Exercice corrigé

Analyse Financière des Options de Contrats

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 25 mars 2026• 89 min de lecture• 2 vues

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Étude de cas · Note de calculs Réf. GDP-FIN-02

Analyse Financière des Options de Contrats

Choisir entre un prix forfaitaire et un coût majoré pour la construction d'un pont : valeur actuelle nette, valeur monétaire attendue, probabilité de bascule — et ce que le code de la commande publique autorise réellement.

NiveauBTS · BUT · Licence

DomaineGestion de projet et montage d'opération

ThèmeActualisation, VAN, arbre de décision, valeur monétaire attendue, forme du prix

PrérequisActualisation d'un flux futur · somme d'une suite géométrique · espérance d'une variable aléatoire discrète · lecture d'un arbre de décision

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Une municipalité s'apprête à lancer la construction d'un pont à péage. Les études géotechniques laissent subsister une incertitude sur la nature du sol de fondation, et deux montages contractuels s'offrent à elle. Le premier, à prix forfaitaire, fixe le coût à 20 M€ quoi qu'il advienne : l'entreprise porte seule le risque géologique et le facture. Le second, en coût majoré, part d'un coût cible plus bas mais laisse la collectivité exposée à un surcoût si le sol se révèle défavorable. Le calcul financier va départager les deux options. Mais il ne suffira pas : encore faut-il que le second montage soit juridiquement possible.

Les Points Clés du Projet

Un choix de contrat n'est pas seulement un calcul d'espérance. Voici les quatre points qui structurent la décision :

Enjeu Principal : Les recettes ne commencent qu'après trois ans de travaux. Un euro encaissé en année quatre ne vaut pas un euro dépensé aujourd'hui : c'est l'actualisation qui rend les deux comparables.
Les recettes sont identiques : Le pont produira les mêmes péages quel que soit le contrat signé. Toute la décision se joue donc sur les coûts seuls, ce qui simplifie considérablement le raisonnement — à condition de s'en apercevoir.
Le droit encadre le choix : Une collectivité territoriale ne peut pas librement conclure un marché en coût majoré. C'est un marché à prix provisoire, réservé à des cas limitativement énumérés par le code de la commande publique.
L'astuce de l'ingénieur : Ne comparez pas deux nombres, cherchez le point de bascule. Savoir à partir de quelle probabilité la décision s'inverse vaut bien mieux que de savoir qu'elle penche de 0,5 M€ aujourd'hui.

Votre Mission :

Éclairer la décision du conseil municipal par une note financière chiffrée. Vous calculerez la valeur actuelle nette de chaque option, la valeur attendue de l'option risquée, puis vous chercherez la probabilité critique à laquelle la recommandation s'inverse. Vous conclurez en vérifiant que l'option retenue est juridiquement praticable.

Le grand défi : Les deux options se tiennent à moins de 0,5 M€ l'une de l'autre sur des valeurs de plus de 118 M€. Une différence de 0,4 % justifie-t-elle de prendre un risque géologique ?
Votre rôle : Calculer la VAN de chaque scénario, la VMA de l'option risquée, la probabilité de bascule, et tester la robustesse du résultat à l'hypothèse la plus fragile de tout l'exercice.

ARBRE DE DÉCISION — LES DONNÉES

Livrables Attendus (Checklist) :

La valeur actuelle des recettes, commune aux deux options, et la VAN du contrat forfaitaire qui en découle.
Les deux VAN du contrat en coût majoré, scénario favorable et scénario défavorable, avec l'amplitude qui les sépare.
La valeur monétaire attendue de l'option risquée, obtenue par pondération des deux issues, et contrôlée par un calcul direct sur les coûts.
La comparaison chiffrée des deux options et la prime de risque que représente le forfait, exprimée en euros et en pourcentage.
La probabilité de bascule à laquelle les deux options s'équivalent, et la vérification juridique que le coût majoré est praticable.

2. Données Techniques & Normes

Les données se répartissent en trois familles : les recettes, communes aux deux options ; les coûts, qui les distinguent ; et les paramètres financiers qui permettent de tout ramener à une même date. Une hypothèse mérite une attention particulière — l'horizon des recettes. L'énoncé indique que le pont produira 8 M€ par an une fois en service, sans préciser pendant combien de temps. Cette durée est pourtant déterminante, et la question 1 mesurera précisément à quel point.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer ! Les trois premières relèvent de l'actualisation, les trois dernières de la décision en avenir incertain.

Actualisation d'un flux \( \text{VA} = \dfrac{\text{CF}_{t}}{(1+k)^{t}} \)
Rente perpétuelle \( \text{VA} = \dfrac{R}{k} \)
Rente à durée finie \( \text{VA} = R \times \dfrac{1 - (1+k)^{-n}}{k} \)
Valeur actuelle nette \( \text{VAN} = \text{VAR} - I_{0} \)
Valeur monétaire attendue \( \text{VMA} = \sum_{i} p_{i} \, V_{i} \)
Probabilité de bascule \( p^{\star} : \; \text{VMA}(p^{\star}) = \text{VAN}_{\text{forfait}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

LES DEUX OPTIONS DE CONTRAT

Caractéristique	Prix forfaitaire	Coût majoré	Unité
Coût d'investissement	20, ferme	18, cible	M€
Risque géologique	nul pour la collectivité	30 % de +5	M€
Durée des travaux	3	3	ans
Nature juridique art. R. 2112-17	prix définitif	prix provisoire	—

Recettes et paramètres financiers

Recette annuelle de péage : \( R = \mathbf{8} \text{ M€ par an} \)
Première année de recette : \( \mathbf{4} \) — après les trois ans de travaux
Taux d'actualisation : \( k = \mathbf{5} \; \% \text{ par an} \)
Date de l'investissement : année \( \mathbf{0} \), en totalité

HYPOTHÈSES NÉCESSAIRES, NON FOURNIES PAR L'ÉNONCÉ

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( n \)	Horizon des recettes de péage — non précisé par l'énoncé, retenu infini par convention, et testé en question 1 hypothèse de calcul	perpétuel	années
\( n_{\text{c}} \)	Durée d'une concession usuelle, retenue pour l'analyse de sensibilité de la question 1 hypothèse d'exercice	30	années
—	Recettes et taux d'actualisation supposés constants sur tout l'horizon	constants	—

Ce que l'analyse ne prend pas en compte

Entretien et exploitation : les 8 M€ sont supposés nets de toute charge d'exploitation
Inflation : raisonnement en euros constants, taux d'actualisation réel
Risque de trafic : la fréquentation du pont est supposée certaine
Dépassement de délai : les trois ans de travaux sont supposés tenus dans les deux options

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

L'actualisation et l'espérance mathématique ne relèvent d'aucune norme : ce sont des outils de calcul. En revanche, le choix entre les deux formes de contrat est strictement encadré pour une collectivité territoriale. Voici les textes, vérifiés dans la documentation disponible.

Le prix provisoire, guide OECP de la DAJ

Référence	Stipulation retenue pour l'étude
Principe	« Les marchés publics sont généralement conclus à prix initial définitif, mais certains d'entre eux peuvent par nature être conclus sur la base d'un prix provisoire. »
Devenir du prix	« Le prix ne deviendra définitif qu'au cours de l'exécution du marché, par la voie d'un avenant, lorsque les paramètres précis de détermination du prix définitif et de ses éventuelles conditions de variation seront connus. »
Art. R. 2112-17	Pour les collectivités territoriales, le recours aux prix provisoires n'est possible que dans des hypothèses exceptionnelles, dont la première vise les prestations « présentant soit un caractère d'urgence impérieuse, soit des aléas techniques importants », lorsque l'exécution doit commencer avant qu'un prix définitif ne puisse être arrêté.
Condition	« L'impossibilité de fixer le prix du marché doit résulter de la nature spécifique de l'objet du marché ou des aléas » — et non d'une simple commodité de l'acheteur.

La forme du prix : unitaire ou forfaitaire

Article R. 2112-6 : « Les prix des prestations d'un marché sont soit unitaires, soit forfaitaires. » Le guide OECP précise que le prix forfaitaire rémunère le titulaire quelles que soient les quantités réellement exécutées, et qu'il « n'est pas adapté aux prestations ou ouvrages dont la réalisation présente des aléas techniques importants ».

Aucune norme ne fixe le taux d'actualisation. Le taux de 5 % retenu ici est une donnée de l'énoncé. Le taux d'actualisation des investissements publics fait l'objet de recommandations officielles, qui ne sont pas des normes de construction : la valeur retenue ici doit donc être considérée comme une hypothèse de l'étude. Il en va de même pour la durée de concession retenue en analyse de sensibilité.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La méthode progresse du certain vers l'incertain, puis de l'incertain vers la décision. On établit d'abord la valeur de l'option sans risque, qui servira de référence. On évalue ensuite les deux issues possibles de l'option risquée, avant de les résumer en une valeur unique. La comparaison ne vient qu'ensuite, et la dernière question teste la robustesse de la recommandation — car une décision qui se renverse au moindre changement d'hypothèse n'est pas une décision, c'est un pari.

Question 1 : VAN du contrat à prix forfaitaire

Actualisation 25 min | Fondamental

But de l'étape : Établir la référence certaine contre laquelle l'option risquée sera jugée, et mesurer au passage la fragilité de l'hypothèse la plus lourde de l'exercice.

Énoncé Q1 : Calculez la valeur actuelle des recettes de péage, puis la valeur actuelle nette du contrat à prix forfaitaire. Reprenez ensuite le calcul en supposant une concession de trente ans au lieu d'un horizon infini, et chiffrez l'écart .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Une rente perpétuelle se capitalise en divisant le flux annuel par le taux. Attention : la valeur obtenue se situe une période avant le premier flux.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le premier péage tombe en année 4. La formule de la rente place donc sa valeur en année 3, qu'il faut ensuite ramener en année 0 par trois actualisations.

Question 2 : VAN des deux scénarios du coût majoré

Scénarios 15 min | Intermédiaire

But de l'étape : Encadrer l'option risquée par ses deux extrêmes. Avant de calculer une moyenne, il faut toujours connaître l'amplitude sur laquelle elle porte.

Énoncé Q2 : Calculez la VAN du scénario favorable, où le sol est conforme, puis celle du scénario défavorable, où le surcoût géologique se réalise. Justifiez pourquoi la valeur actuelle des recettes n'a pas à être recalculée, et mesurez l'amplitude qui sépare les deux issues .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le pont produira les mêmes péages, que le sol ait été bon ou mauvais. Une seule des deux composantes de la VAN change d'un scénario à l'autre.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'écart entre les deux VAN doit valoir exactement le surcoût, puisque tout le reste est identique. C'est le contrôle le plus rapide de cette question.

Question 3 : Valeur monétaire attendue du coût majoré

Espérance 20 min | Intermédiaire

But de l'étape : Résumer deux issues incertaines en une seule valeur comparable à la référence certaine. C'est l'opération qui permet à un arbre de décision de trancher.

Énoncé Q3 : Calculez la valeur monétaire attendue de l'option en coût majoré, en pondérant les deux VAN par leurs probabilités. Contrôlez ce résultat par une seconde voie, en raisonnant directement sur l'espérance du coût plutôt que sur celle de la VAN .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'espérance d'une différence est la différence des espérances. Comme les recettes sont certaines, leur espérance est leur valeur.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Calculez d'abord le coût espéré de l'option risquée, puis retranchez-le de la valeur actuelle des recettes. Les deux voies doivent donner le même nombre, au centime près.

Question 4 : Comparaison et prime de risque

Décision 20 min | Intermédiaire

But de l'étape : Confronter les deux options et chiffrer ce que coûte la sécurité. Le forfait est plus cher : la question est de savoir de combien, et si ce supplément est justifié.

Énoncé Q4 : Comparez la VAN du forfait à la VMA du coût majoré. Déterminez laquelle est la plus élevée et de combien, en montant et en pourcentage. Interprétez cet écart comme une prime de risque et dites si la collectivité a intérêt à la payer .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Lisez attentivement laquelle des deux valeurs est la plus grande avant de rédiger la conclusion. L'écart est faible et l'inversion est vite commise.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La prime de risque se lit aussi directement sur les coûts : comparez les 20 M€ fermes du forfait au coût espéré de l'option risquée. La différence est la même.

Question 5 (Finale) : Sensibilité, point de bascule et faisabilité juridique

Robustesse et droit 30 min | BOSS

But de l'étape : Éprouver la décision. Une recommandation qui repose sur un écart de 0,4 % doit être testée, et le test le plus utile n'est pas de refaire le calcul avec une autre probabilité : c'est de trouver celle qui renverse le résultat.

La situation : Le bureau d'études géotechniques révise son estimation : la probabilité de rencontrer un sol défavorable pourrait atteindre 50 %. Par ailleurs, le service juridique s'interroge sur la possibilité même, pour une commune, de conclure un marché en coût majoré.

Recalculez la valeur monétaire attendue pour une probabilité de surcoût de 50 %. Établissez ensuite l'expression générale de la VMA en fonction de la probabilité, et résolvez-la pour trouver la probabilité de bascule à laquelle les deux options s'équivalent exactement. Concluez enfin sur la faisabilité juridique du coût majoré pour une collectivité territoriale.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La valeur monétaire attendue est une fonction affine de la probabilité. Une droite ne coupe une horizontale qu'en un point.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Écrivez la VMA sous la forme « valeur du scénario favorable moins la probabilité multipliée par le surcoût », puis égalez-la à la VAN du forfait. Il ne reste qu'une équation du premier degré.

NOTE DE CALCULS

Analyse Financière des Options de Contrats

Question 1 : VAN du contrat à prix forfaitaire

Dans la tête de l'ingénieur

« Vingt millions d'investissement contre huit millions de recettes annuelles : le pont est remboursé en moins de trois ans d'exploitation. Le calcul va donc donner une valeur actuelle nette énorme, et c'est précisément ce qui doit m'alerter. Une VAN de plus de cent millions pour un ouvrage à vingt millions n'est pas un résultat, c'est le reflet d'une hypothèse. Laquelle ? L'énoncé dit que le pont rapportera 8 M€ par an, mais il ne dit jamais pendant combien de temps. Prendre l'infini est commode et donne une formule d'une ligne. C'est aussi ce qui gonfle le résultat. Je vais donc faire le calcul demandé, puis le refaire sur une durée de concession réaliste, et mesurer l'écart. Si l'écart est énorme, l'hypothèse doit être écrite en tête du rapport, pas cachée dans une note de bas de page. »

Observation : L'énoncé donne une recette annuelle et un taux, mais aucun horizon. Sans cette information, la valeur actuelle des recettes n'est pas calculable — il faut donc poser une hypothèse et l'assumer.
Analyse du risque : Le décalage de trois ans est le piège classique. La formule de la rente donne une valeur située une période avant le premier flux : l'oublier place le résultat en année 3 et le surestime de plus de 15 %.
Choix stratégique : Calculer d'abord la valeur actuelle des recettes séparément. Elle est commune aux trois scénarios de l'exercice : la calculer une fois évite de la recalculer trois fois et rend les comparaisons immédiates.
Alternative : On pourrait actualiser flux par flux sur trente ou cinquante ans dans un tableur. Le résultat serait le même, mais on perdrait la lisibilité de la formule fermée et la possibilité de faire varier l'horizon d'un seul paramètre.
Objectif visé : Établir la référence certaine à laquelle l'option risquée sera comparée, et documenter la fragilité de l'hypothèse d'horizon.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

VAR = 138,21 M€ — VAN du forfait = 118,21 M€ — mais seulement 86,23 M€ sur une concession de 30 ans

Rappel Théorique : la valeur temporelle de l'argent

Un euro encaissé dans dix ans ne vaut pas un euro encaissé aujourd'hui : il faut le ramener à la date de référence avant de l'additionner à quoi que ce soit. C'est l'opération d'actualisation, et elle est au fondement de toute comparaison entre des dépenses immédiates et des recettes futures.

Le principe d'actualisation : un flux de l'année \( t \) se divise par \( (1+k)^{t} \) pour être exprimé en euros d'aujourd'hui. Plus le flux est lointain, plus il pèse peu.
La rente perpétuelle : une suite infinie de flux constants a une valeur finie, égale au flux divisé par le taux. C'est la somme d'une série géométrique de raison inférieure à 1.
La règle de position : la formule de la rente donne une valeur située une période avant le premier flux. C'est la source d'erreur numéro un de tout l'exercice.
La rente à durée finie : elle vaut la rente perpétuelle diminuée de la part correspondant aux flux au-delà de l'horizon. Le facteur \( 1 - (1+k)^{-n} \) mesure exactement quelle fraction de l'infini on retient.
La valeur actuelle nette : différence entre la valeur actuelle des recettes et l'investissement. Elle se lit comme la richesse créée par le projet, exprimée en euros d'aujourd'hui.

Équations Fondamentales

Quatre relations. Les deux premières s'enchaînent pour produire la valeur actuelle des recettes, la troisième conclut, et la quatrième sert à éprouver l'hypothèse d'horizon. Cette dernière n'est pas un supplément : sans elle, on ne saurait pas si le résultat vaut quelque chose.

Formule 1 — Valeur d'une rente perpétuelle :

Elle donne la valeur, à une date donnée, d'une suite infinie de flux annuels constants.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle résume une infinité de termes en une division. Les flux lointains étant écrasés par l'actualisation, leur somme converge : au-delà d'une soixantaine d'années à 5 %, chaque flux ne pèse plus que quelques pour-cent de sa valeur nominale.

Contexte de validité : flux constants et taux strictement positif. Un taux nul rendrait la somme infinie et la formule inapplicable.
Avantage : elle est d'une simplicité extrême et permet de faire varier le taux ou le flux mentalement, ce qu'un tableau d'actualisation ne permet pas.
Paramètre clé : le taux d'actualisation, qui figure au dénominateur. Le passer de 5 % à 4 % augmenterait la valeur de 25 %, ce qui montre la sensibilité extrême du résultat.
Vérification : la valeur obtenue doit valoir vingt fois le flux annuel pour un taux de 5 %, puisque l'inverse de 0,05 vaut 20.
Limite : la perpétuité est une commodité mathématique. Aucun ouvrage ne produit de recettes éternellement, et aucune concession n'est illimitée.

\[ \begin{aligned} \text{VA}_{t_{0}} = \frac{R}{k} \quad \text{avec} \quad t_{0} = t_{\text{premier flux}} - 1 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Un revenu perpétuel de 8 M€ vaut aujourd'hui ce qu'il faudrait placer à 5 % pour le produire indéfiniment. Soit 160 M€ : c'est le capital dont les intérêts vaudraient exactement le péage annuel. La formule ne fait que traduire cette équivalence.

Décomposition des termes :

\( \text{VA}_{t_{0}} \) : valeur de la rente à la date \( t_{0} \), unité : M€
\( R \) : flux annuel constant, unité : M€ par an
\( k \) : taux d'actualisation annuel, unité : sans

Formule 2 — Actualisation d'une valeur future :

Elle ramène une valeur exprimée à une date future vers la date de référence, l'année zéro.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la formule de la rente a produit une valeur positionnée en année 3, et non en année 0. Sans ce second passage, on comparerait une valeur de l'année 3 à un investissement de l'année 0 — deux grandeurs qui ne s'additionnent pas.

Contexte de validité : le taux doit être le même que celui de la capitalisation. Mélanger deux taux dans la même chaîne rendrait le résultat incohérent.
Avantage : elle s'applique à n'importe quelle valeur, flux isolé ou rente entière, ce qui permet de traiter le décalage en une seule opération.
Paramètre clé : l'exposant. Trois ans à 5 % divisent la valeur par 1,157625, soit une perte de 13,6 % — loin d'être négligeable.
Vérification : la valeur actualisée doit être inférieure à la valeur de départ, et l'écart doit croître avec la durée.
Limite : elle suppose un taux constant sur toute la période, hypothèse discutable sur trois décennies.

\[ \begin{aligned} \text{VA}_{0} = \frac{\text{VA}_{t}}{(1+k)^{t}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Trois ans de chantier coûtent aussi en valeur. Pendant que l'on construit, l'argent immobilisé ne rapporte rien. L'actualisation chiffre ce manque à gagner : ici, près de 14 % de la valeur des recettes s'évapore du seul fait d'attendre trois ans.

Décomposition des termes :

\( \text{VA}_{0} \) : valeur ramenée à l'année de référence, unité : M€
\( \text{VA}_{t} \) : valeur exprimée à l'année \( t \), unité : M€
\( t \) : nombre d'années de décalage, unité : an

Formule 3 — Valeur actuelle nette :

Elle retranche l'investissement initial de la valeur actuelle des recettes qu'il permet d'obtenir.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle exprime en un seul nombre la richesse créée par le projet. Positive, elle signifie que le projet rapporte plus que le taux exigé ; négative, qu'il vaudrait mieux placer l'argent ailleurs.

Contexte de validité : les deux termes doivent être exprimés à la même date. C'est tout l'objet des deux formules précédentes.
Avantage : elle est additive : la VAN d'un ensemble de projets est la somme de leurs VAN, ce qui permet d'arbitrer un portefeuille d'investissements.
Paramètre clé : ici l'investissement, seul terme qui distinguera les trois scénarios de l'exercice. Les recettes, elles, ne bougeront jamais.
Vérification : une VAN positive doit s'accompagner d'un délai de récupération inférieur à la durée de vie du projet. Ici, moins de trois ans d'exploitation suffisent à couvrir l'investissement.
Limite : elle est entièrement tributaire du taux et de l'horizon retenus. Deux analystes de bonne foi peuvent obtenir des VAN très différentes sur le même projet.

\[ \begin{aligned} \text{VAN} = \text{VAR} - I_{0} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Ce que l'ouvrage rapportera, moins ce qu'il coûte, tout ramené à aujourd'hui. Si le résultat est positif, la collectivité s'enrichit en construisant le pont. C'est le critère de décision le plus simple qui soit — à condition que les deux termes soient honnêtement établis.

Décomposition des termes :

\( \text{VAN} \) : valeur actuelle nette du projet, unité : M€
\( \text{VAR} \) : valeur actuelle des recettes, unité : M€
\( I_{0} \) : investissement engagé en année zéro, unité : M€

Formule 4 — Valeur d'une rente à durée finie :

Elle donne la valeur d'une suite de flux constants limitée à un nombre d'années donné.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle permet de tester l'hypothèse d'horizon infini sans refaire toute l'analyse. Le facteur entre crochets indique directement quelle fraction de la perpétuité une durée finie représente.

Contexte de validité : mêmes conditions que la rente perpétuelle, avec en plus un horizon défini. Elle tend vers la perpétuité quand \( n \) croît.
Avantage : elle se prête à une analyse de sensibilité immédiate : un seul paramètre à faire varier pour balayer tous les scénarios d'horizon.
Paramètre clé : le facteur \( (1+k)^{-n} \), qui mesure ce que l'on abandonne en s'arrêtant à l'année \( n \). À 5 % sur 30 ans, il vaut 0,231.
Vérification : le résultat doit être inférieur à la rente perpétuelle, et s'en rapprocher quand l'horizon s'allonge.
Limite : elle suppose l'ouvrage sans valeur résiduelle à l'échéance. Un pont encore en service à la fin de la concession vaut pourtant quelque chose.

\[ \begin{aligned} \text{VA}_{t_{0}} = R \times \frac{1 - (1+k)^{-n}}{k} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? On ne prend que les n premières années de l'infini. Le crochet vaut la part de la perpétuité effectivement retenue. Sur trente ans à 5 %, il vaut 0,769 : on capte un peu plus des trois quarts de la valeur, et l'on abandonne le reste.

Décomposition des termes :

\( n \) : nombre d'années de perception des flux, unité : an
\( (1+k)^{-n} \) : facteur d'actualisation du dernier flux, unité : sans
\( R \) : flux annuel constant, unité : M€ par an

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Beaucoup d'étudiants divisent 8 par 0,05 et retranchent immédiatement les 20 M€, sans se demander à quelle date se situe la valeur obtenue. »

L'approche d'ingénieur : Toute valeur actualisée porte une date. Deux montants ne s'additionnent que s'ils sont exprimés à la même date, exactement comme deux longueurs ne s'additionnent que dans la même unité.

L'erreur : écrire \( 160 - 20 = 140 \) M€. La rente de 160 M€ est positionnée en année 3, l'investissement en année 0 : la soustraction n'a aucun sens.
La bonne méthode : ramener la rente en année 0 avant toute soustraction. L'écart entre les deux réponses atteint 21,8 M€, soit 18 % du résultat final.
L'astuce de pro : écrire systématiquement la date en indice de chaque valeur actualisée. Une soustraction entre deux indices différents saute alors aux yeux.
Le moyen mnémotechnique : « la rente se place la veille du premier loyer ». Premier flux en année 4, valeur en année 3.
L'impact direct : sur un dossier de concession, une erreur de position de la rente fausse la durée de concession négociée et se chiffre en dizaines de millions.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Recette annuelle : 8 M€ par an, flux et non stock
Taux d'actualisation : 5 % par an, à écrire 0,05 dans les formules
Rapport flux sur taux : M€ par an divisés par an⁻¹, donc des M€ — c'est le contrôle de cohérence
Facteur d'actualisation : grandeur sans dimension, toujours supérieure à 1
Investissement et VAN : des M€, exprimés à l'année zéro

Trois calculs. Le premier établit la valeur actuelle des recettes, en deux temps pour ne pas confondre les dates. Le deuxième en déduit la VAN du forfait. Le troisième reprend l'ensemble sous une hypothèse d'horizon réaliste, ce qui mesure la fragilité du résultat.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Valeur actuelle des recettes \( \text{VAR} \)

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette valeur est commune aux trois scénarios de l'exercice. La calculer une fois proprement évite trois recalculs et rend toutes les comparaisons immédiates.

Méthodologie du calcul :

On capitalise d'abord la rente perpétuelle, ce qui donne une valeur positionnée en année 3, la veille du premier péage. On l'actualise ensuite sur trois ans pour la ramener en année 0.

Substitution : on injecte \( R = 8 \) M€ par an et \( k = 0{,}05 \), puis un décalage de trois ans.
Piège évité : ne pas actualiser sur quatre ans. Le premier flux tombe en année 4, mais la formule de la rente l'a déjà positionné en année 3 : une actualisation de quatre ans compterait le décalage deux fois.
Hypothèse validée : recettes constantes et perpétuelles, hypothèse non fournie par l'énoncé et assumée explicitement ici. Le calcul 3 en mesurera la portée.
Vérification croisée : la rente doit valoir vingt fois le flux annuel, puisque le taux est de 5 %. Et le facteur d'actualisation sur trois ans vaut 1,157625.
Finalité : disposer du terme commun à toutes les VAN de l'exercice.

\[ \begin{aligned} \text{VA}_{3} &= \frac{R}{k} = \frac{8}{0{,}05} = 160{,}00 \text{ M€} \\[3pt] (1+k)^{3} &= 1{,}05^{3} = 1{,}157625 \\[3pt] \text{VAR} &= \frac{160{,}00}{1{,}157625} = \mathbf{138{,}21} \text{ M€} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

138,21 M€. Les trois années de travaux ont coûté 21,79 M€ de valeur — soit plus que l'investissement lui-même. C'est l'un des enseignements les plus contre-intuitifs de l'actualisation : sur un projet à recettes différées, le temps coûte davantage que le béton.

Ordre de grandeur : la rente vaut bien vingt fois le flux annuel, comme le contrôle l'annonçait.
Impact sur la suite : cette valeur sera reprise telle quelle aux questions 2 et 3 : seules les hypothèses de coût changeront.
Cohérence : la valeur actualisée est inférieure à la valeur en année 3, comme il se doit. La perte relative de 13,6 % correspond bien à trois ans à 5 %.
Attention : ce résultat repose entièrement sur l'hypothèse de perpétuité. Le calcul 3 va montrer à quel point elle est déterminante.
Comparaison : un retard d'un an du chantier réduirait cette valeur de 6,58 M€, soit plus du tiers de l'investissement initial. Le délai a ici une valeur financière considérable.

Remarque pédagogique : Séparer les deux étapes — capitaliser, puis actualiser — évite l'erreur de position. Écrivez chaque valeur avec sa date en indice : \( \text{VA}_{3} \) puis \( \text{VA}_{0} \). L'habitude vous préservera durablement.

Calcul 2 — Valeur actuelle nette du contrat forfaitaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour obtenir la référence certaine de l'arbre de décision : la seule branche dont la valeur ne dépend d'aucune probabilité.

Méthodologie du calcul :

On retranche l'investissement forfaitaire de la valeur actuelle des recettes, les deux montants étant désormais exprimés à la même date. On calcule au passage le délai de récupération pour contrôler la vraisemblance.

Substitution : on injecte \( \text{VAR} = 138{,}21 \) M€ et \( I_{0} = 20 \) M€, montant ferme du contrat forfaitaire.
Piège évité : ne pas actualiser l'investissement. Il est engagé en année zéro : il est déjà à la bonne date.
Hypothèse validée : le prix forfaitaire est ferme : la collectivité ne supporte aucun aléa géologique, celui-ci étant intégré au prix par l'entreprise.
Vérification croisée : le délai de récupération non actualisé vaut 20 divisé par 8, soit deux ans et demi d'exploitation — cohérent avec une VAN très positive.
Finalité : fournir la valeur de comparaison des questions 4 et 5.

\[ \begin{aligned} \text{VAN}_{\text{forfait}} &= \text{VAR} - I_{0} \\[3pt] &= 138{,}21 - 20{,}00 \\[3pt] &= \mathbf{118{,}21} \text{ M€} \\[6pt] \text{delai de recuperation} &= \frac{20}{8} = 2{,}5 \text{ ans d'exploitation} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

118,21 M€ de richesse créée pour un investissement de 20 M€, soit un rapport de près de six. Un tel résultat devrait faire lever un sourcil : aucun projet d'infrastructure réel n'affiche une telle rentabilité. Le chiffre n'est pas faux, mais il est entièrement porté par l'hypothèse de perpétuité.

Ordre de grandeur : la VAN vaut près de six fois l'investissement. C'est considérable et cela doit être signalé, non célébré.
Impact sur la suite : cette valeur devient la référence certaine de l'arbre de décision, celle que la valeur attendue de l'option risquée devra dépasser.
Cohérence : le délai de récupération de deux ans et demi confirme une rentabilité très élevée, cohérente avec une VAN largement positive.
Attention : la VAN est si grande devant les écarts de coût que les deux options paraîtront presque identiques. C'est un effet d'échelle dont il faudra se méfier en question 4.
Comparaison : les 5 M€ de surcoût potentiel ne représentent que 4,2 % de cette VAN. L'aléa géologique paraît dérisoire dans cette échelle, alors qu'il pèse 25 % du coût cible.

Remarque pédagogique : Quand un résultat paraît trop beau, cherchez l'hypothèse qui le porte. Ici, une VAN six fois supérieure à l'investissement doit conduire à interroger l'horizon, pas à se réjouir.

Calcul 3 — Sensibilité à l'horizon : concession de trente ans

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'hypothèse de perpétuité n'est pas dans l'énoncé. Un résultat qui repose sur une hypothèse implicite doit être accompagné de la mesure de sa fragilité, sans quoi il n'est pas défendable.

Méthodologie du calcul :

On reprend le calcul 1 en remplaçant la rente perpétuelle par une rente de trente ans, durée usuelle d'une concession. On en déduit la nouvelle VAN et l'on chiffre l'écart relatif avec le résultat précédent.

Substitution : on injecte \( n = 30 \) ans dans le facteur de rente, en conservant \( R = 8 \) M€ et \( k = 0{,}05 \).
Piège évité : conserver le même décalage de trois ans. La durée de concession commence à la mise en service, pas à la signature du marché.
Hypothèse validée : la durée de trente ans est une hypothèse d'exercice : aucun texte normatif ne fixe de durée de concession.
Vérification croisée : le facteur de rente sur 30 ans doit valoir environ 15,37, contre 20,00 pour la perpétuité, soit 76,9 % de celle-ci.
Finalité : pouvoir qualifier le résultat des calculs 1 et 2 dans le rapport remis au conseil municipal.

\[ \begin{aligned} (1{,}05)^{-30} &= 0{,}23138 \\[3pt] \text{VA}_{3} &= 8 \times \frac{1 - 0{,}23138}{0{,}05} = 8 \times 15{,}3725 = 122{,}98 \text{ M€} \\[3pt] \text{VAR}_{30} &= \frac{122{,}98}{1{,}157625} = \mathbf{106{,}23} \text{ M€} \\[6pt] \text{VAN}_{30} &= 106{,}23 - 20{,}00 = \mathbf{86{,}23} \text{ M€} \\[3pt] \text{ecart} &= \frac{118{,}21 - 86{,}23}{118{,}21} = \mathbf{-27{,}1} \; \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'hypothèse de perpétuité gonfle la VAN de 27 %. Autrement dit, 31,98 M€ de la valeur annoncée proviennent de recettes situées au-delà de la trente-troisième année — des péages que personne ne peut raisonnablement garantir. Ce n'est pas une nuance : c'est plus d'une fois et demie l'investissement total.

Ordre de grandeur : le facteur de rente passe de 20,00 à 15,37, soit 76,9 % de la perpétuité. Le reste, 23,1 %, correspond aux flux abandonnés.
Impact sur la suite : la comparaison des questions 4 et 5 n'est pas affectée : la valeur des recettes est identique dans les deux options et s'élimine dans la différence.
Cohérence : la VAN à trente ans reste largement positive. La décision d'investir n'est donc pas remise en cause, seule son ampleur l'est.
Attention : annoncer 118 M€ sans mentionner l'hypothèse d'horizon serait trompeur. Le rapport doit porter les deux chiffres, ou à tout le moins l'hypothèse en toutes lettres.
Comparaison : sur une concession de cinquante ans, la VAN atteindrait environ 106 M€ : on se rapproche de la perpétuité sans jamais l'atteindre.

Remarque pédagogique : Une hypothèse qui déplace le résultat de 27 % n'est pas une hypothèse de calcul, c'est une donnée de l'étude. Elle doit figurer dans le tableau des données et non être découverte par le lecteur au détour d'une note.

LIGNE DE TEMPS DES FLUX — APRÈS CALCULS

RÉSULTAT FINAL

VAN_forfait = 118,21 M€

Sous hypothèse de recettes perpétuelles. Sur une concession de trente ans, la même VAN tomberait à 86,23 M€, soit 27 % de moins.

Question 2 : VAN des deux scénarios du coût majoré

Dans la tête de l'ingénieur

« Deux scénarios à évaluer, et la tentation est de refaire deux fois tout le calcul. Ce serait du travail perdu : le pont produira exactement les mêmes péages, que le sol se soit révélé bon ou mauvais. La valeur actuelle des recettes ne bouge pas d'un centime. Seul l'investissement change. Autrement dit, les deux VAN ne diffèrent que par le surcoût, et leur écart vaut exactement 5 M€ — je peux l'écrire avant même d'avoir calculé. C'est le genre de raisonnement qui fait gagner du temps et qui, surtout, fournit un contrôle immédiat : si l'écart entre mes deux résultats ne vaut pas 5 M€ pile, j'ai fait une faute. »

Observation : L'aléa géologique porte uniquement sur le coût de construction. Il ne modifie ni la géométrie de l'ouvrage, ni le trafic, ni le tarif du péage.
Analyse du risque : Recalculer inutilement la valeur des recettes, c'est multiplier les occasions d'erreur. Chaque calcul refait est un risque pris sans contrepartie.
Choix stratégique : Réutiliser la valeur actuelle des recettes telle quelle, et n'écrire que la ligne qui change. Le contrôle par l'écart devient alors immédiat.
Alternative : On pourrait modéliser le surcoût comme une variable continue plutôt que par deux issues discrètes. Ce serait plus réaliste, mais l'arbre de décision perdrait sa lisibilité et le calcul exigerait une loi de probabilité qu'aucune donnée ne fournit.
Objectif visé : Encadrer l'option risquée par ses deux extrêmes, seule façon de savoir sur quelle amplitude porte la moyenne de la question suivante.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

VAN sans surcoût = 120,21 M€ · VAN avec surcoût = 115,21 M€ · amplitude = 5,00 M€

Rappel Théorique : l'analyse par scénarios

Avant de résumer une situation incertaine en une valeur moyenne, il faut en connaître les bornes. L'analyse par scénarios consiste à traiter chaque issue comme si elle était certaine, puis à les comparer. C'est ce qui donne la mesure du risque, que la moyenne à elle seule ne donne jamais.

Le principe de séparation : on isole ce qui varie de ce qui ne varie pas. Ici, seul l'investissement change d'un scénario à l'autre.
L'amplitude : l'écart entre le meilleur et le pire scénario mesure l'exposition au risque. Une amplitude nulle signifierait qu'il n'y a pas d'incertitude à traiter.
La propriété de translation : si seule une composante additive change, les valeurs se décalent d'autant. L'écart entre les VAN vaut exactement l'écart entre les investissements.
Le scénario de référence : le cas favorable, ici le coût cible, est le scénario que le titulaire annonce lors de la consultation. Le cas défavorable est celui que l'aléa peut imposer.
La limite du modèle binaire : deux issues seulement, c'est une simplification forte. La réalité géologique offre un continuum de surcoûts, dont on ne retient ici que la valeur haute.

Équations Fondamentales

Deux relations, dont la seconde n'est qu'une conséquence de la première — mais une conséquence qui fournit gratuitement un contrôle. C'est le genre de propriété qu'il faut repérer avant de calculer, non après.

Formule 1 — VAN d'un scénario donné :

Elle applique la définition de la valeur actuelle nette à une issue particulière de l'aléa.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un scénario, une fois posé, est déterministe : il n'y a plus d'incertitude à l'intérieur. On peut donc lui appliquer les outils du certain, et ne réintroduire les probabilités qu'à l'étape suivante.

Contexte de validité : les recettes doivent être indépendantes du scénario de coût, ce qui est le cas ici : le pont est le même dans les deux issues.
Avantage : elle réutilise la valeur actuelle des recettes déjà établie, ce qui réduit chaque scénario à une seule soustraction.
Paramètre clé : l'investissement du scénario. C'est le seul terme qui distingue les deux issues, et donc le seul levier du risque.
Vérification : les deux VAN doivent encadrer la valeur attendue de la question 3, celle-ci étant une moyenne pondérée.
Limite : elle suppose que le surcoût est intégralement supporté à l'année zéro. Un surcoût découvert en cours de chantier serait actualisé et pèserait un peu moins.

\[ \begin{aligned} \text{VAN}_{i} = \text{VAR} - I_{0,i} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le même pont, deux factures possibles. Les recettes de péage ne savent rien de la géologie : elles seront identiques. Seule la facture du constructeur change, et avec elle la richesse nette créée par l'opération.

Décomposition des termes :

\( \text{VAN}_{i} \) : valeur actuelle nette du scénario \( i \), unité : M€
\( \text{VAR} \) : valeur actuelle des recettes, commune aux scénarios, unité : M€
\( I_{0,i} \) : investissement du scénario \( i \), unité : M€

Formule 2 — Amplitude entre les deux scénarios :

Elle établit que l'écart entre les deux valeurs actuelles nettes vaut exactement l'écart entre les coûts.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle fournit un contrôle sans calcul supplémentaire. La valeur actuelle des recettes s'élimine dans la différence : ce qui reste est le surcoût, et rien d'autre.

Contexte de validité : elle exige que seul l'investissement diffère entre les scénarios. Si les recettes changeaient aussi, l'élimination ne se ferait pas.
Avantage : elle permet de prévoir l'écart avant de calculer, ce qui transforme le calcul en simple vérification.
Paramètre clé : le surcoût lui-même, seule grandeur qui subsiste après élimination.
Vérification : l'écart calculé doit valoir 5,00 M€ exactement, sans décimale résiduelle. Toute autre valeur signale une erreur.
Limite : l'amplitude mesure l'étendue du risque, pas sa probabilité. Un risque de 5 M€ à 1 % et le même à 90 % ont la même amplitude.

\[ \begin{aligned} \text{VAN}_{\text{fav}} - \text{VAN}_{\text{def}} = I_{0,\text{def}} - I_{0,\text{fav}} = \text{surcout} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Tout ce qui est commun s'annule dans une différence. Les 138,21 M€ de recettes figurent dans les deux VAN : les soustraire l'une de l'autre les fait disparaître. Il ne reste que ce qui distingue réellement les deux mondes possibles — cinq millions de béton et de fondations.

Décomposition des termes :

\( \text{VAN}_{\text{fav}} \) : valeur du scénario favorable, sol conforme, unité : M€
\( \text{VAN}_{\text{def}} \) : valeur du scénario défavorable, unité : M€
surcoût : écart d'investissement entre les deux issues, unité : M€

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Beaucoup d'étudiants pensent qu'un surcoût de construction réduit aussi les recettes, et minorent les péages du scénario défavorable. »

L'approche d'ingénieur : Il faut distinguer les aléas qui touchent le coût de ceux qui touchent la performance. Une fondation plus chère ne change rien au trafic du pont.

L'erreur : recalculer une valeur de recettes différente pour le scénario défavorable. Le pont livré est rigoureusement le même ouvrage dans les deux cas.
La bonne méthode : identifier ce qui varie et ce qui ne varie pas avant de calculer. Ici, une seule ligne du bilan change.
L'astuce de pro : utiliser l'écart comme contrôle. S'il ne vaut pas exactement le surcoût annoncé, c'est qu'une grandeur commune a été modifiée par mégarde.
Le moyen mnémotechnique : « l'aléa est sur la facture, pas sur le péage ».
L'impact direct : confondre les deux types d'aléa conduirait à surestimer le risque et à écarter à tort une option qui, en réalité, expose bien moins qu'on ne le croit.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Valeur actuelle des recettes : 138,21 M€, reprise sans modification de la question 1
Coût cible et coût avec surcoût : des M€, engagés en année zéro
Surcoût : 5 M€, différence de deux investissements
Les deux VAN : des M€, exprimés à l'année zéro comme la VAR
Amplitude : différence de deux VAN, donc en M€

Deux calculs très courts. Le premier applique la définition aux deux issues, en réutilisant la valeur des recettes. Le second contrôle l'écart obtenu, qui doit valoir exactement le surcoût.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Valeur actuelle nette des deux scénarios

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour connaître les bornes de l'option risquée. La moyenne de la question suivante n'a de sens que rapportée à l'intervalle sur lequel elle porte.

Méthodologie du calcul :

On reprend la valeur actuelle des recettes sans la recalculer, puis on lui retranche successivement le coût cible et le coût avec surcoût. Deux soustractions, rien de plus.

Substitution : on injecte \( \text{VAR} = 138{,}21 \) M€, puis \( I_{0} = 18 \) M€ et \( I_{0} = 23 \) M€.
Piège évité : ne pas oublier d'ajouter le surcoût au coût cible. Le scénario défavorable coûte 18 + 5 et non 5.
Hypothèse validée : les recettes sont identiques dans les deux scénarios : le pont livré est le même ouvrage.
Vérification croisée : les deux VAN doivent encadrer la VAN du forfait de la question 1, puisque 18 < 20 < 23.
Finalité : fournir les deux valeurs à pondérer par les probabilités de l'arbre de décision.

\[ \begin{aligned} \text{VAN}_{\text{fav}} &= 138{,}21 - 18{,}00 = \mathbf{120{,}21} \text{ M€} &&\text{sol conforme} \\[3pt] \text{VAN}_{\text{def}} &= 138{,}21 - (18{,}00 + 5{,}00) = \mathbf{115{,}21} \text{ M€} &&\text{surcout geologique} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux VAN encadrent bien celle du forfait, 118,21 M€. Autrement dit, le coût majoré est meilleur si le sol est bon et pire s'il ne l'est pas — ce qui est exactement la définition d'un pari, et ce qui rend la question 3 nécessaire.

Ordre de grandeur : les deux valeurs se situent entre 115 et 121 M€, soit une dispersion de 4 % autour de la moyenne. L'enjeu est faible en relatif.
Impact sur la suite : la valeur attendue de la question 3 se situera nécessairement entre ces deux bornes, plus près de la première puisqu'elle est plus probable.
Cohérence : la VAN du forfait, 118,21 M€, tombe entre les deux, ce qui est logique puisque son coût de 20 M€ est compris entre 18 et 23 M€.
Attention : même dans le pire scénario, la VAN reste très largement positive. Le projet n'est jamais menacé ; seule la répartition du gain est en jeu.
Comparaison : rapporté au coût cible de 18 M€, le surcoût représente 27,8 %. C'est considérable sur la facture, et pourtant à peine 4 % de la VAN : l'échelle du projet écrase l'aléa.

Remarque pédagogique : Le fait que la VAN du forfait tombe entre les deux scénarios n'est pas un hasard : le prix forfaitaire intègre par construction une part du risque que l'entreprise a chiffrée. C'est ce que la question 4 va quantifier.

Calcul 2 — Amplitude et contrôle par élimination

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour valider les deux résultats précédents par une propriété structurelle, et pour mesurer l'exposition réelle au risque géologique.

Méthodologie du calcul :

On soustrait les deux VAN. La valeur actuelle des recettes, présente dans les deux, s'élimine, et il ne doit rester que le surcoût. On rapporte ensuite cette amplitude à la VAN pour la relativiser.

Substitution : on injecte les deux VAN obtenues, 120,21 et 115,21 M€.
Piège évité : ne pas actualiser le surcoût. Il est supposé engagé en année zéro, comme le reste de l'investissement.
Hypothèse validée : les recettes sont strictement identiques, condition sans laquelle l'élimination ne serait pas licite.
Vérification croisée : l'amplitude doit valoir 5,00 M€ exactement. Une valeur approchée trahirait une erreur d'arrondi sur la VAR.
Finalité : disposer de la mesure de l'exposition au risque, indépendante de sa probabilité.

\[ \begin{aligned} \text{amplitude} &= 120{,}21 - 115{,}21 = \mathbf{5{,}00} \text{ M€} \; = \; \text{surcout} \;\; \checkmark \\[6pt] \frac{\text{amplitude}}{\text{VAN}_{\text{fav}}} &= \frac{5{,}00}{120{,}21} = \mathbf{4{,}16} \; \% \\[3pt] \frac{\text{surcout}}{I_{0,\text{cible}}} &= \frac{5{,}00}{18{,}00} = \mathbf{27{,}8} \; \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'amplitude vaut exactement le surcoût, ce qui valide les deux calculs précédents. Et les deux ratios racontent deux histoires opposées : le risque pèse 27,8 % du coût de construction mais seulement 4,2 % de la valeur du projet. C'est le même risque, vu depuis le constructeur ou depuis la collectivité.

Ordre de grandeur : l'égalité est exacte, sans décimale résiduelle. Les arrondis de la question 1 n'ont pas propagé d'erreur.
Impact sur la suite : ce sont ces 5 M€ qui, pondérés par leur probabilité, produiront l'écart entre les deux options en question 4.
Cohérence : la propriété d'élimination est vérifiée : tout terme commun disparaît d'une différence.
Attention : un risque à 4 % de la VAN peut sembler négligeable. Rapporté au budget de construction, il représente plus du quart : c'est ce second cadrage qui compte pour l'entreprise.
Comparaison : c'est précisément parce que ce risque est lourd pour le constructeur qu'il le facturera cher dans un prix forfaitaire — la question 4 en donnera le montant.

Remarque pédagogique : Cherchez systématiquement les termes qui s'éliminent dans une comparaison. Ils vous offrent un contrôle gratuit et vous évitent souvent des calculs entiers — ici, toute la question 4 pourra se traiter sur les seuls coûts.

LES DEUX ISSUES POSSIBLES — APRÈS CALCULS

RÉSULTAT FINAL

120,21 M€ ou 115,21 M€ — amplitude 5,00 M€

Les deux issues encadrent la VAN du forfait. L'écart vaut exactement le surcoût, ce qui valide les deux calculs par élimination.

Question 3 : Valeur monétaire attendue du coût majoré

Dans la tête de l'ingénieur

« Deux issues, deux probabilités : la moyenne pondérée est mécanique. Mais je vais la calculer deux fois, par deux chemins différents. Le premier pondère les valeurs actuelles nettes, comme le demande l'arbre de décision. Le second pondère directement les coûts, puis retranche le résultat de la valeur des recettes. Les deux doivent tomber sur le même nombre, et ce n'est pas un hasard : l'espérance d'une différence est la différence des espérances, et les recettes étant certaines, leur espérance est leur valeur. Ce second chemin est bien plus court, et il révèle quelque chose d'important — toute cette question se joue sur les coûts seuls. Les 138 M€ de recettes sont un décor identique dans les deux branches. »

Observation : Les probabilités somment à 1 : 70 % et 30 %. C'est la première chose à vérifier sur un nœud de hasard, faute de quoi la moyenne n'en est pas une.
Analyse du risque : Une valeur attendue est une moyenne, pas une prévision. Le résultat de 118,71 M€ ne se produira jamais : la réalité sera soit 120,21, soit 115,21. Confondre les deux est l'erreur conceptuelle majeure de la décision en avenir incertain.
Choix stratégique : Doubler le calcul par la voie des coûts. Non seulement cela valide le résultat, mais cela met en évidence que la décision ne dépend que d'eux.
Alternative : On pourrait retenir un critère de prudence plutôt que l'espérance — par exemple juger chaque option sur son pire scénario. Le forfait l'emporterait alors sans discussion, puisque son pire cas est aussi son seul cas.
Objectif visé : Obtenir la valeur unique qui rend l'option risquée comparable à l'option certaine, condition nécessaire pour que l'arbre de décision puisse trancher.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

VMA = 118,71 M€ — confirmée par le coût espéré de 19,50 M€ retranché des recettes

Rappel Théorique : l'espérance mathématique comme critère de décision

Face à plusieurs issues incertaines, la valeur monétaire attendue résume la situation en un seul nombre : la moyenne des issues, pondérée par leurs probabilités. C'est le critère qui permet de remonter un arbre de décision, en remplaçant chaque nœud de hasard par sa valeur espérée.

La définition : somme des valeurs multipliées par leurs probabilités. Les probabilités doivent sommer à 1 et couvrir toutes les issues possibles.
La linéarité de l'espérance : l'espérance d'une somme est la somme des espérances, même si les variables sont dépendantes. C'est ce qui autorise le second chemin de calcul.
L'espérance d'une constante : une grandeur certaine est sa propre espérance. Les recettes, identiques dans les deux branches, sortent du calcul aléatoire.
Le sens de la moyenne : la valeur attendue est celle que l'on obtiendrait en moyenne sur un grand nombre de projets identiques. Sur un projet unique, elle ne se réalisera jamais.
La neutralité au risque : décider sur la seule espérance revient à se déclarer indifférent au risque. Une collectivité publique, qui construit un pont une fois, n'est généralement pas dans cette position.

Équations Fondamentales

Deux relations qui donnent le même résultat par des chemins différents. La première suit l'arbre de décision branche par branche ; la seconde exploite la linéarité de l'espérance pour ne travailler que sur ce qui varie. C'est cette seconde forme qui éclairera les questions 4 et 5.

Formule 1 — Valeur monétaire attendue par les issues :

Elle pondère chaque valeur actuelle nette par la probabilité de l'issue correspondante.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle suit exactement la structure de l'arbre. Chaque branche porte une valeur et une probabilité ; le nœud de hasard se remplace par la somme pondérée. C'est le mécanisme même de la remontée d'arbre.

Contexte de validité : les issues doivent être exhaustives et exclusives, et leurs probabilités sommer à l'unité.
Avantage : elle se généralise à n'importe quel nombre d'issues et à des arbres à plusieurs niveaux, sans changer de principe.
Paramètre clé : les probabilités, qui proviennent ici d'une expertise géotechnique et non d'une mesure. Ce sont les données les plus incertaines de tout l'exercice.
Vérification : le résultat doit être compris entre les deux issues, et plus proche de celle qui est la plus probable.
Limite : elle ignore complètement la dispersion. Deux options de même espérance mais d'amplitudes très différentes reçoivent la même note.

\[ \begin{aligned} \text{VMA} = \sum_{i} p_{i} \times \text{VAN}_{i} \quad \text{avec} \quad \sum_{i} p_{i} = 1 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Ce que rapporterait ce pari, répété un grand nombre de fois. Une collectivité qui construirait cent ponts dans ces conditions obtiendrait en moyenne cette valeur. Mais elle n'en construit qu'un : l'espérance décrit une population, pas un projet.

Décomposition des termes :

\( \text{VMA} \) : valeur monétaire attendue de l'option risquée, unité : M€
\( p_{i} \) : probabilité de l'issue \( i \), unité : sans
\( \text{VAN}_{i} \) : valeur actuelle nette de l'issue \( i \), unité : M€

Formule 2 — Valeur attendue par l'espérance du coût :

Elle retranche le coût espéré de la valeur actuelle des recettes, qui est certaine.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle isole ce qui est réellement aléatoire. Les recettes sont certaines : les faire entrer dans un calcul de probabilité n'apporte rien et masque la structure du problème. Ne rester que sur les coûts rend la question 5 presque immédiate.

Contexte de validité : les recettes doivent être indépendantes de l'issue. Si l'aléa avait affecté le trafic, cette factorisation serait fausse.
Avantage : elle réduit le problème à une comparaison de coûts : 20 M€ certains contre une espérance à déterminer. Tout le reste est décor.
Paramètre clé : le coût espéré, qui concentre à lui seul toute l'information utile à la décision.
Vérification : elle doit redonner exactement le résultat de la formule 1. Tout écart signale une erreur de pondération.
Limite : elle ne s'applique que si une seule composante est aléatoire. Avec un aléa sur les recettes également, il faudrait revenir à la forme générale.

\[ \begin{aligned} \text{VMA} = \text{VAR} - \mathbb{E}\bigl[I_{0}\bigr] \quad \text{avec} \quad \mathbb{E}\bigl[I_{0}\bigr] = \sum_{i} p_{i} \, I_{0,i} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le seul pari porte sur la facture du constructeur. Les péages tomberont de toute façon. Ce que la collectivité ignore, c'est ce qu'elle paiera pour le pont — et c'est là, uniquement là, que se joue le choix entre les deux contrats.

Décomposition des termes :

\( \mathbb{E}[I_{0}] \) : espérance du coût d'investissement, unité : M€
\( p_{i} \) : probabilité de l'issue \( i \), unité : sans
\( I_{0,i} \) : coût de l'issue \( i \), unité : M€
\( \text{VAR} \) : valeur actuelle des recettes, certaine, unité : M€

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Beaucoup d'étudiants annoncent que le projet vaudra 118,71 M€. Or cette valeur ne se produira jamais : le résultat sera 120,21 ou 115,21, et rien d'autre. »

L'approche d'ingénieur : Une espérance est un critère de comparaison, pas une prévision. Elle sert à classer des options, jamais à annoncer un résultat.

L'erreur : écrire « le projet rapportera 118,71 M€ ». Aucune des deux issues ne vaut ce montant : c'est une moyenne, et la moyenne n'est pas un état du monde.
La bonne méthode : annoncer toujours les deux issues et leurs probabilités à côté de l'espérance. « 120,21 M€ dans 70 % des cas, 115,21 M€ dans 30 % des cas, soit une espérance de 118,71 M€. »
L'astuce de pro : accompagner l'espérance de l'amplitude calculée en question 2. Deux options de même espérance ne se valent pas si l'une expose à 5 M€ de variation et l'autre à rien.
Le moyen mnémotechnique : « on ne construit pas un demi-pont ». L'espérance décrit une répétition, le projet est unique.
L'impact direct : présenter une espérance comme une prévision à un conseil municipal, c'est lui cacher le risque qu'il est précisément chargé d'apprécier.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Probabilités : grandeurs sans dimension, à écrire 0,70 et 0,30 dans les formules
Somme des probabilités : doit valoir exactement 1, contrôle préalable obligatoire
Valeurs actuelles nettes : des M€, exprimés à l'année zéro
Produit probabilité par valeur : sans dimension multiplié par des M€, donc des M€
Coût espéré : moyenne pondérée de deux montants, donc en M€

Deux calculs qui doivent converger. Le premier suit l'arbre de décision en pondérant les deux valeurs actuelles nettes. Le second passe par l'espérance du coût, chemin plus court qui prépare directement la question 5.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Valeur monétaire attendue par pondération des issues

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour remplacer le nœud de hasard de l'arbre par une valeur unique, seule opération qui permette de comparer la branche risquée à la branche certaine.

Méthodologie du calcul :

On vérifie d'abord que les probabilités somment à l'unité, puis on pondère chaque valeur actuelle nette par la sienne et l'on additionne. On situe enfin le résultat par rapport aux deux bornes.

Substitution : on injecte les deux VAN, 120,21 et 115,21 M€, et les probabilités 0,70 et 0,30.
Piège évité : ne pas associer la probabilité de 30 % au scénario favorable. Le surcoût est l'issue rare, avec 30 % ; le sol conforme est l'issue probable, avec 70 %.
Hypothèse validée : les deux issues sont exhaustives : soit le surcoût se réalise, soit il ne se réalise pas. Aucune troisième possibilité n'est modélisée.
Vérification croisée : le résultat doit tomber entre 115,21 et 120,21 M€, et plus près de la borne haute puisqu'elle est deux fois plus probable.
Finalité : produire la valeur qui sera confrontée à la VAN du forfait en question 4.

\[ \begin{aligned} p_{\text{fav}} + p_{\text{def}} &= 0{,}70 + 0{,}30 = 1{,}00 \;\; \checkmark \\[6pt] \text{VMA} &= 0{,}70 \times 120{,}21 + 0{,}30 \times 115{,}21 \\[3pt] &= 84{,}147 + 34{,}563 \\[3pt] &= \mathbf{118{,}71} \text{ M€} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

118,71 M€, valeur située à 30 % de la borne haute vers la borne basse — exactement la probabilité du surcoût, ce qui est la propriété attendue d'une moyenne pondérée. Cette valeur ne se réalisera jamais : elle sert uniquement à comparer.

Ordre de grandeur : le résultat est bien compris entre les deux issues et penche du côté du scénario le plus probable.
Impact sur la suite : cette valeur sera comparée aux 118,21 M€ du forfait. L'écart s'annonce très faible.
Cohérence : la somme des probabilités vaut exactement 1, et l'espérance se place bien à 30 % de la distance entre les bornes.
Attention : l'écart avec le forfait sera plus petit que l'incertitude sur les probabilités elles-mêmes. Une expertise géotechnique ne donne pas 30 % à un point près.
Comparaison : avec une probabilité de surcoût de 10 %, la valeur attendue monterait à 119,71 M€ ; à 90 %, elle tomberait à 115,71 M€. La sensibilité est linéaire.

Remarque pédagogique : Vérifier que les probabilités somment à l'unité prend deux secondes et détecte une catégorie entière d'erreurs — issue oubliée, probabilité mal recopiée, complémentaire mal calculé. Faites-le systématiquement.

Calcul 2 — Contrôle par l'espérance du coût

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour valider le résultat par un chemin qui n'emprunte pas les valeurs actuelles nettes, et pour faire apparaître que toute la décision se joue sur les coûts.

Méthodologie du calcul :

On calcule l'espérance du coût d'investissement en pondérant les deux montants, puis on la retranche de la valeur actuelle des recettes. Le résultat doit coïncider avec le calcul précédent.

Substitution : on injecte les coûts 18 et 23 M€ avec leurs probabilités, puis la VAR de 138,21 M€.
Piège évité : ne pas pondérer le surcoût seul en oubliant le coût cible. L'espérance porte sur le coût total, non sur l'écart.
Hypothèse validée : les recettes sont certaines, donc leur espérance est leur valeur. C'est la condition qui autorise cette factorisation.
Vérification croisée : le coût espéré peut aussi s'écrire 18 + 0,30 × 5, forme qui prépare directement la question 5.
Finalité : disposer du coût espéré de 19,50 M€, seule grandeur nécessaire à la comparaison de la question 4.

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}\bigl[I_{0}\bigr] &= 0{,}70 \times 18{,}00 + 0{,}30 \times 23{,}00 \\[3pt] &= 12{,}60 + 6{,}90 = \mathbf{19{,}50} \text{ M€} \\[3pt] &= 18{,}00 + 0{,}30 \times 5{,}00 \quad \text{forme equivalente} \\[6pt] \text{VMA} &= 138{,}21 - 19{,}50 = \mathbf{118{,}71} \text{ M€} \;\; \checkmark \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux chemins coïncident exactement. Et le second livre l'information décisive : le coût espéré de l'option risquée vaut 19,50 M€, contre 20 M€ ferme pour le forfait. Toute la question 4 tient dans cette comparaison — les 138,21 M€ de recettes n'y jouent aucun rôle.

Ordre de grandeur : le coût espéré est plus proche du coût cible que du coût majoré, ce qui reflète la probabilité de 70 % du scénario favorable.
Impact sur la suite : la comparaison des questions 4 et 5 pourra se faire directement sur les coûts, ce qui simplifie considérablement les calculs.
Cohérence : les deux voies donnent 118,71 M€ sans écart d'arrondi. Le résultat est établi.
Attention : la forme 18 + 0,30 × 5 montre que le coût espéré est une fonction affine de la probabilité. C'est la clé de la recherche du point de bascule en question 5.
Comparaison : l'entreprise, en proposant 20 M€ ferme, a donc chiffré le risque à 2 M€ au-dessus de son coût cible, soit une probabilité implicite de 40 % — nous y reviendrons.

Remarque pédagogique : Chercher toujours à factoriser ce qui est certain hors du calcul aléatoire. Non seulement le calcul raccourcit, mais la structure du problème apparaît — ici, une simple comparaison de deux coûts.

L'ARBRE REMONTÉ — APRÈS CALCULS

RÉSULTAT FINAL

VMA = 118,71 M€

Valeur de comparaison, jamais de réalisation : le résultat effectif sera 120,21 ou 115,21 M€. Coût espéré associé : 19,50 M€.

Question 4 : Comparaison et prime de risque

Dans la tête de l'ingénieur

« Deux nombres à comparer : 118,21 et 118,71. Le second est le plus grand — je l'écris tout de suite et je m'y tiens, parce que c'est exactement le genre d'écart minuscule qu'on inverse par distraction en rédigeant la conclusion. L'option risquée est donc, en espérance, la plus avantageuse. De 0,5 M€ sur 118, soit quatre dixièmes de pour-cent. Et là il faut poser la vraie question : ces 0,5 M€, qu'est-ce que c'est ? C'est ce que la collectivité paie pour dormir tranquille. L'entreprise lui vend une certitude, et cette certitude a un prix. La décision ne consiste pas à choisir le plus grand nombre : elle consiste à dire si ce prix est raisonnable. »

Observation : L'écart entre les deux options est de 0,42 %. C'est infiniment moins que l'incertitude sur les données d'entrée, à commencer par la probabilité de 30 % elle-même.
Analyse du risque : Trancher une décision sur un écart de 0,4 % revient à décider au hasard. Aucune expertise géotechnique ne donne une probabilité à mieux que dix points près, et dix points déplacent l'écart bien davantage.
Choix stratégique : Traduire l'écart en prime de risque sur les coûts. Comparer 20 M€ ferme à 19,50 M€ espérés est bien plus parlant que comparer deux valeurs à 118 M€ dont l'essentiel est commun.
Alternative : On pourrait retenir un critère de prudence : juger chaque option sur son pire scénario. Le forfait donnerait 118,21 M€ contre 115,21 M€ pour le coût majoré, et l'emporterait nettement.
Objectif visé : Chiffrer ce que coûte la sécurité, puis dire si une collectivité territoriale a intérêt à l'acheter à ce prix.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

VMA = 118,71 M€ > VAN forfait = 118,21 M€ — écart de +0,50 M€, soit une prime de risque de 2,56 %

Rappel Théorique : la prime de risque

Lorsqu'une partie accepte de supporter un aléa à la place d'une autre, elle le facture. La différence entre le prix ferme demandé et le coût espéré de l'aléa est la prime de risque : c'est le prix de la certitude, et c'est le véritable objet de la comparaison entre les deux contrats.

La définition : écart entre le prix ferme proposé et l'espérance du coût de l'option risquée. Positive, elle signifie que la certitude se paie.
Le transfert de risque : à prix forfaitaire, l'aléa géologique change de porteur : il quitte la collectivité pour l'entreprise, qui l'intègre à son prix.
La probabilité implicite : un prix ferme révèle la probabilité que l'entreprise attribue au risque. Il suffit de résoudre l'équation qui égale le prix ferme au coût espéré.
L'aversion au risque : un décideur qui accepte de payer une prime se déclare averse au risque. Ce n'est ni rationnel ni irrationnel : cela dépend de sa capacité à absorber le mauvais scénario.
Le cas de la collectivité : une commune construit un pont une seule fois. Elle ne peut pas mutualiser l'aléa sur un grand nombre d'opérations, ce qui justifie une aversion au risque supérieure à celle d'un constructeur.

Équations Fondamentales

Deux relations qui expriment la même grandeur à deux niveaux différents : l'une sur les valeurs actuelles nettes, l'autre sur les coûts. Elles donnent nécessairement le même nombre, et c'est cette égalité qui montre que la décision se joue entièrement sur les coûts.

Formule 1 — Écart entre les deux options :

Elle mesure l'avantage de l'option risquée sur l'option certaine, en espérance.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la comparaison directe que l'arbre de décision appelle : deux branches, deux valeurs, on retient la plus grande. Encore faut-il l'écrire dans le bon sens et lire le signe correctement.

Contexte de validité : les deux valeurs doivent porter sur le même périmètre et la même date, ce qui est le cas ici par construction.
Avantage : elle est immédiate et suit littéralement la structure de l'arbre de décision.
Paramètre clé : le sens de la soustraction. Un écart positif signifie que l'option risquée l'emporte en espérance, un écart négatif que le forfait l'emporte.
Vérification : l'écart doit être inférieur en valeur absolue à l'amplitude de la question 2, puisque la moyenne est comprise entre les bornes.
Limite : elle compare des espérances, donc elle ignore la dispersion. Un écart favorable de 0,5 M€ ne dit rien du risque de perdre 5 M€.

\[ \begin{aligned} \Delta = \text{VMA}_{\text{cout majore}} - \text{VAN}_{\text{forfait}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien la collectivité gagne-t-elle, en moyenne, à prendre le risque ? Si l'écart est positif, parier rapporte davantage que la sécurité — en moyenne seulement, et sur un projet unique cette moyenne n'existe pas.

Décomposition des termes :

\( \Delta \) : avantage de l'option risquée en espérance, unité : M€
\( \text{VMA} \) : valeur attendue de l'option en coût majoré, unité : M€
\( \text{VAN}_{\text{forfait}} \) : valeur certaine de l'option forfaitaire, unité : M€

Formule 2 — Prime de risque et probabilité implicite :

Elle exprime le même écart sur les coûts, et en déduit la probabilité que l'entreprise attribue implicitement au surcoût.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle fait parler le prix de l'entreprise. Un prix ferme n'est pas un nombre arbitraire : il contient l'appréciation du risque par celui qui le porte. La comparer à celle du géotechnicien est très instructif.

Contexte de validité : elle suppose l'entreprise neutre au risque et sans marge additionnelle sur l'aléa, hypothèse simplificatrice mais éclairante.
Avantage : elle travaille sur des montants de l'ordre de 20 M€ au lieu de 118 M€, ce qui rend l'écart lisible au lieu d'être noyé.
Paramètre clé : le prix ferme proposé par l'entreprise, seule donnée qui révèle son appréciation du risque géologique.
Vérification : la prime calculée sur les coûts doit être égale en valeur absolue à l'écart calculé sur les valeurs actuelles nettes.
Limite : la probabilité implicite mélange l'appréciation du risque et la marge commerciale. Une entreprise peut majorer son prix sans croire au surcoût.

\[ \begin{aligned} \pi = I_{\text{forfait}} - \mathbb{E}\bigl[I_{0}\bigr] \quad \text{et} \quad p_{\text{implicite}} : \; I_{\text{cible}} + p \times \text{surcout} = I_{\text{forfait}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le prix ferme trahit ce que l'entreprise pense du sol. En demandant deux millions de plus que son coût cible, elle se comporte comme si le surcoût avait quatre chances sur dix de survenir. Le géotechnicien, lui, en annonce trois sur dix. L'écart entre ces deux appréciations est toute la négociation.

Décomposition des termes :

\( \pi \) : prime de risque payée pour la certitude, unité : M€
\( I_{\text{forfait}} \) : prix ferme du contrat forfaitaire, unité : M€
\( \mathbb{E}[I_{0}] \) : coût espéré de l'option risquée, unité : M€
\( p_{\text{implicite}} \) : probabilité de surcoût implicite au prix ferme, unité : sans

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Beaucoup d'étudiants recommandent le forfait — ce qui se défend — mais écrivent “malgré une valeur attendue plus faible”. Or elle est plus élevée : le tableau de comparaison dit l'inverse de la phrase de conclusion. »

L'approche d'ingénieur : Une recommandation peut aller contre le critère financier, à condition de le dire. Ce qui est fautif, c'est de se tromper sur le sens de l'écart que l'on vient de calculer.

L'erreur : écrire que la valeur attendue est plus faible alors qu'elle vaut 118,71 contre 118,21 M€. L'écart est ténu, ce qui rend l'inversion d'autant plus facile — et d'autant plus grave, puisqu'elle retourne l'argumentation.
La bonne méthode : écrire le signe de l'écart avant de rédiger, et le reporter tel quel dans la conclusion. Ici : l'option risquée l'emporte de 0,50 M€ en espérance, et l'on recommande néanmoins le forfait.
L'astuce de pro : formuler la recommandation en deux temps : « le critère financier désigne A ; nous recommandons B pour la raison suivante ». La divergence devient un argument, non une contradiction.
Le moyen mnémotechnique : « on ne dit pas contre les chiffres, on dit au-delà des chiffres ».
L'impact direct : une note dont la conclusion contredit son propre tableau est irrecevable devant un conseil municipal : le premier lecteur attentif y verra une erreur de fond, même si la recommandation est bonne.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Valeur attendue et valeur certaine : deux M€ exprimés à l'année zéro
Écart : différence de deux montants, donc en M€, avec un signe porteur de sens
Écart relatif : quotient de deux montants, donc sans dimension
Prime de risque : différence de deux coûts, donc en M€
Probabilité implicite : grandeur sans dimension, comprise entre 0 et 1

Deux calculs qui disent la même chose à deux échelles. Le premier compare les valeurs actuelles nettes, comme le demande l'arbre. Le second ramène l'écart aux coûts, où il devient lisible, et fait parler le prix de l'entreprise.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Écart entre les deux options

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour désigner sans ambiguïté l'option que le critère financier privilégie, et pour mesurer à quel point cette désignation est fragile.

Méthodologie du calcul :

On soustrait la valeur certaine de la valeur attendue, en notant soigneusement le signe. On rapporte ensuite l'écart à la valeur de référence pour en apprécier la portée relative.

Substitution : on injecte \( \text{VMA} = 118{,}71 \) M€ et \( \text{VAN}_{\text{forfait}} = 118{,}21 \) M€.
Piège évité : lire attentivement laquelle des deux est la plus grande. Les deux valeurs partagent leurs quatre premiers chiffres significatifs.
Hypothèse validée : les deux valeurs reposent sur la même valeur actuelle des recettes et la même hypothèse d'horizon : elles sont comparables.
Vérification croisée : l'écart doit être inférieur à 5,00 M€, amplitude de la question 2, et de loin.
Finalité : disposer du signe et de l'ordre de grandeur qui fonderont la recommandation.

\[ \begin{aligned} \Delta &= 118{,}71 - 118{,}21 = \mathbf{+0{,}50} \text{ M€} \\[3pt] &\Rightarrow \; \text{la valeur attendue du cout majore est la } \mathbf{plus \; elevee} \\[6pt] \frac{\Delta}{\text{VAN}_{\text{forfait}}} &= \frac{0{,}50}{118{,}21} = \mathbf{+0{,}42} \; \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'option en coût majoré l'emporte de 0,50 M€, soit 0,42 %. Un écart aussi ténu ne peut pas, à lui seul, fonder une décision : il est très inférieur à l'incertitude sur les données qui l'ont produit. Reste à comprendre d'où il vient, ce que le calcul suivant va montrer.

Ordre de grandeur : 0,50 M€ représente un dixième de l'amplitude du risque, et 0,42 % de la valeur du projet.
Impact sur la suite : la faiblesse de cet écart impose l'analyse de sensibilité de la question 5 : il suffit de peu pour le renverser.
Cohérence : l'écart est bien inférieur à l'amplitude de 5,00 M€, comme il se doit pour une moyenne comprise entre deux bornes.
Attention : le critère de l'espérance désigne le coût majoré. Recommander le forfait exige donc un argument explicite, qui ne peut pas être financier.
Comparaison : une variation de la probabilité de surcoût de seulement dix points déplace l'écart de 0,50 M€ — c'est-à-dire l'annule ou le double.

Remarque pédagogique : Quand deux options se tiennent à moins de 1 %, la bonne conclusion n'est pas « A gagne » mais « elles sont équivalentes au regard du critère financier ». Le choix doit alors se faire sur d'autres considérations, et il faut l'écrire.

Calcul 2 — Prime de risque et probabilité implicite du prix ferme

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour identifier la nature de l'écart précédent : ce n'est pas un avantage financier du coût majoré, c'est le prix que l'entreprise facture pour porter le risque.

Méthodologie du calcul :

On compare le prix ferme au coût espéré de l'option risquée. On résout ensuite l'équation qui donnerait un coût espéré égal au prix ferme, ce qui révèle la probabilité implicite retenue par l'entreprise.

Substitution : on injecte \( I_{\text{forfait}} = 20 \) M€ et \( \mathbb{E}[I_{0}] = 19{,}50 \) M€, puis on résout \( 18 + 5p = 20 \).
Piège évité : ne pas confondre la prime avec le surcoût. La prime vaut 0,50 M€, le surcoût 5 M€ : un facteur dix les sépare.
Hypothèse validée : l'entreprise est supposée neutre au risque et sans marge spécifique sur l'aléa. La probabilité implicite mêle en réalité les deux.
Vérification croisée : la prime doit valoir exactement l'écart du calcul 1, soit 0,50 M€, puisque les recettes s'éliminent.
Finalité : fournir au conseil municipal un argument négociable : l'entreprise price le risque plus cher que ne le fait le géotechnicien.

\[ \begin{aligned} \pi &= 20{,}00 - 19{,}50 = \mathbf{0{,}50} \text{ M€} \; = \; \Delta \;\; \checkmark \\[3pt] \frac{\pi}{\mathbb{E}[I_{0}]} &= \frac{0{,}50}{19{,}50} = \mathbf{2{,}56} \; \% \\[6pt] 18 + 5\,p_{\text{implicite}} &= 20 \quad \Rightarrow \quad p_{\text{implicite}} = \frac{2}{5} = \mathbf{40} \; \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La prime de risque vaut 0,50 M€, soit 2,56 % du coût espéré — un prix modeste pour une certitude complète. Et le calcul révèle davantage : en demandant 20 M€ ferme, l'entreprise se comporte comme si le surcoût avait 40 % de chances de survenir, quand le géotechnicien en annonce 30 %. Elle est donc plus pessimiste que l'expert, ou bien elle prend une marge sur l'aléa.

Ordre de grandeur : une prime de 2,56 % du coût est faible pour un transfert de risque géologique complet. Sur des ouvrages souterrains, elle atteint couramment le double ou le triple.
Impact sur la suite : la probabilité implicite de 40 % est exactement le seuil que la question 5 va retrouver par une autre voie. Ce n'est pas une coïncidence.
Cohérence : la prime calculée sur les coûts égale exactement l'écart calculé sur les valeurs actuelles nettes. Les recettes se sont bien éliminées.
Attention : la probabilité implicite ne mesure pas seulement une croyance : elle contient aussi la marge commerciale que l'entreprise prend sur l'aléa. Les deux sont indissociables.
Comparaison : si la collectivité obtenait le forfait à 19,50 M€, les deux options deviendraient strictement équivalentes en espérance, et le forfait s'imposerait sans discussion.

Remarque pédagogique : La probabilité implicite est l'outil de négociation le plus utile de cet exercice. Elle permet de dire à l'entreprise : « votre prix suppose 40 % de risque, notre expert en annonce 30 % — discutons. »

LE PRIX DE LA CERTITUDE — APRÈS CALCULS

RÉSULTAT FINAL

Prime de risque = 0,50 M€, soit 2,56 %

La valeur attendue du coût majoré est la plus élevée, de 0,42 %. Cet écart n'est pas un avantage : c'est le prix que l'entreprise facture pour porter le risque géologique.

Question 5 : Sensibilité, point de bascule et faisabilité juridique

Dans la tête de l'ingénieur

« On me demande de refaire le calcul à 50 %. Je vais le faire, mais c'est le plus petit service que je puisse rendre : refaire un calcul avec une autre valeur ne dit rien de la robustesse de la décision, cela déplace seulement le curseur d'un cran. La vraie question est : à partir de quelle probabilité la recommandation change-t-elle de camp ? Comme la valeur attendue est une fonction affine de la probabilité, l'équation se résout en une ligne et donne un seuil unique. Ce seuil, je peux le mettre entre les mains du géotechnicien : il saura, lui, dire si l'on est au-dessus ou en dessous. Et il me reste une dernière vérification, celle que personne ne fait jamais : cette commune a-t-elle seulement le droit de signer un contrat en coût majoré ? »

Observation : La valeur attendue s'écrit coût cible moins probabilité fois surcoût. C'est une droite : une seule inconnue, un seul point d'intersection avec l'horizontale du forfait.
Analyse du risque : Recommander une option sur un écart de 0,42 % sans avoir cherché le seuil de bascule, c'est ignorer que la décision peut s'inverser pour une variation de probabilité que l'expertise ne sait même pas exclure.
Choix stratégique : Résoudre l'équation plutôt que tabuler des valeurs. Un seuil unique se transmet, se discute et se vérifie ; une liste de scénarios ne se discute pas.
Alternative : On pourrait faire varier le surcoût plutôt que la probabilité, ou les deux à la fois. Le seuil deviendrait une courbe dans un plan, ce qui est plus complet mais bien moins communicable au conseil municipal.
Objectif visé : Livrer une recommandation assortie de son domaine de validité, et vérifier que l'option retenue est juridiquement praticable par une collectivité territoriale.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

VMA à 50 % = 117,71 M€ — probabilité de bascule = 40 % — coût majoré praticable seulement au titre de l'art. R. 2112-17

Rappel Théorique : robustesse d'une décision et faisabilité juridique

Une analyse de décision ne s'achève pas sur un nombre, mais sur un domaine de validité. Et lorsqu'il s'agit d'un acheteur public, elle ne s'achève pas non plus sur un critère financier : encore faut-il que l'option retenue soit autorisée par le code de la commande publique.

La linéarité en probabilité : la valeur attendue d'une alternative à deux issues est une fonction affine de la probabilité. Son graphe est un segment reliant les deux issues.
Le point d'indifférence : l'intersection de ce segment avec la valeur de l'option certaine donne la probabilité de bascule. En ce point, les deux options sont strictement équivalentes.
L'interprétation du seuil : au-dessous du seuil, l'option risquée l'emporte ; au-dessus, l'option certaine. Le seuil transforme une comparaison de nombres en règle de décision.
Le prix provisoire : un contrat en coût majoré est, en droit français, un marché à prix provisoire. Le prix « ne deviendra définitif qu'au cours de l'exécution du marché, par la voie d'un avenant ».
Le caractère exceptionnel : pour les collectivités territoriales, le recours au prix provisoire n'est possible que dans les hypothèses limitativement énumérées à l'article R. 2112-17, dont celle des aléas techniques importants.

Équations Fondamentales

Deux relations et une règle. Les deux formules transforment la comparaison ponctuelle de la question 4 en règle de décision générale ; la règle juridique, elle, ne se calcule pas mais conditionne tout le reste — une option interdite ne se compare pas.

Formule 1 — Valeur attendue en fonction de la probabilité :

Elle exprime la valeur de l'option risquée comme une fonction affine décroissante de la probabilité de surcoût.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle remplace une infinité de calculs par une seule expression. Au lieu de refaire l'exercice pour 30 %, 40 %, 50 %, on obtient la réponse pour toutes les valeurs à la fois, et l'on peut la représenter d'un trait.

Contexte de validité : deux issues seulement, et un surcoût fixe. Avec trois issues ou un surcoût variable, l'expression resterait affine mais avec d'autres coefficients.
Avantage : la pente vaut le surcoût. On lit donc directement, sur le graphe, de combien la valeur chute par point de probabilité supplémentaire.
Paramètre clé : le surcoût, qui fixe la pente. Plus il est grand, plus la décision est sensible à l'estimation de la probabilité.
Vérification : pour \( p = 0 \) elle doit redonner la VAN du scénario favorable, et pour \( p = 1 \) celle du scénario défavorable.
Limite : elle ne vaut que si la valeur des recettes ne dépend pas de la probabilité, ce qui est le cas ici mais ne l'est pas toujours.

\[ \begin{aligned} \text{VMA}(p) = \text{VAN}_{\text{fav}} - p \times \text{surcout} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Chaque point de probabilité coûte un centième du surcoût. Passer de 30 % à 40 % de risque retire 0,5 M€ à la valeur attendue. La droite descend d'autant que le surcoût est lourd — c'est lui, et non la probabilité, qui rend la décision sensible.

Décomposition des termes :

\( \text{VMA}(p) \) : valeur attendue pour une probabilité de surcoût \( p \), unité : M€
\( \text{VAN}_{\text{fav}} \) : valeur du scénario favorable, ordonnée à l'origine, unité : M€
surcoût : pente de la droite, au signe près, unité : M€
\( p \) : probabilité de réalisation du surcoût, unité : sans

Formule 2 — Probabilité de bascule :

Elle donne la probabilité pour laquelle les deux options ont exactement la même valeur.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle transforme la décision en question vérifiable par un expert. Demander « le risque dépasse-t-il 40 % ? » à un géotechnicien a du sens ; lui demander de choisir entre deux montages contractuels n'en a pas.

Contexte de validité : le seuil doit tomber entre 0 et 1. S'il en sortait, cela signifierait qu'une option domine l'autre quelle que soit la probabilité.
Avantage : elle donne une règle de décision et non un résultat ponctuel : elle reste valable si les probabilités sont révisées.
Paramètre clé : l'écart entre le prix ferme et le coût cible, rapporté au surcoût. C'est exactement la marge que l'entreprise a prise sur l'aléa.
Vérification : injecter le seuil dans la formule 1 doit redonner exactement la valeur du forfait.
Limite : le seuil dépend du surcoût supposé. Une révision de l'ampleur du surcoût le déplace autant qu'une révision de sa probabilité.

\[ \begin{aligned} p^{\star} = \frac{I_{\text{forfait}} - I_{\text{cible}}}{\text{surcout}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le prix ferme contient déjà une probabilité. Les deux millions que l'entreprise ajoute à son coût cible correspondent à une fraction du surcoût — cette fraction est exactement le seuil de bascule. Payer le forfait, c'est parier que le risque est plus élevé que ce que cette fraction indique.

Décomposition des termes :

\( p^{\star} \) : probabilité d'indifférence entre les deux options, unité : sans
\( I_{\text{forfait}} \) : prix ferme proposé, unité : M€
\( I_{\text{cible}} \) : coût cible de l'option risquée, unité : M€
surcoût : écart entre les deux issues de l'aléa, unité : M€

Formule 3 — Règle de recevabilité du prix provisoire :

Elle conditionne la possibilité même de retenir l'option en coût majoré pour un acheteur public.

Pourquoi cette règle ?

Parce qu'une option juridiquement interdite ne se compare pas. Le calcul financier ne sert à rien si le montage ne peut pas être signé. Cette vérification devrait précéder l'analyse, et non la suivre.

Contexte de validité : elle vise l'État, ses établissements publics non industriels et commerciaux, les collectivités territoriales et leurs groupements. Notre municipalité en relève.
Avantage : elle protège l'acheteur public d'un engagement à prix ouvert, situation dans laquelle il perdrait toute maîtrise budgétaire.
Paramètre clé : la justification du cas d'ouverture. L'impossibilité de fixer le prix « doit résulter de la nature spécifique de l'objet du marché ou des aléas ».
Vérification : s'assurer que le dossier documente bien les aléas techniques importants, ici l'incertitude géotechnique établie par les études de sol.
Limite : le prix provisoire ne reste pas provisoire : il devra être arrêté en cours d'exécution par avenant, ce qui déplace la négociation sans la supprimer.

\[ \begin{aligned} \text{prix provisoire recevable} \iff \begin{cases} \text{aleas techniques importants} \\[3pt] \text{ou urgence imperieuse} \\[3pt] \text{et prix definitif arrete par avenant} \end{cases} \end{aligned} \]

Que dit cette règle physiquement ? On ne signe pas un chèque en blanc avec de l'argent public. Le prix provisoire est une exception, admise seulement quand l'aléa rend le prix impossible à fixer. Et il porte en lui son terme : un avenant devra le figer dès que les paramètres seront connus.

Décomposition des termes :

aléas techniques importants : premier cas d'ouverture de l'art. R. 2112-17, unité : sans
urgence impérieuse : second motif alternatif du même alinéa, unité : sans
avenant : acte par lequel le prix devient définitif en cours d'exécution, unité : sans

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Beaucoup d'étudiants refont le calcul à 50 %, constatent que la décision change, et s'arrêtent là — sans jamais chercher où se trouve exactement la frontière. »

L'approche d'ingénieur : Une analyse de sensibilité ne consiste pas à essayer des valeurs, mais à déterminer le domaine dans lequel la conclusion tient.

L'erreur : tabuler quelques scénarios — 30 %, 40 %, 50 % — et conclure au cas par cas. On ne sait toujours pas ce qui se passe à 38 % ou à 42 %.
La bonne méthode : écrire la valeur attendue comme fonction de la probabilité et résoudre l'équation d'indifférence. Une ligne de calcul remplace un tableau entier.
L'astuce de pro : communiquer le seuil et non le résultat. « Choisissez le coût majoré si le risque est inférieur à 40 % » est une règle utilisable ; « la VMA vaut 118,71 M€ » ne l'est pas.
Le moyen mnémotechnique : « on cherche la frontière, pas des points ».
L'impact direct : sans le seuil, chaque révision de l'expertise géotechnique oblige à refaire toute l'étude. Avec le seuil, une seule comparaison suffit.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Probabilité : grandeur sans dimension, comprise entre 0 et 1
Surcoût : un montant en M€, qui joue le rôle de pente
Produit probabilité par surcoût : sans dimension multiplié par des M€, donc des M€
Seuil de bascule : quotient de deux montants, donc sans dimension — c'est bien une probabilité
La règle juridique ne porte aucune unité : c'est une condition, pas une grandeur

Trois étapes. La première répond à la question posée en refaisant le calcul à 50 %. La deuxième la dépasse en cherchant le seuil exact de bascule. La troisième vérifie que l'option en coût majoré est juridiquement praticable par une commune.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Valeur attendue pour une probabilité de surcoût de 50 %

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le bureau d'études géotechniques envisage cette révision, et qu'il faut savoir si la recommandation tient dans cette hypothèse.

Méthodologie du calcul :

On reprend la pondération de la question 3 avec des probabilités égales, ce qui revient à faire la moyenne simple des deux issues. On confronte ensuite le résultat à la valeur du forfait.

Substitution : on injecte \( p = 0{,}50 \) et les deux VAN, 120,21 et 115,21 M€, inchangées depuis la question 2.
Piège évité : ne pas recalculer les VAN. Seules les probabilités changent ; les coûts et les recettes sont identiques.
Hypothèse validée : les deux issues restent exhaustives : 50 % et 50 % somment bien à l'unité.
Vérification croisée : à probabilités égales, la valeur attendue doit être exactement la moyenne arithmétique des deux issues, soit 117,71 M€.
Finalité : constater que la décision s'inverse, ce qui justifie la recherche du seuil au calcul suivant.

\[ \begin{aligned} \text{VMA}(0{,}50) &= 0{,}50 \times 120{,}21 + 0{,}50 \times 115{,}21 \\[3pt] &= 60{,}105 + 57{,}605 = \mathbf{117{,}71} \text{ M€} \\[6pt] \Delta &= 117{,}71 - 118{,}21 = \mathbf{-0{,}50} \text{ M€} \\[3pt] &\Rightarrow \; \text{le forfait devient la meilleure option} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La décision s'inverse. À 30 %, l'option risquée l'emportait de 0,50 M€ ; à 50 %, elle perd de 0,50 M€. Le basculement est parfaitement symétrique, ce qui indique que le seuil se situe exactement à mi-chemin — c'est ce que le calcul suivant va confirmer.

Ordre de grandeur : à probabilités égales, le résultat est bien la moyenne exacte des deux issues, 117,71 M€.
Impact sur la suite : la symétrie du basculement, +0,50 puis −0,50, annonce un seuil à 40 %, à mi-distance entre 30 et 50 %.
Cohérence : la valeur reste comprise entre les deux issues, comme toute moyenne pondérée.
Attention : vingt points de probabilité ne déplacent la valeur que de 1 M€, soit 0,8 %. La décision est fragile mais l'enjeu financier reste modeste.
Comparaison : même à 100 % de surcoût certain, la valeur attendue resterait à 115,21 M€ : le projet demeure très largement rentable dans tous les cas.

Remarque pédagogique : Le fait que l'écart passe de +0,50 à −0,50 M€ pour un déplacement de vingt points est déjà une information de sensibilité : la valeur perd 0,05 M€ par point de probabilité, ce qui est le centième du surcoût.

Calcul 2 — Probabilité de bascule \( p^{\star} \)

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour livrer une règle de décision plutôt qu'un résultat. Le seuil reste valable quelle que soit la révision de l'expertise, ce qui n'est le cas d'aucun des calculs précédents.

Méthodologie du calcul :

On écrit la valeur attendue comme fonction affine de la probabilité, on l'égale à la valeur du forfait, et l'on résout. On vérifie ensuite le seuil en le réinjectant dans l'expression.

Substitution : on injecte \( \text{VAN}_{\text{fav}} = 120{,}21 \) M€, un surcoût de 5 M€ et la valeur du forfait, 118,21 M€.
Piège évité : ne pas confondre l'ordonnée à l'origine avec la valeur attendue de la question 3. Pour \( p = 0 \), on obtient la VAN du scénario favorable, pas la VMA à 30 %.
Hypothèse validée : le surcoût est fixe à 5 M€. Seule sa probabilité varie, ce qui garantit la linéarité de l'expression.
Vérification croisée : le seuil doit coïncider avec la probabilité implicite du prix ferme trouvée en question 4, soit 40 %.
Finalité : fournir au géotechnicien une question à laquelle il sait répondre : le risque dépasse-t-il 40 % ?

\[ \begin{aligned} \text{VMA}(p) &= 120{,}21 - 5\,p \\[6pt] 120{,}21 - 5\,p^{\star} &= 118{,}21 \\[3pt] 5\,p^{\star} &= 2{,}00 \\[3pt] p^{\star} &= \mathbf{0{,}40} = \mathbf{40} \; \% \\[6pt] \text{controle} &: \; 120{,}21 - 5 \times 0{,}40 = 118{,}21 \text{ M€} \;\; \checkmark \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le seuil vaut 40 %, exactement la probabilité implicite que le prix ferme de l'entreprise révélait en question 4. Ce n'est pas un hasard : le prix ferme est, par construction, le prix auquel l'entreprise est indifférente entre porter le risque et ne pas le porter. La règle de décision devient limpide : en dessous de 40 %, le coût majoré ; au-dessus, le forfait.

Ordre de grandeur : le seuil tombe bien entre 0 et 1 : aucune option ne domine l'autre en toutes circonstances.
Impact sur la suite : l'estimation du géotechnicien, 30 %, est en dessous du seuil. Le critère financier désigne donc le coût majoré — mais de peu.
Cohérence : le contrôle par réinjection redonne exactement 118,21 M€. Le seuil est établi.
Attention : l'écart entre l'estimation, 30 %, et le seuil, 40 %, n'est que de dix points. Aucune expertise géotechnique ne garantit une telle précision.
Comparaison : si le surcoût était de 10 M€ au lieu de 5, le seuil tomberait à 20 % et le forfait s'imposerait nettement à 30 % de risque.

Remarque pédagogique : Le seuil de bascule est le livrable d'une analyse de décision, pas la valeur attendue. Il survit aux révisions de données, se communique en une phrase, et transforme un calcul en règle.

Calcul 3 — Recevabilité juridique du contrat en coût majoré

Pourquoi fait-on cette vérification ? Parce qu'une option interdite ne se compare pas. Tout le travail financier serait vain si la commune ne pouvait pas signer le montage que le calcul désigne.

Méthodologie de la vérification :

On qualifie d'abord le contrat en coût majoré au regard du droit de la commande publique, puis on confronte la situation aux cas d'ouverture du prix provisoire, et l'on en tire les obligations qui s'y attachent.

Qualification : un prix qui n'est pas arrêté à la signature est un prix provisoire. Le contrat en coût majoré relève donc de ce régime.
Piège évité : ne pas confondre forme du prix et caractère définitif du prix. Un marché peut être à prix unitaires et à prix définitif ; ce sont deux questions distinctes.
Situation vérifiée : la municipalité est une collectivité territoriale : elle relève du régime restrictif, contrairement aux établissements publics industriels et commerciaux qui sont libres.
Cas d'ouverture : l'incertitude géotechnique constitue des aléas techniques importants, premier cas de l'article R. 2112-17. Le recours est donc envisageable, à condition d'être documenté.
Obligation associée : le prix devra devenir définitif par avenant en cours d'exécution, dès que les paramètres seront connus.

\[ \begin{aligned} \text{cout majore} &\equiv \text{marche a prix provisoire} \\[3pt] \text{municipalite} &\equiv \text{collectivite territoriale} \; \Rightarrow \; \text{regime restrictif} \\[6pt] \text{alea geotechnique} &\subset \text{aleas techniques importants} \quad \text{art. R. 2112-17 1} \\[3pt] &\Rightarrow \; \text{recours } \mathbf{envisageable}, \; \text{sous reserve de justification} \\[6pt] \text{obligation} &: \; \text{prix definitif arrete par } \mathbf{avenant} \; \text{en cours d'execution} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire :

Le contrat en coût majoré est praticable, mais pas librement : la commune devra justifier, dans son dossier de consultation, que l'aléa géotechnique rend impossible la fixation d'un prix définitif. Et elle devra arrêter ce prix par avenant dès que les fondations auront révélé la nature du sol. Le montage ne supprime pas la négociation, il la déplace en cours de chantier.

Recevabilité : le premier cas d'ouverture vise expressément les aléas techniques importants, ce qui correspond à la situation décrite.
Charge de la preuve : l'impossibilité de fixer le prix « doit résulter de la nature spécifique de l'objet du marché ou des aléas » — la commune doit donc produire les études de sol au dossier.
Cohérence : le guide OECP relève par ailleurs que le prix forfaitaire « n'est pas adapté aux ouvrages dont la réalisation présente des aléas techniques importants ». Les deux textes se répondent.
Attention : un prix provisoire prive la collectivité de la maîtrise budgétaire à la signature. C'est précisément la raison pour laquelle le code en fait une exception.
Comparaison : pour un établissement public industriel et commercial, la question ne se poserait pas : ces personnes sont libres de conclure à prix provisoire.

Remarque pédagogique : Cette vérification aurait dû venir en premier. Comparer financièrement deux montages dont l'un est peut-être interdit revient à travailler pour rien. Le réflexe à prendre : qualifier juridiquement avant de chiffrer.

LE POINT DE BASCULE — APRÈS CALCULS

RÉSULTAT FINAL

p* = 40 % — seuil de bascule

À 50 %, la valeur attendue tombe à 117,71 M€ et le forfait l'emporte. Le coût majoré reste juridiquement praticable, mais seulement au titre des aléas techniques importants.

SCHÉMA BILAN DE LA NOTE DE CALCULS

LA CHAÎNE COMPLÈTE, D'UN COUP D'ŒIL

Enchaînement des cinq questions SYNOPTIQUE

Les cinq questions construisent une valeur de plus en plus élaborée — une rente, une valeur nette, deux scénarios, une espérance — pour aboutir à une comparaison dont l'écart est de 0,42 %. Le schéma ci-dessous restitue cette progression, mais il met surtout en évidence un fait que les questions successives dissimulent : les 138,21 M€ de recettes sont identiques dans toutes les branches. Ils s'éliminent dans chaque comparaison. Tout l'exercice se ramène en définitive à un arbitrage entre 20 M€ certains et 19,50 M€ espérés.

DE LA RENTE À LA RÈGLE DE DÉCISION

Ce que le synoptique met en évidence

Les recettes sont un décor : elles valent 138,21 M€ dans les trois scénarios et s'éliminent dans chaque comparaison. Les quatre premières questions calculent longuement une grandeur qui ne départage rien.
Trois contrôles jalonnent la chaîne : l'amplitude qui doit valoir le surcoût, la double voie de la valeur attendue par les coûts, et la réinjection du seuil qui doit redonner la valeur du forfait.
L'hypothèse d'horizon vaut 32 M€ : perpétuité contre trente ans, l'écart atteint 27 % de la VAN. Une hypothèse de cette portée ne peut pas rester implicite dans un énoncé.
Le droit précède le calcul : une commune ne peut recourir au coût majoré qu'au titre des aléas techniques importants. Cette vérification aurait dû ouvrir l'étude, non la clore.

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale d'analyse de décision :

Je sais que la formule de la rente donne une valeur située une période avant le premier flux, et j'ai actualisé sur trois ans et non quatre. J'ai identifié ce qui varie et ce qui ne varie pas entre les scénarios, et je n'ai recalculé que ce qui changeait. Je sais qu'une valeur attendue est un critère de comparaison et non une prévision : le résultat réel sera 120,21 ou 115,21 M€. J'ai vérifié laquelle des deux valeurs est la plus élevée avant de rédiger ma conclusion, et ma recommandation ne contredit pas mon tableau. J'ai cherché le point de bascule plutôt que de tabuler des scénarios, et j'ai vérifié que l'option retenue est juridiquement praticable.

La mission est remplie. Sous hypothèse de recettes perpétuelles, le contrat à prix forfaitaire dégage une valeur actuelle nette certaine de 118,21 M€, tandis que le contrat en coût majoré présente une valeur attendue de 118,71 M€ — donc supérieure de 0,50 M€, soit 0,42 %. Cet écart n'est pas un avantage financier mais une prime de risque : c'est ce que l'entreprise facture pour porter l'aléa géologique, soit 2,56 % du coût espéré. Le critère de l'espérance désigne donc le coût majoré, mais par une marge si faible qu'elle est inférieure à l'incertitude sur les données. Le point de bascule se situe à 40 % de probabilité de surcoût : l'estimation actuelle de 30 % n'en est éloignée que de dix points, précision qu'aucune expertise géotechnique ne garantit. Nous recommandons en conséquence le prix forfaitaire, non parce qu'il serait plus avantageux — il ne l'est pas — mais parce qu'une collectivité qui construit un pont une seule fois ne peut pas mutualiser l'aléa, et qu'une prime de 2,56 % pour une certitude budgétaire complète est un prix raisonnable.

La plus-value technique de l'étude ne tient pas aux valeurs actualisées, qu'un tableur produit en quelques secondes. Elle tient à quatre constats. D'abord, que les 138,21 M€ de recettes ne départagent rien : identiques dans toutes les branches, elles s'éliminent dans chaque comparaison, et tout l'exercice se ramène à un arbitrage entre 20 M€ certains et 19,50 M€ espérés. Ensuite, que l'hypothèse d'horizon, absente de l'énoncé, porte à elle seule 27 % de la valeur annoncée : sur une concession de trente ans, la VAN tomberait de 118,21 à 86,23 M€, et près de 32 M€ de la valeur affichée proviennent de péages postérieurs à la trente-troisième année. Une hypothèse de cette portée est une donnée de l'étude, pas une commodité de calcul. Ensuite encore, que le prix ferme de l'entreprise révèle sa propre appréciation du risque : en demandant deux millions de plus que son coût cible, elle se comporte comme si le surcoût avait 40 % de chances de survenir, quand le géotechnicien en annonce 30 % — et ces 40 % sont exactement le point de bascule de la décision, ce qui n'est pas une coïncidence mais une propriété. Enfin, et c'est le point que l'analyse financière ignore complètement, la question de la légalité : un contrat en coût majoré est, en droit français, un marché à prix provisoire. Pour une collectivité territoriale, le recours n'est possible que dans des hypothèses limitativement énumérées par le code de la commande publique, dont celle des aléas techniques importants, et le prix devra être arrêté par avenant en cours d'exécution. Comparer financièrement deux montages dont l'un est peut-être interdit revient à travailler pour rien : la qualification juridique doit précéder le chiffrage, et non le suivre.

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