Calcul des charges concentrées
Charge concentrée excentrée, diagrammes de sollicitations et vérification en flexion d'un profilé laminé
Contexte de l'Étude & Enjeux
Le Contexte : La reconversion d'une halle industrielle conduit à déplacer un poteau porteur, qui transmet désormais une charge concentrée importante sur une poutre métallique initialement conçue pour des charges réparties. Cette charge ne s'applique pas au milieu de la travée mais à 2,50 m de l'appui gauche, ce qui rompt la symétrie et modifie profondément l'allure des diagrammes : l'effort tranchant devient discontinu et le moment maximal se déplace hors de la mi-travée. La vérification de la poutre exige donc de localiser correctement la section la plus sollicitée avant de la confronter à la résistance du profilé.
Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :
-
Une dissymétrie qui change tout : Les deux réactions ne sont plus égales, et l'appui le plus proche de la charge en reprend la plus grande part. Le moment maximal se situe sous la charge, non à mi-travée.
-
Un diagramme discontinu : Une charge concentrée est une densité infinie de charge sur une longueur nulle : l'effort tranchant y saute au lieu de varier continûment, et le saut vaut exactement la charge.
-
Une limite d'élasticité qui dépend de l'épaisseur : L'EN 10025-2 fixe des valeurs décroissantes par tranches d'épaisseur. La semelle de ce profilé mesure 16,5 mm et relève donc de la seconde tranche, non de la première.
Déterminer les réactions d'appui, établir les diagrammes de sollicitations, localiser la section la plus sollicitée et vérifier la résistance du profilé en flexion.
- Isoler et équilibrer : Déterminer les réactions verticales aux deux appuis par les équations de la statique.
- Établir l'effort tranchant : Déterminer son expression par tronçons et caractériser sa discontinuité.
- Localiser le moment maximal : Établir l'expression du moment fléchissant et déterminer la section la plus sollicitée.
- Vérifier la section : Retenir la limite d'élasticité applicable, établir la classe de section et confronter le moment à la résistance correspondante.
- Les réactions verticales aux deux appuis, exprimées en kilonewtons.
- L'expression de l'effort tranchant par tronçons et l'amplitude de sa discontinuité.
- Le moment fléchissant maximal et la position de la section correspondante.
- La limite d'élasticité applicable, la classe de section, la résistance et le taux de travail.
La charge indiquée est une valeur de calcul : les coefficients partiels lui ont déjà été appliqués, et le moment qui en découle peut donc être confronté directement à une résistance de calcul. Les caractéristiques du profilé sont celles du catalogue du producteur. On notera que deux modules de flexion y figurent, élastique et plastique : la suite montrera lequel s'applique, et pourquoi ce n'est pas au calculateur de choisir.
Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)
Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !
- Réaction sous charge excentrée \( R_{\text{A}} = \dfrac{P\,b}{L} \)
- Moment maximal sous la charge \( M_{\max} = \dfrac{P\,a\,b}{L} \)
- Résistance en flexion, classe 1 ou 2 \( M_{\text{c,Rd}} = \dfrac{W_{\text{pl,y}}\,f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \)
- Résistance en flexion, classe 3 \( M_{\text{c,Rd}} = \dfrac{W_{\text{el,min}}\,f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \)
- Taux de travail \( \text{UR} = \dfrac{M_{\text{Ed}}}{M_{\text{c,Rd}}} \)
La poutre : géométrie et caractéristiques du profilé
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( L \) | Portée libre entre les nus des voiles béton | 8,00 | m |
| \( a \) | Distance de la charge à l'appui gauche | 2,50 | m |
| \( t_{\text{f}} \) | Épaisseur des semelles du profilé HEA 340 — c'est elle qui porte les contraintes extrêmes de flexion et qui détermine donc la limite d'élasticité applicable | 16,5 | mm |
| \( W_{\text{el,y}} \) | Module de flexion élastique du profilé, valeur du catalogue — il n'intervient que si la section est de classe 3 | 1 678 | cm³ |
| \( W_{\text{pl,y}} \) | Module de flexion plastique du profilé, valeur du catalogue — il n'intervient que si la section est de classe 1 ou 2 | 1 850 | cm³ |
| \( f_{\text{y}} \) | Limite d'élasticité minimale de l'acier S355 pour une épaisseur nominale comprise entre 16 et 40 mm — tranche dont relève la semelle de 16,5 mm EN 10025-2 | 345 | MPa |
| \( \gamma_{\text{M0}} \) | Coefficient partiel de résistance des sections, quelle que soit la classe EN 1993-1-1 § 6.1(1) | 1,00 | — |
- Poutre isostatique : trois inconnues, trois équations
- Chargement dissymétrique : \( R_{\text{A}} \ne R_{\text{B}} \)
- Semelle au-delà du seuil : \( t_{\text{f}} = 16{,}5 > 16 \text{ mm} \)
L'action et sa position
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( P_{\text{Ed}} \) | Charge concentrée de calcul transmise par le poteau, coefficients partiels déjà appliqués | 240 | kN |
| \( b \) | Distance de la charge à l'appui droit, complément de la portée — c'est elle qui intervient dans la réaction de l'appui gauche | 5,50 | m |
- Charge unique : aucune autre sollicitation
- Charge excentrée : \( a \ne L/2 \)
- Critère à satisfaire : \( M_{\text{Ed}} \le M_{\text{c,Rd}} \)
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)
Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.
Limite d'élasticité de l'acier S355 par tranche d'épaisseur| Épaisseur nominale de la paroi | Limite d'élasticité |
|---|---|
| \( t \le 16 \text{ mm} \) | 355 MPa |
| \( 16 \text{ mm} < t \le 40 \text{ mm} \) — cas de cette semelle | 345 MPa |
3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé
L'étude progresse de l'équilibre extérieur vers les sollicitations internes, puis de celles-ci vers la vérification : on détermine d'abord les réactions, on en déduit les diagrammes, on localise la section la plus sollicitée, et l'on ne conclut qu'après avoir établi quelle résistance le règlement lui oppose.
Question 1 : Réactions aux appuis
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Écrire l'équation des moments autour d'un appui élimine l'inconnue qui y est appliquée.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
L'appui le plus proche de la charge en reprend la plus grande part : le résultat doit le confirmer.
Question 2 : Effort tranchant et discontinuité
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Coupez la poutre de part et d'autre du point d'application et faites le bilan des forces situées à gauche.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
La différence entre les deux valeurs obtenues doit avoir une signification physique simple.
Question 3 : Moment fléchissant maximal
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
L'effort tranchant est la dérivée du moment : le moment est extrême là où l'effort tranchant change de signe.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
L'effort tranchant ne s'annule jamais ici : il change de signe en sautant. Où ?
Question 4 (Finale) : Vérification de la section en flexion
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Un profilé en H comporte deux parois d'épaisseurs différentes : laquelle porte les contraintes extrêmes de flexion ?
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Le règlement associe à chaque classe de section une expression différente de la résistance en flexion.
Calcul des charges concentrées
"La charge n'est pas centrée : je ne peux donc pas invoquer la symétrie et me contenter d'un partage égal. Il me faut écrire une équation de moments, et le choix du point de moment est ce qui rendra le calcul immédiat plutôt que laborieux."
- Ce que je cherche : Les deux réactions verticales, données d'entrée de tous les diagrammes qui suivront.
- Ce que je choisis : Le point de moment. En l'écrivant sur un appui, j'élimine la réaction qui s'y applique et obtiens l'autre isolément.
- Ce que je contrôle : Que l'appui le plus proche de la charge en reprend la plus grande part — vérification physique immédiate.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Une poutre reposant sur une rotule et un appui à rouleau présente trois inconnues de liaison. L'équilibre d'un solide plan fournissant trois équations, le système est isostatique et les réactions se déterminent sans faire intervenir ni la section ni le matériau.
Deux relations sont mobilisées : la réaction obtenue par l'équation de moments, puis celle que l'équilibre vertical fournit.
Étape 1 — Réaction de l'appui droit par l'équation des moments :Elle donne la première réaction, isolément de la seconde.
On écrit l'équilibre des moments de toutes les forces extérieures autour de l'appui gauche. La réaction qui s'y applique a une ligne d'action passant par ce point : son moment est donc nul et elle disparaît de l'équation. Ne subsistent que la charge, dont le bras de levier est sa distance à l'appui gauche, et la réaction de l'appui droit, dont le bras de levier est la portée entière. L'équation ne comporte plus qu'une inconnue, qui s'obtient directement.
- \( R_{\text{B}} \) : réaction verticale à l'appui droit, unité : kN
- \( P \) : charge concentrée de calcul, unité : kN
- \( a \) : distance de la charge à l'appui gauche, unité : m
- \( L \) : portée entre appuis, unité : m
Elle donne la seconde réaction et ferme l'équilibre.
L'équilibre des forces verticales impose que la somme des deux réactions équilibre la charge appliquée. La réaction de l'appui droit étant désormais connue, celle de l'appui gauche s'en déduit par simple différence. En y reportant l'expression obtenue précédemment et en factorisant, on fait apparaître la distance de la charge à l'appui droit — ce qui montre que les deux réactions obéissent à la même règle, chacune faisant intervenir la distance à l'appui opposé.
- \( R_{\text{A}} \) : réaction verticale à l'appui gauche, unité : kN
- \( P \) : charge concentrée de calcul, unité : kN
- \( b \) : distance de la charge à l'appui droit, unité : m
- \( L \) : portée entre appuis, unité : m
"Intervertir les deux distances et attribuer la plus grande réaction à l'appui le plus éloigné de la charge."
- Quelle distance intervient : Celle qui sépare la charge de l'appui opposé à celui que l'on calcule. La raison en est le levier : plus la charge est proche d'un appui, plus le bras de levier de l'autre réaction doit être compensé, et plus l'appui proche reprend.
- Ce que l'erreur change numériquement : On obtiendrait \( R_{\text{A}} = 75 \text{ kN} \) et \( R_{\text{B}} = 165 \text{ kN} \), soit les deux réactions inversées. L'équilibre vertical resterait satisfait — la somme vaut toujours 240 kN — ce qui rend l'erreur indétectable par ce seul contrôle.
- Comment on la détecte : Par le sens physique : la charge est à 2,50 m de l'appui gauche et à 5,50 m de l'appui droit. L'appui gauche, plus proche, doit donc reprendre davantage. Toute répartition qui donnerait l'inverse est nécessairement fausse, quel que soit le calcul qui y mène.
Exécution de la Note de Calculs
- La charge est en kilonewtons et les distances en mètres.
- Le produit d'une force par une longueur est un moment, en kilonewtons-mètres.
- Le quotient d'un moment par une longueur redonne une force, en kilonewtons.
La réaction de l'appui droit est calculée d'abord par l'équation de moments, puis celle de l'appui gauche par différence.
1. Résolution Numérique Calcul des deux réactions d'appuiPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ces deux valeurs conditionnent tous les diagrammes : l'effort tranchant en découle directement, et le moment fléchissant par intégration.
On applique l'équation de moments autour de l'appui gauche pour obtenir la réaction droite, puis l'équilibre vertical pour la réaction gauche.
- Données employées : \( P = 240 \text{ kN} \), \( a = 2{,}50 \text{ m} \) et \( L = 8{,}00 \text{ m} \), d'où \( b = 5{,}50 \text{ m} \).
- Contrôle prévu : La somme des deux réactions doit restituer la charge, et la plus grande doit revenir à l'appui gauche.
L'appui gauche reprend 165,00 kN et l'appui droit 75,00 kN. La répartition est nettement dissymétrique : l'appui gauche, plus proche de la charge, en reprend 69 % contre 31 % pour l'appui droit.
- Contrôle d'équilibre : \( 165{,}00 + 75{,}00 = 240{,}00 \text{ kN} \) : la somme des réactions restitue exactement la charge appliquée.
- Contrôle par les distances : \( 165/75 = 2{,}20 \), à comparer à \( b/a = 5{,}50/2{,}50 = 2{,}20 \) : les réactions sont bien dans le rapport inverse des distances, comme la règle du levier l'impose.
Remarque pédagogique : Ce second contrôle est le plus sûr : il ne fait intervenir que la géométrie et permet de détecter une inversion des deux distances, que le seul contrôle d'équilibre laisserait passer. Une répartition de 69 % pour un appui situé au tiers de la portée est cohérente : la part reprise décroît linéairement à mesure que la charge s'éloigne.
"Entre l'appui gauche et la charge, aucune force ne vient s'ajouter : l'effort tranchant y sera constant. Au-delà de la charge, il change brusquement. Je m'attends donc à un diagramme en marches d'escalier, et je veux caractériser précisément ce qui se passe au point d'application."
- Ce que je cherche : L'expression de l'effort tranchant sur chacun des deux tronçons, et l'amplitude du saut qui les sépare.
- Ce que j'anticipe : Un effort constant par morceaux, puisque aucune charge répartie ne sollicite la poutre.
- Ce que je vérifie : Que la valeur du second tronçon vaut, au signe près, la réaction de l'appui droit — condition d'équilibre à l'extrémité.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
L'effort tranchant en une section est la somme algébrique des forces verticales situées d'un même côté de la coupure. Sous une charge concentrée unique, ce bilan ne change qu'une fois — au passage du point d'application — ce qui donne au diagramme une allure caractéristique.
Deux relations sont mobilisées : l'expression de l'effort tranchant sur chacun des deux tronçons, puis l'amplitude de la discontinuité qui les sépare.
Étape 1 — Effort tranchant sur les deux tronçons :Il décrit la sollicitation de cisaillement tout au long de la poutre.
On coupe la poutre à une abscisse quelconque et l'on fait le bilan des forces verticales situées à gauche de la coupure. Tant que la coupure reste en deçà du point d'application, seule la réaction de l'appui gauche intervient : l'effort tranchant lui est égal et ne dépend pas de l'abscisse. Dès que la coupure franchit ce point, la charge se trouve elle aussi à gauche et entre dans le bilan avec un signe opposé, puisqu'elle est descendante. L'effort tranchant devient alors la différence des deux, également indépendante de l'abscisse.
- \( V(x) \) : effort tranchant à l'abscisse x, unité : kN
- \( R_{\text{A}} \) : réaction à l'appui gauche, unité : kN
- \( P \) : charge concentrée de calcul, unité : kN
- \( a \) : abscisse du point d'application de la charge, unité : m
Elle caractérise ce qui se produit exactement au point d'application de la charge.
On forme la différence entre la valeur de l'effort tranchant juste avant le point d'application et sa valeur juste après. Les deux expressions établies ci-dessus ne diffèrent que par le terme de la charge : leur différence vaut donc exactement celle-ci. Le résultat est indépendant de la réaction d'appui et de la position de la charge — il ne dépend que de son intensité, ce qui en fait une propriété générale et non un résultat particulier à ce cas.
- \( \Delta V \) : amplitude de la discontinuité, unité : kN
- \( V(a^-) \) : effort tranchant juste avant la charge, unité : kN
- \( V(a^+) \) : effort tranchant juste après la charge, unité : kN
"Chercher une valeur unique de l'effort tranchant au point d'application de la charge."
- Pourquoi l'effort tranchant n'y est pas défini : Une charge concentrée est une force finie appliquée sur une longueur nulle, donc une densité de charge infinie. Le bilan des forces à gauche de la coupure change brutalement lorsqu'on franchit ce point, et l'effort tranchant y présente une véritable discontinuité : il vaut 165 kN d'un côté, −75 kN de l'autre, et rien entre les deux.
- Ce que l'ambiguïté peut produire : Retenir la valeur moyenne, 45 kN, n'aurait aucune signification mécanique : aucune section de la poutre ne subit cet effort. Une vérification au cisaillement conduite sur cette valeur sous-estimerait la sollicitation d'un facteur près de quatre.
- Comment on l'évite : En retenant, pour toute vérification, la plus grande des deux valeurs en valeur absolue — ici 165 kN, du côté de l'appui gauche. C'est cette section, la plus proche de l'appui le plus chargé, qui gouverne le cisaillement.
Exécution de la Note de Calculs
- Les réactions et la charge sont exprimées en kilonewtons.
- L'effort tranchant, qui en est une combinaison algébrique, s'exprime dans la même unité.
- L'amplitude de la discontinuité est également une force, en kilonewtons.
Les deux valeurs de l'effort tranchant sont calculées, puis l'amplitude du saut qui les sépare.
1. Résolution Numérique Calcul de l'effort tranchant sur les deux tronçonsPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ces deux valeurs constituent le diagramme complet, et que la plus grande en valeur absolue serait la sollicitation à retenir pour une vérification au cisaillement.
On applique les deux expressions établies, chacune sur son domaine de validité.
- Données employées : \( R_{\text{A}} = 165{,}00 \text{ kN} \) et \( P = 240 \text{ kN} \).
- Contrôle prévu : La valeur du second tronçon doit égaler la réaction de l'appui droit au signe près.
L'effort tranchant vaut 165,00 kN entre l'appui gauche et la charge, puis −75,00 kN au-delà. Le changement de signe traduit l'inversion du sens de transit : à gauche de la charge, tout descend vers l'appui gauche ; à droite, vers l'appui droit.
- Contrôle à l'appui droit : \( |{-}75{,}00| = 75{,}00 \text{ kN} \), soit exactement la réaction de l'appui droit : le diagramme se referme bien à zéro en arrivant sur cet appui.
- Section la plus sollicitée en cisaillement : Le tronçon gauche, avec 165,00 kN. C'est le plus court et le plus proche de l'appui le plus chargé.
Remarque pédagogique : L'effort tranchant est constant sur chaque tronçon parce que aucune charge répartie ne sollicite la poutre — le poids propre étant négligé. En le prenant en compte, chaque palier deviendrait une droite légèrement inclinée, et le maximum se situerait exactement à l'appui gauche plutôt que sur tout le tronçon.
Calcul de l'amplitude de la discontinuitéPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le saut fournit un contrôle immédiat du diagramme : sa mesure doit restituer la charge appliquée, sans aucun calcul intermédiaire.
On forme la différence entre les deux valeurs encadrant le point d'application.
- Données employées : \( V_1 = 165{,}00 \text{ kN} \) et \( V_2 = -75{,}00 \text{ kN} \).
- Résultat attendu : Exactement la charge appliquée, soit 240 kN.
Le saut vaut exactement 240,00 kN, soit la charge appliquée. Ce résultat n'est pas une coïncidence : il découle directement du fait que seule la charge s'ajoute au bilan lorsqu'on franchit son point d'application.
- Ce que ce contrôle valide : Les deux valeurs de l'effort tranchant simultanément. Une erreur sur l'une quelconque d'entre elles romprait l'égalité avec la charge.
- Portée générale : Le résultat ne dépend ni de la position de la charge ni de la portée : sous toute charge concentrée, le diagramme d'effort tranchant saute exactement de son intensité.
Remarque pédagogique : Cette propriété permet de contrôler un diagramme d'un simple coup d'œil, sans calcul : chaque saut doit correspondre à une force appliquée à cet endroit — charge ou réaction d'appui. Un saut qui ne correspondrait à aucune force signalerait une erreur, et une force qui ne produirait aucun saut signalerait un oubli.
"L'habitude porte à chercher le moment maximal à mi-travée, mais cette règle vaut pour un chargement symétrique. Ici la charge est excentrée, et c'est le diagramme d'effort tranchant qui va me dire où le moment est extrême — puisque l'un est la dérivée de l'autre."
- Ce que je cherche : La section où le moment fléchissant est maximal, et la valeur qu'il y atteint.
- Ce que j'exploite : Le lien entre les deux diagrammes : l'effort tranchant étant la dérivée du moment, celui-ci est extrême là où celui-là change de signe.
- Ce que je remarque : Que l'effort tranchant ne s'annule jamais ici : il change de signe en sautant, et c'est donc au point de saut que le moment culmine.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Le moment fléchissant et l'effort tranchant ne sont pas indépendants : le second est la dérivée du premier par rapport à l'abscisse. Cette relation, purement mathématique, fournit un moyen sûr de localiser les extremums du moment sans avoir à en dériver l'expression.
Deux relations sont mobilisées : l'expression du moment sur le premier tronçon, puis sa valeur maximale au point d'application de la charge.
Étape 1 — Moment fléchissant sur le premier tronçon :Il décrit la sollicitation de flexion entre l'appui gauche et la charge.
On coupe la poutre à une abscisse comprise entre l'appui gauche et le point d'application, et l'on fait le bilan des moments des forces situées à gauche. Dans ce domaine, une seule force intervient : la réaction d'appui, dont le bras de levier est l'abscisse de la coupure. Le moment croît donc linéairement, ce qui est cohérent avec le fait que sa dérivée — l'effort tranchant — y est constante.
- \( M(x) \) : moment fléchissant à l'abscisse x, unité : kN·m
- \( R_{\text{A}} \) : réaction à l'appui gauche, unité : kN
- \( V_1 \) : effort tranchant sur le premier tronçon, unité : kN
- \( a \) : abscisse du point d'application de la charge, unité : m
Il donne la sollicitation de dimensionnement de la poutre.
Le moment croît linéairement jusqu'au point d'application de la charge, puis décroît linéairement jusqu'à l'appui droit — l'effort tranchant, sa dérivée, y étant négatif. Le maximum est donc atteint exactement au point de changement de signe, c'est-à-dire sous la charge. Il suffit d'y évaluer l'expression du premier tronçon. En y reportant l'expression de la réaction établie précédemment, on obtient une formule qui ne fait plus intervenir que la charge et les trois distances, et dont la symétrie en les deux distances est remarquable.
- \( M_{\max} \) : moment fléchissant maximal de calcul, unité : kN·m
- \( P \) : charge concentrée de calcul, unité : kN
- \( a \) : distance de la charge à l'appui gauche, unité : m
- \( b \) : distance de la charge à l'appui droit, unité : m
"Chercher le moment fléchissant maximal à mi-travée, comme sous un chargement symétrique."
- Pourquoi le maximum se déplace : Le moment est extrême là où l'effort tranchant change de signe. Sous un chargement symétrique, ce changement se produit à mi-travée ; sous une charge excentrée, il se produit sous la charge. La position du maximum suit donc celle du chargement, non la géométrie de la poutre.
- Ce que l'erreur change numériquement : Le moment à mi-travée vaut \( 165 \times 4{,}00 - 240 \times 1{,}50 = 300{,}00 \text{ kN·m} \), contre 412,50 sous la charge — soit 27 % de moins. La poutre serait vérifiée sur une sollicitation sous-estimée du quart, erreur qui va dans le sens de l'insécurité.
- Comment on l'évite : En traçant le diagramme d'effort tranchant avant de chercher le moment. Le point de changement de signe s'y lit immédiatement, et il désigne sans ambiguïté la section à examiner — qu'elle soit ou non au milieu.
Exécution de la Note de Calculs
- La réaction est en kilonewtons et l'abscisse en mètres.
- Leur produit est un moment, en kilonewtons-mètres.
- La conversion en newtons-millimètres, nécessaire à la vérification de section, est une multiplication par \( 10^6 \).
Le moment maximal est calculé par l'expression du premier tronçon, puis contrôlé par la formule littérale établie.
1. Résolution Numérique Calcul du moment fléchissant maximalPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette valeur est la sollicitation de dimensionnement : c'est elle qui sera confrontée à la résistance du profilé.
On évalue l'expression du premier tronçon au point d'application de la charge, puis on contrôle par la formule littérale faisant intervenir les deux distances.
- Données employées : \( R_{\text{A}} = 165{,}00 \text{ kN} \) et \( a = 2{,}50 \text{ m} \).
- Section concernée : L'abscisse \( x = 2{,}50 \text{ m} \), sous la charge, où l'effort tranchant change de signe.
Le moment maximal atteint 412,50 kN·m sous la charge, à 2,50 m de l'appui gauche. C'est une valeur élevée, caractéristique d'une charge industrielle concentrée sur une portée moyenne.
- Contrôle par la formule littérale : \( 240 \times 2{,}50 \times 5{,}50/8{,}00 = 3\,300/8 = 412{,}50 \text{ kN·m} \) : les deux chemins concordent.
- Comparaison à une charge centrée : Une charge de même intensité placée à mi-travée donnerait \( 240 \times 8{,}00/4 = 480{,}00 \text{ kN·m} \), soit 16 % de plus. L'excentrement réduit donc le moment maximal, tout en le déplaçant.
Remarque pédagogique : Cette dernière observation mérite attention : excentrer une charge réduit le moment maximal mais accroît la réaction de l'appui le plus proche, donc l'effort tranchant. Le déplacement d'un poteau soulage la flexion et aggrave le cisaillement — deux effets opposés qu'une vérification complète doit examiner séparément.
"Le moment est connu ; il reste à le confronter à la résistance du profilé. Deux données commandent cette résistance et ne se lisent pas directement dans l'énoncé : la limite d'élasticité, qui dépend de l'épaisseur de la paroi sollicitée, et le module de flexion, que la classe de section désigne. Aucune des deux n'est au choix du calculateur."
- Ce que je vérifie d'abord : L'épaisseur de la semelle, car c'est elle qui porte les contraintes extrêmes de flexion et qui détermine donc la limite d'élasticité applicable.
- Ce que j'établis ensuite : La classe de section, qui désigne lequel des deux modules de flexion du catalogue s'applique.
- Ce que je ne fais pas : Appeler « contrainte » le rapport du moment au module plastique — cette grandeur n'en est pas une.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
La résistance en flexion d'une section laminée fait intervenir un module de flexion et une limite d'élasticité. Ni l'un ni l'autre ne se lit directement : le premier dépend de la classe de section, le second de l'épaisseur de la paroi sollicitée. Les négliger conduit à deux erreurs distinctes, qui peuvent de surcroît se compenser partiellement et se masquer.
Deux relations sont mobilisées : la résistance en flexion selon la classe de section, puis le taux de travail qui permet de conclure.
Étape 1 — Résistance en flexion de la section :Elle donne le moment que la section peut reprendre.
Si la section peut plastifier entièrement, la contrainte vaut la limite d'élasticité en tout point — en compression au-dessus de l'axe neutre, en traction au-dessous. Le moment résistant est alors la somme des moments élémentaires de ces deux blocs de contrainte constante. La contrainte étant uniforme, elle sort de l'intégrale, et ce qui reste — la somme des distances à l'axe neutre pondérées par les aires — est le module plastique. Cette possibilité de plastification complète n'est acquise que pour les sections suffisamment trapues, ce que la classe de section établit.
- \( M_{\text{c,Rd}} \) : moment résistant de calcul de la section, unité : N·mm
- \( W_{\text{pl,y}} \) : module de flexion plastique, valeur du catalogue, unité : mm³
- \( f_{\text{y}} \) : limite d'élasticité de la paroi sollicitée, unité : MPa
- \( \gamma_{\text{M0}} \) : coefficient partiel de résistance des sections, unité : —
Il exprime le critère sous une forme immédiatement lisible.
Le principe des états limites impose que l'effet des actions de calcul n'excède pas la résistance de calcul correspondante. Appliqué à la flexion, il conduit à comparer le moment appliqué au moment résistant. En divisant les deux membres de cette inégalité par la résistance, laquelle est strictement positive et n'inverse donc pas le sens de l'inégalité, celle-ci prend la forme d'un rapport adimensionnel qui doit rester inférieur à un.
- \( \text{UR} \) : taux de travail en flexion, sans dimension, unité : —
- \( M_{\text{Ed}} \) : moment fléchissant de calcul, unité : kN·m
- \( M_{\text{c,Rd}} \) : moment résistant de calcul de la section, unité : kN·m
"Retenir une limite d'élasticité de 355 MPa pour un profilé en acier S355, sans vérifier l'épaisseur de ses semelles."
- Pourquoi la limite décroît avec l'épaisseur : Une paroi épaisse refroidit plus lentement après laminage, ce qui donne une structure métallurgique moins fine et abaisse la résistance garantie. L'EN 10025-2 en tient compte par des tranches : 355 MPa jusqu'à 16 mm, 345 MPa au-delà. La semelle de ce profilé mesure 16,5 mm et relève donc de la seconde tranche — un demi-millimètre suffit à faire basculer.
- Ce que l'erreur change numériquement : La résistance annoncée serait \( 1\,850\,000 \times 355 = 656{,}75 \text{ kN·m} \) au lieu de 638,25, et le taux tomberait à 0,628 au lieu de 0,646. La résistance est surestimée de 2,9 % : l'erreur va dans le sens de l'insécurité.
- Comment on l'évite : En lisant l'épaisseur de la semelle au catalogue avant de retenir une limite d'élasticité, et non la seule désignation de la nuance. C'est la semelle qui porte les contraintes extrêmes de flexion ; pour une vérification au cisaillement, ce serait l'âme, et la valeur retenue pourrait différer sur le même profilé.
Exécution de la Note de Calculs
- Le module de flexion du catalogue est en centimètres cubes : \( 1 \text{ cm}^3 = 10^3 \text{ mm}^3 \).
- La limite d'élasticité est en newtons par millimètre carré.
- Leur produit donne des newtons-millimètres ; la conversion en kilonewtons-mètres est une division par \( 10^6 \).
- Le taux de travail, rapport de deux moments, est un nombre sans dimension.
La résistance de la section est calculée d'abord, puis le taux de travail.
1. Résolution Numérique Calcul de la résistance en flexion de la sectionPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur que le règlement oppose au moment appliqué, et qu'elle dépend de deux données qu'il faut établir avant tout calcul.
On retient la limite d'élasticité de la tranche dont relève la semelle, on établit la classe de section, puis on applique l'expression correspondante.
- Limite d'élasticité retenue : 345 MPa, la semelle mesurant 16,5 mm et relevant donc de la tranche comprise entre 16 et 40 mm.
- Classe de section : Le catalogue du producteur classe ce profilé en classe 1 en flexion pour l'acier S355 : le module plastique s'applique.
La section peut reprendre 638,25 kN·m. Avec le module élastique, la résistance ne vaudrait que \( 1\,678\,000 \times 345 = 578{,}91 \text{ kN·m} \) : la classe 1 apporte donc 10,3 % de capacité supplémentaire, écart qui n'est autre que le facteur de forme de la section.
- Facteur de forme : \( 1\,850/1\,678 = 1{,}103 \). Ce rapport, propre à la géométrie du profilé, est exactement l'écart entre les deux résistances.
- Deux erreurs de sens opposé : Retenir 355 MPa surestime la résistance de 2,9 % ; employer le module élastique la sous-estime de 10,3 %. Commises ensemble, elles se compensent partiellement et peuvent se masquer mutuellement — ce qui les rend d'autant plus difficiles à détecter.
Remarque pédagogique : Cette dernière observation est un avertissement de méthode. Un résultat plausible n'est pas un résultat juste : deux fautes de sens contraire peuvent produire un nombre vraisemblable. Seule la vérification séparée de chaque donnée — l'épaisseur de la paroi d'une part, la classe de section d'autre part — permet de s'en assurer.
Calcul du taux de travail et conclusionPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le rapport, et non l'écart absolu, permet de statuer et de mesurer la marge disponible.
On divise le moment appliqué par la résistance de la section.
- Données employées : \( M_{\text{Ed}} = 412{,}50 \text{ kN·m} \) et \( M_{\text{c,Rd}} = 638{,}25 \text{ kN·m} \).
- Critère à satisfaire : Le rapport doit rester inférieur ou égal à un.
Le taux de travail s'établit à 0,646 : la poutre utilise 65 % de sa capacité en flexion. La vérification est satisfaite, avec plus d'un tiers de réserve.
- Verdict : \( 0{,}646 \le 1{,}00 \) : le profilé HEA 340 convient en flexion sous la charge concentrée déplacée.
- Marge disponible : La charge pourrait atteindre \( 240/0{,}646 = 371 \text{ kN} \) avant que la flexion ne devienne critique, à position inchangée.
Remarque pédagogique : Cette vérification porte sur la résistance en flexion de la section seule. Trois autres vérifications restent à conduire avant de conclure sur la poutre : le cisaillement au droit de l'appui gauche, où l'effort tranchant atteint 165 kN ; le déversement, si la semelle comprimée n'est pas maintenue latéralement ; et la déformation en service, qui pour une poutre de cette portée peut se révéler plus contraignante que la résistance.
BILAN FINAL DE LA MISSION
Checklist d'Auto-Évaluation
Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :
La charge de 240 kN appliquée à 2,50 m de l'appui gauche se répartit en 165,00 kN sur cet appui et 75,00 kN sur l'autre, les deux réactions étant dans le rapport inverse de leurs distances à la charge. L'effort tranchant vaut 165,00 kN sur le premier tronçon et −75,00 kN sur le second, avec une discontinuité de 240 kN sous la charge — soit exactement son intensité. Le moment fléchissant, dont l'effort tranchant est la dérivée, culmine là où celui-ci change de signe : sous la charge, et non à mi-travée où il ne vaudrait que 300,00 kN·m. Il y atteint 412,50 kN·m. La semelle du profilé mesurant 16,5 mm, elle relève de la tranche d'épaisseur comprise entre 16 et 40 mm et la limite d'élasticité applicable est de 345 MPa, non 355. La section étant de classe 1 en flexion, l'EN 1993-1-1 § 6.2.5(2) prescrit le module plastique : la résistance s'élève à 638,25 kN·m et le taux de travail à 0,646.
Trois enseignements se dégagent. Le premier concerne la localisation du moment maximal. L'habitude acquise sur les chargements symétriques porte à l'évaluer à mi-travée, où il ne vaut ici que 300,00 kN·m — 27 % de moins que sa valeur réelle. La règle sûre est celle du changement de signe de l'effort tranchant, et elle vaut quel que soit le chargement : tracer le diagramme d'effort tranchant avant de chercher le moment évite l'erreur sans avoir à réfléchir. On notera au passage qu'excentrer une charge réduit le moment maximal tout en accroissant la réaction de l'appui le plus proche : le déplacement du poteau soulage la flexion et aggrave le cisaillement. Le deuxième porte sur la discontinuité. Une charge concentrée est une force finie sur une longueur nulle, donc une densité infinie : l'effort tranchant y saute au lieu de varier, et n'est pas défini au point d'application. Le saut vaut exactement la charge, ce qui fournit un contrôle immédiat du diagramme — chaque saut doit correspondre à une force appliquée, et réciproquement. Le troisième est le plus lourd de conséquences : deux données commandent la résistance et ne se lisent pas directement. La limite d'élasticité dépend de l'épaisseur de la paroi sollicitée — 345 MPa ici, la semelle mesurant 16,5 mm — et le module de flexion dépend de la classe de section. Retenir 355 MPa surestime la résistance de 2,9 % ; employer le module élastique la sous-estime de 10,3 %. Commises ensemble, ces deux fautes se compensent partiellement et produisent un résultat plausible mais faux — raison pour laquelle chaque donnée doit être vérifiée séparément.
