Exercice corrigé NF P 94-262 NF EN 1536 Eurocode 7

Analyse Financière de Gestion des Changements

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 25 mars 2026• 138 min de lecture• 3 vues

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Étude de cas · Note de calculs Réf. GP-19 / AVENANT

Analyse Financière de Gestion des Changements

Viaduc d'une ligne à grande vitesse : chiffrer l'avenant né d'un horizon rocheux plus profond que prévu et d'une demande d'écrans acoustiques, en distinguant ce qui relève de l'aléa de ce qui relève du maître d'ouvrage, puis en vérifier la recevabilité au regard du code de la commande publique.

NiveauTous niveaux

DomaineGestion de projet de construction

ThèmeModification du marché et formation du prix

PrérequisVolume d'un cylindre · ratio d'armature · coefficients multiplicatifs en cascade · notions de déboursé sec, de frais généraux et de marge · lecture d'un article de code

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Vous dirigez le projet d'un viaduc de ligne à grande vitesse, marché de travaux à prix forfaitaire de 45 millions d'euros hors taxes. À l'exécution des pieux de la pile P4, la campagne géotechnique complémentaire révèle que l'horizon rocheux sain se situe plus bas que ne l'indiquait le dossier de consultation : les huit pieux doivent être approfondis. Dans le même temps, le maître d'ouvrage demande l'ajout d'écrans acoustiques sur le tablier. Votre note doit établir le montant de l'avenant et en justifier chaque terme.

Les Points Clés du Projet

Quatre éléments commandent toute l'étude, et le premier n'est pas de nature financière :

Deux causes, deux régimes juridiques : L'approfondissement des pieux résulte d'une circonstance imprévue ; les écrans acoustiques résultent d'une demande du maître d'ouvrage. Les deux se chiffrent de la même façon, mais ils ne relèvent pas du même texte et ne se négocient pas de la même manière.
Le forage se paie au mètre, le béton au mètre cube : Une sur-profondeur s'exprime en mètres linéaires, mais le béton et l'acier s'achètent au volume et à la masse. Il faut donc convertir la géométrie du pieu avant de pouvoir appliquer le moindre prix unitaire.
Le temps est une dépense : La pile P4 est sur le chemin critique : l'allongement se répercute sur la date de livraison et maintient le chantier en vie douze jours de plus. Cette dépense ne figure sur aucun bordereau de prix.
Un avenant n'est pas un devis : Le montant ne suffit pas : la modification d'un marché public n'est licite que dans des cas et sous des plafonds énumérés par le code de la commande publique. La note doit le vérifier.

Votre Mission

Rédiger la note de calculs financière de l'avenant : quantifier les travaux supplémentaires, chiffrer l'impact du délai, former le prix de vente, décomposer la marge et conclure sur la recevabilité de la modification au regard des textes applicables.

COUPE SUR LA PILE P4 — L'ÉCART ENTRE LE DOSSIER ET LE TERRAIN

2. Données Techniques & Normes

Les données de cette étude se répartissent en trois familles. Les premières sont opposables : les stipulations du cahier des clauses administratives générales et les articles du code de la commande publique relatifs à la modification des marchés. Les deuxièmes sont les données du marché : montant initial, prix unitaires du bordereau, taux de frais généraux et de bénéfice. Les troisièmes sont des conventions d'étude : ratio d'armature, coût journalier d'immobilisation, correspondance entre jours ouvrés et jours calendaires. Aucune de ces dernières ne procède d'un texte, et il faut les annoncer avant de les appliquer.

GÉOMÉTRIE ET QUANTITÉS DE LA MODIFICATION

Symbole	Désignation	Valeur	Unité
\( N \)	Nombre de pieux concernés, pile P4	8	—
\( \Delta H \)	Sur-profondeur moyenne par pieu	6,50	m
\( D \)	Diamètre nominal des pieux forés	1,20	m
\( \rho_{\text{a}} \)	Ratio d'armature des pieux Convention d'étude	120	kg/m³
\( L_{\text{b}} \)	Écrans acoustiques demandés par le maître d'ouvrage	150	m
\( \Delta t \)	Allongement du chemin critique	12	jours ouvrés

PRIX UNITAIRES ET PARAMÈTRES CONTRACTUELS

Symbole	Désignation	Valeur	Unité
\( p_{\text{f}} \)	Forage en roche dure, diamètre 1 200 mm Bordereau des prix unitaires	450	€/m
\( p_{\text{b}} \)	Béton C35/45 fourni et mis en œuvre	180	€/m³
\( p_{\text{a}} \)	Acier à haute adhérence fourni et posé	1,50	€/kg
\( p_{\text{e}} \)	Écran acoustique fourni et posé	850	€/m
\( c_{\text{j}} \)	Immobilisation journalière du chantier Convention d'étude	3 500	€/jour
\( t_{\text{g}} \)	Frais généraux Convention d'étude	12,00	%
\( t_{\text{b}} \)	Bénéfice et aléas Convention d'étude	5,00	%
\( M_{0} \)	Montant initial du marché, à prix forfaitaire CCP — art. R. 2112-6	45 000 000	€ HT

EXTRAITS DU CAHIER DES CLAUSES ADMINISTRATIVES GÉNÉRALES — TRAVAUX

Référence	Stipulation
art. 9.1.1	« Les prix sont réputés comprendre toutes les dépenses résultant de l'exécution des travaux et prestations, y compris les frais généraux, impôts et taxes, et assurer au titulaire une marge pour risques et bénéfice. […] les prix sont réputés tenir compte de toutes les sujétions d'exécution des travaux et prestations qui sont normalement prévisibles dans les conditions de temps et de lieu où s'exécutent ces travaux et prestations. »
art. 13.1	« Le présent article concerne les prestations supplémentaires ou modificatives qui sont notifiées par ordre de service et pour lesquelles le marché n'a pas prévu de prix. »
art. 13.3	« S'il existe des décompositions de prix forfaitaires ou des sous-détails de prix unitaires, leurs éléments, notamment les prix d'unité contenus dans les décompositions, sont utilisés pour l'établissement des prix nouveaux. »
art. 14.2.1	« Le titulaire est tenu de mener à son terme la réalisation des ouvrages faisant l'objet du marché, quelle que soit l'importance de l'augmentation du montant des travaux […]. Cette augmentation peut résulter de sujétions techniques imprévues ou d'insuffisance des quantités prévues dans le marché. »
art. 14.2.2	« Le titulaire n'est tenu d'exécuter des travaux qui correspondent à des changements dans les besoins ou les conditions d'utilisation auxquels les ouvrages […] doivent satisfaire que si le montant des travaux de cette espèce n'excède pas le dixième du montant contractuel des travaux. »
art. 18.2.1	« En dehors des cas prévus aux articles 18.2.2 et 18.2.3, la prolongation du délai d'exécution ne peut résulter que d'un avenant. »
art. 18.2.2	Une prolongation du délai peut être justifiée par « un changement du montant des travaux ou une modification de l'importance de certaines natures d'ouvrages » ou par « la survenance de difficultés ou de circonstances imprévues au cours du chantier ».

EXTRAITS DU CODE DE LA COMMANDE PUBLIQUE — MODIFICATION DU MARCHÉ

Référence	Disposition
art. R. 2194-2	« Le marché peut être modifié lorsque […] des travaux, fournitures ou services supplémentaires, quel que soit leur montant, sont devenus nécessaires et ne figuraient pas dans le marché initial, à la condition qu'un changement de titulaire soit impossible pour des raisons économiques ou techniques. »
art. R. 2194-3	« Lorsque le marché est conclu par un pouvoir adjudicateur, le montant de la modification prévue à l'article R. 2194-2 ne peut être supérieur à 50 % du montant du marché initial. »
art. R. 2194-5	« Le marché peut être modifié lorsque la modification est rendue nécessaire par des circonstances qu'un acheteur diligent ne pouvait pas prévoir. Dans ce cas, les dispositions des articles R. 2194-3 et R. 2194-4 sont applicables. »
art. R. 2194-8	« Le marché peut être modifié lorsque le montant de la modification est inférieur aux seuils européens […] et à 15 % du montant du marché initial pour les marchés de travaux, sans qu'il soit nécessaire de vérifier si les conditions prévues à l'article R. 2194-7 sont remplies. »
art. R. 2194-9	« Lorsque plusieurs modifications successives relevant de l'article R. 2194-8 sont effectuées, l'acheteur prend en compte leur montant cumulé. »
art. R. 2194-10	Dans les cas prévus aux articles R. 2194-2 et R. 2194-5, lorsque le marché a été passé selon une procédure formalisée, « l'acheteur publie un avis de modification » au Journal officiel de l'Union européenne.

FONDATIONS PROFONDES — CE QUE LE RÉFÉRENTIEL COUVRE, ET CE QU'IL NE COUVRE PAS

Référence	Énoncé
Guide Cerema, application de l'Eurocode 7 aux fondations profondes	« On considère qu'un ouvrage fondé sur pieux relève au moins de la catégorie géotechnique 2, et on classe en catégorie géotechnique 3 les ouvrages établis dans un site instable […] ou dans des sols évolutifs ou sensibles. »
idem	La norme NF P 94-262 comporte « six nouvelles catégories conventionnelles de sol […] parmi lesquelles on ne retrouve plus la catégorie des roches dures, dont le dimensionnement relève des méthodes de la mécanique des roches, non traité par la norme NF P 94-262 ».
idem	Les fondations profondes sont réparties en classes et catégories : « On trouve les pieux forés (classe 1 – catégories 1 à 5), y compris ceux réalisés à la tarière creuse (classe 2 – catégorie 6). » Pour les modes d'exécution, le guide renvoie à la norme NF EN 1536 — Pieux forés.

Conventions d'étude

Les valeurs suivantes ne sont fixées par aucun texte : elles sont posées pour les besoins de l'exercice et doivent être annoncées comme telles dans toute note de calculs.

Géométrie du pieu : le pieu foré est assimilé à un cylindre parfait de diamètre égal au diamètre nominal de l'outil.
Absence de perte : le volume de béton retenu est le volume théorique en place, sans coefficient de sur-consommation.
Assiette des coefficients : les frais généraux et le bénéfice s'appliquent au coût de revient de chantier entier, coûts directs et immobilisation réunis.
Correspondance des unités de temps : les douze jours ouvrés d'allongement correspondent à seize jours calendaires, deux fins de semaine étant comprises dans la période.
Ratio d'armature : les 120 kg/m³ sont une valeur d'étude, non une prescription : le ferraillage réel résulte du calcul de la fondation.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche progresse en six étapes et va de la géométrie au droit. La première établit les quantités qu'impose la sur-profondeur ; la deuxième les chiffre et sépare les deux causes de la modification ; la troisième valorise le délai ; la quatrième forme le prix de vente ; la cinquième décompose la marge et en mesure la fragilité ; la sixième vérifie que l'avenant est recevable. Une note qui s'arrêterait au montant serait techniquement juste et contractuellement muette.

Question 1 : Quantités supplémentaires des huit pieux

Quantifier 25 min | Accessible

But de l'étape : Convertir une sur-profondeur, exprimée en mètres, en trois quantités facturables : des mètres de forage, des mètres cubes de béton, des kilogrammes d'acier.

Travail demandé : Calculez la longueur totale de forage supplémentaire, la section d'un pieu, le volume de béton correspondant et la masse d'armatures qu'il entraîne.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le prix du forage est donné au mètre linéaire, celui du béton au mètre cube. Une seule des deux quantités se lit directement dans les données.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le ratio d'armature s'exprime en kilogrammes par mètre cube de béton : il se multiplie donc par le volume, jamais par la longueur forée.

Question 2 : Coûts directs et partage des causes

Chiffrer 25 min | Accessible

But de l'étape : Établir le coût direct de la modification, puis séparer ce qui procède de l'aléa de ce qui procède d'une demande du maître d'ouvrage.

Travail demandé : Chiffrez les trois postes de fondation et leur sous-total, puis le poste des écrans acoustiques. Déterminez le coût direct total et la part qui relève de la demande du maître d'ouvrage.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Les deux causes de la modification n'ont pas le même fondement juridique. Leur chiffrage est identique, mais leur régime ne l'est pas.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Rapportez le poste des écrans au coût direct total : le résultat dira laquelle des deux causes pèse réellement dans l'avenant.

Question 3 : Valorisation de l'allongement du délai

Valoriser 20 min | Intermédiaire

But de l'étape : Chiffrer une dépense qui ne figure sur aucun bordereau de prix : le maintien du chantier pendant la prolongation.

Travail demandé : Calculez le coût d'immobilisation sur les douze jours ouvrés, puis le même coût sur la durée calendaire correspondante. Établissez l'écart entre les deux lectures et la part que représente ce poste dans le coût direct.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Une base-vie, une grue et une police d'assurance ne s'arrêtent pas le samedi. Demandez-vous sur quelle unité de temps court réellement la dépense.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Douze jours ouvrés enjambent deux fins de semaine : la période calendaire correspondante compte seize jours.

Question 4 : Prix de vente de l'avenant

Composer 25 min | Intermédiaire

But de l'étape : Passer du coût subi au prix proposé, en composant les coefficients contractuels dans le bon ordre.

Travail demandé : Établissez le coût de revient de chantier, puis le coefficient de vente résultant des deux majorations successives. Calculez le prix de vente de l'avenant et l'écart qu'aurait produit une addition des taux.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Douze pour cent puis cinq pour cent ne font pas dix-sept pour cent : le bénéfice porte aussi sur les frais généraux.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Calculez le coefficient une fois pour toutes, puis appliquez-le au coût de revient : le détour par les montants intermédiaires est inutile.

Question 5 : Décomposition de la marge et sensibilité

Analyser 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Vérifier que l'opération est rentable, et mesurer ce qu'elle deviendrait si le délai n'était pas indemnisé.

Travail demandé : Isolez le montant des frais généraux, le prix de revient et la marge nette, puis son taux rapporté au prix de vente. Calculez enfin le résultat de l'opération dans l'hypothèse où le maître d'ouvrage refuserait le poste de délai.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le bénéfice ne s'applique pas au coût de revient de chantier mais au prix de revient, frais généraux compris.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Dans l'hypothèse du refus, la dépense reste : seule la recette disparaît. Comparez le prix amputé au prix de revient inchangé.

Question 6 (Finale) : Recevabilité de la modification

Conclure 25 min | BOSS

But de l'étape : Vérifier que l'avenant est licite, ce qu'aucun calcul de prix ne dit : un montant juste peut être contractuellement irrecevable.

La difficulté de cette question : le montant ne suffit pas. La modification d'un marché public n'est permise que dans les cas énumérés par le code de la commande publique, et sous des plafonds distincts selon le fondement retenu. Encore faut-il rapporter l'avenant au bon montant de référence.

Rapportez le montant de l'avenant au marché initial. Calculez les plafonds de 15 % et de 50 %, puis le dixième du montant contractuel auquel se compare le poste des écrans acoustiques. Concluez sur le fondement applicable à chacune des deux causes.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Deux causes, deux fondements : les circonstances imprévues et les travaux supplémentaires devenus nécessaires ne relèvent pas du même article.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le dixième du montant contractuel de l'article 14.2.2 borne ce que le titulaire est tenu d'exécuter ; les plafonds du code bornent ce que l'acheteur peut commander sans nouvelle mise en concurrence.

NOTE DE CALCULS

Analyse Financière de Gestion des Changements

Question 1 : Quantités supplémentaires des huit pieux

Dans la tête de l'ingénieur

« La donnée que je possède est une profondeur : six mètres cinquante de plus par pieu. Les prix dont je dispose, eux, ne parlent pas la même langue. Le forage se paie au mètre linéaire, ce qui tombe bien. Mais le béton se paie au mètre cube et l'acier au kilogramme : aucun des deux ne se déduit directement d'une profondeur. Il me faut donc passer par la géométrie du pieu — une profondeur devient un volume dès qu'on la multiplie par une section, et ce volume devient une masse dès qu'on lui applique un ratio d'armature. Trois quantités, trois unités, une seule donnée d'origine. Et un piège que je connais : le ratio d'armature s'exprime par mètre cube de béton, non par mètre de pieu. Confondre les deux ne se voit pas dans le résultat — il faut le savoir avant. »

Observation : La sur-profondeur est une donnée par pieu : elle doit être multipliée par leur nombre avant tout autre traitement.
Analyse du risque : Appliquer le ratio d'armature à la longueur forée plutôt qu'au volume sous-estime l'acier de 817 kg, soit 1 226 € — sans qu'aucune incohérence apparente ne le signale.
Choix stratégique : Établir la section du pieu comme une grandeur à part entière : elle sert de pivot entre les mètres et les mètres cubes.
Alternative : On pourrait calculer le volume pieu par pieu puis sommer. Le résultat est identique, mais la section n'apparaîtrait plus comme grandeur de contrôle.
Objectif visé : Obtenir les trois quantités facturables : mètres de forage, mètres cubes de béton, kilogrammes d'acier.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Forage 52,00 m · section 1,1310 m² · béton 58,81 m³ · acier 7 057,2 kg, soit 7,0572 t

Rappel Théorique : d'une profondeur à des quantités facturables

Un bordereau de prix n'énumère pas des profondeurs : il énumère des unités d'ouvrage. Passer de l'une aux autres est le travail propre du métreur, et il obéit à quelques principes constants.

Chaque poste a son unité de mesure : le forage se règle au mètre linéaire, parce que c'est le temps d'outil qui coûte ; le béton au mètre cube, parce que c'est le volume livré ; l'acier au kilogramme, parce que c'est ainsi qu'il est vendu.
La section est le pivot : elle est la seule grandeur qui convertisse des mètres en mètres cubes. Un pieu foré est assimilé à un cylindre de diamètre nominal, celui de l'outil de forage.
Le ratio d'armature est volumique : il s'exprime en kilogrammes par mètre cube de béton. L'appliquer à une longueur revient à omettre la section, donc à diviser le résultat par elle.
Le volume théorique n'est pas le volume commandé : un forage dans un terrain instable consomme davantage de béton que la géométrie ne le prévoit. Le volume théorique est ce qui se facture ; l'écart est un risque porté par l'entreprise.
Les pieux forés relèvent d'un référentiel identifié : le guide d'application de l'Eurocode 7 aux fondations profondes les classe en classe 1, catégories 1 à 5, et renvoie pour l'exécution à la norme NF EN 1536.

Équations Fondamentales

Quatre relations. La première cumule les sur-profondeurs, la deuxième établit la section, la troisième en tire le volume, la quatrième la masse d'acier.

Formule 1 — Longueur totale de forage supplémentaire :

Elle multiplie la sur-profondeur d'un pieu par le nombre de pieux concernés.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la donnée de terrain est une profondeur par pieu, alors que le bordereau se règle sur une longueur totale. Le cumul doit précéder toute application de prix, faute de quoi le montant serait divisé par huit.

Contexte de validité : elle suppose une sur-profondeur moyenne identique sur les huit pieux, ce que précise l'énoncé.
Avantage : elle produit directement la quantité du poste de forage, seul poste dont l'unité coïncide avec la donnée.
Paramètre clé : le nombre de pieux, qui borne l'étendue de la modification à la seule pile P4.
Vérification : le résultat doit rester du même ordre que la longueur d'un pieu entier, et non celui d'un ouvrage complet.
Limite : une sur-profondeur moyenne masque la dispersion réelle : certains pieux seront plus profonds que d'autres.

\[ \begin{aligned} L_{\text{f}} = N \times \Delta H \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien de mètres l'outil de forage doit-il descendre en plus ? C'est la seule quantité qui se lise presque directement dans la donnée de terrain.

Décomposition des termes :

\( L_{\text{f}} \) : longueur totale de forage supplémentaire, unité : m
\( N \) : nombre de pieux concernés, sans dimension
\( \Delta H \) : sur-profondeur moyenne par pieu, unité : m

Formule 2 — Section droite du pieu :

Elle donne l'aire du disque de forage à partir du diamètre nominal de l'outil.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est le pivot de toute la question : sans elle, aucune profondeur ne peut devenir un volume. L'établir séparément, plutôt que de l'enfouir dans un produit, permet de la contrôler pour elle-même.

Contexte de validité : elle suppose un forage cylindrique de section constante, ce que pose la convention d'étude.
Avantage : elle rend le calcul transposable : un changement de diamètre ne modifie qu'un seul terme.
Paramètre clé : le diamètre, dont l'effet est quadratique : dix pour cent de plus en diamètre valent vingt et un pour cent de plus en volume.
Vérification : pour un diamètre voisin de l'unité, la section doit être voisine de 0,785 multiplié par le carré du diamètre.
Limite : le diamètre réel du forage excède souvent le diamètre nominal en terrain remanié : la section théorique est un minorant.

\[ \begin{aligned} A_{\text{p}} = \frac{\pi \, D^{2}}{4} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Quelle surface de terrain l'outil découpe-t-il à chaque mètre descendu ? C'est la grandeur qui convertit une profondeur en volume.

Décomposition des termes :

\( A_{\text{p}} \) : section droite du pieu, unité : m²
\( D \) : diamètre nominal de forage, unité : m

Formule 3 — Volume de béton supplémentaire :

Elle multiplie la longueur totale forée par la section du pieu.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le béton se commande et se règle au mètre cube. Le volume est aussi la base du ratio d'armature : deux postes sur trois en dépendent, ce qui en fait la grandeur la plus sensible de la question.

Contexte de validité : elle donne le volume théorique en place, sans coefficient de sur-consommation.
Avantage : elle s'obtient d'un seul produit une fois la section établie, et se contrôle par le volume d'un pieu isolé.
Paramètre clé : la section, qui porte l'effet quadratique du diamètre.
Vérification : le volume d'un seul pieu, soit 7,35 m³, multiplié par huit, doit redonner le total.
Limite : en terrain instable, le volume réellement coulé excède le volume théorique, écart que le marché forfaitaire laisse à la charge de l'entreprise.

\[ \begin{aligned} V_{\text{b}} = L_{\text{f}} \times A_{\text{p}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien de mètres cubes de béton faut-il livrer en plus ? C'est la quantité qui commande à la fois le poste béton et le poste acier.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{b}} \) : volume de béton supplémentaire, unité : m³
\( L_{\text{f}} \) : longueur totale de forage supplémentaire, unité : m
\( A_{\text{p}} \) : section droite du pieu, unité : m²

Formule 4 — Masse d'armatures supplémentaire :

Elle applique le ratio d'armature au volume de béton, et à lui seul.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le ferraillage d'un pieu est proportionné à son volume de béton, non à sa longueur. La cage d'armature s'inscrit dans la section : allonger le pieu ajoute de l'acier en proportion du béton ajouté.

Contexte de validité : le ratio est une valeur d'étude : le ferraillage réel résulte du calcul de la fondation, non d'un ratio.
Avantage : elle permet de chiffrer l'acier avant que les plans d'exécution ne soient établis.
Paramètre clé : le ratio, qui porte l'essentiel de l'incertitude du poste.
Vérification : le rapport de la masse obtenue à la longueur forée doit valoir le produit du ratio par la section, soit environ 136 kg par mètre.
Limite : elle ignore les recouvrements et les armatures de liaison, qui alourdissent la cage réelle.

\[ \begin{aligned} m_{\text{a}} = \rho_{\text{a}} \times V_{\text{b}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien de kilogrammes d'acier accompagnent ce béton supplémentaire ? C'est le poste qu'un chiffrage rapide oublie le plus souvent.

Décomposition des termes :

\( m_{\text{a}} \) : masse d'armatures supplémentaire, unité : kg
\( \rho_{\text{a}} \) : ratio d'armature, unité : kg/m³
\( V_{\text{b}} \) : volume de béton supplémentaire, unité : m³

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le ratio d'armature vaut 120 kilogrammes par mètre. Il y a 52 mètres de forage supplémentaire, donc 52 × 120 = 6 240 kilogrammes d'acier. »

L'approche d'ingénieur : Le ratio s'exprime en kilogrammes par mètre cube, non par mètre. L'appliquer à une longueur revient à omettre la section du pieu, donc à diviser le résultat par 1,1310. La masse réelle vaut 7 057,2 kg et non 6 240 : il manque 817,2 kg, soit 1 225,80 € au prix de l'acier posé. L'erreur est d'autant plus insidieuse que rien ne la signale — le résultat reste un nombre de kilogrammes plausible pour huit pieux.

L'erreur : confondre une grandeur volumique et une grandeur linéique. Les deux s'écrivent en kilogrammes, mais leur dénominateur diffère.
La bonne méthode : lire l'unité du ratio avant de choisir la quantité à laquelle l'appliquer, et non l'inverse.
L'astuce de pro : écrire l'unité à côté de chaque nombre pendant le calcul. Un produit dont les unités ne se simplifient pas est un produit faux.
Le moyen mnémotechnique : « le ratio suit le béton, pas le trou ».
L'impact direct : 1 225,80 € manquants au coût direct, qui deviennent 1 441,54 € au prix de vente une fois les coefficients appliqués.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Longueur forée : sans dimension × m = m
Section : m × m = m², le facteur \( \pi/4 \) étant sans dimension
Volume : m × m² = m³
Masse d'acier : kg/m³ × m³ = kg — c'est la simplification du mètre cube qui valide le choix de la quantité
Un produit kg/m³ × m donnerait des kg/m² : une grandeur qui n'a pas de sens ici

Quatre calculs, un par grandeur cherchée. Le premier cumule les sur-profondeurs, le deuxième établit la section, le troisième en tire le volume et le dernier la masse d'acier.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Longueur totale de forage supplémentaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule quantité dont l'unité coïncide avec celle du bordereau : elle donnera directement le poste de forage.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la sur-profondeur moyenne par le nombre de pieux concernés par la modification.

Substitution : on injecte \( N = 8 \) et \( \Delta H = 6{,}50 \) m.
Piège évité : ne pas oublier le facteur huit. Une note qui chiffrerait 6,50 m de forage annoncerait un montant huit fois trop faible.
Hypothèse validée : la sur-profondeur est moyenne et supposée identique sur les huit pieux.
Vérification croisée : 52 mètres répartis sur huit pieux redonnent bien 6,50 m par pieu.
Finalité : fournir la quantité du poste de forage et la base du calcul de volume.

\[ \begin{aligned} L_{\text{f}} &= 8 \times 6{,}50 \\[3pt] &= \mathbf{52{,}00} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Cinquante-deux mètres de forage supplémentaires, soit huit fois la sur-profondeur relevée sur un pieu. Le cumul remet la modification à sa juste échelle : il ne s'agit pas d'un ajustement de quelques centimètres sur un appui isolé, mais d'une reprise portant sur la totalité de la pile — et c'est cette étendue qui la distingue d'un simple ajustement d'exécution.

Ordre de grandeur : 52,00 m répartis sur huit pieux.
Impact sur la suite : cette longueur donnera le poste de forage et, multipliée par la section, le volume de béton.
Cohérence : la sur-profondeur représente une part notable de la longueur d'un pieu d'ouvrage d'art courant.
Attention : cette longueur ne concerne que la pile P4 : elle ne préjuge en rien des autres appuis du viaduc.
Comparaison : un seul pieu approfondi n'aurait donné que 6,50 m et n'aurait probablement pas justifié un avenant.

Remarque pédagogique : Distinguez toujours une donnée unitaire d'une donnée totale. Une sur-profondeur « par pieu » n'est pas une quantité d'ouvrage tant qu'elle n'a pas été multipliée par leur nombre.

Calcul 2 — Section droite d'un pieu

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur qui convertit les mètres en mètres cubes : sans elle, aucun des deux postes de matériau ne peut être chiffré.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule de l'aire du disque au diamètre nominal de l'outil de forage.

Substitution : on injecte \( D = 1{,}20 \) m.
Piège évité : élever le diamètre au carré, non le rayon. Confondre les deux quadruple la section.
Hypothèse validée : le forage est assimilé à un cylindre parfait de diamètre nominal, conformément aux conventions de l'énoncé.
Vérification croisée : pour un diamètre de 1,20 m, la section doit valoir 0,785 × 1,44, soit environ 1,13 m².
Finalité : disposer du coefficient de conversion entre longueur forée et volume.

\[ \begin{aligned} A_{\text{p}} &= \frac{\pi \times 1{,}20^{2}}{4} \\[3pt] &= \frac{\pi \times 1{,}44}{4} \\[3pt] &= \mathbf{1{,}1310} \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un mètre carré et treize centièmes : chaque mètre foré appelle 1,131 m³ de béton. La section est ici légèrement supérieure à l'unité, ce qui rend le piège du ratio particulièrement discret : appliquer les 120 kg/m³ à la longueur au lieu du volume ne produit pas une aberration visible, mais une erreur de treize pour cent.

Ordre de grandeur : 1,1310 m² pour un diamètre de 1,20 m.
Impact sur la suite : cette section commande le volume, donc le poste béton et le poste acier.
Cohérence : le rapport de la section au carré du diamètre vaut bien 0,785, valeur constante pour tout cercle.
Attention : il s'agit du diamètre nominal ; le forage réel est généralement un peu plus large en terrain remanié.
Comparaison : un pieu de 1,00 m de diamètre n'offrirait que 0,7854 m², soit 30,6 % de moins pour seulement 17 % de diamètre en moins.

Remarque pédagogique : Retenez que l'effet du diamètre est quadratique. C'est ce qui rend une erreur de diamètre bien plus coûteuse qu'une erreur de profondeur de même proportion.

Calcul 3 — Volume de béton supplémentaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le béton se commande au mètre cube, et parce que ce volume servira ensuite de base au ratio d'armature : deux postes en dépendent.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la longueur totale forée par la section droite du pieu.

Substitution : on injecte \( L_{\text{f}} = 52{,}00 \) m et \( A_{\text{p}} = 1{,}1310 \) m².
Piège évité : utiliser la longueur totale et non celle d'un seul pieu : le facteur huit est déjà contenu dans \( L_{\text{f}} \).
Hypothèse validée : il s'agit du volume théorique en place, sans perte ni sur-consommation.
Vérification croisée : un pieu isolé donne 6,50 × 1,1310 = 7,35 m³ ; multiplié par huit, on retrouve bien 58,81 m³.
Finalité : fournir la quantité du poste béton et la base du poste acier.

\[ \begin{aligned} V_{\text{b}} &= 52{,}00 \times 1{,}1310 \\[3pt] &= \mathbf{58{,}81} \text{ m}^3 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Cinquante-huit mètres cubes et huit dixièmes, soit environ sept camions toupies. Le volume paraît modeste au regard d'un viaduc de quarante-cinq millions d'euros, et il l'est : c'est le rappel que la gravité d'une sujétion imprévue ne se mesure pas à son volume mais à sa position dans le planning. Ces sept toupies vont coûter douze jours de chantier.

Ordre de grandeur : 58,81 m³, soit 7,35 m³ par pieu.
Impact sur la suite : ce volume commande le poste béton et le poste acier.
Cohérence : le rapport du volume à la longueur forée redonne exactement la section, soit 1,1310 m³ par mètre.
Attention : le volume réellement coulé en terrain instable dépasse souvent le volume théorique de plusieurs pour cent.
Comparaison : une sur-consommation de 5 %, courante en forage, ajouterait 2,94 m³ à la charge de l'entreprise.

Remarque pédagogique : Contrôlez un volume total par le volume unitaire. Sept mètres cubes et demi par pieu se vérifient de tête ; cinquante-huit mètres cubes ne se vérifient pas.

Calcul 4 — Masse d'armatures supplémentaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un pieu en béton armé appelle de l'acier, et parce que c'est le poste où l'unité du ratio décide seule du résultat.

Méthodologie du calcul :

On applique le ratio d'armature au volume de béton supplémentaire, et à lui seul.

Substitution : on injecte \( \rho_{\text{a}} = 120 \) kg/m³ et \( V_{\text{b}} = 58{,}81 \) m³.
Piège évité : appliquer le ratio au volume et non à la longueur : l'appliquer aux 52 m donnerait 6 240 kg, soit 817 kg de moins.
Hypothèse validée : le ratio est une convention d'étude : le ferraillage réel procède du calcul de la fondation.
Vérification croisée : rapportée à la longueur forée, la masse vaut 135,7 kg par mètre, soit le produit du ratio par la section.
Finalité : fournir la quantité du troisième et dernier poste de fondation.

\[ \begin{aligned} m_{\text{a}} &= 120 \times 58{,}81 \\[3pt] &= \mathbf{7\,057{,}2} \text{ kg} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Sept tonnes et six centièmes d'acier pour cinquante-neuf mètres cubes de béton. Rapporté au mètre foré, cela représente près de 136 kilogrammes par mètre : une cage d'armature d'ouvrage d'art est un objet lourd, et son coût suivra. Le passage par le volume n'était donc pas une élégance de calcul mais la condition d'un chiffrage juste.

Ordre de grandeur : 7 057,2 kg, soit 7,0572 tonnes.
Impact sur la suite : cette masse donnera le troisième poste du chiffrage des fondations.
Cohérence : la masse divisée par le volume redonne exactement le ratio de 120 kg/m³.
Attention : les recouvrements et les armatures de liaison ne sont pas comptés : la cage réelle sera plus lourde.
Comparaison : le ratio appliqué à la longueur aurait donné 6 240 kg, soit 11,6 % de moins que la valeur juste.

Remarque pédagogique : Écrivez l'unité du ratio en toutes lettres dans la note : « kilogrammes par mètre cube de béton ». La formulation complète interdit la confusion que l'abréviation autorise.

D'UNE PROFONDEUR À TROIS QUANTITÉS FACTURABLES

RÉSULTAT FINAL

V_b = 58,81 m³ pour 52,00 m de forage et 7 057,2 kg d'acier

La sur-profondeur de 6,50 m sur huit pieux représente 52,00 m de forage supplémentaire. Rapportée à la section de 1,1310 m², elle appelle 58,81 m³ de béton et, au ratio de 120 kg/m³, 7 057,2 kg d'armatures. Ces trois quantités, et elles seules, seront confrontées au bordereau des prix unitaires.

Question 2 : Coûts directs et partage des causes

Dans la tête de l'ingénieur

« Les quantités sont établies, les prix sont au bordereau : le chiffrage lui-même ne pose aucune difficulté. Ce qui en pose une, c'est la présentation. Je m'apprête à soumettre un document unique, intitulé avenant, qui recouvre en réalité deux événements sans rapport l'un avec l'autre : un horizon rocheux plus profond que le dossier ne l'annonçait, et des écrans acoustiques que le maître d'ouvrage a décidé d'ajouter. Le premier m'est imposé par le terrain ; le second procède d'une volonté. Ils ne se plaident pas de la même façon, ils ne relèvent pas du même article, et ils n'ont pas le même poids — j'ai le pressentiment que celui dont on parle le moins est celui qui coûte le plus. Je vais donc chiffrer chaque poste séparément, puis rapporter chaque cause au total. »

Observation : Les quatre postes se règlent au bordereau des prix unitaires du marché : aucun prix nouveau n'a besoin d'être négocié.
Analyse du risque : Présenter un montant global expose à ce que le maître d'ouvrage conteste la totalité sur le fondement de la seule cause qui lui déplaît.
Choix stratégique : Chiffrer poste par poste, puis regrouper par cause : la décomposition est la meilleure protection du titulaire comme de l'acheteur.
Alternative : On pourrait établir deux avenants distincts. La solution est plus lisible juridiquement, mais elle multiplie les procédures et les délais d'instruction.
Objectif visé : Obtenir le coût direct total et la part qui procède d'une demande du maître d'ouvrage.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Fondations 44 571,60 € · écrans acoustiques 127 500,00 € · coût direct 172 071,60 € · part du maître d'ouvrage 74,10 %

Rappel Théorique : le coût direct et l'origine des prix appliqués

Le coût direct rassemble les dépenses rattachables à une quantité d'ouvrage. Sur une modification de marché, il présente une particularité : les prix qu'on lui applique ne sont pas libres.

Les prix du marché priment : l'article 13.3 du cahier des clauses administratives générales dispose que « s'il existe des décompositions de prix forfaitaires ou des sous-détails de prix unitaires, leurs éléments, notamment les prix d'unité contenus dans les décompositions, sont utilisés pour l'établissement des prix nouveaux ».
Un prix nouveau n'est pas un prix libre : l'article 13.1 réserve la fixation de prix nouveaux aux prestations « pour lesquelles le marché n'a pas prévu de prix ». Lorsque le bordereau contient le prix, il s'impose aux deux parties.
Le coût direct ignore la structure : ni frais de siège, ni marge, ni frais de chantier n'y figurent. Il mesure la dépense de production, et rien d'autre.
Deux causes, deux fondements : une sujétion imprévue relève des circonstances imprévues ; une prestation ajoutée à la demande de l'acheteur relève des travaux supplémentaires devenus nécessaires. Le code de la commande publique leur consacre deux articles distincts.
La décomposition protège les deux parties : elle permet à l'acheteur d'instruire chaque cause selon son régime, et au titulaire de conserver le bénéfice de celle qui n'est pas contestée.

Équations Fondamentales

Quatre relations. La première chiffre un poste, la deuxième regroupe les postes de fondation, la troisième totalise le coût direct, la quatrième en extrait la part qui procède d'une demande.

Formule 1 — Coût d'un poste élémentaire :

Elle multiplie une quantité d'ouvrage par le prix unitaire que le marché lui attache.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est la seule opération admise par le cahier des clauses lorsque le bordereau contient déjà le prix. Le titulaire ne propose pas un prix : il applique celui du marché à une quantité constatée.

Contexte de validité : elle suppose que la quantité et le prix portent sur la même unité : des mètres pour le forage, des mètres cubes pour le béton, des kilogrammes pour l'acier.
Avantage : elle rend le chiffrage vérifiable ligne à ligne par le maître d'œuvre, ce qui est la condition de son acceptation.
Paramètre clé : le prix unitaire, qui n'est pas négociable dès lors qu'il figure au bordereau.
Vérification : les unités doivent se simplifier : m × €/m, m³ × €/m³, kg × €/kg donnent tous des euros.
Limite : un prix de bordereau établi pour des conditions normales peut se révéler insuffisant en conditions dégradées : le forage en roche dure n'est pas le forage en alluvions.

\[ \begin{aligned} C_{i} = Q_{i} \times p_{i} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien coûte la quantité constatée, au prix que le marché a fixé ? C'est la brique élémentaire de tout chiffrage d'avenant.

Décomposition des termes :

\( C_{i} \) : coût du poste, unité : €
\( Q_{i} \) : quantité d'ouvrage du poste, unité : m, m³ ou kg
\( p_{i} \) : prix unitaire du bordereau, unité : €/m, €/m³ ou €/kg

Formule 2 — Sous-total des travaux de fondation :

Elle regroupe les trois postes qui procèdent de la sujétion géotechnique.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le regroupement doit suivre la cause et non la nature technique. Forage, béton et acier n'ont rien de commun sur le plan de l'exécution ; ils ont en commun de découler tous trois du même événement de terrain.

Contexte de validité : les trois postes sont disjoints : aucune dépense n'est comptée deux fois.
Avantage : elle produit le montant qui sera plaidé sur le fondement de l'imprévu, indépendamment du sort réservé à l'autre cause.
Paramètre clé : le poste de forage, le plus lourd des trois, parce que le prix du mètre en roche dure est élevé.
Vérification : le sous-total doit rester inférieur au coût direct total, la seconde cause s'y ajoutant.
Limite : elle ne comprend aucun surcoût de méthode : le changement d'outil de forage imposé par la roche n'apparaît pas dans les prix du bordereau.

\[ \begin{aligned} C_{\text{f}} = C_{1} + C_{2} + C_{3} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien coûte, en tout, l'approfondissement des huit pieux ? C'est le montant imputable au terrain, et à lui seul.

Décomposition des termes :

\( C_{\text{f}} \) : sous-total des travaux de fondation, unité : €
\( C_{1} \) : coût du forage supplémentaire, unité : €
\( C_{2} \) : coût du béton supplémentaire, unité : €
\( C_{3} \) : coût des armatures supplémentaires, unité : €

Formule 3 — Coût direct total de la modification :

Elle additionne les deux ensembles issus des deux causes.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est le socle sur lequel s'appliqueront le coût de l'immobilisation puis les coefficients contractuels. Une addition, mais une addition dont chaque terme doit rester identifiable jusqu'au bout de la note.

Contexte de validité : elle ne comprend que les charges directement rattachables à une quantité d'ouvrage.
Avantage : elle donne l'assiette des majorations, et permet de mesurer le poids relatif de chaque cause.
Paramètre clé : le poste des écrans acoustiques, qui va se révéler dominant.
Vérification : la somme des quatre postes élémentaires doit redonner le total obtenu par les deux sous-ensembles.
Limite : ce n'est pas le montant de l'avenant : ni le délai, ni les frais généraux, ni le bénéfice n'y figurent encore.

\[ \begin{aligned} CD = C_{\text{f}} + C_{\text{e}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien la modification coûte-t-elle à produire, tous travaux confondus ? C'est la dépense de chantier, avant toute majoration.

Décomposition des termes :

\( CD \) : coût direct total de la modification, unité : €
\( C_{\text{f}} \) : sous-total des travaux de fondation, unité : €
\( C_{\text{e}} \) : coût des écrans acoustiques, unité : €

Formule 4 — Part d'une cause dans le coût direct :

Elle rapporte le montant d'une cause au coût direct total.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un montant seul ne dit pas où se joue la négociation. La part, elle, désigne immédiatement la cause dont dépend l'essentiel de l'avenant — et donc celle qu'il faut documenter en priorité.

Contexte de validité : elle se calcule sur le coût direct, avant majorations : les coefficients étant identiques, ils ne modifieraient pas la proportion.
Avantage : elle est indépendante du montant et se compare d'un avenant à l'autre.
Paramètre clé : le dénominateur : rapporter au coût direct, non au montant du marché, qui donnerait une proportion sans rapport avec la question posée.
Vérification : les parts des deux causes doivent additionner cent pour cent.
Limite : une part élevée ne dit rien de la solidité juridique de la cause : elle dit seulement où se situe l'enjeu financier.

\[ \begin{aligned} \theta_{\text{e}} = \frac{C_{\text{e}}}{CD} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Quelle fraction de l'avenant procède d'une décision, et non d'un aléa ? C'est la question que le maître d'ouvrage posera en premier.

Décomposition des termes :

\( \theta_{\text{e}} \) : part des écrans acoustiques dans le coût direct, unité : %
\( C_{\text{e}} \) : coût des écrans acoustiques, unité : €
\( CD \) : coût direct total, unité : €

L'Erreur Classique (Le Piège)

« L'avenant porte sur les travaux de la pile P4. Il suffit donc de présenter un montant global de 172 071,60 € au titre des sujétions techniques imprévues rencontrées sur les fondations. »

L'approche d'ingénieur : Les écrans acoustiques ne sont pas une sujétion imprévue : ils procèdent d'une décision du maître d'ouvrage, et ils représentent 127 500 €, soit 74,10 % du coût direct. Les rattacher à l'aléa géotechnique revient à demander l'indemnisation d'un imprévu pour des travaux que personne n'a subis. Le maître d'ouvrage relèvera l'incohérence, et c'est alors la totalité de la réclamation qui perdra sa crédibilité — y compris les 44 571,60 € parfaitement fondés.

L'erreur : confondre l'unité de lieu — tout se passe sur la pile P4 et son tablier — avec l'unité de cause, qui seule commande le régime juridique.
La bonne méthode : classer chaque poste selon son fait générateur avant de l'additionner, et faire apparaître les deux sous-totaux dans la note.
L'astuce de pro : se demander pour chaque poste : « qui l'a décidé ? » Si la réponse est « le terrain », c'est une sujétion ; si c'est « le maître d'ouvrage », c'est une prestation supplémentaire.
Le moyen mnémotechnique : « même chantier ne vaut pas même cause ».
L'impact direct : une réclamation mal fondée sur les trois quarts de son montant, et un aléa réel de 44 571,60 € qui risque d'être rejeté par contagion.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Forage : m × €/m = €
Béton : m³ × €/m³ = €
Acier : kg × €/kg = €
Écrans : m × €/m = €, l'unité étant le mètre de linéaire posé
Part d'une cause : rapport de deux euros, donc sans dimension

Sept calculs, un par grandeur cherchée. Les trois premiers chiffrent les postes de fondation, le quatrième les regroupe. Le cinquième chiffre les écrans acoustiques, le sixième totalise le coût direct et le dernier en tire la part qui procède d'une demande.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Coût du forage supplémentaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le poste le plus directement lié à la sujétion : chaque mètre supplémentaire est un mètre que l'outil n'aurait pas dû descendre.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la longueur totale forée par le prix unitaire du forage en roche dure inscrit au bordereau.

Substitution : on injecte \( L_{\text{f}} = 52{,}00 \) m et \( p_{\text{f}} = 450 \) €/m.
Piège évité : retenir le prix du forage en roche dure, seul applicable à la partie approfondie.
Hypothèse validée : le prix figure au bordereau : il s'impose aux deux parties sans négociation.
Vérification croisée : rapporté au pieu, ce poste vaut 2 925 € par pieu approfondi.
Finalité : fournir le premier des trois postes de fondation.

\[ \begin{aligned} C_{1} &= 52{,}00 \times 450 \\[3pt] &= \mathbf{23\,400{,}00} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Vingt-trois mille quatre cents euros pour cinquante-deux mètres. Le forage est de loin le plus cher des trois postes de fondation : il pèse plus que le béton et l'acier réunis. C'est logique — en roche dure, ce n'est pas la matière qui coûte, c'est le temps d'outil et son usure.

Ordre de grandeur : 23 400,00 €, soit 2 925 € par pieu.
Impact sur la suite : ce poste représentera 52,50 % du sous-total des fondations.
Cohérence : le prix de 450 €/m traduit bien une prestation de forage en roche, plusieurs fois supérieure au forage en terrain meuble.
Attention : le prix du bordereau ne comprend ni l'amenée d'un outil spécifique, ni l'immobilisation de l'atelier de forage pendant son changement.
Comparaison : le même linéaire foré en alluvions aurait coûté une fraction de ce montant : c'est la nature du terrain, non la profondeur, qui fait le prix.

Remarque pédagogique : Vérifiez toujours que le prix retenu correspond aux conditions réelles d'exécution. Un bordereau contient souvent plusieurs prix de forage : celui de la roche n'est pas celui du terrain meuble.

Calcul 2 — Coût du béton supplémentaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que tout mètre foré doit être rempli : le béton suit le forage sans qu'aucune décision ne puisse s'y opposer.

Méthodologie du calcul :

On multiplie le volume de béton supplémentaire par son prix unitaire, fourni et mis en œuvre.

Substitution : on injecte \( V_{\text{b}} = 58{,}81 \) m³ et \( p_{\text{b}} = 180 \) €/m³.
Piège évité : utiliser le volume et non la longueur : le prix est donné au mètre cube.
Hypothèse validée : le prix est celui du béton fourni et mis en œuvre : aucun coût de pompage ou de mise en place ne s'y ajoute.
Vérification croisée : rapporté au mètre foré, ce poste vaut 203,58 €, soit le produit du prix par la section.
Finalité : fournir le deuxième des trois postes de fondation.

\[ \begin{aligned} C_{2} &= 58{,}81 \times 180 \\[3pt] &= \mathbf{10\,585{,}80} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Dix mille cinq cent quatre-vingt-cinq euros et quatre-vingts centimes. Le béton, matériau le plus visible de l'ouvrage, ne pèse ici que le quart du sous-total des fondations. Sur une fondation profonde, ce n'est pas la matière qui coûte : c'est l'accès à la profondeur.

Ordre de grandeur : 10 585,80 €, soit 1 323,23 € par pieu.
Impact sur la suite : ce poste représentera 23,75 % du sous-total des fondations.
Cohérence : rapporté au mètre foré, il vaut 203,58 €, contre 450 € pour le forage lui-même.
Attention : aucune sur-consommation n'est comptée, alors qu'un forage en terrain remanié en appelle presque toujours.
Comparaison : une sur-consommation de 5 % ajouterait 529,29 € — à la charge de l'entreprise en marché forfaitaire.

Remarque pédagogique : Sur une fondation profonde, comparez systématiquement le coût du matériau à celui de sa mise en place. Le rapport surprend souvent, et il oriente les efforts de négociation.

Calcul 3 — Coût des armatures supplémentaires

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le pieu est en béton armé : la cage d'armature s'allonge avec lui, et son coût suit la masse d'acier établie précédemment.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la masse d'armatures par le prix de l'acier fourni et posé.

Substitution : on injecte \( m_{\text{a}} = 7\,057{,}2 \) kg et \( p_{\text{a}} = 1{,}50 \) €/kg.
Piège évité : raisonner en kilogrammes et non en tonnes : le prix est donné au kilogramme.
Hypothèse validée : le prix comprend le façonnage et la pose : aucune main-d'œuvre ne s'y ajoute.
Vérification croisée : le produit du ratio par le prix, soit 120 × 1,50 = 180 €/m³, doit redonner ce poste multiplié par le volume.
Finalité : fournir le troisième et dernier poste de fondation.

\[ \begin{aligned} C_{3} &= 7\,057{,}2 \times 1{,}50 \\[3pt] &= \mathbf{10\,585{,}80} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le poste de l'acier vaut exactement celui du béton. La coïncidence n'en est pas une : le ratio de 120 kg/m³ multiplié par 1,50 €/kg donne 180 €/m³, soit précisément le prix du béton. Chaque mètre cube coûte donc autant en armature qu'en béton — une égalité que le rédacteur de la note doit signaler, faute de quoi elle passera pour une erreur de recopie.

Ordre de grandeur : 10 585,80 €, identique au poste du béton.
Impact sur la suite : les deux postes de matériau réunis pèsent 21 171,60 €, soit moins que le seul forage.
Cohérence : 120 kg/m³ × 1,50 €/kg = 180 €/m³ : l'égalité des deux postes est arithmétiquement nécessaire.
Attention : cette égalité est propre à ce jeu de valeurs : elle disparaîtrait au moindre changement de ratio ou de prix.
Comparaison : un ratio de 90 kg/m³, plus courant sur des pieux peu sollicités, ramènerait ce poste à 7 939,35 €.

Remarque pédagogique : Quand deux postes affichent le même montant, expliquez pourquoi dans la note. Une coïncidence non commentée est lue comme une erreur.

Calcul 4 — Sous-total des travaux de fondation

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le montant qui sera plaidé sur le fondement de la circonstance imprévue, indépendamment du sort réservé à l'autre cause.

Méthodologie du calcul :

On additionne les trois postes qui découlent tous de la même cause : la profondeur inattendue de l'horizon rocheux.

Substitution : on injecte 23 400,00 €, 10 585,80 € et 10 585,80 €.
Piège évité : ne pas y inclure les écrans acoustiques, qui procèdent d'une cause étrangère au terrain.
Hypothèse validée : les trois postes découlent tous du même fait générateur, constaté par la campagne géotechnique complémentaire.
Vérification croisée : le forage doit peser à lui seul plus de la moitié du sous-total.
Finalité : isoler le montant imputable à l'aléa géotechnique.

\[ \begin{aligned} C_{\text{f}} &= 23\,400{,}00 + 10\,585{,}80 + 10\,585{,}80 \\[3pt] &= \mathbf{44\,571{,}60} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Quarante-quatre mille cinq cent soixante et onze euros : voilà ce que coûte réellement l'aléa géotechnique. Le montant est celui qui donne son titre au dossier, et c'est pourtant le plus petit des deux. Il est aussi le mieux fondé : c'est le terrain qui l'impose, et l'article 9.1.1 du cahier des clauses réserve précisément aux sujétions normalement prévisibles le sort d'être couvertes par les prix.

Ordre de grandeur : 44 571,60 €, soit 5 571,45 € par pieu approfondi.
Impact sur la suite : c'est le montant qui sera présenté sur le fondement des circonstances imprévues.
Cohérence : le forage en représente 52,50 %, les deux matériaux 47,50 % à parts égales.
Attention : ce montant ne comprend aucun surcoût de méthode : le changement d'outil imposé par la roche n'est pas au bordereau.
Comparaison : rapporté au marché de 45 millions d'euros, l'aléa géotechnique ne pèse que 0,099 % — moins d'un millième.

Remarque pédagogique : Faites toujours apparaître les sous-totaux par cause dans une note d'avenant. C'est ce découpage, et non le montant global, que le maître d'œuvre instruira.

Calcul 5 — Coût des écrans acoustiques

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette prestation procède d'une décision et non d'un aléa : elle doit être chiffrée séparément pour pouvoir être instruite séparément.

Méthodologie du calcul :

On multiplie le linéaire demandé par le prix de l'écran fourni et posé.

Substitution : on injecte \( L_{\text{b}} = 150 \) m et \( p_{\text{e}} = 850 \) €/m.
Piège évité : ne pas rattacher ce poste aux fondations : il ne partage avec elles ni la localisation, ni la cause.
Hypothèse validée : le prix comprend la fourniture et la pose, y compris les contraintes d'intervention en hauteur sur le tablier.
Vérification croisée : le montant doit excéder à lui seul le sous-total des trois postes de fondation.
Finalité : isoler le montant imputable à la demande du maître d'ouvrage.

\[ \begin{aligned} C_{\text{e}} &= 150 \times 850 \\[3pt] &= \mathbf{127\,500{,}00} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Cent vingt-sept mille cinq cents euros : près de trois fois le coût de l'aléa géotechnique. Le poste techniquement le plus simple de l'avenant — une fourniture posée sur un tablier — en est de très loin le plus cher. Le prix de 850 € du mètre s'explique par la spécificité acoustique du produit et par les contraintes d'intervention en hauteur, mais il déplace complètement le centre de gravité du dossier.

Ordre de grandeur : 127 500,00 € pour 150 mètres d'écran.
Impact sur la suite : ce poste va dominer le coût direct et, par voie de conséquence, tout le montant de l'avenant.
Cohérence : il vaut 2,86 fois le sous-total des fondations, pour une technicité bien moindre.
Attention : cette prestation relève d'un autre fondement juridique que la sujétion imprévue : elle ne se plaide pas de la même façon.
Comparaison : rapporté au marché, ce poste pèse 0,283 % — soit près de trois fois le poids de l'aléa géotechnique.

Remarque pédagogique : La technicité d'un poste ne préjuge pas de son montant. Une fourniture simple mais spécifique dépasse souvent des travaux complexes en quantité limitée.

Calcul 6 — Coût direct total de la modification

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le socle auquel s'ajoutera le coût du délai, puis auquel s'appliqueront les coefficients contractuels.

Méthodologie du calcul :

On additionne les deux sous-ensembles, chacun correspondant à l'une des deux causes de la modification.

Substitution : on injecte \( C_{\text{f}} = 44\,571{,}60 \) € et \( C_{\text{e}} = 127\,500{,}00 \) €.
Piège évité : ne rien ajouter d'autre : le délai, les frais généraux et le bénéfice viendront ensuite.
Hypothèse validée : les deux sous-ensembles sont disjoints : aucun poste n'appartient aux deux.
Vérification croisée : la somme des quatre postes élémentaires redonne le même total.
Finalité : fournir l'assiette de toutes les majorations à venir.

\[ \begin{aligned} CD &= 44\,571{,}60 + 127\,500{,}00 \\[3pt] &= \mathbf{172\,071{,}60} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Cent soixante-douze mille soixante et onze euros de dépense de production. Ce montant n'est pas celui de l'avenant : il ne comprend ni l'immobilisation du chantier, ni les frais de siège, ni la moindre marge. Le présenter tel quel au maître d'ouvrage reviendrait à financer soi-même sa propre réclamation.

Ordre de grandeur : 172 071,60 €, quatre postes réunis.
Impact sur la suite : tous les coefficients contractuels s'appliqueront à ce montant, augmenté du coût du délai.
Cohérence : la somme poste par poste — 23 400 + 10 585,80 + 10 585,80 + 127 500 — redonne exactement ce total.
Attention : ce n'est pas un prix : l'article 9.1.1 impose que les prix couvrent les frais généraux et assurent une marge.
Comparaison : rapporté au marché initial, le coût direct ne pèse que 0,382 %.

Remarque pédagogique : Écrivez la définition à côté du montant. Un coût direct présenté sans mention de ce qu'il exclut sera tôt ou tard pris pour le montant de l'avenant.

Calcul 7 — Part de la demande du maître d'ouvrage

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur qui décide de la stratégie : elle dit laquelle des deux causes porte l'enjeu financier du dossier.

Méthodologie du calcul :

On rapporte le coût des écrans acoustiques au coût direct total de la modification.

Substitution : on injecte \( C_{\text{e}} = 127\,500{,}00 \) € et \( CD = 172\,071{,}60 \) €.
Piège évité : rapporter au coût direct et non au montant du marché : ce dernier rapport répondrait à une autre question.
Hypothèse validée : les coefficients étant identiques pour les deux causes, la proportion sera inchangée au prix de vente.
Vérification croisée : la part complémentaire, celle de l'aléa géotechnique, doit valoir 25,90 %.
Finalité : déterminer où se situe réellement l'enjeu de la négociation.

\[ \begin{aligned} \theta_{\text{e}} &= \frac{127\,500{,}00}{172\,071{,}60} \\[3pt] &= \mathbf{74{,}10} \; \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Près des trois quarts de l'avenant procèdent d'une décision, non d'un aléa. Le dossier s'intitule « adaptation des fondations » ; il est, pour l'essentiel, un dossier d'écrans acoustiques. Cette seule proportion réoriente la note : ce qu'il faut documenter en priorité n'est pas la campagne géotechnique, c'est l'ordre de service par lequel le maître d'ouvrage a demandé les écrans.

Ordre de grandeur : 74,10 % pour la demande du maître d'ouvrage, 25,90 % pour l'aléa.
Impact sur la suite : cette proportion se retrouvera identique au prix de vente, les coefficients étant les mêmes.
Cohérence : les deux parts additionnent bien cent pour cent.
Attention : une part élevée ne dit rien de la solidité juridique de la cause : les deux fondements sont distincts et se plaident indépendamment.
Comparaison : sans les écrans, l'avenant tomberait à un quart de son montant et ne justifierait sans doute pas la même instruction.

Remarque pédagogique : Calculez la part de chaque cause avant de rédiger l'exposé des motifs. Le titre d'un avenant doit refléter ce qu'il contient, non ce qui l'a déclenché.

QUATRE POSTES, DEUX CAUSES — LE COÛT DIRECT À L'ÉCHELLE

RÉSULTAT FINAL

CD = 172 071,60 € dont 74,10 % procèdent d'une demande du maître d'ouvrage

Les travaux de fondation représentent 44 571,60 €, les écrans acoustiques 127 500,00 €, soit un coût direct de 172 071,60 €. Le dossier porte le titre de l'aléa géotechnique, mais celui-ci n'en constitue qu'un quart : les trois autres quarts procèdent d'une décision du maître d'ouvrage, et relèvent à ce titre d'un fondement juridique distinct.

Question 3 : Valorisation de l'allongement du délai

Dans la tête de l'ingénieur

« Voici la dépense que personne ne voit et que tout le monde paie. La pile P4 est sur le chemin critique : douze jours de plus sur ses pieux, c'est douze jours de plus sur la livraison du viaduc. Pendant ce temps, la grue reste montée, la base-vie reste louée, le conducteur de travaux reste payé, les polices d'assurance courent. Aucune de ces dépenses ne figure au bordereau, parce qu'aucune ne se rattache à une quantité d'ouvrage — et c'est précisément pour cela qu'on les oublie. Une question me retient toutefois : le planning compte en jours ouvrés, mais une base-vie ne se démonte pas le samedi. Selon l'unité de temps que je retiens, le même allongement ne vaut pas le même montant, et l'écart n'est pas anecdotique. Il faut donc l'écrire, pas le supposer. »

Observation : Le coût d'immobilisation est proportionnel au temps et indépendant de l'avancement : il court même lorsque rien ne se produit.
Analyse du risque : L'unité de temps retenue déplace le montant de 14 000 €, soit plus que la marge nette de l'opération. Elle ne peut pas rester implicite.
Choix stratégique : Retenir les jours ouvrés, unité du calendrier contractuel, et annoncer la convention dans la note plutôt que de la subir.
Alternative : Certains marchés fixent un coût d'immobilisation hebdomadaire, ce qui supprime la question en agrégeant les deux unités.
Objectif visé : Obtenir le coût de la prolongation, l'écart entre les deux lectures et le poids de ce poste dans le coût direct.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Immobilisation 42 000,00 € en jours ouvrés · 56 000,00 € en jours calendaires · écart 14 000,00 € · poids 24,41 % du coût direct

Rappel Théorique : pourquoi le temps est une dépense

Un chantier consomme deux ressources distinctes : de la matière, qui se mesure en quantités d'ouvrage, et du temps, qui ne se mesure qu'en jours. La seconde n'apparaît sur aucun bordereau.

Les frais de chantier sont fonction du temps : grue, base-vie, encadrement, assurances, gardiennage. Ils s'arrêtent quand le chantier s'arrête, et ils courent tant qu'il dure — indépendamment de ce qui s'y produit.
Seul un allongement du chemin critique se répercute : un retard sur une tâche disposant de marge ne prolonge rien. C'est la position de la tâche dans le réseau, non sa durée, qui fait la dépense.
La prolongation du délai est un acte contractuel : l'article 18.2.1 du cahier des clauses administratives générales dispose que « la prolongation du délai d'exécution ne peut résulter que d'un avenant », sauf dans les cas qu'il énumère.
L'imprévu figure au nombre de ces cas : l'article 18.2.2 admet qu'une prolongation soit justifiée par « la survenance de difficultés ou de circonstances imprévues au cours du chantier », ce qui est exactement la situation rencontrée sur la pile P4.
L'unité de temps doit être annoncée : un planning se tient en jours ouvrés, une location court en jours calendaires. Le rédacteur doit dire laquelle il retient, faute de quoi son montant n'est pas vérifiable.

Équations Fondamentales

Trois relations. La première valorise une durée, la deuxième convertit les unités de temps, la troisième situe le poste dans le coût direct.

Formule 1 — Coût d'immobilisation du chantier :

Elle multiplie la durée de prolongation par le coût journalier d'immobilisation.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les frais de chantier sont, par nature, proportionnels au temps et non à l'avancement. Une relation linéaire suffit donc à les décrire, à condition que l'unité de temps du facteur et celle du coefficient coïncident.

Contexte de validité : elle suppose une dépense continue et constante, sans effet de seuil tel qu'un mois de location indivisible.
Avantage : elle rend le poste immédiatement vérifiable : deux facteurs, aucune hypothèse cachée.
Paramètre clé : l'unité de temps, qui doit être la même des deux côtés de la multiplication.
Vérification : le montant obtenu doit rester du même ordre que les postes de matériau, sans quoi l'un des deux est mal estimé.
Limite : elle n'est justifiée que si l'allongement porte sur le chemin critique : sur une tâche à marge, la prolongation n'existe pas.

\[ \begin{aligned} CI = \Delta t \times c_{\text{j}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien coûte le maintien du chantier pendant la prolongation ? C'est la seule dépense de l'avenant qui ne corresponde à aucun ouvrage.

Décomposition des termes :

\( CI \) : coût d'immobilisation du chantier, unité : €
\( \Delta t \) : durée de la prolongation, unité : jour
\( c_{\text{j}} \) : coût journalier d'immobilisation, unité : €/jour

Formule 2 — Conversion des jours ouvrés en jours calendaires :

Elle ajoute deux jours de fin de semaine par tranche de cinq jours ouvrés révolus.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les deux unités ne mesurent pas la même chose. Le jour ouvré mesure la production ; le jour calendaire mesure l'existence du chantier. Une location, une assurance et un gardiennage relèvent de la seconde.

Contexte de validité : elle suppose une semaine de cinq jours ouvrés et ne tient pas compte des jours fériés.
Avantage : elle rend la conversion explicite et reproductible, au lieu de la laisser à l'appréciation du lecteur.
Paramètre clé : le nombre de tranches de cinq jours révolues, seul terme qui varie.
Vérification : le rapport des deux durées doit tendre vers sept cinquièmes lorsque la période s'allonge.
Limite : elle dépend du jour de la semaine où débute la prolongation : le même nombre de jours ouvrés peut couvrir quinze ou dix-sept jours calendaires.

\[ \begin{aligned} \Delta t_{\text{c}} = \Delta t_{\text{o}} + 2 \left\lfloor \frac{\Delta t_{\text{o}}}{5} \right\rfloor \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien de jours s'écoulent réellement pendant douze jours de travail ? C'est la durée pendant laquelle le chantier existe, non celle pendant laquelle il produit.

Décomposition des termes :

\( \Delta t_{\text{c}} \) : durée en jours calendaires, unité : jour
\( \Delta t_{\text{o}} \) : durée en jours ouvrés, unité : jour
\( \lfloor \; \rfloor \) : partie entière par défaut, sans dimension

Formule 3 — Poids du délai dans le coût direct :

Elle rapporte le coût d'immobilisation au coût direct des travaux.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle mesure ce qu'un chiffrage limité aux ouvrages aurait omis. Un poste qui pèse près d'un quart des travaux n'est pas un détail de présentation : c'est une part substantielle de la réclamation.

Contexte de validité : le dénominateur est le coût direct : rapporter au marché donnerait une proportion sans signification.
Avantage : elle fournit un indicateur comparable d'un avenant à l'autre.
Paramètre clé : le coût journalier, qui dépend de l'importance des installations de chantier.
Vérification : sur un ouvrage d'art à installations lourdes, ce rapport dépasse fréquemment le cinquième.
Limite : le rapport dépend autant du volume des travaux que de la durée : il ne mesure pas l'importance du retard en lui-même.

\[ \begin{aligned} \theta_{\text{t}} = \frac{CI}{CD} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Quelle fraction de la dépense de production le temps représente-t-il ? C'est la mesure de ce qu'un chiffrage limité aux ouvrages aurait perdu.

Décomposition des termes :

\( \theta_{\text{t}} \) : poids du délai dans le coût direct, unité : %
\( CI \) : coût d'immobilisation, unité : €
\( CD \) : coût direct des travaux, unité : €

L'Erreur Classique (Le Piège)

« L'avenant chiffre des travaux supplémentaires. Le retard de douze jours, lui, ne correspond à aucun ouvrage : il n'y a donc rien à facturer à ce titre. »

L'approche d'ingénieur : Le raisonnement confond ouvrage et dépense. Pendant ces douze jours, l'entreprise paie une grue, une base-vie, un encadrement et des assurances qu'elle n'aurait pas payés si le chantier s'était achevé à la date prévue. Ces 42 000 € représentent près d'un quart du coût direct des travaux : les omettre revient à offrir au maître d'ouvrage une dépense supérieure à la marge de l'opération. L'article 18.2.2 du cahier des clauses admet d'ailleurs expressément la prolongation justifiée par « la survenance de difficultés ou de circonstances imprévues ».

L'erreur : croire qu'une dépense doit correspondre à un ouvrage pour être facturable. Les frais de chantier ne correspondent à aucun ouvrage et sont pourtant réels.
La bonne méthode : chiffrer séparément ce qui procède des quantités et ce qui procède du temps, puis additionner.
L'astuce de pro : se demander ce que l'entreprise aurait dépensé si le chantier s'était terminé à la date initiale. La différence est le coût du délai.
Le moyen mnémotechnique : « la grue se loue au jour, pas au mètre cube ».
L'impact direct : 42 000 € de dépense non facturée, soit trois fois et demie la marge nette que dégagera finalement l'opération.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Coût d'immobilisation : jour × €/jour = €
Conversion : jour + jour = jour, la partie entière étant sans dimension
Écart entre les deux lectures : différence de deux euros
Poids du délai : rapport de deux euros, donc sans dimension
Une multiplication jours ouvrés × €/jour calendaire serait dimensionnellement correcte et pourtant fausse : l'unité seule ne suffit pas à valider un calcul

Cinq calculs, un par grandeur cherchée. Le premier valorise la prolongation en jours ouvrés, les deux suivants établissent la durée calendaire et le montant correspondant. Le quatrième mesure l'écart entre les deux lectures, le dernier le poids du poste dans le coût direct.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Coût d'immobilisation sur les jours ouvrés

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le calendrier contractuel s'exprime en jours ouvrés : c'est l'unité dans laquelle la prolongation a été constatée et sera notifiée.

Méthodologie du calcul :

On multiplie l'allongement du chemin critique par le coût journalier d'immobilisation du chantier.

Substitution : on injecte \( \Delta t = 12 \) jours et \( c_{\text{j}} = 3\,500 \) €/jour.
Piège évité : ne retenir que l'allongement du chemin critique : un retard absorbé par une marge ne prolonge pas le chantier.
Hypothèse validée : le coût journalier est constant et comprend l'ensemble des installations, l'encadrement et les assurances.
Vérification croisée : le montant équivaut à un peu plus de deux semaines de fonctionnement du chantier.
Finalité : fournir le second terme du coût de revient de chantier.

\[ \begin{aligned} CI &= 12 \times 3\,500 \\[3pt] &= \mathbf{42\,000{,}00} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Quarante-deux mille euros pour douze jours pendant lesquels aucun ouvrage supplémentaire n'est produit. Le montant approche celui des trois postes de fondation réunis, qui vaut 44 571,60 €, et dépasse largement le béton et l'acier des huit pieux, qui pèsent ensemble 21 171,60 €. C'est le rappel le plus net qui soit : sur un ouvrage d'art à installations lourdes, le temps coûte presque aussi cher que la matière et l'accès à la profondeur réunis.

Ordre de grandeur : 42 000,00 € pour douze jours ouvrés.
Impact sur la suite : ce montant s'ajoutera au coût direct pour former le coût de revient de chantier.
Cohérence : il vaut 94,2 % du sous-total des trois postes de fondation : les deux montants sont du même ordre, ce qui est le signe d'un chiffrage cohérent.
Attention : ce coût n'est justifiable que si l'allongement porte effectivement sur le chemin critique, ce qu'il faudra démontrer au maître d'œuvre.
Comparaison : un coût journalier de 2 000 €, typique d'un chantier de bâtiment, n'aurait donné que 24 000 €.

Remarque pédagogique : Établissez le coût journalier de votre chantier dès l'installation. C'est le chiffre qui permet de convertir instantanément n'importe quel aléa de planning en euros.

Calcul 2 — Durée calendaire correspondante

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une base-vie, une grue et une police d'assurance ne s'interrompent pas le samedi : il faut savoir combien de jours s'écoulent réellement.

Méthodologie du calcul :

On ajoute deux jours de fin de semaine par tranche de cinq jours ouvrés révolus.

Substitution : on injecte \( \Delta t_{\text{o}} = 12 \) jours ouvrés.
Piège évité : prendre la partie entière du quotient : douze jours ouvrés ne comportent que deux fins de semaine complètes, non deux virgule quatre.
Hypothèse validée : la semaine compte cinq jours ouvrés et aucun jour férié ne tombe dans la période.
Vérification croisée : le rapport 16/12 vaut 1,333, valeur voisine des sept cinquièmes vers lesquels tend la conversion.
Finalité : disposer de la durée pendant laquelle le chantier existe réellement.

\[ \begin{aligned} \Delta t_{\text{c}} &= 12 + 2 \left\lfloor \frac{12}{5} \right\rfloor \\[3pt] &= 12 + 2 \times 2 \\[3pt] &= \mathbf{16} \text{ jours} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Douze jours de travail s'étalent sur seize jours de calendrier. Quatre journées entières s'écoulent pendant lesquelles rien ne se produit et où pourtant tout se paie. L'écart d'un tiers entre les deux durées n'est pas un détail de présentation : c'est la différence entre ce que le chantier produit et ce qu'il dure.

Ordre de grandeur : 16 jours calendaires pour 12 jours ouvrés.
Impact sur la suite : cette durée servira à mesurer l'écart entre les deux lectures du même poste.
Cohérence : le rapport vaut 1,333, contre 1,400 pour une longue période — l'écart provient des deux jours isolés en fin de période.
Attention : le résultat dépend du jour de démarrage : commencée un jeudi, la même période couvrirait dix-sept jours calendaires.
Comparaison : un jour férié tombant dans la période porterait la durée calendaire à dix-sept jours.

Remarque pédagogique : Précisez toujours l'unité de temps d'une durée de chantier. « Douze jours » n'est pas une donnée tant qu'on ignore s'ils sont ouvrés ou calendaires.

Calcul 3 — Coût d'immobilisation sur les jours calendaires

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le montant qu'obtiendrait un rédacteur retenant la durée réelle d'existence du chantier plutôt que sa durée de production.

Méthodologie du calcul :

On applique le même coût journalier à la durée calendaire établie au calcul précédent.

Substitution : on injecte \( \Delta t_{\text{c}} = 16 \) jours et \( c_{\text{j}} = 3\,500 \) €/jour.
Piège évité : conserver le même coût journalier : c'est la durée qui change, non le taux.
Hypothèse validée : les installations sont maintenues sans interruption, fins de semaine comprises.
Vérification croisée : le montant doit valoir quatre trois-millièmes de plus que le précédent, soit quatre journées supplémentaires.
Finalité : disposer du terme de comparaison qui mesurera l'enjeu du choix de l'unité.

\[ \begin{aligned} CI_{\text{c}} &= 16 \times 3\,500 \\[3pt] &= \mathbf{56\,000{,}00} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Cinquante-six mille euros : le même allongement, la même installation, une autre unité de temps. Le montant est supérieur d'un tiers au précédent. Rien dans les données n'a changé : seule la question posée diffère — combien de jours le chantier a-t-il travaillé, ou combien de jours a-t-il existé ?

Ordre de grandeur : 56 000,00 € pour seize jours calendaires.
Impact sur la suite : c'est ce montant qui serait retenu si le marché stipulait un coût d'immobilisation calendaire.
Cohérence : le rapport des deux montants vaut exactement celui des deux durées, soit 1,333.
Attention : les deux lectures sont également défendables : c'est le marché, non le calcul, qui tranche.
Comparaison : ce montant dépasse à lui seul le sous-total des trois postes de fondation, qui vaut 44 571,60 €.

Remarque pédagogique : Cherchez dans le marché la définition du coût journalier avant de l'appliquer. Un prix « par jour » sans qualificatif est une source de litige, non une donnée.

Calcul 4 — Écart entre les deux lectures

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la question de l'unité de temps n'est légitime que si son enjeu est chiffré : sans ce montant, elle resterait une querelle de vocabulaire.

Méthodologie du calcul :

On retranche le montant établi en jours ouvrés de celui établi en jours calendaires.

Substitution : on injecte 56 000,00 € et 42 000,00 €.
Piège évité : ne pas confondre cet écart avec une erreur : les deux montants sont exacts, seule leur assiette diffère.
Hypothèse validée : le coût journalier est identique dans les deux lectures.
Vérification croisée : l'écart doit valoir quatre journées d'immobilisation, soit 4 × 3 500 €.
Finalité : mesurer ce que le choix d'une convention déplace dans la réclamation.

\[ \begin{aligned} \delta_{\text{t}} &= 56\,000{,}00 - 42\,000{,}00 \\[3pt] &= \mathbf{14\,000{,}00} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Quatorze mille euros dépendent d'un mot. C'est l'écart entre deux lectures également défendables du même allongement — et il excède, à lui seul, la marge nette que dégagera l'opération. Une convention laissée implicite dans une note d'avenant n'est donc pas une négligence de rédaction : c'est un risque financier de premier rang.

Ordre de grandeur : 14 000,00 €, soit quatre journées d'immobilisation.
Impact sur la suite : la note retient les jours ouvrés, unité du calendrier contractuel, et l'annonce explicitement.
Cohérence : 4 × 3 500 € redonne exactement l'écart : aucune autre différence n'intervient.
Attention : cet écart représente 33,3 % du poste retenu : ce n'est pas une variante marginale.
Comparaison : il dépasse le coût de l'ensemble des armatures supplémentaires des huit pieux.

Remarque pédagogique : Chiffrez toujours l'enjeu d'une convention avant de la retenir. Une hypothèse dont on ignore le poids est une hypothèse que l'on ne défend pas.

Calcul 5 — Poids du délai dans le coût direct

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il mesure exactement ce qu'aurait perdu un chiffrage limité aux ouvrages, et justifie que le poste figure dans la note.

Méthodologie du calcul :

On rapporte le coût d'immobilisation retenu au coût direct des travaux.

Substitution : on injecte \( CI = 42\,000{,}00 \) € et \( CD = 172\,071{,}60 \) €.
Piège évité : rapporter au coût direct et non au coût de revient, qui contient déjà le poste au numérateur.
Hypothèse validée : les deux montants portent sur la même modification et sur la même période.
Vérification croisée : le poste doit peser près du quart, l'immobilisation étant du même ordre que le sous-total des fondations.
Finalité : justifier la présence du poste dans la réclamation par son poids relatif.

\[ \begin{aligned} \theta_{\text{t}} &= \frac{42\,000{,}00}{172\,071{,}60} \\[3pt] &= \mathbf{24{,}41} \; \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Près d'un quart du coût direct pour une dépense qui ne construit rien. La proportion est le meilleur argument de la note : un poste de cette ampleur ne peut pas être présenté comme un accessoire des travaux. Elle explique aussi pourquoi les réclamations mal préparées sont si souvent déficitaires — c'est ce quart-là qui manque.

Ordre de grandeur : 24,41 % du coût direct des travaux.
Impact sur la suite : ce poste portera les mêmes coefficients que les travaux, et sa suppression fera basculer l'opération.
Cohérence : l'immobilisation vaut 94,2 % du sous-total des fondations : les deux montants sont bien du même ordre.
Attention : ce rapport dépend autant du volume des travaux que de la durée : il ne mesure pas la gravité du retard en lui-même.
Comparaison : retenue en jours calendaires, l'immobilisation aurait pesé 32,55 % du coût direct.

Remarque pédagogique : Présentez le poids du délai en pourcentage des travaux. C'est la seule façon de faire comprendre à un interlocuteur non technique qu'un poste sans ouvrage puisse peser un quart d'une réclamation.

DOUZE JOURS DE TRAVAIL, SEIZE JOURS DE DÉPENSE

RÉSULTAT FINAL

CI = 42 000,00 € soit 24,41 % du coût direct des travaux

Les douze jours ouvrés d'allongement du chemin critique, valorisés au coût journalier d'immobilisation de 3 500 €, représentent 42 000,00 €. Les seize jours calendaires correspondants en donneraient 56 000,00 € : l'écart de 14 000 € montre qu'une convention d'unité de temps laissée implicite déplace, à elle seule, plus que la marge de l'opération.

Question 4 : Prix de vente de l'avenant

Dans la tête de l'ingénieur

« J'ai maintenant ce que la modification coûte. Il me reste à établir ce qu'elle se vend, et ce n'est pas la même chose. Entre les deux se glissent le siège de l'entreprise — les études, la comptabilité, les assurances, la direction — et la rémunération du risque assumé. Le marché a fixé les deux taux : douze pour cent et cinq pour cent. La tentation est de les additionner et d'annoncer dix-sept. Mais le bénéfice ne porte pas sur le coût de revient : il porte sur un montant qui contient déjà les frais généraux. Les deux majorations sont emboîtées, non parallèles. Douze et cinq ne font donc pas dix-sept, mais dix-sept virgule soixante — et sur cet avenant, l'écart vaut plus de mille deux cents euros. Ce n'est pas une subtilité de calcul : c'est le dixième du bénéfice de l'opération. »

Observation : Les deux majorations s'appliquent en cascade : le bénéfice porte sur le montant déjà majoré des frais généraux.
Analyse du risque : Additionner les taux sous-estime le prix de 1 284,43 €, prélevés en totalité sur le bénéfice puisque les frais généraux seront bien décaissés.
Choix stratégique : Établir le coefficient de vente une fois pour toutes, puis l'appliquer au coût de revient : le détour par les montants intermédiaires est inutile et source d'arrondis.
Alternative : On pourrait appliquer les frais généraux aux seuls coûts directs, en excluant l'immobilisation. Certains marchés le stipulent ; celui-ci ne le fait pas.
Objectif visé : Obtenir le montant de l'avenant à soumettre au maître d'ouvrage.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Coût de revient 214 071,60 € · coefficient 1,1760 · prix de vente 251 748,20 € HT · écart avec des taux additionnés 1 284,43 €

Rappel Théorique : du coût de revient au prix de vente

Le passage du coût au prix n'est pas une majoration de convenance : c'est une obligation que le cahier des clauses impose au rédacteur du marché comme au titulaire.

Le texte contractuel exige la marge : l'article 9.1.1 dispose que les prix « sont réputés comprendre toutes les dépenses résultant de l'exécution des travaux et prestations, y compris les frais généraux, impôts et taxes, et assurer au titulaire une marge pour risques et bénéfice ».
Le coût de revient de chantier réunit deux natures : les dépenses rattachables à une quantité — le coût direct — et celles rattachables au temps — l'immobilisation. Les deux sont réelles, aucune ne comprend de marge.
Les frais généraux ne sont pas des frais de chantier : ils couvrent le siège, les études, la direction, la comptabilité. Ils existent même lorsque le chantier s'arrête, et se répartissent sur l'ensemble des affaires de l'entreprise.
Les majorations sont emboîtées : le bénéfice se calcule sur un montant qui contient déjà les frais généraux. Deux taux successifs se multiplient, ils ne s'additionnent pas.
Le coefficient global excède toujours la somme des taux : l'écart vaut le produit des deux taux, et il croît avec leur nombre comme avec leur valeur.

Équations Fondamentales

Trois relations. La première totalise le coût de revient, la deuxième compose les deux taux, la troisième applique le coefficient obtenu.

Formule 1 — Coût de revient de chantier :

Elle additionne les dépenses liées aux quantités et celles liées au temps.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les coefficients contractuels s'appliquent à l'ensemble de ce que le chantier a réellement dépensé, et non aux seuls ouvrages. Le coût de revient de chantier est l'assiette de la majoration, non le coût direct.

Contexte de validité : elle suppose que le marché ne limite pas l'assiette des frais généraux aux seuls coûts directs, ce que précisent les conventions de l'énoncé.
Avantage : elle rassemble en une seule grandeur tout ce que la modification a coûté à l'entreprise, hors structure.
Paramètre clé : le coût d'immobilisation, qui pèse près du quart de l'ensemble et que l'on omet le plus souvent.
Vérification : le résultat doit excéder le coût direct d'exactement le montant de l'immobilisation.
Limite : elle ne comprend aucune charge de structure : ce n'est pas encore le coût complet de l'opération pour l'entreprise.

\[ \begin{aligned} CR = CD + CI \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien le chantier décaisse-t-il, ouvrages et temps réunis ? C'est l'assiette de toutes les majorations à venir.

Décomposition des termes :

\( CR \) : coût de revient de chantier, unité : €
\( CD \) : coût direct des travaux, unité : €
\( CI \) : coût d'immobilisation du chantier, unité : €

Formule 2 — Coefficient de vente :

Elle multiplie les deux facteurs de majoration, chacun s'appliquant au montant issu du précédent.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les deux majorations sont emboîtées. Les frais généraux s'ajoutent au coût de revient ; le bénéfice s'ajoute au total ainsi obtenu, frais généraux compris. La multiplication traduit cet emboîtement, l'addition le nierait.

Contexte de validité : elle suppose que le bénéfice porte sur le prix de revient et non sur le seul coût de chantier.
Avantage : le coefficient se calcule une seule fois et s'applique ensuite à n'importe quel montant de la même affaire.
Paramètre clé : le taux de frais généraux, le plus élevé des deux et celui qui dépend de la structure propre de l'entreprise.
Vérification : le coefficient doit excéder 1,17, somme des deux taux augmentée de l'unité.
Limite : le produit est indifférent à l'ordre des facteurs, mais les montants intermédiaires, eux, en dépendent.

\[ \begin{aligned} k = (1 + t_{\text{g}})(1 + t_{\text{b}}) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Par combien faut-il multiplier une dépense de chantier pour obtenir un prix ? C'est le facteur de passage du coût subi au prix proposé.

Décomposition des termes :

\( k \) : coefficient de vente, sans dimension
\( t_{\text{g}} \) : taux de frais généraux, sans dimension
\( t_{\text{b}} \) : taux de bénéfice et aléas, sans dimension

Formule 3 — Prix de vente de l'avenant :

Elle applique le coefficient de vente au coût de revient de chantier.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est le montant que l'entreprise engage devant le maître d'ouvrage. Toute la note de calculs n'existe que pour le fonder, et sa proportionnalité au coût de revient permet de répercuter immédiatement toute correction en amont.

Contexte de validité : elle donne un prix hors taxes, la taxe sur la valeur ajoutée s'ajoutant ensuite sans modifier la marge.
Avantage : elle rend le prix vérifiable en une opération par le maître d'œuvre, ce qui est la condition de son instruction.
Paramètre clé : le coût de revient lui-même : toute erreur commise en amont ressort ici amplifiée de 17,60 %.
Vérification : la différence entre le prix et le coût de revient doit valoir la marge brute, soit frais généraux et bénéfice réunis.
Limite : elle suppose les charges de structure proportionnelles à l'activité, hypothèse forte mais universellement pratiquée.

\[ \begin{aligned} PV = CR \times k \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? À quel montant l'avenant doit-il être soumis pour couvrir toutes les charges et dégager une marge ? C'est le chiffre qui figurera à l'acte.

Décomposition des termes :

\( PV \) : prix de vente hors taxes de l'avenant, unité : €
\( CR \) : coût de revient de chantier, unité : €
\( k \) : coefficient de vente, sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Douze pour cent de frais généraux et cinq pour cent de bénéfice : au total dix-sept pour cent. Le prix de vente vaut donc le coût de revient majoré de 17 %, soit 250 463,77 €. »

L'approche d'ingénieur : Les deux taux ne s'appliquent pas à la même base. Les frais généraux portent sur le coût de revient de chantier ; le bénéfice porte sur le prix de revient, frais généraux compris. Le coefficient réel vaut 1,1760 et non 1,17 : la majoration effective atteint 17,60 %. L'écart de soixante centièmes de point représente 1 284,43 € sur cet avenant — soit 10,7 % du bénéfice de l'opération, perdus par une simple addition.

L'erreur : traiter des majorations emboîtées comme si elles étaient parallèles, et additionner leurs taux au lieu de multiplier leurs facteurs.
La bonne méthode : multiplier \( (1 + t_{\text{g}}) \) par \( (1 + t_{\text{b}}) \), puis appliquer le produit au coût de revient.
L'astuce de pro : écrire le coefficient en tête de la note, avec le détail de ses facteurs. Il devient ainsi contrôlable d'un coup d'œil par le maître d'œuvre.
Le moyen mnémotechnique : « des taux successifs se multiplient, jamais ne s'additionnent ».
L'impact direct : 1 284,43 € de prix non demandé, prélevés en totalité sur le bénéfice — car les frais généraux, eux, seront bien décaissés.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Coût de revient : somme de deux euros
Coefficient : produit de deux nombres sans dimension
Prix de vente : € × sans dimension = €, hors taxes
Écart entre les deux méthodes : différence de deux euros
Un coefficient inférieur à l'unité signalerait une vente à perte : le contrôle est immédiat

Cinq calculs, un par grandeur cherchée. Le premier totalise le coût de revient, le deuxième compose le coefficient, le troisième livre le prix de vente. Les deux derniers établissent ce qu'aurait donné une addition des taux et mesurent l'écart.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Coût de revient de chantier

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'assiette des coefficients : les majorations ne portent ni sur les seuls travaux, ni sur le seul délai, mais sur la totalité de ce que le chantier a dépensé.

Méthodologie du calcul :

On additionne le coût direct des travaux et le coût d'immobilisation du chantier.

Substitution : on injecte \( CD = 172\,071{,}60 \) € et \( CI = 42\,000{,}00 \) €.
Piège évité : ne pas omettre l'immobilisation de l'assiette : l'exclure ferait perdre 7 392 € de majoration.
Hypothèse validée : le marché ne restreint pas l'assiette des frais généraux aux seuls coûts directs.
Vérification croisée : le résultat excède le coût direct d'exactement 42 000 €.
Finalité : fournir la base de calcul du prix de vente.

\[ \begin{aligned} CR &= 172\,071{,}60 + 42\,000{,}00 \\[3pt] &= \mathbf{214\,071{,}60} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Deux cent quatorze mille euros de dépense de chantier. Le montant réunit deux natures que rien ne rapproche sur le plan technique : des ouvrages et du temps. Il ne comprend en revanche aucune charge de structure — ni les études, ni la comptabilité, ni la direction n'y figurent, alors qu'elles ont bien été mobilisées.

Ordre de grandeur : 214 071,60 €, dont 80,4 % de travaux et 19,6 % de temps.
Impact sur la suite : le coefficient de vente s'appliquera à ce montant, et à lui seul.
Cohérence : la différence avec le coût direct vaut bien 42 000 €, montant de l'immobilisation.
Attention : ce n'est pas un prix : le soumettre tel quel reviendrait à financer soi-même sa propre réclamation.
Comparaison : si le marché limitait les frais généraux aux coûts directs, l'assiette tomberait à 172 071,60 € et la majoration perdrait 7 392 €.

Remarque pédagogique : Vérifiez dans le marché sur quelle assiette portent les frais généraux. La question paraît formelle ; elle vaut ici plus de sept mille euros.

Calcul 2 — Coefficient de vente

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il s'établit une fois pour toutes et s'applique ensuite à tout montant de la même affaire : c'est le calcul le plus rentable de la note.

Méthodologie du calcul :

On convertit chaque taux en facteur multiplicatif, puis on multiplie les deux facteurs.

Substitution : on injecte \( t_{\text{g}} = 0{,}12 \) et \( t_{\text{b}} = 0{,}05 \).
Piège évité : ne pas additionner les taux : la somme donnerait 1,17, valeur inférieure au produit.
Hypothèse validée : le bénéfice porte sur le montant déjà majoré des frais généraux.
Vérification croisée : l'écart au 1,17 de la somme vaut exactement le produit des deux taux, soit 0,12 × 0,05 = 0,006.
Finalité : disposer du facteur de passage du coût de revient au prix.

\[ \begin{aligned} k &= 1{,}12 \times 1{,}05 \\[3pt] &= \mathbf{1{,}1760} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un virgule dix-sept soixante, quand l'addition promettait un virgule dix-sept. L'écart de six millièmes est exactement le produit des deux taux : il naît du fait que le bénéfice s'applique aussi aux frais généraux. Six millièmes paraissent négligeables ; sur un coût de revient de deux cent quatorze mille euros, ils valent plus de mille deux cents euros.

Ordre de grandeur : 1,1760, soit une majoration effective de 17,60 %.
Impact sur la suite : ce coefficient s'appliquera au coût de revient pour donner le montant de l'avenant.
Cohérence : 1,1760 − 1,17 = 0,006, soit exactement 0,12 × 0,05.
Attention : un coefficient de cet ordre est usuel en travaux publics, mais il n'est fixé par aucun texte : il procède du marché.
Comparaison : avec un troisième taux de 3 % d'aléas, le coefficient atteindrait 1,2113 et l'écart à la somme des taux triplerait.

Remarque pédagogique : Retenez que l'écart entre le produit et la somme vaut le produit des taux. Il croît vite : avec trois ou quatre majorations, il devient impossible à négliger.

Calcul 3 — Prix de vente de l'avenant

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le montant que l'entreprise soumet et qui l'engage : tout le reste de la note n'existe que pour le fonder.

Méthodologie du calcul :

On multiplie le coût de revient de chantier par le coefficient de vente établi au calcul précédent.

Substitution : on injecte \( CR = 214\,071{,}60 \) € et \( k = 1{,}1760 \).
Piège évité : appliquer le coefficient au coût de revient et non au seul coût direct.
Hypothèse validée : le prix obtenu est hors taxes : la taxe sur la valeur ajoutée s'ajoutera ensuite.
Vérification croisée : la différence avec le coût de revient doit valoir 37 676,60 €, soit frais généraux et bénéfice réunis.
Finalité : produire le montant de l'avenant à soumettre au maître d'ouvrage.

\[ \begin{aligned} PV &= 214\,071{,}60 \times 1{,}1760 \\[3pt] &= \mathbf{251\,748{,}20} \text{ € HT} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Deux cent cinquante et un mille sept cent quarante-huit euros : voilà le montant de l'avenant. La marge brute, 37 676,60 €, représente 14,97 % du prix — mais elle n'est pas un gain : elle finance d'abord le siège de l'entreprise. Ce qui restera véritablement au titulaire est bien plus modeste, et la question suivante le chiffrera.

Ordre de grandeur : 251 748,20 € HT, soit 0,56 % du marché initial.
Impact sur la suite : c'est ce montant qui sera confronté aux plafonds réglementaires de modification.
Cohérence : 251 748,20 − 214 071,60 = 37 676,60 €, soit exactement 17,60 % du coût de revient.
Attention : la marge brute n'est pas le bénéfice : les deux tiers en reviennent aux frais généraux.
Comparaison : les écrans acoustiques y pèsent toujours 74,10 %, les coefficients ayant majoré les deux causes à l'identique.

Remarque pédagogique : Ne présentez jamais la marge brute comme un bénéfice. La confusion fait croire à une aisance qui n'existe pas et fragilise la position du titulaire en négociation.

Calcul 4 — Prix obtenu par addition des taux

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'erreur la plus fréquente sur ce type de note, et qu'elle ne se démontre qu'en chiffrant le résultat qu'elle produirait.

Méthodologie du calcul :

On applique au coût de revient un coefficient obtenu en additionnant les deux taux, comme le ferait un rédacteur pressé.

Substitution : on injecte \( CR = 214\,071{,}60 \) € et un coefficient de 1,17.
Piège évité : il ne s'agit pas d'une méthode alternative mais d'une erreur : elle est calculée ici pour être mesurée, non pour être retenue.
Hypothèse validée : l'assiette est identique dans les deux méthodes : seul le coefficient diffère.
Vérification croisée : le résultat doit être inférieur au prix correct, le coefficient additif étant le plus faible.
Finalité : disposer du terme de comparaison qui donnera sa portée à l'erreur.

\[ \begin{aligned} PV_{\text{add}} &= 214\,071{,}60 \times 1{,}17 \\[3pt] &= \mathbf{250\,463{,}77} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Deux cent cinquante mille quatre cent soixante-trois euros : un montant parfaitement plausible, et pourtant faux. C'est ce qui rend l'erreur redoutable — elle ne produit aucune aberration, aucun ordre de grandeur suspect. Rien, dans le résultat, ne signale que le bénéfice a été privé de son assiette la plus large.

Ordre de grandeur : 250 463,77 €, à moins d'un demi-pour-cent du prix correct.
Impact sur la suite : ce montant ne sera pas retenu : il sert uniquement à mesurer l'écart.
Cohérence : il vaut exactement le coût de revient majoré de 17,00 %, contre 17,60 % pour le prix correct.
Attention : une erreur qui reste vraisemblable ne sera relevée par personne — ni par le titulaire, ni par le maître d'œuvre.
Comparaison : la même erreur de six millièmes commise sur le coût de revient du marché entier représenterait près de 230 000 €.

Remarque pédagogique : Les erreurs dangereuses ne sont pas celles qui produisent des résultats absurdes, mais celles qui produisent des résultats vraisemblables. Seul un contrôle de méthode les détecte.

Calcul 5 — Écart entre les deux méthodes

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une règle de méthode ne se retient que si son coût est chiffré : c'est ce montant, et non le principe, qui reste en mémoire.

Méthodologie du calcul :

On retranche le prix obtenu par addition des taux du prix obtenu par composition.

Substitution : on injecte 251 748,20 € et 250 463,77 €.
Piège évité : rapporter l'écart au bénéfice et non au prix : rapporté au prix, il paraîtrait négligeable.
Hypothèse validée : les frais généraux seront décaissés en totalité : la perte porte donc intégralement sur le bénéfice.
Vérification croisée : l'écart doit valoir le produit des deux taux appliqué au coût de revient, soit 0,006 × 214 071,60 €.
Finalité : donner sa portée réelle à la règle de composition.

\[ \begin{aligned} \delta_{k} &= 251\,748{,}20 - 250\,463{,}77 \\[3pt] &= \mathbf{1\,284{,}43} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Mille deux cent quatre-vingt-quatre euros pour une addition posée à la place d'une multiplication. Rapporté au prix, l'écart ne vaut qu'un demi-pour-cent et n'inquiéterait personne. Rapporté au bénéfice de l'opération, il en représente 10,7 % : c'est la seule proportion qui compte, puisque les frais généraux seront décaissés quoi qu'il arrive.

Ordre de grandeur : 1 284,43 €, soit 0,51 % du prix de vente.
Impact sur la suite : cet écart s'imputerait en totalité sur le bénéfice, que la question suivante chiffrera.
Cohérence : 0,006 × 214 071,60 = 1 284,43 € : l'écart est exactement le produit des deux taux appliqué à l'assiette.
Attention : la base de comparaison change tout : 0,51 % du prix, mais 10,7 % du bénéfice.
Comparaison : cet écart représente à lui seul 97 % du coût des armatures d'un pieu approfondi.

Remarque pédagogique : Rapportez toujours une erreur de méthode à la marge, jamais au chiffre d'affaires. C'est la marge qui absorbe l'écart, et elle est bien plus petite.

COUPE DU PRIX — ÉPAISSEURS PROPORTIONNELLES AUX MONTANTS

RÉSULTAT FINAL

PV = 251 748,20 € HT coefficient de vente 1,1760, soit 17,60 % de majoration

Le coût de revient de chantier réunit 172 071,60 € de travaux et 42 000,00 € d'immobilisation, soit 214 071,60 €. Le coefficient composé vaut 1,1760 — et non 1,17 : additionner les taux aurait donné 250 463,77 €, soit 1 284,43 € de moins, prélevés en totalité sur le bénéfice de l'opération.

Question 5 : Décomposition de la marge et sensibilité

Dans la tête de l'ingénieur

« Le montant est établi. Reste la question que la direction posera : l'opération est-elle rentable ? La marge brute affiche près de trente-huit mille euros, mais elle n'est pas un gain — les deux tiers en reviennent au siège, qui a bien fourni les études et l'encadrement. Ce qui reste réellement, c'est le bénéfice, et il est modeste. Modeste au point que je dois me poser une seconde question, celle que personne n'aime formuler : et si le maître d'ouvrage refusait les douze jours ? Les travaux, il ne peut guère les contester, ils sont constatés. Mais le délai se discute : il faut prouver que la pile était sur le chemin critique. Si ce poste tombe, la recette disparaît — pas la dépense. Je veux savoir où se situe le point de bascule avant d'entrer en négociation, pas après. »

Observation : La marge brute de 37 676,60 € n'est pas un bénéfice : elle finance d'abord les frais de structure de l'entreprise.
Analyse du risque : Un refus du poste de délai fait basculer l'opération de +11 988 € à −37 404 € : la dépense reste, seule la recette disparaît.
Choix stratégique : Établir le seuil d'acceptation du poste de délai avant la négociation, pour savoir jusqu'où il est possible de céder.
Alternative : On pourrait négocier une prolongation de délai sans indemnité : l'entreprise évite alors les pénalités de retard, mais supporte seule ses frais de chantier.
Objectif visé : Obtenir le bénéfice réel, son taux, et le point de bascule de l'opération.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Frais généraux 25 688,59 € · prix de revient 239 760,19 € · bénéfice 11 988,01 € · taux 4,76 % · seuil d'acceptation du délai 75,73 %

Rappel Théorique : marge brute, marge nette et point de bascule

Trois montants portent le nom de marge et ne désignent pas la même chose. Les confondre conduit à croire rentable une opération qui ne l'est pas.

La marge brute est la différence entre le prix et le coût de chantier : elle comprend les frais généraux, qui sont des dépenses réelles de l'entreprise, et le bénéfice. Ce n'est pas un résultat.
Le prix de revient ajoute la structure au chantier : coût de revient de chantier augmenté de la quote-part de frais généraux. C'est le coût complet de l'opération pour l'entreprise.
La marge nette est le seul bénéfice : différence entre le prix de vente et le prix de revient. C'est elle qui rémunère le risque, et elle seule qui figure au résultat.
Le taux se rapporte au prix, non au coût : un bénéfice de 5 % appliqué au prix de revient ne représente pas 5 % du prix de vente, mais un peu moins — la différence tient au fait que le prix est plus élevé que le revient.
Un poste contesté fait disparaître la recette, non la dépense : c'est la dissymétrie fondamentale de toute réclamation. Elle impose de calculer le point de bascule avant la discussion.

Équations Fondamentales

Cinq relations. Les trois premières décomposent le prix, la quatrième en tire un taux, la cinquième établit le point de bascule.

Formule 1 — Montant des frais généraux :

Elle applique le taux de frais généraux au coût de revient de chantier.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les frais généraux sont une dépense et non une marge. Les isoler est la condition pour savoir ce qui reste réellement à l'entreprise une fois le siège financé.

Contexte de validité : elle suppose une répartition proportionnelle des charges de structure à l'activité de chantier.
Avantage : elle permet de vérifier que l'opération contribue aux charges fixes, indépendamment du bénéfice qu'elle dégage.
Paramètre clé : le taux, qui traduit le poids de la structure de l'entreprise et non celui du chantier.
Vérification : le montant doit représenter environ un dixième du prix de vente.
Limite : c'est une quote-part conventionnelle : les charges de structure réellement engagées sur cet avenant ne sont pas mesurables.

\[ \begin{aligned} FG = CR \times t_{\text{g}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Quelle part du prix revient au siège de l'entreprise ? C'est une dépense, non un gain.

Décomposition des termes :

\( FG \) : montant des frais généraux, unité : €
\( CR \) : coût de revient de chantier, unité : €
\( t_{\text{g}} \) : taux de frais généraux, sans dimension

Formule 2 — Prix de revient de l'opération :

Elle ajoute la quote-part de structure au coût de revient de chantier.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est le coût complet de l'avenant pour l'entreprise. Tout ce qui est facturé au-delà est un bénéfice ; tout ce qui est facturé en deçà est une perte. C'est le seul seuil qui compte.

Contexte de validité : elle suppose que la quote-part de frais généraux correspond aux charges réellement engagées.
Avantage : elle fournit le seuil de rentabilité de l'opération, référence de toute la négociation.
Paramètre clé : le coût de revient de chantier, qui pèse près de neuf dixièmes du total.
Vérification : le prix de revient doit être inférieur au prix de vente, faute de quoi l'opération est déficitaire.
Limite : il ne comprend aucune provision pour les aléas d'exécution des travaux supplémentaires eux-mêmes.

\[ \begin{aligned} PR = CR + FG \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien l'avenant coûte-t-il vraiment à l'entreprise, structure comprise ? C'est le seuil au-dessous duquel elle perd de l'argent.

Décomposition des termes :

\( PR \) : prix de revient de l'opération, unité : €
\( CR \) : coût de revient de chantier, unité : €
\( FG \) : montant des frais généraux, unité : €

Formule 3 — Marge nette :

Elle retranche le coût complet du prix soumis au maître d'ouvrage.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est le seul bénéfice de l'opération : ce qui reste une fois le chantier payé et le siège financé. C'est aussi le montant qui rémunère le risque pris sur des travaux souterrains.

Contexte de validité : elle suppose que toutes les dépenses ont été identifiées, ce qui n'est jamais entièrement vrai en cours de chantier.
Avantage : elle donne le montant qui figurera au compte de résultat, seul chiffre que la direction retiendra.
Paramètre clé : le taux de bénéfice et aléas, qui doit couvrir un risque de fondation profonde.
Vérification : la marge nette doit valoir le prix de revient multiplié par le taux de bénéfice.
Limite : elle est calculée sur des quantités prévisionnelles : une sur-consommation de béton la réduirait d'autant.

\[ \begin{aligned} M = PV - PR \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Que reste-t-il à l'entreprise une fois tout payé ? C'est le bénéfice, et rien d'autre.

Décomposition des termes :

\( M \) : marge nette de l'opération, unité : €
\( PV \) : prix de vente hors taxes, unité : €
\( PR \) : prix de revient de l'opération, unité : €

Formule 4 — Taux de marge sur le prix de vente :

Elle rapporte le bénéfice au montant facturé.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est sous cette forme que la rentabilité se compare d'une affaire à l'autre. Elle révèle aussi une dissymétrie : un taux de bénéfice de 5 % appliqué au revient ne représente pas 5 % du prix.

Contexte de validité : le dénominateur est le prix de vente : rapporté au prix de revient, le taux vaudrait exactement 5 %.
Avantage : il se compare directement aux taux de rentabilité publiés par la profession.
Paramètre clé : le taux de bénéfice contractuel, dont il est toujours légèrement inférieur.
Vérification : le rapport des deux taux vaut l'inverse du facteur de bénéfice, soit un divisé par 1,05.
Limite : un taux ne dit rien du risque assumé : 4,76 % sur des fondations profondes ne valent pas 4,76 % sur de la fourniture.

\[ \begin{aligned} \tau = \frac{M}{PV} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Combien l'entreprise gagne-t-elle sur cent euros facturés ? C'est l'indicateur que retiendra la direction financière.

Décomposition des termes :

\( \tau \) : taux de marge sur le prix de vente, unité : %
\( M \) : marge nette, unité : €
\( PV \) : prix de vente hors taxes, unité : €

Formule 5 — Seuil d'acceptation du poste de délai :

Elle donne la fraction du poste d'immobilisation en deçà de laquelle l'opération devient déficitaire.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une négociation se prépare en connaissant sa limite. Le prix de revient ne dépend pas de ce que le maître d'ouvrage accepte : seule la recette varie. Le seuil est donc le point où la recette rejoint le coût complet.

Contexte de validité : elle suppose que les travaux sont intégralement acceptés et que seul le poste de délai est discuté.
Avantage : elle transforme une inquiétude en consigne de négociation chiffrée.
Paramètre clé : le coefficient de vente, qui majore aussi bien la part acceptée que la part refusée.
Vérification : le seuil doit être compris entre zéro et un, faute de quoi l'opération serait rentable ou déficitaire quoi qu'il arrive.
Limite : elle ne tient pas compte des pénalités de retard que l'entreprise éviterait par ailleurs si la prolongation était accordée sans indemnité.

\[ \begin{aligned} x^{\star} = \frac{PR - CD \times k}{CI \times k} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Quelle part du poste de délai faut-il obtenir pour ne pas perdre d'argent ? C'est la limite à ne pas franchir en négociation.

Décomposition des termes :

\( x^{\star} \) : part du poste de délai à obtenir, unité : %
\( PR \) : prix de revient de l'opération, unité : €
\( CD \) : coût direct des travaux, unité : €
\( CI \) : coût d'immobilisation, unité : €
\( k \) : coefficient de vente, sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le prix de vente dépasse le coût de revient de chantier de 37 676,60 €. L'opération dégage donc près de trente-huit mille euros de bénéfice : elle est largement rentable. »

L'approche d'ingénieur : Les 37 676,60 € sont une marge brute, non un bénéfice. Ils comprennent 25 688,59 € de frais généraux, qui sont une dépense bien réelle de l'entreprise — le siège, les études, la comptabilité, les assurances. Le bénéfice véritable vaut 11 988,01 €, soit 4,76 % du prix : trois fois moins que ce que la marge brute laissait croire. Sur des travaux de fondation profonde, où l'aléa d'exécution est fort, cette marge laisse très peu de latitude.

L'erreur : confondre ce qui reste après le chantier et ce qui reste après tout. Entre les deux se trouvent les charges de structure.
La bonne méthode : isoler le montant des frais généraux, former le prix de revient, et n'appeler bénéfice que ce qui le dépasse.
L'astuce de pro : présenter systématiquement trois lignes et non deux : coût de chantier, frais généraux, bénéfice. La confusion devient alors impossible.
Le moyen mnémotechnique : « la marge brute paie le siège avant de payer l'actionnaire ».
L'impact direct : une opération présentée comme dégageant 38 000 € alors qu'elle en rapporte 12 000 — et une direction qui accepte des concessions qu'elle n'aurait jamais consenties.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Frais généraux : € × sans dimension = €
Prix de revient et marge : sommes et différences de montants en euros
Taux de marge : rapport de deux euros, donc sans dimension
Seuil d'acceptation : rapport de deux euros, exprimé en pourcentage du poste
Un résultat négatif au numérateur du seuil signifierait une opération rentable même sans le poste : le contrôle est immédiat

Huit calculs, un par grandeur cherchée. Les trois premiers décomposent le prix jusqu'au bénéfice, le quatrième le contrôle par son taux, le cinquième en donne le taux sur le prix. Les trois derniers examinent l'hypothèse d'un refus du poste de délai et en tirent le seuil d'acceptation.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Montant des frais généraux

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il sépare une dépense d'un gain : sans lui, la marge brute serait prise pour un bénéfice.

Méthodologie du calcul :

On applique le taux contractuel de frais généraux au coût de revient de chantier.

Substitution : on injecte \( CR = 214\,071{,}60 \) € et \( t_{\text{g}} = 0{,}12 \).
Piège évité : appliquer le taux au coût de revient et non au prix de vente, qui contient déjà les frais généraux.
Hypothèse validée : l'assiette comprend l'immobilisation, conformément aux conventions de l'énoncé.
Vérification croisée : le montant doit représenter environ un dixième du prix de vente.
Finalité : isoler la part du prix qui revient au siège de l'entreprise.

\[ \begin{aligned} FG &= 214\,071{,}60 \times 0{,}12 \\[3pt] &= \mathbf{25\,688{,}59} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Vingt-cinq mille six cent quatre-vingt-huit euros pour le siège. Le montant dépasse à lui seul le coût du béton et de l'acier des huit pieux réunis. Il ne s'agit pourtant pas d'un enrichissement : études, comptabilité, direction et assurances ont bien été mobilisées, et cette quote-part est leur contrepartie.

Ordre de grandeur : 25 688,59 €, soit 10,20 % du prix de vente.
Impact sur la suite : ce montant s'ajoutera au coût de revient pour former le prix de revient de l'opération.
Cohérence : 12 % du coût de revient représentent bien un peu plus de 10 % du prix de vente, ce dernier étant plus élevé.
Attention : c'est une quote-part conventionnelle : les charges de structure réellement engagées sur cet avenant ne sont pas mesurables.
Comparaison : ce montant dépasse de 21 % le coût des armatures et du béton des huit pieux, qui pèsent ensemble 21 171,60 €.

Remarque pédagogique : Faites toujours apparaître les frais généraux sur une ligne distincte. Fondus dans la marge, ils font croire à un bénéfice trois fois supérieur au bénéfice réel.

Calcul 2 — Prix de revient de l'opération

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le seuil de rentabilité : au-dessus, l'opération rapporte ; au-dessous, elle coûte.

Méthodologie du calcul :

On ajoute la quote-part de frais généraux au coût de revient de chantier.

Substitution : on injecte 214 071,60 € et 25 688,59 €.
Piège évité : ne pas y ajouter le bénéfice : le prix de revient est un coût, non un prix.
Hypothèse validée : toutes les dépenses de l'avenant sont identifiées : ni provision ni aléa d'exécution n'y figure.
Vérification croisée : le résultat doit valoir le coût de revient multiplié par 1,12.
Finalité : fournir le seuil de rentabilité de l'opération.

\[ \begin{aligned} PR &= 214\,071{,}60 + 25\,688{,}59 \\[3pt] &= \mathbf{239\,760{,}19} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Deux cent trente-neuf mille sept cent soixante euros : voilà ce que l'avenant coûte réellement. Le montant est à moins de cinq pour cent du prix soumis. C'est cette proximité qui rend l'opération fragile : il suffit que le maître d'ouvrage retire un poste, ou qu'un aléa d'exécution survienne, pour que le prix passe sous le coût.

Ordre de grandeur : 239 760,19 €, soit 95,24 % du prix de vente.
Impact sur la suite : ce seuil ne varie pas selon ce que le maître d'ouvrage accepte : seule la recette varie.
Cohérence : 214 071,60 × 1,12 redonne exactement ce montant.
Attention : aucune provision pour aléa d'exécution n'y figure, alors que les travaux portent sur des fondations profondes.
Comparaison : le prix de vente ne le dépasse que de 11 988,01 €, soit moins d'un vingtième.

Remarque pédagogique : Le prix de revient est le seul seuil qui compte en négociation. Notez-le avant d'entrer en discussion : il ne bougera pas, quoi qu'il soit concédé.

Calcul 3 — Marge nette de l'opération

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le seul montant qui rémunère l'entreprise, et le seul que retiendra la direction.

Méthodologie du calcul :

On retranche le prix de revient du prix de vente soumis au maître d'ouvrage.

Substitution : on injecte 251 748,20 € et 239 760,19 €.
Piège évité : retrancher le prix de revient et non le coût de revient de chantier : la différence est de 25 688,59 €.
Hypothèse validée : l'intégralité de l'avenant est acceptée par le maître d'ouvrage.
Vérification croisée : le résultat doit valoir le prix de revient multiplié par le taux de bénéfice.
Finalité : produire le bénéfice réel de l'opération.

\[ \begin{aligned} M &= 251\,748{,}20 - 239\,760{,}19 \\[3pt] &= \mathbf{11\,988{,}01} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Douze mille euros : voilà le bénéfice réel, contre trente-huit mille que la marge brute laissait espérer. Le rapport est de un à trois. Sur des travaux de fondation profonde, où une sur-consommation de béton de quelques pour cent suffit à entamer sérieusement ce montant, la position de l'entreprise est bien plus étroite qu'elle n'en avait l'air.

Ordre de grandeur : 11 988,01 € de bénéfice sur 251 748,20 € facturés.
Impact sur la suite : c'est ce montant que le refus du poste de délai ferait basculer.
Cohérence : marge brute 37 676,60 € moins frais généraux 25 688,59 € : la décomposition boucle exactement.
Attention : une sur-consommation de béton de 5 %, courante en forage, en absorberait 4,4 %.
Comparaison : l'erreur d'addition des taux examinée précédemment en aurait effacé 10,7 % à elle seule.

Remarque pédagogique : Comparez toujours le bénéfice à la marge brute dans la même note. Le rapport entre les deux montre à quel point la première est trompeuse.

Calcul 4 — Contrôle du bénéfice par son taux

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la marge obtenue par différence doit être retrouvée par une voie indépendante : l'application directe du taux contractuel.

Méthodologie du calcul :

On applique le taux de bénéfice au prix de revient de l'opération.

Substitution : on injecte \( PR = 239\,760{,}19 \) € et \( t_{\text{b}} = 0{,}05 \).
Piège évité : appliquer le taux au prix de revient et non au coût de revient de chantier.
Hypothèse validée : le bénéfice porte sur le montant déjà majoré des frais généraux, conformément à la composition des coefficients.
Vérification croisée : le résultat doit redonner exactement la marge obtenue par différence.
Finalité : valider l'ensemble de la décomposition du prix.

\[ \begin{aligned} M &= 239\,760{,}19 \times 0{,}05 \\[3pt] &= \mathbf{11\,988{,}01} \text{ €} \;\; \checkmark \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Les deux voies concordent exactement. Le contrôle valide d'un seul coup la composition du coefficient, le montant des frais généraux et le prix de vente : si l'une des trois grandeurs était fausse, l'égalité ne se produirait pas. C'est le contrôle le plus économique de toute la note.

Ordre de grandeur : 11 988,01 € par les deux chemins.
Impact sur la suite : la concordance autorise à publier la décomposition sans réserve.
Cohérence : l'égalité découle de la structure même du coefficient : \( k = 1{,}12 \times 1{,}05 \).
Attention : ce contrôle ne valide pas les quantités : il ne porte que sur la formation du prix.
Comparaison : appliqué au coût de revient de chantier au lieu du prix de revient, le taux n'aurait donné que 10 703,58 €.

Remarque pédagogique : Un contrôle qui emprunte un autre chemin vaut mieux qu'un calcul refait deux fois de la même façon. Le second reproduit l'erreur, le premier la révèle.

Calcul 5 — Taux de marge sur le prix de vente

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est sous cette forme que la rentabilité se compare aux autres affaires de l'entreprise et aux moyennes de la profession.

Méthodologie du calcul :

On rapporte la marge nette au prix de vente hors taxes.

Substitution : on injecte \( M = 11\,988{,}01 \) € et \( PV = 251\,748{,}20 \) €.
Piège évité : ne pas confondre ce taux avec les 5 % du marché : ceux-ci portent sur le prix de revient.
Hypothèse validée : le prix retenu est celui hors taxes, seule base de comparaison possible.
Vérification croisée : le taux doit valoir 5 % divisé par 1,05, soit 4,76 %.
Finalité : fournir l'indicateur de rentabilité de l'opération.

\[ \begin{aligned} \tau &= \frac{11\,988{,}01}{251\,748{,}20} \\[3pt] &= \mathbf{4{,}76} \; \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Quatre virgule soixante-seize pour cent, et non cinq. La différence tient à la base : le taux contractuel s'applique au prix de revient, l'indicateur de rentabilité se rapporte au prix de vente, qui lui est supérieur. La dissymétrie est constante — un taux de bénéfice annoncé se traduit toujours par un taux de marge un peu plus faible.

Ordre de grandeur : 4,76 % du prix de vente.
Impact sur la suite : c'est le taux qui figurera au tableau de bord de l'entreprise.
Cohérence : 5 % divisé par 1,05 vaut bien 4,76 % : la relation est exacte, non approchée.
Attention : un taux ne dit rien du risque : 4,76 % sur des fondations profondes n'ont pas la même valeur que 4,76 % sur une fourniture posée.
Comparaison : rapportée au coût de revient de chantier, la même marge représenterait 5,60 %.

Remarque pédagogique : Précisez toujours la base d'un taux de marge. Sur les mêmes chiffres, 4,76 %, 5,00 % et 5,60 % désignent exactement la même somme d'argent.

Calcul 6 — Prix de vente en cas de refus du poste de délai

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que le poste de délai est le seul que le maître d'ouvrage puisse sérieusement contester : les travaux, eux, sont constatés.

Méthodologie du calcul :

On applique le coefficient de vente au seul coût direct, l'immobilisation étant retirée de l'assiette.

Substitution : on injecte \( CD = 172\,071{,}60 \) € et \( k = 1{,}1760 \).
Piège évité : conserver le même coefficient : le refus porte sur l'assiette, non sur les taux.
Hypothèse validée : les travaux sont intégralement acceptés ; seul le poste de délai est écarté.
Vérification croisée : la différence avec le prix complet doit valoir 42 000 € majorés du coefficient, soit 49 392 €.
Finalité : disposer de la recette dans l'hypothèse défavorable.

\[ \begin{aligned} PV' &= 172\,071{,}60 \times 1{,}1760 \\[3pt] &= \mathbf{202\,356{,}20} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Deux cent deux mille trois cent cinquante-six euros : un prix très inférieur au coût complet de l'opération. La recette perdue vaut 49 392 €, soit les 42 000 € d'immobilisation majorés du coefficient de vente. La dépense, elle, n'a pas bougé d'un euro : la grue a bien été louée douze jours de plus.

Ordre de grandeur : 202 356,20 €, contre 251 748,20 € pour l'avenant complet.
Impact sur la suite : ce prix sera confronté au prix de revient, qui reste inchangé.
Cohérence : la perte de recette vaut 42 000 × 1,1760 = 49 392 €, exactement.
Attention : le prix de revient, lui, ne diminue pas : c'est toute la dissymétrie de la situation.
Comparaison : ce prix est inférieur de 37 403,99 € au coût complet de l'opération.

Remarque pédagogique : Testez toujours vos réclamations en retirant le poste le plus contestable. C'est le scénario que la partie adverse examinera en premier.

Calcul 7 — Résultat de l'opération en cas de refus

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il transforme une inquiétude en chiffre : sans lui, la sensibilité de l'opération reste une impression.

Méthodologie du calcul :

On retranche le prix de revient inchangé de la recette amputée du poste de délai.

Substitution : on injecte 202 356,20 € et 239 760,19 €.
Piège évité : ne pas diminuer le prix de revient : les douze jours ont été réellement dépensés, qu'ils soient indemnisés ou non.
Hypothèse validée : l'entreprise subit le retard sans pouvoir le rattraper par une accélération.
Vérification croisée : l'écart avec le résultat favorable doit valoir 49 392 €, soit la recette perdue.
Finalité : mesurer l'ampleur du risque porté par un seul poste de la réclamation.

\[ \begin{aligned} R' &= 202\,356{,}20 - 239\,760{,}19 \\[3pt] &= \mathbf{-37\,403{,}99} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Trente-sept mille quatre cents euros de perte, là où l'avenant complet en rapportait douze mille. L'opération bascule de 49 392 € selon le sort d'un seul poste — plus de quatre fois son propre bénéfice. C'est la démonstration que la négociation sur l'imputabilité du délai n'est pas un accessoire du dossier : elle en est l'enjeu principal.

Ordre de grandeur : −37 403,99 €, contre +11 988,01 € dans l'hypothèse favorable.
Impact sur la suite : cette amplitude justifie de calculer le seuil au-delà duquel l'opération reste équilibrée.
Cohérence : l'écart entre les deux résultats vaut 49 392 €, soit exactement la recette perdue.
Attention : la perte excède de 212 % le bénéfice de l'hypothèse favorable : le risque n'est pas symétrique.
Comparaison : il faudrait plus de trois avenants aussi rentables que celui-ci pour compenser une seule opération conclue dans ces conditions.

Remarque pédagogique : Une réclamation ne se juge pas à son montant mais à son amplitude : ce que l'on gagne si tout est accepté, ce que l'on perd si un poste tombe.

Calcul 8 — Seuil d'acceptation du poste de délai

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une négociation se prépare en connaissant sa limite : jusqu'où peut-on céder sans que l'opération devienne déficitaire ?

Méthodologie du calcul :

On cherche la part du poste d'immobilisation pour laquelle la recette majorée rejoint exactement le prix de revient.

Substitution : on injecte \( PR = 239\,760{,}19 \) €, \( CD \times k = 202\,356{,}20 \) € et \( CI \times k = 49\,392{,}00 \) €.
Piège évité : majorer aussi la part acceptée du poste : elle porte le coefficient au même titre que les travaux.
Hypothèse validée : la négociation ne porte que sur le poste de délai : les travaux sont acquis.
Vérification croisée : le seuil doit être compris entre zéro et un, l'opération étant rentable à cent pour cent et déficitaire à zéro.
Finalité : fournir la consigne de négociation au directeur de projet.

\[ \begin{aligned} x^{\star} &= \frac{239\,760{,}19 - 202\,356{,}20}{49\,392{,}00} \\[3pt] &= \frac{37\,403{,}99}{49\,392{,}00} \\[3pt] &= \mathbf{75{,}73} \; \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Il faut obtenir au moins les trois quarts du poste de délai pour ne pas perdre d'argent. En euros, cela signifie 31 806,14 € sur les 42 000 € réclamés, soit un peu plus de neuf jours sur douze. En deçà, l'entreprise finance elle-même une partie de sa propre prolongation. Voilà la consigne que le directeur de projet emporte en réunion — un chiffre, non une impression.

Ordre de grandeur : 75,73 % du poste, soit 31 806,14 € ou 9,09 jours sur 12.
Impact sur la suite : c'est la limite en deçà de laquelle il vaut mieux renoncer que transiger.
Cohérence : à ce seuil, la recette vaut 239 760,76 €, soit le prix de revient à moins d'un euro près.
Attention : le seuil ignore les pénalités de retard que l'entreprise éviterait si la prolongation lui était accordée, même sans indemnité.
Comparaison : une transaction à la moitié du poste laisserait encore −12 707,99 € de perte.

Remarque pédagogique : Calculez votre point de bascule avant la réunion, jamais après. C'est la seule façon de savoir, en séance, si une proposition est acceptable.

CE QUI RESTE, ET CE QUI BASCULE

RÉSULTAT FINAL

M = 11 988,01 € soit 4,76 % du prix de vente

Les frais généraux prélèvent 25 688,59 € et portent le prix de revient à 239 760,19 €. Le bénéfice réel n'est donc que de 11 988,01 €, trois fois moins que la marge brute ne le laissait croire. Un refus du poste de délai ferait basculer l'opération à −37 403,99 € : il faut en obtenir au moins 75,73 %, soit 31 806,14 €, pour préserver l'équilibre.

Question 6 : Recevabilité de la modification

Dans la tête de l'ingénieur

« Le montant est juste, la marge est connue, le seuil de négociation est fixé. Il me manque pourtant l'essentiel : ai-je le droit de demander cet avenant ? Un marché public ne se modifie pas parce que les deux parties en conviennent — le code de la commande publique énumère limitativement les cas où la modification est permise, et fixe des plafonds. Si l'avenant les dépasse, l'acheteur ne peut pas le signer : il devrait relancer une consultation. Ma note doit donc se terminer par une vérification que je n'ai encore jamais faite, et qui ne coûte que trois divisions. Une précaution s'impose : mes deux causes ne relèvent pas du même article. L'aléa géotechnique procède d'une circonstance imprévue ; les écrans acoustiques, d'une décision. Je dois vérifier chacune sur son propre fondement. »

Observation : La modification d'un marché public n'est licite que dans les cas énumérés par le code, et sous des plafonds distincts selon le fondement.
Analyse du risque : Un avenant excédant les plafonds n'est pas seulement contestable : il expose l'acheteur à une irrégularité de procédure, et le titulaire à un paiement remis en cause.
Choix stratégique : Rapporter l'avenant au marché initial et vérifier séparément le fondement applicable à chacune des deux causes.
Alternative : Deux avenants distincts rendraient chaque fondement incontestable, au prix de deux instructions au lieu d'une.
Objectif visé : Conclure sur la recevabilité de la modification et sur le fondement à invoquer.

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Avenant 0,56 % du marché · plafonds 6 750 000 € et 22 500 000 € · limite d'exécution obligatoire 4 500 000 € · modification recevable

Rappel Théorique : quand un marché public peut-il être modifié

La modification d'un marché en cours d'exécution est encadrée : elle ne procède pas de l'accord des parties mais d'une autorisation du code, limitée à des cas et à des montants.

Les circonstances imprévues : l'article R. 2194-5 permet la modification « rendue nécessaire par des circonstances qu'un acheteur diligent ne pouvait pas prévoir ». C'est le fondement de l'approfondissement des pieux.
Les travaux supplémentaires devenus nécessaires : l'article R. 2194-2 vise les prestations « devenues nécessaires et ne figuraient pas dans le marché initial », à condition qu'un changement de titulaire soit impossible pour des raisons économiques ou techniques.
Le plafond commun aux deux cas : l'article R. 2194-3 le fixe à 50 % du montant du marché initial pour un pouvoir adjudicateur, et précise que la limite s'applique au montant de chaque modification prise séparément.
La modification de faible montant : l'article R. 2194-8 dispense de toute autre vérification lorsque le montant est inférieur aux seuils européens figurant dans l'avis annexé au code et à 15 % du montant initial pour les marchés de travaux.
Ce que le titulaire est tenu d'exécuter : l'article 14.2.2 du cahier des clauses limite au dixième du montant contractuel les travaux correspondant à des changements dans les besoins que le titulaire ne peut refuser.

Équations Fondamentales

Quatre relations, toutes élémentaires. La première situe l'avenant, les trois autres établissent les plafonds auxquels il se compare.

Formule 1 — Part de l'avenant dans le marché initial :

Elle rapporte le montant de la modification à celui du marché d'origine.

Pourquoi cette formule ?

Parce que tous les plafonds du code s'expriment en pourcentage du marché initial. Sans cette proportion, aucun des seuils ne peut être appliqué : le montant seul ne dit rien de la recevabilité.

Contexte de validité : le dénominateur est le montant initial du marché, non le montant déjà modifié par de précédents avenants.
Avantage : elle rend la vérification immédiate : une seule division, comparée à trois seuils connus.
Paramètre clé : le montant du marché, qui détermine à lui seul l'espace de modification disponible.
Vérification : les deux montants doivent être exprimés hors taxes, faute de quoi la proportion serait faussée.
Limite : elle ne prend pas en compte les modifications antérieures, que l'article R. 2194-9 impose pourtant de cumuler pour les modifications de faible montant.

\[ \begin{aligned} \alpha = \frac{PV}{M_{0}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Quelle fraction du marché la modification représente-t-elle ? C'est la grandeur que le code compare à ses plafonds.

Décomposition des termes :

\( \alpha \) : part de l'avenant dans le marché, unité : %
\( PV \) : montant de l'avenant hors taxes, unité : €
\( M_{0} \) : montant initial du marché hors taxes, unité : €

Formule 2 — Seuil de la modification de faible montant :

Elle établit les quinze pour cent du montant initial mentionnés par le code pour les marchés de travaux.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est le seuil le plus commode : en deçà, l'article R. 2194-8 dispense de vérifier si la modification est substantielle. La démonstration de recevabilité s'en trouve considérablement allégée.

Contexte de validité : le taux de 15 % vaut pour les marchés de travaux ; il tombe à 10 % pour les fournitures et services.
Avantage : il permet une modification sans démonstration de son caractère non substantiel.
Paramètre clé : la double condition : le montant doit aussi rester inférieur aux seuils européens de l'avis annexé au code.
Vérification : le seuil doit être comparé au montant cumulé des modifications successives relevant du même article.
Limite : elle ne dispense pas de l'avis de modification lorsque l'avenant est fondé sur les articles R. 2194-2 ou R. 2194-5.

\[ \begin{aligned} P_{15} = 0{,}15 \times M_{0} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Jusqu'à quel montant la modification échappe-t-elle à toute autre vérification ? C'est le seuil le plus utile en pratique.

Décomposition des termes :

\( P_{15} \) : seuil de la modification de faible montant, unité : €
\( M_{0} \) : montant initial du marché, unité : €

Formule 3 — Plafond des modifications autorisées :

Elle établit la limite de cinquante pour cent applicable aux deux fondements invoqués.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est le plafond absolu : au-delà, ni les circonstances imprévues ni les travaux devenus nécessaires ne permettent de modifier le marché. L'acheteur devrait relancer une procédure.

Contexte de validité : il vaut pour un pouvoir adjudicateur, situation du maître d'ouvrage d'une ligne à grande vitesse.
Avantage : il laisse une marge considérable sur un marché de cette taille, ce que la question va chiffrer.
Paramètre clé : la précision du code : la limite s'applique au montant de chaque modification prise séparément.
Vérification : le plafond doit valoir exactement la moitié du montant initial.
Limite : le code précise que les modifications successives ne doivent pas avoir pour objet de contourner les obligations de publicité et de mise en concurrence.

\[ \begin{aligned} P_{50} = 0{,}50 \times M_{0} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Au-delà de quel montant l'acheteur devrait-il relancer une consultation ? C'est la limite que rien ne permet de franchir.

Décomposition des termes :

\( P_{50} \) : plafond des modifications autorisées, unité : €
\( M_{0} \) : montant initial du marché, unité : €

Formule 4 — Limite d'exécution obligatoire pour le titulaire :

Elle établit le dixième du montant contractuel au-delà duquel le titulaire peut refuser des travaux nouveaux.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les plafonds du code bornent ce que l'acheteur peut commander, tandis que cette limite borne ce que le titulaire est tenu d'exécuter. Les deux questions sont distinctes et ne se confondent pas.

Contexte de validité : elle ne vise que les travaux correspondant à des changements dans les besoins, non les sujétions imprévues.
Avantage : elle protège le titulaire d'une transformation progressive de l'objet du marché par ordres de service successifs.
Paramètre clé : le montant contractuel, qui comprend les avenants déjà intervenus.
Vérification : le cumul s'apprécie depuis la notification du marché ou du dernier avenant intervenu.
Limite : l'article 14.2.1 précise à l'inverse que le titulaire doit mener les travaux à leur terme quelle que soit l'augmentation résultant de sujétions techniques imprévues.

\[ \begin{aligned} P_{10} = 0{,}10 \times M_{0} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Jusqu'où le titulaire ne peut-il pas refuser des travaux nouveaux ? C'est la limite de son obligation, non celle du pouvoir de l'acheteur.

Décomposition des termes :

\( P_{10} \) : limite d'exécution obligatoire, unité : €
\( M_{0} \) : montant contractuel des travaux, unité : €

L'Erreur Classique (Le Piège)

« Le montant de l'avenant est établi et justifié poste par poste. La note de calculs est donc complète : il ne reste qu'à la transmettre au maître d'ouvrage pour signature. »

L'approche d'ingénieur : Un montant juste n'est pas un montant recevable. La modification d'un marché public n'est permise que dans les cas limitativement énumérés par le code de la commande publique, et sous des plafonds. Une note qui s'arrête au chiffre laisse à l'acheteur le soin de vérifier sa propre compétence — et l'expose, s'il signe à tort, à une irrégularité de procédure. Ici la vérification est rassurante : 0,56 % du marché, très en deçà de tous les seuils. Mais c'est le calcul qui le démontre, non l'intuition.

L'erreur : croire que la justification technique du montant suffit. Elle établit le prix, non le droit de le demander.
La bonne méthode : rapporter l'avenant au marché initial, puis vérifier chaque cause sur son propre fondement.
L'astuce de pro : terminer toute note d'avenant par un paragraphe « fondement et recevabilité » citant les articles applicables. Il tient en cinq lignes et fait gagner des semaines d'instruction.
Le moyen mnémotechnique : « le montant se calcule, la recevabilité se démontre ».
L'impact direct : une note incomplète renvoyée pour complément, et plusieurs semaines de retard supplémentaire sur un chantier déjà en prolongation.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Part de l'avenant : rapport de deux euros, donc sans dimension
Plafonds : sans dimension × € = €
Les deux termes du rapport doivent être hors taxes
Marge disponible : différence de deux euros
Une part supérieure à l'unité signalerait un avenant plus grand que le marché : le contrôle est immédiat

Six calculs, un par grandeur cherchée. Le premier situe l'avenant dans le marché, les trois suivants établissent les plafonds applicables. Le cinquième vérifie la seconde cause sur son propre fondement, le dernier mesure la marge disponible avant le plafond absolu.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Part de l'avenant dans le marché initial

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que tous les plafonds du code s'expriment en pourcentage du marché : sans cette proportion, aucune vérification n'est possible.

Méthodologie du calcul :

On rapporte le montant hors taxes de l'avenant au montant hors taxes du marché initial.

Substitution : on injecte \( PV = 251\,748{,}20 \) € et \( M_{0} = 45\,000\,000 \) €.
Piège évité : retenir le montant initial du marché : un dénominateur déjà majoré par des avenants antérieurs minorerait artificiellement la proportion.
Hypothèse validée : aucun avenant n'est intervenu auparavant : le montant initial et le montant contractuel coïncident.
Vérification croisée : les deux montants sont exprimés hors taxes, condition de comparabilité.
Finalité : obtenir la grandeur que le code compare à ses plafonds.

\[ \begin{aligned} \alpha &= \frac{251\,748{,}20}{45\,000\,000} \\[3pt] &= \mathbf{0{,}56} \; \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un peu plus d'un deux-centième du marché. Rapporté à l'ouvrage entier, cet avenant qui aura mobilisé une campagne géotechnique, une note de calculs et une négociation représente à peine plus d'un demi-pour-cent. C'est l'échelle réelle d'une modification de chantier sur un ouvrage d'art — et c'est aussi ce qui explique que les plafonds réglementaires soient si rarement atteints.

Ordre de grandeur : 0,56 % du marché initial.
Impact sur la suite : cette proportion sera confrontée aux trois seuils établis ci-après.
Cohérence : la somme des trois causes — fondations 0,12 %, écrans 0,33 %, délai 0,11 % — redonne bien cette part.
Attention : l'article R. 2194-9 impose de cumuler les modifications successives relevant du faible montant : la marge disponible se réduit à chaque avenant.
Comparaison : il faudrait vingt-six avenants identiques pour atteindre le seuil de 15 %.

Remarque pédagogique : Rapportez toujours un avenant au marché initial, jamais au montant déjà modifié. C'est la base que le code retient, et la seule qui ne varie pas.

Calcul 2 — Seuil de la modification de faible montant

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le seuil le plus commode : en deçà, l'article R. 2194-8 dispense de démontrer que la modification n'est pas substantielle.

Méthodologie du calcul :

On applique le taux de quinze pour cent, propre aux marchés de travaux, au montant initial du marché.

Substitution : on injecte \( M_{0} = 45\,000\,000 \) € et un taux de 15 %.
Piège évité : retenir le taux des travaux et non celui des fournitures et services, qui n'est que de 10 %.
Hypothèse validée : le marché a pour objet des travaux, ce qui commande le taux applicable.
Vérification croisée : la seconde condition posée par le code — un montant inférieur aux seuils européens de l'avis annexé — doit également être vérifiée.
Finalité : établir le seuil qui allège le plus la démonstration de recevabilité.

\[ \begin{aligned} P_{15} &= 0{,}15 \times 45\,000\,000 \\[3pt] &= \mathbf{6\,750\,000} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Six millions sept cent cinquante mille euros — vingt-six fois le montant de l'avenant. La modification se situe très en deçà, et de très loin. La règle du faible montant lui est donc applicable sans difficulté, à la double condition que le montant reste également sous les seuils européens figurant dans l'avis annexé au code.

Ordre de grandeur : 6 750 000 €, contre 251 748,20 € pour l'avenant.
Impact sur la suite : ce seuil dispense de démontrer le caractère non substantiel de la modification.
Cohérence : l'avenant représente 3,73 % de ce seuil.
Attention : la condition est double : le code exige aussi que le montant reste inférieur aux seuils européens, dont la valeur est fixée par avis et non par le code lui-même.
Comparaison : pour un marché de fournitures, le taux tomberait à 10 % et le seuil à 4 500 000 €.

Remarque pédagogique : Lisez toujours la double condition de l'article R. 2194-8. Le seuil de 15 % est le plus connu ; le seuil européen, lui, est celui que l'on oublie.

Calcul 3 — Plafond des modifications autorisées

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la limite absolue : au-delà, aucun fondement ne permet la modification, et une nouvelle consultation devient nécessaire.

Méthodologie du calcul :

On applique le taux de cinquante pour cent, commun aux deux fondements invoqués, au montant initial du marché.

Substitution : on injecte \( M_{0} = 45\,000\,000 \) € et un taux de 50 %.
Piège évité : ce plafond s'applique au montant de chaque modification prise séparément, et non à leur cumul.
Hypothèse validée : le maître d'ouvrage est un pouvoir adjudicateur, ce qui commande le taux de 50 %.
Vérification croisée : le résultat doit valoir exactement la moitié du montant du marché.
Finalité : établir la limite que rien ne permet de franchir.

\[ \begin{aligned} P_{50} &= 0{,}50 \times 45\,000\,000 \\[3pt] &= \mathbf{22\,500\,000} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Vingt-deux millions et demi : l'avenant en représente un neuvième de pour cent. Le plafond absolu n'est ici qu'une formalité de vérification. Il ne l'est plus sur les opérations où les aléas s'accumulent — et le code prend soin de préciser que des modifications successives ne doivent pas avoir pour objet de contourner les obligations de publicité et de mise en concurrence.

Ordre de grandeur : 22 500 000 €, soit la moitié du marché.
Impact sur la suite : la marge disponible avant ce plafond sera chiffrée au dernier calcul.
Cohérence : le plafond vaut exactement trois fois et un tiers le seuil de faible montant.
Attention : ce plafond ne dispense pas de l'avis de modification imposé par l'article R. 2194-10 pour les procédures formalisées.
Comparaison : il faudrait 89 avenants identiques pour l'atteindre.

Remarque pédagogique : Le plafond de 50 % s'apprécie modification par modification. Celui du faible montant, lui, se cumule : les deux règles n'ont pas la même mécanique.

Calcul 4 — Limite d'exécution obligatoire pour le titulaire

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il répond à une question différente des précédentes : non pas ce que l'acheteur peut commander, mais ce que le titulaire ne peut pas refuser.

Méthodologie du calcul :

On applique le dixième au montant contractuel des travaux, conformément à l'article 14.2.2 du cahier des clauses.

Substitution : on injecte \( M_{0} = 45\,000\,000 \) € et un dixième.
Piège évité : ne comparer à cette limite que les écrans acoustiques : les travaux de fondation relèvent de la sujétion imprévue, non d'un changement dans les besoins.
Hypothèse validée : aucun ordre de service antérieur du même type n'est intervenu depuis la notification du marché.
Vérification croisée : la limite doit valoir les deux tiers du seuil de faible montant.
Finalité : établir si le titulaire est tenu d'exécuter les écrans acoustiques.

\[ \begin{aligned} P_{10} &= 0{,}10 \times 45\,000\,000 \\[3pt] &= \mathbf{4\,500\,000} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Quatre millions et demi : les écrans acoustiques en représentent moins de trois pour cent. Le titulaire est donc tenu de les exécuter : il ne peut opposer le refus que l'article 14.2.2 lui réserve. En revanche, l'article 14.2.1 précise qu'il doit mener les fondations à leur terme quelle que soit l'augmentation résultant de la sujétion imprévue — sur cette cause, aucune limite ne le protège.

Ordre de grandeur : 4 500 000 €, contre 127 500 € pour les écrans acoustiques.
Impact sur la suite : le titulaire ne peut pas refuser cette prestation ; il peut seulement en négocier le prix.
Cohérence : les écrans représentent 2,83 % de cette limite.
Attention : le cumul s'apprécie depuis la notification du marché ou du dernier avenant : d'autres ordres de service viendraient s'y ajouter.
Comparaison : il faudrait 35 demandes équivalentes pour que le titulaire puisse opposer un refus.

Remarque pédagogique : Ne confondez pas les deux familles de seuils : ceux du code bornent le pouvoir de l'acheteur, celui du cahier des clauses borne l'obligation du titulaire.

Calcul 5 — Part des écrans acoustiques dans le marché

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette cause relève d'un fondement propre : elle doit être appréciée pour elle-même, indépendamment de l'aléa géotechnique.

Méthodologie du calcul :

On rapporte le coût direct des écrans acoustiques au montant initial du marché.

Substitution : on injecte \( C_{\text{e}} = 127\,500{,}00 \) € et \( M_{0} = 45\,000\,000 \) €.
Piège évité : comparer un coût direct à la limite de l'article 14.2.2, qui vise le montant des travaux et non le prix majoré.
Hypothèse validée : les écrans constituent bien un changement dans les besoins au sens du cahier des clauses, non une sujétion.
Vérification croisée : la part doit rester très inférieure au dixième établi précédemment.
Finalité : conclure sur l'obligation d'exécution pesant sur le titulaire.

\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{e}} &= \frac{127\,500{,}00}{45\,000\,000} \\[3pt] &= \mathbf{0{,}28} \; \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Vingt-huit centièmes de pour cent : la demande du maître d'ouvrage est trente-cinq fois inférieure à la limite qui autoriserait un refus. Le titulaire est donc tenu d'exécuter. Le constat mérite d'être rapproché de celui de la deuxième question : cette prestation représente 74,10 % du coût direct de l'avenant et pourtant moins de trois centièmes du marché. Les deux échelles ne disent pas la même chose.

Ordre de grandeur : 0,28 % du marché initial.
Impact sur la suite : cette cause relève de l'article R. 2194-2, l'autre de l'article R. 2194-5.
Cohérence : elle représente la moitié de la part totale de l'avenant, ce qui est conforme à son poids dans le coût direct.
Attention : une part faible au regard du marché ne préjuge pas du poids de la prestation dans l'avenant, où elle est majoritaire.
Comparaison : rapportée au coût direct de l'avenant, la même prestation pèse 74,10 % — soit deux cent soixante fois plus.

Remarque pédagogique : Un même montant se lit très différemment selon la base à laquelle on le rapporte. Indiquez toujours laquelle vous retenez, et pourquoi.

Calcul 6 — Marge disponible avant le plafond absolu

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un chantier de trente-six mois connaîtra d'autres aléas : il est utile de savoir combien d'espace de modification reste ouvert.

Méthodologie du calcul :

On retranche le montant de l'avenant du plafond absolu de modification.

Substitution : on injecte 22 500 000 € et 251 748,20 €.
Piège évité : le plafond de 50 % s'appliquant à chaque modification, cette marge est indicative et non un solde à consommer.
Hypothèse validée : aucune modification n'est intervenue auparavant sur ce marché.
Vérification croisée : la marge doit représenter plus de 99 % du plafond.
Finalité : situer la modification dans la trajectoire de l'opération.

\[ \begin{aligned} \Delta P &= 22\,500\,000 - 251\,748{,}20 \\[3pt] &= \mathbf{22\,248\,251{,}80} \text{ €} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Plus de vingt-deux millions d'espace de modification restent ouverts. La conclusion de la note peut donc être ferme : la modification est recevable, et elle n'obère en rien la capacité de l'opération à absorber les aléas futurs d'un chantier de trente-six mois. C'est le genre de phrase qu'un maître d'ouvrage attend, et qu'aucune justification technique du montant ne peut remplacer.

Ordre de grandeur : 22 248 251,80 €, soit 98,88 % du plafond.
Impact sur la suite : la note peut conclure à la recevabilité sans réserve.
Cohérence : l'avenant n'ampute le plafond que de 1,12 %.
Attention : le seuil de faible montant, lui, se cumule : c'est celui-là qu'il faudra surveiller au fil des avenants.
Comparaison : sur le seuil cumulable de 6 750 000 €, l'avenant en consomme 3,73 %.

Remarque pédagogique : Tenez, sur toute opération longue, un compteur des modifications rapporté aux deux seuils. Celui qui se cumule est le plus contraignant, et c'est celui qu'on oublie.

L'AVENANT SUR L'ÉCHELLE DES PLAFONDS RÉGLEMENTAIRES

RÉSULTAT FINAL

α = 0,56 % du marché initial — modification recevable

L'avenant représente 251 748,20 € sur un marché de 45 000 000 €, soit 0,56 %, très en deçà du seuil de faible montant de 6 750 000 € et du plafond absolu de 22 500 000 €. L'aléa géotechnique relève de l'article R. 2194-5, les écrans acoustiques de l'article R. 2194-2 ; ces derniers, à 0,28 % du marché, restent bien en dessous du dixième au-delà duquel le titulaire pourrait refuser de les exécuter.

SCHÉMA BILAN DE LA NOTE DE CALCULS

LA PLANCHE DE SYNTHÈSE DE L'AVENANT

Coupe, formation du prix, nomenclature et recevabilité PLANCHE DE SYNTHÈSE

La planche ci-dessous rassemble ce que les six questions ont établi : la coupe situe les deux causes de la modification sur l'ouvrage, l'une sous le terrain et l'autre sur le tablier ; la formation du prix montre les quatre couches qui séparent le coût direct du montant soumis ; la nomenclature chiffre chaque poste ; l'échelle réglementaire situe enfin l'avenant parmi les plafonds que le code impose. C'est la forme sous laquelle une note d'avenant se transmet : un dessin qui montre où l'on a travaillé, un tableau qui dit combien, et une ligne qui démontre qu'on en avait le droit.

PLANCHE DE SYNTHÈSE — COUPE, PRIX, NOMENCLATURE ET RECEVABILITÉ

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche complète :

Je convertis une profondeur en volume par la section, et je n'applique un ratio d'armature qu'à un volume. Je classe chaque poste selon son fait générateur avant de l'additionner, et je fais apparaître un sous-total par cause. Je chiffre le temps comme une dépense, et j'annonce l'unité — jours ouvrés ou calendaires — que je retiens. Je compose les taux de majoration au lieu de les additionner, et je vérifie le coefficient obtenu. Je distingue marge brute et marge nette, et je calcule le point de bascule avant d'entrer en négociation. Je termine toute note d'avenant par un paragraphe de fondement et recevabilité citant les articles applicables.

La mission est remplie. L'approfondissement des huit pieux de la pile P4 représente 52,00 m de forage supplémentaire, 58,81 m³ de béton et 7 057,2 kg d'armatures, soit 44 571,60 € de travaux ; les écrans acoustiques demandés par le maître d'ouvrage y ajoutent 127 500,00 €. Le coût direct atteint 172 071,60 €, auquel s'ajoutent 42 000,00 € d'immobilisation pour les douze jours ouvrés d'allongement du chemin critique. Le coût de revient de chantier s'établit à 214 071,60 €. Le coefficient composé de 1,1760 porte le prix de vente à 251 748,20 € hors taxes, dont 25 688,59 € de frais généraux et 11 988,01 € de bénéfice, soit un taux de marge de 4,76 %. La modification représente 0,56 % du marché initial.

La plus-value de l'étude tient à trois constats que le montant seul ne révèle pas. Le premier est que le dossier ne porte pas sur ce que son titre annonce : 74,10 % du coût direct procèdent des écrans acoustiques, c'est-à-dire d'une décision du maître d'ouvrage, contre 25,90 % pour l'aléa géotechnique. Les deux causes relèvent d'articles distincts et ne se plaident pas de la même manière ; les confondre expose la réclamation entière à être rejetée sur le fondement de la seule cause contestable. Le deuxième est que le poste de délai, qui ne pèse que 24,41 % des travaux, porte à lui seul l'essentiel du risque : son refus ferait basculer l'opération de +11 988,01 € à −37 403,99 €, soit une amplitude de 49 392 € — plus de trois fois le bénéfice. Il faut en obtenir 75,73 %, soit 31 806,14 €, pour préserver l'équilibre. Le troisième est que l'unité de temps retenue pour ce même poste déplace 14 000 €, davantage que le bénéfice de l'opération : une convention laissée implicite n'est pas une négligence de rédaction, c'est un risque financier de premier rang.

Le cadre applicable relève du cahier des clauses administratives générales des marchés publics de travaux, approuvé par l'arrêté du 30 mars 2021 modifié, et du code de la commande publique. L'article 9.1.1 fonde toute la réclamation : les prix « sont réputés tenir compte de toutes les sujétions d'exécution […] qui sont normalement prévisibles » — a contrario, une sujétion imprévisible n'est pas couverte. L'article 13.3 impose, lorsqu'ils existent, d'utiliser les sous-détails de prix du marché pour établir les prix nouveaux. L'article 14.2.1 oblige le titulaire à mener les ouvrages à leur terme « quelle que soit l'importance de l'augmentation », laquelle « peut résulter de sujétions techniques imprévues » ; l'article 14.2.2 limite en revanche au dixième du montant contractuel les travaux répondant à un changement dans les besoins qu'il ne peut refuser. La prolongation procède des articles 18.2.1 et 18.2.2, le second admettant expressément « la survenance de difficultés ou de circonstances imprévues ». Côté code, l'article R. 2194-5 autorise la modification rendue nécessaire par des « circonstances qu'un acheteur diligent ne pouvait pas prévoir », l'article R. 2194-2 vise les travaux supplémentaires devenus nécessaires, l'article R. 2194-3 plafonne les deux à 50 % du marché initial, et l'article R. 2194-8 dispense de toute autre vérification en deçà de 15 % pour les travaux, sous réserve des seuils européens. L'article R. 2194-10 impose enfin la publication d'un avis de modification. En revanche, le ratio d'armature, le coût journalier d'immobilisation et les deux taux de majoration sont des conventions d'étude qu'aucun texte ne fixe.

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