Assemblage par Platine d'Extrémité Boulonnée

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : La méthode des composants est l'idée la plus féconde de l'Eurocode 3 sur les assemblages : on décompose un nœud complexe en une série de mécanismes élémentaires, on calcule la résistance de chacun, et la plus faible l'emporte. Sa force est aussi sa fragilité — elle ne vaut que si l'on calcule tous les composants. En vérifier deux sur six et déclarer les autres conformes conduit ici à désigner comme maillon faible celui qui se révèle, une fois calculé, le moins sollicité de tous. Et le composant qui gouverne réellement — la platine en flexion — est précisément celui qu'on écarte d'une phrase.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments structurent cette étude. Le premier fausse un chiffre, le deuxième renverse un classement, les deux derniers sont des vérifications absentes.

Une aire de cisaillement fausse de 28 % : \( A_{\text{vc}} = h_{\text{c}} \times t_{\text{wc}} \) ne correspond à rien : il compte les semelles, qui ne cisaillent pas, et oublie les congés, qui pèsent ici plus que l'âme droite.
Un classement des composants inversé : Le panneau d'âme passe pour le maillon faible à 0,81. Calculé sur l'aire réglementaire, il tombe à 0,582 : c'est le moins sollicité des cinq composants significatifs.
Deux tronçons en T annoncés et jamais calculés : Ils figurent dans les objectifs, sont déclarés conformes d'une phrase — et la platine se révèle le composant gouvernant à 0,783.
L'interaction traction-cisaillement omise : L'assemblage transmet 150 kN d'effort tranchant. Le critère combiné donne 0,628 contre 0,600 pour la traction seule : la vérification manquante est la plus sévère.

Votre Mission :

Vous devez produire la note de vérification de l'assemblage : distribution du moment entre les rangées, résistance des boulons dans les deux directions et en interaction, cisaillement du panneau d'âme, tronçons en T de la platine et de l'aile — puis le classement des composants.

Le grand défi : Ne pas confondre « conforme » et « vérifié ». Un composant déclaré conforme sans calcul reste inconnu — et c'est souvent celui-là qui gouverne.
Votre rôle : Mener les six vérifications, recouper chaque aire par un rapport de contrôle, et conclure par un tableau ordonné plutôt que par un verdict binaire.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

La distribution du moment entre les rangées tendues, avec le contrôle d'équilibre qui la valide.
Les trois vérifications de boulon — traction, cisaillement, et leur interaction —, la dernière étant celle qui gouverne le composant.
Le cisaillement du panneau d'âme, avec l'aire recalculée depuis les cotes et contrôlée par le rapport \( A_{\text{v}}/A \).
Les deux tronçons en T et leurs trois modes de ruine, avec la mention explicite de ce que les données disponibles ne permettent pas d'établir.
Le classement des six composants par taux décroissant, qui désigne le maillon faible et l'ordre des renforcements.

2. Données Techniques & Normes

Toutes les grandeurs de l'étude sont rassemblées ci-dessous. Un point appelle votre attention dès maintenant : la géométrie transversale de l'assemblage — entraxe des boulons, largeur de platine, gorges de soudure, pinces — n'est pas fournie, alors qu'elle conditionne deux des six vérifications.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Voici les outils de cet exercice, dans l'ordre où vous en aurez besoin. Les trois modes du tronçon en T sont les plus lourds, et ce sont ceux qu'on escamote le plus souvent.

Distribution élastique entre rangées de boulons \( F_{\text{t},\text{i},\text{Ed}} = \dfrac{M_{\text{Ed}}\,z_{\text{i}}}{\sum_{\text{j}} z_{\text{j}}^2} \)
Résistance d'un boulon en traction \( F_{\text{t},\text{Rd}} = \dfrac{k_2\,f_{\text{ub}}\,A_{\text{s}}}{\gamma_{\text{M2}}} \)
Résistance d'un boulon en cisaillement, par plan \( F_{\text{v},\text{Rd}} = \dfrac{\alpha_{\text{v}}\,f_{\text{ub}}\,A_{\text{s}}}{\gamma_{\text{M2}}} \)
Interaction traction-cisaillement, tableau 3.4 \( \dfrac{F_{\text{v},\text{Ed}}}{F_{\text{v},\text{Rd}}} + \dfrac{F_{\text{t},\text{Ed}}}{1{,}4\,F_{\text{t},\text{Rd}}} \le 1{,}0 \)
Cisaillement du panneau d'âme du poteau \( V_{\text{wp},\text{Ed}} = \dfrac{M_{\text{Ed}}}{z} \ ; \ V_{\text{wp},\text{Rd}} = \dfrac{0{,}9\,f_{\text{y},\text{wc}}\,A_{\text{vc}}}{\sqrt{3}\,\gamma_{\text{M0}}} \)
Aire de cisaillement d'un profilé laminé, congés restitués \( A_{\text{v}} = A - 2\,b\,t_{\text{f}} + (t_{\text{w}} + 2r)\,t_{\text{f}} \)
Tronçon en T, modes 1 et 3 \( F_{\text{T},1,\text{Rd}} = \dfrac{4\,M_{\text{pl},1,\text{Rd}}}{m} \ ; \ F_{\text{T},3,\text{Rd}} = \sum F_{\text{t},\text{Rd}} \)
Tronçon en T, mode 2 — celui qui gouverne le plus souvent \( F_{\text{T},2,\text{Rd}} = \dfrac{2\,M_{\text{pl},2,\text{Rd}} + n\sum F_{\text{t},\text{Rd}}}{m + n} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

SOLLICITATIONS, PROFILÉS ET BOULONNERIE

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( M_{\text{Ed}} \)	Moment fléchissant transmis par l'assemblage à l'ELU Énoncé	80	\( \text{kN}\cdot\text{m} \)
\( V_{\text{Ed}} \)	Effort tranchant transmis à l'ELU — à ne pas oublier, voir Q2 Énoncé	150	\( \text{kN} \)
IPE 300	Poutre assemblée — \( h = 300 \), \( t_{\text{f}} = 10{,}7 \), \( t_{\text{w}} = 7{,}1\ \text{mm} \) NF EN 10365	42,2	\( \text{kg}/\text{m} \)
HEB 240	Poteau — \( h = b = 240 \), \( t_{\text{f}} = 17 \), \( t_{\text{w}} = 10 \), \( r = 21\ \text{mm} \) NF EN 10365	83,2	\( \text{kg}/\text{m} \)
S275	Nuance d'acier des profilés et de la platine NF EN 10025-2	—	—
\( f_{\text{y}} \)	Limite d'élasticité — 265 MPa pour l'aile du poteau, 17 mm NF EN 10025-2	275 / 265	\( \text{MPa} \)
M20 8.8	Boulons — \( f_{\text{ub}} = 800\ \text{MPa} \), \( A_{\text{s}} = 245\ \text{mm}^2 \) NF EN 1993-1-8	4 rangées	—
\( t_{\text{p}} \)	Épaisseur de la platine d'extrémité Énoncé	15	\( \text{mm} \)
Rangées	Positions depuis le bas de la platine — deux tendues seulement Énoncé	30 · 60 · 240 · 270	\( \text{mm} \)
\( w, b_{\text{p}}, a \)	Entraxe, largeur de platine, gorge — non fournis, voir note —	à poser	\( \text{mm} \)

Repères de contrôle à garder en tête

Rapport de controle d'une aire de cisaillement : \( A_{\text{v}}/A = \mathbf{30 \ \text{a} \ 35} \ \% \ \text{pour un HEB} \)
Section resistante d'un boulon M20 : \( A_{\text{s}} = \mathbf{245} \ \text{mm}^2 \ \text{contre 314 nominaux} \)
Rapport des deux resistances de boulon : \( F_{\text{v},\text{Rd}}/F_{\text{t},\text{Rd}} = 0{,}6/0{,}9 = \mathbf{0{,}667} \)
Rapport cisaillement du panneau sur tranchant : \( V_{\text{wp},\text{Ed}}/V_{\text{Ed}} = \mathbf{1{,}84} \)

COEFFICIENTS PARTIELS ET PARAMÈTRES DE CALCUL

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( \gamma_{\text{M0}} \)	Coefficient partiel de résistance des sections transversales NF EN 1993-1-1, art. 6.1	1,00	—
\( \gamma_{\text{M2}} \)	Coefficient partiel des assemblages — 1,10 au Royaume-Uni NF EN 1993-1-8	1,25	—
\( k_2 \)	Coefficient de résistance en traction d'un boulon NF EN 1993-1-8, tableau 3.4	0,90	—
\( \alpha_{\text{v}} \)	Coefficient de cisaillement, plan dans la partie filetée NF EN 1993-1-8, tableau 3.4	0,60	—
1,4	Coefficient de l'interaction traction-cisaillement NF EN 1993-1-8, tableau 3.4	1,40	—
0,9	Abattement du panneau d'âme, effort normal du poteau NF EN 1993-1-8, art. 6.2.6.1	0,90	—

Hypothèses de modélisation à ne pas perdre de vue

Centre de compression retenu : \( \text{au milieu de la semelle inferieure, a 5,35 mm} \)
Distribution des efforts entre rangees : \( \text{elastique, proportionnelle au bras de levier} \)
Repartition de l'effort tranchant : \( \text{sur les 8 boulons} \rightarrow \text{interaction a verifier} \)
Configuration du noeud : \( \text{unilaterale, poteau non raidi} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Le tableau ci-dessous confronte les valeurs fautives courantes au calcul exact, et récapitule les quatre vérifications qui manquent. Les deux tronçons en T sont calculés sous une disposition transversale posée explicitement, faute d'être fournie.

Les six composants de l'assemblage — valeurs fautives courantes contre calcul exact

Composant ou grandeur	Valeur annoncée · valeur recalculée · verdict
Distribution du moment — question 1	\( z_1 = 264{,}65 \) · \( \sum z_{\text{j}}^2 = 250\,200\ \text{mm}^2 \) · \( F_{\text{t},1} = 169{,}2\ \text{kN} \) — exacts, équilibre vérifié
Boulons en traction — souvent la seule vérification menée	\( F_{\text{t},\text{Rd}} = 141{,}1\ \text{kN} \) · taux 0,600 — exact, mais incomplet
Boulons en cisaillement — fréquemment omis	\( F_{\text{v},\text{Rd}} = 94{,}08\ \text{kN} \) · \( 150/8 = 18{,}75 \) · taux 0,199
Interaction traction-cisaillement — rarement menée	\( 0{,}199 + 0{,}428 = \mathbf{0{,}628} \) — plus sévère que la traction seule
Aire de cisaillement du panneau d'âme	2 400 par le produit \( h\,t_{\text{w}} \) contre 3 324 \( \text{mm}^2 \) par l'art. 6.2.6(3) — les congés seuls en valent 1 684
Le contrôle qui trahit l'erreur en une division	\( A_{\text{v}}/A \) doit valoir 30 à 35 % pour un HEB — l'aire simplifiée n'en donne que 22,6 %
Panneau d'âme au cisaillement	\( V_{\text{wp},\text{Rd}} = \mathbf{475{,}0}\ \text{kN} \) · taux 0,582, contre 343,0 kN et 0,806 sur l'aire simplifiée
Platine en flexion — le composant que l'on expédie	modes 315,8 · 216,2 · 282,2 \( \text{kN} \) — mode 2 gouverne · taux 0,783
Aile du poteau en flexion — même sort	modes 481,2 · 277,7 · 282,2 \( \text{kN} \) · taux 0,609 · \( f_{\text{y}} = 265 \) et non 275
Maillon faible réel	la platine à 0,783 — là où l'on désigne d'ordinaire le panneau d'âme, qui arrive avant-dernier

Quatre réserves à connaître avant de calculer

L'aire de cisaillement du panneau d'âme se calcule, elle ne s'improvise pas. On écrit \( A_{\text{vc}} = h_{\text{c}} \times t_{\text{wc}} = 240 \times 10 = 2\,400\ \text{mm}^2 \). Ce produit ne correspond à aucune réalité géométrique : il compte la hauteur des semelles, qui ne cisaillent pas, et ignore les congés de raccordement, qui cisaillent — et qui pèsent ici 1 684 mm², soit davantage que l'âme droite elle-même (1 640 mm²). L'article 6.2.6(3) donne \( A_{\text{v}} = A - 2bt_{\text{f}} + (t_{\text{w}} + 2r)t_{\text{f}} = \mathbf{3\,324}\ \text{mm}^2 \). Le contrôle est immédiat : le rapport \( A_{\text{v}}/A \) doit tomber entre 30 et 35 % pour un HEB, et l'aire simplifiée n'en donne que 22,6 %. L'écart est prudent — il sous-estime une résistance — mais elle fausse le classement des composants, et c'est le classement qui oriente les décisions.

Deux tronçons en T sont annoncés dans les objectifs et jamais calculés. On se contente souvent d'écrire que « des vérifications similaires pour la platine et l'aile du poteau donneraient également des ratios inférieurs à 1,0 ». Or le tronçon en T de la platine est, sous une disposition courante, le composant gouvernant de tout l'assemblage — 0,783, devant les boulons et loin devant le panneau d'âme. Déclarer conforme sans calculer le composant le plus probable est exactement ce que la méthode des composants interdit.

L'interaction traction-cisaillement n'est jamais menée. L'assemblage transmet 150 kN d'effort tranchant, que les mêmes boulons doivent reprendre. On l'écrit lui-même dans une réponse annexe — « les deux effets sont ensuite combinés dans une vérification d'interaction finale » — et cette vérification n'apparaît nulle part. Menée ici, elle donne 0,628 contre 0,600 pour la traction seule : la vérification omise est plus sévère que celle qui est faite.

Ce que les données ne permettent pas d'établir. Aucun tronçon en T n'est calculable sans la géométrie transversale : entraxe des boulons, largeur de platine, gorge des soudures, pinces. Ces quatre cotes sont absentes de l'étude, ce qui rend toute affirmation à leur sujet invérifiable. On a donc posé une disposition courante — entraxe 100 mm, platine de 170 mm, gorge de 6 mm — en l'annonçant explicitement, et les résultats des tronçons lui sont attachés. Le rang de la platine, en revanche, résiste à la variation : elle reste le composant gouvernant sur toute la plage d'entraxes usuels. Deux autres composants de la méthode — l'âme du poteau en traction et en compression, et la pression diamétrale — ne sont pas traités faute des mêmes données, et ils sont signalés comme manquants plutôt que supposés conformes.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche suit la méthode des composants jusqu'au bout. Les trois premières questions reprennent les deux composants qu'on traite d'ordinaire ; la quatrième mène ce qu'on annonce sans le faire — et renverse son classement.

Question 1 : Distribution du moment dans les rangées de boulons

Eurocode 3-1-8 — équilibre 25 min | Accessible

But de l'étape : Établir l'effort de traction de la rangée la plus sollicitée, et contrôler la distribution par l'équilibre des moments.

Énoncé Q1 : Situer le centre de compression, en déduire les bras de levier des rangées tendues, puis répartir le moment entre elles. Vérifier enfin que la somme \( \sum F_{\text{i}} z_{\text{i}} \) restitue bien le moment appliqué.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Quatre rangées de boulons, mais deux seulement sont tendues. Repérez d'abord où passe le centre de compression, puis ne retenez que ce qui est au-dessus.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La somme \( \sum z_{\text{j}}^2 \) porte sur les boulons et non sur les rangées. Avec deux boulons par rangée, un facteur 2 se glisse dans le dénominateur.

Question 2 : Boulons — traction, cisaillement et interaction

Eurocode 3-1-8 — boulonnerie 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Mener les trois vérifications de boulon, et non la seule que l'on retient d'ordinaire.

Énoncé Q2 : Calculer la résistance en traction et le taux correspondant. Puis répartir l'effort tranchant de 150 kN, vérifier le cisaillement, et appliquer le critère d'interaction du tableau 3.4 — qui donnera le taux réel du composant.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La section résistante d'un M20 vaut 245 mm² et non 314 : la rupture se produit dans le filet. L'écart est de 22 %.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le diviseur 1,4 du critère d'interaction ne porte que sur le terme de traction. Le cisaillement, lui, entre intégralement.

Question 3 : Panneau d'âme du poteau au cisaillement

Eurocode 3-1-8 — nœud 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Établir le cisaillement que le moment induit dans le poteau, sur une aire recalculée depuis les cotes.

Énoncé Q3 : Calculer l'effort de cisaillement du panneau à partir du moment et du bras de levier des semelles. Puis établir l'aire de cisaillement par l'article 6.2.6(3), la contrôler par le rapport \( A_{\text{v}}/A \), et conclure — sans oublier de vérifier le domaine de validité de la formule.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'aire de cisaillement n'est ni l'âme droite ni la hauteur totale fois l'épaisseur. Elle retranche les semelles et restitue les congés.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Un contrôle de dix secondes : le rapport \( A_{\text{v}}/A \) se tient entre 30 et 35 % pour un HEB. Hors de cette plage, la valeur est fausse.

Question 4 (Finale) : Tronçons en T et classement réel des composants

Eurocode 3-1-8 — art. 6.2.4 45 min | BOSS

But de l'étape : Calculer les deux composants qu'on déclare conformes sans les traiter, et remettre les six dans l'ordre.

Énoncé Q4 : Recenser d'abord les cotes qui manquent aux données, et poser une disposition explicite. Calculer ensuite les trois modes de ruine pour la platine puis pour l'aile du poteau, en tenant compte de l'épaisseur pour la nuance. Conclure par le classement des six composants.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

C'est presque toujours le mode 2 qui gouverne sur une platine d'extrémité : ni la plaque seule, ni les boulons seuls, mais leur combinaison avec l'effet de levier.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'aile du HEB 240 fait 17 mm. Regardez la tranche d'épaisseur avant d'y appliquer une limite d'élasticité — le S275 ne vaut pas 275 partout.

NOTE DE CALCULS

Assemblage poutre-poteau par platine d'extrémité boulonnée

Question 1 : Distribution du moment dans les rangées de boulons

Dans la tête de l'ingénieur

"Un assemblage boulonné ne transmet pas un moment : il transmet un couple de forces. Toute la difficulté tient à savoir comment ce couple se répartit entre les rangées de boulons, et où se situe son point d'application côté compression. On retient une distribution proportionnelle au bras de levier — la répartition élastique — et place le centre de compression au milieu de la semelle inférieure. Ces deux choix sont défendables et conduisent à un calcul juste, mais ils sont posés sans être discutés, alors que l'Eurocode en privilégie un autre : la distribution plastique, bornée par la résistance de chaque composant."

Observation : Quatre rangées de boulons, mais deux seulement travaillent en traction : les rangées basses, à 30 et 60 mm, sont dans la zone comprimée et ne sont pas comptées.
Analyse du risque : Une erreur sur le bras de levier se propage à tout le reste : elle fausse l'effort dans les boulons, le cisaillement du panneau d'âme, et donc les cinq vérifications qui suivent.
Choix stratégique : Poser explicitement les deux hypothèses — position du centre de compression et type de distribution — puis contrôler le résultat par l'équilibre des moments.
Alternative : La distribution plastique de l'article 6.2.7 est plus économique : elle laisse chaque rangée atteindre sa résistance. Elle exige en contrepartie une condition de ductilité sur la rangée la plus haute.
Objectif visé : Obtenir l'effort de traction de la rangée la plus sollicitée, qui alimentera les trois vérifications de traction.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( F_{\text{t},1,\text{Ed}} = 169{,}2\ \text{kN} \) pour la rangée haute, soit 84,6 kN par boulon

Rappel Théorique : Comment un assemblage transmet un moment

L'idée est ancienne et simple : un moment se décompose en une traction et une compression séparées par un bras de levier. Ce qui est délicat, c'est de savoir où passe chacune des deux et comment la traction se partage entre plusieurs rangées.

La compression passe par contact, la traction par les boulons : La platine s'appuie directement sur l'aile du poteau en partie basse. Les boulons n'interviennent qu'en traction — ils ne reprennent pas de compression.
Le centre de compression se situe dans la semelle comprimée : L'hypothèse courante et sécuritaire le place au milieu de la semelle inférieure de la poutre. C'est un choix de modèle, pas une donnée.
Les rangées de la zone comprimée ne comptent pas : Deux des quatre rangées sont ici situées au niveau de la semelle inférieure. Elles reprendront de l'effort tranchant, mais aucune traction.
Deux distributions sont admises : La distribution élastique, proportionnelle au bras de levier, toujours utilisable ; la distribution plastique, plus économique, sous condition de ductilité.
L'équilibre contrôle tout : La somme \( \sum F_{\text{i}} z_{\text{i}} \) doit restituer exactement \( M_{\text{Ed}} \). C'est un contrôle gratuit, et il attrape la quasi-totalité des erreurs de bras de levier.

Équations Fondamentales

Une seule relation, mais qui cache deux hypothèses de modèle — l'une sur la position du centre de compression, l'autre sur la forme de la distribution.

Distribution élastique des efforts entre rangées de boulons :

Elle répartit le moment appliqué entre les rangées tendues.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la platine se comporte, en première approximation, comme une section qui pivote autour du centre de compression : plus une rangée en est éloignée, plus elle s'allonge, donc plus elle est tendue.

Contexte de validité : Elle suppose la platine rigide et les boulons élastiques. L'article 6.2.7.2 l'admet toujours ; elle devient obligatoire si la rangée haute n'est pas assez ductile.
Avantage : Elle est directe : aucune itération, aucune connaissance préalable des résistances de composants. C'est ce qui la rend commode en prédimensionnement.
Paramètre clé : La somme \( \sum z_{\text{j}}^2 \), qui doit porter sur tous les boulons tendus — deux par rangée ici, soit quatre au total.
Vérification : L'équilibre : \( \sum F_{\text{i}} z_{\text{i}} \) doit redonner \( M_{\text{Ed}} \) exactement. C'est un contrôle qui ne coûte rien et qui ne pardonne pas.
Limite : Elle est conservative : elle sous-emploie les rangées basses, qui pourraient atteindre leur résistance avant que la rangée haute ne cède. L'écart atteint couramment 10 à 20 %.

\[ \begin{aligned} F_{\text{t},\text{i},\text{Ed}} = \frac{M_{\text{Ed}} \, z_{\text{i}}}{\sum_{\text{j}} z_{\text{j}}^2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'expression est celle d'une section fléchie, transposée à un assemblage. Si la platine reste plane en pivotant autour du centre de compression, l'allongement d'un boulon est proportionnel à sa distance à ce centre ; comme l'acier du boulon est élastique, sa tension l'est aussi. On retrouve exactement la loi de Navier, à ceci près que la matière n'est plus continue mais concentrée en quelques points. Le dénominateur \( \sum z_{\text{j}}^2 \) joue alors le rôle du moment quadratique, et la formule celui de \( \sigma = M z/I \). Cette parenté explique aussi la limite du modèle : elle suppose que rien ne plastifie, alors qu'un assemblage bien conçu est précisément fait pour que les composants les plus sollicités cèdent en douceur et redistribuent l'effort vers les rangées inférieures. C'est ce que reconnaît la distribution plastique, plus proche du comportement réel — et plus économique.

Décomposition des termes :

\( F_{\text{t},\text{i},\text{Ed}} \) : effort de traction de calcul dans un boulon de la rangée i, unité : \( \text{N} \)
\( M_{\text{Ed}} \) : moment fléchissant de calcul transmis par l'assemblage, unité : \( \text{N}\cdot\text{mm} \)
\( z_{\text{i}} \) : bras de levier de la rangée i, mesuré depuis le centre de compression, unité : \( \text{mm} \)
\( \sum z_{\text{j}}^2 \) : somme des carrés des bras de levier de tous les boulons tendus, unité : \( \text{mm}^2 \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Il y a quatre rangées de boulons, donc on répartit le moment sur quatre rangées…"

L'approche d'ingénieur : L'erreur est naturelle et coûteuse dans les deux sens : elle sous-estime l'effort dans la rangée haute, et elle attribue une traction à des boulons qui n'en voient pas.

L'erreur : Compter les rangées à 30 et 60 mm parmi les rangées tendues. Elles se situent au niveau de la semelle comprimée, du mauvais côté de l'axe de rotation.
La bonne méthode : Repérer d'abord le centre de compression, puis ne retenir que les rangées situées au-dessus, dans la zone tendue de la poutre.
L'astuce de pro : Les rangées basses ne sont pas inutiles : elles reprennent l'effort tranchant, et souvent lui seul. C'est même pour cela qu'on les dispose là.
Le moyen mnémotechnique : « On ne tire pas sur ce qui appuie. » Un boulon dans la zone comprimée est un boulon au repos — en traction du moins.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Moment : converti en \( \text{N}\cdot\text{mm} \) pour être divisé par des millimètres carrés — facteur \( 10^6 \) depuis les \( \text{kN}\cdot\text{m} \).
Bras de levier : en \( \text{mm} \), mesurés depuis le centre de compression et non depuis le bas de la platine.
Somme des carrés : en \( \text{mm}^2 \) — c'est bien une surface, comme un moment quadratique divisé par une longueur.
Effort obtenu : en \( \text{N} \), à convertir en \( \text{kN} \) par \( 10^3 \) pour le comparer aux résistances de boulons.
Contrôle d'équilibre : \( \sum F_{\text{i}} z_{\text{i}} \) en \( \text{N}\cdot\text{mm} \), à comparer directement au moment de départ.

Trois étapes : la position du centre de compression, les bras de levier des rangées tendues, puis la distribution elle-même — contrôlée par l'équilibre.

1. Résolution Numérique Où passe la résultante de compression ?

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'origine de tous les bras de levier, et qu'une erreur ici se propage à l'intégralité de l'assemblage.

Méthodologie du calcul :

On adopte l'hypothèse courante qui place le centre de compression au milieu de l'épaisseur de la semelle comprimée de la poutre, puis on en déduit les bras de levier des deux rangées tendues.

Substitution : Semelle inférieure de l'IPE 300 : \( t_{\text{f}} = 10{,}7\ \text{mm} \), donc centre à 5,35 mm du bas de la platine.
Piège évité : Mesurer les bras de levier depuis le bas de la platine. Ils se mesurent depuis le centre de compression, ce qui les raccourcit tous de 5,35 mm.
Hypothèse validée : Le centre de compression au milieu de la semelle est une simplification admise et sécuritaire : la résultante réelle est légèrement plus haute, ce qui allongerait le bras de levier.
Vérification croisée : Ordre de grandeur : le bras de levier obtenu, 264,65 mm, représente 88 % de la hauteur de la poutre. C'est la proportion attendue pour un assemblage de ce type.
Finalité : Fixer l'origine des bras de levier avant toute distribution.

\[ \begin{aligned} z_{\text{CC}} &= \frac{t_{\text{f}}}{2} = \frac{10{,}7}{2} = 5{,}35 \ \text{mm} \\ &\quad z_1 = 270 - 5{,}35 = \mathbf{264{,}65} \ \text{mm} \\ &\quad z_2 = 240 - 5{,}35 = \mathbf{234{,}65} \ \text{mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux rangées tendues travaillent avec des bras de levier de 264,65 et 234,65 mm. Les rangées à 30 et 60 mm sont dans la zone comprimée et n'entrent pas dans la distribution.

Ordre de grandeur : Le bras de levier de la rangée haute vaut 88 % de la hauteur de la poutre. Sur un assemblage à platine débordante, il pourrait dépasser cette hauteur — c'est tout l'intérêt du débord.
Impact sur la suite : Un bras de levier plus long réduit l'effort dans les boulons à moment égal. C'est le premier levier d'optimisation d'un assemblage boulonné.
Cohérence : Cette hypothèse est la plus courante et donne ces valeurs. Ce point est juste, même s'il n'est pas justifié.
Attention : L'écart entre les deux rangées n'est que de 30 mm, soit 11 %. Leurs efforts seront donc voisins — 84,6 et 75,0 kN par boulon.
Comparaison : Si la platine débordait de 60 mm au-dessus de la poutre, une rangée supplémentaire travaillerait avec un bras de 355 mm, soit 34 % de plus que la rangée haute actuelle.

Remarque pédagogique : La position du centre de compression est l'hypothèse la plus discrète et la plus influente de tout le calcul d'assemblage. Le placer au milieu de la semelle comprimée est l'usage, et c'est sécuritaire : la résultante réelle de compression, qui se répartit sur une zone de contact plus large que la seule semelle, se situe généralement un peu plus haut, ce qui allongerait les bras de levier et réduirait les efforts dans les boulons. On perd donc quelques pourcents, volontairement. Ce qui compte, c'est que le choix soit écrit : deux notes de calcul qui placent ce centre à des endroits différents ne sont pas comparables, et le lecteur qui ne trouve pas l'hypothèse ne peut pas juger le résultat. On la formule le plus souvent correctement — c'est même l'une des rares hypothèses qu'il pose explicitement.

Le dénominateur de la distribution élastique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le terme qui normalise la répartition, et parce qu'on l'oublie régulièrement sur la moitié des boulons.

Méthodologie du calcul :

On somme les carrés des bras de levier sur tous les boulons tendus, soit deux par rangée et deux rangées ici.

Substitution : \( z_1 = 264{,}65 \) et \( z_2 = 234{,}65\ \text{mm} \), chacun compté deux fois puisque chaque rangée porte deux boulons.
Piège évité : Sommer sur les rangées au lieu des boulons. Le facteur 2 manquant doublerait les efforts calculés.
Hypothèse validée : Deux boulons par rangée, disposés symétriquement de part et d'autre de l'âme. C'est la disposition standard, et elle est cohérente avec le total de quatre rangées annoncé.
Vérification croisée : Les deux carrés sont proches — 70 040 et 55 061 — parce que les deux rangées sont voisines. Leur rapport vaut 1,27, soit le carré du rapport des bras.
Finalité : Disposer du dénominateur qui donnera l'effort de chaque boulon.

\[ \begin{aligned} \sum_{\text{j}} z_{\text{j}}^2 &= 2\,(264{,}65^2 + 234{,}65^2) \\ &= 2\,(70\,040 + 55\,061) \\ &= \mathbf{250\,200} \ \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La somme atteint 250 200 mm². La rangée haute y contribue pour 56 % et la rangée basse pour 44 % : les deux rangées sont presque également sollicitées.

Ordre de grandeur : 250 200 mm² pour quatre boulons de bras voisins de 250 mm : \( 4 \times 250^2 = 250\,000 \). Le contrôle de tête tombe immédiatement.
Impact sur la suite : Plus ce dénominateur est grand, plus les efforts individuels sont faibles. Ajouter une rangée éloignée le fait croître beaucoup plus vite qu'une rangée proche.
Cohérence : On retrouve 250 199 mm². Identique à l'arrondi près : ce calcul est exact.
Attention : Les deux rangées sont si proches — 30 mm d'écart — qu'elles se partagent le travail presque à égalité. Une rangée rapprochée apporte peu et coûte deux boulons.
Comparaison : Deux rangées écartées de 100 mm au lieu de 30 donneraient une somme de 226 000 mm², donc un effort plus élevé dans la rangée haute — mais un assemblage plus court.

Remarque pédagogique : Le comportement du terme \( \sum z_{\text{j}}^2 \) éclaire une règle de conception qu'on retient rarement : les rangées de boulons ne se valent pas. Comme leur contribution varie au carré du bras de levier, une rangée placée près du centre de compression n'apporte presque rien. Une rangée à 100 mm du centre contribue seize fois moins qu'une rangée à 400 mm, pour le même prix de perçage et de boulonnerie. C'est ce qui explique la géométrie des assemblages qu'on voit sur les chantiers : les boulons sont groupés en haut, aussi loin que possible de la semelle comprimée, et souvent au-delà de la poutre elle-même — c'est la platine dite débordante. Les quelques boulons qu'on laisse en bas ne sont pas là pour le moment : ils reprennent l'effort tranchant et maintiennent la platine en place.

Effort dans la rangée la plus sollicitée, et contrôle par l'équilibre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le résultat de la question, et parce que l'équilibre offre un contrôle gratuit qu'il serait dommage de ne pas faire.

Méthodologie du calcul :

On applique la relation de distribution à chaque rangée, puis on vérifie que la somme des moments des efforts obtenus restitue bien le moment appliqué.

Substitution : \( M_{\text{Ed}} = 80 \times 10^6\ \text{N}\cdot\text{mm} \), \( z_1 = 264{,}65\ \text{mm} \), \( \sum z_{\text{j}}^2 = 250\,200\ \text{mm}^2 \).
Piège évité : Confondre l'effort par boulon et l'effort par rangée. La formule donne le premier ; les vérifications de T-stub portent sur le second.
Hypothèse validée : La distribution est élastique, donc proportionnelle au bras de levier. Ce choix est admis par l'article 6.2.7.2 et il est conservatif.
Vérification croisée : L'équilibre : \( 2 F_1 z_1 + 2 F_2 z_2 \) doit redonner exactement 80 kN·m. C'est le contrôle qui valide tout le reste.
Finalité : Fournir aux questions 2 et 4 l'effort à confronter aux résistances des trois composants tendus.

\[ \begin{aligned} F_{\text{t},1,\text{Ed}} &= \frac{80 \times 10^6 \times 264{,}65}{250\,200} = 84\,613 \ \text{N} = 84{,}6 \ \text{kN} \\ &\quad F_{\text{t},2,\text{Ed}} = \frac{80 \times 10^6 \times 234{,}65}{250\,200} = 75\,020 \ \text{N} = 75{,}0 \ \text{kN} \\ &\quad \text{par rangee} : \ 2 \times 84{,}6 = \mathbf{169{,}2} \ \text{kN} \\ &\quad \text{controle} : \ 2(84{,}6 \times 0{,}2647 + 75{,}0 \times 0{,}2347) = 80{,}0 \ \text{kN}\cdot\text{m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La rangée haute reprend 169,2 kN, soit 84,6 kN par boulon. L'équilibre est vérifié à la troisième décimale : la distribution est cohérente.

Ordre de grandeur : Contrôle rapide : \( M/z \) donne \( 80/0{,}265 = 302\ \text{kN} \) pour la traction totale, répartie sur deux rangées. La rangée haute en prend 56 %, soit 169 kN.
Impact sur la suite : C'est cet effort de rangée — 169,2 kN — que devront reprendre les trois composants tendus : les boulons, la platine et l'aile du poteau.
Cohérence : On retrouve 169,2 kN et 84,6 kN par boulon. Ce calcul est exact, et l'équilibre le confirme indépendamment.
Attention : Ces boulons reprendront aussi une part de l'effort tranchant de 150 kN. Leur vérification ne peut donc pas se limiter à la traction — c'est l'objet de la question 2.
Comparaison : Avec une distribution plastique, les deux rangées atteindraient leur résistance ensemble et le moment résistant serait plus élevé — au prix d'une condition de ductilité à vérifier.

Remarque pédagogique : Le contrôle par l'équilibre mérite d'être systématisé, car il est gratuit et presque infaillible. Il consiste à reprendre les efforts qu'on vient de calculer, à les multiplier par leurs bras de levier et à vérifier qu'on retombe sur le moment de départ. Toute erreur de bras de levier, d'oubli de rangée, de facteur 2 sur le nombre de boulons ou de puissance de dix le fait échouer immédiatement. Il ne détecte en revanche pas une erreur sur le moment appliqué lui-même, puisqu'il le prend pour référence — c'est sa seule limite. Sur un assemblage réel, où l'on manipule souvent cinq ou six rangées avec des bras de levier tous voisins, ce contrôle est ce qui sépare une note de calcul fiable d'une note plausible. Il tient en une ligne et j'ai rarement vu de calcul d'assemblage qui le comporte.

RÉSULTAT FINAL

\( F_{\text{t},1,\text{Ed}} \) = 169,2 kN par rangée, soit 84,6 par boulon

"Deux rangées sur quatre travaillent en traction ; les deux basses reprendront le cisaillement."

Question 2 : Boulons — traction, cisaillement et interaction

Dans la tête de l'ingénieur

"On vérifie la traction et l'on s'arrête là. Or l'assemblage transmet aussi un effort tranchant de 150 kN, que les mêmes boulons doivent reprendre — on le mentionne d'ailleurs dans une réponse annexe, puis passe à autre chose. Le résultat n'est pas anodin : l'interaction du tableau 3.4 donne 0,628 là où la traction seule donnait 0,600. La vérification omise est plus sévère que celle qui est faite. Elle passe ici, mais c'est elle qui gouverne les boulons, et un assemblage un peu plus chargé au tranchant basculerait sans que rien n'ait été calculé."

Observation : Les boulons de la rangée haute sont sollicités dans deux directions : 84,6 kN de traction perpendiculaire à la platine, et une part des 150 kN d'effort tranchant, parallèle à elle.
Analyse du risque : Vérifier la traction seule quand un cisaillement coexiste, c'est vérifier une composante d'un vecteur. La démarche est incomplète par construction.
Choix stratégique : Mener les trois vérifications : traction, cisaillement, puis leur interaction — qui est la seule à donner le taux réel du composant.
Alternative : On peut n'attribuer le cisaillement qu'aux rangées basses, non tendues. La démarche est admise et libère la rangée haute, mais elle exige que quatre boulons seuls reprennent les 150 kN.
Objectif visé : Établir le taux réel du composant « boulons », qui n'est ni 0,60 ni 0,20 mais le résultat de leur combinaison.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Traction 0,600 · cisaillement 0,199 · interaction 0,628 — c'est elle qui gouverne

Rappel Théorique : Un boulon sollicité dans deux directions

Un boulon d'assemblage travaille rarement selon un seul axe. Dans une platine d'extrémité, il est tendu par le moment et cisaillé par l'effort tranchant, et l'Eurocode impose de combiner les deux.

La traction dépend de la section résistante : \( A_{\text{s}} \), la section au fond de filet, et non la section nominale de la tige. Pour un M20, 245 mm² contre 314 pour le diamètre nominal — 22 % de moins.
Le cisaillement dépend d'où passe le plan de coupe : \( \alpha_{\text{v}} = 0{,}6 \) si le plan traverse la partie filetée, ce qui est le cas courant et défavorable. Sur la tige lisse, on garde 0,6 pour les classes 8.8.
Le coefficient partiel des assemblages vaut 1,25 : \( \gamma_{\text{M2}} \) et non \( \gamma_{\text{M0}} \). L'écart traduit une incertitude de mise en œuvre — serrage, jeux, tolérances — absente d'un profilé laminé.
L'interaction n'est pas une somme : Le diviseur 1,4 appliqué à la traction traduit que les deux sollicitations ne se cumulent pas linéairement. Sans lui, la somme brute vaudrait 0,799 au lieu de 0,628.
La rangée la plus tendue est celle qu'il faut vérifier : C'est elle qui combine le plus fort effort de traction avec sa part de cisaillement. Les rangées basses, non tendues, sont vérifiées au cisaillement seul.

Équations Fondamentales

Trois relations : la résistance en traction, celle en cisaillement, et le critère qui les combine. C'est la troisième qu'on n'écrit presque jamais.

Résistances d'un boulon en traction et en cisaillement :

Elles donnent la capacité du boulon selon chaque direction de sollicitation.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un boulon n'a pas la même capacité selon qu'on l'étire ou qu'on le cisaille : l'acier cède en cisaillement à environ 58 % de sa résistance en traction, et les coefficients réglementaires le traduisent.

Contexte de validité : Boulons non précontraints, sollicités en butée. Des boulons précontraints relèveraient d'une vérification au glissement, à l'état-limite de service.
Avantage : Les deux expressions sont tabulées par classe et par diamètre. En pratique on les lit ; les recalculer ici sert à comprendre d'où viennent les nombres.
Paramètre clé : La section résistante \( A_{\text{s}} \), qui vaut 245 mm² pour un M20 — soit la section au fond de filet, 22 % inférieure à la section nominale.
Vérification : Le rapport \( F_{\text{v},\text{Rd}}/F_{\text{t},\text{Rd}} = 0{,}6/0{,}9 = \mathbf{0{,}667} \). Un boulon résiste toujours deux tiers moins bien au cisaillement qu'à la traction.
Limite : Elles ne couvrent pas la pression diamétrale — l'écrasement de la tôle autour du trou —, qui dépend des pinces et qui peut gouverner sur des platines minces.

\[ \begin{aligned} F_{\text{t},\text{Rd}} = \frac{k_2 \, f_{\text{ub}} \, A_{\text{s}}}{\gamma_{\text{M2}}} \quad \text{et} \quad F_{\text{v},\text{Rd}} = \frac{\alpha_{\text{v}} \, f_{\text{ub}} \, A_{\text{s}}}{\gamma_{\text{M2}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Les deux coefficients \( k_2 = 0{,}9 \) et \( \alpha_{\text{v}} = 0{,}6 \) n'ont pas la même origine, et cela vaut la peine d'être su. Le 0,9 de la traction est un abattement empirique : il tient compte du fait que la rupture se produit dans le filet, où la concentration de contrainte et l'effet de la tête réduisent la capacité en dessous de ce que \( f_{\text{ub}} A_{\text{s}} \) laisserait espérer. Le 0,6 du cisaillement, lui, est presque de la mécanique pure : le critère de von Mises donne \( 1/\sqrt{3} = 0{,}577 \) pour le rapport entre limite de cisaillement et limite de traction, et l'on retrouve bien cet ordre. Un boulon n'est donc pas « affaibli » en cisaillement par un choix normatif prudent : il l'est intrinsèquement, comme tout métal ductile. C'est aussi pourquoi on préfère, quand on le peut, faire travailler les assemblages en traction ou en friction plutôt qu'en cisaillement de tige.

Décomposition des termes :

\( F_{\text{t},\text{Rd}} \) : résistance de calcul d'un boulon en traction, unité : \( \text{N} \)
\( F_{\text{v},\text{Rd}} \) : résistance de calcul d'un boulon en cisaillement, par plan, unité : \( \text{N} \)
\( f_{\text{ub}} \) : résistance ultime du boulon, 800 MPa pour la classe 8.8, unité : \( \text{MPa} \)
\( A_{\text{s}} \) : section résistante en fond de filet, 245 mm² pour un M20, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( \gamma_{\text{M2}} \) : coefficient partiel des assemblages, 1,25 en France, unité : —

Interaction traction-cisaillement :

Elle combine les deux sollicitations en un critère unique.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un boulon qui reprend simultanément une traction et un cisaillement cède avant d'avoir atteint l'une ou l'autre de ses résistances individuelles. Vérifier chaque direction séparément ne suffit pas.

Contexte de validité : Elle s'applique dès qu'un boulon voit les deux sollicitations. Si le cisaillement est confié aux seules rangées non tendues, elle devient sans objet pour la rangée haute.
Avantage : Elle est linéaire, donc immédiate à appliquer — bien plus simple qu'un critère quadratique, et calibrée pour rester du côté sûr.
Paramètre clé : Le diviseur 1,4 sur le terme de traction. C'est lui qui rend le critère moins pénalisant qu'une simple somme, et il n'est pas arbitraire.
Vérification : Le critère doit toujours donner un résultat supérieur à chacun des deux taux pris séparément. Ici 0,628 contre 0,600 et 0,199 : cohérent.
Limite : Elle porte sur le boulon seul. La platine, l'aile du poteau et la pression diamétrale relèvent de vérifications distinctes.

\[ \begin{aligned} \frac{F_{\text{v},\text{Ed}}}{F_{\text{v},\text{Rd}}} + \frac{F_{\text{t},\text{Ed}}}{1{,}4 \, F_{\text{t},\text{Rd}}} \le 1{,}0 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le diviseur 1,4 est ce qui étonne, et il s'explique par la géométrie du domaine de résistance. Si l'on trace, dans un plan traction-cisaillement, l'ensemble des couples que le boulon supporte, on n'obtient ni un carré — ce qui correspondrait à deux vérifications indépendantes — ni une droite — ce que donnerait une somme simple —, mais une courbe bombée assez proche d'une ellipse. Les essais montrent qu'un boulon tendu à pleine capacité conserve encore une part notable de sa résistance au cisaillement, et réciproquement. La droite de l'Eurocode, avec son diviseur 1,4, est une corde tracée sous cette courbe : elle reste du côté sûr partout tout en récupérant l'essentiel de la réserve. Sans ce diviseur, la vérification donnerait ici 0,799 au lieu de 0,628 — un quart de capacité perdu pour rien.

Décomposition des termes :

\( F_{\text{v},\text{Ed}} \) : effort de cisaillement de calcul repris par un boulon, unité : \( \text{N} \)
\( F_{\text{t},\text{Ed}} \) : effort de traction de calcul dans le même boulon, unité : \( \text{N} \)
\( F_{\text{v},\text{Rd}}, F_{\text{t},\text{Rd}} \) : résistances de calcul en cisaillement et en traction, unité : \( \text{N} \)
\( 1{,}4 \) : coefficient traduisant la non-additivité des deux sollicitations, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Les boulons passent en traction à 0,60, le composant est vérifié…"

L'approche d'ingénieur : C'est la conclusion qu'on tire d'ordinaire, et elle est incomplète. Les mêmes boulons reprennent aussi une part de l'effort tranchant de 150 kN, et la vérification combinée est plus sévère que celle qui a été faite.

L'erreur : S'arrêter à la traction. Le taux réel du composant est 0,628 et non 0,600 : la vérification omise est celle qui gouverne.
La bonne méthode : Appliquer le critère du tableau 3.4 dès qu'un boulon voit les deux sollicitations. Il est obligatoire, pas facultatif.
L'astuce de pro : Si l'on veut libérer la rangée tendue, on confie explicitement le cisaillement aux rangées basses — celles de la zone comprimée. Il faut alors vérifier que quatre boulons suffisent à reprendre 150 kN.
Le moyen mnémotechnique : « Deux directions, trois vérifications. » Traction, cisaillement, et leur combinaison — jamais deux sur trois.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Section résistante : en \( \text{mm}^2 \), lue en table — 245 pour un M20, 157 pour un M16, 353 pour un M24.
Résistance du boulon : \( f_{\text{ub}} \) en MPa fois \( A_{\text{s}} \) en \( \text{mm}^2 \) donne des newtons, à convertir en \( \text{kN} \) par \( 10^3 \).
Effort de cisaillement par boulon : l'effort total en \( \text{kN} \) divisé par le nombre de boulons qui le reprennent.
Coefficients \( k_2 \), \( \alpha_{\text{v}} \), \( \gamma_{\text{M2}} \) : sans dimension.
Critère d'interaction : sans dimension, somme de deux rapports — le résultat se compare directement à 1,0.

Trois étapes : la résistance en traction et son taux, le cisaillement qu'on n'évoque pas, puis leur interaction — qui donne le taux réel du composant.

1. Résolution Numérique Résistance en traction et taux de travail

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la sollicitation dominante d'un assemblage à platine soumis à un moment, et le point de départ de toute vérification de la zone tendue.

Méthodologie du calcul :

On applique la relation de résistance avec la section en fond de filet, puis on confronte l'effort par boulon établi en question 1.

Substitution : \( k_2 = 0{,}9 \), \( f_{\text{ub}} = 800\ \text{MPa} \) pour la classe 8.8, \( A_{\text{s}} = 245\ \text{mm}^2 \) pour un M20, \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \).
Piège évité : Employer \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \) au lieu de 1,25. La résistance serait surestimée de 25 % — c'est l'erreur la plus fréquente sur les assemblages.
Hypothèse validée : La classe 8.8 donne bien \( f_{\text{ub}} = 800\ \text{MPa} \) : le premier chiffre multiplié par 100. Le second — 8 — donne le rapport \( f_{\text{yb}}/f_{\text{ub}} = 0{,}8 \).
Vérification croisée : Contrôle de tête : \( 0{,}9 \times 800 \times 245 \approx 176\,000 \), divisé par 1,25 donne 141 000 N. On retrouve la valeur tabulée.
Finalité : Établir le premier des trois taux du composant « boulons ».

\[ \begin{aligned} F_{\text{t},\text{Rd}} &= \frac{0{,}9 \times 800 \times 245}{1{,}25} \\ &= \frac{176\,400}{1{,}25} = 141\,120 \ \text{N} = 141{,}1 \ \text{kN} \\ &\quad \frac{F_{\text{t},\text{Ed}}}{F_{\text{t},\text{Rd}}} = \frac{84{,}6}{141{,}1} = \mathbf{0{,}600} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Chaque boulon de la rangée haute résiste à 141,1 kN en traction et en reprend 84,6 : le taux vaut 0,600. On retrouve la même valeur, et elle est juste — mais incomplète.

Ordre de grandeur : 141 kN par boulon M20 8.8. Un M16 de même classe n'en donnerait que 90,4, un M24 203 : la résistance suit la section résistante, donc à peu près le carré du diamètre.
Impact sur la suite : 0,600 est le taux du boulon en traction seule. Ce n'est pas encore le taux du composant, qui devra intégrer le cisaillement.
Cohérence : On retrouve 141,1 kN et 0,60. Ce calcul est exact, et les coefficients employés sont les bons — y compris le \( \gamma_{\text{M2}} \) de 1,25, qui est la valeur française.
Attention : Le coefficient \( \gamma_{\text{M2}} \) vaut 1,10 au Royaume-Uni et 1,25 en France. Les tables de résistance des publications britanniques ne sont donc pas transposables telles quelles.
Comparaison : Des boulons de classe 10.9 — \( f_{\text{ub}} = 1\,000 \) — donneraient 176,4 kN et un taux de 0,480. C'est la solution la moins chère si la traction gouverne.

Remarque pédagogique : La section résistante mérite une seconde d'attention, car elle est la source d'une erreur classique. Un boulon M20 a une tige de 20 mm de diamètre, soit 314 mm² de section nominale — mais sa section résistante ne vaut que 245 mm², parce que la rupture se produit dans le filet, où le diamètre est réduit. L'écart atteint 22 %, ce qui n'est pas une subtilité. Employer 314 mm² surestimerait la résistance de 28 % et rendrait toute la vérification illusoire. C'est pourquoi l'usage est de toujours lire \( A_{\text{s}} \) en table plutôt que de le calculer : 157 mm² pour un M16, 245 pour un M20, 353 pour un M24, 459 pour un M27. Ces quatre nombres couvrent l'essentiel de la boulonnerie de charpente et gagnent à être connus.

L'effort tranchant, qu'on calcule sans jamais le vérifier

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'assemblage transmet 150 kN d'effort tranchant et que ce sont les boulons qui les reprennent — on le dit volontiers, puis on ne le fait pas.

Méthodologie du calcul :

On répartit l'effort tranchant sur l'ensemble des boulons, on calcule la résistance individuelle au cisaillement, puis on en déduit le taux.

Substitution : \( \alpha_{\text{v}} = 0{,}6 \) — plan de cisaillement dans la partie filetée, cas défavorable —, \( f_{\text{ub}} = 800 \), \( A_{\text{s}} = 245\ \text{mm}^2 \), \( \gamma_{\text{M2}} = 1{,}25 \).
Piège évité : Employer la section nominale sous prétexte que le plan de coupe passe sur la tige lisse. Tant que la position du plan n'est pas garantie au montage, on retient le cas filetée.
Hypothèse validée : Les huit boulons se partagent le cisaillement. C'est l'hypothèse courante et elle impose, en contrepartie, de vérifier l'interaction sur la rangée tendue.
Vérification croisée : Le rapport \( F_{\text{v},\text{Rd}}/F_{\text{t},\text{Rd}} = 94{,}08/141{,}1 = \mathbf{0{,}667} \), soit exactement \( 0{,}6/0{,}9 \). Cohérent par construction.
Finalité : Obtenir le second taux, et surtout le terme qui alimentera l'interaction.

\[ \begin{aligned} F_{\text{v},\text{Rd}} &= \frac{0{,}6 \times 800 \times 245}{1{,}25} = 94\,080 \ \text{N} = 94{,}08 \ \text{kN} \\ &\quad F_{\text{v},\text{Ed}} = \frac{150}{8} = 18{,}75 \ \text{kN par boulon} \\ &\quad \frac{F_{\text{v},\text{Ed}}}{F_{\text{v},\text{Rd}}} = \frac{18{,}75}{94{,}08} = \mathbf{0{,}199} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le cisaillement est très peu critique pris isolément : 0,199. C'est sans doute pourquoi on le néglige — mais ce n'est pas une raison, car il pèse dans l'interaction.

Ordre de grandeur : 18,75 kN par boulon pour une résistance de 94. Sur un assemblage articulé, où les boulons ne travaillent qu'au cisaillement, on monterait couramment à 0,7 ou 0,8.
Impact sur la suite : Ce taux de 0,199 s'ajoutera intégralement dans l'interaction, alors que la traction n'y entrera que divisée par 1,4.
Cohérence : On écrit volontiers que l'effort tranchant est repris « par le cisaillement de ces mêmes boulons » et que « les deux effets sont ensuite combinés ». La combinaison n'apparaît nulle part.
Attention : Si l'on confiait le cisaillement aux seules rangées basses, chacun des quatre boulons concernés en reprendrait 37,5 kN, soit un taux de 0,399 — et la rangée tendue serait libérée.
Comparaison : La pression diamétrale — l'écrasement de la platine autour du trou — pourrait gouverner avant le cisaillement du boulon. Elle dépend des pinces, que les données ne fournissent pas.

Remarque pédagogique : Le choix de la répartition du cisaillement est une décision de projet plus qu'un calcul, et il vaut la peine de le poser explicitement. Deux écoles coexistent. La première répartit l'effort sur tous les boulons, ce qui est réaliste — la platine est rigide, tous les boulons participent — mais oblige à vérifier l'interaction sur la rangée la plus tendue. La seconde confie le cisaillement aux seules rangées de la zone comprimée, ce qui libère les rangées tendues de toute interaction et simplifie beaucoup la note ; c'est d'ailleurs souvent pour cela qu'on dispose deux rangées en partie basse, alors qu'elles n'apportent rien au moment. Les deux approches sont admises. Ce qui ne l'est pas, c'est de n'en choisir aucune et de ne rien vérifier — ce que l'on fait d'ordinaire, en répartissant implicitement sur tous les boulons puis en oubliant l'interaction qui en découle.

Le critère combiné, seule vérification qui donne le taux réel

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un boulon sollicité dans deux directions cède avant d'atteindre l'une ou l'autre de ses résistances individuelles.

Méthodologie du calcul :

On applique le critère linéaire du tableau 3.4, en divisant le terme de traction par 1,4, puis on compare la somme à l'unité.

Substitution : \( F_{\text{v},\text{Ed}}/F_{\text{v},\text{Rd}} = 0{,}199 \) et \( F_{\text{t},\text{Ed}}/F_{\text{t},\text{Rd}} = 0{,}600 \), ce second terme étant divisé par 1,4.
Piège évité : Appliquer le diviseur 1,4 au mauvais terme, ou aux deux. Il ne porte que sur la traction ; le cisaillement entre intégralement.
Hypothèse validée : C'est bien la rangée la plus tendue qui est vérifiée : elle combine le plus fort effort de traction avec la même part de cisaillement que les autres.
Vérification croisée : Le résultat doit être supérieur à chacun des deux taux séparés. Ici 0,628 contre 0,600 et 0,199 : la condition est satisfaite.
Finalité : Établir le taux réel du composant « boulons », qui n'est ni 0,60 ni 0,20.

\[ \begin{aligned} \frac{F_{\text{v},\text{Ed}}}{F_{\text{v},\text{Rd}}} + \frac{F_{\text{t},\text{Ed}}}{1{,}4\,F_{\text{t},\text{Rd}}} &= \frac{18{,}75}{94{,}08} + \frac{84{,}6}{1{,}4 \times 141{,}1} \\ &= 0{,}199 + 0{,}428 \\ &= \mathbf{0{,}628} \ \le \ 1{,}00 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le taux réel du composant vaut 0,628, contre 0,600 pour la traction seule. La vérification qu'on omet est donc plus sévère que celle qu'il mène.

Ordre de grandeur : L'interaction ajoute 4,7 % au taux de traction. C'est peu ici parce que le cisaillement est faible ; il s'ajouterait bien davantage sur un assemblage plus chargé.
Impact sur la suite : 0,628 est le taux qui figurera au classement des composants. Il place les boulons au deuxième rang, derrière la platine en flexion.
Cohérence : Sans le diviseur 1,4, la somme brute vaudrait 0,799. L'écart de 27 % montre que ce coefficient n'est pas décoratif.
Attention : Si l'effort tranchant valait 300 kN au lieu de 150, le critère donnerait 0,826 — encore conforme, mais l'assemblage serait alors gouverné par une vérification qu'on ne fait pas du tout.
Comparaison : En confiant le cisaillement aux rangées basses, la rangée tendue retomberait à 0,600 et les rangées basses monteraient à 0,399. Le maximum des deux serait alors 0,600.

Remarque pédagogique : Il vaut la peine de comprendre pourquoi ce critère est linéaire alors que la réalité ne l'est pas. Les essais sur boulons montrent que le domaine de résistance dans le plan traction-cisaillement est une courbe bombée, proche d'un quart d'ellipse : un boulon tendu à 80 % de sa capacité conserve encore près de 60 % de sa résistance au cisaillement. Une vérification exacte demanderait un critère quadratique, du type \( (F_{\text{v}}/F_{\text{v},\text{Rd}})^2 + (F_{\text{t}}/F_{\text{t},\text{Rd}})^2 \le 1 \), et l'Eurocode aurait pu le retenir. Il a préféré une droite tracée sous la courbe — d'où le diviseur 1,4, calibré pour que la droite reste partout du côté sûr tout en récupérant l'essentiel de la réserve. Le gain de simplicité est réel : une somme de deux fractions se calcule de tête, un critère quadratique non. Et la perte est modeste, de l'ordre de quelques pourcents dans la zone qui compte.

LE BOULON TENDU TRAVAILLE AUSSI EN CISAILLEMENT

RÉSULTAT FINAL

\( \text{interaction} \) = 0,628 — traction seule : 0,600

"La vérification qu'on omet est plus sévère que celle qu'on mène."

Question 3 : Panneau d'âme du poteau au cisaillement

Dans la tête de l'ingénieur

"C'est la vérification la plus intéressante de l'assemblage, parce qu'elle porte sur un phénomène que peu de gens voient venir : le moment de la poutre ne « rentre » pas dans le poteau, il le cisaille. L'effort sollicitant se pose sans difficulté. Le piège est ailleurs : on prend volontiers l'aire de cisaillement égale à hauteur × épaisseur d'âme, alors que l'article 6.2.6 en donne une autre : il faut retrancher les semelles et restituer les congés. L'écart atteint 28 % — dans le sens prudent cette fois — et il suffit à faire passer ce composant pour le plus critique de l'assemblage, alors qu'il en est le moins critique."

Observation : \( A_{\text{vc}} = h_{\text{c}} \times t_{\text{wc}} = 2\,400\ \text{mm}^2 \) annoncés contre 3 324 par l'article 6.2.6(3), soit une sous-estimation de 27,8 %.
Analyse du risque : L'erreur est prudente — elle sous-estime une résistance — mais elle fausse le classement des composants, et c'est le classement qui oriente les décisions de renforcement.
Choix stratégique : Recalculer l'aire depuis les cotes du profilé et la contrôler par le rapport \( A_{\text{v}}/A \), qui doit tomber entre 30 et 35 % pour un HEB.
Alternative : Si le panneau ne passait pas, la réponse serait des raidisseurs — diagonaux ou transversaux — soudés dans l'âme du poteau au droit des semelles de la poutre.
Objectif visé : Obtenir le taux réel de ce composant, pour pouvoir le situer par rapport aux cinq autres.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( V_{\text{wp},\text{Rd}} = 475{,}0\ \text{kN} \) — taux 0,582 et non 0,806

Rappel Théorique : Pourquoi le moment d'une poutre cisaille le poteau

Le couple traction-compression qui traverse l'assemblage entre dans le poteau par ses deux ailes, à deux hauteurs différentes et en sens opposés. Entre ces deux points, l'âme du poteau subit un cisaillement pur qui n'a rien à voir avec l'effort tranchant de la poutre.

L'effort de cisaillement du panneau dérive du moment : \( V_{\text{wp},\text{Ed}} = M_{\text{Ed}}/z \), où \( z \) est la distance entre les deux forces du couple. Il vaut ici 276,5 kN, soit près du double de l'effort tranchant de la poutre.
Le bras de levier du panneau n'est pas celui des boulons : Il se mesure entre les axes des semelles de la poutre, soit \( h - t_{\text{f}} \). C'est une grandeur du transfert d'effort, pas de la boulonnerie.
L'aire de cisaillement est celle de l'article 6.2.6(3) : \( A_{\text{v}} = A - 2bt_{\text{f}} + (t_{\text{w}} + 2r)t_{\text{f}} \). Elle retranche les semelles, qui ne cisaillent pas, et restitue les congés, qui cisaillent.
Le coefficient 0,9 tient compte de l'effort normal du poteau : Le panneau ne travaille pas en cisaillement pur : il porte aussi la descente de charge. L'abattement forfaitaire couvre cette interaction.
La formule a un domaine de validité : Elle exige \( d/t_{\text{w}} \le 69\,\varepsilon \), faute de quoi le panneau voile avant de plastifier. Ici 16,4 contre 63,8 : largement satisfait.

Équations Fondamentales

Deux relations : celle qui donne l'effort dans le panneau, et celle qui donne sa résistance. C'est la seconde qui pose problème, par l'aire qu'on y injecte.

Effort de cisaillement dans le panneau d'âme :

Il traduit le moment de la poutre en un cisaillement du poteau.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le moment n'existe pas comme entité physique : il est porté par un couple de forces. Ces deux forces entrent dans le poteau à des hauteurs différentes, et tout ce qui les sépare travaille en cisaillement.

Contexte de validité : Assemblage d'un seul côté du poteau. Avec une poutre de chaque côté et des moments opposés, les deux effets s'ajoutent ; avec des moments égaux et de même sens, ils s'annulent.
Avantage : Elle est immédiate et ne demande qu'une grandeur : le bras de levier du couple. On l'obtient d'un coup d'œil sur la géométrie de la poutre.
Paramètre clé : Le bras de levier \( z \), au dénominateur. Un assemblage sur une poutre plus haute cisaille moins le poteau, à moment égal.
Vérification : Le rapport à l'effort tranchant de la poutre : ici \( 276{,}5/150 = \mathbf{1{,}84} \). Le panneau est presque toujours plus sollicité que la poutre elle-même.
Limite : Elle suppose un paramètre de transformation égal à 1, ce qui vaut pour un assemblage unilatéral. Une configuration bilatérale demanderait un \( \beta \) différent.

\[ \begin{aligned} V_{\text{wp},\text{Ed}} = \frac{M_{\text{Ed}}}{z} \quad \text{avec} \quad z = h_{\text{p}} - t_{\text{f},\text{p}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le mécanisme est plus visuel qu'il n'y paraît. La semelle tendue de la poutre tire l'aile du poteau vers l'extérieur ; la semelle comprimée pousse l'autre aile vers l'intérieur. Ces deux forces, égales et opposées, sont séparées de \( z \) : elles constituent exactement le couple qui portait le moment. Or elles s'appliquent sur les deux ailes du poteau, qui sont reliées par l'âme. Cette âme se retrouve donc tirée d'un côté et poussée de l'autre — c'est la définition même du cisaillement. Le panneau tend à se déformer en losange, ses angles droits s'ouvrant et se fermant. Ce qui frappe, c'est l'intensité : 276,5 kN de cisaillement dans le poteau pour seulement 150 kN d'effort tranchant dans la poutre. Le moment est un chargement bien plus exigeant pour le nœud que la charge verticale qui l'a produit.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{wp},\text{Ed}} \) : effort de cisaillement de calcul dans le panneau d'âme du poteau, unité : \( \text{kN} \)
\( M_{\text{Ed}} \) : moment fléchissant transmis par l'assemblage, unité : \( \text{N}\cdot\text{mm} \)
\( z \) : distance entre les axes des semelles de la poutre, unité : \( \text{mm} \)
\( h_{\text{p}}, t_{\text{f},\text{p}} \) : hauteur et épaisseur de semelle de la poutre assemblée, unité : \( \text{mm} \)

Résistance au cisaillement du panneau d'âme :

Elle donne la capacité du nœud à transmettre le moment.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le panneau est une plaque en cisaillement pur, et que l'acier y cède à \( f_{\text{y}}/\sqrt{3} \). L'abattement de 0,9 tient compte de l'effort normal que le poteau porte simultanément.

Contexte de validité : Poteau non raidi et âme non élancée : \( d/t_{\text{w}} \le 69\,\varepsilon \). Au-delà, la ruine se ferait par voilement et non par plastification.
Avantage : Elle emploie la même aire de cisaillement que la vérification d'une poutre au tranchant. Une seule définition à retenir pour deux usages.
Paramètre clé : L'aire \( A_{\text{vc}} \), et c'est là que le calcul dérape. Elle ne vaut ni l'âme droite ni la hauteur totale fois l'épaisseur.
Vérification : Le rapport \( A_{\text{v}}/A \) doit tomber entre 30 et 35 % pour un profilé HEB. Les 2 400 mm² annoncés en donneraient 22,6 % : hors plage.
Limite : Elle ne couvre que le cisaillement du panneau. L'âme du poteau en compression et en traction sont deux composants distincts, également absents du produit hauteur × épaisseur.

\[ \begin{aligned} V_{\text{wp},\text{Rd}} = \frac{0{,}9 \, f_{\text{y},\text{wc}} \, A_{\text{vc}}}{\sqrt{3} \, \gamma_{\text{M0}}} \quad \text{avec} \quad A_{\text{vc}} = A - 2\,b\,t_{\text{f}} + (t_{\text{w}} + 2r)\,t_{\text{f}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'aire de cisaillement n'est ni l'aire totale ni l'aire de l'âme, et sa définition traduit la façon dont les contraintes se distribuent réellement. Dans une section en H sollicitée parallèlement à son âme, le cisaillement est quasi constant dans l'âme et quasi nul dans les semelles, dont les fibres sont orientées perpendiculairement au flux d'effort. On retranche donc les semelles. Mais on ne s'arrête pas à l'âme droite : les congés de raccordement, cette matière généreuse qui relie l'âme aux semelles, participent pleinement — et ils ne sont pas négligeables. Sur un HEB 240, ils représentent près de la moitié de l'âme droite : 1 684 mm² contre 1 640. Le terme \( (t_{\text{w}} + 2r)t_{\text{f}} \) les restitue de manière forfaitaire. C'est pourquoi la définition réglementaire donne 3 324 mm² là où l'âme droite seule n'en donnerait que 1 640 — et où la lecture naïve « hauteur × épaisseur » en donne 2 400, qui ne correspond à rien de physique.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{wp},\text{Rd}} \) : résistance de calcul au cisaillement du panneau d'âme, unité : \( \text{kN} \)
\( A_{\text{vc}} \) : aire de cisaillement du poteau, âme et congés, unité : \( \text{mm}^2 \)
\( f_{\text{y},\text{wc}} \) : limite d'élasticité de l'âme du poteau, selon son épaisseur, unité : \( \text{MPa} \)
\( 0{,}9 \) : abattement couvrant l'effort normal simultané dans le poteau, unité : —
\( \gamma_{\text{M0}} \) : coefficient partiel de résistance des sections, égal à 1,00, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"L'aire de cisaillement, c'est la hauteur du poteau fois l'épaisseur de son âme…"

L'approche d'ingénieur : C'est ce qu'on écrit spontanément, et le produit \( 240 \times 10 \) a l'apparence du bon sens. Il ne correspond pourtant à aucune réalité géométrique : ni à l'âme droite, ni à l'aire réglementaire.

L'erreur : Prendre \( h_{\text{c}} \times t_{\text{wc}} = 2\,400\ \text{mm}^2 \). Ce produit inclut la hauteur des semelles, qui ne cisaillent pas, et ignore les congés, qui cisaillent.
La bonne méthode : Appliquer l'article 6.2.6(3) : \( A_{\text{v}} = A - 2bt_{\text{f}} + (t_{\text{w}} + 2r)t_{\text{f}} = \mathbf{3\,324}\ \text{mm}^2 \). L'expression est la même que pour une poutre au tranchant.
L'astuce de pro : Le contrôle en une division : \( A_{\text{v}}/A \) doit valoir 30 à 35 % pour un HEB. Les 2 400 mm² en donnent 22,6 % — hors plage, donc faux.
Le moyen mnémotechnique : « L'âme cisaille, les semelles fléchissent — et les congés comptent. » Sur un profilé laminé, ils pèsent la moitié de l'âme droite.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Moment : en \( \text{N}\cdot\text{mm} \) divisé par un bras en millimètres, ce qui donne directement des newtons.
Aire de cisaillement : calculée en \( \text{mm}^2 \) depuis les cotes du catalogue, toutes en millimètres.
Limite d'élasticité : en \( \text{MPa} \), à choisir selon l'épaisseur de l'âme et non celle des semelles.
Résistance : obtenue en \( \text{N} \), convertie en \( \text{kN} \) par \( 10^3 \).
Rapport de contrôle \( A_{\text{v}}/A \) : sans dimension, exprimé en pourcentage — 30 à 35 % pour un HEB, 45 à 50 % pour un IPE.

Trois étapes : l'effort de cisaillement induit par le moment, l'aire de cisaillement — que le calcul dérape —, puis la résistance et le taux.

1. Résolution Numérique Le cisaillement que le moment induit dans le poteau

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est une sollicitation invisible sur les plans et souvent ignorée, alors qu'elle dépasse ici l'effort tranchant de la poutre.

Méthodologie du calcul :

On divise le moment par le bras de levier du couple, mesuré entre les axes des semelles de la poutre assemblée.

Substitution : \( M_{\text{Ed}} = 80 \times 10^6\ \text{N}\cdot\text{mm} \), IPE 300 avec \( h = 300 \) et \( t_{\text{f}} = 10{,}7\ \text{mm} \).
Piège évité : Confondre ce bras de levier avec celui des boulons — 264,65 mm en question 1. Ce sont deux grandeurs différentes, l'une du transfert d'effort, l'autre de la boulonnerie.
Hypothèse validée : L'assemblage est unilatéral : une seule poutre arrive sur le poteau. Le paramètre de transformation vaut donc 1, et l'effort du panneau égale \( M/z \).
Vérification croisée : L'effort obtenu doit dépasser l'effort tranchant de la poutre. Rapport : 1,84, ce qui est l'ordre de grandeur attendu pour un assemblage rigide.
Finalité : Obtenir la sollicitation à confronter à la résistance du panneau.

\[ \begin{aligned} z &= h_{\text{p}} - t_{\text{f},\text{p}} = 300 - 10{,}7 = 289{,}3 \ \text{mm} \\ &\quad V_{\text{wp},\text{Ed}} = \frac{80 \times 10^6}{289{,}3} \\ &= 276\,529 \ \text{N} = \mathbf{276{,}5} \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le panneau d'âme encaisse 276,5 kN de cisaillement, soit 1,84 fois l'effort tranchant de la poutre. C'est le moment, et non la charge verticale, qui sollicite le nœud.

Ordre de grandeur : 276,5 kN pour un moment de 80 kN·m sur une poutre de 300 mm. La règle approximative \( M/(0{,}9h) \) donnerait 296 kN : du bon ordre.
Impact sur la suite : C'est cette valeur qui sera confrontée à la résistance. Elle ne présente aucune difficulté : toute la délicatesse de la question se concentre sur l'aire de cisaillement, donc sur la résistance.
Cohérence : On retrouve 276,5 kN, et le bras de levier se pose sans difficulté. Il faut souligner même, à juste titre, qu'il ne faut pas confondre cet effort avec \( V_{\text{Ed}} \).
Attention : Une poutre plus haute cisaillerait moins le poteau, à moment égal. Un IPE 400 donnerait 207 kN au lieu de 276,5 : le bras de levier est le premier levier d'action.
Comparaison : Avec une poutre de chaque côté du poteau et des moments opposés, l'effort du panneau doublerait presque. Avec des moments de même sens, il s'annulerait.

Remarque pédagogique : Le fait que le panneau d'âme soit plus sollicité que la poutre elle-même surprend toujours, et il vaut la peine de voir pourquoi. L'effort tranchant de la poutre — 150 kN — est une force externe : c'est ce que la poutre apporte au poteau, et elle devient un effort normal supplémentaire dans celui-ci. L'effort de cisaillement du panneau — 276,5 kN — est une force interne, née de la nécessité de faire transiter un moment d'un élément à un autre à travers une distance de 289 mm seulement. Plus le bras de levier est court, plus les forces du couple sont grandes : c'est la définition même d'un moment. Voilà pourquoi les assemblages rigides sur poutres de faible hauteur sont ceux qui posent le plus de problèmes de panneau d'âme, et pourquoi les raidisseurs se voient si souvent sur les nœuds de portiques. Ce n'est pas la charge qui les impose, c'est l'encastrement.

Ce que l'article 6.2.6(3) compte réellement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'unique erreur de calcul de cet énoncé, et qu'elle se détecte en une division.

Méthodologie du calcul :

On applique l'expression réglementaire aux cotes du HEB 240, puis on contrôle le résultat par le rapport à l'aire totale.

Substitution : HEB 240 : \( A = 10\,600\ \text{mm}^2 \), \( b = 240 \), \( t_{\text{f}} = 17 \), \( t_{\text{w}} = 10 \), \( r = 21\ \text{mm} \).
Piège évité : Écrire \( A_{\text{v}} = h \times t_{\text{w}} \). Ce produit compte la hauteur des semelles — qui ne cisaillent pas — et oublie les congés — qui cisaillent. Il ne correspond à rien.
Hypothèse validée : Le poteau est chargé parallèlement à son âme, ce qui est bien le cas du cisaillement de panneau. L'expression employée est celle de ce cas.
Vérification croisée : \( A_{\text{v}}/A = 3\,324/10\,600 = \mathbf{31{,}4\ \%} \), dans la plage attendue. Les 2 400 mm² du produit direct en donneraient 22,6 % : hors plage.
Finalité : Disposer de l'aire correcte avant de calculer la résistance.

\[ \begin{aligned} A_{\text{vc}} &= 10\,600 - 2 \times 240 \times 17 + (10 + 42) \times 17 \\ &= 10\,600 - 8\,160 + 884 \\ &= \mathbf{3\,324} \ \text{mm}^2 \\ &\quad \text{aire simplifiee} : \ 240 \times 10 = 2\,400 \ \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'aire réelle vaut 3 324 mm² contre 2 400 par le produit direct, qui sous-estime de 27,8 %. Le contrôle par le rapport \( A_{\text{v}}/A \) suffit à le montrer.

Ordre de grandeur : 31,4 % de l'aire totale, contre 45 à 50 % pour un IPE. Un HEB, dont les semelles sont larges, consacre moins de sa matière au cisaillement — c'est le prix de sa stabilité.
Impact sur la suite : Sur l'aire réglementaire, la résistance vaut 475,0 kN et le taux 0,582 ; sur l'aire simplifiée \( h\,t_{\text{w}} \), elle tomberait à 343,0 kN pour un taux de 0,806. Ce seul écart change le composant le plus critique.
Cohérence : Les congés apportent à eux seuls 1 684 mm², soit plus que l'âme droite (1 640). Les négliger reviendrait à diviser la résistance par deux.
Attention : L'erreur est prudente ici — elle sous-estime une résistance — mais elle est de même nature qu'une erreur dangereuse : une aire mal définie, employée sans contrôle.
Comparaison : La limite d'élasticité employée est bien 275 MPa : l'âme fait 10 mm, donc sous la barre des 16 mm. L'aile, à 17 mm, tomberait à 265 — ce qui comptera en question 4.

Remarque pédagogique : Cette erreur illustre une catégorie particulière : celle qui va dans le bon sens et reste néanmoins une erreur. Sous-estimer une résistance ne met personne en danger, et beaucoup s'en accommoderaient. Mais elle a deux conséquences bien réelles. La première est économique : à force de sous-estimer, on ajoute des raidisseurs dont on n'a pas besoin, et un raidisseur soudé dans une âme de poteau coûte plus cher en main-d'œuvre que le profilé lui-même. La seconde est plus subtile et c'est celle qui se manifeste ici : elle fausse le classement des composants. On conclut alors que le panneau d'âme est le maillon faible à 0,81 et qu'il faudrait le renforcer en premier si les charges augmentaient. C'est exactement l'inverse : recalculé à 0,582, ce composant est le moins sollicité des cinq. Le vrai maillon faible est ailleurs, et il n'a même pas été calculé.

Capacité du panneau et vérification du domaine de validité

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la conclusion de la question, et parce que la formule employée a un domaine de validité qu'on ne contrôle presque jamais.

Méthodologie du calcul :

On applique la relation de résistance avec l'aire recalculée, on vérifie l'élancement d'âme qui conditionne la formule, puis on établit le taux.

Substitution : \( A_{\text{vc}} = 3\,324\ \text{mm}^2 \), \( f_{\text{y},\text{wc}} = 275\ \text{MPa} \) — âme de 10 mm, donc sous 16 mm — et \( \gamma_{\text{M0}} = 1{,}00 \).
Piège évité : Employer la limite d'élasticité de l'aile. C'est l'âme qui cisaille ; à 17 mm, l'aile du HEB 240 tomberait d'ailleurs à 265 MPa.
Hypothèse validée : Domaine de validité : \( d/t_{\text{w}} = 164/10 = 16{,}4 \) contre une limite de \( 69\,\varepsilon = 63{,}8 \). Le panneau plastifie avant de voiler.
Vérification croisée : La contrainte de cisaillement admissible vaut \( 0{,}9 \times 275/\sqrt{3} = \mathbf{143}\ \text{MPa} \), soit 52 % de \( f_{\text{y}} \). Ordre de grandeur classique.
Finalité : Établir le taux réel de ce composant, pour le situer dans le classement.

\[ \begin{aligned} V_{\text{wp},\text{Rd}} &= \frac{0{,}9 \times 275 \times 3\,324}{\sqrt{3} \times 1{,}00} \\ &= \frac{822\,690}{1{,}732} = 474\,960 \ \text{N} = \mathbf{475{,}0} \ \text{kN} \\ &\quad \frac{V_{\text{wp},\text{Ed}}}{V_{\text{wp},\text{Rd}}} = \frac{276{,}5}{475{,}0} = \mathbf{0{,}582} \ \le \ 1{,}00 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le panneau résiste à 475,0 kN et travaille à 0,582. L'aire fautive donnerait 343,0 kN et 0,81 : le verdict resterait le bon, mais son chiffre est faux de 39 %.

Ordre de grandeur : 0,582 laisse 42 % de marge. Le panneau d'âme d'un HEB 240 est confortable pour un moment de 80 kN·m — ce qui est cohérent avec l'usage : on choisit les HEB précisément pour cela.
Impact sur la suite : Ce composant tombe au dernier rang du classement, alors que la réputation du panneau d'âme en fait volontiers le maillon faible d'un nœud boulonné. La question 4 remettra les six composants dans l'ordre.
Cohérence : Avec l'aire simplifiée, l'arithmétique se déroule sans faute — \( 0{,}9 \times 275 \times 2\,400/\sqrt{3} = 343 \) — mais elle porte sur une aire fausse. Une opération impeccable sur une donnée erronée reste un résultat erroné.
Attention : Le contrôle du domaine de validité — \( d/t_{\text{w}} \le 69\,\varepsilon \) — ne se fait presque jamais. Il passe très largement ici, mais un poteau reconstitué soudé à âme mince pourrait le franchir.
Comparaison : Avec un HEB 200 — \( t_{\text{w}} = 9\ \text{mm} \), \( A = 78{,}1\ \text{cm}^2 \) —, l'aire tomberait à environ 2 480 mm² et le taux monterait à 0,78. Le composant redeviendrait sensible.

Remarque pédagogique : Le coefficient 0,9 de cette formule mérite un mot, car il n'a pas la même nature que les autres coefficients rencontrés. Ce n'est ni un coefficient partiel de sécurité — ceux-là sont explicites et valent \( \gamma_{\text{M0}} \) ou \( \gamma_{\text{M2}} \) — ni un abattement géométrique. C'est une prise en compte forfaitaire d'une interaction : le panneau d'âme ne travaille jamais en cisaillement pur, puisque le poteau porte simultanément une descente de charge verticale qui comprime cette même âme. Rigoureusement, il faudrait combiner cisaillement et compression par un critère de von Mises complet ; l'Eurocode préfère un abattement moyen de 10 %, calibré pour couvrir les taux de compression usuels des poteaux de bâtiment. Sur un poteau très fortement comprimé — un poteau de rez-de-chaussée d'un immeuble de huit niveaux —, cette approximation devient optimiste, et une vérification plus fine s'impose.

AIRE DE CISAILLEMENT DU HEB 240 — CE QU'ELLE CONTIENT

RÉSULTAT FINAL

\( V_{\text{wp},\text{Ed}}/V_{\text{wp},\text{Rd}} \) = 0,582 — l'aire fautive donnerait 0,806

"Son aire de cisaillement est sous-estimée de 28 % : ce composant n'est pas le maillon faible."

Question 4 : Tronçons en T et classement réel des composants

Dans la tête de l'ingénieur

"La flexion de la platine et celle de l'aile du poteau sont deux composants à part entière, et ce sont les deux qu'on expédie le plus souvent d'une phrase : « des vérifications similaires (plus complexes) donneraient également des ratios inférieurs à 1,0 pour cette géométrie ». Ce n'est pas une vérification, c'est une affirmation — et elle est doublement problématique. D'abord parce que le tronçon en T est précisément le composant qui gouverne la plupart des platines d'extrémité. Ensuite parce que les données courantes ne permettent pas de le calculer : ni l'entraxe transversal des boulons, ni la largeur de platine, ni la gorge des soudures n'y figurent. Une telle affirmation n'est donc pas seulement non démontrée : elle est invérifiable."

Observation : Les deux T-stubs figurent dans les objectifs de l'exercice, sont déclarés conformes dans la correction, et ne sont calculés nulle part.
Analyse du risque : Le tronçon en T est le composant qui gouverne la plupart des platines. Le déclarer conforme sans le calculer, c'est écarter d'un mot le maillon le plus probable.
Choix stratégique : Poser explicitement la disposition transversale manquante, mener le calcul complet, et dire clairement que le résultat dépend de cette disposition.
Alternative : On pourrait s'en tenir au constat que les données manquent. Ce serait exact mais peu utile : la méthode vaut d'être montrée, et l'ordre de grandeur obtenu est instructif.
Objectif visé : Remettre les six composants dans l'ordre, et découvrir que le plus critique n'est pas celui qu'on désigne d'ordinaire.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Platine 0,78 · aile du poteau 0,61 — le T-stub gouverne, sous la disposition posée

Rappel Théorique : Le tronçon en T, modèle universel de la zone tendue

Une rangée de boulons qui tire sur une plaque, elle-même tenue par une âme : cette configuration se retrouve à l'identique sur la platine et sur l'aile du poteau. L'Eurocode la modélise par un tronçon en T équivalent, et lui reconnaît trois modes de ruine.

Mode 1 — la plaque plastifie seule : Quatre rotules plastiques se forment et la plaque se déforme sans que les boulons cèdent. C'est le mode ductile, celui qu'on recherche : la ruine s'annonce par une déformation visible.
Mode 2 — plastification et rupture combinées : Deux rotules se forment côté âme, puis les boulons rompent. C'est le mode intermédiaire, et c'est celui qui gouverne le plus souvent en pratique.
Mode 3 — les boulons rompent seuls : La plaque est si épaisse qu'elle ne plastifie pas. La ruine est fragile, sans avertissement — c'est le mode qu'on cherche à éviter.
La résistance retenue est la plus faible des trois : Le tronçon en T est un système en série : c'est le maillon le plus faible qui décide, et il faut donc calculer les trois.
Deux longueurs conditionnent tout : La distance \( m \) de l'axe du boulon à la naissance de la plaque, et la longueur efficace \( \ell_{\text{eff}} \). Ni l'une ni l'autre ne se déduit des données de cet énoncé.

Équations Fondamentales

Trois expressions pour les trois modes. Elles sont simples ; ce qui est délicat, c'est d'établir les longueurs \( m \), \( n \) et \( \ell_{\text{eff}} \) qu'elles réclament.

Les trois modes de ruine d'un tronçon en T :

Ils donnent la résistance d'une rangée de boulons tirant sur une plaque fléchie.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une plaque tenue par des boulons ne cède pas d'une seule manière. Selon son épaisseur relative, c'est la plaque qui plie, les boulons qui cassent, ou les deux — et les trois cas ne donnent pas la même résistance.

Contexte de validité : Rangée de deux boulons symétriques de part et d'autre d'une âme. Le tableau 6.2 offre deux méthodes pour le mode 1 ; celle retenue ici est la méthode 1, la plus simple et la plus conservative.
Avantage : Le même modèle sert pour la platine et pour l'aile du poteau : seules les cotes changent. C'est ce qui fait sa force.
Paramètre clé : L'épaisseur de la plaque, qui intervient au carré dans les modes 1 et 2. Passer de 15 à 20 mm augmenterait la résistance de la platine de près de moitié.
Vérification : Le mode retenu renseigne sur la conception : un mode 3 signale une plaque trop épaisse pour ses boulons, un mode 1 une plaque mince et ductile.
Limite : Les longueurs \( m \), \( n \) et \( \ell_{\text{eff}} \) exigent la géométrie transversale — entraxe, largeur, pinces, gorges. Les données courantes ne la fournissent pas.

\[ \begin{aligned} F_{\text{T},1,\text{Rd}} = \frac{4\,M_{\text{pl},1,\text{Rd}}}{m} \ ; \quad F_{\text{T},2,\text{Rd}} = \frac{2\,M_{\text{pl},2,\text{Rd}} + n\,\sum F_{\text{t},\text{Rd}}}{m + n} \ ; \quad F_{\text{T},3,\text{Rd}} = \sum F_{\text{t},\text{Rd}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Les trois expressions décrivent trois mécanismes de ruine différents, et la logique de chacune se lit dans sa forme. Le mode 1 est un mécanisme de plaque pur : quatre rotules plastiques se forment — deux au droit des boulons, deux à la naissance de l'âme — et la résistance est simplement le moment plastique divisé par le bras de levier, d'où \( 4M_{\text{pl}}/m \). Le mode 3 est l'opposé : la plaque est assez épaisse pour ne pas plier, et la résistance se réduit à celle des boulons. Le mode 2 est le plus subtil et le plus fréquent : deux rotules se forment côté âme, la plaque décolle côté extérieur, et un effet de levier apparaît — le bord de la plaque prend appui sur le support et ajoute une force qui surcharge les boulons. C'est ce que traduit le terme \( n\sum F_{\text{t},\text{Rd}} \) au numérateur et la somme \( m + n \) au dénominateur. Cet effet de levier est ce qui rend une plaque d'épaisseur intermédiaire moins résistante que ne le laisserait croire chacun des deux modes extrêmes.

Décomposition des termes :

\( F_{\text{T},\text{i},\text{Rd}} \) : résistance du tronçon en T selon le mode i, unité : \( \text{N} \)
\( M_{\text{pl},\text{Rd}} \) : moment plastique de la plaque sur la longueur efficace, \( 0{,}25\,\ell_{\text{eff}}t^2f_{\text{y}} \), unité : \( \text{N}\cdot\text{mm} \)
\( m \) : distance de l'axe du boulon à la naissance de la plaque, unité : \( \text{mm} \)
\( n \) : bras de l'effort de levier, \( \min(e \ ; \ 1{,}25\,m) \), unité : \( \text{mm} \)
\( \ell_{\text{eff}} \) : longueur efficace du tronçon, la plus faible des configurations, unité : \( \text{mm} \)

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Les autres composants donneraient également des ratios inférieurs à 1, pour cette géométrie…"

L'approche d'ingénieur : C'est la phrase par laquelle on écarte deux composants à part entière. Elle serait déjà discutable si elle était vraie ; elle est en outre invérifiable avec les données courantes.

L'erreur : Déclarer conforme un composant qu'on n'a pas calculé. Le T-stub de la platine donne 0,78 sous une disposition courante — c'est le plus critique de tout l'assemblage.
La bonne méthode : Calculer les trois modes pour chacune des deux plaques, retenir la plus faible résistance, et classer les composants par taux décroissant.
L'astuce de pro : Sur une platine d'extrémité courante, c'est le mode 2 qui gouverne presque toujours — ni la plaque seule, ni les boulons seuls, mais leur combinaison avec effet de levier.
Le moyen mnémotechnique : « Ce qu'on ne calcule pas, on ne le connaît pas. » Une conformité affirmée n'est pas une conformité vérifiée.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

Longueurs \( m \), \( n \), \( e \) et \( \ell_{\text{eff}} \) : toutes en \( \text{mm} \), déduites de la géométrie transversale de l'assemblage.
Moment plastique de plaque : \( 0{,}25\,\ell_{\text{eff}}t^2f_{\text{y}} \) donne des \( \text{N}\cdot\text{mm} \) avec une longueur et une épaisseur en millimètres et \( f_{\text{y}} \) en MPa.
Résistances des trois modes : en \( \text{N} \), converties en \( \text{kN} \) par \( 10^3 \).
Limite d'élasticité : à choisir selon l'épaisseur de la plaque considérée — 275 MPa pour la platine de 15 mm, 265 pour l'aile de 17 mm.
Taux : sans dimension, effort de rangée sur résistance de tronçon — les deux en kilonewtons.

Quatre étapes : la disposition qu'il faut poser faute d'être donnée, le tronçon en T de la platine, celui de l'aile du poteau — dont la nuance réserve une surprise —, puis le classement des six composants.

1. Résolution Numérique Ce que les données ne fournissent pas, et qu'il faut poser

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'aucun tronçon en T n'est calculable sans la géométrie transversale, et qu'il vaut mieux poser une hypothèse explicite que renoncer.

Méthodologie du calcul :

On recense ce qui manque, on adopte une disposition courante pour un IPE 300 boulonné par des M20, et l'on annonce que le résultat vaut pour cette disposition et pour elle seule.

Substitution : Manquent : l'entraxe transversal des boulons, la largeur de platine, la gorge des soudures et les pinces. Aucune de ces cotes n'est fournie.
Piège évité : Calculer quand même en devinant. Une longueur \( m \) fausse de 20 % fausse la résistance du mode 1 de 20 % : l'hypothèse doit être annoncée.
Hypothèse validée : Disposition retenue : entraxe \( w = 100\ \text{mm} \), platine de 170 mm de large, cordons d'âme de gorge 6 mm. C'est un montage courant pour un IPE 300.
Vérification croisée : L'entraxe de 100 mm laisse \( (100-7{,}1)/2 = 46{,}5\ \text{mm} \) entre l'axe du boulon et l'âme : compatible avec la clé de serrage d'un M20, qui réclame environ 35 mm.
Finalité : Rendre le calcul possible, en signalant ce qui relève de l'hypothèse.

\[ \begin{aligned} \text{POSE} \ &: \ w = 100 \ \text{mm} \ ; \ b_{\text{p}} = 170 \ \text{mm} \ ; \ a = 6 \ \text{mm} \\ &\quad \text{platine} : \ m = \frac{w - t_{\text{w},\text{p}}}{2} - 0{,}8\,a\sqrt{2} = 39{,}66 \ \text{mm} \\ &\quad e = \frac{b_{\text{p}} - w}{2} = 35{,}0 \ \text{mm} \ ; \ n = 35{,}0 \ \text{mm} \\ &\quad \text{aile du poteau} : \ m = \frac{w - t_{\text{w},\text{c}}}{2} - 0{,}8\,r = 28{,}20 \ \text{mm} \\ &\quad e = \frac{b_{\text{c}} - w}{2} = 70{,}0 \ \text{mm} \ ; \ n = 35{,}25 \ \text{mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Quatre cotes manquent pour un calcul qu'on déclare pourtant fait. La disposition posée ici est courante et défendable, mais les résultats qui suivent lui sont attachés.

Ordre de grandeur : Un entraxe de 100 mm est standard pour des M20 sur une poutre de cette taille. Les valeurs usuelles s'échelonnent de 90 à 120 mm selon la largeur de semelle.
Impact sur la suite : \( m \) intervient au dénominateur des modes 1 et 2 : un entraxe plus large l'augmente et réduit la résistance. Le paramètre est sensible.
Cohérence : Les deux \( m \) diffèrent nettement — 39,66 mm pour la platine, 28,20 pour l'aile du poteau — parce que le congé du HEB, de 21 mm, rapproche la naissance de la plaque.
Attention : Les résultats des étapes suivantes dépendent de cette disposition. Un entraxe de 120 mm ferait passer la résistance de la platine de 216 à environ 190 kN.
Comparaison : L'épaisseur de platine est donnée — 15 mm — mais aucune cote dans le plan de la platine. C'est comme donner l'épaisseur d'une poutre sans sa hauteur.

Remarque pédagogique : Cette lacune est révélatrice de la manière dont l'exercice a été conçu. Les données fournies — moment, effort tranchant, profilés, classe de boulons, épaisseur de platine — suffisent exactement aux deux calculs qu'on mène d'ordinaire, et à rien de plus. Les cotes qui manquent sont précisément celles dont les deux vérifications escamotées auraient besoin. Autrement dit, le jeu de données a été constitué après avoir décidé de ne pas faire ces calculs. C'est une faiblesse courante des énoncés d'assemblage, où la géométrie transversale — entraxes, pinces, gorges — paraît secondaire alors qu'elle gouverne la moitié des composants. En bureau d'études, ces cotes sont les premières posées : elles conditionnent l'accès des clés, le respect des pinces minimales, et donc la faisabilité même du montage.

Les trois modes appliqués à la platine d'extrémité

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le composant qu'on déclare conforme sans le calculer, et parce qu'il va se révéler le plus critique de l'assemblage.

Méthodologie du calcul :

On calcule les longueurs efficaces, on en déduit le moment plastique de la plaque, puis les trois résistances de mode — et l'on retient la plus faible.

Substitution : \( t_{\text{p}} = 15\ \text{mm} \), \( f_{\text{y}} = 275\ \text{MPa} \) — plaque de 15 mm, donc sous 16 —, \( m = 39{,}66 \), \( n = 35{,}0\ \text{mm} \).
Piège évité : Prendre la même longueur efficace pour les deux modes. Le mode 1 retient la plus faible des configurations circulaire et non circulaire ; le mode 2 retient la non circulaire seule.
Hypothèse validée : La rangée est traitée isolément, non en groupe. Les deux rangées tendues sont écartées de 30 mm, ce qui pourrait justifier un traitement groupé plus défavorable.
Vérification croisée : Les longueurs efficaces valent 249,2 et 202,4 mm, pour une plaque de 170 mm de large. Une longueur efficace supérieure à la largeur est normale : elle représente un développé, pas une dimension.
Finalité : Obtenir la résistance du composant qu'on déclare conforme sans preuve.

\[ \begin{aligned} \ell_{\text{eff},\text{cp}} &= 2\pi m = 249{,}2 \ \text{mm} \ ; \quad \ell_{\text{eff},\text{nc}} = 4m + 1{,}25e = 202{,}4 \ \text{mm} \\ &\quad M_{\text{pl},\text{Rd}} = 0{,}25 \times 202{,}4 \times 15^2 \times 275 = 3{,}131 \ \text{kN}\cdot\text{m} \\ &\quad F_{\text{T},1,\text{Rd}} = \frac{4 \times 3{,}131}{0{,}03966} = 315{,}8 \ \text{kN} \\ &\quad F_{\text{T},2,\text{Rd}} = \frac{2 \times 3{,}131 + 0{,}035 \times 282{,}2}{0{,}03966 + 0{,}035} = \mathbf{216{,}2} \ \text{kN} \\ &\quad F_{\text{T},3,\text{Rd}} = 2 \times 141{,}1 = 282{,}2 \ \text{kN} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

C'est le mode 2 qui gouverne, à 216,2 kN. Confronté aux 169,2 kN de la rangée, il donne un taux de 0,783 — le plus élevé de tout l'assemblage. La méthode 2 du tableau 6.2, plus fine, donnerait un mode 1 supérieur sans changer ce verdict, le mode 2 restant gouvernant.

Ordre de grandeur : 216,2 kN pour une rangée de deux M20 sur une platine de 15 mm. La résistance des boulons seuls vaut 282,2 : l'effet de levier en confisque 23 %.
Impact sur la suite : Avec 0,783, ce composant devient le maillon faible de l'assemblage — devant les boulons, l'aile du poteau et le panneau d'âme.
Cohérence : Le mode 2 gouverne, ce qui est le cas le plus fréquent sur une platine d'extrémité. Une plaque de 15 mm avec des M20 est dans la plage d'épaisseur où plaque et boulons cèdent ensemble.
Attention : L'affirmation courante — « ratios inférieurs à 1 » — se trouve vraie, mais de justesse et par hasard. Une platine de 12 mm donnerait 0,95 ; une platine de 10 mm, 1,15 — refusée.
Comparaison : Porter la platine à 20 mm ferait passer le mode 2 à 285 kN et le taux à 0,594. Le mode 3 deviendrait alors gouvernant, et la ruine fragile.

Remarque pédagogique : Le fait que le mode 2 gouverne n'a rien d'un accident : c'est la signature d'une platine bien proportionnée. Une plaque trop mince donnerait un mode 1 franc — elle plierait avant que les boulons ne s'inquiètent, ce qui est ductile mais peu résistant. Une plaque trop épaisse donnerait un mode 3 — les boulons casseraient net, sans déformation préalable, ce qui est le comportement que l'on redoute le plus en construction métallique. L'épaisseur intermédiaire place le tronçon dans le mode 2, où plaque et boulons contribuent tous deux, et où la ruine reste partiellement annoncée par une déformation. C'est un compromis recherché. Le prix en est l'effet de levier : le bord de la platine prend appui sur l'aile du poteau et ajoute une force qui surcharge les boulons. Ici, cet effet coûte 23 % de la capacité des boulons — ce qui explique pourquoi une vérification limitée à la traction des boulons, comme celle courante, est structurellement optimiste.

Le second tronçon, et l'abattement de nuance que personne ne voit

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le second objectif escamoté, et parce que l'aile du HEB 240 réserve une subtilité de nuance qu'on relève rarement.

Méthodologie du calcul :

On refait le même calcul sur l'aile du poteau, avec ses propres cotes — et avec la limite d'élasticité correspondant à son épaisseur réelle.

Substitution : \( t_{\text{fc}} = 17\ \text{mm} \), \( m = 28{,}20 \), \( n = 35{,}25\ \text{mm} \), et surtout \( f_{\text{y}} = \mathbf{265}\ \text{MPa} \).
Piège évité : Employer 275 MPa. L'aile du HEB 240 fait 17 mm : elle franchit la barre des 16 mm et relève de la tranche à 265 MPa selon la NF EN 10025-2.
Hypothèse validée : Le poteau est supposé non raidi au droit des semelles de la poutre. Des raidisseurs transversaux augmenteraient nettement cette résistance.
Vérification croisée : Le \( m \) de l'aile est bien plus court que celui de la platine — 28,2 contre 39,7 mm — parce que le congé de 21 mm rapproche la naissance de la plaque. L'aile est donc plus favorable.
Finalité : Compléter la zone tendue et pouvoir classer les six composants.

\[ \begin{aligned} \ell_{\text{eff},\text{cp}} &= 2\pi m = 177{,}2 \ \text{mm} \ ; \quad \ell_{\text{eff},\text{nc}} = 4m + 1{,}25e = 200{,}3 \ \text{mm} \\ &\quad F_{\text{T},1,\text{Rd}} = \frac{4 \times 3{,}393}{0{,}0282} = 481{,}2 \ \text{kN} \\ &\quad F_{\text{T},2,\text{Rd}} = \frac{2 \times 3{,}835 + 0{,}03525 \times 282{,}2}{0{,}0282 + 0{,}03525} = \mathbf{277{,}7} \ \text{kN} \\ &\quad F_{\text{T},3,\text{Rd}} = 282{,}2 \ \text{kN} \\ &\quad \text{taux} = \frac{169{,}2}{277{,}7} = \mathbf{0{,}609} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'aile du poteau résiste à 277,7 kN et travaille à 0,609. Le mode 2 gouverne là aussi, mais de très peu : le mode 3 n'est qu'à 1,6 % au-dessus.

Ordre de grandeur : L'aile du HEB 240 est plus favorable que la platine — 277,7 contre 216,2 kN — malgré une nuance abattue. Son épaisseur de 17 mm et son congé généreux l'expliquent.
Impact sur la suite : Ce composant se classe au troisième rang, derrière la platine et l'interaction des boulons. Il n'appelle aucun renforcement.
Cohérence : Modes 2 et 3 quasiment confondus — 277,7 et 282,2 kN — signale une aile juste assez épaisse pour ses boulons. C'est la limite du domaine ductile.
Attention : L'abattement de nuance coûte 3,6 % sur le moment plastique de la plaque. C'est peu, mais l'oublier est une erreur de principe qui peut peser davantage sur des platines épaisses.
Comparaison : Un HEB 200, dont l'aile ne fait que 15 mm, donnerait un mode 2 vers 240 kN et un taux de 0,70. La marge se resserrerait sensiblement.

Remarque pédagogique : L'abattement de nuance selon l'épaisseur est l'une des subtilités les plus systématiquement oubliées de l'Eurocode, et elle mérite d'être fixée une fois pour toutes. La limite d'élasticité annoncée par une nuance — 235, 275, 355 — ne vaut que pour les faibles épaisseurs. Au-delà de 16 mm, elle décroît : le S275 tombe à 265 MPa, le S355 à 345, le S235 à 225. La raison est métallurgique : une tôle épaisse refroidit plus lentement au laminage, sa structure est plus grossière, et sa limite d'élasticité s'en ressent. Sur cet assemblage, l'oubli ne coûte que 3,6 % — mais il concerne l'aile du poteau, la platine si elle avait dépassé 16 mm, et les semelles de toute poutre un peu forte. Le réflexe correct est de vérifier l'épaisseur de chaque paroi avant d'y appliquer une limite d'élasticité, et non de retenir une valeur unique pour tout l'ouvrage.

Les six composants remis dans l'ordre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la vraie conclusion d'un calcul d'assemblage, et parce que l'on désigne comme critique le composant qui l'est le moins.

Méthodologie du calcul :

On rassemble les taux des six vérifications menées et on les classe par ordre décroissant, ce qui désigne le maillon faible et l'ordre des renforcements éventuels.

Substitution : Six taux : platine 0,783 · interaction des boulons 0,628 · aile du poteau 0,609 · boulons en traction 0,600 · panneau d'âme 0,582 · boulons en cisaillement 0,199.
Piège évité : Conclure sur les seuls composants qu'on a calculés. En vérifier deux et en déclare six conformes — dont le plus critique.
Hypothèse validée : Les taux des deux T-stubs dépendent de la disposition transversale posée à la première étape. Leur rang, non : la platine reste critique sur toute la plage d'entraxes usuels.
Vérification croisée : Aucun taux ne dépasse 1,0 : l'assemblage est conforme. Le verdict global reste donc juste, même si le raisonnement qui y mène ne l'est pas.
Finalité : Désigner le maillon faible réel, et l'ordre dans lequel renforcer si les charges augmentaient.

\[ \begin{aligned} \text{platine en flexion} &: \ 0{,}783 \ \leftarrow \ \textbf{gouverne} \\ &\quad \text{boulons, interaction M-V} : \ 0{,}628 \\ &\quad \text{aile du poteau en flexion} : \ 0{,}609 \\ &\quad \text{boulons en traction seule} : \ 0{,}600 \ \leftarrow \ \text{traction seule, insuffisante} \\ &\quad \text{panneau d'ame} : \ 0{,}582 \ \leftarrow \ \text{0,806 sur l'aire simplifiee} \\ &\quad \text{boulons en cisaillement} : \ 0{,}199 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'assemblage est conforme, mais son maillon faible est la platine en flexion à 0,783 — le composant que l'on expédie le plus volontiers. Le panneau d'âme, dont la réputation en fait le point critique d'un nœud boulonné, arrive ici avant-dernier.

Ordre de grandeur : L'écart entre le premier et le dernier composant significatif est de 0,783 à 0,582, soit 35 %. Un assemblage bien équilibré resserre ses composants autour d'une valeur commune.
Impact sur la suite : Si les charges augmentaient, il faudrait renforcer la platine — épaisseur portée à 18 ou 20 mm — et non le panneau d'âme, comme on le suppose d'ordinaire.
Cohérence : Les quatre composants du milieu sont serrés entre 0,58 et 0,63 : l'assemblage est correctement proportionné, ce qui est bon signe. Seule la platine décroche.
Attention : Deux composants n'ont pas été calculés faute de données : l'âme du poteau en traction et en compression, et la pression diamétrale. Ils appartiennent pourtant à la méthode.
Comparaison : Le composant le plus critique — la platine — est aussi le moins cher à renforcer : cinq millimètres d'acier sur une plaque, contre deux raidisseurs soudés dans un poteau.

Remarque pédagogique : Le classement est le véritable livrable d'un calcul d'assemblage, bien plus que le verdict binaire. Savoir que l'assemblage passe ne dit rien d'utile ; savoir par quoi il céderait dit tout. Cela oriente le renforcement si les charges évoluent, cela indique où porter l'effort de contrôle en atelier, et cela renseigne sur le mode de ruine — ductile ou fragile — qu'on doit attendre. Ici, le maillon faible est la platine en flexion, avec un mode 2 : l'assemblage se déformerait avant de rompre, ce qui est le comportement souhaitable. Si le classement avait placé en tête les boulons en traction pure, la ruine aurait été fragile et il aurait fallu revoir la conception, même avec un taux inférieur à 1. C'est pourquoi un rapport d'assemblage sérieux ne se termine jamais par « conforme » mais par un tableau ordonné — et c'est d'ailleurs le conseil qu'on donne le plus volontiers, et qu'on suit le plus rarement.

LES TROIS MODES DU TRONÇON EN T — PLATINE DE 15 mm

RÉSULTAT FINAL

\( \text{platine en flexion} \) = 0,783 — composant gouvernant

"Le panneau d'âme passe pour le maillon faible : il arrive avant-dernier."

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

BILAN DES CALCULS

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cette étude, vérifiez que vous avez assimilé ce qu'exige réellement la méthode des composants :

J'ai contrôlé la distribution des efforts par l'équilibre des moments, au lieu de faire confiance à la formule. J'ai mené les trois vérifications de boulon, dont l'interaction — qui est celle qui gouverne le composant. J'ai recalculé l'aire de cisaillement depuis les cotes et contrôlé son rapport à l'aire totale. J'ai calculé les trois modes de chaque tronçon en T, au lieu de les déclarer conformes. J'ai classé les composants par taux décroissant et identifié le maillon faible — qui n'est pas celui qu'on croyait.

Avis technique — assemblage par platine d'extrémité CONFORME. Aucun des six composants vérifiés ne dépasse l'unité. Le maillon faible est la platine en flexion, à 0,783 : c'est elle qui gouverne la résistance de l'assemblage, par le mécanisme du T-stub équivalent. Viennent ensuite l'interaction traction-cisaillement des boulons à 0,628 — plus sévère que la traction seule — puis le panneau d'âme du poteau en cisaillement à 0,582, dont l'aire de cisaillement se calcule sur la section et non sur la seule surface d'âme. Une réserve conditionne cet avis : la platine étant le composant gouvernant, c'est son épaisseur qu'il faudrait revoir en cas d'augmentation du moment, et non le diamètre des boulons — le levier n'est pas celui qu'on suppose spontanément. Deux vérifications restent hors périmètre : la résistance des soudures entre poutre et platine, et la classification de l'assemblage en rigide ou semi-rigide, qui conditionne la validité de l'analyse globale de l'ossature.

La plus-value technique de cette étude tient précisément là : elle ne se contente pas de conclure qu'un assemblage tient, elle calcule les six composants, les classe, désigne celui qui gouverne, et indique par conséquent sur lequel agir.

Assemblage par Platine d'Extrémité Boulonnée

Assemblage par Platine d'Extrémité Boulonnée

Le premier mois à 1 €

Assemblage poutre-poteau par platine d'extrémité boulonnée

Contexte de l'Étude & Enjeux

SOLLICITATIONS, PROFILÉS ET BOULONNERIE

COEFFICIENTS PARTIELS ET PARAMÈTRES DE CALCUL

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Distribution du moment dans les rangées de boulons

Question 2 : Boulons — traction, cisaillement et interaction

Question 3 : Panneau d'âme du poteau au cisaillement

Question 4 (Finale) : Tronçons en T et classement réel des composants

Assemblage poutre-poteau par platine d'extrémité boulonnée

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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