Exercice corrigé NF EN ISO 898-1 NF EN 1993-1-8 NF EN 1993-1-1 NF EN 10025-2 NF EN 10365

Calcul des Connexions Métalliques

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 1 août 2026• 102 min de lecture

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Étude de cas · Note de calculs Réf. EC3-CON-08

Vérification d'un assemblage boulonné par platine d'about

Solive IPE 240 sur poteau HEB 200, quatre boulons M16 classe 8.8 — six modes de ruine à examiner selon la NF EN 1993-1-8, et un chemin d'efforts qu'il faut établir avant de calculer quoi que ce soit.

NiveauBTS / DUT — 2ᵉ année

DomaineStructure métallique

ThèmeAssemblages boulonnés — attache articulée par platine d'about

PrérequisNotion d'état limite ultime · Coefficients partiels · Lecture d'un catalogue de profilés · Classes de boulonnerie · Distinction entre limite d'élasticité et résistance à la rupture

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Si les poutres et les poteaux forment le squelette d'une structure métallique, les assemblages en sont les articulations. Un assemblage sous-dimensionné ruine l'ouvrage entier, quelle que soit la générosité des profilés qu'il relie. Vous devez ici vérifier l'attache d'une solive sur un poteau, réalisée par une platine d'about soudée en bout de solive et boulonnée sur l'aile du poteau. La difficulté n'est pas dans les formules — elles tiennent en trois lignes — mais dans l'identification des pièces réellement sollicitées. Se tromper de pièce, c'est vérifier consciencieusement un mode de ruine qui n'existe pas.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments structurent cette étude. Le premier est de loin le plus important : c'est celui que l'on saute le plus souvent, et c'est celui qui décide de tout le reste.

Le chemin des efforts : L'effort part de la solive, transite par les cordons de soudure, traverse la platine, passe dans les boulons, puis dans l'aile du poteau. L'âme de la solive n'est pas percée : elle ne subit aucune pression diamétrale.
La chaîne et son maillon faible : Six modes de ruine sont possibles, et la résistance de l'assemblage est celle du plus faible. Aucun ne peut être écarté par intuition : c'est le calcul qui tranche, et l'ordre des résultats réserve des surprises.
Deux pièces, deux géométries : La platine possède un bord libre dans le sens de l'effort ; l'aile du poteau, continue, n'en a pas. Les coefficients de pression diamétrale y sont donc différents, alors même que le perçage est identique.
Un coefficient à surveiller : \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \) est la valeur recommandée par l'EN, retenue en France. Les guides britanniques donnent 1,10 : employer leur valeur ici majorerait toutes les résistances de 14 %.

Votre Mission :

Vous devez produire la note de vérification de l'assemblage à l'état limite ultime, en examinant tous les modes de ruine pertinents : cisaillement des boulons, pression diamétrale sur chacune des deux pièces percées, résistance propre de la platine, rupture de bloc, et cordons de soudure.

Le grand défi : Établir le chemin des efforts avant d'ouvrir la norme. Tant que vous ne savez pas quelle pièce est traversée par quel boulon, aucune formule de pression diamétrale n'a de sens.
Votre rôle : Calculer \( F_{\text{v},\text{Rd}} \), puis \( F_{\text{b},\text{Rd}} \) rangée par rangée sur la platine et sur l'aile du poteau, vérifier la platine et les cordons, et désigner le mode gouvernant par un tableau de taux de travail.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Le chemin des efforts composant par composant, et la liste des pièces réellement percées qui en découle.
La résistance des boulons au cisaillement et le contrôle du critère de joint long de l'art. 3.8.
La pression diamétrale sur la platine et sur l'aile du poteau, calculée rangée par rangée et non par une règle unique.
La résistance propre de la platine — section brute, section nette et rupture de bloc — et la vérification des cordons de soudure.
Un tableau des six taux de travail désignant le mode gouvernant et la capacité réelle de l'attache.

2. Données Techniques & Normes

Toutes les grandeurs de l'étude sont rassemblées ci-dessous. Un point mérite votre attention immédiate : la platine d'about figure ici avec ses dimensions complètes. C'est elle, et non l'âme de la solive, qui subit la pression des boulons — la note en bas d'encadré explique pourquoi cette distinction décide de tout le reste.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Voici les outils mathématiques de cet exercice, dans l'ordre où vous en aurez besoin. Ne les apprenez pas par cœur : comprenez ce que chacun exprime physiquement, la formule se retrouve alors toute seule.

Cisaillement d'un boulon \( F_{\text{v},\text{Rd}} = \dfrac{\alpha_{\text{v}} f_{\text{ub}} A_{\text{s}}}{\gamma_{\text{M2}}} \)
Pression diamétrale \( F_{\text{b},\text{Rd}} = \dfrac{k_1 \alpha_{\text{b}} f_{\text{u}} d t}{\gamma_{\text{M2}}} \)
Coefficient longitudinal, boulon d'extrémité \( \alpha_{\text{d}} = \dfrac{e_1}{3 d_0} \)
Coefficient longitudinal, boulon intérieur \( \alpha_{\text{d}} = \dfrac{p_1}{3 d_0} - \dfrac{1}{4} \)
Coefficient transversal \( k_1 = \min\left(2{,}8\dfrac{e_2}{d_0} - 1{,}7 \ ; \ 2{,}5\right) \)
Section brute de la platine en cisaillement \( V_{\text{Rd},\text{g}} = \dfrac{2 h_{\text{p}} t_{\text{p}} f_{\text{y}}}{1{,}27 \sqrt{3} \gamma_{\text{M0}}} \)
Rupture de bloc \( V_{\text{Rd},\text{b}} = 2\left(\dfrac{f_{\text{u}} A_{\text{nt}}}{\gamma_{\text{M2}}} + \dfrac{f_{\text{y}} A_{\text{nv}}}{\sqrt{3} \gamma_{\text{M0}}}\right) \)
Cordon d'angle, méthode simplifiée \( F_{\text{w},\text{Rd}} = f_{\text{vw},\text{d}} \, a \, L_{\text{w}} \)
Critère général \( \dfrac{F_{\text{Ed}}}{F_{\text{Rd}}} \le 1{,}0 \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PIÈCES ASSEMBLÉES ET BOULONNERIE

Symbole	Description	Valeur	Unité
Solive	Poutre secondaire, âme non percée NF EN 10365	IPE 240	—
\( t_{\text{w}} \)	Épaisseur d'âme de la solive — sert à la soudure, pas à la pression diamétrale NF EN 10365	6,2	\( \text{mm} \)
Poteau	Élément porteur, boulons dans l'aile NF EN 10365	HEB 200	—
\( t_{\text{f}} \)	Épaisseur d'aile du poteau — pièce percée n° 2 NF EN 10365	15,0	\( \text{mm} \)
\( b_{\text{c}} \)	Largeur d'aile du poteau — fixe la pince \( e_2 \) côté poteau NF EN 10365	200	\( \text{mm} \)
Platine	Platine d'about soudée à la solive — pièce percée n° 1	170 × 150 × 10	\( \text{mm} \)
\( f_{\text{y}} \)	Limite d'élasticité de l'acier S235, \( t \le 16\ \text{mm} \) NF EN 10025-2	235	\( \text{MPa} \)
\( f_{\text{u}} \)	Résistance à la rupture de l'acier S235 NF EN 10025-2	360	\( \text{MPa} \)

Boulonnerie et repères à retenir

Boulons : \( 4 \times \text{M16 classe 8.8, simple cisaillement} \)
Section resistante : \( A_{\text{s}} = \mathbf{157} \ \text{mm}^2 \)
Resistance du boulon : \( f_{\text{ub}} = \mathbf{800} \ \text{MPa} \)
Diametre de percage : \( d_0 = 16 + 2 = \mathbf{18} \ \text{mm} \)

SOLLICITATION, GÉOMÉTRIE ET COEFFICIENTS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( V_{\text{Ed}} \)	Effort tranchant de calcul à l'ELU transmis par la solive NF EN 1990, art. 6.4.3.2	150	\( \text{kN} \)
\( e_1 \)	Pince longitudinale sur la platine, du bord à l'axe du boulon — dans le sens de l'effort NF EN 1993-1-8, tab. 3.3	30	\( \text{mm} \)
\( e_2 \)	Pince transversale sur la platine NF EN 1993-1-8, tab. 3.3	40	\( \text{mm} \)
\( p_1 \)	Entraxe longitudinal entre les deux rangées NF EN 1993-1-8, tab. 3.3	110	\( \text{mm} \)
\( p_2 \)	Entraxe transversal entre les deux files NF EN 1993-1-8, tab. 3.3	70	\( \text{mm} \)
\( a \)	Gorge des deux cordons d'angle platine-âme NF EN 1993-1-8, art. 4.5.2	4,0	\( \text{mm} \)
\( \gamma_{\text{M2}} \)	Coefficient partiel — résistance des assemblages et des sections nettes NF EN 1993-1-8, tab. 2.1	1,25	—
\( \gamma_{\text{M0}} \)	Coefficient partiel — résistance des sections brutes NF EN 1993-1-1, art. 6.1	1,00	—

Hypothèses de modélisation à ne pas perdre de vue

Attache : \( \text{articulee : aucun moment transmis} \)
Plan de cisaillement : \( \text{dans la partie filetee, cas defavorable} \)
Repartition : \( \text{effort suppose egal sur les quatre boulons} \)
Boulonnerie : \( \text{non precontrainte, categorie A} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Le tableau ci-dessous rassemble les caractéristiques normalisées de la boulonnerie et les limites géométriques du tableau 3.3 de la NF EN 1993-1-8. Ces limites ne sont pas décoratives : elles conditionnent la validité des formules de pression diamétrale employées ensuite.

Boulonnerie M16 classe 8.8 et limites géométriques — NF EN ISO 898-1 et NF EN 1993-1-8 tab. 3.3

Grandeur et provenance	Valeur retenue et contrôle
Section résistante \( A_{\text{s}} \) d'un M16 — NF EN ISO 898-1	157 \( \text{mm}^2 \) · section nominale \( \pi d^2/4 = 201 \) \( \text{mm}^2 \), à ne pas employer
Résistance à la rupture \( f_{\text{ub}} \), classe 8.8	800 \( \text{MPa} \) · limite d'élasticité \( f_{\text{yb}} = 0{,}8 \times 800 = 640 \) \( \text{MPa} \)
Coefficient \( \alpha_{\text{v}} \), classes 4.6, 5.6 et 8.8 — tab. 3.4	0,60 · il tombe à 0,50 pour les classes 4.8, 5.8, 6.8 et 10.9
Pince minimale \( e_1 \ge 1{,}2\,d_0 \)	21,6 \( \text{mm} \) · retenu 30 mm, marge de 39 %
Pince minimale \( e_2 \ge 1{,}2\,d_0 \)	21,6 \( \text{mm} \) · retenu 40 mm, marge de 85 %
Entraxe minimal \( p_1 \ge 2{,}2\,d_0 \)	39,6 \( \text{mm} \) · retenu 110 mm, marge de 178 %
Entraxe minimal \( p_2 \ge 2{,}4\,d_0 \)	43,2 \( \text{mm} \) · retenu 70 mm, marge de 62 %
Entraxes maximaux \( p_1, p_2 \le \min(14\,t \ ; \ 200) \)	140 \( \text{mm} \) pour \( t = 10 \) mm · les deux entraxes respectent la borne
Joint long si \( L_{\text{j}} \gt 15\,d \) — art. 3.8	240 \( \text{mm} \) · ici \( L_{\text{j}} = p_1 = 110 \) mm, aucune réduction

Trois réserves à connaître avant de calculer

L'âme de la solive n'est pas percée. La platine est soudée en bout de solive et boulonnée sur l'aile du poteau : les seules pièces traversées par les boulons sont donc la platine et l'aile du poteau. Vérifier une pression diamétrale dans l'âme de l'IPE 240 revient à examiner un mode de ruine qui n'existe pas dans cet assemblage. C'est la confusion la plus fréquente sur ce type d'attache, et elle vient d'une analogie hâtive avec les attaches par gousset ou par cornières, où l'âme de la poutre est effectivement percée. Le réflexe à prendre est simple : suivre l'effort pièce par pièce avant d'ouvrir la norme.

Le coefficient \( \gamma_{\text{M2}} \) est un paramètre national. La valeur 1,25 retenue ici est celle que recommande l'EN et qu'applique la France. Les guides du SCI britannique — dont le P362 — emploient 1,10, valeur de leur annexe nationale. L'écart n'est pas anodin : toutes les résistances de cet exercice seraient majorées de 14 % avec la valeur britannique. Vérifiez toujours l'annexe nationale dont relève le document que vous consultez.

La platine d'about ne transmet ici que de l'effort tranchant. L'attache est supposée articulée, hypothèse licite pour une platine partielle de faible hauteur. Une platine débordante, montant sur toute la hauteur de la solive, transmettrait un moment non négligeable et relèverait alors des assemblages par tronçons en T de l'art. 6.2.4 — un calcul d'une tout autre ampleur.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche suit le chemin des efforts, boulons d'abord puis pièces assemblées, et se termine par la synthèse qui désigne le maillon faible. Chaque question produit un taux de travail, et c'est leur comparaison finale qui constitue la véritable conclusion de la note.

Question 1 : Résistance des boulons au cisaillement

Eurocode 3 — assemblages 20 min | Accessible

But de l'étape : Établir la résistance du groupe de boulons au cisaillement et vérifier au passage que l'attache n'est pas un joint long, ce qui imposerait une réduction.

Énoncé Q1 : Calculer la résistance au cisaillement d'un boulon M16 de classe 8.8, en justifiant le choix de la section et celui du coefficient \( \alpha_{\text{v}} \). En déduire la résistance du groupe de quatre boulons, après avoir vérifié que l'art. 3.8 sur les joints longs n'impose aucune réduction.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

On retient la section résistante \( A_{\text{s}} \) et non la section nominale : le plan de cisaillement est supposé passer par la partie filetée, cas défavorable qu'on ne peut pas garantir absent en pratique.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Un joint est dit long au sens de l'art. 3.8 lorsque la distance entre fixations extrêmes dépasse \( 15\,d \), soit 240 mm pour un M16. Comparez-y l'entraxe \( p_1 \).

Question 2 : Pression diamétrale sur les deux pièces percées

Eurocode 3 — assemblages 35 min | Intermédiaire

But de l'étape : Vérifier la pression diamétrale sur la platine puis sur l'aile du poteau, en traitant chaque rangée selon sa position réelle et non par une règle unique.

Énoncé Q2 : Identifier d'abord les pièces réellement traversées par les boulons. Calculer ensuite \( F_{\text{b},\text{Rd}} \) sur la platine en distinguant la rangée d'extrémité de la rangée intérieure, puis reprendre le calcul sur l'aile du poteau avec ses distances aux bords. Conclure sur le groupe en citant l'art. 3.7.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le tableau 3.4 donne deux expressions alternatives de \( \alpha_{\text{d}} \) : \( e_1/(3d_0) \) pour un boulon d'extrémité, \( p_1/(3d_0) - 1/4 \) pour un boulon intérieur. Ce ne sont pas deux termes d'un même minimum.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'aile du poteau est continue dans le sens de l'effort : elle n'a pas de bord libre, donc pas de pince \( e_1 \). Et sa largeur de 200 mm ne donne pas la même pince transversale que la platine.

Question 3 : Résistance propre de la platine et rupture de bloc

Eurocode 3 — sections nettes 35 min | Difficile

But de l'étape : Vérifier la platine en tant que pièce, indépendamment de la pression exercée par les boulons : trois modes distincts s'y appliquent.

Énoncé Q3 : Vérifier la platine en cisaillement de section brute, en cisaillement de section nette, puis en rupture de bloc selon l'art. 3.10.2. Retenir le plus défavorable des trois et expliquer la géométrie du bloc qui se détache.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le coefficient 1,27 qui apparaît au dénominateur du mode de section brute n'est pas une marge arbitraire : il couvre la flexion concomitante de la platine, sollicitée hors de son plan par l'excentrement de l'effort.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La rupture de bloc combine deux surfaces de nature différente : une aire tendue, qui travaille à \( f_{\text{u}} \), et une aire cisaillée, qui travaille à \( f_{\text{y}}/\sqrt{3} \). Les coefficients partiels associés ne sont pas les mêmes.

Question 4 (Finale) : Cordons de soudure et synthèse des modes de ruine

Eurocode 3 — soudures 30 min | BOSS

But de l'étape : Fermer le chemin des efforts en vérifiant les cordons, puis désigner le mode gouvernant par un tableau complet des taux de travail.

Énoncé Q4 : Vérifier les deux cordons d'angle reliant la platine à l'âme de la solive par la méthode simplifiée de l'art. 4.5.3.3, après avoir contrôlé que la gorge respecte les limites de l'art. 4.5.2. Dresser enfin le tableau des six taux de travail et conclure sur la validité de l'assemblage et sur son maillon faible.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le coefficient de corrélation \( \beta_{\text{w}} \) vaut 0,80 pour l'acier S235. Il croît avec la nuance — 0,85 en S275, 0,90 en S355 — ce qui rend les cordons proportionnellement moins efficaces sur acier à haute limite d'élasticité.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Pensez à recouper : l'âme de la solive elle-même doit pouvoir transmettre les 150 kN. Son aire de cisaillement vaut 19,15 cm² — un contrôle gratuit qui vous dira si l'assemblage est cohérent avec la poutre qu'il relie.

NOTE DE CALCULS

Vérification d'un assemblage boulonné par platine d'about

Question 1 : Résistance des boulons au cisaillement

Dans la tête de l'ingénieur

"Je commence par les boulons, parce qu'ils sont le premier maillon que l'on identifie et le plus simple à quantifier. Trois grandeurs suffisent : la classe de l'acier, la section à retenir, et le coefficient partiel. Deux pièges m'attendent tout de même. Le premier est classique : employer la section nominale du boulon au lieu de sa section résistante au filetage, ce qui gonflerait la capacité de 28 %. Le second est plus discret : la norme impose une réduction sur les joints longs, et l'on n'y pense qu'après coup. Je vais donc vérifier ce point avant de sommer quoi que ce soit, plutôt que de découvrir en fin de calcul qu'il fallait tout reprendre."

Observation : Quatre boulons M16 pour 150 kN, soit 37,5 kN par boulon si l'effort se répartit également. C'est un ordre de grandeur courant pour de la boulonnerie de classe 8.8 en simple cisaillement.
Analyse du risque : Le risque n'est pas dans la formule mais dans ses entrées : une section prise au diamètre nominal, un \( \alpha_{\text{v}} \) de 0,5 au lieu de 0,6, ou un \( \gamma_{\text{M2}} \) britannique à 1,10 changeraient le résultat de 14 à 28 %.
Choix stratégique : Retenir systématiquement la section résistante \( A_{\text{s}} \) et supposer le plan de cisaillement dans le filetage. C'est l'hypothèse défavorable, et c'est la seule qu'on puisse garantir sur un chantier.
Alternative : Des boulons précontraints de catégorie B ou C transmettraient l'effort par frottement et non par contact. Plus performants sous charges alternées, mais bien plus coûteux à mettre en œuvre et à contrôler.
Objectif visé : Obtenir le premier des six taux de travail et disposer de \( F_{\text{v},\text{Rd}} \), qui servira ensuite à trancher la règle de groupe de l'art. 3.7.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( F_{\text{v},\text{Rd}} = 60{,}29\ \text{kN} \) par boulon, 241,2 kN pour le groupe, taux 0,622

Rappel Théorique : Le cisaillement d'un boulon et la règle des joints longs

Un boulon sollicité perpendiculairement à son axe travaille en cisaillement : la tige tend à être tranchée dans le plan de contact des pièces assemblées. La résistance dépend de la nuance du boulon et de la section réellement offerte dans ce plan.

Ce que dit la classe : Le premier chiffre multiplié par 100 donne la résistance à la rupture en MPa : 800 pour une classe 8.8, 1 000 pour une 10.9. Le second chiffre, divisé par 10, donne le rapport \( f_{\text{yb}}/f_{\text{ub}} \) : une 8.8 plastifie donc à \( 0{,}8 \times 800 = 640\ \text{MPa} \).
Section résistante contre section nominale : La section nominale d'un M16 vaut \( \pi \times 16^2/4 = 201\ \text{mm}^2 \), mais le filetage réduit la section utile à 157 mm². L'écart de 28 % joue toujours du mauvais côté : c'est l'erreur la plus fréquente sur ce calcul.
Le coefficient \( \alpha_{\text{v}} \) : Il vaut 0,60 pour les classes 4.6, 5.6 et 8.8, et tombe à 0,50 pour les classes 4.8, 5.8, 6.8 et 10.9. Il traduit le fait que les aciers les plus durs sont proportionnellement moins ductiles et supportent moins bien la redistribution des contraintes dans le plan cisaillé.
Simple ou double cisaillement : La formule donne la résistance par plan de cisaillement. Un boulon pris en sandwich entre trois plaques travaille sur deux plans et voit sa résistance doublée. Ici, platine contre aile de poteau : un seul plan.
La règle des joints longs : Au-delà d'une distance \( L_{\text{j}} \gt 15\,d \) entre fixations extrêmes, l'effort ne se répartit plus également : les boulons d'extrémité se chargent davantage. L'art. 3.8 impose alors un facteur \( \beta_{\text{Lf}} = 1 - (L_{\text{j}} - 15d)/(200d) \), qui peut retirer jusqu'à 25 % de la capacité.

Équations Fondamentales

Trois relations sont mobilisées : la résistance d'un boulon isolé, celle du groupe, et le critère des joints longs qui conditionne la seconde.

Résistance au cisaillement d'un boulon — EN 1993-1-8 tableau 3.4 :

Elle donne la capacité d'une fixation dans un plan de cisaillement.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le boulon est le composant qui transmet l'effort d'une pièce à l'autre. Sa rupture par cisaillement est brutale et sans avertissement, contrairement à l'écrasement d'une plaque qui se voit venir.

Contexte de validité : Boulonnerie non précontrainte de catégorie A, un seul plan de cisaillement, effort perpendiculaire à l'axe. Une traction concomitante imposerait la vérification d'interaction de l'art. 3.6.1(4).
Avantage : Elle ne dépend que de la boulonnerie et pas des pièces assemblées : le même boulon offre la même résistance quelles que soient les plaques qu'il traverse.
Paramètre clé : La section résistante \( A_{\text{s}} \), tabulée par la NF EN ISO 898-1. Elle intègre l'affaiblissement dû au filetage et ne se calcule pas au diamètre nominal.
Vérification : Pour un M16 de classe 8.8 avec \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \), la résistance vaut toujours 60,3 kN par plan. Ce repère mémorisable permet un contrôle immédiat.
Limite : Elle suppose une répartition égale de l'effort entre fixations. Cette hypothèse tombe sur les joints longs, où l'art. 3.8 impose un facteur réducteur.

\[ \begin{aligned} F_{\text{v},\text{Rd}} = \frac{\alpha_{\text{v}} \, f_{\text{ub}} \, A_{\text{s}}}{\gamma_{\text{M2}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'expression décrit le tranchage de la tige du boulon dans le plan de glissement des deux pièces. Le produit \( f_{\text{ub}} A_{\text{s}} \) représente la capacité en traction pure de la section filetée ; le coefficient \( \alpha_{\text{v}} = 0{,}6 \) traduit le fait que l'acier résiste nettement moins bien au glissement qu'à l'étirement. On retrouve là le même phénomène que le \( 1/\sqrt{3} \approx 0{,}577 \) du critère de von Mises, à ceci près que \( \alpha_{\text{v}} \) est une valeur calée sur essais plutôt que déduite d'un critère théorique : elle intègre aussi la flexion parasite de la tige et l'inévitable jeu dans les trous. C'est pourquoi elle vaut 0,6 et non 0,577, et pourquoi elle chute à 0,5 pour les classes les plus dures, moins tolérantes à ces effets secondaires.

Décomposition des termes :

\( F_{\text{v},\text{Rd}} \) : résistance de calcul au cisaillement, par plan, unité : \( \text{N} \)
\( \alpha_{\text{v}} \) : coefficient dépendant de la classe de boulonnerie, unité : sans dimension
\( f_{\text{ub}} \) : résistance à la rupture de l'acier du boulon, unité : \( \text{MPa} \)
\( A_{\text{s}} \) : section résistante de la partie filetée, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( \gamma_{\text{M2}} \) : coefficient partiel de résistance des assemblages, unité : sans dimension

Résistance d'un groupe de fixations en cisaillement :

Elle cumule les capacités individuelles pour obtenir celle de l'attache.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un assemblage comporte plusieurs boulons et que l'effort à transmettre est global. Encore faut-il que la répartition égale supposée par la somme soit légitime.

Contexte de validité : Fixations identiques, chargées dans le même plan, et joint non long au sens de l'art. 3.8. Des boulons de diamètres différents dans une même attache interdiraient cette sommation.
Avantage : Elle rend la capacité proportionnelle au nombre de fixations, ce qui permet de dimensionner l'attache par simple division de l'effort par la résistance unitaire.
Paramètre clé : Le nombre \( n \) de boulons, qu'il faut compter par plan de cisaillement et non par tige. Quatre boulons en double cisaillement offriraient huit plans.
Vérification : Le rapport \( V_{\text{Ed}}/n \) donne l'effort par boulon, ici 37,5 kN. Il doit rester inférieur à \( F_{\text{v},\text{Rd}} \) : le contrôle se fait aussi bien boulon par boulon que globalement.
Limite : La répartition égale est une idéalisation. En réalité, les jeux de perçage font que les boulons ne se chargent pas simultanément ; on compte sur la ductilité pour égaliser.

\[ \begin{aligned} F_{\text{v},\text{Rd},\text{groupe}} = n \, F_{\text{v},\text{Rd}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Cette sommation repose sur une propriété essentielle de l'acier : sa ductilité. Les trous étant percés 2 mm plus grands que les boulons, ceux-ci n'entrent jamais en contact tous en même temps ; le premier engagé se charge, se déforme légèrement, et transmet le relais au suivant. Sur une attache courte, ce mécanisme d'égalisation progressive est assez efficace pour que l'hypothèse de répartition uniforme soit vérifiée à la ruine. Sur une attache longue en revanche, l'allongement cumulé des plaques entre fixations devient tel que les boulons d'extrémité atteignent leur limite avant que ceux du milieu ne soient pleinement engagés : c'est exactement ce que corrige le facteur \( \beta_{\text{Lf}} \) de l'art. 3.8.

Décomposition des termes :

\( F_{\text{v},\text{Rd},\text{groupe}} \) : résistance au cisaillement du groupe de boulons, unité : \( \text{kN} \)
\( n \) : nombre de plans de cisaillement mobilisés, unité : sans dimension
\( F_{\text{v},\text{Rd}} \) : résistance de calcul d'un boulon, par plan, unité : \( \text{kN} \)

Critère des joints longs — EN 1993-1-8 art. 3.8 :

Il indique si la sommation des résistances individuelles reste légitime.

Pourquoi cette formule ?

Parce que sur une attache étendue, l'effort ne se répartit plus également et que la simple somme surestimerait la capacité de l'assemblage, jusqu'à 25 %.

Contexte de validité : \( L_{\text{j}} \) se mesure entre les axes des fixations extrêmes, dans la direction de l'effort. Les fixations perpendiculaires à l'effort ne sont pas concernées.
Avantage : Le critère est binaire et se vérifie d'un coup d'œil : \( 15\,d \) vaut 240 mm pour un M16 et 300 mm pour un M20.
Paramètre clé : Le diamètre nominal \( d \) du boulon, et non le diamètre de perçage \( d_0 \). La confusion est fréquente et fausserait le seuil de 12 %.
Vérification : Ici \( L_{\text{j}} = p_1 = 110\ \text{mm} \), très inférieur à 240 : la marge est telle qu'aucune imprécision ne saurait inverser la conclusion.
Limite : Le critère ne s'applique ni aux assemblages précontraints de catégorie C, ni lorsque l'effort se distribue proportionnellement à la distance au centre de rotation.

\[ \begin{aligned} L_{\text{j}} \le 15 \, d \quad \Rightarrow \quad \beta_{\text{Lf}} = 1{,}0 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le phénomène est celui d'un défilement progressif de la charge le long de l'attache. Imaginez deux plaques qui glissent l'une sur l'autre : chacune s'allonge sous l'effort qu'elle transmet, mais cet effort décroît le long de l'attache à mesure qu'il passe dans les boulons. Les deux plaques s'allongent donc de façon inégale, et cet écart de déformation se concentre aux extrémités du joint. Sur une attache courte, l'écart reste absorbable par le jeu des trous et la ductilité de l'acier. Au-delà de \( 15\,d \), il devient tel que les boulons extrêmes atteignent leur capacité alors que ceux du centre travaillent encore à moitié : la ruine survient en fermeture éclair, boulon après boulon, à un effort global inférieur à la somme des capacités.

Décomposition des termes :

\( L_{\text{j}} \) : distance entre axes des fixations extrêmes, sens de l'effort, unité : \( \text{mm} \)
\( d \) : diamètre nominal du boulon, unité : \( \text{mm} \)
\( \beta_{\text{Lf}} \) : facteur réducteur de joint long, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants calculent la section du boulon au diamètre nominal — \( \pi d^2/4 = 201\ \text{mm}^2 \) pour un M16…"

L'approche d'ingénieur : Le calcul paraît naturel et le résultat semble raisonnable. Il surestime pourtant la résistance de 28 %, et l'erreur va toujours dans le sens défavorable à la sécurité.

L'erreur : Employer \( A = 201\ \text{mm}^2 \) au lieu de \( A_{\text{s}} = 157\ \text{mm}^2 \). La résistance passerait de 60,3 à 77,2 kN par boulon, et le taux de travail afficherait 0,49 au lieu de 0,62.
La bonne méthode : Retenir la section résistante tabulée par la NF EN ISO 898-1, qui tient compte du creux du filetage. Elle vaut 84,3 mm² pour un M12, 157 pour un M16, 245 pour un M20 et 353 pour un M24.
L'astuce de pro : Retenez le rapport : \( A_{\text{s}} \approx \mathbf{0{,}78\,A} \) pour toute la gamme métrique courante. Si votre section résistante ne vaut pas environ 78 % de la section nominale, vous vous êtes trompé de colonne.
Le moyen mnémotechnique : « Le boulon casse là où il est creux. » Le filetage enlève de la matière, et c'est cette section réduite qui décide — pas le diamètre qu'on lit sur la tête.
L'impact direct : Sur cet assemblage, l'erreur ferait croire à une réserve de 51 % là où elle n'est que de 38 %. Sur une attache plus tendue, elle suffirait à valider un assemblage insuffisant — avec une ruine par cisaillement, c'est-à-dire sans avertissement.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Résistance du boulon : \( f_{\text{ub}} = 800\ \text{MPa} = \mathbf{800\ \text{N}/\text{mm}^2} \) — les MPa sont des newtons par millimètre carré.
Section résistante : \( 157\ \text{mm}^2 \), directement compatible avec les MPa sans aucune conversion.
Produit \( \alpha_{\text{v}} f_{\text{ub}} A_{\text{s}} \) : en newtons, à diviser par 1 000 pour obtenir des kilonewtons.
Effort appliqué : \( V_{\text{Ed}} = 150\ \text{kN} = \mathbf{150\,000\ \text{N}} \) — à harmoniser avant toute comparaison.
Longueur de joint et diamètre : tous deux en millimètres, leur rapport est sans dimension.

Trois étapes s'enchaînent : la résistance d'un boulon, le contrôle du critère de joint long, puis la résistance du groupe et son taux de travail. La deuxième conditionne la validité de la troisième.

1. Résolution Numérique Résistance au cisaillement d'un boulon M16 classe 8.8

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la capacité élémentaire dont tout le reste découle : la résistance du groupe, et la règle de sommation de la pression diamétrale en question 2.

Méthodologie du calcul :

On applique le tableau 3.4 avec la section résistante du filetage, le coefficient \( \alpha_{\text{v}} \) propre à la classe 8.8 et le coefficient partiel français, en travaillant intégralement en newtons et millimètres.

Substitution : On injecte \( \alpha_{\text{v}} = 0{,}60 \), \( f_{\text{ub}} = 800\ \text{MPa} \), \( A_{\text{s}} = 157\ \text{mm}^2 \) et \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \).
Piège évité : Employer \( A_{\text{s}} = 157 \) et non la section nominale de 201 mm². L'écart de 28 % joue entièrement contre la sécurité.
Hypothèse validée : Le plan de cisaillement est supposé passer par la partie filetée, cas défavorable. Sur chantier, rien ne garantit que le filetage reste hors du plan de contact.
Vérification croisée : \( 0{,}6 \times 800 = 480\ \text{MPa} \) : c'est la contrainte de cisaillement admissible avant coefficient partiel. Multipliée par 157 mm², elle donne bien 75,4 kN.
Finalité : Disposer de \( F_{\text{v},\text{Rd}} \), qui servira à la fois au taux de travail de cette question et à la règle de groupe de la question 2.

\[ \begin{aligned} F_{\text{v},\text{Rd}} &= \frac{\alpha_{\text{v}} \, f_{\text{ub}} \, A_{\text{s}}}{\gamma_{\text{M2}}} \\ &= \frac{0{,}60 \times 800 \times 157}{1{,}25} \\ &= \frac{75\,360}{1{,}25} \\ &= 60\,288 \ \text{N} = \mathbf{60{,}29} \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Chaque boulon peut transmettre 60,29 kN dans son unique plan de cisaillement. C'est une valeur de référence pour la boulonnerie M16 de classe 8.8 en France, qu'il vaut la peine de mémoriser.

Ordre de grandeur : 60,3 kN pour un M16 : cohérent avec les valeurs de catalogue. Un M20 donnerait 94,1 kN et un M24, 135,6 kN, dans les mêmes conditions.
Impact sur la suite : Cette valeur servira de seuil de comparaison pour la règle de l'art. 3.7 : si chaque \( F_{\text{b},\text{Rd}} \) la dépasse, les résistances de pression diamétrale pourront être sommées.
Cohérence : La contrainte moyenne dans la section filetée vaut \( 60\,288/157 = 384\ \text{MPa} \), soit 48 % de \( f_{\text{ub}} \). C'est l'effet cumulé de \( \alpha_{\text{v}} \) et de \( \gamma_{\text{M2}} \).
Attention : Avec \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}10 \), valeur de l'annexe nationale britannique, on obtiendrait 68,5 kN. Les guides du SCI emploient cette valeur : elle n'est pas transposable en France.
Comparaison : En classe 10.9, \( f_{\text{ub}} \) passerait à 1 000 MPa mais \( \alpha_{\text{v}} \) tomberait à 0,50. Le gain net ne serait que de 4 % — bien moins que ce que l'on imagine.

Remarque pédagogique : Le rapprochement entre la classe 8.8 et la classe 10.9 mérite qu'on s'y arrête, car il est contre-intuitif. Passer d'une classe à l'autre augmente \( f_{\text{ub}} \) de 25 %, mais fait chuter \( \alpha_{\text{v}} \) de 0,60 à 0,50, soit −17 %. Le gain net en cisaillement n'est que de 4 %, alors que le prix de la boulonnerie, lui, augmente nettement. La classe 10.9 ne se justifie donc pas pour du cisaillement pur : elle prend tout son sens en traction, où \( \alpha_{\text{v}} \) n'intervient pas et où le gain est de 25 % plein, ou en précontrainte, où la force de serrage conditionne le frottement. Choisir une classe de boulonnerie, c'est donc d'abord savoir comment le boulon travaille.

Contrôle du critère de joint long

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la sommation des résistances individuelles n'est légitime que si l'effort se répartit également, ce que l'art. 3.8 conditionne à une longueur d'attache limitée.

Méthodologie du calcul :

On mesure la distance entre les axes des fixations extrêmes dans le sens de l'effort, puis on la compare au seuil de quinze diamètres nominaux.

Substitution : L'effort étant vertical, la distance entre fixations extrêmes vaut l'entraxe \( p_1 = 110\ \text{mm} \), et le seuil vaut \( 15 \times 16 = 240\ \text{mm} \).
Piège évité : Le seuil se calcule sur le diamètre nominal \( d = 16 \) et non sur le diamètre de perçage \( d_0 = 18 \), qui donnerait 270 mm.
Hypothèse validée : L'effort est parallèle à la file de boulons : c'est bien \( p_1 \) qui définit la longueur du joint, et non l'entraxe transversal \( p_2 \).
Vérification croisée : Avec deux rangées seulement, un joint long est pratiquement impossible : il faudrait un entraxe de plus de 240 mm, très au-delà du maximum de 140 mm que fixe le tableau 3.3.
Finalité : Établir que \( \beta_{\text{Lf}} = 1{,}0 \) et que la résistance du groupe s'obtient par simple multiplication.

\[ \begin{aligned} L_{\text{j}} &= p_1 = 110 \ \text{mm} \\ &\quad 15 \, d = 15 \times 16 = 240 \ \text{mm} \\ &\quad 110 : \ \lt \ 240 \ \Rightarrow \ \beta_{\text{Lf}} = \mathbf{1{,}0} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La longueur du joint ne représente que 46 % du seuil. Aucune réduction ne s'applique, et les résistances individuelles peuvent être cumulées sans correction.

Ordre de grandeur : 110 mm contre 240 : la marge est de 54 %. Ce résultat est attendu sur une attache à deux rangées, où la longueur reste par construction modeste.
Impact sur la suite : La résistance du groupe s'obtient par simple multiplication par quatre, sans facteur correctif.
Cohérence : Le tableau 3.3 limite \( p_1 \) à \( \min(14t\ ;\ 200) = 140\ \text{mm} \) pour une platine de 10 mm : un joint long serait ici géométriquement impossible.
Attention : Le critère redevient déterminant sur les éclisses de treillis ou les attaches de contreventement, qui alignent couramment six à dix boulons sur plus de 400 mm.
Comparaison : Avec \( L_{\text{j}} = 400\ \text{mm} \), on obtiendrait \( \beta_{\text{Lf}} = 1 - (400-240)/3\,200 = 0{,}95 \), soit 5 % de capacité en moins sur tout le groupe.

Remarque pédagogique : Cette vérification prend trois lignes et se solde par un résultat évident : c'est précisément pour cela qu'elle est presque toujours omise. Or elle a une vertu que l'on sous-estime — elle documente une hypothèse. Un contrôleur qui reprend votre note et n'y trouve pas le critère de joint long ne peut pas savoir si vous l'avez jugé sans objet ou si vous l'ignoriez. Il devra le refaire. Sur une attache à deux rangées, le coût de cette omission est nul ; sur une éclisse de membrure de treillis, où huit boulons s'alignent sur 500 mm, elle vaut 6 % de capacité et peut faire basculer la conclusion.

Résistance du groupe et taux de travail

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la vérification porte sur l'effort global de 150 kN transmis par l'attache, et non sur la capacité d'un boulon isolé.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la résistance unitaire par le nombre de plans de cisaillement, puis on forme le rapport avec l'effort tranchant de calcul.

Substitution : On injecte \( n = 4 \) plans — quatre boulons en simple cisaillement — et \( F_{\text{v},\text{Rd}} = 60{,}29\ \text{kN} \), puis \( V_{\text{Ed}} = 150\ \text{kN} \).
Piège évité : Compter les plans de cisaillement et non les tiges. Ici un seul plan par boulon, la platine étant appliquée contre l'aile du poteau.
Hypothèse validée : Le joint n'étant pas long, la répartition égale de l'effort est acquise et \( \beta_{\text{Lf}} = 1{,}0 \).
Vérification croisée : L'effort par boulon vaut \( 150/4 = 37{,}5\ \text{kN} \), soit \( 37{,}5/60{,}29 = 0{,}622 \) : on retrouve exactement le taux global.
Finalité : Obtenir le premier des six taux de travail qui composeront le tableau de synthèse de la question 4.

\[ \begin{aligned} F_{\text{v},\text{Rd},\text{groupe}} &= n \, F_{\text{v},\text{Rd}} \\ &= 4 \times 60{,}29 \\ &= 241{,}2 \ \text{kN} \\ &\quad \frac{V_{\text{Ed}}}{F_{\text{v},\text{Rd},\text{groupe}}} = \frac{150}{241{,}2} = \mathbf{0{,}622} \ \le \ 1{,}0 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les boulons travaillent à 62,2 % de leur capacité. La vérification est satisfaite avec une réserve de 38 %, ce qui correspond à un dimensionnement raisonnable pour de la boulonnerie courante.

Ordre de grandeur : 62 % est un taux confortable sans être gaspilleur. La boulonnerie se choisissant dans une gamme discrète, descendre au M12 ferait bondir le taux à 116 % : il n'y a pas de solution intermédiaire.
Impact sur la suite : Ce taux devra être comparé aux cinq autres modes de ruine. Rien ne garantit à ce stade que le cisaillement soit le maillon faible.
Cohérence : Le calcul par boulon et le calcul global donnent le même taux, ce qui confirme que la répartition uniforme est bien celle qui a été employée.
Attention : Ce résultat ne dit rien des pièces assemblées. Un boulon parfaitement dimensionné peut parfaitement écraser la plaque qu'il traverse : ce sont deux modes indépendants.
Comparaison : Avec six boulons au lieu de quatre, le taux tomberait à 0,415 — mais la platine devrait s'allonger, ce qui modifierait aussi sa résistance propre en question 3.

Remarque pédagogique : Un taux de 62 % sur les boulons n'autorise aucune conclusion à ce stade, et c'est le point que l'exercice doit vous faire intégrer. Un assemblage est une chaîne : sa capacité est celle du maillon le plus faible, et rien ne dit que ce maillon soit le boulon. Il peut être la platine, écrasée localement ou déchirée en bloc ; il peut être le cordon de soudure ; il peut même être l'âme de la solive, si l'attache s'avère plus résistante que la poutre qu'elle relie. L'intuition est ici mauvaise conseillère : sur cet assemblage, elle désignerait spontanément la pièce la plus mince, alors que le calcul va montrer que c'est la boulonnerie qui gouverne.

RÉSULTAT FINAL

\( F_{\text{v},\text{Rd},\text{groupe}} \) = 241,2 kN pour 150 kN appliqués

"Taux de travail 0,622, joint non long, répartition égale acquise entre les quatre boulons."

Question 2 : Pression diamétrale sur les deux pièces percées

Dans la tête de l'ingénieur

"C'est la question où tout se joue, et pas pour la raison qu'on croit. La formule de pression diamétrale ne pose aucune difficulté : cinq facteurs, une division. La difficulté est en amont, dans une question d'apparence triviale — quelles pièces les boulons traversent-ils ? La platine est soudée à la solive et boulonnée sur l'aile du poteau : les pièces percées sont donc la platine et l'aile, et l'âme de la solive n'entre pas dans ce calcul. Je vais ensuite devoir traiter chaque rangée selon sa position réelle, et surtout ne pas recopier sur l'aile du poteau les pinces de la platine — ce sont deux pièces différentes, avec des bords différents."

Observation : Deux pièces percées : la platine de 10 mm et l'aile du poteau de 15 mm. L'âme de la solive, épaisse de 6,2 mm, n'est traversée par aucun boulon — elle est soudée, pas boulonnée.
Analyse du risque : Le risque majeur est de vérifier la mauvaise pièce. Le calcul se déroulerait normalement, le résultat serait plausible, et la conclusion porterait sur un mode de ruine qui n'existe pas dans cet assemblage.
Choix stratégique : Tracer le chemin des efforts avant d'ouvrir la norme, puis calculer \( \alpha_{\text{b}} \) rangée par rangée et reprendre entièrement la géométrie pour l'aile du poteau.
Alternative : On pourrait retenir partout la valeur la plus défavorable, ce qui serait conservatif et plus rapide. Mais on perdrait 80 % de résistance sur la rangée intérieure, et l'on ne saurait plus où se situe la vraie marge.
Objectif visé : Établir les taux de travail des deux pièces percées et vérifier la condition de l'art. 3.7 qui autorise ou non la sommation des résistances individuelles.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Platine 358,4 kN (taux 0,419) · aile du poteau 691,2 kN (taux 0,217)

Rappel Théorique : La pression diamétrale et la géométrie qui la gouverne

La pression diamétrale n'est pas une ruine du boulon mais de la plaque qu'il traverse. Le boulon, plus dur, ovalise le trou et finit par déchirer la matière vers le bord libre le plus proche. Toute la difficulté du calcul tient dans l'identification de ce bord.

Pourquoi \( f_{\text{u}} \) et non \( f_{\text{y}} \) : La pression diamétrale est un phénomène de rupture localisée. On accepte une plastification importante autour du trou : ce qui compte est la capacité ultime de l'acier avant déchirure, pas le seuil au-delà duquel il se déforme.
Deux coefficients, deux directions : \( \alpha_{\text{b}} \) traduit la géométrie dans le sens de l'effort : plus le boulon est loin du bord vers lequel il pousse, plus la plaque résiste. \( k_1 \) traduit la géométrie perpendiculaire : il mesure la largeur de matière disponible de part et d'autre.
Extrémité ou intérieur : deux règles distinctes : Le tableau 3.4 donne \( \alpha_{\text{d}} = e_1/(3d_0) \) pour un boulon d'extrémité, qui pousse vers un bord libre, et \( \alpha_{\text{d}} = p_1/(3d_0) - 1/4 \) pour un boulon intérieur, qui pousse vers un autre boulon. Ce sont deux règles alternatives, choisies selon la position, et non deux termes d'un même minimum.
Le plafonnement par le boulon : \( \alpha_{\text{b}} \) ne peut dépasser \( \min(f_{\text{ub}}/f_{\text{u}} \ ; \ 1{,}0) \). Ce plafond exprime qu'au-delà d'une certaine distance au bord, ce n'est plus la plaque qui limite mais le boulon lui-même : allonger encore la pince n'apporte plus rien.
La règle de groupe de l'art. 3.7 : Les résistances individuelles ne se somment que si chaque \( F_{\text{b},\text{Rd}} \) est au moins égale à \( F_{\text{v},\text{Rd}} \). Dans le cas contraire, la résistance du groupe vaut \( n \) fois la plus petite des résistances individuelles — une pénalité qui peut être lourde.

Équations Fondamentales

Trois relations gouvernent cette question : la résistance en pression diamétrale, les deux expressions alternatives du coefficient longitudinal, et le coefficient transversal.

Résistance à la pression diamétrale — EN 1993-1-8 tableau 3.4 :

Elle donne la capacité de la plaque à supporter l'appui du boulon.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la ruine peut survenir dans la plaque et non dans le boulon. Chaque pièce percée doit être vérifiée séparément, avec sa propre épaisseur, sa propre nuance et sa propre géométrie de bords.

Contexte de validité : Trou normal, boulon non précontraint, effort perpendiculaire à l'axe. Les trous oblongs relèvent d'une réduction distincte, que les recommandations CNC2M déconseillent d'ailleurs dans le sens de l'effort.
Avantage : Elle est proportionnelle à l'épaisseur, ce qui rend le diagnostic immédiat : à géométrie égale, doubler l'épaisseur double la résistance.
Paramètre clé : La résistance à la rupture \( f_{\text{u}} \) de la plaque, et non sa limite d'élasticité. Pour un S235, \( f_{\text{u}} = 360\ \text{MPa} \) selon la NF EN 10025-2.
Vérification : L'aire de contact \( d \times t \) est celle du diamètre nominal, pas du perçage. C'est le boulon qui appuie, pas le trou.
Limite : Elle suppose des pinces respectant le tableau 3.3. En deçà des minima, la formule perd sa validité et la ruine devient fragile.

\[ \begin{aligned} F_{\text{b},\text{Rd}} = \frac{k_1 \, \alpha_{\text{b}} \, f_{\text{u}} \, d \, t}{\gamma_{\text{M2}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'expression décrit l'écrasement local de la plaque sous l'appui cylindrique du boulon. Le produit \( d \times t \) est la surface projetée de contact, celle sur laquelle la pression s'exerce ; le produit \( f_{\text{u}} \, d \, t \) donnerait donc la force nécessaire pour écraser cette surface si la plaque était infinie. Les deux coefficients corrigent ensuite cette valeur idéale pour tenir compte de ce que la plaque ne l'est pas : \( \alpha_{\text{b}} \) sanctionne le manque de matière dans le sens où le boulon pousse, \( k_1 \) le manque de matière de part et d'autre. La ruine réelle n'est d'ailleurs pas un écrasement pur mais un déchirement : la matière située entre le trou et le bord libre cède en cisaillement sur deux plans parallèles, et le boulon s'échappe en emportant un copeau.

Décomposition des termes :

\( F_{\text{b},\text{Rd}} \) : résistance de calcul à la pression diamétrale, par boulon, unité : \( \text{N} \)
\( k_1 \) : coefficient de géométrie transversale à l'effort, unité : sans dimension
\( \alpha_{\text{b}} \) : coefficient de géométrie longitudinale à l'effort, unité : sans dimension
\( f_{\text{u}} \) : résistance à la rupture de la plaque, unité : \( \text{MPa} \)
\( d \) : diamètre nominal du boulon, unité : \( \text{mm} \)
\( t \) : épaisseur de la plaque considérée, unité : \( \text{mm} \)

Coefficient longitudinal — deux expressions alternatives du tableau 3.4 :

Il mesure la matière disponible dans la direction où le boulon pousse.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un boulon proche d'un bord libre déchire la plaque bien avant de l'écraser. La distance disponible dans le sens de l'effort est donc le paramètre déterminant.

Contexte de validité : L'expression retenue dépend de la position du boulon : extrémité s'il pousse vers un bord libre, intérieur s'il pousse vers un autre boulon. Une pièce continue n'a pas de boulon d'extrémité.
Avantage : Elle rend le calcul sensible à la conception : allonger la pince \( e_1 \) de 30 à 54 mm ferait passer \( \alpha_{\text{b}} \) de 0,556 à 1,0, soit 80 % de résistance en plus sans un gramme d'acier supplémentaire.
Paramètre clé : Le diamètre de perçage \( d_0 \), soit 18 mm pour un M16. C'est bien lui, et non le diamètre nominal, qui apparaît aux dénominateurs.
Vérification : Le plafond \( f_{\text{ub}}/f_{\text{u}} = 800/360 = 2{,}22 \) est ici largement au-dessus de 1,0 : c'est donc l'unité qui plafonne, comme dans la plupart des assemblages courants.
Limite : Prendre le minimum des deux expressions à la fois est une erreur de principe, même si elle est conservative : elle applique à un boulon intérieur une règle qui ne le concerne pas.

\[ \begin{aligned} \text{boulon d'extremite} &: \ \alpha_{\text{d}} = \frac{e_1}{3 d_0} \\ &\quad \text{boulon interieur} : \ \alpha_{\text{d}} = \frac{p_1}{3 d_0} - \frac{1}{4} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Les deux expressions décrivent le même phénomène — le déchirement de la matière devant le boulon — mais dans deux situations géométriques distinctes. Le boulon d'extrémité pousse vers un bord libre : la longueur de matière qui s'oppose à son échappement est la pince \( e_1 \), et elle cède sur deux plans de cisaillement, d'où le facteur 3 au dénominateur qui cale l'expression sur les essais. Le boulon intérieur, lui, pousse vers un autre trou : la longueur disponible est l'entraxe \( p_1 \), mais il faut en retrancher le demi-trou qui lui fait face — d'où le terme correctif de \( 1/4 \). C'est pourquoi un boulon intérieur, à distance égale, résiste toujours mieux qu'un boulon d'extrémité : derrière lui, la chaîne continue.

Décomposition des termes :

\( \alpha_{\text{d}} \) : coefficient longitudinal avant plafonnement, unité : sans dimension
\( e_1 \) : pince longitudinale, du bord libre à l'axe du boulon, unité : \( \text{mm} \)
\( p_1 \) : entraxe longitudinal entre deux rangées, unité : \( \text{mm} \)
\( d_0 \) : diamètre de perçage, unité : \( \text{mm} \)
\( \alpha_{\text{b}} \) : valeur retenue, \( \min(\alpha_{\text{d}} \ ; \ f_{\text{ub}}/f_{\text{u}} \ ; \ 1{,}0) \), unité : sans dimension

Coefficient transversal — EN 1993-1-8 tableau 3.4 :

Il mesure la largeur de matière disponible de part et d'autre du boulon.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un boulon trop proche d'un bord latéral fend la plaque dans le sens de sa largeur. Le coefficient plafonne à 2,5, valeur au-delà de laquelle la largeur cesse d'être un facteur limitant.

Contexte de validité : \( e_2 \) se mesure du bord latéral à l'axe du boulon, perpendiculairement à l'effort. Pour un boulon intérieur en largeur, l'expression fait intervenir \( p_2 \) à la place.
Avantage : Le plafond de 2,5 est atteint dès \( e_2 \ge 1{,}5\,d_0 = 27\ \text{mm} \), c'est-à-dire dans presque tous les assemblages courants. Le coefficient est rarement pénalisant.
Paramètre clé : La pince transversale \( e_2 \), qui dépend de la largeur réelle de chaque pièce. Elle vaut 40 mm sur la platine et 65 mm sur l'aile du poteau.
Vérification : Si le calcul donne une valeur supérieure à 2,5, c'est que la largeur ne limite pas : on retient 2,5 et l'on passe à la suite.
Limite : Une valeur inférieure à 2,5 signale une plaque trop étroite. C'est un signal de conception : mieux vaut élargir la pièce que d'accepter la pénalité.

\[ \begin{aligned} k_1 = \min\left(2{,}8 \, \frac{e_2}{d_0} - 1{,}7 \ ; \ 2{,}5\right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le coefficient traduit la capacité de la plaque à ne pas se fendre latéralement sous la poussée du boulon. Lorsque le boulon appuie, il n'écarte pas seulement la matière devant lui : il l'écarte aussi sur les côtés, comme un coin. Si la plaque est étroite, cette poussée latérale peut la fendre avant que l'écrasement frontal ne soit atteint. Le plafonnement à 2,5 exprime un fait expérimental important : au-delà d'une certaine largeur, la matière supplémentaire ne sert plus à rien, car la ruine se déplace vers le mode frontal que gouverne \( \alpha_{\text{b}} \). C'est une leçon générale de conception d'assemblages : élargir indéfiniment une pièce ne renforce pas indéfiniment l'attache.

Décomposition des termes :

\( k_1 \) : coefficient de géométrie transversale, unité : sans dimension
\( e_2 \) : pince transversale, du bord latéral à l'axe du boulon, unité : \( \text{mm} \)
\( d_0 \) : diamètre de perçage, unité : \( \text{mm} \)
\( 2{,}5 \) : plafond fixé par le tableau 3.4, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'énoncés vérifient la pression diamétrale sur l'âme de la poutre alors que l'attache se fait par platine d'about…"

L'approche d'ingénieur : L'erreur n'est pas arithmétique : tous les calculs peuvent être exacts. Elle est en amont, dans le chemin des efforts — et c'est ce qui la rend si difficile à détecter en relecture.

L'erreur : Appliquer la formule à l'âme de l'IPE 240, épaisse de 6,2 mm, alors que la platine y est soudée et non boulonnée. On obtient 159,4 kN et un taux de 0,94, déclaré gouvernant — pour un mode de ruine qui n'existe pas.
La bonne méthode : Suivre l'effort pièce par pièce : solive, cordons, platine, boulons, aile du poteau. Seules les pièces que le boulon traverse subissent une pression diamétrale.
L'astuce de pro : Posez-vous la question à l'envers : y a-t-il un trou dans cette pièce ? S'il n'y a pas de trou, il n'y a pas de pression diamétrale. C'est un test binaire qui ne trompe jamais.
Le moyen mnémotechnique : « Pas de trou, pas de pression. » L'âme soudée transmet par ses cordons, pas par contact avec une tige.
L'impact direct : Une vérification menée sur l'âme donnerait un assemblage tendu à 94 %, « efficace et économique ». La vérité est un taux de 41,9 % sur la platine : l'assemblage dispose d'une réserve deux fois plus grande qu'annoncé, et son vrai maillon faible est ailleurs.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Épaisseurs : 10 mm pour la platine, 15 mm pour l'aile du poteau — deux pièces, deux calculs distincts.
Diamètres : \( d = 16 \) pour l'appui, \( d_0 = 18 \) pour les rapports géométriques. Ne pas les intervertir.
Résistance de la plaque : \( f_{\text{u}} = 360\ \text{MPa} \), c'est-à-dire 360 N/mm², homogène avec des millimètres.
Produit \( k_1 \alpha_{\text{b}} f_{\text{u}} d t \) : en newtons, à diviser par 1 000 pour comparer aux kilonewtons de l'effort.
Coefficients \( \alpha_{\text{b}} \) et \( k_1 \) : sans dimension, ce sont des rapports de longueurs.

Quatre étapes composent cette vérification : identifier les pièces percées, calculer les coefficients de la platine rangée par rangée, en déduire sa résistance de groupe, puis reprendre entièrement le calcul pour l'aile du poteau.

1. Résolution Numérique Identification des pièces réellement percées

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la formule de pression diamétrale ne s'applique qu'aux pièces qu'un boulon traverse, et que se tromper de pièce invalide toute la suite du calcul.

Méthodologie du calcul :

On suit l'effort depuis la solive jusqu'au poteau, en nommant chaque composant traversé et le mode de transmission qui lui correspond.

Substitution : L'effort \( V_{\text{Ed}} = 150\ \text{kN} \) parcourt : âme de la solive, cordons de soudure, platine, boulons, aile du poteau.
Piège évité : L'âme de la solive est soudée à la platine : elle transmet par ses cordons et ne subit aucune pression diamétrale.
Hypothèse validée : La platine est bien percée de quatre trous de 18 mm, et l'aile du poteau de quatre trous correspondants.
Vérification croisée : Test binaire : y a-t-il un trou dans cette pièce ? Platine oui, aile du poteau oui, âme de la solive non.
Finalité : Établir la liste exacte des vérifications à mener, et écarter celles qui n'ont pas lieu d'être.

\[ \begin{aligned} \text{solive} \ &\xrightarrow{\ \text{cordons}\ } \ \text{platine} \\ &\quad \text{platine} \ : \xrightarrow{\ \text{boulons}\ } \ \text{aile du poteau} \\ &\quad \text{pieces percees} : \ \text{platine } (t = 10) \ \text{et aile } (t = 15) \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Deux pièces seulement subissent la pression diamétrale : la platine de 10 mm et l'aile du poteau de 15 mm. L'âme de la solive relève de la vérification des cordons, en question 4.

Ordre de grandeur : La platine, deux fois plus mince que l'aile du poteau, sera a priori la plus sollicitée des deux — la résistance étant proportionnelle à l'épaisseur.
Impact sur la suite : Deux calculs de pression diamétrale à mener, chacun avec sa propre géométrie de bords, et non un seul recopié sur l'autre.
Cohérence : Le nombre de trous est identique dans les deux pièces — c'est le même boulon qui les traverse — mais leurs bords libres sont situés à des distances très différentes.
Attention : L'âme de la solive n'est pas pour autant hors de cause : elle devra transmettre les 150 kN à ses cordons, et son cisaillement propre sera recoupé en question 4.
Comparaison : Dans une attache par gousset ou par double cornière, l'âme de la poutre serait effectivement percée et il faudrait la vérifier. C'est de cette configuration voisine que vient la confusion.

Remarque pédagogique : Cette étape ne comporte aucun calcul et c'est pourtant la plus importante de l'exercice. La sauter conduit à vérifier l'âme de la solive et à conclure que ce mode gouverne à 94 % : toutes les formules seraient justes, toutes les applications numériques exactes — et la conclusion porterait sur rien. Aucun contrôle arithmétique ne peut le détecter, parce que l'erreur n'est pas dans les nombres. C'est le type même de défaut qui traverse les relectures : un correcteur qui refait les calculs les trouve bons. Seul celui qui redessine le cheminement des efforts voit le problème. Prenez-en l'habitude : trois flèches sur un croquis avant d'ouvrir la norme.

Coefficients de pression diamétrale sur la platine

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les deux rangées de la platine n'occupent pas la même position géométrique et que le tableau 3.4 leur applique deux règles différentes.

Méthodologie du calcul :

On identifie la rangée d'extrémité et la rangée intérieure, on applique à chacune son expression de \( \alpha_{\text{d}} \), on plafonne, puis on calcule le coefficient transversal commun aux quatre boulons.

Substitution : On injecte \( e_1 = 30 \), \( p_1 = 110 \), \( e_2 = 40 \) et \( d_0 = 18\ \text{mm} \), avec le plafond \( f_{\text{ub}}/f_{\text{u}} = 800/360 = 2{,}22 \).
Piège évité : Ne pas prendre le minimum des deux expressions de \( \alpha_{\text{d}} \) : ce sont des règles alternatives selon la position, pas deux termes concurrents.
Hypothèse validée : L'effort étant vertical, la rangée basse pousse vers le bord inférieur de la platine — c'est elle la rangée d'extrémité — et la rangée haute pousse vers la rangée basse.
Vérification croisée : Les deux rangées étant sur les mêmes files verticales, elles partagent la même pince transversale \( e_2 \) et donc le même \( k_1 \).
Finalité : Disposer de deux coefficients \( \alpha_{\text{b}} \) distincts, qui donneront deux résistances individuelles différentes.

\[ \begin{aligned} \text{rangee d'extremite} &: \ \alpha_{\text{d}} = \frac{30}{3 \times 18} = 0{,}5556 \\ &\quad \alpha_{\text{b}} = \min(0{,}5556 \ ; \ 2{,}22 \ ; \ 1{,}0) = \mathbf{0{,}5556} \\ &\quad \text{rangee interieure} : \ \alpha_{\text{d}} = \frac{110}{3 \times 18} - \frac{1}{4} = 1{,}787 \\ &\quad \alpha_{\text{b}} = \min(1{,}787 \ ; \ 2{,}22 \ ; \ 1{,}0) = \mathbf{1{,}0} \\ &\quad k_1 = \min\left(2{,}8 \times \frac{40}{18} - 1{,}7 \ ; \ 2{,}5\right) = \min(4{,}52 \ ; \ 2{,}5) = \mathbf{2{,}5} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La rangée d'extrémité est pénalisée à 0,556 par sa proximité du bord, tandis que la rangée intérieure atteint le plafond de 1,0. Le coefficient transversal est plafonné pour les quatre boulons.

Ordre de grandeur : Un écart de 80 % entre les deux rangées, uniquement dû à leur position. La géométrie d'un assemblage n'est jamais un détail.
Impact sur la suite : Deux résistances individuelles distinctes : la rangée d'extrémité sera le maillon faible de la platine, l'intérieure disposant d'une réserve confortable.
Cohérence : \( k_1 \) atteint son plafond dès \( e_2 \ge 1{,}5\,d_0 = 27\ \text{mm} \). Avec 40 mm, la platine est largement assez large et la largeur ne limite pas.
Attention : Prendre \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}556 \) pour les quatre boulons — comme le fait valeur de la rangée d'extrémité — sous-estimerait la résistance du groupe de 28 %. C'est conservatif, mais ce n'est pas la norme.
Comparaison : Porter la pince \( e_1 \) de 30 à 54 mm ferait passer la rangée d'extrémité au plafond de 1,0 elle aussi, sans un gramme d'acier en plus. C'est le meilleur levier de conception disponible ici.

Remarque pédagogique : Le sort des deux rangées illustre un principe de conception qu'il faut avoir en tête bien avant de calculer : dans un assemblage boulonné, la géométrie coûte moins cher que la matière. Gagner 80 % de résistance sur la rangée d'extrémité ne demande ici que d'allonger la platine de 24 millimètres — soit quelques dizaines de grammes d'acier. Augmenter d'autant la résistance en jouant sur l'épaisseur demanderait de passer de 10 à 18 mm, c'est-à-dire de presque doubler la masse de la pièce. Le tableau 3.3 impose des minima de pinces, mais rien n'interdit de les dépasser largement, et c'est souvent la façon la plus économique de renforcer une attache.

Résistance de la platine à la pression diamétrale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il faut passer des coefficients aux résistances, puis vérifier que la règle de groupe de l'art. 3.7 autorise bien la sommation.

Méthodologie du calcul :

On calcule les deux résistances individuelles avec l'épaisseur de la platine, on confronte chacune à \( F_{\text{v},\text{Rd}} \) pour trancher la règle de groupe, puis on somme et l'on forme le taux de travail.

Substitution : On injecte \( t = 10\ \text{mm} \), \( f_{\text{u}} = 360\ \text{MPa} \), \( d = 16\ \text{mm} \), \( k_1 = 2{,}5 \) et les deux valeurs de \( \alpha_{\text{b}} \).
Piège évité : Employer le diamètre nominal \( d = 16 \) dans le produit \( d \times t \), et non le diamètre de perçage. C'est le boulon qui appuie, pas le trou.
Hypothèse validée : Chaque résistance individuelle doit être comparée à \( F_{\text{v},\text{Rd}} = 60{,}29\ \text{kN} \) pour appliquer l'art. 3.7 et décider entre somme et minimum.
Vérification croisée : Le rapport des deux résistances doit valoir celui des \( \alpha_{\text{b}} \) : \( 115{,}2/64{,}0 = 1{,}80 = 1{,}0/0{,}5556 \). Le contrôle est immédiat.
Finalité : Établir le taux de travail de la platine en pression diamétrale, deuxième des six modes examinés.

\[ \begin{aligned} F_{\text{b},\text{Rd},\text{ext}} &= \frac{2{,}5 \times 0{,}5556 \times 360 \times 16 \times 10}{1{,}25} = \mathbf{64{,}0} \ \text{kN} \\ &\quad F_{\text{b},\text{Rd},\text{int}} = \frac{2{,}5 \times 1{,}0 \times 360 \times 16 \times 10}{1{,}25} = \mathbf{115{,}2} \ \text{kN} \\ &\quad 64{,}0 : \ \ge \ F_{\text{v},\text{Rd}} = 60{,}29 \ \Rightarrow \ \text{sommation autorisee (art. 3.7)} \\ &\quad F_{\text{b},\text{Rd},\text{groupe}} = 2 \times 64{,}0 + 2 \times 115{,}2 = 358{,}4 \ \text{kN} \\ &\quad \frac{V_{\text{Ed}}}{F_{\text{b},\text{Rd},\text{groupe}}} = \frac{150}{358{,}4} = \mathbf{0{,}419} \ \le \ 1{,}0 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La platine résiste à 358,4 kN et travaille à 41,9 %. La condition de l'art. 3.7 est satisfaite de justesse — 64,0 contre 60,29 kN — ce qui autorise la sommation.

Ordre de grandeur : 41,9 % : la platine dispose d'une réserve de 58 %. Bien loin des 94 % qu'on obtiendrait en vérifiant une pièce hors du trajet des efforts.
Impact sur la suite : La pression diamétrale n'est pas le mode gouvernant de la platine. Sa résistance propre, examinée en question 3, pourrait être plus critique.
Cohérence : La condition de l'art. 3.7 tient à 6 % près. Si la pince \( e_1 \) était réduite à 28 mm, elle basculerait et la résistance du groupe tomberait à \( 4 \times 59{,}7 = 238{,}9\ \text{kN} \), soit 33 % de moins.
Attention : Cette bascule est brutale : la règle de l'art. 3.7 est discontinue. Un millimètre de pince en moins peut coûter un tiers de la capacité du groupe.
Comparaison : En sous-estimant la rangée intérieure à 0,556, valeur de la rangée d'extrémité, on obtiendrait \( 4 \times 64{,}0 = 256{,}0\ \text{kN} \) et un taux de 0,586 : conservatif de 28 %.

Remarque pédagogique : La règle de l'art. 3.7 mérite qu'on s'y arrête, car elle est discontinue et c'est rare dans l'Eurocode. Tant que chaque fixation résiste au moins autant en pression diamétrale qu'en cisaillement, les capacités s'additionnent. Dès qu'une seule descend en dessous, la norme bascule sur \( n \) fois la plus petite — et la perte peut être considérable. La logique est celle de la ductilité : si le boulon cède avant la plaque, la ruine est fragile et localisée, sans redistribution possible vers les fixations voisines. Ici la condition tient à 6 % près, ce qui est peu confortable : c'est typiquement le genre de marge qu'un bureau d'études documente explicitement, parce qu'une modification mineure du plan de perçage suffirait à la faire sauter.

Résistance de l'aile du poteau à la pression diamétrale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'aile du poteau est la seconde pièce percée, et que sa géométrie de bords n'a rien à voir avec celle de la platine malgré un perçage identique.

Méthodologie du calcul :

On reprend intégralement le calcul des coefficients avec les bords propres à l'aile du poteau : continuité dans le sens de l'effort, et pince transversale déduite de la largeur d'aile.

Substitution : On injecte \( t_{\text{f}} = 15\ \text{mm} \) et \( e_2 = (200 - 70)/2 = 65\ \text{mm} \), la largeur d'aile du HEB 200 valant 200 mm.
Piège évité : Ne pas recopier les coefficients de la platine. Le perçage est commun, les distances aux bords ne le sont pas : c'est l'erreur explicite de erreur la plus fréquente sur ce composant.
Hypothèse validée : L'aile du poteau est continue au-dessus et au-dessous de l'attache : il n'existe aucun bord libre dans le sens de l'effort, donc aucune pince \( e_1 \).
Vérification croisée : Sans bord libre, seule l'expression du boulon intérieur s'applique, et elle dépasse largement le plafond : \( \alpha_{\text{b}} = 1{,}0 \) pour les quatre boulons.
Finalité : Établir le troisième taux de travail et confirmer que l'aile du poteau n'est pas le maillon faible.

\[ \begin{aligned} \text{aile continue} &\Rightarrow \text{aucune pince } e_1 \Rightarrow \alpha_{\text{b}} = \mathbf{1{,}0} \\ &\quad e_2 = \frac{200 - 70}{2} = 65 \ \text{mm} \\ &\quad k_1 = \min\left(2{,}8 \times \frac{65}{18} - 1{,}7 \ ; \ 2{,}5\right) = \mathbf{2{,}5} \\ &\quad F_{\text{b},\text{Rd}} = \frac{2{,}5 \times 1{,}0 \times 360 \times 16 \times 15}{1{,}25} = \mathbf{172{,}8} \ \text{kN} \\ &\quad \frac{V_{\text{Ed}}}{4 \times 172{,}8} = \frac{150}{691{,}2} = \mathbf{0{,}217} \ \le \ 1{,}0 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'aile du poteau résiste à 691,2 kN et ne travaille qu'à 21,7 %. C'est le mode le plus largement satisfait de tout l'assemblage, et de loin.

Ordre de grandeur : 172,8 kN par boulon contre 64,0 sur la platine, soit 2,7 fois plus. L'écart vient pour moitié de l'épaisseur et pour moitié du coefficient \( \alpha_{\text{b}} \).
Impact sur la suite : Ce mode peut être écarté définitivement : avec une réserve de 78 %, aucune évolution raisonnable du projet ne le rendrait critique.
Cohérence : La condition de l'art. 3.7 est très largement satisfaite — 172,8 contre 60,29 kN — ce qui autorise la sommation sans discussion.
Attention : Appliquer ici \( \alpha_{\text{b}} = 0{,}556 \) et \( e_2 = 35\ \text{mm} \), recopiés de la platine. Il obtenait 96,1 kN par boulon au lieu de 172,8, soit 80 % de moins.
Comparaison : Si le poteau était un IPE attaché sur son âme, l'épaisseur tomberait à 6 ou 7 mm et le mode redeviendrait critique. C'est bien la semelle épaisse du HEB qui met cette pièce hors de cause.

Remarque pédagogique : L'écart entre les deux pièces est instructif dans son détail. On attribue spontanément la meilleure tenue de l'aile du poteau à son épaisseur — 15 mm contre 10 — mais ce facteur n'explique que la moitié du résultat. L'autre moitié vient de sa continuité : n'ayant aucun bord libre dans le sens de l'effort, aucun de ses boulons ne peut déchirer la matière vers l'extérieur, et \( \alpha_{\text{b}} \) atteint son plafond de 1,0. C'est un cas très général : les pièces continues sont bien plus tolérantes que les pièces d'about aux mêmes efforts, à épaisseur égale. Le corollaire pratique est qu'un plan de perçage identique ne donne jamais les mêmes coefficients d'une pièce à l'autre — il faut reprendre la géométrie à chaque fois.

RÉSULTAT FINAL

\( F_{\text{b},\text{Rd},\text{groupe}} \) = 358,4 kN sur la platine — 691,2 kN sur l'aile

"Taux 0,419 et 0,217 : la pression diamétrale n'est le maillon faible d'aucune des deux pièces."

Question 3 : Résistance propre de la platine et rupture de bloc

Dans la tête de l'ingénieur

"Jusqu'ici j'ai vérifié les boulons et l'appui qu'ils exercent sur les plaques. Mais la platine est aussi une pièce, qui doit transmettre 150 kN sur toute sa hauteur, et à ce titre elle peut céder de trois façons que la pression diamétrale ne couvre pas : par cisaillement de sa section pleine, par cisaillement de sa section affaiblie par les trous, ou par arrachement d'un bloc entier de matière. Ce dernier mode, la rupture de bloc, est celui qu'on cite volontiers dans les mises en garde sans jamais le calculer. C'est exactement le genre de vérification qu'on annonce parce qu'elle fait sérieux, et qu'on saute parce qu'elle demande de la géométrie."

Observation : Une platine de 170 × 150 × 10 mm qui transmet 150 kN. Deux files de boulons la traversent, et c'est le long de ces files que la matière peut se déchirer.
Analyse du risque : Le risque est de croire que la pression diamétrale suffit. Elle vérifie le contact local du boulon, pas la capacité de la plaque à transmettre l'effort global d'un bout à l'autre.
Choix stratégique : Mener les trois modes et retenir le plus défavorable, selon la méthode du guide SCI P358 qui traite spécifiquement les platines d'about partielles.
Alternative : On pourrait se contenter du seul mode de section brute, qui sera ici le plus critique. Mais on ne le saurait qu'après les avoir tous calculés — et sur une autre géométrie, c'est la rupture de bloc qui gouvernerait.
Objectif visé : Établir la résistance propre de la platine et les trois taux correspondants, pour les verser au tableau de synthèse de la question 4.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Section brute 363,2 kN · nette 445,6 kN · bloc 485,2 kN — retenu 363,2 kN, taux 0,413

Rappel Théorique : Les trois modes de ruine d'une platine d'about

Une platine partielle travaille comme deux bandes verticales, une par file de boulons, chacune transmettant la moitié de l'effort. Trois mécanismes peuvent les mettre en défaut, et la norme les traite séparément parce qu'ils ne mobilisent ni les mêmes sections ni les mêmes propriétés de l'acier.

Le cisaillement de section brute : La platine entière cède en glissement le long de ses deux files. La résistance mobilise \( f_{\text{y}}/\sqrt{3} \) sur toute la section, mais un coefficient 1,27 vient la réduire : il couvre la flexion concomitante de la platine, sollicitée hors plan par l'excentrement de l'effort par rapport à la ligne de boulons.
Le cisaillement de section nette : Les trous retirent de la matière. Sur la section affaiblie, c'est la résistance à la rupture \( f_{\text{u}} \) qui est mobilisée — la plastification y étant admise — mais avec le coefficient partiel plus sévère \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \).
La rupture de bloc : Un bloc entier de matière s'arrache, délimité par une surface cisaillée le long de la file de boulons et une surface tendue perpendiculaire. Les deux surfaces cèdent simultanément, et leurs capacités s'additionnent — c'est ce qui rend le calcul déroutant la première fois.
Traction et cisaillement, deux régimes : L'aire tendue travaille à \( f_{\text{u}} \) avec \( \gamma_{\text{M2}} \), l'aire cisaillée à \( f_{\text{y}}/\sqrt{3} \) avec \( \gamma_{\text{M0}} \). Ce mélange de coefficients surprend, mais il traduit deux modes de ruine différents : rupture franche d'un côté, plastification de l'autre.
Un bloc, ou deux : Pour une platine d'about, la géométrie du bloc dépend de l'élancement. Lorsque \( h_{\text{p}} \gt 1{,}36\,p_2 \), le SCI P358 retient deux blocs latéraux qui se détachent vers les bords extérieurs, et non un bloc central unique.

Équations Fondamentales

Trois relations décrivent les trois modes. Elles portent toutes sur la même pièce mais ne mobilisent ni les mêmes sections, ni les mêmes propriétés de l'acier.

Cisaillement de la section brute d'une platine d'about :

Elle donne la capacité de la platine pleine, flexion parasite déduite.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la platine doit transmettre l'effort sur toute sa hauteur avant même d'arriver aux boulons. C'est le mode qui mobilise le plus de matière, et souvent le plus contraignant sur les platines minces.

Contexte de validité : Platine partielle travaillant en cisaillement pur d'attache articulée. Une platine débordante transmettant un moment relèverait de la méthode des tronçons en T.
Avantage : Elle ne fait intervenir que la géométrie brute — hauteur et épaisseur — sans aucune déduction de trous, ce qui la rend immédiate à évaluer en phase d'esquisse.
Paramètre clé : Le coefficient 1,27, qui pénalise la résistance de 21 %. Il traduit la flexion hors plan de la platine, absente d'un cisaillement pur théorique.
Vérification : Le facteur 2 en tête compte les deux bandes verticales, une par file de boulons. L'oublier diviserait la résistance par deux.
Limite : Le coefficient 1,27 est une valeur forfaitaire calée sur les configurations courantes. Un excentrement inhabituel demanderait une analyse spécifique de la flexion.

\[ \begin{aligned} V_{\text{Rd},\text{g}} = \frac{2 \, h_{\text{p}} \, t_{\text{p}} \, f_{\text{y}}}{1{,}27 \sqrt{3} \, \gamma_{\text{M0}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'expression décrit la plastification en cisaillement de la platine sur toute sa hauteur. Le terme \( h_{\text{p}} t_{\text{p}} f_{\text{y}}/\sqrt{3} \) est la capacité classique d'une section rectangulaire en cisaillement pur, doublée parce que deux bandes travaillent en parallèle. Le coefficient 1,27 mérite qu'on s'y arrête : il ne s'agit ni d'une marge de sécurité, ni d'un coefficient partiel déguisé, mais de la prise en compte d'un effort secondaire inévitable. L'effort descend dans l'âme de la solive, mais il remonte dans les boulons situés à quelques centimètres de là : ce décalage crée un moment que la platine doit encaisser en flexion, hors de son plan, en même temps qu'elle transmet le cisaillement. Les contraintes se cumulent, et 1,27 est la valeur que les essais ont retenue pour représenter ce cumul sur les configurations usuelles.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{Rd},\text{g}} \) : résistance de calcul en section brute, unité : \( \text{N} \)
\( h_{\text{p}} \) : hauteur de la platine, unité : \( \text{mm} \)
\( t_{\text{p}} \) : épaisseur de la platine, unité : \( \text{mm} \)
\( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de l'acier de la platine, unité : \( \text{MPa} \)
\( 1{,}27 \) : coefficient couvrant la flexion concomitante, unité : sans dimension

Cisaillement de la section nette :

Elle donne la capacité de la platine affaiblie par les perçages.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les trous retirent de la matière là où l'effort doit passer. La section utile n'est plus la section pleine, et c'est le régime de rupture qui s'y applique.

Contexte de validité : Section traversée par les trous, mesurée perpendiculairement à l'effort. On déduit autant de diamètres de perçage qu'il y a de rangées sur la file.
Avantage : Elle mobilise \( f_{\text{u}} \) et non \( f_{\text{y}} \), soit 53 % de plus pour un S235. La déduction des trous est donc partiellement compensée par le changement de régime.
Paramètre clé : Le diamètre de perçage \( d_0 \), et non le diamètre du boulon : c'est bien la matière retirée qui compte, pas celle qui la remplace.
Vérification : Ici deux rangées par file : la section nette vaut \( h_{\text{p}} - 2 d_0 = 170 - 36 = 134\ \text{mm} \) de hauteur utile, soit 79 % de la section brute.
Limite : Le coefficient partiel passe à \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \), plus sévère, parce que la ruine en section nette est fragile et sans redistribution possible.

\[ \begin{aligned} V_{\text{Rd},\text{n}} = \frac{2 \, A_{\text{v},\text{net}} \, f_{\text{u}}}{\sqrt{3} \, \gamma_{\text{M2}}} \quad \text{avec} \quad A_{\text{v},\text{net}} = t_{\text{p}} (h_{\text{p}} - n_1 d_0) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le mode décrit un glissement le long de la file de trous, là où la plaque est le plus affaiblie. Le changement de propriété — \( f_{\text{u}} \) au lieu de \( f_{\text{y}} \) — n'est pas une faveur mais une conséquence physique : sur une section aussi réduite, la plastification est confinée entre les trous et ne peut se propager. La pièce ne se déforme donc pas globalement avant de céder ; elle atteint directement la contrainte de rupture localement. C'est aussi pour cette raison que le coefficient partiel est plus sévère : là où une ruine par plastification prévient par une déformation visible, une rupture en section nette survient sans signe avant-coureur, et la norme compense cette absence d'avertissement par une marge accrue.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{Rd},\text{n}} \) : résistance de calcul en section nette, unité : \( \text{N} \)
\( A_{\text{v},\text{net}} \) : aire nette cisaillée d'une file, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( n_1 \) : nombre de rangées de boulons sur la file, unité : sans dimension
\( d_0 \) : diamètre de perçage, unité : \( \text{mm} \)
\( f_{\text{u}} \) : résistance à la rupture de la platine, unité : \( \text{MPa} \)

Rupture de bloc — EN 1993-1-8 art. 3.10.2 :

Elle donne la capacité contre l'arrachement d'un pan entier de platine.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un groupe de boulons peut emporter avec lui tout le morceau de plaque qui l'entoure, sans que ni la pression diamétrale ni le cisaillement de section n'aient été atteints.

Contexte de validité : Chargement concentrique sur le groupe de boulons. Un chargement excentré relèverait de l'expression \( V_{\text{eff},2,\text{Rd}} \), qui divise par deux la contribution de l'aire tendue.
Avantage : Elle couvre un mode que rien d'autre ne détecte. Une plaque peut satisfaire tous les autres critères et céder par arrachement de bloc.
Paramètre clé : La géométrie du bloc, qui dépend de la disposition des boulons et du sens de l'effort. C'est la seule vraie difficulté du calcul.
Vérification : Les deux termes doivent être du même ordre de grandeur. Si l'un écrase l'autre d'un facteur dix, c'est en général qu'une aire a été mal identifiée.
Limite : Le mode devient critique sur les attaches courtes à forte charge, où peu de matière entoure un groupe de boulons très sollicité. Il l'est aussi sur les grugeages de poutres.

\[ \begin{aligned} V_{\text{Rd},\text{b}} = 2 \left( \frac{f_{\text{u}} \, A_{\text{nt}}}{\gamma_{\text{M2}}} + \frac{f_{\text{y}} \, A_{\text{nv}}}{\sqrt{3} \, \gamma_{\text{M0}}} \right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le mécanisme est celui d'un emporte-pièce. Le groupe de boulons, poussé vers le bas, tend à découper dans la platine un bloc rectangulaire qui l'entoure. Ce bloc ne se détache pas d'un seul mouvement : deux mécanismes coopèrent. Le long de la file de boulons, la matière glisse — c'est du cisaillement, et l'aire concernée est verticale, orientée dans le sens de l'effort. Perpendiculairement, la matière se déchire — c'est de la traction, et l'aire concernée est horizontale. Les deux surfaces atteignent leur capacité au même instant, ce qui justifie qu'on additionne leurs contributions plutôt que de retenir la plus faible. Sur une platine d'about suffisamment haute, le bloc ne se forme pas au centre mais se dédouble : deux blocs latéraux se détachent vers les bords extérieurs, un de chaque côté, d'où le facteur 2 en tête de l'expression.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{Rd},\text{b}} \) : résistance de calcul à la rupture de bloc, unité : \( \text{N} \)
\( A_{\text{nt}} \) : aire nette soumise à traction, par bloc, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( A_{\text{nv}} \) : aire nette soumise à cisaillement, par bloc, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( f_{\text{u}} \) : résistance à la rupture, régime de traction, unité : \( \text{MPa} \)
\( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité, régime de cisaillement, unité : \( \text{MPa} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'énoncés citent la rupture de bloc dans leurs mises en garde, puis s'abstiennent de la calculer…"

L'approche d'ingénieur : On la trouve souvent citée dans les points de vigilance, où son omission est qualifiée de « faute professionnelle grave » — et tout aussi souvent absente des calculs qui suivent.

L'erreur : Considérer que la pression diamétrale couvre la rupture de bloc. Ce sont deux mécanismes distincts : l'une vérifie le contact local d'un boulon, l'autre l'arrachement d'un pan de matière entier.
La bonne méthode : Identifier le bloc géométrique susceptible de se détacher, en distinguant clairement l'aire tendue de l'aire cisaillée, puis appliquer l'art. 3.10.2 avec les coefficients partiels propres à chacune.
L'astuce de pro : Dessinez le contour du bloc sur un croquis avant de calculer la moindre aire. Le cisaillement est parallèle à l'effort, la traction lui est perpendiculaire : cette règle suffit à orienter les deux surfaces.
Le moyen mnémotechnique : « Le bloc glisse sur les côtés et se déchire au bout. » Deux surfaces, deux mécanismes, deux régimes de contrainte — et une somme, pas un minimum.
L'impact direct : Ici la rupture de bloc donne 485,2 kN et ne gouverne pas. Mais sur une attache où les pinces seraient réduites de moitié, elle tomberait sous les 250 kN et deviendrait le mode critique — sans qu'aucun autre calcul ne l'annonce.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Hauteur et épaisseur de platine : 170 et 10 mm, leur produit donne \( 1\,700\ \text{mm}^2 \) par file.
Contrainte de cisaillement : \( f_{\text{y}}/\sqrt{3} = 235/1{,}732 = \mathbf{135{,}7}\ \text{MPa} \) — même repère qu'en résistance des sections.
Aires nettes : en \( \text{mm}^2 \), obtenues en retranchant les diamètres de perçage des longueurs brutes.
Résistances : produits \( \text{mm}^2 \times \text{MPa} \), donc en newtons, à diviser par 1 000.
Coefficients partiels : \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \) sur section brute, \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \) sur section nette et aire tendue.

Quatre étapes composent cette vérification : le cisaillement de section brute, celui de section nette, la rupture de bloc, puis la synthèse qui retient le mode le plus défavorable des trois.

1. Résolution Numérique Cisaillement de la section brute de la platine

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la platine doit transmettre l'effort sur toute sa hauteur, et que c'est le mode qui mobilise le plus de matière — donc souvent le plus révélateur sur une platine mince.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule du SCI P358 aux deux bandes verticales de la platine, en intégrant le coefficient 1,27 qui couvre la flexion concomitante.

Substitution : On injecte \( h_{\text{p}} = 170\ \text{mm} \), \( t_{\text{p}} = 10\ \text{mm} \), \( f_{\text{y}} = 235\ \text{MPa} \) et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \).
Piège évité : Ne pas oublier le facteur 2 : la platine travaille comme deux bandes verticales, une par file de boulons.
Hypothèse validée : L'attache est articulée et ne transmet que du tranchant. Le coefficient 1,27 couvre la seule flexion parasite d'excentrement, pas un moment de calcul.
Vérification croisée : Sans le coefficient 1,27, on obtiendrait 461,2 kN. La pénalité est donc de 21 %, ce qui correspond bien à \( 1 - 1/1{,}27 \).
Finalité : Établir le premier des trois modes de la platine, à comparer aux deux autres.

\[ \begin{aligned} V_{\text{Rd},\text{g}} &= \frac{2 \, h_{\text{p}} \, t_{\text{p}} \, f_{\text{y}}}{1{,}27 \sqrt{3} \, \gamma_{\text{M0}}} \\ &= \frac{2 \times 170 \times 10 \times 235}{1{,}27 \times 1{,}732 \times 1{,}00} \\ &= \frac{799\,000}{2{,}200} \\ &= 363\,200 \ \text{N} = \mathbf{363{,}2} \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La platine résiste à 363,2 kN en section brute, soit un taux de 41,3 %. C'est très légèrement plus critique que sa pression diamétrale, établie à 41,9 %.

Ordre de grandeur : 363,2 kN pour 150 appliqués : la réserve est de 59 %. Une platine de 10 mm est manifestement bien dimensionnée pour cet effort.
Impact sur la suite : Ce taux sera à comparer aux deux autres modes de la platine, et le plus défavorable des trois sera retenu au tableau de synthèse.
Cohérence : La contrainte de cisaillement vaut \( 150\,000/(2 \times 1\,700) = 44{,}1\ \text{MPa} \), soit 33 % de \( f_{\text{y}}/\sqrt{3} \) — cohérent avec un taux de 41 % une fois le coefficient 1,27 appliqué.
Attention : Le coefficient 1,27 n'apparaît pas dans le texte de l'Eurocode : il vient du guide d'application SCI P358. C'est un raffinement de bonne pratique, pas une exigence normative directe.
Comparaison : Une platine de 8 mm donnerait 290,6 kN et un taux de 0,516 : toujours vérifiée, mais le mode passerait devant la pression diamétrale.

Remarque pédagogique : Le coefficient 1,27 est un bon exemple de ce que les guides d'application apportent au-delà du texte normatif. L'Eurocode donne la résistance au cisaillement d'une section, mais ne dit rien de la flexion parasite qu'une platine d'about subit du fait de l'excentrement entre l'âme soudée et la ligne de boulons. Les essais ont montré que cette flexion consomme environ un cinquième de la capacité, et le SCI a traduit ce constat par un coefficient forfaitaire simple d'emploi. Vous rencontrerez souvent cette situation : le texte normatif fixe le cadre, les guides d'application le rendent utilisable sur des configurations réelles. C'est la raison d'être des recommandations du CNC2M en France, du SCI au Royaume-Uni, ou des documents Access-Steel à l'échelle européenne.

Cisaillement de la section nette de la platine

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les quatre perçages retirent 21 % de la matière là où l'effort transite, et que la section affaiblie relève d'un régime de contrainte différent.

Méthodologie du calcul :

On calcule l'aire nette d'une file en retranchant les deux diamètres de perçage, puis on applique la résistance à la rupture avec le coefficient partiel des sections nettes.

Substitution : On injecte \( h_{\text{p}} = 170 \), \( n_1 = 2 \) rangées, \( d_0 = 18\ \text{mm} \), \( f_{\text{u}} = 360\ \text{MPa} \) et \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \).
Piège évité : Déduire le diamètre de perçage \( d_0 = 18 \) et non le diamètre du boulon. C'est la matière absente qui compte, pas celle qui l'occupe.
Hypothèse validée : La section critique est celle qui passe par les deux trous d'une même file, mesurée verticalement, dans le sens de l'effort.
Vérification croisée : L'aire nette représente \( 134/170 = 79\ \% \) de l'aire brute, mais \( f_{\text{u}}/f_{\text{y}} = 1{,}53 \) : le changement de régime compense largement la perte de section.
Finalité : Établir le deuxième mode de la platine et vérifier s'il est plus ou moins critique que la section brute.

\[ \begin{aligned} A_{\text{v},\text{net}} &= t_{\text{p}} \, (h_{\text{p}} - n_1 \, d_0) \\ &= 10 \times (170 - 2 \times 18) = 1\,340 \ \text{mm}^2 \\ &\quad V_{\text{Rd},\text{n}} = \frac{2 \, A_{\text{v},\text{net}} \, f_{\text{u}}}{\sqrt{3} \, \gamma_{\text{M2}}} \\ &= \frac{2 \times 1\,340 \times 360}{1{,}732 \times 1{,}25} \\ &= 445\,600 \ \text{N} = \mathbf{445{,}6} \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La section nette résiste à 445,6 kN, soit un taux de 33,7 %. Elle est donc moins critique que la section brute, ce qui peut sembler paradoxal.

Ordre de grandeur : 445,6 contre 363,2 kN : la section affaiblie résiste mieux que la section pleine. Le paradoxe n'est qu'apparent.
Impact sur la suite : Ce mode ne gouverne pas la platine. C'est le cisaillement de section brute qui reste, pour l'instant, le plus défavorable des deux.
Cohérence : Le rapport des résistances vaut 1,23. Il se décompose en \( 0{,}79 \times 1{,}53 \times 1{,}27/1{,}25 = 1{,}23 \) : perte de section, gain de régime, effet du coefficient 1,27.
Attention : Ce résultat tient à la faible densité de perçage : deux trous sur 170 mm. Avec quatre rangées, l'aire nette tomberait à 98 mm de hauteur utile et le mode passerait devant.
Comparaison : En acier S355, \( f_{\text{u}}/f_{\text{y}} = 490/355 = 1{,}38 \) au lieu de 1,53 : l'avantage de la section nette se réduirait, et les deux modes se rapprocheraient.

Remarque pédagogique : Qu'une section affaiblie résiste mieux qu'une section pleine surprend toujours, et l'explication vaut d'être comprise. Trois effets se combinent ici. D'abord la section nette perd 21 % de matière — c'est le seul effet défavorable. Ensuite elle mobilise \( f_{\text{u}} = 360 \) au lieu de \( f_{\text{y}} = 235 \), soit 53 % de plus, parce que la ruine y est une rupture franche et non une plastification. Enfin elle échappe au coefficient 1,27, la flexion parasite étant déjà couverte ailleurs. Le bilan est nettement favorable. Ce résultat s'inverse cependant dès que le perçage se densifie : c'est la raison pour laquelle la norme impose de vérifier les deux modes plutôt que de se fier à une intuition qui dépend de la géométrie.

Rupture de bloc de la platine

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un pan entier de platine peut s'arracher autour du groupe de boulons, sans qu'aucun des modes précédents n'ait été atteint.

Méthodologie du calcul :

On identifie d'abord la géométrie du bloc selon le critère d'élancement du SCI P358, on calcule les deux aires nettes, puis on additionne leurs contributions avec leurs coefficients partiels respectifs.

Substitution : On vérifie \( h_{\text{p}} = 170 \gt 1{,}36 \, p_2 = 95{,}2\ \text{mm} \), ce qui désigne la configuration à deux blocs latéraux.
Piège évité : L'aire tendue s'étend vers le bord extérieur de la platine — distance \( e_2 \) — et non entre les deux files de boulons. C'est la géométrie propre aux platines d'about hautes.
Hypothèse validée : Le chargement est concentrique sur le groupe : c'est l'expression \( V_{\text{Rd},\text{b}} \) complète qui s'applique, sans le facteur 0,5 des chargements excentrés.
Vérification croisée : Les deux contributions valent 89,3 et 153,3 kN : elles sont du même ordre de grandeur, ce qui confirme que les aires ont été correctement identifiées.
Finalité : Établir le troisième mode de la platine et clore sa vérification.

\[ \begin{aligned} A_{\text{nt}} &= t_{\text{p}} \left( e_2 - \frac{d_0}{2} \right) = 10 \times (40 - 9) = 310 \ \text{mm}^2 \\ &\quad A_{\text{nv}} = t_{\text{p}} \left( h_{\text{p}} - e_1 - (n_1 - 0{,}5) \, d_0 \right) = 10 \times (170 - 30 - 27) = 1\,130 \ \text{mm}^2 \\ &\quad V_{\text{Rd},\text{b}} = 2 \left( \frac{360 \times 310}{1{,}25} + \frac{235 \times 1\,130}{1{,}732 \times 1{,}00} \right) \\ &= 2 \, (89\,280 + 153\,310) \\ &= 485\,200 \ \text{N} = \mathbf{485{,}2} \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La rupture de bloc donne 485,2 kN, soit un taux de 30,9 %. C'est le plus favorable des trois modes de la platine, et il peut être écarté.

Ordre de grandeur : 485,2 kN : c'est le mode le moins critique de la platine. La générosité des pinces retenues y est pour beaucoup.
Impact sur la suite : La résistance de la platine est donc fixée par le cisaillement de section brute, à 363,2 kN.
Cohérence : La contribution du cisaillement représente 63 % du total, celle de la traction 37 %. Le rapport est conforme à l'importance relative des deux aires.
Attention : Le résultat dépend fortement de \( e_2 \). Ramené à sa valeur minimale de 21,6 mm, le terme de traction chuterait de 63 % et la résistance tomberait à 412 kN.
Comparaison : Sur une attache aux pinces minimales — \( e_1 = 22 \), \( e_2 = 22\ \text{mm} \) — la rupture de bloc descendrait sous les 250 kN et deviendrait le mode gouvernant de l'assemblage.

Remarque pédagogique : La rupture de bloc a la réputation d'être une vérification de forme, dont l'issue serait toujours favorable. C'est vrai sur les assemblages généreusement proportionnés comme celui-ci, et faux dès que l'on cherche à compacter l'attache. Le mode devient critique dans trois situations qu'il faut connaître : les pinces réduites au minimum réglementaire, où l'aire tendue s'effondre ; les poutres grugées, où l'entaille supprime toute matière au-dessus de la file de boulons ; et les attaches très chargées sur peu de fixations, où l'effort par boulon est tel qu'il emporte la matière environnante. Dans ces trois cas, aucun autre calcul ne l'annonce — c'est précisément pour cela que la norme l'impose.

Résistance retenue pour la platine

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la platine ne peut pas être plus résistante que son mode de ruine le plus faible, et qu'il faut désigner cette valeur pour le tableau de synthèse.

Méthodologie du calcul :

On compare les trois résistances calculées et l'on retient la plus petite, en identifiant le mécanisme physique qu'elle représente.

Substitution : Trois valeurs à comparer : 363,2 kN en section brute, 445,6 en section nette et 485,2 en rupture de bloc.
Piège évité : Retenir le minimum et non la moyenne ni la somme. Ce sont trois mécanismes concurrents, dont le premier atteint provoque la ruine.
Hypothèse validée : Les trois modes portent bien sur la même pièce et le même effort : leur comparaison directe est légitime.
Vérification croisée : L'écart entre le plus faible et le plus fort n'est que de 34 %, ce qui indique une platine bien proportionnée : aucun mode n'est démesurément pénalisant.
Finalité : Verser au tableau de synthèse une valeur unique pour la résistance propre de la platine.

\[ \begin{aligned} V_{\text{Rd},\text{platine}} &= \min(363{,}2 \ ; \ 445{,}6 \ ; \ 485{,}2) \\ &= \mathbf{363{,}2} \ \text{kN} \ \text{(section brute)} \\ &\quad \frac{V_{\text{Ed}}}{V_{\text{Rd},\text{platine}}} = \frac{150}{363{,}2} = \mathbf{0{,}413} \ \le \ 1{,}0 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La platine est gouvernée par le cisaillement de sa section brute, à 363,2 kN et un taux de 41,3 %. Sa résistance propre est donc très légèrement plus critique que sa pression diamétrale.

Ordre de grandeur : 41,3 % contre 41,9 % en pression diamétrale : les deux modes de la platine sont pratiquement à égalité. C'est le signe d'un dimensionnement équilibré.
Impact sur la suite : La platine, sous ses deux formes, plafonne à 42 %. Le maillon faible de l'assemblage est donc ailleurs : il reste les cordons et les boulons.
Cohérence : Que la section brute gouverne est cohérent avec le faible nombre de trous : avec deux perçages seulement, l'affaiblissement de section reste marginal.
Attention : Cette hiérarchie n'est pas générale. Elle dépend du nombre de rangées, des pinces et de la nuance d'acier : les trois modes doivent être recalculés à chaque configuration.
Comparaison : Avec quatre rangées de boulons au lieu de deux, la section nette tomberait à 980 mm² et donnerait 325,8 kN : elle passerait devant la section brute.

Remarque pédagogique : L'égalité quasi parfaite entre les deux familles de modes de la platine — 41,3 % pour sa résistance propre, 41,9 % pour sa pression diamétrale — n'est pas un hasard mais un indicateur de bonne conception. Elle signifie qu'aucune dimension n'est manifestement en excès par rapport aux autres : l'épaisseur est cohérente avec la hauteur, les pinces avec le diamètre des boulons. Quand un mode se détache nettement des autres, c'est en général le signe d'une géométrie déséquilibrée qu'un ajustement mineur suffirait à corriger. Prenez l'habitude de lire le tableau des taux comme un diagnostic et pas seulement comme une liste de contrôles : il vous dit où se trouvent les marges, et donc où porter l'effort si le projet évolue.

GÉOMÉTRIE DE LA RUPTURE DE BLOC

RÉSULTAT FINAL

\( V_{\text{Rd},\text{platine}} \) = 363,2 kN — cisaillement de section brute

"Taux 0,413, contre 0,337 en section nette et 0,309 en rupture de bloc."

Question 4 : Cordons de soudure et synthèse des modes de ruine

Dans la tête de l'ingénieur

"Il me reste le premier maillon de la chaîne, celui par lequel l'effort entre dans l'assemblage : les deux cordons d'angle qui relient la platine à l'âme de la solive. Une platine décrite comme « soudée » sans qu'aucun cordon n'apparaisse dans les données, c'est l'omission symétrique de celle qui ferait vérifier l'âme en pression diamétrale. Une fois les cordons vérifiés, je dresserai le tableau complet des taux de travail. C'est lui, et non chaque vérification prise isolément, qui constitue la conclusion de la note : il désigne le maillon faible et dit où se trouvent les marges."

Observation : Deux cordons d'angle de 4 mm de gorge sur toute la hauteur de la platine, soit 340 mm de longueur totale pour transmettre 150 kN.
Analyse du risque : Le risque est double : oublier purement et simplement les cordons, ou surestimer leur gorge. Une gorge supérieure à 0,7 fois l'épaisseur de la pièce la plus mince ne se réalise pas correctement.
Choix stratégique : Employer la méthode simplifiée de l'art. 4.5.3.3, suffisante ici parce que les cordons travaillent essentiellement dans leur sens longitudinal, et conclure par un tableau exhaustif.
Alternative : La méthode directionnelle de l'art. 4.5.3.2 décompose les contraintes dans la section de gorge et donne un résultat un peu plus favorable. Elle demande davantage de calcul pour un gain de quelques pour cent.
Objectif visé : Fermer le chemin des efforts, puis désigner le mode gouvernant parmi les six vérifiés et conclure sur la validité de l'assemblage.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Cordons 282,7 kN, taux 0,531 — mode gouvernant : cisaillement des boulons à 0,622

Rappel Théorique : Les cordons d'angle et la lecture d'un tableau de taux

Un cordon d'angle transmet l'effort par sa section de gorge, la plus petite section du triangle de métal déposé. C'est cette section, et non la longueur des côtés visibles, qui décide de la résistance.

La gorge, pas les côtés : La gorge \( a \) est la hauteur du triangle inscrit dans le cordon, mesurée depuis la racine. Pour un cordon à côtés égaux \( z \), elle vaut \( a = z/\sqrt{2} \approx 0{,}7\,z \). Confondre les deux surestime la résistance de 41 %.
Les limites de gorge : La norme impose \( a \ge 3\ \text{mm} \), et la pratique limite la gorge à 0,7 fois l'épaisseur de la pièce la plus mince. Au-delà, le cordon surchauffe la tôle et la déforme sans gain de résistance.
Le coefficient de corrélation : \( \beta_{\text{w}} \) vaut 0,80 en S235, 0,85 en S275, 0,90 en S355 et 1,00 en S460. Comme il figure au dénominateur, un acier plus résistant rend les cordons proportionnellement moins efficaces — le métal d'apport ne suit pas la montée en nuance.
Méthode simplifiée et méthode directionnelle : La simplifiée compare la résultante à une résistance unique par unité de longueur ; elle est toujours sécuritaire. La directionnelle décompose les contraintes dans la gorge et donne jusqu'à 20 % de plus, au prix d'un calcul sensiblement plus long.
Lire un tableau de taux : Le taux le plus élevé désigne le mode gouvernant, mais l'écart entre les taux compte tout autant. Des valeurs resserrées signalent un assemblage équilibré ; un mode très détaché des autres signale une géométrie à revoir.

Équations Fondamentales

Trois relations closent l'étude : la contrainte admissible dans la gorge, la résistance des cordons, et le critère de synthèse qui désigne le mode gouvernant.

Résistance de calcul par unité de longueur — EN 1993-1-8 art. 4.5.3.3 :

Elle donne la contrainte que la section de gorge peut supporter.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le métal d'apport et la zone affectée thermiquement n'ont pas les mêmes propriétés que le métal de base. Le coefficient \( \beta_{\text{w}} \) traduit cette différence de comportement.

Contexte de validité : Cordons d'angle, métal d'apport de caractéristiques au moins égales à celles du métal de base. Les soudures bout à bout à pleine pénétration relèvent de l'art. 4.7.
Avantage : Elle donne une valeur unique, indépendante de l'orientation de l'effort, ce qui rend la méthode simplifiée très rapide à mettre en œuvre.
Paramètre clé : Le coefficient de corrélation \( \beta_{\text{w}} \), qui croît avec la nuance et pénalise donc les aciers à haute limite d'élasticité.
Vérification : Pour un S235 avec \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \), la valeur est toujours 207,8 MPa. C'est un repère à mémoriser, comme les 135,7 MPa du cisaillement de section.
Limite : La méthode simplifiée est conservative pour les cordons sollicités perpendiculairement à leur axe : la directionnelle y donne jusqu'à 20 % de plus.

\[ \begin{aligned} f_{\text{vw},\text{d}} = \frac{f_{\text{u}} / \sqrt{3}}{\beta_{\text{w}} \, \gamma_{\text{M2}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'expression donne la contrainte de cisaillement admissible dans la gorge du cordon. Le terme \( f_{\text{u}}/\sqrt{3} \) est la résistance au glissement du métal, obtenue par le critère de von Mises à partir de la résistance à la rupture — on retrouve le même \( \sqrt{3} \) que dans le cisaillement des profilés. Le coefficient \( \beta_{\text{w}} \) corrige ensuite pour tenir compte du métal d'apport et de la zone affectée thermiquement, dont les propriétés diffèrent de celles du métal de base. Son évolution avec la nuance est instructive : plus l'acier de base est résistant, plus l'écart avec le métal déposé se creuse, et plus le coefficient pénalise. C'est pourquoi passer en S355 n'améliore les cordons que de 22 % alors que \( f_{\text{u}} \) augmente de 36 %.

Décomposition des termes :

\( f_{\text{vw},\text{d}} \) : résistance de calcul au cisaillement de la gorge, unité : \( \text{MPa} \)
\( f_{\text{u}} \) : résistance à la rupture de la pièce la plus faible, unité : \( \text{MPa} \)
\( \beta_{\text{w}} \) : coefficient de corrélation dépendant de la nuance, unité : sans dimension
\( \gamma_{\text{M2}} \) : coefficient partiel de résistance des assemblages, unité : sans dimension

Résistance d'un ensemble de cordons d'angle :

Elle convertit la contrainte admissible en effort transmissible.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la vérification porte sur un effort et non sur une contrainte. Il faut multiplier par la section de gorge effectivement mobilisée.

Contexte de validité : Cordons continus sur toute la longueur retenue. Les cordons discontinus imposent des déductions et relèvent de l'art. 4.5.1(3).
Avantage : Elle est linéaire en gorge comme en longueur : allonger un cordon de 20 % ou grossir sa gorge de 20 % produit le même gain.
Paramètre clé : La longueur totale \( L_{\text{w}} \), qui compte tous les cordons mobilisés. Ici deux cordons de 170 mm, soit 340 mm.
Vérification : Un cordon de 4 mm de gorge en S235 transmet 0,83 kN par millimètre. Ce repère permet un dimensionnement mental immédiat.
Limite : Elle suppose une répartition uniforme le long du cordon. L'excentrement de l'effort crée en réalité une concentration aux extrémités, que la ductilité du métal déposé absorbe.

\[ \begin{aligned} F_{\text{w},\text{Rd}} = f_{\text{vw},\text{d}} \, a \, L_{\text{w}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'expression traduit un fait simple : le cordon transmet l'effort par sa section de gorge, dont l'aire vaut \( a \times L_{\text{w}} \). Le choix de la gorge comme section de référence n'est pas arbitraire : c'est la section la plus étroite du triangle de métal déposé, celle par laquelle l'effort doit nécessairement transiter quelle que soit son orientation. Un cordon peut être sollicité en cisaillement longitudinal, en cisaillement transversal ou en traction : dans les trois cas, la gorge est le passage obligé. C'est ce qui permet à la méthode simplifiée de n'employer qu'une seule contrainte admissible, sans décomposer selon la direction — au prix d'un certain conservatisme pour les sollicitations transversales, que le métal encaisse en réalité mieux.

Décomposition des termes :

\( F_{\text{w},\text{Rd}} \) : résistance de calcul de l'ensemble des cordons, unité : \( \text{N} \)
\( f_{\text{vw},\text{d}} \) : résistance de calcul au cisaillement de la gorge, unité : \( \text{MPa} \)
\( a \) : gorge du cordon, unité : \( \text{mm} \)
\( L_{\text{w}} \) : longueur totale de cordon mobilisée, unité : \( \text{mm} \)

Critère de synthèse d'un assemblage :

Il désigne le mode gouvernant et statue sur la validité de l'attache.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un assemblage est une chaîne : sa capacité est celle du maillon le plus faible, et aucune vérification prise isolément ne permet de conclure.

Contexte de validité : Tous les modes pertinents doivent avoir été examinés. Une conclusion tirée d'une liste incomplète n'a aucune valeur, quelle que soit la qualité des calculs qu'elle résume.
Avantage : Le tableau des taux est immédiatement lisible par un tiers et constitue à lui seul la synthèse de la note de calculs.
Paramètre clé : Le taux le plus élevé, qui désigne le mode gouvernant et fixe la capacité réelle de l'assemblage.
Vérification : L'écart entre les taux est aussi informatif que leur valeur : resserrés, ils signalent un assemblage équilibré ; dispersés, une géométrie perfectible.
Limite : Le critère ne dit rien des modes non examinés. C'est pourquoi la liste doit être établie par le cheminement des efforts, et non de mémoire.

\[ \begin{aligned} \max_{\text{i}} \left( \frac{V_{\text{Ed}}}{R_{\text{d},\text{i}}} \right) \le 1{,}0 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le critère formalise l'analogie de la chaîne, qui est la bonne façon de penser un assemblage. Chaque composant — boulon, plaque, cordon — constitue un maillon, et l'effort les traverse tous successivement. La rupture survient dès que l'un d'eux atteint sa capacité, sans que la générosité des autres n'y change rien. C'est la différence fondamentale avec un élément de structure, où les sections en excès peuvent redistribuer l'effort vers les sections critiques. Dans un assemblage, il n'y a aucun chemin alternatif : l'effort ne peut pas contourner un boulon. C'est ce qui rend l'exhaustivité de la liste des modes plus importante que la précision de chaque calcul pris isolément.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{Ed}} \) : effort tranchant de calcul à l'ELU, unité : \( \text{kN} \)
\( R_{\text{d},\text{i}} \) : résistance de calcul du mode de ruine numéro \( i \), unité : \( \text{kN} \)
\( \max_{\text{i}} \) : taux du mode gouvernant, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup de notes de calculs vérifient les boulons avec un soin extrême et oublient purement et simplement les cordons de soudure…"

L'approche d'ingénieur : Décrire une platine « soudée à la solive » sans faire apparaître le moindre cordon est l'omission symétrique de celle qui ferait vérifier l'âme en pression diamétrale : dans les deux cas, on calcule autre chose que ce qui travaille.

L'erreur : Considérer la soudure comme acquise parce qu'elle ne figure pas dans les données. Ici, les cordons travaillent à 53,1 % : c'est le troisième mode le plus sollicité de l'assemblage.
La bonne méthode : Traiter le cordon comme n'importe quel autre composant : gorge, longueur, contrainte admissible. Trois lignes suffisent une fois la géométrie connue.
L'astuce de pro : Mémorisez la capacité linéique : un cordon de gorge \( a \) en S235 transmet \( 0{,}208\,a \) kN par millimètre. Pour \( a = 4 \), cela fait 0,83 kN/mm — un dimensionnement mental en deux secondes.
Le moyen mnémotechnique : « Ce qui est soudé se vérifie aussi. » Un cordon n'est pas un détail d'exécution : c'est un composant structural avec sa propre résistance.
L'impact direct : Avec une gorge de 3 mm au lieu de 4, la résistance tomberait à 212 kN et le taux monterait à 0,708 : les cordons deviendraient le mode gouvernant, devant les boulons.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Gorge : 4 mm, à ne pas confondre avec le côté du cordon \( z = a\sqrt{2} = 5{,}7\ \text{mm} \).
Longueur totale : deux cordons de 170 mm, soit \( L_{\text{w}} = 340\ \text{mm} \).
Contrainte admissible : \( f_{\text{vw},\text{d}} = \mathbf{207{,}8}\ \text{MPa} \) pour un S235 avec \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \).
Produit \( f_{\text{vw},\text{d}} \, a \, L_{\text{w}} \) : en newtons, à diviser par 1 000 pour comparer aux kilonewtons.
Taux de travail : rapport de deux forces, donc sans dimension et directement comparable d'un mode à l'autre.

Trois étapes closent l'étude : le contrôle de la gorge, la résistance des cordons, puis le tableau de synthèse qui désigne le mode gouvernant et conclut sur l'assemblage.

1. Résolution Numérique Contrôle de la gorge et contrainte admissible

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une gorge trop faible ne résiste pas et qu'une gorge trop forte ne se réalise pas correctement : les deux bornes doivent être vérifiées avant tout calcul de résistance.

Méthodologie du calcul :

On confronte la gorge retenue aux deux limites de l'art. 4.5.2, puis on calcule la contrainte admissible dans la section de gorge pour l'acier S235.

Substitution : On injecte \( f_{\text{u}} = 360\ \text{MPa} \), \( \beta_{\text{w}} = 0{,}80 \) pour le S235 et \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \).
Piège évité : La borne supérieure porte sur l'épaisseur de la pièce la plus mince, ici l'âme de la solive à 6,2 mm et non la platine à 10 mm.
Hypothèse validée : Le métal d'apport est supposé de caractéristiques au moins égales à celles du métal de base, condition de l'art. 4.5.3.3.
Vérification croisée : \( \beta_{\text{w}} \gamma_{\text{M2}} = 0{,}80 \times 1{,}25 = 1{,}00 \) exactement : la contrainte admissible se réduit à \( f_{\text{u}}/\sqrt{3} \), coïncidence propre au S235.
Finalité : Valider la gorge retenue et disposer de la contrainte admissible pour l'étape suivante.

\[ \begin{aligned} a = 4{,}0 &\ \ge \ 3{,}0 \ \text{mm} \ \text{(minimum, art. 4.5.2)} \\ &\quad a = 4{,}0 : \ \le \ 0{,}7 \, t_{\text{w}} = 0{,}7 \times 6{,}2 = 4{,}34 \ \text{mm} \\ &\quad f_{\text{vw},\text{d}} = \frac{f_{\text{u}} / \sqrt{3}}{\beta_{\text{w}} \, \gamma_{\text{M2}}} = \frac{360 / 1{,}732}{0{,}80 \times 1{,}25} \\ &= \frac{207{,}8}{1{,}00} = \mathbf{207{,}8} \ \text{MPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La gorge de 4 mm respecte les deux bornes, la supérieure de justesse — 4,00 pour 4,34 admissibles. La contrainte admissible vaut 207,8 MPa.

Ordre de grandeur : 207,8 MPa, soit 58 % de \( f_{\text{u}} \). Le facteur \( \beta_{\text{w}} \gamma_{\text{M2}} \) valant exactement 1,00 en S235, seul le \( \sqrt{3} \) intervient.
Impact sur la suite : Cette contrainte, multipliée par la section de gorge, donnera directement la résistance des cordons.
Cohérence : La gorge de 4 mm correspond à un côté de cordon \( z = 4\sqrt{2} = 5{,}7\ \text{mm} \), valeur usuelle en atelier pour souder une tôle de 6 mm.
Attention : La marge sur la borne supérieure n'est que de 8 %. Une gorge de 5 mm serait au-delà : elle déformerait l'âme par apport thermique excessif sans gain réel de résistance.
Comparaison : En S355, \( \beta_{\text{w}} \) passe à 0,90 et \( f_{\text{u}} \) à 490 MPa : la contrainte admissible monterait à 251,5 MPa, soit +21 % seulement pour +36 % de résistance de base.

Remarque pédagogique : La coïncidence \( \beta_{\text{w}} \gamma_{\text{M2}} = 1{,}00 \) en acier S235 avec le coefficient partiel français est trop commode pour être ignorée : elle donne \( f_{\text{vw},\text{d}} = f_{\text{u}}/\sqrt{3} = 207{,}8\ \text{MPa} \), valeur qui se retient sans effort. Attention cependant à ne pas la généraliser. Elle disparaît dès qu'on change de nuance — en S355, \( 0{,}90 \times 1{,}25 = 1{,}125 \) — et elle disparaît aussi avec le coefficient partiel britannique de 1,10, qui donnerait 0,88 et une contrainte admissible de 236 MPa. Autrement dit, ce repère mémorisable est valable pour le S235 calculé en France, et pour rien d'autre. Les repères sont utiles à condition de savoir dans quelles limites ils tiennent.

Résistance des cordons et taux de travail

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les cordons sont le premier maillon de la chaîne : c'est par eux que l'effort entre dans l'assemblage, et leur ruine serait aussi complète que celle des boulons.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la contrainte admissible par la section de gorge totale des deux cordons, puis on forme le rapport avec l'effort tranchant de calcul.

Substitution : On injecte \( f_{\text{vw},\text{d}} = 207{,}8\ \text{MPa} \), \( a = 4\ \text{mm} \) et \( L_{\text{w}} = 2 \times 170 = 340\ \text{mm} \).
Piège évité : Compter les deux cordons, un de chaque côté de l'âme. N'en compter qu'un diviserait la résistance par deux.
Hypothèse validée : Les cordons sont continus sur toute la hauteur de la platine et travaillent essentiellement dans leur sens longitudinal.
Vérification croisée : La capacité linéique vaut \( 207{,}8 \times 4 = 831\ \text{N/mm} \), soit 0,83 kN par millimètre de cordon. Le contrôle est immédiat.
Finalité : Obtenir le sixième et dernier taux de travail avant la synthèse.

\[ \begin{aligned} F_{\text{w},\text{Rd}} &= f_{\text{vw},\text{d}} \, a \, L_{\text{w}} \\ &= 207{,}8 \times 4 \times 340 \\ &= 282\,700 \ \text{N} = \mathbf{282{,}7} \ \text{kN} \\ &\quad \frac{V_{\text{Ed}}}{F_{\text{w},\text{Rd}}} = \frac{150}{282{,}7} = \mathbf{0{,}531} \ \le \ 1{,}0 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les cordons résistent à 282,7 kN et travaillent à 53,1 %. Loin d'être négligeables, ils constituent le troisième mode le plus sollicité de l'assemblage.

Ordre de grandeur : 53,1 % : c'est un taux significatif, très au-dessus des 21,7 % de l'aile du poteau. L'omission de cette vérification n'était pas anodine.
Impact sur la suite : Ce taux entre au tableau de synthèse en troisième position, derrière le cisaillement des boulons et celui de l'âme de la solive.
Cohérence : La contrainte réelle dans la gorge vaut \( 150\,000/(4 \times 340) = 110{,}3\ \text{MPa} \), soit bien 53 % de la valeur admissible. Le contrôle boucle.
Attention : Avec une gorge de 3 mm, minimum réglementaire, la résistance tomberait à 212 kN et le taux à 0,708 : les cordons deviendraient le mode gouvernant.
Comparaison : La méthode directionnelle de l'art. 4.5.3.2 donnerait ici de l'ordre de 300 kN, soit 6 % de plus. Le gain ne justifie pas le surcroît de calcul sur une attache aussi peu tendue.

Remarque pédagogique : Le taux de 53 % obtenu sur les cordons mérite qu'on s'y arrête. On pourrait croire leur omission sans conséquence — après tout, l'assemblage reste vérifié. Elle le serait si la gorge était de 5 ou 6 mm. Avec 4 mm, les cordons sont le troisième mode le plus sollicité de tout l'assemblage, et une gorge de 3 mm, pourtant réglementaire, les aurait rendus gouvernants. C'est là toute la difficulté des vérifications omises : leur innocuité ne se constate qu'après les avoir faites. Tant qu'on ne les a pas menées, on ignore si l'on a eu de la chance ou du jugement.

Synthèse des six modes et désignation du maillon faible

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'aucune vérification prise isolément ne permet de conclure : c'est la confrontation de tous les taux qui constitue la véritable réponse à la question posée.

Méthodologie du calcul :

On rassemble les six taux de travail établis, on y ajoute le recoupement du cisaillement de l'âme de la solive, puis on désigne le maximum comme mode gouvernant.

Substitution : Six modes vérifiés : boulons 0,622, âme de la solive 0,577, cordons 0,531, pression diamétrale platine 0,419, platine 0,413, pression diamétrale aile 0,217.
Piège évité : Retenir le maximum et non la moyenne. Un assemblage cède au premier maillon qui lâche, pas à la moyenne de ses composants.
Hypothèse validée : La liste est établie par le cheminement des efforts : cordons, platine, boulons, aile du poteau. Aucun composant traversé n'a été omis.
Vérification croisée : Le cisaillement de l'âme de l'IPE 240 — \( V_{\text{pl},\text{Rd}} = 1\,915 \times 135{,}7 = 259{,}8\ \text{kN} \) — donne 0,577 : l'attache est bien cohérente avec la poutre qu'elle relie.
Finalité : Statuer sur la validité de l'assemblage et désigner le composant qui fixe sa capacité réelle.

\[ \begin{aligned} \text{boulons, cisaillement} &: \ 150/241{,}2 = \mathbf{0{,}622} \\ &\quad \text{ame de la solive} : \ 150/259{,}8 = 0{,}577 \\ &\quad \text{cordons de soudure} : \ 150/282{,}7 = 0{,}531 \\ &\quad \text{platine, pression diametrale} : \ 150/358{,}4 = 0{,}419 \\ &\quad \text{platine, section brute} : \ 150/363{,}2 = 0{,}413 \\ &\quad \text{aile du poteau} : \ 150/691{,}2 = 0{,}217 \\ &\quad \max = 0{,}622 \ \le \ 1{,}0 \ \Rightarrow \ \mathbf{assemblage\ verifie} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'assemblage est vérifié : tous les taux restent sous 1,0. Le mode gouvernant est le cisaillement des boulons, à 62,2 %, avec une réserve globale de 38 %.

Ordre de grandeur : Les trois premiers taux — 0,622, 0,577 et 0,531 — sont très resserrés. C'est la signature d'un assemblage équilibré, où aucun composant n'est manifestement surdimensionné.
Impact sur la suite : La capacité réelle de l'attache vaut 241,2 kN, fixée par la boulonnerie. C'est cette valeur, et non les 691 kN de l'aile du poteau, qu'il faudrait retenir si le projet évoluait.
Cohérence : L'âme de la solive travaille à 57,7 %, très près des boulons : l'attache est bien proportionnée à la poutre. Un écart important aurait signalé une incohérence de conception.
Attention : Désigner la pression diamétrale de l'âme comme gouvernante à 94 %. Le vrai maillon faible est ailleurs, et à un niveau de sollicitation bien inférieur.
Comparaison : Pour gagner de la capacité, il faudrait agir sur les boulons : passer en M20 porterait leur résistance à 376,4 kN, et le mode gouvernant basculerait alors sur l'âme de la solive à 57,7 %.

Remarque pédagogique : Ce tableau se lit sur deux niveaux, et le second est le plus instructif. Au premier niveau, il répond à la question posée : l'assemblage tient, le maillon faible est la boulonnerie, la réserve est de 38 %. Au second, il diagnostique la conception. Les trois premiers taux sont resserrés entre 53 et 62 % : boulons, âme de la solive et cordons arrivent pratiquement ensemble, ce qui signifie qu'aucun de ces trois composants n'est gaspillé. La platine, à 41 %, dispose d'une marge plus large — on pourrait la réduire à 8 mm — et l'aile du poteau, à 22 %, est hors de cause par nature. Enfin, et c'est le point le plus important, la proximité entre le taux des boulons et celui de l'âme de la solive indique que l'attache est dimensionnée à la mesure de la poutre qu'elle relie. Un assemblage nettement plus faible que sa poutre serait un point de fragilité ; nettement plus fort, il serait de l'acier dépensé pour rien.

RÉSULTAT FINAL

\( \max(V_{\text{Ed}}/R_{\text{d}}) \) = 0,622 ≤ 1,0 — assemblage vérifié

"Mode gouvernant : cisaillement des boulons. Capacité réelle de l'attache 241,2 kN."

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

BILAN DES CALCULS

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cette étude, vérifiez que vous avez assimilé la démarche complète, du chemin des efforts au mode gouvernant :

J'ai suivi l'effort pièce par pièce avant d'ouvrir la norme, et j'ai établi que l'âme de la solive n'est pas percée. J'ai employé la section résistante \( A_{\text{s}} \) et non la section nominale, sachant que l'écart de 28 % joue toujours du mauvais côté. J'ai calculé \( \alpha_{\text{b}} \) rangée par rangée, en distinguant le boulon d'extrémité du boulon intérieur au lieu de prendre un minimum unique. J'ai reconnu que l'aile du poteau n'a pas de bord libre dans le sens de l'effort, et que ses pinces ne sont pas celles de la platine. J'ai vérifié la rupture de bloc et les cordons, les deux modes que l'on cite volontiers sans jamais les calculer.

Avis technique — assemblage CONFORME. Les six composants vérifiés restent sous l'unité. Le mode gouvernant est le cisaillement des boulons, à 62,2 %, suivi du cisaillement de l'âme de la solive à 57,7 % et des cordons de soudure à 53,1 %. La pression diamétrale, elle, ne dépasse pas 41,9 % sur la platine et 21,7 % sur l'aile du poteau — l'épaisseur de ces pièces est largement suffisante. Une réserve conditionne cet avis : le cisaillement des boulons étant le composant gouvernant, c'est leur nombre ou leur classe qu'il faudrait revoir en cas d'augmentation de la réaction d'appui, et non l'épaisseur des tôles. Deux vérifications restent hors périmètre : la rupture de bloc autour du groupe de boulons, et la classification de l'assemblage en articulé ou semi-rigide, qui conditionne le schéma statique retenu pour la poutre.

La plus-value technique de cette étude tient précisément là : elle ne se contente pas de vérifier des boulons, elle suit l'effort à travers les six composants qu'il traverse, les classe, et désigne celui sur lequel agir.

Exercices structure métalliqueÉtape 7 sur 42

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