Calcul de la torsion d'un poteau
Couple d'excentricité, section creuse équivalente et moment de fissuration en torsion d'un fût en béton
Contexte de l'Étude & Enjeux
Le Contexte : Un mât en béton armé de 4,50 m, conçu pour porter un éclairage centré sur son axe, doit recevoir un panneau publicitaire déporté de 2,20 m par un bras horizontal. Ce déport change radicalement la nature de la sollicitation : la poussée du vent sur le panneau ne produit plus seulement une flexion, elle engendre un couple de torsion que le fût doit reprendre sur toute sa hauteur. Le bureau de contrôle exige une note justifiant la tenue du mât existant. La question n'est pas seulement de calculer ce couple — elle est de savoir à quoi le comparer, car la torsion d'un élément en béton ne se vérifie pas comme celle d'un arbre métallique.
Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :
-
Une excentricité qui crée un couple : Une force horizontale appliquée hors de l'axe du fût se décompose en une force passant par l'axe, qui fléchit, et un couple, qui vrille. Seul le second fait l'objet de cette étude.
-
Un modèle réglementaire spécifique : L'EN 1992-1-1 § 6.3.2 ne vérifie pas la torsion par la théorie élastique. Il remplace la section réelle par une section creuse équivalente et confronte le couple appliqué au moment qui provoque la fissuration du béton.
-
Un ordre de vérification qui compte : Le calcul de rotation repose sur la rigidité de la section non fissurée. Il ne conserve donc un sens que si la vérification de résistance conclut favorablement — ce qu'il faudra établir avant d'en tirer la moindre conclusion.
Établir le couple de torsion induit par le déport du panneau et vérifier la tenue du fût selon le modèle réglementaire applicable au béton.
- Établir la sollicitation : Calculer le couple de torsion que l'excentricité du panneau transmet au fût.
- Construire la section de calcul : Déterminer l'épaisseur et l'aire de la section creuse équivalente prescrite par le règlement.
- Vérifier la résistance : Calculer le moment de fissuration en torsion et le confronter au couple appliqué.
- Examiner la rotation : Calculer la rotation en tête et déterminer dans quelles conditions ce résultat conserve une signification.
- Le couple de torsion appliqué au fût, exprimé en kilonewtons-mètres.
- L'épaisseur et l'aire de la section creuse équivalente, en millimètres et millimètres carrés.
- Le moment de fissuration en torsion et le taux de sollicitation correspondant.
- La rotation en tête, et l'analyse de la validité de ce résultat.
La poussée du vent est fournie comme une valeur de calcul : les coefficients partiels sur les actions lui ont déjà été appliqués, et le couple qui en découle peut donc être comparé directement à une résistance de calcul. Le module de Coulomb du béton est donné par l'énoncé ; on montrera qu'il est cohérent avec le coefficient de Poisson que l'Eurocode retient pour ce matériau. La rotation admissible, en revanche, n'est pas une valeur normative : c'est une exigence fonctionnelle fixée par le maître d'ouvrage pour préserver la lisibilité de l'écran.
Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)
Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !
- Couple d'une force excentrée \( T = F \times e \)
- Épaisseur de paroi équivalente \( t_{\text{ef}} = \dfrac{A}{u} \)
- Moment de fissuration en torsion \( T_{\text{Rd,c}} = f_{\text{ctd}}\,t_{\text{ef}}\,2\,A_{\text{k}} \)
- Moment d'inertie polaire d'un disque \( I_0 = \dfrac{\pi\,D^4}{32} \)
- Rotation d'un arbre en torsion \( \theta = \dfrac{T\,L}{G\,I_0} \)
- Module de Coulomb \( G = \dfrac{E}{2\,(1 + \nu)} \)
Le fût : géométrie et caractéristiques du béton
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( L \) | Hauteur libre du fût, de l'encastrement au bras | 4,50 | m |
| \( D \) | Diamètre extérieur du fût, de section circulaire pleine | 400 | mm |
| \( f_{\text{ctk,0,05}} \) | Résistance caractéristique en traction du béton C30/37, fractile 5 % — c'est elle qui gouverne la fissuration en torsion EN 1992-1-1, tableau 3.1 | 2,0 | MPa |
| \( \gamma_{\text{C}} \) | Coefficient partiel du béton, appliqué aux résistances caractéristiques | 1,50 | — |
| \( G \) | Module de Coulomb du béton, valeur retenue par l'énoncé — il n'intervient que dans le calcul de rotation, non dans la vérification de résistance | 12 000 | MPa |
| \( \nu \) | Coefficient de Poisson du béton EN 1992-1-1 | 0,20 | — |
- Section circulaire : aucun gauchissement en torsion
- Section pleine : \( t_{\text{ef}} \) à construire
- Fût encastré en pied : torsion constante sur \( L \)
L'action du vent et l'exigence fonctionnelle
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( F \) | Résultante de la poussée du vent sur le panneau, valeur de calcul avec coefficients partiels déjà appliqués | 18 | kN |
| \( e \) | Excentricité du centre de poussée par rapport à l'axe du fût, mesurée perpendiculairement à cet axe | 2,20 | m |
| \( \theta_{\text{lim}} \) | Rotation maximale admise en tête, exigence fonctionnelle du maître d'ouvrage destinée à préserver la lisibilité de l'écran — non une valeur normative | 0,50 | ° |
- Bras de levier de torsion : \( e \), perpendiculaire à l'axe
- Bras de levier de flexion : \( L \), le long de l'axe
- Critère de résistance : \( T_{\text{Ed}} \le T_{\text{Rd,c}} \)
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)
Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.
Ce que le règlement prescrit pour la torsion d'un élément en béton| Grandeur | Expression |
|---|---|
| Épaisseur de paroi équivalente | \( t_{\text{ef}} = A/u \) |
| Aire délimitée par la ligne moyenne | \( A_{\text{k}} \) |
| Moment de fissuration | \( T_{\text{Rd,c}} = f_{\text{ctd}}\,t_{\text{ef}}\,2\,A_{\text{k}} \) |
| Condition de non-fissuration | \( T_{\text{Ed}}/T_{\text{Rd,c}} + V_{\text{Ed}}/V_{\text{Rd,c}} \le 1 \) |
3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé
L'étude suit l'ordre imposé par le règlement : on établit d'abord la sollicitation, on construit ensuite la section de calcul que le modèle prescrit, on vérifie la résistance, et l'on n'aborde la déformation qu'en dernier — car sa signification dépend du verdict précédent.
Question 1 : Couple de torsion appliqué au fût
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Une force peut être déplacée parallèlement à elle-même à condition d'ajouter un couple qui compense le changement de moment.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Le bras de levier de la torsion se mesure perpendiculairement à l'axe du fût, non le long de celui-ci.
Question 2 : Section creuse équivalente
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
L'épaisseur équivalente se déduit de l'aire de la section et de son périmètre extérieur.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
La ligne moyenne des parois se situe à mi-épaisseur : son diamètre est celui de la section diminué d'une épaisseur entière.
Question 3 : Moment de fissuration et vérification
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
La fissuration en torsion est gouvernée par la résistance du béton en traction, non en compression.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Le moment de fissuration fait intervenir l'épaisseur des parois et le double de l'aire délimitée par leur ligne moyenne.
Question 4 (Finale) : Rotation en tête et validité du calcul
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
La formule de rotation en torsion découle de la théorie de Saint-Venant : demandez-vous sur quelles hypothèses de matériau elle repose.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Une section fissurée n'est plus un milieu continu, et sa rigidité torsionnelle n'est plus celle de la section pleine.
Calcul de la torsion d'un poteau
"La poussée du vent s'applique sur le panneau, à 2,20 m de l'axe du fût. Je ne peux pas l'utiliser telle quelle : il me faut savoir ce qu'elle produit sur l'axe. La réduction d'une force à un point donné est l'opération de base de la statique, et elle fait apparaître exactement les deux sollicitations que l'énoncé distingue — la flexion et la torsion."
- Ce que je cherche : Le couple de torsion transmis au fût, c'est-à-dire le moment de la poussée autour de l'axe vertical du mât.
- Ce que j'établis : Que la poussée excentrée équivaut rigoureusement à une force centrée plus un couple — et non à l'une ou à l'autre.
- Ce que je ne confonds pas : Le bras de levier de la torsion, mesuré perpendiculairement à l'axe, et celui de la flexion, mesuré le long de cet axe.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Une force appliquée en un point quelconque d'un solide peut être remplacée par une force identique appliquée en un autre point, à condition d'ajouter un couple. Cette opération, dite de réduction, ne modifie ni la résultante ni le moment résultant : elle ne fait que les exprimer en un point choisi, généralement celui où l'on veut connaître les sollicitations.
Deux relations sont mobilisées : la réduction de la force excentrée à l'axe du fût, puis le couple qui en résulte.
Étape 1 — Réduction de la poussée à l'axe du fût :Elle exprime la sollicitation au point où l'on veut la connaître.
On ajoute au point de l'axe deux forces opposées d'intensité égale à la poussée, opération qui ne change rien puisque leur somme est nulle et que leurs moments se compensent. L'une de ces deux forces, associée à la poussée réelle, forme alors un couple de bras de levier égal à l'excentricité. L'autre demeure seule, appliquée sur l'axe. La poussée excentrée se trouve ainsi remplacée, sans aucune approximation, par une force centrée et un couple.
- \( \vec{F} \) : poussée du vent sur le panneau, unité : kN
- \( P \) : centre de poussée sur le panneau, unité : —
- \( O \) : point de l'axe du fût, à la même altitude, unité : —
Il donne la sollicitation de torsion que le fût devra reprendre.
Le couple issu de la réduction est le produit vectoriel du vecteur qui joint l'axe au point d'application par la force. La poussée du vent étant horizontale et perpendiculaire au bras qui porte le panneau, ces deux vecteurs sont orthogonaux : la norme du produit vectoriel se réduit au produit des normes. Le couple obtenu est dirigé selon l'axe vertical du fût, ce qui en fait précisément un couple de torsion.
- \( T_{\text{Ed}} \) : couple de torsion de calcul, unité : kN·m
- \( F \) : résultante de la poussée du vent, unité : kN
- \( e \) : excentricité du centre de poussée, unité : m
"Employer la hauteur du fût comme bras de levier de la torsion, et annoncer un couple de 81 kN·m."
- Ce que chaque longueur produit : La hauteur \( L \) est mesurée le long de l'axe : elle donne le moment de flexion en pied, \( F \times L = 18 \times 4{,}50 = 81 \text{ kN·m} \). L'excentricité \( e \) est mesurée perpendiculairement à l'axe : elle donne le couple de torsion. Un moment dirigé selon l'axe est une torsion ; un moment perpendiculaire à l'axe est une flexion.
- Ce que l'erreur change numériquement : Le couple annoncé serait 81 kN·m au lieu de 39,60, soit 2,05 fois trop. Le taux de sollicitation en torsion passerait de 2,11 à 4,31 : la conclusion resterait défavorable, mais pour une sollicitation qui n'est pas celle que l'on vérifie.
- Comment on l'évite : En identifiant la direction du moment avant de le nommer. Le couple de torsion est celui dont le vecteur est porté par l'axe du fût : seule une distance mesurée perpendiculairement à cet axe peut le produire.
Exécution de la Note de Calculs
- La force est en kilonewtons et l'excentricité en mètres.
- Leur produit est un moment, en kilonewtons-mètres.
- La conversion en newtons-millimètres, nécessaire aux calculs de section, est une multiplication par \( 10^6 \).
L'application numérique porte directement sur l'expression établie.
1. Résolution Numérique Calcul du couple de torsionPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette valeur est la sollicitation de référence de toute l'étude : c'est elle qui sera confrontée au moment de fissuration et qui gouvernera la rotation.
On multiplie la poussée du vent par l'excentricité du centre de poussée, en conservant les unités de l'énoncé.
- Données employées : \( F = 18 \text{ kN} \), valeur de calcul, et \( e = 2{,}20 \text{ m} \), mesurée perpendiculairement à l'axe du fût.
- Longueur écartée : La hauteur \( L = 4{,}50 \text{ m} \), qui est le bras de levier de la flexion et non de la torsion.
Le fût reprend un couple de torsion de 39,60 kN·m, constant sur toute sa hauteur puisque aucune autre sollicitation de torsion n'est appliquée entre la tête et l'encastrement. C'est une valeur considérable pour un fût de 400 mm de diamètre.
- Contrôle par la géométrie : L'excentricité vaut 5,5 fois le diamètre du fût. Le bras de levier est donc très largement supérieur à toute dimension de la section qui doit l'équilibrer.
- Comparaison à la flexion : Le moment de flexion en pied vaut \( 18 \times 4{,}50 = 81 \text{ kN·m} \), soit deux fois le couple. Les deux sollicitations sont donc du même ordre, et aucune ne peut être négligée devant l'autre.
Remarque pédagogique : Le mât supportait auparavant un luminaire centré : l'excentricité était nulle et le couple aussi. Le changement d'usage n'ajoute donc pas une sollicitation existante, il en introduit une nouvelle, pour laquelle le fût n'a jamais été conçu ni ferraillé. C'est précisément ce que la vérification doit établir.
"Le règlement ne vérifie pas la torsion sur la section réelle. Il la remplace par une section creuse dont les parois portent seules le flux de cisaillement, parce que le cœur d'une section pleine ne participe presque pas à l'équilibre d'un couple. Je dois donc construire cette section avant toute vérification."
- Ce que je construis : L'épaisseur de paroi équivalente, puis l'aire délimitée par la ligne moyenne de ces parois.
- Ce que j'exploite : La géométrie circulaire, qui rend le calcul exact et permet même d'exprimer l'épaisseur comme une fraction simple du diamètre.
- Ce que je distingue : L'aire de la section, qui sert à construire l'épaisseur, et l'aire \( A_{\text{k}} \), délimitée par la ligne moyenne, qui sert à la vérification. Elles sont très différentes.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Lorsqu'un couple sollicite une section, le cisaillement qu'il engendre circule essentiellement le long du contour extérieur : plus une fibre est proche du centre, moins son bras de levier est grand et moins elle contribue à l'équilibre du couple. Le règlement en tire une simplification décisive — il remplace la section réelle par une section creuse dont seules les parois travaillent.
Deux relations sont mobilisées : l'épaisseur de paroi équivalente, puis l'aire délimitée par la ligne moyenne de ces parois.
Étape 1 — Épaisseur de paroi équivalente :Elle définit la géométrie de la section creuse sur laquelle la vérification est conduite.
L'EN 1992-1-1 § 6.3.2 définit l'épaisseur équivalente comme le rapport de l'aire totale de la section, délimitée par son périmètre extérieur, à ce même périmètre. Pour une section circulaire pleine, l'aire vaut le quart du produit de pi par le carré du diamètre et le périmètre vaut le produit de pi par le diamètre : le rapport se simplifie entièrement et l'épaisseur se réduit au quart du diamètre. Ce résultat exact ne dépend d'aucune approximation numérique.
- \( t_{\text{ef}} \) : épaisseur de paroi équivalente, unité : mm
- \( A \) : aire de la section délimitée par le périmètre extérieur, unité : mm²
- \( u \) : périmètre extérieur de la section, unité : mm
- \( D \) : diamètre extérieur du fût, unité : mm
Elle fournit la grandeur géométrique qui gouverne la résistance en torsion.
La ligne moyenne d'une paroi se situe à mi-épaisseur de celle-ci. Pour une section circulaire dont les parois épousent le contour extérieur, cette ligne est donc un cercle dont le rayon vaut le rayon extérieur diminué d'une demi-épaisseur — soit un diamètre réduit d'une épaisseur entière. L'aire cherchée est celle de ce cercle. Elle est notablement inférieure à l'aire de la section réelle, ce qui est normal : elle ne mesure pas une quantité de matière mais la surface enfermée par le circuit que suit le flux de cisaillement.
- \( A_{\text{k}} \) : aire délimitée par la ligne moyenne des parois, unité : mm²
- \( D_{\text{k}} \) : diamètre de la ligne moyenne des parois, unité : mm
- \( D \) : diamètre extérieur du fût, unité : mm
- \( t_{\text{ef}} \) : épaisseur de paroi équivalente, unité : mm
"Prendre pour \( A_{\text{k}} \) l'aire de la section réelle, soit 125 664 mm², au lieu de l'aire délimitée par la ligne moyenne des parois."
- Ce que chaque aire représente : L'aire de la section mesure une quantité de matière et sert à construire l'épaisseur équivalente. \( A_{\text{k}} \) mesure la surface enfermée par le circuit du flux de cisaillement, et sert à la vérification. La première est utilisée une fois, à la première étape ; la seconde dans toutes les expressions de résistance.
- Ce que l'erreur change numériquement : Le moment de fissuration deviendrait \( 1{,}33 \times 100 \times 2 \times 125\,664 = 33{,}43 \text{ kN·m} \) au lieu de 18,80, soit 78 % de trop. Le taux tomberait de 2,11 à 1,18, et le déficit réel du fût serait très largement sous-estimé. L'erreur va donc dans le sens de l'insécurité.
- Comment on la détecte : Par le rapport des deux valeurs. Pour une section circulaire, \( A_{\text{k}}/A = (D_{\text{k}}/D)^2 = (3/4)^2 = 0{,}5625 \) : l'aire de calcul vaut toujours 56 % de l'aire réelle, quel que soit le diamètre. Tout résultat qui ne respecterait pas ce rapport signalerait une confusion.
Exécution de la Note de Calculs
- Le diamètre est en millimètres.
- L'aire de la section est en millimètres carrés et le périmètre en millimètres.
- Leur quotient donne des millimètres, ce qui est bien une épaisseur.
- L'aire délimitée par la ligne moyenne s'exprime en millimètres carrés.
L'aire et le périmètre de la section sont établis d'abord, puis l'épaisseur équivalente, puis l'aire de calcul.
1. Résolution Numérique Calcul de l'épaisseur de paroi équivalentePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette épaisseur définit la section creuse sur laquelle le règlement conduit toute la vérification : sans elle, aucune résistance ne peut être établie.
On calcule l'aire et le périmètre du disque, puis leur rapport. Le résultat littéral établi ci-dessus permet de contrôler le calcul numérique.
- Donnée employée : \( D = 400 \text{ mm} \), diamètre extérieur du fût.
- Contrôle prévu : Le résultat doit valoir exactement le quart du diamètre, soit 100 mm.
L'épaisseur de paroi équivalente vaut 100 mm, soit exactement le quart du diamètre comme l'expression littérale l'annonçait. La section de calcul est donc une couronne de 100 mm d'épaisseur, dont le diamètre extérieur reste 400 mm.
- Concordance avec le résultat littéral : \( D/4 = 400/4 = 100 \text{ mm} \) : le calcul numérique confirme la simplification, ce qui valide le passage par pi de part et d'autre du rapport.
- Part de section retenue : La couronne de 100 mm représente 75 % de l'aire du disque. Un quart de la matière, celle du cœur, est donc réputée ne pas participer à l'équilibre du couple.
Remarque pédagogique : Cette épaisseur n'est pas une dimension physique : le fût reste plein sur toute sa section. C'est une épaisseur de calcul, qui traduit dans le modèle le fait que les fibres proches du centre, ayant un bras de levier presque nul, contribuent très peu à l'équilibre d'un couple.
Calcul de l'aire délimitée par la ligne moyennePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est cette aire, et non celle de la section, qui intervient dans l'expression de la résistance en torsion.
On retranche une épaisseur entière au diamètre extérieur pour obtenir le diamètre de la ligne moyenne, puis on calcule l'aire du disque correspondant.
- Données employées : \( D = 400 \text{ mm} \) et \( t_{\text{ef}} = 100 \text{ mm} \).
- Position de la ligne moyenne : À mi-épaisseur de la paroi, donc à 50 mm du bord extérieur.
L'aire délimitée par la ligne moyenne vaut 70 686 mm², soit 56 % de l'aire de la section réelle. Le rapport correspond exactement au carré du rapport des diamètres, ce qui confirme la construction géométrique.
- Contrôle par le rapport : \( 70\,686/125\,664 = 0{,}5625 \), qui vaut exactement \( (300/400)^2 \) : les deux aires sont bien dans le rapport du carré des diamètres.
- Encadrement : Le diamètre de la ligne moyenne, 300 mm, est bien compris entre le diamètre intérieur de la couronne, 200 mm, et son diamètre extérieur, 400 mm.
Remarque pédagogique : Le rapport de 56 % est une propriété de la section circulaire pleine et ne dépend pas du diamètre : l'épaisseur équivalente valant toujours le quart du diamètre, le diamètre moyen en vaut toujours les trois quarts. Ce résultat fournit un contrôle immédiat pour toute section circulaire pleine, quelle que soit sa dimension.
"La section de calcul est construite ; il me reste à établir le seuil. La torsion engendre des tractions inclinées dans le béton, et c'est donc la résistance en traction — la plus faible des deux — qui gouverne l'apparition des fissures. Je vais calculer le couple qui les provoque et situer le couple appliqué par rapport à lui."
- Ce que je cherche : Le moment de fissuration en torsion, seuil au-delà duquel des armatures de torsion deviennent indispensables.
- Quelle résistance intervient : Celle du béton en traction, et non en compression. La torsion fissure le béton bien avant de l'écraser.
- Ce que je conclus : Le taux de sollicitation, et ce qu'il implique pour un fût existant dont le ferraillage n'a pas été conçu pour la torsion.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Un couple appliqué à une section de béton y engendre un cisaillement, lequel équivaut à des tractions et des compressions inclinées à quarante-cinq degrés. Le béton résistant environ quinze fois moins bien en traction qu'en compression, ce sont les tractions inclinées qui décident : dès qu'elles atteignent la résistance en traction du matériau, des fissures apparaissent selon des hélices caractéristiques.
Deux relations sont mobilisées : la résistance de calcul en traction du béton, puis le moment de fissuration en torsion qu'elle permet d'établir.
Étape 1 — Résistance de calcul en traction du béton :Elle donne la contrainte de traction que le béton peut reprendre sans fissurer.
Cette relation ne se démontre pas : c'est la définition réglementaire du passage d'une résistance caractéristique à une résistance de calcul. Ce qui s'explique, en revanche, est la logique qu'elle traduit. Le règlement caractérise la traction du béton par une valeur au fractile inférieur, de sorte que la résistance réelle lui soit supérieure dans la très grande majorité des cas. Cette valeur caractéristique est ensuite divisée par le coefficient partiel du matériau, qui couvre la dispersion résiduelle, les écarts entre éprouvette et ouvrage, et les incertitudes du modèle. Le résultat est la résistance de calcul, seule grandeur que le règlement autorise à confronter à un effet des actions de calcul.
- \( f_{\text{ctd}} \) : résistance de calcul en traction du béton, unité : MPa
- \( f_{\text{ctk,0,05}} \) : résistance caractéristique en traction, fractile 5 %, unité : MPa
- \( \gamma_{\text{C}} \) : coefficient partiel du béton, unité : —
Il donne le couple au-delà duquel le béton fissure et des armatures de torsion deviennent nécessaires.
Sur une section creuse à parois minces, le couple est équilibré par un flux de cisaillement circulant le long des parois. La théorie des tubes minces établit que ce flux — effort par unité de longueur de paroi — vaut le couple divisé par le double de l'aire enfermée par la ligne moyenne. La contrainte de cisaillement dans la paroi s'en déduit en divisant ce flux par l'épaisseur. La fissuration survient lorsque cette contrainte atteint la résistance de calcul en traction du béton, ce qui donne, en isolant le couple, l'expression du moment de fissuration.
- \( T_{\text{Rd,c}} \) : moment de fissuration en torsion, unité : N·mm
- \( q \) : flux de cisaillement dans la paroi, unité : N/mm
- \( t_{\text{ef}} \) : épaisseur de paroi équivalente, unité : mm
- \( A_{\text{k}} \) : aire délimitée par la ligne moyenne des parois, unité : mm²
"Vérifier la torsion en comparant la contrainte élastique de Saint-Venant \( \tau = T\,r/I_0 \) à une contrainte limite de cisaillement du béton."
- Pourquoi la formule ne s'applique pas : La torsion de Saint-Venant suppose un matériau homogène, continu et élastique. Le béton cesse de l'être dès l'apparition des premières fissures, et la torsion en engendre à un niveau de sollicitation très bas. L'EN 1992-1-1 § 6.3.2 ne retient donc pas ce modèle : il raisonne sur une section creuse équivalente et sur un seuil de fissuration.
- Pourquoi la limite n'existe pas : Le règlement ne définit aucune contrainte limite de cisaillement en torsion à laquelle comparer une contrainte élastique. Une telle limite serait donc choisie arbitrairement, et le résultat de la vérification dépendrait entièrement de ce choix.
- Ce que l'écart représente numériquement : La contrainte élastique vaudrait \( \tau = 39{,}60 \times 10^6 \times 200 / (2{,}5133 \times 10^9) = 3{,}15 \text{ MPa} \). Rapportée à \( f_{\text{ctd}} = 1{,}33 \text{ MPa} \), elle donnerait un taux de 2,37 ; rapportée à une limite arbitraire de 2,5 MPa, un taux de 1,26 ; tandis que le modèle réglementaire donne 2,11. Trois nombres différents pour la même section, dont un seul procède d'une règle. Le plus faible des trois, celui qu'une limite arbitraire produit, sous-estime le déficit de moitié.
Exécution de la Note de Calculs
- La résistance caractéristique en traction est en mégapascals, le coefficient partiel sans dimension.
- Le couple doit être converti en newtons-millimètres : le facteur est \( 10^6 \).
- Une contrainte en newtons par millimètre carré, multipliée par une épaisseur et une aire, donne des newtons-millimètres.
- La conversion finale en kilonewtons-mètres est une division par \( 10^6 \).
La résistance de calcul en traction est établie d'abord, puis le moment de fissuration, puis le taux de sollicitation.
1. Résolution Numérique Calcul de la résistance de calcul en traction du bétonPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est cette résistance, et non celle en compression, qui décide de la fissuration sous un couple de torsion.
On divise la résistance caractéristique en traction du béton C30/37, prise au fractile 5 %, par le coefficient partiel du matériau.
- Données employées : \( f_{\text{ctk,0,05}} = 2{,}0 \text{ MPa} \) pour le C30/37, et \( \gamma_{\text{C}} = 1{,}50 \).
- Fractile retenu : Le fractile inférieur, conformément à l'emploi qui en est fait : une vérification de non-fissuration exige la valeur basse de la résistance.
Le béton peut reprendre 1,33 MPa en traction. Rapportée à la résistance caractéristique en compression de 30 MPa, cette valeur représente moins du vingtième : c'est l'ordre de grandeur attendu et il explique à lui seul pourquoi la torsion est une sollicitation redoutable pour un élément en béton non armé à cet effet.
- Contrôle du rapport : \( 2{,}0/30 = 0{,}067 \) : la résistance caractéristique en traction vaut environ un quinzième de celle en compression, proportion caractéristique du béton.
- Rôle du coefficient partiel : Il ramène la valeur caractéristique à une valeur de calcul, seule grandeur que le règlement autorise à confronter à un effet des actions de calcul.
Remarque pédagogique : Le règlement n'emploie la résistance en traction du béton que pour des vérifications de non-fissuration, jamais comme résistance ultime durable. C'est une précaution justifiée : cette résistance est très dispersée et peut être largement entamée par la fissuration de retrait, qui préexiste à toute mise en charge.
Calcul du moment de fissuration en torsionPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le seuil que le règlement oppose au couple appliqué : au-delà, la section fissure et le modèle de calcul change entièrement.
On applique l'expression établie, avec la résistance de calcul en traction, l'épaisseur équivalente et le double de l'aire délimitée par la ligne moyenne.
- Données employées : \( f_{\text{ctd}} = 1{,}33 \text{ MPa} \), \( t_{\text{ef}} = 100 \text{ mm} \) et \( A_{\text{k}} = 70\,686 \text{ mm}^2 \).
- Origine du facteur deux : Il découle de la relation entre le flux de cisaillement et le couple équilibré, établie ci-dessus.
Le fût fissure en torsion dès 18,80 kN·m. Ce seuil est très inférieur au couple appliqué de 39,60 kN·m : le béton se fissurera bien avant d'atteindre la sollicitation de calcul.
- Contrôle par la contrainte : \( 18\,802\,476/(2 \times 70\,686 \times 100) = 1{,}33 \text{ MPa} \) : le calcul inverse restitue exactement la résistance de calcul en traction, ce qui confirme l'application.
- Ordre de grandeur : Un fût de 400 mm de diamètre ne reprend, sans armature de torsion, qu'un couple inférieur à 19 kN·m — l'équivalent d'une force de 18 kN à seulement 1,04 m de son axe.
Remarque pédagogique : Ce seuil est celui de la fissuration, non celui de la ruine. Un élément correctement armé à la torsion — étriers fermés et armatures longitudinales réparties — peut reprendre un couple bien supérieur après fissuration. Mais ce ferraillage doit exister, et un mât conçu pour porter un luminaire centré n'a aucune raison d'en être pourvu.
Calcul du taux de sollicitation et verdictPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le rapport, et non l'écart absolu, permet de statuer et de mesurer l'ampleur du dépassement.
On divise le couple appliqué par le moment de fissuration.
- Données employées : \( T_{\text{Ed}} = 39{,}60 \text{ kN·m} \) et \( T_{\text{Rd,c}} = 18{,}80 \text{ kN·m} \).
- Critère à satisfaire : Le rapport doit rester inférieur ou égal à un pour qu'aucune armature de torsion ne soit exigée.
Le couple appliqué représente 2,11 fois le moment de fissuration. Le fût fissurera en torsion sous l'action du vent de calcul, et le dépassement n'est pas marginal : il faudrait diviser le couple par deux pour revenir sous le seuil.
- Verdict : \( 2{,}11 > 1{,}00 \) : la vérification n'est pas satisfaite. Des armatures de torsion — étriers fermés et armatures longitudinales — seraient indispensables, et rien n'indique qu'un fût conçu pour un luminaire centré en soit pourvu.
- Excentricité maximale admissible : Le couple étant proportionnel au déport, \( e_{\max} = 18{,}80/18 = 1{,}04 \text{ m} \) : moins de la moitié du déport prévu.
Remarque pédagogique : Trois voies s'ouvrent au projet. Réduire l'excentricité à 1,04 m au plus, ce qui compromet la visibilité recherchée. Équilibrer le couple par un second bras symétrique, solution qui l'annule sans réduire le déport de chaque panneau. Ou remplacer le mât par un fût conçu et armé pour la torsion. Le maintien de la configuration proposée sur le fût existant n'est en revanche pas justifiable, la vérification étant en défaut d'un facteur deux.
"L'exigence du maître d'ouvrage porte sur la rotation de l'écran. Je peux la calculer par la théorie de la torsion, mais je dois d'abord me demander sur quelles hypothèses cette théorie repose — car la question précédente vient d'établir que le béton fissure, et une section fissurée n'est plus le milieu continu que la formule suppose."
- Ce que je calcule : Le moment d'inertie polaire de la section, puis la rotation qu'un couple constant produit sur la hauteur du fût.
- Ce que j'examine ensuite : Les hypothèses de la formule employée, et leur compatibilité avec le résultat de la vérification de résistance.
- Ce que je ne fais pas : Conclure à la conformité sur la seule foi d'un nombre inférieur au seuil, sans avoir établi que ce nombre a un sens.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
La théorie de la torsion établie par Saint-Venant donne, pour une barre de section constante soumise à un couple constant, une rotation proportionnelle au couple et à la longueur, et inversement proportionnelle à la rigidité de torsion. Cette théorie repose sur des hypothèses de matériau qu'il faut vérifier avant d'exploiter le résultat.
Deux relations sont mobilisées : le moment d'inertie polaire de la section circulaire, puis la rotation qui en découle.
Étape 1 — Moment d'inertie polaire d'une section circulaire :Il mesure la capacité géométrique de la section à s'opposer à la torsion.
Le moment d'inertie polaire est l'intégrale, sur la section, du carré de la distance au centre. Pour un disque, on décompose la surface en couronnes élémentaires de rayon courant et d'épaisseur infinitésimale, dont l'aire vaut le produit du périmètre par cette épaisseur. L'intégrale du produit du carré du rayon par cette aire élémentaire se ramène alors à l'intégrale d'un cube, dont la primitive donne la puissance quatrième du rayon divisée par quatre. Exprimé en fonction du diamètre, le résultat fait apparaître le diviseur trente-deux.
- \( I_0 \) : moment d'inertie polaire de la section, unité : mm⁴
- \( R \) : rayon extérieur de la section, unité : mm
- \( D \) : diamètre extérieur de la section, unité : mm
- \( r \) : rayon courant de la couronne élémentaire, unité : mm
Elle donne l'angle dont la tête tourne par rapport à l'encastrement.
La théorie de Saint-Venant établit que, dans une barre circulaire, la contrainte de cisaillement en un point est proportionnelle à sa distance à l'axe et vaut le couple multiplié par cette distance, divisé par le moment d'inertie polaire. La loi de Hooke en cisaillement donne la distorsion correspondante en divisant par le module de Coulomb. Or cette distorsion, mesurée à la surface, n'est autre que la rotation par unité de longueur multipliée par le rayon. En égalant les deux expressions, le rayon se simplifie et l'on obtient la rotation par unité de longueur ; la multiplier par la hauteur donne la rotation totale, le couple étant constant sur toute la hauteur.
- \( \theta \) : rotation de la tête par rapport à l'encastrement, unité : rad
- \( T \) : couple de torsion, constant sur la hauteur, unité : N·mm
- \( L \) : hauteur libre du fût, unité : mm
- \( G \) : module de Coulomb du matériau, unité : MPa
"Conclure à la conformité de la rotation sans vérifier que la section reste non fissurée."
- Sur quoi le calcul repose : La rigidité \( G\,I_0 \) est celle de la section homogène et non fissurée. Or la question précédente a établi que le couple appliqué vaut 2,11 fois le moment de fissuration : dans les conditions de l'étude, la section considérée par ce calcul n'existe pas.
- Ce que la contradiction produit : On obtiendrait \( 0{,}339^\circ < 0{,}50^\circ \), soit un taux apparent de 0,68, et l'on conclurait que « l'aptitude au service est vérifiée » sur un fût dont la vérification de résistance est en défaut d'un facteur deux. Deux verdicts opposés sur la même structure, dont l'un n'a aucune signification physique.
- Comment on l'évite : En respectant l'ordre des vérifications. Un calcul de déformation ne se lit qu'après une vérification de résistance favorable, car ses hypothèses en dépendent. Une fois le fût correctement armé à la torsion, la rotation devrait être réévaluée avec une rigidité fissurée, nettement inférieure, et le résultat serait bien plus défavorable que 0,339 degré.
Exécution de la Note de Calculs
- Le diamètre est en millimètres et le moment d'inertie polaire en millimètres puissance quatre.
- Le couple est converti en newtons-millimètres et la hauteur en millimètres.
- Le module de Coulomb est en newtons par millimètre carré.
- Le quotient est sans dimension : c'est un angle en radians, converti en degrés par le facteur \( 180/\pi \).
Le moment d'inertie polaire est calculé d'abord, puis la rotation en radians, puis sa conversion en degrés.
1. Résolution Numérique Calcul du moment d'inertie polairePourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il constitue, avec le module de Coulomb, la rigidité de torsion qui figure au dénominateur de l'expression de la rotation.
On applique l'expression établie au diamètre du fût.
- Donnée employée : \( D = 400 \text{ mm} \), diamètre extérieur du fût.
- Grandeur à ne pas confondre : Le moment d'inertie polaire, relatif à l'axe du fût, et non le moment quadratique relatif à un axe de la section, qui vaudrait la moitié.
Le moment d'inertie polaire vaut environ 2,51 milliards de millimètres puissance quatre. Cette valeur, très élevée en apparence, ne dit rien de la résistance du fût : elle ne gouverne que sa déformation.
- Contrôle par le moment quadratique : Pour une section circulaire, le moment d'inertie polaire vaut le double du moment quadratique par rapport à un diamètre, soit \( 2 \times \pi D^4/64 \). Le rapport des diviseurs, 64 sur 32, confirme l'expression employée.
- Sensibilité au diamètre : Un fût de 500 mm au lieu de 400 porterait cette valeur à \( 2{,}5133 \times 10^9 \times (5/4)^4 = 6{,}14 \times 10^9 \text{ mm}^4 \), soit 2,4 fois plus.
Remarque pédagogique : Il faut se garder de lire dans cette grandeur une quelconque garantie. Le moment d'inertie polaire est une caractéristique de rigidité : il gouverne l'angle de torsion, non la résistance. La vérification de la question précédente a montré qu'une section très rigide peut fissurer sous un couple modeste.
Calcul de la rotation en têtePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le maître d'ouvrage a fixé une exigence fonctionnelle sur cette rotation, et que le calcul doit être conduit avant d'en apprécier la portée.
On applique l'expression de la rotation, avec le couple converti en newtons-millimètres, la hauteur en millimètres et la rigidité de torsion.
- Données employées : \( T_{\text{Ed}} = 39{,}60 \times 10^6 \text{ N·mm} \), \( L = 4\,500 \text{ mm} \), \( G = 12\,000 \text{ MPa} \) et \( I_0 = 2{,}5133 \times 10^9 \text{ mm}^4 \).
- Hypothèse sous-jacente : Section non fissurée. Cette hypothèse sera examinée après le calcul.
La rotation vaut 5,91 millièmes de radian. Le module de Coulomb employé, 12 000 MPa, est cohérent avec le coefficient de Poisson que l'Eurocode retient pour le béton : la relation \( G = E/(2(1+\nu)) \) avec \( \nu = 0{,}20 \) lui associe un module d'élasticité de 28 800 MPa, valeur plausible pour un béton de cette classe.
- Cohérence du module retenu : \( 2 \times (1 + 0{,}20) \times 12\,000 = 28\,800 \text{ MPa} \). L'énoncé fournit \( G \) directement ; la relation permet de vérifier que cette valeur n'est pas incompatible avec les caractéristiques du matériau.
- Ordre de grandeur : Un millième de radian correspond à environ un vingtième de degré : la rotation calculée est donc de quelques dixièmes de degré, ce qui est faible mais perceptible sur un panneau de plusieurs mètres.
Remarque pédagogique : Le module de Coulomb n'est pas une donnée indépendante : il se déduit du module d'élasticité et du coefficient de Poisson. Le vérifier n'est pas une formalité — un module incohérent avec la classe de béton fausserait toute la déformation calculée, sans que rien dans le résultat ne le signale.
Conversion en degrés et confrontation à l'exigencePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'exigence du maître d'ouvrage est exprimée en degrés : la comparaison exige la même unité.
On multiplie la rotation en radians par le rapport de cent quatre-vingts à pi.
- Donnée employée : \( \theta = 5{,}9086 \times 10^{-3} \text{ rad} \).
- Facteur de conversion : Un radian vaut \( 180/\pi \), soit environ 57,296 degrés.
La rotation calculée vaut 0,339 degré, inférieure au seuil de 0,50 degré fixé par le maître d'ouvrage. Ce résultat ne permet cependant pas de conclure à l'aptitude au service, car il repose sur une hypothèse que la question précédente a réfutée : celle d'une section non fissurée.
- Portée réelle du résultat : Le couple appliqué vaut 2,11 fois le moment de fissuration. La section décrite par ce calcul — homogène, continue, non fissurée — n'existe pas dans les conditions de l'étude, et la rotation réelle serait notablement supérieure.
- Ce que le calcul établit malgré tout : Une borne inférieure : la rotation réelle ne peut pas être plus faible que 0,339 degré, la fissuration ne pouvant qu'assouplir la section. Cette borne représente déjà 68 % du seuil admissible.
Remarque pédagogique : Cette question illustre une règle de méthode que l'ordre des vérifications rend évidente : un calcul de déformation ne se lit qu'après une vérification de résistance favorable, parce que ses hypothèses en dépendent. Présenter isolément une rotation « conforme » sur une structure dont la résistance est en défaut d'un facteur deux serait une erreur de raisonnement, non un simple défaut de présentation.
BILAN FINAL DE LA MISSION
Checklist d'Auto-Évaluation
Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :
Le déport de 2,20 m du panneau transmet au fût un couple de torsion de 39,60 kN·m, constant sur toute sa hauteur. L'EN 1992-1-1 § 6.3.2 conduit la vérification sur une section creuse équivalente dont l'épaisseur vaut le quart du diamètre, soit 100 mm, et dont la ligne moyenne enferme 70 686 mm². Avec une résistance de calcul en traction de 1,33 MPa pour le béton C30/37, le moment de fissuration en torsion s'établit à 18,80 kN·m. Le taux de sollicitation atteint donc 2,11 : le fût fissurera en torsion sous le vent de calcul, et des armatures spécifiques — étriers fermés et armatures longitudinales — seraient indispensables. La rotation calculée, 0,339 degré, resterait inférieure au seuil de 0,50 degré, mais ce résultat suppose une section non fissurée et ne constitue donc qu'une borne inférieure.
Trois enseignements se dégagent. Le premier tient au modèle de vérification. La torsion d'un élément en béton ne se vérifie pas comme celle d'un arbre métallique : la théorie élastique de Saint-Venant suppose un milieu homogène et continu que le béton cesse d'être dès les premières fissures, et le règlement ne définit d'ailleurs aucune contrainte limite de cisaillement à laquelle comparer une contrainte élastique. Sur cette section, une telle démarche donnerait 3,15 MPa, à comparer à une limite qu'il faudrait choisir soi-même — et selon ce choix, un taux de 1,26 ou de 2,37, contre 2,11 pour le modèle réglementaire. Un chiffre dont la valeur dépend d'une convention personnelle n'est pas une vérification. Le deuxième porte sur la géométrie de calcul : le cœur d'une section pleine ne participe presque pas à l'équilibre d'un couple, et le règlement en tire une section creuse équivalente dont l'aire de calcul ne vaut que 56 % de l'aire réelle. Confondre les deux surestimerait la résistance de 78 %, dans le sens de l'insécurité. Le troisième est le plus général et concerne l'ordre des vérifications. Le calcul de rotation, mené isolément, conclurait à la conformité — 0,339 degré contre 0,50 admissible — sur une structure dont la résistance est en défaut d'un facteur deux. La contradiction n'est qu'apparente : la formule de rotation décrit une section non fissurée, que le couple appliqué ne laisse pas subsister. Un calcul de déformation ne se lit qu'après une vérification de résistance favorable, car c'est elle qui valide ses hypothèses.
