Calcul de l'aire équivalente d'absorption

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Une salle de classe d'un établissement d'enseignement présente une acoustique jugée difficile : les enseignants doivent élever la voix, et les élèves du fond de la salle se plaignent de mal comprendre. Les revêtements en place sont tous durs — carrelage au sol, plâtre au plafond, béton peint sur les murs. L'étude doit établir l'aire d'absorption équivalente du local, en déduire sa durée de réverbération, confronter le résultat à l'exigence réglementaire et dimensionner le traitement nécessaire.

Les Points Clés du Projet

Quatre particularités distinguent cette étude d'une simple application de formule :

Enjeu principal : la relation de Sabine n'est valable que si l'absorption moyenne reste faible. Cette condition doit être vérifiée avant traitement comme après, et le verdict n'est pas le même dans les deux cas.
Une exigence à deux bornes : la réglementation ne fixe pas un maximum mais un encadrement. Un local trop absorbant est aussi non conforme qu'un local trop réverbérant, et le dimensionnement doit viser l'intervalle.
L'objectif final : une plage de coefficients d'absorption admissibles pour le plafond, et non une valeur unique : c'est sous cette forme qu'une prescription se rédige et se contrôle.
L'astuce de l'ingénieur : établir la part de chaque surface dans l'absorption avant de choisir où agir. Le plafond porte déjà la moitié de l'absorption du local alors qu'il n'en représente qu'un peu plus du quart de la surface.

Votre Mission :

Établir le bilan des surfaces et le volume, calculer l'aire d'absorption équivalente et l'absorption moyenne, établir la constante de Sabine puis la durée de réverbération, vérifier le domaine de validité de la relation, confronter à l'exigence et dimensionner le traitement.

Le grand défi : montrer que la relation de Sabine, légitime avant traitement à 2,9 % près, s'écarte de 15 % de la relation d'Eyring une fois le local traité, et que la conformité peut dépendre de la formule retenue.
Votre rôle : produire une prescription sous forme de plage admissible, assortie du domaine de validité des relations employées et des écarts entre le calcul et ce que la réglementation exige réellement.

GÉOMÉTRIE DE LA SALLE ET NATURE DES REVÊTEMENTS

Livrables Attendus (Checklist) :

Le volume du local et le bilan complet des surfaces, brutes et nettes.
L'aire d'absorption équivalente et la part de chaque surface.
La constante de la relation de Sabine, établie et non recopiée.
La durée de réverbération et la vérification du domaine de validité.
L'aire d'absorption requise par l'encadrement réglementaire.
La plage de coefficients admissibles pour le plafond, et les réserves.

2. Données Techniques & Normes

Trois textes encadrent cette étude. Les coefficients d'absorption des matériaux sont ceux que les fabricants publient à partir d'essais en salle réverbérante ; ils sont ici fournis comme données du problème. L'exigence de durée de réverbération figure à l'article 5 de l'arrêté du 25 avril 2003 relatif à la limitation du bruit dans les établissements d'enseignement, reproduit au chapitre 4 du guide du Conseil national du bruit n° 6, édition d'octobre 2024 : pour un local d'enseignement d'un volume inférieur ou égal à 250 m³, la durée de réverbération moyenne doit satisfaire \( 0{,}4 \le T_{\text{r}} \le 0{,}8 \) s. Le même guide précise que ces durées « correspondent à la moyenne arithmétique des durées de réverbération dans les intervalles d'octave centrées sur 500, 1 000 et 2 000 Hz » et qu'elles « s'entendent pour des locaux normalement meublés et non occupés ». Il indique enfin que le guide de mesures acoustiques de la direction générale de l'aménagement, du logement et de la nature « introduit une incertitude de 2 % sur les résultats de calcul des aires d'absorption équivalentes », alors qu'« aucune incertitude sur les résultats de mesure des durées de réverbération n'est prévue ».

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Six relations couvrent l'exercice, du volume du local jusqu'au coefficient d'absorption à prescrire.

Volume d'un local parallélépipédique \( V = L \times l \times h \)
Aire d'absorption équivalente \( A = \displaystyle\sum_{i} S_{i}\,\alpha_{i} \)
Coefficient d'absorption moyen \( \overline{\alpha} = \dfrac{A}{S_{\text{tot}}} \)
Durée de réverbération de Sabine \( T_{\text{r}} = \dfrac{24\ln 10}{c}\,\dfrac{V}{A} \)
Durée de réverbération d'Eyring \( T_{\text{r}} = \dfrac{24\ln 10}{c}\,\dfrac{V}{-S_{\text{tot}}\ln\left(1-\overline{\alpha}\right)} \)
Aire d'absorption requise par un objectif \( A_{\text{req}} = \dfrac{0{,}16\,V}{T_{\text{r,cible}}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

GÉOMÉTRIE ET REVÊTEMENTS, COEFFICIENTS À 1 000 Hz

Surface	Matériau	Description	\( \alpha \) à 1 000 Hz
Sol	Carrelage	9,0 m × 7,0 m	0,02
Plafond	Plâtre suspendu	9,0 m × 7,0 m	0,10
Murs	Béton peint	périmètre × hauteur, ouvertures déduites	0,05
Fenêtres	Verre	2 unités de 4,0 m²	0,10
Porte	Bois plein	1 unité de 2,0 m²	0,08

Grandeurs complémentaires nécessaires à l'étude

Dimensions du local : \( L = 9{,}0 \) m, \( l = 7{,}0 \) m, \( h = 3{,}0 \) m
Célérité du son retenue : \( c = 343 \) m/s, valeur correspondant à une température de 20 °C
Exigence réglementaire applicable : \( 0{,}4 \le T_{\text{r}} \le 0{,}8 \) s, local d'enseignement de volume inférieur ou égal à 250 m³
Incertitude sur une aire d'absorption calculée : 2 %, selon le guide de mesures acoustiques

LES GRANDEURS DE L'ABSORPTION ET LEURS UNITÉS

Grandeur	Unité	Ce qu'elle caractérise
Coefficient d'absorption \( \alpha \)	sans dimension	La fraction de l'énergie incidente que la surface ne renvoie pas dans le local
Aire d'absorption équivalente \( A \)	m²	La capacité totale d'absorption du local, tous revêtements confondus
Coefficient moyen \( \overline{\alpha} \)	sans dimension	L'absorption rapportée à la surface des parois ; c'est elle qui décide de la validité de Sabine
Durée de réverbération \( T_{\text{r}} \)	s	Le temps de décroissance de 60 décibels après extinction de la source

Hypothèses de modélisation à conserver présentes à l'esprit

Champ diffus : l'énergie sonore est supposée uniformément répartie et incidente de toutes les directions avec la même probabilité. C'est l'hypothèse de base des deux relations employées
Absorption uniformément répartie : les relations supposent l'absorption également distribuée sur les parois. Concentrer tout le traitement au plafond s'en écarte, ce qui sera relevé à la question 6
Local vide : le calcul porte sur un local sans mobilier ni occupants, alors que l'exigence réglementaire vise un local normalement meublé et non occupé
Une seule fréquence : les coefficients fournis valent à 1 000 Hz, alors que l'exigence porte sur la moyenne des octaves de 500, 1 000 et 2 000 Hz
Absorption de l'air négligée : l'atténuation par l'air n'est sensible que dans les grands volumes et aux hautes fréquences ; elle est ici sans effet

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Le premier tableau reproduit les durées de réverbération exigées dans les établissements d'enseignement. Le second distingue les deux relations de décroissance et leurs domaines d'emploi.

Durée de réverbération moyenne exigée, article 5 de l'arrêté du 25 avril 2003

Local, meublé et non occupé	Durée de réverbération moyenne \( T_{\text{r}} \)
Local d'enseignement d'un volume inférieur ou égal à 250 m³, ainsi que salles de repos, d'exercice et de jeux des écoles maternelles, locaux médicaux, administration, foyer, bibliothèque	\( 0{,}4 \le T_{\text{r}} \le 0{,}8 \) s
Local d'enseignement, de musique, d'études ou d'activités pratiques d'un volume supérieur à 250 m³	\( 0{,}6 \le T_{\text{r}} \le 1{,}2 \) s
Autres locaux et circulations accessibles aux élèves d'un volume supérieur à 250 m³	\( T_{\text{r}} \le 1{,}2 \) s si le volume n'excède pas 512 m³

Trois précisions sont indissociables de ces valeurs. D'abord, la durée exigée est la moyenne arithmétique des durées mesurées dans les intervalles d'octave centrés sur 500, 1 000 et 2 000 Hz : une valeur calculée à la seule fréquence de 1 000 Hz n'en constitue qu'un tiers. Ensuite, les valeurs s'entendent pour des locaux normalement meublés et non occupés : un calcul mené sur un local vide ignore l'absorption apportée par le mobilier. Enfin, l'exigence est un encadrement et non un plafond : descendre sous 0,4 s constitue une non-conformité au même titre que dépasser 0,8 s.

Les deux relations de décroissance et leurs domaines

Relation	Hypothèse sur l'absorption	Domaine d'emploi
Sabine	L'onde perd à chaque réflexion une fraction \( \overline{\alpha} \) de son énergie, comptée de façon linéaire	Locaux peu absorbants, \( \overline{\alpha} \) faible devant l'unité
Eyring	L'énergie restante après \( n \) réflexions vaut \( \left(1-\overline{\alpha}\right)^{n} \), décroissance exponentielle	Tout le domaine, y compris les locaux très absorbants

Les deux relations ne diffèrent que par le traitement de l'absorption à chaque réflexion. Lorsque \( \overline{\alpha} \) est petit, \( -\ln\left(1-\overline{\alpha}\right) \) se confond avec \( \overline{\alpha} \) et les deux expressions coïncident ; lorsque \( \overline{\alpha} \) croît, le logarithme devient sensiblement plus grand que son argument et Sabine surestime la durée de réverbération. L'écart entre les deux relations constitue donc un contrôle direct du domaine de validité : c'est l'objet de la question 4, reprise à la question 6 après traitement.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche suit l'ordre d'une étude de correction acoustique : on établit d'abord la géométrie et le bilan des surfaces, on en tire l'aire d'absorption équivalente et l'absorption moyenne, on établit ensuite la constante de la relation de Sabine avant de l'appliquer, on vérifie que le local relève bien du domaine où cette relation est légitime, on confronte le résultat à l'exigence réglementaire, et l'on dimensionne enfin le traitement en reprenant la vérification de validité.

Question 1 : Volume et bilan des surfaces

Géométrie du local 25 min | Accessible

But de l'étape : Produire un bilan de surfaces exhaustif et bouclé. Une surface oubliée ou comptée deux fois se répercute directement sur l'aire d'absorption, et rien dans les calculs suivants ne la signalerait.

Énoncé Q1 : Calculez le volume du local, la surface brute des murs à partir du périmètre, puis la surface nette de béton peint après déduction des ouvertures. Établissez le bilan des cinq surfaces et vérifiez qu'il boucle sur la surface totale des parois.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La surface brute des murs est le produit du périmètre du local par sa hauteur, et non la somme de quatre rectangles calculés séparément.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le bouclage consiste à vérifier que sol, plafond, murs nets, fenêtres et porte redonnent exactement la somme du sol, du plafond et des murs bruts.

Question 2 : Aire d'absorption équivalente et absorption moyenne

Sommation pondérée 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Obtenir la grandeur qui donne son titre à l'étude, et surtout établir la part de chaque surface dans l'absorption totale. C'est cette répartition, et non la liste des coefficients, qui indiquera où le traitement doit porter.

Énoncé Q2 : Calculez l'aire d'absorption équivalente du local en détaillant la contribution de chaque revêtement, établissez la part de chacun, puis déduisez le coefficient d'absorption moyen des parois.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Chaque contribution est le produit d'une surface par un coefficient sans dimension : le résultat est donc homogène à une surface.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le coefficient moyen est le rapport de l'aire d'absorption à la surface totale des parois : c'est une moyenne pondérée par les surfaces.

Question 3 : Constante de Sabine et durée de réverbération

Décroissance en champ diffus 35 min | Intermédiaire

But de l'étape : La constante 0,16 se recopie partout sans que son origine soit dite. Elle n'est pas arbitraire : elle se déduit de la définition de la durée de réverbération et de la célérité du son, et l'établir permet de savoir à quelle température elle correspond.

Énoncé Q3 : Établissez la constante de la relation de Sabine à partir de la décroissance de l'énergie en champ diffus, comparez sa valeur exacte à la valeur conventionnelle de 0,16, puis calculez la durée de réverbération du local.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

En champ diffus, la puissance absorbée par les parois vaut le quart du produit de la célérité, de l'aire d'absorption et de la densité d'énergie du local.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'énergie décroît alors exponentiellement avec une constante de temps \( 4V/(cA) \). Écrivez qu'elle perd soixante décibels et isolez la durée.

Question 4 : Domaine de validité de la relation employée

Sabine contre Eyring 35 min | Avancé

But de l'étape : Un résultat n'a de valeur que si la relation qui l'a produit s'appliquait. La relation de Sabine suppose une absorption faible ; il faut chiffrer l'écart avec la relation d'Eyring pour savoir si cette hypothèse tient.

Énoncé Q4 : Montrez que la relation de Sabine est le cas limite de celle d'Eyring lorsque l'absorption moyenne tend vers zéro, calculez la durée de réverbération selon Eyring, et concluez sur la validité du résultat de la question 3.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le développement limité du logarithme au voisinage de zéro s'écrit \( -\ln(1-x) \simeq x \). C'est la seule différence entre les deux relations.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'écart relatif entre les deux relations est celui entre \( -\ln(1-\overline{\alpha}) \) et \( \overline{\alpha} \). Calculez les deux et comparez.

Question 5 : Confrontation à l'exigence et aire requise

Exigence réglementaire 30 min | Avancé

But de l'étape : L'exigence applicable est un encadrement, pas un plafond. Il faut donc en déduire non pas une aire minimale mais une plage d'aires admissibles, et mesurer le déficit par rapport à sa borne la plus accessible.

Énoncé Q5 : Identifiez l'exigence applicable au local, calculez les deux aires d'absorption correspondant aux bornes de l'encadrement, chiffrez le déficit actuel, et énoncez les écarts entre le calcul mené et ce que la réglementation exige réellement.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Inverser la relation de Sabine donne l'aire d'absorption nécessaire à une durée visée : \( A = 0{,}16\,V / T_{\text{r}} \).

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'aire varie comme l'inverse de la durée : la borne haute de durée correspond donc à la borne basse d'aire, et réciproquement.

Question 6 (Finale) : Dimensionnement du traitement et réserves

Prescription et arbitrage 45 min | BOSS

But de l'étape : Transformer un déficit d'absorption en une prescription contrôlable, et vérifier que la relation employée pour la dimensionner reste valable une fois le traitement en place — ce qui n'est plus le cas.

Éléments à examiner : le coefficient d'absorption minimal à exiger du plafond, la possibilité d'un excès d'absorption, le nouvel écart entre les deux relations une fois le local traité, la valeur à retenir pour la prescription, et les écarts entre le modèle et la situation réglementaire réelle.

Déterminez le coefficient d'absorption minimal du plafond, vérifiez la borne basse de l'encadrement, reprenez la comparaison Sabine-Eyring après traitement, et énoncez la prescription et ses réserves.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Remplacer le plafond revient à retrancher sa contribution actuelle et à ajouter la nouvelle : \( A_{\text{nouv}} = A - S_{\text{plaf}}\alpha_{\text{plaf}} + S_{\text{plaf}}\alpha_{\text{nouv}} \).

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le coefficient d'absorption ne peut pas dépasser l'unité. Calculez la durée qu'on obtiendrait avec un plafond parfaitement absorbant : cela dira si un excès d'absorption est seulement possible.

NOTE DE CALCULS

Calcul de l'aire équivalente d'absorption

Question 1 : Volume et bilan des surfaces

Dans la tête de l'ingénieur

"Trois multiplications et deux soustractions : le calcul ne présente aucune difficulté. Ce qui en présente une, c'est de garantir que je n'ai rien oublié. Une aire d'absorption se calcule surface par surface, et une surface omise disparaît définitivement du résultat sans qu'aucun contrôle ultérieur ne la rattrape. Je vais donc établir un bilan qui boucle : les cinq surfaces des revêtements doivent redonner exactement la surface totale des parois du local."

Observation : les fenêtres et la porte sont décrites comme étant « à déduire des murs ». Elles ne s'ajoutent donc pas aux parois : elles se substituent à une partie du béton peint.
Analyse du risque : compter la surface brute des murs et celle des ouvertures reviendrait à ajouter 10 m² de parois inexistantes et à surestimer l'absorption.
Choix stratégique : je calcule la surface brute par le périmètre plutôt que rectangle par rectangle, ce qui supprime le risque d'oublier une paroi, puis je vérifie le bouclage.
Alternative : j'aurais pu affecter aux ouvertures le coefficient du béton pour simplifier. Je l'écarte : le verre et le bois ont des coefficients différents, et l'écart se répercuterait sur le résultat final.
Objectif visé : le volume, les surfaces brute et nette des murs, et un bilan de surfaces vérifié.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( V = \mathbf{189{,}0} \) m³ — murs bruts 96,0 m², murs nets \( \mathbf{86{,}0} \) m² — surface totale des parois \( \mathbf{222{,}0} \) m²

Rappel Théorique : quelles surfaces entrent dans un bilan d'absorption

L'aire d'absorption se calcule sur les surfaces qui délimitent le volume d'air du local. Cette définition, apparemment évidente, tranche à elle seule toutes les questions de comptage.

Ce qui compte : toute surface vue depuis l'intérieur du local. Sol, plafond, murs, vitrages, portes : chacun avec son propre coefficient.
Ce qui ne compte pas : la face extérieure d'une porte ou d'une fenêtre. Elle ne délimite pas ce volume d'air et n'est donc jamais comptée dans le bilan de ce local.
Le principe de substitution : une ouverture ne s'ajoute pas à la paroi, elle en remplace une partie. La surface de béton diminue exactement de la surface de l'ouverture.
La conséquence sur le bilan : la somme des surfaces de tous les revêtements est invariante : elle vaut toujours la surface totale des parois, quel que soit le nombre d'ouvertures.
Le contrôle qui en découle : si la somme des surfaces retenues ne redonne pas la surface totale des parois, c'est qu'une surface a été omise, comptée deux fois, ou mal déduite.

Équations Fondamentales

Deux relations, dans l'ordre d'emploi : le volume du local, puis la surface brute des murs déduite du périmètre.

Volume d'un local parallélépipédique :

Il donne la quantité d'air contenue dans le local, grandeur qui entre directement dans la relation de Sabine.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le volume est la grandeur qui mesure la quantité d'énergie stockée dans le local à un niveau sonore donné : plus il y a d'air, plus il y a d'énergie à évacuer avant que le son ne s'éteigne.

Contexte de validité : local rigoureusement parallélépipédique. Une retombée de poutre ou un plafond incliné exigerait une décomposition en volumes élémentaires.
Avantage : il ne dépend d'aucun matériau et se relève directement sur les plans, sans hypothèse acoustique.
Paramètre clé : la hauteur sous plafond. C'est la dimension la plus souvent approximative sur un plan, et celle qui varie le plus d'un local à l'autre.
Vérification : le volume doit être de l'ordre de trois fois la surface au sol pour une hauteur usuelle de trois mètres.
Limite : on retient le volume géométrique du local vide. Le volume occupé par le mobilier n'est pas déduit, son effet acoustique étant pris en compte par une absorption et non par une réduction de volume.

\[ \begin{aligned} V = L \times l \times h \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure la quantité d'air que la source doit mettre en vibration, et donc l'énergie que les parois devront dissiper.

Décomposition des termes :

\( V \) : volume du local, unité : m³
\( L, l, h \) : longueur, largeur et hauteur sous plafond, unité : m

Surface brute des murs :

Elle donne la surface développée des quatre parois verticales avant déduction des ouvertures.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les quatre murs, déroulés à plat, forment un unique rectangle dont la longueur est le périmètre du local et la hauteur celle du local. Le calcul par le périmètre évite d'oublier une paroi.

Contexte de validité : hauteur constante sur tout le périmètre, et parois verticales.
Avantage : une seule multiplication remplace quatre calculs séparés, et supprime le risque d'oublier un mur ou d'en compter un deux fois.
Paramètre clé : le périmètre, qui ne dépend que des dimensions en plan et se contrôle immédiatement.
Vérification : la surface brute doit valoir un peu plus d'une fois et demie la surface au sol pour un local de proportions courantes et de trois mètres de hauteur.
Limite : elle ignore les retraits et niches. Un local à géométrie complexe exige un relevé surface par surface.

\[ \begin{aligned} S_{\text{murs,brut}} = 2\left(L + l\right) \times h \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure la surface latérale du volume d'air, celle sur laquelle les ondes se réfléchissent horizontalement.

Décomposition des termes :

\( S_{\text{murs,brut}} \) : surface développée des quatre murs, ouvertures comprises, unité : m²
\( 2(L+l) \) : périmètre du local, unité : m
\( h \) : hauteur sous plafond, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

Employer la surface brute des murs dans le bilan d'absorption, tout en comptant par ailleurs les fenêtres et la porte.

L'approche d'ingénieur : L'erreur consiste à traiter les ouvertures comme des ajouts alors qu'elles sont des substitutions. Elle se détecte immédiatement par le bilan de surfaces.

Ce que l'erreur produit : une surface totale de 232,0 m² au lieu de 222,0, soit 10,0 m² de parois qui n'existent pas.
Son effet sur l'absorption : le béton étant compté sur 96 m² au lieu de 86, l'aire d'absorption serait majorée de \( 10 \times 0{,}05 = 0{,}50 \) m², soit 3,9 % de trop.
Son effet sur la durée de réverbération : la durée serait sous-estimée de 3,8 %, soit près de 0,09 s — un écart perceptible à l'oreille.
Pourquoi elle passe inaperçue : parce que les deux erreurs vont dans le même sens et que le résultat reste plausible. Seul le bilan de surfaces la révèle.
La parade : écrire systématiquement la ligne de contrôle « somme des revêtements égale surface totale des parois ». Elle coûte une addition et sécurise tout le reste.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Dimensions : toutes en mètres , aucune conversion nécessaire.
Produit de trois longueurs : en m³ .
Périmètre : en m ; multiplié par la hauteur, il donne des m² .
Surfaces d'ouvertures : en m² , retranchées directement.
Bilan : toutes les surfaces en m² , condition de leur additivité.

Trois calculs enchaînés : le volume, la surface brute des murs par le périmètre, puis la surface nette et le bilan de contrôle.

1. Résolution Numérique Volume du local

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le volume entre au numérateur de la relation de Sabine, et parce qu'il détermine aussi quelle ligne du tableau réglementaire s'applique.

Méthodologie du calcul :

On multiplie les trois dimensions du local.

Substitution : \( L = 9{,}0 \) m, \( l = 7{,}0 \) m et \( h = 3{,}0 \) m.
Piège évité : retenir une hauteur de faux plafond différente de la hauteur libre. C'est la hauteur du volume d'air, sous le plafond suspendu, qui intervient ici.
Hypothèse validée : le local est un parallélépipède rectangle sans retombée ni niche, conformément aux données.
Vérification croisée : le volume doit valoir trois fois la surface au sol, soit trois fois 63 m².
Finalité : disposer du volume et déterminer la ligne réglementaire applicable.

\[ \begin{aligned} V &= L \times l \times h \\[3pt] &= 9{,}0 \times 7{,}0 \times 3{,}0 \\[3pt] &= \mathbf{189{,}0} \text{ m}^{3} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

189,0 m³. Le contrôle est satisfait : le volume vaut exactement trois fois les 63 m² de surface au sol. Cette valeur est inférieure à 250 m³, ce qui détermine la ligne réglementaire applicable.

Ordre de grandeur : 189 m³ correspond à une salle accueillant une trentaine d'élèves, soit environ 6,3 m³ d'air par occupant.
Impact sur la suite : l'exigence applicable sera donc celle des locaux d'enseignement de volume inférieur ou égal à 250 m³, soit un encadrement entre 0,4 et 0,8 seconde.
Cohérence : la marge au seuil de 250 m³ est de 61 m³, soit 24 % : une hauteur sous plafond de 3,97 m aurait fait basculer le local dans l'autre catégorie.
Attention : ce volume est celui du local vide. Le mobilier ne le réduit pas dans le modèle : son effet est pris en compte par une absorption supplémentaire, non par une diminution du volume.
Comparaison : une hauteur sous plafond de 2,70 m, plus courante en construction récente, donnerait 170,1 m³, soit 10 % de moins, et abaisserait la durée de réverbération dans la même proportion à absorption égale.

Remarque pédagogique : vérifiez toujours de quel côté d'un seuil réglementaire se situe le volume calculé. Ce seul chiffre décide de l'exigence à appliquer.

Surface brute des murs par le périmètre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il fournit la surface de référence dont les ouvertures seront déduites, et parce que le passage par le périmètre est le plus sûr.

Méthodologie du calcul :

On calcule le périmètre du local en plan, puis on le multiplie par la hauteur.

Substitution : périmètre \( 2 \times (9{,}0 + 7{,}0) = 32{,}0 \) m, hauteur 3,0 m.
Piège évité : oublier le facteur deux du périmètre, en n'additionnant que la longueur et la largeur. La surface obtenue serait divisée par deux.
Hypothèse validée : la hauteur est constante sur tout le périmètre, ce qui autorise le calcul en une seule multiplication.
Vérification croisée : le calcul mur par mur doit redonner le même total : deux murs de 9,0 m et deux de 7,0 m, tous de 3,0 m de haut.
Finalité : disposer de la surface brute des parois verticales.

\[ \begin{aligned} S_{\text{murs,brut}} &= 2\left(L + l\right) \times h \\[3pt] &= 2 \times \left(9{,}0 + 7{,}0\right) \times 3{,}0 \\[3pt] &= 32{,}0 \times 3{,}0 \\[3pt] &= \mathbf{96{,}0} \text{ m}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

96,0 m². Le contrôle mur par mur confirme : \( 2 \times 9{,}0 \times 3{,}0 + 2 \times 7{,}0 \times 3{,}0 = 54{,}0 + 42{,}0 = 96{,}0 \) m². La surface verticale vaut donc 1,52 fois la surface au sol.

Ordre de grandeur : le rapport de 1,52 est conforme à l'attendu pour un local de proportions courantes et de trois mètres de hauteur.
Impact sur la suite : les murs constituent la plus grande des cinq surfaces, mais leur coefficient d'absorption est le deuxième plus faible : leur contribution sera intermédiaire.
Cohérence : la surface totale des parois vaut \( 63{,}0 + 63{,}0 + 96{,}0 = 222{,}0 \) m², soit 3,52 fois la surface au sol.
Attention : cette surface est brute. Elle ne peut pas être employée telle quelle dans le bilan d'absorption puisqu'elle inclut les emplacements des fenêtres et de la porte.
Comparaison : pour un local carré de même surface au sol, soit 7,94 m de côté, le périmètre tomberait à 31,7 m et la surface murale à 95,2 m² : la forme carrée minimise la surface de parois.

Remarque pédagogique : passez toujours par le périmètre pour les parois verticales. Le calcul mur par mur reste utile comme contrôle, jamais comme méthode principale.

Surface nette de béton et bilan de contrôle

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la surface réellement revêtue de béton peint, et parce que le bilan qui l'accompagne garantit l'exhaustivité.

Méthodologie du calcul :

On retranche les surfaces d'ouvertures de la surface brute, puis on additionne les cinq surfaces obtenues.

Substitution : deux fenêtres de 4,0 m², soit 8,0 m², et une porte de 2,0 m².
Piège évité : ne déduire qu'une seule fenêtre. L'énoncé en mentionne deux, et l'oubli coûterait 4,0 m² de béton comptés en trop.
Hypothèse validée : les ouvertures sont entièrement contenues dans les murs et n'empiètent ni sur le sol ni sur le plafond.
Vérification croisée : la somme des cinq surfaces doit redonner exactement 222,0 m².
Finalité : disposer d'un bilan de surfaces exhaustif et vérifié.

\[ \begin{aligned} S_{\text{béton}} &= S_{\text{murs,brut}} - S_{\text{fenêtres}} - S_{\text{porte}} \\[3pt] &= 96{,}0 - 8{,}0 - 2{,}0 \\[3pt] &= \mathbf{86{,}0} \text{ m}^{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} S_{\text{tot}} &= 63{,}0 + 63{,}0 + 86{,}0 + 8{,}0 + 2{,}0 \\[3pt] &= \mathbf{222{,}0} \text{ m}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

86,0 m² de béton peint, et un bilan qui boucle exactement sur 222,0 m² — valeur identique à la somme directe du sol, du plafond et des murs bruts. Aucune surface n'a été perdue ni comptée deux fois.

Ordre de grandeur : les ouvertures représentent 10,0 m² sur 96,0, soit 10,4 % de la surface murale. La déduction n'est donc pas négligeable.
Impact sur la suite : ces cinq surfaces constituent les lignes du tableau d'absorption de la question 2 ; aucune autre ne s'y ajoutera.
Cohérence : le béton peint reste, avec 86,0 m², la surface la plus étendue du local, devant le sol et le plafond à 63,0 m² chacun.
Attention : le bilan ne vérifie que l'exhaustivité, pas l'exactitude des surfaces individuelles. Deux erreurs compensées passeraient au travers, ce qui justifie d'avoir contrôlé séparément la surface brute.
Comparaison : en ajoutant une troisième fenêtre de 4,0 m², le béton tomberait à 82,0 m² et le bilan resterait à 222,0 m² : la surface totale des parois est bien invariante.

Remarque pédagogique : un bilan de surfaces qui boucle est le seul contrôle d'exhaustivité disponible avant le calcul d'absorption. Faites-le figurer explicitement dans la note.

LES CINQ SURFACES ET LEUR BOUCLAGE SUR 222,0 m²

RÉSULTAT FINAL

\( S_{\text{tot}} \) = 222,0 m²

Le volume du local vaut 189,0 m³, soit exactement trois fois les 63,0 m² de surface au sol, et se situe en dessous du seuil réglementaire de 250 m³ : c'est donc l'exigence des locaux d'enseignement de petit volume qui s'appliquera. La surface brute des murs, obtenue par le produit du périmètre de 32,0 m par la hauteur de 3,0 m, vaut 96,0 m², ce que le calcul mur par mur confirme. Après déduction des 8,0 m² de fenêtres et des 2,0 m² de porte, la surface de béton peint s'établit à 86,0 m². Le bilan des cinq surfaces retenues — 63,0 pour le sol, 63,0 pour le plafond, 86,0 pour le béton, 8,0 pour les fenêtres et 2,0 pour la porte — donne 222,0 m², valeur identique à la somme directe du sol, du plafond et des murs bruts : le bilan boucle, aucune surface n'a été perdue ni comptée deux fois. Employer la surface brute des murs tout en comptant séparément les ouvertures conduirait à 232,0 m² de parois, soit 10,0 m² inexistants, et sous-estimerait la durée de réverbération de près de 0,09 s.

Question 2 : Aire d'absorption équivalente et absorption moyenne

Dans la tête de l'ingénieur

"Cinq produits et une addition. Ce qui m'intéresse n'est pas tant le total que la répartition : je veux savoir quelle surface porte l'absorption et laquelle n'en porte pas, parce que c'est cette information qui dira où le traitement doit aller. Et je calculerai le coefficient moyen, non pas pour l'afficher mais parce que c'est lui, et lui seul, qui décidera à la question 4 si la relation que je m'apprête à employer est légitime."

Observation : les cinq coefficients s'échelonnent de 0,02 à 0,10, soit dans un rapport de cinq seulement. Aucun revêtement n'est absorbant : le plus favorable ne renvoie pas moins de neuf dixièmes de l'énergie.
Analyse du risque : un total d'absorption sans répartition ne permet aucune décision : il indique l'ampleur du problème mais pas où agir.
Choix stratégique : je conduis le calcul en tableau, une ligne par revêtement, avec la part de chacun, et j'en déduis le coefficient moyen des parois.
Alternative : j'aurais pu affecter un coefficient moyen unique à l'ensemble des parois. Je l'écarte : cela reviendrait à supposer le résultat que je cherche, et interdirait toute conclusion sur la surface à traiter.
Objectif visé : l'aire d'absorption équivalente, la part de chaque revêtement, et le coefficient d'absorption moyen des parois.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( A = \mathbf{12{,}82} \) m² — parts : 9,83 / 49,14 / 33,54 / 6,24 / 1,25 % — \( \overline{\alpha} = \mathbf{0{,}0577} \)

Rappel Théorique : ce qu'est une aire d'absorption équivalente

Le nom de cette grandeur en donne la définition exacte, à condition d'en peser chaque mot. Elle s'exprime en mètres carrés sans être une surface réelle du local.

Le coefficient d'absorption : fraction de l'énergie incidente que la paroi ne renvoie pas dans le local. Il vaut zéro pour une paroi parfaitement réfléchissante et un pour une ouverture sur l'extérieur.
Le produit surface par coefficient : il représente la surface d'ouverture parfaite qui absorberait autant que la paroi considérée. Un mur de 100 m² à 0,05 équivaut à une ouverture de 5 m².
La sommation : ces surfaces équivalentes s'ajoutent, chacune évacuant sa part d'énergie indépendamment des autres. L'aire totale est la somme des aires partielles.
D'où le nom : l'aire d'absorption équivalente est la surface d'ouverture unique qui évacuerait la même énergie que l'ensemble des parois du local.
Le coefficient moyen : rapport de cette aire à la surface totale des parois. C'est une moyenne pondérée des coefficients, et c'est la grandeur qui gouverne le domaine de validité des relations de réverbération.

Équations Fondamentales

Deux relations, dans l'ordre d'emploi : l'aire d'absorption équivalente, puis le coefficient d'absorption moyen qui s'en déduit.

Aire d'absorption équivalente :

Elle donne la capacité totale d'absorption du local, tous revêtements confondus.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'énergie évacuée par une paroi est proportionnelle à sa surface et à la fraction qu'elle absorbe, et que les parois évacuent leur énergie indépendamment les unes des autres : les contributions s'ajoutent donc simplement.

Contexte de validité : champ diffus. L'énergie doit atteindre chaque paroi avec la même densité, faute de quoi les surfaces les plus exposées pèseraient davantage que leur aire ne l'indique.
Avantage : elle est additive : ajouter un panneau absorbant revient à ajouter son aire d'absorption au total, sans recalculer l'ensemble.
Paramètre clé : le produit, et non le coefficient seul. Une grande surface faiblement absorbante peut apporter davantage qu'une petite surface très absorbante.
Vérification : l'aire obtenue doit être inférieure à la surface totale des parois, puisque aucun coefficient ne dépasse l'unité.
Limite : elle ignore la position des surfaces absorbantes. Deux locaux de même aire d'absorption mais de répartition très différente n'ont pas exactement le même comportement.

\[ \begin{aligned} A = \sum_{i=1}^{n} S_{i}\,\alpha_{i} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle exprime la surface d'ouverture équivalente par laquelle l'énergie sonore quitterait le local aussi vite qu'elle y est réellement absorbée.

Décomposition des termes :

\( A \) : aire d'absorption équivalente, unité : m²
\( S_{i} \) : surface du revêtement \( i \), unité : m²
\( \alpha_{i} \) : coefficient d'absorption de ce revêtement à la fréquence considérée, unité : sans dimension

Coefficient d'absorption moyen :

Il donne l'absorption des parois rapportée à leur surface.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la moyenne des coefficients pondérée par les surfaces : le coefficient qu'il faudrait affecter uniformément à toutes les parois pour obtenir la même aire d'absorption.

Contexte de validité : la surface au dénominateur doit être la surface totale des parois, celle-là même qui a servi au bilan de la question 1.
Avantage : c'est un nombre sans dimension, directement comparable aux coefficients individuels et immédiatement interprétable.
Paramètre clé : sa valeur absolue. C'est elle qui décide si la relation de Sabine est applicable, ce que la question 4 établira.
Vérification : il doit être compris entre le plus petit et le plus grand des coefficients individuels, soit ici entre 0,02 et 0,10.
Limite : une moyenne masque la dispersion. Un local dont une paroi serait très absorbante et les autres très réfléchissantes aurait le même coefficient moyen qu'un local uniformément traité, sans se comporter de la même façon.

\[ \begin{aligned} \overline{\alpha} = \frac{A}{S_{\text{tot}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle exprime la fraction d'énergie qu'une onde perd en moyenne à chaque réflexion sur les parois du local.

Décomposition des termes :

\( \overline{\alpha} \) : coefficient d'absorption moyen des parois, unité : sans dimension
\( A \) : aire d'absorption équivalente, unité : m²
\( S_{\text{tot}} \) : surface totale des parois du local, unité : m²

L'Erreur Classique (Le Piège)

Juger de l'intérêt d'une surface sur son seul coefficient, sans le rapporter à son étendue.

L'approche d'ingénieur : Le coefficient décrit un matériau, la contribution décrit un ouvrage. Les deux classements ne coïncident pas, et le tableau le montre immédiatement.

Le classement par coefficient : plafond et fenêtres arrivent premiers à égalité avec 0,10, la porte suit à 0,08, les murs à 0,05 et le sol ferme la marche à 0,02.
Le classement par contribution : le plafond reste premier avec 6,30 m², mais les murs passent en deuxième position avec 4,30 m², devant le sol à 1,26 m² et les fenêtres à 0,80 m² seulement.
Ce qui explique l'écart : les fenêtres partagent le meilleur coefficient du local mais n'occupent que 8,0 m², contre 86,0 m² pour les murs. Leur bon coefficient ne compense pas leur faible étendue.
La conséquence pratique : remplacer les vitrages par un verre plus absorbant serait sans effet sensible, alors que traiter les murs ou le plafond change le résultat.
La règle : ne jamais hiérarchiser des revêtements sur leur coefficient. Le classement pertinent est celui des contributions, produit de la surface par le coefficient.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Surfaces : en m² , issues du bilan de la question 1.
Coefficients d'absorption : sans dimension , compris entre zéro et un.
Contributions : produit d'une surface par un nombre sans dimension, donc en m² .
Aire d'absorption équivalente : en m² , parfois notée en mètres carrés d'absorption équivalente.
Coefficient moyen : rapport de deux surfaces, donc sans dimension .

Trois calculs enchaînés : les cinq contributions, leur somme et leur répartition, puis le coefficient moyen des parois.

1. Résolution Numérique Contributions de chaque revêtement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le détail qui permet le contrôle, et parce que la répartition qui en découle oriente tout le diagnostic.

Méthodologie du calcul :

On multiplie, revêtement par revêtement, la surface issue du bilan par le coefficient d'absorption correspondant.

Substitution : les cinq surfaces 63,0 ; 63,0 ; 86,0 ; 8,0 et 2,0 m², et les cinq coefficients 0,02 ; 0,10 ; 0,05 ; 0,10 et 0,08.
Piège évité : employer la surface brute des murs. Le bilan de la question 1 impose 86,0 m², et non 96,0.
Hypothèse validée : les coefficients sont ceux du local vide à 1 000 Hz ; ni le mobilier ni les occupants n'apportent d'absorption dans ce calcul.
Vérification croisée : chaque contribution doit être inférieure à la surface correspondante, et la plus forte doit revenir au plafond.
Finalité : disposer du détail des cinq contributions.

Revêtement	\( S_{i} \) (m²)	\( \alpha_{i} \)	\( S_{i}\alpha_{i} \) (m²)	Part (%)
Carrelage, sol	63,0	0,02	1,26	9,83
Plâtre suspendu, plafond	63,0	0,10	6,30	49,14
Béton peint, murs	86,0	0,05	4,30	33,54
Verre, fenêtres	8,0	0,10	0,80	6,24
Bois plein, porte	2,0	0,08	0,16	1,25

\[ \begin{aligned} A &= 63{,}0 \times 0{,}02 + 63{,}0 \times 0{,}10 + 86{,}0 \times 0{,}05 \\[3pt] &\quad + 8{,}0 \times 0{,}10 + 2{,}0 \times 0{,}08 \\[3pt] &= 1{,}26 + 6{,}30 + 4{,}30 + 0{,}80 + 0{,}16 \\[3pt] &= \mathbf{12{,}82} \text{ m}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

12,82 m². Le plafond apporte à lui seul 49,14 % de l'absorption du local alors qu'il n'en représente que 28,4 % de la surface ; le sol, de surface identique, n'en apporte que 9,83 %.

Ordre de grandeur : la somme des cinq parts vaut 100,00 %, et l'aire de 12,82 m² est bien inférieure aux 222,0 m² de parois, conformément aux deux contrôles.
Impact sur la suite : le plafond est donc à la fois la surface la plus absorbante et une surface étendue et accessible : c'est la cible naturelle du traitement examiné à la question 6.
Cohérence : plafond et sol ont exactement la même surface ; le rapport de leurs contributions, 6,30 sur 1,26, vaut 5,00, soit exactement le rapport de leurs coefficients, 0,10 sur 0,02.
Attention : une aire de 12,82 m² pour 222,0 m² de parois signifie que le local renvoie plus de 94 % de l'énergie à chaque réflexion. Aucun des cinq revêtements ne peut être qualifié d'absorbant.
Comparaison : une trentaine d'occupants ou un mobilier courant apporteraient une absorption du même ordre que celle des parois nues, ce qui montre à quel point le local vide est démuni.

Remarque pédagogique : faites toujours figurer la colonne des parts. Elle transforme une liste de produits en un classement exploitable, et elle se calcule sans effort supplémentaire.

Coefficient d'absorption moyen des parois

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est ce nombre, et non l'aire d'absorption, qui décide de la validité de la relation de réverbération qui sera employée.

Méthodologie du calcul :

On divise l'aire d'absorption équivalente par la surface totale des parois établie à la question 1.

Substitution : \( A = 12{,}82 \) m² et \( S_{\text{tot}} = 222{,}0 \) m².
Piège évité : diviser par la surface au sol ou par la surface murale seule. Le dénominateur est la surface totale des parois, celle qui a bouclé à la question 1.
Hypothèse validée : la surface totale est celle des cinq revêtements, sans double compte, ce que le bilan a garanti.
Vérification croisée : le résultat doit être compris entre 0,02 et 0,10, et plus proche de la borne basse puisque les revêtements les plus étendus sont les moins absorbants.
Finalité : disposer du paramètre de validité des relations de la question 4.

\[ \begin{aligned} \overline{\alpha} &= \frac{A}{S_{\text{tot}}} \\[3pt] &= \frac{12{,}82}{222{,}0} \\[3pt] &= \mathbf{0{,}0577} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,0577, soit 5,77 % de l'énergie absorbée à chaque réflexion. Le contrôle est satisfait : la valeur est bien comprise entre 0,02 et 0,10, et nettement plus proche de la borne basse.

Ordre de grandeur : une onde conserve 94,23 % de son énergie à chaque réflexion. Il lui faut donc une trentaine de réflexions pour perdre la moitié de son énergie.
Impact sur la suite : une valeur aussi faible place le local dans le domaine où la relation de Sabine est réputée légitime, ce que la question 4 chiffrera précisément.
Cohérence : la moyenne pondérée est tirée vers le bas par les deux revêtements les plus étendus, murs et sol, qui totalisent 149,0 m² pour des coefficients de 0,05 et 0,02.
Attention : ce coefficient moyen ne sera plus le même après traitement. La question 6 devra le recalculer et reprendre la vérification de validité, faute de quoi le dimensionnement reposerait sur une relation hors domaine.
Comparaison : un local traité couramment atteint un coefficient moyen de l'ordre de 0,20 à 0,30 ; le local étudié en est à moins du quart.

Remarque pédagogique : calculez le coefficient moyen même lorsque l'énoncé ne le demande pas. Il ne coûte qu'une division et conditionne la validité de tout ce qui suit.

SURFACE ET ABSORPTION : DEUX RÉPARTITIONS TRÈS DIFFÉRENTES

RÉSULTAT FINAL

\( A \) = 12,82 m²

Les cinq contributions valent 1,26 m² pour le carrelage, 6,30 pour le plâtre du plafond, 4,30 pour le béton des murs, 0,80 pour les vitrages et 0,16 pour la porte, soit une aire d'absorption équivalente de 12,82 m². Le plafond en apporte 49,14 pour cent alors qu'il ne couvre que 28,4 pour cent des parois, tandis que le sol, de surface rigoureusement identique, n'en apporte que 9,83 pour cent : le rapport de leurs contributions, égal à cinq, reproduit exactement celui de leurs coefficients. Les vitrages, qui partagent pourtant le meilleur coefficient du local, ne pèsent que 6,24 pour cent faute d'étendue suffisante. Rapportée aux 222,0 m² de parois, cette aire donne un coefficient d'absorption moyen de 0,0577 : une onde conserve donc 94,23 pour cent de son énergie à chaque réflexion, et il lui faut une trentaine de réflexions pour en perdre la moitié. Cette valeur, très inférieure aux 0,20 à 0,30 d'un local couramment traité, place le local dans le domaine où la relation de Sabine est réputée légitime — ce que la question 4 vérifiera, et que la question 6 devra reprendre après traitement.

Question 3 : Constante de Sabine et durée de réverbération

Dans la tête de l'ingénieur

"La constante 0,16 se recopie partout sans que personne ne dise d'où elle vient. Ce n'est pourtant ni une convention ni un ajustement : elle se déduit en trois lignes de la définition de la durée de réverbération et de la célérité du son. L'établir me dira à quelle température elle correspond et de combien je m'écarte en la retenant. Ensuite seulement j'appliquerai la relation, en sachant exactement ce que je manipule."

Observation : la constante est toujours donnée avec deux décimales, alors que le volume et l'aire d'absorption sont connus à mieux que cela. Le point mérite d'être chiffré.
Analyse du risque : une constante employée sans en connaître l'origine ne peut être ni adaptée à d'autres conditions, ni transposée à un autre système d'unités.
Choix stratégique : j'écris le bilan énergétique du local en champ diffus, j'en tire la décroissance exponentielle, puis j'impose la chute de soixante décibels qui définit la durée de réverbération.
Alternative : j'aurais pu retenir directement 0,16. Je le ferai en définitive, mais après avoir chiffré l'écart avec la valeur exacte, de façon que ce choix soit documenté.
Objectif visé : la constante établie, l'écart avec la valeur conventionnelle, et la durée de réverbération du local.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( 24\ln 10 = 55{,}262 \) — constante exacte \( \mathbf{0{,}1611} \) à 343 m/s, contre 0,16 conventionnel — \( T_{\text{r}} = \mathbf{2{,}36} \) s

Rappel Théorique : d'où vient la relation de Sabine

La relation ne se postule pas : elle se déduit d'un bilan d'énergie sur le volume d'air du local, sous l'hypothèse d'un champ diffus. Chaque étape de cette déduction correspond à une hypothèse qu'il faudra ensuite vérifier.

La densité d'énergie : en champ diffus, l'énergie sonore est uniformément répartie dans le volume. L'énergie totale du local est donc le produit de cette densité par le volume.
La puissance qui frappe les parois : en champ diffus, la puissance incidente par unité de surface vaut le quart du produit de la densité d'énergie par la célérité. Le facteur un quart provient de l'intégration sur toutes les directions d'incidence.
La puissance absorbée : chaque paroi n'absorbe que la fraction \( \alpha \) de ce qu'elle reçoit. La puissance totale absorbée fait donc apparaître l'aire d'absorption équivalente.
La décroissance : l'énergie perdue étant proportionnelle à l'énergie présente, la décroissance est exponentielle, de constante de temps égale à quatre fois le volume divisé par le produit de la célérité et de l'aire d'absorption.
La durée de réverbération : elle est définie par une chute de soixante décibels, soit un facteur un million sur l'énergie. C'est cette convention qui introduit le facteur \( 6\ln 10 \) dans la constante.

Équations Fondamentales

Deux relations, dans l'ordre d'emploi : le bilan d'énergie du local, puis la durée de réverbération qui s'en déduit.

Bilan d'énergie du local après extinction :

Il exprime que l'énergie du local décroît au rythme où les parois l'absorbent.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'après extinction de la source, la seule cause de variation de l'énergie est son absorption par les parois. La puissance absorbée étant proportionnelle à l'énergie présente, le bilan prend la forme d'une équation différentielle du premier ordre.

Contexte de validité : champ diffus maintenu pendant toute la décroissance, ce qui suppose une absorption suffisamment faible pour que le champ se réhomogénéise entre deux réflexions.
Avantage : il conduit à une décroissance exponentielle pure, donc à une droite sur une échelle en décibels, ce que les mesures confirment dans les locaux peu absorbants.
Paramètre clé : le facteur un quart, qui provient de la moyenne du cosinus de l'angle d'incidence sur un demi-espace. Il n'a rien d'empirique.
Vérification : la constante de temps obtenue doit être homogène à un temps : des mètres cubes divisés par des mètres par seconde multipliés par des mètres carrés donnent bien des secondes.
Limite : le bilan compte l'énergie absorbée proportionnellement à l'énergie présente, sans tenir compte du fait qu'une onde ne peut pas être absorbée deux fois au même instant. C'est cette approximation qui limitera son domaine.

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = -\frac{c\,A}{4\,V}\,E \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle exprime que le local se vide de son énergie d'autant plus vite qu'il est petit, que le son y circule vite, et que ses parois absorbent.

Décomposition des termes :

\( E \) : énergie acoustique contenue dans le local, unité : J
\( c \) : célérité du son, unité : m/s
\( A \) et \( V \) : aire d'absorption équivalente et volume, unités : m² et m³

Durée de réverbération de Sabine :

Elle donne le temps nécessaire à une chute de soixante décibels après extinction de la source.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle résout le bilan précédent en imposant la condition qui définit la durée de réverbération : une chute de l'énergie d'un facteur un million. Le coefficient numérique n'est rien d'autre que \( 24\ln 10 \) divisé par la célérité.

Contexte de validité : absorption moyenne faible, condition héritée du bilan et vérifiée à la question 4.
Avantage : elle est inversible : à partir d'une durée visée, elle donne directement l'aire d'absorption nécessaire, ce qui en fait un outil de dimensionnement.
Paramètre clé : la célérité, qui dépend de la température. La valeur conventionnelle de 0,16 correspond à une célérité précise, qu'il est instructif de calculer.
Vérification : la constante exacte doit valoir 55,262 divisé par la célérité retenue, soit 0,1611 pour 343 m/s.
Limite : elle ne dépend d'aucune fréquence. La dépendance fréquentielle est entièrement portée par les coefficients d'absorption, qu'il faut donc choisir à la fréquence voulue.

\[ \begin{aligned} T_{\text{r}} = \frac{24\ln 10}{c}\,\frac{V}{A} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle exprime que la persistance du son est le rapport de ce que le local contient à ce qu'il évacue : beaucoup d'air et peu d'absorption font une salle réverbérante.

Décomposition des termes :

\( T_{\text{r}} \) : durée de réverbération, unité : s
\( 24\ln 10 \) : facteur issu de la convention des soixante décibels, valeur 55,262, unité : sans dimension
\( c \) : célérité du son, unité : m/s

L'Erreur Classique (Le Piège)

Présenter la constante 0,16 comme une valeur expérimentale propre à la relation, et l'employer telle quelle quel que soit le système d'unités.

L'approche d'ingénieur : La constante n'est pas ajustée sur des mesures : elle se calcule. Le savoir change trois choses.

Ce qu'elle contient : le facteur \( 24\ln 10 = 55{,}262 \), issu de la définition des soixante décibels et du bilan en champ diffus, divisé par la célérité du son.
Sa valeur exacte ici : pour une célérité de 343 m/s, elle vaut 0,1611, et non 0,16. La valeur conventionnelle correspond à une célérité de 345,4 m/s.
L'écart qui en résulte : 0,7 % sur la durée de réverbération, soit 0,016 s dans le cas présent — négligeable devant l'incertitude des coefficients d'absorption, mais il faut savoir qu'il existe.
Sa transposition : en unités impériales, la célérité vaut 1 125 pieds par seconde et la constante devient \( 55{,}262/1\,125 = 0{,}0491 \). Employer 0,16 avec des pieds cubes donnerait un résultat plus de trois fois trop grand.
Ce qui est réellement empirique : non pas la constante, mais l'hypothèse de champ diffus et la manière dont l'absorption est comptée. C'est là que se situe le domaine de validité, et c'est l'objet de la question 4.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Logarithme népérien de dix : sans dimension , valeur 2,302585.
Célérité : en m/s .
Constante \( 24\ln 10 / c \) : en s/m .
Rapport volume sur aire : en m .
Leur produit donne bien des secondes .

Trois calculs enchaînés : le facteur numérique de la convention, la constante à la célérité retenue, puis la durée de réverbération.

1. Résolution Numérique Facteur issu de la convention des soixante décibels

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule partie de la constante qui ne dépende ni de la température ni du système d'unités.

Méthodologie du calcul :

On résout le bilan d'énergie, puis on impose la chute de soixante décibels qui définit la durée de réverbération.

Substitution : une chute de 60 dB correspond à un rapport d'énergies de \( 10^{6} \), dont le logarithme népérien vaut \( 6\ln 10 \).
Piège évité : employer un facteur trois au lieu de six. La chute de soixante décibels porte ici sur l'énergie, dont le niveau s'écrit avec un facteur dix, et non sur une amplitude.
Hypothèse validée : la décroissance est supposée exponentielle pure, ce qui découle directement du bilan en champ diffus.
Vérification croisée : le facteur obtenu doit être voisin de 55, valeur qui se retrouve dans toutes les présentations de la relation.
Finalité : isoler la partie universelle de la constante.

\[ \begin{aligned} E(t) &= E_{0}\,\exp\left(-\frac{c\,A}{4\,V}\,t\right) \\[3pt] \frac{E_{0}}{E(T_{\text{r}})} &= 10^{6} \\[3pt] \frac{c\,A}{4\,V}\,T_{\text{r}} &= 6\ln 10 \\[3pt] T_{\text{r}} &= \frac{24\ln 10}{c}\,\frac{V}{A} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 24\ln 10 &= 24 \times 2{,}302585 \\[3pt] &= \mathbf{55{,}262} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

55,262, valeur sans dimension et entièrement déterminée par la convention des soixante décibels et le facteur un quart du champ diffus. Elle ne dépend ni du local, ni du matériau, ni de la température.

Ordre de grandeur : le contrôle est satisfait, le facteur étant bien voisin de 55.
Impact sur la suite : toute la dépendance à la température de la relation de Sabine passe désormais par la seule célérité, au dénominateur.
Cohérence : le facteur 24 se décompose en \( 4 \times 6 \) : le quatre vient du champ diffus, le six de la définition en décibels de la chute d'énergie.
Attention : ce facteur suppose une décroissance parfaitement exponentielle. Une mesure réelle présente souvent une décroissance en deux pentes, et la norme de mesurage précise alors sur quelle portion la durée est évaluée.
Comparaison : si l'on définissait la durée sur une chute de 30 dB au lieu de 60, le facteur tomberait à 27,631 et la durée serait exactement deux fois plus courte, la décroissance étant linéaire en décibels.

Remarque pédagogique : séparez toujours la partie universelle d'une constante de sa partie dépendant des conditions. C'est ce qui permet de la transposer sans se tromper.

Constante à la célérité retenue et écart à la valeur conventionnelle

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il documente le choix de la valeur employée et chiffre ce que ce choix coûte.

Méthodologie du calcul :

On divise le facteur universel par la célérité retenue, puis on cherche la célérité qui donnerait exactement 0,16.

Substitution : \( 24\ln 10 = 55{,}262 \) et \( c = 343 \) m/s.
Piège évité : croire que la constante est universelle. Elle dépend de la célérité, donc de la température, et du système d'unités de longueur.
Hypothèse validée : la célérité de 343 m/s correspond à une température de l'air de 20 °C, valeur retenue aux données.
Vérification croisée : la célérité correspondant à 0,16 doit être légèrement supérieure à 343 m/s, puisque 0,16 est légèrement inférieur à la valeur exacte.
Finalité : documenter le choix de la constante employée.

\[ \begin{aligned} \frac{24\ln 10}{c} &= \frac{55{,}262}{343} \\[3pt] &= \mathbf{0{,}1611} \text{ s/m} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} c_{0{,}16} &= \frac{55{,}262}{0{,}16} \\[3pt] &= \mathbf{345{,}4} \text{ m/s} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La constante exacte vaut 0,1611 à 343 m/s ; la valeur conventionnelle de 0,16 correspond à une célérité de 345,4 m/s, soit une température d'environ 24 °C. L'écart relatif est de 0,7 %.

Ordre de grandeur : le contrôle est satisfait : 345,4 m/s est bien supérieur à 343 m/s, conformément au sens de l'arrondi.
Impact sur la suite : 0,7 % d'écart sur la durée de réverbération représentent ici 0,016 s, valeur sans portée pratique. On retiendra donc la valeur conventionnelle de 0,16, en le disant.
Cohérence : l'écart de 0,7 % est très inférieur aux 2 % d'incertitude que le guide de mesures acoustiques attache au calcul d'une aire d'absorption équivalente.
Attention : cette conclusion ne vaut que parce que l'écart est petit devant les autres incertitudes. Elle ne dispense pas de déclarer la constante retenue dans la note de calculs.
Comparaison : à 0 °C, la célérité tombe à 331,3 m/s et la constante monte à 0,1668, soit 4,3 % de plus qu'à 20 °C : la dépendance à la température n'est pas nulle, seulement faible dans la plage des locaux occupés.

Remarque pédagogique : une constante arrondie n'est pas une faute, à condition d'avoir chiffré l'écart et de l'annoncer. C'est l'écart non chiffré qui pose problème.

Durée de réverbération du local

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur sur laquelle porte l'exigence réglementaire, et l'aboutissement des questions 1 et 2.

Méthodologie du calcul :

On applique la relation avec la constante conventionnelle, le volume de la question 1 et l'aire d'absorption de la question 2.

Substitution : \( V = 189{,}0 \) m³ et \( A = 12{,}82 \) m².
Piège évité : intervertir le volume et l'aire d'absorption. Le rapport doit être grand devant l'unité pour un local réverbérant, et il vaut ici près de quinze mètres.
Hypothèse validée : la relation est employée à la fréquence de 1 000 Hz, celle des coefficients fournis ; le résultat ne vaut que pour cette bande.
Vérification croisée : le rapport de 189 à 12,82 vaut environ 14,7 ; multiplié par un peu moins d'un sixième, il doit donner un résultat voisin de 2,4 s.
Finalité : disposer de la durée de réverbération à confronter à l'exigence.

\[ \begin{aligned} T_{\text{r}} &= 0{,}16 \times \frac{V}{A} \\[3pt] &= 0{,}16 \times \frac{189{,}0}{12{,}82} \\[3pt] &= 0{,}16 \times 14{,}743 \\[3pt] &= \mathbf{2{,}36} \text{ s} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,36 s à 1 000 Hz. Le contrôle d'ordre de grandeur est satisfait. Avec la constante exacte de 0,1611, on obtiendrait 2,375 s, soit 0,016 s de plus : l'écart est bien celui annoncé.

Ordre de grandeur : le rapport du volume à l'aire d'absorption vaut 14,74 m ; la constante de temps de la décroissance, \( 4V/(cA) \), en découle et vaut 0,172 s : l'énergie du local est divisée par le nombre d'Euler toutes les 172 millisecondes.
Impact sur la suite : cette valeur sera confrontée d'une part à la relation d'Eyring, à la question 4, d'autre part à l'exigence réglementaire, à la question 5.
Cohérence : 2,36 s signifie qu'après extinction d'une source, il faut plus de deux secondes pour que le niveau chute de soixante décibels : chaque syllabe reste audible pendant que plusieurs des suivantes sont prononcées, ce qui dégrade l'intelligibilité.
Attention : cette durée vaut pour la seule bande de 1 000 Hz et pour le local vide. L'exigence réglementaire porte sur la moyenne de trois bandes dans un local meublé : les deux grandeurs ne se comparent pas encore.
Comparaison : une incertitude de 2 % sur l'aire d'absorption, telle que l'admet le guide de mesures acoustiques, se traduirait par une incertitude de 2 % sur la durée, soit ±0,05 s.

Remarque pédagogique : une durée de réverbération n'a de sens qu'accompagnée de la fréquence à laquelle elle est calculée et de l'état d'aménagement du local. Sans ces deux précisions, le nombre n'est pas exploitable.

DÉCROISSANCE DE SOIXANTE DÉCIBELS ET ORIGINE DE LA CONSTANTE

RÉSULTAT FINAL

\( T_{\text{r}} \) = 2,36 s

Le bilan d'énergie du local en champ diffus conduit à une décroissance exponentielle de constante de temps \( 4V/(cA) \) ; en imposant la chute de soixante décibels qui définit la durée de réverbération, on obtient un facteur universel \( 24\ln 10 = 55{,}262 \), dans lequel le quatre provient du champ diffus et le six de la convention en décibels. Divisé par la célérité de 343 m/s, ce facteur donne une constante exacte de 0,1611 s/m ; la valeur conventionnelle de 0,16 correspond à une célérité de 345,4 m/s, soit un écart de 0,7 pour cent, très inférieur aux 2 pour cent d'incertitude que le guide de mesures acoustiques attache au calcul d'une aire d'absorption. La constante conventionnelle est donc retenue, et la durée de réverbération du local s'établit à 2,36 s à 1 000 Hz, contre 2,375 s avec la valeur exacte. Ce résultat ne vaut que pour la bande de 1 000 Hz et pour le local vide ; il reste à vérifier que la relation employée était bien dans son domaine de validité, ce qui fait l'objet de la question 4.

Question 4 : Domaine de validité de la relation employée

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai un résultat, mais je ne sais pas encore ce qu'il vaut. La relation de Sabine compte l'absorption de façon linéaire : elle suppose implicitement qu'une onde ne perd qu'une petite fraction de son énergie à chaque réflexion. Si cette fraction devient importante, le compte est faussé. La relation d'Eyring, elle, traite la décroissance de façon exacte à chaque réflexion. Comparer les deux ne coûte qu'un logarithme et me dira, chiffres à l'appui, si mon résultat tient."

Observation : les deux relations ne diffèrent que par un terme : \( \overline{\alpha} \) pour l'une, \( -\ln(1-\overline{\alpha}) \) pour l'autre. Tout le domaine de validité tient dans l'écart entre ces deux expressions.
Analyse du risque : employer Sabine hors de son domaine surestime systématiquement la durée de réverbération, donc conduit à surdimensionner le traitement.
Choix stratégique : je montre d'abord que Sabine est le cas limite d'Eyring, ce qui explique pourquoi l'écart existe, puis je le chiffre sur le cas présent.
Alternative : j'aurais pu employer Eyring d'emblée, plus général. Je conserve Sabine parce que c'est la relation que les documents réglementaires et les abaques emploient, à condition d'en vérifier le domaine.
Objectif visé : la filiation entre les deux relations, la durée selon Eyring, et l'écart chiffré.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( -\ln(1-\overline{\alpha}) = 0{,}05948 \) contre \( \overline{\alpha} = 0{,}05775 \) — \( T_{\text{r,Eyring}} = \mathbf{2{,}29} \) s — écart 2,9 %, Sabine est légitime

Rappel Théorique : deux façons de compter l'absorption

Les deux relations partent du même bilan d'énergie en champ diffus. Elles ne divergent que sur un point : la manière dont l'énergie est retranchée à chaque réflexion.

Le point de vue de Sabine : la puissance absorbée est proportionnelle à l'énergie présente et à l'aire d'absorption. Ce compte revient à traiter l'absorption comme une fuite continue.
Le point de vue d'Eyring : l'onde subit des réflexions successives et conserve à chaque fois la fraction \( 1-\overline{\alpha} \) de son énergie. Après \( n \) réflexions, il lui reste \( (1-\overline{\alpha})^{n} \).
Ce qui les rapproche : pour \( \overline{\alpha} \) petit, le développement du logarithme donne \( -\ln(1-\overline{\alpha}) \simeq \overline{\alpha} \) : les deux comptes coïncident, et Sabine est bien le cas limite d'Eyring.
Ce qui les sépare : lorsque \( \overline{\alpha} \) croît, le logarithme devient sensiblement plus grand que son argument. Eyring compte donc davantage d'absorption et prédit une durée plus courte.
Le cas extrême : pour \( \overline{\alpha} = 1 \), c'est-à-dire un local entièrement absorbant, Eyring donne une durée nulle, ce qui est physiquement correct, tandis que Sabine donne une valeur finie non nulle.

Équations Fondamentales

Deux relations, dans l'ordre d'emploi : l'aire d'absorption au sens d'Eyring, puis la durée de réverbération qui s'en déduit.

Aire d'absorption au sens d'Eyring :

Elle remplace l'aire de Sabine par une aire corrigée du caractère discret des réflexions.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'énergie restante après \( n \) réflexions vaut \( (1-\overline{\alpha})^{n} \), soit \( \exp\left[n\ln(1-\overline{\alpha})\right] \). Le taux de décroissance par réflexion est donc \( -\ln(1-\overline{\alpha}) \) et non \( \overline{\alpha} \).

Contexte de validité : champ diffus et absorption uniformément répartie, mêmes hypothèses que Sabine ; seule la restriction sur la valeur de \( \overline{\alpha} \) est levée.
Avantage : elle reste valable pour les locaux très absorbants, où Sabine devient franchement inexacte, et elle tend correctement vers zéro pour un local parfaitement absorbant.
Paramètre clé : le coefficient moyen, et lui seul. La répartition détaillée des coefficients n'intervient que par leur moyenne pondérée.
Vérification : l'aire d'Eyring doit toujours être supérieure à celle de Sabine, puisque le logarithme dépasse son argument.
Limite : elle suppose l'absorption uniformément répartie. Un local dont tout le traitement serait concentré sur une paroi s'en écarte, quelle que soit la valeur du coefficient moyen.

\[ \begin{aligned} A_{\text{Eyring}} = -S_{\text{tot}}\,\ln\left(1 - \overline{\alpha}\right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle exprime que l'absorption réelle par réflexion est plus efficace que ne le suppose un compte linéaire, parce que l'énergie qui reste après une réflexion est à nouveau amputée à la suivante.

Décomposition des termes :

\( A_{\text{Eyring}} \) : aire d'absorption au sens d'Eyring, unité : m²
\( S_{\text{tot}} \) : surface totale des parois, unité : m²
\( \overline{\alpha} \) : coefficient d'absorption moyen, unité : sans dimension

Écart relatif entre les deux relations :

Il mesure l'erreur commise en employant Sabine plutôt qu'Eyring.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les deux durées ne diffèrent que par leur dénominateur : le rapport des durées est donc l'inverse du rapport des aires, et tout le reste — volume, constante, célérité — s'élimine.

Contexte de validité : les deux relations doivent être évaluées avec la même constante et le même volume, ce qui est le cas puisqu'elles ne diffèrent que par le traitement de l'absorption.
Avantage : l'écart ne dépend que du coefficient moyen. Il peut donc être tabulé une fois pour toutes et sert de critère de validité universel.
Paramètre clé : le coefficient moyen. L'écart croît d'environ la moitié de sa valeur, le développement du logarithme faisant apparaître un terme en \( \overline{\alpha}^{2}/2 \).
Vérification : l'écart doit être positif, Sabine surestimant toujours la durée, et voisin de la moitié du coefficient moyen pour les faibles absorptions.
Limite : un écart faible valide la forme de la relation, non les hypothèses de champ diffus et de répartition uniforme, qui restent à examiner séparément.

\[ \begin{aligned} \frac{T_{\text{r,Sabine}} - T_{\text{r,Eyring}}}{T_{\text{r,Sabine}}} = 1 - \frac{\overline{\alpha}}{-\ln\left(1-\overline{\alpha}\right)} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle exprime que l'erreur de Sabine ne dépend que de l'absorption moyenne du local, et pas du tout de son volume ni de sa forme.

Décomposition des termes :

\( T_{\text{r,Sabine}} \) et \( T_{\text{r,Eyring}} \) : durées selon les deux relations, unité : s
\( \overline{\alpha} \) : coefficient d'absorption moyen, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

Justifier l'emploi de la relation de Sabine par le domaine de fréquences — « elle est valable entre 500 et 2 000 Hz » — au lieu du domaine d'absorption.

L'approche d'ingénieur : La justification est fausse parce que la relation ne contient aucune fréquence. Ce qui limite son emploi est ailleurs, et il faut le dire précisément.

Ce que la relation contient : un volume, une aire d'absorption et une célérité. Aucune fréquence n'y figure, et le résultat ne dépend de la fréquence que par les coefficients d'absorption qu'on y injecte.
La vraie condition de validité : une absorption moyenne faible, condition qui se vérifie en comparant \( \overline{\alpha} \) à \( -\ln(1-\overline{\alpha}) \), et qui est indépendante de la fréquence.
La deuxième vraie condition : un champ diffus, ce qui suppose que le local soit grand devant la longueur d'onde et que ses modes propres se recouvrent. Cette condition-là est effectivement mise en défaut dans le grave, mais pour une raison qui n'est pas l'absorption.
La troisième : une absorption uniformément répartie. Concentrer tout le traitement sur une paroi met cette hypothèse en défaut, indépendamment de la valeur du coefficient moyen.
La conséquence : invoquer un domaine de fréquences donne l'apparence d'une justification sans en être une. Les trois conditions réelles doivent être énoncées et, pour la première, chiffrées.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Coefficient moyen et son logarithme : sans dimension .
Aire d'Eyring : produit d'une surface par un nombre sans dimension, donc en m² .
Durée : en secondes , la constante et le volume étant inchangés.
Écart relatif : sans dimension , exprimé en pour cent.
Le logarithme employé est le logarithme népérien , et non le logarithme décimal.

Trois calculs enchaînés : le taux de décroissance par réflexion, l'aire et la durée selon Eyring, puis l'écart relatif entre les deux relations.

1. Résolution Numérique Taux de décroissance par réflexion

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le seul terme par lequel les deux relations diffèrent, et parce que sa comparaison au coefficient moyen suffit à trancher.

Méthodologie du calcul :

On calcule le logarithme népérien du complément à un du coefficient moyen, changé de signe.

Substitution : \( \overline{\alpha} = 0{,}057748 \), d'où \( 1 - \overline{\alpha} = 0{,}942252 \).
Piège évité : employer le logarithme décimal. Il donnerait 0,025833 au lieu de 0,059483, soit un taux plus de deux fois trop faible et une durée deux fois trop longue.
Hypothèse validée : le coefficient moyen est celui de la question 2, calculé sur la surface totale des parois.
Vérification croisée : le résultat doit être légèrement supérieur au coefficient moyen, et l'excès voisin de la moitié de son carré.
Finalité : disposer du terme qui distingue les deux relations.

\[ \begin{aligned} -\ln\left(1 - \overline{\alpha}\right) &= -\ln\left(1 - 0{,}057748\right) \\[3pt] &= -\ln\left(0{,}942252\right) \\[3pt] &= \mathbf{0{,}059483} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,059483 contre 0,057748 : le taux de décroissance dépasse le coefficient moyen de 3,00 %. Le contrôle est satisfait : l'excès vaut 0,001735, à comparer à la moitié du carré du coefficient moyen, soit 0,001668.

Ordre de grandeur : l'écart relatif de 3,00 % est bien voisin de la moitié du coefficient moyen, soit 2,89 %, comme le développement limité le prévoit.
Impact sur la suite : cet écart de 3,00 % se reportera intégralement sur la durée de réverbération, en sens inverse : Eyring donnera une durée plus courte de 2,92 %.
Cohérence : le développement \( -\ln(1-x) = x + x^{2}/2 + x^{3}/3 + \cdots \) donne, pour \( x = 0{,}0577 \), une somme de 0,057748 + 0,001668 + 0,000064, soit 0,059480 : les trois premiers termes suffisent.
Attention : cet écart croît très vite avec l'absorption. Pour un coefficient moyen de 0,30, il atteindrait déjà 15,9 %, et la relation de Sabine ne serait plus employable sans réserve.
Comparaison : pour un coefficient moyen de 0,10, souvent cité comme limite d'emploi de Sabine, l'écart vaudrait 5,1 % : le local étudié, à 0,0577, se situe bien en deçà.

Remarque pédagogique : retenez que l'écart relatif entre les deux relations vaut approximativement la moitié du coefficient d'absorption moyen. Le contrôle se fait alors de tête.

Durée de réverbération selon Eyring

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la valeur de référence à laquelle le résultat de la question 3 doit être confronté.

Méthodologie du calcul :

On calcule l'aire d'Eyring, puis on l'introduit dans la relation de la durée de réverbération avec la même constante et le même volume.

Substitution : \( S_{\text{tot}} = 222{,}0 \) m², taux de décroissance 0,059483, volume 189,0 m³.
Piège évité : changer aussi de constante. Les deux relations partagent le même facteur \( 24\ln 10 / c \) ; seule l'aire au dénominateur diffère.
Hypothèse validée : les hypothèses de champ diffus et de répartition uniforme sont communes aux deux relations et ne sont donc pas testées par cette comparaison.
Vérification croisée : l'aire d'Eyring doit dépasser les 12,82 m² de Sabine, et la durée être inférieure aux 2,36 s obtenus.
Finalité : disposer de la durée de référence.

\[ \begin{aligned} A_{\text{Eyring}} &= 222{,}0 \times 0{,}059483 \\[3pt] &= \mathbf{13{,}205} \text{ m}^{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} T_{\text{r,Eyring}} &= 0{,}16 \times \frac{189{,}0}{13{,}205} \\[3pt] &= 0{,}16 \times 14{,}313 \\[3pt] &= \mathbf{2{,}29} \text{ s} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

13,205 m² d'aire et 2,29 s de durée. Les deux contrôles sont satisfaits : l'aire dépasse bien les 12,82 m² de Sabine, et la durée est inférieure aux 2,36 s.

Ordre de grandeur : l'aire d'Eyring dépasse celle de Sabine de 0,385 m², soit exactement les 3,00 % établis au calcul précédent.
Impact sur la suite : les deux valeurs, 2,29 et 2,36 s, conduisent au même diagnostic vis-à-vis de l'exigence réglementaire : le choix de la relation ne change rien à ce stade.
Cohérence : le rapport des deux durées, 2,29 sur 2,36, vaut 0,971, soit l'inverse du rapport des aires, 13,205 sur 12,82, égal à 1,030.
Attention : cette concordance vaut pour le local non traité. Elle devra être réexaminée après traitement, lorsque le coefficient moyen aura été multiplié par cinq.
Comparaison : l'écart de 0,07 s entre les deux relations est du même ordre que les 0,05 s d'incertitude qu'apporterait une erreur de 2 % sur l'aire d'absorption.

Remarque pédagogique : calculez toujours les deux durées lorsque le coefficient moyen n'est pas manifestement petit. Le second calcul ne coûte qu'un logarithme et il valide ou invalide le premier.

Écart relatif et conclusion sur la validité

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est lui, et non les valeurs absolues, qui répond à la question posée.

Méthodologie du calcul :

On rapporte la différence des deux durées à celle obtenue par Sabine.

Substitution : \( T_{\text{r,Sabine}} = 2{,}3588 \) s et \( T_{\text{r,Eyring}} = 2{,}2900 \) s.
Piège évité : rapporter la différence à la valeur d'Eyring plutôt qu'à celle de Sabine. L'écart serait de 3,00 % au lieu de 2,92 % ; il faut préciser la référence.
Hypothèse validée : les deux durées proviennent des mêmes données de surface et de volume, ce qui rend leur comparaison directe.
Vérification croisée : l'écart doit être positif et légèrement inférieur aux 3,00 % établis sur les aires, la référence étant plus grande.
Finalité : conclure sur la validité du résultat de la question 3.

\[ \begin{aligned} \frac{T_{\text{r,Sabine}} - T_{\text{r,Eyring}}}{T_{\text{r,Sabine}}} &= \frac{2{,}3588 - 2{,}2900}{2{,}3588} \\[3pt] &= \frac{0{,}0688}{2{,}3588} \\[3pt] &= \mathbf{2{,}92}\ \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

2,92 %, soit 0,069 s sur une durée de 2,36 s. Le contrôle est satisfait, l'écart étant bien positif et légèrement inférieur aux 3,00 % établis sur les aires. La relation de Sabine est donc légitime pour ce local dans son état actuel.

Ordre de grandeur : 2,92 % est du même ordre que les 2 % d'incertitude admis sur une aire d'absorption calculée : l'écart de modèle n'est pas discernable de l'incertitude des données.
Impact sur la suite : la valeur de 2,36 s peut être retenue sans réserve pour la confrontation à l'exigence, ce que fera la question 5.
Cohérence : l'écart en pour cent vaut approximativement la moitié du coefficient moyen : 0,0577 divisé par deux donne 2,89 %, à comparer aux 2,92 % obtenus.
Attention : cette validation ne porte que sur le traitement de l'absorption. Les hypothèses de champ diffus et de répartition uniforme sont communes aux deux relations et ne sont donc pas testées par cette comparaison.
Comparaison : si le local était traité au point d'atteindre un coefficient moyen de 0,28, l'écart passerait à 15 % : la question 6 devra impérativement reprendre cette vérification.

Remarque pédagogique : une validation de domaine n'est jamais acquise une fois pour toutes. Elle porte sur un état du local, et tout changement d'état la remet en cause.

L'ÉCART ENTRE SABINE ET EYRING CROÎT AVEC L'ABSORPTION

RÉSULTAT FINAL

écart = 2,92 %

Les deux relations partagent le même bilan d'énergie et ne diffèrent que par le taux de décroissance par réflexion : \( \overline{\alpha} \) pour Sabine, \( -\ln(1-\overline{\alpha}) \) pour Eyring. Le développement du logarithme montre que la première est le cas limite de la seconde quand l'absorption tend vers zéro. Pour le local étudié, le taux d'Eyring vaut 0,059483 contre 0,057748, soit 3,00 pour cent de plus — excès égal, comme le prévoit le développement limité, à la moitié du carré du coefficient moyen. L'aire d'absorption au sens d'Eyring s'établit donc à 13,205 m² contre 12,82, et la durée de réverbération à 2,29 s contre 2,36. L'écart relatif entre les deux relations vaut 2,92 pour cent, soit 0,069 s : il est du même ordre que les 2 pour cent d'incertitude admis sur une aire d'absorption calculée, et n'en est donc pas discernable. La relation de Sabine est légitime pour ce local dans son état actuel, et la valeur de 2,36 s peut être retenue. Cette validation ne porte toutefois que sur le traitement de l'absorption : les hypothèses de champ diffus et de répartition uniforme sont communes aux deux relations et ne sont pas testées par cette comparaison. Elle ne vaut par ailleurs que pour l'état non traité, l'écart atteignant 15 pour cent pour un coefficient moyen de 0,28.

Question 5 : Confrontation à l'exigence et aire requise

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai une durée et j'ai un texte. Avant de les confronter, je dois vérifier trois choses : quelle ligne du tableau réglementaire vise ce local, ce que la grandeur exigée recouvre exactement, et si ma valeur calculée est bien de même nature. Ces vérifications ne sont pas des formalités — l'exigence porte sur une moyenne de trois octaves dans un local meublé, alors que je dispose d'une valeur à une seule fréquence dans un local vide. Le verdict sera clair, mais les réserves doivent l'être tout autant."

Observation : l'exigence n'est pas un plafond mais un encadrement. Elle se traduit donc en deux aires d'absorption, une pour chaque borne, et non en une aire minimale.
Analyse du risque : ne retenir que la borne haute conduirait à dimensionner sans garde-fou et à risquer un local sur-traité, non conforme par excès d'absorption.
Choix stratégique : j'inverse la relation de Sabine sur chacune des deux bornes, ce qui donne une plage d'aires admissibles, puis je chiffre le déficit par rapport à la plus accessible.
Alternative : j'aurais pu conclure directement à la non-conformité, l'écart étant flagrant. Je l'écarte : un rapport doit chiffrer le déficit, faute de quoi il ne permet aucun dimensionnement.
Objectif visé : l'exigence applicable, les deux aires correspondantes, le déficit, et les écarts entre le calcul mené et la grandeur réellement exigée.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Exigence \( 0{,}4 \le T_{\text{r}} \le 0{,}8 \) s — aire requise entre 37,80 et 75,60 m² — déficit \( \mathbf{24{,}98} \) m², soit un facteur 2,95

Rappel Théorique : pourquoi l'exigence comporte une borne basse

Une salle trop réverbérante est difficile à comprendre. Une salle trop absorbante l'est aussi, pour des raisons différentes, et c'est ce qui justifie un encadrement plutôt qu'un simple plafond.

Le défaut par excès de réverbération : les syllabes se superposent, le rapport entre le son direct et le son réverbéré chute, et l'intelligibilité se dégrade avec la distance à l'orateur.
Le défaut par excès d'absorption : les réflexions utiles disparaissent. Or les premières réflexions renforcent le son direct et portent la voix vers le fond de la salle ; les supprimer oblige l'enseignant à forcer.
La conséquence sur la voix : dans un local très mat, l'orateur ne bénéficie plus du retour de sa propre voix et tend spontanément à élever le niveau, ce qui accroît la fatigue vocale.
D'où l'encadrement : le texte fixe deux bornes, et les deux sont des conditions de conformité. Descendre sous la borne basse constitue une non-conformité au même titre que dépasser la borne haute.
La conséquence sur le dimensionnement : l'objectif n'est pas de maximiser l'absorption mais de viser l'intervalle, ce qui se traduira par une plage de coefficients admissibles et non par une valeur minimale.

Équations Fondamentales

Deux relations, dans l'ordre d'emploi : l'aire d'absorption requise par une durée visée, puis le déficit à combler.

Aire d'absorption requise :

Elle donne l'aire d'absorption nécessaire pour atteindre une durée de réverbération donnée.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la relation de Sabine est une proportionnalité inverse entre durée et aire d'absorption : elle s'inverse donc sans difficulté, et c'est sous cette forme inversée qu'elle sert au dimensionnement.

Contexte de validité : mêmes hypothèses que la relation directe, notamment une absorption moyenne faible. Cette condition devra être revérifiée sur l'état traité.
Avantage : elle transforme un objectif de performance en un objectif de quantité d'absorption, directement traduisible en surfaces et en matériaux.
Paramètre clé : la durée visée, au dénominateur. Diviser la durée par deux double l'aire nécessaire : le coût du traitement croît vite.
Vérification : appliquée à la durée calculée à la question 3, elle doit redonner exactement l'aire de la question 2.
Limite : elle donne une quantité d'absorption, pas une répartition. Rien n'y indique où placer les matériaux, ce qui relève d'une hypothèse de la relation elle-même.

\[ \begin{aligned} A_{\text{req}} = \frac{0{,}16\,V}{T_{\text{r,cible}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle exprime la surface d'ouverture équivalente qu'il faudrait ménager dans les parois pour que le local se vide de son énergie dans le temps voulu.

Décomposition des termes :

\( A_{\text{req}} \) : aire d'absorption équivalente requise, unité : m²
\( V \) : volume du local, unité : m³
\( T_{\text{r,cible}} \) : durée de réverbération visée, unité : s

Déficit d'absorption à combler :

Il donne la quantité d'absorption à ajouter pour atteindre la borne visée.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'aire d'absorption est une grandeur additive : ajouter un matériau absorbant revient à ajouter son aire d'absorption au total, sans reprendre le calcul des autres surfaces.

Contexte de validité : l'ajout ne doit pas recouvrir une surface existante, sans quoi il faut aussi retrancher la contribution de celle-ci.
Avantage : il chiffre l'ampleur du travail en une seule grandeur, immédiatement traduisible en mètres carrés de matériau.
Paramètre clé : la borne visée. Viser la borne haute demande le minimum d'absorption ; viser le milieu de l'intervalle offre une marge mais coûte davantage.
Vérification : le déficit rapporté à l'aire existante donne le facteur multiplicatif à obtenir, contrôle plus parlant que la différence.
Limite : un déficit exprimé en mètres carrés d'absorption ne dit pas quelle surface de matériau il faut : cela dépend du coefficient du matériau retenu.

\[ \begin{aligned} \Delta A = A_{\text{req}} - A \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle exprime la quantité d'absorption manquante, c'est-à-dire la surface d'ouverture équivalente supplémentaire à créer dans les parois.

Décomposition des termes :

\( \Delta A \) : déficit d'absorption, unité : m²
\( A_{\text{req}} \) et \( A \) : aires requise et existante, unité : m²

L'Erreur Classique (Le Piège)

Comparer directement la durée calculée à la borne réglementaire et conclure à la conformité ou à la non-conformité sans réserve.

L'approche d'ingénieur : Le verdict est ici sans ambiguïté, l'écart étant d'un facteur trois. Mais trois différences séparent la valeur calculée de la grandeur exigée, et un rapport doit les énoncer.

Le nombre de bandes : l'exigence porte sur la moyenne arithmétique des durées dans les octaves de 500, 1 000 et 2 000 Hz. La valeur calculée n'en est qu'un des trois termes.
L'état d'aménagement : l'exigence s'entend pour un local normalement meublé et non occupé. Le calcul porte sur un local vide, donc dépourvu de l'absorption du mobilier.
Le sens de ces deux écarts : ils jouent en sens opposés et l'on ne peut pas conclure a priori. Le mobilier ajoute de l'absorption et raccourcit la durée ; le comportement aux autres fréquences dépend entièrement des coefficients à 500 et 2 000 Hz, qui ne sont pas fournis.
L'incertitude de calcul : le guide de mesures acoustiques admet 2 % sur une aire d'absorption calculée, soit ici ±0,05 s sur la durée. C'est négligeable devant un écart d'un facteur trois, mais il faudra en tenir compte au dimensionnement.
La conclusion à rédiger : le local est non conforme avec une marge telle qu'aucune de ces réserves ne peut renverser le verdict. C'est cette formulation qui est exacte, et non un verdict sec.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Volume : en m³ ; durée visée : en s .
Constante : en s/m ; le produit par le volume divisé par une durée donne des m² .
Aires requise, existante et déficit : toutes en m² .
Facteur multiplicatif : rapport de deux aires, donc sans dimension .
Les deux bornes de durée donnent deux aires : la borne haute de durée correspond à la borne basse d'aire.

Trois calculs enchaînés : les deux aires correspondant aux bornes de l'encadrement, le déficit à combler, puis le contrôle par inversion.

1. Résolution Numérique Aires d'absorption correspondant aux deux bornes

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'exigence est un encadrement de durées et qu'il faut la traduire en un encadrement d'aires pour pouvoir dimensionner.

Méthodologie du calcul :

On applique la relation inversée à chacune des deux bornes de l'intervalle réglementaire.

Substitution : \( V = 189{,}0 \) m³, constante 0,16, bornes 0,8 s et 0,4 s.
Piège évité : associer la borne haute de durée à la borne haute d'aire. La relation étant une proportionnalité inverse, les correspondances se croisent.
Hypothèse validée : le volume de 189,0 m³ étant inférieur à 250 m³, c'est bien l'encadrement de 0,4 à 0,8 s qui s'applique, conformément à la ligne du tableau réglementaire.
Vérification croisée : les deux aires doivent être dans un rapport de deux, puisque les deux durées le sont.
Finalité : disposer de la plage d'aires admissibles.

\[ \begin{aligned} A_{\text{req}}\left(0{,}8\ \text{s}\right) &= \frac{0{,}16 \times 189{,}0}{0{,}8} \\[3pt] &= \frac{30{,}24}{0{,}8} \\[3pt] &= \mathbf{37{,}80} \text{ m}^{2} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} A_{\text{req}}\left(0{,}4\ \text{s}\right) &= \frac{0{,}16 \times 189{,}0}{0{,}4} \\[3pt] &= \frac{30{,}24}{0{,}4} \\[3pt] &= \mathbf{75{,}60} \text{ m}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'aire d'absorption doit être comprise entre 37,80 et 75,60 m². Le contrôle est satisfait : les deux valeurs sont bien dans un rapport de deux, comme les deux durées.

Ordre de grandeur : la borne basse de 37,80 m² représente 17,0 % de la surface des parois, la borne haute 34,1 % : le coefficient moyen devra donc se situer entre ces deux valeurs.
Impact sur la suite : cette plage sera traduite en un intervalle de coefficients admissibles pour le plafond à la question 6.
Cohérence : un coefficient moyen de 0,17 à 0,34 place déjà le local hors du domaine où l'écart entre Sabine et Eyring reste négligeable : la vérification devra être reprise.
Attention : ces deux aires sont calculées avec la relation de Sabine. Employer Eyring déplacerait les bornes, ce qui sera chiffré à la question 6.
Comparaison : pour un local de même forme mais de 250 m³, la borne basse d'aire monterait à 50,0 m² : l'aire requise croît proportionnellement au volume.

Remarque pédagogique : traduisez toujours un encadrement de durées en un encadrement d'aires avant de dimensionner. C'est sur les aires, additives, que le calcul de traitement se conduit.

Déficit d'absorption à combler

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il chiffre l'ampleur du travail et fournit la donnée d'entrée du dimensionnement.

Méthodologie du calcul :

On retranche l'aire existante de la borne la plus accessible, celle qui correspond à la durée maximale admissible.

Substitution : \( A_{\text{req}} = 37{,}80 \) m² et \( A = 12{,}82 \) m².
Piège évité : confondre le déficit d'absorption avec une surface de matériau. Il faudra diviser par le coefficient du matériau retenu pour obtenir une surface à poser.
Hypothèse validée : l'absorption ajoutée s'ajoute à celle qui existe, ce qui suppose qu'elle ne recouvre aucune surface existante — hypothèse qui sera levée à la question 6.
Vérification croisée : le rapport de l'aire requise à l'aire existante doit être voisin du rapport inverse des durées, soit 2,36 divisé par 0,8.
Finalité : chiffrer l'ampleur du traitement à prévoir.

\[ \begin{aligned} \Delta A &= 37{,}80 - 12{,}82 \\[3pt] &= \mathbf{24{,}98} \text{ m}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Il manque 24,98 m² d'absorption, soit près du double de ce que le local possède. L'aire doit être multipliée par 2,95, ce qui correspond exactement au rapport des durées, 2,3588 divisé par 0,8.

Ordre de grandeur : le contrôle est satisfait : 37,80 divisé par 12,82 donne 2,949, et 2,3588 divisé par 0,8 donne 2,949.
Impact sur la suite : 24,98 m² d'absorption à créer sur un local de 222,0 m² de parois : le traitement devra porter sur une surface étendue, et le plafond, avec ses 63,0 m², est le seul candidat unique possible.
Cohérence : un matériau de coefficient 0,50 devrait couvrir 49,96 m² pour fournir ce déficit, un matériau de coefficient 0,90 seulement 27,76 m² : la surface à traiter dépend entièrement du matériau retenu.
Attention : ce déficit suppose une addition pure. Remplacer le plafond existant retranchera aussi sa contribution de 6,30 m², ce dont la question 6 devra tenir compte.
Comparaison : viser le milieu de l'intervalle, soit 0,6 s, exigerait 50,40 m² d'aire, donc un déficit de 37,58 m² — la moitié de plus que pour la borne haute.

Remarque pédagogique : exprimez le déficit à la fois en valeur absolue et en facteur multiplicatif. Le facteur dit immédiatement s'il s'agit d'un ajustement ou d'une reprise complète.

Contrôle par inversion et écarts à l'exigence réelle

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un contrôle par inversion valide la chaîne complète, et parce que les écarts entre le calcul mené et la grandeur exigée doivent être énoncés.

Méthodologie du calcul :

On applique la relation inversée à la durée calculée à la question 3 et l'on vérifie qu'elle redonne l'aire de la question 2.

Substitution : \( T_{\text{r}} = 2{,}3588 \) s, valeur non arrondie issue de la question 3.
Piège évité : employer la valeur arrondie à 2,36 s. Elle donnerait 12,814 m² au lieu de 12,82, écart sans portée mais qui brouillerait le contrôle.
Hypothèse validée : la même constante est employée à l'aller et au retour, condition nécessaire pour que le contrôle ait un sens.
Vérification croisée : le résultat doit reproduire 12,82 m² à l'arrondi près.
Finalité : valider la chaîne de calcul avant de dimensionner.

\[ \begin{aligned} A_{\text{contrôle}} &= \frac{0{,}16 \times 189{,}0}{2{,}3588} \\[3pt] &= \frac{30{,}24}{2{,}3588} \\[3pt] &= \mathbf{12{,}82} \text{ m}^{2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

12,82 m² : l'inversion redonne exactement l'aire de la question 2, ce qui valide la chaîne complète. Le local est donc non conforme, sa durée de 2,36 s dépassant la borne haute de 0,8 s d'un facteur 2,95.

Ordre de grandeur : l'écart est de 1,56 s en valeur absolue, soit près de deux fois la borne haute elle-même.
Impact sur la suite : une marge aussi large rend le verdict insensible aux trois réserves énoncées : ni le mobilier, ni le comportement aux autres fréquences, ni l'incertitude de 2 % ne peuvent le renverser.
Cohérence : la valeur d'Eyring, 2,29 s, conduit au même verdict avec un facteur de 2,86 : le choix de la relation ne change rien au diagnostic.
Attention : trois écarts subsistent entre le calcul et l'exigence : une seule bande au lieu de la moyenne de trois octaves, un local vide au lieu de meublé, et une incertitude de 2 % sur l'aire. Ils doivent figurer au rapport même si aucun ne renverse le verdict.
Comparaison : l'incertitude de 2 % sur l'aire d'absorption se traduit par ±0,05 s sur la durée, à comparer aux 1,56 s d'écart à la borne : elle est sans portée sur ce diagnostic.

Remarque pédagogique : lorsqu'un écart est très supérieur aux incertitudes, dites-le explicitement. C'est ce qui permet au lecteur de savoir que les réserves ne changent rien au verdict.

L'ENCADREMENT RÉGLEMENTAIRE ET LE DÉFICIT D'ABSORPTION

RÉSULTAT FINAL

\( \Delta A \) = 24,98 m²

Le volume de 189,0 m³ étant inférieur à 250 m³, l'exigence applicable est celle des locaux d'enseignement de petit volume, soit un encadrement de la durée de réverbération entre 0,4 et 0,8 seconde. Inversée sur chacune des deux bornes, la relation de Sabine donne une aire d'absorption admissible comprise entre 37,80 et 75,60 m², les correspondances se croisant puisque la relation est une proportionnalité inverse. Le local en possède 12,82 : il manque donc 24,98 m², et l'aire doit être multipliée par 2,95 — facteur qui reproduit exactement le rapport de la durée calculée à la borne haute. L'inversion appliquée à la durée de 2,3588 s redonne bien 12,82 m², ce qui valide la chaîne complète. Le local est donc non conforme, avec un écart de 1,56 s à la borne haute. Trois réserves doivent néanmoins figurer au rapport : l'exigence porte sur la moyenne arithmétique des octaves de 500, 1 000 et 2 000 Hz alors que le calcul ne couvre que 1 000 Hz ; elle s'entend pour un local normalement meublé et non occupé alors que le calcul porte sur un local vide ; et le guide de mesures acoustiques admet 2 pour cent d'incertitude sur une aire d'absorption calculée, soit ±0,05 s. Aucune de ces réserves ne peut renverser un écart de 1,56 s, mais toutes doivent être énoncées.

Question 6 (Finale) : Dimensionnement du traitement et réserves

Dans la tête de l'ingénieur

"Le plafond est la seule surface à la fois étendue, accessible et déjà la plus absorbante : c'est là que le traitement ira. Mais je ne peux pas me contenter d'un coefficient minimal. L'exigence a deux bornes, donc ma prescription doit en avoir deux. Et surtout : en traitant le plafond, je vais multiplier l'absorption moyenne par quatre. La relation qui m'a servi à dimensionner ne sera plus dans son domaine, et je dois refaire la vérification sur l'état traité, sans quoi tout le dimensionnement repose sur une relation hors domaine."

Observation : remplacer le plafond ne consiste pas à ajouter de l'absorption mais à substituer un revêtement à un autre : la contribution actuelle de 6,30 m² doit être retranchée.
Analyse du risque : dimensionner sur la seule borne haute laisserait ouverte la possibilité d'un local sur-traité, non conforme par excès d'absorption.
Choix stratégique : j'établis la plage de coefficients admissibles avec les deux relations, et je ne retiens que l'intersection : c'est la seule prescription qui reste valable quel que soit le modèle employé au contrôle.
Alternative : j'aurais pu répartir le traitement entre plafond et murs. Je l'écarte pour le dimensionnement de principe, mais je signalerai que cette répartition serait acoustiquement préférable.
Objectif visé : le coefficient minimal, la vérification de la borne basse, la reprise du contrôle de validité, et la prescription assortie de ses réserves.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( \alpha_{\text{plafond}} \ge \mathbf{0{,}50} \) selon Sabine, \( \le \mathbf{0{,}91} \) selon Eyring — prescription retenue : \( 0{,}50 \le \alpha \le 0{,}90 \), valeur recommandée 0,70

Rappel Théorique : substituer n'est pas ajouter

Un traitement acoustique se réalise rarement par ajout pur. Le plus souvent il remplace un revêtement par un autre, et le bilan doit en tenir compte sous peine de surestimer le gain.

L'ajout pur : un panneau posé sur une surface qui n'existait pas — un baffle suspendu, par exemple. Son aire d'absorption s'ajoute simplement au total.
La substitution : un revêtement qui en recouvre un autre. Il faut alors retrancher la contribution de l'ancien avant d'ajouter celle du nouveau.
L'ampleur de la différence : elle vaut la contribution de l'ancien revêtement. Elle est négligeable si celui-ci était très réfléchissant, et significative s'il apportait déjà de l'absorption.
Le cas d'un doublage : poser un absorbant devant une paroi existante relève de la substitution, l'ancienne surface n'étant plus exposée au champ sonore du local.
La règle générale : n'entrent au bilan que les surfaces vues depuis le local après travaux, chacune avec son coefficient. Le bilan de surfaces doit rester bouclé.

Équations Fondamentales

Deux relations, dans l'ordre d'emploi : l'aire d'absorption après substitution, puis le coefficient à exiger du nouveau revêtement.

Aire d'absorption après substitution :

Elle donne l'aire totale une fois un revêtement remplacé par un autre.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'aire d'absorption est additive par surface : la contribution de la surface remplacée disparaît du bilan, celle du nouveau revêtement s'y substitue, et toutes les autres restent inchangées.

Contexte de validité : la surface traitée doit être identique à celle qu'elle remplace. Un plafond acoustique posé plus bas réduirait aussi le volume du local.
Avantage : elle permet de traiter le dimensionnement comme une équation à une seule inconnue, le coefficient du nouveau revêtement.
Paramètre clé : la contribution retranchée. Elle vaut ici 6,30 m², soit un quart du déficit à combler : l'oublier fausserait sensiblement le résultat.
Vérification : pour un coefficient nouveau égal à l'ancien, la relation doit redonner l'aire initiale.
Limite : elle suppose que la surface traitée reste entièrement exposée au champ sonore, ce qu'un luminaire encastré ou une bouche de ventilation viennent en pratique réduire.

\[ \begin{aligned} A_{\text{nouv}} = A - S_{\text{plaf}}\,\alpha_{\text{anc}} + S_{\text{plaf}}\,\alpha_{\text{nouv}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle exprime que le gain réel d'un traitement est la différence entre ce que le nouveau revêtement apporte et ce que l'ancien apportait déjà.

Décomposition des termes :

\( A_{\text{nouv}} \) et \( A \) : aires d'absorption après et avant travaux, unité : m²
\( S_{\text{plaf}} \) : surface du plafond, unité : m²
\( \alpha_{\text{anc}}, \alpha_{\text{nouv}} \) : coefficients ancien et nouveau, unité : sans dimension

Coefficient à exiger du nouveau revêtement :

Il donne la performance minimale du matériau permettant d'atteindre une aire visée.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle inverse la relation précédente en isolant l'inconnue. Sous cette forme, la prescription devient un critère de produit, directement vérifiable sur une fiche technique.

Contexte de validité : le coefficient obtenu doit rester inférieur ou égal à l'unité. Une valeur supérieure signifierait que la surface traitée ne suffit pas.
Avantage : elle transforme un objectif de performance de local en une caractéristique de produit, seule forme sous laquelle une prescription peut être contractualisée.
Paramètre clé : la surface traitée. Traiter une surface plus grande abaisse le coefficient exigé et élargit le choix de produits.
Vérification : en reportant le coefficient obtenu dans la relation directe, on doit retrouver exactement l'aire visée.
Limite : le coefficient exigé vaut pour la fréquence du calcul. Une prescription complète porte sur plusieurs bandes d'octave, et un produit peut satisfaire l'une sans satisfaire les autres.

\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{nouv}} = \frac{A_{\text{req}} - A + S_{\text{plaf}}\,\alpha_{\text{anc}}}{S_{\text{plaf}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle exprime la performance à exiger du produit, c'est-à-dire la fraction d'énergie qu'il devra absorber pour que le local atteigne l'objectif.

Décomposition des termes :

\( \alpha_{\text{nouv}} \) : coefficient d'absorption à exiger, unité : sans dimension
\( A_{\text{req}} \) : aire d'absorption visée, unité : m²
\( S_{\text{plaf}}\,\alpha_{\text{anc}} \) : contribution du revêtement remplacé, unité : m²

L'Erreur Classique (Le Piège)

Dimensionner le traitement avec la relation de Sabine, dont la validité a été établie sur le local avant travaux, sans reprendre la vérification sur l'état traité.

L'approche d'ingénieur : La validation d'un domaine porte sur un état, et le traitement change précisément cet état. Voici ce que la reprise du contrôle révèle.

Ce que le traitement change : le coefficient d'absorption moyen passe de 0,0577 à 0,2280 pour un plafond de coefficient 0,70, soit une multiplication par 3,95.
Ce que devient l'écart entre les deux relations : il passe de 2,9 % à 11,9 %. Sabine annonce 0,597 s là où Eyring annonce 0,526 s.
Le cas où cela devient décisif : pour un plafond de coefficient 1,00, Sabine donne 0,435 s, donc conforme, tandis qu'Eyring donne 0,363 s, donc non conforme par excès d'absorption. Les deux relations ne rendent plus le même verdict.
La conséquence sur la prescription : il faut retenir l'intersection des plages admissibles selon les deux relations, et non la seule plage de Sabine.
La règle générale : toute vérification de domaine doit être reprise sur l'état final. Un dimensionnement qui modifie fortement le paramètre de validité invalide, par construction, la relation qui l'a produit.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Aires et contributions : toutes en m² .
Coefficients d'absorption : sans dimension , bornés par zéro et un.
Durées : en secondes .
Le rapport d'une aire à une surface donne bien un coefficient sans dimension .
La contribution retranchée s'exprime en m² et non en pourcentage.

Trois calculs enchaînés : le coefficient minimal selon Sabine, la vérification de la borne basse et la reprise du contrôle de validité, puis la plage retenue.

1. Résolution Numérique Coefficient minimal du plafond selon Sabine

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il fournit la performance minimale à exiger pour que la durée descende sous la borne haute de l'exigence.

Méthodologie du calcul :

On écrit l'aire après substitution, on l'égale à l'aire requise par la borne haute de durée, puis on isole le coefficient.

Substitution : \( A = 12{,}82 \) m², contribution retranchée \( 63{,}0 \times 0{,}10 = 6{,}30 \) m², aire visée 37,80 m².
Piège évité : oublier de retrancher la contribution actuelle du plafond. Le coefficient obtenu serait 0,397 au lieu de 0,497, soit une prescription insuffisante de vingt pour cent.
Hypothèse validée : le nouveau plafond couvre la totalité des 63,0 m² et se situe au même niveau que l'ancien, sans modification du volume.
Vérification croisée : en reportant le coefficient obtenu dans le bilan, l'aire doit valoir exactement 37,80 m².
Finalité : disposer de la borne inférieure de la prescription.

\[ \begin{aligned} A_{\text{nouv}} &= 12{,}82 - 6{,}30 + 63{,}0\,\alpha_{\text{nouv}} \\[3pt] &= 6{,}52 + 63{,}0\,\alpha_{\text{nouv}} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{min}} &= \frac{37{,}80 - 6{,}52}{63{,}0} \\[3pt] &= \frac{31{,}28}{63{,}0} \\[3pt] &= \mathbf{0{,}497} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,497, soit un coefficient d'absorption d'au moins 0,50 en valeur pratique. Le contrôle est satisfait : \( 6{,}52 + 63{,}0 \times 0{,}497 = 37{,}83 \) m², à l'arrondi près.

Ordre de grandeur : un coefficient de 0,50 signifie qu'il faut un plafond absorbant, c'est-à-dire un produit spécifiquement acoustique et non un simple plâtre.
Impact sur la suite : cette valeur est la borne inférieure de la prescription ; il reste à vérifier qu'une borne supérieure est nécessaire.
Cohérence : le coefficient exigé est cinq fois celui du plâtre suspendu actuel, ce qui est cohérent avec un déficit d'absorption exigeant de tripler l'aire du local.
Attention : ce coefficient est établi à 1 000 Hz. Un produit peut le satisfaire à cette fréquence sans le satisfaire à 500 Hz, où les absorbants fibreux minces sont moins performants.
Comparaison : si l'on traitait aussi les murs, la surface disponible passerait de 63,0 à 149,0 m² et le coefficient exigé tomberait à 0,22 : traiter plus large permet d'exiger moins de chaque produit.

Remarque pédagogique : lorsqu'un traitement remplace un revêtement existant, écrivez toujours le bilan sous la forme « retrancher puis ajouter ». La forme abrégée fait oublier le terme retranché.

Reprise du contrôle de validité sur l'état traité

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le traitement multiplie l'absorption moyenne par quatre et que la validation de la question 4 ne porte que sur l'état initial.

Méthodologie du calcul :

On calcule, pour un plafond de coefficient 0,70, le nouveau coefficient moyen, puis les durées selon les deux relations.

Substitution : \( \alpha_{\text{nouv}} = 0{,}70 \), d'où \( A = 6{,}52 + 44{,}10 = 50{,}62 \) m² et \( \overline{\alpha} = 50{,}62/222{,}0 \).
Piège évité : réutiliser le coefficient moyen de la question 2. Il a été calculé sur l'état non traité et n'a plus cours.
Hypothèse validée : la surface totale des parois reste 222,0 m², le plafond étant remplacé et non ajouté.
Vérification croisée : l'écart entre les deux relations doit valoir approximativement la moitié du nouveau coefficient moyen.
Finalité : savoir si la relation employée reste utilisable sur l'état traité.

\[ \begin{aligned} \overline{\alpha}_{\text{traité}} &= \frac{50{,}62}{222{,}0} \\[3pt] &= \mathbf{0{,}2280} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} T_{\text{r,Sabine}} &= \frac{30{,}24}{50{,}62} = 0{,}597 \text{ s} \\[3pt] A_{\text{Eyring}} &= -222{,}0\,\ln\left(1 - 0{,}2280\right) = 57{,}47 \text{ m}^{2} \\[3pt] T_{\text{r,Eyring}} &= \frac{30{,}24}{57{,}47} = \mathbf{0{,}526} \text{ s} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le coefficient moyen passe à 0,2280, soit 3,95 fois sa valeur initiale, et l'écart entre les deux relations passe de 2,9 à 11,9 %. Les deux durées, 0,597 et 0,526 s, restent néanmoins l'une et l'autre à l'intérieur de l'encadrement réglementaire.

Ordre de grandeur : le contrôle est satisfait : la moitié du coefficient moyen vaut 11,4 %, à comparer aux 11,9 % obtenus.
Impact sur la suite : un écart de 11,9 % impose de vérifier la prescription avec les deux relations, ce que fait le calcul suivant.
Cohérence : le local traité se situe à 0,228 de coefficient moyen, donc au-delà de la limite de 0,10 souvent citée pour l'emploi de Sabine : la relation n'y est plus employable seule.
Attention : après traitement, le plafond porte 87,1 % de l'absorption du local. L'hypothèse de répartition uniforme, commune aux deux relations, est alors franchement mise en défaut, et cet écart-là n'est chiffré par aucune des deux.
Comparaison : l'incertitude de 2 % admise sur l'aire d'absorption place la durée de Sabine entre 0,586 et 0,610 s : elle est sans commune mesure avec les 0,071 s d'écart entre les deux relations.

Remarque pédagogique : dès qu'un traitement multiplie l'absorption par plus de deux, reprenez systématiquement la comparaison entre les deux relations. C'est là que les surprises se produisent.

Plage de coefficients admissibles selon les deux relations

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la prescription doit rester valable quelle que soit la relation employée au contrôle, et parce que l'exigence comporte une borne basse.

Méthodologie du calcul :

On détermine, pour chacune des deux relations, les coefficients de plafond correspondant aux deux bornes de durée, puis on retient l'intersection des deux plages.

Substitution : pour Eyring, la borne basse de 0,4 s impose \( -222{,}0\ln(1-\overline{\alpha}) = 75{,}60 \), d'où \( \overline{\alpha} = 0{,}2886 \) et \( A = 64{,}07 \) m².
Piège évité : conclure qu'un excès d'absorption est impossible parce que Sabine donne 0,435 s pour un plafond parfaitement absorbant. Eyring donne alors 0,363 s, en dessous de la borne.
Hypothèse validée : le coefficient d'un revêtement mesuré en salle réverbérante peut approcher ou dépasser légèrement l'unité ; on retient ici la borne physique de 1,00.
Vérification croisée : la plage retenue doit être incluse dans chacune des deux plages individuelles.
Finalité : produire une prescription robuste au choix du modèle.

\( \alpha \) du plafond	\( A \) (m²)	\( \overline{\alpha} \)	\( T_{\text{r}} \) Sabine (s)	\( T_{\text{r}} \) Eyring (s)
0,50	38,02	0,1713	0,795	0,725
0,60	44,32	0,1996	0,682	0,612
0,70	50,62	0,2280	0,597	0,526
0,80	56,92	0,2564	0,531	0,460
0,90	63,22	0,2848	0,478	0,406
1,00	69,52	0,3132	0,435	0,363

\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{max,Eyring}} &= \frac{64{,}07 - 6{,}52}{63{,}0} \\[3pt] &= \frac{57{,}55}{63{,}0} \\[3pt] &= \mathbf{0{,}914} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La plage admissible s'étend de 0,497 à 0,914 : la borne basse vient de Sabine, la borne haute d'Eyring. En valeurs pratiques, la prescription s'écrit 0,50 ≤ α ≤ 0,90, avec 0,70 comme valeur recommandée.

Ordre de grandeur : le tableau confirme que 0,70 place les deux durées, 0,597 et 0,526 s, au milieu de l'encadrement, à bonne distance des deux bornes.
Impact sur la suite : une prescription bornée des deux côtés protège contre le sur-traitement autant que contre le sous-traitement, ce que l'exigence réglementaire impose.
Cohérence : pour \( \alpha = 0{,}50 \), Sabine donne 0,795 s, à cinq millièmes de la borne haute : cette valeur ne laisse aucune marge et ne doit pas être retenue comme cible.
Attention : la borne haute de 0,90 ne provient pas d'une limite physique mais du choix du modèle. Un contrôle mené avec Sabine seule ne la ferait pas apparaître, et c'est précisément pourquoi elle doit figurer au rapport.
Comparaison : en répartissant le traitement entre le plafond et une partie des murs, la surface traitée augmenterait, le coefficient exigé baisserait, et l'hypothèse de répartition uniforme serait mieux respectée : cette solution est acoustiquement préférable.

Remarque pédagogique : lorsqu'une exigence est un encadrement, la prescription doit l'être aussi. Une prescription à une seule borne laisse passer la moitié des non-conformités possibles.

LA PLAGE DE COEFFICIENTS ADMISSIBLES, SELON LES DEUX RELATIONS

RÉSULTAT FINAL

\( \alpha_{\text{plafond}} \) = 0,50 à 0,90 recommandé 0,70

Remplacer le plafond est une substitution et non un ajout : la contribution actuelle de 6,30 m² doit être retranchée, ce qui porte l'aire après travaux à \( 6{,}52 + 63{,}0\,\alpha \). Égalée à l'aire requise de 37,80 m², cette expression donne un coefficient minimal de 0,497 ; l'oubli du terme retranché aurait conduit à 0,397, soit une prescription insuffisante de vingt pour cent. Le traitement porte toutefois le coefficient d'absorption moyen de 0,0577 à 0,2280 pour un plafond de coefficient 0,70, soit une multiplication par 3,95, et l'écart entre les relations de Sabine et d'Eyring passe de 2,9 à 11,9 pour cent : la validation établie sur l'état initial ne vaut plus, et la vérification doit être reprise. Elle révèle que les deux relations cessent de rendre le même verdict aux fortes absorptions — pour un plafond parfaitement absorbant, Sabine donne 0,435 s, donc conforme, tandis qu'Eyring donne 0,363 s, en dessous de la borne basse de 0,4 s. La prescription retenue est donc l'intersection des deux plages : un coefficient d'absorption du plafond compris entre 0,50 et 0,90 à 1 000 Hz, la borne basse venant de Sabine et la borne haute d'Eyring, avec 0,70 comme valeur recommandée puisqu'elle place les deux durées, 0,597 et 0,526 s, au milieu de l'encadrement. Quatre réserves accompagnent cette prescription : le coefficient est établi à la seule fréquence de 1 000 Hz alors que l'exigence porte sur la moyenne des octaves de 500, 1 000 et 2 000 Hz ; le calcul suppose un local vide alors que l'exigence vise un local meublé ; l'incertitude de 2 pour cent sur l'aire d'absorption place la durée entre 0,586 et 0,610 s ; et surtout, le plafond porterait après travaux 87,1 pour cent de l'absorption du local, ce qui met franchement en défaut l'hypothèse de répartition uniforme commune aux deux relations — écart qu'aucune des deux ne chiffre. Répartir le traitement entre le plafond et une partie des murs abaisserait le coefficient exigé et respecterait mieux cette hypothèse : cette solution est acoustiquement préférable.

SCHÉMA BILAN — DE L'AIRE D'ABSORPTION À LA PRESCRIPTION DE PLAFOND

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche complète, du relevé des surfaces jusqu'à la prescription de produit :

J'établis un bilan de surfaces qui boucle : les surfaces des revêtements retenus doivent redonner la surface totale des parois, une ouverture se substituant à la paroi qu'elle remplace. Je hiérarchise les revêtements sur leur contribution, produit de la surface par le coefficient, et jamais sur le coefficient seul. Je sais que la constante 0,16 vaut \( 24\ln 10 / c \) et qu'elle dépend de la célérité, donc de la température et du système d'unités. Je vérifie le domaine de validité de la relation de Sabine en la comparant à celle d'Eyring, et non en invoquant un domaine de fréquences qui n'y figure pas. Je traduis un encadrement de durées en un encadrement d'aires, en me souvenant que la borne haute de durée correspond à la borne basse d'aire. Je reprends la vérification de validité sur l'état traité, et je retranche la contribution du revêtement remplacé avant d'ajouter celle du nouveau.

Le local mesure 189,0 m³ pour 222,0 m² de parois, bilan vérifié : sol et plafond à 63,0 m² chacun, béton peint à 86,0 m² après déduction des 8,0 m² de vitrages et des 2,0 m² de porte. Son aire d'absorption équivalente à 1 000 Hz s'établit à 12,82 m², dont le plafond apporte 49,14 pour cent alors qu'il ne couvre que 28,4 pour cent des parois, et dont les vitrages n'apportent que 6,24 pour cent bien qu'ils partagent le meilleur coefficient du local. Le coefficient d'absorption moyen vaut 0,0577 : une onde conserve 94,2 pour cent de son énergie à chaque réflexion. La constante de la relation de Sabine, établie à partir du bilan d'énergie en champ diffus et de la convention des soixante décibels, vaut \( 24\ln 10 / c \), soit 0,1611 à 343 m/s ; la valeur conventionnelle de 0,16 correspond à une célérité de 345,4 m/s et n'introduit que 0,7 pour cent d'écart. La durée de réverbération ressort à 2,36 s, contre 2,29 s selon Eyring — un écart de 2,9 pour cent qui valide l'emploi de Sabine dans l'état initial. L'exigence applicable, le volume étant inférieur à 250 m³, encadre la durée entre 0,4 et 0,8 seconde, soit une aire d'absorption comprise entre 37,80 et 75,60 m² : il manque 24,98 m², et l'aire doit être multipliée par 2,95. Le remplacement du plafond, seule surface à la fois étendue et accessible, exige un coefficient d'absorption compris entre 0,50 et 0,90 à 1 000 Hz, la valeur de 0,70 plaçant les deux durées calculées, 0,597 et 0,526 s, au milieu de l'encadrement.

La plus-value technique de cette étude ne tient pas aux produits de surfaces par des coefficients, qui sont mécaniques, mais à quatre vérifications que le résultat brut ne fournit pas. La première est le bouclage du bilan de surfaces : une ouverture se substitue à la paroi qu'elle perce et ne s'y ajoute pas, de sorte que la somme des revêtements doit redonner exactement la surface des parois. Employer la surface brute des murs tout en comptant séparément les vitrages et la porte conduirait à 232,0 m² au lieu de 222,0, majorerait l'absorption de 0,50 m² et sous-estimerait la durée de près de 0,09 s ; seul le bilan révèle cette erreur, car le résultat reste plausible. La deuxième est la distinction entre coefficient et contribution : les vitrages partagent avec le plafond le meilleur coefficient du local, 0,10, mais n'apportent que 0,80 m² d'absorption contre 6,30 — les remplacer par un verre plus performant serait sans effet, traiter le plafond change tout. La troisième est la vérification du domaine de validité, et c'est la plus instructive. La relation de Sabine ne contient aucune fréquence : la justifier par un domaine de fréquences n'est pas une justification. Sa vraie condition d'emploi est une absorption moyenne faible, qui se vérifie en comparant \( \overline{\alpha} \) à \( -\ln(1-\overline{\alpha}) \) ; l'écart vaut ici 2,9 pour cent, du même ordre que les 2 pour cent d'incertitude que le guide de mesures acoustiques attache à une aire d'absorption calculée, et n'en est donc pas discernable. Mais cette validation porte sur un état, et le traitement change précisément cet état : le coefficient moyen passe à 0,2280, l'écart entre les deux relations à 11,9 pour cent, et pour un plafond parfaitement absorbant les deux relations cessent de rendre le même verdict — Sabine donne 0,435 s, donc conforme, quand Eyring donne 0,363 s, en dessous de la borne basse. C'est pourquoi la prescription retient l'intersection des deux plages et comporte une borne haute, que Sabine seule ne ferait pas apparaître. La quatrième est la lecture exacte de l'exigence : elle est un encadrement et non un plafond, un local sur-traité étant non conforme au même titre qu'un local réverbérant, parce que la suppression des premières réflexions prive l'orateur du renfort qui porte sa voix. Reste une réserve qu'il faut porter au rapport sans l'atténuer : trois écarts subsistent entre le calcul et la grandeur réellement exigée. L'exigence porte sur la moyenne arithmétique des durées dans les octaves de 500, 1 000 et 2 000 Hz, alors que le calcul ne couvre que 1 000 Hz, et un produit peut satisfaire le critère à cette fréquence sans le satisfaire à 500 Hz où les absorbants minces sont moins performants. Elle s'entend pour un local normalement meublé et non occupé, alors que le calcul porte sur un local vide. Et surtout, le plafond porterait après travaux 87,1 pour cent de l'absorption du local : l'hypothèse de répartition uniforme, commune aux deux relations, s'en trouve franchement mise en défaut, et cet écart-là n'est chiffré par aucune d'elles. Répartir le traitement entre le plafond et une partie des murs porterait la surface traitée de 63,0 à 149,0 m², abaisserait le coefficient exigé à 0,22 et respecterait bien mieux cette hypothèse : c'est la solution qu'il convient de proposer au maître d'ouvrage.

Calcul de l'aire équivalente d'absorption

Calcul de l'aire équivalente d'absorption

Le premier mois à 1 €

Calcul de l'aire équivalente d'absorption

Contexte de l'Étude & Enjeux

GÉOMÉTRIE ET REVÊTEMENTS, COEFFICIENTS À 1 000 Hz

LES GRANDEURS DE L'ABSORPTION ET LEURS UNITÉS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Volume et bilan des surfaces

Question 2 : Aire d'absorption équivalente et absorption moyenne

Question 3 : Constante de Sabine et durée de réverbération

Question 4 : Domaine de validité de la relation employée

Question 5 : Confrontation à l'exigence et aire requise

Question 6 (Finale) : Dimensionnement du traitement et réserves

Calcul de l'aire équivalente d'absorption

Exécution de la Note de Calculs

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