Contrainte effective de Bishop et profondeur de nappe implicite
Une pression interstitielle équivalente que personne n'écrit, une nappe que les données localisent sans le dire, et un résultat divisé par trois selon le niveau retenu
Contexte de l'Étude & Enjeux
Le Contexte : Une fondation superficielle doit être dimensionnée à quatre mètres de profondeur dans un limon argileux non saturé . Le sondage a livré quatre chiffres : un poids volumique, deux pressions interstitielles — celle de l'air et celle de l'eau — et un paramètre de Bishop. Avec eux, la contrainte effective se calcule en trois lignes, et l'exercice pourrait s'arrêter là. Il se trouve que ces quatre chiffres en disent bien davantage : ils fixent la position de la nappe, ils imposent tout un profil de contrainte effective, et ils permettent de savoir ce que le résultat deviendrait si cette nappe remontait. Or elle remontera — c'est même ce que la norme demande d'envisager. L'exercice tient donc en une phrase : le calcul de la contrainte effective se fait en trois lignes, et tout l'intérêt est dans ce que ces trois lignes supposent sans le dire. Un sol non saturé n'est pas un sol dont on aurait retiré un peu d'eau : c'est un milieu à trois phases où deux fluides coexistent à des pressions différentes, et où la résistance mécanique dépend autant de l'état hydrique du jour que des propriétés du matériau. Un limon argileux à quatre mètres peut ainsi se comporter comme un sol raide en août et comme un sol médiocre en mars, sans qu'aucune de ses propriétés n'ait changé. de la mission. Adaptez votre discours au projet spécifique de génie civil. Laissez-vous guider par notre approche claire et structurée ! ]
La relation de Bishop s'écrit en deux termes et se calcule sans difficulté. Ce qui mérite l'attention n'est donc pas le calcul, mais ce que les données contiennent sans le dire — et ce qu'une pression interstitielle suppose toujours :
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Les deux pressions, et les deux termes : l'air et l'eau coexistent dans les pores à des pressions différentes , et leur écart est la succion matricielle. La pression de l'eau est ici négative, ce qui signifie qu'elle est en dépression par rapport à l'atmosphère et qu'elle tire les grains les uns vers les autres au lieu de les écarter. Une dépression n'est pas une pression absolue négative — cela n'existe pas — mais une pression inférieure à l'atmosphère prise pour origine, exactement comme celle qui fait monter l'eau dans une paille. Le vocabulaire trompe, la physique ne trompe pas. La relation de Bishop additionne alors deux termes : une contrainte nette, charge des terres diminuée de la pression d'air, et une contribution de succion pondérée par un paramètre.
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La pression interstitielle équivalente : la source écrit que la pression en jeu « n'est ni celle de l'air ni celle de l'eau » sans jamais l'écrire. Elle s'écrit pourtant , et l'écrire change la lecture de tout l'exercice. Regroupés, les deux termes livrent une soustraction unique : la contrainte totale diminuée d'une moyenne pondérée des deux pressions. La forme de Terzaghi réapparaît, ce qui n'a rien d'un hasard — la relation de Bishop a précisément été construite pour étendre celle de Terzaghi sans en changer la structure — et cette écriture donne gratuitement le poids que chacune des deux mesures pèse dans le résultat. Une pression d'eau négative se rapporte de plus toujours à un niveau de nappe : sous équilibre hydrostatique, la dépression mesurée en un point est exactement le poids de la colonne d'eau qui l'en sépare de la surface libre. Un relevé de pression d'eau localise donc la nappe, et le sondage n'avait pas besoin de la rencontrer pour cela. L'hypothèse hydrostatique n'est pas gratuite pour autant : sous évaporation, la succion près de la surface est plus forte, et la nappe se trouve en réalité plus proche.
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L'objectif final : établir la contrainte effective au point d'analyse, puis mesurer ce qu'elle doit à une hypothèse hydraulique que personne n'a formulée. Le risque est celui d'un dimensionnement calé sur l'état hydrique d'un jour de sondage : la succion vaut ce que vaut la position de la nappe ce jour-là, et une fondation dure plus longtemps qu'une campagne de reconnaissance. La NF P 94-261 traite d'ailleurs le niveau d'eau comme une donnée de projet à choisir prudemment, non comme une mesure à recopier. La distinction est plus profonde qu'il n'y paraît : parmi les cinq chiffres du relevé, deux sont des propriétés du matériau, tandis que les deux pressions interstitielles ne décrivent qu'un état. Une propriété se mesure et se reporte ; un état se choisit, et se choisit du côté défavorable.
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L'astuce de l'ingénieur : réécrivez la relation de Bishop sous la forme d'une soustraction unique. En regroupant les deux termes, la contrainte effective devient la contrainte totale diminuée d'une pression interstitielle équivalente , moyenne pondérée des deux pressions par le paramètre de Bishop. Terzaghi réapparaît, et avec lui deux enseignements immédiats : le poids relatif de chacune des deux pressions dans le résultat, et le signe qui décide si la contrainte effective dépasse ou non la contrainte totale. Cette réécriture ne coûte rien et se fait en une ligne — c'est le meilleur rapport entre l'effort et ce qu'on en tire de tout l'exercice.
Calculer la contrainte effective au point d'analyse, puis en éprouver les fondements : réécrire la relation pour faire apparaître la pression équivalente, retrouver la position de la nappe que les données impliquent , et chiffrer ce que devient le résultat si cette nappe remonte . Cette dernière question est celle que la norme oblige à poser, et c'est celle que la source ne pose pas.
- Le grand défi : comprendre qu'une pression interstitielle mesurée n'est pas une propriété du sol mais un état, et qu'un état se choisit en projet. Les quatre chiffres du relevé décrivent le terrain tel qu'il était le jour du sondage. La norme, elle, demande de justifier l'ouvrage avec le niveau d'eau le plus défavorable vis-à-vis de l'état limite considéré — ce qui n'est presque jamais le niveau relevé. La difficulté n'est pas technique : le calcul à mener avec un autre niveau d'eau est plus simple que celui de l'énoncé, puisque le sol saturé relève de Terzaghi. Elle est de méthode : il faut penser à poser la question, alors que rien dans les données ne la suggère et que le résultat obtenu sans elle a toutes les apparences d'un résultat complet.
- Votre rôle : calculer la contrainte totale verticale et la succion matricielle, en déduire la contribution de succion et la contrainte effective de Bishop, réécrire cette dernière au moyen d'une pression interstitielle équivalente et en tirer le poids relatif des deux pressions, puis retrouver la profondeur de nappe impliquée par les données, en déduire le profil de contrainte effective et chiffrer ce qu'il devient si la nappe remonte au terrain naturel.
- Livrable 1 — l'état de contrainte au point d'analyse : la contrainte totale verticale, la succion matricielle, la contribution de succion et la contrainte effective de Bishop, accompagnées de la pression interstitielle équivalente qui les résume et du poids relatif de chacune des deux pressions dans le résultat. Ce dernier chiffre a une portée pratique directe : il dit lequel des deux capteurs mérite le soin métrologique.
- Livrable 2 — la dépendance au niveau d'eau : la profondeur de nappe qu'impliquent les données sous équilibre hydrostatique, le profil de contrainte effective qui en découle avec son gradient, puis la contrainte effective au même point si la nappe remonte au terrain naturel . Le livrable rappellera que ce niveau est une donnée de projet régie par la NF P 94-261, et non une mesure.
La mécanique des sols non saturés ne fait l'objet d'aucune partie dédiée des Eurocodes : la NF EN 1997-1 est bâtie sur le principe des contraintes effectives des sols saturés, et ses vérifications supposent implicitement une pression interstitielle unique. La formulation de Bishop employée ici est un résultat de la littérature scientifique, publié en 1959, et non une prescription normative. Ce qui relève de la norme, c'est l'usage qu'on fait du résultat : la CLAUSE 2.4.5.2 (2)P de la NF EN 1997-1 impose que la valeur caractéristique d'un paramètre géotechnique soit une estimation prudente de la valeur gouvernant l'état-limite considéré. Appliquée ici, elle interdit de retenir la contrainte effective la plus favorable du domaine balayé, et commande de tenir compte de l'indétermination du paramètre de Bishop. La conséquence pratique mérite d'être énoncée : une vérification réglementaire menée sur les contraintes effectives des sols saturés ignore la contribution de la succion, ce qui la place du côté de la sécurité tant que le sol peut se saturer. Conformément au droit d'auteur applicable aux normes, aucun tableau, aucune formule et aucun extrait de ces textes n'est reproduit ici : seules les références de clause sont citées, et tous les chiffres proviennent des mesures de l'essai ou d'un calcul explicite mené sous vos yeux.
Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)
Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !
- Contrainte effective de Bishop \( \sigma'_v = (\sigma_v - u_a) + \chi\,(u_a - u_w) \)
RELEVÉ DE SONDAGE AU POINT D'ANALYSE
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| z | Profondeur d'analyse, niveau d'assise de la fondation superficielle Sondage | 4 | m |
| γ | Poids volumique total du limon argileux, mesuré en place | 19 | kN/m³ |
- Mesurée au capteur ; sa valeur non nulle suppose une phase gazeuse confinée \( u_a = \mathbf{10} \text{ kPa} \)
PARAMÈTRES HYDRIQUES
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| u_w | Pression de l'eau interstitielle, mesurée au tensiomètre — NÉGATIVE | −50 | kPa |
| χ | Paramètre de Bishop, pondérant la contribution de la succion | 0,70 | — |
- Valeur normative française, et non la valeur physique 9,81 kN/m³ \( \gamma_w = \mathbf{10} \text{ kN/m}^3 \)
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)
Le relevé ci-dessus est la seule source de chiffres de cet exercice. Les repères ci-dessous ne servent qu'à situer la démarche et ne fournissent aucune donnée de calcul.
Les quatre niveaux d'eau de référence — NF EN 1990/NA A1.3.1 et NF EN 1990/A1/NA A2.2.6| Niveau | Définition et emploi |
|---|---|
| EB — eaux basses, quasi-permanent | Niveau susceptible d'être dépassé pendant 50% du temps de référence |
| EE — exceptionnel, situations accidentelles | Niveau le plus élevé, ou le plus bas, qui ne peut pas être physiquement dépassé |
3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé
Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.
Question 1 : Contrainte totale verticale et succion matricielle
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
La contrainte totale verticale d'un massif homogène est le produit du poids volumique par la profondeur. La succion est l'écart entre pression d'air et pression d'eau.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Attention au signe de la pression d'eau dans la soustraction : retrancher un nombre négatif revient à additionner.
Question 2 : Contribution de succion et contrainte effective
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
La contribution de succion est le produit du paramètre de Bishop par la succion. La contrainte nette retranche la pression de l'AIR, non celle de l'eau.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
La formule de Terzaghi retranche la seule pression d'eau : elle néglige à la fois la pression d'air et la pondération de la succion.
Question 3 : Pression interstitielle équivalente et poids des deux pressions
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Un pourcentage n'a de sens que rapporté à une référence explicite. Le même écart absolu donne plusieurs pourcentages également légitimes selon la grandeur choisie au dénominateur.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Regroupez les termes en pression dans la relation de Bishop. Le coefficient de chaque pression dans l'expression obtenue est sa sensibilité.
Question 4 (Finale) : La nappe implicite et ce qu'elle vaut
profondeur de nappe
qu'impliquent les données sous équilibre hydrostatique, en employant la valeur normative du poids volumique de l'eau. Établissez le gradient de contrainte effective qui en découle et comparez-le à celui de la contrainte totale. Déterminez enfin la contrainte effective au même point d'analyse si la nappe remonte au terrain naturel, et concluez sur ce que le résultat de la question 2 doit à une hypothèse hydraulique que personne n'a formulée.
Sous équilibre hydrostatique, la dépression mesurée en un point est le poids de la colonne d'eau qui le sépare de la surface libre.
Si la nappe remonte au-dessus du point d'analyse, le sol y est saturé : la relation de Bishop cède la place à celle de Terzaghi, avec une pression d'eau devenue positive.
Contrainte effective de Bishop et profondeur de nappe implicite
« Un produit et une soustraction. L'exercice ne se joue pas ici — sauf si l'on perd le signe de la pression d'eau. Retrancher moins cinquante revient à ajouter cinquante . L'erreur donnerait une succion négative, grandeur qui n'existe pas puisqu'une succion mesure une dépression et est positive par construction. Encore faut-il le savoir pour s'en apercevoir. »
- Observation : Les deux pressions sont de signes opposés : leur écart sera donc plus grand que chacune prise isolément. Et la contrainte totale, elle, ne dépend d'aucune des deux.
- Analyse du risque : Une erreur de signe donnerait une succion de moins quarante kilopascals au lieu de soixante. Cette valeur est physiquement impossible — une succion négative signifierait que l'eau pousse au lieu de tirer, c'est-à-dire un sol saturé sous pression, ce que la donnée contredit. Le contrôle est immédiat, encore faut-il le faire.
- Choix stratégique : Multiplier le poids volumique par la profondeur pour obtenir la contrainte totale, puis retrancher la pression d'eau à celle de l'air en soignant le signe, et vérifier que la succion obtenue est positive.
- Alternative : Raisonner sur les valeurs absolues en écrivant que la succion vaut dix plus cinquante. Écarté comme méthode, accepté comme contrôle : le résultat est le même, mais l'écriture par valeurs absolues cesse d'être juste dès que les deux pressions sont de même signe — ce qui arrivera précisément à la question 4, quand la nappe remontera.
- Objectif visé : Poser les deux grandeurs d'entrée de la relation de Bishop : la charge que le terrain exerce, et l'écart de pression entre les phases.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
La contrainte totale ne dépend que du poids des terres sus-jacentes : elle est la même que le sol soit sec, humide ou noyé, dès lors que le poids volumique mesuré est le poids total , fluides compris. La succion, elle, ne dépend que de l'état hydrique et ignore complètement la profondeur. Ces deux grandeurs sont donc indépendantes, et c'est la relation de Bishop qui les met en présence.
Deux relations élémentaires, dont la seconde n'est qu'une soustraction. Sa difficulté tient entièrement au signe de l'un de ses termes.
Contrainte totale verticaleDonne la charge que le terrain sus-jacent exerce au point d'analyse.
Parce que c'est le point de départ de toute analyse de contrainte : on ne peut retrancher une pression interstitielle qu'à une contrainte totale préalablement établie . Une erreur ici se propage intégralement à tout ce qui suit, et aucun contrôle ultérieur ne la rattraperait
- σ_v : contrainte totale verticale, unité : kPa
- γ : poids volumique total du limon, 19, unité : kN/m³
- z : profondeur d'analyse, 4, unité : m
- 76,0 : valeur obtenue, unité : kPa
- 7,6 m : colonne d'eau équivalente, unité : m
Mesure l'écart de pression entre les phases air et eau du sol.
Parce que c'est cet écart, et non chacune des pressions prise isolément, qui décrit l'intensité de l'attraction capillaire. Un sol dont les deux pressions seraient élevées mais égales n'aurait aucune succion et se comporterait comme un sol saturé — seule la différence compte
- s : succion matricielle, unité : kPa
- u_a : pression de l'air interstitiel, 10, unité : kPa
- u_w : pression de l'eau interstitielle, −50, unité : kPa
- 60,0 : valeur obtenue, positive comme il se doit, unité : kPa
- 6 m : hauteur de colonne d'eau équivalente, unité : m
« La succion matricielle vaut la différence entre les deux pressions interstitielles, soit 10 − 50 = −40 kPa. Le sol est donc en surpression et la succion ne joue aucun rôle. »
- L'erreur : Elle perd le signe d'une donnée en la recopiant. C'est l'erreur la plus élémentaire qui soit, et elle survit ici parce que le résultat, moins quarante kilopascals, ressemble suffisamment à un nombre acceptable pour ne pas choquer au premier regard.
- La bonne méthode : Écrire la soustraction avec les parenthèses, sans les simplifier de tête, puis vérifier que le résultat est positif. Deux précautions, trois secondes.
- L'astuce de pro : Contrôlez le résultat par sa hauteur de colonne d'eau équivalente : soixante kilopascals font six mètres, ce qui est l'ordre de grandeur d'une frange capillaire dans un limon. Moins quarante kilopascals feraient moins quatre mètres, ce qui n'a aucun sens.
- Le moyen mnémotechnique : Une succion est positive. Si votre calcul en rend une négative, c'est le calcul qui est faux, pas le sol qui est étrange.
- L'impact direct : Une succion de moins quarante propagée dans la relation de Bishop donnerait 38 kPa au lieu de 108, soit une sous-estimation de 65%. La fondation serait dimensionnée pour un sol trois fois moins résistant que celui qu'on a sondé.
Exécution de la Note de Calculs
- Poids volumique total γ : en kN/m³
- Profondeur z : en m
- Contrainte totale : produit des deux, en kN/m², donc en kPa
- Pressions interstitielles u_a et u_w : en kPa
- Succion matricielle : différence de deux pressions, en kPa
Le produit d'un poids volumique par une profondeur donne des kilonewtons par mètre carré, c'est-à-dire exactement des kilopascals. La conversion est donc gratuite, et elle constitue le meilleur contrôle disponible sur ce premier calcul. Un second contrôle, moins mécanique, mérite d'y être joint : soixante-seize kilopascals valent 7,6 mètres de colonne d'eau, et soixante kilopascals de succion en valent six . Traduire chaque contrainte en hauteur d'eau équivalente rend les deux nombres immédiatement comparables et attrape les erreurs d'un facteur dix, que le contrôle d'unités ne signalerait jamais puisqu'il porte sur la forme et non sur la grandeur. Six mètres de frange capillaire dans un limon est plausible ; soixante mètres ne le serait pas.,
1. Résolution Numérique Contrainte totale verticalePourquoi fait-on ce calcul ? C'est le point de départ de toute analyse de contrainte : on ne retranche une pression interstitielle qu'à une contrainte totale préalablement établie.
On multiplie le poids volumique total par la profondeur d'analyse. Le poids volumique employé est le poids total , fluides compris, et non le poids déjaugé : ce dernier ne sert qu'en dessous de la nappe, et déjà dans un calcul de contrainte effective.
- Substitution : γ = 19 kN/m³, mesuré en place ; z = 4 m, niveau d'assise de la fondation.
- Piège évité : Ne pas employer le poids volumique déjaugé. Il vaudrait ici 9 kN/m³ et donnerait 36 kPa au lieu de 76 : une sous-estimation de plus de moitié, et surtout une confusion de nature entre contrainte totale et contrainte effective.
- Hypothèse validée : Massif homogène sur les quatre mètres, surface horizontale, aucune surcharge en surface. Un remblai, un dallage ou une circulation d'engins s'ajouteraient intégralement à faible profondeur.
- Vérification croisée : Analyse dimensionnelle : des kN/m³ multipliés par des m donnent des kN/m², c'est-à-dire des kPa. Le calcul se referme sur lui-même.
- Finalité : Cette contrainte est le premier terme de la relation de Bishop, dont on retranchera la pression d'air à la question 2.
76 kPa, soit l'équivalent d'une colonne d'eau de sept mètres et demi ou de sept tonnes et demie par mètre carré . C'est la charge que le terrain exerce déjà, avant même que la fondation n'ajoute la sienne . Le rapport entre les deux décidera d'ailleurs de l'ampleur du tassement : une fondation qui n'ajoute que quelques pour cent à cette charge ne fait presque rien travailler le sol.
- Ordre de grandeur : Un poids volumique de dix-neuf kilonewtons par mètre cube donne à peu près vingt kilopascals par mètre de profondeur. C'est le repère à mémoriser : quatre mètres, quatre-vingts kilopascals à quelques pour cent près.
- Impact sur la suite : Elle constitue le premier terme de la relation de Bishop, et c'est également elle qui fixera le gradient du profil établi à la question 4.
- Cohérence : Le résultat est du bon ordre de grandeur pour quatre mètres de limon, et son analyse dimensionnelle est exacte. Rien ici n'appelle de réserve.
- Attention : Cette contrainte est totale : elle ne dit rien de ce que supporte le squelette solide. C'est justement l'objet des questions suivantes que de faire la part des fluides.
- Comparaison : La NF EN 1997-1 range le poids des terres parmi les actions permanentes, à prendre en compte dans toutes les justifications de stabilité. Le guide Cerema de la NF P 94-261 précise même des valeurs conventionnelles admises hors marché, vingt kilonewtons par mètre cube hors nappe et vingt-deux sous nappe — la valeur mesurée ici, dix-neuf, leur est proche.
Remarque pédagogique : Un contrôle d'unités qui referme exactement le calcul, comme ici, ne coûte rien et attrape toutes les erreurs de forme. Il ne dit en revanche rien de la grandeur du résultat : les deux contrôles sont complémentaires, pas interchangeables.
Succion matriciellePourquoi fait-on ce calcul ? C'est la grandeur d'entrée de toute la mécanique des sols non saturés : elle mesure l'intensité de l'attraction capillaire entre les grains.
On retranche la pression de l'eau à celle de l'air. La pression de l'eau étant négative , cette soustraction revient à une addition — les parenthèses méritent d'être écrites plutôt que simplifiées de tête. Le résultat doit être positif : une succion négative n'existe pas.
- Substitution : u_a = 10 kPa, mesurée au capteur ; u_w = −50 kPa, mesurée au tensiomètre.
- Piège évité : Ne pas écrire 10 − 50. Le résultat, −40 kPa, ressemble assez à un nombre acceptable pour ne pas choquer, alors qu'une succion négative signifierait que l'eau pousse au lieu de tirer — c'est-à-dire un sol saturé sous pression, ce que la donnée contredit.
- Hypothèse validée : Les deux pressions sont rapportées à la même origine, la pression atmosphérique, et sont représentatives de l'état du sol au point d'analyse. La phase gazeuse est de plus supposée continue, faute de quoi parler d'une pression d'air unique n'aurait pas de sens.
- Vérification croisée : Le résultat doit être positif, et son ordre de grandeur vérifiable : 60 kPa correspondent à 6 m de colonne d'eau, valeur plausible pour la frange capillaire d'un limon.
- Finalité : Cette succion sera pondérée par le paramètre de Bishop à la question 2, et c'est elle qui localisera la nappe à la question 4.
60 kPa, soit l'équivalent de six mètres de colonne d'eau. C'est une attraction capillaire considérable , et elle s'exerce sur chacun des contacts entre grains du volume considéré. C'est elle qui permet à une fouille de tenir à la verticale par temps sec , alors que le même limon coule dès qu'il est noyé — l'un des deux extrêmes où la succion s'annule.
- Ordre de grandeur : Une succion de quelques dizaines de kilopascals est courante dans un limon à faible profondeur. Elle peut atteindre plusieurs centaines de kilopascals en période de sécheresse, et plusieurs mégapascals dans une argile desséchée.
- Impact sur la suite : Elle est le facteur de la contribution de succion, calculée à la question 2, et son ordre de grandeur détermine à lui seul la profondeur de nappe qui sera retrouvée à la question 4.
- Cohérence : La succion est positive, comme l'exige sa définition, et les deux pressions sont bien de signes opposés, ce qui est la situation normale d'un sol non saturé au-dessus de la nappe.
- Attention : Cette succion est la composante matricielle, d'origine capillaire. Sur un sol salin s'y ajouterait une succion osmotique, du même ordre de grandeur, que cette relation ignore entièrement.
- Comparaison : Cinquante kilopascals de dépression sont à la moitié de la limite d'un tensiomètre classique, qui décroche vers cent kilopascals. La mesure est donc fiable ici, ce qui ne serait plus le cas sur une argile desséchée.
Remarque pédagogique : Un contrôle par équivalent physique — ici la hauteur de colonne d'eau — attrape les erreurs d'un facteur dix que le contrôle d'unités ne voit jamais. Il coûte une division.
« Une multiplication, une addition, et un résultat qui dépasse la contrainte totale. Sur un sol saturé, ce serait impossible. Ici c'est normal : l'eau en dépression tire les grains les uns vers les autres , et le squelette se trouve comprimé par deux effets qui s'ajoutent — la charge des terres et l'attraction capillaire. Ce qui mérite attention est ailleurs : dans la tentation d'appliquer Terzaghi. »
- Observation : La contrainte nette vaut 66 kPa, soit dix de moins que la contrainte totale, parce que la pression d'air en est retranchée. La contribution de succion vaut 42 kPa : elle fait bien plus que compenser.
- Analyse du risque : Appliquer la formule de Terzaghi donnerait 126 kPa au lieu de 108, soit 16,7% de surestimation . Le résultat resterait plausible pour qui n'a pas de repère, et il conduirait à créditer le sol d'une résistance qu'il n'a pas — car cette formule néglige à la fois la pression d'air et la pondération de la succion.
- Choix stratégique : Pondérer la succion par le paramètre de Bishop pour obtenir sa contribution, calculer la contrainte nette en retranchant la pression d'air, additionner les deux, puis comparer le résultat à la contrainte totale et à ce que donnerait Terzaghi.
- Alternative : Écrire directement la contrainte effective en une seule expression sans distinguer les deux termes. Écarté ici : la décomposition est ce qui rend le résultat interprétable, et la question 3 montrera qu'il existe une autre écriture compacte, bien plus instructive que celle-là.
- Objectif visé : Obtenir la contrainte réellement supportée par le squelette solide au point d'analyse, et chiffrer l'erreur que commettrait une application aveugle de Terzaghi.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Sur un sol saturé, une seule pression interstitielle existe et le principe des contraintes effectives s'écrit en une soustraction. Sur un sol à trois phases, il faut deux termes : l'un rend compte de la charge des terres diminuée de la pression du fluide majoritaire dans les pores — l'air — l'autre de l'attraction capillaire exercée par le fluide minoritaire.
Deux relations : la contribution de succion, puis la relation de Bishop qui l'assemble avec la contrainte nette.
Contribution de la succionDonne la part de la succion qui participe effectivement à la contrainte effective.
Parce que toute la succion ne se transmet pas au squelette : seule la fraction correspondant à la surface effectivement mouillée y participe. Un sol presque sec a beaucoup de succion et peu de contacts humides ; un sol presque saturé a peu de succion et beaucoup de contacts. Le paramètre pèse ce compromis
- σ′_succion : contribution de la succion, unité : kPa
- χ : paramètre de Bishop, 0,70, unité : sans dimension
- s : succion matricielle, 60, unité : kPa
- 42,0 : valeur obtenue, unité : kPa
- 18 : part de succion non transmise, unité : kPa
Donne la contrainte réellement supportée par le squelette solide d'un sol à trois phases.
Parce qu'elle étend aux sols non saturés le principe qui gouverne toute la mécanique des sols : seule la contrainte effective commande la résistance et la déformation . Sans elle, il faudrait deux variables d'état indépendantes et l'ensemble des vérifications établies pour les sols saturés devrait être réécrit
- σ′_v : contrainte effective de Bishop, unité : kPa
- σ_v − u_a : contrainte nette, 66,0, unité : kPa
- χ(u_a − u_w) : contribution de succion, 42,0, unité : kPa
- 108,0 : valeur obtenue, unité : kPa
- 126 : ce que donnerait Terzaghi appliqué à tort, unité : kPa
« Le principe des contraintes effectives dit qu'on retranche la pression interstitielle à la contrainte totale. Ici σ′ = σ − u_w = 76 − (−50) = 126 kPa. La succion est bien prise en compte, puisque la pression d'eau est négative. »
- L'erreur : Elle transpose une formule hors de son domaine de validité, en s'appuyant sur un raisonnement partiellement juste — la pression d'eau négative augmente bien la contrainte effective. C'est ce fond de vérité qui rend l'erreur crédible.
- La bonne méthode : Vérifier le nombre de phases avant de choisir la formule. Deux phases, Terzaghi ; trois phases, Bishop. La présence d'une pression d'air distincte de celle de l'eau suffit à trancher.
- L'astuce de pro : Contrôlez aux deux bornes du paramètre : à zéro, la relation doit rendre la contrainte totale diminuée de la pression d'air, soit 66 ; à un, la contrainte totale diminuée de la pression d'eau, soit 126. Le résultat cherché doit tomber entre les deux — et 126 est justement la borne haute, donc une valeur limite et non une valeur courante.
- Le moyen mnémotechnique : Terzaghi ne connaît qu'une pression. S'il y en a deux, c'est Bishop.
- L'impact direct : Une surestimation de 16,7% de la contrainte effective se propage à toute vérification de portance ou de tassement. Elle crédite le sol d'une résistance qu'il n'a pas, et cela dans le sens qui rassure — l'espèce d'erreur la plus difficile à détecter en relecture.
Exécution de la Note de Calculs
- Succion s et pressions : en kPa
- Paramètre de Bishop χ : sans dimension
- Contribution de succion : produit d'un sans-dimension par des kPa, en kPa
- Contrainte nette (σ_v − u_a) : en kPa
- Contrainte effective : somme de deux kPa, en kPa
Toutes les grandeurs sont en kilopascals, sauf le paramètre de Bishop qui est sans dimension. Aucune conversion n'intervient, et aucun contrôle d'unités ne peut donc départager les deux formules concurrentes — elles sont l'une et l'autre homogènes. Le seul contrôle utile est celui des deux bornes du paramètre : à χ = 0 la relation doit rendre 66 kPa et à χ = 1 elle doit rendre 126 kPa , c'est-à-dire la contrainte totale diminuée respectivement de la pression d'air et de celle de l'eau. Ces deux vérifications se font de tête et attrapent toute erreur d'écriture dans l'un ou l'autre des deux termes. Elles éclairent de surcroît le piège : les 126 kPa de Terzaghi ne sont pas un nombre arbitraire, c'est la borne haute de la relation de Bishop — celle qu'on n'atteint que si la totalité de la succion se transmet, ce qui n'est jamais le cas.,
1. Résolution Numérique Contribution de la succionPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que toute la succion ne se transmet pas au squelette : seule une fraction y participe, et c'est elle qui entre dans la contrainte effective.
On pondère la succion par le paramètre de Bishop. Ce paramètre traduit le fait que seule la surface effectivement mouillée transmet l'attraction capillaire au squelette solide. Une multiplication, mais dont le facteur n'est pas mesuré directement.
- Substitution : χ = 0,70, fourni par l'énoncé ; s = 60,0 kPa, calculée à la question 1.
- Piège évité : Ne pas oublier de multiplier par le paramètre. Prendre toute la succion donnerait 60 kPa au lieu de 42, et donc 126 kPa de contrainte effective — la même valeur que Terzaghi, obtenue par un chemin différent et tout aussi faux.
- Hypothèse validée : Le paramètre vaut 0,70 et est supposé constant, représentatif du degré de saturation à cette profondeur. Cette constance sera remise en cause à la question 4, quand il faudra étendre le raisonnement à tout le profil.
- Vérification croisée : La contribution doit être inférieure à la succion, le paramètre étant inférieur à un : 42 contre 60, l'écart de 18 kPa représentant la part non transmise. Les deux contrôles passent.
- Finalité : Ce terme s'ajoutera à la contrainte nette pour former la contrainte effective de Bishop, au bloc suivant.
42 kPa de compression supplémentaire apportée au squelette par la seule capillarité, sur les 60 disponibles. Les 18 kPa restants sont perdus , non par une déperdition physique mais parce qu'ils s'appliquent sur des contacts air-grain où aucun ménisque ne transmet l'effort . Trente pour cent de l'effet ne franchit pas l'interface, et c'est précisément ce que le paramètre de Bishop chiffre.
- Ordre de grandeur : Un paramètre de sept dixièmes correspond à un sol partiellement saturé, autour de soixante-dix à quatre-vingts pour cent de saturation si l'on retient l'approximation courante qui l'assimile au degré de saturation.
- Impact sur la suite : Ce terme constitue tout l'écart entre la contrainte nette et la contrainte effective : c'est lui seul que la question 3 chiffrera en pourcentage.
- Cohérence : Le résultat est bien compris entre zéro — cas du sol sec — et 60 kPa, cas où toute la succion se transmettrait. Les deux bornes correspondent aux valeurs extrêmes du paramètre.
- Attention : Le paramètre n'est pas mesuré directement. On le déduirait de la courbe de rétention d'eau du sol, dont la détermination est un essai de laboratoire à part entière, ou on l'approximerait par le degré de saturation.
- Comparaison : L'approximation qui assimile le paramètre au degré de saturation est simple mais discutée : elle surestime la contribution de succion sur les sols fins, où une part de l'eau est adsorbée et non capillaire.
Remarque pédagogique : Un facteur de pondération compris entre zéro et un mérite toujours qu'on regarde ce qu'il retire, pas seulement ce qu'il laisse. Ici il retire 18 kPa, et ces 18 kPa sont l'écart exact avec le résultat de Terzaghi.
Contrainte effective de BishopPourquoi fait-on ce calcul ? C'est la grandeur qui commande la résistance et la déformation du sol : sans elle, aucune vérification de portance ou de tassement n'est possible.
On calcule d'abord la contrainte nette, \( \sigma_v - u_a = 76 - 10 = 66{,}0 \) kPa — en retranchant la pression de l'AIR et non celle de l'eau. On y ajoute ensuite la contribution de succion. Les deux termes sont de même signe : ils s'additionnent, et c'est ce qui rend possible le dépassement de la contrainte totale.
- Substitution : σ_v − u_a = 66,0 kPa ; contribution de succion 42,0 kPa, calculée au bloc précédent.
- Piège évité : Ne pas appliquer la formule de Terzaghi. Elle donnerait 76 − (−50) = 126 kPa, soit 16,7% de trop, en négligeant à la fois la pression d'air et la pondération de la succion — deux omissions qui vont dans le même sens.
- Hypothèse validée : La formulation scalaire de Bishop décrit adéquatement le comportement. L'approche concurrente de Fredlund et Morgenstern emploierait deux variables d'état indépendantes plutôt qu'une contrainte effective unique.
- Vérification croisée : Contrôle aux deux bornes du paramètre : à χ = 0 la relation rend 66,0 kPa, soit σ_v − u_a ; à χ = 1 elle rend 126,0 kPa, soit σ_v − u_w. Les deux expressions attendues sont retrouvées, et le résultat tombe bien entre elles.
- Finalité : Cette contrainte sera réécrite au moyen d'une pression équivalente à la question 3, puis confrontée au niveau de nappe à la question 4.
108 kPa, soit 32 kPa de PLUS que la contrainte totale de 76 kPa. Le squelette supporte davantage que la charge des terres , ce qui serait impossible sur un sol saturé et qui est parfaitement normal ici : l'attraction des ménisques comprime les grains en plus de la charge . Le soulagement apporté par la pression d'air, dix kilopascals, est très largement compensé par les quarante-deux de la succion.
- Ordre de grandeur : Une contrainte effective supérieure de plus de quarante pour cent à la contrainte totale traduit une succion élevée pour la profondeur considérée. À dix mètres, le rapport se resserrerait fortement — la question 4 le montrera.
- Impact sur la suite : C'est cette valeur qui entrerait dans une vérification de portance ou dans un calcul de tassement. La question 4 montrera ce qu'elle doit à une hypothèse hydraulique jamais formulée.
- Cohérence : Les deux contrôles aux bornes du paramètre passent, ce qui valide l'écriture des deux termes, et le résultat tombe entre elles comme il se doit.
- Attention : Le dépassement de la contrainte totale n'a rien d'exceptionnel, mais il est conditionnel : il tient à une pression d'eau négative, donc à une position de nappe. Rien dans le calcul mené ici ne le rappelle.
- Comparaison : La NF EN 1997-1 impose de justifier portance et tassement en contraintes effectives, mais elle est bâtie sur celles des sols saturés : la contribution de succion n'y figure pas, ce qui place le calcul réglementaire du côté de la sécurité.
Remarque pédagogique : Vérifier une relation à ses deux cas limites coûte deux calculs de tête et valide l'écriture complète. C'est particulièrement utile quand les termes sont homogènes entre eux, cas où aucun contrôle d'unités ne peut aider.
« Un pourcentage sans dénominateur explicite, et une relation à deux termes qui en cache une à un seul. Deux occasions de dire plus juste sans calculer davantage. La source annonce « plus de soixante pour cent » : le même écart de quarante-deux kilopascals en vaut 63,64, 55,26 ou 38,89 selon qu'on le rapporte à la contrainte nette, à la contrainte totale ou à la contrainte effective elle-même. Les trois lectures sont légitimes ; ne pas dire laquelle ne l'est pas. »
- Observation : La relation de Bishop comporte deux termes en pression. Rien n'empêche de les regrouper : la pression d'air y apparaît deux fois, une fois retranchée et une fois ajoutée pondérée.
- Analyse du risque : Publier un pourcentage sans sa référence, c'est laisser le lecteur suivant en choisir une. Sur cet exercice, l'écart entre la lecture la plus flatteuse et la plus modeste est de près de vingt-cinq points — assez pour faire passer un effet de « majeur » à « appréciable » sans qu'aucun chiffre ait changé.
- Choix stratégique : Chiffrer d'abord l'apport de la succion rapporté à la contrainte nette, en nommant explicitement le dénominateur, puis regrouper les termes en pression de la relation de Bishop pour faire apparaître une pression interstitielle équivalente, et lire dans ses coefficients le poids de chacune des deux mesures.
- Alternative : Étudier la sensibilité par un balayage numérique de chacune des deux pressions. Écarté : la relation étant affine, ses coefficients donnent directement et exactement les sensibilités cherchées, sans calcul supplémentaire ni approximation.
- Objectif visé : Dire l'apport de la succion en nommant sa référence, et obtenir l'écriture compacte qui rend lisible le poids relatif des deux mesures.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
En développant la relation de Bishop et en regroupant les termes en pression, la contrainte effective s'écrit comme la contrainte totale diminuée d'une pression interstitielle équivalente : la moyenne des deux pressions pondérée par le paramètre de Bishop, la pression d'eau recevant le poids du paramètre et celle de l'air son complément. Terzaghi réapparaît, à ceci près que la pression retranchée n'est ni l'une ni l'autre des deux mesures.
Deux relations : le pourcentage d'apport avec sa référence explicite, puis la pression interstitielle équivalente.
Apport relatif de la succionRapporte la contribution de succion à une grandeur de référence nommée.
Parce qu'un écart absolu ne dit rien de son importance sans une référence, et parce que la référence n'est jamais unique . Le même écart de quarante-deux kilopascals vaut 63,64% de la contrainte nette, 55,26% de la contrainte totale et 38,89% de la contrainte effective elle-même : trois lectures également justes
- σ′_v : contrainte effective de Bishop, 108,0, unité : kPa
- σ_v − u_a : contrainte nette, référence choisie, 66,0, unité : kPa
- 42,0 : écart, égal à la contribution de succion, unité : kPa
- 63,64 : apport rapporté à la contrainte nette, unité : %
- 55,26 et 38,89 : les deux autres lectures légitimes, unité : %
Ramène la relation de Bishop à la forme d'une soustraction unique, comme celle de Terzaghi.
Parce que la forme à deux termes cache ce que la forme compacte révèle : le poids réel de chacune des deux mesures . La pression d'air, qui apparaît deux fois dans l'écriture d'origine, n'y pèse en réalité que le complément du paramètre de Bishop
- ū : pression interstitielle équivalente, unité : kPa
- (1 − χ) : poids de la pression d'air, 0,300, unité : sans dimension
- χ : poids de la pression d'eau, 0,700, unité : sans dimension
- −32,00 : valeur obtenue, unité : kPa
- 2,333 : rapport des deux poids, unité : sans dimension
« La succion augmente la contrainte effective de plus de 60%. C'est un effet majeur, qu'il serait très pénalisant de négliger. »
- L'erreur : Elle publie un rapport sans son dénominateur. Le lecteur suivant en choisira un, et rien ne garantit qu'il choisira le même — ni qu'il s'apercevra que la question se pose.
- La bonne méthode : Écrire systématiquement la référence à côté du pourcentage, dans la même phrase. « Soixante-quatre pour cent de la contrainte nette » est une information ; « soixante-quatre pour cent » n'en est pas une.
- L'astuce de pro : Quand un pourcentage vous paraît décisif, calculez-le avec les deux ou trois dénominateurs plausibles. Si l'ordre de grandeur ne change pas, la conclusion tient ; s'il change, c'est le dénominateur qu'il faut discuter avant la conclusion.
- Le moyen mnémotechnique : Un pourcentage sans dénominateur n'est pas un résultat, c'est une impression.
- L'impact direct : Sur un rapport d'étude, la même contribution de succion peut être présentée comme « majeure, près de 64% » ou « appréciable, environ 39% ». Aucun des deux n'est faux, et le lecteur n'a aucun moyen de le savoir si le dénominateur n'est pas dit.
Exécution de la Note de Calculs
- Contraintes au numérateur et au dénominateur : en kPa
- Apport relatif : rapport de deux kPa, en %
- Poids des deux pressions, (1 − χ) et χ : sans dimension
- Pression interstitielle équivalente : en kPa
- Rapport des deux poids : sans dimension
Aucune conversion n'intervient : toutes les contraintes sont en kilopascals et les poids sont sans dimension. Le contrôle utile est ailleurs. Il porte sur la pression équivalente et se fait en une soustraction : la contrainte totale diminuée de ū doit redonner exactement les 108 kPa de la question 2 . Ce contrôle vaut mieux qu'un contrôle d'unités, car il valide le regroupement des termes — l'opération où une erreur de signe passerait inaperçue, la pression d'air changeant de signe entre ses deux occurrences. Un second contrôle, gratuit lui aussi, consiste à porter le paramètre à ses deux bornes : la pression équivalente doit alors se réduire à l'une ou l'autre des deux pressions mesurées, et à rien d'autre.,
1. Résolution Numérique Apport relatif de la succionPourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un écart absolu ne dit rien de son importance, et parce que le juger suppose de nommer la grandeur à laquelle on le rapporte.
On rapporte l'écart entre contrainte effective et contrainte nette à cette dernière. Le numérateur n'est autre que la contribution de succion déjà calculée. Le choix du dénominateur, lui, fait partie du résultat et doit être énoncé : la contrainte nette est retenue ici parce qu'elle est ce que vaudrait la contrainte effective sans aucune succion.
- Substitution : σ′_v = 108,0 kPa et σ_v − u_a = 66,0 kPa, calculées à la question 2.
- Piège évité : Ne pas annoncer un pourcentage sans son dénominateur. Le même écart de 42 kPa vaut 63,64% de la contrainte nette, 55,26% de la contrainte totale et 38,89% de la contrainte effective : près de vingt-cinq points séparent les lectures extrêmes.
- Hypothèse validée : La contrainte nette est une base de comparaison pertinente pour évaluer l'effet de la succion, puisqu'elle correspond au cas où celle-ci ne serait pas transmise.
- Vérification croisée : Le numérateur doit être exactement la contribution de succion de la question 2 : 108,0 − 66,0 = 42,0 kPa. Il l'est.
- Finalité : Ce chiffre situe l'importance de l'effet ; le bloc suivant en donnera une lecture plus fine par la pression équivalente.
63,64% de la contrainte nette : la succion n'est pas une correction, c'est un terme principal . Elle ajoute près des deux tiers de ce que le poids des quatre mètres de terrain apporte, à elle seule . Rapporté à la contrainte totale, le même écart ferait 55,26%, et rapporté à la contrainte effective elle-même 38,89% — trois lectures exactes, dont aucune n'est plus vraie que les autres, et dont la source ne dit pas laquelle elle emploie.
- Ordre de grandeur : Un effet dépassant la moitié du terme de base est de premier ordre. En deçà de dix pour cent, on parlerait d'une correction ; au-delà de cinquante, la question devient de savoir si l'on peut s'y fier.
- Impact sur la suite : Il justifie qu'on s'intéresse à la robustesse du résultat plutôt qu'à sa seule valeur — ce que fait la question 4.
- Cohérence : Le numérateur retrouve exactement la contribution de succion calculée indépendamment, ce qui vérifie la cohérence de l'ensemble.
- Attention : Ce pourcentage mesure l'importance de l'effet, jamais la confiance qu'on peut lui accorder. Un effet majeur et fragile reste fragile, et c'est le cas ici.
- Comparaison : Négliger entièrement la succion, comme le fait une vérification réglementaire menée en contraintes effectives de sol saturé, revient à retenir 66 kPa au lieu de 108 : une approche très conservatrice, mais qui peut conduire à surdimensionner.
Remarque pédagogique : Trois dénominateurs plausibles, trois pourcentages entre 39 et 64% : la règle générale est d'écrire la référence dans la même phrase que le chiffre. Un pourcentage sans dénominateur n'est pas un résultat, c'est une impression.
Pression interstitielle équivalentePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la forme à deux termes cache le poids réel de chacune des deux mesures, et que le regroupement le révèle en une ligne.
On développe la relation de Bishop et l'on regroupe les termes en pression. La pression d'air y figure deux fois — retranchée dans la contrainte nette, ajoutée pondérée dans le terme de succion — de sorte que son coefficient net est le complément du paramètre. La contrainte effective prend alors la forme de Terzaghi.
- Substitution : χ = 0,70, u_a = 10 kPa et u_w = −50 kPa.
- Piège évité : Ne pas se tromper de signe en regroupant. La pression d'air change de signe entre ses deux occurrences, et une erreur ici donnerait un coefficient de un plus le paramètre au lieu de un moins : la pression équivalente vaudrait −18 kPa et la contrainte effective 94 au lieu de 108.
- Hypothèse validée : Le paramètre de Bishop est constant, ce qui permet de le sortir du regroupement. Cette pression équivalente n'est de plus pas mesurable : c'est une construction de calcul, exacte mais dépourvue de réalité matérielle.
- Vérification croisée : La contrainte totale diminuée de cette pression doit redonner le résultat de la question 2 : 76,0 − (−32,00) = 108,0 kPa. Elle le redonne exactement.
- Finalité : Ses coefficients donnent directement les sensibilités, et son signe explique le dépassement de la contrainte totale.
−32,00 kPa : le squelette se comporte comme s'il subissait une pression interstitielle unique de moins trente-deux kilopascals, qui n'est ni celle de l'air, ni celle de l'eau, ni leur moyenne arithmétique. Son signe négatif est exactement ce qui fait dépasser la contrainte totale : retrancher un nombre négatif ajoute. Et ses coefficients sont les sensibilités : sept dixièmes pour la pression d'eau contre trois dixièmes pour celle de l'air , soit un rapport de 2,333. C'est le tensiomètre — l'appareil le plus difficile à mettre en œuvre — qui mérite le soin métrologique, et non le capteur d'air.
- Ordre de grandeur : Une pression équivalente de l'ordre de moins trente kilopascals correspond à un sol nettement non saturé. Elle tendrait vers zéro à l'approche de la nappe, et deviendrait positive en dessous.
- Impact sur la suite : Elle fournit le critère de dépassement de la contrainte totale sous sa forme la plus simple — un signe — et elle servira de fil conducteur à la question 4, où c'est sa bascule qu'on chiffrera.
- Cohérence : Le contrôle referme le calcul, et les deux bornes du paramètre le confirment : à zéro la pression équivalente vaudrait 10 kPa, celle de l'air ; à un, −50 kPa, celle de l'eau. Elle interpole bien entre les deux mesures.
- Attention : Cette pression n'existe nulle part dans le sol. Aucun capteur ne la mesurerait, et la présenter comme une grandeur relevée serait une faute — c'est un intermédiaire de calcul, rien de plus.
- Comparaison : La source écrit que la pression en jeu « n'est ni celle de l'air ni celle de l'eau » sans jamais l'écrire. L'écrire coûte une ligne et rend le reste de l'analyse possible.
Remarque pédagogique : Quand une relation est affine en ses variables, ses coefficients SONT les sensibilités : aucun balayage numérique n'est nécessaire, et le résultat obtenu est exact plutôt qu'approché. Encore faut-il l'écrire sous forme affine, ce que la forme à deux termes empêchait de voir.
« Une pression d'eau négative ne flotte pas dans le vide : elle se rapporte à un niveau où elle s'annulerait. Ce niveau se calcule. Et il change tout, car la succion vaut ce que vaut la position de la nappe . Le sondage a relevé un état, un jour donné. L'ouvrage, lui, durera des décennies — et la norme demande justement de le justifier avec le niveau le plus défavorable, non avec celui du jour de la reconnaissance. »
- Observation : Sous équilibre hydrostatique, la dépression mesurée en un point est exactement le poids de la colonne d'eau qui l'en sépare de la surface libre. Cinquante kilopascals valent cinq mètres.
- Analyse du risque : Le résultat de la question 2 repose entièrement sur cette position de nappe, et personne ne l'a écrite. Si elle remonte au terrain naturel, la contrainte effective au même point est divisée par trois — de 108 à 36 kilopascals. Aucun des chiffres de l'énoncé ne signale cette dépendance, et c'est pourtant elle qui décide de la fiabilité de la fondation.
- Choix stratégique : Convertir la dépression mesurée en hauteur de colonne d'eau pour localiser la nappe, en déduire le profil de contrainte effective et son gradient, puis reprendre le calcul au même point avec la nappe remontée au terrain naturel.
- Alternative : Traiter la remontée de nappe en gardant la relation de Bishop avec un paramètre porté à un. Écarté : au-dessus de la nappe le sol est saturé, la phase gazeuse a disparu et il n'existe plus qu'une pression interstitielle. C'est Terzaghi qui s'applique, avec une pression d'eau devenue positive.
- Objectif visé : Établir la position de nappe qu'impliquent les données, le profil de contrainte effective qui en découle, et ce que ce profil devient si le niveau retenu change.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Un sondage relève l'état du terrain à l'instant où il est réalisé. La NF P 94-261 en tire une conséquence explicite : le choix des niveaux piézométriques, s'il s'appuie sur la reconnaissance hydrogéologique du site, doit rester une estimation prudente du niveau le plus défavorable vis-à-vis de l'état limite considéré. Quatre niveaux de référence sont définis par les annexes nationales de l'Eurocode 0 : EB pour les eaux basses quasi-permanentes, EF pour les eaux fréquentes, EH pour les eaux hautes caractéristiques, EE pour le niveau exceptionnel des situations accidentelles.
Deux relations : la position de la nappe déduite de la dépression mesurée, puis le gradient du profil qui en découle.
Profondeur de nappe sous équilibre hydrostatiqueConvertit la dépression mesurée en distance verticale à la surface libre.
Parce qu'une pression d'eau se rapporte toujours à un niveau , et que ce niveau est ici la seule donnée hydraulique de l'exercice — jamais énoncée, mais entièrement contenue dans le relevé. La déduire prend une division, et elle conditionne tout le reste
- z_w : profondeur de la nappe, unité : m
- z : profondeur d'analyse, 4, unité : m
- |u_w| : dépression mesurée, 50, unité : kPa
- γ_w : poids volumique de l'eau, valeur normative 10, unité : kN/m³
- 9,00 : valeur obtenue, unité : m
Donne la vitesse à laquelle la contrainte effective croît avec la profondeur au-dessus de la nappe.
Parce que la succion décroît quand on descend : la pression d'eau, négative en surface, remonte vers zéro à mesure qu'on approche de la nappe. Le gain de contrainte effective par mètre est donc inférieur au poids volumique du sol
- dσ′_v/dz : gradient de contrainte effective, unité : kPa/m
- γ : poids volumique du sol, 19, unité : kN/m³
- χ γ_w : part retranchée par la succion, 7,00, unité : kPa/m
- 12,00 : valeur obtenue, unité : kPa/m
- 36,8 : part du gradient mangée par la succion, unité : %
« Les données donnent une contrainte effective de 108 kPa à 4 m. C'est la valeur à retenir pour le dimensionnement de la fondation, puisqu'elle découle directement des mesures in situ. »
- L'erreur : Elle confond une mesure avec une donnée de projet. Un relevé décrit un état à un instant ; un dimensionnement doit couvrir tous les états que l'ouvrage rencontrera pendant sa durée d'utilisation.
- La bonne méthode : Pour chaque grandeur mesurée, se demander si elle est une propriété du sol ou un état de celui-ci. Le poids volumique et le paramètre de Bishop sont des propriétés ; les pressions interstitielles sont un état, et un état se choisit en projet.
- L'astuce de pro : Refaites le calcul avec le niveau d'eau le plus défavorable envisageable avant de conclure. Si le résultat change d'ordre de grandeur, c'est ce niveau, et non les autres données, qui gouverne le dimensionnement.
- Le moyen mnémotechnique : Une propriété se mesure, un état se choisit. Les pressions interstitielles sont un état.
- L'impact direct : Retenir 108 kPa au lieu de 36 crédite le sol de trois fois la contrainte effective qu'il pourrait avoir. Sur une fondation superficielle, la portance et le tassement en dépendent tous deux — et la sanction d'une remontée de nappe serait un tassement différé, apparaissant des années après la réception.
Exécution de la Note de Calculs
- Dépression |u_w| : en kPa
- Poids volumique de l'eau γ_w : en kN/m³
- Profondeur de nappe : rapport des deux, plus une profondeur, en m
- Gradient de contrainte effective : en kPa/m
- Contrainte effective après remontée de nappe : en kPa
La conversion d'une dépression en hauteur d'eau est le seul endroit où les unités travaillent vraiment : des kilopascals divisés par des kilonewtons par mètre cube donnent bien des mètres. Une vigilance de signe s'y ajoute, et elle est décisive : la pression d'eau devient POSITIVE sous la nappe, alors qu'elle était négative au-dessus . Le troisième bloc de cette question fait basculer le point d'analyse d'un côté à l'autre de la surface libre, et la pression passe donc de moins cinquante à plus quarante kilopascals — un retournement complet, non une simple diminution. C'est ce double changement, de signe et de formulation, qui explique que la contrainte effective soit divisée par trois plutôt que réduite d'un tiers.,
1. Résolution Numérique Profondeur de nappe impliquée par les donnéesPourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une pression d'eau négative se rapporte toujours à un niveau, et que ce niveau est la donnée hydraulique que l'énoncé n'a jamais écrite.
On convertit la dépression mesurée en hauteur de colonne d'eau, puis on l'ajoute à la profondeur d'analyse. Le poids volumique employé est la valeur normative de dix kilonewtons par mètre cube, fixée par l'annexe nationale de la NF EN 1997-1 pour les actions hydrauliques, et non la valeur physique 9,81.
- Substitution : z = 4 m ; |u_w| = 50 kPa ; γ_w = 10 kN/m³ [NF EN 1997-1/NA].
- Piège évité : Ne pas oublier d'ajouter la profondeur d'analyse. La division seule donne la distance du point à la nappe, cinq mètres, et non la profondeur de celle-ci sous le terrain naturel.
- Hypothèse validée : Équilibre hydrostatique, c'est-à-dire absence de flux vertical. Sous évaporation, la succion près de la surface serait plus forte que l'hydrostatique et la nappe en réalité plus proche ; sous infiltration, l'inverse. L'hypothèse doit être énoncée.
- Vérification croisée : La pression d'eau recalculée à 4 m doit redonner la valeur relevée : −10 × (9,00 − 4) = −50 kPa. La conversion se referme.
- Finalité : Cette position permet d'établir tout le profil de contrainte effective, et c'est elle que la question mettra ensuite en cause.
9,00 m : la nappe est à cinq mètres sous le niveau d'assise, et le sondage n'avait pas besoin de la rencontrer pour qu'on le sache. La pression d'eau la localise à elle seule , pourvu qu'on accepte l'hypothèse hydrostatique — laquelle n'est ni gratuite ni vérifiable à partir des seules données fournies . Avec la valeur physique 9,81 kN/m³, on trouverait 9,10 m : dix centimètres d'écart, sans portée devant l'incertitude métrique sur le niveau réel.
- Ordre de grandeur : Une nappe à neuf mètres sous un limon argileux est une situation banale. Elle laisse au-dessus d'elle une zone non saturée de neuf mètres, dont la succion croît régulièrement vers la surface.
- Impact sur la suite : Elle donne la loi de variation de la pression d'eau sur toute la hauteur, et donc le profil complet de contrainte effective établi au bloc suivant.
- Cohérence : Le recalcul de la pression à 4 m redonne exactement la valeur relevée, ce qui vérifie à la fois la conversion et le sens de la soustraction.
- Attention : Ce niveau est celui du jour du relevé. Ce n'est ni le niveau moyen, ni aucun des quatre niveaux de référence — EB, EF, EH, EE — que les annexes nationales de l'Eurocode 0 définissent pour le projet.
- Comparaison : L'écart entre la valeur normative du poids volumique de l'eau et sa valeur physique est de deux pour cent. Il se traduit ici par dix centimètres sur une profondeur de neuf mètres, alors que l'incertitude sur la position réelle de la nappe se compte en mètres.
Remarque pédagogique : Une donnée mesurée en contient parfois une autre, non énoncée, qu'une conversion suffit à révéler. Encore faut-il se demander à quoi la mesure se rapporte — ici, une pression d'eau se rapporte toujours à un niveau.
Gradient de contrainte effective au-dessus de la nappePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la succion décroît quand on descend, de sorte que la contrainte effective ne croît pas au rythme du poids volumique du sol.
La pression d'eau croît linéairement avec la profondeur au taux du poids volumique de l'eau, donc la succion décroît au même taux. En dérivant la relation de Bishop par rapport à la profondeur, il reste le poids volumique du sol diminué du produit du paramètre de Bishop par celui de l'eau. Le gradient obtenu ne dépend ni de la pression d'air ni de la position de la nappe.
- Substitution : γ = 19 kN/m³, χ = 0,70 et γ_w = 10 kN/m³.
- Piège évité : Ne pas retenir le seul poids volumique du sol. À dix-neuf kilopascals par mètre, on surestimerait de 58% le gain de contrainte effective par mètre de descente — erreur qui grandit avec la profondeur.
- Hypothèse validée : Le paramètre de Bishop est supposé CONSTANT sur toute la hauteur. C'est une hypothèse forte : il chute quand le sol sèche, donc près de la surface, ce qui rend le profil calculé optimiste dans sa partie haute.
- Vérification croisée : Le gradient doit être encadré par celui d'un sol sous nappe, γ − γ_w = 9,00 kPa/m, et celui de la contrainte totale, 19,00 kPa/m. Il l'est, et l'encadrement est étroit.
- Finalité : Le profil complet en découle, et avec lui la valeur de la contrainte effective en surface — que le bloc suivant confrontera à une autre position de nappe.
12,00 kPa/m au lieu de 19,00 : la succion mange 36,8% du gradient . Descendre d'un mètre ajoute bien le poids d'un mètre de terrain, mais retire en même temps sept kilopascals de succion pondérée . Le profil qui en résulte s'écrit \( \sigma'_v = 12z + 60 \) : il passe bien par 108 kPa à quatre mètres, et il ne passe PAS par l'origine. À charge nulle, en surface, la succion seule impose déjà 60 kPa de contrainte effective — c'est le mécanisme de la croûte de dessiccation, qui se comporte comme un sol surconsolidé sans avoir jamais été chargé.
- Ordre de grandeur : Un gradient de douze kilopascals par mètre est intermédiaire entre celui d'un sol immergé, neuf, et celui de la contrainte totale, dix-neuf. Cet encadrement est un contrôle en soi : la zone non saturée se comporte entre les deux cas connus.
- Impact sur la suite : Il donne le profil complet, et notamment la contrainte effective de surface, qui explique la rigidité des croûtes desséchées.
- Cohérence : Le profil recalé sur le point d'analyse redonne exactement 108 kPa, et l'encadrement du gradient par les deux cas limites est vérifié.
- Attention : Le paramètre de Bishop est supposé constant, alors qu'il chute quand le sol sèche. Les 60 kPa de contrainte effective en surface sont donc une BORNE HAUTE, non une valeur : le profil réel s'infléchit dans sa partie haute.
- Comparaison : Ce gradient ne dépend ni de la pression d'air ni de la position de la nappe : il ne fait intervenir que deux poids volumiques et le paramètre. Il est donc transposable tel quel à d'autres points ou d'autres sites de même nature.
Remarque pédagogique : Dériver une relation par rapport à une variable dont plusieurs termes dépendent fait apparaître des compensations invisibles sur la valeur elle-même. Ici, deux effets de sens contraires — le poids qui s'ajoute, la succion qui se retire — que seul le gradient met en évidence.
Contrainte effective si la nappe remonte au terrain naturelPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la NF P 94-261 demande une estimation prudente du niveau le plus défavorable vis-à-vis de l'état limite considéré, et non le niveau relevé au sondage.
Nappe au terrain naturel, le point d'analyse se trouve quatre mètres SOUS la surface libre : le sol y est saturé, la phase gazeuse a disparu et il n'existe plus qu'une pression interstitielle, devenue positive . La relation de Bishop cède la place à celle de Terzaghi, et la pression d'eau se retranche au lieu de s'ajouter.
- Substitution : σ_v = 76,0 kPa ; u_w = +10 × 4 = +40,0 kPa, l'eau étant désormais en charge au point d'analyse.
- Piège évité : Ne pas conserver la relation de Bishop avec un paramètre porté à un. Il n'y a plus de succion à pondérer : la troisième phase a disparu, et maintenir la formulation à deux termes reviendrait à faire figurer une pression d'air qui n'existe plus.
- Hypothèse validée : Le poids volumique total est conservé à 19 kN/m³ alors qu'il augmenterait à la saturation. Avec 20 kN/m³, valeur plausible pour un limon argileux saturé, on obtiendrait 40,0 kPa au lieu de 36,0 : la conclusion ne change pas d'ordre.
- Vérification croisée : Lecture par la pression équivalente de la question 3 : elle bascule de −32,00 à +40,00 kPa, soit 72,00 kPa de variation — exactement la perte de contrainte effective, 108,0 − 36,0 = 72,0 kPa. Les deux voies concordent.
- Finalité : Ce chiffre ferme l'exercice : il dit ce que le résultat de la question 2 doit à une hypothèse hydraulique que personne n'avait formulée.
36,0 kPa contre 108,0 : la contrainte effective est divisée par 3,00 au même point, avec le même sol et la même charge. Rien n'a changé que le niveau de l'eau . Le retournement est double, ce qui explique son ampleur : la succion disparaît, et la pression d'eau change de signe pour se retrancher au lieu de s'ajouter. Cas intermédiaire, nappe remontée jusqu'au point d'analyse : 76,0 kPa, soit déjà 29,6% de perte.
- Ordre de grandeur : Un facteur trois sur la contrainte effective est considérable : la portance et la rigidité en dépendent toutes deux. Aucune autre donnée de cet exercice n'a une telle emprise sur le résultat.
- Impact sur la suite : Conclusion de projet : le dimensionnement doit être conduit avec le niveau d'eau le plus défavorable, non avec celui du jour de sondage. Sur cette fondation, la sanction d'une remontée serait un tassement différé, apparaissant des années après la réception.
- Cohérence : La lecture par la pression équivalente retrouve exactement la perte, ce qui vérifie simultanément les deux états et le raisonnement de la question 3.
- Attention : La NF P 94-261 précise que le niveau défavorable n'est pas le même selon la justification menée — bas pour la portance, haut pour les efforts de poussée. Un même projet peut donc exiger deux niveaux différents dans deux vérifications distinctes.
- Comparaison : Les quatre niveaux de référence des annexes nationales de l'Eurocode 0 — EB quasi-permanent, EF fréquent, EH caractéristique de période de retour cinquantennale, EE exceptionnel indépassable — sont les valeurs à examiner. Aucun n'est le niveau relevé au sondage.
Remarque pédagogique : Une propriété se mesure, un état se choisit. Les pressions interstitielles sont un état : les traiter comme des données acquises revient à dimensionner un ouvrage pour le jour de sa reconnaissance.
BILAN FINAL DE LA MISSION
Checklist d'Auto-Évaluation
Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :
La contrainte totale verticale au niveau d'assise vaut 76,0 kPa et la succion matricielle 60,0 kPa, soit six mètres de colonne d'eau. Pondérée par le paramètre de Bishop, cette succion apporte 42,0 kPa au squelette — les 18 kPa restants s'appliquant sur des contacts air-grain où aucun ménisque ne transmet l'effort. La contrainte effective de Bishop s'établit ainsi à 108,0 kPa, soit 32 kPa de PLUS que la contrainte totale : le squelette supporte davantage que la charge des terres, ce qui serait impossible sur un sol saturé et se comprend ici sans difficulté, l'eau en dépression tirant les grains les uns vers les autres. La formule de Terzaghi appliquée à tort donnerait 126 kPa, soit 16,7% de surestimation, en négligeant à la fois la pression d'air et la pondération de la succion — deux omissions qui vont dans le même sens. Réécrite en regroupant ses termes, la relation de Bishop devient une simple soustraction : la contrainte totale diminuée d'une pression interstitielle équivalente de −32,00 kPa, moyenne des deux pressions pondérée par le paramètre. Cette écriture, que la source évoque sans jamais la poser, livre gratuitement deux enseignements : le signe négatif de cette pression est exactement ce qui fait dépasser la contrainte totale, et ses coefficients sont les sensibilités — la pression d'eau pèse 2,333 fois plus que celle de l'air, de sorte que l'effort métrologique doit se porter sur le tensiomètre.
Deux réserves accompagnent ces résultats. Annoncer que la succion apporte « plus de 60% » n'est une information que si le dénominateur est dit : les mêmes 42,0 kPa valent 63,64% de la contrainte nette, 55,26% de la contrainte totale et 38,89% de la contrainte effective. Surtout, la nappe à 9,00 m n'est pas une donnée de projet mais l'état d'un jour de sondage : remontée au terrain naturel, la contrainte effective tombe à 36,0 kPa, divisée par trois. Une propriété se mesure, un état se choisit — et les pressions interstitielles sont un état.
