Exercice corrigé NF EN ISO 17892-4 NF EN 1997-2

Analyse Granulométrique d'un Sol

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 2 juillet 2026• 79 min de lecture• 10 vues

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Étude de cas · Note de calculs Réf. GEO-GRA-01

Analyse granulométrique d'un sol sableux

Sept pesées, une courbe — et une série de tamis qui s'arrête un cran trop tôt

NiveauBTS · BUT · Licence

DomaineGéotechnique — Identification des sols

ThèmeAnalyse granulométrique par tamisage et classification

PrérequisRefus · tamisat cumulé · courbe granulométrique · diamètres caractéristiques · coefficients d'uniformité et de courbure

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Avant toute chose, on veut savoir de quoi le sol est fait. L'analyse granulométrique est l'essai le plus ancien et le plus universel de la géotechnique : on sèche, on pèse, on tamise, on repèse. De ces quelques pesées sort une courbe granulométrique dont on tire la classification du matériau et, par corrélation, une bonne part de ses propriétés — perméabilité, compressibilité, aptitude au compactage . Rien dans cet essai n'est difficile : ni le protocole, ni les calculs, qui se réduisent à des divisions et des soustractions. Toute la valeur du travail est ailleurs — dans la façon de lire la courbe, dans le choix de la méthode d'interpolation, et surtout dans la lucidité sur ce que la colonne de tamis employée permet ou ne permet pas de conclure.

Les Points Clés du Projet

L'essai repose sur une propriété que l'on oublie parfois de regarder : la série de tamis est géométrique , chaque ouverture valant la moitié de la précédente. Cette régularité commande à la fois la représentation graphique et la façon d'interpoler entre deux tamis :

L'échelle logarithmique : les diamètres s'étalent de 0,125 à 5 mm, soit un rapport de quarante. Une échelle arithmétique écraserait toute la partie fine de la courbe contre l'origine ; l'échelle logarithmique rend au contraire chaque octave de tamis également large, ce qui est exactement ce qu'il faut puisque la série est géométrique. Ce choix n'est pas cosmétique : il détermine la forme de la courbe, donc la lecture des diamètres, donc les coefficients. Il a de plus une conséquence que l'on oublie : entre deux tamis consécutifs, la courbe couvre une octave entière, et toute interpolation dans cet intervalle repose sur une hypothèse de linéarité qui porte sur un rapport de taille de deux. C'est large, et cela mérite d'être su.
Les diamètres caractéristiques : ce sont des quantiles de la distribution, non des tailles de grains réelles. Le diamètre correspondant à dix pour cent de tamisat signifie que dix pour cent de la masse est plus fine que lui — aucune particule ne mesure nécessairement cette taille. Ils tombent presque toujours entre deux tamis , et c'est là que le mode d'interpolation devient une question de méthode et non de commodité. Le diamètre correspondant à dix pour cent porte d'ailleurs un nom, diamètre efficace, parce qu'il se corrèle à la perméabilité du sol : c'est la fraction fine, minoritaire en masse, qui commande le passage de l'eau, les gros grains ne faisant que laisser des vides entre eux.
L'objectif final : classer le sol et fournir les deux coefficients qui décrivent l'étalement de sa courbe. Le risque est double. D'abord celui de la lecture graphique : le coefficient de courbure est un rapport de carrés , si bien qu'une imprécision sur les diamètres s'y trouve amplifiée d'un facteur voisin de deux. Ensuite, plus insidieux, celui de conclure sur une classification dont l'un des critères repose sur une fraction que la colonne de tamis employée n'a jamais mesurée. Ces deux risques se ressemblent : ni l'un ni l'autre ne produit de résultat aberrant. Les coefficients restent plausibles, la classification reste énonçable, et rien dans le rapport n'indique que la précision annoncée n'y est pas — sinon la vigilance de celui qui l'a rédigé.
L'astuce de l'ingénieur : vérifiez le bouclage massique avant tout calcul . La somme des refus doit égaler la masse sèche introduite : tout écart signale une perte de matériau au tamisage, et un écart supérieur à un pour cent invalide l'essai. Ce contrôle coûte une addition, il se fait avant d'avoir converti quoi que ce soit en pourcentages , et il évite de bâtir toute une courbe sur des pesées incohérentes. Sa valeur tient à ce qu'il est le seul contrôle INDÉPENDANT de tout l'essai : une fois les masses converties en pourcentages, leur somme vaudra cent quoi qu'il arrive, y compris sur des pesées fausses. Le contrôle n'a donc de portée qu'avant conversion, et c'est précisément le moment où l'on est le plus pressé de passer à la suite.

Votre Mission :

Transformer sept pesées en une classification défendable : les tamisats cumulés, les trois diamètres caractéristiques obtenus par le calcul et non par lecture , les deux coefficients d'étalement, puis le verdict — en disant précisément ce que cet essai établit et ce qu'il laisse indéterminé. Cette dernière partie est celle qui distingue un rapport d'essai d'un simple relevé.

Le grand défi : reconnaître que la colonne de tamis employée ne descend pas assez bas. Le tamis le plus fin ouvre à 0,125 mm, alors que la classification des sols se fonde sur la fraction passant à 0,063 mm. Ce qui tombe au fond n'est donc qu'une borne supérieure de la teneur en fines — et cette borne encadre précisément le seuil de classification, ce qui laisse deux classes possibles.
Votre rôle : établir le tableau des refus et tamisats en vérifiant le bouclage, calculer les trois diamètres caractéristiques par interpolation logarithmique, en déduire les deux coefficients, puis chiffrer ce que la lecture graphique aurait coûté et ce que le tamis manquant empêche de conclure.

PLAN DE REPÉRAGE — COLONNE DE TAMIS ET PESÉES

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — le dépouillement : le tableau complet des refus partiels, refus cumulés et tamisats cumulés, précédé du contrôle de bouclage massique et suivi des deux contrôles de cohérence — somme des refus partiels égale à cent, tamisat du fond nul. Trois vérifications qui ne coûtent rien et sans lesquelles tout le reste repose sur du sable, si l'on ose.
Livrable 2 — les indicateurs et leurs limites : les trois diamètres caractéristiques par interpolation logarithmique, les coefficients d'uniformité et de courbure, le verdict de classification — et surtout les deux réserves chiffrées : l'écart qu'aurait produit une lecture graphique à deux décimales, et l'intervalle dans lequel se situe la teneur en fines faute d'un tamis à 0,063 mm. Un rapport qui donne ses résultats sans ces deux réserves donne une précision qu'il n'a pas.

2. Données Techniques & Normes

L'analyse granulométrique par tamisage relève de la NF EN ISO 17892-4, qui fixe la préparation de l'échantillon, la série de tamis et les modalités de pesée. Cette même norme prévoit que la fraction fine, en deçà de 0,063 mm, soit déterminée par sédimentation lorsque sa proportion le justifie — ce qui suppose de disposer du passant à ce tamis, donc de l'avoir mesuré. La classification des sols fins et grenus s'appuie sur cette fraction ainsi que sur les deux coefficients d'étalement calculés ici. Le cadre général de la reconnaissance des terrains est celui de la NF EN 1997-2, qui traite de la description et de l'identification des sols. L'analyse granulométrique relève des essais de classification, d'identification et de description du sol, que la NF EN 1997-2 traite à sa CLAUSE 5.5 ; le mode opératoire par tamisage est décrit par la NF EN ISO 17892-4. Deux points méritent d'être signalés. Le premier est que la courbe granulométrique est la donnée d'entrée de presque toutes les classifications de sol et de nombreuses corrélations empiriques : une erreur de tamisage se propage à l'ensemble de la reconnaissance. Le second est que les diamètres caractéristiques qu'on en tire sont lus par INTERPOLATION sur une échelle logarithmique, ce qui rend leur précision très inégale selon la pente locale de la courbe — un point que l'exercice chiffre. Conformément au droit d'auteur applicable aux normes NF EN, aucun tableau de classification ni aucune figure de ces textes n'est reproduit : seules les références sont citées, les seuils employés sont annoncés comme tels, et tous les chiffres proviennent des pesées ou d'un calcul explicite mené sous vos yeux.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Tamisat cumulé \( T_i = 100 - \sum_{j \leq i} \dfrac{m_j}{M_t} \times 100 \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PESÉES DES REFUS — TAMIS GROSSIERS

Symbole	Description	Valeur	Unité
5 mm et 2 mm	Masses retenues sur les deux tamis les plus ouverts NF EN ISO 17892-4	0,0 et 15,5	g
1 mm et 0,5 mm	Masses retenues sur les deux tamis suivants	64,0 et 131,5	g

Masse sèche totale

Masse de l'échantillon introduit au sommet de la colonne \( M_t = \mathbf{500{,}0} \text{ g} \)

PESÉES DES REFUS — TAMIS FINS ET FOND

Symbole	Description	Valeur	Unité
0,25 mm et 0,125 mm	Masses retenues sur les deux tamis les plus fins de la colonne	144,0 et 112,5	g
Fond	Masse ayant traversé le tamis de 0,125 mm, sans distinction de taille	32,5	g

Tamis à 0,063 mm

ABSENT de la colonne — c'est pourtant à ce diamètre que se fait la séparation des fines dans la classification \( m_{0{,}063} = \mathbf{?} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Le relevé ci-dessus est la seule source de chiffres de cet exercice. Les repères ci-dessous ne servent qu'à situer les valeurs obtenues et ne fournissent aucune donnée de calcul.

Repères de lecture des coefficients d'étalement

Condition portant sur les deux coefficients	Qualification de la granulométrie
Coefficient d'uniformité au moins égal à 6 ET coefficient de courbure compris entre 1 et 3	Sable bien gradué — toutes les tailles présentes, bon compactage attendu
L'une au moins des deux conditions non satisfaite	Sable mal gradué ou uniforme — compactage médiocre, perméabilité forte

Pourquoi l'interpolation doit être logarithmique

Les diamètres caractéristiques tombent presque toujours entre deux tamis, et il faut donc interpoler. La question est de savoir dans quelle variable. La courbe étant tracée avec le diamètre en échelle LOGARITHMIQUE, une droite tracée sur ce graphique entre deux points de mesure correspond à une interpolation linéaire en logarithme du diamètre, non en diamètre. Interpoler linéairement en diamètre reviendrait à supposer que la courbe est une droite sur un graphique qui n'est pas celui qu'on trace — et l'écart n'est pas négligeable, puisque deux tamis consécutifs sont distants d'une octave entière. Sur cet essai, l'écart atteint 3,7% sur le diamètre à dix pour cent de tamisat. Il y a de plus une raison physique : la série de tamis est géométrique parce que la distribution des tailles de grains dans un sol naturel s'étale sur plusieurs ordres de grandeur, et qu'une progression géométrique explore cet étalement de façon uniforme. Interpoler dans la même logique que celle qui a présidé au choix des tamis est donc cohérent, et c'est ce que fait l'interpolation logarithmique.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Refus, refus cumulés et tamisats

Dépouillement 10 min | Accessible

But de l'étape : Sept pesées à convertir en pourcentages, puis à cumuler. Le calcul est élémentaire, mais il est précédé d'un contrôle qui ne l'est pas moins et que l'on saute presque toujours : la somme des refus doit égaler la masse introduite. Un écart signalerait une perte au tamisage, et bâtir une courbe sur des pesées qui ne bouclent pas revient à donner une précision à des données qui n'en ont pas.

Énoncé Q1 : Vérifiez d'abord le bouclage massique de l'essai. Établissez ensuite, pour chaque tamis, le refus partiel en pourcentage, le refus cumulé et le tamisat cumulé. Contrôlez enfin votre tableau par deux vérifications indépendantes portant sur la somme des refus partiels et sur le tamisat du fond.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le refus cumulé d'un tamis est la somme de son refus partiel et de tous ceux des tamis situés au-dessus. Le tamisat est son complément à cent.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le tamisat cumulé au tamis de 0,5 mm vaut 100 − (0,0 + 3,1 + 12,8 + 26,3) pour cent.

Question 2 : Diamètres caractéristiques à dix et soixante pour cent

Interpolation 20 min | Intermédiaire

But de l'étape : Les diamètres caractéristiques ne tombent jamais sur un tamis : il faut interpoler entre les deux qui les encadrent. La question est de savoir dans quelle variable, et la réponse découle de la façon dont la courbe est tracée. C'est un point de méthode que l'on traite souvent comme un raffinement facultatif ; l'écart obtenu montrera qu'il ne l'est pas tout à fait.

Énoncé Q2 : Déterminez par interpolation logarithmique le diamètre correspondant à dix pour cent de tamisat, puis celui correspondant à soixante pour cent . Précisez entre quels tamis chacun se situe, et calculez pour le premier l'écart qu'aurait donné une interpolation linéaire en diamètre.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le diamètre à dix pour cent se situe entre les deux tamis dont les tamisats encadrent cette valeur. Repérez-les dans le tableau avant de calculer.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'interpolation logarithmique s'écrit log D = log D₁ + t·(log D₂ − log D₁), où t est la position relative du tamisat cherché entre les deux tamisats encadrants.

Question 3 : Diamètre à trente pour cent et coefficient d'uniformité

Indicateurs 15 min | Intermédiaire

But de l'étape : Le troisième diamètre complète le jeu, et le coefficient d'uniformité est le premier des deux indicateurs d'étalement. Sa lecture est immédiate : il compare le gros grain représentatif au petit, et dit donc si le sol contient un large éventail de tailles ou s'il est uniforme. C'est aussi celui des deux qui résiste le mieux aux imprécisions de lecture, pour une raison qui apparaîtra à la question suivante.

Énoncé Q3 : Déterminez le diamètre correspondant à trente pour cent de tamisat, puis calculez le coefficient d'uniformité du sol. Situez la valeur obtenue par rapport au seuil usuel et dites ce qu'elle traduit sur la distribution des tailles .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le coefficient d'uniformité rapporte le diamètre à soixante pour cent à celui à dix pour cent. Il vaut un pour un sol parfaitement uniforme et croît avec l'étalement.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le diamètre à trente pour cent se situe entre les tamis de 0,25 et 0,5 mm, dont les tamisats valent 29,0 et 57,8%.

Question 4 (Finale) : Coefficient de courbure, et ce que l'essai ne dit pas

Portée du résultat 20 min | BOSS

But de l'étape : Le coefficient de courbure complète le diagnostic et achève la classification. Mais il est aussi le plus fragile des deux indicateurs, pour une raison purement algébrique : c'est un rapport de carrés, et les imprécisions de lecture s'y amplifient. Reste enfin à examiner ce que la colonne de tamis employée permet réellement de conclure — et la réponse est qu'elle ne tranche pas la classification.

Mention spéciale — un tamis manquant qui laisse deux classes ouvertes La classification des sols grenus repose sur deux choses : les coefficients d'étalement, calculés ici, et la teneur en fines, c'est-à-dire la fraction passant à 0,063 mm. Or le tamis le plus fin de la colonne ouvre à 0,125 mm. Tout ce qui le traverse tombe au fond sans distinction de taille : les 6,5% recueillis contiennent donc à la fois des fines véritables et des sables très fins, dans une proportion inconnue. La teneur en fines réelle est comprise entre zéro et 6,5%, et le seuil de classification se situe à 5% — la borne encadre le seuil, et deux classes restent possibles. Un seul tamis supplémentaire aurait tranché.

Calculez le coefficient de courbure et concluez sur la classification granulométrique du sol. Chiffrez ensuite l'écart qu'aurait produit une lecture graphique des trois diamètres arrondis à deux décimales, sur chacun des deux coefficients, et expliquez pourquoi l'un est plus affecté que l'autre. Établissez enfin l'intervalle dans lequel se situe la teneur en fines et dites quelles classifications restent possibles.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le coefficient de courbure fait intervenir le carré du diamètre à trente pour cent. Les erreurs relatives se propagent dans un produit ou un quotient en s'additionnant, et une puissance les multiplie par son exposant.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Avec les diamètres lus à deux décimales — 0,14 · 0,26 · 0,52 mm — le coefficient de courbure vaut 0,93 au lieu de la valeur exacte. L'écart sur le coefficient d'uniformité est près de deux fois moindre.

NOTE DE CALCULS

Analyse granulométrique d'un sol sableux

Question 1 : Refus, refus cumulés et tamisats

Dans la tête de l'ingénieur

« Sept pesées à convertir en pourcentages. C'est le genre de tableau qu'on remplit machinalement, et c'est précisément pourquoi je commence par autre chose. La somme des refus doit égaler la masse introduite. Si elle ne l'égale pas, du matériau s'est perdu au tamisage et toute la courbe qui suivra sera bâtie sur des pesées incohérentes. Une addition, avant tout le reste. »

Observation : La somme des sept refus vaut exactement 500,0 g, soit la masse sèche introduite. Le bouclage est parfait, ce qui est rare sur un essai réel et signale ici des données construites.
Analyse du risque : Une perte au tamisage supérieure à un pour cent invalide l'essai selon les protocoles courants. Le matériau perdu est presque toujours de la fraction fine, qui s'échappe en poussière : la courbe s'en trouve alors décalée vers les gros diamètres, et la teneur en fines sous-estimée — dans le sens qui rassure.
Choix stratégique : Vérifier le bouclage massique, puis convertir chaque refus en pourcentage de la masse totale, cumuler du haut vers le bas, et prendre le complément à cent pour obtenir les tamisats.
Alternative : Calculer directement les tamisats en cumulant les masses par le bas. Écarté par convention plutôt que par principe : les deux voies donnent le même résultat, mais le cumul par le haut suit l'ordre de la colonne de tamis et rend le tableau directement comparable au protocole d'essai.
Objectif visé : Obtenir le tableau complet des tamisats cumulés, seul jeu de valeurs à partir duquel la courbe granulométrique peut être tracée.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Bouclage exact à 500,0 g · tamisats de 100,0 à 0,0% · 57,8% à 0,5 mm et 29,0% à 0,25 mm

Rappel Théorique : de la pesée au tamisat

Un tamis retient ce qui est plus gros que son ouverture et laisse passer le reste. La masse recueillie sur un tamis donné est donc le refus partiel de ce tamis. En cumulant les refus depuis le haut de la colonne, on obtient la masse plus grosse qu'une ouverture donnée ; le complément à cent donne le tamisat, c'est-à-dire la proportion plus fine — et c'est cette dernière que l'on porte en ordonnée.

Le refus partiel : masse retenue sur un tamis, rapportée à la masse sèche totale. C'est la seule grandeur directement mesurée : tout le reste en découle par sommation. Elle décrit la proportion de grains dont la taille est comprise entre l'ouverture de ce tamis et celle du tamis immédiatement supérieur.
Le refus cumulé : somme des refus partiels depuis le haut de la colonne. Il donne la proportion de matériau plus gros que l'ouverture considérée, et croît nécessairement de haut en bas jusqu'à cent pour cent au fond.
Le tamisat cumulé : complément à cent du refus cumulé, c'est la proportion plus FINE que l'ouverture. C'est lui que l'on porte en ordonnée de la courbe granulométrique, par convention universelle — d'où le fait que la courbe soit croissante de gauche à droite.
Le bouclage massique : la somme de tous les refus, fond compris, doit égaler la masse sèche introduite. Un déficit signale une perte, un excédent une erreur de pesée ou une humidité résiduelle. C'est le seul contrôle indépendant disponible sur l'ensemble de l'essai.
Les deux contrôles du tableau : la somme des refus partiels doit valoir exactement cent pour cent, et le tamisat du fond exactement zéro. Ils ne sont pas redondants avec le bouclage : ils vérifient les divisions et les cumuls, là où le bouclage vérifie les pesées.

Équations Fondamentales

Deux relations, toutes deux élémentaires. La première convertit, la seconde cumule — et c'est le contrôle qui les précède qui a le plus de valeur.

Refus partiel en pourcentage

Convertit une masse pesée en proportion de la masse totale.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une masse en grammes ne dit rien tant qu'on ignore la masse totale, et parce que la courbe granulométrique se lit en proportions et non en masses. La conversion rend de plus l'essai comparable d'un échantillon à l'autre, quelle que soit la prise d'essai — condition pour que la classification ait un sens

Contexte de validité : Valable si la masse totale employée au dénominateur est bien la masse sèche introduite, et non la somme des refus recueillis. Les deux coïncident quand le bouclage est parfait ; en cas de perte, la convention est de rapporter à la masse introduite.
Avantage : Elle ne demande qu'une division par tamis et rend immédiatement lisible la répartition : on voit d'un coup d'œil quelle tranche de taille domine.
Paramètre clé : La masse sèche totale au dénominateur. Une erreur sur elle décale tous les pourcentages du même facteur, sans que la somme cesse pour autant de valoir cent — l'erreur serait donc indétectable par ce seul contrôle.
Vérification : La somme des refus partiels doit valoir exactement cent pour cent. C'est le contrôle des divisions.
Limite : Elle suppose l'échantillon représentatif du matériau en place, ce qui relève du prélèvement et du quartage, non du tamisage. Un échantillon mal quarté donnera une courbe parfaitement cohérente et fausse.

\[ \begin{aligned} r_i &= \dfrac{m_i}{M_t} \times 100 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit quelle part de l'échantillon appartient à chaque tranche de taille . Sur cet essai, la tranche comprise entre 0,25 et 0,5 mm représente à elle seule 28,8% de la masse : le sable est concentré autour de cette taille , ce qui annonce déjà une courbe raide et un matériau uniforme.

Décomposition des termes :

r_i : refus partiel du tamis i, unité : %
m_i : masse retenue sur le tamis i, unité : g
M_t : masse sèche totale introduite, 500,0, unité : g
28,8 : refus partiel maximal, sur le tamis de 0,25 mm, unité : %
100,0 : somme de contrôle des refus partiels, unité : %

Tamisat cumulé

Donne la proportion de matériau plus fine qu'une ouverture donnée.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la grandeur portée en ordonnée de la courbe granulométrique, et donc celle dont on tirera les diamètres caractéristiques. Le passage par le refus cumulé n'est qu'une étape : ce qui compte est le complément , puisque les quantiles se définissent sur la fraction plus fine

Contexte de validité : Valable dès que le bouclage est vérifié. Sans lui, les tamisats ne somment pas correctement et le dernier ne vaut pas zéro.
Avantage : Le tamisat se lit directement comme une probabilité cumulée : le tamisat à 0,5 mm, 57,8%, signifie que 57,8% de la masse est plus fine que 0,5 mm.
Paramètre clé : Le cumul, qui propage toute erreur de refus partiel sur l'ensemble des tamis situés en dessous. Une erreur sur un tamis intermédiaire décale donc toute la partie fine de la courbe.
Vérification : Le tamisat du tamis le plus ouvert doit valoir cent pour cent — ou approcher cette valeur — et celui du fond exactement zéro. Le tableau se contrôle ainsi par ses deux extrémités.
Limite : Il ne dit rien de la répartition à l'intérieur d'une tranche. Entre deux tamis, la courbe est interpolée, et c'est là que la question 2 devra choisir une méthode.

\[ \begin{aligned} T_i &= 100 - \sum_{j \leq i} r_j \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Il dit quelle proportion du sol passerait à travers ce tamis . C'est la définition même d'une distribution cumulée, et c'est pourquoi la courbe est croissante : plus l'ouverture est grande, plus il passe de matériau. Le tamisat du fond vaut nécessairement zéro , puisque rien ne passe à travers un fond plein.

Décomposition des termes :

T_i : tamisat cumulé au tamis i, unité : %
r_j : refus partiels des tamis situés au-dessus, unité : %
57,8 : tamisat au tamis de 0,5 mm, unité : %
29,0 : tamisat au tamis de 0,25 mm, unité : %
6,5 : tamisat au tamis de 0,125 mm, le plus fin de la colonne, unité : %

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Les refus se convertissent en pourcentages, on cumule, on obtient les tamisats et l'on trace la courbe. Le tableau est simple, autant passer directement à l'interprétation. »

L'approche d'ingénieur : Avant de convertir quoi que ce soit, il faut vérifier que la somme des refus égale la masse introduite. Ici elle vaut exactement 500,0 g , ce qui valide l'essai — mais sur un tamisage réel, une perte de un à deux pour cent est courante, et elle porte presque toujours sur la fraction fine

L'erreur : Elle bâtit un dépouillement complet sans avoir vérifié que les données d'entrée sont cohérentes. Le contrôle de bouclage est le seul indépendant dont on dispose : une fois les pourcentages calculés, la somme fera cent quoi qu'il arrive, y compris sur des pesées fausses.
La bonne méthode : Additionner les sept refus et comparer à la masse introduite, avant toute conversion. Une addition, trois secondes, et l'essai est validé ou rejeté.
L'astuce de pro : Regardez dans quel sens porte l'écart s'il y en a un. Une perte de matériau au tamisage concerne presque toujours les fines, qui s'échappent en poussière : la courbe est alors décalée vers les gros diamètres et la teneur en fines sous-estimée, c'est-à-dire faussée dans le sens rassurant.
Le moyen mnémotechnique : On vérifie le bouclage avant de convertir. Après conversion, la somme fait cent même sur des données fausses.
L'impact direct : Une perte de deux pour cent de fines déplace le diamètre à dix pour cent de tamisat vers le haut, donc réduit le coefficient d'uniformité et modifie le classement. Sur un matériau de remblai, cela peut faire passer un sol du refusé à l'accepté.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Masses de refus m_i : pesées en g
Masse sèche totale M_t : en g
Refus partiels et cumulés : rapports de masses, exprimés en %
Tamisats cumulés : compléments à cent, en %
Ouvertures de tamis : en mm

Aucune conversion d'unité n'intervient : toutes les masses sont en grammes et leurs rapports sans dimension, exprimés en pourcentage par commodité. Une seule précaution mérite d'être prise, et elle est de vocabulaire : un refus et un tamisat sont complémentaires, non opposés . Le refus cumulé à 0,5 mm vaut 42,2% et le tamisat 57,8% ; leur somme fait cent. Confondre les deux inverserait la courbe entière et donnerait des diamètres caractéristiques totalement faux — erreur d'autant plus vicieuse que la courbe garderait une allure parfaitement normale, simplement retournée.,

1. Résolution Numérique Tamisat cumulé au tamis de 0,5 mm

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le tamis autour duquel la courbe passe la barre des cinquante pour cent : il commande la position du diamètre à soixante pour cent, donc l'un des deux termes du coefficient d'uniformité.

Méthodologie du calcul :

On vérifie d'abord le bouclage : la somme des sept refus vaut \( 0{,}0 + 15{,}5 + 64{,}0 + 131{,}5 + 144{,}0 + 112{,}5 + 32{,}5 = 500{,}0 \) g, soit exactement la masse introduite. On convertit ensuite chaque refus en pourcentage, on cumule depuis le haut de la colonne, et l'on prend le complément à cent . Les refus partiels valent 0,0 · 3,1 · 12,8 · 26,3 · 28,8 · 22,5 · 6,5%.

Substitution : Refus cumulé jusqu'au tamis de 0,5 mm : 0,0 + 3,1 + 12,8 + 26,3 = 42,2%.
Piège évité : Ne pas confondre refus et tamisat. Le refus cumulé vaut 42,2% et le tamisat 57,8% : intervertir les deux retournerait toute la courbe, et les diamètres caractéristiques seraient lus à l'envers sans que l'allure du tracé n'ait rien d'anormal.
Hypothèse validée : L'échantillon de 500,0 g est représentatif du matériau, ce qui relève du prélèvement et du quartage et non du tamisage. Un échantillon mal quarté donnerait une courbe parfaitement cohérente et fausse.
Vérification croisée : Deux contrôles indépendants : la somme des refus partiels vaut exactement 100,0%, et le tamisat du fond exactement 0,0%. Le premier vérifie les divisions, le second les cumuls.
Finalité : Ce tamisat et celui du tamis de 1 mm encadreront le diamètre à soixante pour cent, déterminé à la question 2.

\[ \begin{aligned} T_{0{,}5} &= 100 - (0{,}0 + 3{,}1 + 12{,}8 + 26{,}3) \\ &= 100 - 42{,}2 \\ &= \mathbf{57{,}8} \text{ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

57,8% du matériau est plus fin que 0,5 mm. Le tamis suivant, à 0,25 mm, ne laisse plus passer que 29,0% : près de trente pour cent de la masse tient donc dans une seule octave de taille , entre 0,25 et 0,5 mm. C'est la signature d'un sable uniforme , et la courbe sera raide dans cette zone — ce que les coefficients d'étalement confirmeront.

Ordre de grandeur : Un tamisat de l'ordre de cinquante pour cent au tamis de 0,5 mm caractérise un sable moyen. Un sable grossier aurait ce tamisat vers 1 ou 2 mm, un sable fin vers 0,2 mm.
Impact sur la suite : Ce tamisat borne par le bas l'intervalle contenant le diamètre à soixante pour cent, puisque 57,8% est juste inférieur à 60%.
Cohérence : Les tamisats décroissent régulièrement de 100,0 à 0,0% en descendant la colonne, comme l'exige une distribution cumulée. Aucune inversion, aucun palier anormal.
Attention : Le tamisat du tamis de 5 mm vaut cent pour cent, ce qui signifie qu'aucun grain ne dépasse cette taille. La courbe est donc entièrement contenue dans la colonne du côté grossier — ce qui n'est pas le cas du côté fin.
Comparaison : L'essai relève de la NF EN ISO 17892-4, qui fixe la série de tamis, la durée de vibration et les modalités de pesée.

Remarque pédagogique : Le contrôle de bouclage est le seul indépendant de tout l'essai. Une fois les pourcentages calculés, leur somme vaudra cent même sur des pesées fausses : la vérification n'a de valeur qu'avant conversion.

Tamisat cumulé au tamis de 0,25 mm

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce tamis encadre à la fois le diamètre à dix pour cent et celui à trente pour cent : il intervient dans les deux interpolations de la suite.

Méthodologie du calcul :

Même démarche, en ajoutant le refus partiel du tamis de 0,25 mm au cumul précédent : \( 42{,}2 + 28{,}8 = 71{,}0 \)% de refus cumulé. Le tamisat est le complément. Ce tamis porte le refus partiel le plus élevé de tout l'essai, ce qui explique la chute brutale du tamisat entre 0,5 et 0,25 mm.

Substitution : Refus cumulé jusqu'au tamis de 0,5 mm : 42,2% ; refus partiel du tamis de 0,25 mm : 28,8%.
Piège évité : Ne pas oublier le refus du tamis courant dans le cumul. Le tamisat d'un tamis se calcule APRÈS y avoir ajouté son propre refus : il représente ce qui passe à travers, donc ce qui n'a été retenu ni par lui ni par aucun tamis au-dessus.
Hypothèse validée : Mêmes hypothèses qu'au bloc précédent : échantillon représentatif et bouclage vérifié.
Vérification croisée : Le tamisat du tamis suivant, à 0,125 mm, vaut 100 − (71,0 + 22,5) = 6,5%, et celui du fond 100 − (93,5 + 6,5) = 0,0%. La chaîne se referme exactement.
Finalité : Ce tamisat, avec ceux des tamis voisins, encadre les diamètres à dix et trente pour cent déterminés aux questions 2 et 3.

\[ \begin{aligned} T_{0{,}25} &= 100 - (42{,}2 + 28{,}8) \\ &= 100 - 71{,}0 \\ &= \mathbf{29{,}0} \text{ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

29,0%, contre 57,8% au tamis précédent : le tamisat a été divisé par deux en franchissant une seule octave de taille. Le refus partiel de ce tamis, 28,8%, est le plus fort de l'essai , et celui du tamis suivant, 22,5%, est le deuxième : plus de la moitié de la masse tient entre 0,125 et 0,5 mm . Le matériau est donc franchement concentré autour d'une taille, ce qu'aucun tamisat pris isolément ne montrait.

Ordre de grandeur : Une chute de tamisat de vingt-neuf points sur une octave est raide. Sur un sol bien gradué, la courbe descendrait de dix à quinze points par octave, régulièrement, sur toute la gamme.
Impact sur la suite : Ce tamisat de 29,0% borne par le haut l'intervalle contenant le diamètre à dix pour cent, et par le bas celui contenant le diamètre à trente pour cent.
Cohérence : La séquence des refus partiels — 0,0 · 3,1 · 12,8 · 26,3 · 28,8 · 22,5 · 6,5 — présente un maximum unique au tamis de 0,25 mm et décroît de part et d'autre. C'est la forme attendue d'une distribution unimodale.
Attention : Les 6,5% qui traversent le tamis de 0,125 mm ne sont pas caractérisés davantage : la colonne s'arrête là. Cette limite deviendra décisive à la question 4.
Comparaison : Le tableau complet des tamisats — 100,0 · 96,9 · 84,1 · 57,8 · 29,0 · 6,5 · 0,0% — constitue le jeu de valeurs à partir duquel la courbe se trace et les diamètres se calculent.

Remarque pédagogique : Un tableau qui se referme exactement à ses deux extrémités — cent pour cent en haut, zéro en bas — est un tableau dont on peut se servir. Ces deux contrôles ne coûtent rien et attrapent toute erreur de cumul.

RÉSULTAT FINAL

Tamisats aux deux tamis centraux : 57,8 et 29,0

% — bouclage massique exact à 500,0 g

« Plus de la moitié de la masse tient entre 0,125 et 0,5 mm : le sable est concentré autour d'une taille. »

Question 2 : Diamètres caractéristiques à dix et soixante pour cent

Dans la tête de l'ingénieur

« Les diamètres caractéristiques ne tombent jamais sur un tamis. Il faut donc interpoler entre les deux qui les encadrent — et la question est de savoir dans quelle variable. La courbe est tracée avec le diamètre en échelle logarithmique. Une droite sur ce graphique correspond donc à une interpolation linéaire en logarithme du diamètre, non en diamètre. Interpoler autrement reviendrait à raisonner sur un graphique qu'on ne trace pas. »

Observation : Deux tamis consécutifs sont distants d'une octave entière : leur rapport vaut deux. L'écart entre les deux modes d'interpolation ne peut donc pas être négligeable.
Analyse du risque : Interpoler linéairement en diamètre donne un diamètre à dix pour cent de 0,1444 mm au lieu de 0,1392, soit 3,7% d'écart . Ce diamètre étant au dénominateur du coefficient d'uniformité, l'erreur s'y reporte intégralement — et le coefficient d'uniformité est l'un des deux critères de classification.
Choix stratégique : Repérer pour chaque quantile les deux tamis dont les tamisats l'encadrent, puis interpoler linéairement en logarithme du diamètre entre ces deux points, et repasser à l'antilogarithme.
Alternative : Lire les diamètres graphiquement sur la courbe tracée. Écarté : la lecture dépend de l'échelle du tracé et de l'épaisseur du trait, et surtout elle conduit à arrondir à deux décimales — ce qui, on le verra à la question 4, suffit à décaler le coefficient de courbure de plus de quatre pour cent.
Objectif visé : Obtenir deux des trois diamètres caractéristiques par un calcul exact et reproductible, et chiffrer ce qu'aurait coûté l'autre mode d'interpolation.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

D10 = 0,13923 mm entre les tamis de 0,125 et 0,25 · D60 = 0,52985 mm entre 0,5 et 1 · écart à l'interpolation linéaire : 3,74%

Rappel Théorique : interpoler dans la bonne variable

Interpoler, c'est supposer que la courbe est une droite entre deux points de mesure. Encore faut-il préciser droite sur quel graphique : une droite en diamètre et une droite en logarithme du diamètre ne sont pas la même courbe, et l'écart croît avec la distance entre les deux points — ici une octave entière.

Pourquoi l'échelle est logarithmique : les diamètres d'un sol s'étalent sur plusieurs ordres de grandeur, de quelques millimètres à quelques microns. Une échelle arithmétique écraserait toute la fraction fine contre l'origine, alors que c'est elle qui gouverne la perméabilité et la sensibilité à l'eau.
Pourquoi la série de tamis est géométrique : pour explorer uniformément cet étalement. Chaque tamis ayant une ouverture moitié du précédent, la série couvre autant de terrain dans les fines que dans les grossiers — ce qui n'aurait pas été le cas d'une progression arithmétique.
La cohérence des deux choix : l'échelle logarithmique et la série géométrique procèdent de la même logique. Interpoler en logarithme prolonge cette logique ; interpoler en diamètre la rompt, et introduit une incohérence entre la façon dont on mesure et la façon dont on lit.
Ce que l'interpolation suppose : que la courbe est une droite sur le graphique semi-logarithmique entre deux tamis. C'est une hypothèse, et elle porte sur une octave entière — un intervalle large. Une série de tamis plus resserrée, de raison racine de deux, la rendrait deux fois moins engageante.
Le sens de l'écart : l'interpolation linéaire en diamètre surestime systématiquement le résultat, parce qu'une droite en diamètre passe au-dessus de la droite en logarithme entre deux points. L'erreur est donc orientée, non aléatoire.

Équations Fondamentales

Deux relations pour la même opération, écrites dans les deux variables. Leur comparaison est l'objet de la question.

Interpolation logarithmique entre deux tamis

Donne le diamètre correspondant à un tamisat donné, entre deux tamis encadrants.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la seule interpolation cohérente avec la façon dont la courbe est tracée et dont les tamis sont choisis. Une droite sur un graphique semi-logarithmique est une droite en logarithme , et interpoler autrement reviendrait à lire une courbe différente de celle qu'on a dessinée — sur un intervalle d'une octave entière

Contexte de validité : Valable si la courbe est effectivement assimilable à une droite sur le graphique semi-logarithmique entre les deux tamis. C'est l'hypothèse standard, d'autant mieux vérifiée que la série de tamis est resserrée.
Avantage : Le résultat est exact et reproductible, indépendant de l'échelle du tracé et de l'épaisseur du trait. Deux opérateurs trouvent la même valeur au cinquième chiffre.
Paramètre clé : La position relative du tamisat cherché entre les deux tamisats encadrants. Ici 3,5 sur 22,5 pour le diamètre à dix pour cent, soit 15,6% de l'intervalle — le résultat est donc proche du tamis inférieur.
Vérification : Le diamètre obtenu doit tomber entre les deux ouvertures encadrantes. Ici entre 0,125 et 0,25 mm : le contrôle passe, et il attraperait immédiatement une erreur de signe ou d'ordre.
Limite : Elle suppose une variation régulière entre deux tamis. Sur un sol comportant une discontinuité granulométrique — un sol à granulométrie discontinue — la courbe peut présenter un palier que l'interpolation lisse sans le signaler.

\[ \begin{aligned} \log D &= \log D_1 + \dfrac{T - T_1}{T_2 - T_1} \, (\log D_2 - \log D_1) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que le diamètre progresse géométriquement le long de l'intervalle , et non arithmétiquement. Entre 0,125 et 0,25 mm, le milieu de l'intervalle n'est pas 0,1875 mm mais 0,1768 — la racine du produit des deux bornes. C'est une moyenne géométrique, pas arithmétique , et c'est ce que l'échelle logarithmique impose.

Décomposition des termes :

D : diamètre cherché, unité : mm
D_1, D_2 : ouvertures des deux tamis encadrants, unité : mm
T : tamisat cherché, 10 ou 60, unité : %
T_1, T_2 : tamisats des deux tamis encadrants, unité : %
(T − T₁)/(T₂ − T₁) : position relative dans l'intervalle, unité : sans dimension

Interpolation linéaire en diamètre, pour comparaison

Fournit le terme de comparaison qui chiffre l'erreur de méthode.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un avertissement de principe ne convainc personne, alors qu'un écart chiffré convainc immédiatement. Cette relation n'est pas employée pour produire le résultat mais pour mesurer ce que l'autre méthode coûterait — et l'écart obtenu, 3,7% sur le diamètre à dix pour cent, se reporte intégralement sur le coefficient d'uniformité

Contexte de validité : Elle serait valable si la courbe était tracée en échelle arithmétique, ce qui n'est jamais le cas en granulométrie. Elle est donc calculée ici pour être écartée.
Avantage : Sa comparaison avec l'interpolation correcte donne un ordre de grandeur de l'erreur de méthode, information qu'aucun raisonnement qualitatif ne fournirait.
Paramètre clé : L'écart entre les deux ouvertures encadrantes. Plus la série de tamis est resserrée, plus les deux interpolations se rapprochent — à la limite d'une série continue, elles coïncideraient.
Vérification : Le résultat linéaire doit être systématiquement supérieur au résultat logarithmique, la corde en diamètre passant au-dessus de la corde en logarithme. Le signe de l'écart est donc prévisible.
Limite : Elle ne mesure qu'une composante de l'incertitude, celle du mode d'interpolation. L'hypothèse de linéarité elle-même, sur une octave, en est une autre et n'est pas chiffrée ici.

\[ \begin{aligned} D_{lin} &= D_1 + \dfrac{T - T_1}{T_2 - T_1} \, (D_2 - D_1) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit ce qu'on obtiendrait en supposant la courbe droite sur un graphique qu'on ne trace pas . L'écart, 3,7% sur le diamètre à dix pour cent, n'est pas une imprécision : c'est un biais systématique, toujours dans le même sens , et donc parfaitement corrigeable pour peu qu'on l'ait identifié.

Décomposition des termes :

D_lin : diamètre par interpolation linéaire, unité : mm
0,14444 : valeur obtenue pour le diamètre à dix pour cent, unité : mm
0,13923 : valeur correcte, par interpolation logarithmique, unité : mm
3,74 : écart relatif entre les deux, unité : %
2,26 : écart correspondant sur le diamètre à soixante pour cent, unité : %

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le diamètre à dix pour cent se situe entre les tamis de 0,125 et 0,25 mm. Une interpolation donne 0,125 + (3,5/22,5) × 0,125 = 0,144 mm, valeur qu'on retient. »

L'approche d'ingénieur : Cette interpolation est linéaire en diamètre, alors que la courbe est tracée en échelle logarithmique. En interpolant dans la bonne variable, on obtient 0,13923 mm au lieu de 0,14444 — soit 3,74% d'écart, entièrement reporté sur le coefficient d'uniformité puisque ce diamètre en est le dénominateur

L'erreur : Elle interpole dans une variable différente de celle du graphique. L'incohérence est invisible sur le résultat, qui reste plausible, et elle est systématique — elle ne se compense jamais.
La bonne méthode : Interpoler en logarithme du diamètre, conformément à l'échelle du tracé et à la progression géométrique des tamis. Deux logarithmes et une exponentielle, sur n'importe quelle calculatrice.
L'astuce de pro : Vérifiez le sens de l'écart : l'interpolation linéaire donne toujours une valeur supérieure, la corde en diamètre passant au-dessus de la corde en logarithme. Si vous trouvez l'inverse, c'est qu'une erreur de signe s'est glissée quelque part.
Le moyen mnémotechnique : On interpole dans la variable du graphique. L'axe est logarithmique, l'interpolation aussi.
L'impact direct : Un diamètre à dix pour cent surestimé de 3,7% sous-estime d'autant le coefficient d'uniformité. Sur un sol proche du seuil de six, cela peut faire basculer un matériau de bien gradué à mal gradué, avec les conséquences que cela emporte sur son acceptation en remblai.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Ouvertures de tamis D : en mm
Tamisats T : en %
Position relative dans l'intervalle : sans dimension
Logarithmes : décimaux ou népériens indifféremment, pourvu qu'ils soient les mêmes partout
Diamètres caractéristiques obtenus : en mm

Un point mérite d'être signalé, car il surprend souvent : la base du logarithme n'a aucune importance dans cette interpolation, pourvu qu'elle soit la même dans les trois occurrences. Décimal ou népérien, le rapport des différences de logarithmes est le même , puisque le changement de base introduit un facteur multiplicatif qui se simplifie. C'est une propriété rassurante : l'un des rares endroits en géotechnique où le choix entre log et ln n'a pas de conséquence — à condition, précisément, de ne pas les mélanger.,

1. Résolution Numérique Diamètre correspondant à dix pour cent de tamisat

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le diamètre dit efficace, celui qui se corrèle à la perméabilité du sol, et le dénominateur du coefficient d'uniformité.

Méthodologie du calcul :

On repère les deux tamis dont les tamisats encadrent dix pour cent : celui de 0,125 mm à 6,5% et celui de 0,25 mm à 29,0%. La position relative vaut \( (10 - 6{,}5)/(29{,}0 - 6{,}5) = 3{,}5/22{,}5 = 0{,}1556 \). On interpole ensuite en logarithme du diamètre, puis on repasse à l'antilogarithme.

Substitution : D₁ = 0,125 mm à T₁ = 6,5% ; D₂ = 0,25 mm à T₂ = 29,0% ; tamisat cherché 10%.
Piège évité : Ne pas interpoler linéairement en diamètre. Le résultat serait 0,14444 mm au lieu de 0,13923, soit 3,74% de trop — écart systématique, toujours dans le même sens, et qui se reporte intégralement sur le coefficient d'uniformité.
Hypothèse validée : La courbe est assimilable à une droite sur le graphique semi-logarithmique entre les deux tamis. L'hypothèse porte sur une octave entière, ce qui est large : une série de tamis de raison racine de deux la rendrait deux fois moins engageante.
Vérification croisée : Le résultat doit tomber entre 0,125 et 0,25 mm, ce qui est le cas. Et il doit être proche de la borne inférieure, puisque la position relative n'est que de 15,6% de l'intervalle.
Finalité : Ce diamètre est le dénominateur du coefficient d'uniformité et l'un des trois termes du coefficient de courbure.

\[ \begin{aligned} D_{10} &= 10^{\,\log 0{,}125 \;+\; 0{,}1556 \,(\log 0{,}25 - \log 0{,}125)} \\ &= 10^{\,-0{,}903090 \;+\; 0{,}1556 \times 0{,}301030} \\ &= 10^{\,-0{,}903090 \;+\; 0{,}046827} \\ &= 10^{\,-0{,}856263} \\ &= \mathbf{0{,}13923} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,13923 mm. La position relative n'étant que de 15,6% de l'intervalle, le résultat est proche du tamis inférieur — ce qui est cohérent, puisque le tamisat cherché, dix pour cent, est lui-même proche des 6,5% du tamis de 0,125 mm. L'interpolation linéaire aurait donné 0,14444 mm, soit 3,74% de plus , et cet écart n'est pas aléatoire : la corde en diamètre passe toujours au-dessus de la corde en logarithme .

Ordre de grandeur : Un diamètre efficace de l'ordre de 0,14 mm caractérise un sable fin. Il se corrèle à une perméabilité de l'ordre de 10⁻⁴ m/s par les relations empiriques usuelles, ce qui est cohérent avec un sable propre.
Impact sur la suite : Il sera le dénominateur du coefficient d'uniformité, donc toute erreur sur lui s'y reporte intégralement et en sens inverse.
Cohérence : Le résultat est encadré par les deux ouvertures de tamis et se situe du bon côté de leur milieu géométrique, 0,1768 mm : la position relative de 15,6% le place bien dans la première moitié.
Attention : Ce diamètre repose sur une interpolation entre deux tamis distants d'une octave. Sa précision réelle est donc limitée par l'hypothèse de linéarité sur cet intervalle, plus que par le calcul lui-même.
Comparaison : La source de cet exercice lit graphiquement 0,14 mm, valeur très proche mais arrondie à deux décimales — arrondi dont la question 4 chiffrera le coût sur les coefficients.

Remarque pédagogique : Quand deux méthodes d'interpolation diffèrent systématiquement, il ne suffit pas de savoir laquelle est correcte : il faut savoir de combien elles diffèrent, pour juger si le choix importe. Ici il importe.

Diamètre correspondant à soixante pour cent de tamisat

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le numérateur du coefficient d'uniformité, et le diamètre représentatif de la fraction grossière du sol.

Méthodologie du calcul :

Même démarche, entre les tamis de 0,5 mm à 57,8% et de 1 mm à 84,1%. La position relative vaut \( (60 - 57{,}8)/(84{,}1 - 57{,}8) = 2{,}2/26{,}3 = 0{,}0837 \), soit à peine plus de huit pour cent de l'intervalle : le résultat sera très proche du tamis de 0,5 mm.

Substitution : D₁ = 0,5 mm à T₁ = 57,8% ; D₂ = 1 mm à T₂ = 84,1% ; tamisat cherché 60%.
Piège évité : Ne pas se tromper d'intervalle. Le tamisat de 57,8% au tamis de 0,5 mm est juste inférieur à soixante : c'est bien entre 0,5 et 1 mm qu'il faut interpoler, et non entre 0,25 et 0,5.
Hypothèse validée : Même hypothèse de linéarité sur le graphique semi-logarithmique. Elle est ici moins engageante que pour le diamètre à dix pour cent, la position relative étant faible et le résultat très proche d'un tamis mesuré.
Vérification croisée : Le résultat, 0,52985 mm, est très proche de 0,5 mm, ce qui est cohérent avec une position relative de seulement 8,4%. L'interpolation linéaire donnerait 0,54183, soit 2,26% de plus.
Finalité : Ce diamètre complète, avec le précédent, le calcul du coefficient d'uniformité à la question 3.

\[ \begin{aligned} D_{60} &= 10^{\,\log 0{,}5 \;+\; 0{,}0837 \,(\log 1 - \log 0{,}5)} \\ &= 10^{\,-0{,}301030 \;+\; 0{,}0837 \times 0{,}301030} \\ &= 10^{\,-0{,}301030 \;+\; 0{,}025186} \\ &= 10^{\,-0{,}275844} \\ &= \mathbf{0{,}52985} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,52985 mm, à peine plus que l'ouverture du tamis de 0,5 mm. Le tamisat y valait déjà 57,8%, très proche des soixante cherchés : l'interpolation ne fait donc qu'un travail marginal, et le résultat est d'autant plus fiable qu'il s'écarte peu d'une valeur mesurée . L'écart à l'interpolation linéaire n'est ici que de 2,26%, contre 3,74% pour le diamètre à dix pour cent.

Ordre de grandeur : Un diamètre à soixante pour cent de l'ordre de 0,53 mm place le matériau dans les sables moyens. Rapporté au diamètre efficace, il donnera un coefficient d'uniformité modeste.
Impact sur la suite : Il est le numérateur du coefficient d'uniformité, calculé à la question 3, et le troisième terme du coefficient de courbure.
Cohérence : Le diamètre à soixante pour cent est bien supérieur à celui à dix pour cent, comme l'exige une distribution cumulée croissante. L'ordre des trois diamètres sera vérifié à la question 3.
Attention : L'écart entre les deux modes d'interpolation dépend de la position relative dans l'intervalle : il est maximal au milieu et s'annule aux bornes. C'est pourquoi il vaut 3,74% ici et seulement 2,26% là.
Comparaison : La source lit graphiquement 0,52 mm, soit 1,9% en dessous de la valeur interpolée — écart du même ordre que celui de l'arrondi à deux décimales.

Remarque pédagogique : Un résultat d'interpolation est d'autant plus fiable qu'il s'écarte peu d'un point mesuré. Ici le diamètre à soixante pour cent est presque une mesure, celui à dix pour cent presque une extrapolation.

RÉSULTAT FINAL

D₁₀ et D₆₀ = 0,13923 et 0,52985 mm — par interpolation logarithmique, contre 0,14444 en linéaire

« On interpole dans la variable du graphique : l'axe est logarithmique, l'interpolation aussi. »

Question 3 : Diamètre à trente pour cent et coefficient d'uniformité

Dans la tête de l'ingénieur

« Le troisième diamètre complète le jeu, et le premier coefficient d'étalement peut être formé. Le coefficient d'uniformité compare le gros grain représentatif au petit. Sa lecture est immédiate : plus il est grand, plus l'éventail des tailles est large . C'est aussi celui des deux indicateurs qui résiste le mieux aux imprécisions, pour une raison qui apparaîtra à la question suivante. »

Observation : Le diamètre à trente pour cent se situe entre les tamis de 0,25 et 0,5 mm, et très près du premier : le tamisat y vaut déjà 29,0%, à un point seulement de la valeur cherchée.
Analyse du risque : Un coefficient d'uniformité inférieur à six qualifie un sable de mal gradué , ce qui a des conséquences directes : compactage médiocre, perméabilité forte, sensibilité à l'érosion interne. Un tel matériau peut être refusé en remblai ou exiger un traitement, et le classement se joue sur la valeur exacte de deux diamètres interpolés.
Choix stratégique : Interpoler le troisième diamètre par la même méthode que les deux précédents, puis former le rapport du diamètre à soixante pour cent à celui à dix pour cent et le comparer au seuil usuel.
Alternative : Estimer le coefficient d'uniformité directement sur la pente de la courbe entre deux tamis. Écarté : la pente locale dépend de l'intervalle choisi, alors que le coefficient est défini sur deux quantiles précis. Deux opérateurs choisissant des intervalles différents obtiendraient des valeurs différentes.
Objectif visé : Obtenir le troisième diamètre caractéristique et le premier des deux coefficients d'étalement, avec son verdict par rapport au seuil.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

D30 = 0,25609 mm · Cu = 3,8055 · seuil de bien graduation à 6 : non atteint

Rappel Théorique : ce que le coefficient d'uniformité décrit

Un sol dont tous les grains ont la même taille se compacte mal : les grains ne peuvent pas s'imbriquer, et il subsiste toujours des vides entre eux. Un sol dont les tailles s'étalent se compacte au contraire très bien, les petits grains venant occuper les vides laissés par les gros. Le coefficient d'uniformité mesure cet étalement, et c'est pourquoi il gouverne l'aptitude au compactage.

La définition : rapport du diamètre à soixante pour cent à celui à dix pour cent. Il vaut un pour un sol dont tous les grains auraient exactement la même taille, et croît sans limite avec l'étalement. Le seuil de six sépare conventionnellement les sables uniformes des sables étalés.
Pourquoi ces deux quantiles : le choix de dix et soixante pour cent est conventionnel, mais il n'est pas arbitraire — le premier caractérise la fraction fine, qui gouverne la perméabilité, le second la fraction grossière, qui porte les efforts. Le rapport confronte donc les deux extrémités utiles de la distribution.
Le lien avec le compactage : un sol étalé atteint une densité sèche plus élevée sous la même énergie, parce que les vides laissés par les gros grains sont comblés par les fins. Un sol uniforme plafonne à une densité plus faible, quelle que soit l'énergie dépensée.
Le lien avec la perméabilité : elle est gouvernée par la fraction fine, donc par le diamètre efficace. Un sol uniforme et fin sera peu perméable, un sol uniforme et grossier très perméable — le coefficient d'uniformité seul ne suffit donc pas à la prédire.
Le lien avec l'érosion interne : un sol uniforme n'a pas de fraction intermédiaire pour retenir ses fines. Sous un gradient hydraulique, celles-ci migrent entre les gros grains et le sol se déstructure. C'est le mécanisme de la suffusion, et il concerne directement les remblais de barrage et les digues.

Équations Fondamentales

Deux relations : la même interpolation qu'à la question précédente, puis le rapport qui définit le coefficient.

Diamètre correspondant à trente pour cent de tamisat

Complète le jeu des trois diamètres caractéristiques.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'il est le terme central du coefficient de courbure, celui qui décrit la forme de la courbe entre ses deux extrémités. Sans lui, on saurait de combien les tailles s'étalent, mais pas si l'étalement est régulier ou s'il présente un creux ou une bosse

Contexte de validité : Mêmes conditions que pour les deux autres diamètres : linéarité sur le graphique semi-logarithmique entre les deux tamis encadrants.
Avantage : L'interpolation est ici presque triviale, le tamisat cherché n'étant qu'à un point du tamisat mesuré. Le résultat est donc quasiment une mesure.
Paramètre clé : La position relative, très faible ici — 3,5% de l'intervalle — ce qui rend le résultat particulièrement fiable et l'écart entre modes d'interpolation minimal.
Vérification : Le diamètre obtenu doit être compris entre ceux à dix et soixante pour cent. L'ordre des trois se vérifie d'un regard.
Limite : Comme les deux autres, il repose sur l'hypothèse de linéarité entre tamis. Ici cette hypothèse pèse très peu, le point cherché étant presque confondu avec un point mesuré.

\[ \begin{aligned} \log D_{30} &= \log 0{,}25 + \dfrac{30 - 29{,}0}{57{,}8 - 29{,}0} \, (\log 0{,}5 - \log 0{,}25) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Il dit où se situe le tiers inférieur de la distribution . Trente pour cent de la masse est plus fine que 0,256 mm — soit à peine plus que l'ouverture du tamis de 0,25 mm, sur lequel le tamisat valait déjà 29%. La courbe est donc très raide dans cette zone , ce qui confirme l'uniformité du matériau.

Décomposition des termes :

D_30 : diamètre à trente pour cent de tamisat, unité : mm
0,25 et 0,5 : ouvertures des deux tamis encadrants, unité : mm
29,0 et 57,8 : tamisats correspondants, unité : %
0,0347 : position relative dans l'intervalle, unité : sans dimension
0,25609 : valeur obtenue, unité : mm

Coefficient d'uniformité

Mesure l'étalement de la distribution des tailles de grains.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un seul nombre résume ce que la courbe montre : le sol contient-il un large éventail de tailles, ou toutes ses particules ont-elles à peu près la même ? De cette réponse dépendent l'aptitude au compactage , la perméabilité et la sensibilité à l'érosion interne — trois propriétés déterminantes en remblai

Contexte de validité : Valable pour tout sol dont les deux quantiles sont déterminables, c'est-à-dire dont la courbe couvre au moins de dix à soixante pour cent de tamisat. Sur un sol très fin, le diamètre à dix pour cent tomberait hors de la colonne de tamis.
Avantage : Sans dimension, il se compare d'un sol à l'autre et d'une étude à l'autre. C'est le premier chiffre qu'un géotechnicien regarde sur une courbe granulométrique.
Paramètre clé : Le diamètre à dix pour cent au dénominateur, qui est aussi le moins bien déterminé des trois puisqu'il résulte de l'interpolation la plus engageante. Toute erreur sur lui se reporte intégralement.
Vérification : Le coefficient doit être supérieur ou égal à un par construction, le diamètre à soixante pour cent étant nécessairement le plus grand. Une valeur inférieure signalerait une inversion des deux termes.
Limite : Il ne dit rien de la forme de la courbe entre les deux quantiles. Deux sols de même coefficient d'uniformité peuvent avoir des distributions très différentes — d'où la nécessité du second coefficient.

\[ \begin{aligned} C_u &= \dfrac{D_{60}}{D_{10}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Il dit combien de fois le gros grain représentatif est plus gros que le petit . Une valeur de 3,8 signifie que l'essentiel du matériau tient dans un rapport de taille inférieur à quatre — c'est très peu . Un sol bien gradué présente couramment des rapports de dix à cent, un tout-venant de carrière peut dépasser mille.

Décomposition des termes :

C_u : coefficient d'uniformité, unité : sans dimension
D_60 : diamètre à soixante pour cent, 0,52985, unité : mm
D_10 : diamètre à dix pour cent, 0,13923, unité : mm
6 : seuil conventionnel de bien graduation pour un sable, unité : sans dimension
3,8055 : valeur obtenue, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le coefficient d'uniformité vaut environ 3,7, ce qui est proche de la valeur exacte. L'écart avec 3,8 vient des arrondis de lecture et n'a pas de conséquence sur le classement, qui reste le même. »

L'approche d'ingénieur : L'affirmation est vraie ici, et elle ne l'est que par chance : le seuil de classement est à 6, très loin des deux valeurs. Si le sol avait présenté un coefficient voisin de six, un écart de 2,4% aurait suffi à faire basculer le classement — et rien dans le calcul n'aurait signalé que la décision reposait sur un arrondi

L'erreur : Elle juge la gravité d'un écart sans le rapporter à la distance au seuil. Un écart de trois pour cent est négligeable loin d'une frontière de classement et décisif à son voisinage : ce n'est pas l'écart qui compte, c'est sa position relative au seuil.
La bonne méthode : Rapporter systématiquement l'incertitude d'un résultat à sa distance au seuil qui décide. Si l'écart est plus petit que la distance, le classement est robuste ; sinon il ne l'est pas, et il faut le dire.
L'astuce de pro : Calculez la distance relative au seuil avant de vous inquiéter de la précision : ici le coefficient vaut 3,81 pour un seuil à 6, soit 37% en dessous. Aucun arrondi raisonnable ne peut combler un tel écart, et l'on peut conclure sereinement.
Le moyen mnémotechnique : Un écart n'est petit ou grand que par rapport à la distance au seuil qui décide.
L'impact direct : Sur un matériau proche du seuil, l'acceptation en remblai routier se jouerait sur le mode d'interpolation choisi. Deux laboratoires appliquant l'un l'interpolation logarithmique et l'autre la linéaire rendraient des verdicts opposés sur le même échantillon.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Diamètres caractéristiques : en mm
Coefficient d'uniformité : rapport de deux mm, donc sans dimension
Position relative dans l'intervalle d'interpolation : sans dimension
Seuil de bien graduation pour un sable : 6
Distance relative au seuil : en %

Le coefficient d'uniformité est un rapport de deux longueurs : il est donc sans dimension, et sa valeur ne dépend pas de l'unité dans laquelle les diamètres sont exprimés. C'est une propriété utile en pratique — on peut le calculer indifféremment en millimètres ou en micromètres — et c'est aussi ce qui permet de le comparer d'un sol à l'autre sans précaution. La même remarque vaudra pour le coefficient de courbure, qui est un rapport de carrés de longueurs sur un produit de longueurs : les dimensions s'y compensent également.,

1. Résolution Numérique Diamètre correspondant à trente pour cent de tamisat

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il est le terme central du coefficient de courbure, celui qui décrit la forme de la courbe entre ses deux extrémités.

Méthodologie du calcul :

Même interpolation logarithmique, entre les tamis de 0,25 mm à 29,0% et de 0,5 mm à 57,8%. La position relative vaut \( (30 - 29{,}0)/(57{,}8 - 29{,}0) = 1{,}0/28{,}8 = 0{,}0347 \), soit trois virgule cinq pour cent de l'intervalle seulement : le résultat sera presque confondu avec l'ouverture du tamis inférieur.

Substitution : D₁ = 0,25 mm à T₁ = 29,0% ; D₂ = 0,5 mm à T₂ = 57,8% ; tamisat cherché 30%.
Piège évité : Ne pas arrondir la position relative à zéro sous prétexte qu'elle est faible. Un pour cent de tamisat représente ici un peu plus d'un demi-pour-cent de diamètre : négligeable sur ce diamètre, mais il entre au carré dans le coefficient de courbure.
Hypothèse validée : Même hypothèse de linéarité, ici très peu engageante puisque le point cherché est presque confondu avec un point mesuré.
Vérification croisée : Le résultat doit être compris entre les deux ouvertures encadrantes et très proche de la plus petite. Avec 0,25609 mm contre 0,25, le contrôle passe.
Finalité : Ce diamètre complète le jeu des trois et permettra le calcul du coefficient de courbure à la question 4.

\[ \begin{aligned} D_{30} &= 10^{\,\log 0{,}25 \;+\; 0{,}0347 \times 0{,}301030} \\ &= 10^{\,-0{,}602060 \;+\; 0{,}010446} \\ &= 10^{\,-0{,}591614} \\ &= \mathbf{0{,}25609} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,25609 mm, à peine plus que l'ouverture du tamis de 0,25 mm sur lequel le tamisat valait déjà 29,0%. C'est le plus fiable des trois diamètres , puisque l'interpolation n'y fait qu'un travail marginal — trois et demi pour cent d'un intervalle . L'écart entre les deux modes d'interpolation n'y atteint d'ailleurs que 1,01%, contre 3,74% pour le diamètre à dix pour cent.

Ordre de grandeur : Que les trois diamètres — 0,139, 0,256 et 0,530 mm — soient dans un rapport voisin de deux d'un quantile à l'autre traduit une distribution resserrée. Sur un sol bien gradué, les écarts seraient bien plus marqués.
Impact sur la suite : Il entre au carré dans le coefficient de courbure, ce qui doublera l'effet de toute imprécision sur lui — point que la question 4 exploitera.
Cohérence : L'ordre des trois diamètres est respecté : 0,13923 < 0,25609 < 0,52985 mm, comme l'exige une distribution cumulée croissante.
Attention : La fiabilité de ce diamètre ne compense pas sa position au carré dans le coefficient de courbure. Une bonne précision sur une grandeur élevée au carré reste amplifiée d'un facteur deux.
Comparaison : La source lit graphiquement 0,26 mm, soit 1,5% au-dessus de la valeur interpolée — écart faible en soi, mais qui comptera double dans le coefficient de courbure.

Remarque pédagogique : Un diamètre presque mesuré est plus sûr qu'un diamètre interpolé au milieu d'un intervalle. Le noter permet de savoir, à la fin, lequel des trois porte le plus d'incertitude.

Coefficient d'uniformité

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le premier des deux indicateurs d'étalement, et celui qui gouverne l'aptitude au compactage et la sensibilité à l'érosion interne.

Méthodologie du calcul :

On rapporte le diamètre à soixante pour cent à celui à dix pour cent. Le résultat est sans dimension et se compare au seuil conventionnel de six, en deçà duquel un sable est dit uniforme ou mal gradué.

Substitution : D₆₀ = 0,52985 mm et D₁₀ = 0,13923 mm, obtenus à la question 2.
Piège évité : Ne pas inverser le rapport. Le coefficient d'uniformité est nécessairement supérieur ou égal à un ; une valeur de 0,26 signalerait que les deux termes ont été intervertis.
Hypothèse validée : Les deux diamètres ont été obtenus par la même méthode d'interpolation, condition pour que leur rapport soit interprétable. Employer une interpolation logarithmique pour l'un et linéaire pour l'autre introduirait un biais de méthode dans le résultat.
Vérification croisée : Contrôle par les tamis encadrants : le coefficient est nécessairement compris entre 0,52985/0,25 = 2,12 et 0,52985/0,125 = 4,24. La valeur obtenue, 3,81, tombe dans cet encadrement.
Finalité : Ce coefficient est le premier des deux critères de classification ; le second sera calculé à la question 4.

\[ \begin{aligned} C_u &= \dfrac{D_{60}}{D_{10}} = \dfrac{0{,}52985}{0{,}13923} \\ &= \mathbf{3{,}8055} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

3,81, très en deçà du seuil de six. Le sable est donc uniforme : l'essentiel de sa masse tient dans un rapport de taille inférieur à quatre. Cela annonce un compactage médiocre — les grains, tous de même calibre, ne peuvent pas s'imbriquer — une perméabilité forte, et une sensibilité à l'érosion interne faute de fraction intermédiaire pour retenir les fines . Le classement se joue ici sans ambiguïté : 3,81 pour un seuil à 6, soit 37% en dessous, et aucun arrondi raisonnable ne peut combler un tel écart.

Ordre de grandeur : Un coefficient de 3,8 est typique d'un sable de dune ou de plage, trié par le vent ou par les vagues. Un tout-venant de carrière dépasse couramment 50, un sol alluvial bien gradué se situe entre 10 et 30.
Impact sur la suite : Premier critère de classification non satisfait. Le second, calculé à la question 4, confirmera ou nuancera le verdict.
Cohérence : Le résultat tombe dans l'encadrement fourni par les tamis, entre 2,12 et 4,24, ce qui valide au passage l'interpolation.
Attention : Ce coefficient ne dit rien de la forme de la courbe entre les deux quantiles. Deux sols de même coefficient d'uniformité peuvent avoir des distributions très différentes, l'une régulière et l'autre présentant un creux — d'où la nécessité du coefficient de courbure.
Comparaison : Avec les diamètres lus graphiquement à deux décimales, le coefficient vaudrait 3,71 au lieu de 3,81, soit 2,4% d'écart — sans conséquence ici, la distance au seuil étant de 37%.

Remarque pédagogique : Encadrer un résultat par les valeurs qu'il prendrait aux bornes de l'interpolation coûte deux divisions. C'est le seul moyen de savoir si l'interpolation a fait un travail marginal ou décisif.

RÉSULTAT FINAL

C_u = 3,8055 sans dimension — seuil de bien graduation à 6, non atteint

« Un rapport de taille inférieur à quatre entre le gros grain et le petit : c'est un sable trié, non un sable étalé. »

Question 4 : Coefficient de courbure, et ce que l'essai ne dit pas

Dans la tête de l'ingénieur

« Le second coefficient achève la classification. Il est aussi le plus fragile des deux, pour une raison purement algébrique. C'est un rapport de carrés : l'erreur relative sur le diamètre central y compte double, et les trois erreurs s'y additionnent au lieu de se compenser. Reste ensuite à examiner ce que la colonne de tamis employée permet réellement de conclure — et la réponse est décevante. »

Observation : Le tamis le plus fin de la colonne ouvre à 0,125 mm, alors que la séparation des fines se fait conventionnellement à 0,063 mm. Ce qui tombe au fond n'est donc pas la teneur en fines.
Analyse du risque : Les 6,5% recueillis au fond contiennent à la fois des fines véritables et des sables très fins, dans une proportion inconnue. La teneur en fines réelle est donc comprise entre zéro et 6,5%, et le seuil de classification se situe à cinq pour cent : la borne encadre le seuil , et deux classes restent possibles. Un seul tamis supplémentaire aurait tranché.
Choix stratégique : Calculer le coefficient de courbure, confronter les deux coefficients aux critères de bien graduation, puis chiffrer l'effet d'une lecture graphique et établir l'intervalle de la teneur en fines.
Alternative : Conclure sur la seule base des deux coefficients, en ignorant la question des fines. Écarté : la classification des sols grenus repose sur les deux éléments, et omettre le second revient à donner un classement partiel en le présentant comme complet.
Objectif visé : Achever la classification, et dire précisément ce que cet essai établit et ce qu'il laisse indéterminé.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Cc = 0,8890 hors de l'intervalle [1 ; 3] · sable mal gradué · lecture graphique : 4,45% d'écart sur Cc contre 2,40% sur Cu · fines entre 0 et 6,5%

Rappel Théorique : pourquoi le coefficient de courbure est fragile

Dans un produit ou un quotient, les erreurs relatives s'additionnent ; et une puissance les multiplie par son exposant. Le coefficient de courbure faisant intervenir le carré du diamètre central, l'erreur relative sur celui-ci y compte double — d'où une amplification totale voisine de deux fois celle du coefficient d'uniformité.

La définition : carré du diamètre à trente pour cent, rapporté au produit des deux autres. Il vaut un si le diamètre central est exactement la moyenne géométrique des deux extrêmes, c'est-à-dire si la courbe est régulière entre eux.
Ce qu'il détecte : un creux ou une bosse dans la distribution. Un coefficient inférieur à un signale un déficit de tailles intermédiaires, supérieur à trois un excès. Entre les deux, la courbe est réputée régulière.
La propagation des erreurs : l'erreur relative sur le coefficient vaut deux fois celle sur le diamètre central, plus celle sur chacun des deux autres. Avec une lecture à deux décimales, cela donne huit virgule quatre pour cent contre quatre virgule cinq pour le coefficient d'uniformité.
Les deux critères de bien graduation : pour un sable, coefficient d'uniformité au moins égal à six ET coefficient de courbure compris entre un et trois. Les deux doivent être satisfaits simultanément ; un seul suffit à qualifier le sol de mal gradué.
Ce que la classification exige en plus : la teneur en fines, c'est-à-dire la fraction passant à 0,063 mm. En deçà de cinq pour cent le sol est dit propre et son classement repose sur les deux coefficients ; au-delà, un symbole supplémentaire s'y ajoute pour rendre compte de la nature des fines.

Équations Fondamentales

Deux relations : le coefficient lui-même, puis la propagation d'erreur qui en mesure la fragilité.

Coefficient de courbure

Détecte les irrégularités de la distribution entre ses deux extrémités.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le coefficient d'uniformité ne dit rien de la forme de la courbe. Deux sols de même étalement peuvent avoir l'un une distribution régulière, l'autre un creux marqué au milieu — et ce creux compromet le compactage tout autant qu'un défaut d'étalement, en privant le sol de ses tailles intermédiaires

Contexte de validité : Valable pour tout sol dont les trois quantiles sont déterminables. Il perd son sens sur un sol dont la courbe ne couvrirait pas l'intervalle de dix à soixante pour cent.
Avantage : Il complète le coefficient d'uniformité sans données supplémentaires, à partir d'un troisième quantile lu sur la même courbe.
Paramètre clé : Le diamètre à trente pour cent, qui intervient au carré. C'est ce qui fait toute la fragilité de l'indicateur, et ce qui impose une détermination précise plutôt qu'une lecture graphique.
Vérification : Le coefficient doit être positif et, pour un sol de distribution régulière, voisin de un. Une valeur très éloignée de un signale soit une irrégularité réelle, soit une erreur sur l'un des trois diamètres.
Limite : Il ne localise pas l'irrégularité qu'il détecte. Un coefficient inférieur à un dit qu'il manque des tailles intermédiaires, sans dire lesquelles — seule la lecture de la courbe le montre.

\[ \begin{aligned} C_c &= \dfrac{D_{30}^2}{D_{10} \times D_{60}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Il compare le diamètre central à la moyenne géométrique des deux extrêmes . S'ils coïncident, le coefficient vaut un et la courbe est régulière. Ici il vaut 0,889 : le diamètre à trente pour cent est un peu trop petit pour la régularité, ce qui traduit un léger déficit de tailles intermédiaires.

Décomposition des termes :

C_c : coefficient de courbure, unité : sans dimension
D_30 : diamètre à trente pour cent, 0,25609, unité : mm
D_10 × D_60 : produit des deux diamètres extrêmes, 0,073771, unité : mm²
[1 ; 3] : intervalle de bien graduation, unité : sans dimension
0,8890 : valeur obtenue, unité : sans dimension

Propagation de l'erreur relative

Chiffre l'amplification des imprécisions de lecture sur chacun des deux coefficients.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle explique pourquoi les deux coefficients ne méritent pas la même confiance, et pourquoi la lecture graphique — parfaitement acceptable pour l'un — ne l'est pas pour l'autre . L'exposant deux sur le diamètre central n'est pas un détail d'écriture : il double la contribution de ce terme à l'erreur

Contexte de validité : Valable pour de petites erreurs relatives, ce qui est le cas ici — quelques pour cent au plus. Pour des erreurs plus grandes, la propagation linéarisée cesserait d'être exacte.
Avantage : Elle permet de prévoir l'amplification avant de faire le calcul, et donc de décider si la précision de la méthode employée est suffisante.
Paramètre clé : L'exposant du diamètre central, qui vaut deux. C'est lui, et lui seul, qui fait la différence entre les deux coefficients.
Vérification : L'amplification prévue doit être cohérente avec l'écart observé entre valeurs exactes et valeurs lues. Ici 8,4% prévus et 4,45% observés : l'écart observé est inférieur, les erreurs de lecture s'étant partiellement compensées.
Limite : Elle donne une borne, non l'écart effectif. Les erreurs peuvent se compenser, comme ici, ou se cumuler — la propagation décrit le pire cas.

\[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta C_c}{C_c} &= 2\dfrac{\Delta D_{30}}{D_{30}} + \dfrac{\Delta D_{10}}{D_{10}} + \dfrac{\Delta D_{60}}{D_{60}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que le diamètre central pèse deux fois plus lourd que les autres dans l'erreur du coefficient de courbure. C'est une conséquence directe de l'exposant, et cela signifie que soigner la détermination de ce diamètre-là vaut deux fois soigner les autres — information utile quand on doit choisir où porter l'effort.

Décomposition des termes :

ΔC_c/C_c : erreur relative sur le coefficient de courbure, unité : %
ΔD/D : erreurs relatives sur chacun des trois diamètres, unité : %
2 : exposant du diamètre central, facteur d'amplification, unité : sans dimension
8,38 : amplification prévue pour une lecture à ±0,005 mm, unité : %
4,53 : amplification correspondante sur le coefficient d'uniformité, unité : %

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Les diamètres lus sur la courbe sont 0,14, 0,26 et 0,52 mm. Le coefficient de courbure vaut donc 0,26² divisé par le produit de 0,14 et 0,52, soit 0,93 — valeur qui, comme la valeur exacte, se situe hors de l'intervalle de bien graduation. »

L'approche d'ingénieur : Le verdict est le même, et c'est heureux, mais l'écart entre 0,93 et la valeur exacte de 0,889 atteint 4,45% — soit près du double de celui observé sur le coefficient d'uniformité, 2,40%. La cause est algébrique : le coefficient de courbure est un rapport de carrés, et l'erreur sur le diamètre central y compte double

L'erreur : Elle applique la même précision de lecture aux deux coefficients sans remarquer qu'ils ne l'amplifient pas de la même façon. Une lecture graphique acceptable pour l'un ne l'est pas nécessairement pour l'autre.
La bonne méthode : Examiner la forme algébrique d'un indicateur avant de décider de la précision nécessaire à ses données d'entrée. Les exposants et les produits amplifient, les moyennes atténuent.
L'astuce de pro : Retenez la règle générale : dans un produit ou un quotient, les erreurs relatives s'additionnent, et une puissance les multiplie par son exposant. Elle permet de prévoir l'amplification avant tout calcul, et donc de savoir si la méthode employée suffit.
Le moyen mnémotechnique : Un carré double l'erreur relative. Ce qui est élevé au carré doit être mesuré deux fois mieux.
L'impact direct : Sur un sol dont le coefficient de courbure serait voisin de un — frontière de bien graduation — un écart de quatre pour cent ferait basculer le classement. Deux laboratoires, l'un lisant graphiquement et l'autre interpolant, rendraient des verdicts opposés.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Diamètres caractéristiques : en mm
Coefficient de courbure : mm² divisés par mm², donc sans dimension
Erreurs relatives : rapports sans dimension, exprimés en %
Teneur en fines : fraction de la masse totale, en %
Seuil de séparation des fines : ouverture de tamis, en 0,063 mm

Le coefficient de courbure est le rapport d'un carré de longueur à un produit de deux longueurs : ses dimensions se compensent exactement, et il est donc sans dimension comme le coefficient d'uniformité. Une vérification vaut d'être faite sur cette homogénéité, car elle attrape l'erreur qui consisterait à oublier le carré : sans lui, le rapport aurait la dimension de l'inverse d'une longueur, et sa valeur dépendrait de l'unité choisie — 3,47 en millimètres, 0,00347 en micromètres. Un indicateur dont la valeur change avec l'unité n'est pas un indicateur.,

1. Résolution Numérique Coefficient de courbure

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le second critère de classification, et celui qui détecte les irrégularités que le coefficient d'uniformité ne voit pas.

Méthodologie du calcul :

On élève au carré le diamètre à trente pour cent et l'on divise par le produit des deux autres. Le résultat est sans dimension , les dimensions se compensant exactement, et il se compare à l'intervalle de un à trois qui caractérise une distribution régulière.

Substitution : D₃₀ = 0,25609 mm, D₁₀ = 0,13923 mm et D₆₀ = 0,52985 mm.
Piège évité : Ne pas oublier le carré. Sans lui, le rapport aurait la dimension de l'inverse d'une longueur et sa valeur changerait avec l'unité choisie — 3,47 en millimètres, 0,00347 en micromètres. Un indicateur dont la valeur dépend de l'unité n'en est pas un.
Hypothèse validée : Les trois diamètres ont été obtenus par la même méthode d'interpolation, condition pour que leur combinaison soit interprétable.
Vérification croisée : Contrôle d'homogénéité : mm² divisés par mm², donc sans dimension. Et contrôle de plausibilité : le résultat doit être voisin de un pour une distribution régulière, ce qui est presque le cas ici.
Finalité : Ce coefficient achève le diagnostic granulométrique et permet de conclure sur la classification.

\[ \begin{aligned} C_c &= \dfrac{D_{30}^2}{D_{10} \times D_{60}} = \dfrac{0{,}25609^2}{0{,}13923 \times 0{,}52985} \\ &= \dfrac{0{,}065582}{0{,}073771} \\ &= \mathbf{0{,}8890} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,889, légèrement en deçà de l'intervalle de un à trois. Le diamètre à trente pour cent est donc un peu trop petit pour la régularité , ce qui traduit un léger déficit de tailles intermédiaires. Combiné à un coefficient d'uniformité de 3,81, très en deçà du seuil de six, le verdict est sans ambiguïté : sable MAL GRADUÉ . Les deux critères échouent, et ils échouent dans le même sens — celui d'un matériau trié.

Ordre de grandeur : Un coefficient de courbure voisin de un est le cas le plus courant, y compris sur les sols mal gradués : c'est le coefficient d'uniformité qui tranche le plus souvent, celui-ci ne servant qu'à détecter les distributions irrégulières.
Impact sur la suite : Second critère non satisfait. Le sol est donc classé sable mal gradué, avec les conséquences que cela emporte : compactage médiocre, perméabilité forte, sensibilité à l'érosion interne.
Cohérence : Les deux coefficients échouent dans le même sens, ce qui est cohérent avec un matériau trié par un agent naturel — vent ou vagues — plutôt qu'avec un dépôt alluvial mêlé.
Attention : Ce verdict porte sur la seule granulométrie. La classification complète d'un sol grenu exige en outre la teneur en fines, que cet essai ne détermine pas — c'est l'objet du dernier bloc.
Comparaison : Avec les diamètres lus graphiquement à deux décimales, le coefficient vaudrait 0,9286 au lieu de 0,8890, soit 4,45% d'écart — près du double de celui observé sur le coefficient d'uniformité.

Remarque pédagogique : Que le verdict soit le même avec les valeurs lues et les valeurs calculées ne prouve pas que la lecture suffisait. Cela prouve seulement que le sol était loin du seuil, ce qui n'était pas connu d'avance.

Amplification de l'erreur de lecture sur le coefficient de courbure

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elle explique pourquoi les deux coefficients ne méritent pas la même confiance, et donc pourquoi l'interpolation vaut mieux que la lecture pour l'un des deux.

Méthodologie du calcul :

On applique la règle de propagation dans un quotient : les erreurs relatives s'additionnent, et une puissance les multiplie par son exposant. Avec une lecture à deux décimales, l'incertitude est de ±0,005 mm sur chaque diamètre, soit des erreurs relatives de 3,57%, 1,92% et 0,96%. Le diamètre central compte double .

Substitution : Erreurs relatives : 3,57% sur D₁₀, 1,92% sur D₃₀, 0,96% sur D₆₀, pour une lecture à ±0,005 mm.
Piège évité : Ne pas confondre l'amplification prévue et l'écart observé. La propagation donne une borne du pire cas ; les erreurs réelles peuvent se compenser, comme ici où l'écart observé n'est que de 4,45% pour une borne de 8,38%.
Hypothèse validée : Erreurs de lecture indépendantes et de l'ordre de la demi-graduation, soit ±0,005 mm sur une lecture à deux décimales. C'est l'ordre de grandeur d'une lecture soignée sur papier millimétré.
Vérification croisée : L'amplification sur le coefficient d'uniformité, qui ne comporte pas de carré, vaut 3,57 + 0,96 = 4,53% — soit près de la moitié de celle du coefficient de courbure. L'écart observé, 2,40% contre 4,45%, respecte le même rapport.
Finalité : Ce résultat justifie a posteriori le choix de l'interpolation plutôt que de la lecture graphique, et désigne le diamètre à soigner en priorité.

\[ \begin{aligned} \dfrac{\Delta C_c}{C_c} &= 2 \times 1{,}92 + 3{,}57 + 0{,}96 \\ &= 3{,}84 + 4{,}53 \\ &= \mathbf{8{,}38} \text{ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

8,38% contre 4,53% pour le coefficient d'uniformité : l'amplification est presque double , et la cause est entièrement algébrique — le carré sur le diamètre central. En pratique, l'écart observé entre valeurs lues et valeurs calculées suit le même rapport : 4,45% contre 2,40% . Les erreurs se sont partiellement compensées, ce qui est fréquent, mais le rapport entre les deux amplifications, lui, est structurel.

Ordre de grandeur : Une amplification d'un facteur deux sur une erreur de lecture est considérable quand le résultat sert à trancher un classement. Elle justifie à elle seule de préférer un calcul à une lecture.
Impact sur la suite : Conclusion méthodologique : le diamètre à trente pour cent mérite deux fois plus de soin que les deux autres, puisqu'il pèse double dans le coefficient le plus fragile.
Cohérence : Le rapport entre les deux amplifications prévues, 8,38 sur 4,53 soit 1,85, est cohérent avec le rapport des écarts observés, 4,45 sur 2,40 soit 1,85. Les deux voies concordent exactement.
Attention : Cette propagation ne couvre que l'erreur de lecture. L'hypothèse de linéarité de l'interpolation sur une octave entière en est une autre, et elle n'est pas chiffrée ici — elle serait réduite de moitié par une série de tamis de raison racine de deux.
Comparaison : La règle générale — les erreurs relatives s'additionnent dans un quotient, une puissance les multiplie par son exposant — vaut bien au-delà de la granulométrie, et permet de prévoir l'amplification de tout indicateur composé avant de le calculer.

Remarque pédagogique : Examiner la forme algébrique d'un indicateur avant de choisir la précision de ses données d'entrée coûte trente secondes et évite de mesurer trop finement ce qui ne compte pas, ou trop grossièrement ce qui décide.

Teneur en fines : borne supérieure et classes possibles

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la classification d'un sol grenu repose sur deux éléments — les coefficients d'étalement et la teneur en fines — et que le second n'a pas été mesuré.

Méthodologie du calcul :

Le tamis le plus fin de la colonne ouvre à 0,125 mm, alors que la séparation des fines se fait conventionnellement à 0,063 mm. Tout ce qui traverse le tamis de 0,125 mm tombe au fond sans distinction de taille : les 6,5% recueillis contiennent à la fois des fines véritables et des sables très fins, dans une proportion inconnue.

Substitution : Tamisat au tamis de 0,125 mm : 6,5%. Seuil de classification : 5% de passant à 0,063 mm.
Piège évité : Ne pas prendre les 6,5% pour la teneur en fines. C'est le passant à 0,125 mm, donc une BORNE SUPÉRIEURE : la teneur en fines réelle lui est inférieure ou égale, et peut valoir zéro si tout ce qui est passé est du sable fin.
Hypothèse validée : Aucune hypothèse n'est faite sur la répartition du fond entre sables fins et fines — c'est précisément ce qu'on ne peut pas savoir, et toute hypothèse à ce sujet serait arbitraire.
Vérification croisée : La borne obtenue, 6,5%, encadre le seuil de 5% : le premier lui est supérieur. Il existe donc des répartitions du fond compatibles avec chacune des deux classes, ce qui est la définition d'une indétermination.
Finalité : Ce constat ferme l'exercice en distinguant ce que l'essai établit de ce qu'il laisse ouvert.

\[ \begin{aligned} 0 \leq f_{0{,}063} \leq T_{0{,}125} = \mathbf{6{,}5} \text{ \%} \quad \text{et le seuil vaut } 5 \text{ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La teneur en fines est comprise entre zéro et 6,5%, et le seuil de classification se situe à cinq pour cent : la borne encadre le seuil . Deux classes restent donc possibles — sable propre mal gradué si les fines sont inférieures à cinq pour cent, sable avec fines et classement double au-delà . Un seul tamis supplémentaire à 0,063 mm aurait tranché, pour un coût dérisoire et sur un échantillon déjà préparé.

Ordre de grandeur : Six et demi pour cent de passant à 0,125 mm est une valeur modeste. Sur un sable propre de dune, la teneur en fines réelle serait probablement bien inférieure — mais probablement n'est pas mesuré.
Impact sur la suite : Recommandation : compléter la colonne par un tamis à 0,063 mm. L'essai est à refaire sur le même échantillon, sans nouveau prélèvement, et la classification s'en trouverait tranchée.
Cohérence : L'indétermination porte sur la classification, non sur les coefficients d'étalement, qui sont établis et concordants. L'essai n'est donc pas inutile : il est incomplet.
Attention : Même avec ce tamis supplémentaire, la classification complète exigerait de caractériser la NATURE des fines — limoneuses ou argileuses — ce qui suppose des limites d'Atterberg sur la fraction fine. La mesure manquante est nécessaire, elle n'est pas suffisante.
Comparaison : La NF EN ISO 17892-4 prévoit que la fraction inférieure à 0,063 mm soit déterminée par sédimentation lorsque sa proportion le justifie — ce qui suppose précisément de disposer du passant à ce tamis pour en juger.

Remarque pédagogique : Un essai qui dit ce qu'il ne détermine pas vaut mieux qu'un essai qui conclut sans le dire. Ici la conclusion partielle est solide et son incomplétude est chiffrée : c'est tout ce qu'on peut demander.

RÉSULTAT FINAL

C_c = 0,8890 · sable MAL GRADUÉ · fines entre 0 et 6,5

% — le seuil de classification à 5% est encadré

« Les coefficients sont établis, la classe ne l'est pas : un tamis de plus à 0,063 mm aurait tranché. »

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission — Analyse granulométrique par tamisage d'un sol sableux

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai systématiquement vérifié les unités (notamment MPa, kN, m) avant mes applications numériques. J'ai bien distingué les calculs à l' ELU (sécurité globale) et à l' ELS (déformations et confort). J'ai compris pourquoi j'ai utilisé cette formule précise de la norme, plutôt que de l'appliquer aveuglément.

Le bouclage massique est exact — la somme des sept refus vaut 500,0 g, soit la masse introduite — ce qui valide l'essai avant tout dépouillement. Les tamisats cumulés s'échelonnent de 100,0 à 0,0%, et deux contrôles indépendants les confirment : somme des refus partiels égale à cent, tamisat du fond nul. La distribution est franchement unimodale, plus de la moitié de la masse tenant entre 0,125 et 0,5 mm. Les trois diamètres caractéristiques ont été obtenus par interpolation LOGARITHMIQUE et non par lecture graphique : D₁₀ = 0,13923 mm, D₃₀ = 0,25609 mm et D₆₀ = 0,52985 mm. Ce choix n'est pas un raffinement — la courbe est tracée en échelle logarithmique et la série de tamis est géométrique, de sorte qu'interpoler linéairement en diamètre reviendrait à raisonner sur un graphique qu'on ne trace pas. L'écart atteint 3,74% sur le diamètre efficace, systématiquement dans le même sens, et il se reporte intégralement sur le coefficient d'uniformité puisque ce diamètre en est le dénominateur.

Le verdict de sable mal gradué est robuste : le coefficient d'uniformité se situe 37% en dessous de son seuil, distance qu'aucun arrondi ne peut combler. Deux réserves l'accompagnent. Le coefficient de courbure étant un rapport de carrés, l'erreur sur le diamètre à trente pour cent y compte double — il mérite deux fois plus de soin que les deux autres. Plus lourd, la colonne de tamis s'arrête à 0,125 mm quand la séparation des fines se fait à 0,063 : deux classes restent possibles, et un seul tamis supplémentaire aurait tranché.

Mécanique des SolsÉtape 25 sur 60

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