Exercice corrigé EN 1993-1-1 EN 10025-2 Eurocode 3 EN 1990

Calcul des déformations dans une poutre

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 25 mars 2026• 51 min de lecture

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Étude de cas · Note de calculs Réf. RDM-FLC-05

Calcul des déformations dans une poutre

Déformée d'une poutre sur deux appuis par superposition, et confrontation aux limites de flèche applicables

NiveauLicence 3 / Bureau d'études

DomaineRésistance des matériaux

ThèmeAptitude au service des planchers métalliques

PrérequisRelation moment-courbure, intégration de la ligne élastique, linéarité du comportement élastique

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Le sommier de la file 4 d'une mezzanine de stockage franchit 8,00 m entre deux appuis simples. Il porte un platelage et une charge d'exploitation répartis, ainsi qu'un palan fixé en son centre. La hauteur sous plafond étant limitée, l'architecte a retenu un profilé IPE 360, et des bureaux cloisonnés par des parois vitrées toute hauteur occupent la sous-face. La question posée n'est pas celle de la résistance — l'acier ne rompra pas — mais celle de la déformation : une poutre qui descend trop vient prendre appui sur le châssis supérieur des vitrages, lesquels ne possèdent aucune ductilité.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Une vérification d'aptitude au service : Rien ici ne concerne la ruine de la structure. Ce qui est en jeu est le fonctionnement de l'ouvrage et l'intégrité de ce qu'il porte.
Deux chargements, une seule déformée : Le comportement restant élastique et linéaire, les deux cas de charge se traitent séparément puis s'additionnent — à condition de savoir ce que cette addition suppose.
Un critère qui n'est pas donné par la norme : Aucun Eurocode ne fixe de limite de flèche universelle. La limite employée est contractuelle, et sa pertinence vis-à-vis de vitrages fragiles mérite examen.

Votre Mission :

Établir la déformée maximale du sommier sous la combinaison des charges, puis la confronter au critère du cahier des charges et déterminer le profilé qui y satisfait sans compromettre la hauteur libre.

Établir la rigidité : Convertir les caractéristiques du catalogue en unités cohérentes et calculer le produit du module d'élasticité par le moment quadratique.
Démontrer les deux déformées : Intégrer la relation moment-courbure pour chacun des deux cas de charge, plutôt que de recopier un formulaire.
Superposer et vérifier : Sommer les deux flèches, justifier que cette somme est exacte, et confronter le résultat à la limite contractuelle.
Redimensionner : Établir l'inertie requise, puis choisir le profilé sous la contrainte de hauteur qui a motivé le choix initial.

PLAN DE REPÉRAGE — SOMMIER FILE 4 ET BUREAUX VITRÉS EN SOUS-FACE

Livrables Attendus (Checklist) :

La rigidité de flexion du profilé, en unités du système international.
Les deux flèches élémentaires, établies par intégration et non posées.
La flèche totale à mi-travée et le taux de travail vis-à-vis du critère contractuel.
L'inertie requise et le profilé retenu au regard de la contrainte de hauteur.

2. Données Techniques & Normes

Les caractéristiques du profilé sont relevées au catalogue du producteur. Le module d'élasticité de l'acier de construction est celui que fixe l'Eurocode 3. La limite d'élasticité est donnée pour information : elle ne joue aucun rôle dans une vérification de flèche, qui ne fait intervenir que la rigidité, la géométrie et les charges. Le critère de flèche, en revanche, n'est pas une valeur normative : il provient du cahier des charges du projet.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Relation moment-courbure \( E\,I\,v''(x) = M(x) \)
Flèche sous charge répartie \( f_{\text{q}} = \dfrac{5\,q\,L^4}{384\,E\,I} \)
Flèche sous charge centrée \( f_{\text{P}} = \dfrac{P\,L^3}{48\,E\,I} \)
Superposition \( f_{\text{tot}} = f_{\text{q}} + f_{\text{P}} \)
Taux de travail \( \text{UR} = \dfrac{f_{\text{tot}}}{f_{\text{lim}}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

Le profilé et le matériau

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( L \)	Portée entre appuis du sommier	8,00	m
\( I_{\text{y}} \)	Moment quadratique de l'IPE 360 autour de l'axe fort, valeur de catalogue Catalogue du producteur de profilés laminés	16 260	cm⁴
\( I_{\text{z}} \)	Moment quadratique autour de l'axe faible, rappelé pour éviter toute confusion d'axe Catalogue du producteur de profilés laminés	1 043	cm⁴
\( h \)	Hauteur de la section de l'IPE 360	360	mm
\( b \)	Largeur des semelles de l'IPE 360	170	mm
\( t_{\text{f}} \)	Épaisseur nominale des semelles, qui détermine la tranche d'épaisseur à retenir pour la limite d'élasticité	12,7	mm
\( G \)	Masse par mètre de l'IPE 360, déjà comprise dans la charge répartie de l'énoncé Catalogue du producteur de profilés laminés	57,1	kg/m
\( E \)	Module d'élasticité de l'acier de construction, en phase élastique EN 1993-1-1 § 3.2.6(1)	210 000	MPa
\( f_{\text{y}} \)	Limite d'élasticité du S235 JR pour une épaisseur nominale inférieure ou égale à 16 mm — sans emploi dans une vérification de flèche EN 10025-2	235	MPa

Ce que la modélisation retient

Appuis : rotule et appui glissant
Comportement : élastique linéaire, petits déplacements
Flexion : autour de l'axe fort seul

Les charges et le critère de déformation

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( q \)	Charge uniformément répartie à l'état limite de service — poids propre du profilé, platelage et exploitation confondus, sans distinction entre part permanente et part variable	12	kN/m
\( P \)	Charge du palan et de sa charge levée, appliquée exactement à mi-travée	35	kN
\( f_{\text{lim}} \)	Critère de flèche du cahier des charges, portant sur la flèche totale — valeur contractuelle et non normative	L/300	mm

Ce que l'énoncé ne fournit pas

Répartition G et Q : non fournie
Jeu sous les vitrages : non fourni
Ordre de montage : non fourni

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Limites de flèche verticale suggérées pour les éléments en acier

Élément porté	Limite suggérée
Poutre portant un ouvrage fragile	portée/360
Autres poutres	portée/200
Console	longueur/180
Critère du présent cahier des charges	portée/300

Pourquoi aucune limite de flèche ne se lit directement dans un Eurocode, et ce que cela change

Une lecture rapide de l'Eurocode conduit souvent à chercher un tableau de limites de flèche. Il n'y en a pas. L'EN 1990 énonce au contraire que les critères d'aptitude au service doivent être spécifiés pour chaque projet et convenus avec le maître d'ouvrage, et l'EN 1993-1-1 renvoie à cette disposition. Les valeurs que l'on rencontre — portée sur deux cents, sur trois cents, sur trois cent soixante — sont des valeurs suggérées, issues des annexes nationales ou de la littérature technique, et leur emploi relève d'un choix de projet assumé, non d'une obligation réglementaire. Cette distinction n'est pas formelle : elle détermine qui répond du choix, et surtout elle oblige à vérifier que la limite retenue est bien adaptée à ce qu'elle protège. Un second point, plus important encore, tient à la grandeur que l'on compare. Une limite ne prend son sens qu'associée à la flèche sur laquelle elle porte. Les valeurs suggérées pour les éléments en acier portent sur les actions variables seules, et la disposition générale de l'EN 1990 relative aux éléments non structuraux précise que la vérification doit retenir les effets des actions postérieurs à l'exécution de l'élément concerné. Le raisonnement est physique et non conventionnel : une cloison posée sous une poutre déjà fléchie sous son poids propre ne subit jamais cette part de la déformation ; elle ne subit que ce qui vient après elle. Comparer une flèche totale à une limite calibrée sur les seules actions variables revient donc à confronter deux grandeurs qui ne mesurent pas la même chose. Le cahier des charges du présent projet impose une limite sur la flèche totale : c'est cette exigence contractuelle qui sera vérifiée, mais l'étude devra dire ce que cette vérification établit réellement, et ce qu'elle laisse en suspens.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

L'étude part de la rigidité du profilé, établit les deux déformées élémentaires par intégration, les superpose pour obtenir la déformée réelle, puis confronte le résultat au critère du cahier des charges avant d'en tirer le redimensionnement — et d'examiner ce que ce critère mesure exactement.

Question 1 : Rigidité de flexion du profilé

Cohérence des unités 15 min | Application directe

But de l'étape : Obtenir la grandeur qui figurera au dénominateur de toutes les formules de flèche.

Travail demandé : Convertir le moment quadratique et le module d'élasticité en unités du système international, puis calculer leur produit.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Un centimètre vaut un centième de mètre, et l'inertie est une longueur à la puissance quatre.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Vérifiez lequel des deux moments quadratiques du catalogue correspond à la flexion étudiée.

Question 2 : Déformées élémentaires établies par intégration

Ligne élastique 40 min | Démonstration

But de l'étape : Établir les deux expressions de flèche au lieu de les recopier, puis les appliquer.

Travail demandé : Intégrer la relation moment-courbure pour la charge répartie, puis pour la charge ponctuelle centrée, et calculer les deux flèches correspondantes.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Écrivez d'abord le moment fléchissant en fonction de l'abscisse, à partir des réactions d'appui.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Pour la charge centrée, la symétrie annule la rotation au milieu : cette condition remplace avantageusement l'appui opposé.

Question 3 : Flèche totale et vérification du critère contractuel

Superposition 25 min | Raisonnement

But de l'étape : Obtenir la déformée réelle et prononcer le verdict que le cahier des charges appelle.

Travail demandé : Justifier que les deux flèches s'additionnent, calculer la flèche totale, puis la comparer à la limite contractuelle et conclure.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La superposition découle de la linéarité de l'équation de la déformée.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Additionner deux maximums n'est légitime que dans un cas précis : lequel ?

Question 4 (Finale) : Inertie requise, choix du profilé et portée réelle du critère

Analyse critique 35 min | BOSS

But de l'étape : Déterminer le profilé qui satisfait le critère sans sacrifier la hauteur libre, et situer la portée exacte de la vérification menée.

Point d'attention pour cette dernière question : Le critère contractuel porte sur la flèche totale, alors que les limites suggérées pour les ouvrages fragiles portent sur les actions variables seules. Il faudra examiner ce que la vérification établit et ce qu'elle laisse ouvert.

Établir l'expression de l'inertie requise, la calculer, choisir le profilé au regard de la contrainte de hauteur en tenant compte de son propre poids, puis examiner la grandeur sur laquelle porte la limite applicable aux vitrages.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Renversez la condition de flèche pour en tirer une condition sur le moment quadratique.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Un profilé plus rigide est aussi plus lourd, et ce poids figure dans la charge répartie.

NOTE DE CALCULS DÉTAILLÉE (PAS-À-PAS)

Calcul des déformations dans une poutre

Question 1 : Rigidité de flexion du profilé

Dans la tête de l'ingénieur

"Toutes les expressions de flèche que je vais établir portent le même dénominateur : le produit du module d'élasticité par le moment quadratique. Autant le calculer une fois pour toutes, et dans des unités cohérentes avec les charges en newtons et les longueurs en mètres."

Ce que je cherche : Une grandeur unique, la rigidité de flexion, qui caractérise la résistance de la poutre à la déformation.
Ce que je vérifie d'abord : Lequel des deux moments quadratiques du catalogue correspond à la flexion réellement subie. Le profilé est posé sur son âme : c'est l'axe fort qui travaille.
Ce que cette valeur servira : De dénominateur commun aux deux flèches élémentaires. Une erreur ici se propagerait identiquement à tous les résultats.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( E\,I_{\text{y}} = 3{,}4146 \times 10^{7} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \).

Rappel Théorique : Ce que la rigidité de flexion représente

Une poutre résiste à la flexion par deux mécanismes indépendants : la raideur intrinsèque du matériau et la façon dont la matière est disposée dans la section. Leur produit gouverne à lui seul la déformée, quelle que soit la nature du chargement.

La part du matériau : Le module d'élasticité relie la contrainte à la déformation. Il est identique pour toutes les nuances d'acier de construction : un S355 n'est pas plus raide qu'un S235, il est seulement plus résistant.
La part de la forme : Le moment quadratique mesure l'éloignement de la matière à l'axe de flexion, pondéré par le carré de cette distance. C'est pourquoi les profilés concentrent leur matière en semelles, aussi loin que possible de l'axe.
Ce que le produit gouverne : La courbure prise par la poutre sous un moment donné. Une rigidité deux fois plus grande donne, sous le même chargement, une flèche exactement deux fois plus faible.

Équations Fondamentales

Une seule relation est nécessaire ici : celle qui définit la rigidité de flexion à partir de la loi de comportement du matériau et de la géométrie de la section.

Étape 1 — Rigidité de flexion issue de la relation moment-courbure :

Elle définit la grandeur qui gouverne l'ampleur de la déformée.

Pourquoi cette formule ?

Dans une section fléchie, l'hypothèse des sections planes impose une déformation longitudinale proportionnelle à la distance à l'axe neutre, le facteur de proportionnalité étant la courbure. La loi de Hooke convertit cette déformation en contrainte. Le moment fléchissant étant le moment résultant de ces contraintes sur la section, son calcul fait apparaître l'intégrale du carré de la distance à l'axe — c'est-à-dire le moment quadratique. Le produit du module d'élasticité par ce moment quadratique relie donc directement le moment à la courbure.

Contexte de validité : Comportement élastique linéaire et petits déplacements. La courbure est assimilée à la dérivée seconde de la déformée, ce qui suppose une pente faible devant l'unité.
Vérification : Un moment est un produit d'une force par une longueur, une courbure l'inverse d'une longueur : leur rapport est bien homogène à une force multipliée par une longueur au carré.
Ce qu'il faut choisir avec soin : L'axe. Un profilé en I possède deux moments quadratiques très différents, et seul celui qui correspond à la flexion réelle a un sens ici.

\[ \begin{aligned} \varepsilon(y) &= -\,v''(x)\,y \\ \sigma(y) &= E\,\varepsilon(y) \\ M(x) &= -\int_A \sigma(y)\,y \, \mathrm{d}A = E\,v''(x) \int_A y^2 \, \mathrm{d}A \\ M(x) &= E\,I\,v''(x) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Les fibres éloignées de l'axe s'allongent ou se raccourcissent davantage, et leur bras de levier est plus grand. Cette double dépendance à la distance est l'origine du carré dans le moment quadratique.

Décomposition des termes :

\( M \) : moment flechissant dans la section, unité : N·m
\( E \) : module d'elasticite du materiau, unité : Pa
\( I \) : moment quadratique de la section, unité : m⁴
\( v \) : deplacement vertical de la fibre moyenne, unité : m
\( y \) : distance a l'axe neutre, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Employer le moment quadratique de l'axe faible à la place de celui de l'axe fort."

L'approche d'ingénieur : Les deux valeurs figurent côte à côte sur la même ligne du catalogue et portent la même unité. Seule la position réelle du profilé permet de trancher :

Ce qui distingue les deux axes : Le profilé posé sur son âme fléchit autour de l'axe horizontal, celui par rapport auquel les semelles sont les plus éloignées. C'est l'axe fort, et son moment quadratique est le plus grand des deux.
Ce que l'erreur change numériquement : Le rapport des deux inerties vaut \( 16\,260/1\,043 = 15{,}6 \). La flèche totale annoncée passerait de 29,67 mm à 463 mm, soit près d'un demi-mètre sur huit mètres de portée.
Comment on la détecte : Ce résultat est auto-contradictoire : une flèche de 463 mm dépasse la hauteur même du profilé, 360 mm. L'hypothèse des petits déplacements sur laquelle repose toute la théorie serait alors ruinée, et le calcul invaliderait ses propres prémisses.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Le moment quadratique passe des centimètres puissance quatre aux mètres puissance quatre par un facteur \( 10^{-8} \).
Le module d'élasticité passe des mégapascals aux pascals par un facteur \( 10^{6} \).
Un pascal étant un newton par mètre carré, le produit donne des newtons multipliés par des mètres carrés.

Les deux conversions sont menées séparément, puis le produit est formé.

1. Résolution Numérique Conversion des caractéristiques et calcul de la rigidité

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les charges seront exprimées en newtons et la portée en mètres : toutes les grandeurs doivent appartenir au même système d'unités sous peine d'un résultat faux de plusieurs ordres de grandeur.

Méthodologie du calcul :

Le moment quadratique est converti en mètres puissance quatre, le module d'élasticité en pascals, puis leur produit est formé.

Données employées : \( I_{\text{y}} = 16\,260 \text{ cm}^4 \) au catalogue et \( E = 210\,000 \text{ MPa} \).
Origine du facteur de conversion : Un centimètre valant \( 10^{-2} \) mètre, une longueur à la puissance quatre est divisée par \( 10^{8} \).

\[ \begin{aligned} I_{\text{y}} &= 16260 \times 10^{-8} = 1{,}626 \times 10^{-4} \text{ m}^4 \\ E &= 210000 \times 10^{6} = 2{,}1 \times 10^{11} \text{ Pa} \\ E\,I_{\text{y}} &= 2{,}1 \times 10^{11} \times 1{,}626 \times 10^{-4} \\ &= \mathbf{3{,}4146 \times 10^{7}} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La rigidité de flexion du sommier s'élève à \( 3{,}4146 \times 10^{7} \) newtons multipliés par des mètres carrés. Cette grandeur unique gouvernera l'ampleur de toutes les déformées : sous un chargement donné, la flèche lui est exactement inversement proportionnelle.

Contrôle de la conversion : \( 1{,}626 \times 10^{-4} \text{ m}^4 \) correspond bien à un carré de 0,113 m de côté élevé à la puissance quatre — un ordre de grandeur cohérent avec une section de profilé.
Écart avec la valeur de l'énoncé : Le catalogue donne 16 260 cm⁴ et non 16 270. L'écart est de 0,06 % et n'altère aucune conclusion, mais une caractéristique de catalogue se recopie sans arrondi.

Remarque pédagogique : Ce nombre ne dépend ni des charges ni de la portée : il ne caractérise que la poutre elle-même. C'est pourquoi il vaut la peine d'être calculé séparément — il sera réutilisé tel quel pour chacun des deux cas de charge.

SECTION DE L'IPE 360 ET COMPARAISON DES DEUX MOMENTS QUADRATIQUES

RÉSULTAT FINAL

\( E\,I_{\text{y}} \) = 3,4146 × 10⁷ N·m²

"La rigidité de flexion du sommier autour de son axe fort atteint \( 3{,}4146 \times 10^{7} \) newtons multipliés par des mètres carrés."

Question 2 : Déformées élémentaires établies par intégration

Dans la tête de l'ingénieur

"Les deux expressions de flèche que l'on trouve dans tous les formulaires ne tombent pas du ciel : elles s'obtiennent en intégrant deux fois la relation moment-courbure, avec les conditions aux limites du problème. Les établir plutôt que les recopier permet de savoir exactement ce qu'elles supposent — et de repérer immédiatement s'il faut les adapter."

Ce que je fais : J'écris le moment fléchissant en fonction de l'abscisse, puis j'intègre deux fois en déterminant les constantes par les conditions d'appui.
Ce que j'exploite : La symétrie des deux chargements. Elle place le maximum au milieu et fournit, pour la charge centrée, une condition plus commode que l'appui opposé.
Ce que j'observe au passage : Les exposants de la portée : puissance quatre pour la charge répartie, puissance trois pour la charge concentrée. Cette différence n'est pas anodine.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( f_{\text{q}} = 18{,}74 \text{ mm} \) et \( f_{\text{P}} = 10{,}93 \text{ mm} \).

Rappel Théorique : De la relation moment-courbure à la flèche

La déformée d'une poutre est la solution d'une équation différentielle du second ordre dont le second membre est le moment fléchissant. Deux intégrations successives la fournissent, à deux constantes près que les conditions aux limites déterminent.

La première intégration : Elle donne la rotation de la section, c'est-à-dire la pente de la déformée. Sa constante s'obtient par une condition portant sur cette pente.
La seconde intégration : Elle donne le déplacement. Sa constante s'obtient par une condition portant sur le déplacement, typiquement l'annulation sur un appui.
Le rôle de la symétrie : Lorsque le chargement est symétrique, la rotation s'annule au milieu. Cette condition remplace avantageusement celle de l'appui opposé et raccourcit le calcul de moitié.

Équations Fondamentales

Chaque cas de charge est traité séparément : moment fléchissant, double intégration, détermination des constantes, puis évaluation à mi-travée.

Étape 1 — Flèche sous charge uniformément répartie :

Elle fournit la part de déformée due au platelage et à l'exploitation.

Pourquoi cette formule ?

Les deux appuis se partagent également la charge totale par symétrie, ce qui donne la réaction. Le moment fléchissant dans une section courante s'obtient en isolant le tronçon situé à gauche : il comprend le moment de la réaction et celui de la part de charge répartie déjà franchie. Deux intégrations successives de la relation moment-courbure livrent la déformée ; la constante de rotation se détermine par l'annulation du déplacement au second appui, et la constante de déplacement par son annulation au premier. L'évaluation à mi-travée fournit alors le maximum, que la symétrie situe précisément là.

Contexte de validité : Poutre isostatique sur deux appuis simples, section constante, charge uniforme sur toute la portée.
Vérification de l'exposant : Une charge répartie est une force par unité de longueur : le résultat étant homogène à une longueur, la portée doit y figurer à la puissance quatre.
Conséquence pratique : Allonger la portée de 10 % accroît cette flèche de 46 %. La portée est le paramètre le plus déterminant de toute vérification de déformation.

\[ \begin{aligned} M(x) &= \frac{q\,L}{2}\,x - \frac{q\,x^2}{2} \\ E\,I\,v'(x) &= \frac{q\,L\,x^2}{4} - \frac{q\,x^3}{6} + C_1 \\ E\,I\,v(x) &= \frac{q\,L\,x^3}{12} - \frac{q\,x^4}{24} + C_1\,x \\ C_1 &= -\,\frac{q\,L^3}{24} \\ f_{\text{q}} &= -\,v\!\left(\frac{L}{2}\right) = \frac{5\,q\,L^4}{384\,E\,I} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? La charge s'applique partout, y compris près des appuis où elle travaille peu. C'est pourquoi son coefficient, cinq trois cent quatre-vingt quatrièmes, est très inférieur au douzième que donnerait la même charge totale concentrée au centre.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{q}} \) : fleche a mi-travee sous charge repartie, unité : m
\( q \) : charge uniformement repartie, unité : N/m
\( L \) : portee entre appuis, unité : m
\( C_1 \) : constante issue de la premiere integration, unité : N·m²

Étape 2 — Flèche sous charge ponctuelle centrée :

Elle fournit la part de déformée due au palan.

Pourquoi cette formule ?

La charge étant centrée, chaque appui en reprend la moitié. Sur la demi-portée gauche, le moment fléchissant se réduit à celui de la réaction, soit une fonction linéaire de l'abscisse. La symétrie du problème impose une rotation nulle à mi-travée : cette condition détermine la constante de la première intégration sans qu'il soit nécessaire d'écrire le moment sur la seconde moitié. L'annulation du déplacement sur l'appui fixe la seconde constante, et l'évaluation à mi-travée fournit la flèche.

Contexte de validité : Charge appliquée exactement à mi-portée. Une charge décentrée conduirait à une expression différente, et son maximum ne serait plus au milieu.
Vérification de l'exposant : Une charge concentrée est une force : le résultat étant homogène à une longueur, la portée doit y figurer à la puissance trois.
Économie de la symétrie : La condition de rotation nulle au centre dispense d'écrire le moment sur la demi-portée droite, où son expression change de forme.

\[ \begin{aligned} M(x) &= \frac{P\,x}{2} \quad \text{pour} \quad 0 \le x \le \frac{L}{2} \\ E\,I\,v'(x) &= \frac{P\,x^2}{4} + C_1 \\ v'\!\left(\frac{L}{2}\right) &= 0 \\ C_1 &= -\,\frac{P\,L^2}{16} \\ E\,I\,v(x) &= \frac{P\,x^3}{12} - \frac{P\,L^2\,x}{16} \\ f_{\text{P}} &= -\,v\!\left(\frac{L}{2}\right) = \frac{P\,L^3}{48\,E\,I} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Toute la charge se trouve à l'endroit où le bras de levier est maximal. À charge totale égale, une force concentrée au centre déforme donc bien plus qu'une charge étalée.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{P}} \) : fleche a mi-travee sous charge centree, unité : m
\( P \) : intensite de la charge concentree, unité : N
\( v' \) : rotation de la section, pente de la deformee, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Employer la portée à la puissance trois dans l'expression de la flèche sous charge répartie."

L'approche d'ingénieur : Les deux expressions se ressemblent et se retiennent mal. L'erreur est fréquente et, ici, elle inverse la conclusion de l'étude :

Comment la démonstration l'interdit : L'intégration fait apparaître le degré quatre parce que le moment est déjà quadratique en l'abscisse. La puissance trois ne peut apparaître que pour un moment linéaire, c'est-à-dire pour une charge concentrée.
Ce que l'erreur change numériquement : La flèche sous charge répartie tomberait de 18,74 mm à 2,34 mm, et la flèche totale de 29,67 mm à 13,27 mm. Le taux de travail passerait de 1,112 à 0,50 : le verdict serait inversé, et une poutre non conforme serait déclarée acceptable.
Comment on la détecte : Par l'homogénéité. Une charge répartie s'exprime en newtons par mètre ; avec une portée au cube, le résultat s'exprimerait en mètres au carré divisés par des newtons, ce qui n'est pas une longueur. Le contrôle dimensionnel suffit à écarter l'erreur sans rien calculer.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Les charges sont converties en newtons et en newtons par mètre.
La portée est exprimée en mètres, cohérente avec la rigidité en newtons multipliés par des mètres carrés.
Les flèches obtenues sont en mètres, puis converties en millimètres pour la lecture.

La flèche sous charge répartie est calculée d'abord, puis celle sous charge concentrée, et un contrôle indépendant de leur rapport clôt la question.

1. Résolution Numérique Calcul de la flèche sous charge uniformément répartie

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elle constitue la part principale de la déformation, celle qui existe en permanence indépendamment de l'usage du palan.

Méthodologie du calcul :

L'expression établie est appliquée avec la charge convertie en newtons par mètre et la rigidité obtenue à l'étape précédente.

Données employées : \( q = 12\,000 \text{ N/m} \), \( L = 8{,}00 \text{ m} \) et \( E\,I_{\text{y}} = 3{,}4146 \times 10^{7} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \).
Ordre de grandeur attendu : Quelques millimètres à quelques centimètres pour une poutre métallique de huit mètres correctement dimensionnée.

\[ \begin{aligned} f_{\text{q}} &= \frac{5 \times 12000 \times 8{,}00^4}{384 \times 3{,}4146 \times 10^{7}} \text{ m} \\ &= \frac{2{,}4576 \times 10^{8}}{1{,}3112 \times 10^{10}} \text{ m} \\ &= 0{,}01874 \text{ m} = \mathbf{18{,}74} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La charge répartie provoque à elle seule une descente de 18,74 mm au centre du sommier, soit un peu moins de deux centimètres. Rapportée à la portée, cette flèche correspond à un quatre cent vingt-septième de la longueur.

Contrôle par le rapport à la portée : \( 8000/18{,}74 = 427 \) : la flèche vaut L/427, valeur plausible pour un plancher métallique chargé.
Sensibilité à la portée : Sous la même charge, une portée de 8,80 m donnerait 27,42 mm au lieu de 18,74 : dix pour cent de portée en plus coûtent quarante-six pour cent de flèche.

Remarque pédagogique : Cette part de la déformation est permanente au sens où elle ne dépend pas de l'usage du palan. Elle est présente dès que le platelage et l'exploitation courante sont en place, et c'est elle qui fixe la position moyenne de la poutre.

Calcul de la flèche sous la charge du palan

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elle constitue la part variable de la déformation, celle qui apparaît et disparaît au gré des manutentions.

Méthodologie du calcul :

L'expression établie pour la charge centrée est appliquée avec la même rigidité.

Données employées : \( P = 35\,000 \text{ N} \), \( L = 8{,}00 \text{ m} \) et \( E\,I_{\text{y}} = 3{,}4146 \times 10^{7} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \).
Position de la charge : Exactement à mi-travée, comme l'énoncé le précise — condition sous laquelle l'expression établie est valable.

\[ \begin{aligned} f_{\text{P}} &= \frac{35000 \times 8{,}00^3}{48 \times 3{,}4146 \times 10^{7}} \text{ m} \\ &= \frac{1{,}792 \times 10^{7}}{1{,}6390 \times 10^{9}} \text{ m} \\ &= 0{,}01093 \text{ m} = \mathbf{10{,}93} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le palan chargé ajoute 10,93 mm de descente supplémentaire. Cette part n'existe que pendant les opérations de levage : elle apparaît puis disparaît, et c'est précisément ce caractère intermittent qui la rend redoutable pour des éléments fragiles.

Contrôle indépendant du rapport des deux flèches : Le rapport théorique vaut \( 5\,q\,L/(8\,P) = 5 \times 12 \times 8/(8 \times 35) = 1{,}714 \), expression où la rigidité disparaît. Le rapport calculé, \( 18{,}74/10{,}93 = 1{,}714 \), coïncide exactement.
Portée de ce contrôle : Il valide les deux flèches sans faire intervenir le module d'élasticité ni le moment quadratique : une erreur de conversion d'unités passerait inaperçue, mais toute erreur d'exposant ou de coefficient serait révélée.

Remarque pédagogique : Il vaut la peine de comparer les deux contributions autrement : la charge répartie totalise 96 kN contre 35 kN pour le palan, soit près du triple, et ne produit pourtant que 1,7 fois plus de flèche. Une charge concentrée au centre est bien plus déformante, à intensité égale, qu'une charge étalée.

LES DEUX DÉFORMÉES ÉLÉMENTAIRES ET LEUR SOMME

RÉSULTAT FINAL

\( f_{\text{q}} \; ; \; f_{\text{P}} \) = 18,74 ; 10,93 mm

"La charge répartie provoque 18,74 mm de flèche et le palan 10,93 mm, les deux maximums se produisant au même point, à mi-travée."

Question 3 : Flèche totale et vérification du critère contractuel

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai deux déformées, obtenues séparément. Les additionner paraît évident, mais cette opération repose sur une propriété précise du problème qu'il faut énoncer, et sur une coïncidence géométrique qu'il faut vérifier. Une fois la flèche totale obtenue, elle sera confrontée à l'exigence inscrite au cahier des charges."

Ce que je justifie : Le droit d'additionner, qui découle de la linéarité de l'équation de la déformée et non d'une évidence.
Ce que je vérifie : Que les deux maximums se produisent bien au même point, faute de quoi leur somme surestimerait la flèche réelle.
Ce que je conclus : Le verdict vis-à-vis du critère contractuel, exprimé par un taux de travail plutôt que par une simple comparaison.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( f_{\text{tot}} = 29{,}67 \text{ mm} \) contre \( f_{\text{lim}} = 26{,}67 \text{ mm} \).

Rappel Théorique : Le principe de superposition et ses conditions

Additionner les effets de deux chargements n'a rien d'automatique : c'est une propriété des systèmes linéaires, qui cesse d'être vraie dès que le comportement du matériau ou la géométrie introduisent une non-linéarité.

L'origine de la propriété : L'équation de la déformée est linéaire en le déplacement et en le chargement. La somme de deux solutions correspondant à deux chargements est donc la solution du chargement somme, dès lors que les conditions d'appui sont les mêmes.
Ce qui la ruinerait : Une plastification du matériau, ou des déplacements assez grands pour que la géométrie déformée modifie les sollicitations. Aucune de ces deux situations n'est ici en cause.
Une précaution sur les maximums : La superposition porte sur les fonctions déformées, non sur leurs valeurs maximales. Additionner deux maximums situés à des abscisses différentes majorerait la flèche réelle.

Équations Fondamentales

Deux relations sont mobilisées : la superposition des déformées, puis le taux de travail vis-à-vis de la limite retenue.

Étape 1 — Superposition des deux déformées :

Elle donne la déformée réelle sous le chargement complet.

Pourquoi cette formule ?

L'équilibre d'un tronçon de poutre conduit à une équation différentielle du quatrième ordre reliant la dérivée quatrième du déplacement à la densité de charge. Cette équation est linéaire : si un premier déplacement en est solution pour une première densité de charge et un second pour une seconde, leur somme est solution pour la somme des densités. Les conditions d'appui étant homogènes et identiques dans les deux cas, la somme les satisfait également. La déformée cherchée est donc la somme des deux déformées élémentaires, en tout point de la portée.

Contexte de validité : Matériau élastique linéaire, petits déplacements, conditions d'appui identiques pour les deux cas de charge.
Vérification préalable au passage aux maximums : Les deux chargements étant symétriques, chaque déformée atteint son maximum à mi-travée. Les deux maximums coïncidant, la somme des maximums est bien le maximum de la somme.
Ce qui invaliderait le raccourci : Un palan décentré. Son maximum se produirait ailleurs qu'à mi-travée, et la somme des deux maximums surestimerait la flèche réelle.

\[ \begin{aligned} E\,I\,v''''(x) &= p(x) \\ v_{\text{q}}''''(x) + v_{\text{P}}''''(x) &= \frac{q(x) + P(x)}{E\,I} \\ v_{\text{tot}}(x) &= v_{\text{q}}(x) + v_{\text{P}}(x) \\ f_{\text{tot}} &= f_{\text{q}} + f_{\text{P}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? La poutre ne « sait » pas d'où viennent les charges : elle ne répond qu'à la densité totale qui s'exerce sur elle. La décomposition en cas élémentaires est un artifice de calcul, sans réalité physique propre.

Décomposition des termes :

\( v_{\text{tot}} \) : deformee sous le chargement complet, unité : m
\( p \) : densite lineique de charge appliquee, unité : N/m
\( f_{\text{tot}} \) : fleche maximale a mi-travee, unité : mm

Étape 2 — Taux de travail vis-à-vis de la limite retenue :

Il exprime le verdict sous une forme immédiatement lisible.

Pourquoi cette formule ?

Le critère d'aptitude au service s'écrit comme l'infériorité de la flèche calculée à une flèche limite. Diviser les deux membres de cette inégalité par la limite, qui est une quantité strictement positive, en préserve le sens et fait apparaître un nombre sans dimension. La condition devient alors l'infériorité de ce nombre à l'unité, forme sous laquelle la marge disponible se lit directement.

Contexte de validité : Limite strictement positive, exprimée dans la même unité que la flèche calculée et portant sur la même grandeur.
Ce que le nombre exprime : La fraction de la déformation admissible réellement consommée. Un taux de 1,112 signifie un dépassement de 11,2 %.
Condition d'emploi souvent négligée : Les deux grandeurs comparées doivent mesurer la même chose. Confronter une flèche totale à une limite calibrée sur les seules actions variables n'aurait pas de sens.

\[ \begin{aligned} f_{\text{tot}} &\le f_{\text{lim}} \\ f_{\text{lim}} &= \frac{L}{300} \\ \text{UR} &= \frac{f_{\text{tot}}}{f_{\text{lim}}} \le 1 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Un taux exprime une proportion consommée, non une sécurité résiduelle. Il permet de comparer entre elles des vérifications de natures très différentes.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{lim}} \) : fleche limite du cahier des charges, unité : mm
\( \text{UR} \) : taux de travail, sans dimension, unité : —
\( L \) : portee entre appuis, unité : mm

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Additionner les deux flèches maximales sans vérifier qu'elles se produisent au même point."

L'approche d'ingénieur : Le réflexe d'additionner des maximums est si naturel qu'il s'exerce sans contrôle. Il n'est pourtant licite que dans un cas particulier :

Ce que la superposition autorise réellement : Elle porte sur les fonctions déformées : en chaque abscisse, le déplacement total est la somme des déplacements partiels. Le maximum de la somme n'est le maximum des sommes que si les deux maximums coïncident.
Ce que l'erreur produirait ailleurs : Si le palan était fixé au quart de la portée, sa flèche maximale se produirait vers \( 0{,}42\,L \) et non au centre. Sommer les deux maximums majorerait alors la flèche réelle, et conduirait à refuser une poutre acceptable.
Pourquoi la somme est ici exacte : Les deux chargements sont symétriques par rapport au milieu de la portée. Leurs déformées le sont donc aussi, et chacune atteint son extremum précisément à mi-travée. La somme des maximums est donc bien le maximum réel.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Les deux flèches partielles sont en millimètres, unité dans laquelle elles ont été obtenues.
La portée est convertie en millimètres pour que la limite s'exprime dans la même unité.
Le taux de travail, rapport de deux longueurs, est un nombre sans dimension.

La flèche totale est formée d'abord, la limite contractuelle ensuite, et le taux de travail conclut.

1. Résolution Numérique Calcul de la flèche totale à mi-travée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la déformation que la poutre subit réellement en service, et la seule qui puisse être confrontée à une exigence.

Méthodologie du calcul :

Les deux flèches élémentaires, toutes deux maximales à mi-travée, sont additionnées.

Données employées : \( f_{\text{q}} = 18{,}74 \text{ mm} \) et \( f_{\text{P}} = 10{,}93 \text{ mm} \), établies à la question précédente.
Condition vérifiée : Les deux maximums se produisent au même point, ce qui rend la somme exacte et non majorante.

\[ \begin{aligned} f_{\text{tot}} &= 18{,}74 + 10{,}93 \text{ mm} \\ &= \mathbf{29{,}67} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le sommier descend de 29,67 mm en son centre, soit près de trois centimètres. Sur huit mètres de portée, cette déformation est parfaitement visible à l'œil nu et se lit sur la ligne d'un plafond.

Répartition entre les deux causes : \( 18{,}74/29{,}67 = 0{,}632 \) : la charge répartie fournit 63 % de la flèche, le palan 37 %. Aucune des deux ne peut être négligée.
Rapport à la portée : \( 8000/29{,}67 = 270 \) : la flèche vaut L/270, ce qui la situe déjà au-delà de la plupart des valeurs couramment retenues.

Remarque pédagogique : Cette valeur est celle de la flèche totale, toutes actions confondues. C'est bien la grandeur sur laquelle porte le critère du cahier des charges, et c'est à ce titre qu'elle sera comparée à la limite.

Calcul de la limite contractuelle et du taux de travail

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le cahier des charges impose une valeur seuil, et que la conformité se prononce par comparaison à cette valeur.

Méthodologie du calcul :

La portée est convertie en millimètres et divisée par trois cents, puis la flèche calculée lui est rapportée.

Données employées : \( L = 8\,000 \text{ mm} \) et le critère \( L/300 \) du cahier des charges.
Statut de cette limite : Elle est contractuelle. L'Eurocode ne fixe aucune limite de flèche et renvoie explicitement à un accord de projet.

\[ \begin{aligned} f_{\text{lim}} &= \frac{8000}{300} = 26{,}67 \text{ mm} \\ \text{UR} &= \frac{29{,}67}{26{,}67} \\ &= \mathbf{1{,}112} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le taux de travail atteint 1,112 : la flèche dépasse de 11,2 % la limite que le cahier des charges impose. Le critère n'est pas satisfait, et l'IPE 360 ne peut pas être retenu en l'état.

Verdict : \( 29{,}67 > 26{,}67 \) : le dépassement s'élève à 3,00 mm. Il est modeste en valeur absolue mais suffit à faire échouer la vérification.
Ce que ce verdict établit exactement : Que l'exigence écrite au marché n'est pas tenue. C'est un constat contractuel, qui ne se confond pas avec l'évaluation du risque réel pour les vitrages.

Remarque pédagogique : Un dépassement de onze pour cent ne se rattrape pas par une reprise d'hypothèses : il est trop important pour relever d'un arrondi et trop faible pour révéler une erreur de modélisation. Il appelle une modification du profilé, que la question suivante va établir.

CONFRONTATION DE LA FLÈCHE CALCULÉE À LA LIMITE CONTRACTUELLE

RÉSULTAT FINAL

\( \text{UR} \) = 1,112 —

"Avec 29,67 mm pour une limite contractuelle de 26,67 mm, le critère de flèche n'est pas satisfait : le dépassement atteint 11,2 %."

Question 4 : Inertie requise, choix du profilé et portée réelle du critère

Dans la tête de l'ingénieur

"Le refus prononcé ne dit pas quoi faire. Il faut établir l'inertie qui satisferait le critère, puis choisir un profilé — en gardant à l'esprit que c'est la limitation de hauteur qui avait conduit à retenir un IPE. Il reste ensuite à examiner ce que la vérification menée établit réellement au regard des vitrages, car la limite employée et celles que la littérature technique suggère pour les ouvrages fragiles ne portent pas sur la même grandeur."

Ce que j'établis d'abord : Une condition portant directement sur le moment quadratique, obtenue en renversant la condition de flèche.
Ce que je n'oublie pas : Qu'un profilé plus rigide est plus lourd, et que ce poids figure dans la charge répartie de l'énoncé.
Ce que j'examine pour finir : La grandeur sur laquelle porte la limite applicable à des vitrages, qui n'est pas la flèche totale.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( I_{\text{req}} = 18\,095 \text{ cm}^4 \) ; l'IPE O 360 y satisfait sans perdre de hauteur.

Rappel Théorique : Redimensionner à partir d'un critère de déformation

Une vérification qui échoue se transforme avantageusement en condition de dimensionnement. Plutôt que d'essayer les profilés l'un après l'autre, il est plus rapide et plus sûr d'établir la caractéristique minimale requise, puis de lire le catalogue.

La grandeur sur laquelle agir : La flèche est inversement proportionnelle au moment quadratique, et le module d'élasticité est le même pour toutes les nuances d'acier. Changer de nuance ne servirait donc à rien : seule la géométrie de la section peut réduire la déformation.
La contrainte du projet : L'élément qui a motivé le choix d'un IPE est la hauteur libre sous plafond. Une solution qui satisferait la flèche au prix de quarante millimètres de hauteur supplémentaire ne répondrait qu'à la moitié du problème.
L'effet en retour du poids propre : Un profilé plus rigide est plus lourd, et son poids s'ajoute à la charge répartie. Cette boucle est faible mais réelle, et doit être vérifiée lorsque la marge est étroite.

Équations Fondamentales

Deux relations sont mobilisées : l'inertie requise par le critère de flèche, puis l'accroissement de charge répartie qu'entraîne un changement de profilé.

Étape 1 — Moment quadratique requis par le critère de flèche :

Il transforme un refus en spécification de commande.

Pourquoi cette formule ?

La flèche totale est la somme des deux contributions établies, toutes deux inversement proportionnelles à la rigidité. Le critère impose que cette flèche reste inférieure à la portée divisée par un coefficient. Le moment quadratique n'apparaissant qu'au dénominateur, l'inégalité se renverse en une condition inférieure portant sur lui. La mise en facteur du cube de la portée, puis la simplification par la portée elle-même, conduisent à une expression où ne subsistent que les charges, la portée au carré, le coefficient du critère et le module d'élasticité.

Contexte de validité : Même schéma statique, mêmes charges et même position de la charge concentrée. Seule la section change.
Vérification du sens de l'inégalité : Le moment quadratique figurant au dénominateur de la flèche, l'exigence d'une flèche plus faible devient l'exigence d'une inertie plus grande.
Lecture du résultat : L'expression est proportionnelle au coefficient du critère : passer de trois cents à trois cent soixante accroît l'inertie requise dans le même rapport.

\[ \begin{aligned} f_{\text{tot}} &= \frac{1}{E\,I}\left( \frac{5\,q\,L^4}{384} + \frac{P\,L^3}{48} \right) \le \frac{L}{k} \\ I &\ge \frac{k}{E\,L}\left( \frac{5\,q\,L^4}{384} + \frac{P\,L^3}{48} \right) \\ I_{\text{req}} &= \frac{k\,L^2}{E}\left( \frac{5\,q\,L}{384} + \frac{P}{48} \right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le critère de déformation est une exigence de raideur, non de résistance. C'est pourquoi il se traduit par une condition sur la géométrie de la section et jamais sur la nuance de l'acier.

Décomposition des termes :

\( I_{\text{req}} \) : moment quadratique minimal requis, unité : m⁴
\( k \) : coefficient du critere de fleche, unité : —
\( q \) : charge repartie de service, unité : N/m
\( P \) : charge concentree de service, unité : N

Étape 2 — Accroissement de charge dû au changement de profilé :

Il corrige la charge répartie lorsque la section est modifiée.

Pourquoi cette formule ?

La charge répartie de l'énoncé englobe le poids propre du profilé initial. Remplacer ce profilé par un autre modifie cette part : la différence de masse par unité de longueur, convertie en force par l'accélération de la pesanteur, s'ajoute à la charge répartie de départ. Le calcul de vérification du nouveau profilé doit être mené avec cette charge corrigée, faute de quoi la flèche serait sous-estimée.

Contexte de validité : Poids propre effectivement inclus dans la charge répartie, ce que l'énoncé indique explicitement.
Ordre de grandeur : Quelques centièmes de kilonewton par mètre, soit moins d'un pour cent de la charge totale. Négligeable en apparence, mais pas lorsque la marge est de quelques millimètres.
Sens de la correction : Toujours défavorable : le profilé plus rigide est aussi plus lourd, et une part de la rigidité gagnée est reprise par le poids ajouté.

\[ \begin{aligned} \Delta q &= \left( G_{\text{new}} - G_{\text{ini}} \right) g \\ q_{\text{cor}} &= q + \Delta q \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Une poutre porte toujours son propre poids avant de porter quoi que ce soit d'autre. Sur les grandes portées, cette part devient prépondérante et limite l'intérêt d'un simple renforcement.

Décomposition des termes :

\( \Delta q \) : supplement de charge repartie, unité : N/m
\( G \) : masse par unite de longueur du profile, unité : kg/m
\( g \) : acceleration de la pesanteur, unité : m/s²

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Comparer la flèche totale aux limites suggérées pour les ouvrages fragiles, qui portent sur les actions variables seules."

L'approche d'ingénieur : Deux nombres exprimés en fractions de la portée invitent naturellement à la comparaison. Ils ne mesurent pourtant pas la même chose, et le rapprochement est ici doublement fautif :

Ce que la disposition normative prescrit : Lorsque la vérification concerne des éléments non structuraux tels que des cloisons ou des vitrages, elle doit retenir les effets des actions postérieurs à l'exécution de l'élément concerné. Le raisonnement est physique : une cloison posée sous une poutre déjà fléchie ne subit pas cette part de la déformation, mais seulement ce qui advient après elle.
Pourquoi la comparaison échoue dans les deux sens : La limite suggérée pour un ouvrage fragile, la portée divisée par trois cent soixante, est plus sévère que celle du cahier des charges — 22,22 mm contre 26,67. Mais elle porte sur une grandeur plus petite, les actions variables seules. Aucune des deux comparaisons croisées n'a de sens.
Ce que l'énoncé ne permet pas de trancher : La répartition entre part permanente et part variable de la charge de 12 kN/m n'est pas fournie. La flèche due aux actions variables est donc seulement encadrée, entre 10,93 mm si seul le palan est variable et 28,80 mm si tout l'est hormis le poids du profilé. La limite de 22,22 mm tombe à l'intérieur de cet intervalle : la vérification prescrite pour les vitrages n'est pas concluante en l'état.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Les charges sont en newtons et en newtons par mètre, la portée en mètres.
L'inertie requise est obtenue en mètres puissance quatre, puis convertie en centimètres puissance quatre pour la lecture du catalogue.
Les masses par mètre sont converties en charges par l'accélération de la pesanteur, prise égale à 9,81 mètres par seconde au carré.

L'inertie requise est établie d'abord, puis le profilé candidat est vérifié avec son propre poids, et enfin la flèche due aux actions variables est encadrée.

1. Résolution Numérique Calcul du moment quadratique requis par le critère contractuel

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une spécification chiffrée se transmet au fournisseur, là où un simple refus laisserait le choix du profilé à l'appréciation de chacun.

Méthodologie du calcul :

L'expression établie est appliquée avec le coefficient trois cents du cahier des charges, puis le résultat est converti en centimètres puissance quatre.

Données employées : \( k = 300 \), \( L = 8{,}00 \text{ m} \), \( q = 12\,000 \text{ N/m} \), \( P = 35\,000 \text{ N} \) et \( E = 2{,}1 \times 10^{11} \text{ Pa} \).
Contrôle attendu : Le résultat doit dépasser l'inertie de l'IPE 360 dans le rapport du taux de travail, soit environ 1,11.

\[ \begin{aligned} \frac{5\,q\,L}{384} &= \frac{5 \times 12000 \times 8{,}00}{384} = 1250 \text{ N} \\ \frac{P}{48} &= \frac{35000}{48} = 729{,}17 \text{ N} \\ I_{\text{req}} &= \frac{300 \times 8{,}00^2 \times 1979{,}17}{2{,}1 \times 10^{11}} \text{ m}^4 \\ &= 1{,}8095 \times 10^{-4} \text{ m}^4 = \mathbf{18095} \text{ cm}^4 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le critère contractuel exige un moment quadratique d'au moins 18 095 cm⁴, quand l'IPE 360 n'en offre que 16 260. Le déficit s'élève à 1 835 cm⁴, soit 11,3 % — cohérent avec le dépassement de flèche constaté.

Contrôle par le taux de travail : \( 18095/16260 = 1{,}113 \), valeur qui coïncide avec le taux de 1,112 obtenu à la question précédente — les deux calculs sont indépendants et concordent.
Ce que le critère plus sévère exigerait : Avec un coefficient de trois cent soixante au lieu de trois cents, l'inertie requise atteindrait 21 714 cm⁴ : l'expression est proportionnelle au coefficient.

Remarque pédagogique : Cette valeur constitue désormais la spécification de l'étude. Toute section, laminée ou reconstituée, qui l'atteint satisfait le critère de flèche — sous réserve des autres vérifications, de résistance notamment, qui ne relèvent pas de la présente note.

Vérification du profilé retenu, poids propre corrigé

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la contrainte de hauteur qui a motivé le choix d'un IPE demeure, et parce qu'un profilé plus lourd modifie la charge répartie sur laquelle le calcul repose.

Méthodologie du calcul :

Le profilé de même hauteur nominale et d'inertie renforcée est retenu, sa charge est corrigée de l'écart de masse, puis la flèche est recalculée.

Profilé retenu : L'IPE O 360, de 19 040 cm⁴ d'inertie pour 364 mm de hauteur et 66,0 kg/m, contre 16 260 cm⁴, 360 mm et 57,1 kg/m pour l'IPE 360.
Comparaison écartée : L'IPE 400 offre 23 120 cm⁴ mais mesure 400 mm de hauteur, soit quarante millimètres de plus — pour une masse pratiquement identique, 66,3 kg/m.

\[ \begin{aligned} \Delta q &= (66{,}0 - 57{,}1) \times 9{,}81 = 87{,}3 \text{ N/m} \\ E\,I &= 2{,}1 \times 10^{11} \times 1{,}904 \times 10^{-4} = 3{,}9984 \times 10^{7} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \\ f_{\text{tot}} &= \frac{1}{3{,}9984 \times 10^{7}}\left( \frac{5 \times 12087 \times 8{,}00^4}{384} + \frac{35000 \times 8{,}00^3}{48} \right) \text{ m} \\ &= 0{,}02546 \text{ m} = \mathbf{25{,}46} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Avec l'IPE O 360, la flèche totale tombe à 25,46 mm pour une limite de 26,67 mm : le critère est satisfait, avec un taux de 0,955. Le gain de hauteur est de quatre millimètres seulement, contre quarante pour l'IPE 400.

Vérification du critère : \( 25{,}46/26{,}67 = 0{,}955 \) : la marge résiduelle est de 1,21 mm, soit 4,5 % de la limite.
Poids de la correction négligée : Sans la correction de poids propre, la flèche annoncée serait de 25,34 mm. L'écart de 0,12 mm représente 10 % de la marge résiduelle : négliger cet effet serait sans conséquence sur un profilé largement dimensionné, mais ne l'est pas ici.

Remarque pédagogique : L'IPE 400 conduirait de son côté à 20,97 mm, soit un taux de 0,786. Il est plus confortable, mais il consomme quarante millimètres de hauteur libre alors même que c'est cette hauteur qui avait dicté le choix initial d'un profilé IPE.

Encadrement de la flèche due aux actions variables

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la vérification prescrite pour les éléments fragiles porte sur les actions postérieures à leur pose, et que l'énoncé ne fournit pas la répartition permettant de l'établir.

Méthodologie du calcul :

Les deux cas extrêmes compatibles avec l'énoncé sont calculés : le palan seul variable, puis tout ce qui n'est pas le poids propre du profilé.

Borne inférieure : Seule la charge du palan est variable, la totalité de la charge répartie étant permanente.
Borne supérieure : Tout est variable hormis le poids propre du profilé, soit \( 57{,}1 \times 9{,}81 = 560 \text{ N/m} \), ce qui laisse 11 440 N/m de charge répartie variable.

\[ \begin{aligned} f_{\text{inf}} &= f_{\text{P}} = 10{,}93 \text{ mm} \\ f_{\text{sup}} &= \frac{5 \times 11440 \times 8{,}00^4}{384 \times 3{,}4146 \times 10^{7}} + 0{,}01093 \text{ m} \\ &= 0{,}01787 + 0{,}01093 = 0{,}02880 \text{ m} \\ f_{\text{sup}} &= \mathbf{28{,}80} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La flèche due aux actions variables est comprise entre 10,93 et 28,80 mm. La limite suggérée pour une poutre portant un ouvrage fragile, soit 22,22 mm, se situe à l'intérieur de cet intervalle : la donnée manquante détermine à elle seule le verdict.

Ce que l'encadrement établit : Que la vérification prescrite pour les vitrages ne peut pas être conduite avec les données de l'énoncé. Ce n'est pas un défaut du calcul mais une insuffisance de la descente de charges.
La donnée à réclamer : La répartition de la charge de 12 kN/m entre part permanente et part variable, ainsi que le moment de pose des vitrages dans le phasage du chantier.

Remarque pédagogique : Il faut noter que le renforcement du profilé réduit cette flèche dans le même rapport que la flèche totale. Avec l'IPE O 360, l'encadrement deviendrait 9,34 à 24,60 mm : la limite de 22,22 mm y demeure comprise, et la conclusion reste inchangée.

PROFILÉS CANDIDATS FACE AUX LIMITES ET COÛT EN HAUTEUR DE PLANCHER

RÉSULTAT FINAL

\( I_{\text{req}} \) = 18 095 cm⁴

"Le critère contractuel exige 18 095 cm⁴ : l'IPE O 360 les fournit en ne coûtant que quatre millimètres de hauteur, là où l'IPE 400 en coûterait quarante."

SCHÉMA BILAN — SOMMIER FILE 4 : DÉFORMÉE ET VÉRIFICATION DE FLÈCHE

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

Je vérifie au catalogue la caractéristique employée, sans arrondir la valeur relevée. Je m'assure que le moment quadratique retenu correspond à l'axe réellement fléchi. J'établis les expressions de flèche par intégration plutôt que de les recopier. Je contrôle l'homogénéité avant de calculer : elle écarte seule l'erreur d'exposant. Je vérifie que les maximums coïncident avant d'additionner deux flèches. Je sais qu'aucun Eurocode ne fixe de limite de flèche : le critère est un choix de projet. Je vérifie que la limite et la flèche calculée portent sur la même grandeur. Je corrige la charge répartie du poids propre lorsque je change de profilé. Lorsqu'une donnée manque, je l'encadre et je dis ce que l'encadrement permet de conclure.

Le sommier IPE 360 de 8,00 m de portée présente une rigidité de flexion de 3,4146 × 10⁷ N·m². L'intégration de la relation moment-courbure fournit une flèche de 18,74 mm sous la charge répartie et de 10,93 mm sous le palan, dont le rapport, 1,714, coïncide exactement avec la valeur théorique indépendante de la rigidité. Les deux chargements étant symétriques, leurs maximums se produisent au même point et la somme est exacte : la flèche totale atteint 29,67 mm, contre une limite contractuelle de 26,67 mm. Le taux de travail s'élève à 1,112 et le critère du cahier des charges n'est pas satisfait. Le renversement de la condition de flèche fixe l'inertie requise à 18 095 cm⁴. L'IPE O 360, avec 19 040 cm⁴ pour 364 mm de hauteur, y satisfait en ne coûtant que quatre millimètres de hauteur de plancher, là où l'IPE 400 en coûterait quarante pour une masse identique. Vis-à-vis des vitrages en revanche, la vérification prescrite porte sur les actions postérieures à leur pose ; la répartition entre charges permanentes et variables n'étant pas fournie, cette flèche n'est qu'encadrée, entre 10,93 et 28,80 mm, intervalle qui contient la limite de 22,22 mm : la vérification correspondante reste à conduire.

Trois enseignements se dégagent de cette étude. Le premier porte sur le statut du critère. On lit et on entend que « l'Eurocode impose L/300 » ; c'est inexact. L'EN 1990 énonce que les critères d'aptitude au service doivent être spécifiés pour chaque projet et convenus avec le maître d'ouvrage, et l'EN 1993-1-1 y renvoie. Les valeurs que l'on rencontre sont suggérées, non prescrites. La conséquence est pratique : le choix engage la responsabilité de celui qui l'inscrit au marché, et il doit être justifié par ce qu'il protège. Le deuxième enseignement porte sur la grandeur comparée, et il est plus subtil. Une limite de flèche n'a de sens qu'associée à la déformation sur laquelle elle porte. Les valeurs suggérées pour les ouvrages fragiles portent sur les actions variables seules, parce qu'une cloison posée sous une poutre déjà fléchie ne subit jamais la part de déformation antérieure à sa pose. Ici, le cahier des charges impose une limite sur la flèche totale : elle est vérifiable et elle n'est pas tenue, ce qui suffit à refuser le profilé. Mais elle ne répond pas à la question posée par les vitrages, et les données manquantes empêchent d'y répondre — un constat qu'il vaut mieux formuler qu'escamoter. Le troisième enseignement porte sur le redimensionnement. Passer au profilé de la taille au-dessus est le réflexe habituel, et il fonctionne : l'IPE 400 ramène la flèche à 20,97 mm. Mais il coûte quarante millimètres de hauteur de plancher, alors que c'est précisément la hauteur libre qui avait conduit à retenir un profilé IPE. La série renforcée, à hauteur nominale inchangée, offre ici la même masse et l'inertie nécessaire pour quatre millimètres seulement. Établir l'inertie requise plutôt que d'essayer les profilés l'un après l'autre permet de voir cette solution, qu'un tâtonnement dans la seule série courante aurait manquée.

Exercices résistances des matériauxÉtape 23 sur 80

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