Exercice corrigé

Calcul des angles en topographie

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 9 juillet 2026• 73 min de lecture• 11 vues

Partager :in 𝕏

Offre de lancement

Le premier mois à 1 €

Ce corrigé est détaillé pas à pas. Les milliers d'autres aussi. Puis 12,99 € par mois, sans engagement — et la résiliation se fait depuis votre espace, en un clic.

Tous les corrigés détaillés, pas à pas
Chaque calcul rattaché à sa norme et à sa clause
Résiliable en un clic, sans engagement

Commencer pour 1 € Puis 12,99 €/mois · résiliable à tout moment

Étude de cas · Note de calculs Réf. TOPO-PLA-17

Calcul des angles en topographie

Des coordonnées planes aux directions : distance entre deux points, gisement d'une visée de référence, report d'un angle mesuré et détermination d'un angle au sommet, avec les contrôles qui garantissent chaque résultat

NiveauBTS / BUT Génie civil

DomaineTopographie · Planimétrie et orientation

ThèmeGisements, report d'angle et angles au sommet en coordonnées planes

PrérequisCoordonnées rectangulaires X Est / Y Nord · Théorème de Pythagore · Arc tangente à deux arguments · Grade (gon) · Notion de projection conforme

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un opérateur stationne sa station totale sur un point d'appui et vise une borne de référence dont les coordonnées figurent au dossier. À partir de cette seule visée, il doit pouvoir orienter tout ce qu'il implantera ensuite. L'opération qui rend cela possible s'appelle le calcul de gisement : elle transforme un couple de coordonnées en une direction absolue, exprimée par rapport au Nord du système de projection.

Une fois cette direction établie, tout le reste n'est plus qu'addition et soustraction d'angles. L'angle horizontal mesuré sur le terrain se reporte sur le gisement de référence pour donner la direction du point à implanter ; inversement, la différence de deux gisements restitue l'angle au sommet que forment deux visées. Ces deux opérations, symétriques l'une de l'autre, constituent la mécanique de base de toute polygonation.

Reste une précaution de vocabulaire, qui n'est pas une subtilité d'école. Les coordonnées manipulées ici sont des coordonnées planes, issues d'une projection cartographique. La fiche technique T9 du Certu rappelle qu'aucune projection ne conserve les distances : la longueur calculée entre deux couples de coordonnées est une distance réduite à la représentation plane, distincte de la distance mesurée sur le terrain. Les angles, eux, sont conservés par une projection conforme — et c'est précisément ce qui rend les gisements calculables.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments structurent l'étude. Le dernier conditionne la validité de tous les autres :

Un angle compté depuis l'axe des ordonnées : le gisement se mesure dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de l'axe Y de la projection. Cette convention, employée par l'IGN dans ses notes techniques d'algorithmes, fixe le sens de toutes les opérations qui suivent.
Une arc tangente à deux arguments : l'arc tangente ordinaire ne distingue pas deux directions opposées. Seule la fonction à deux arguments, qui examine séparément les signes des deux accroissements, livre une direction non ambiguë sur les quatre cents grades.
Un sens de rotation qui décide du signe : un angle mesuré à droite tourne dans le même sens que les gisements : il s'ajoute. Un angle à gauche tourne en sens contraire : il se retranche.
Une distance plane, non une distance de terrain : la longueur tirée de coordonnées projetées doit être corrigée de l'altération linéaire avant d'être comparée à une mesure au distancemètre. L'omettre revient à confronter deux grandeurs qui ne se rapportent pas à la même surface.

Votre Mission :

Établir la distance entre la station et la borne de référence à partir de leurs coordonnées, puis le gisement de cette direction, en précisant à quelle surface chacun de ces deux résultats se rapporte.

Reporter ensuite l'angle horizontal mesuré pour obtenir la direction du point à implanter, et déterminer enfin l'angle au sommet formé en la borne par les visées vers la station et vers un point auxiliaire, en contrôlant ce dernier résultat par une voie indépendante du calcul de gisements.

Le grand défi : ne jamais perdre le fil du sens de rotation, ni celui de l'ordre des points dans chaque différence de coordonnées.
Votre rôle : celui de l'opérateur qui prépare au bureau les éléments d'orientation de son implantation.
La contrainte : des distances au millimètre, des angles au dix-millième de grade, et un gisement toujours ramené dans l'intervalle de zéro à quatre cents grades.

SCHÉMA DE LA SITUATION EN PLAN

Livrables Attendus (Checklist) :

La distance entre la station et la référence, avec la surface à laquelle elle se rapporte.
Le gisement de la direction de référence, exprimé en grades et contrôlé par le quadrant.
Le gisement de la direction à implanter, obtenu par report de l'angle mesuré et ramené dans l'intervalle réglementaire.
L'angle au sommet de la borne, entre la visée retour vers la station et la visée vers le point auxiliaire.
Un contrôle indépendant de ce dernier angle, ne réutilisant aucun des gisements calculés.

2. Données Techniques & Normes

L'étude repose sur trois couples de coordonnées planes et sur une seule mesure de terrain, l'angle horizontal relevé à la station. Tout le reste se déduit par le calcul. Cette économie de données est caractéristique du travail d'orientation : ce sont les conventions — sens de comptage, ordre des points, choix du zéro — qui portent la difficulté, bien plus que le volume des opérations.

Deux textes encadrent le contexte de ces coordonnées. Le décret du 3 mars 2006 fixe le système de référence et la projection à employer pour les informations localisées ; la fiche technique T9 du Certu précise ce que représente exactement une longueur calculée entre deux points d'une représentation plane, et par quelle correction on remonte à la distance sur la surface de référence.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Six relations. Les deux premières exploitent les coordonnées, les deux suivantes produisent une direction, les deux dernières combinent les directions entre elles.

Accroissements de coordonnées \( \Delta X = X_{\text{B}} - X_{\text{A}} \)
Distance en représentation plane \( D_{\text{r}} = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \)
Gisement par l'arc tangente à deux arguments \( G = \operatorname{atan2}(\Delta X, \Delta Y) \)
Conversion du radian au grade \( G_{\text{gon}} = G_{\text{rad}} \times \dfrac{200}{\pi} \)
Report d'un angle mesuré à droite \( G_{\text{AC}} = G_{\text{AB}} + H_{\text{BAC}} \)
Gisement inverse d'une direction \( G_{\text{BA}} = G_{\text{AB}} \pm 200 \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

COORDONNÉES ET MESURE DE TERRAIN

Symbole	Description	Valeur	Unité
X_A	Abscisse de la station, comptée vers l'Est	1000,00	m
Y_A	Ordonnée de la station, comptée vers le Nord de la projection	2000,00	m
X_B	Abscisse de la borne de référence	1100,00	m
Y_B	Ordonnée de la borne de référence	2100,00	m
X_D	Abscisse du point auxiliaire, visé depuis la borne	1050,00	m
Y_D	Ordonnée du point auxiliaire	2150,00	m
H_BAC	Angle horizontal mesuré à la station, de la référence vers le point à implanter, tourné à droite	82,4000	gon

Conventions de calcul

Origine des gisements : l'axe Y de la projection, comptage dans le sens des aiguilles d'une montre
Intervalle des gisements : de \( 0 \) à \( 400 \ \text{gon} \), la borne supérieure étant exclue
Sens de l'angle mesuré : à droite, c'est-à-dire dans le même sens que les gisements
Résolution retenue : le millimètre pour les longueurs, le dix-millième de grade pour les angles

RÉFÉRENTIEL, CONVENTIONS ET EXIGENCES DE PRÉCISION

Élément	Description	Valeur	Unité
—	Système géodésique de la France métropolitaine et projection associée Décret 2006-272 · art. 1er A	RGF93 · Lambert-93	—
γ	Convergence des méridiens : gisement de l'image du méridien, angle entre l'axe Y et le Nord géographique IGN · ALG0060	défini	rad
k₀	Facteur d'échelle du Lambert-93 à son parallèle origine, d'où découle l'altération linéaire Certu · fiche T9	0,99905103	—
k	Coefficient de la tolérance pour un contrôle par un seul point, dans le calcul des écarts en position Arrêté 16-09-2003	3,23	—
—	Conduite du levé à la station totale : cheminement fermé ou encadré, points doubles Fascicule 2 · fiche OL-STT	recommandé	—

Hypothèses de calcul retenues

Système de coordonnées : plan, issu d'une projection conforme, dont l'axe des ordonnées matérialise le Nord de la projection
Coordonnées : tenues pour exactes et exprimées dans un même système, aucune transformation n'étant à opérer
Angle mesuré : supposé exempt d'erreur instrumentale, la station ayant été contrôlée avant l'intervention
Distances : celles qui sont calculées ici sont des distances en représentation plane, non des distances de terrain
Altération linéaire : non appliquée aux résultats, l'étude portant sur les directions ; sa portée est chiffrée en annexe

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Trois annexes. La première distingue les quatre notions de distance que la fiche T9 du Certu recense, et sans lesquelles le mot « distance » reste ambigu. La deuxième donne la correspondance entre les signes des accroissements et le quadrant du gisement, contrôle immédiat de tout calcul de direction. La troisième rassemble ce que les textes fixent quant au référentiel et aux directions de référence.

Quatre notions de distance — Certu, Géoréférencement et RGF93, fiche T9, janvier 2010

Distance et définition	Portée sur la présente étude
Distance suivant la pente : le plus court chemin séparant les deux points, mesurable sur le terrain, tenant compte de la topographie	c'est elle que lit le distancemètre avant toute réduction
Distance horizontale : mesurée sur la surface de niveau passant par la hauteur moyenne des deux points	grandeur des calculs planimétriques de terrain, distincte de la précédente dès qu'il existe une dénivelée
Distance sur l'ellipsoïde : le plus court chemin en suivant la surface mathématique de référence	distance de référence, à laquelle on remonte par la correction d'altération linéaire
Distance en représentation plane : distance cartésienne calculée entre deux couples de coordonnées projetées, par le théorème de Pythagore	c'est exactement ce que produit la première question de cette étude

La même fiche énonce le principe qui gouverne ces conversions : les projections conformes conservent localement les angles, tandis qu'aucune projection ne conserve les distances. De là découle l'asymétrie de traitement des deux premières questions : le gisement calculé à partir des coordonnées est directement l'angle du terrain, alors que la longueur calculée entre les mêmes coordonnées demande une correction avant d'être confrontée à une mesure.

Cette correction porte le nom d'altération linéaire. Elle vaut, par définition, le module linéaire diminué de l'unité, et se calcule en un point avant d'être appliquée à un segment : la fiche T9 prescrit d'en prendre la moyenne aux deux extrémités. Au parallèle origine du Lambert-93, le facteur d'échelle vaut 0,99905103, soit une altération de moins 0,95 mètre par kilomètre : la longueur plane y est plus courte que la longueur de référence. Sur une visée de cent quarante mètres, l'écart entre les deux atteint treize centimètres.

Signes des accroissements et quadrant du gisement

Signe de ΔX	Signe de ΔY	Direction et intervalle du gisement
positif	positif	Nord-Est · de 0 à 100 gon
positif	négatif	Sud-Est · de 100 à 200 gon
négatif	négatif	Sud-Ouest · de 200 à 300 gon
négatif	positif	Nord-Ouest · de 300 à 400 gon

Ce tableau constitue le contrôle le plus rapide d'un calcul de gisement. Il explique aussi pourquoi l'arc tangente ordinaire ne suffit pas : le rapport des deux accroissements prend la même valeur pour deux directions opposées, puisque changer simultanément les deux signes ne change pas leur quotient. Seule la fonction à deux arguments, qui reçoit les accroissements séparément, lève cette indétermination.

Référentiel et directions de référence

Disposition	Source
Le système géodésique de référence de la France métropolitaine est le RGF93, qui s'appuie sur l'ellipsoïde IAG GRS 1980 ; la projection associée est la projection conique conforme Lambert-93	décret n° 2006-272 du 3 mars 2006, article 1er, section A
La convergence des méridiens désigne le gisement de l'image du méridien, c'est-à-dire l'angle mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre entre l'axe Y de la projection et l'image du méridien, dont la direction est celle du Nord géographique	note technique IGN ALG0060, version 2.1
La correction angulaire permet de calculer l'angle entre l'image d'une géodésique et la corde qui la sous-tend ; elle s'exprime habituellement en décimilligrades par kilomètre	note technique IGN ALG0060, version 2.1

Trois Nords à ne pas confondre

Le Nord de la projection est la direction de l'axe Y : c'est lui, et lui seul, qui sert d'origine aux gisements calculés dans cette étude
Le Nord géographique est la direction du méridien du lieu ; il s'écarte du précédent de la convergence des méridiens, grandeur définie par la note ALG0060
Le Nord magnétique est celui qu'indique une boussole ; il ne coïncide avec aucun des deux autres et varie dans le temps
Un gisement et un azimut ne se rapportent donc pas à la même origine : le premier part de l'axe Y, le second du méridien
Dans cette étude, les coordonnées étant planes, toutes les directions calculées sont des gisements , sans qu'aucune conversion soit nécessaire

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche va des coordonnées vers une longueur, puis vers une direction, et enfin de deux directions vers un angle. Chaque étape prépare la suivante : les accroissements calculés pour la distance servent au gisement, le gisement de référence sert au report d'angle, et le gisement inverse de cette même direction ouvre la dernière question.

La dernière étape ne se contente pas d'appliquer une différence de gisements. Elle exige un contrôle indépendant, c'est-à-dire une vérification qui ne réutilise aucun des gisements obtenus : un calcul qui se contrôlerait par ses propres résultats ne contrôlerait rien.

Question 1 : La distance entre la station et la référence

Exploitation des coordonnées 15 min | Accessible

But de l'étape : Produire les deux accroissements de coordonnées, qui serviront aussi bien à la longueur qu'à la direction, puis la longueur elle-même — en nommant exactement la surface à laquelle elle se rapporte.

Énoncé : Calculer les accroissements de coordonnées entre la station et la borne de référence, puis la distance qui les sépare en représentation plane. Préciser en quoi cette longueur diffère de celle que mesurerait un distancemètre sur le terrain.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Un accroissement se calcule toujours dans l'ordre « point d'arrivée moins point de départ ». La distance en découle par le théorème de Pythagore.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'ordre des points est indifférent pour la distance, les accroissements étant élevés au carré ; il ne le sera plus du tout à la question suivante, où leur signe porte la direction.

Question 2 : Le gisement de la direction de référence

Orientation 20 min | Accessible

But de l'étape : Transformer un couple d'accroissements en une direction absolue, rapportée au Nord de la projection, et l'exprimer dans l'unité angulaire du travail topographique.

Énoncé : Calculer le gisement de la direction allant de la station vers la borne de référence, en employant l'arc tangente à deux arguments. Exprimer le résultat en grades, puis en degrés décimaux, et contrôler la valeur obtenue par le quadrant.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'accroissement en abscisse est le premier argument, celui en ordonnée le second : le gisement se compte depuis l'axe Y, non depuis l'axe X.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Les deux accroissements étant positifs et égaux, la direction se situe au milieu du premier quadrant : le résultat est prévisible avant tout calcul.

Question 3 : Le gisement de la direction à implanter

Report d'angle 20 min | Intermédiaire

But de l'étape : Combiner une direction connue et un angle mesuré pour obtenir une nouvelle direction, en maîtrisant les deux règles qui gouvernent l'opération : le sens de rotation et la réduction dans l'intervalle des gisements.

Énoncé : Calculer le gisement de la direction allant de la station vers le point à implanter, par report de l'angle horizontal mesuré. Établir ensuite, par deux contre-exemples chiffrés, ce que deviendrait ce résultat si l'orientation de départ imposait une réduction modulo quatre cents grades, puis si l'angle avait été tourné à gauche.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Un angle tourné à droite va dans le même sens que les gisements : il s'ajoute au gisement de la visée de départ.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Après l'addition, vérifiez systématiquement que le résultat reste inférieur à quatre cents grades ; s'il les dépasse, retranchez un tour complet.

Question 4 (Finale) : L'angle au sommet de la borne

Angle entre deux visées 30 min | BOSS

But de l'étape : Effectuer l'opération inverse du report : là où la question précédente ajoutait un angle à une direction, celle-ci retranche deux directions pour retrouver un angle.

La subtilité de l'étape : l'angle est demandé au sommet de la borne, et non à la station. Le gisement de la station vers la borne ne convient donc pas : il faut d'abord le retourner, opération qui ajoute ou retranche deux cents grades selon sa valeur.

Calculer le gisement inverse de la direction de référence, puis le gisement de la borne vers le point auxiliaire, et en déduire l'angle au sommet tourné de la station vers ce point auxiliaire. Valider enfin le résultat par un contrôle indépendant, n'employant aucun des gisements calculés.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Un angle tourné à droite vaut toujours le gisement de la visée d'arrivée diminué du gisement de la visée de départ.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Pour le contrôle, revenez aux coordonnées : deux directions issues d'un même point sont perpendiculaires lorsque le produit scalaire de leurs vecteurs est nul.

NOTE DE CALCULS DÉTAILLÉE (PAS-À-PAS)

Calcul des angles en topographie

Question 1 : La distance entre la station et la référence

Dans la tête de l'ingénieur

« Deux points, quatre nombres : la géométrie du problème tient dans un triangle rectangle dont je connais les deux côtés de l'angle droit. Ce qui demande de l'attention n'est pas le calcul mais son étiquette : la longueur que je vais produire vit dans le plan de la projection, pas sur le terrain. Si je l'appelle simplement distance, je prépare une confusion pour celui qui la comparera à une lecture de distancemètre. »

Observation : les deux accroissements sont égaux, ce qui annonce un triangle rectangle isocèle et une longueur voisine de cent quarante-et-un mètres.
Analyse du risque : présenter cette longueur comme une distance de terrain, alors qu'aucune des deux corrections qui les séparent n'a été appliquée.
Choix stratégique : calculer les deux accroissements séparément et les conserver avec leur signe : la question suivante en aura besoin, et le signe y deviendra essentiel.
Contrôle prévu : la propriété du triangle rectangle isocèle, dont l'hypoténuse vaut le côté multiplié par la racine de deux.
Objectif visé : une longueur au millimètre, accompagnée de la mention explicite de la surface à laquelle elle se rapporte.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

ΔX = +100,00 m · ΔY = +100,00 m · D = 141,421 m en représentation plane

Rappel Théorique : ce que mesure une longueur calculée entre deux coordonnées

Le calcul est celui d'une norme de vecteur dans un repère orthonormé. Sa simplicité ne doit pas masquer une question de fond : les coordonnées manipulées décrivent des points d'une représentation plane, obtenue en développant sur un plan une surface qui ne l'est pas. La longueur calculée hérite de cette construction.

Les accroissements : différences signées entre les coordonnées du point d'arrivée et celles du point de départ. Leur signe n'affecte pas la longueur, mais il portera toute l'information de direction.
La norme du vecteur : racine carrée de la somme des carrés des accroissements. C'est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes.
La distance en représentation plane : nom exact du résultat. La fiche technique T9 du Certu la définit comme la distance cartésienne mesurée entre deux points d'une carte ou d'un plan.
L'altération linéaire : écart relatif entre la longueur plane et la longueur sur l'ellipsoïde. Elle se calcule en un point et s'applique à un segment en prenant la moyenne aux deux extrémités.
La réduction à l'horizontale : passage supplémentaire entre la distance sur la surface de référence et celle mesurée à la hauteur des points. La fiche T9 en chiffre l'effet : 1,6 cm par kilomètre à cent mètres de hauteur moyenne.

Équations Fondamentales

Deux relations. La première extrait des coordonnées les composantes du déplacement, la seconde en tire la longueur.

Accroissement de coordonnées :

Il exprime, axe par axe, le déplacement du point de départ vers le point d'arrivée.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les coordonnées situent des points, alors que le calcul porte sur un déplacement. Les accroissements sont les composantes de ce déplacement : ils fournissent à la fois la longueur, par leurs carrés, et la direction, par leurs signes.

Contexte de validité : les deux points doivent être exprimés dans le même système de coordonnées, faute de quoi la différence n'a aucun sens géométrique.
Avantage : un seul couple d'accroissements alimente deux calculs : celui de la longueur et celui de la direction.
Paramètre clé : l'ordre des points. Inverser le sens change le signe des deux accroissements, donc la direction, sans modifier la longueur.
Vérification : un accroissement positif en abscisse signifie que le point d'arrivée se trouve à l'Est du point de départ.
Limite : la relation ne dit rien de l'altitude des deux points, qui n'intervient dans aucun des calculs de cette étude.

\[ \begin{aligned} \Delta X = X_{\text{B}} - X_{\text{A}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure le déplacement vers l'Est qu'il faut effectuer pour aller du premier point au second. La relation homologue sur l'axe des ordonnées mesure le déplacement vers le Nord ; à elles deux, elles décrivent complètement le trajet en plan.

Décomposition des termes :

\( \Delta X \) : accroissement en abscisse, grandeur signée, unité : mètre
\( X_{\text{B}} \) : abscisse du point d'arrivée, unité : mètre
\( X_{\text{A}} \) : abscisse du point de départ, unité : mètre

Distance en représentation plane :

Elle donne la longueur du segment joignant les deux points sur le plan de projection.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les axes du système sont perpendiculaires et gradués de la même façon. Le segment cherché est alors l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés sont précisément les accroissements, et le théorème de Pythagore s'applique sans aucune adaptation.

Contexte de validité : elle suppose un repère orthonormé, ce qu'est par construction un système de coordonnées planes topographiques.
Avantage : le résultat est insensible à l'ordre des points, les accroissements intervenant par leurs carrés.
Paramètre clé : la racine carrée finale, dont l'oubli laisserait une surface là où l'on attend une longueur.
Vérification : la longueur obtenue doit dépasser chacun des deux accroissements pris isolément, et rester inférieure à leur somme.
Limite : elle produit une longueur dans le plan de projection, que ni l'altération linéaire ni la dénivelée n'ont encore corrigée.

\[ \begin{aligned} D_{\text{r}} = \sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle recompose un trajet direct à partir de deux trajets perpendiculaires. Aller cent mètres vers l'Est puis cent mètres vers le Nord conduit au même point que parcourir cent quarante et un mètres en oblique : c'est ce raccourci que la formule chiffre.

Décomposition des termes :

\( D_{\text{r}} \) : distance réduite à la représentation plane, unité : mètre
\( \Delta X \) : accroissement en abscisse entre les deux points, unité : mètre
\( \Delta Y \) : accroissement en ordonnée entre les deux points, unité : mètre

L'Erreur Classique (Le Piège)

« La distance entre la station et la borne vaut 141,421 m. C'est donc la valeur que devra afficher le distancemètre lorsque l'opérateur visera la borne depuis la station. »

L'approche d'ingénieur : Le nombre est exact, la conclusion ne l'est pas. La longueur calculée est une distance en représentation plane : elle vit sur le plan de projection. La lecture du distancemètre, elle, se rapporte au terrain. Entre les deux se glissent deux corrections que la fiche T9 du Certu distingue soigneusement, et qui ne se compensent pas.

L'erreur : confondre deux longueurs qui ne se rapportent pas à la même surface. Une projection développe l'ellipsoïde sur un plan, et cette opération modifie nécessairement les longueurs.
L'ampleur chiffrée : au parallèle origine du Lambert-93, le facteur d'échelle vaut 0,99905103, soit une altération de moins 0,95 m par kilomètre. Sur 141,421 m, la longueur sur l'ellipsoïde atteint 141,556 m : l'écart est de 13,4 cm.
La seconde correction : la fiche T9 indique un écart de 1,6 cm par kilomètre entre distance horizontale et distance sur l'ellipsoïde à cent mètres de hauteur moyenne, soit environ 2 mm sur la longueur considérée ici.
La conséquence sur l'étude : un opérateur qui contrôlerait son implantation en comparant directement les deux valeurs constaterait un écart de l'ordre de treize centimètres et conclurait à une faute de mesure, alors que l'écart proviendrait entièrement de la projection.
La bonne méthode : nommer chaque longueur par ce qu'elle est, et n'en comparer deux qu'après les avoir ramenées à la même surface par l'altération linéaire moyenne des deux extrémités.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Coordonnées : en mètres , dans un même système plan
Accroissements : en mètres , avec leur signe
Distance : en mètres , arrondie au millimètre
Aucune conversion angulaire n'intervient à cette étape

Trois calculs : les deux accroissements, puis la longueur qui en découle.

1. Résolution Numérique Accroissement en abscisse entre la station et la référence

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la composante Est du déplacement, qui servira à la longueur puis, à la question suivante, à la direction.

Méthodologie du calcul :

On retranche l'abscisse du point de départ de celle du point d'arrivée, en conservant le signe du résultat.

Substitution : \( X_{\text{B}} = 1100{,}00 \ \text{m} \) et \( X_{\text{A}} = 1000{,}00 \ \text{m} \).
Piège évité : ne pas inverser l'ordre. L'accroissement vaudrait alors moins cent mètres, ce qui placerait la borne à l'Ouest de la station au lieu de l'Est.
Hypothèse validée : les deux abscisses proviennent du même système de coordonnées planes.
Vérification croisée : l'abscisse de la borne étant la plus grande, le résultat doit être positif.
Finalité : disposer de la première composante du vecteur joignant les deux points.

\[ \begin{aligned} \Delta X &= 1100{,}00 - 1000{,}00 \\ &= \mathbf{+100{,}00 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La borne se trouve cent mètres à l'Est de la station. Le signe positif fixe déjà la moitié de l'information de direction : la visée part vers la droite du Nord.

Ordre de grandeur : une centaine de mètres, portée courante d'une visée de rattachement.
Impact sur la suite : cette valeur sera le premier argument de l'arc tangente employée à la question suivante.
Cohérence : le signe positif s'accorde avec la position de la borne au Nord-Est de la station, telle que le schéma la représente.
Attention : ce signe doit être conservé jusqu'au calcul du gisement ; le perdre reviendrait à confondre deux directions opposées.
Comparaison : pour la seule longueur, le signe est indifférent, l'accroissement étant élevé au carré.

Remarque pédagogique : Un accroissement de coordonnées se lit comme une instruction de déplacement : cent mètres vers l'Est. Cette lecture, plus parlante qu'une différence abstraite, rend immédiatement visible toute erreur de signe.

Accroissement en ordonnée entre la station et la référence

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la composante Nord du déplacement, seconde information nécessaire à la longueur comme à la direction.

Méthodologie du calcul :

On applique aux ordonnées la même différence, dans le même ordre que pour les abscisses.

Substitution : \( Y_{\text{B}} = 2100{,}00 \ \text{m} \) et \( Y_{\text{A}} = 2000{,}00 \ \text{m} \).
Piège évité : ne pas changer l'ordre des points entre les deux accroissements. Un ordre différent d'un axe à l'autre produirait une direction symétrique de la direction réelle.
Hypothèse validée : l'axe des ordonnées matérialise le Nord de la projection, comme l'énoncent les conventions de l'étude.
Vérification croisée : l'ordonnée de la borne étant la plus grande, le résultat doit être positif.
Finalité : compléter le vecteur joignant la station à la borne.

\[ \begin{aligned} \Delta Y &= 2100{,}00 - 2000{,}00 \\ &= \mathbf{+100{,}00 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La borne se trouve également cent mètres au Nord de la station. Les deux accroissements étant égaux et positifs, le déplacement se fait exactement au milieu du premier quadrant.

Ordre de grandeur : identique à l'accroissement en abscisse, ce qui caractérise une direction à quarante-cinq degrés du Nord.
Impact sur la suite : cette valeur sera le second argument de l'arc tangente employée à la question suivante.
Cohérence : les deux signes positifs situent la direction dans le quadrant Nord-Est, donc entre zéro et cent grades.
Attention : l'égalité des deux accroissements est une particularité de ces données ; elle facilite les contrôles mais ne constitue pas un cas général.
Comparaison : si l'accroissement en ordonnée avait été négatif, la direction basculerait dans le quadrant Sud-Est, entre cent et deux cents grades.

Remarque pédagogique : Les deux accroissements forment un couple indissociable. Les calculer dans le même ordre, l'un après l'autre et sans changer de convention, élimine à lui seul la plus fréquente des erreurs de direction.

Distance entre la station et la référence en représentation plane

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la longueur du segment joignant les deux points sur le plan de projection, élément de contrôle de toute implantation ultérieure.

Méthodologie du calcul :

On élève chaque accroissement au carré, on additionne, puis on extrait la racine carrée de la somme.

Substitution : \( \Delta X = 100{,}00 \ \text{m} \) et \( \Delta Y = 100{,}00 \ \text{m} \).
Piège évité : ne pas additionner les accroissements sans les élever au carré. On obtiendrait deux cents mètres, soit le trajet en deux tronçons et non le trajet direct.
Hypothèse validée : les axes du système sont orthogonaux et de même échelle, condition d'application du théorème de Pythagore.
Vérification croisée : les deux côtés étant égaux, l'hypoténuse doit valoir cent fois la racine de deux, soit environ 141,42 m.
Finalité : produire la longueur de référence de la visée, exprimée dans le plan de projection.

\[ \begin{aligned} D_{\text{r}} &= \sqrt{100{,}00^2 + 100{,}00^2} \\ &= \sqrt{20\,000} \\ &= \mathbf{141{,}421 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La longueur du segment vaut 141,421 m dans le plan de projection. Elle se situe bien entre cent mètres, valeur de chaque côté, et deux cents mètres, valeur du trajet en deux tronçons.

Ordre de grandeur : cent fois la racine de deux, conformément au triangle rectangle isocèle annoncé.
Impact sur la suite : la longueur n'intervient dans aucun des calculs d'angle qui suivent ; ceux-ci ne dépendent que du rapport des accroissements.
Cohérence : elle dépasse chacun des deux accroissements et reste inférieure à leur somme, comme l'exige l'inégalité triangulaire.
Attention : il s'agit d'une distance en représentation plane. La comparer telle quelle à une lecture de distancemètre exposerait à l'erreur analysée plus haut.
Comparaison : ramenée à la surface de référence au parallèle origine du Lambert-93, la même visée mesurerait 141,556 m.

Remarque pédagogique : Un résultat numérique n'est complet que s'il est nommé. Écrire « 141,421 m en représentation plane » plutôt que « 141,421 m » transmet au lecteur suivant l'information sans laquelle il ne pourra pas s'en servir correctement.

LE TRIANGLE DES ACCROISSEMENTS

RÉSULTAT FINAL

D_r = 141,421 m

Distance réduite à la représentation plane, obtenue à partir des accroissements ΔX = +100,00 m et ΔY = +100,00 m. Une comparaison avec une mesure de terrain exigerait la correction préalable de l'altération linéaire.

Question 2 : Le gisement de la direction de référence

Dans la tête de l'ingénieur

« Un gisement n'est pas un angle quelconque : c'est une direction absolue, comptée depuis l'axe des ordonnées et dans le sens des aiguilles d'une montre. Avant tout calcul, je situe la direction dans son quadrant à partir des seuls signes des accroissements. Le calcul viendra ensuite confirmer, ou infirmer, cette lecture — et s'il l'infirme, c'est le calcul qui a tort. »

Observation : les deux accroissements sont positifs : la direction se trouve dans le quadrant Nord-Est, donc entre zéro et cent grades.
Analyse du risque : employer l'arc tangente ordinaire, qui donne la même valeur pour deux directions opposées et laisse la moitié du cercle indéterminée.
Choix stratégique : passer par la fonction à deux arguments, qui reçoit les accroissements séparément et exploite leurs signes pour trancher le quadrant.
Contrôle prévu : l'égalité des deux accroissements, qui place nécessairement la direction au milieu du quadrant, soit à cinquante grades.
Objectif visé : un gisement au dix-millième de grade, ramené dans l'intervalle de zéro à quatre cents grades.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

G(AB) = 50,0000 gon, soit 45,0000 degrés · quadrant Nord-Est

Rappel Théorique : le gisement, une direction rapportée à l'axe des ordonnées

Le gisement d'une direction est l'angle qui la sépare de l'axe Y de la projection, compté dans le sens des aiguilles d'une montre. Cette définition est celle qu'emploie l'Institut national de l'information géographique et forestière dans ses notes techniques d'algorithmes, où la convergence des méridiens est présentée comme le gisement de l'image du méridien.

L'origine : l'axe des ordonnées, et non celui des abscisses. C'est ce qui distingue un gisement d'un angle polaire mathématique, lequel se compte depuis l'axe des abscisses et dans le sens inverse.
Le sens : horaire. Le même sens que celui dans lequel une station totale compte ses lectures horizontales, ce qui rend les deux grandeurs directement combinables.
L'intervalle : de zéro à quatre cents grades, la borne supérieure étant exclue puisqu'elle désigne la même direction que zéro.
L'ambiguïté de l'arc tangente : le rapport des accroissements est inchangé lorsqu'on change simultanément leurs deux signes. L'arc tangente ordinaire ne peut donc pas séparer une direction de son opposée.
Le grade : unité angulaire divisant le tour complet en quatre cents parts, l'angle droit en valant cent. C'est l'unité employée par l'IGN, qui exprime notamment la correction angulaire de ses projections en décimilligrades par kilomètre.

Équations Fondamentales

Deux relations enchaînées : la première produit une direction exprimée en radians, la seconde la traduit dans l'unité du travail topographique.

Gisement par l'arc tangente à deux arguments :

Elle détermine la direction sans ambiguïté sur la totalité du tour.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la direction cherchée occupe l'un des quatre quadrants, et que le seul rapport des accroissements n'en désigne que deux à la fois. En recevant les deux accroissements séparément, la fonction dispose de leurs signes et lève l'indétermination.

Contexte de validité : l'accroissement en abscisse est le premier argument, celui en ordonnée le second : c'est cet ordre qui fait compter l'angle depuis l'axe Y.
Avantage : elle traite les cas particuliers — accroissement nul sur un axe — sans division, donc sans exception à prévoir.
Paramètre clé : le couple de signes, qui détermine à lui seul le quadrant du résultat.
Vérification : le quadrant obtenu doit correspondre à celui que les signes annonçaient avant tout calcul.
Limite : la fonction renvoie un résultat compris entre moins deux cents et plus deux cents grades ; une valeur négative doit être augmentée d'un tour complet.

\[ \begin{aligned} G_{\text{AB}} = \operatorname{atan2}(\Delta X, \Delta Y) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle répond à la question de l'opérateur qui s'apprête à orienter son appareil : de combien dois-je tourner depuis le Nord pour viser ce point ? Les deux accroissements décrivent le déplacement ; la fonction en extrait l'orientation, en écartant les trois autres directions que le seul rapport laisserait possibles.

Décomposition des termes :

\( G_{\text{AB}} \) : gisement de la direction allant de la station vers la référence, unité : radian avant conversion
\( \Delta X \) : accroissement en abscisse, premier argument de la fonction, unité : mètre
\( \Delta Y \) : accroissement en ordonnée, second argument de la fonction, unité : mètre

Conversion du radian au grade :

Elle exprime la direction dans l'unité angulaire du travail topographique.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les fonctions trigonométriques opèrent en radians, tandis que les carnets de terrain, les stations totales et les documents techniques emploient le grade. Le facteur de conversion découle de l'égalité entre un demi-tour, exprimé en radians par le nombre pi, et les deux cents grades qui le mesurent.

Contexte de validité : la conversion est exacte et n'introduit aucune approximation autre que celle de l'arrondi final.
Avantage : le grade rend les quadrants immédiatement lisibles, chacun couvrant exactement cent grades.
Paramètre clé : le rapport de deux cents au nombre pi, soit environ 63,662 grades par radian.
Vérification : un quart de tour, soit le nombre pi divisé par deux en radians, doit donner exactement cent grades.
Limite : la conversion ne corrige pas un résultat négatif : la réduction dans l'intervalle des gisements reste à opérer séparément.

\[ \begin{aligned} G_{\text{gon}} = G_{\text{rad}} \times \frac{200}{\pi} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle change d'unité de mesure sans changer d'angle. Le radian rapporte l'angle au rayon du cercle, le grade découpe le tour en quatre cents parts égales : la même direction s'exprime par deux nombres différents, dans un rapport constant.

Décomposition des termes :

\( G_{\text{gon}} \) : gisement exprimé en grades, unité : gon
\( G_{\text{rad}} \) : même gisement exprimé en radians, unité : radian
\( \pi \) : mesure en radians d'un demi-tour, unité : radian

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le gisement s'obtient par l'arc tangente du rapport des accroissements. Ici ce rapport vaut un, donc l'arc tangente vaut cinquante grades : la formule simple suffit, la fonction à deux arguments est une complication inutile. »

L'approche d'ingénieur : Sur ces données précises, la formule simple donne effectivement le bon résultat — et c'est ce qui la rend dangereuse. Le rapport des accroissements est inchangé lorsqu'on inverse simultanément leurs deux signes : l'arc tangente ordinaire ne peut donc pas distinguer une direction de son opposée, et couvre seulement deux cents des quatre cents grades du tour.

L'erreur : tirer une conclusion générale d'un cas où deux méthodes coïncident. La coïncidence tient ici au fait que la direction se trouve dans le premier quadrant, le seul où les deux formules s'accordent.
L'ampleur chiffrée : appliquée à la direction inverse, de la borne vers la station, où les deux accroissements valent moins cent mètres, la formule simple redonnerait 50,0000 gon. Le gisement réel vaut 250,0000 gon : l'erreur atteint exactement 200 gon, soit un demi-tour.
La conséquence sur l'étude : une visée orientée à l'opposé de sa direction réelle. Reportée sur une implantation à cent mètres, elle placerait le point à deux cents mètres de sa position correcte.
L'erreur voisine : intervertir les deux arguments de la fonction. Sur la direction de la station vers le point auxiliaire, où les accroissements valent 50,00 m et 150,00 m, le gisement vaut 20,4832 gon ; les arguments inversés donneraient 79,5168 gon, soit un écart de 59,0335 gon.
Le contrôle qui la détecte : le quadrant. Deux accroissements négatifs imposent un gisement compris entre deux cents et trois cents grades ; toute valeur hors de cet intervalle signale l'erreur immédiatement.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Accroissements : en mètres , tous deux dans la même unité
Résultat de la fonction : en radians , entre moins pi et plus pi
Gisement : en grades , arrondi au dix-millième
Équivalent sexagésimal : en degrés décimaux , à titre de contrôle

Trois calculs : la direction en radians, sa conversion en grades, puis son équivalent en degrés qui vaut vérification.

1. Résolution Numérique Gisement de la direction de référence en radians

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la direction de la visée à partir des seuls accroissements, dans l'unité que fournissent les fonctions trigonométriques.

Méthodologie du calcul :

On applique la fonction à deux arguments en plaçant l'accroissement en abscisse en premier et celui en ordonnée en second.

Substitution : \( \Delta X = +100{,}00 \ \text{m} \) et \( \Delta Y = +100{,}00 \ \text{m} \), résultats de la question précédente.
Piège évité : ne pas intervertir les arguments. L'angle serait alors compté depuis l'axe des abscisses, ce qui ne correspond à aucune convention topographique.
Hypothèse validée : l'axe des ordonnées matérialise le Nord de la projection, origine des gisements.
Vérification croisée : les deux arguments étant positifs et égaux, le résultat doit valoir le quart de pi, soit la bissectrice du premier quadrant.
Finalité : produire la direction avant toute conversion d'unité.

\[ \begin{aligned} G_{\text{AB}} &= \operatorname{atan2}(100{,}00 \, ; \, 100{,}00) \\ &= \frac{\pi}{4} \\ &= \mathbf{0{,}785398 \ \text{rad}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La direction vaut un quart de pi radian, soit la bissectrice du premier quadrant. Le résultat est positif, ce qui dispense de toute réduction dans l'intervalle des gisements.

Ordre de grandeur : inférieur à pi divisé par deux, donc dans le premier quadrant, conformément aux signes des accroissements.
Impact sur la suite : cette valeur sera convertie en grades, unité sous laquelle elle se combinera à l'angle mesuré.
Cohérence : l'égalité des deux accroissements impose la bissectrice ; toute autre valeur signalerait une erreur de saisie.
Attention : un résultat négatif ne serait pas une erreur : il désignerait simplement une direction de l'Ouest, à corriger par l'ajout d'un tour complet.
Comparaison : la direction inverse, de la borne vers la station, donnerait moins trois quarts de pi, valeur négative à ramener dans l'intervalle.

Remarque pédagogique : La fonction à deux arguments n'est pas une variante commode de l'arc tangente : elle en est l'extension nécessaire. Sans elle, la moitié des directions du plan resterait indiscernable de son opposée.

Gisement de la direction de référence en grades

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour exprimer la direction dans l'unité qui permettra de lui ajouter l'angle mesuré à la question suivante.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la valeur en radians par le rapport de deux cents au nombre pi.

Substitution : \( G_{\text{rad}} = \dfrac{\pi}{4} \), valeur exacte issue du calcul précédent.
Piège évité : ne pas employer le facteur de conversion vers les degrés. Il donnerait 45,0000, valeur juste dans une unité qui n'est pas celle du carnet de terrain.
Hypothèse validée : la conversion est exacte : le nombre pi se simplifie et le résultat est un nombre entier de grades.
Vérification croisée : la direction étant la bissectrice du premier quadrant, le résultat doit valoir la moitié de cent grades.
Finalité : disposer du gisement de référence sous la forme employée par tous les calculs suivants.

\[ \begin{aligned} G_{\text{AB}} &= \frac{\pi}{4} \times \frac{200}{\pi} \\ &= \frac{200}{4} \\ &= \mathbf{50{,}0000 \ \text{gon}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le gisement de la direction de référence vaut 50,0000 gon. Pour aller de la station vers la borne, il faut donc s'orienter exactement vers le Nord-Est, à mi-chemin entre le Nord et l'Est.

Ordre de grandeur : compris entre zéro et cent grades, conformément au quadrant annoncé par les signes.
Impact sur la suite : c'est sur cette valeur que se reportera l'angle mesuré, et c'est elle qu'il faudra retourner à la dernière question.
Cohérence : la valeur est exactement au milieu de l'intervalle du quadrant, comme l'imposait l'égalité des deux accroissements.
Attention : ce gisement est celui de la direction de la station vers la borne. Celui de la direction opposée en diffère de deux cents grades.
Comparaison : une direction plein Est vaudrait cent grades, une direction plein Nord zéro : la valeur obtenue partage exactement l'intervalle.

Remarque pédagogique : Le grade doit sa place en topographie à la lisibilité des quadrants : chacun en couvre exactement cent, et l'angle droit en vaut cent également. Une direction se situe ainsi d'un coup d'œil, sans calcul intermédiaire.

Équivalent du gisement en degrés décimaux

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour contrôler la conversion précédente par une seconde unité, et disposer d'une valeur exploitable par un logiciel qui n'accepterait pas les grades.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la valeur en grades par le rapport de trois cent soixante à quatre cents, soit par neuf dixièmes.

Substitution : \( G_{\text{gon}} = 50{,}0000 \ \text{gon} \), résultat du calcul précédent.
Piège évité : ne pas inverser le rapport. Multiplier par dix neuvièmes donnerait 55,5556, valeur qui ne correspond à aucune direction du problème.
Hypothèse validée : les deux unités mesurent le même tour complet, l'une en quatre cents parts, l'autre en trois cent soixante.
Vérification croisée : la valeur en degrés doit être inférieure à celle en grades, le degré étant la plus grande des deux unités.
Finalité : confirmer par une seconde voie que la direction est bien la bissectrice du premier quadrant.

\[ \begin{aligned} G_{\text{deg}} &= 50{,}0000 \times \frac{360}{400} \\ &= \mathbf{45{,}0000 \text{ degres}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La direction vaut 45 degrés depuis le Nord, valeur qui confirme la bissectrice du premier quadrant. Les deux unités décrivent la même orientation, ce qui valide la conversion opérée à l'étape précédente.

Ordre de grandeur : la moitié de quatre-vingt-dix degrés, soit la moitié du quadrant sexagésimal.
Impact sur la suite : aucun : les calculs ultérieurs se conduisent intégralement en grades, unité du carnet de terrain.
Cohérence : le rapport entre les deux valeurs vaut bien neuf dixièmes, comme le veut la définition des deux unités.
Attention : ce contrôle porte sur la conversion, non sur la direction elle-même : une erreur de quadrant se transmettrait identique aux deux unités.
Comparaison : un angle droit vaut cent grades ou quatre-vingt-dix degrés ; le rapport de neuf dixièmes se retrouve inchangé sur toute valeur.

Remarque pédagogique : Convertir dans une seconde unité ne vérifie que l'arithmétique de la conversion. Le contrôle qui porte sur la direction elle-même reste celui du quadrant, tiré des signes des accroissements.

LE GISEMENT DANS SON QUADRANT

RÉSULTAT FINAL

G_AB = 50,0000 gon

Direction comptée depuis l'axe des ordonnées dans le sens des aiguilles d'une montre, soit 45,0000 degrés. Le quadrant Nord-Est est confirmé par les deux accroissements positifs.

Question 3 : Le gisement de la direction à implanter

Dans la tête de l'ingénieur

« L'angle lu sur l'appareil ne désigne aucune direction : il mesure une rotation, à partir d'une visée de départ. Pour en tirer une direction absolue, je dois l'appliquer à un gisement connu. L'addition est triviale ; ce qui ne l'est pas, c'est de vérifier deux choses avant de la poser — dans quel sens l'opérateur a tourné, et si la somme sort de l'intervalle des gisements. »

Observation : la somme d'une cinquantaine et de quatre-vingt-deux grades tombera entre cent et deux cents : la direction sera dans le quadrant Sud-Est.
Analyse du risque : prendre la lecture de l'appareil pour un gisement, confusion d'autant plus tentante que les deux grandeurs s'expriment dans la même unité.
Choix stratégique : traiter la réduction modulo quatre cents comme une étape de calcul à part entière, même lorsqu'elle se révèle sans effet.
Contrôle prévu : le quadrant de la direction obtenue, comparé à celui que le schéma laisse prévoir.
Objectif visé : un gisement au dix-millième de grade, accompagné du traitement explicite des deux cas qui font échouer l'addition naïve.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

G(AC) = 132,4000 gon · quadrant Sud-Est · aucune réduction nécessaire

Rappel Théorique : du zéro de l'appareil à la direction absolue

Une station totale ne mesure pas de directions absolues : elle mesure des écarts angulaires entre visées. L'opérateur choisit une origine — le plus souvent en calant le zéro sur la visée de référence — et toutes les lectures suivantes expriment la rotation effectuée depuis cette origine. Le report d'angle est l'opération qui transforme cet écart en direction.

La lecture horizontale : grandeur relative, dépendant du calage choisi. Deux opérateurs lisant la même visée avec des calages différents obtiennent deux nombres différents.
Le gisement : grandeur absolue, indépendante de l'appareil et de son calage, puisqu'elle se rapporte à l'axe des ordonnées du système de coordonnées.
L'angle à droite : rotation dans le sens horaire, le même que celui des gisements. Elle s'ajoute donc au gisement de la visée de départ.
L'angle à gauche : rotation dans le sens contraire. Elle se retranche, et le résultat peut devenir négatif, ce qui impose une réduction.
La réduction modulo quatre cents : un gisement décrit une direction, non un nombre de tours. Toute valeur sortant de l'intervalle doit être ramenée par ajout ou retrait d'un tour complet.

Équations Fondamentales

Une relation de composition, puis une relation de réduction. La seconde n'est pas facultative : elle garantit que le résultat désigne bien une direction.

Report d'un angle mesuré à droite :

Elle compose une direction connue et une rotation mesurée pour produire une nouvelle direction.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la rotation mesurée et le gisement se comptent dans le même sens. Faire tourner l'appareil d'un certain angle depuis une direction connue revient à ajouter cet angle au gisement de cette direction : les deux grandeurs s'additionnent sans aucune transformation intermédiaire.

Contexte de validité : l'angle doit avoir été tourné à droite, de la visée de référence vers la visée cherchée, et dans cet ordre.
Avantage : elle permet d'orienter une visée sans coordonnées pour le point visé, ce qui est précisément la situation de l'implantation.
Paramètre clé : le sens de rotation, seul élément qui décide entre l'addition et la soustraction.
Vérification : le gisement obtenu doit se situer dans le quadrant que le schéma de terrain laisse attendre.
Limite : la somme peut dépasser quatre cents grades ; elle ne désigne alors une direction qu'après réduction.

\[ \begin{aligned} G_{\text{AC}} = G_{\text{AB}} + H_{\text{BAC}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle décrit le geste de l'opérateur. L'appareil est d'abord pointé sur la référence, dont la direction est connue ; il pivote ensuite de l'angle mesuré. La direction finale est donc celle de départ, augmentée de la rotation effectuée.

Décomposition des termes :

\( G_{\text{AC}} \) : gisement de la direction allant de la station vers le point à implanter, unité : gon
\( G_{\text{AB}} \) : gisement de la direction de référence, unité : gon
\( H_{\text{BAC}} \) : angle horizontal mesuré à droite, de la référence vers le point à implanter, unité : gon

Réduction dans l'intervalle des gisements :

Elle ramène toute valeur dans l'intervalle de zéro à quatre cents grades.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un gisement désigne une direction, et qu'une direction ne compte pas les tours. Quatre cent trente-deux grades et trente-deux grades pointent exactement le même endroit du terrain : seule la seconde écriture est admissible dans un document de calcul.

Contexte de validité : elle s'applique à tout résultat angulaire destiné à être lu comme une direction, y compris négatif.
Avantage : elle rend les gisements comparables entre eux, condition de tout contrôle par quadrant.
Paramètre clé : le tour complet de quatre cents grades, ajouté ou retranché autant de fois que nécessaire.
Vérification : la valeur réduite doit être supérieure ou égale à zéro et strictement inférieure à quatre cents.
Limite : la réduction ne corrige aucune erreur de sens de rotation : elle ne fait que normaliser une valeur, juste ou fausse.

\[ \begin{aligned} G = G_{\text{brut}} \pmod{400} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle rappelle que le cercle se referme sur lui-même. Tourner de quatre cents grades ramène l'appareil exactement où il était : ajouter ou retrancher un tour ne change donc rien à la visée, mais rend le nombre lisible.

Décomposition des termes :

\( G \) : gisement réduit, compris entre zéro inclus et quatre cents exclu, unité : gon
\( G_{\text{brut}} \) : valeur issue de l'addition ou de la soustraction, éventuellement hors intervalle, unité : gon
\( 400 \) : mesure du tour complet en grades, unité : gon

L'Erreur Classique (Le Piège)

« L'opérateur a calé son zéro sur la référence avant de viser le point à implanter. La lecture affichée, 82,4000 gon, est donc directement le gisement de la direction cherchée. »

L'approche d'ingénieur : Caler le zéro sur la référence fixe l'origine des lectures sur cette visée, et non sur le Nord. La valeur affichée mesure donc la rotation depuis la référence, pas la direction depuis l'axe des ordonnées. Pour passer de l'une à l'autre, il faut ajouter le gisement de la référence — c'est exactement l'objet du report d'angle.

L'erreur : confondre une grandeur relative à un calage avec une grandeur absolue. Les deux s'expriment en grades, ce qui rend la confusion invisible à la lecture.
L'ampleur chiffrée : 82,4000 gon annoncé au lieu de 132,4000 gon, soit un écart de 50,0000 gon — précisément le gisement de la référence, celui que l'on a omis d'ajouter.
La conséquence sur l'étude : le point serait implanté dans le quadrant Nord-Est au lieu du quadrant Sud-Est. À cent mètres de la station, il se retrouverait à 76,54 m de sa position correcte.
L'erreur symétrique : tenir l'angle pour tourné à gauche alors qu'il l'a été à droite. Le gisement deviendrait 367,6000 gon au lieu de 132,4000 gon, soit un écart angulaire de 164,8000 gon — le double de l'angle mesuré — et, à cent mètres, une position fausse de 192,41 m.
Le contrôle qui la détecte : le quadrant. Le schéma de terrain place le point à implanter au Sud-Est de la station : tout gisement inférieur à cent grades est donc à rejeter sans autre examen.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Gisement de référence et angle mesuré : tous deux en grades
Somme : en grades , à contrôler avant d'être déclarée gisement
Tour complet : 400 gon , unité de la réduction
Résultats arrondis au dix-millième de grade

Trois calculs : le report proprement dit, puis deux configurations qui montrent, chiffres à l'appui, ce que deviendrait le résultat dans des conditions différentes.

1. Résolution Numérique Gisement de la direction à implanter

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour transformer la rotation mesurée en une direction absolue, seule forme sous laquelle elle pourra servir à calculer des coordonnées.

Méthodologie du calcul :

On ajoute l'angle mesuré au gisement de la visée de référence, l'angle ayant été tourné dans le sens des gisements.

Substitution : \( G_{\text{AB}} = 50{,}0000 \ \text{gon} \) et \( H_{\text{BAC}} = 82{,}4000 \ \text{gon} \).
Piège évité : ne pas retrancher l'angle mesuré. La soustraction correspondrait à une rotation à gauche, contraire à ce qu'indique le carnet de terrain.
Hypothèse validée : l'angle a été tourné de la référence vers le point à implanter, et non l'inverse.
Vérification croisée : la somme d'une valeur voisine de cinquante et d'une valeur voisine de quatre-vingts doit tomber dans le deuxième quadrant.
Finalité : obtenir la direction absolue de la visée d'implantation.

\[ \begin{aligned} G_{\text{AC}} &= 50{,}0000 + 82{,}4000 \\ &= \mathbf{132{,}4000 \ \text{gon}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La direction à implanter a pour gisement 132,4000 gon. La valeur étant comprise entre cent et deux cents grades, elle situe le point dans le quadrant Sud-Est de la station, ce que le schéma de terrain confirme.

Ordre de grandeur : la somme reste très inférieure à quatre cents grades : aucune réduction n'est nécessaire ici.
Impact sur la suite : associée à une distance, cette direction permettrait de calculer les coordonnées du point à implanter.
Cohérence : le passage du premier au deuxième quadrant s'accorde avec une rotation de plus de cinquante grades depuis une direction à cinquante grades.
Attention : que la réduction soit ici sans effet ne dispense pas de la poser : c'est l'oubli du contrôle, non son résultat, qui produit les erreurs.
Comparaison : la direction obtenue diffère de la référence de 82,4000 gon, soit exactement l'angle mesuré : l'écart est bien celui du carnet.

Remarque pédagogique : Le report d'angle est l'opération qui rend une station orientée. Sans elle, un appareil ne fournit que des écarts entre visées, sans aucun lien avec le système de coordonnées du projet.

Cas où la réduction devient nécessaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour établir, sur un cas chiffré, que l'addition seule ne suffit pas et que la réduction est une étape à part entière.

Méthodologie du calcul :

On reprend le même angle mesuré en supposant une visée de référence orientée à 350,0000 gon, puis on retranche un tour complet de la somme obtenue.

Substitution : gisement de référence supposé égal à \( 350{,}0000 \ \text{gon} \), angle mesuré inchangé à \( 82{,}4000 \ \text{gon} \).
Piège évité : ne pas conserver la somme brute de 432,4000 gon. Aucune direction ne se désigne par une valeur supérieure au tour complet.
Hypothèse validée : il s'agit d'une configuration d'illustration, destinée à établir la nécessité de la réduction, et non des données de l'étude.
Vérification croisée : le résultat réduit doit être inférieur à quatre cents grades et rester positif.
Finalité : montrer que la réduction change le nombre sans changer la direction désignée.

\[ \begin{aligned} G_{\text{reduit}} &= 350{,}0000 + 82{,}4000 - 400 \\ &= \mathbf{32{,}4000 \ \text{gon}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La somme brute atteindrait 432,4000 gon, valeur qui ne désigne aucune direction. Ramenée par retrait d'un tour, elle donne 32,4000 gon : la visée pointe alors dans le quadrant Nord-Est, tout près du Nord.

Ordre de grandeur : un peu plus de trente grades, cohérent avec une rotation de quatre-vingt-deux grades depuis une direction proche du Nord.
Impact sur la suite : ce cas montre qu'un gisement de départ élevé rend la réduction systématiquement nécessaire dès que l'angle est notable.
Cohérence : la direction obtenue conserve bien l'écart de 82,4000 gon avec la référence supposée, en franchissant l'origine du cercle.
Attention : conserver 432,4000 gon dans un carnet ne relève pas d'une simple maladresse d'écriture : la valeur serait rejetée par tout logiciel de calcul topographique.
Comparaison : dans le cas réel de l'étude, la somme vaut 132,4000 gon : la réduction s'applique aussi, mais laisse la valeur inchangée.

Remarque pédagogique : Une opération qui ne se déclenche que dans certains cas doit être écrite dans tous. C'est en la posant systématiquement que l'on évite de l'oublier le jour où elle devient indispensable.

Cas d'un angle tourné à gauche

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour chiffrer l'effet du sens de rotation, seul élément qui décide entre l'addition et la soustraction.

Méthodologie du calcul :

On retranche l'angle mesuré du gisement de référence, puis on ajoute un tour complet au résultat négatif obtenu.

Substitution : \( G_{\text{AB}} = 50{,}0000 \ \text{gon} \) et angle supposé tourné à gauche de \( 82{,}4000 \ \text{gon} \).
Piège évité : ne pas conserver la valeur négative de moins 32,4000 gon, ni en prendre la valeur absolue, ce qui désignerait une tout autre direction.
Hypothèse validée : configuration d'illustration : le carnet de terrain de l'étude indique bien un angle tourné à droite.
Vérification croisée : une rotation vers la gauche depuis une direction Nord-Est doit conduire dans le quadrant Nord-Ouest.
Finalité : mesurer l'écart qui séparerait les deux interprétations du carnet.

\[ \begin{aligned} G_{\text{gauche}} &= 50{,}0000 - 82{,}4000 + 400 \\ &= \mathbf{367{,}6000 \ \text{gon}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un angle tourné à gauche conduirait à 367,6000 gon, direction du quadrant Nord-Ouest. Les deux directions sont séparées d'un angle de 164,8000 gon, soit exactement le double de l'angle mesuré, l'une se trouvant à droite de la référence et l'autre à gauche.

Ordre de grandeur : proche de quatre cents grades, donc voisine du Nord mais légèrement à l'Ouest.
Impact sur la suite : à cent mètres de la station, les deux interprétations conduiraient à deux points distants de 192,41 m.
Cohérence : les deux résultats sont symétriques par rapport à la direction de référence, l'un à quatre-vingt-deux grades à droite, l'autre autant à gauche.
Attention : aucun calcul ne peut détecter cette erreur : le sens de rotation est une information de terrain, qui doit figurer explicitement au carnet.
Comparaison : en soustrayant les deux gisements dans l'ordre, on lit 235,2000 gon ; l'angle réellement formé par les deux directions est son complément à quatre cents, soit 164,8000 gon.

Remarque pédagogique : La mention du sens de rotation vaut, dans un carnet d'observations, autant que la valeur de l'angle elle-même. Une lecture sans son sens n'est pas une mesure incomplète : c'est une mesure inexploitable.

LE REPORT DE L'ANGLE MESURÉ

RÉSULTAT FINAL

G_AC = 132,4000 gon

Direction obtenue par report à droite de l'angle mesuré sur le gisement de référence. La valeur appartient déjà à l'intervalle de zéro à quatre cents grades et situe le point dans le quadrant Sud-Est.

Question 4 : L'angle au sommet de la borne

Dans la tête de l'ingénieur

« L'angle est demandé au sommet de la borne. Le gisement dont je dispose part de la station : il ne convient pas, il faut le retourner. C'est là que se perdent la plupart des candidats — non par difficulté de calcul, mais parce qu'ils oublient de se déplacer mentalement d'un point à l'autre. Ensuite, je ne me contenterai pas de vérifier mon résultat par les mêmes gisements : je reviendrai aux coordonnées. »

Observation : depuis la borne, la station se trouve au Sud-Ouest et le point auxiliaire au Nord-Ouest : l'angle sera voisin d'un angle droit.
Analyse du risque : employer le gisement de la station vers la borne, alors que la visée part de la borne : l'erreur vaudrait exactement un demi-tour.
Choix stratégique : écrire le gisement inverse comme une ligne de calcul distincte, plutôt que de l'opérer mentalement dans la soustraction finale.
Contrôle prévu : le produit scalaire des deux vecteurs issus de la borne, calculé directement sur les coordonnées, sans aucun gisement.
Objectif visé : un angle au dix-millième de grade, validé par une voie indépendante de la chaîne de calcul qui l'a produit.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

G(BA) = 250,0000 gon · G(BD) = 350,0000 gon · angle ABD = 100,0000 gon

Rappel Théorique : un angle au sommet est une différence de gisements

Un angle au sommet met en jeu deux visées issues d'un même point. Son calcul suppose donc de disposer des gisements de ces deux visées, tous deux comptés depuis ce point. C'est cette exigence, et non l'arithmétique de la soustraction, qui fait la difficulté de l'opération.

Le gisement inverse : aller de la borne vers la station, c'est parcourir en sens contraire la direction allant de la station vers la borne. Les deux gisements diffèrent donc d'un demi-tour, soit deux cents grades.
Le signe de la correction : on ajoute deux cents grades lorsque le gisement de départ est inférieur à deux cents, on les retranche sinon. Dans les deux cas, le résultat reste dans l'intervalle des gisements.
L'angle à droite : différence entre le gisement de la visée d'arrivée et celui de la visée de départ. L'ordre n'est pas indifférent : l'inverser donne l'angle explémentaire.
Le complément à quatre cents : deux visées issues d'un même point déterminent deux angles dont la somme vaut un tour complet. Nommer le sens de rotation est donc indispensable pour désigner l'un des deux.
Le contrôle indépendant : le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement si ils sont perpendiculaires. Calculé sur les coordonnées, il ne réutilise aucun gisement et constitue donc une vérification réellement distincte.

Équations Fondamentales

Deux relations. La première déplace le point de vue de la station vers la borne, la seconde compose les deux directions issues de ce nouveau sommet.

Gisement inverse d'une direction :

Il donne la direction du trajet retour à partir de celle du trajet aller.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les deux points définissent une droite, mais que la droite se parcourt dans deux sens. Le gisement décrit un sens de parcours : passer de l'un à l'autre revient à faire demi-tour, opération qui ajoute ou retranche exactement deux cents grades.

Contexte de validité : elle suppose un système de coordonnées plan : sur l'ellipsoïde, les azimuts direct et inverse ne diffèrent pas exactement d'un demi-tour.
Avantage : elle évite de recalculer un gisement à partir des coordonnées : une addition remplace une fonction trigonométrique.
Paramètre clé : le signe de la correction, choisi de sorte que le résultat reste dans l'intervalle des gisements.
Vérification : le gisement inverse doit désigner le quadrant diamétralement opposé à celui du gisement direct.
Limite : elle ne s'applique qu'entre les deux mêmes points : elle ne dit rien d'une troisième direction issue de l'un d'eux.

\[ \begin{aligned} G_{\text{BA}} = G_{\text{AB}} \pm 200 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle traduit un demi-tour. L'opérateur qui se rendrait de la station à la borne et se retournerait pour regarder d'où il vient viserait la direction opposée : deux cents grades séparent les deux orientations, quel que soit le point de départ.

Décomposition des termes :

\( G_{\text{BA}} \) : gisement de la direction allant de la borne vers la station, unité : gon
\( G_{\text{AB}} \) : gisement de la direction allant de la station vers la borne, unité : gon
\( 200 \) : mesure du demi-tour en grades, unité : gon

Angle à droite entre deux visées issues d'un même point :

Il mesure la rotation qui conduit de la première visée à la seconde.

Pourquoi cette formule ?

Parce que deux gisements sont deux directions rapportées à la même origine, l'axe des ordonnées. Leur différence élimine cette origine commune et ne laisse subsister que l'écart angulaire entre les deux visées, c'est-à-dire l'angle cherché.

Contexte de validité : les deux gisements doivent être comptés depuis le même sommet, faute de quoi la différence ne mesure aucun angle du terrain.
Avantage : elle fournit un angle calculé, comparable à l'angle mesuré sur le terrain, ce qui en fait un outil de contrôle des observations.
Paramètre clé : l'ordre des deux gisements : la visée d'arrivée en premier, la visée de départ ensuite.
Vérification : un angle intérieur de triangle est nécessairement inférieur à deux cents grades ; au-delà, l'ordre a été inversé.
Limite : un résultat négatif ne signale pas une erreur : il demande simplement l'ajout d'un tour complet.

\[ \begin{aligned} H_{\text{ABD}} = G_{\text{BD}} - G_{\text{BA}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure la rotation de l'appareil stationné sur la borne. L'opérateur pointe d'abord la station, puis tourne dans le sens horaire jusqu'à viser le point auxiliaire : l'angle parcouru est la différence des deux directions absolues.

Décomposition des termes :

\( H_{\text{ABD}} \) : angle au sommet de la borne, tourné à droite de la station vers le point auxiliaire, unité : gon
\( G_{\text{BD}} \) : gisement de la visée d'arrivée, de la borne vers le point auxiliaire, unité : gon
\( G_{\text{BA}} \) : gisement de la visée de départ, de la borne vers la station, unité : gon

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le gisement de la direction entre la station et la borne vaut 50,0000 gon, celui de la borne vers le point auxiliaire 350,0000 gon. L'angle cherché est donc 350,0000 moins 50,0000, soit 300,0000 gon. »

L'approche d'ingénieur : Les deux gisements employés ne sont pas comptés depuis le même point. Le premier part de la station, le second de la borne : leur différence ne mesure aucun angle du terrain. Pour obtenir un angle au sommet de la borne, les deux visées doivent partir de la borne, ce qui impose de retourner d'abord la direction de référence.

L'erreur : soustraire deux directions rapportées à des sommets différents. L'opération est arithmétiquement possible, mais géométriquement vide de sens.
L'ampleur chiffrée : 300,0000 gon annoncé au lieu de 100,0000 gon, soit un écart de 200,0000 gon — exactement le demi-tour que le gisement inverse aurait dû apporter.
La conséquence sur l'étude : la borne serait déclarée former un angle rentrant de trois cents grades, alors qu'elle forme un angle droit. Toute vérification d'équerrage fondée sur ce résultat conclurait à un défaut inexistant.
La détection immédiate : la somme des trois angles intérieurs d'un triangle vaut deux cents grades. Un angle intérieur de trois cents grades est donc impossible, et le résultat se rejette sans aucun calcul complémentaire.
Le lien entre les deux valeurs : 300,0000 et 100,0000 gon sont explémentaires : leur somme vaut un tour complet. Le nombre obtenu mesure donc l'angle rentrant, celui que l'on décrit en tournant dans l'autre sens.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Gisements : en grades , tous ramenés dans l'intervalle de zéro à quatre cents
Accroissements : en mètres , avec leur signe
Angle au sommet : en grades , arrondi au dix-millième
Produit scalaire : en mètres carrés , seul son caractère nul ou non étant exploité

Six calculs : le gisement retourné, les deux accroissements de la seconde visée, le gisement qui en découle, l'angle au sommet, puis le contrôle par les coordonnées.

1. Résolution Numérique Gisement de la borne vers la station

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour ramener la direction de référence au sommet où l'angle est demandé, condition sans laquelle la soustraction finale n'aurait aucun sens.

Méthodologie du calcul :

On ajoute deux cents grades au gisement direct, celui-ci étant inférieur à deux cents.

Substitution : \( G_{\text{AB}} = 50{,}0000 \ \text{gon} \), résultat de la deuxième question.
Piège évité : ne pas retrancher deux cents grades. Le résultat serait négatif, et le ramener dans l'intervalle par ajout d'un tour redonnerait la même valeur : l'erreur se corrigerait d'elle-même, mais la règle resterait mal comprise.
Hypothèse validée : le système est plan : le demi-tour vaut exactement deux cents grades, sans correction de convergence.
Vérification croisée : le gisement direct désignant le Nord-Est, l'inverse doit désigner le Sud-Ouest.
Finalité : disposer de la première des deux visées issues de la borne.

\[ \begin{aligned} G_{\text{BA}} &= 50{,}0000 + 200 \\ &= \mathbf{250{,}0000 \ \text{gon}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Depuis la borne, la station se voit dans la direction 250,0000 gon, c'est-à-dire au Sud-Ouest. La valeur appartient bien au troisième quadrant, diamétralement opposé au premier où se situait le gisement direct.

Ordre de grandeur : comprise entre deux cents et trois cents grades, comme l'exige le quadrant Sud-Ouest.
Impact sur la suite : c'est le gisement de la visée de départ dans le calcul de l'angle au sommet.
Cohérence : les accroissements de la borne vers la station valent tous deux moins cent mètres, ce qui confirme le quadrant Sud-Ouest.
Attention : cette valeur ne remplace pas le gisement direct : les deux coexistent et désignent des visées différentes.
Comparaison : recalculée depuis les coordonnées par l'arc tangente à deux arguments, la même direction donnerait exactement 250,0000 gon.

Remarque pédagogique : Le gisement inverse est l'opération qui permet à un cheminement de progresser : chaque station reprend, comme visée de départ, le retour vers la station précédente.

Accroissement en abscisse de la borne vers le point auxiliaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour préparer le gisement de la seconde visée, qu'aucun report d'angle ne permet d'obtenir puisqu'elle n'a pas été mesurée.

Méthodologie du calcul :

On retranche l'abscisse de la borne de celle du point auxiliaire, la visée partant de la borne.

Substitution : \( X_{\text{D}} = 1050{,}00 \ \text{m} \) et \( X_{\text{B}} = 1100{,}00 \ \text{m} \).
Piège évité : ne pas partir de la station. L'accroissement vaudrait alors plus cinquante mètres et décrirait une tout autre visée.
Hypothèse validée : les deux points appartiennent au même système de coordonnées planes.
Vérification croisée : l'abscisse du point auxiliaire étant la plus petite, le résultat doit être négatif.
Finalité : fournir le premier argument de l'arc tangente pour la seconde visée.

\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{BD}} &= 1050{,}00 - 1100{,}00 \\ &= \mathbf{-50{,}00 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le point auxiliaire se trouve cinquante mètres à l'Ouest de la borne. Le signe négatif annonce un gisement supérieur à deux cents grades, c'est-à-dire une direction de la moitié occidentale du cercle.

Ordre de grandeur : une cinquantaine de mètres, soit la moitié de l'accroissement de la première visée.
Impact sur la suite : ce signe négatif interdit d'employer l'arc tangente ordinaire, qui perdrait l'information de quadrant.
Cohérence : le schéma place bien le point auxiliaire à gauche de la borne, donc à l'Ouest de celle-ci.
Attention : cet accroissement est propre à la visée depuis la borne ; il n'a aucun rapport avec ceux calculés à la première question.
Comparaison : depuis la station, le même point auxiliaire présenterait un accroissement de plus cinquante mètres, de signe opposé.

Remarque pédagogique : Un accroissement n'appartient pas à un point mais à un couple orienté de points. Le noter en indiquant les deux extrémités, dans l'ordre, évite toute réutilisation abusive.

Accroissement en ordonnée de la borne vers le point auxiliaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour compléter le vecteur de la seconde visée et permettre la détermination sans ambiguïté de son quadrant.

Méthodologie du calcul :

On applique aux ordonnées la même différence, dans le même ordre que pour les abscisses.

Substitution : \( Y_{\text{D}} = 2150{,}00 \ \text{m} \) et \( Y_{\text{B}} = 2100{,}00 \ \text{m} \).
Piège évité : ne pas changer l'ordre entre les deux axes. Un ordre mixte produirait une direction symétrique de la direction réelle par rapport à un axe.
Hypothèse validée : l'axe des ordonnées matérialise le Nord de la projection, origine des gisements.
Vérification croisée : l'ordonnée du point auxiliaire étant la plus grande, le résultat doit être positif.
Finalité : fournir le second argument de l'arc tangente pour la seconde visée.

\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{BD}} &= 2150{,}00 - 2100{,}00 \\ &= \mathbf{+50{,}00 \ \text{m}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le point auxiliaire se trouve cinquante mètres au Nord de la borne. Combiné au signe négatif de l'abscisse, ce signe positif situe la visée dans le quadrant Nord-Ouest, donc entre trois cents et quatre cents grades.

Ordre de grandeur : égal en valeur absolue à l'accroissement en abscisse, ce qui annonce une bissectrice de quadrant.
Impact sur la suite : les deux accroissements étant de valeur absolue égale, le gisement tombera au milieu de son quadrant.
Cohérence : le couple de signes désigne le quadrant Nord-Ouest, conformément à la position du point auxiliaire sur le schéma.
Attention : l'égalité des valeurs absolues facilite le contrôle mais n'a rien de général : elle tient aux données de cette étude.
Comparaison : la norme du vecteur ainsi formé vaut cinquante fois la racine de deux, soit 70,711 m, la moitié de la première visée.

Remarque pédagogique : Le couple de signes des accroissements détermine le quadrant avant tout calcul. Le lire systématiquement, avant d'ouvrir la calculatrice, transforme le calcul en simple confirmation.

Gisement de la borne vers le point auxiliaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la seconde direction issue de la borne, celle vers laquelle l'appareil tournerait.

Méthodologie du calcul :

On applique la fonction à deux arguments aux accroissements de la visée, puis on ajoute un tour complet au résultat négatif obtenu.

Substitution : \( \Delta X_{\text{BD}} = -50{,}00 \ \text{m} \) et \( \Delta Y_{\text{BD}} = +50{,}00 \ \text{m} \).
Piège évité : ne pas conserver la valeur de moins cinquante grades. Un gisement négatif ne désigne pas une direction admissible dans un document de calcul.
Hypothèse validée : la fonction retourne une valeur comprise entre moins deux cents et plus deux cents grades, d'où la nécessité éventuelle d'un tour complet.
Vérification croisée : le couple de signes annonçait le quadrant Nord-Ouest : le résultat doit se situer entre trois cents et quatre cents grades.
Finalité : disposer de la visée d'arrivée pour le calcul de l'angle au sommet.

\[ \begin{aligned} G_{\text{BD}} &= \operatorname{atan2}(-50{,}00 \, ; \, 50{,}00) + 400 \\ &= -50{,}0000 + 400 \\ &= \mathbf{350{,}0000 \ \text{gon}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Depuis la borne, le point auxiliaire se voit dans la direction 350,0000 gon, soit exactement le Nord-Ouest. La valeur tombe au milieu du quatrième quadrant, conformément à l'égalité des valeurs absolues des deux accroissements.

Ordre de grandeur : comprise entre trois cents et quatre cents grades, comme l'annonçait le couple de signes.
Impact sur la suite : c'est le gisement de la visée d'arrivée dans le calcul de l'angle au sommet.
Cohérence : la direction se situe symétriquement de la première par rapport à l'axe du Nord, ce que le schéma confirme.
Attention : l'ajout du tour complet ne modifie pas la direction : il ne fait que rendre la valeur conforme à l'intervalle des gisements.
Comparaison : la valeur brute de moins cinquante grades désigne exactement la même visée, mais serait rejetée par tout logiciel de calcul topographique.

Remarque pédagogique : Ce calcul illustre exactement le cas que l'arc tangente ordinaire ne saurait traiter : le rapport des deux accroissements vaut moins un, valeur qui désigne aussi bien la direction obtenue que son opposée à 150,0000 gon.

Angle au sommet de la borne

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la rotation qui, depuis la borne, conduit de la visée vers la station à la visée vers le point auxiliaire.

Méthodologie du calcul :

On retranche le gisement de la visée de départ de celui de la visée d'arrivée, les deux étant comptés depuis la borne.

Substitution : \( G_{\text{BD}} = 350{,}0000 \ \text{gon} \) et \( G_{\text{BA}} = 250{,}0000 \ \text{gon} \).
Piège évité : ne pas inverser l'ordre. La différence vaudrait moins cent grades, soit 300,0000 gon après réduction : l'angle explémentaire, celui décrit en tournant dans l'autre sens.
Hypothèse validée : l'angle est demandé tourné de la station vers le point auxiliaire, ce qui fixe la visée de départ et celle d'arrivée.
Vérification croisée : s'agissant d'un angle intérieur de triangle, le résultat doit rester inférieur à deux cents grades.
Finalité : produire l'angle recherché, avant de le soumettre au contrôle indépendant.

\[ \begin{aligned} H_{\text{ABD}} &= 350{,}0000 - 250{,}0000 \\ &= \mathbf{100{,}0000 \ \text{gon}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'angle au sommet de la borne vaut 100,0000 gon, c'est-à-dire exactement un angle droit. Le résultat reste inférieur à deux cents grades, comme l'exige un angle intérieur de triangle.

Ordre de grandeur : cent grades, valeur remarquable qui appelle une vérification par une voie indépendante.
Impact sur la suite : ce résultat sera confronté au produit scalaire des deux vecteurs issus de la borne.
Cohérence : les deux visées sont les bissectrices de deux quadrants voisins, séparés par cent grades : la perpendicularité était prévisible.
Attention : la valeur ronde ne prouve rien par elle-même : elle résulte des coordonnées choisies et doit être établie, non constatée.
Comparaison : l'angle explémentaire, décrit en tournant dans l'autre sens, vaudrait 300,0000 gon : les deux se complètent à un tour.

Remarque pédagogique : Comparer un angle calculé à partir des coordonnées et un angle mesuré sur le terrain est l'une des vérifications les plus efficaces d'un chantier : elle confronte le dossier à la réalité, et non le dossier à lui-même.

Contrôle par le produit scalaire des deux visées

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour valider l'angle obtenu par une voie qui n'emploie aucun gisement, et qui revient directement aux coordonnées de l'énoncé.

Méthodologie du calcul :

On forme les deux vecteurs issus de la borne, puis on additionne les produits de leurs composantes de même rang.

Substitution : vecteur vers la station de composantes \( (-100{,}00 \, ; \, -100{,}00) \), vecteur vers le point auxiliaire de composantes \( (-50{,}00 \, ; \, +50{,}00) \).
Piège évité : ne pas former les vecteurs depuis la station. Le contrôle porterait alors sur l'angle au sommet de la station, qui n'est pas celui de la question.
Hypothèse validée : le repère étant orthonormé, le produit scalaire s'écrit comme somme des produits des composantes.
Vérification croisée : un produit nul, les deux vecteurs étant non nuls, équivaut à un angle de cent grades.
Finalité : confirmer ou infirmer l'angle droit par une démarche entièrement distincte.

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD} &= (-100{,}00)(-50{,}00) + (-100{,}00)(+50{,}00) \\ &= 5000 - 5000 \\ &= \mathbf{0} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le produit scalaire est nul. Les deux vecteurs étant de normes 141,421 m et 70,711 m, donc non nuls, cette annulation ne peut provenir que de leur perpendicularité : l'angle au sommet vaut bien cent grades.

Ordre de grandeur : les deux produits partiels valent 5 000 m² et se compensent exactement.
Impact sur la suite : le résultat de la chaîne de gisements est validé ; l'angle peut être porté au rapport.
Cohérence : le contrôle est réellement indépendant : il n'emploie ni gisement inverse, ni arc tangente, ni conversion d'unité.
Attention : le produit scalaire établit la perpendicularité, non le sens de rotation : il ne distingue pas cent grades de trois cents.
Comparaison : pour un angle quelconque, le même produit divisé par les deux normes donnerait le cosinus de l'angle, et la méthode resterait applicable.

Remarque pédagogique : Un contrôle n'a de valeur que s'il est indépendant de ce qu'il contrôle. Recalculer l'angle en reprenant les mêmes gisements ne vérifierait qu'une soustraction ; revenir aux coordonnées vérifie toute la chaîne.

L'ANGLE DROIT AU SOMMET DE LA BORNE

RÉSULTAT FINAL

H_ABD = 100,0000 gon

Angle au sommet de la borne, tourné à droite de la station vers le point auxiliaire, obtenu par différence des gisements 350,0000 et 250,0000 gon. La perpendicularité est confirmée par un produit scalaire nul, calculé directement sur les coordonnées.

SCHÉMA BILAN — LES QUATRE DIRECTIONS DE L'ÉTUDE

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez assimilé la démarche et pas seulement les formules :

Je calcule mes accroissements dans l'ordre arrivée moins départ, et je conserve leur signe jusqu'au bout. Je nomme la longueur obtenue distance en représentation plane tant que l'altération linéaire n'a pas été appliquée. J'emploie l'arc tangente à deux arguments, en plaçant l'accroissement en abscisse en premier. Je détermine le quadrant à partir des seuls signes avant de calculer, et je m'en sers comme contrôle. Je distingue une lecture horizontale, relative au calage de l'appareil, d'un gisement, qui est absolu. J'ajoute un angle tourné à droite, je retranche un angle tourné à gauche, sans jamais l'improviser. Je pose la réduction modulo quatre cents grades même lorsqu'elle se révèle sans effet. Je retourne le gisement avant de calculer un angle au sommet d'un autre point, et je contrôle le résultat par une voie indépendante.

La visée de rattachement mesure 141,421 m en représentation plane et présente un gisement de 50,0000 gon, soit 45,0000 degrés : la borne se trouve exactement au Nord-Est de la station. Le report à droite de l'angle mesuré de 82,4000 gon porte la direction d'implantation à 132,4000 gon, dans le quadrant Sud-Est. Au sommet de la borne, le gisement retourné vaut 250,0000 gon et celui de la visée vers le point auxiliaire 350,0000 gon : l'angle tourné de la station vers ce point vaut donc 100,0000 gon, valeur confirmée par un produit scalaire nul calculé directement sur les coordonnées.

Deux enseignements dépassent le cas traité. D'abord, un gisement n'est pas un angle comme un autre : il se rapporte à l'axe des ordonnées de la projection, origine que la note technique ALG0060 de l'Institut national de l'information géographique et forestière emploie pour définir la convergence des méridiens. Confondre cette origine avec le Nord géographique, ou l'origine des lectures d'un appareil avec celle des gisements, produit des erreurs qui se comptent en dizaines de grades. Ensuite, angles et distances ne se comportent pas de la même façon en projection : la fiche technique T9 du Certu rappelle qu'une projection conforme conserve les angles mais qu'aucune projection ne conserve les distances. Les gisements calculés ici sont donc directement ceux du terrain, tandis que la longueur de 141,421 m appellerait, avant toute comparaison avec une mesure au distancemètre, la correction d'altération linéaire — treize centimètres au parallèle origine du Lambert-93.

Exercices TopographieÉtape 5 sur 39

Voir le parcours complet et reprendre où vous en êtes.

Échangez & progressez ensemble

Cet article vous a-t-il aidé ?

Votre retour nous aide à améliorer les corrigés.

Questions sur cet exercice

Bloqué sur une étape ? Posez votre question, la communauté répond.

Bloqué ? La communauté peut t'aider

Pose ta question sur cet exercice et obtiens une réponse d'autres étudiants et de l'équipe. La communauté est ouverte à tous les membres.

Pose tes questions sur les exercices
Entraide + réponses de l'équipe
Favoris & suivi de ta progression
Alertes emploi, stage & alternance BTP

Créer mon compte J'ai déjà un compte

166 membres8 questions résolues

Commentaires

Échanges des lecteurs et réponses de l'équipe — nouveaux commentaires publiés après validation.

Créez un compte pour laisser un commentaire.

Créer un compte

← Exercice précédentErreurs dans un Levé Topographique Exercice suivant →Calcul de la Tolérance de Fermeture Angulaire

Ne vous arrêtez pas en si bon chemin

Calcul des coordonnées d’un point en Topographie Contexte : Le rayonnementMéthode topographique permettant de déterminer les coordonnées d'un point (P) à partir d'une station connue (A) en mesurant un angle et une distance.. En topographie, le rayonnement est une méthode fondamentale pour déterminer la position de points sur le terrain. Depuis une station d'observation dont […]

Lire →

Un point pas clair dans cet exercice ?

Posez votre question à la communauté : étudiants, enseignants et professionnels du BTP répondent chaque jour.

Poser ma question →

Stage, alternance ou premier emploi ?

Des entreprises du BTP publient leurs offres directement sur la plateforme — postulez en un clic avec votre CV.

Voir les offres →

Explorez d'autres domaines

Les Fondamentaux de l'Hydraulique (88)Exercices résistances des matériaux (80)Exercices géotechnique (79)Exercices thermique de l'habitat (70)Exercices terrassement (70)Exercices béton armé et précontraint (62)Exercices chantiers et ouvrages (61)Fondations (61)Exercices acoustique (60)Exercices matériaux de construction (60)

1 € LE PREMIER MOIS

Tous les corrigés, un seul abonnement

Les corrigés détaillés pas à pas, les documents joints, les outils de calcul et les quiz — 1 € le premier mois, puis 12,99 € par mois, résiliable en un clic.

Commencer pour 1 € →