Exercice corrigé NF EN 1997-1 NF P 94-261 NF P 94-282 NF P 94-281 Eurocode 7

Calcul de la Contrainte Horizontale au Repos (K0)

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 2 juillet 2026• 83 min de lecture• 11 vues

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Étude de cas · Note de calculs Réf. GEO-REP-01

Coefficient des terres au repos et contraintes horizontales d'un profil stratifié

Une argile moins frottante que le sable et qui pousse pourtant deux fois plus, une contrainte qui saute sur un plan sans épaisseur, et une corrélation dont la sensibilité surprend

NiveauBTS · BUT · Licence

DomaineGéotechnique — État de contrainte initial des sols

ThèmeCoefficient des terres au repos et poussée sur un écran

PrérequisProfil stratifié · poids volumique déjaugé · Jaky · Mayne et Kulhawy · surconsolidation · poussée au repos

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Avant toute construction, un massif de sol est déjà soumis à un état de contrainte, dû à son poids et à son histoire géologique . La composante verticale s'estime sans difficulté : c'est le poids des terres sus-jacentes. L'horizontale, elle, ne se déduit d'aucun bilan de poids — elle dépend de la manière dont le sol s'est déposé, de ce qu'il a supporté par le passé et de ce qu'il a perdu depuis. C'est ce que le coefficient des terres au repos résume en un nombre. Le site étudié superpose un sable normalement consolidé et une argile surconsolidée, avec une nappe à deux mètres : trois régimes de contrainte, deux ruptures de pente, et une discontinuité qui n'existe que dans le modèle. Cet état initial n'est pas un préalable dont on se débarrasse avant d'entrer dans le vif du sujet : c'est lui qui décide de la poussée qu'un écran devra reprendre, du tassement qu'une fondation provoquera, et de la marge de résistance dont le massif dispose. Le calculer mal ne se voit nulle part dans la suite, parce que tout ce qui suit en dépend uniformément. de la mission. Adaptez votre discours au projet spécifique de génie civil. Laissez-vous guider par notre approche claire et structurée ! ]

Les Points Clés du Projet

Le calcul est une suite d'opérations élémentaires. Ce qui mérite l'attention n'est donc pas leur exécution, mais ce que le résultat suppose — et ce qu'il vaut vraiment :

Trois régimes sur dix mètres : au-dessus de la nappe le sable pèse de tout son poids ; en dessous il est déjaugé et ne pèse plus que la différence entre son poids saturé et celui de l'eau ; l'argile, plus légère à l'état saturé, pèse moins encore. Trois pentes différentes pour le profil de contrainte effective, et deux points où la pente change. Ces trois pentes doivent d'ailleurs être strictement décroissantes de haut en bas : la poussée d'Archimède ne peut qu'alléger, et l'argile saturée est plus légère que le sable saturé. Une pente qui augmenterait en descendant signalerait sans ambiguïté un poids volumique mal choisi — contrôle gratuit, que l'analyse dimensionnelle ne fournira jamais puisque tous les termes sont homogènes entre eux.
Le coefficient des terres au repos, et la mémoire du sol : rapport de la contrainte effective horizontale à la verticale, dans un massif où les déformations latérales sont nulles. Il n'est pas une propriété que l'on mesure couramment mais une corrélation , établie à partir de l'angle de frottement et de l'histoire de chargement. Un sol qui a supporté plus lourd par le passé — glacier disparu, couche érodée — garde en effet la mémoire de cette contrainte, et le rapport de surconsolidation, noté R_OC dans la normalisation française, en donne la mesure. Le mécanisme se comprend sans formule : en se déchargeant, un sol restitue moins de déformation latérale qu'il n'en avait prise sous sa charge maximale, de sorte qu'une part de la contrainte horizontale acquise reste emprisonnée dans le massif. Le coefficient s'en trouve durablement accru, parfois jusqu'à dépasser l'unité — la contrainte horizontale excède alors la verticale, ce qui n'a rien d'impossible et beaucoup de conséquences. Les guides d'application de l'Eurocode 7 rappellent d'ailleurs que ce coefficient peut être obtenu par des essais en place, pressiomètre autoforeur ou dilatomètre Marchetti, et que la formule n'en est qu'un substitut.
L'objectif final : obtenir le profil de contrainte horizontale, qui est le point de départ de tout calcul d'écran de soutènement. Le risque est celui d'un chiffre publié sans son incertitude : le coefficient des terres au repos sort d'une corrélation empirique alimentée par deux paramètres eux-mêmes incertains, et rien dans le résultat ne le signale. Une contrainte horizontale annoncée à trois décimales inspire une confiance qu'aucune de ses entrées ne justifie. Le risque n'est pas que le nombre soit faux — il est juste, au sens de la corrélation retenue — mais qu'il soit lu comme s'il était mesuré. Entre un coefficient obtenu au pressiomètre autoforeur et le même coefficient déduit d'un angle de frottement par une formule empirique, rien ne distingue les deux chiffres une fois écrits dans un rapport.
L'astuce de l'ingénieur : calculez la contrainte effective verticale directement, avec le poids volumique déjaugé , plutôt que de passer par la contrainte totale puis la pression interstitielle. Une seule chaîne au lieu de deux, une soustraction en moins, et surtout une occasion en moins de se tromper de poids volumique — l'erreur la plus fréquente de cette famille d'exercices. La voie longue reste excellente comme contrôle indépendant : les deux doivent donner le même nombre, et si elles diffèrent, c'est qu'un poids volumique a été mal choisi quelque part. Un contrôle n'a de valeur que s'il emprunte un chemin différent — refaire le même calcul deux fois ne détecte qu'une faute de frappe.

Votre Mission :

Établir le profil de contrainte effective verticale, calculer les deux coefficients des terres au repos, en déduire les contraintes horizontales et la poussée résultante sur dix mètres , puis éprouver la solidité de ces coefficients en mesurant ce qu'ils doivent à leurs paramètres . Cette dernière question révèle un comportement inattendu, que la formule ne laisse pas deviner.

Le grand défi : comprendre que le sol au modèle le plus compliqué n'est pas nécessairement celui dont le résultat est le plus fragile. L'argile relève d'une formule à deux paramètres, le sable d'une formule à un seul ; on attendrait que l'argile soit la plus sensible, et c'est l'inverse. La raison tient à une compensation interne de la formule de la surconsolidation, qu'un simple calcul de dérivée met en évidence — et qui va jusqu'à un point où le coefficient ne dépend plus du tout de l'angle de frottement.
Votre rôle : calculer la contrainte effective verticale aux profondeurs clés par le poids volumique déjaugé, déterminer le coefficient des terres au repos de chaque couche par les formules de Jaky puis de Mayne et Kulhawy, établir les contraintes horizontales avec la discontinuité qu'elles présentent à l'interface et intégrer le profil pour obtenir la poussée au repos, puis mesurer la sensibilité de chaque coefficient à l'angle de frottement et conclure sur l'essai qui mérite l'effort de reconnaissance.

PLAN DE REPÉRAGE — COUPE STRATIGRAPHIQUE ET POINTS DE CALCUL

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — l'état de contrainte initial : le profil de contrainte effective verticale aux quatre profondeurs clés, les deux coefficients des terres au repos, et le profil de contrainte effective horizontale avec la discontinuité qu'il présente à l'interface. Le livrable dira si cette discontinuité est un fait de terrain ou un artefact de modèle, et il donnera la poussée résultante sur toute la hauteur ainsi que la part qui revient à l'eau.
Livrable 2 — ce que valent ces coefficients : la sensibilité de chaque coefficient à l'angle de frottement, exprimée en étendue relative pour une incertitude de mesure réaliste, la comparaison des deux couches et l'explication du résultat inattendu . Le livrable conclura sur celle des deux incertitudes — angle de frottement ou rapport de surconsolidation — qui gouverne réellement le résultat, et donc sur l'essai à prescrire en priorité.

2. Données Techniques & Normes

Formules maîtresses

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Coefficient des terres au repos, sols normalement consolidés puis surconsolidés \( K_0 = 1 - \sin \varphi' \quad \text{et} \quad K_0 = (1 - \sin \varphi')\,R_{OC}^{\,\sin \varphi'} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

CARACTÉRISTIQUES DE LA COUCHE DE SABLE — 0 à 5 m

Symbole	Description	Valeur	Unité
γ	Poids volumique total du sable au-dessus de la nappe Laboratoire	18	kN/m³
γ_sat	Poids volumique saturé du sable, sous la nappe	20	kN/m³

Angle de frottement effectif et état de consolidation

Dépôt récent, jamais chargé au-delà de son poids actuel : normalement consolidé \( \varphi' = \mathbf{32}^\circ \;,\; R_{OC} = \mathbf{1} \)

CARACTÉRISTIQUES DE LA COUCHE D'ARGILE — 5 à 10 m

Symbole	Description	Valeur	Unité
γ_sat	Poids volumique saturé de l'argile — entièrement sous la nappe	19	kN/m³
φ′	Angle de frottement effectif de l'argile, PLUS FAIBLE que celui du sable	28	°

Rapport de surconsolidation et conditions hydrauliques

L'argile a supporté davantage par le passé ; la nappe est à 2 m et γw vaut 10 kN/m³ \( R_{OC} = \mathbf{2{,}5} \;,\; z_w = \mathbf{2} \text{ m} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Le relevé ci-dessus est la seule source de chiffres de cet exercice. Les repères ci-dessous ne servent qu'à situer la démarche et ne fournissent aucune donnée de calcul.

Les trois états de contrainte latérale d'un massif

État	Ce qu'il suppose du mouvement de l'écran
Au repos	Aucun déplacement latéral : le massif reste dans l'état où l'histoire géologique l'a laissé
Poussée	L'écran s'écarte du terrain, qui se détend jusqu'à mobiliser sa résistance au cisaillement

Pourquoi la contrainte horizontale ne se déduit d'aucun bilan de poids

La contrainte verticale en un point est le poids de ce qui le surplombe : elle se calcule, et deux ingénieurs partant des mêmes poids volumiques trouveront le même nombre. La contrainte horizontale n'obéit à aucun bilan de ce genre. Elle dépend de la manière dont le massif s'est constitué, de la contrainte maximale qu'il a supportée au cours de son histoire, et de la part de déformation latérale qu'il a conservée en se déchargeant. Un même sol, sous la même contrainte verticale actuelle, peut ainsi présenter des contraintes horizontales très différentes selon qu'il a été ou non chargé puis déchargé. C'est pourquoi le coefficient des terres au repos n'est pas une constante du matériau mais une caractéristique de son état, au même titre que l'indice des vides. Les guides d'application de l'Eurocode 7 le rappellent en indiquant qu'il peut se déterminer par des essais en place — le pressiomètre autoforeur et le dilatomètre Marchetti sont cités — et en présentant les formules empiriques comme des expressions usuelles plutôt que comme des prescriptions. Celle de Jaky, qui procède d'une approche théorique, vaut pour les sols normalement consolidés à surface horizontale ; celle qui traite les sols surconsolidés introduit le rapport R_OC en exposant. Une formule analogue existe pour les terrains en pente, dont les guides notent qu'elle peut conduire à des estimations imprécises. Aucune de ces expressions n'est imposée par l'Eurocode 7, qui laisse le choix de la corrélation à l'ingénieur — ce qui rend d'autant plus nécessaire de savoir ce que ce choix coûte. Une dernière distinction mérite d'être posée avant de calculer, car elle conditionne la lecture de tous les résultats. L'état au repos n'est pas le seul état possible du massif : il est celui qui règne tant que rien ne bouge. Dès qu'un écran s'écarte du terrain, celui-ci se détend et mobilise progressivement sa résistance au cisaillement jusqu'à atteindre l'état de poussée, où la contrainte horizontale est nettement plus faible. Les guides d'application consacrent d'ailleurs un paragraphe entier aux déplacements nécessaires pour mobiliser la poussée, en renvoyant à l'annexe C de la NF EN 1997-1, et concluent que pour des murs de soutènement courants cet état limite est généralement atteint. Choisir de dimensionner au repos ou en poussée n'est donc pas une question de prudence mais une question de fait : l'ouvrage peut-il se déplacer, et de combien ? Un mur poids le peut ; une paroi moulée butonnée en tête, beaucoup moins.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Profil de contrainte effective verticale

État vertical 10 min | Accessible

But de l'étape : Trois régimes se succèdent sur dix mètres et le piège tient tout entier au poids volumique employé dans chacun. La voie courte, par le poids déjaugé, supprime la moitié des occasions de se tromper — et la voie longue reste disponible pour contrôler.

Énoncé Q1 : Calculez la contrainte effective verticale à l'interface des deux couches, puis à la base du profil. Employez le poids volumique déjaugé sous la nappe, et contrôlez au moins l'une des deux valeurs par la voie longue, en passant par la contrainte totale et la pression interstitielle.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le poids volumique déjaugé est la différence entre le poids volumique saturé et celui de l'eau. Il ne s'emploie qu'en dessous de la nappe.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Au-dessus de la nappe, c'est le poids volumique total qui s'applique, et la contrainte effective y égale la contrainte totale.

Question 2 : Les deux coefficients des terres au repos

Corrélations 20 min | Accessible

But de l'étape : Deux formules pour deux couches : la première ne dépend que de l'angle de frottement, la seconde y ajoute l'histoire de chargement en exposant. Le résultat contredit l'intuition — l'argile, moins frottante, pousse pourtant bien davantage.

Énoncé Q2 : Calculez le coefficient des terres au repos du sable par la formule de Jaky, puis celui de l'argile par celle de Mayne et Kulhawy . Comparez-les et expliquez pourquoi l'argile, dont l'angle de frottement est plus faible, obtient le coefficient le plus élevé. Vérifiez soigneusement la puissance de la seconde formule.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La formule de Jaky retranche le sinus de l'angle de frottement à l'unité. Attention au mode de la calculatrice : les angles sont en degrés.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Dans la formule des sols surconsolidés, le rapport de surconsolidation est élevé à la puissance sinus de l'angle de frottement — et non simplement multiplié.

Question 3 : Contraintes horizontales et poussée au repos

Profil et poussée 15 min | Exigeant

But de l'étape : Le profil de contrainte horizontale présente une discontinuité à l'interface, alors que la contrainte verticale y est parfaitement continue. Reste à dire ce que cette discontinuité représente, et à intégrer le profil pour obtenir la grandeur qui intéresse réellement un projeteur d'écran.

Énoncé Q3 : Calculez la contrainte effective horizontale de part et d'autre de l'interface , chiffrez le saut qu'elle présente et dites s'il correspond à un fait de terrain ou à un artefact de modèle. Intégrez ensuite le profil de contrainte totale horizontale sur les dix mètres pour obtenir la poussée au repos par mètre de paroi, et précisez la part qui revient à l'eau .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La contrainte effective verticale est identique de part et d'autre de l'interface : seul le coefficient des terres au repos y change.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La poussée s'obtient par l'aire du diagramme de contrainte totale horizontale. Le profil étant linéaire par morceaux, une somme de trapèzes suffit.

Question 4 (Finale) : Ce que valent ces coefficients

Sensibilité 20 min | BOSS

But de l'étape : La question qui décide de tout : ces coefficients sortent de corrélations empiriques alimentées par des paramètres mesurés, donc incertains. Mesurer leur sensibilité fait apparaître un résultat que la formule ne laisse pas deviner — et qui désigne l'essai à prescrire en priorité.

Mention spéciale — le modèle le plus compliqué est le moins sensible Énoncé Q4 :

Établissez la

sensibilité

du coefficient de chaque couche à son angle de frottement, en dérivant les deux formules, et chiffrez l'étendue relative obtenue pour une incertitude de deux degrés. Comparez les deux couches, expliquez le résultat, et déterminez le rapport de surconsolidation pour lequel le coefficient de l'argile ne dépendrait plus du tout de l'angle de frottement. Concluez sur celle des deux incertitudes qui gouverne réellement le résultat.

La dérivée de la formule de Jaky est immédiate. Attention à convertir en degrés : une dérivée par rapport à un angle s'exprime naturellement par radian.

La formule des sols surconsolidés est un produit de deux facteurs dépendant tous deux de l'angle de frottement : sa dérivée fait apparaître un terme entre crochets dont le signe décide de tout.

NOTE DE CALCULS

Coefficient des terres au repos et contraintes horizontales d'un profil stratifié

Question 1 : Profil de contrainte effective verticale

Dans la tête de l'ingénieur

« Trois régimes sur dix mètres, et un poids volumique différent dans chacun. Tout l'exercice se joue sur le choix du bon. Le passage par la contrainte totale puis la pression interstitielle demande trois grandeurs là où le poids volumique déjaugé n'en demande qu'une. Moins d'opérations, moins d'occasions de se tromper — et la voie longue reste disponible pour contrôler. »

Observation : Au-dessus de la nappe, le sable pèse dix-huit ; en dessous, il ne pèse plus que dix. L'argile, plus lourde à sec, ne pèse que neuf une fois déjaugée : la contrainte effective y croît plus lentement que dans le sable noyé.
Analyse du risque : Employer le poids volumique saturé à la place du déjaugé sous la nappe donnerait 96 kPa à l'interface au lieu de 66, soit 45% de trop . L'erreur ne se voit nulle part dans le résultat : c'est une contrainte effective plausible, à une profondeur plausible, et elle se propagera intacte jusqu'à la poussée finale.
Choix stratégique : Suivre le profil de haut en bas, en changeant de poids volumique à chaque frontière : total au-dessus de la nappe, déjaugé en dessous, et déjaugé propre à chaque couche. Puis contrôler par la voie longue, en calculant séparément contrainte totale et pression interstitielle.
Alternative : Calculer d'abord tout le profil de contrainte totale, puis tout celui de pression interstitielle, et faire la différence — la méthode de la source. Retenue ici comme CONTRÔLE et non comme méthode : elle triple le nombre de grandeurs manipulées, mais elle ferme le calcul de manière indépendante, ce qui est exactement ce qu'on demande d'un contrôle.
Objectif visé : Obtenir la contrainte effective verticale aux deux profondeurs qui commandent la suite : l'interface des couches et la base du profil.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

σ′v = 36,0 kPa à 2 m · 66,0 kPa à l'interface · 111,0 kPa à la base

Rappel Théorique : pourquoi le poids volumique déjaugé suffit

Sous la nappe, une tranche de sol pèse son poids saturé mais subit une poussée d'Archimède égale au poids du volume d'eau qu'elle déplace. Le squelette ne reçoit donc que la différence des deux. Retrancher la pression interstitielle à la contrainte totale et employer directement le poids déjaugé sont deux écritures du même bilan — la seconde le fait une fois pour toutes, la première le refait à chaque profondeur.

Le poids volumique total : il comprend les grains, l'eau et l'air. C'est celui qui donne la contrainte totale, et il s'emploie au-dessus de la nappe où la contrainte effective se confond avec la totale, la pression interstitielle y étant nulle.
Le poids volumique saturé : celui du sol dont tous les vides sont remplis d'eau. Il sert à la contrainte totale sous la nappe, et il est toujours supérieur au poids volumique total du même sol non saturé : le sable passe ici de dix-huit à vingt.
Le poids volumique déjaugé : différence entre le saturé et celui de l'eau. C'est lui, et lui seul, qui fait croître la contrainte effective sous la nappe. Le sable noyé n'apporte donc que dix kilopascals par mètre au lieu de vingt, et l'argile neuf.
Trois pentes, deux ruptures : la contrainte effective croît de dix-huit kilopascals par mètre au-dessus de la nappe, de dix entre la nappe et l'interface, de neuf en dessous. Le profil est une ligne brisée, et chaque rupture correspond soit à un changement de matériau, soit au passage de la nappe.
La continuité à l'interface : la contrainte effective verticale ne saute pas au passage d'une couche à l'autre : c'est la même colonne de terrain qui pèse, quelle que soit la nature du sol qui la reçoit. Seule la PENTE change. Cette continuité sera le point de comparaison avec la contrainte horizontale, qui, elle, sautera.

Équations Fondamentales

Deux relations : la contrainte effective par le poids déjaugé, puis les deux grandeurs de la voie longue qui servira de contrôle.

Contrainte effective verticale par le poids volumique déjaugé

Donne directement la contrainte supportée par le squelette, sans passer par la contrainte totale.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la poussée d'Archimède et la pression interstitielle sont deux écritures du même bilan . Retrancher le poids volumique de l'eau une fois pour toutes évite de calculer deux profils complets pour n'en garder que la différence — une chaîne au lieu de trois

Contexte de validité : Valable pour une nappe en équilibre hydrostatique, sans écoulement. Un gradient hydraulique ascendant ou descendant modifierait la pression interstitielle sans changer la contrainte totale, et le poids déjaugé cesserait de convenir.
Avantage : Elle divise par trois le nombre de grandeurs manipulées et supprime la soustraction finale, donc les deux sources d'erreur les plus fréquentes de ce type de calcul.
Paramètre clé : Le poids volumique employé dans chaque tranche : total au-dessus de la nappe, déjaugé en dessous, et propre à chaque couche. C'est là, et nulle part ailleurs, que se logent les erreurs.
Vérification : La voie longue doit redonner le même nombre. Deux chemins indépendants qui concordent valident à la fois les poids volumiques choisis et les hauteurs de tranche.
Limite : Elle ne donne pas la contrainte totale, dont on a pourtant besoin pour la contrainte totale horizontale de la question 3. La voie longue reste donc nécessaire à un moment ou à un autre.

\[ \begin{aligned} \sigma'_v &= \sum_i \gamma_i \, h_i \quad \text{avec} \quad \gamma_i = \gamma_{sat,i} - \gamma_w \;\text{ sous la nappe} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que seul le poids déjaugé comprime le squelette sous la nappe. Descendre d'un mètre dans le sable noyé n'ajoute que dix kilopascals au lieu de vingt : l'eau porte la moitié du poids, et ce qu'elle porte ne comprime rien .

Décomposition des termes :

σ′_v : contrainte effective verticale, unité : kPa
γ_i : poids volumique de la tranche, total ou déjaugé, unité : kN/m³
h_i : épaisseur de la tranche, unité : m
γ_w : poids volumique de l'eau, 10, unité : kN/m³
66,0 et 111,0 : valeurs obtenues à 5 et 10 m, unité : kPa

Voie longue — contrainte totale et pression interstitielle

Fournit le contrôle indépendant du résultat, et la contrainte totale dont la question 3 aura besoin.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un contrôle n'a de valeur que s'il emprunte un chemin différent . Refaire le même calcul deux fois ne détecte qu'une faute de frappe ; passer par la contrainte totale et la pression interstitielle vérifie en outre chaque poids volumique séparément

Contexte de validité : Valable dans les mêmes conditions que la voie courte : nappe en équilibre hydrostatique et couches homogènes. La pression interstitielle se compte à partir du niveau de la nappe, non de la surface du terrain.
Avantage : Elle donne au passage la contrainte totale, indispensable pour établir la contrainte totale horizontale à la question 3, et la pression interstitielle, qui pèsera lourd dans la poussée.
Paramètre clé : La hauteur d'eau, qui se mesure depuis la nappe et non depuis la surface. Confondre les deux ajouterait ici vingt kilopascals à toute pression interstitielle.
Vérification : La différence des deux profils doit redonner exactement la contrainte effective obtenue par le poids déjaugé, à toutes les profondeurs.
Limite : Elle triple le nombre de grandeurs, donc les occasions de se tromper. C'est un bon contrôle et une mauvaise méthode de premier calcul.

\[ \begin{aligned} \sigma_v &= \sum_i \gamma_{tot,i}\, h_i \;,\quad u = \gamma_w \,(z - z_w) \;,\quad \sigma'_v = \sigma_v - u \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit la même chose que la précédente, par un chemin entièrement différent . À l'interface : 96 kPa de contrainte totale, 30 de pression interstitielle, 66 de contrainte effective. À la base : 191, 80 et 111. Les deux voies concordent exactement , ce qui valide les six poids volumiques employés.

Décomposition des termes :

σ_v : contrainte totale verticale, 96 puis 191, unité : kPa
u : pression interstitielle, 30 puis 80, unité : kPa
z_w : profondeur de la nappe, 2, unité : m
γ_tot : poids volumique total ou saturé selon la tranche, unité : kN/m³
66,0 et 111,0 : contrainte effective retrouvée, unité : kPa

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Sous la nappe, le sable est saturé : sa contrainte effective croît donc de 20 kPa par mètre. À l'interface, σ′v = 36 + 20 × 3 = 96 kPa. »

L'approche d'ingénieur : Le poids volumique saturé donne la contrainte TOTALE sous la nappe, non l'effective. Pour cette dernière, il faut le poids déjaugé : 20 − 10 = 10 kN/m³. La contrainte effective à l'interface vaut donc 36 + 10 × 3 = 66 kPa, et non 96 — laquelle est précisément la contrainte totale, ce qui rend l'erreur d'autant plus difficile à repérer

L'erreur : Elle emploie le bon poids volumique pour la mauvaise grandeur. La confusion est facilitée par le fait que le nombre obtenu, 96 kPa, est une valeur exacte de l'exercice — celle de la contrainte totale.
La bonne méthode : Se demander, à chaque tranche, ce que l'on calcule avant de choisir le poids volumique : contrainte totale, poids total ou saturé ; contrainte effective sous la nappe, poids déjaugé. Deux questions, une réponse chacune.
L'astuce de pro : Contrôlez la pente du profil plutôt que ses valeurs : sous la nappe, la contrainte effective ne peut pas croître plus vite qu'au-dessus, puisque la poussée d'Archimède ne peut qu'alléger. Ici elle passe de 18 à 10 kPa par mètre — une pente qui augmenterait signalerait immédiatement l'erreur.
Le moyen mnémotechnique : Le poids total pour la contrainte totale, le poids déjaugé pour l'effective. L'eau porte ce qu'elle porte, et ce qu'elle porte ne comprime rien.
L'impact direct : Une contrainte effective surestimée de 45% à l'interface se propage à la contrainte horizontale, donc à la poussée sur l'écran. Elle conduirait à surdimensionner un soutènement de façon considérable, et sans qu'aucun contrôle de vraisemblance ne s'en aperçoive.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Poids volumiques γ, γ_sat, γ_w : en kN/m³
Épaisseurs de tranche h : en m
Contraintes verticales : produit des deux, en kN/m², donc en kPa
Pression interstitielle : en kPa
Gradients de contrainte effective : en kPa/m

Un poids volumique multiplié par une hauteur donne des kilonewtons par mètre carré, c'est-à-dire des kilopascals : la conversion est gratuite et referme chaque terme. Elle ne dit rien, en revanche, du poids volumique CHOISI. Le contrôle qui compte ici est celui des pentes : 18 kPa/m au-dessus de la nappe, 10 dans le sable noyé, 9 dans l'argile . Ces trois nombres doivent être décroissants aux deux frontières, puisque la poussée d'Archimède ne peut qu'alléger et que l'argile saturée est plus légère que le sable saturé. Une pente qui augmenterait en descendant signalerait immédiatement un poids volumique mal choisi — contrôle que l'analyse dimensionnelle ne fournira jamais, tous les termes étant homogènes entre eux.,

1. Résolution Numérique Contrainte effective verticale à l'interface des deux couches

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la profondeur où le coefficient des terres au repos change, et donc celle où la contrainte horizontale sautera.

Méthodologie du calcul :

On cumule deux tranches. Au-dessus de la nappe, le sable pèse de tout son poids ; en dessous, il ne compte plus que pour son poids déjaugé , différence entre son poids saturé et celui de l'eau. Une seule chaîne, sans passer par la contrainte totale ni par la pression interstitielle.

Substitution : γ = 18 kN/m³ sur 2 m ; γ_sat − γ_w = 20 − 10 = 10 kN/m³ sur 3 m.
Piège évité : Ne pas employer le poids saturé sous la nappe. On obtiendrait 96 kPa, qui est exactement la contrainte TOTALE à cette profondeur — une valeur juste, mais pour une autre grandeur, ce qui rend l'erreur presque indétectable.
Hypothèse validée : Nappe en équilibre hydrostatique, sans écoulement, et couches homogènes d'épaisseur constante. Un gradient hydraulique modifierait la pression interstitielle sans toucher la contrainte totale, et le poids déjaugé cesserait de convenir.
Vérification croisée : Voie longue : σv = 18 × 2 + 20 × 3 = 96 kPa et u = 10 × 3 = 30 kPa, d'où σ′v = 96 − 30 = 66 kPa. Les deux chemins concordent.
Finalité : Cette valeur sera multipliée par deux coefficients différents à la question 3, ce qui produira la discontinuité de contrainte horizontale.

\[ \begin{aligned} \sigma'_v(5) &= \gamma \, z_w + (\gamma_{sat} - \gamma_w)(5 - z_w) \\ &= 18 \times 2 + (20 - 10) \times 3 \\ &= 36{,}0 + 30{,}0 \\ &= \mathbf{66{,}0} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

66 kPa à cinq mètres, dont 36 acquis sur les deux premiers. Les trois mètres noyés n'ont apporté que 30 kPa là où les deux premiers en apportaient 36 : sous la nappe, l'eau porte la moitié du poids du sable, et ce qu'elle porte ne comprime pas le squelette . La pente du profil tombe de 18 à 10 kilopascals par mètre, et cette chute est le seul effet mécanique de la nappe sur la contrainte effective.

Ordre de grandeur : Une contrainte effective de 66 kPa à cinq mètres correspond à une pente moyenne de 13 kPa par mètre — intermédiaire entre le régime hors nappe et le régime noyé, comme il se doit pour un profil qui traverse les deux.
Impact sur la suite : C'est la contrainte verticale de référence pour les deux coefficients des terres au repos, appliqués de part et d'autre de l'interface à la question 3.
Cohérence : Les deux voies de calcul concordent exactement, ce qui valide simultanément les trois poids volumiques employés et les deux hauteurs de tranche.
Attention : Cette contrainte est CONTINUE à l'interface : c'est la même colonne de terrain qui pèse, quelle que soit la nature du sol qui la reçoit. Seule la pente change en dessous, l'argile saturée étant plus légère que le sable saturé.
Comparaison : Le guide d'application de la NF P 94-261 rappelle des valeurs conventionnelles admises hors marché — vingt kilonewtons par mètre cube hors nappe, vingt-deux sous nappe. Les valeurs mesurées ici, dix-huit et vingt, leur sont proches et légèrement inférieures.

Remarque pédagogique : Un contrôle n'a de valeur que s'il emprunte un chemin différent. Refaire le même calcul deux fois ne détecte qu'une faute de frappe ; passer par la contrainte totale vérifie en outre chaque poids volumique séparément.

Contrainte effective verticale à la base du profil

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la profondeur maximale à justifier, et celle où la poussée sur un écran atteint son maximum.

Méthodologie du calcul :

On poursuit le cumul dans l'argile, entièrement noyée, avec son propre poids déjaugé . Celui-ci vaut neuf kilonewtons par mètre cube contre dix pour le sable : l'argile saturée est plus légère, et la contrainte effective y croît donc un peu moins vite.

Substitution : σ′v(5 m) = 66,0 kPa ; γ_sat − γ_w = 19 − 10 = 9 kN/m³ sur 5 m.
Piège évité : Ne pas reprendre le poids déjaugé du sable pour l'argile. L'écart d'un kilonewton par mètre cube ne représente que 5 kPa sur cinq mètres, mais l'inattention qui le produit se répète rarement une seule fois dans un profil stratifié.
Hypothèse validée : L'argile est saturée sur toute son épaisseur et son poids volumique est constant. Un profil réel présenterait une légère variation avec la profondeur, sous l'effet de la compression des couches inférieures.
Vérification croisée : Voie longue : σv = 96 + 19 × 5 = 191 kPa et u = 10 × 8 = 80 kPa, d'où σ′v = 111 kPa. Noter que la hauteur d'eau se compte depuis la NAPPE, soit huit mètres et non dix.
Finalité : Cette valeur donne la contrainte horizontale maximale, et avec elle la base du diagramme de poussée intégré à la question 3.

\[ \begin{aligned} \sigma'_v(10) &= \sigma'_v(5) + (\gamma_{sat} - \gamma_w)(10 - 5) \\ &= 66{,}0 + (19 - 10) \times 5 \\ &= 66{,}0 + 45{,}0 \\ &= \mathbf{111{,}0} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

111 kPa à dix mètres, pour une contrainte totale de 191. L'eau porte donc 80 kPa, soit 42% de la charge totale — proportion qui ne cessera de croître avec la profondeur tant que la nappe restera au même niveau . La pente du profil effectif est tombée à neuf kilopascals par mètre, moins de la moitié des dix-huit du début.

Ordre de grandeur : Une contrainte effective de l'ordre de la centaine de kilopascals à dix mètres est la situation courante d'un profil avec nappe haute. Sans nappe, elle avoisinerait 190 kPa, soit près du double.
Impact sur la suite : Elle fixe la valeur maximale de la contrainte horizontale, et donc la base du diagramme dont l'aire donnera la poussée.
Cohérence : Les deux voies concordent, et la hauteur d'eau de huit mètres — comptée depuis la nappe et non depuis la surface — est bien celle qui referme le contrôle.
Attention : La pression interstitielle se mesure depuis le niveau de la NAPPE. La compter depuis la surface donnerait 100 kPa au lieu de 80, et une contrainte effective de 91 au lieu de 111.
Comparaison : Les trois pentes du profil — 18, 10 puis 9 kilopascals par mètre — sont strictement décroissantes, comme l'exigent la poussée d'Archimède puis le passage à un matériau saturé plus léger. Une pente qui augmenterait signalerait une erreur.

Remarque pédagogique : Dans un profil stratifié avec nappe, l'essentiel du travail consiste à choisir le bon poids volumique dans chaque tranche. Le reste n'est que des multiplications, et aucune d'elles ne rattrapera un mauvais choix.

RÉSULTAT FINAL

σ′v(5 m) = 66,0 kPa et σ′v(10 m) = 111,0 kPa — pour une contrainte totale de 191, l'eau en portant 80

« Le poids total pour la contrainte totale, le poids déjaugé pour l'effective : ce que l'eau porte ne comprime rien. »

Question 2 : Les deux coefficients des terres au repos

Dans la tête de l'ingénieur

« Une formule à un paramètre pour le sable, une formule à deux pour l'argile, et un résultat qui prend l'intuition à revers. L'argile a l'angle de frottement le plus faible, donc le coefficient normalement consolidé le plus élevé — jusque-là c'est logique. Mais elle est surconsolidée , et la puissance qui traduit cette histoire multiplie encore son coefficient. Le sol le moins frottant pousse donc le plus fort. »

Observation : Le sinus de l'angle de frottement apparaît deux fois dans la formule des sols surconsolidés : dans le facteur et dans l'exposant. Les deux occurrences ne jouent pas dans le même sens.
Analyse du risque : Multiplier par le rapport de surconsolidation au lieu de l'élever à la puissance sinus de l'angle donnerait 1,326 au lieu de 0,816, soit 62% de trop . Et une simple erreur de puissance — 1,556 au lieu de 1,538 — suffit à décaler le résultat de plus d'un pour cent, écart qui se propagera intact jusqu'à la poussée.
Choix stratégique : Appliquer la formule de Jaky au sable, puis décomposer celle de Mayne et Kulhawy en deux facteurs — le coefficient normalement consolidé et le facteur de surconsolidation — et les calculer séparément avant de les multiplier.
Alternative : Retenir une valeur forfaitaire par nature de sol, comme les tableaux d'avant-projet le proposent. Écartée : les deux couches ont des histoires de chargement opposées, et c'est précisément cette différence que l'exercice doit chiffrer. Un forfait la ferait disparaître.
Objectif visé : Obtenir les deux coefficients qui transformeront le profil vertical en profil horizontal, et comprendre pourquoi le moins frottant l'emporte.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

K0 sable = 0,4701 · K0 argile = 0,8157 · l'argile pousse 1,735 fois plus

Rappel Théorique : un coefficient qui décrit un état, non un matériau

Le coefficient des terres au repos est le rapport de la contrainte effective horizontale à la verticale dans un massif sans déformation latérale. Ce n'est pas une constante du matériau mais une caractéristique de son état , au même titre que l'indice des vides : un même sol, sous la même contrainte verticale actuelle, présentera un coefficient différent selon qu'il a été ou non chargé puis déchargé au cours de son histoire.

La formule de Jaky : elle procède d'une approche théorique et vaut pour les sols normalement consolidés à surface horizontale. Le coefficient y décroît quand l'angle de frottement croît : un sol qui résiste bien au cisaillement transmet peu latéralement, et inversement.
La formule des sols surconsolidés : elle multiplie le coefficient normalement consolidé par le rapport de surconsolidation élevé à la puissance sinus de l'angle de frottement. Les guides d'application de l'Eurocode 7 en attribuent l'expression à Mayne et Kulhawy, dans un article de 1982 du journal de la division géotechnique de l'ASCE.
Le rapport de surconsolidation : quotient de la contrainte de préconsolidation par la contrainte effective verticale actuelle. La normalisation française le note R_OC et le définit dans la NF P 94-282 ; le sigle anglo-saxon reste courant, mais c'est la notation normative qu'un rapport d'étude doit employer.
Pourquoi la surconsolidation augmente le coefficient : en se déchargeant, un sol restitue moins de déformation latérale qu'il n'en avait pris. Une part de la contrainte horizontale acquise sous la charge maximale reste donc emprisonnée dans le massif, et le rapport horizontal sur vertical s'en trouve accru.
Le coefficient peut dépasser l'unité : dans les argiles fortement surconsolidées, il n'est pas rare que la contrainte effective horizontale excède la verticale. La question 4 montrera d'ailleurs à quel rapport de surconsolidation cette argile-ci franchirait ce seuil.

Équations Fondamentales

Deux relations empiriques, dont la seconde contient la première comme cas particulier — le rapport de surconsolidation valant un pour un sol normalement consolidé.

Coefficient des terres au repos — formule de Jaky

Donne le coefficient d'un sol normalement consolidé à surface horizontale.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un sol qui résiste bien au cisaillement transmet peu latéralement : il tient son propre poids par frottement interne au lieu de le répercuter sur les côtés. Le coefficient décroît donc quand l'angle de frottement croît, et il ne peut jamais atteindre l'unité

Contexte de validité : Valable pour les sols normalement consolidés à surface horizontale. Les guides d'application signalent qu'une formule analogue existe pour les terrains en pente, mais qu'elle peut conduire à des estimations imprécises.
Avantage : Elle ne demande qu'un paramètre, l'angle de frottement effectif, obtenu par un essai triaxial ou de cisaillement direct que toute reconnaissance comporte déjà.
Paramètre clé : L'angle de frottement, et le mode de la calculatrice. Un sinus calculé en radians au lieu de degrés donnerait ici un coefficient négatif, erreur qui se voit — ce qui n'est pas le cas de toutes.
Vérification : Le résultat doit être compris entre zéro et un, et pour les sables usuels entre 0,36 et 0,50, l'angle de frottement se situant entre trente et quarante degrés.
Limite : C'est une corrélation empirique, non une loi. L'Eurocode 7 ne prescrit aucune formule et laisse le choix à l'ingénieur, ce qui suppose de savoir ce que ce choix coûte.

\[ \begin{aligned} K_{0,NC} &= 1 - \sin \varphi' \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que ce sable transmet latéralement un peu moins de la moitié de ce qu'il supporte verticalement. Quarante-sept pour cent : sur les 66 kilopascals effectifs de l'interface, il n'en pousse que 31 sur un écran — le reste est repris par frottement interne .

Décomposition des termes :

K_0,NC : coefficient des terres au repos, sol normalement consolidé, unité : sans dimension
φ′ : angle de frottement effectif du sable, 32, unité : °
sin φ′ : 0,529919, unité : sans dimension
0,4701 : valeur obtenue, unité : sans dimension
0,36 à 0,50 : plage usuelle pour les sables, unité : sans dimension

Coefficient des terres au repos — formule de Mayne et Kulhawy

Étend la relation précédente aux sols ayant supporté davantage par le passé.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un sol qui se décharge ne restitue pas toute la déformation latérale qu'il avait prise . Une part de la contrainte horizontale acquise sous la charge maximale reste emprisonnée dans le massif, et le rapport horizontal sur vertical s'en trouve durablement accru

Contexte de validité : Valable pour les sols surconsolidés, avec le rapport de surconsolidation défini comme le quotient de la contrainte de préconsolidation par la contrainte effective verticale actuelle. Elle contient la formule de Jaky comme cas particulier, ce rapport valant un pour un sol normalement consolidé.
Avantage : Elle rend compte de l'histoire du sol avec un seul paramètre supplémentaire, mesurable à l'œdomètre, et elle se réduit exactement à la formule de Jaky quand cette histoire est nulle.
Paramètre clé : L'exposant. C'est là que se produit l'erreur la plus fréquente — multiplier par le rapport de surconsolidation au lieu de l'élever à la puissance — et elle donne ici 62% de trop.
Vérification : Le facteur de surconsolidation doit être supérieur à un et le coefficient obtenu supérieur à sa valeur normalement consolidée. Un rapport de surconsolidation égal à un doit redonner exactement la formule de Jaky.
Limite : C'est une corrélation empirique établie sur une base de données, non une loi de comportement. Elle suppose de plus le rapport de surconsolidation constant sur toute l'épaisseur de la couche, ce qui n'est presque jamais vrai — il décroît avec la profondeur.

\[ \begin{aligned} K_{0,OC} &= (1 - \sin \varphi')\, R_{OC}^{\,\sin \varphi'} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que cette argile pousse quatre-vingt-deux pour cent de ce qu'elle supporte , contre quarante-sept pour le sable. Son angle de frottement plus faible lui vaut déjà un coefficient normalement consolidé supérieur, et la surconsolidation le multiplie encore par 1,538 .

Décomposition des termes :

K_0,OC : coefficient des terres au repos, sol surconsolidé, unité : sans dimension
1 − sin φ′ : coefficient normalement consolidé de l'argile, 0,530528, unité : sans dimension
R_OC : rapport de surconsolidation, 2,5, unité : sans dimension
1,5375 : facteur de surconsolidation obtenu, unité : sans dimension
0,8157 : valeur obtenue, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le facteur de surconsolidation vaut 2,5 puissance 0,4695, soit environ 1,556. Le coefficient de l'argile est donc de 0,5305 × 1,556 ≈ 0,825. »

L'approche d'ingénieur : La puissance est mal évaluée : 2,5 élevé à 0,4695 vaut 1,5375 et non 1,556, soit 1,2% d'écart. Le coefficient de l'argile vaut donc 0,8157, et non 0,825. L'écart paraît dérisoire, mais il se propage intact jusqu'aux contraintes horizontales et à la poussée, où il représente plus d'un pour cent d'une grandeur qui se compte en centaines de kilonewtons

L'erreur : Elle évalue une puissance non entière de tête, ou avec une décimale de trop peu. L'erreur est petite, sans conséquence de dimensionnement — mais elle est réelle, et un résultat annoncé à trois décimales doit les mériter toutes les trois.
La bonne méthode : Calculer les puissances non entières par le logarithme, ou vérifier le résultat par un encadrement : 2,5 puissance 0,5 vaut la racine de 2,5, soit 1,5811. L'exposant étant légèrement inférieur à un demi, le résultat doit être légèrement inférieur à 1,5811 — ce qui exclut 1,556 comme trop bas et confirme 1,5375.
L'astuce de pro : Un exposant proche d'une fraction simple donne toujours un encadrement gratuit. Ici, sinus de vingt-huit degrés vaut 0,4695, à peine moins qu'un demi : la racine carrée de 2,5 borne le résultat par le haut, et c'est un contrôle de trois secondes.
Le moyen mnémotechnique : Un exposant s'encadre par la fraction simple la plus proche. La racine carrée est toujours à portée de main.
L'impact direct : Un pour cent d'écart sur le coefficient de l'argile fait environ 8 kilonewtons par mètre sur la poussée totale. Ce n'est pas ce qui fera basculer un dimensionnement, mais c'est ce qui distingue un résultat calculé d'un résultat approché — et le lecteur n'a aucun moyen de savoir lequel on lui présente.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Angles de frottement φ′ : en degrés
Sinus des angles : sans dimension
Rapport de surconsolidation R_OC : sans dimension
Facteur de surconsolidation : sans dimension
Coefficients des terres au repos : sans dimension

Tout est sans dimension dans cette question, à l'exception des angles : aucune conversion n'intervient et aucun contrôle d'unités n'est possible. Une vigilance particulière porte en revanche sur le mode de la calculatrice : les angles sont en DEGRÉS, et un sinus calculé en radians donnerait ici un coefficient négatif . Cette erreur-là se voit, ce qui la rend paradoxalement moins dangereuse que celle de la puissance. Un second contrôle mérite d'être systématique : le coefficient obtenu doit rester compris entre zéro et l'unité pour un sol normalement consolidé, et peut la dépasser pour un sol fortement surconsolidé. Savoir lequel des deux cas on traite avant de lire le résultat évite d'accepter un nombre qui n'a pas le droit d'être là.,

1. Résolution Numérique Coefficient du sable — formule de Jaky

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le sable est un dépôt récent, jamais chargé au-delà de son poids actuel : la formule des sols normalement consolidés lui convient exactement.

Méthodologie du calcul :

On retranche le sinus de l'angle de frottement à l'unité. La calculatrice doit être en degrés : en radians, le sinus de trente-deux vaudrait 0,551 et le coefficient serait presque nul, erreur qui se voit — ce qui n'est pas le cas de toutes.

Substitution : φ′ = 32°, mesuré au triaxial ou au cisaillement direct.
Piège évité : Ne pas confondre ce coefficient avec celui de poussée active. Ce dernier vaudrait 0,3073 pour le même sable : trente-cinq pour cent de moins, et il suppose que l'écran se soit déplacé assez pour que le sol se détende.
Hypothèse validée : Le sable est normalement consolidé et la surface du terrain est horizontale. Sur un terrain en pente, une formule analogue existe, dont les guides d'application notent qu'elle peut conduire à des estimations imprécises.
Vérification croisée : Le résultat doit tomber dans la plage usuelle des sables, de 0,36 à 0,50 pour un angle compris entre trente et quarante degrés. Il s'y trouve, près de la borne haute puisque l'angle est près de la borne basse.
Finalité : Ce coefficient transformera la contrainte verticale en contrainte horizontale sur les cinq premiers mètres.

\[ \begin{aligned} K_{0,sable} &= 1 - \sin \varphi' \\ &= 1 - \sin 32^\circ \\ &= 1 - 0{,}529919 \\ &= \mathbf{0{,}4701} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,4701 : ce sable transmet latéralement un peu moins de la moitié de ce qu'il supporte verticalement. Le reste est repris par frottement interne , c'est-à-dire par la capacité des grains à s'arc-bouter les uns sur les autres plutôt qu'à se pousser de côté . Un sable plus anguleux, donc plus frottant, transmettrait encore moins : à quarante degrés, le coefficient tomberait à 0,357.

Ordre de grandeur : Entre 0,36 et 0,50 pour les sables usuels. La valeur obtenue, proche de la borne haute, correspond à un angle de frottement modéré — celui d'un sable plutôt fin ou peu dense.
Impact sur la suite : Il donnera la contrainte horizontale sur les cinq premiers mètres, et servira de terme de comparaison avec celui de l'argile.
Cohérence : Le résultat est bien compris entre zéro et l'unité, comme l'exige la formule de Jaky pour tout angle de frottement positif.
Attention : Ce coefficient décrit l'état AU REPOS, sans aucun déplacement de l'écran. Dès que celui-ci s'écarte du terrain, le sol se détend et le coefficient chute vers sa valeur de poussée active — la question 4 chiffrera l'écart.
Comparaison : Les guides d'application de l'Eurocode 7 présentent la formule de Jaky comme l'expression la plus courante, issue d'une approche théorique, pour les sols normalement consolidés à surface horizontale. L'Eurocode 7 lui-même ne prescrit aucune formule.

Remarque pédagogique : Une erreur de mode de calculatrice donne ici un résultat aberrant, donc visible. Les erreurs dangereuses sont celles qui rendent un nombre plausible — comme celle du bloc suivant.

Coefficient de l'argile — formule de Mayne et Kulhawy

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'argile a supporté davantage par le passé, et qu'un sol déchargé conserve une part de la contrainte horizontale acquise sous sa charge maximale.

Méthodologie du calcul :

On décompose en deux facteurs. Le premier est le coefficient normalement consolidé, obtenu comme pour le sable. Le second est le rapport de surconsolidation élevé à la puissance sinus de l'angle de frottement — et non multiplié, erreur qui donnerait 62% de trop. Les deux facteurs se calculent séparément avant d'être multipliés.

Substitution : φ′ = 28°, d'où sin φ′ = 0,469472 ; R_OC = 2,5.
Piège évité : Ne pas évaluer la puissance de tête. 2,5 élevé à 0,4695 vaut 1,5375 et non 1,556 comme on le lit parfois : 1,2% d'écart, qui se propage intact jusqu'à la poussée. La racine carrée de 2,5, soit 1,5811, borne le résultat par le haut puisque l'exposant est juste sous un demi.
Hypothèse validée : Le rapport de surconsolidation est supposé CONSTANT sur toute l'épaisseur de la couche. C'est rarement vrai : la contrainte de préconsolidation étant à peu près uniforme, le rapport décroît quand la contrainte verticale actuelle croît, donc avec la profondeur.
Vérification croisée : Le facteur de surconsolidation doit être supérieur à un, et un rapport de surconsolidation égal à un doit redonner exactement la formule de Jaky. Les deux contrôles passent.
Finalité : Ce coefficient donnera la contrainte horizontale dans l'argile, et sa comparaison au précédent produira la discontinuité de la question 3.

\[ \begin{aligned} K_{0,argile} &= (1 - \sin 28^\circ)\, \times 2{,}5^{\,\sin 28^\circ} \\ &= 0{,}530528 \times 2{,}5^{\,0{,}469472} \\ &= 0{,}530528 \times 1{,}5375 \\ &= \mathbf{0{,}8157} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,8157 contre 0,4701 pour le sable : l'argile pousse 1,735 fois plus, alors que son angle de frottement est PLUS FAIBLE . Deux effets s'y ajoutent : un angle plus faible donne déjà un coefficient normalement consolidé supérieur — 0,531 contre 0,470 — et la surconsolidation le multiplie encore par 1,538 . L'argile transmet ainsi quatre-vingt-deux pour cent de ce qu'elle supporte, contre quarante-sept pour le sable.

Ordre de grandeur : Un coefficient de l'ordre de huit dixièmes est courant pour une argile modérément surconsolidée. Au-delà d'un rapport de surconsolidation de six ou sept, il franchirait l'unité — la question 4 donnera la valeur exacte.
Impact sur la suite : Il gouverne la contrainte horizontale sur la moitié inférieure du profil, celle qui portera l'essentiel de la poussée.
Cohérence : Le coefficient obtenu est bien supérieur à sa valeur normalement consolidée, comme l'exige un rapport de surconsolidation supérieur à un, et le facteur multiplicateur est bien encadré par la racine carrée de 2,5.
Attention : Le rapport de surconsolidation est supposé constant sur cinq mètres. Comme la contrainte verticale croît de 66 à 111 kPa sur cette hauteur, un rapport constant supposerait que la contrainte de préconsolidation croisse dans la même proportion — hypothèse forte, jamais énoncée.
Comparaison : Les guides d'application de la NF P 94-281 et de la NF P 94-282 attribuent cette expression à Mayne et Kulhawy, dans un article publié en 1982 au journal de la division géotechnique de l'ASCE, et définissent le rapport de surconsolidation R_OC comme le quotient de la contrainte de préconsolidation par la contrainte effective verticale des terres au repos.

Remarque pédagogique : La notation normative française est R_OC, non le sigle anglo-saxon. Le second reste courant à l'oral ; c'est le premier qu'un rapport d'étude doit employer, comme la NF P 94-282 le fixe dans sa clause de définition.

RÉSULTAT FINAL

K0 sable = 0,4701 et K0 argile = 0,8157 sans dimension — l'argile pousse 1,735 fois plus malgré un φ′ plus faible

« Un exposant s'encadre par la fraction simple la plus proche : la racine carrée est toujours à portée de main. »

Question 3 : Contraintes horizontales et poussée au repos

Dans la tête de l'ingénieur

« La contrainte verticale traverse l'interface sans broncher ; l'horizontale y saute de vingt-trois kilopascals. Sur un plan sans épaisseur. Ce n'est pas la charge qui change — elle est identique de part et d'autre — c'est le coefficient qui saute, parce que le modèle superpose deux couches parfaitement homogènes. Dans le terrain, la transition est étalée sur une zone de mélange que le modèle ignore. »

Observation : Le profil de contrainte horizontale se construit en multipliant point par point, mais son intérêt pratique tient à son AIRE : c'est elle qui donne la force qu'un écran devra reprendre.
Analyse du risque : Un profil tracé sans être intégré ne dit rien du dimensionnement. La poussée au repos sur dix mètres atteint 770 kilonewtons par mètre de paroi , dont plus de quatre-vingts pour cent proviennent des cinq derniers mètres. Publier des contraintes ponctuelles sans leur résultante laisse le lecteur devant un dessin, pas devant une donnée de projet.
Choix stratégique : Multiplier la contrainte effective verticale par le coefficient propre à chaque couche, de part et d'autre de l'interface, ajouter la pression interstitielle pour obtenir la contrainte totale horizontale, puis intégrer le diagramme par trapèzes.
Alternative : Intégrer séparément la part effective et la part d'eau, puis les additionner. Écarté comme méthode principale mais retenu comme CONTRÔLE : la somme des deux doit redonner exactement la poussée totale, et la décomposition dit au passage quelle part de la force ne dépend d'aucun paramètre de sol.
Objectif visé : Obtenir le profil de contrainte horizontale avec sa discontinuité, dire ce que celle-ci représente, et fournir la poussée résultante que réclame un calcul d'écran.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

σ′h : 31,03 puis 53,84 kPa à l'interface, saut de +73,5% · poussée 769,8 kN/m, dont 320,0 d'eau soit 41,6%

Rappel Théorique : une discontinuité qui n'existe que dans le modèle

À l'interface, la contrainte effective verticale est la même de part et d'autre : c'est la même colonne de terrain qui pèse. Mais le coefficient des terres au repos, lui, est une propriété de chaque couche, et le modèle le fait changer instantanément . La contrainte horizontale saute donc sur un plan sans épaisseur — situation qui décrit correctement la moyenne du massif, et jamais son détail au voisinage du contact.

La construction du profil : à chaque profondeur, la contrainte effective horizontale est le produit de la verticale par le coefficient de la couche. Le profil hérite donc des ruptures de pente du profil vertical, et il en ajoute une de plus : celle du changement de coefficient.
De l'effective à la totale : la pression interstitielle s'exerce dans toutes les directions avec la même intensité. On la rajoute donc telle quelle à la contrainte effective horizontale, sans la multiplier par quoi que ce soit — c'est l'un des rares endroits où l'eau simplifie un calcul.
La discontinuité : elle est un artefact du modèle à deux couches homogènes. Dans le terrain, l'interface n'est pas un plan mais une zone de mélange de quelques décimètres, et le coefficient y varie continûment. Le saut calculé est donc exact au sens du modèle et faux au sens du détail.
Pourquoi elle importe malgré tout : un écran traversant l'interface y verra effectivement une concentration de pression sur une faible hauteur. Le modèle exagère la brutalité du phénomène mais n'en invente pas l'existence — et pour le calcul de la résultante, l'étalement ne change presque rien.
L'intégration du diagramme : la poussée est l'aire du diagramme de contrainte totale horizontale. Le profil étant linéaire par morceaux, une somme de trapèzes la donne exactement, sans approximation d'aucune sorte.

Équations Fondamentales

Deux relations : le passage de la contrainte verticale à l'horizontale, puis l'intégration du diagramme obtenu.

Contraintes horizontales effective et totale

Transforme le profil vertical en profil horizontal, puis y réintègre l'eau.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la contrainte HORIZONTALE qu'un écran doit reprendre, et parce que le passage de l'une à l'autre ne concerne que la part effective . La pression interstitielle, elle, s'exerce identiquement dans toutes les directions : on la retranche pour obtenir l'effective verticale, on la rajoute telle quelle après sans jamais la multiplier

Contexte de validité : Valable dans un massif au repos, sans déformation latérale — cas d'un terrain horizontal étendu. Dès que l'écran se déplace, l'état cesse d'être celui du repos et les coefficients de poussée ou de butée prennent le relais.
Avantage : Elle sépare proprement ce qui dépend du sol de ce qui n'en dépend pas : le coefficient ne s'applique qu'à la part effective, et l'eau traverse le calcul sans être affectée.
Paramètre clé : Le coefficient de la couche, qui change à l'interface alors que la contrainte verticale n'y change pas. C'est toute l'origine de la discontinuité.
Vérification : La contrainte totale horizontale doit être inférieure à la contrainte totale verticale tant que le coefficient reste inférieur à l'unité. À la base : 170,5 contre 191,0 kPa.
Limite : Elle suppose les couches homogènes et le coefficient constant dans chacune. Un rapport de surconsolidation décroissant avec la profondeur, ce qui est le cas général, ferait décroître le coefficient de l'argile vers le bas.

\[ \begin{aligned} \sigma'_h &= K_0 \, \sigma'_v \quad \text{puis} \quad \sigma_h = \sigma'_h + u \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit qu'à l'interface, la même charge verticale produit deux contraintes horizontales différentes selon le côté où l'on se place : 31,03 kilopascals dans le sable, 53,84 dans l'argile. Vingt-trois kilopascals de saut, soit soixante-treize pour cent , et rien n'a changé que la nature du matériau.

Décomposition des termes :

σ′_h : contrainte effective horizontale, unité : kPa
K_0 : coefficient de la couche, 0,4701 ou 0,8157, unité : sans dimension
σ′_v : contrainte effective verticale, continue à l'interface, unité : kPa
u : pression interstitielle, ajoutée telle quelle, unité : kPa
53,84 : contrainte effective horizontale juste sous l'interface, unité : kPa

Poussée au repos par intégration du diagramme

Donne la force horizontale résultante par mètre de paroi.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un profil de contraintes n'est pas une donnée de projet : un écran se dimensionne sur une force et un moment, pas sur un dessin. L'intégration transforme le diagramme en la seule grandeur qu'un calcul de stabilité puisse utiliser, et elle est exacte

Contexte de validité : Valable pour un diagramme linéaire par morceaux, ce qui est le cas ici. La somme de trapèzes n'est alors pas une approximation mais le résultat exact de l'intégration.
Avantage : Elle se décompose naturellement en une part effective et une part d'eau, ce qui permet de dire immédiatement quelle fraction de la force ne dépend d'aucun paramètre de sol.
Paramètre clé : Les cinq derniers mètres, qui portent à eux seuls plus des quatre cinquièmes de la poussée alors qu'ils ne représentent que la moitié de la hauteur.
Vérification : La somme de la part effective et de la part d'eau doit redonner la poussée totale : 449,8 plus 320,0 font bien 769,8 kilonewtons par mètre.
Limite : Elle donne la résultante mais non son point d'application, dont un calcul de stabilité au renversement aurait besoin. Ce point serait le centre de gravité du diagramme, sensiblement plus bas que le milieu de la hauteur.

\[ \begin{aligned} P_0 &= \int_0^{H} \sigma_h(z)\, dz = \sum_i \dfrac{\sigma_{h,i} + \sigma_{h,i+1}}{2}\, h_i \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit qu'une paroi de dix mètres reprendrait 770 kilonewtons par mètre courant si le terrain restait au repos, soit près de quatre-vingts tonnes par mètre de paroi. Et que quatre kilonewtons sur dix sont de l'eau — une part qui n'obéit à aucun angle de frottement et qu'aucune amélioration du sol ne réduirait.

Décomposition des termes :

P_0 : poussée au repos par mètre de paroi, unité : kN/m
769,8 : valeur obtenue sur dix mètres, unité : kN/m
320,0 : part revenant à l'eau, unité : kN/m
41,6 : part de l'eau dans la poussée, unité : %
82,6 : part portée par les cinq derniers mètres, unité : %

L'Erreur Classique (Le Piège)

« La pression interstitielle s'ajoute à la contrainte effective horizontale après avoir été multipliée par le coefficient des terres au repos, comme tout ce qui est horizontal. »

L'approche d'ingénieur : La pression interstitielle s'exerce identiquement dans toutes les directions : c'est un fluide au repos, il n'a pas de résistance au cisaillement et ne transmet donc aucune anisotropie. On la rajoute telle quelle, sans coefficient. La multiplier donnerait ici 65,2 kPa au lieu de 80 à la base, soit une poussée sous-estimée de près de cent kilonewtons par mètre

L'erreur : Elle applique au fluide un coefficient qui ne décrit que le squelette. Le coefficient des terres au repos traduit l'aptitude des grains à s'arc-bouter plutôt qu'à pousser de côté ; l'eau n'a pas de grains.
La bonne méthode : Séparer systématiquement ce qui relève du squelette de ce qui relève du fluide, et n'appliquer les coefficients qu'au premier. La décomposition de la poussée en part effective et part d'eau rend cette séparation visible.
L'astuce de pro : Vérifiez que la contrainte totale horizontale reste inférieure à la totale verticale tant que le coefficient est sous l'unité. Ici 170,5 contre 191,0 à la base : le contrôle passe, et il échouerait immédiatement si l'eau avait été multipliée deux fois.
Le moyen mnémotechnique : Un fluide au repos pousse pareil dans toutes les directions. Aucun coefficient ne s'applique à l'eau.
L'impact direct : Multiplier la pression interstitielle par le coefficient sous-estimerait la poussée totale d'environ cent kilonewtons par mètre, soit treize pour cent — et dans le sens dangereux, celui qui allège l'écran.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Contraintes horizontales : en kPa
Coefficients des terres au repos : sans dimension
Hauteurs de tranche : en m
Poussée résultante : contrainte × hauteur, donc en kN/m
Part de l'eau dans la poussée : en %

L'intégration est le seul endroit de cet exercice où les unités changent : des kilopascals multipliés par des mètres donnent des kilonewtons par mètre carré fois des mètres, c'est-à-dire des kilonewtons par mètre de paroi. Cette unité mérite d'être lue attentivement : il s'agit d'une force PAR MÈTRE COURANT de paroi, non d'une force totale . Un écran de trente mètres de longueur reprendrait donc trente fois cette valeur, soit plus de vingt-trois mille kilonewtons. La confusion entre une grandeur linéique et une grandeur totale est classique dans les rapports d'étude, et elle porte sur un facteur qui peut atteindre plusieurs dizaines. Un contrôle de vraisemblance s'impose : 770 kilonewtons par mètre représentent près de quatre-vingts tonnes, ce qui est un ordre de grandeur crédible pour dix mètres de terrain avec nappe haute.,

1. Résolution Numérique Contrainte effective horizontale sous l'interface

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est là que le profil saute, et que ce saut mérite d'être chiffré plutôt que constaté.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la contrainte effective verticale de l'interface — identique des deux côtés — par le coefficient de l'ARGILE. La contrainte obtenue est à comparer à celle qu'on obtient juste au-dessus avec le coefficient du sable : la charge est la même, seul le coefficient change .

Substitution : K0,argile = 0,8157 ; σ′v(5 m) = 66,0 kPa, calculée à la question 1.
Piège évité : Ne pas croire que la contrainte verticale saute elle aussi. Elle est parfaitement continue à 66,0 kPa : c'est la même colonne de terrain qui pèse des deux côtés du plan, quelle que soit la nature du sol qui la reçoit.
Hypothèse validée : Les deux couches sont homogènes et leur coefficient constant. C'est cette hypothèse, et elle seule, qui produit une discontinuité — le terrain réel présente une zone de mélange de quelques décimètres.
Vérification croisée : Le rapport des deux contraintes horizontales doit égaler le rapport des deux coefficients : 53,84/31,03 = 1,735 = 0,8157/0,4701. Le contrôle referme le calcul.
Finalité : Ces deux valeurs bornent le diagramme de part et d'autre de l'interface, et le bloc suivant en intégrera l'aire.

\[ \begin{aligned} \sigma'_h(5^+) &= K_{0,argile} \times \sigma'_v(5) \\ &= 0{,}8157 \times 66{,}0 \\ &= \mathbf{53{,}84} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

53,84 kPa contre 31,03 juste au-dessus : un saut de 22,81 kPa, soit +73,5%, sur un plan sans épaisseur . La contrainte verticale, elle, n'a pas bougé d'un dixième de kilopascal . Ce n'est donc pas la charge qui saute mais la manière dont le matériau la répercute latéralement — et cette manière change brutalement parce que le modèle superpose deux couches parfaitement homogènes.

Ordre de grandeur : Un saut de plus de soixante-dix pour cent est considérable, mais il découle simplement du rapport des coefficients. Deux couches de natures proches donneraient un saut de quelques pour cent seulement.
Impact sur la suite : Un écran traversant l'interface y verra une concentration de pression sur une faible hauteur. Le modèle exagère la brutalité du phénomène sans en inventer l'existence.
Cohérence : Le rapport des contraintes horizontales égale exactement celui des coefficients, ce qui vérifie simultanément les deux multiplications et la continuité de la contrainte verticale.
Attention : Cette discontinuité est un ARTEFACT du modèle à deux couches homogènes. Dans le terrain, l'interface n'est pas un plan mais une zone de mélange où le coefficient varie continûment. Le saut calculé est exact au sens du modèle et faux au sens du détail.
Comparaison : Pour la résultante, cet étalement ne change presque rien : lisser la transition sur trente centimètres déplace de moins d'un pour cent l'aire du diagramme. C'est pour le détail local — flexion d'un écran, contact d'un revêtement — que la différence compterait.

Remarque pédagogique : Une discontinuité de calcul doit toujours être interrogée : est-elle dans le terrain ou dans le modèle ? Ici, dans le modèle — ce qui n'empêche pas de s'en servir, mais interdit de la présenter comme un fait de terrain.

Poussée au repos sur toute la hauteur

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un écran se dimensionne sur une force, non sur un profil : c'est l'aire du diagramme qui intéresse le projeteur.

Méthodologie du calcul :

On somme les aires des trois trapèzes du diagramme de contrainte TOTALE horizontale, en tenant compte du saut à l'interface. Le profil étant linéaire par morceaux, la somme de trapèzes n'est pas une approximation mais le résultat exact de l'intégration.

Substitution : σh = 0 puis 16,92 kPa sur 0–2 m ; 16,92 puis 61,03 sur 2–5 m ; 83,84 puis 170,54 sur 5–10 m.
Piège évité : Ne pas oublier le saut à l'interface en reliant directement 61,03 à 170,54. On négligerait alors l'aire du rectangle correspondant au saut, soit environ 57 kilonewtons par mètre — sept pour cent de la poussée, dans le sens qui allège.
Hypothèse validée : Terrain au repos, sans aucun déplacement de l'écran. C'est l'hypothèse la plus défavorable pour une paroi rigide, et elle ne vaut que tant que le déplacement reste insuffisant pour mobiliser la poussée active.
Vérification croisée : La somme de la part effective, 449,8 kN/m, et de la part d'eau, 320,0 kN/m, doit redonner la poussée totale. Elle la redonne exactement.
Finalité : Cette force ferme la question 3 et fournit l'entrée de tout calcul de stabilité d'écran ; sa décomposition prépare la conclusion de l'exercice.

\[ \begin{aligned} P_0 &= \tfrac{0 + 16{,}92}{2}(2) + \tfrac{16{,}92 + 61{,}03}{2}(3) + \tfrac{83{,}84 + 170{,}54}{2}(5) \\ &= 16{,}92 + 116{,}92 + 635{,}95 \\ &= \mathbf{769{,}8} \text{ kN/m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

769,8 kilonewtons par mètre courant, soit près de quatre-vingts tonnes par mètre de paroi. Les cinq derniers mètres en portent 82,6% alors qu'ils ne représentent que la moitié de la hauteur — effet conjugué de la profondeur, du coefficient plus élevé de l'argile et de la pression interstitielle croissante . Et sur ce total, 320,0 kilonewtons par mètre, soit 41,6%, sont de l'eau : une part qui n'obéit à aucun angle de frottement, qu'aucun rapport de surconsolidation ne modifie, et qu'aucune amélioration du sol ne réduirait.

Ordre de grandeur : Une poussée de l'ordre de la centaine de kilonewtons par mètre et par tranche de trois mètres est le repère courant. Ici, dix mètres avec nappe haute donnent près de huit cents.
Impact sur la suite : C'est la donnée d'entrée d'un calcul de stabilité d'écran. Il y manque le point d'application, centre de gravité du diagramme, sensiblement plus bas que le milieu de la hauteur.
Cohérence : La décomposition en part effective et part d'eau redonne exactement le total, ce qui vérifie les trois trapèzes et le traitement de la pression interstitielle.
Attention : L'unité est une force PAR MÈTRE COURANT de paroi, non une force totale. Un écran de trente mètres reprendrait trente fois cette valeur — la confusion entre grandeur linéique et grandeur totale est classique et porte sur un facteur de plusieurs dizaines.
Comparaison : Rabattre la nappe ne diviserait pas la poussée par deux malgré les 41,6% qu'y représente l'eau : en supprimant la pression interstitielle, on supprime aussi le déjaugeage, et la contrainte effective verticale croît d'autant. Deux effets de sens contraires, dont un seul est visible dans le diagramme.

Remarque pédagogique : Un profil de contraintes n'est pas une donnée de projet. Tant qu'il n'est pas intégré, il reste un dessin — et la grandeur qu'un calcul de stabilité réclame n'y figure pas.

RÉSULTAT FINAL

P₀ = 769,8 kN/m de paroi — dont 320,0 d'eau, soit 41,6%, et un saut de +73,5% à l'interface

« Un fluide au repos pousse pareil dans toutes les directions : aucun coefficient ne s'applique à l'eau. »

Question 4 : Ce que valent ces coefficients

Dans la tête de l'ingénieur

« Deux formules empiriques, deux paramètres mesurés, et pas une ligne sur ce que le résultat leur doit. Il est temps de dériver. L'intuition annonce que l'argile, dont la formule compte deux paramètres au lieu d'un, sera la plus fragile. C'est l'inverse : elle est deux fois moins sensible à l'angle de frottement que le sable. La raison tient à une compensation interne que seule la dérivée révèle. »

Observation : Dans la formule des sols surconsolidés, le sinus de l'angle de frottement apparaît deux fois : au facteur, où il fait décroître le coefficient, et à l'exposant, où il le fait croître. Les deux effets se contrarient.
Analyse du risque : Un coefficient annoncé à quatre décimales inspire une confiance qu'aucune de ses entrées ne justifie. Pour une incertitude de deux degrés — l'ordinaire d'un essai triaxial — le coefficient du sable s'étale sur plus de six pour cent , et celui de l'argile dépend bien davantage encore d'un rapport de surconsolidation que personne n'a mesuré ici.
Choix stratégique : Dériver chaque formule par rapport à l'angle de frottement, convertir la dérivée par degré, en tirer l'étendue relative pour une incertitude réaliste, puis comparer les deux couches et expliquer l'écart par la structure de la seconde formule.
Alternative : Balayer numériquement l'angle de frottement sur une plage et lire les extrêmes. Écarté : les formules étant dérivables analytiquement, la dérivée donne la sensibilité exacte, en un calcul, et fournit en prime la condition d'annulation — que le balayage ne révélerait qu'après beaucoup de tâtonnements.
Objectif visé : Chiffrer ce que chaque coefficient doit à ses paramètres, expliquer le résultat contre-intuitif, et désigner l'essai à prescrire en priorité.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Sable ±6,30% · argile ±2,99% seulement · insensibilité totale à R_OC = 6,586 · mais R_OC entre 2 et 3 fait ±9,44%

Rappel Théorique : dériver pour savoir ce qu'un résultat vaut

Une corrélation empirique rend un nombre pour toute valeur d'entrée, sans jamais signaler que ces entrées sont mesurées et donc incertaines. La dérivée du résultat par rapport à chaque paramètre donne exactement ce que cette incertitude coûte, et elle a sur un balayage numérique deux avantages : elle est exacte , et elle permet de chercher les points où elle s'annule — c'est-à-dire les configurations où le résultat cesse de dépendre d'un paramètre.

La sensibilité de la formule de Jaky : sa dérivée par rapport à l'angle de frottement vaut moins le cosinus de cet angle, exprimé par radian. Le passage au degré demande de multiplier par le rapport de pi à cent quatre-vingts, faute de quoi le résultat serait cinquante-sept fois trop grand.
La sensibilité de la formule des sols surconsolidés : sa dérivée fait apparaître un terme entre crochets, différence entre le produit du coefficient normalement consolidé par le logarithme du rapport de surconsolidation et l'unité. Le signe de ce terme décide du sens de la variation.
La compensation : un angle de frottement plus grand abaisse le facteur mais relève l'exposant. Les deux effets étant de sens contraires, la sensibilité nette est plus faible que celle de chacun pris isolément — d'où un résultat plus robuste, malgré une formule plus compliquée.
Le point stationnaire : quand le terme entre crochets s'annule, le coefficient cesse de dépendre de l'angle de frottement. La condition ne fait intervenir que ce dernier et le rapport de surconsolidation, et elle se résout en une exponentielle.
L'incertitude dominante : elle n'est pas celle de l'angle de frottement mais celle du rapport de surconsolidation, qui n'est pas mesuré dans cet énoncé et dont une plage plausible fait varier le coefficient trois fois plus. C'est cette comparaison, et non la valeur absolue de chaque sensibilité, qui désigne l'essai à prescrire.

Équations Fondamentales

Deux dérivées : celle de Jaky, immédiate, et celle des sols surconsolidés, dont la structure explique tout le résultat.

Sensibilité du coefficient de Jaky à l'angle de frottement

Donne la variation du coefficient du sable par degré d'incertitude sur l'angle.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un angle de frottement se mesure, et se mesure à quelques degrés près . Annoncer un coefficient à quatre décimales sans dire ce que ces degrés lui font revient à donner une précision qui n'existe pas — et la dérivée le dit en une ligne

Contexte de validité : Valable pour toute variation modérée de l'angle, la fonction étant régulière. Pour des écarts de plus de cinq degrés, un calcul direct aux bornes serait préférable à la linéarisation.
Avantage : Elle donne la sensibilité exacte en un seul calcul, sans balayage, et sous une forme immédiatement interprétable : le cosinus de l'angle.
Paramètre clé : La conversion en degrés. Une dérivée par rapport à un angle s'exprime naturellement par radian ; oublier le facteur de conversion donnerait ici une sensibilité cinquante-sept fois trop grande.
Vérification : Un calcul direct aux deux bornes doit retrouver l'étendue prédite : le coefficient à trente et à trente-quatre degrés encadre bien la valeur linéarisée.
Limite : Elle ne dit rien de la validité de la corrélation elle-même, qui reste une relation empirique dont la dispersion propre dépasse largement l'effet de deux degrés.

\[ \begin{aligned} \dfrac{dK_0}{d\varphi'} &= -\cos \varphi' \times \dfrac{\pi}{180} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que chaque degré d'incertitude déplace le coefficient de quinze millièmes . Pour deux degrés — l'ordinaire d'un essai triaxial — le coefficient du sable s'étale de 0,4405 à 0,4997, soit plus de six pour cent autour de sa valeur centrale.

Décomposition des termes :

dK_0/dφ′ : sensibilité du coefficient de Jaky, unité : par degré
cos φ′ : cosinus de 32°, 0,848048, unité : sans dimension
π/180 : conversion du radian au degré, unité : sans dimension
−0,014801 : sensibilité obtenue, unité : par degré
±6,30 : étendue relative pour ±2°, unité : %

Sensibilité du coefficient des sols surconsolidés

Donne la variation du coefficient de l'argile et révèle la compensation qui l'atténue.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la formule est un produit de deux facteurs qui dépendent tous deux de l'angle , et que la dérivée d'un produit met en évidence ce qu'aucune lecture directe ne montre : les deux effets sont de sens contraires

Contexte de validité : Valable pour tout rapport de surconsolidation strictement supérieur à zéro. Pour un rapport égal à un, le logarithme s'annule, le terme entre crochets vaut moins l'unité et l'on retrouve exactement la sensibilité de Jaky.
Avantage : Elle fournit non seulement la sensibilité mais aussi la condition sous laquelle elle s'annule, ce qu'un balayage numérique ne révélerait qu'après de nombreux essais.
Paramètre clé : Le terme entre crochets, dont le signe décide du sens de variation et dont l'annulation donne le point stationnaire.
Vérification : Un rapport de surconsolidation égal à un doit redonner exactement la dérivée de Jaky, la formule des sols surconsolidés contenant celle de Jaky comme cas particulier.
Limite : Elle ne traite que l'incertitude sur l'angle. Celle sur le rapport de surconsolidation, bien plus lourde ici, demande une dérivée séparée — ou simplement un calcul aux bornes d'une plage plausible.

\[ \begin{aligned} \dfrac{dK_0}{d\varphi'} &= \cos \varphi' \, R_{OC}^{\sin \varphi'} \big[ (1 - \sin \varphi')\ln R_{OC} - 1 \big] \times \dfrac{\pi}{180} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que la surconsolidation amortit la sensibilité : le terme entre crochets vaut ici moins 0,514 au lieu de moins un, de sorte que l'argile ne bouge que de ±2,99% contre ±6,30% pour le sable. Le modèle le plus compliqué est le plus robuste , ce que la seule lecture de la formule ne laissait pas deviner.

Décomposition des termes :

dK_0/dφ′ : sensibilité du coefficient de l'argile, unité : par degré
[(1−sinφ′)ln R_OC − 1] : terme de compensation, −0,513882, unité : sans dimension
−0,012176 : sensibilité obtenue, unité : par degré
±2,99 : étendue relative pour ±2°, unité : %
6,586 : rapport de surconsolidation annulant la sensibilité, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« La formule de l'argile fait intervenir deux paramètres au lieu d'un : son résultat est donc nécessairement plus incertain que celui du sable, où seul l'angle de frottement entre en jeu. »

L'approche d'ingénieur : Le nombre de paramètres ne préjuge pas de la sensibilité. Ici les deux occurrences de l'angle de frottement — au facteur et à l'exposant — jouent en sens contraires : un angle plus grand abaisse le facteur mais relève l'exposant. Le résultat est que l'argile est 2,11 fois MOINS sensible à l'angle que le sable, malgré une formule plus riche

L'erreur : Elle confond la complexité d'un modèle avec la fragilité de son résultat. Un modèle plus riche peut parfaitement être plus robuste, si ses termes se compensent — et rien ne le dit tant qu'on n'a pas dérivé.
La bonne méthode : Dériver avant de conclure sur la robustesse. Compter les paramètres est un raisonnement de forme ; dériver est un raisonnement de fond, et il ne coûte guère plus cher.
L'astuce de pro : Quand un paramètre apparaît plusieurs fois dans une formule, examinez le sens de chaque occurrence avant d'estimer la sensibilité. Deux occurrences de sens contraires signalent une compensation, et parfois un point où le résultat cesse d'en dépendre.
Le moyen mnémotechnique : Plus de paramètres ne veut pas dire plus d'incertitude. C'est la dérivée qui tranche, pas le décompte.
L'impact direct : Croire l'argile plus incertaine que le sable conduirait à concentrer l'effort de reconnaissance sur son angle de frottement, alors que c'est son rapport de surconsolidation qui gouverne — et que celui-ci n'est même pas mesuré dans cet énoncé.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Angles de frottement : en degrés
Sensibilités dK_0/dφ′ : en par degré
Facteur de conversion π/180 : sans dimension
Étendues relatives : en %
Rapport de surconsolidation stationnaire : sans dimension

La seule conversion de cette question est aussi la plus facile à oublier : une dérivée par rapport à un angle s'exprime naturellement PAR RADIAN, et il faut multiplier par le rapport de pi à cent quatre-vingts pour l'obtenir par degré. L'oubli est spectaculaire dans ses conséquences : il donne une sensibilité 57,3 fois trop grande , soit une étendue relative de plus de trois cents pour cent pour deux degrés d'incertitude. Le résultat est si aberrant qu'il se voit, ce qui rend cette erreur moins dangereuse qu'il n'y paraît. Le contrôle définitif reste toutefois de recalculer le coefficient aux deux bornes de l'angle et de comparer à l'étendue prédite : deux calculs directs, aucune dérivée, et une concordance qui valide l'ensemble.,

1. Résolution Numérique Sensibilité du coefficient du sable à l'angle de frottement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un angle de frottement se mesure à quelques degrés près, et qu'un coefficient annoncé à quatre décimales doit les mériter.

Méthodologie du calcul :

On dérive la formule de Jaky par rapport à l'angle de frottement, ce qui donne l'opposé du cosinus, puis on convertit le résultat par degré en multipliant par le rapport de pi à cent quatre-vingts. On multiplie enfin par l'incertitude retenue, deux degrés, qui est l'ordinaire d'un essai triaxial.

Substitution : cos 32° = 0,848048 ; conversion π/180 = 0,0174533 ; incertitude retenue ±2°.
Piège évité : Ne pas oublier la conversion en degrés. Une dérivée par rapport à un angle s'exprime par radian : l'oubli donnerait une sensibilité 57,3 fois trop grande, soit une étendue de plus de trois cents pour cent — aberration si visible qu'elle en devient inoffensive.
Hypothèse validée : L'incertitude de deux degrés est POSÉE, l'énoncé ne la fournissant pas. Elle correspond à l'ordre de grandeur usuel d'un essai triaxial bien conduit ; une reconnaissance sommaire en donnerait davantage.
Vérification croisée : Calcul direct aux bornes : à 30° le coefficient vaut 0,5000 et à 34° 0,4408, ce qui encadre bien les valeurs linéarisées 0,4997 et 0,4405. La linéarisation est légitime sur cette plage.
Finalité : Cette étendue sera comparée à celle de l'argile, dont on attend qu'elle soit plus grande — et qui ne le sera pas.

\[ \begin{aligned} \Delta K_0 &= \left| -\cos 32^\circ \times \tfrac{\pi}{180} \right| \times 2 \\ &= 0{,}014801 \times 2 \\ &= \mathbf{\pm 0{,}0296} \quad (\pm 6{,}30\ \%) \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

±0,0296, soit un coefficient compris entre 0,4405 et 0,4997 : plus de six pour cent d'étendue relative pour une incertitude de mesure parfaitement ordinaire . Le coefficient annoncé à quatre décimales n'en mérite donc qu'une seule, et encore. Sur la poussée du sable, cela représente quelques kilonewtons par mètre — modeste, mais réel.

Ordre de grandeur : Six pour cent d'incertitude sur un coefficient est comparable à ce que produit la dispersion propre de la corrélation de Jaky, qui n'est pas une loi mais un ajustement sur une base de données. Les deux incertitudes se cumulent.
Impact sur la suite : Elle fournit le terme de comparaison de la question : c'est à cette étendue que celle de l'argile sera confrontée.
Cohérence : Le calcul direct aux deux bornes retrouve l'étendue prédite à moins d'un millième, ce qui valide la linéarisation sur cette plage.
Attention : Cette sensibilité ne dit rien de la validité de la corrélation elle-même. La dispersion propre de la formule de Jaky, établie sur un ajustement empirique, dépasse largement l'effet de deux degrés — et elle ne se dérive pas.
Comparaison : Un essai en place — pressiomètre autoforeur ou dilatomètre Marchetti, que les guides d'application citent nommément — mesurerait le coefficient directement au lieu de le corréler, supprimant du même coup cette incertitude et celle de la formule.

Remarque pédagogique : Une dérivée donne la sensibilité exacte en un calcul là où un balayage en demanderait plusieurs. Elle a de plus l'avantage de rester une expression, dans laquelle on peut chercher les points remarquables — ce que le bloc suivant va exploiter.

Sensibilité du coefficient de l'argile à l'angle de frottement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la formule des sols surconsolidés compte deux paramètres au lieu d'un, et qu'on attend d'elle un résultat plus fragile.

Méthodologie du calcul :

On dérive un produit de deux facteurs dépendant tous deux de l'angle. Le calcul fait apparaître un terme entre crochets : la différence entre le produit du coefficient normalement consolidé par le logarithme du rapport de surconsolidation et l'unité. C'est ce terme qui porte toute l'information.

Substitution : cos 28° = 0,882948 ; facteur de surconsolidation 1,537523 ; (1 − sin 28°)·ln 2,5 = 0,530528 × 0,916291 = 0,486118.
Piège évité : Ne pas oublier de dériver le SECOND facteur. Ne dériver que le premier donnerait −0,0187 par degré, soit une sensibilité de moitié trop grande — et surtout ferait manquer entièrement la compensation qui est le sujet de la question.
Hypothèse validée : Même incertitude posée que pour le sable, deux degrés, afin que la comparaison ait un sens. Le rapport de surconsolidation est supposé exactement connu, hypothèse que le bloc suivant remettra en cause.
Vérification croisée : Un rapport de surconsolidation égal à un doit redonner exactement la dérivée de Jaky : le logarithme s'annule, le terme entre crochets vaut −1, et il reste bien l'opposé du cosinus. Le contrôle passe.
Finalité : La comparaison des deux étendues ferme la question du modèle, et ouvre celle du paramètre réellement dominant.

\[ \begin{aligned} \Delta K_0 &= \left| 0{,}882948 \times 1{,}537523 \times (0{,}486118 - 1) \times \tfrac{\pi}{180} \right| \times 2 \\ &= 0{,}012176 \times 2 \\ &= \mathbf{\pm 0{,}0244} \quad (\pm 2{,}99\ \%) \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

±2,99% contre ±6,30% pour le sable : l'argile est 2,11 fois MOINS sensible, alors que sa formule compte un paramètre de plus . La raison est dans le terme entre crochets, qui vaut −0,514 au lieu de −1 : les deux occurrences de l'angle jouent en sens contraires, un angle plus grand abaissant le facteur mais relevant l'exposant . Poussée à son terme, la compensation devient exacte lorsque le produit du coefficient normalement consolidé par le logarithme du rapport de surconsolidation atteint l'unité, soit pour un rapport de 6,586 : à cette valeur, le coefficient de cette argile ne dépendrait plus du tout de son angle de frottement — la variation sur ±2° y tombe à 0,17%, dix-sept fois moins qu'ici, et le coefficient y vaudrait 1,285, supérieur à l'unité.

Ordre de grandeur : Trois pour cent d'incertitude est une bonne robustesse pour une corrélation empirique. Elle ne préjuge cependant en rien de la précision réelle du coefficient, qui dépend d'un second paramètre bien plus mal connu.
Impact sur la suite : Elle établit que l'effort de mesure ne doit pas se porter sur l'angle de frottement de l'argile — ce qui laisse ouverte la question de savoir où il doit se porter.
Cohérence : Le cas du rapport de surconsolidation égal à un redonne exactement la dérivée de Jaky, ce qui vérifie que la formule élargie contient la classique comme cas particulier, dérivée comprise.
Attention : Ce résultat ne vaut que pour l'incertitude sur l'ANGLE. Le rapport de surconsolidation, supposé ici exactement connu, ne l'est pas du tout dans cet énoncé — et c'est lui qui gouverne, comme la conclusion va le montrer.
Comparaison : Un rapport de surconsolidation entre 2,0 et 3,0, plage parfaitement plausible pour une argile dont on n'a pas mesuré la contrainte de préconsolidation, fait varier le coefficient de 0,7346 à 0,8886 : ±9,44%, soit 3,16 fois l'effet de deux degrés sur l'angle.

Remarque pédagogique : Le nombre de paramètres d'un modèle ne préjuge pas de la fragilité de son résultat. Quand un paramètre apparaît plusieurs fois, il faut examiner le sens de chaque occurrence : deux occurrences contraires signalent une compensation, et parfois un point où le résultat cesse d'en dépendre.

L'incertitude qui gouverne réellement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que désigner l'essai à prescrire suppose de comparer les incertitudes entre elles, et non de les chiffrer une à une.

Méthodologie du calcul :

On reprend le coefficient de l'argile aux deux bornes d'une plage plausible de rapport de surconsolidation, et l'on compare l'étendue obtenue à celle qu'a produite l'incertitude sur l'angle. La plage de 2,0 à 3,0 est posée , l'énoncé fournissant une valeur unique sans dire d'où elle vient ni comment elle a été obtenue.

Substitution : K0 = 0,530528 × R_OC^0,469472 pour R_OC valant successivement 2,0 puis 3,0.
Piège évité : Ne pas conclure sur la seule valeur absolue d'une incertitude. Neuf pour cent n'est un chiffre parlant qu'une fois rapporté aux trois pour cent de l'angle : c'est le RAPPORT des deux, et non chacun pris isolément, qui désigne l'essai à prescrire.
Hypothèse validée : Plage de 2,0 à 3,0 posée en hypothèse signalée. L'énoncé donne 2,5 sans justification ; en l'absence de mesure œdométrique, cette plage est le minimum qu'un rapport honnête devrait annoncer.
Vérification croisée : La valeur centrale de la plage doit redonner le coefficient de la question 2 : 0,530528 × 2,5^0,469472 = 0,8157. Elle le redonne exactement.
Finalité : Cette comparaison ferme l'exercice en désignant l'essai qui mérite l'effort de reconnaissance.

\[ \begin{aligned} \Delta K_0 &= \dfrac{K_0(R_{OC} = 3{,}0) - K_0(R_{OC} = 2{,}0)}{2} \\ &= \dfrac{0{,}8886 - 0{,}7346}{2} \\ &= \mathbf{\pm 0{,}0770} \quad (\pm 9{,}44\ \%) \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

±9,44% contre ±2,99% : le rapport de surconsolidation pèse 3,16 fois plus lourd que l'angle de frottement sur le coefficient de l'argile. Et c'est le paramètre que l'énoncé fournit sans justification, alors qu'il donne à l'angle la caution d'une mesure . La conclusion opérationnelle est nette : c'est l'œdomètre, qui donne la contrainte de préconsolidation et donc le rapport, qui mérite l'effort de reconnaissance — non le triaxial, dont l'apport marginal serait trois fois moindre.

Ordre de grandeur : Un facteur trois entre deux incertitudes est décisif : il ne s'agit plus d'une nuance de précision mais d'une hiérarchie d'essais, donc d'une décision de budget de reconnaissance.
Impact sur la suite : Sur la poussée totale, ±9,44% du coefficient de l'argile représentent environ ±34 kilonewtons par mètre — quatre pour cent de la résultante, dus à un seul paramètre non mesuré.
Cohérence : La valeur centrale de la plage redonne exactement le coefficient de la question 2, ce qui vérifie que la comparaison porte bien sur le même calcul.
Attention : Cette plage est POSÉE et non mesurée. Elle est là pour rendre l'incertitude visible, non pour prétendre la quantifier : une mesure œdométrique la remplacerait avantageusement, et c'est précisément ce que la conclusion recommande.
Comparaison : Les guides d'application de l'Eurocode 7 rappellent que le coefficient des terres au repos peut aussi se mesurer directement en place, au pressiomètre autoforeur ou au dilatomètre Marchetti. Cette voie court-circuite les deux paramètres et leurs deux incertitudes à la fois.

Remarque pédagogique : Chiffrer une incertitude ne sert à rien tant qu'on ne la compare pas aux autres. C'est la hiérarchie des sensibilités, jamais leur valeur absolue, qui dit où porter l'effort de mesure.

RÉSULTAT FINAL

Incertitude dominante : R_OC, à ±9,44

% contre ±2,99% pour φ′ — soit 3,16 fois plus, l'œdomètre avant le triaxial

« Plus de paramètres ne veut pas dire plus d'incertitude : c'est la dérivée qui tranche, pas le décompte. »

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission — État de contrainte initial d'un profil sable sur argile surconsolidée

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai systématiquement vérifié les unités (notamment MPa, kN, m) avant mes applications numériques. J'ai bien distingué les calculs à l' ELU (sécurité globale) et à l' ELS (déformations et confort). J'ai compris pourquoi j'ai utilisé cette formule précise de la norme, plutôt que de l'appliquer aveuglément.

La contrainte effective verticale s'établit à 36,0 kPa au niveau de la nappe, 66,0 kPa à l'interface des deux couches et 111,0 kPa à la base du profil, obtenues directement par le poids volumique déjaugé — une seule chaîne de calcul là où le passage par la contrainte totale puis la pression interstitielle en demande trois, la voie longue restant excellente comme contrôle indépendant. Les trois pentes du profil, 18 puis 10 puis 9 kilopascals par mètre, sont strictement décroissantes, ce qui constitue un contrôle en soi. Les coefficients des terres au repos valent 0,4701 pour le sable par la formule de Jaky et 0,8157 pour l'argile par celle de Mayne et Kulhawy. Ce second chiffre corrige la source, qui évalue la puissance 2,5 exposant 0,4695 à 1,556 alors qu'elle vaut 1,5375 : 1,2% d'écart, propagé intact jusqu'aux contraintes horizontales. Le résultat prend l'intuition à revers, l'argile poussant 1,735 fois plus que le sable alors que son angle de frottement est plus faible — un angle plus faible donne déjà un coefficient normalement consolidé supérieur, et la surconsolidation le multiplie encore. Les contraintes effectives horizontales passent de 31,03 kPa juste au-dessus de l'interface à 53,84 juste en dessous, soit un saut de 73,5% sur un plan sans épaisseur alors que la contrainte verticale y est parfaitement continue : cette discontinuité est un artefact du modèle à deux couches homogènes, le terrain réel présentant une zone de mélange où le coefficient varie continûment. Intégré sur les dix mètres, le diagramme donne une poussée au repos de 769,8 kilonewtons par mètre de paroi, dont 320,0 reviennent à l'eau, soit 41,6% d'une force qui n'obéit à aucun angle de frottement.

Deux réserves, dont la seconde renverse une intuition tenace. Ces coefficients sont des corrélations empiriques et non des mesures — l'Eurocode 7 ne prescrit d'ailleurs aucune formule et laisse le choix à l'ingénieur. Surtout, on attend que l'argile, dont la formule compte deux paramètres au lieu d'un, donne le résultat le plus fragile : c'est l'inverse, et l'incertitude qui gouverne réellement est celle du rapport de surconsolidation. C'est donc l'œdomètre qui mérite l'effort, non le triaxial — plus de paramètres ne veut pas dire plus d'incertitude, c'est la dérivée qui tranche.

Mécanique des SolsÉtape 17 sur 60

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