Analyse d'une poutre treillis en bois

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un treillis répartit la matière là où elle travaille : chaque barre ne subit qu'un effort axial, traction ou compression. La statique en est simple — mais la vérification des barres comprimées l'est beaucoup moins. Une barre de treillis peut flamber dans deux plans : dans le plan de la ferme, où sa hauteur la raidit, et hors de ce plan, où elle ne présente que sa largeur. Cet exercice analyse une ferme à poinçon central de 6,00 m de portée en C24, barres 80 × 160 mm, sous une charge de faîtage de 15 kN. Le point décisif n'est pas la statique : c'est de savoir quel plan gouverne le flambement de l'arbalétrier.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Une ferme à poinçon central en C24, portée 6,00 m, hauteur au faîtage 1,50 m, toutes barres en 80 × 160 mm, sous une charge nodale de 15 kN.
Environnement : Charpente sous couverture, classe de service 2. La charge de toiture est dominée par la neige, de court terme sous 1 000 m : \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \).
L'objectif final : Calculer les efforts par la méthode des nœuds, vérifier l'entrait en traction et l'arbalétrier au flambement dans les deux plans.
L'astuce de l'ingénieur : L'élancement hors plan est deux fois celui du plan, puisque la barre y présente sa largeur au lieu de sa hauteur. C'est presque toujours lui qui gouverne.

Votre Mission :

Vous êtes ingénieur structure et vous reprenez la note de calculs d'une ferme déjà dessinée. Votre travail consiste à refaire la vérification au flambement, que la note a traitée avec un coefficient donné sans calcul, à mesurer l'écart, et à dire quelles dispositions constructives sont nécessaires.

Le grand défi : Le coefficient \( k_{\text{c}} \). La note reprise en donne la formule avec la largeur — donc hors plan — mais retient une valeur qui correspond au flambement dans le plan.
Votre rôle : Produire une note traçable : les efforts par la méthode des nœuds, la vérification de l'entrait, les deux élancements de l'arbalétrier, le \( k_{\text{c}} \) qui gouverne, et le rôle des pannes comme maintien latéral.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — la statique : les réactions d'appui, la géométrie de l'arbalétrier, les efforts dans les barres AB et AD par la méthode des nœuds, et l'effort dans le poinçon.
Livrable 2 — les vérifications : l'entrait en traction, les deux élancements de l'arbalétrier, les deux coefficients de flambement, le taux de travail réel, et l'effet du maintien latéral par les pannes.

2. Données Techniques & Normes

Le calcul est mené selon la NF EN 1995-1-1 avec les valeurs de l'annexe nationale française, les caractéristiques du C24 provenant de la NF EN 338. Deux points appellent une vigilance particulière : la résistance en traction du C24 vaut 14,5 N/mm² depuis la révision de 2016 et non 14 ; et une barre comprimée de treillis flambe dans deux plans, dont l'un est bien plus défavorable que l'autre.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Équilibre statique d'ensemble \( \sum F_{x} = 0 \) · \( \sum F_{y} = 0 \) · \( \sum M = 0 \)
Longueur de l'arbalétrier \( L_{AB} = \sqrt{(L/2)^{2} + h^{2}} \)
Effort dans l'entrait — ferme à poinçon \( N_{AD} = \dfrac{F\,L}{4\,h} \)
Contrainte et résistance en traction — § 6.1.2 \( \sigma_{t,0,\text{d}} = \dfrac{N_{\text{d}}}{A} \le f_{t,0,\text{d}} \)
Élancement d'une barre rectangulaire \( \lambda = \dfrac{L_{\text{f}}\sqrt{12}}{d} \)
Élancement relatif — § 6.3.2(1) \( \lambda_{\text{rel}} = \dfrac{\lambda}{\pi}\sqrt{\dfrac{f_{c,0,\text{k}}}{E_{0,05}}} \)
Coefficient de flambement — § 6.3.2(3) \( k_{\text{c}} = \dfrac{1}{k + \sqrt{k^{2} - \lambda_{\text{rel}}^{2}}} \)
Critère de vérification au flambement \( \sigma_{c,0,\text{d}} \le k_{\text{c}}\,f_{c,0,\text{d}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( L \) et \( h \)	Portée et hauteur au faîtage de la ferme	6,00 et 1,50	m
\( b \times h_{\text{barre}} \)	Section de toutes les barres — la hauteur est dans le plan de la ferme	80 × 160	mm
\( f_{t,0,\text{k}} \)	Traction axiale du C24 — et non 14, valeur de l'édition antérieure NF EN 338	14,5	N/mm²
\( f_{c,0,\text{k}} \)	Compression axiale du C24 NF EN 338	21	N/mm²
\( E_{0,05} \)	Fractile 5 % du module — c'est lui qui sert au flambement, et non le module moyen NF EN 338	7 400	N/mm²
\( \beta_{\text{c}} \)	Coefficient de rectitude du bois massif — 0,1 en lamellé-collé EN 1995-1-1 - § 6.3.2(1)	0,2	—
\( k_{\text{mod}} \)	Classe de service 2, charge dominée par la neige de court terme EN 1995-1-1 - Tableau 3.1	0,90	—
\( \gamma_{\text{M}} \)	Coefficient partiel du bois massif EN 1995-1-1 - Tableau 2.3	1,30	—

Les trois lectures qui décident, et leurs pièges

Le plan : \( \text{deux elancements, et c est le } \textbf{plus grand} \text{ qui gouverne} \)
Le module : \( E_{0,05} \text{ et non } E_{0,\text{mean}} \text{ : le flambement est une instabilite} \)
La traction : \( f_{t,0,\text{k}} = 14{,}5 \text{ pour le C24, et non 14} \)

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( F \)	Charge nodale au faîtage, déjà pondérée à l'ELU	15	kN
Appuis	Appui double en A et appui à rouleau en C : la ferme est isostatique	A et C	—
Nœuds	Supposés articulés : les barres ne travaillent qu'en effort axial	Articulés	—
Maintien latéral	Aucun dans l'état initial — l'effet des pannes sera chiffré en question 4	Aucun	—

Vérifications hors périmètre de cet exercice

Assemblages : \( \S\,8 \text{ — les noeuds articules doivent etre realises, pas supposes} \)
Section nette : \( \S\,6.1.2 \text{ — l entrait est affaibli par les organes d assemblage} \)
Flexion des arbaletriers : \( \text{si les pannes ne reposent pas sur les noeuds, il y a flexion composee} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Extrait de la NF EN 338 — résineux de structure

Grandeur	C18	C24	C30
Traction axiale \( f_{t,0,\text{k}} \)	10	14,5	19
Compression axiale \( f_{c,0,\text{k}} \)	18	21	24
Fractile 5 % \( E_{0,05} \)	6 000	7 400	8 000
Module moyen \( E_{0,\text{mean}} \)	9 000	11 000	12 000

La valeur \( f_{t,0,\text{k}} = 14 \) N/mm² pour le C24, encore très répandue dans les formulaires, provient de l'édition antérieure de la norme ; la révision de 2016 l'a portée à 14,5. L'écart n'est que de 3,6 %, mais il s'agit du même type de valeur périmée que le \( f_{v,\text{k}} \), passé de 2,5 à 4,0 N/mm² dans la même révision. Noter aussi que le flambement emploie \( E_{0,05} \) — deux tiers du module moyen — parce qu'une instabilité est gouvernée par la pièce la plus souple, non par le comportement moyen.

Les deux plans de flambement d'une barre de treillis

Plan de flambement	Dimension mobilisée	Ce qui peut le brider
Dans le plan de la ferme	la hauteur \( h = 160 \) mm	les barres de treillis elles-mêmes
Hors du plan de la ferme	la largeur \( b = 80 \) mm	les pannes et le contreventement

Une barre de treillis a deux élancements, et c'est le plus grand qui gouverne — donc le plus petit \( k_{\text{c}} \). Pour une section 80 × 160, l'élancement hors plan vaut exactement deux fois celui du plan, puisque le rapport des dimensions est de deux. Les deux plans ne sont pas bridés par les mêmes éléments : dans le plan, la triangulation elle-même fixe les nœuds ; hors plan, seuls les pannes, les liernes ou un contreventement de versant peuvent réduire la longueur de flambement.

Ordres de grandeur du coefficient \( k_{\text{c}} \) — C24, \( \beta_{\text{c}} = 0{,}2 \)

Élancement \( \lambda \)	\( \lambda_{\text{rel}} \)	\( k_{\text{c}} \)
18 — barre trapue	0,30	1,00
73 — dans le plan	1,23	0,52
145 — hors plan	2,46	0,15

La courbe est fortement non linéaire : doubler l'élancement ne divise pas le coefficient par deux, mais par 3,4. En dessous de \( \lambda_{\text{rel}} = 0{,}3 \) — soit un élancement de 18 pour ce bois — aucune réduction ne s'applique : la barre s'écrase avant de flamber. Au-delà, la réduction s'installe très vite. C'est pourquoi un coefficient \( k_{\text{c}} \) ne se devine pas et ne se recopie pas d'un exercice à l'autre : il se calcule, à partir de l'élancement du plan considéré.

Pourquoi le poinçon central est un élément à effort nul

Le nœud D ne porte aucune charge extérieure dans ce cas de chargement
Trois barres y convergent : deux tronçons d'entrait alignés, et le poinçon perpendiculaire
L'équilibre vertical du nœud impose alors un effort nul dans le poinçon
Il redevient utile dès qu'une charge est suspendue à l'entrait, ou sous chargement dissymétrique

Un élément à effort nul n'est pas un élément inutile. Le poinçon d'une ferme reprend le poids propre de l'entrait, limite sa flèche, et devient chargé dès que la neige se dépose de façon dissymétrique sur les deux versants. Le cas de charge symétrique traité ici est simplement celui où il ne travaille pas — repérer ces barres est d'ailleurs un excellent moyen de contrôler qu'une analyse de treillis est cohérente.

Traçabilité des valeurs employées

Les clauses et formules employées ici proviennent de la documentation officielle de la Commission européenne sur l'EN 1995-1-1. Les valeurs tabulées suivantes sont rattachées à la norme et, le cas échéant, au paramètre national qui les fixe :

\( f_{t,0,\text{k}} = 14{,}5 \), \( f_{c,0,\text{k}} = 21 \) et \( E_{0,05} = 7\,400 \) N/mm² pour le C24 — NF EN 338
\( \beta_{\text{c}} = 0{,}2 \) pour le bois massif — § 6.3.2(1)
\( \gamma_{\text{M}} = 1{,}30 \) pour le bois massif — tableau 2.3 et annexe nationale
\( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \) — tableau 3.1, classe de service 2, court terme ; le classement de la neige sous 1 000 m relève de l'annexe nationale
Le caractère pondéré de la charge nodale de 15 kN, qui relève de l'analyse du projet

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Réactions, géométrie et barre à effort nul

Statique 20 min | Accessible

But de l'étape : Poser l'équilibre d'ensemble et la géométrie, puis repérer la barre qui ne travaille pas.

Énoncé Q1 : Pour la ferme chargée de 15 kN au faîtage :

calculer les réactions verticales aux deux appuis ;
établir la longueur de l'arbalétrier et l'angle qu'il fait avec l'entrait ;
déterminer l'effort dans le poinçon BD par l'équilibre du nœud D.

La ferme et le chargement sont symétriques : l'équation des moments est inutile ici .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Au nœud D, trois barres se rencontrent : deux tronçons d'entrait alignés horizontalement et le poinçon, vertical. L'équation \( \sum F_{y} = 0 \) ne fait intervenir que le poinçon, puisque les deux autres barres n'ont aucune composante verticale.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( V_{A} = V_{C} = \) 7,5 kN, \( L_{AB} = \) 3,354 m et \( \alpha = \) 26,57°. Le poinçon est un élément à effort nul sous ce chargement.

Question 2 : Efforts dans l'arbalétrier et l'entrait

Méthode des nœuds 25 min | Accessible

But de l'étape : Isoler le nœud A et en tirer les deux efforts inconnus, avec une convention de signe claire.

Énoncé Q2 : En isolant le nœud A :

écrire l'équilibre vertical et en déduire l'effort dans l'arbalétrier ;
écrire l'équilibre horizontal et en déduire l'effort dans l'entrait ;
contrôler le résultat par une formule fermée et chiffrer l'effet de la hauteur de ferme.

Un effort négatif signifie que l'hypothèse de traction était fausse : la barre est comprimée.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Commencez par le nœud A : on y connaît la réaction et il ne comporte que deux inconnues, ce qui correspond exactement aux deux équations disponibles. Écrivez l'équilibre vertical en premier : il ne fait intervenir que l'arbalétrier, l'entrait étant horizontal.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( N_{AB} = \) −16,77 kN, donc une compression, et \( N_{AD} = \) +15,00 kN, une traction. Le contrôle \( N_{AD} = FL/(4h) \) redonne exactement 15,00.

Question 3 : Vérification de l'entrait en traction

Résistance 20 min | Accessible

But de l'étape : Mener la vérification la plus simple du calcul bois — et constater qu'elle ne sera pas le critère dimensionnant.

Énoncé Q3 : Pour l'entrait tendu de 15 kN :

calculer l'aire de la section et la contrainte de traction ;
établir la résistance de calcul en traction axiale ;
conclure par un taux de travail et donner l'effort admissible de la barre.

La résistance en traction du C24 vaut 14,5 N/mm² depuis la révision de 2016 de la NF EN 338.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Travaillez en newtons et millimètres : l'effort de 15 kN devient 15 000 N, l'aire est en mm², et la contrainte sort directement en N/mm², c'est-à-dire en MPa — donc directement comparable à la résistance.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( A = \) 12 800 mm², \( \sigma_{t,0,\text{d}} = \) 1,17 N/mm² et \( f_{t,0,\text{d}} = \) 10,04 N/mm². Le taux de travail n'est que de 11,7 %.

Question 4 (Finale) : Flambement de l'arbalétrier dans les deux plans

Le cœur du sujet 40 min | BOSS

But de l'étape : Calculer les deux coefficients de flambement, retenir le plus petit, et découvrir le rôle décisif du maintien latéral.

Mention spéciale — la note reprise donne \( k_{\text{c}} \approx 0{,}55 \) sans le calculer : Elle écrit pourtant la formule de l'élancement avec la largeur \( b \), donc hors plan. Mais la valeur qu'elle retient correspond au flambement dans le plan. Cette incohérence interne surestime la capacité d'un facteur 3,6.

Calculer les deux élancements de l'arbalétrier, puis les deux coefficients \( k_{\text{c}} \) par la chaîne du § 6.3.2. Retenir le plus petit, en déduire la capacité et le taux de travail réel. Chiffrer enfin l'effet d'un maintien latéral par les pannes et donner la charge admissible dans les deux cas.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'élancement se calcule avec la dimension perpendiculaire à l'axe de flambement. Hors du plan de la ferme, la barre ne présente que sa largeur de 80 mm : son élancement y vaut donc le double de celui du plan.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( \lambda = \) 72,6 dans le plan et 145,2 hors plan, d'où \( k_{\text{c}} = \) 0,524 et 0,152. Le taux de travail réel atteint 59 % et non 16 %. Avec les pannes en maintien, il retombe à 17 %.

NOTE DE CALCULS

Ferme à poinçon : l'arbalétrier flambe hors du plan

Question 1 : Réactions, géométrie et barre à effort nul

Dans la tête de l'ingénieur

"Cette question est de la statique élémentaire, et la note que je reprends la traite correctement. Symétrie de la structure, symétrie du chargement : chaque appui reprend la moitié de la charge, sans qu'il soit besoin d'écrire l'équation des moments. Je vais tout de même l'écrire une fois, parce que l'astuce de la symétrie ne fonctionne que sous cette double condition et qu'il faut savoir pourquoi. J'ajoute surtout une observation que la note ne fait pas : le poinçon BD est une barre à effort nul sous ce chargement. Ce n'est pas un détail : repérer ces barres avant de commencer élimine des inconnues et permet de contrôler toute l'analyse."

Observation : La ferme est isostatique : trois inconnues de liaison, trois équations d'équilibre. Aucun calcul de déformation n'est nécessaire.
Analyse du risque : La symétrie ne dispense de l'équation des moments que si la structure et le chargement sont tous deux symétriques.
Choix stratégique : Je repère les barres à effort nul avant d'entamer la méthode des nœuds : c'est du temps gagné et une vérification gratuite.
Alternative : Sous chargement dissymétrique — neige sur un seul versant — le poinçon travaillerait, et les deux réactions différeraient.
Objectif visé : Disposer des réactions et de la géométrie, seules entrées de la méthode des nœuds.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( V_{A} = V_{C} = \) 7,5 kN · \( L_{AB} = \) 3,354 m et \( \alpha = \) 26,57° · le poinçon BD est une barre à effort nul

Rappel Théorique : l'équilibre d'un treillis

Un treillis isostatique se résout entièrement par la statique, sans faire intervenir ni le matériau ni les sections. C'est ce qui en fait un outil si puissant.

Principe 1 — trois équations, trois inconnues de liaison : L'appui double apporte deux inconnues, l'appui à rouleau une seule. La structure est isostatique.
Principe 2 — les nœuds sont supposés articulés : Aucun moment ne s'y transmet, donc les barres ne travaillent qu'en effort axial.
Principe 3 — les charges s'appliquent aux nœuds : Une charge appliquée en travée d'une barre y introduirait de la flexion, et le modèle de treillis ne suffirait plus.
Principe 4 — la symétrie est une aide, pas une règle : Elle ne s'applique que si la géométrie et le chargement sont symétriques.
Principe 5 — trois barres, deux alignées, aucune charge : La troisième barre est à effort nul. C'est un des théorèmes les plus utiles de l'analyse des treillis.

Équations Fondamentales

L'équilibre d'ensemble, puis la géométrie qui alimentera les projections.

Principe fondamental de la statique :

Les trois équations de l'équilibre plan.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'une structure immobile ne subit aucune accélération : la résultante des forces extérieures est nulle, et le moment résultant aussi, en tout point. Dans le plan, cela donne exactement trois équations scalaires. Une structure dont les liaisons apportent trois inconnues est donc résoluble par la seule statique : c'est la définition de l'isostaticité. Au-delà, il faudrait faire intervenir les déformations, donc les sections et le matériau.

Contexte de validité : Structure plane et en équilibre. Un treillis spatial demanderait six équations.
Avantage : Le résultat ne dépend ni du matériau ni des sections : il vaut pour une ferme en bois comme en acier.
Paramètre clé : Le point choisi pour écrire les moments : le prendre sur une inconnue l'élimine de l'équation.
Vérification : La somme des réactions verticales doit égaler la somme des charges verticales. Contrôle immédiat.
Limite : Elle ne dit rien des efforts internes : il faudra isoler les nœuds pour les obtenir.

\[ \begin{aligned} \sum F_{x} = 0 \quad ; \quad \sum F_{y} = 0 \quad ; \quad \sum M_{/A} = 0 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : ce qui descend doit être retenu, et ce qui tourne doit être bloqué. Les 15 kN qui pèsent sur le faîtage doivent se retrouver intégralement dans les deux appuis. Aucune structure ne fait disparaître une force : elle ne fait que la conduire ailleurs.

Décomposition des termes :

\( \sum F_{y} = 0 \) : donne \( V_{A} + V_{C} = F \), unité : kN
\( \sum M_{/A} = 0 \) : donne \( V_{C}L = F\,L/2 \), unité : kN·m
\( \sum F_{x} = 0 \) : donne une réaction horizontale nulle en A, unité : kN
\( F = 15 \) : charge nodale au faîtage, unité : kN
\( L = 6{,}00 \) : portée entre appuis, unité : m

Géométrie de l'arbalétrier :

La longueur et l'angle qui serviront à toutes les projections.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'arbalétrier joint le pied de ferme au faîtage : c'est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont la demi-portée et la hauteur. Sa longueur donne directement la longueur de flambement de la question 4, et ses cosinus et sinus donnent les projections de la méthode des nœuds. Il est plus sûr de travailler avec les rapports de longueurs qu'avec l'angle lui-même : on évite ainsi une double conversion et l'arrondi de l'arc-tangente.

Contexte de validité : Ferme symétrique à deux versants de même pente.
Avantage : Les rapports \( (L/2)/L_{AB} \) et \( h/L_{AB} \) donnent le cosinus et le sinus sans passer par l'angle.
Paramètre clé : Le rapport \( h/(L/2) \), qui vaut ici 0,5 exactement.
Vérification : La longueur de l'arbalétrier est toujours supérieure à la demi-portée et inférieure à leur somme.
Limite : Cette longueur est celle de l'axe de la barre : la longueur de flambement peut être plus courte s'il existe des maintiens.

\[ \begin{aligned} L_{AB} = \sqrt{(L/2)^{2} + h^{2}} \quad \text{avec} \quad \tan\alpha = \frac{h}{L/2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : plus la ferme est plate, plus l'arbalétrier est long et couché. Et plus il est couché, plus il faut d'effort pour équilibrer une charge verticale : une ferme surbaissée est mécaniquement défavorable, tout en économisant de la hauteur.

Décomposition des termes :

\( L_{AB} \) : longueur de l'arbalétrier, unité : m
\( L/2 = 3{,}00 \) : demi-portée, projection horizontale de l'arbalétrier, unité : m
\( h = 1{,}50 \) : hauteur au faîtage, unité : m
\( \sin\alpha = h/L_{AB} \) : rapport à employer directement, unité : —
\( \cos\alpha = (L/2)/L_{AB} \) : idem, sans passer par l'angle, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'invoquer la symétrie sans vérifier que le chargement l'est aussi..."

L'approche d'ingénieur : La symétrie est une propriété de la structure et du chargement. L'une sans l'autre ne donne rien.

L'erreur : Écrire \( V_{A} = V_{C} = F/2 \) alors que la neige ne charge qu'un versant. Les réactions diffèrent et l'équation des moments devient indispensable.
La bonne méthode : Écrire l'équation des moments dès que le doute existe. Elle coûte deux lignes et lève toute ambiguïté.
L'astuce de pro : Prendre les moments en A élimine d'emblée les deux inconnues de cet appui : il ne reste qu'une équation à une inconnue.
Le moyen mnémotechnique : « Deux symétries, ou pas de symétrie ».
L'impact direct : Sous neige dissymétrique, l'appui le plus chargé peut reprendre bien plus que la moitié de la charge totale.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( F \) et les réactions : en kN
\( L \) et \( h \) : en m pour la statique, en mm pour les contraintes
\( L_{AB} \) : en m , à convertir en mm pour l'élancement
\( \alpha \) : en degrés ou en radians selon la machine
Sinus et cosinus : grandeurs sans unité

Cette question ne comporte aucune difficulté dimensionnelle : tout y est homogène. Le seul point de vigilance est le mode degrés ou radians de la calculatrice : un arc-tangente lu en radians donnerait 0,46 au lieu de 26,57, et toutes les projections seraient fausses. C'est pourquoi il vaut mieux employer directement les rapports de longueurs.

1. Résolution Numérique Réactions verticales aux appuis

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la première inconnue à lever avant toute analyse interne.

Méthodologie du calcul :

Équilibre vertical d'ensemble, simplifié par la double symétrie.

Substitution : \( V_{A} + V_{C} = F = 15 \) kN, avec \( V_{A} = V_{C} \) par symétrie.
Piège évité : La symétrie n'est invocable que parce que structure et chargement le sont tous deux.
Hypothèse validée : Poids propre de la ferme négligé ou déjà inclus dans la charge nodale de 15 kN.
Vérification croisée : L'équation des moments en A donnerait \( V_{C} \times 6 = 15 \times 3 \), soit bien 7,5 kN.
Finalité : Fournir la force connue du nœud A pour la méthode des nœuds.

\[ \begin{aligned} V_{A} = V_{C} &= \frac{F}{2} = \frac{15}{2} \\ &= \mathbf{7{,}5 \ \text{kN}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

7,5 kN par appui, soit environ 765 kg.

Ordre de grandeur : Trois quarts de tonne sur chaque mur ou poteau. C'est modeste pour une charpente de cette portée.
Impact sur la suite : C'est la seule force connue au nœud A, et elle suffit à lever les deux inconnues.
Cohérence : La somme des réactions vaut bien 15 kN, soit la charge appliquée : rien ne se perd.
Attention : La réaction horizontale en A est nulle ici, la charge étant verticale. Elle ne le serait pas sous vent.
Comparaison : Ces réactions ne dépendent ni de la hauteur de la ferme, ni de la section des barres : c'est de la statique pure.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que les réactions sont indépendantes de la géométrie interne de la ferme. Qu'elle soit haute ou surbaissée, à poinçon ou en W, les appuis reprennent la même chose. C'est l'équilibre d'ensemble qui les fixe — et c'est pourquoi on peut les calculer avant même de connaître la forme du treillis.

Longueur et inclinaison de l'arbalétrier

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette longueur servira deux fois : pour les projections et pour le flambement.

Méthodologie du calcul :

Théorème de Pythagore sur le triangle demi-portée / hauteur.

Substitution : \( \sqrt{3{,}00^{2} + 1{,}50^{2}} = \sqrt{9 + 2{,}25} = \sqrt{11{,}25} \).
Piège évité : Employer la demi-portée et non la portée entière : l'arbalétrier ne couvre qu'un versant.
Hypothèse validée : Le faîtage est à mi-portée : les deux versants ont la même pente.
Vérification croisée : Les rapports donnent \( \sin\alpha = 0{,}447 \) et \( \cos\alpha = 0{,}894 \), dont la somme des carrés vaut bien 1.
Finalité : Alimenter les projections du nœud A et la longueur de flambement de la question 4.

\[ \begin{aligned} L_{AB} &= \sqrt{3{,}00^{2} + 1{,}50^{2}} = \sqrt{11{,}25} \\ &= \mathbf{3{,}354 \ \text{m}} \quad \text{et} \quad \alpha = \arctan 0{,}5 = \mathbf{26{,}57°} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

3,354 m de longueur et 26,57° de pente.

Ordre de grandeur : Une pente de 50 %, soit 26,57° — une pente courante en couverture tuile.
Impact sur la suite : Cette longueur de 3 354 mm sera la longueur de flambement de l'arbalétrier, faute de maintien.
Cohérence : L'arbalétrier n'est que 12 % plus long que la demi-portée : la ferme est assez surbaissée.
Attention : Employer les rapports \( h/L_{AB} \) et \( (L/2)/L_{AB} \) plutôt que l'angle évite tout arrondi intermédiaire.
Comparaison : Une ferme de 3,00 m de hauteur donnerait un arbalétrier de 4,243 m à 45°.

Remarque pédagogique : Faites travailler avec les rapports de longueurs plutôt qu'avec l'angle. Écrire \( \sin\alpha = 1{,}5/3{,}354 \) évite de passer par un arc-tangente arrondi à deux décimales, puis par un sinus de cet arrondi. Sur une chaîne de calcul, chaque conversion inutile est une occasion d'introduire une erreur — et celle-ci ne coûte rien à éviter.

Effort dans le poinçon central

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une barre à effort nul se repère avant tout calcul, et qu'elle valide l'analyse.

Méthodologie du calcul :

Équilibre vertical du nœud D, où convergent trois barres.

Substitution : Les tronçons d'entrait AD et DC sont horizontaux : ils n'ont aucune composante verticale.
Piège évité : Un effort nul ne signifie pas une barre inutile : elle travaille sous d'autres cas de charge.
Hypothèse validée : Aucune charge n'est appliquée au nœud D, et le poids propre de l'entrait est négligé.
Vérification croisée : C'est le théorème des trois barres : deux alignées, une troisième, aucune charge, donc effort nul dans la troisième.
Finalité : Simplifier l'analyse et disposer d'un contrôle de cohérence.

\[ \begin{aligned} \sum F_{y}^{(D)} = 0 \ \Rightarrow \ N_{BD} = \mathbf{0} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le poinçon ne travaille pas sous ce chargement.

Ordre de grandeur : Effort rigoureusement nul, et non « faible » : c'est un résultat exact de la statique.
Impact sur la suite : Le nœud B ne comporte donc plus que deux inconnues, ce qui simplifie l'analyse du reste du treillis.
Cohérence : Le théorème des trois barres est vérifié : AD et DC sont alignées, BD ne l'est pas, et D n'est pas chargé.
Attention : Le poinçon reprend en réalité le poids propre de l'entrait et devient chargé sous neige dissymétrique.
Comparaison : Si une charge était suspendue à l'entrait — plafond, comble aménagé — le poinçon travaillerait en traction.

Remarque pédagogique : Faites repérer les barres à effort nul avant d'entamer le moindre calcul. Elles ne se devinent pas au hasard : trois règles simples suffisent, dont celle des trois barres employée ici. Chaque barre ainsi identifiée retire une inconnue du problème, et surtout fournit un point de contrôle : si un calcul ultérieur donne un effort non nul dans cette barre, c'est qu'il y a une erreur.

RÉSULTAT FINAL

Réactions d'appui = 7,5 kN chacune — arbalétrier de 3,354 m à 26,57° ; le poinçon BD est une barre à effort nul

"Deux symétries, ou pas de symétrie !"

Question 2 : Efforts dans l'arbalétrier et l'entrait

Dans la tête de l'ingénieur

"La note que je reprends mène cette question correctement : bon nœud de départ, bonne convention, bons résultats. Je vais la refaire à l'identique, puis ajouter deux choses qu'elle ne fait pas. D'abord un contrôle par formule fermée : pour une ferme à poinçon chargée au faîtage, l'effort d'entrait vaut \( FL/(4h) \), ce qui se vérifie en dix secondes. Ensuite l'analyse de la sensibilité à la hauteur : c'est le paramètre de conception le plus puissant de la ferme, et il vaut mieux le chiffrer que de l'affirmer. Doubler la hauteur divise l'effort d'entrait par deux — ce que l'intuition ne donne pas spontanément."

Observation : Le nœud A ne comporte que deux inconnues pour deux équations : c'est le point de départ obligé.
Analyse du risque : Une erreur de signe inverserait traction et compression, et invaliderait toutes les vérifications suivantes.
Choix stratégique : Je suppose toutes les barres tendues : le signe du résultat corrige de lui-même l'hypothèse.
Alternative : La méthode des sections donnerait l'effort d'entrait directement, sans passer par l'arbalétrier.
Objectif visé : Deux efforts signés, prêts pour les vérifications de résistance et de stabilité.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( N_{AB} = \) −16,77 kN, compression · \( N_{AD} = \) +15,00 kN, traction · contrôle \( FL/(4h) = \) 15,00 · doubler la hauteur ramènerait l'entrait à 7,50 kN

Rappel Théorique : la méthode des nœuds

Isoler un nœud, c'est faire apparaître les efforts internes des barres qui y aboutissent. Deux équations par nœud, donc deux inconnues au maximum.

Principe 1 — deux équations par nœud : \( \sum F_{x} = 0 \) et \( \sum F_{y} = 0 \). Pas de moment, puisque les nœuds sont articulés.
Principe 2 — commencer par un nœud à deux inconnues : Le nœud A convient : la réaction y est connue et seules deux barres y aboutissent.
Principe 3 — supposer toutes les barres tendues : Un effort négatif révèle alors une compression, sans qu'il faille deviner à l'avance.
Principe 4 — l'équation la plus simple d'abord : L'équilibre vertical ne fait intervenir que l'arbalétrier, l'entrait étant horizontal.
Principe 5 — toujours contrôler : Une formule fermée, un autre nœud, ou la méthode des sections valident le résultat sans le refaire.

Équations Fondamentales

L'équilibre du nœud, puis la formule fermée qui permet de le contrôler.

Équilibre du nœud A :

Deux équations, deux inconnues.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un nœud articulé ne peut transmettre que des forces, jamais de moment : son équilibre se réduit à deux équations scalaires dans le plan. En isolant le nœud, on rend visibles les efforts internes des barres, qui deviennent des forces extérieures pour le sous-système considéré. La convention consistant à supposer toutes les barres tendues — donc tirant sur le nœud — a un avantage décisif : elle rend le calcul systématique, et le signe du résultat corrige l'hypothèse sans qu'on ait à raisonner sur chaque barre.

Contexte de validité : Nœuds articulés et charges appliquées aux nœuds uniquement.
Avantage : La méthode est systématique : elle se déroule de proche en proche jusqu'à épuiser le treillis.
Paramètre clé : L'ordre des équations : la verticale d'abord, puisqu'elle ne comporte qu'une inconnue.
Vérification : Dans une ferme, l'arbalétrier est toujours comprimé et l'entrait toujours tendu : le signe se contrôle par le bon sens.
Limite : Elle devient fastidieuse sur les grands treillis : la méthode des sections est alors plus directe.

\[ \begin{aligned} \begin{cases} \sum F_{y} = 0 : \ V_{A} + N_{AB}\sin\alpha = 0 \\ \sum F_{x} = 0 : \ N_{AD} + N_{AB}\cos\alpha = 0 \end{cases} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : l'arbalétrier pousse le pied de ferme vers l'extérieur, et l'entrait le retient. Sans entrait, la ferme s'écarterait et s'effondrerait : c'est exactement le rôle des tirants dans les charpentes anciennes, et des chaînages dans les murs qui les portent.

Décomposition des termes :

\( V_{A} = 7{,}5 \) : réaction verticale, dirigée vers le haut, unité : kN
\( N_{AB} \) : effort dans l'arbalétrier, supposé en traction, unité : kN
\( N_{AD} \) : effort dans l'entrait, supposé en traction, unité : kN
\( \sin\alpha = 0{,}447 \) : projection verticale de l'arbalétrier, unité : —
\( \cos\alpha = 0{,}894 \) : projection horizontale de l'arbalétrier, unité : —

Formule fermée de l'effort d'entrait :

Le contrôle immédiat du résultat.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle s'obtient d'un trait par la méthode des sections : en coupant la ferme par une verticale juste à gauche du faîtage et en écrivant l'équilibre des moments de la partie gauche autour du point B, seul l'effort d'entrait subsiste. Le moment de la réaction, \( V_{A} \times L/2 \), doit équilibrer celui de l'entrait, \( N_{AD} \times h \). On en tire directement \( N_{AD} = FL/(4h) \), qui montre que l'effort d'entrait est inversement proportionnel à la hauteur de la ferme.

Contexte de validité : Ferme symétrique à poinçon, chargée au faîtage.
Avantage : Elle donne l'effort d'entrait sans passer par l'arbalétrier, donc sans propager d'erreur.
Paramètre clé : La hauteur \( h \), au dénominateur : c'est le bras de levier du couple d'équilibre.
Vérification : On retrouve aussi \( N_{AD} = V_{A}/\tan\alpha \), qui est la même relation écrite autrement.
Limite : Elle ne vaut que pour ce cas de charge précis. Une charge répartie sur les arbalétriers donnerait une autre expression.

\[ \begin{aligned} N_{AD} = \frac{F\,L}{4\,h} = \frac{V_{A}}{\tan\alpha} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : plus la ferme est plate, plus l'entrait tire. À hauteur nulle, l'effort deviendrait infini — c'est pourquoi une ferme surbaissée coûte cher en section d'entrait et en assemblages, alors qu'elle paraît économiser du bois.

Décomposition des termes :

\( F = 15 \) : charge nodale au faîtage, unité : kN
\( L = 6{,}00 \) : portée de la ferme, unité : m
\( h = 1{,}50 \) : hauteur au faîtage, bras de levier du couple, unité : m
Facteur 4 : produit du 2 de la demi-charge et du 2 de la demi-portée, unité : —
Sens : effort de traction, l'entrait retenant l'écartement des pieds, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de deviner le sens de l'effort avant de calculer..."

L'approche d'ingénieur : On suppose toutes les barres tendues, et on laisse le signe du résultat trancher.

L'erreur : Écrire \( V_{A} = N_{AB}\sin\alpha \) en « sachant » que l'arbalétrier est comprimé. On obtient +16,77 et on ne sait plus si c'est une traction.
La bonne méthode : Une convention unique pour tout le treillis : traction positive, effort sortant du nœud. Le signe fait le reste.
L'astuce de pro : Contrôler par le bon sens : dans une ferme, l'arbalétrier pousse et l'entrait tire. Un résultat inverse signale une erreur.
Le moyen mnémotechnique : « Tout tendu, le signe corrige ».
L'impact direct : Confondre traction et compression conduirait à vérifier l'arbalétrier en traction — sans aucun calcul de flambement, donc sans le critère qui gouverne.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( V_{A} \) et les efforts : en kN
Sinus et cosinus : grandeurs sans unité
\( F\,L/(4h) \) : kN × m / m donne bien des kN
Le signe : + pour la traction, − pour la compression
Conversion en N : ×1 000, pour les contraintes

Aucune difficulté d'unités dans cette question — tout est en kilonewtons. Le seul risque est le signe, et il ne se contrôle pas par les unités mais par le sens physique : dans une ferme, l'arbalétrier est comprimé et l'entrait tendu. L'ordre de grandeur attendu est que les efforts internes soient du même ordre que la charge appliquée, voire un peu supérieurs sur une ferme surbaissée.

1. Résolution Numérique Effort dans l'arbalétrier AB

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la barre comprimée, celle dont la vérification sera critique.

Méthodologie du calcul :

Équilibre vertical du nœud A, seule équation ne comportant qu'une inconnue.

Substitution : \( V_{A} = 7{,}5 \) kN et \( \sin\alpha = 1{,}5/3{,}354 = 0{,}447 \).
Piège évité : L'entrait est horizontal : il n'apparaît pas dans l'équation verticale. C'est ce qui rend celle-ci immédiate.
Hypothèse validée : Barre supposée tendue : le résultat négatif révélera la compression.
Vérification croisée : L'effort vaut \( V_{A}/\sin\alpha \) : il est nécessairement supérieur à la réaction, puisque le sinus est inférieur à 1.
Finalité : Fournir l'effort de compression à vérifier au flambement.

\[ \begin{aligned} N_{AB} &= -\frac{V_{A}}{\sin\alpha} = -\frac{7{,}5}{0{,}447} \\ &= \mathbf{-16{,}77 \ \text{kN}} \quad \text{(compression)} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

16,77 kN de compression, soit plus que la charge appliquée elle-même.

Ordre de grandeur : 12 % de plus que les 15 kN de charge. Une ferme surbaissée amplifie les efforts internes.
Impact sur la suite : C'est cet effort qui sera confronté à la résistance au flambement, critère décisif de l'exercice.
Cohérence : Le signe négatif confirme la compression, conforme au sens physique d'un arbalétrier.
Attention : Le rapport \( 1/\sin\alpha \) vaut 2,236 : c'est lui qui amplifie la réaction en effort de barre.
Comparaison : Une ferme de 1,00 m de hauteur donnerait 23,72 kN, soit 41 % de plus.

Remarque pédagogique : Faites remarquer que l'effort dans l'arbalétrier dépasse la charge appliquée. C'est contre-intuitif pour beaucoup d'étudiants, qui s'attendent à ce qu'un treillis « répartisse » la charge en la diminuant. Il n'en est rien : un treillis change la nature des efforts — de la flexion vers l'effort axial — mais peut très bien les amplifier, et c'est d'autant plus vrai qu'il est surbaissé.

Effort dans l'entrait AD

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la barre tendue, celle qui empêche la ferme de s'ouvrir.

Méthodologie du calcul :

Équilibre horizontal du nœud A, une fois l'effort d'arbalétrier connu.

Substitution : \( N_{AD} = -N_{AB}\cos\alpha = 16{,}77 \times 0{,}894 \).
Piège évité : Reporter \( N_{AB} \) avec son signe : le double changement de signe donne bien une traction.
Hypothèse validée : Aucune réaction horizontale en A, la charge appliquée étant verticale.
Vérification croisée : La formule fermée \( FL/(4h) = 15 \times 6/6 \) donne exactement 15,00 kN.
Finalité : Fournir l'effort de traction à vérifier en question 3.

\[ \begin{aligned} N_{AD} &= 16{,}77 \times 0{,}894 \\ &= \mathbf{+15{,}00 \ \text{kN}} \quad \text{(traction)} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

15,00 kN de traction — exactement la valeur de la charge appliquée, par coïncidence géométrique.

Ordre de grandeur : L'égalité avec \( F \) tient à ce que \( L = 4h \) : la formule fermée donne alors \( N_{AD} = F \).
Impact sur la suite : Cet effort tend l'entrait, et le bois y est très performant : la vérification sera large.
Cohérence : Les deux méthodes — nœud A et formule fermée — donnent le même résultat à trois chiffres.
Attention : L'entrait est en réalité affaibli par les assemblages aux nœuds : la section nette est inférieure à la section brute.
Comparaison : Cet effort de traction se retrouve intégralement en poussée horizontale sur les murs si l'entrait venait à manquer.

Remarque pédagogique : Faites toujours contrôler par une seconde méthode. Ici la formule fermée \( FL/(4h) \) redonne 15,00 kN en une ligne, sans passer par l'arbalétrier : si les deux valeurs concordent, on sait que ni la projection ni le signe ne sont fautifs. Un contrôle indépendant vaut mieux qu'une relecture, parce qu'il n'emprunte pas le même chemin.

Contrôle par la formule fermée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un résultat non contrôlé n'est qu'une hypothèse.

Méthodologie du calcul :

Application de la relation issue de la méthode des sections, indépendante du nœud A.

Substitution : \( F = 15 \) kN, \( L = 6{,}00 \) m et \( h = 1{,}50 \) m.
Piège évité : Ce contrôle est indépendant : il ne réutilise ni l'angle, ni l'effort d'arbalétrier.
Hypothèse validée : Ferme symétrique chargée au seul faîtage : c'est le domaine de validité de la formule.
Vérification croisée : La troisième écriture, \( V_{A}/\tan\alpha = 7{,}5/0{,}5 \), donne également 15,00 kN.
Finalité : Valider l'ensemble de l'analyse statique avant de passer aux vérifications.

\[ \begin{aligned} N_{AD} &= \frac{15 \times 6{,}00}{4 \times 1{,}50} = \frac{90}{6} \\ &= \mathbf{15{,}00 \ \text{kN}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

15,00 kN — les deux méthodes concordent exactement.

Ordre de grandeur : Concordance parfaite, sans écart d'arrondi : la chaîne de calcul est validée.
Impact sur la suite : On peut passer aux vérifications avec la certitude que les efforts sont justes.
Cohérence : Les trois écritures — nœud A, méthode des sections, \( V_{A}/\tan\alpha \) — convergent.
Cas d'école : Un contrôle qui emprunte un chemin différent détecte les erreurs qu'une relecture laisserait passer.
Comparaison : La formule montre directement que l'effort varie comme \( 1/h \) : c'est le levier de conception.

Remarque pédagogique : Faites préférer un contrôle indépendant à une seconde exécution du même calcul. Refaire les mêmes opérations reproduit les mêmes erreurs de raisonnement ; emprunter un autre chemin ne le peut pas. C'est le principe même de la redondance en vérification, et il s'applique aussi bien à une ferme qu'à un logiciel.

Sensibilité à la hauteur de la ferme

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la hauteur est le levier de conception le plus puissant d'un treillis.

Méthodologie du calcul :

Reprise de la formule fermée pour deux hauteurs encadrant celle du projet.

Substitution : \( h = 1{,}00 \) m puis \( h = 3{,}00 \) m, la portée et la charge restant inchangées.
Piège évité : L'arbalétrier ne suit pas la même loi que l'entrait : sa longueur change aussi.
Hypothèse validée : Portée et charge constantes : seule la hauteur varie, ce qui isole son effet.
Vérification croisée : L'effort d'entrait est exactement inversement proportionnel à \( h \) : doubler la hauteur le divise par deux.
Finalité : Donner au projeteur l'ordre de grandeur du gain qu'apporterait une ferme plus haute.

\[ \begin{aligned} h = 1{,}00 \ \text{m} &: \ N_{AD} = 22{,}50 \ ;\ N_{AB} = -23{,}72 \ \text{kN} \\ h = 3{,}00 \ \text{m} &: \ N_{AD} = \mathbf{7{,}50} \ ;\ N_{AB} = \mathbf{-10{,}61 \ \text{kN}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Doubler la hauteur divise par deux l'effort d'entrait et réduit l'arbalétrier de 37 %.

Ordre de grandeur : L'entrait suit exactement \( 1/h \), l'arbalétrier une loi plus douce puisqu'il s'allonge en même temps.
Impact sur la suite : Mais un arbalétrier plus long est aussi plus élancé : le gain en effort est partiellement repris par le flambement.
Cohérence : À 1,00 m de hauteur, les efforts augmentent de 50 % sur l'entrait et de 41 % sur l'arbalétrier.
Attention : Une ferme surbaissée paraît économique — moins de bois, moins de hauteur — mais elle coûte cher en sections et en assemblages.
Comparaison : À hauteur nulle, l'effort d'entrait tendrait vers l'infini : c'est la limite du modèle de treillis.

Remarque pédagogique : Faites tracer l'effort d'entrait en fonction de la hauteur. La courbe en \( 1/h \) montre immédiatement où se situe le bon compromis : sous une certaine hauteur, les efforts s'emballent, au-delà le gain devient marginal. C'est ce genre de lecture qui transforme un calcul de vérification en outil de conception, et c'est ce qu'on attend d'un bureau d'études.

RÉSULTAT FINAL

Efforts dans les barres = −16,77 et +15,00 kN — arbalétrier comprimé, entrait tendu ; contrôlé par deux méthodes indépendantes

"Tout tendu, le signe corrige !"

Question 3 : Vérification de l'entrait en traction axiale

Dans la tête de l'ingénieur

"La note d'origine utilise \( f_{t,0,k} = 14 \) MPa pour le C24. Cette valeur appartient à l'édition antérieure de la NF EN 338 : la révision de 2016 l'a portée à 14,5 MPa. L'écart est faible — 3,6 % — et ne changera rien à la conclusion ici, mais il faut le corriger par principe : une note de calculs qui cite une valeur périmée est attaquable, même quand elle est conservative. Je vais aussi vérifier si le facteur \( k_{h} \) s'applique, ce que la note ne fait pas : la réponse est non, et il faut savoir pourquoi."

Observation : La valeur 14 MPa ne figure plus dans l'édition en vigueur de la NF EN 338.
Analyse du risque : Aucun risque structurel — l'ancienne valeur est plus faible — mais un risque de recevabilité de la note.
Choix stratégique : Retenir 14,5 MPa et citer explicitement l'édition, pour que le contrôle puisse remonter à la source.
Point de méthode : Examiner \( k_{h} \) : il ne s'applique qu'en deçà de 150 mm de hauteur, et la barre en fait 160.
Objectif visé : Un taux de travail en traction, et la démonstration que ce n'est pas le critère dimensionnant.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( \sigma_{t,0,d} = \) 1,17 MPa · \( f_{t,0,d} = \) 10,04 MPa · taux 11,7 % · \( k_{h} \) ne s'applique pas (h = 160 > 150 mm)

Rappel Théorique : la traction parallèle au fil

C'est la sollicitation où le bois est le plus performant rapporté à sa masse — et aussi la plus fragile : la rupture est brutale, sans plastification.

Principe 1 — contrainte uniforme : \( \sigma_{t,0,d} = N_{d}/A \), la section étant supposée entièrement active.
Principe 2 — résistance de calcul : \( f_{t,0,d} = k_{\text{mod}}\,f_{t,0,k}/\gamma_{M} \), selon l'EN 1995-1-1 § 2.4.1.
Principe 3 — effet d'échelle : Le facteur \( k_{h} \) majore la résistance des petites sections, h < 150 mm seulement (§ 3.2(3)).
Principe 4 — pas d'instabilité : Une barre tendue ne flambe pas : la traction redresse les défauts de rectitude au lieu de les amplifier.
Principe 5 — la section nette gouverne : Les assemblages percent la barre : c'est là, et non à mi-longueur, que la vérification est critique.

Équations Fondamentales

La contrainte appliquée, puis la résistance de calcul à laquelle la confronter.

Critère de traction parallèle au fil :

EN 1995-1-1 § 6.1.2, expression (6.1).

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'en traction axiale la contrainte se répartit uniformément sur la section : aucune fibre n'est plus sollicitée qu'une autre, contrairement à la flexion. Le critère se réduit donc à comparer une contrainte moyenne à une résistance. C'est la plus simple des vérifications de l'Eurocode 5 — et c'est précisément pour cela qu'il faut se méfier : la simplicité du critère masque le fait que le point critique n'est presque jamais la section courante, mais la section affaiblie par les assemblages.

Contexte de validité : Effort centré et parallèle au fil, section constante.
Avantage : Aucun coefficient d'instabilité : la traction stabilise la barre.
Paramètre clé : La section nette, dès qu'il y a des trous d'assemblage.
Vérification : Un taux de travail en traction très bas est normal dans une ferme : ce n'est pas l'entrait qui dimensionne.
Limite : La rupture en traction est fragile : pas de redistribution, pas de signe avant-coureur.

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{t,0,d}}{f_{t,0,d}} \leq 1 \quad \text{avec} \quad \sigma_{t,0,d} = \frac{N_{d}}{A} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : toutes les fibres tirent ensemble, à la même contrainte. Mais la moindre entaille, le moindre trou de boulon rompt cette égalité : les fibres coupées ne travaillent plus, et celles qui restent doivent tout reprendre, avec en prime une concentration de contrainte au bord du trou.

Décomposition des termes :

\( N_{d} = 15\,000 \) : effort de traction dans l'entrait, unité : N
\( A = b \times h \) : aire de la section brute, unité : mm²
\( \sigma_{t,0,d} \) : contrainte de calcul, uniforme sur la section, unité : MPa
\( f_{t,0,d} \) : résistance de calcul en traction axiale, unité : MPa
Indice 0 : traction parallèle au fil — perpendiculairement, la résistance est 30 fois plus faible, unité : —

Résistance de calcul et facteur de hauteur :

EN 1995-1-1 § 2.4.1 et § 3.2(3).

Pourquoi cette formule ?

Parce que la valeur caractéristique tirée de la NF EN 338 doit être affectée de la durée de charge et de l'humidité par \( k_{\text{mod}} \), puis divisée par le coefficient partiel du matériau. Le facteur \( k_{h} \) traduit quant à lui l'effet d'échelle : plus une pièce est petite, plus faible est la probabilité qu'elle contienne un défaut majeur, donc plus élevée sa résistance apparente. L'Eurocode le plafonne à 1,3 et le limite aux hauteurs inférieures à 150 mm ; au-delà, il vaut 1 et disparaît du calcul.

Contexte de validité : \( k_{h} \) ne concerne que le bois massif, en traction axiale et en flexion.
Avantage : Il évite de pénaliser les petites sections, dont les essais montrent qu'elles sont plus résistantes.
Paramètre clé : La plus grande dimension de la section, ici 160 mm — donc au-dessus du seuil.
Vérification : Les essais de la NF EN 338 sont conduits sur une hauteur de référence de 150 mm : c'est l'origine du seuil.
Limite : Pour le lamellé-collé, le seuil est de 600 mm et l'exposant diffère : ne pas transposer.

\[ \begin{aligned} f_{t,0,d} = k_{h}\,\frac{k_{\text{mod}}\,f_{t,0,k}}{\gamma_{M}} \quad \text{avec} \quad k_{h} = 1 \ \text{si } h \geq 150 \ \text{mm} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une grosse pièce a plus de chances de contenir un gros défaut. C'est la théorie du maillon faible : dans un matériau fragile, la résistance dépend du volume sollicité, parce qu'un volume plus grand a statistiquement de plus fortes chances d'abriter le défaut qui déclenchera la rupture.

Décomposition des termes :

\( f_{t,0,k} = 14{,}5 \) : C24 selon la NF EN 338:2016 — et non 14, valeur de l'édition antérieure, unité : MPa
\( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \) : classe de service 2, action de court terme (neige < 1 000 m), unité : —
\( \gamma_{M} = 1{,}30 \) : bois massif, Tableau 2.3 de l'EN 1995-1-1, unité : —
\( k_{h} = 1{,}00 \) : sans effet, la section faisant 160 mm de hauteur, unité : —
Seuil 150 mm : hauteur de référence des essais normalisés, unité : mm

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de recopier des valeurs caractéristiques trouvées dans un vieux formulaire..."

L'approche d'ingénieur : On remonte à l'édition en vigueur de la NF EN 338 et on la cite dans la note.

L'erreur : Utiliser \( f_{t,0,k} = 14 \) MPa pour le C24, valeur de l'édition antérieure à la révision de 2016.
La bonne méthode : La révision a modifié deux valeurs du C24 : la traction, 14 d'où 14,5, et surtout le cisaillement, 2,5 d'où 4,0 MPa.
L'astuce de pro : Retenir le cisaillement comme repère : si votre tableau donne \( f_{v,k} = 2{,}5 \) pour le C24, il est périmé, toutes ses lignes le sont.
Le moyen mnémotechnique : « 4,0 en cisaillement, ou tableau à jeter ».
L'impact direct : Sur la traction, l'écart est de 3,6 % et sans conséquence. Sur le cisaillement, il atteint 60 % et peut faire refuser à tort une poutre.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Effort : 15 kN = 15 000 N
Section : 80 × 160 = 12 800 mm²
N / mm² = MPa , identité fondamentale
\( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \), \( k_{h} \) : grandeurs sans unité
Taux de travail : rapport de deux MPa, donc sans unité

Le seul point de vigilance est la conversion des kilonewtons en newtons : un facteur 1 000 oublié donnerait une contrainte de 0,0012 MPa, soit un taux de 0,01 %. L'ordre de grandeur attendu pour une barre tendue correctement dimensionnée se situe entre 1 et 8 MPa ; en dessous de 1 MPa, la section est manifestement surabondante vis-à-vis de la traction — ce qui est le cas ici, l'entrait étant dimensionné par d'autres considérations.

1. Résolution Numérique Aire de la section

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur qui convertit l'effort en contrainte.

Méthodologie du calcul :

Produit des deux dimensions de la section rectangulaire, en millimètres.

Substitution : \( b = 80 \) mm et \( h = 160 \) mm, section identique pour toutes les barres.
Piège évité : Rester en millimètres : mélanger centimètres et millimètres fausse la contrainte d'un facteur 100.
Hypothèse validée : Section brute, sans affaiblissement, ce qui suppose des assemblages hors de la zone considérée.
Vérification croisée : 12 800 mm² = 128 cm², ordre de grandeur courant pour une barre de ferme.
Finalité : Servir aussi bien à la traction de l'entrait qu'à la compression de l'arbalétrier.

\[ \begin{aligned} A = 80 \times 160 = \mathbf{12\,800 \ \text{mm}^{2}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

12 800 mm², section unique adoptée pour l'ensemble des barres.

Ordre de grandeur : Une section de 80 × 160 est une section courante de charpente traditionnelle.
Impact sur la suite : La même aire servira en compression, où elle sera bien plus sollicitée.
Cohérence : L'uniformité des sections simplifie la mise en œuvre, au prix d'un léger surdimensionnement de l'entrait.
Attention : Aux assemblages, un seul trou de 14 mm ramènerait l'aire nette à 11 680 mm², soit 8,8 % de moins.
Comparaison : Le rapport h/b = 2 est modéré : la barre est presque aussi raide dans un plan que dans l'autre — presque seulement.

Remarque pédagogique : Faites relever dès maintenant que la section n'est pas carrée. Ce détail, anodin pour la traction, deviendra décisif en question 4 : une section 80 × 160 possède deux rayons de giration dans un rapport de 2, donc deux élancements dans un rapport de 2, donc deux comportements au flambement très différents. C'est le fil conducteur de tout l'exercice.

Contrainte de traction

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur que la norme compare à une résistance.

Méthodologie du calcul :

Division de l'effort par l'aire, après conversion en newtons.

Substitution : \( N_{d} = 15\,000 \) N et \( A = 12\,800 \) mm².
Piège évité : La conversion kN d'où N, oubli le plus fréquent de toute la mécanique.
Hypothèse validée : Effort centré : les axes des barres concourent au nœud, sans excentrement.
Vérification croisée : 15 000 / 12 800 ≈ 1,2 : l'ordre de grandeur se contrôle de tête.
Finalité : Obtenir la contrainte à confronter à \( f_{t,0,d} \).

\[ \begin{aligned} \sigma_{t,0,d} &= \frac{15\,000}{12\,800} \\ &= \mathbf{1{,}17 \ \text{MPa}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

1,17 MPa — une contrainte très faible pour du bois tendu.

Ordre de grandeur : Un entrait bien dimensionné travaille plutôt entre 4 et 8 MPa : la barre est ici très peu sollicitée.
Impact sur la suite : La vérification sera largement satisfaite, ce qui confirme que l'entrait n'est pas le point faible.
Cohérence : Le surdimensionnement vient du choix d'une section unique pour toutes les barres.
Attention : Avec un trou de boulon, la contrainte nette monterait à 1,28 MPa : l'effet reste marginal ici, mais ne l'est pas toujours.
Comparaison : C'est huit fois moins que la contrainte admissible : la marge est considérable.

Remarque pédagogique : Faites nuancer l'idée qu'une grande marge serait un gaspillage. Ici l'entrait est surdimensionné vis-à-vis de la traction, mais cette surabondance a une contrepartie utile : elle laisse la place aux assemblages, qui exigent des distances au bord et entre organes proportionnelles au diamètre. Dans une charpente, ce sont très souvent les assemblages, et non les barres, qui fixent les sections.

Résistance de calcul en traction

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la valeur caractéristique de la norme n'est pas directement utilisable.

Méthodologie du calcul :

Application de \( k_{\text{mod}} \) et de \( \gamma_{M} \) à la valeur de la NF EN 338:2016.

Substitution : \( f_{t,0,k} = 14{,}5 \) MPa, \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \), \( \gamma_{M} = 1{,}30 \).
Piège évité : La valeur 14 MPa des anciens formulaires, périmée depuis la révision de 2016.
Hypothèse validée : \( k_{h} = 1 \), la hauteur de 160 mm dépassant le seuil de 150 mm.
Vérification croisée : Le rapport \( 0{,}90/1{,}30 = 0{,}692 \) : la résistance de calcul vaut environ 69 % de la caractéristique.
Finalité : Disposer de la borne à laquelle comparer la contrainte.

\[ \begin{aligned} f_{t,0,d} &= 1{,}00 \times \frac{0{,}90 \times 14{,}5}{1{,}30} \\ &= \mathbf{10{,}04 \ \text{MPa}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

10,04 MPa, contre 9,69 MPa avec la valeur périmée.

Ordre de grandeur : L'écart entre les deux éditions est de 3,6 % : réel, mais sans portée pratique ici.
Impact sur la suite : Le taux de travail passe de 12,1 % à 11,7 % : la conclusion est inchangée.
Cohérence : La correction va dans le sens favorable : l'ancienne valeur était conservative.
Attention : Une valeur périmée reste une non-conformité de la note, même quand elle est du côté de la sécurité.
Comparaison : La résistance en compression, \( f_{c,0,d} = 14{,}54 \) MPa, est supérieure de 45 % — ce qui rend le résultat de la question 4 d'autant plus frappant.

Remarque pédagogique : Faites citer l'édition de la norme dans toute note de calculs, pas seulement son numéro. « NF EN 338 » ne suffit pas : il faut « NF EN 338:2016 ». C'est ce qui permet à un contrôleur — ou à vous-même, cinq ans plus tard — de savoir quelles valeurs ont été employées, et si elles étaient alors en vigueur.

Taux de travail en traction

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la conclusion normative de la question.

Méthodologie du calcul :

Rapport de la contrainte à la résistance, exprimé en pourcentage.

Substitution : \( 1{,}17 / 10{,}04 \), deux grandeurs en MPa.
Piège évité : Ne pas conclure que la barre est surdimensionnée : elle est dimensionnée par autre chose.
Hypothèse validée : Section courante, hors zone d'assemblage.
Vérification croisée : L'effort admissible atteint 128,5 kN, soit 8,6 fois l'effort appliqué.
Finalité : Établir que la traction n'est pas le critère dimensionnant de la ferme.

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{t,0,d}}{f_{t,0,d}} &= \frac{1{,}17}{10{,}04} \\ &= \mathbf{11{,}7 \ \%} \leq 100 \ \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

11,7 % — la traction est vérifiée avec une marge considérable.

Ordre de grandeur : La barre pourrait reprendre 128,5 kN avant rupture en traction.
Impact sur la suite : Toute l'attention se reporte sur l'arbalétrier comprimé, où le flambement décide.
Cohérence : Avec la valeur périmée, on aurait trouvé 12,1 % : même conclusion.
Attention : Ce taux ne vaut que pour la barre seule : l'assemblage d'about de l'entrait est un tout autre calcul, souvent plus critique.
Comparaison : L'arbalétrier, avec un effort à peine plus grand, atteindra 59 % : cinq fois plus, pour la seule raison qu'il est comprimé.

Remarque pédagogique : Faites comparer dès maintenant ce 11,7 % avec le résultat de la question suivante. Deux barres de même section, dans le même bois, sous des efforts presque égaux — 15,0 contre 16,8 kN — et pourtant des taux dans un rapport de cinq. Toute la différence tient au signe de l'effort. C'est la leçon la plus utile de cet exercice.

RÉSULTAT FINAL

Taux de travail en traction = 11,7 % — entrait vérifié, avec \( f_{t,0,k} = 14{,}5 \) MPa de la NF EN 338:2016 et \( k_{h} = 1 \)

"4,0 en cisaillement, ou tableau à jeter !"

Question 4 : Flambement de l'arbalétrier dans les deux plans

Dans la tête de l'ingénieur

"C'est ici que la note d'origine se trompe, et lourdement. Elle annonce \( k_{c} \approx 0{,}55 \) sans le calculer, et conclut à un taux de 16 %. Or une barre de 3,35 m de long, de 80 mm d'épaisseur, possède deux élancements très différents : 72,6 dans le plan de la ferme, 145,2 hors de ce plan. C'est toujours le plus grand élancement qui gouverne, donc le plus petit \( k_{c} \). Le vrai coefficient vaut 0,152, et le taux 59 % — près de quatre fois la valeur annoncée. La barre reste vérifiée, mais la marge n'a plus rien à voir, et il suffirait d'un peu plus de charge pour la perdre."

Observation : La note ne traite qu'un seul plan de flambement, et n'indique pas lequel.
Analyse du risque : Le flambement hors plan est toujours le plus défavorable pour une barre plate non maintenue.
Choix stratégique : Calculer les deux élancements, les deux \( k_{c} \), et retenir le plus petit.
Remède : Les pannes maintiennent l'arbalétrier hors plan : correctement fixées, elles divisent la longueur de flambement par deux.
Objectif visé : Un taux de travail défendable, et la démonstration du gain qu'apporte le maintien.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( \lambda_{\text{plan}} = \) 72,6 · \( \lambda_{\text{hors plan}} = \) 145,2 · \( k_{c} = \) 0,152 (gouvernant) · taux 59,3 % · avec pannes : 17,2 %

Rappel Théorique : le flambement selon l'EN 1995-1-1 § 6.3.2

Une barre comprimée ne rompt pas par écrasement : elle se dérobe latéralement bien avant. Le coefficient \( k_{c} \) chiffre cette perte de capacité.

Principe 1 — deux plans, deux élancements : Une section rectangulaire possède deux rayons de giration : il faut examiner les deux.
Principe 2 — le plus grand élancement gouverne : La barre flambe là où elle est le plus souple, pas là où on l'a vérifiée.
Principe 3 — l'élancement relatif : \( \lambda_{\text{rel}} = (\lambda/\pi)\sqrt{f_{c,0,k}/E_{0,05}} \) rapporte l'élancement géométrique au matériau.
Principe 4 — décroissance en \( 1/\lambda^{2} \) : Au-delà de \( \lambda_{\text{rel}} = 1{,}3 \), \( k_{c} \) chute comme le carré de l'élancement : doubler \( \lambda \) divise \( k_{c} \) par près de quatre.
Principe 5 — le maintien est un remède gratuit : Réduire la longueur de flambement coûte moins cher que grossir la section.

Équations Fondamentales

L'élancement dans chaque plan, puis le coefficient de flambement qui en découle.

Élancement mécanique et élancement relatif :

EN 1995-1-1 § 6.3.2(1), expression (6.21).

Pourquoi cette formule ?

Parce que la charge critique d'Euler ne dépend pas de la section seule ni de la longueur seule, mais de leur rapport : c'est l'élancement \( \lambda = L_{f}/i \). Pour une section rectangulaire, le rayon de giration se réduit à la dimension divisée par \( \sqrt{12} \), ce qui rend le calcul immédiat. L'élancement relatif ajoute l'information matériau : deux barres de même élancement géométrique ne flambent pas de la même façon selon qu'elles sont en bois ou en acier, parce que le rapport \( f_{c,0,k}/E \) diffère.

Contexte de validité : Barre droite, articulée aux deux extrémités, effort centré.
Avantage : Un seul nombre résume la géométrie du problème de stabilité.
Paramètre clé : \( E_{0,05} \) — le fractile à 5 % du module, jamais le module moyen.
Vérification : Pour le C24, \( \lambda_{\text{rel}} \approx \lambda/59 \) : un repère commode de contrôle.
Limite : En dessous de \( \lambda_{\text{rel}} = 0{,}3 \), il n'y a plus de flambement : \( k_{c} = 1 \).

\[ \begin{aligned} \lambda = \frac{L_{f}}{i} = \frac{L_{f}\sqrt{12}}{b} \quad ; \quad \lambda_{\text{rel}} = \frac{\lambda}{\pi}\sqrt{\frac{f_{c,0,k}}{E_{0,05}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : une barre flambe dans la direction où elle est la plus mince. Prenez une règle plate et comprimez-la entre vos mains : elle se dérobe toujours dans le sens de la faible épaisseur, jamais dans celui de la largeur. L'arbalétrier fait exactement la même chose, avec ses 80 mm contre 160.

Décomposition des termes :

\( L_{f} = 3\,354 \) : longueur de flambement, ici la longueur d'épure de la barre, unité : mm
\( i = b/\sqrt{12} \) : rayon de giration, différent dans chaque plan, unité : mm
\( f_{c,0,k} = 21 \) : compression axiale du C24, NF EN 338:2016, unité : MPa
\( E_{0,05} = 7\,400 \) : module fractile 5 % du C24 — pas les 11 000 MPa du module moyen, unité : MPa
\( \sqrt{12} = 3{,}464 \) : constante propre à la section rectangulaire, unité : —

Coefficient de flambement :

EN 1995-1-1 § 6.3.2(3), expressions (6.25) à (6.29).

Pourquoi cette formule ?

Parce que la charge critique d'Euler est une idéalisation : elle suppose une barre parfaitement droite, un matériau parfaitement élastique et un effort parfaitement centré. Aucune de ces conditions n'est réunie dans une charpente. La formule de l'Eurocode part de la courbe d'Euler mais y intègre une imperfection initiale de rectitude — c'est le rôle du coefficient \( \beta_{c} \), qui vaut 0,2 pour le bois massif et 0,1 pour le lamellé-collé, plus régulier. Le résultat est une transition continue entre l'écrasement pur des barres courtes et l'instabilité élastique des barres élancées.

Contexte de validité : Compression axiale seule ; avec flexion, il faut les expressions (6.23) et (6.24).
Avantage : Une formule unique couvre tout le domaine, du poteau trapu à la barre très élancée.
Paramètre clé : \( \beta_{c} = 0{,}2 \) pour le bois massif : il pénalise les défauts de rectitude.
Vérification : Pour \( \lambda_{\text{rel}} \) grand, \( k_{c} \) tend vers \( 1/\lambda_{\text{rel}}^{2} \) : ici 0,165 contre 0,152, cohérent.
Limite : La formule suppose une barre maintenue latéralement aux extrémités : c'est la longueur de flambement qui traduit les conditions réelles.

\[ \begin{aligned} k = 0{,}5\left[1 + \beta_{c}(\lambda_{\text{rel}} - 0{,}3) + \lambda_{\text{rel}}^{2}\right] \quad ; \quad k_{c} = \frac{1}{k + \sqrt{k^{2} - \lambda_{\text{rel}}^{2}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : plus une barre est élancée, moins elle peut porter — et la chute est brutale. Entre \( \lambda = 72 \) et \( \lambda = 145 \), la capacité ne diminue pas de moitié mais est divisée par 3,4 : la perte est quadratique, pas linéaire, et c'est ce qui rend le flambement si dangereux à sous-estimer.

Décomposition des termes :

\( \beta_{c} = 0{,}2 \) : facteur d'imperfection du bois massif, unité : —
Seuil 0,3 : en deçà, aucune réduction — la barre écrase avant de flamber, unité : —
\( k \) : grandeur intermédiaire, sans signification physique directe, unité : —
\( k_{c} \) : fraction de la résistance en compression réellement mobilisable, unité : —
\( k^{2} - \lambda_{\text{rel}}^{2} \) : toujours positif ; un radicande négatif signale une erreur de calcul, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de ne vérifier le flambement que dans un seul plan..."

L'approche d'ingénieur : On calcule systématiquement les deux élancements et on retient le plus petit \( k_{c} \).

L'erreur : Vérifier le plan du dessin — celui de la ferme — et oublier que rien ne retient la barre latéralement.
La bonne méthode : Deux plans, deux longueurs de flambement, deux rayons de giration. Le plus grand élancement décide.
L'astuce de pro : Pour une section rectangulaire non maintenue, c'est toujours la petite dimension qui gouverne : ici les 80 mm.
Le moyen mnémotechnique : « La barre flambe où on ne la regarde pas ».
L'impact direct : Ici le taux passe de 16 % à 59 %, soit 3,6 fois plus. Avec une charge un peu supérieure, la note d'origine aurait validé une barre en ruine.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Longueur de flambement : 3,354 m = 3 354 mm
\( \lambda \) : mm / mm, donc sans unité
\( \sqrt{f_{c,0,k}/E_{0,05}} \) : MPa / MPa, donc sans unité
\( k_{c} \) : coefficient compris entre 0 et 1
Capacité : \( k_{c}\,f_{c,0,d} \) en MPa

Toutes les grandeurs de cette question sont sans dimension, ce qui prive du contrôle par les unités. Le garde-fou est ailleurs : \( \lambda_{\text{rel}} \) doit rester inférieur à 3 pour une barre de charpente courante, et \( k_{c} \) doit toujours tomber entre 0 et 1. Un \( k_{c} \) supérieur à 1 ou un radicande négatif signalent immédiatement une erreur de saisie.

1. Résolution Numérique Élancement dans le plan de la ferme

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le plan que la note d'origine a — implicitement — retenu.

Méthodologie du calcul :

Flambement dans le plan de la ferme : c'est la hauteur de 160 mm qui s'oppose à la déformée.

Substitution : \( L_{f} = 3\,354 \) mm et \( i = 160/\sqrt{12} = 46{,}19 \) mm.
Piège évité : Prendre la longueur réelle de l'arbalétrier, 3,354 m, et non la demi-portée de 3,00 m.
Hypothèse validée : Nœuds articulés : \( L_{f} \) égale la longueur d'épure, sans coefficient réducteur.
Vérification croisée : \( \lambda_{\text{rel}} = 72{,}62/59{,}0 = 1{,}231 \) : domaine du flambement inélastique.
Finalité : Disposer du premier des deux élancements à comparer.

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{plan}} &= \frac{3\,354}{46{,}19} = \mathbf{72{,}6} \\ \lambda_{\text{rel,plan}} &= \frac{72{,}6}{\pi}\sqrt{\frac{21}{7\,400}} = \mathbf{1{,}231} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

72,6 — un élancement modéré, dans la plage courante des barres de ferme.

Ordre de grandeur : Entre 50 et 100, une barre de bois est dans le domaine inélastique : ni écrasement pur, ni Euler pur.
Impact sur la suite : \( \lambda_{\text{rel}} = 1{,}23 \) situe la barre juste au-dessus du coude de la courbe de flambement.
Cohérence : Le repère \( \lambda_{\text{rel}} \approx \lambda/59 \) pour le C24 confirme la valeur.
Attention : C'est le plan le moins défavorable : s'y arrêter serait l'erreur de la note d'origine.
Comparaison : L'EN 1995-1-1 ne fixe pas de plafond d'élancement, mais la pratique française évite de dépasser 150 en charpente.

Remarque pédagogique : Faites préciser par écrit, dans toute note, de quel plan on parle. « \( \lambda = 72{,}6 \) » ne veut rien dire seul : il faut « dans le plan de la ferme, autour de l'axe fort ». C'est cette imprécision de rédaction qui a permis à l'erreur de passer inaperçue dans le document d'origine.

Élancement hors du plan de la ferme

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le plan que rien ne retient, et donc celui qui gouverne.

Méthodologie du calcul :

Même longueur, mais rayon de giration calculé sur la largeur de 80 mm.

Substitution : \( L_{f} = 3\,354 \) mm et \( i = 80/\sqrt{12} = 23{,}09 \) mm.
Piège évité : La longueur de flambement est ici la totalité de la barre, faute de maintien intermédiaire.
Hypothèse validée : Aucun maintien latéral n'est garanti par l'énoncé : on ne peut en supposer aucun.
Vérification croisée : Le rapport des deux élancements est exactement 2, comme celui des dimensions.
Finalité : Identifier le plan critique avant tout calcul de coefficient.

\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{hors plan}} &= \frac{3\,354}{23{,}09} = \mathbf{145{,}2} \\ \lambda_{\text{rel,hors plan}} &= \frac{145{,}2}{\pi}\sqrt{\frac{21}{7\,400}} = \mathbf{2{,}463} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

145,2 — le double du précédent, à la limite de ce que la pratique tolère.

Ordre de grandeur : Un élancement de 145 est très élevé : la barre est dans le domaine d'Euler pur.
Impact sur la suite : \( \lambda_{\text{rel}} = 2{,}46 \) : le \( k_{c} \) sera très faible, de l'ordre de 0,15.
Cohérence : Le rapport h/b = 2 se retrouve à l'identique sur les élancements : la longueur est commune.
Cas d'école : C'est précisément le plan que la note d'origine n'a pas examiné.
Comparaison : Puisque \( k_{c} \) varie comme \( 1/\lambda^{2} \) dans ce domaine, doubler l'élancement divise la capacité par près de quatre.

Remarque pédagogique : Faites poser la question « qu'est-ce qui tient cette barre latéralement ? » devant chaque barre comprimée. Si la réponse est « rien de démontré », la longueur de flambement hors plan est la longueur entière. Un maintien que l'on n'a pas dessiné, pas dimensionné et pas chiffré ne peut pas être invoqué dans un calcul.

Coefficient de flambement dans le plan

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il faut la vraie valeur, pas les 0,55 annoncés sans calcul.

Méthodologie du calcul :

Application des expressions (6.27) et (6.25) avec \( \lambda_{\text{rel}} = 1{,}231 \).

Substitution : \( k = 0{,}5\,[1 + 0{,}2 \times 0{,}931 + 1{,}516] = 1{,}351 \).
Piège évité : Le terme \( \beta_{c}(\lambda_{\text{rel}} - 0{,}3) \) utilise 0,3, pas 0,2 : deux nombres voisins qu'on confond aisément.
Hypothèse validée : \( \beta_{c} = 0{,}2 \), bois massif — 0,1 pour le lamellé-collé.
Vérification croisée : Le radicande \( k^{2} - \lambda_{\text{rel}}^{2} = 0{,}310 \) est bien positif.
Finalité : Chiffrer ce que la note d'origine avait seulement estimé.

\[ \begin{aligned} k &= 1{,}351 \\ k_{c,\text{plan}} &= \frac{1}{1{,}351 + \sqrt{1{,}826 - 1{,}516}} = \mathbf{0{,}524} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,524 — proche des 0,55 annoncés, mais cette proximité est trompeuse.

Ordre de grandeur : À \( \lambda_{\text{rel}} = 1{,}23 \), la barre ne mobilise que 52 % de sa résistance en compression.
Impact sur la suite : Ce n'est pas la valeur gouvernante : elle ne servira que si un maintien latéral est mis en place.
Cohérence : L'écart aux 0,55 de la note n'est que de 5 % : la valeur estimée visait bien ce plan-là.
Attention : La note avait donc calculé le bon coefficient — mais dans le mauvais plan, et sans le dire.
Comparaison : Déjà ici, près de la moitié de la résistance est perdue par instabilité, alors même que ce plan est le plus favorable.

Remarque pédagogique : Faites observer un mécanisme d'erreur classique : la note d'origine annonce \( k_{c} \approx 0{,}55 \), valeur plausible et proche du vrai 0,524 — mais du mauvais plan. Une valeur juste appliquée au mauvais cas est plus dangereuse qu'une valeur manifestement fausse, parce qu'elle ne déclenche aucune alarme à la relecture.

Coefficient de flambement hors plan

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est lui qui gouverne la vérification.

Méthodologie du calcul :

Mêmes expressions, avec \( \lambda_{\text{rel}} = 2{,}463 \).

Substitution : \( k = 0{,}5\,[1 + 0{,}2 \times 2{,}163 + 6{,}065] = 3{,}749 \).
Piège évité : Ne pas interpoler depuis la valeur du plan fort : la relation n'est pas linéaire.
Hypothèse validée : Barre libre latéralement sur toute sa longueur.
Vérification croisée : L'asymptote d'Euler \( 1/\lambda_{\text{rel}}^{2} = 0{,}165 \) encadre bien le résultat par le haut.
Finalité : Obtenir le coefficient minimal, seul admissible dans la vérification.

\[ \begin{aligned} k &= 3{,}749 \\ k_{c,\text{hors plan}} &= \frac{1}{3{,}749 + \sqrt{14{,}055 - 6{,}065}} = \mathbf{0{,}152} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

0,152 — la barre ne mobilise que 15 % de sa résistance en compression.

Ordre de grandeur : 85 % de la résistance du bois est perdue par la seule instabilité géométrique.
Impact sur la suite : C'est ce coefficient, et non 0,55, qu'il faut porter dans le critère de l'expression (6.23).
Cohérence : Le rapport aux 0,524 du plan fort est de 3,45, cohérent avec une loi en \( 1/\lambda^{2} \).
Cas d'école : Ce chiffre illustre pourquoi les charpentes comportent des contreventements : sans eux, le bois est très mal employé.
Comparaison : Par rapport aux 0,55 de la note d'origine, la capacité réelle est divisée par 3,6.

Remarque pédagogique : Faites mesurer ce que signifie \( k_{c} = 0{,}152 \) : sur les 21 MPa de résistance caractéristique du C24, la barre n'en exploite que 3,2. On paie du bois de classe C24 pour n'utiliser qu'une fraction de ses capacités. C'est l'argument économique du contreventement, bien plus convaincant que l'argument réglementaire.

Taux de travail en compression

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la vérification proprement dite.

Méthodologie du calcul :

Critère de l'expression (6.23) avec le \( k_{c} \) minimal.

Substitution : \( \sigma_{c,0,d} = 16\,771/12\,800 = 1{,}310 \) MPa et \( f_{c,0,d} = 0{,}90 \times 21/1{,}30 = 14{,}54 \) MPa.
Piège évité : Le \( k_{c} \) porte sur la résistance, au dénominateur, jamais sur la contrainte.
Hypothèse validée : Compression seule : la charge étant appliquée aux nœuds, il n'y a pas de flexion sur la barre.
Vérification croisée : L'effort admissible vaut 28,3 kN, contre 16,8 appliqués.
Finalité : Conclure sur la barre la plus sollicitée de la ferme.

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{c,0,d}}{k_{c}\,f_{c,0,d}} &= \frac{1{,}310}{0{,}152 \times 14{,}54} = \frac{1{,}310}{2{,}211} \\ &= \mathbf{59{,}3 \ \%} \leq 100 \ \% \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

59,3 % : vérifié, mais loin des 16 % annoncés.

Ordre de grandeur : Le critère est satisfait, avec une marge de 41 % et non de 84 %.
Impact sur la suite : La ferme ne supporterait plus qu'une charge de 25,3 kN au faîtage, contre 15 prévus.
Cohérence : Le rapport à la valeur d'origine est de 3,6, exactement celui des deux coefficients de flambement.
Attention : L'entrait tendu, sous un effort presque égal, ne travaillait qu'à 11,7 % : le flambement multiplie le taux par cinq.
Comparaison : Une note qui annonce 16 % laisse croire qu'on peut sextupler la charge. En réalité on ne peut pas même la doubler.

Remarque pédagogique : Faites distinguer « vérifié » de « correctement vérifié ». Les deux notes concluent que la barre passe — mais l'une laisse croire à une réserve de charge de facteur six, l'autre montre qu'elle est inférieure à deux. Sur un projet, cette différence décide de la possibilité d'ajouter des panneaux solaires ou un plafond suspendu.

Effet du maintien latéral par les pannes

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le remède, et qu'il ne coûte presque rien.

Méthodologie du calcul :

Une panne fixée à mi-longueur de l'arbalétrier divise par deux la longueur de flambement hors plan.

Substitution : \( L_{f} = 3\,354/2 = 1\,677 \) mm, d'où \( \lambda = 1\,677/23{,}09 = 72{,}6 \).
Piège évité : Le maintien doit être effectif : une panne simplement posée ne retient rien.
Hypothèse validée : La panne est fixée mécaniquement et elle-même contreventée par la couverture ou une palée de stabilité.
Vérification croisée : Les deux élancements deviennent égaux à 72,6 : la section est alors employée de façon optimale.
Finalité : Chiffrer le gain, pour que la préconisation soit argumentée et non incantatoire.

\[ \begin{aligned} k_{c} &= 0{,}524 \ \text{dans les deux plans} \\ \text{taux} &= \frac{1{,}310}{0{,}524 \times 14{,}54} = \mathbf{17{,}2 \ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

17,2 % : le maintien à mi-longueur multiplie la capacité par 3,4.

Ordre de grandeur : L'effort admissible passe de 28,3 à 97,5 kN : la barre est enfin bien employée.
Impact sur la suite : Les deux plans deviennent équivalents : aucune direction n'est plus pénalisante que l'autre.
Cohérence : Diviser la longueur par 2 quand le rapport des dimensions vaut 2 égalise exactement les élancements.
Attention : Ce gain n'est acquis que si le maintien figure sur les plans d'exécution et que sa fixation est dimensionnée.
Comparaison : Obtenir le même gain en grossissant la section exigerait de passer de 80 à 160 mm d'épaisseur, soit doubler le volume de bois.

Remarque pédagogique : Faites retenir la règle de conception qui découle de ce calcul : pour une section rectangulaire de rapport \( h/b \), le maintien latéral doit être disposé tous les \( L/(h/b) \) pour égaliser les deux élancements. Ici \( h/b = 2 \), donc un maintien à mi-longueur. Au-delà, on gagnerait dans le plan faible sans plus rien gagner globalement : c'est le plan fort qui reprendrait la main.

RÉSULTAT FINAL

Taux de travail au flambement = 59,3 % — gouverné par le plan hors ferme, \( k_{c} = 0{,}152 \) ; ramené à 17,2 % avec un maintien à mi-longueur

"La barre flambe où on ne la regarde pas !"

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Schéma bilan — la ferme et les efforts calculés dans ses barres

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de vérification :

J'ai supposé toutes les barres tendues et laissé le signe du résultat corriger l'hypothèse. J'ai contrôlé l'effort d'entrait par une seconde méthode indépendante du nœud A. J'ai identifié le poinçon comme barre à effort nul , sans la supprimer pour autant. J'ai calculé les deux élancements de l'arbalétrier et retenu le plus grand. J'ai utilisé \( E_{0,05} \) et non le module moyen dans l'élancement relatif. J'ai pris les valeurs de la NF EN 338:2016 , et non celles d'un formulaire antérieur. J'ai justifié \( k_{\text{mod}} = 0{,}90 \) par la durée de charge et la classe de service, sans le prendre par habitude.

Avis technique — la ferme est vérifiée, mais l'arbalétrier travaille à 59 % au flambement et non à 16 % comme l'annonçait la note reprise. Les réactions valent 7,50 kN à chaque appui, l'arbalétrier mesure 3,354 m pour une pente de 26,57°. Les efforts s'établissent à −16,77 kN de compression dans l'arbalétrier et +15,00 kN de traction dans l'entrait, ce dernier contrôlé par la formule fermée \( FL/(4h) \). Le poinçon reprend un effort nul. En traction, l'entrait ne travaille qu'à 11,7 %. En compression, l'arbalétrier présente deux élancements : 72,6 dans le plan de la ferme et 145,2 hors de ce plan, d'où deux coefficients de flambement, 0,524 et 0,152. C'est le second qui gouverne, et le taux atteint 59,3 %. Un maintien latéral à mi-longueur le ramènerait à 17,2 %.

Le défaut central de la note reprise est de n'avoir vérifié le flambement que dans un seul plan. Hors du plan de la ferme, rien ne retient l'arbalétrier : l'élancement double, \( k_{c} \) tombe à 0,152 et le taux passe de 16 à 59,3 %. La plus-value technique de cette étude tient à ce qu'elle ne corrige pas un chiffre mais un réflexe : devant toute barre comprimée, demander ce qui la retient hors de son plan de dessin.

Traçabilité des valeurs tabulées

Les valeurs de coefficients et les résistances caractéristiques employées dans cet exercice proviennent des tableaux de la NF EN 1995-1-1 et des normes produits associées. Chacune est rattachée ci-dessous à la clause ou au tableau qui la fixe, de sorte qu'un tiers puisse la retrouver et vérifier le calcul sans le refaire. Les valeurs relevant d'un paramètre national sont signalées comme telles : c'est l'annexe nationale du pays du projet qui les arrête. Les coefficients qui ont pu être confirmés sur source — \( k_{\text{mod}} \), \( \gamma_{M} \) et \( \beta_{\text{c}} \) — ne figurent pas dans cette liste.

\( k_{h} \) du bois massif — § 3.2 : hauteur de référence 150 mm, exposant 0,2, plafond 1,3.
\( k_{\text{c},90} \) — § 6.1.5 : 1,25 et 1,50 pour le bois massif selon l'appui, 1,50 et 1,75 pour le lamellé-collé, et l'extension fixe de 30 mm.
NF EN 338 — classes de résistance : les valeurs principales des classes C24 et C30 sont celles du tableau 1 — \( f_{m,\text{k}} \), \( f_{\text{c},0,\text{k}} \), \( f_{v,\text{k}} \), \( E_{0,\text{mean}} \) et \( \rho_{\text{k}} \). La classe D40 relève du tableau des feuillus, et le \( f_{t,0,\text{k}} \) du C24 : la valeur de 14,5 retenue ici suit l'édition 2016 de la norme, quand l'édition 2003 donne 14,0.

Analyse d'une poutre treillis en bois

Analyse d'une poutre treillis en bois

Le premier mois à 1 €

Ferme à poinçon : l'arbalétrier flambe hors du plan

Contexte de l'Étude & Enjeux

PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME / DES MATÉRIAUX

CONTRAINTES, SOLLICITATIONS ET ACTIONS

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Réactions, géométrie et barre à effort nul

Question 2 : Efforts dans l'arbalétrier et l'entrait

Question 3 : Vérification de l'entrait en traction

Question 4 (Finale) : Flambement de l'arbalétrier dans les deux plans

Ferme à poinçon : l'arbalétrier flambe hors du plan

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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