puis convertir l'écart en position pour le confronter à l'arrêté du 16 septembre 2003, qui, lui, est un texte.
L'astuce de pro : Les textes du dossier raisonnent en écart de position, jamais en fermeture. Pour les mobiliser, il faut d'abord traduire l'angle en mètres : multiplier l'angle en radians par la distance.
Le moyen mnémotechnique : « Un seuil sans source n'engage que celui qui l'écrit ».
L'impact direct : La fermeture de 0,0090 gon vaut, sur le plus long côté du cheminement, 2,55 cm de dérive — soit 0,47 fois la tolérance individuelle de 5,45 cm. Bonne nouvelle, mais il fallait le calculer pour le savoir.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Angles mesurés : en grade (gon), quatre décimales
Somme théorique : en grade (gon), valeur exacte
Fermeture et tolérance : en grade (gon), comparées en valeur absolue
Écart de position : angle en radian multiplié par une distance en mètre

Cinq calculs : la somme mesurée, la somme théorique, la fermeture, la tolérance de l'énoncé, puis la traduction de l'écart en position.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — la somme des angles mesurés

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir le total réellement porté au carnet, qui sera confronté à la contrainte géométrique.

Méthodologie du calcul :

Addition des quatre angles intérieurs du carnet, dans l'ordre des stations.

Substitution : 105,1510 · 88,8870 · 120,3710 · 85,6000 gon.
Piège évité : Les quatre décimales sont conservées : arrondir ici effacerait purement et simplement la fermeture.
Hypothèse validée : Ce sont bien les angles intérieurs du polygone, et non un tour d'horizon.
Vérification croisée : L'addition est refaite dans l'ordre inverse : c'est le contrôle le plus simple d'une somme.
Finalité : Disposer du total mesuré.

\[ \begin{aligned} \sum \alpha_{\text{mes}} &= 105{,}1510 + 88{,}8870 + 120{,}3710 + 85{,}6000 \\[4pt] &= \mathbf{400{,}0090} \ \text{gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

400,0090 gon. Très proche des 400 gon attendus : l'excédent ne porte que sur la quatrième décimale, soit neuf milligrades.

Ordre de grandeur : Neuf milligrades répartis sur quatre stations : environ deux milligrades par angle.
Impact sur la suite : C'est cette valeur que la compensation ramènera exactement à 400,0000 gon.
Cohérence : Aucun des quatre angles ne dépasse 200 gon : le polygone est bien convexe, cohérent avec le croquis.
Attention : Cette somme ne dit rien des distances. Elles pourraient toutes être fausses sans que ce total en soit affecté.
Comparaison : Deux erreurs opposées de cinq milligrades sur deux angles donneraient une somme parfaite : ce contrôle est global, pas individuel.

Remarque pédagogique : Refaire une addition dans l'ordre inverse coûte dix secondes et attrape la quasi-totalité des fautes de frappe. C'est le meilleur rapport temps-sécurité de tout le calcul.

Calcul 2 — la somme théorique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir la référence géométrique, indépendante de toute mesure.

Méthodologie du calcul :

Application de la formule du polygone au nombre de sommets du cheminement.

Substitution : \( n = 4 \) sommets.
Piège évité : C'est bien \( (n-2) \) et non \( n \) : un quadrilatère se découpe en deux triangles, pas quatre.
Hypothèse validée : Polygone simple et angles intérieurs : les deux conditions de la formule.
Vérification croisée : Pour un quadrilatère, la somme vaut un tour complet — 400 gon — ce qui se retient sans calcul.
Finalité : Fixer la référence du contrôle.

\[ \begin{aligned} \sum \alpha_{\text{th}} &= \left( 4 - 2 \right) \times 200 \\[4pt] &= \mathbf{400{,}0000} \ \text{gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

400,0000 gon exactement. Cette valeur n'est entachée d'aucune incertitude : c'est une contrainte, pas une mesure.

Ordre de grandeur : Le cas du quadrilatère est le plus simple : un tour complet, soit 400 gon.
Impact sur la suite : C'est la valeur que les angles compensés devront restituer exactement.
Cohérence : Un triangle donnerait 200 gon, un pentagone 600 gon : la progression est de 200 gon par côté supplémentaire.
Attention : Si les angles avaient été mesurés en tour d'horizon — donc extérieurs — la somme théorique vaudrait \( (4+2) \times 200 = 1200 \) gon.
Comparaison : Se tromper de convention ferait apparaître une fermeture de 800 gon : l'erreur serait immédiatement visible.

Remarque pédagogique : Une contrainte géométrique est le seul élément d'un calcul topographique qui soit exact. Tout le reste est mesuré, donc entaché d'erreur.

Calcul 3 — la fermeture angulaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour quantifier l'erreur globale commise sur les angles.

Méthodologie du calcul :

Différence entre la somme mesurée et la somme théorique, signe conservé.

Substitution : 400,0090 gon mesurés contre 400,0000 gon théoriques.
Piège évité : L'ordre est mesuré moins théorique : l'inverser changerait le signe, donc celui de la compensation.
Hypothèse validée : Le cheminement est bien fermé : on revient sur le point de départ.
Vérification croisée : Un signe positif signifie qu'on a mesuré « en trop » : la compensation devra retrancher.
Finalité : Obtenir la quantité à comparer au seuil, puis à répartir.

\[ \begin{aligned} f_{\text{a}} &= 400{,}0090 - 400{,}0000 \\[4pt] &= \mathbf{+0{,}0090} \ \text{gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

+0,0090 gon, soit 9 milligrades. Le signe positif indique un excédent : les angles mesurés totalisent un peu plus que ce que le quadrilatère autorise.

Ordre de grandeur : Neuf milligrades sur quatre stations : un peu plus de deux milligrades en moyenne par sommet.
Impact sur la suite : C'est cette valeur, changée de signe, qui sera répartie sur les quatre angles.
Cohérence : L'écart ne porte que sur la quatrième décimale du grade : rien qui suggère une faute grossière de lecture.
Attention : Une fermeture angulaire excellente n'annonce rien de bon sur la fermeture linéaire. La question 4 le montrera brutalement.
Comparaison : Ce contrôle porte sur des angles seuls ; celui de la question 4 portera sur les angles et les distances.

Remarque pédagogique : Le signe d'une fermeture n'est pas un détail : il commande le sens de la correction. On le note avant même de calculer sa valeur.

Calcul 4 — la tolérance de l'énoncé et le verdict

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour appliquer le seuil imposé par l'énoncé et décider si l'on peut poursuivre les calculs.

Méthodologie du calcul :

Application de la formule de l'énoncé au nombre de stations, puis comparaison en valeur absolue.

Substitution : \( n = 4 \), donc \( \sqrt{n} = 2 \) exactement.
Piège évité : La comparaison porte sur \( |f_{\text{a}}| \) : une fermeture de −0,0300 gon serait aussi acceptable qu'une de +0,0300 gon.
Hypothèse validée : Ce seuil est une donnée d'énoncé, non un texte réglementaire — il est appliqué comme tel.
Vérification croisée : L'ordre de grandeur annoncé — entre 0,04 et 0,06 gon pour 4 à 9 sommets — est bien respecté.
Finalité : Obtenir le feu vert pour la compensation.

\[ \begin{aligned} T_{\text{a}} &= 0{,}02 \times \sqrt{4} \\[4pt] &= \mathbf{0{,}0400} \ \text{gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,0400 gon, contre 0,0090 gon de fermeture. La condition \( |f_{\text{a}}| \leq T_{\text{a}} \) est satisfaite avec une marge de plus de quatre : les mesures angulaires passent le contrôle.

Ordre de grandeur : La fermeture ne consomme que 22,5 % de la tolérance disponible.
Impact sur la suite : La compensation angulaire peut être appliquée : c'est le feu vert de la question 2.
Cohérence : Pour neuf sommets, la même formule donnerait 0,0600 gon : la tolérance croît, mais lentement.
Attention : Ce verdict ne porte que sur les angles. Il ne préjuge en rien de la validité des distances ni de celle du levé dans son ensemble.
Comparaison : Aucun texte du dossier ne fixe de tolérance de fermeture : ce seuil vient de l'énoncé, et de lui seul.

Remarque pédagogique : Un dépassement, même minime, invalide en droit le levé. En pratique l'opérateur peut poursuivre sous sa responsabilité et en le justifiant — mais c'est une mauvaise pratique, jamais une règle.

Calcul 5 — ce que cette fermeture représente sur le terrain

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour traduire l'écart angulaire en écart de position, seule grandeur que les textes du dossier savent juger.

Méthodologie du calcul :

Conversion de la fermeture en radians, puis multiplication par la plus longue des quatre visées.

Substitution : \( f_{\text{a}} = 0{,}0090 \) gon, facteur \( \pi/200 \), distance 180,28 m.
Piège évité : On retient la plus longue visée : c'est le cas le plus défavorable, donc le plus prudent.
Hypothèse validée : L'écart étant très faible, l'arc se confond avec la corde.
Vérification croisée : À comparer à la tolérance individuelle \( T = 2{,}42 \times 2 \times 1{,}125 = 5{,}45 \) cm de l'arrêté du 16 septembre 2003.
Finalité : Rattacher le verdict à un texte réellement présent au dossier.

\[ \begin{aligned} e_{\text{angulaire}} &= 0{,}0090 \times \frac{\pi}{200} \times 180{,}28 \\[4pt] &= \mathbf{0{,}0255} \ \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,55 cm, soit 0,47 fois la tolérance individuelle de 5,45 cm. L'erreur angulaire, prise seule, resterait donc dans une classe de précision [2] cm — et cette fois le verdict s'appuie sur un texte.

Ordre de grandeur : Neuf milligrades sur 180 m : à peine plus de deux centimètres et demi.
Impact sur la suite : La partie angulaire du levé est de bonne qualité. C'est un fait établi — et strictement limité aux angles.
Cohérence : Sur la plus courte visée — 111,80 m — l'écart tomberait à 1,58 cm : la gravité d'un angle dépend de la portée.
Attention : La tolérance de l'arrêté porte sur l'écart de position d'un point contrôlé. L'assimiler à une tolérance de fermeture est un raccourci : elle sert ici d'ordre de grandeur.
Comparaison : Retenez ce 2,55 cm : la question 4 y opposera un écart près de deux mille fois supérieur.

Remarque pédagogique : Convertir un angle en mètres est le geste qui rend un écart comparable à une tolérance de position. Sans lui, on compare des grandeurs de natures différentes.

LA FERMETURE ANGULAIRE, ET CE QU'ELLE NE DIT PAS

RÉSULTAT FINAL

f(a) = +0,0090 grade (gon) — excédent mesuré

T(a) = 0,0400 grade (gon) — condition satisfaite

"Les angles passent le contrôle, avec une marge de plus de quatre. Cela ne dit rien des distances — et rien du levé pris dans son ensemble."

Question 2 : Les angles compensés et le transport des gisements

Dans la tête de l'ingénieur

"Je vais répartir neuf milligrades sur quatre angles, puis faire le tour du polygone en transportant l'orientation de sommet en sommet. Le bouclage final n'est pas une formalité : c'est le seul contrôle qui attrape une erreur de signe sur les 200 gon — et cette erreur-là fausserait tous les gisements suivants."

Observation : La fermeture est positive : on a mesuré en trop. La compensation sera donc négative sur chaque angle, et vaudra un quart de l'excédent.
Analyse du risque : Deux dangers de gravité très inégale. Une erreur d'arrondi sur la compensation, sans conséquence. Et une erreur de signe sur les 200 gon, qui déplace tout un côté du polygone d'un demi-tour.
Choix stratégique : Compenser par équirépartition — la méthode que le guide DT-DICT nomme « répartition de l'erreur de cheminement » — vérifier la somme, puis transporter et boucler.
Alternative : Le même guide cite la compensation « en bloc par les moindres carrés ». Elle pondérerait chaque angle selon sa qualité — encore faudrait-il connaître cette qualité, que l'énoncé ne donne pas.
Objectif visé : Quatre gisements orientés, et un bouclage exact sur le gisement de départ.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

C(a) = −0,00225 gon · G(S2-S3) = 13,88475 · G(S3-S4) = 334,25350 · G(S4-S1) = 219,85125 gon

Rappel Théorique : équirépartition et transport de gisement

Compenser, c'est fabriquer un jeu d'angles mathématiquement cohérent à partir de mesures qui ne le sont pas tout à fait. Transporter un gisement, c'est propager une orientation connue le long du cheminement.

L'équirépartition : \( C_{\text{a}} = -f_{\text{a}} / n \). Elle suppose que chaque angle a contribué également à l'erreur — hypothèse raisonnable quand rien ne distingue les mesures entre elles.
Le contrôle de la compensation : la somme des \( n \) corrections doit valoir exactement \( -f_{\text{a}} \). Ici \( 4 \times (-0{,}00225) = -0{,}0090 \) gon.
Le transport : \( G_{\text{suiv}} = G_{\text{prec}} + \alpha' - 200 \) gon. On passe d'abord de la visée « avant » à la visée « arrière » — le demi-tour — avant d'ouvrir l'angle intérieur du sommet.
Pourquoi le bouclage est automatique : après \( n \) transports on a ajouté \( \sum \alpha' - n \times 200 = (n-2) \times 200 - n \times 200 = -400 \) gon, soit exactement un tour. On doit retomber sur le gisement de départ.
Ce que le bouclage prouve : que les angles ont bien été compensés et que la chaîne de transport est juste. Il ne prouve rien sur les distances, qui n'y figurent pas.

Équations Fondamentales

Trois relations : la correction unitaire, l'angle compensé, et le transport de gisement.

Compensation unitaire :

La part de l'erreur attribuée à chaque angle.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'en l'absence d'information distinguant les mesures, la répartition égale est la seule objective. Le signe moins traduit le fait qu'on corrige l'erreur : on la retire, on ne l'ajoute pas.

Contexte de validité : Toutes les stations doivent avoir été mesurées dans des conditions comparables : même instrument, même opérateur, mêmes portées.
Avantage : C'est la méthode que le guide DT-DICT nomme « répartition de l'erreur de cheminement » : elle est sourcée et immédiate.
Paramètre clé : Le signe, toujours opposé à celui de la fermeture.
Vérification : La somme des \( n \) corrections doit valoir exactement l'opposé de la fermeture.
Limite : Elle dilue une faute grossière au lieu de la localiser : si un seul angle est franchement faux, l'équirépartition contamine les trois autres.

\[ \begin{aligned} C_{\text{a}} = - \frac{ f_{\text{a}} }{ n } \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : chaque station porte une part égale de l'erreur, alors chacune en rend une part égale. C'est un partage, pas un diagnostic.

Décomposition des termes :

\( C_{\text{a}} \) : correction appliquée à chaque angle, signée, unité : grade (gon)
\( f_{\text{a}} \) : fermeture angulaire à corriger, unité : grade (gon)
\( n \) : nombre d'angles mesurés, unité : sans dimension

Angle compensé :

La valeur « idéale » substituée à chaque mesure.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'on cherche un jeu d'angles qui satisfasse exactement la contrainte géométrique, tout en restant aussi proche que possible des mesures. Ajouter la même correction à chacun est la solution la plus simple qui remplisse cette condition.

Contexte de validité : La fermeture doit avoir été jugée acceptable au préalable. Compenser une faute grossière serait la dissimuler.
Avantage : Les angles compensés sont plus « vrais » que les mesures : ils respectent une contrainte que la nature impose.
Paramètre clé : Le nombre de décimales conservées : la correction vaut ici moins de trois millièmes de grade.
Vérification : La somme des angles compensés doit restituer exactement la somme théorique.
Limite : Un jeu d'angles parfaitement cohérent peut rester faux : la cohérence n'est pas l'exactitude.

\[ \begin{aligned} \alpha'_i = \alpha_i + C_{\text{a}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : voici la mesure telle qu'elle aurait dû être pour que la figure se referme. Ce n'est plus une mesure : c'est un calcul.

Décomposition des termes :

\( \alpha'_i \) : angle compensé de la station \( i \), unité : grade (gon)
\( \alpha_i \) : angle mesuré au carnet, unité : grade (gon)
\( C_{\text{a}} \) : correction unitaire, identique pour tous, unité : grade (gon)

Transport de gisement :

Le passage de l'orientation d'un côté à celle du suivant.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'arrivé au sommet, l'opérateur doit d'abord se retourner — la visée arrière vaut la visée avant à 200 gon près — puis ouvrir l'angle intérieur pour pointer le sommet suivant. Les deux gestes s'écrivent en une seule ligne.

Contexte de validité : Plan de projection, où les Nords sont parallèles en tous les sommets du cheminement.
Avantage : Une seule formule pour tout le cheminement, quel que soit le nombre de sommets.
Paramètre clé : Le signe des 200 gon et la remise dans l'intervalle 0 – 400. C'est la seule source d'erreur réelle.
Vérification : Après le tour complet, on doit retrouver le gisement de départ au dix-millième de grade.
Limite : Un gisement de départ faux se propage intact : tout le levé pivote en bloc, et le bouclage ne le voit pas.

\[ \begin{aligned} G_{\text{suiv}} = G_{\text{prec}} + \alpha'_{\text{sommet}} - 200 \ \text{gon} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : je me retourne, puis je pivote de l'angle du sommet : je regarde maintenant le point suivant. C'est le geste du terrain, écrit en algèbre.

Décomposition des termes :

\( G_{\text{suiv}} \) : gisement du côté suivant, unité : grade (gon)
\( G_{\text{prec}} \) : gisement du côté précédent, unité : grade (gon)
\( \alpha'_{\text{sommet}} \) : angle compensé du sommet traversé, unité : grade (gon)
\( 200 \ \text{gon} \) : le demi-tour de la visée arrière, unité : grade (gon)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants oublient de ramener un gisement négatif dans l'intervalle 0 – 400 gon..."

L'approche d'ingénieur : Un gisement négatif désigne géométriquement la bonne direction, mais il est illisible sur un carnet et il fausse toute comparaison. On le ramène systématiquement dans le tour, et le bouclage final confirme que la chaîne entière tient.

L'erreur : Reporter −65,74650 gon tel quel au lieu de 334,25350 gon, ou choisir \( +200 \) là où il faut \( -200 \).
La bonne méthode : Ajouter 400 gon dès que le résultat devient négatif, en retrancher 400 dès qu'il dépasse 400.
L'astuce de pro : Vérifier le quadrant de chaque gisement obtenu contre le croquis : un côté qui part vers le Nord-Ouest doit tomber entre 300 et 400 gon.
Le moyen mnémotechnique : « Le tour ne compte que 400 : au-delà, on recommence ».
L'impact direct : Une erreur de signe sur les 200 gon fait pivoter un côté d'un demi-tour. Le bouclage final ne retomberait plus sur 125,0000 gon, et l'erreur serait immédiatement détectée.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Fermeture et compensation : en grade (gon), cinq décimales
Angles compensés : en grade (gon), cinq décimales conservées
Gisements : en grade (gon), ramenés dans l'intervalle 0 – 400
Demi-tour : 200 gon, tour complet : 400 gon

Six calculs : la compensation unitaire, le contrôle de la somme compensée, les trois transports de gisement, puis le bouclage.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — la compensation unitaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour déterminer la part de l'erreur à retirer de chaque angle mesuré.

Méthodologie du calcul :

Division de la fermeture par le nombre d'angles, avec changement de signe.

Substitution : \( f_{\text{a}} = +0{,}0090 \) gon et \( n = 4 \) angles.
Piège évité : Le signe moins est dans la formule : on retire ce qui a été mesuré en trop.
Hypothèse validée : Les quatre stations sont supposées de qualité équivalente — condition de l'équirépartition.
Vérification croisée : Quatre fois la correction doit rendre exactement l'opposé de la fermeture.
Finalité : Obtenir la correction à appliquer à chaque angle.

\[ \begin{aligned} C_{\text{a}} &= - \frac{ +0{,}0090 }{ 4 } \\[4pt] &= \mathbf{-0{,}00225} \ \text{gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

−0,00225 gon par angle, soit un peu plus de deux milligrades. Contrôle immédiat : \( 4 \times (-0{,}00225) = -0{,}0090 \) gon, l'opposé exact de la fermeture.

Ordre de grandeur : Correction inférieure au dix-millième de la valeur des angles : elle est négligeable individuellement.
Impact sur la suite : Elle sera appliquée telle quelle aux quatre sommets.
Cohérence : Le signe négatif était annoncé : la fermeture était positive.
Attention : Cinq décimales sont conservées. Arrondir à quatre laisserait un résidu et la somme compensée ne tomberait pas juste.
Comparaison : Une compensation par moindres carrés donnerait des corrections inégales — mais elle exige de connaître la précision de chaque mesure, absente ici.

Remarque pédagogique : Vérifier que \( n \times C_{\text{a}} = -f_{\text{a}} \) prend trois secondes et garantit qu'aucune erreur d'arrondi ne s'est glissée dans la répartition.

Calcul 2 — le contrôle de la somme compensée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour prouver que les quatre angles corrigés satisfont désormais exactement la contrainte géométrique.

Méthodologie du calcul :

Application de la correction à chaque angle, puis addition des quatre valeurs obtenues.

Substitution : 105,14875 · 88,88475 · 120,36875 · 85,59775 gon.
Piège évité : La correction est identique pour les quatre : c'est le principe même de l'équirépartition.
Hypothèse validée : La fermeture avait été jugée acceptable en question 1 : la compensation est légitime.
Vérification croisée : La somme doit valoir 400,00000 gon, sans résidu.
Finalité : Valider le jeu d'angles avant de le transporter en gisements.

\[ \begin{aligned} \sum \alpha' &= 105{,}14875 + 88{,}88475 + 120{,}36875 + 85{,}59775 \\[4pt] &= \mathbf{400{,}00000} \ \text{gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

400,00000 gon exactement. Les angles compensés satisfont maintenant la contrainte du quadrilatère sans le moindre résidu.

Ordre de grandeur : Chaque angle a perdu 2,25 milligrades : imperceptible sur le terrain, décisif pour le calcul.
Impact sur la suite : C'est cette exactitude qui rendra le bouclage des gisements automatique.
Cohérence : Aucune décimale ne traîne : les cinq décimales de la correction étaient bien nécessaires.
Attention : Ces valeurs ne sont plus des mesures mais des calculs. Le carnet d'origine doit être conservé tel quel.
Comparaison : Une cohérence parfaite n'est pas une exactitude : la question 4 le montrera sans ménagement.

Remarque pédagogique : Distinguer dans un dossier ce qui est mesuré de ce qui est calculé est une exigence de traçabilité, pas une coquetterie.

Calcul 3 — le gisement du deuxième côté

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour orienter le côté S2-S3 à partir du gisement de départ et de l'angle compensé en S2.

Méthodologie du calcul :

Application de la formule de transport au sommet S2.

Substitution : \( G_{\text{S1-S2}} = 125{,}0000 \) gon et \( \alpha'_{\text{S2}} = 88{,}88475 \) gon.
Piège évité : C'est l'angle du sommet traversé — S2 — et non celui du sommet de départ.
Hypothèse validée : Le gisement de départ est supposé exact : il oriente tout le levé.
Vérification croisée : Le résultat doit rester positif : aucune remise dans le tour ne sera nécessaire ici.
Finalité : Orienter le deuxième côté du polygone.

\[ \begin{aligned} G_{\text{S2-S3}} &= 125{,}0000 + 88{,}88475 - 200 \\[4pt] &= \mathbf{13{,}88475} \ \text{gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

13,88475 gon. Compris entre 0 et 100 gon : le côté S2-S3 part vers le Nord-Est, presque plein Nord. Les deux coordonnées partielles seront donc positives.

Ordre de grandeur : Un gisement inférieur à 14 gon signifie une direction très proche du Nord : la composante Nord dominera largement.
Impact sur la suite : Ce gisement servira à la fois au calcul des composantes et au transport suivant.
Cohérence : Le croquis montre bien le côté S2-S3 remontant vers le Nord : la lecture concorde.
Attention : Le résultat est resté dans l'intervalle 0 – 400 gon par chance, non par construction. Il faudra vérifier à chaque étape.
Comparaison : Le côté précédent partait à 125 gon, vers le Sud-Est : le polygone tourne bien dans le sens horaire.

Remarque pédagogique : Lire le quadrant de chaque gisement obtenu et le confronter au croquis est un contrôle gratuit, à faire à chaque transport.

Calcul 4 — le gisement du troisième côté

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour orienter le côté S3-S4 — et rencontrer le cas où la remise dans le tour devient nécessaire.

Méthodologie du calcul :

Même transport au sommet S3, suivi d'une remise dans l'intervalle 0 – 400 gon.

Substitution : \( G_{\text{S2-S3}} = 13{,}88475 \) gon et \( \alpha'_{\text{S3}} = 120{,}36875 \) gon.
Piège évité : La valeur intermédiaire est négative : il faut ajouter un tour complet avant de la reporter.
Hypothèse validée : Ajouter 400 gon ne change aucune direction : c'est un tour complet.
Vérification croisée : Le résultat final doit tomber entre 300 et 400 gon, quadrant Nord-Ouest, conformément au croquis.
Finalité : Orienter le troisième côté du polygone.

\[ \begin{aligned} G_{\text{S3-S4}} &= 13{,}88475 + 120{,}36875 - 200 + 400 \\[4pt] &= -65{,}74650 + 400 \\[4pt] &= \mathbf{334{,}25350} \ \text{gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

334,25350 gon. Compris entre 300 et 400 gon : le côté S3-S4 part vers le Nord-Ouest. La composante Est sera négative, la composante Nord positive.

Ordre de grandeur : La valeur intermédiaire de −65,74650 gon désignait déjà la bonne direction : seule son écriture était irrecevable.
Impact sur la suite : Ce gisement conditionne les signes des composantes du troisième côté.
Cohérence : Le croquis montre le côté S3-S4 revenant vers le haut à gauche : le quadrant Nord-Ouest concorde.
Attention : Une calculatrice qui rend −65,74650 gon n'a pas commis d'erreur : c'est à l'opérateur de normaliser.
Comparaison : Trois côtés, trois quadrants différents : Sud-Est, Nord-Est, Nord-Ouest. Le polygone se referme bien sur lui-même.

Remarque pédagogique : Écrire l'étape intermédiaire négative avant de normaliser rend le calcul lisible et vérifiable. La masquer, c'est priver le relecteur d'un point de contrôle.

Calcul 5 — le gisement du quatrième côté

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour orienter le dernier côté, celui qui referme le polygone sur le point de départ.

Méthodologie du calcul :

Même transport au sommet S4, sans remise dans le tour cette fois.

Substitution : \( G_{\text{S3-S4}} = 334{,}25350 \) gon et \( \alpha'_{\text{S4}} = 85{,}59775 \) gon.
Piège évité : Le résultat reste dans le tour : aucune correction de 400 gon n'est requise.
Hypothèse validée : Les angles compensés sont employés, jamais les angles bruts.
Vérification croisée : Le résultat doit tomber entre 200 et 300 gon, quadrant Sud-Ouest.
Finalité : Orienter le côté de retour vers S1.

\[ \begin{aligned} G_{\text{S4-S1}} &= 334{,}25350 + 85{,}59775 - 200 \\[4pt] &= \mathbf{219{,}85125} \ \text{gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

219,85125 gon. Compris entre 200 et 300 gon : le côté de retour part vers le Sud-Ouest, ce qui est cohérent avec un circuit qui se referme.

Ordre de grandeur : Presque plein Sud : la composante Nord sera nettement dominante, et négative.
Impact sur la suite : Les quatre gisements sont désormais connus ; les composantes peuvent être calculées.
Cohérence : Les quatre côtés parcourent quatre quadrants distincts : la figure fait bien le tour complet.
Attention : Ce gisement est le dernier de la chaîne : toute erreur commise en amont s'y retrouve accumulée.
Comparaison : C'est précisément pourquoi le bouclage du calcul suivant est indispensable.

Remarque pédagogique : Une chaîne de calcul sans contrôle intermédiaire concentre tout le risque sur son dernier maillon. Le bouclage est ce contrôle.

Calcul 6 — le bouclage sur le gisement de départ

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour prouver que la chaîne complète de transport est juste, du premier au dernier sommet.

Méthodologie du calcul :

Un transport de plus, au sommet S1, qui doit restituer le gisement de départ.

Substitution : \( G_{\text{S4-S1}} = 219{,}85125 \) gon et \( \alpha'_{\text{S1}} = 105{,}14875 \) gon.
Piège évité : On repart du gisement calculé, pas d'une valeur arrondie différemment.
Hypothèse validée : La somme des angles compensés vaut exactement 400 gon — condition du bouclage.
Vérification croisée : Le résultat doit valoir 125,0000 gon au dix-millième près.
Finalité : Clore la chaîne angulaire par une preuve.

\[ \begin{aligned} G_{\text{S1-S2}}^{\ \text{controle}} &= 219{,}85125 + 105{,}14875 - 200 \\[4pt] &= \mathbf{125{,}00000} \ \text{gon} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

125,00000 gon — le gisement de départ, exactement. Le bouclage est parfait : la chaîne de transport et la compensation angulaire sont toutes deux justes.

Ordre de grandeur : Écart nul, au dix-millième de grade : aucun résidu d'arrondi.
Impact sur la suite : Les quatre gisements peuvent être employés pour projeter les côtés sur les axes.
Cohérence : Le résultat était prévisible : quatre transports ajoutent \( 400 - 800 = -400 \) gon, soit un tour complet.
Attention : Ce bouclage est angulaire. Aucune distance n'y figure : il ne dit rien de la géométrie réelle du polygone.
Comparaison : Un gisement de départ faux passerait ce contrôle sans difficulté : tout le levé pivoterait en bloc.

Remarque pédagogique : Un contrôle dont le succès est garanti par construction ne teste que l'arithmétique. Précieux contre les fautes de calcul, muet sur la qualité du levé.

LES QUATRE GISEMENTS, ET LE TOUR QUI SE REFERME

RÉSULTAT FINAL

G(S2-S3) = 13,88475 grade (gon) — Nord-Est

G(S3-S4) = 334,25350 grade (gon) — Nord-Ouest

G(S4-S1) = 219,85125 grade (gon) — Sud-Ouest

"Le tour se referme exactement sur 125,00000 gon. La chaîne angulaire est juste — ce qui ne dit encore rien du polygone lui-même."

Question 3 : Les coordonnées partielles, contrôlées côté par côté

Dans la tête de l'ingénieur

"Huit multiplications. C'est mécanique — et c'est précisément pour cela que les fautes y passent inaperçues. Je vais donc contrôler chaque côté en reconstituant sa distance à partir des deux composantes que je viens d'écrire. Si le compte n'y est pas, c'est que le couple trigonométrique employé n'appartient pas au bon angle."

Observation : Les quatre gisements tombent dans quatre quadrants différents : Sud-Est, Nord-Est, Nord-Ouest, Sud-Ouest. Les huit signes sont donc annonçables avant tout calcul.
Analyse du risque : Deux pièges. Le mode angulaire de la calculatrice, qui rend huit valeurs plausibles et fausses d'un coup. Et un couple sinus-cosinus emprunté à un angle voisin, qui ne se voit qu'au contrôle par retour.
Choix stratégique : Écrire les valeurs trigonométriques avant de multiplier, puis reconstituer la distance de chaque côté. Deux lignes de plus par côté, et toute faute devient visible.
Alternative : La conversion polaire-rectangulaire de la calculatrice enchaîne tout d'un coup. Plus rapide, mais elle supprime justement les points de contrôle qu'on cherche à créer.
Objectif visé : Huit composantes signées, dont chaque paire restitue exactement la distance de son côté.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

+138,582 ; −57,403 · +24,191 ; +109,151 · −145,980 ; +87,119 · −55,309 ; −171,586 (m)

Rappel Théorique : projeter un côté, et vérifier qu'on l'a bien projeté

Chaque côté du cheminement est un vecteur défini par sa longueur et sa direction. Le projeter sur les deux axes, c'est passer des coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires — l'opération la plus répétée de toute la topographie.

L'inversion sinus-cosinus : le gisement se compte depuis l'axe des ordonnées. \( \Delta X \) est donc le côté opposé — sinus — et \( \Delta Y \) le côté adjacent — cosinus.
Les signes sortent seuls : aucune règle supplémentaire. Le sinus est positif de 0 à 200 gon, le cosinus de 300 à 100 gon : les quatre combinaisons donnent les quatre quadrants.
Le contrôle par retour : \( \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \) doit restituer la distance du côté. C'est immédiat, et cela ne coûte qu'une ligne.
Ce qu'il détecte : un couple trigonométrique incohérent, une erreur de saisie, une décimale égarée. Un couple pris à un autre angle mais cohérent avec lui-même y échappe : il faut alors reconstituer le gisement.
La projection réduit toujours : sinus et cosinus valant au plus 1, chaque composante est nécessairement inférieure à la distance du côté. Un résultat supérieur est faux, sans discussion.

Équations Fondamentales

Trois relations : les deux projections, et le contrôle qui les valide côté par côté.

Coordonnée partielle en abscisse :

La projection du côté sur l'axe Est-Ouest.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le gisement est mesuré depuis le Nord : le déplacement vers l'Est est le côté opposé à cet angle dans le triangle rectangle. Le sinus lui revient par construction, non par convention.

Contexte de validité : Distance horizontale. Une distance suivant la pente devrait être réduite à l'horizon au préalable.
Avantage : Le signe du sinus gère seul le passage d'un quadrant à l'autre : une formule unique pour les quatre côtés.
Paramètre clé : Le mode angulaire. En degrés, les huit valeurs seraient fausses simultanément — et toutes plausibles.
Vérification : Le résultat doit être inférieur en valeur absolue à la distance du côté.
Limite : Prise seule, elle ne prouve rien : un même sinus correspond à deux gisements symétriques.

\[ \begin{aligned} \Delta X = D \times \sin \left( G \right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : de combien ce côté déplace-t-il vers l'Est ? C'est l'ombre du côté sur l'axe des abscisses.

Décomposition des termes :

\( \Delta X \) : coordonnée partielle Est du côté, signée, unité : mètre
\( D \) : distance horizontale du côté, unité : mètre
\( \sin(G) \) : facteur de projection sur l'axe des abscisses, unité : sans dimension

Coordonnée partielle en ordonnée :

La projection sur l'axe Nord-Sud.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'axe des ordonnées est celui depuis lequel le gisement se compte : il est donc adjacent à l'angle, et c'est le cosinus qui lui revient.

Contexte de validité : Mêmes conditions que pour l'abscisse : distance horizontale et mode angulaire en grades.
Avantage : Son signe distingue à lui seul la moitié Nord de la moitié Sud du cercle.
Paramètre clé : Le signe du cosinus, négatif entre 100 et 300 gon — donc sur deux des quatre côtés ici.
Vérification : Combinée à la précédente, elle doit vérifier \( \sin^2 + \cos^2 = 1 \).
Limite : Un signe négatif est une information, pas une anomalie : le supprimer déplacerait le sommet de deux fois sa valeur.

\[ \begin{aligned} \Delta Y = D \times \cos \left( G \right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : de combien ce côté monte-t-il vers le Nord — ou descend-il vers le Sud ? Le signe répond seul.

Décomposition des termes :

\( \Delta Y \) : coordonnée partielle Nord du côté, signée, unité : mètre
\( D \) : distance horizontale du côté, unité : mètre
\( \cos(G) \) : facteur de projection sur l'axe des ordonnées, unité : sans dimension

Contrôle par retour, côté par côté :

La reconstitution de la distance à partir des deux composantes.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les deux composantes sont les côtés d'un triangle rectangle dont la distance est l'hypoténuse. Pythagore doit donc restituer exactement la distance du carnet : c'est un aller-retour, pas une reprise du même calcul.

Contexte de validité : Repère orthonormé du plan de projection.
Avantage : Il coûte une ligne par côté et détecte toute incohérence du couple trigonométrique employé.
Paramètre clé : La distance du carnet, qui sert de référence indépendante.
Vérification : L'écart doit se réduire à l'arrondi au millimètre des deux composantes.
Limite : Il est aveugle à la direction : un couple pris à un autre angle mais cohérent le franchit. Il faut alors reconstituer le gisement.

\[ \begin{aligned} D_{\text{controle}} = \sqrt{ \Delta X^{2} + \Delta Y^{2} } \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : mes deux composantes décrivent-elles bien un côté de cette longueur ? Une ligne, un verdict.

Décomposition des termes :

\( D_{\text{controle}} \) : distance reconstituée, à comparer au carnet, unité : mètre
\( \Delta X \) : composante Est du côté, élevée au carré, unité : mètre
\( \Delta Y \) : composante Nord du côté, élevée au carré, unité : mètre

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants enchaînent les huit multiplications sans jamais contrôler un seul côté..."

L'approche d'ingénieur : Huit opérations mécaniques sans contrôle, c'est huit occasions de se tromper sans le savoir. Le contrôle par retour coûte une ligne par côté et rend chaque faute visible immédiatement, au lieu de la laisser polluer la fermeture linéaire.

L'erreur : Employer pour le premier côté \( \sin = 0{,}951\,06 \) et \( \cos = -0{,}309\,00 \). Ces valeurs sont celles de 120 gon, non des 125 gon du gisement.
La bonne méthode : Écrire séparément le sinus et le cosinus de chaque gisement, vérifier que la somme de leurs carrés vaut 1, puis reconstituer la distance du côté.
L'astuce de pro : Un couple tel que −109,91 et +132,06 pour ce troisième côté donne une somme des carrés de rapports égale à 1,021 455, et non 1 : ces deux nombres ne sont la projection d'aucune distance.
Le moyen mnémotechnique : « Un côté projeté doit se laisser reconstruire ».
L'impact direct : Sur ce troisième côté, la distance reconstituée vaut 171,8140 m au lieu de 170,00 m : 1,81 m d'écart, décelable en une ligne de calcul.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Gisements : en grade (gon), calculatrice en mode GRAD
Valeurs trigonométriques : sans dimension, six décimales
Distances : en mètre, telles que portées au carnet
Composantes : en mètre, signées, arrondies au millimètre

Huit calculs : les deux composantes de chacun des quatre côtés, chaque paire étant validée par le contrôle par retour dès qu'elle est complète.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — composante Est du côté S1-S2

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour projeter le premier côté sur l'axe des abscisses, avec le sinus du gisement de départ.

Méthodologie du calcul :

Produit de la distance par le sinus du gisement, écrit explicitement.

Substitution : \( D = 150{,}00 \) m et \( \sin(125{,}00000 \ \text{gon}) = 0{,}923\,880 \).
Piège évité : Le sinus de 125 gon vaut 0,923 880, non 0,951 057 qui est celui de 120 gon.
Hypothèse validée : Le gisement de départ est donné, donc exempt de compensation.
Vérification croisée : Gisement entre 100 et 200 gon : le sinus est positif, la composante aussi.
Finalité : Obtenir le premier déplacement vers l'Est.

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{S1-S2}} &= 150{,}00 \times 0{,}923\,880 \\[4pt] &= \mathbf{+138{,}582} \ \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

+138,582 m vers l'Est. Positif comme l'exige un gisement entre 0 et 200 gon, et inférieur à la distance du côté — ce qui est obligatoire.

Ordre de grandeur : 92 % de la distance : le gisement de 125 gon est proche de l'Est, donc la projection Est domine.
Impact sur la suite : C'est le premier terme de la somme qui donnera la fermeture en abscisse.
Cohérence : \( \sin(125 \ \text{gon}) = \sin(112{,}5^\circ) \) : la reprise en degrés confirme la valeur.
Attention : Employer le sinus de 120 gon donnerait +142,66 m, soit 4,08 m d'écart.
Comparaison : Cinq grades d'écart sur le gisement suffisent à déplacer le sommet de plusieurs mètres.

Remarque pédagogique : Écrire la valeur trigonométrique avant de multiplier crée un point de contrôle. C'est exactement là que les erreurs se logent.

Calcul 2 — composante Nord du côté S1-S2

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour compléter le premier côté et pouvoir le contrôler par retour.

Méthodologie du calcul :

Produit de la distance par le cosinus du gisement, signe conservé.

Substitution : \( D = 150{,}00 \) m et \( \cos(125{,}00000 \ \text{gon}) = -0{,}382\,683 \).
Piège évité : Le cosinus est négatif au-delà de 100 gon : ne pas corriger ce signe, il porte l'information « vers le Sud ».
Hypothèse validée : Même gisement et même mode angulaire qu'au calcul 1.
Vérification croisée : \( 0{,}923\,880^2 + 0{,}382\,683^2 = 1{,}000\,000 \) : le couple est cohérent.
Finalité : Compléter le premier vecteur et le soumettre au contrôle par retour.

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{S1-S2}} &= 150{,}00 \times \left( -0{,}382\,683 \right) \\[4pt] &= \mathbf{-57{,}403} \ \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

−57,403 m vers le Sud. Contrôle par retour : \( \sqrt{138{,}582^2 + 57{,}403^2} = \mathbf{150{,}0000} \) m, soit exactement la distance du carnet.

Ordre de grandeur : 38 % de la distance, contre 92 % pour la composante Est : la direction penche nettement vers l'Est.
Impact sur la suite : Le premier côté est validé ; on peut passer au suivant.
Cohérence : Quadrant Sud-Est confirmé : Est positif, Nord négatif, exactement comme annoncé.
Attention : Le cosinus de 120 gon donnerait −46,35 m. Le contrôle par retour rendrait alors 150,0007 m — il passerait ! Seul le gisement reconstitué, 119,9988 gon, démasque le couple de 120 gon.
Comparaison : Voilà pourquoi le contrôle par la distance ne suffit pas : il faut aussi savoir reconstituer la direction.

Remarque pédagogique : Un contrôle qui passe n'est pas une preuve : c'est l'absence d'une certaine faute. Encore faut-il savoir laquelle il ne voit pas.

Calcul 3 — composante Est du côté S2-S3

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour projeter le deuxième côté, orienté presque plein Nord.

Méthodologie du calcul :

Produit de la distance par le sinus du gisement compensé du deuxième côté.

Substitution : \( D = 111{,}80 \) m et \( \sin(13{,}88475 \ \text{gon}) = 0{,}216\,376 \).
Piège évité : Un gisement faible donne un sinus faible : la composante Est sera petite, ce n'est pas une erreur.
Hypothèse validée : On emploie le gisement compensé, issu du transport de la question 2.
Vérification croisée : Gisement entre 0 et 100 gon : les deux composantes seront positives.
Finalité : Obtenir le déplacement vers l'Est du deuxième côté.

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{S2-S3}} &= 111{,}80 \times 0{,}216\,376 \\[4pt] &= \mathbf{+24{,}191} \ \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

+24,191 m vers l'Est. Seulement 22 % de la distance : cohérent avec un gisement de moins de 14 gon, c'est-à-dire une direction quasi Nord.

Ordre de grandeur : Le sinus d'un petit angle est petit : la projection Est est faible, la projection Nord sera dominante.
Impact sur la suite : Deuxième terme de la somme en abscisse.
Cohérence : Le croquis montre le côté S2-S3 remontant presque verticalement : la faible composante Est concorde.
Attention : Un sinus arrondi à quatre décimales seulement donnerait +24,23 m, soit 3,9 cm d'écart.
Comparaison : Quelques centimètres ici, mais ces arrondis s'additionnent sur les huit composantes.

Remarque pédagogique : Six décimales sur les valeurs trigonométriques ne coûtent rien et évitent que les arrondis ne s'accumulent en une fermeture parasite.

Calcul 4 — composante Nord du côté S2-S3

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour compléter le deuxième côté et le contrôler.

Méthodologie du calcul :

Produit de la distance par le cosinus du gisement compensé.

Substitution : \( D = 111{,}80 \) m et \( \cos(13{,}88475 \ \text{gon}) = 0{,}976\,310 \).
Piège évité : Le cosinus est positif dans le premier quadrant : le côté remonte vers le Nord.
Hypothèse validée : Même gisement compensé qu'au calcul précédent.
Vérification croisée : \( 0{,}216\,376^2 + 0{,}976\,310^2 = 1{,}000\,000 \).
Finalité : Compléter le deuxième vecteur.

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{S2-S3}} &= 111{,}80 \times 0{,}976\,310 \\[4pt] &= \mathbf{+109{,}151} \ \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

+109,151 m vers le Nord. Contrôle par retour : \( \sqrt{24{,}191^2 + 109{,}151^2} = \mathbf{111{,}8000} \) m, exactement la distance du carnet.

Ordre de grandeur : 98 % de la distance : la direction est presque plein Nord, comme annoncé.
Impact sur la suite : Le deuxième côté est validé.
Cohérence : Les deux composantes positives confirment le quadrant Nord-Est.
Attention : Un cosinus arrondi trop tôt donnerait +109,13 m ; le contrôle par retour rendrait alors 111,7875 m, soit 1,25 cm d'écart.
Comparaison : C'est le côté le moins sensible aux arrondis : les trois autres réagissent bien davantage.

Remarque pédagogique : Le contrôle par retour se fait dès que la paire est complète, pas à la fin. Une faute isolée est alors triviale à localiser.

Calcul 5 — composante Est du côté S3-S4

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour projeter le troisième côté, celui qui repart vers l'Ouest.

Méthodologie du calcul :

Produit de la distance par le sinus du gisement compensé, négatif dans ce quadrant.

Substitution : \( D = 170{,}00 \) m et \( \sin(334{,}25350 \ \text{gon}) = -0{,}858\,708 \).
Piège évité : Le sinus est négatif au-delà de 200 gon : le côté part vers l'Ouest.
Hypothèse validée : Gisement compensé de 334,25350 gon, quadrant Nord-Ouest.
Vérification croisée : La valeur absolue doit rester inférieure à 170,00 m.
Finalité : Obtenir le déplacement vers l'Ouest du troisième côté.

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{S3-S4}} &= 170{,}00 \times \left( -0{,}858\,708 \right) \\[4pt] &= \mathbf{-145{,}980} \ \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

−145,980 m vers l'Ouest. 86 % de la distance : le gisement de 334 gon est plus proche de l'Ouest — 300 gon — que du Nord.

Ordre de grandeur : Composante Ouest dominante : cohérent avec un gisement à 34 gon de l'Ouest seulement.
Impact sur la suite : C'est le terme négatif le plus important de la somme en abscisse.
Cohérence : Le signe négatif était annoncé par le quadrant Nord-Ouest lu en question 2.
Attention : Une valeur de −109,91 m ferait 36,07 m d'écart. Aucun arrondi ne peut expliquer un tel montant.
Comparaison : La valeur fautive correspondrait à un sinus de −0,646 529, soit un gisement d'environ 356 gon — vingt et un grades trop loin.

Remarque pédagogique : Comparer la composante à la distance du côté est un contrôle instantané : toute projection est nécessairement plus courte que ce qu'elle projette.

Calcul 6 — composante Nord du côté S3-S4

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour compléter le troisième côté — celui qui réagit le plus fortement à une valeur trigonométrique fautive.

Méthodologie du calcul :

Produit de la distance par le cosinus du gisement compensé, positif dans ce quadrant.

Substitution : \( D = 170{,}00 \) m et \( \cos(334{,}25350 \ \text{gon}) = 0{,}512\,465 \).
Piège évité : Le cosinus redevient positif au-delà de 300 gon : le côté remonte vers le Nord.
Hypothèse validée : Même gisement compensé qu'au calcul 5.
Vérification croisée : \( 0{,}858\,708^2 + 0{,}512\,465^2 = 1{,}000\,000 \).
Finalité : Compléter le troisième vecteur et le contrôler.

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{S3-S4}} &= 170{,}00 \times 0{,}512\,465 \\[4pt] &= \mathbf{+87{,}119} \ \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

+87,119 m vers le Nord. Contrôle par retour : \( \sqrt{145{,}980^2 + 87{,}119^2} = \mathbf{170{,}0000} \) m, exactement la distance du carnet.

Ordre de grandeur : 51 % de la distance, contre 86 % à l'Ouest : la direction penche vers l'Ouest, comme prévu.
Impact sur la suite : Le troisième côté est validé.
Cohérence : Est négatif et Nord positif : quadrant Nord-Ouest confirmé.
Attention : Avec le couple fautif −109,91 et +132,06, le contrôle par retour rend 171,8140 m au lieu de 170,00 : 1,81 m d'écart, refusé sans appel.
Comparaison : Pire encore, la somme des carrés des rapports vaut 1,021 455 : ces deux nombres ne sont la projection d'aucune distance.

Remarque pédagogique : La somme des carrés des rapports \( \Delta X / D \) et \( \Delta Y / D \) doit valoir 1. C'est le test le plus rapide de la cohérence d'un couple.

Calcul 7 — composante Est du côté S4-S1

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour projeter le dernier côté, celui du retour vers le point de départ.

Méthodologie du calcul :

Produit de la distance par le sinus du gisement compensé, négatif dans le quadrant Sud-Ouest.

Substitution : \( D = 180{,}28 \) m et \( \sin(219{,}85125 \ \text{gon}) = -0{,}306\,794 \).
Piège évité : Les deux composantes seront négatives : quadrant Sud-Ouest.
Hypothèse validée : Gisement compensé de 219,85125 gon, issu du dernier transport.
Vérification croisée : Le gisement étant proche de 200 gon, le sinus doit être faible.
Finalité : Obtenir le déplacement vers l'Ouest du côté de retour.

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{S4-S1}} &= 180{,}28 \times \left( -0{,}306\,794 \right) \\[4pt] &= \mathbf{-55{,}309} \ \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

−55,309 m vers l'Ouest. Seulement 31 % de la distance : le gisement est proche de 200 gon, donc quasiment plein Sud.

Ordre de grandeur : À vingt grades du Sud, la composante Ouest reste modeste.
Impact sur la suite : Dernier terme de la somme en abscisse.
Cohérence : Le signe négatif était annoncé par le quadrant Sud-Ouest.
Attention : Une valeur de −56,90 m ferait 1,59 m d'écart, bien au-delà de tout arrondi raisonnable.
Comparaison : Cette valeur fautive correspond à un gisement de 220,4475 gon, soit 0,596 gon de dérive.

Remarque pédagogique : Un écart de plus d'un mètre ne s'explique jamais par un arrondi. Quand il apparaît, il faut chercher l'angle employé, pas la décimale perdue.

Calcul 8 — composante Nord du côté S4-S1

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour achever les huit composantes et valider le dernier côté.

Méthodologie du calcul :

Produit de la distance par le cosinus du gisement compensé, négatif dans ce quadrant.

Substitution : \( D = 180{,}28 \) m et \( \cos(219{,}85125 \ \text{gon}) = -0{,}951\,776 \).
Piège évité : Le cosinus est négatif entre 100 et 300 gon : le côté redescend vers le Sud.
Hypothèse validée : Même gisement compensé qu'au calcul 7.
Vérification croisée : \( 0{,}306\,794^2 + 0{,}951\,776^2 = 1{,}000\,000 \).
Finalité : Achever la projection des quatre côtés.

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{S4-S1}} &= 180{,}28 \times \left( -0{,}951\,776 \right) \\[4pt] &= \mathbf{-171{,}586} \ \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

−171,586 m vers le Sud. Contrôle par retour : \( \sqrt{55{,}309^2 + 171{,}586^2} = \mathbf{180{,}2800} \) m, exactement la distance du carnet. Les quatre côtés sont validés.

Ordre de grandeur : 95 % de la distance : la direction est quasiment plein Sud, comme annoncé.
Impact sur la suite : Les huit composantes sont prêtes pour la fermeture linéaire de la question 4.
Cohérence : Les quatre contrôles par retour sont exacts au dixième de millimètre : les projections sont irréprochables.
Attention : Ces contrôles valident les calculs, jamais les mesures. La question 4 s'intéressera à la cohérence de l'ensemble.
Comparaison : Chaque côté pris isolément est parfait. C'est leur somme qui va poser problème.

Remarque pédagogique : Quatre contrôles locaux tous verts ne garantissent pas un contrôle global vert. C'est la leçon que la question suivante va administrer.

LES HUIT COMPOSANTES, CHACUNE VALIDÉE PAR SON CÔTÉ

RÉSULTAT FINAL

S1-S2 = +138,582 ; −57,403 mètre — Sud-Est

S2-S3 = +24,191 ; +109,151 mètre — Nord-Est

S3-S4 = −145,980 ; +87,119 mètre — Nord-Ouest

S4-S1 = −55,309 ; −171,586 mètre — Sud-Ouest

"Les quatre côtés se reconstruisent exactement à partir de leurs composantes. Reste à voir si, mis bout à bout, ils reviennent au point de départ."

Question 4 (BOSS) : La fermeture linéaire — le contrôle que l'on n'exécute jamais

Dans la tête de l'ingénieur

"Deux additions. Sur un circuit fermé, elles doivent toutes deux donner zéro : je pars de S1 et j'y reviens. C'est le contrôle le plus sévère de tout le cheminement, parce qu'il teste ensemble les angles, les distances et leur cohérence. Et je m'attends au pire : la fermeture angulaire, elle, n'en garantissait rien."

Observation : Quatre côtés bout à bout qui reviennent au départ : la somme vectorielle est nulle par construction. Tout résidu est une erreur, sans exception.
Analyse du risque : Ce n'est plus le calcul qui est en cause — les huit composantes ont été validées une à une. Si la fermeture est mauvaise, ce sont les données qui le sont.
Choix stratégique : Calculer les deux fermetures partielles, en déduire la fermeture linéaire, la rapporter au périmètre, puis la confronter aux seuils de l'arrêté du 16 septembre 2003.
Alternative : On pourrait passer directement à la compensation linéaire, proportionnelle aux longueurs. Mais compenser sans avoir jugé, c'est maquiller l'erreur au lieu de la constater.
Objectif visé : Un verdict chiffré et sourcé sur ce jeu de mesures — quel qu'il soit.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

f(x) = −38,516 m · f(y) = −32,719 m · f(L) = 50,537 m · précision relative 1/12,1 du périmètre

Rappel Théorique : la fermeture linéaire, et pourquoi elle est le seul vrai juge

Sur un cheminement fermé, partir d'un point et y revenir signifie que la somme de tous les déplacements est nulle. Cette contrainte est vectorielle : elle porte à la fois sur les abscisses et sur les ordonnées.

Les deux fermetures partielles : \( f_{\text{x}} = \sum \Delta X \) et \( f_{\text{y}} = \sum \Delta Y \). Toutes deux devraient valoir zéro.
La fermeture linéaire : \( f_{\text{L}} = \sqrt{f_{\text{x}}^2 + f_{\text{y}}^2} \). C'est la distance entre le point de départ et le point de retour calculé — un écart bien réel, mesurable sur le plan.
La précision relative : \( f_{\text{L}} \) rapportée au périmètre parcouru. Un cheminement courant se situe entre \( 1/5\,000 \) et \( 1/20\,000 \) ; les travaux de précision descendent bien plus bas.
Pourquoi ce contrôle est décisif : il fait intervenir les angles et les distances. La fermeture angulaire, elle, serait parfaite même avec quatre distances entièrement fausses.
Ce que dit le guide DT-DICT : l'intervenant doit « compenser ses calculs (méthode en bloc par les moindres carrés ou répartition de l'erreur de cheminement) ». Compenser suppose d'abord d'avoir jugé l'erreur acceptable.

Équations Fondamentales

Trois relations : les deux fermetures partielles, puis la fermeture linéaire qui les combine.

Fermeture partielle en abscisse :

La somme algébrique des quatre déplacements Est-Ouest.

Pourquoi cette formule ?

Parce que revenir à son point de départ signifie que tous les déplacements vers l'Est ont été exactement compensés par des déplacements vers l'Ouest. La somme doit donc être nulle.

Contexte de validité : Cheminement fermé uniquement. Sur un cheminement encadré, la somme doit valoir l'écart de coordonnées entre les deux points connus.
Avantage : Une simple addition algébrique, où les signes font tout le travail.
Paramètre clé : Les signes des quatre composantes. Une seule inversion suffirait à créer une fermeture parasite de plusieurs centaines de mètres.
Vérification : Le résultat doit être proche de zéro — quelques centimètres au plus sur un cheminement correct.
Limite : Prise seule, elle ne décrit qu'une direction de l'erreur. Il faut la combiner à celle des ordonnées.

\[ \begin{aligned} f_{\text{x}} = \sum \Delta X \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : de combien ai-je manqué mon point de départ, vers l'Est ? Zéro attendu, tout le reste est erreur.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{x}} \) : fermeture partielle en abscisse, signée, unité : mètre
\( \sum \Delta X \) : somme des quatre composantes Est, unité : mètre

Fermeture partielle en ordonnée :

La somme algébrique des quatre déplacements Nord-Sud.

Pourquoi cette formule ?

Même raisonnement sur l'autre axe : ce qui a été monté vers le Nord doit avoir été redescendu vers le Sud. Les deux fermetures partielles sont indépendantes, et toutes deux nulles sur un circuit parfait.

Contexte de validité : Identiques à celles de l'abscisse : circuit fermé et même système de coordonnées.
Avantage : Elle donne la seconde composante de l'erreur, sans laquelle on ne saurait pas dans quelle direction le levé se referme mal.
Paramètre clé : La cohérence entre les quatre gisements et les quatre distances : c'est elle qui est réellement testée.
Vérification : Résultat attendu proche de zéro, du même ordre de grandeur que la fermeture en abscisse.
Limite : Elle ne dit pas quel côté est fautif : elle constate un désaccord global.

\[ \begin{aligned} f_{\text{y}} = \sum \Delta Y \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : de combien ai-je manqué mon point de départ, vers le Nord ? Le couple des deux donne le vecteur d'erreur.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{y}} \) : fermeture partielle en ordonnée, signée, unité : mètre
\( \sum \Delta Y \) : somme des quatre composantes Nord, unité : mètre

Fermeture linéaire :

La distance qui sépare le point de départ du point de retour calculé.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les deux fermetures partielles sont les composantes d'un vecteur d'erreur. Sa norme — obtenue par Pythagore — est la distance réelle qui sépare le départ de l'arrivée sur le plan.

Contexte de validité : Repère orthonormé du plan de projection.
Avantage : Elle réduit deux nombres à un seul, directement comparable à une tolérance de position.
Paramètre clé : Le périmètre auquel on la rapporte : une même fermeture n'a pas le même sens sur 600 m et sur 6 km.
Vérification : La précision relative obtenue doit être comparée aux ordres de grandeur usuels d'un cheminement.
Limite : Aucun texte du dossier de normes ne fixe de tolérance de fermeture linéaire. Les seuils de l'arrêté du 16 septembre 2003 portent sur l'écart de position d'un point contrôlé : ils servent ici d'ordre de grandeur.

\[ \begin{aligned} f_{\text{L}} = \sqrt{ f_{\text{x}}^{2} + f_{\text{y}}^{2} } \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : à quelle distance de mon point de départ suis-je réellement revenu ? C'est le juge de paix du cheminement.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{L}} \) : fermeture linéaire, toujours positive, unité : mètre
\( f_{\text{x}} \) : fermeture en abscisse, élevée au carré, unité : mètre
\( f_{\text{y}} \) : fermeture en ordonnée, élevée au carré, unité : mètre

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants concluent que les mesures sont de bonne qualité après la seule fermeture angulaire..."

L'approche d'ingénieur : Un contrôle ne vaut que par ce qu'il est capable de tester. La fermeture angulaire ne voit que les angles : elle serait irréprochable même avec quatre distances inventées. Conclure sur la qualité d'un levé à partir d'elle seule est une faute de raisonnement, quelle que soit sa valeur.

L'erreur : Écrire « l'erreur est très faible, c'est un bon signe sur la qualité des mesures » après avoir constaté \( f_{\text{a}} = 0{,}0090 \) gon.
La bonne méthode : Poursuivre jusqu'à la fermeture linéaire, seul contrôle qui teste les angles et les distances ensemble.
L'astuce de pro : Se demander, pour chaque contrôle : quelles données n'y figurent pas ? Ici, aucune des quatre distances n'entre dans la fermeture angulaire.
Le moyen mnémotechnique : « Les angles ferment le tour, les distances ferment la figure ».
L'impact direct : Sur ce cheminement, la fermeture linéaire vaut 50,537 m — soit 1 982 fois l'écart de 2,55 cm que la fermeture angulaire laissait entrevoir.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Composantes et fermetures : en mètre, signées
Fermeture linéaire : en mètre, toujours positive
Périmètre : en mètre, somme des quatre côtés
Précision relative et rapports : sans dimension

Cinq calculs : les deux fermetures partielles, la fermeture linéaire, la précision relative, puis la comparaison aux seuils de l'arrêté du 16 septembre 2003.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — la fermeture partielle en abscisse

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour vérifier que les déplacements vers l'Est et vers l'Ouest se compensent, comme l'exige un circuit fermé.

Méthodologie du calcul :

Addition algébrique des quatre composantes Est calculées en question 3.

Substitution : +138,582 · +24,191 · −145,980 · −55,309 m.
Piège évité : Les signes sont conservés : deux composantes positives, deux négatives.
Hypothèse validée : Les quatre composantes ont été validées individuellement par le contrôle par retour.
Vérification croisée : Sur un cheminement correct, ce total devrait valoir quelques centimètres au plus.
Finalité : Obtenir la première composante du vecteur d'erreur.

\[ \begin{aligned} f_{\text{x}} &= 138{,}582 + 24{,}191 - 145{,}980 - 55{,}309 \\[4pt] &= \mathbf{-38{,}516} \ \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

−38,516 m. On attendait zéro : le résultat en est éloigné de près de quarante mètres. Ce n'est plus une erreur de mesure, c'est une incohérence de structure.

Ordre de grandeur : 38,5 m sur un périmètre de 612 m : plus de 6 % du parcours, sur ce seul axe.
Impact sur la suite : Le point de retour tombe très à l'Ouest du point de départ.
Cohérence : Les quatre composantes ont pourtant été vérifiées une à une : le défaut ne vient pas des projections.
Attention : Aucune erreur de mesure raisonnable ne produit quarante mètres sur quatre visées de moins de deux cents mètres.
Comparaison : La fermeture angulaire annonçait 2,55 cm d'écart : on est ici plus de mille cinq cents fois au-delà.

Remarque pédagogique : Quand un résultat sort de plusieurs ordres de grandeur, on ne cherche plus l'erreur de calcul : on interroge les données.

Calcul 2 — la fermeture partielle en ordonnée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la seconde composante du vecteur d'erreur.

Méthodologie du calcul :

Addition algébrique des quatre composantes Nord.

Substitution : −57,403 · +109,151 · +87,119 · −171,586 m.
Piège évité : Deux composantes positives et deux négatives : l'addition est algébrique, jamais en valeur absolue.
Hypothèse validée : Mêmes composantes que celles validées en question 3.
Vérification croisée : Le millimètre d'écart avec le calcul en pleine précision provient de l'arrondi des composantes.
Finalité : Compléter le vecteur d'erreur.

\[ \begin{aligned} f_{\text{y}} &= -57{,}403 + 109{,}151 + 87{,}119 - 171{,}586 \\[4pt] &= \mathbf{-32{,}719} \ \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

−32,719 m. Là encore, on attendait zéro. Les deux fermetures partielles sont du même ordre de grandeur : le point de retour manque le départ vers le Sud-Ouest.

Ordre de grandeur : 32,7 m, soit plus de 5 % du périmètre sur ce second axe.
Impact sur la suite : Les deux composantes vont se combiner en une fermeture linéaire de plus de cinquante mètres.
Cohérence : Le calcul mené sans arrondi intermédiaire rend −32,718 m : l'écart d'un millimètre est sans portée.
Attention : Les deux fermetures étant du même ordre, l'erreur n'est pas concentrée sur un seul axe : c'est bien la figure entière qui ne se referme pas.
Comparaison : Sur un cheminement correct de ce périmètre, on attendrait quelques centimètres au plus.

Remarque pédagogique : Deux fermetures partielles du même ordre indiquent une incohérence générale ; une seule très forte désignerait plutôt une faute localisée.

Calcul 3 — la fermeture linéaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour réduire les deux fermetures partielles à une seule distance, directement interprétable.

Méthodologie du calcul :

Racine de la somme des carrés des deux fermetures partielles.

Substitution : \( f_{\text{x}} = -38{,}516 \) m et \( f_{\text{y}} = -32{,}719 \) m.
Piège évité : Les carrés effacent les signes : la fermeture linéaire est toujours positive.
Hypothèse validée : Repère orthonormé : Pythagore s'applique sans réserve.
Vérification croisée : Le résultat doit être supérieur à la plus grande des deux fermetures partielles.
Finalité : Obtenir la distance réelle entre départ et retour calculé.

\[ \begin{aligned} f_{\text{L}} &= \sqrt{ \left( -38{,}516 \right)^{2} + \left( -32{,}719 \right)^{2} } \\[4pt] &= \sqrt{ 2\,554{,}015 } \\[4pt] &= \mathbf{50{,}537} \ \text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

50,537 m. Le cheminement « revient » à plus de cinquante mètres de son point de départ. Parti de S1 en (1000,000 ; 5000,000), il aboutit en (961,484 ; 4967,281).

Ordre de grandeur : Supérieur à chacune des deux fermetures partielles, comme il se doit.
Impact sur la suite : Aucune compensation ne peut absorber une telle erreur : la question n'est plus de corriger, mais de refuser.
Cohérence : Les quatre côtés sont individuellement exacts. C'est leur combinaison qui est impossible.
Attention : Les quatre conventions possibles de transport de gisement ont été testées : aucune ne referme la figure. Ce ne sont donc pas les gisements qui sont en cause.
Comparaison : Ces quatre angles et ces quatre distances ne décrivent aucun quadrilatère fermé : le jeu de données est géométriquement impossible.

Remarque pédagogique : Constater qu'un énoncé est incohérent n'est pas un échec : c'est exactement ce que le contrôle est censé produire quand les données sont mauvaises.

Calcul 4 — la précision relative du cheminement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour rapporter la fermeture au parcours, seule façon de comparer des cheminements de longueurs différentes.

Méthodologie du calcul :

Division du périmètre par la fermeture linéaire, pour obtenir le dénominateur de la fraction usuelle.

Substitution : Périmètre \( 150{,}00 + 111{,}80 + 170{,}00 + 180{,}28 = 612{,}08 \) m.
Piège évité : Le périmètre est la somme des distances mesurées, pas celle des composantes.
Hypothèse validée : Les quatre distances sont horizontales et exprimées dans la même unité.
Vérification croisée : Un cheminement courant se situe entre \( 1/5\,000 \) et \( 1/20\,000 \).
Finalité : Exprimer la qualité du levé dans le langage habituel du métier.

\[ \begin{aligned} \frac{ P }{ f_{\text{L}} } &= \frac{ 612{,}08 }{ 50{,}537 } \\[4pt] &= \mathbf{12{,}1} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Une précision relative de 1/12,1, soit 8,26 % du périmètre. Un cheminement courant vise \( 1/10\,000 \) : on est ici huit cents fois plus mauvais.

Ordre de grandeur : Un pas de plus de huit centimètres perdus par mètre parcouru : impossible avec un instrument, même mal réglé.
Impact sur la suite : Le levé est irrecevable. Aucune classe de précision ne peut lui être attribuée.
Cohérence : Une erreur de mesure de cette ampleur aurait entraîné une fermeture angulaire catastrophique. Or celle-ci est excellente.
Attention : La contradiction entre les deux fermetures est le signe caractéristique de données fabriquées : les angles ont été choisis cohérents, les distances non.
Comparaison : En pratique, on retournerait sur le terrain remesurer les quatre côtés — c'est la seule issue.

Remarque pédagogique : La précision relative rend deux cheminements comparables. C'est la grandeur qu'un maître d'ouvrage lira, bien avant la fermeture en mètres.

Calcul 5 — la confrontation aux seuils de l'arrêté

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour rattacher le verdict à un texte réellement présent au dossier, plutôt qu'à une impression.

Méthodologie du calcul :

Rapport de la fermeture linéaire à la tolérance individuelle de l'arrêté du 16 septembre 2003, pour une classe [2] cm.

Substitution : \( f_{\text{L}} = 50{,}537 \) m et \( T = 2{,}42 \times 2 \times 1{,}125 = 5{,}45 \) cm.
Piège évité : Les deux grandeurs sont ramenées à la même unité : 5,45 cm valent 0,054 45 m.
Hypothèse validée : Classe [2] cm, \( n = 2 \) et \( C = 2 \) — paramètres retenus comme étalon de comparaison.
Vérification croisée : Le critère maximal de l'arrêté, \( 4{,}08 \times [xx] = 8{,}16 \) cm, donnerait un rapport de 619.
Finalité : Chiffrer l'ampleur du dépassement.

\[ \begin{aligned} \frac{ f_{\text{L}} }{ T } &= \frac{ 50{,}537 }{ 0{,}054\,45 } \\[4pt] &= \mathbf{928} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

928 fois la tolérance individuelle, et 619 fois le critère maximal de 8,16 cm. Le verdict ne souffre aucune discussion.

Ordre de grandeur : Trois ordres de grandeur au-delà du seuil : il n'y a rien à négocier.
Impact sur la suite : Le guide DT-DICT recommande de compenser — mais compenser suppose une erreur acceptable. Ce n'est pas le cas ici.
Cohérence : L'arrêté prévoit qu'avec \( N < 5 \) points de contrôle, aucun dépassement de \( T \) n'est toléré. Le cheminement n'en compte que quatre.
Attention : Ces seuils portent sur l'écart de position d'un point contrôlé, non sur une fermeture. Ils servent ici d'ordre de grandeur : aucun texte du dossier ne fixe de tolérance de fermeture.
Comparaison : Même en admettant une classe [50] cm — dix fois plus laxiste — le dépassement resterait d'un facteur trente-sept.

Remarque pédagogique : Quand un écart dépasse la tolérance d'un facteur mille, changer de classe de précision ne sauve rien. Il faut remonter aux données.

Ce que le dossier de normes ne permet pas de chiffrer

Une tolérance de fermeture, angulaire ou linéaire : aucun texte du dossier n'en fixe. La formule \( 0{,}02\sqrt{n} \) est une donnée d'énoncé ; les seuils de l'arrêté du 16 septembre 2003 portent sur l'écart de position d'un point contrôlé et servent ici d'ordre de grandeur.
L'incertitude des angles et des distances : aucune fiche technique de station totale, aucune norme d'essai de type ISO 17123 au dossier. Impossible de dire si une erreur donnée est instrumentalement plausible.
Et pourtant la réglementation l'exige : l'article 15 de l'arrêté du 15 février 2012 modifié, rappelé page 74 du fascicule 2, impose de joindre à chaque relevé « la marque et le numéro de série de l'appareil de mesure » et « l'incertitude maximale de la mesure ». Le carnet de cet énoncé ne comporte ni l'un ni l'autre.
La compensation par moindres carrés : citée par le guide DT-DICT comme alternative à l'équirépartition, mais aucun document du dossier n'en expose la mise en œuvre. Elle est nommée, jamais appliquée.
La classe de précision applicable : aucun texte du dossier ne l'impose à ce type de travaux. La classe [2] cm est un choix explicite, retenu comme étalon.

LE POLYGONE QUI NE SE REFERME PAS

RÉSULTAT FINAL

f(L) = 50,537 mètre — fermeture linéaire

Précision = 1/12,1 du périmètre — soit 928 fois la tolérance

"La fermeture angulaire disait que tout allait bien. La fermeture linéaire dit que ces quatre angles et ces quatre distances ne décrivent aucun polygone fermé."

SCHÉMA BILAN — LE CHEMINEMENT ET SA FERMETURE LINÉAIRE

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez assimilé la démarche et pas seulement les formules :

Je sais que la somme des angles d'un polygone vaut obligatoirement \( (n-2) \times 200 \) gon. Je vérifie d'où vient chaque seuil que j'applique : texte réglementaire ou donnée d'énoncé. Je convertis tout écart angulaire en écart de position avant de le juger. Je contrôle que la somme des compensations vaut exactement l'opposé de la fermeture. Je ramène chaque gisement dans l'intervalle 0 – 400 gon et je vérifie son quadrant. Je contrôle chaque côté par retour dès que ses deux composantes sont écrites. Je sais que la fermeture angulaire ne teste que les angles, jamais les distances. Je vais toujours jusqu'à la fermeture linéaire avant de conclure sur un levé.

La somme des angles mesurés vaut 400,0090 gon contre 400,0000 imposés, soit une fermeture angulaire de +0,0090 gon, très en deçà du seuil retenu. Après compensation de −0,00225 gon par angle, le transport donne 13,88475, 334,25350 et 219,85125 gon, avec un bouclage exact. Les huit coordonnées partielles restituent chacune la distance de leur côté.

Un cheminement fermé offre deux contrôles de portées très inégales : la fermeture angulaire ne teste que les angles — elle serait parfaite avec des distances inventées — tandis que la fermeture linéaire teste les angles, les distances et leur cohérence. Ici la seconde vaut 50,537 m sur 612 m de périmètre, soit 1/12,1 : ces mesures ne décrivent aucun quadrilatère fermé. Aucune compensation ne rattrape cela ; seule une reprise du levé le peut.

Les Calculs PlanimétriquesÉtape 10 sur 30

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