Exercice corrigé NF EN ISO 17892-1 NF EN 1997-1 NF EN 1997-2 EN 1959

Calcul de la Contrainte de Succion en Sol Non Saturé

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 2 juillet 2026• 79 min de lecture• 5 vues

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Étude de cas · Note de calculs Réf. GEO-SUC-01

Calcul de la contrainte de succion en sol non saturé

Une contrainte effective supérieure à la contrainte totale, un paramètre que rien ne mesure, et une perte qu'on surestime d'un facteur deux et demi

NiveauBTS · BUT · Licence

DomaineGéotechnique — Mécanique des sols non saturés

ThèmeSuccion matricielle et contrainte effective de Bishop

PrérequisSol triphasique · succion matricielle · paramètre de Bishop · contrainte effective · cohésion apparente

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Les sols dans lesquels on fonde, on terrasse et on talute sont presque tous non saturés : leurs vides contiennent à la fois de l'eau et de l'air. Cette coexistence n'est pas un détail de description — elle change la nature du problème. L'eau ne remplit plus les pores mais forme des ménisques entre les grains, et ces ménisques tirent les grains les uns vers les autres . La pression de l'eau y devient négative, ce qui paraît absurde tant qu'on n'a pas admis qu'une eau en dépression tire au lieu de pousser. Il en résulte une résistance supplémentaire, réelle et considérable, qui explique qu'un talus de sable tienne debout par temps sec et s'effondre après une pluie. Toute la mécanique des sols non saturés consiste à quantifier cette contribution — et surtout à savoir ce qu'elle vaut vraiment le jour où elle disparaît.

Les Points Clés du Projet

L'exercice repose sur une seule relation, celle de Bishop, qui étend le principe des contraintes effectives aux sols à trois phases. Elle est simple à écrire et riche en pièges , dont deux au moins ne se voient pas dans le résultat — un signe et un paramètre non mesuré :

Les trois phases : grains solides, eau et air coexistent dans le même volume. L'eau et l'air y sont à des pressions différentes , et c'est leur écart qui porte le nom de succion matricielle. Sur un sol saturé, cette distinction n'existe pas : il n'y a qu'une pression interstitielle, et le principe des contraintes effectives s'écrit avec une seule soustraction. Le passage à trois phases exige donc une formulation élargie.
Le paramètre de Bishop : il pèse la contribution de la succion à la contrainte effective. Il vaut zéro sur un sol sec, où l'eau ne forme plus de ménisques, et un sur un sol saturé, où la formulation retrouve celle des sols saturés. Entre les deux, il dépend du degré de saturation sans qu'aucune relation universelle ne le donne — c'est le paramètre le plus difficile à déterminer de toute la discipline, et l'énoncé le fournit sans dire d'où il vient.
L'objectif final : chiffrer la contrainte réellement supportée par le squelette solide, et surtout ce qu'elle devient si le sol vient à se saturer. Le risque est celui d'une résistance temporaire prise pour acquise : la succion apporte l'équivalent d'une cohésion, cette cohésion permet à un talus de tenir, et elle disparaît le jour où la pluie sature le terrain. Les ruptures de talus après épisode pluvieux n'ont pas d'autre mécanisme. Le phénomène est d'autant plus traître que rien n'a bougé entre-temps : ni la géométrie, ni les charges, ni le matériau. Seule l'eau a changé de place, et une pente stable depuis des années s'effondre en une nuit sans qu'aucune des grandeurs habituellement surveillées n'ait varié.
L'astuce de l'ingénieur : surveillez les signes avant tout. La pression de l'eau est négative , et la succion se calcule par une soustraction : retrancher un nombre négatif revient à additionner. Une erreur de signe donne ici une succion de moins dix kilopascals au lieu de cinquante, valeur physiquement impossible puisqu'une succion est positive par construction — mais que rien d'autre que ce contrôle ne signalerait. Ajoutez-y un second garde-fou, celui de l'équivalent physique : cinquante kilopascals de succion valent cinq mètres de colonne d'eau, ordre de grandeur d'une frange capillaire dans un limon. Ce contrôle-là attrape les erreurs d'un facteur dix, que le contrôle de signe laisserait passer et que le contrôle d'unités ne voit jamais.

Votre Mission :

Établir la contrainte effective de ce sol, puis en éprouver la solidité : mesurer combien elle dépend d'un paramètre que personne n'a mesuré, et déterminer ce que la saturation ferait réellement perdre — la réponse n'est pas celle que l'intuition suggère . C'est cette dernière question qui décide de la fiabilité d'un talus, et elle n'est presque jamais posée.

Le grand défi : comprendre que saturer un sol ne fait pas perdre toute la contrainte de succion. En saturant, la succion s'annule — mais la pression de l'air disparaît elle aussi, et le terme de contrainte nette y gagne autant. Le bilan des deux effets est bien plus faible que la seule contribution de succion, et le confondre avec elle surestime la perte d'un facteur voisin de deux et demi. L'erreur a ceci de particulier qu'elle va dans le sens qui inquiète, ce qui la rend paradoxalement durable : un calcul concluant à la prudence n'est jamais contesté, et l'on renforce alors un ouvrage sur la foi d'un bilan à moitié fait. Quand deux effets simultanés sont de signes opposés, n'en compter qu'un n'est pas une approximation conservatrice — c'est un calcul faux, dont on ne peut prévoir ni le sens ni l'ampleur de l'erreur sans faire le bilan complet.
Votre rôle : calculer la succion matricielle et la contrainte de succion, en déduire la contrainte effective de Bishop et la comparer à la contrainte totale, mesurer par un balayage la sensibilité du résultat au paramètre de Bishop, puis établir le bilan exact de la saturation et la cohésion apparente qui disparaît avec elle.

PLAN DE REPÉRAGE — ÉLÉMENT DE SOL ET ÉTAT DE CONTRAINTE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — l'état de contrainte : la succion matricielle, la contrainte de succion, et la contrainte effective de Bishop, accompagnée de sa comparaison à la contrainte totale et de la valeur du paramètre de Bishop à laquelle les deux coïncident. Ce dernier chiffre n'est pas un ornement : il dit à partir de quand le squelette supporte davantage que la charge appliquée, ce qui surprend toujours à la première lecture.
Livrable 2 — la solidité du résultat : l'intervalle dans lequel la contrainte effective se situe compte tenu de l'indétermination du paramètre de Bishop, avec la réserve de méthode qui s'impose sur ce balayage. Puis le bilan exact de la saturation , décomposé en ses deux termes de signes opposés, et la cohésion apparente correspondante avec l'hypothèse qu'elle exige. Le livrable dira explicitement pourquoi cette cohésion ne doit pas être ajoutée une seconde fois au calcul.

2. Données Techniques & Normes

La mécanique des sols non saturés ne fait l'objet d'aucune partie dédiée des Eurocodes : la NF EN 1997-1 est bâtie sur le principe des contraintes effectives des sols saturés, et ses vérifications supposent implicitement une pression interstitielle unique. La formulation de Bishop employée ici est un résultat de la littérature scientifique, publié en 1959, et non une prescription normative — il serait abusif de la présenter autrement. Ce qui relève de la norme, c'est la mesure des grandeurs d'entrée : la détermination de la teneur en eau par la NF EN ISO 17892-1, et celle de la pression interstitielle par les dispositifs de mesure encadrés par la NF EN 1997-2, laquelle traite de la reconnaissance et des essais en place. La conséquence pratique mérite d'être énoncée : une vérification réglementaire menée sur les contraintes effectives des sols saturés ignore la contribution de la succion, ce qui la place du côté de la sécurité tant que le sol peut se saturer — et c'est bien pour cela qu'on procède ainsi. La mécanique des sols non saturés ne fait l'objet d'aucune partie dédiée des Eurocodes : la NF EN 1997-1 est bâtie sur le principe des contraintes effectives des sols saturés, et ses vérifications supposent implicitement une pression interstitielle unique. La formulation de Bishop employée ici est un résultat de la littérature scientifique, publié en 1959, et non une prescription normative. Ce qui relève de la norme, c'est d'une part la mesure des grandeurs d'entrée — la teneur en eau par la NF EN ISO 17892-1, les essais d'identification par la CLAUSE 5.5 de la NF EN 1997-2 — et d'autre part l'usage du résultat : la CLAUSE 2.4.5.2 (2)P de la NF EN 1997-1 impose une estimation prudente de la valeur gouvernant l'état-limite, ce qui interdit de retenir la contrainte effective la plus favorable du domaine balayé. La conséquence pratique mérite d'être énoncée : une vérification réglementaire menée sur les contraintes effectives des sols saturés ignore la contribution de la succion, ce qui la place du côté de la sécurité tant que le sol peut se saturer — et c'est bien pour cela qu'on procède ainsi. Conformément au droit d'auteur applicable aux normes NF EN, aucun tableau ni aucune formule de ces textes n'est reproduit : seules les références sont citées, et tous les chiffres proviennent des mesures ou d'un calcul explicite mené sous vos yeux.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Contrainte effective de Bishop \( \sigma' = (\sigma - u_a) + \chi\,(u_a - u_w) \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

ÉTAT DE CONTRAINTE MESURÉ

Symbole	Description	Valeur	Unité
σ	Contrainte totale verticale appliquée à l'élément de sol Mesure in situ	150	kPa
u_a	Pression de l'air interstitiel, mesurée par tensiomètre	20	kPa

Pression de l'eau interstitielle

NÉGATIVE : l'eau des pores est en dépression et tire sur les grains \( u_w = \mathbf{-30} \text{ kPa} \)

PARAMÈTRE DE PONDÉRATION

Symbole	Description	Valeur	Unité
χ	Paramètre de Bishop, pondérant la contribution de la succion	0,65	—
Domaine de variation	De zéro pour un sol sec à un pour un sol saturé, sans relation universelle entre les deux	0 à 1	—

Origine de la valeur retenue

NON PRÉCISÉE par l'énoncé — c'est le paramètre le plus difficile à déterminer de la discipline \( \chi \approx S_r \text{ ?} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Le relevé ci-dessus est la seule source de chiffres de cet exercice. Les repères ci-dessous ne servent qu'à situer les valeurs obtenues et ne fournissent aucune donnée de calcul.

Repères de lecture du paramètre de Bishop

État du sol	Valeur du paramètre et forme que prend la relation
Sol sec — plus de ménisques entre les grains	Paramètre nul : la contrainte effective se réduit à la contrainte nette
Sol saturé — une seule pression interstitielle	Paramètre égal à un : on retrouve la formulation classique des sols saturés

Pourquoi une eau en dépression augmente la résistance

L'idée qu'une pression négative puisse exister surprend, et celle qu'elle renforce le sol davantage encore. Le mécanisme est pourtant simple à se représenter. Entre deux grains voisins subsiste un peu d'eau, retenue par capillarité, qui forme un ménisque dont la surface est incurvée. La tension superficielle de cette surface exerce sur les grains une force qui les rapproche, exactement comme deux billes de verre humides adhèrent l'une à l'autre. À l'échelle du volume, cette multitude de forces d'attraction se traduit par une pression d'eau inférieure à celle de l'air, donc négative si l'on prend la pression atmosphérique pour origine. Le squelette solide se trouve alors comprimé par deux effets qui s'additionnent : la charge extérieure d'une part, la traction des ménisques d'autre part. C'est pourquoi la contrainte effective peut dépasser la contrainte totale — le sol est comprimé plus fort qu'on ne le charge. Et c'est aussi pourquoi cette résistance est fragile : il suffit que l'eau remplisse les pores pour que les ménisques disparaissent, sans qu'aucune charge n'ait bougé. Deux conséquences pratiques en découlent, et elles vont en sens contraire. La première est que la succion est une aide réelle : elle permet aux fouilles de tenir à la verticale, aux talus provisoires de se passer de soutènement, aux pistes de chantier de porter les engins. Aucun ingénieur ne s'en prive en phase provisoire, et il aurait tort de le faire. La seconde est qu'elle ne se dimensionne pas : une résistance qui dépend de la météo ne peut fonder aucune vérification en phase définitive, et c'est bien pourquoi la NF EN 1997-1 est bâtie sur les contraintes effectives des sols saturés et ignore purement et simplement cette contribution. Cette omission n'est pas un oubli du texte normatif — c'est un choix de sécurité, qui revient à vérifier l'ouvrage dans l'état le plus défavorable qu'il puisse atteindre. L'exercice qui suit chiffre les deux faces de cette réalité : ce que la succion apporte tant qu'elle dure, et ce qu'il en reste le jour où elle disparaît.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Succion matricielle et contrainte de succion

État hydrique 10 min | Accessible

But de l'étape : Deux opérations, dont la première est une soustraction où l'un des termes est négatif. C'est exactement le genre d'endroit où l'on va vite et où l'on se trompe, et le résultat d'une erreur de signe serait ici physiquement impossible — encore faut-il avoir en tête qu'une succion est positive par construction pour s'en apercevoir.

Énoncé Q1 : Calculez la succion matricielle du sol, puis la contrainte de succion, c'est-à-dire la contribution de cette succion à la contrainte effective. Précisez le signe attendu de la succion et ce que signalerait un résultat négatif.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La succion matricielle est l'écart entre la pression de l'air et celle de l'eau. Attention au signe de la seconde : retrancher un nombre négatif revient à additionner.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

s = ua − uw = 20 − (−30). La contrainte de succion s'en déduit en pondérant par le paramètre de Bishop.

Question 2 : Contrainte effective de Bishop

Contrainte effective 20 min | Accessible

But de l'étape : La relation de Bishop additionne deux termes de natures différentes : une contrainte nette, qui est la charge extérieure diminuée de la pression d'air, et une contribution de succion. Le résultat surprend, car il dépasse la contrainte totale appliquée — situation impossible sur un sol saturé et parfaitement normale ici.

Énoncé Q2 : Calculez la contrainte effective de Bishop et comparez-la à la contrainte totale . Expliquez le signe de l'écart, puis déterminez la valeur du paramètre de Bishop pour laquelle les deux grandeurs coïncideraient exactement.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La contrainte nette est la contrainte totale diminuée de la pression de l'air, non de celle de l'eau. C'est le premier terme de la relation.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La contrainte effective égale la contrainte totale lorsque la contribution de succion compense exactement la pression d'air retranchée.

Question 3 : Sensibilité au paramètre de Bishop

Propagation 15 min | Exigeant

But de l'étape : Le résultat de la question 2 repose sur une valeur du paramètre de Bishop que l'énoncé fournit sans la justifier. Or ce paramètre est le plus difficile à déterminer de toute la mécanique des sols non saturés : il ne se mesure pas directement et s'approxime souvent par le degré de saturation, faute de mieux. Reste à savoir ce que cette indétermination coûte sur le résultat.

Énoncé Q3 : Calculez la contrainte effective aux deux bornes du domaine du paramètre de Bishop, et déduisez-en l'étendue de l'intervalle dans lequel elle se situe. Rapportez cette étendue à la valeur retenue en question 2. Précisez enfin la réserve de méthode qui s'attache à ce balayage .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le paramètre de Bishop varie de zéro à un. Aux deux bornes, la relation prend une forme particulièrement simple qu'il vaut la peine d'expliciter.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

À la borne inférieure, la contrainte effective se réduit à la contrainte nette. À la borne supérieure, elle vaut la contrainte totale diminuée de la seule pression d'eau.

Question 4 (Finale) : Ce que la saturation fait réellement perdre

Bilan réel 20 min | BOSS

But de l'étape : La question qui décide de tout : ce sol tient grâce à sa succion, mais que devient-il quand il pleut ? L'intuition répond immédiatement — on perd la contrainte de succion — et cette réponse est fausse. Elle oublie que la saturation ne supprime pas seulement la succion : elle supprime aussi la pression d'air, et le terme de contrainte nette y gagne autant.

Mention spéciale — deux effets de signes opposés En saturant, deux choses se produisent simultanément et personne ne pense à la seconde. La première est que la succion s'annule : la contribution qu'elle apportait disparaît. La seconde est que la pression de l'air interstitiel disparaît elle aussi, puisqu'il n'y a plus d'air — et le terme de contrainte nette, qui retranchait cette pression à la charge appliquée, s'en trouve augmenté d'autant. Les deux effets sont de signes opposés, et le bilan net est bien plus faible que le premier pris isolément. Ne retenir que la perte de succion revient à ne compter qu'une moitié du bilan, celle qui inquiète.

Calculez la contrainte effective du même sol une fois saturé, puis la perte réellement subie. Décomposez ce bilan en ses deux termes de signes opposés et chiffrez le facteur par lequel l'intuition courante surestime la perte. Déterminez enfin, sous une hypothèse signalée sur l'angle de frottement, la cohésion apparente qu'apporte la succion et la perte de résistance au cisaillement correspondante — en expliquant pourquoi ces deux grandeurs ne doivent pas être additionnées.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

À la saturation, la pression de l'air et celle de l'eau s'égalisent : la succion s'annule, mais la contrainte nette change aussi puisque la pression d'air retranchée n'est plus la même.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La cohésion apparente due à la succion vaut la contrainte de succion multipliée par la tangente de l'angle de frottement. Elle est DÉJÀ contenue dans la contrainte effective : l'ajouter séparément compterait deux fois le même effet.

NOTE DE CALCULS

Calcul de la contrainte de succion en sol non saturé

Question 1 : Succion matricielle et contrainte de succion

Dans la tête de l'ingénieur

« Une soustraction, et l'un des deux termes est négatif. C'est exactement l'endroit où l'on va vite et où l'on se trompe. Retrancher moins trente revient à ajouter trente . L'erreur donnerait une succion négative — grandeur qui n'existe pas, puisqu'une succion mesure une dépression et est positive par construction. Encore faut-il le savoir pour s'en apercevoir. »

Observation : La pression de l'eau est négative et celle de l'air positive. Leur écart sera donc plus grand que chacune des deux prises isolément, ce qui n'est possible que parce qu'elles sont de signes opposés.
Analyse du risque : Une erreur de signe donnerait une succion de moins dix kilopascals au lieu de cinquante. Cette valeur est physiquement impossible — une succion négative signifierait que l'eau pousse au lieu de tirer, c'est-à-dire un sol saturé sous pression, ce qui contredit l'énoncé. Le contrôle est immédiat, encore faut-il le faire.
Choix stratégique : Calculer la succion comme écart entre pression d'air et pression d'eau en soignant le signe, vérifier qu'elle est positive, puis la pondérer par le paramètre de Bishop pour obtenir la contrainte de succion.
Alternative : Raisonner sur les valeurs absolues en écrivant que la succion vaut vingt plus trente. Écarté comme méthode, accepté comme contrôle : le résultat est le même, mais l'écriture par valeurs absolues cesse d'être juste dès que les deux pressions sont de même signe — situation courante dès qu'une contre-pression est appliquée.
Objectif visé : Obtenir les deux grandeurs qui décrivent l'état hydrique du sol : l'écart de pression entre les phases, et la part de cet écart qui participe effectivement à la contrainte.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

s = 50,0 kPa · contrainte de succion χ·s = 32,50 kPa

Rappel Théorique : ce qu'est une succion et pourquoi elle est positive

Entre deux grains voisins subsiste un peu d'eau retenue par capillarité, formant un ménisque à surface incurvée. La tension superficielle de cette surface tire les grains l'un vers l'autre , et il en résulte une pression d'eau inférieure à celle de l'air. La succion est cet écart de pression : elle est positive par construction, et elle mesure l'intensité de l'attraction capillaire.

La succion matricielle : différence entre pression d'air et pression d'eau interstitielles. Elle est nulle sur un sol saturé, où les deux se confondent, et croît quand le sol se dessèche : moins il reste d'eau, plus les ménisques sont courbés, plus l'attraction est forte.
Pourquoi la pression d'eau est négative : par rapport à la pression atmosphérique prise pour origine. Ce n'est pas une pression absolue négative — cela n'existe pas — mais une dépression relative, comme celle qui fait monter l'eau dans une paille. Le vocabulaire trompe, la physique ne trompe pas.
Le paramètre de Bishop : il pondère la contribution de la succion à la contrainte effective. Toute la succion ne participe pas : seule la fraction correspondant à la surface effectivement mouillée transmet l'attraction au squelette. D'où un facteur compris entre zéro et un.
La contrainte de succion : produit du paramètre par la succion. C'est un terme homogène à une contrainte, qui s'ajoute à la contrainte nette pour former la contrainte effective. Il se comporte exactement comme une compression supplémentaire du squelette.
Le cas limite du sol saturé : la succion s'annule, le paramètre vaut un, et la relation se réduit à la contrainte totale diminuée de la pression interstitielle unique. La formulation de Bishop contient donc celle des sols saturés comme cas particulier — c'est la condition pour qu'elle soit acceptable.

Équations Fondamentales

Deux relations, dont la première n'est qu'une soustraction. Sa difficulté tient entièrement au signe de l'un de ses termes.

Succion matricielle

Mesure l'écart de pression entre les phases air et eau du sol.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est cet écart, et non chacune des pressions prise isolément, qui décrit l'intensité de l'attraction capillaire. Un sol dont les deux pressions seraient élevées mais égales n'aurait aucune succion et se comporterait comme un sol saturé — seule la différence compte

Contexte de validité : Valable pour tout sol à trois phases dont les deux pressions sont mesurables. Sur un sol très sec, la phase eau devient discontinue et la notion de pression d'eau perd son sens physique, sans que la relation cesse pour autant de rendre un nombre.
Avantage : Elle ne demande que deux mesures, réalisables par tensiomètre pour l'eau et par capteur pour l'air. C'est la grandeur d'entrée de toute la mécanique des sols non saturés.
Paramètre clé : La pression d'eau, seule des deux à être négative et seule à être difficile à mesurer — un tensiomètre classique décroche au-delà d'une centaine de kilopascals de dépression.
Vérification : La succion doit être positive. Une valeur négative signalerait soit une erreur de signe, soit un sol saturé sous pression, ce qui contredirait l'hypothèse de départ.
Limite : Elle ne rend compte que de la composante matricielle de la succion, celle d'origine capillaire. Sur un sol salin s'y ajoute une succion osmotique, que cette relation ignore et qui peut être du même ordre.

\[ \begin{aligned} s &= u_a - u_w \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit de combien l'eau est en dépression par rapport à l'air , donc avec quelle force les ménisques tirent sur les grains. Cinquante kilopascals, c'est l'équivalent de cinq mètres de colonne d'eau : une attraction considérable , et elle s'exerce sur chaque contact entre grains.

Décomposition des termes :

s : succion matricielle, unité : kPa
u_a : pression de l'air interstitiel, 20, unité : kPa
u_w : pression de l'eau interstitielle, −30, unité : kPa
50 : valeur obtenue, positive comme il se doit, unité : kPa
5 m : hauteur de colonne d'eau équivalente, unité : m

Contrainte de succion

Donne la part de la succion qui participe effectivement à la contrainte effective.

Pourquoi cette formule ?

Parce que toute la succion ne se transmet pas au squelette : seule la fraction correspondant à la surface effectivement mouillée y participe. Un sol presque sec a beaucoup de succion et peu de contacts humides ; un sol presque saturé a peu de succion et beaucoup de contacts. Le paramètre pèse ce compromis

Contexte de validité : Valable dans le cadre de la formulation de Bishop, qui suppose une pondération scalaire unique. Des formulations plus élaborées emploient deux variables d'état indépendantes plutôt qu'une contrainte effective unique.
Avantage : Elle ramène tout l'effet de la non-saturation à un seul terme additif, ce qui permet de conserver la forme des vérifications établies pour les sols saturés.
Paramètre clé : Le paramètre de Bishop lui-même, non mesuré et souvent approximé par le degré de saturation. C'est le maillon faible de toute la chaîne, et la question 3 en chiffrera l'effet.
Vérification : La contrainte de succion doit être inférieure à la succion, le paramètre étant inférieur à un. Elle doit aussi être positive, comme la succion dont elle dérive.
Limite : Elle suppose la contribution de la succion proportionnelle à celle-ci, ce qui n'est vrai que si le paramètre reste constant. Or il varie avec le degré de saturation, donc avec la succion elle-même — la relation est en réalité non linéaire.

\[ \begin{aligned} \sigma_s &= \chi \, s = \chi \,(u_a - u_w) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit quelle compression supplémentaire la succion apporte au squelette . Trente-deux virgule cinq kilopascals, c'est l'équivalent d'un remblai de plus d'un mètre et demi posé sur le sol — sauf que ce remblai s'évapore à la première pluie , ce qui est toute la difficulté de la mécanique des sols non saturés.

Décomposition des termes :

σ_s : contrainte de succion, unité : kPa
χ : paramètre de Bishop, 0,65, unité : sans dimension
s : succion matricielle, 50, unité : kPa
32,50 : valeur obtenue, unité : kPa
0 à 1 : domaine du paramètre de Bishop, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« La succion matricielle vaut la différence entre les deux pressions interstitielles, soit 20 − 30 = −10 kPa. La contrainte de succion vaut donc 0,65 × (−10) = −6,5 kPa. »

L'approche d'ingénieur : La pression de l'eau vaut moins trente et non trente. Retrancher un nombre négatif revient à additionner : la succion vaut 20 − (−30) = 50 kPa, et non −10. Le résultat erroné aurait dû alerter, puisqu'une succion négative n'a pas de sens physique — elle signifierait que l'eau pousse au lieu de tirer

L'erreur : Elle perd le signe d'une donnée en la recopiant. C'est l'erreur la plus élémentaire qui soit, et elle survit ici parce que le résultat, moins dix kilopascals, ressemble suffisamment à un nombre acceptable pour ne pas choquer au premier regard.
La bonne méthode : Écrire la soustraction avec les parenthèses, sans les simplifier de tête, puis vérifier que le résultat est positif. Deux précautions, trois secondes.
L'astuce de pro : Contrôlez le résultat par sa hauteur de colonne d'eau équivalente : cinquante kilopascals font cinq mètres, ce qui est l'ordre de grandeur d'une frange capillaire dans un limon. Moins dix kilopascals feraient moins un mètre, ce qui n'a aucun sens.
Le moyen mnémotechnique : Une succion est positive. Si votre calcul en rend une négative, c'est le calcul qui est faux, pas le sol qui est étrange.
L'impact direct : Une succion négative propagée dans la relation de Bishop donnerait une contrainte effective de 123,5 kPa au lieu de 162,5, soit une sous-estimation de 24%. Sur un talus, cela conduirait à renforcer un ouvrage qui n'en avait pas besoin.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Pressions interstitielles u_a et u_w : en kPa
Succion matricielle s : différence de deux pressions, en kPa
Paramètre de Bishop χ : sans dimension
Contrainte de succion : produit d'un sans-dimension par des kPa, donc en kPa
Hauteur de colonne d'eau équivalente : succion divisée par 9,81, en m

Toutes les grandeurs sont en kilopascals ou sans dimension, et aucune conversion n'intervient. La seule vigilance porte sur les signes, non sur les unités. Un contrôle d'ordre de grandeur mérite pourtant d'être ajouté — cinquante kilopascals de succion valent cinq mètres de colonne d'eau — parce qu'il transforme un nombre abstrait en une image vérifiable. Cinq mètres de frange capillaire est une valeur plausible pour un limon ; cinquante mètres ne le serait pas, et un demi-mètre non plus. Ce contrôle attrape les erreurs d'un facteur dix que les unités, elles, ne signalent jamais.,

1. Résolution Numérique Succion matricielle

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la grandeur d'entrée de toute la mécanique des sols non saturés : elle mesure l'intensité de l'attraction capillaire entre les grains.

Méthodologie du calcul :

On retranche la pression de l'eau à celle de l'air. La pression de l'eau étant négative , cette soustraction revient à une addition — les parenthèses méritent d'être écrites plutôt que simplifiées de tête. Le résultat doit être positif : une succion négative n'existe pas.

Substitution : u_a = 20 kPa, mesurée par capteur ; u_w = −30 kPa, mesurée par tensiomètre.
Piège évité : Ne pas écrire 20 − 30. Le résultat, −10 kPa, ressemble assez à un nombre acceptable pour ne pas choquer, alors qu'une succion négative signifierait que l'eau pousse au lieu de tirer — c'est-à-dire un sol saturé sous pression, ce qui contredit l'énoncé.
Hypothèse validée : Les deux pressions sont rapportées à la même origine, la pression atmosphérique. Une contre-pression appliquée à l'essai décalerait les deux également sans changer leur écart, donc sans changer la succion.
Vérification croisée : Le résultat doit être positif, et son ordre de grandeur vérifiable : 50 kPa correspondent à 5,1 m de colonne d'eau, valeur plausible pour la frange capillaire d'un limon.
Finalité : Cette succion sera pondérée par le paramètre de Bishop pour donner la contrainte de succion.

\[ \begin{aligned} s &= u_a - u_w \\ &= 20 - (-30) \\ &= 20 + 30 \\ &= \mathbf{50{,}0} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

50 kPa, soit l'équivalent de cinq mètres de colonne d'eau. C'est une attraction capillaire considérable , et elle s'exerce sur chacun des contacts entre grains du volume considéré. C'est elle qui permet à un talus de sable de tenir à la verticale par temps sec , alors que le même sable coule entre les doigts une fois sec ou une fois noyé — les deux extrêmes où la succion s'annule.

Ordre de grandeur : Une succion de quelques dizaines de kilopascals est courante dans un limon à faible profondeur. Elle peut atteindre plusieurs centaines de kilopascals en période de sécheresse, et plusieurs mégapascals dans une argile desséchée.
Impact sur la suite : Elle est le facteur de la contrainte de succion, calculée au bloc suivant, et elle disparaîtra entièrement à la saturation — ce que la question 4 exploitera.
Cohérence : La succion est positive, comme l'exige sa définition, et les deux pressions sont bien de signes opposés, ce qui est la situation normale d'un sol non saturé au-dessus de la nappe.
Attention : Cette succion est la composante matricielle, d'origine capillaire. Sur un sol salin s'y ajouterait une succion osmotique, du même ordre de grandeur, que cette relation ignore entièrement.
Comparaison : La mesure de la pression d'eau par tensiomètre décroche au-delà d'une centaine de kilopascals de dépression : au-delà, d'autres techniques sont nécessaires, ce qui limite en pratique le domaine accessible à la mesure directe.

Remarque pédagogique : Un contrôle par équivalent physique — ici la hauteur de colonne d'eau — attrape les erreurs d'un facteur dix que le contrôle d'unités ne voit jamais. Il coûte une division.

Contrainte de succion

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que toute la succion ne se transmet pas au squelette : seule une fraction y participe, et c'est cette fraction qui entre dans la contrainte effective.

Méthodologie du calcul :

On pondère la succion par le paramètre de Bishop. Ce paramètre traduit le fait que seule la surface effectivement mouillée transmet l'attraction capillaire au squelette solide. Une multiplication, mais dont le facteur est le plus incertain de tout l'exercice.

Substitution : χ = 0,65, fourni par l'énoncé sans justification ; s = 50,0 kPa, calculée au bloc précédent.
Piège évité : Ne pas confondre la contrainte de succion avec la succion elle-même. La première vaut 32,5 kPa, la seconde 50 : les employer l'une pour l'autre surestimerait la contrainte effective de 17,5 kPa, soit près de onze pour cent.
Hypothèse validée : Le paramètre de Bishop vaut 0,65. C'est une donnée de l'énoncé, non une mesure : elle n'est justifiée nulle part, et la question 3 chiffrera ce que cette indétermination coûte.
Vérification croisée : La contrainte de succion doit être inférieure à la succion, puisque le paramètre est inférieur à un. Elle doit aussi être positive. Les deux contrôles passent.
Finalité : Ce terme s'ajoutera à la contrainte nette pour former la contrainte effective de Bishop, à la question 2.

\[ \begin{aligned} \sigma_s &= \chi \, s \\ &= 0{,}65 \times 50{,}0 \\ &= \mathbf{32{,}50} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

32,5 kPa de compression supplémentaire apportée au squelette par la seule capillarité. C'est l'équivalent d'un remblai de plus d'un mètre et demi posé sur le sol — sauf que ce remblai s'évapore à la première pluie, sans qu'aucune charge n'ait bougé . Toute la difficulté de la mécanique des sols non saturés tient dans cette comparaison.

Ordre de grandeur : Une contrainte de succion de quelques dizaines de kilopascals est du même ordre que la cohésion effective d'une argile raide. Elle joue donc, dans les calculs, exactement le rôle d'une cohésion — mais temporaire.
Impact sur la suite : Elle constitue le second terme de la relation de Bishop, et c'est elle seule qui distingue le traitement d'un sol non saturé de celui d'un sol saturé.
Cohérence : Le résultat, 32,5 kPa, est bien compris entre zéro — cas du sol sec — et 50 kPa, cas où toute la succion se transmettrait. Les deux bornes seront explorées à la question 3.
Attention : Le paramètre de Bishop n'est pas mesuré. C'est le maillon faible de toute la chaîne : il est fourni sans justification, il ne se mesure pas directement, et on l'approxime souvent par le degré de saturation faute de mieux.
Comparaison : La formulation de Bishop date de 1959 et relève de la littérature scientifique, non d'une prescription normative — la NF EN 1997-1 est bâtie sur le principe des contraintes effectives des sols saturés.

Remarque pédagogique : Traduire une contrainte en épaisseur de remblai équivalente rend immédiatement lisible ce qu'elle représente. Ici, un mètre et demi de terre qui disparaît quand il pleut.

RÉSULTAT FINAL

s = 50,0 kPa et σ_s = 32,50 kPa — l'équivalent d'un remblai d'un mètre et demi

« Une succion est positive par construction : un calcul qui en rend une négative est un calcul faux. »

Question 2 : Contrainte effective de Bishop

Dans la tête de l'ingénieur

« Deux termes à additionner, et le résultat va dépasser la contrainte totale appliquée. Sur un sol saturé, ce serait impossible. Ici c'est normal : l'eau en dépression tire les grains les uns vers les autres , et le squelette se trouve comprimé par deux effets qui s'ajoutent — la charge extérieure et l'attraction capillaire. Reste à savoir à partir de quand. »

Observation : La contrainte nette vaut 130 kPa, soit vingt de moins que la contrainte totale, parce que la pression d'air en est retranchée. La contribution de succion vaut 32,5 kPa : elle fait plus que compenser.
Analyse du risque : Retrancher la pression d'eau au lieu de celle de l'air dans le premier terme donnerait 180 kPa au lieu de 130, et la contrainte effective compterait deux fois la succion . Le résultat, 212,5 kPa, resterait plausible pour qui n'a pas de repère — et il surestimerait la résistance du sol de 31%.
Choix stratégique : Calculer la contrainte nette en retranchant la pression d'air, y ajouter la contribution de succion, puis comparer le total à la contrainte totale et déterminer la valeur du paramètre qui les égalise.
Alternative : Écrire directement la contrainte effective sous la forme σ − ua + χ(ua − uw) sans distinguer les deux termes. Écarté : la décomposition en contrainte nette et contribution de succion est ce qui rend le résultat interprétable, et c'est elle qui permettra le bilan de la question 4.
Objectif visé : Obtenir la contrainte réellement supportée par le squelette solide, et établir le seuil au-delà duquel elle dépasse la charge appliquée.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Contrainte nette 130,0 kPa · σ′ = 162,50 kPa · dépasse σ de 12,5 kPa · pivot à χ = 0,400

Rappel Théorique : pourquoi deux termes et non un

Sur un sol saturé, une seule pression interstitielle existe et le principe des contraintes effectives s'écrit en une soustraction. Sur un sol à trois phases, il faut deux termes : l'un rend compte de la charge extérieure diminuée de la pression du fluide majoritaire dans les pores — l'air — l'autre de l'attraction capillaire exercée par le fluide minoritaire.

La contrainte nette : charge totale diminuée de la pression d'air. C'est ce que le squelette supporterait si la succion était nulle, c'est-à-dire si l'eau et l'air étaient à la même pression. Elle joue le rôle qu'a la contrainte effective sur un sol sec.
Pourquoi l'air et non l'eau : parce que l'air occupe la majeure partie des pores et enveloppe les contacts entre grains. C'est lui qui exerce la pression ambiante sur le squelette ; l'eau, cantonnée aux ménisques, agit par traction et non par pression ambiante.
La contribution de succion : elle s'ajoute et ne se retranche pas. C'est le point qui surprend : dans la formulation des sols saturés, la pression interstitielle se retranche. Ici la succion s'ajoute, parce qu'elle est une dépression et que retrancher une dépression revient à ajouter.
Le dépassement de la contrainte totale : il se produit dès que la contribution de succion excède la pression d'air retranchée. C'est un seuil calculable, et son franchissement n'a rien d'anormal — il traduit simplement que l'attraction capillaire comprime davantage que l'air ne soulage.
Le retour au cas saturé : si la succion s'annule et le paramètre vaut un, la relation se réduit à la contrainte totale diminuée de la pression interstitielle unique. Toute formulation élargie doit contenir le cas classique comme cas particulier, et celle-ci le fait.

Équations Fondamentales

Deux relations : la contrainte effective elle-même, puis la condition qui donne le seuil de dépassement.

Contrainte effective de Bishop

Donne la contrainte réellement supportée par le squelette solide d'un sol à trois phases.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle étend aux sols non saturés le principe qui gouverne toute la mécanique des sols : seule la contrainte effective commande la résistance et la déformation . Sans elle, il faudrait deux variables d'état indépendantes et l'ensemble des vérifications établies pour les sols saturés devrait être réécrit

Contexte de validité : Valable dans le cadre de la formulation scalaire de Bishop. Les approches modernes emploient souvent deux variables indépendantes — contrainte nette et succion — plutôt qu'une contrainte effective unique, précisément parce que le paramètre de pondération est mal déterminé.
Avantage : Elle permet de conserver la forme des critères de rupture établis pour les sols saturés, en y substituant simplement cette contrainte effective élargie.
Paramètre clé : Le paramètre de Bishop, non mesuré. Il pèse toute la contribution de succion, et la question 3 montrera de combien le résultat en dépend.
Vérification : Aux deux bornes du paramètre, la relation doit redonner des expressions connues : la contrainte nette pour zéro, la contrainte totale diminuée de la pression d'eau pour un. Deux contrôles gratuits.
Limite : Elle suppose que l'effet de la succion se réduit à une contrainte scalaire additive. En réalité la succion modifie aussi la structure du sol elle-même — effondrement à l'imbibition — que cette formulation ne décrit pas.

\[ \begin{aligned} \sigma' &= (\sigma - u_a) + \chi \,(u_a - u_w) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que le squelette est comprimé par deux effets qui s'additionnent : la charge extérieure, diminuée de la pression d'air qui la soulage, et l'attraction des ménisques qui la renforce. Sur ce sol, le second effet l'emporte sur le soulagement du premier , d'où une contrainte effective supérieure à la charge appliquée.

Décomposition des termes :

σ′ : contrainte effective de Bishop, unité : kPa
σ − u_a : contrainte nette, 130,0, unité : kPa
χ(u_a − u_w) : contribution de succion, 32,50, unité : kPa
162,50 : valeur obtenue, unité : kPa
150 : contrainte totale appliquée, pour comparaison, unité : kPa

Seuil de dépassement de la contrainte totale

Donne la valeur du paramètre de Bishop pour laquelle contrainte effective et contrainte totale coïncident.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le dépassement surprend et qu'il vaut mieux savoir à partir de quand il se produit plutôt que de le constater. La condition s'obtient en écrivant l'égalité des deux contraintes : la contribution de succion doit alors compenser exactement la pression d'air retranchée

Contexte de validité : Valable pour toute combinaison de pressions telle que la succion soit non nulle. Si la succion s'annulait, le seuil n'existerait pas et la contrainte effective serait toujours inférieure à la totale.
Avantage : Le seuil s'exprime comme un simple rapport de la pression d'air à la succion, ce qui le rend immédiatement calculable et facile à retenir.
Paramètre clé : La pression d'air, au numérateur. Plus elle est élevée, plus il faut de succion pondérée pour la compenser, donc plus le seuil est haut.
Vérification : En reportant le seuil dans la relation de Bishop, on doit retrouver exactement la contrainte totale. Le contrôle referme le calcul.
Limite : Le seuil n'a pas de signification physique en lui-même : c'est un repère de lecture, qui dit simplement où se situe le cas étudié par rapport à une frontière remarquable.

\[ \begin{aligned} \chi_{pivot} &= \dfrac{u_a}{u_a - u_w} = \dfrac{u_a}{s} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Il dit quelle fraction de la succion suffit à compenser la pression d'air . Ici quatre dixièmes : au-delà, l'attraction capillaire fait plus que compenser le soulagement apporté par l'air, et le squelette se trouve plus comprimé que la charge appliquée. En deçà, la situation reste conforme à l'intuition .

Décomposition des termes :

χ_pivot : paramètre au seuil de dépassement, unité : sans dimension
u_a : pression de l'air interstitiel, 20, unité : kPa
s : succion matricielle, 50, unité : kPa
0,400 : valeur obtenue, unité : sans dimension
0,65 : valeur retenue par l'énoncé, supérieure au seuil, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le principe des contraintes effectives dit que l'on retranche la pression interstitielle à la contrainte totale. La contrainte nette vaut donc 150 − (−30) = 180 kPa, à quoi s'ajoute la contribution de succion de 32,5, soit 212,5 kPa. »

L'approche d'ingénieur : Le premier terme retranche la pression de l'AIR, non celle de l'eau : la contrainte nette vaut 150 − 20 = 130 kPa. En retranchant la pression d'eau, on compte deux fois la succion — une fois dans le premier terme, une fois dans le second — et l'on obtient 212,5 kPa au lieu de 162,5, soit 31% de surestimation

L'erreur : Elle transpose mécaniquement la formulation des sols saturés sans voir que la relation élargie distingue deux pressions. La confusion est d'autant plus facile que les deux formulations s'écrivent presque pareil.
La bonne méthode : Écrire les deux termes séparément et vérifier que chacun emploie la bonne pression : l'air pour la contrainte nette, l'écart des deux pour la contribution de succion.
L'astuce de pro : Contrôlez aux deux bornes du paramètre : à zéro, la relation doit rendre la contrainte totale diminuée de la pression d'air ; à un, la contrainte totale diminuée de la pression d'eau. Si l'une des deux ne tombe pas juste, un terme est mal écrit.
Le moyen mnémotechnique : La contrainte nette retranche l'air, la contribution de succion pèse l'écart. Chaque pression n'apparaît qu'une fois.
L'impact direct : Une surestimation de 31% de la contrainte effective se propage à toute vérification de portance ou de stabilité. Sur un talus, elle conduirait à valider une pente qui ne tient que grâce à une succion qu'on aurait comptée deux fois.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Contrainte totale et pressions : en kPa
Contrainte nette (σ − u_a) : en kPa
Contribution de succion : en kPa
Contrainte effective : somme de deux kPa, donc en kPa
Paramètre au seuil : rapport de deux kPa, donc sans dimension

Toutes les grandeurs sont en kilopascals, sauf le paramètre de Bishop et le seuil qui en dérive, tous deux sans dimension. Aucune conversion n'intervient. Le seul contrôle utile est celui des deux bornes : à χ = 0 la relation doit rendre 130 kPa et à χ = 1 elle doit rendre 180 kPa , c'est-à-dire la contrainte totale diminuée respectivement de la pression d'air et de celle de l'eau. Ces deux vérifications ne coûtent rien, elles se font de tête, et elles attrapent toute erreur d'écriture dans l'un ou l'autre des deux termes — ce qu'aucun contrôle d'unités ne ferait, puisque les deux termes sont homogènes.,

1. Résolution Numérique Contrainte effective de Bishop

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la grandeur qui commande la résistance et la déformation du sol : sans elle, aucune vérification de portance ou de stabilité n'est possible.

Méthodologie du calcul :

On calcule d'abord la contrainte nette, \( \sigma - u_a = 150 - 20 = 130{,}0 \) kPa — en retranchant la pression de l'AIR et non celle de l'eau. On y ajoute ensuite la contribution de succion obtenue à la question 1. Les deux termes sont de même signe : ils s'additionnent, et c'est ce qui rend possible le dépassement de la contrainte totale.

Substitution : σ − u_a = 130,0 kPa ; χ(u_a − u_w) = 32,50 kPa, calculée à la question 1.
Piège évité : Ne pas retrancher la pression d'eau dans le premier terme. On compterait alors deux fois la succion — une fois dans la contrainte nette, une fois dans la contribution — et le résultat, 212,5 kPa, surestimerait la résistance de 31%.
Hypothèse validée : La formulation scalaire de Bishop décrit adéquatement le comportement. Les approches modernes emploient souvent deux variables indépendantes, précisément parce que le paramètre de pondération est mal déterminé.
Vérification croisée : Contrôle aux deux bornes du paramètre : à χ = 0 la relation rend 130,0 kPa, soit σ − u_a ; à χ = 1 elle rend 180,0 kPa, soit σ − u_w. Les deux expressions attendues sont retrouvées.
Finalité : Cette contrainte sera comparée à la contrainte totale, puis sa sensibilité au paramètre sera mesurée à la question 3.

\[ \begin{aligned} \sigma' &= (\sigma - u_a) + \chi\,(u_a - u_w) \\ &= (150 - 20) + 0{,}65 \times 50{,}0 \\ &= 130{,}0 + 32{,}50 \\ &= \mathbf{162{,}50} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

162,5 kPa, soit 12,5 kPa de PLUS que la contrainte totale appliquée. Le squelette supporte davantage que la charge extérieure , ce qui serait impossible sur un sol saturé et qui est parfaitement normal ici : l'attraction des ménisques comprime les grains en plus de la charge . Le soulagement apporté par la pression d'air, vingt kilopascals, est plus que compensé par les trente-deux et demi de la succion.

Ordre de grandeur : Une contrainte effective de l'ordre de la contrainte totale, à quelques pour cent près, est la situation courante d'un sol non saturé à faible profondeur. Les écarts importants apparaissent en période de sécheresse marquée.
Impact sur la suite : C'est cette valeur qui entrerait dans un critère de rupture pour évaluer la résistance disponible. La question 4 montrera ce qu'elle devient à la saturation.
Cohérence : Les deux contrôles aux bornes du paramètre passent, ce qui valide l'écriture des deux termes. Et le résultat est bien compris entre ces deux bornes, 130 et 180 kPa.
Attention : Ce dépassement de la contrainte totale n'a rien d'exceptionnel, mais il est temporaire : il disparaît dès que le sol se sature, sans qu'aucune charge n'ait bougé.
Comparaison : La formulation de Bishop, publiée en 1959, relève de la littérature scientifique. La NF EN 1997-1 est bâtie sur le principe des contraintes effectives des sols saturés et ignore cette contribution — ce qui la place du côté de la sécurité.

Remarque pédagogique : Vérifier une relation à ses deux cas limites coûte deux calculs de tête et valide l'écriture complète. C'est particulièrement utile quand les termes sont homogènes entre eux, cas où aucun contrôle d'unités ne peut aider.

Seuil de dépassement de la contrainte totale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le dépassement surprend, et qu'il vaut mieux savoir à partir de quand il se produit plutôt que de le constater sans l'expliquer.

Méthodologie du calcul :

On écrit l'égalité entre contrainte effective et contrainte totale, ce qui revient à demander que la contribution de succion compense exactement la pression d'air retranchée . Le paramètre cherché s'obtient alors comme le rapport de la pression d'air à la succion.

Substitution : u_a = 20 kPa et s = 50,0 kPa.
Piège évité : Ne pas confondre ce seuil avec une propriété du sol. C'est un repère de lecture, qui dépend autant de la pression d'air et de la succion que du sol lui-même : il n'a pas de signification physique en dehors de la comparaison qu'il permet.
Hypothèse validée : La succion est non nulle, faute de quoi le seuil n'existerait pas et la contrainte effective resterait toujours inférieure à la contrainte totale.
Vérification croisée : En reportant ce paramètre dans la relation de Bishop : 130,0 + 0,400 × 50,0 = 130,0 + 20,0 = 150,0 kPa, soit exactement la contrainte totale. Le calcul se referme.
Finalité : Ce repère situe le cas étudié par rapport à une frontière remarquable, et éclaire le résultat de la question précédente.

\[ \begin{aligned} \chi_{pivot} &= \dfrac{u_a}{s} = \dfrac{20}{50{,}0} \\ &= \mathbf{0{,}400} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,400 : dès que le paramètre de Bishop dépasse quatre dixièmes, la contrainte effective excède la contrainte totale. La valeur retenue par l'énoncé, 0,65, est nettement au-dessus , ce qui explique le dépassement observé à la question précédente — et le rend prévisible plutôt qu'étonnant . Le seuil dit exactement quelle fraction de la succion suffit à compenser le soulagement apporté par l'air.

Ordre de grandeur : Un seuil de quatre dixièmes correspond à un rapport modéré entre pression d'air et succion. Sur un sol plus sec, la succion serait plus grande et le seuil plus bas, donc le dépassement plus fréquent.
Impact sur la suite : Il situe le cas étudié dans le régime où l'attraction capillaire domine, ce qui est la situation normale d'un sol non saturé à succion notable.
Cohérence : Le report du seuil dans la relation redonne exactement la contrainte totale, ce qui vérifie à la fois le seuil et l'écriture de la relation.
Attention : Ce seuil ne dit rien de la stabilité du sol : il ne fait que situer une frontière de lecture. Un sol peut parfaitement être instable avec une contrainte effective supérieure à la contrainte totale.
Comparaison : Sur un sol saturé, ce seuil n'existerait pas : la contrainte effective y est toujours inférieure ou égale à la contrainte totale, l'égalité correspondant à une pression interstitielle nulle.

Remarque pédagogique : Calculer le seuil d'un phénomène qu'on vient d'observer transforme une surprise en prévision. Cela ne change pas le résultat, cela change ce qu'on en comprend.

RÉSULTAT FINAL

σ′ = 162,50 kPa — soit 12,5 kPa de plus que la contrainte totale, le pivot étant à χ = 0,400

« Le squelette supporte plus que la charge appliquée : les ménisques comprennent en plus, ils ne soulagent pas. »

Question 3 : Sensibilité au paramètre de Bishop

Dans la tête de l'ingénieur

« Le résultat de la question 2 repose sur une valeur que l'énoncé fournit sans dire d'où elle vient. Ce n'est pas un détail. Le paramètre de Bishop est le plus difficile à déterminer de toute la mécanique des sols non saturés : il ne se mesure pas directement, et on l'approxime souvent par le degré de saturation faute de mieux. Reste à savoir ce que cette approximation coûte. »

Observation : Aux deux bornes du domaine du paramètre, la relation de Bishop prend des formes remarquablement simples : la contrainte nette d'un côté, la contrainte totale diminuée de la pression d'eau de l'autre.
Analyse du risque : Un paramètre indéterminé entre zéro et un place la contrainte effective entre 130 et 180 kPa , soit cinquante kilopascals d'étendue. Publier 162,5 kPa sans cette réserve donne au résultat une précision qu'il n'a pas — et le lecteur suivant l'emploiera comme si elle était acquise.
Choix stratégique : Évaluer la contrainte effective aux deux bornes du domaine du paramètre, en explicitant la forme simplifiée que prend la relation dans chaque cas, puis rapporter l'étendue obtenue à la valeur retenue.
Alternative : Estimer le paramètre par le degré de saturation, approximation courante. Écartée faute de donnée : l'énoncé ne fournit pas le degré de saturation. Et l'approximation elle-même est discutée — elle surestime la contribution de succion sur les sols fins.
Objectif visé : Mesurer ce que l'indétermination du paramètre coûte sur le résultat, et énoncer la réserve de méthode qui s'attache à ce type de balayage.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

σ′ entre 130,0 et 180,0 kPa · étendue 50,0 kPa, soit 30,8% de la valeur retenue

Rappel Théorique : un balayage formel n'est pas un chemin physique

Faire varier un paramètre en maintenant tous les autres constants est une étude de sensibilité , et non une prévision de comportement. Elle répond à la question « que vaudrait le résultat si ce paramètre valait autre chose », et non à la question « que deviendrait le sol s'il changeait d'état ». Confondre les deux est une erreur d'interprétation courante, et elle est ici particulièrement tentante.

Ce que le paramètre représente : la fraction de la surface effectivement mouillée qui transmet l'attraction capillaire au squelette. Il vaut zéro sur un sol sec, où l'eau ne forme plus de ménisques continus, et un sur un sol saturé, où toute la section est mouillée.
Pourquoi il n'est pas mesuré : aucune méthode directe n'existe. On le déduit d'essais triaxiaux sur sols non saturés, longs et coûteux, ou on l'approxime par le degré de saturation — approximation qui surestime la contribution de succion sur les sols fins, où une part de l'eau est adsorbée et non capillaire.
La forme aux deux bornes : à zéro, la relation se réduit à la contrainte nette. À un, elle devient la contrainte totale diminuée de la pression d'eau, c'est-à-dire la formulation classique des sols saturés. Ces deux cas limites sont des contrôles gratuits de l'écriture.
La réserve de méthode : le balayage fait varier le paramètre à succion CONSTANTE. Dans la réalité, les deux varient ensemble — un sol qui se sature voit son paramètre croître et sa succion décroître simultanément. Le balayage n'est donc pas un chemin que le sol pourrait suivre.
Ce qu'il faut en conclure : l'étendue obtenue mesure l'incertitude sur le résultat imputable au seul paramètre, ce qui est exactement ce qu'on cherche. Elle ne décrit pas l'évolution du sol, et le dire explicitement fait partie du résultat.

Équations Fondamentales

Deux relations, qui sont les formes limites de celle de la question 2. Leur intérêt est autant de contrôle que de calcul.

Contrainte effective à paramètre nul

Donne la borne inférieure de l'intervalle, correspondant à un sol sec.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle isole ce que le squelette supporterait sans aucune contribution de succion , c'est-à-dire la seule contrainte nette. C'est la valeur de référence à partir de laquelle la succion ajoute son effet, et c'est aussi un contrôle de l'écriture

Contexte de validité : Correspond physiquement à un sol sec, où les ménisques ont disparu. La succion peut alors être très élevée sans transmettre quoi que ce soit, faute de continuité de la phase eau.
Avantage : Elle se calcule de tête et vérifie immédiatement le premier terme de la relation de Bishop.
Paramètre clé : La pression d'air, seule à intervenir. Sur un sol ouvert à l'atmosphère, elle serait nulle et la contrainte nette se confondrait avec la contrainte totale.
Vérification : Le résultat doit valoir exactement la contrainte totale diminuée de la pression d'air, soit 130 kPa. Tout écart signale une erreur dans le premier terme.
Limite : Un sol réellement sec ne présente plus de succion mesurable au sens matriciel : la borne est donc formelle, obtenue en annulant le paramètre sans annuler la succion.

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\chi=0} &= \sigma - u_a \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit ce que supporterait le squelette si l'eau ne tirait plus sur rien . Cent trente kilopascals, soit vingt de moins que la charge appliquée — parce que la pression d'air, elle, soulage le squelette en s'exerçant sur tous ses contacts.

Décomposition des termes :

σ′ à χ = 0 : borne inférieure de l'intervalle, unité : kPa
σ : contrainte totale, 150, unité : kPa
u_a : pression de l'air, 20, unité : kPa
130,0 : valeur obtenue, unité : kPa
sol sec : situation physique correspondante, unité : —

Contrainte effective à paramètre unité

Donne la borne supérieure et vérifie que la formulation contient le cas saturé.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle doit redonner exactement la formulation des sols saturés . Une relation élargie qui ne contiendrait pas le cas classique comme cas particulier serait à rejeter : c'est le contrôle le plus fondamental qu'on puisse lui faire subir, et il se fait de tête

Contexte de validité : Correspond formellement à un sol saturé. La borne est là encore formelle, puisqu'un sol réellement saturé n'aurait plus de succion et que les deux effets se compenseraient — c'est précisément l'objet de la question 4.
Avantage : Elle vérifie la cohérence de la formulation avec le corpus des sols saturés, et fournit la borne supérieure de l'intervalle sans calcul supplémentaire.
Paramètre clé : La pression d'eau, qui devient la seule pression retranchée. Étant négative, elle s'ajoute — d'où une borne supérieure à la contrainte totale.
Vérification : Les deux termes doivent se recombiner exactement en σ − u_w. Le développement se fait en une ligne et constitue la vérification.
Limite : Formelle également : à paramètre unité, la succion devrait être nulle. Le calcul est donc un contrôle d'écriture plutôt qu'une prévision.

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\chi=1} &= (\sigma - u_a) + (u_a - u_w) = \sigma - u_w \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que la formulation élargie contient bien la classique . Les deux pressions d'air se simplifient et il ne reste que la contrainte totale diminuée de la pression d'eau — exactement le principe des contraintes effectives des sols saturés. C'est la condition minimale d'acceptabilité de toute formulation élargie.

Décomposition des termes :

σ′ à χ = 1 : borne supérieure de l'intervalle, unité : kPa
σ − u_w : forme simplifiée, celle des sols saturés, unité : kPa
180,0 : valeur obtenue, unité : kPa
50,0 : étendue de l'intervalle, unité : kPa
30,8 : étendue rapportée à la valeur retenue, unité : %

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le balayage du paramètre montre comment la contrainte effective évolue quand le sol passe de l'état sec à l'état saturé : elle croît régulièrement de 130 à 180 kPa. »

L'approche d'ingénieur : Le balayage fait varier le paramètre à succion CONSTANTE, ce qui n'est pas un chemin que le sol peut suivre : en se saturant, il voit son paramètre croître ET sa succion décroître simultanément . Il s'agit d'une étude de sensibilité au paramètre, non d'une prévision de comportement — et la différence est considérable, comme la question 4 va le montrer

L'erreur : Elle lit un balayage paramétrique comme une trajectoire physique. Faire varier une variable en gelant les autres répond à une question de sensibilité, jamais à une question d'évolution.
La bonne méthode : Énoncer explicitement, à côté de tout balayage, si les autres variables sont physiquement indépendantes de celle qu'on fait varier. Si elles ne le sont pas, le balayage reste licite mais son interprétation change.
L'astuce de pro : Demandez-vous si le jeu de valeurs balayé correspond à des états que le sol peut réellement occuper. Ici la réponse est non : un sol à paramètre unité et succion de cinquante kilopascals n'existe pas, puisque la saturation annule la succion.
Le moyen mnémotechnique : Un balayage à variables gelées mesure une sensibilité, pas une évolution.
L'impact direct : Interpréter ce balayage comme une trajectoire conduirait à annoncer que la saturation FAIT CROÎTRE la contrainte effective de 130 à 180 kPa — conclusion exactement inverse de la réalité, comme la question 4 l'établira.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Contraintes aux deux bornes : en kPa
Étendue de l'intervalle : différence de deux kPa, en kPa
Étendue relative : rapportée à la valeur retenue, en %
Paramètre de Bishop et ses bornes : sans dimension
Contrainte totale de référence : 150 kPa

Rien de nouveau du point de vue des unités : toutes les contraintes sont en kilopascals et le paramètre est sans dimension. Une remarque de lecture mérite en revanche d'être faite sur l'étendue relative : les 30,8% sont rapportés à la valeur retenue de 162,5 kPa , non à l'une des deux bornes ni à leur moyenne. Annoncer une étendue relative sans dire à quoi elle est rapportée est une source d'ambiguïté fréquente dans les rapports d'étude — la même étendue de cinquante kilopascals ferait 38% rapportée à la borne inférieure et 28% rapportée à la borne supérieure.,

1. Résolution Numérique Contrainte effective à la borne inférieure du paramètre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elle isole la seule contrainte nette, valeur de référence à partir de laquelle la succion ajoute sa contribution.

Méthodologie du calcul :

On annule le paramètre de Bishop dans la relation. Le second terme disparaît et il ne reste que la contrainte nette. Cette forme correspond physiquement à un sol sec , où l'eau ne forme plus de ménisques continus et ne transmet donc plus aucune attraction au squelette.

Substitution : σ = 150 kPa et u_a = 20 kPa ; paramètre annulé.
Piège évité : Ne pas confondre cette borne avec un sol de succion nulle. La succion reste ici de cinquante kilopascals : c'est sa TRANSMISSION au squelette qui est annulée, non son existence. La distinction paraît formelle et elle est exactement l'objet du paramètre.
Hypothèse validée : Balayage à succion constante, ce qui n'est pas un chemin physique. C'est une étude de sensibilité au paramètre, et cette réserve doit accompagner le résultat.
Vérification croisée : Le résultat doit valoir exactement la contrainte totale diminuée de la pression d'air. C'est le contrôle du premier terme de la relation de Bishop.
Finalité : Cette borne, avec la suivante, délimitera l'intervalle dans lequel la contrainte effective se situe.

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\chi = 0} &= (\sigma - u_a) + 0 \times s \\ &= 150 - 20 \\ &= \mathbf{130{,}0} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

130 kPa, soit vingt de moins que la charge appliquée. La pression de l'air soulage le squelette en s'exerçant sur tous ses contacts, exactement comme le ferait une pression interstitielle sur un sol saturé . C'est la valeur plancher : quelle que soit la succion, le squelette ne supportera jamais moins que cela tant que la charge et la pression d'air ne changent pas.

Ordre de grandeur : Une contrainte nette inférieure de treize pour cent à la contrainte totale correspond à une pression d'air modérée. Sur un sol ouvert à l'atmosphère, la pression d'air serait nulle et les deux se confondraient.
Impact sur la suite : C'est la borne inférieure de l'intervalle d'incertitude imputable au paramètre.
Cohérence : La forme obtenue est celle attendue : la contribution de succion disparaît et il ne reste que la contrainte nette. Le premier terme de la relation est donc correctement écrit.
Attention : Cette borne est formelle. Un sol réellement sec ne présenterait plus de succion matricielle mesurable, faute de continuité de la phase eau — le cas limite est un artefact de calcul, utile comme contrôle et non comme description.
Comparaison : Sur un sol saturé de pression interstitielle nulle, la contrainte effective vaudrait la contrainte totale, soit 150 kPa. La contrainte nette lui est ici inférieure du seul fait de la pression d'air.

Remarque pédagogique : Les cas limites d'une relation sont les contrôles les moins coûteux qu'on puisse lui faire subir. Ils se calculent de tête et vérifient chacun un terme séparément.

Contrainte effective à la borne supérieure du paramètre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elle doit redonner exactement la formulation des sols saturés — contrôle le plus fondamental qu'on puisse faire subir à une relation élargie.

Méthodologie du calcul :

On porte le paramètre à un. Les deux pressions d'air se simplifient et il ne reste que la contrainte totale diminuée de la pression d'eau. Le développement, écrit en une ligne, constitue lui-même le contrôle : une formulation élargie doit contenir la classique comme cas particulier.

Substitution : σ = 150 kPa, u_a = 20 kPa et u_w = −30 kPa ; paramètre porté à un.
Piège évité : Ne pas oublier que la pression d'eau est négative dans la forme simplifiée. La contrainte totale diminuée de moins trente vaut cent quatre-vingts, non cent vingt : le signe se propage jusqu'ici.
Hypothèse validée : Même réserve qu'au bloc précédent : le balayage se fait à succion constante, ce qui n'est pas un chemin physique.
Vérification croisée : Développement : (150 − 20) + (20 − (−30)) = 130 + 50 = 180, et directement 150 − (−30) = 180. Les deux voies concordent, ce qui vérifie l'ensemble de la relation.
Finalité : L'intervalle est délimité ; son étendue mesure l'incertitude imputable au paramètre.

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\chi = 1} &= (150 - 20) + 1 \times (20 - (-30)) \\ &= 130{,}0 + 50{,}0 \\ &= \mathbf{180{,}0} \text{ kPa} \quad = \sigma - u_w \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

180 kPa, et surtout le fait que ce résultat se retrouve directement par la formulation des sols saturés. Les deux pressions d'air se simplifient exactement , et la relation élargie contient donc bien la classique comme cas particulier — condition minimale d'acceptabilité qu'on omet presque toujours de vérifier . L'intervalle complet s'étend ainsi de 130 à 180 kPa, soit cinquante kilopascals pour une valeur retenue de 162,5 : 30,8%.

Ordre de grandeur : Trente pour cent d'incertitude relative sur une contrainte effective est considérable. C'est le prix d'un paramètre que rien ne mesure directement, et cela justifie que les vérifications réglementaires l'ignorent.
Impact sur la suite : Conclusion : le résultat de la question 2 doit être publié avec cet intervalle, faute de quoi il donne une précision qu'il n'a pas.
Cohérence : Les deux voies de calcul — développement complet et forme simplifiée — donnent le même résultat, ce qui vérifie l'écriture des deux termes simultanément.
Attention : Le balayage suppose la succion constante. Un sol qui se sature réellement voit son paramètre croître ET sa succion s'annuler : ce n'est pas la trajectoire décrite ici, et la question 4 montrera qu'elle donne un résultat inverse.
Comparaison : Rapportée à la borne inférieure, l'étendue ferait 38% ; à la borne supérieure, 28%. Annoncer une étendue relative sans préciser à quoi elle est rapportée est une ambiguïté classique des rapports d'étude.

Remarque pédagogique : Qu'une formulation élargie redonne la formulation classique à sa limite n'est pas une élégance : c'est une exigence. Une relation qui échouerait à ce test serait à rejeter, quelle que soit sa cohérence par ailleurs.

RÉSULTAT FINAL

σ′ compris entre 130,0 et 180,0 kPa — étendue 50,0 kPa, soit 30,8% de la valeur retenue

« Trente pour cent d'incertitude pour un paramètre que rien ne mesure — et ce balayage n'est pas un chemin physique. »

Question 4 : Ce que la saturation fait réellement perdre

Dans la tête de l'ingénieur

« La question qui décide de tout : ce sol tient grâce à sa succion, mais que devient-il quand il pleut ? L'intuition répond immédiatement — on perd les trente-deux kilopascals et demi de contrainte de succion — et cette réponse est fausse . Elle oublie qu'en saturant, la pression d'air disparaît elle aussi, et que le terme de contrainte nette y gagne autant. »

Observation : À la saturation, deux choses se produisent simultanément : la succion s'annule, et la pression d'air disparaît. Les deux effets sont de signes opposés sur la contrainte effective.
Analyse du risque : Ne compter que la perte de succion surestime le préjudice d'un facteur deux et demi . L'erreur va dans le sens qui inquiète, ce qui la rend paradoxalement durable : personne ne conteste un calcul qui conclut à la prudence, et l'on renforce alors un ouvrage sur la foi d'un bilan à moitié fait.
Choix stratégique : Calculer la contrainte effective du sol saturé, en déduire la perte réelle, puis décomposer ce bilan en ses deux termes de signes opposés pour montrer d'où vient l'écart avec l'intuition.
Alternative : Traiter la saturation en portant simplement le paramètre à un, comme au balayage de la question 3. Écarté : cela donnerait 180 kPa, c'est-à-dire une AUGMENTATION de la contrainte effective. C'est précisément l'erreur que la réserve de méthode de la question 3 annonçait.
Objectif visé : Établir le bilan exact de la saturation, et la cohésion apparente que la succion apporte tant qu'elle dure.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

σ′ saturé = 150,0 kPa · perte réelle 12,5 kPa et non 32,5 · facteur de surestimation 2,60 · cohésion apparente 15 à 23 kPa selon φ′

Rappel Théorique : ce que la saturation change vraiment

Saturer un sol, c'est remplacer l'air des pores par de l'eau. Deux conséquences en découlent, et l'on ne pense en général qu'à la première : la succion s'annule, puisqu'il n'y a plus deux pressions distinctes ; mais la pression d'air disparaît également, et avec elle le soulagement qu'elle apportait au squelette. Les deux effets sont de signes opposés.

Ce que la succion apportait : une contribution positive à la contrainte effective, ici de trente-deux kilopascals et demi. Elle disparaît intégralement, et c'est la partie du bilan que tout le monde voit.
Ce que la pression d'air retranchait : vingt kilopascals à la contrainte totale, dans le terme de contrainte nette. En disparaissant, elle cesse de soulager le squelette, et la contrainte nette passe de 130 à 150 kPa. C'est la partie du bilan qu'on oublie.
Le bilan net : moins trente-deux et demi plus vingt, soit moins douze et demi. La perte est donc bien réelle, mais deux fois et demie plus faible que la seule contribution de succion. Compter l'un pour l'autre n'est pas une approximation : c'est un bilan à moitié fait.
Pourquoi le balayage de la question 3 donnait l'inverse : il faisait croître le paramètre en gelant la succion, ce qui n'est pas un chemin physique. La saturation réelle annule la succion, elle ne la conserve pas. C'est l'illustration exacte de la réserve énoncée.
La cohésion apparente : la contribution de succion se traduit, dans un critère de rupture, par une cohésion supplémentaire égale à cette contribution multipliée par la tangente de l'angle de frottement. Elle est DÉJÀ contenue dans la contrainte effective : l'ajouter séparément compterait deux fois le même effet.

Équations Fondamentales

Deux relations : le bilan de la saturation, puis la traduction de la contribution de succion en cohésion apparente.

Bilan de la saturation

Donne la variation réelle de contrainte effective lors du passage à l'état saturé.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'intuition ne retient qu'un des deux termes, et le plus visible. Écrire le bilan complet montre que les deux effets sont de signes opposés et que le second en compense une grande part — vingt kilopascals sur trente-deux et demi

Contexte de validité : Valable pour une saturation complète où les deux pressions s'égalisent. Si le sol se saturait sous une pression interstitielle positive — nappe perchée, par exemple — la contrainte effective chuterait davantage encore.
Avantage : Elle se décompose en deux termes lisibles, ce qui permet de dire d'où vient l'écart avec l'intuition plutôt que de se contenter de le constater.
Paramètre clé : La pression d'air initiale, qui fixe l'ampleur de la compensation. Sur un sol ouvert à l'atmosphère, elle serait nulle et la perte égalerait bien toute la contribution de succion — cas où l'intuition serait juste.
Vérification : La somme des deux termes du bilan doit égaler la différence des deux contraintes effectives calculées séparément. Deux voies indépendantes qui doivent concorder.
Limite : Elle ne décrit que l'effet sur la contrainte effective. La saturation peut aussi provoquer un effondrement de structure sur certains sols — les lœss notamment — phénomène que cette formulation ignore entièrement.

\[ \begin{aligned} \Delta \sigma' &= \underbrace{-\chi s}_{\text{succion perdue}} + \underbrace{u_a}_{\text{air disparu}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Il dit que saturer un sol lui retire une aide et lui en rend une autre . L'attraction capillaire s'en va, mais la pression d'air qui pesait sur les contacts s'en va aussi. Le solde est négatif — le sol perd bien de la résistance — mais bien moins que la seule disparition de la succion ne le laisserait croire.

Décomposition des termes :

Δσ′ : variation de contrainte effective, unité : kPa
−χs : contribution de succion perdue, −32,50, unité : kPa
u_a : pression d'air disparue, +20,00, unité : kPa
−12,50 : bilan net, unité : kPa
2,60 : facteur de surestimation de l'intuition, unité : sans dimension

Cohésion apparente due à la succion

Traduit la contribution de succion en un terme de cohésion dans un critère de rupture.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est sous cette forme que la succion se manifeste en pratique : un talus tient comme s'il avait de la cohésion , alors que le matériau n'en a pas. Cette cohésion est réelle tant que la succion dure, et elle disparaît entièrement

Contexte de validité : Valable dans le cadre d'un critère de rupture linéaire où la contrainte effective de Bishop remplace celle des sols saturés. Elle suppose l'angle de frottement inchangé par la non-saturation, ce qui est l'hypothèse usuelle.
Avantage : Elle rend immédiatement lisible ce que la succion apporte, dans une unité et sous une forme que tout ingénieur géotechnicien manipule quotidiennement.
Paramètre clé : L'angle de frottement, non fourni par l'énoncé et donc posé en hypothèse signalée. Le balayage sur une plage plausible donne la fourchette de la cohésion apparente.
Vérification : La cohésion apparente doit être inférieure à la contribution de succion, la tangente d'un angle de frottement usuel étant inférieure à un. Le contrôle passe pour tout angle inférieur à quarante-cinq degrés.
Limite : Elle est DÉJÀ contenue dans la contrainte effective de Bishop. L'ajouter comme cohésion supplémentaire à un calcul mené sur cette contrainte compterait deux fois le même effet — erreur d'autant plus tentante que les deux grandeurs se calculent séparément.

\[ \begin{aligned} c_{app} &= \chi \, s \, \tan \varphi' \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit de combien la succion renforce le sol, exprimé comme une cohésion . Quinze à vingt-trois kilopascals selon l'angle de frottement : c'est l'ordre de grandeur de la cohésion effective d'une argile raide. Sauf qu'elle s'évapore , et c'est toute la différence entre une cohésion vraie et une cohésion apparente.

Décomposition des termes :

c_app : cohésion apparente due à la succion, unité : kPa
χ s : contribution de succion, 32,50, unité : kPa
tan φ′ : tangente de l'angle de frottement, posé en hypothèse, unité : sans dimension
15,15 à 22,76 : fourchette obtenue pour φ′ de 25 à 35°, unité : kPa
0 : valeur après saturation, unité : kPa

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le sol tient grâce à une contrainte de succion de 32,5 kPa. En cas de saturation, il perdra ces 32,5 kPa et sa contrainte effective tombera de 162,5 à 130 kPa, soit une chute de vingt pour cent. »

L'approche d'ingénieur : Le bilan est à moitié fait. En saturant, la pression d'air disparaît elle aussi et le terme de contrainte nette gagne vingt kilopascals, passant de 130 à 150. La contrainte effective saturée vaut donc 150 kPa et non 130 , et la perte réelle n'est que de 12,5 kPa — l'intuition la surestime d'un facteur 2,60

L'erreur : Elle ne compte qu'un des deux termes d'un bilan qui en comporte deux, et le plus visible. L'erreur va dans le sens qui inquiète, ce qui la rend durable : un calcul qui conclut à la prudence n'est jamais contesté.
La bonne méthode : Écrire les deux états séparément et faire la différence, plutôt que de raisonner sur la variation d'un seul terme. Deux calculs complets valent mieux qu'un raisonnement partiel.
L'astuce de pro : Vérifiez ce que devient CHAQUE terme lors du changement d'état, pas seulement celui qui vous intéresse. Ici la contrainte nette change aussi, et c'est cela qu'on manque.
Le moyen mnémotechnique : En saturant, on perd la succion mais on perd aussi la pression d'air. Deux termes, deux signes.
L'impact direct : Surestimer la perte d'un facteur deux et demi conduit à renforcer un ouvrage au-delà du nécessaire. Sur un talus, cela peut signifier un soutènement là où un simple drainage aurait suffi — décision coûteuse, prise sur un bilan incomplet.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Contraintes effectives avant et après saturation : en kPa
Termes du bilan : en kPa
Facteur de surestimation : rapport de deux kPa, donc sans dimension
Angle de frottement φ′ : posé en hypothèse, en degrés
Cohésion apparente : produit de kPa par un sans-dimension, en kPa

Toutes les grandeurs sont en kilopascals, sauf l'angle de frottement et les rapports. Aucune conversion n'intervient. Une vigilance de signe s'impose en revanche sur le bilan : la contribution de succion se compte NÉGATIVEMENT et la pression d'air POSITIVEMENT , puisque la première est perdue et que la seconde cessait de soulager. Écrire les deux avec le même signe donnerait une perte de 52,5 kPa au lieu de 12,5, soit un facteur quatre — et le résultat resterait suffisamment plausible pour ne pas alerter, ce qui est la marque des erreurs les plus dangereuses.,

1. Résolution Numérique Contrainte effective du sol saturé

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'état vers lequel le sol tend à la première pluie, et celui pour lequel toute vérification prudente devrait être menée.

Méthodologie du calcul :

À la saturation, l'air disparaît des pores et les deux pressions s'égalisent : la succion s'annule, et la pression d'air aussi. La relation de Bishop se réduit alors à la contrainte totale diminuée de la pression interstitielle unique , ici nulle. On retrouve donc la formulation classique des sols saturés.

Substitution : σ = 150 kPa ; u_a = u_w = 0 après saturation ; succion nulle.
Piège évité : Ne pas porter simplement le paramètre à un en gelant la succion, comme au balayage de la question 3. On obtiendrait 180 kPa, c'est-à-dire une AUGMENTATION — conclusion exactement inverse de la réalité, et c'est l'erreur que la réserve de méthode annonçait.
Hypothèse validée : Saturation complète avec pression interstitielle nulle. Si le sol se saturait sous une nappe perchée, la pression serait positive et la contrainte effective chuterait davantage.
Vérification croisée : La forme obtenue doit être celle des sols saturés : contrainte totale diminuée de la pression interstitielle. Avec une pression nulle, la contrainte effective égale la contrainte totale.
Finalité : La différence avec l'état non saturé donnera la perte réelle, décomposée au bloc suivant.

\[ \begin{aligned} \sigma'_{sat} &= (\sigma - u_a) + \chi \times 0 \\ &= 150 - 0 \\ &= \mathbf{150{,}0} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

150 kPa, soit exactement la contrainte totale. Le sol saturé sous pression interstitielle nulle voit son squelette supporter la charge appliquée, ni plus ni moins — ce qui est le cas de référence de toute la mécanique des sols classique . La contrainte effective a donc chuté de 162,5 à 150, et non de 162,5 à 130 comme la seule perte de succion le laisserait croire.

Ordre de grandeur : Une contrainte effective égale à la contrainte totale correspond à un sol saturé sans surpression ni dépression interstitielle. C'est la situation de référence, et elle sert de repère à toutes les autres.
Impact sur la suite : C'est la valeur qu'une vérification réglementaire retiendrait, puisque la NF EN 1997-1 est bâtie sur les contraintes effectives des sols saturés et ignore la contribution de succion.
Cohérence : Le résultat retrouve la formulation classique, ce qui est cohérent avec le fait que la saturation supprime la troisième phase et ramène au cas à deux phases.
Attention : Ce calcul suppose une pression interstitielle nulle après saturation. Une nappe perchée la rendrait positive et ferait chuter la contrainte effective en dessous de la contrainte totale — cas plus défavorable encore.
Comparaison : Le balayage de la question 3 donnait 180 kPa à paramètre unité. L'écart de trente kilopascals avec ce résultat mesure exactement ce que la réserve de méthode annonçait : le balayage n'était pas un chemin physique.

Remarque pédagogique : Calculer complètement les deux états plutôt que de raisonner sur la variation d'un terme est ce qui évite les bilans à moitié faits. Deux calculs simples valent mieux qu'un raisonnement partiel.

Perte réelle de contrainte effective et décomposition du bilan

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le chiffre qui décide de la fiabilité de l'ouvrage, et parce que sa décomposition explique pourquoi l'intuition se trompe.

Méthodologie du calcul :

On fait la différence entre les deux états, puis on la décompose en ses deux termes : la contribution de succion perdue, comptée négativement , et la pression d'air disparue, comptée positivement puisqu'elle cessait de soulager le squelette. La somme des deux doit redonner la différence directe.

Substitution : σ′ non saturé = 162,50 kPa ; σ′ saturé = 150,0 kPa ; contribution de succion 32,50 kPa ; pression d'air 20,00 kPa.
Piège évité : Ne pas compter les deux termes avec le même signe. Additionner 32,5 et 20 donnerait une perte de 52,5 kPa au lieu de 12,5, soit un facteur quatre — et le résultat resterait suffisamment plausible pour ne pas alerter.
Hypothèse validée : Saturation complète à pression interstitielle nulle, comme au bloc précédent.
Vérification croisée : Deux voies indépendantes : la différence directe donne 162,50 − 150,0 = 12,50 kPa, et la somme des deux termes donne −32,50 + 20,00 = −12,50 kPa. Les deux concordent exactement.
Finalité : Ce bilan ferme la question et permet d'énoncer la cohésion apparente qui disparaît avec la succion.

\[ \begin{aligned} \Delta \sigma' &= -\chi s + u_a \\ &= -32{,}50 + 20{,}00 \\ &= \mathbf{-12{,}50} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Une perte de 12,5 kPa, et non de 32,5. L'intuition surestime le préjudice d'un facteur 2,60 , parce qu'elle ne compte qu'un des deux termes du bilan — et le plus visible. La pression d'air, en disparaissant, cesse de soulager le squelette et rend vingt kilopascals sur les trente-deux et demi perdus . La perte reste réelle, mais elle est deux fois et demie plus faible qu'annoncé.

Ordre de grandeur : Une perte de huit pour cent de contrainte effective à la saturation est modérée. Elle serait bien plus forte si la pression d'air était nulle au départ — cas d'un sol ouvert à l'atmosphère, où l'intuition serait juste.
Impact sur la suite : Conclusion de projet : la saturation reste défavorable, mais elle ne l'est pas au point qu'un bilan partiel le laisse croire. Un drainage préventif suffit là où l'on aurait pu prescrire un soutènement.
Cohérence : Les deux voies de calcul concordent exactement, ce qui vérifie simultanément les deux états et la décomposition.
Attention : Ce bilan ne couvre que l'effet sur la contrainte effective. Certains sols — les lœss notamment — subissent en outre un effondrement de structure à l'imbibition, phénomène que la formulation de Bishop ignore entièrement et qui peut être bien plus dommageable.
Comparaison : Sur un sol dont la pression d'air serait nulle, la perte égalerait toute la contribution de succion : c'est le seul cas où l'intuition courante est exacte, et il n'est pas celui de cet exercice.

Remarque pédagogique : Un bilan se fait terme à terme, avec les signes. Quand deux effets simultanés sont de signes opposés, n'en compter qu'un n'est pas une approximation prudente : c'est un calcul faux.

Cohésion apparente apportée par la succion

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est sous cette forme que la succion se manifeste sur un talus : le sol tient comme s'il avait de la cohésion, alors que le matériau n'en a pas.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la contribution de succion par la tangente de l'angle de frottement, non fourni par l'énoncé et donc posé en hypothèse signalée . Le balayage sur une plage plausible — de vingt-cinq à trente-cinq degrés pour un limon — donne la fourchette de la cohésion apparente.

Substitution : Contribution de succion 32,50 kPa ; angle de frottement balayé de 25 à 35°.
Piège évité : Ne pas ajouter cette cohésion à un calcul déjà mené sur la contrainte effective de Bishop. Elle y est DÉJÀ contenue : l'ajouter séparément compterait deux fois le même effet, et surestimerait la résistance de quinze à vingt-trois kilopascals.
Hypothèse validée : Angle de frottement compris entre vingt-cinq et trente-cinq degrés, posé et non mesuré. L'angle est de plus supposé inchangé par la non-saturation, hypothèse usuelle mais non vérifiée ici.
Vérification croisée : La cohésion apparente doit être inférieure à la contribution de succion, la tangente d'un angle inférieur à quarante-cinq degrés étant inférieure à un. Le contrôle passe pour les trois valeurs balayées.
Finalité : Ce chiffre ferme l'exercice et donne la mesure de ce que le sol perd en résistance au cisaillement lors de la saturation.

\[ \begin{aligned} c_{app} &= \chi \, s \, \tan \varphi' \\ &= 32{,}50 \times \tan 30^\circ \\ &= 32{,}50 \times 0{,}5774 \\ &= \mathbf{18{,}76} \text{ kPa} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

18,76 kPa pour un angle de trente degrés, et de 15,15 à 22,76 kPa sur la plage balayée. C'est l'ordre de grandeur de la cohésion effective d'une argile raide — sauf que celle-ci s'évapore. La perte de résistance au cisaillement à la saturation n'est cependant que de 7,22 kPa, car la contrainte effective ne chute que de 12,5 kPa . Les deux chiffres ne doivent pas être confondus : le premier mesure ce que la succion apporte, le second ce que la saturation retire.

Ordre de grandeur : Une cohésion apparente de quinze à vingt-trois kilopascals suffit à faire tenir un talus vertical de plusieurs mètres dans un limon. C'est exactement pourquoi les fouilles tiennent par temps sec et s'effondrent après la pluie.
Impact sur la suite : Conclusion opérationnelle : toute pente ou fouille dont la stabilité repose sur cette cohésion apparente doit être vérifiée en supposant la succion nulle, ce qui est précisément ce que fait une vérification réglementaire classique.
Cohérence : La cohésion apparente croît avec l'angle de frottement, comme l'exige sa définition, et reste inférieure à la contribution de succion pour tout angle inférieur à quarante-cinq degrés.
Attention : Cette cohésion est déjà comprise dans la contrainte effective de Bishop. Un calcul de stabilité mené sur cette contrainte ne doit pas y ajouter le terme de cohésion apparente — la tentation est réelle, les deux grandeurs se calculant séparément.
Comparaison : La NF EN 1997-1 ignore cette contribution en travaillant sur les contraintes effectives des sols saturés. Ce faisant, elle se place du côté de la sécurité tant que le sol peut se saturer — et c'est bien pour cela qu'on procède ainsi.

Remarque pédagogique : Une résistance qui disparaît avec le temps ou la météo n'est pas une résistance sur laquelle on dimensionne. On peut l'expliquer, la chiffrer, s'en réjouir en phase provisoire — jamais s'en remettre à elle en phase définitive.

RÉSULTAT FINAL

Perte réelle à la saturation = 12,50 kPa et non 32,50 — l'intuition surestime d'un facteur 2,60

« Deux effets simultanés de signes opposés : n'en compter qu'un n'est pas prudent, c'est faux. »

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission — Contrainte de succion d'un limon non saturé

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai systématiquement vérifié les unités (notamment MPa, kN, m) avant mes applications numériques. J'ai bien distingué les calculs à l' ELU (sécurité globale) et à l' ELS (déformations et confort). J'ai compris pourquoi j'ai utilisé cette formule précise de la norme, plutôt que de l'appliquer aveuglément.

La succion matricielle vaut 50,0 kPa — soit cinq mètres de colonne d'eau — et la contrainte de succion 32,50 kPa, l'équivalent d'un remblai d'un mètre et demi posé sur le sol. La contrainte effective de Bishop s'établit à 162,50 kPa, c'est-à-dire 12,5 kPa de PLUS que la contrainte totale appliquée. Ce dépassement, impossible sur un sol saturé, est ici parfaitement normal : l'eau en dépression tire les grains les uns vers les autres, et le squelette se trouve comprimé par deux effets qui s'ajoutent. Le seuil calculé montre d'ailleurs qu'il était prévisible — dès que le paramètre de Bishop dépasse 0,400, la contrainte effective excède la contrainte totale, et la valeur retenue de 0,65 est nettement au-dessus. Les deux contrôles aux bornes du paramètre passent : à zéro la relation rend la contrainte nette, à un elle redonne exactement la formulation des sols saturés, condition minimale d'acceptabilité de toute formulation élargie.

Deux réserves accompagnent ces résultats. Le paramètre de Bishop n'est ni justifié par l'énoncé ni mesurable directement : sur son domaine complet, la contrainte effective varie de 130,0 à 180,0 kPa, soit 30,8% de la valeur retenue. Et la conclusion est contre-intuitive — saturer ce sol ne lui fait pas perdre les 32,50 kPa de contrainte de succion, mais seulement 12,50, la disparition de la pression d'air en restituant 20. L'erreur va dans le sens qui inquiète, et un calcul concluant à la prudence n'est jamais contesté.

Mécanique des SolsÉtape 46 sur 60

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