Exercice corrigé

Analyse d'une Courbe de Remous

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 27 juin 2026• 103 min de lecture

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Étude de cas · Note de calculs Réf. HSL-12-CRM

Analyse d'une Courbe de Remous

Écoulement graduellement varié en amont d'un ouvrage de contrôle : profondeurs critique et normale, classification du profil, intégration par la méthode du pas direct, sensibilité au pas et portée réelle du remous.

NiveauLicence / Master Génie Civil — Hydraulique des ouvrages

DomaineHydraulique à surface libre

ThèmeÉcoulement graduellement varié

PrérequisManning-Strickler · Profondeur normale · Profondeur critique · Énergie spécifique · Nombre de Froude · Pente motrice · Méthode du pas direct

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un seuil, un barrage ou un simple rétrécissement placé dans un canal ne modifie pas seulement la ligne d'eau à son droit : il la relève sur des kilomètres en amont. La surface libre cesse d'être parallèle au fond et adopte un profil courbe, la courbe de remous, qui rejoint asymptotiquement le régime uniforme. Savoir la calculer, c'est savoir répondre à la question que pose tout aménagement : jusqu'où l'ouvrage se fait-il sentir, et quelles parcelles se retrouvent en zone inondable ? C'est aussi accepter une idée contre-intuitive : dans un écoulement fluvial, c'est l'aval qui commande l'amont, et le calcul doit donc remonter le courant.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Un remous ne s'arrête pas là où on l'observe. Sa portée réelle détermine l'emprise de la zone inondable et le volume d'eau stocké en amont de l'ouvrage.
Environnement : Trois profondeurs gouvernent tout : la critique \( y_c \), la normale \( y_n \), et celle imposée par l'ouvrage. Leur ordre relatif détermine à lui seul la forme du profil.
L'objectif final : Calculer la ligne d'eau pas à pas vers l'amont, puis déterminer la distance au-delà de laquelle l'ouvrage cesse d'avoir un effet mesurable.
L'astuce de l'ingénieur : En régime graduellement varié, la pente qui entre dans Manning n'est plus celle du fond mais la pente motrice \( S_f \). Confondre les deux est l'erreur qui ruine tout le calcul.

Votre Mission :

Vous êtes chargé du tracé de la ligne d'eau en amont d'un ouvrage de contrôle. La démarche est en six temps : établir la profondeur critique, puis la profondeur normale par résolution implicite ; en déduire le type de pente et la classification du profil ; intégrer l'équation de l'écoulement graduellement varié par la méthode du pas direct ; vérifier la sensibilité au pas de calcul ; et conclure sur la portée du remous et le volume qu'il stocke.

Le grand défi : Écrire correctement le bilan d'énergie entre deux sections en remontant le courant — une erreur de signe donne un profil qui monte au lieu de descendre.
Votre rôle : Déterminer \( y_c \), \( y_n \), le type de profil, la profondeur à 100 m en amont, puis la distance d'influence de l'ouvrage sur la vallée.

PLAN DE REPÉRAGE — CANAL, OUVRAGE DE CONTRÔLE ET COURBE DE REMOUS

2. Données Techniques & Normes

Cinq données décrivent entièrement le problème : un débit, une largeur, une rugosité, une pente et une profondeur imposée à l'aval. Les quatre premières caractérisent le canal et déterminent son régime uniforme ; la cinquième est la condition aux limites qui perturbe cet équilibre. Toute la difficulté tient à un point de vocabulaire qui n'en est pas un : la pente qui figure dans la formule de Manning n'est la pente du fond qu'en régime uniforme. Dès que la ligne d'eau se courbe, c'est la pente motrice qui intervient — et elle varie d'une section à l'autre.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Géométrie rectangulaire \( A = b\,y \) · \( P = b + 2y \) · \( R_h = A/P \)
Profondeur critique \( y_c = \sqrt[3]{\dfrac{q^2}{g}} \) avec \( q = Q/b \)
Profondeur normale (Manning) \( A\,R_h^{2/3} = \dfrac{Q\,n}{\sqrt{S_0}} \)
Pente motrice \( S_f = \dfrac{n^2 Q^2 P^{4/3}}{A^{10/3}} = \dfrac{n^2 V^2}{R_h^{4/3}} \)
Énergie spécifique \( E = y + \dfrac{Q^2}{2g\,A^2} \)
Équation de l'écoulement graduellement varié \( \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{S_0 - S_f}{1 - Fr^2} \)
Méthode du pas direct \( \Delta x = \dfrac{E_{av} - E_{am}}{S_0 - \bar{S}_f} \)
Bilan d'énergie vers l'amont \( E_{am} = E_{av} - (S_0 - \bar{S}_f)\,\Delta x \)
Nombre de Froude \( Fr = \dfrac{Q}{A\sqrt{g\,y}} = \left(\dfrac{y_c}{y}\right)^{3/2} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

GÉOMÉTRIE ET RUGOSITÉ DU CANAL

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( b \)	Largeur au fond du canal rectangulaire	5,00	m
\( S_0 \)	Pente du fond, constante sur toute la longueur étudiée	0,0005	m/m
\( n \)	Coefficient de Manning — équivaut à \( K = 1/n = 66{,}7 \) m^1/3/s, valeur cohérente avec un ouvrage superficiel en béton au sens du Tableau 14 du Mémento ASTEE 2017	0,015	s/m^1/3
\( g \)	Accélération de la pesanteur	9,81	m/s²

Cohérence de la rugosité avec le référentiel

Donnée de l'énoncé : \( n = 0{,}015 \) s/m^1/3, soit un coefficient de Strickler \( K = 66{,}7 \) m^1/3/s
Repère normatif : Tableau 14 du Mémento ASTEE 2017 — K = 70 pour les « ouvrages superficiels en béton »
Conclusion : l'écart est de 4,8 % : la rugosité de l'énoncé décrit bien un canal bétonné, légèrement vieilli
Pour comparaison : un fossé enherbé aurait \( K = 25 \), soit \( n = 0{,}040 \) — près de trois fois plus rugueux

CONDITIONS HYDRAULIQUES ET CONDITION AUX LIMITES

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( Q \)	Débit constant transitant dans le canal	10,0	m³/s
\( y_{aval} \)	Profondeur imposée par l'ouvrage à l'origine des abscisses — c'est la condition aux limites du calcul	2,50	m
\( \Delta x \)	Pas de calcul demandé pour la question 4, compté vers l'amont	100	m

Hypothèses de modélisation

Régime : écoulement \( \mathbf{permanent} \) et \( \mathbf{graduellement} \) \( \mathbf{varie} \) — la courbure de la ligne d'eau reste faible
Pression : \( \mathbf{hydrostatique} \) dans chaque section, hypothèse valide tant que les filets restent quasi parallèles
Perte de charge : évaluée par \( \mathbf{Manning} \), appliquée localement avec la pente motrice de chaque section
Géométrie : canal \( \mathbf{prismatique} \) — section et pente constantes sur tout le tronçon
Sens du calcul : de l'\( \mathbf{aval} \) vers l'\( \mathbf{amont} \), l'écoulement étant fluvial
Pertes singulières : \( \mathbf{negligees} \) — canal prismatique sans obstacle intermédiaire

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Le Mémento technique ASTEE 2017 apporte trois éléments à cet exercice : la formule de Manning-Strickler et surtout la définition précise de la pente qui y figure, un tableau de coefficients permettant de contrôler la rugosité de l'énoncé, et l'énoncé du sens de propagation de l'information en régime fluvial, qui justifie de calculer depuis l'aval.

Extrait Mémento technique ASTEE 2017

Référence	Prescription retenue pour cet exercice
§ IV.2.1 — Équation 35, Manning-Strickler	\( V = K \cdot R_h^{2/3} \cdot I^{1/2} \), où « \( I \) : pente motrice de l'écoulement en m/m = pente de l'ouvrage en régime uniforme ». Cette précision est décisive : elle établit que la pente de Manning n'est celle du fond qu'en régime uniforme. Dans une courbe de remous, il faut employer \( S_f \), qui varie de section en section.
§ IV.2.1 — Tableau 14, coefficients K pour sections ouvertes	« Pour les sections ouvertes, le coefficient de débit est très variable selon les ouvrages » : ouvrages enherbés plats \( K = 10 \) à 15 ; fossés enherbés \( K = 25 \) ; ouvrages superficiels en béton \( K = 70 \). Notre \( n = 0{,}015 \) équivaut à \( K = 66{,}7 \), cohérent à 4,8 % près avec un canal bétonné.
Écoulement gravitaire à surface libre — régimes fluvial et torrentiel	En régime « fluvial », « pour un débit donné, le niveau aval se répercute sur les niveaux amont. Il faut donc connaître les conditions aux limites amont (débit) et aval (niveau d'eau) ». C'est exactement la structure de cet exercice : le débit vient de l'amont, le niveau de l'aval, et le calcul remonte le courant.
§ IV.7 — Nombre de Froude	\( Fr = \dfrac{U}{\sqrt{g\,D_h}} \) (équation 53). En régime torrentiel, « le fluide est tiré par les forces qui le meuvent, sans que la masse de fluide en avant soit une gêne ». Par contraste, en fluvial, l'aval commande — d'où la nécessité de vérifier \( Fr < 1 \) avant de choisir le sens du calcul.

Lecture décisive pour cet exercice : la définition de \( I \) donnée par l'équation 35 est le cœur du sujet. Tant que l'écoulement est uniforme, pente du fond et pente motrice se confondent, et Manning se manie sans précaution. Dès qu'un ouvrage impose une profondeur différente de la profondeur normale, l'écoulement cesse d'être uniforme : la pente motrice devient une inconnue locale, différente en chaque section, et c'est précisément l'écart \( S_0 - S_f \) qui fait monter ou descendre la ligne d'eau. Toute la méthode du pas direct consiste à évaluer cet écart section par section.

Ce que les documents disponibles ne couvrent pas

Le fonds documentaire ne contient aucune classification des profils de remous — la nomenclature M1, M2, S1, S2 et suivantes, due à Bakhmeteff, n'y figure nulle part — ni aucune description de la méthode du pas direct ou du pas standard. Ce n'est pas un manque : ces éléments relèvent de la mécanique des fluides et non de la normalisation. Ils se démontrent intégralement à partir de l'équation de l'énergie, ce que fait la présente correction : la classification découle de la simple comparaison de trois profondeurs, et la méthode d'intégration se déduit du bilan de charge entre deux sections. Aucun coefficient empirique n'intervient dans cet exercice, à l'exception du coefficient de Manning lui-même — dont la valeur est, elle, confrontée au Tableau 14 du Mémento ASTEE. Signalons enfin que la version d'origine de cet exercice affirmait, au sujet de la profondeur critique, que « les normes interviennent dans le choix des coefficients de sécurité ou des méthodes de calcul globales » : aucun document du fonds ne prescrit de coefficient de sécurité sur une profondeur critique, et cette affirmation vague a été retirée.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un tracé rigoureux de la ligne d'eau, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous. L'ordre est imposé par la logique du problème : on établit d'abord les deux profondeurs de référence du canal, critique et normale ; leur comparaison avec la profondeur imposée classe le profil et fixe le sens de variation de la ligne d'eau ; on intègre alors l'équation de l'écoulement graduellement varié. Les deux dernières questions, absentes de l'énoncé d'origine, sont pourtant les plus utiles au projeteur : la fiabilité du pas de calcul et la portée réelle du remous.

Question 1 : Profondeur critique du canal

Régime critique 15 min | Accessible

But de l'étape : Établir la première profondeur de référence. Elle ne dépend que du débit et sépare les deux régimes possibles de l'écoulement.

Énoncé Q1 : Calculez le débit linéique \( q \) puis la profondeur critique \( y_c \) du canal. Précisez de quels paramètres cette profondeur dépend — et de quels paramètres elle ne dépend pas.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La profondeur critique se déduit de la seule condition \( Fr = 1 \). Ni la pente ni la rugosité n'y interviennent : elle caractérise le débit, pas le canal.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( q = 10/5 = 2{,}00 \) m²/s, puis \( y_c = \sqrt[3]{4/9{,}81} = \sqrt[3]{0{,}4077} \approx 0{,}742 \) m.

Question 2 : Profondeur normale par résolution implicite

Manning-Strickler 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Établir la seconde profondeur de référence, celle vers laquelle la ligne d'eau tend loin de l'ouvrage. C'est l'asymptote de la courbe de remous.

Énoncé Q2 : Déterminez la profondeur normale \( y_n \) par la formule de Manning. L'équation étant implicite, résolvez-la par essais successifs, puis vérifiez le résultat en montrant que la pente motrice y vaut exactement la pente du fond.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Regroupez tout ce qui est connu d'un côté : \( A\,R_h^{2/3} = Q n/\sqrt{S_0} \). Le membre de droite est un nombre ; celui de gauche est une fonction croissante de \( y \).

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( Qn/\sqrt{S_0} = 10 \times 0{,}015 / 0{,}02236 = 6{,}708 \). Encadrez ensuite : \( f(1{,}40) = 6{,}513 \) et \( f(1{,}45) = 6{,}847 \). La solution est proche de 1,43 m.

Question 3 : Type de pente et classification du profil

Classification 25 min | Intermédiaire

But de l'étape : Prévoir la forme de la courbe avant de la calculer. C'est le meilleur garde-fou : un résultat numérique contraire à la classification est nécessairement faux.

Énoncé Q3 : Déterminez le type de pente du canal et la classification de la courbe de remous. Démontrez ensuite le signe de \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x \) à partir de l'équation de l'écoulement graduellement varié, et déduisez-en le sens de variation de la ligne d'eau vers l'amont.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le type de pente se lit sur le rapport \( y_n / y_c \). La zone du profil se lit sur la position de la profondeur réelle par rapport à ces deux valeurs.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( y_n = 1{,}429 > y_c = 0{,}742 \) : pente faible, famille M. Et \( y = 2{,}50 > y_n > y_c \) : zone 1. Le profil est donc un M1.

Question 4 : Profondeur à 100 m en amont

Pas direct 40 min | Difficile

But de l'étape : Intégrer l'équation du remous sur un pas. Le point délicat n'est pas le calcul mais le signe du bilan d'énergie : une erreur ici fait remonter la ligne d'eau au lieu de la faire descendre.

Énoncé Q4 : Établissez le bilan d'énergie entre la section aval et une section située \( \Delta x = 100 \) m en amont, en soignant le signe du terme de pente. Calculez ensuite la profondeur à cette abscisse par itérations.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

En remontant le courant, le fond monte de \( S_0 \Delta x \) mais la charge augmente de \( S_f \Delta x \). L'énergie spécifique amont vaut donc \( E_{av} - (S_0 - \bar{S}_f)\Delta x \).

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( E_{av} = 2{,}5326 \) m et \( \bar{S}_f \approx 1{,}09 \times 10^{-4} \), donc \( E_{am} \approx 2{,}4936 \) m. En résolvant \( E(y) = 2{,}4936 \) sur la branche fluviale, on obtient \( y \approx \mathbf{2{,}46} \) m — une baisse de 4 cm, conforme au profil M1.

Question 5 : Fiabilité du pas et distance associée à une profondeur

Convergence numérique 35 min | Difficile

But de l'étape : Répondre à la question que tout calcul numérique impose : le pas choisi est-il assez fin ? Et inverser le problème pour obtenir directement la distance associée à une profondeur donnée.

Énoncé Q5 : Reprenez le calcul de la question 4 en subdivisant le pas de 100 m, et chiffrez l'écart obtenu. Appliquez ensuite la méthode du pas direct inversée pour déterminer à quelle distance de l'ouvrage la profondeur descend à 2,40 m.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La méthode du pas direct s'inverse sans difficulté : on se donne la profondeur et l'on calcule la distance, ce qui évite toute itération.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( \Delta x = (E_{av} - E_{am})/(S_0 - \bar{S}_f) \). Avec \( y = 2{,}40 \) m : \( E = 2{,}4354 \) m et \( \bar{S}_f = 1{,}13 \times 10^{-4} \), d'où \( \Delta x \approx \mathbf{251} \) m.

Question 6 (Finale) : Portée du remous et volume stocké

Emprise du projet 45 min | BOSS

But de l'étape : Répondre à la seule question qui intéresse le maître d'ouvrage : jusqu'où l'ouvrage relève-t-il la ligne d'eau, et quel volume d'eau immobilise-t-il en amont ?

Mention spéciale — pourquoi cette question existe : les cinq premières questions donnent une profondeur à 100 m, ce qui n'engage personne. Or l'exhaussement initial atteint plus d'un mètre, et une courbe M1 rejoint son asymptote très lentement. La question est donc : sur quelle longueur de vallée les riverains subissent-ils l'effet de l'ouvrage ? La réponse se compte en kilomètres, et elle détermine l'emprise foncière du projet.

Travail demandé : tracez le profil jusqu'à ce que la ligne d'eau rejoigne la profondeur normale à 5 cm près, puis à 1 cm près ; comparez ces longueurs à l'ordre de grandeur \( (y_{aval} - y_n)/S_0 \) ; et chiffrez enfin le volume d'eau supplémentaire stocké en amont de l'ouvrage par rapport au régime uniforme.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Une courbe M1 tend vers son asymptote de façon exponentielle : les derniers centimètres coûtent bien plus de distance que les premiers décimètres.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

L'exhaussement initial vaut \( 2{,}50 - 1{,}429 = 1{,}071 \) m. L'ordre de grandeur \( 1{,}071/0{,}0005 \) donne 2 141 m ; le calcul pas à pas montre qu'il en faut deux fois plus pour se rapprocher à 5 cm.

NOTE DE CALCULS DÉTAILLÉE (PAS-À-PAS)

Analyse d'une Courbe de Remous

Question 1 : Profondeur critique du canal

Dans la tête de l'ingénieur

"Premier réflexe devant tout problème d'hydraulique à surface libre : je calcule la profondeur critique. Pas parce que l'énoncé le demande, mais parce que c'est la règle graduée avec laquelle je vais mesurer tout le reste. Elle me dira si l'écoulement est fluvial ou torrentiel, donc dans quel sens l'information circule, donc de quel côté je dois commencer mon calcul. Et je note tout de suite une propriété qu'il faut avoir en tête : \( y_c \) ne dépend ni de la pente ni de la rugosité. Elle caractérise le débit, pas le canal. On peut bétonner le fond ou le laisser s'enherber, redresser la pente ou l'aplanir : tant que le débit ne change pas, la profondeur critique reste la même. C'est ce qui en fait une référence si commode."

Observation : avec 10 m³/s sur 5 m de largeur, le débit linéique n'est que de 2,00 m²/s — un ouvrage modeste.
Analyse du risque : oublier de calculer \( y_c \) conduit à choisir au hasard le sens du calcul, et donc à intégrer l'équation du remous dans la mauvaise direction.
Choix stratégique : je travaille en débit linéique, ce qui fait disparaître la largeur de toutes les expressions du régime critique.
Alternative : pour une section non rectangulaire, il faudrait résoudre \( A^3/T = Q^2/g \) numériquement ; la forme explicite est un privilège du rectangle.
Objectif visé : disposer de la première des deux profondeurs de référence qui gouverneront tout l'exercice.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( q = 2{,}00 \) m²/s | \( y_c = \mathbf{0{,}742} \) m | indépendante de la pente et de la rugosité

Rappel Théorique : la profondeur critique, règle graduée du canal

Pour un débit donné, l'énergie spécifique \( E = y + q^2/(2gy^2) \) passe par un minimum. La profondeur qui réalise ce minimum est la profondeur critique \( y_c \). En annulant la dérivée \( \mathrm{d}E/\mathrm{d}y = 1 - q^2/(gy^3) \), on obtient immédiatement \( y_c = \sqrt[3]{q^2/g} \), et l'on constate que cette condition équivaut exactement à \( Fr = 1 \). La profondeur critique n'est donc pas une définition commode mais un état physique : celui où l'écoulement fait passer le débit au moindre coût énergétique, et où la vitesse de l'eau égale la célérité des ondes de surface. Sa propriété la plus utile en pratique est son indépendance vis-à-vis du canal : ni la pente, ni la rugosité, ni même la présence d'ouvrages n'interviennent dans son expression. Elle ne dépend que du débit et de la largeur. C'est ce qui permet de l'utiliser comme référence stable pour classer tous les états possibles de l'écoulement.

Définition énergétique : \( y_c \) minimise l'énergie spécifique. C'est l'état le plus économe pour un débit donné.
Équivalence : \( \mathrm{d}E/\mathrm{d}y = 0 \iff Fr = 1 \). Les deux définitions du critique sont identiques.
Indépendance : \( y_c \) ne dépend ni de \( S_0 \) ni de \( n \). Elle caractérise le débit, pas l'ouvrage.
Rôle de frontière : \( y > y_c \) : fluvial, l'aval commande. \( y < y_c \) : torrentiel, l'amont commande.
Relation utile : \( Fr = (y_c/y)^{3/2} \) — le régime se lit directement sur le rapport des profondeurs.

Équations Fondamentales

Deux relations : le débit linéique et la profondeur critique, obtenue par minimisation de l'énergie spécifique.

Formule 1 — Débit linéique :

Il ramène le problème à un écoulement par mètre de largeur.

Pourquoi cette formule ?

Parce que dans un canal rectangulaire, toutes les grandeurs du régime critique s'expriment avec \( q \) seul. La largeur y a déjà été absorbée, ce qui allège toutes les écritures.

Contexte de validité : section rectangulaire, où la largeur au miroir ne dépend pas de la profondeur.
Avantage : il rend le problème bidimensionnel et permet de comparer directement des canaux de largeurs différentes.
Paramètre clé : la largeur au fond \( b \), qui est aussi la largeur au miroir puisque les parois sont verticales.
Vérification : \( \text{m}^3\text{/s} / \text{m} = \text{m}^2\text{/s} \). Cohérent.
Limite : la notion perd son intérêt dès que la largeur varie avec la profondeur, comme dans un trapèze.

\[ \begin{aligned} q = \frac{Q}{b} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle découpe le canal en tranches d'un mètre de large. Chaque tranche transporte le même débit et se comporte de façon identique, puisque les parois sont verticales et le fond horizontal en travers. Le problème tridimensionnel se ramène ainsi à une simple coupe.

Décomposition des termes :

\( Q \) : débit volumique total du canal, unité : m³/s
\( b \) : largeur du canal rectangulaire, unité : m
\( q \) : débit par mètre de largeur, unité : m²/s

Formule 2 — Profondeur critique :

Obtenue en minimisant l'énergie spécifique, et non postulée.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle fournit la frontière entre les deux régimes. Tout l'exercice consistera ensuite à situer les profondeurs réelles par rapport à elle.

Contexte de validité : canal rectangulaire, répartition uniforme des vitesses, pression hydrostatique.
Avantage : explicite — une racine cubique suffit, sans itération ni abaque.
Paramètre clé : le débit linéique \( q \), qui intervient à la puissance 2/3 : \( y_c \) croît lentement avec le débit.
Vérification : \( \sqrt[3]{(\text{m}^2\text{/s})^2/(\text{m/s}^2)} = \sqrt[3]{\text{m}^3} = \text{m} \). Cohérent.
Limite : ne pas la confondre avec la profondeur normale : celle-ci dépend du canal, celle-là seulement du débit.

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}y} = 1 - \frac{q^2}{g\,y^3} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad y_c = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle exprime un arbitrage entre hauteur et vitesse. Trop profond, l'eau dépense son énergie en altitude ; trop mince, elle la dépense en vitesse. Le régime critique est le point d'équilibre, et la moindre perturbation y coûte très cher en énergie — c'est pourquoi les écoulements évitent naturellement d'y séjourner.

Décomposition des termes :

\( q^2/g \) : groupement caractéristique du débit, homogène à un volume par mètre, unité : m³
\( \mathrm{d}E/\mathrm{d}y \) : sensibilité de l'énergie à la profondeur, unité : sans dimension
\( y_c \) : profondeur critique, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants cherchent la pente ou le coefficient de Manning dans l'énoncé pour calculer la profondeur critique, et concluent que les données manquent..."

L'approche d'ingénieur : La profondeur critique se déduit d'un bilan d'énergie, pas d'un bilan de frottement. Ni la pente ni la rugosité n'y figurent : elles n'interviennent que dans la profondeur normale. Confondre les deux notions est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre, et elle rend la classification des profils impossible.

L'erreur : chercher \( y_c \) par Manning, ou croire que l'énoncé est incomplet.
La bonne méthode : appliquer directement \( y_c = \sqrt[3]{q^2/g} \) : le débit et la largeur suffisent.
L'astuce de pro : retenir la formule mnémotechnique : « le critique connaît le débit, le normal connaît le canal ».
Le moyen mnémotechnique : \( y_c \) est une propriété de l'eau qui passe ; \( y_n \) est une propriété du tuyau qui la porte.
L'impact direct : sans \( y_c \), impossible de savoir si le profil appartient à la famille M, S ou C — et donc impossible de vérifier le résultat du calcul numérique.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( Q = 10{,}0 \) m³/s, \( b = 5{,}00 \) m
\( g = 9{,}81 \) m/s²
\( q \) en m²/s, \( q^2/g \) en m³
\( y_c \) en m

Deux calculs. Le premier établit le débit linéique. Le second en déduit la profondeur critique et les grandeurs qui l'accompagnent, vitesse et énergie minimale.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Débit linéique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que \( q \) est la variable naturelle du régime critique et qu'elle simplifie toutes les écritures.

Méthodologie du calcul :

Division du débit total par la largeur du canal.

Substitution : \( Q = 10{,}0 \) m³/s ; \( b = 5{,}00 \) m
Piège évité : on divise par la largeur, jamais par la section mouillée : cela donnerait une vitesse.
Hypothèse retenue : section rectangulaire, largeur constante avec la profondeur.
Vérification croisée : \( q \times b = 2{,}00 \times 5{,}00 = 10{,}0 \) m³/s. On retrouve le débit de l'énoncé.
Finalité : disposer de la grandeur qui entre dans l'expression de la profondeur critique.

\[ \begin{aligned} q = \frac{Q}{b} = \frac{10{,}0}{5{,}00} = \mathbf{2{,}00} \text{ m}^2\text{/s} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le débit linéique vaut 2,00 m²/s, valeur modeste caractéristique d'un canal d'irrigation ou d'un fossé de drainage important. À titre de repère, un coursier de barrage travaille couramment à 5 m²/s et davantage. L'ouvrage étudié est donc peu sollicité, ce qui laisse présager des vitesses faibles et un régime fluvial.

Ordre de grandeur : 2 m²/s est une valeur courante pour un canal aménagé de section moyenne.
Impact sur la suite : \( q \) est constant sur tout le tronçon : c'est le fil conducteur de tout l'exercice.
Cohérence : le produit \( q \times b \) redonne bien 10,0 m³/s. Le passage au linéique est correct.
Attention : l'unité m²/s n'est pas une surface par seconde mais un débit par mètre de largeur.
Comparaison : pour la profondeur imposée de 2,50 m, la vitesse ne vaudra que 0,80 m/s : l'écoulement est très lent.

Remarque pédagogique : passer au débit linéique dès la première ligne évite de traîner la largeur dans toutes les équations du régime critique, et fait apparaître les relations remarquables du canal rectangulaire.

Calcul 2 — Profondeur critique et grandeurs associées

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il fournit la référence à laquelle toutes les profondeurs de l'exercice seront comparées.

Méthodologie du calcul :

Racine cubique du groupement \( q^2/g \), puis calcul de la vitesse critique et de l'énergie spécifique minimale.

Substitution : \( q = 2{,}00 \) m²/s ; \( g = 9{,}81 \) m/s²
Piège évité : c'est bien \( q^2 \) et non \( Q^2 \) au numérateur ; employer \( Q \) donnerait une profondeur critique 2,9 fois trop grande.
Hypothèse retenue : canal rectangulaire, ce qui autorise la forme explicite.
Vérification croisée : \( Fr = q/\sqrt{g\,y_c^3} = 2{,}00/\sqrt{9{,}81 \times 0{,}4077} = 1{,}000 \). La condition critique est bien satisfaite.
Finalité : disposer de la frontière entre régimes fluvial et torrentiel.

\[ \begin{aligned} y_c &= \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}} = \sqrt[3]{\frac{2{,}00^2}{9{,}81}} = \sqrt[3]{0{,}40775} = \mathbf{0{,}742} \text{ m} \\ V_c &= \frac{q}{y_c} = \frac{2{,}00}{0{,}7415} = 2{,}697 \text{ m/s} \qquad E_{min} = \frac{3}{2}\,y_c = 1{,}112 \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La profondeur critique vaut 0,742 m. La profondeur imposée par l'ouvrage, 2,50 m, lui est 3,4 fois supérieure : l'écoulement est donc franchement fluvial au droit de l'ouvrage, et le nombre de Froude y vaut seulement 0,16. Cette valeur confirme d'emblée que l'aval commande l'amont, et donc que le calcul de la ligne d'eau devra remonter le courant.

Ordre de grandeur : \( y_c \) croît en \( q^{2/3} \) : doubler le débit ne la multiplierait que par 1,59.
Impact sur la suite : \( y_c \) servira à classer le type de pente en question 3, par comparaison avec la profondeur normale.
Cohérence : la version d'origine annonçait 0,74 m ; la valeur exacte est 0,7415 m. L'accord est parfait.
Attention : la vitesse critique de 2,70 m/s n'est pas la vitesse de l'écoulement : c'est celle qu'il aurait s'il était critique.
Comparaison : l'énergie spécifique minimale du canal vaut 1,112 m, à comparer aux 2,533 m dont dispose l'écoulement à l'aval : il y a une large réserve.

Remarque pédagogique : calculer \( y_c \) en première ligne de tout problème d'écoulement à surface libre est un réflexe professionnel : cette seule valeur situe immédiatement le régime et fixe le sens dans lequel le calcul devra être mené.

RÉSULTAT FINAL

y_c = 0,742 m — indépendante de la pente et de la rugosité du canal

"La profondeur critique caractérise le débit, pas le canal : c'est ce qui en fait une règle graduée fiable."

Question 2 : Profondeur normale par résolution implicite

Dans la tête de l'ingénieur

"Voici la seconde règle graduée, et celle-là dépend entièrement du canal. La profondeur normale est celle que l'écoulement adopterait s'il n'y avait aucun ouvrage : la pente du fond fournit exactement l'énergie que le frottement consomme, et la ligne d'eau devient parallèle au fond. Le calcul est implicite — la profondeur apparaît à la fois dans la section et dans le périmètre mouillé — donc j'itère. Mais je ne me contenterai pas de trouver une racine : je la vérifierai en montrant que la pente motrice y vaut exactement la pente du fond. C'est la définition même du régime uniforme, et c'est un contrôle qui ne coûte qu'une ligne. Enfin, je regrouperai tout ce qui est connu d'un côté de l'équation : cela transforme une équation à deux inconnues apparentes en une simple recherche de racine d'une fonction croissante."

Observation : avec une pente de 0,5 ‰ seulement, on peut s'attendre à une profondeur normale importante : le canal est presque plat.
Analyse du risque : une erreur sur \( y_n \) fausse la classification du profil, donc toute l'interprétation de la courbe de remous.
Choix stratégique : je regroupe les termes connus, puis j'encadre la racine par essais successifs avant de resserrer.
Alternative : une méthode de Newton convergerait plus vite, mais l'encadrement manuel a l'avantage de montrer la monotonie de la fonction.
Objectif visé : obtenir l'asymptote vers laquelle la courbe de remous tendra loin de l'ouvrage.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( Qn/\sqrt{S_0} = 6{,}708 \) | \( y_n = \mathbf{1{,}429} \) m | vérification : \( S_f(y_n) = 5{,}00 \times 10^{-4} = S_0 \) exactement

Rappel Théorique : le régime uniforme et la pente motrice

Le régime uniforme est l'état d'équilibre d'un canal prismatique : la composante du poids parallèle au fond équilibre exactement la force de frottement, l'écoulement n'accélère ni ne ralentit, et la surface libre devient parallèle au fond. La profondeur correspondante est la profondeur normale \( y_n \). Elle se calcule par la formule de Manning-Strickler, que le Mémento ASTEE 2017 énonce sous la forme \( V = K\,R_h^{2/3}\,I^{1/2} \) en précisant que \( I \) est la pente motrice, « égale à la pente de l'ouvrage en régime uniforme ». Cette précision est capitale : elle signifie que remplacer \( I \) par \( S_0 \) n'est légitime que dans ce cas particulier. Le calcul est implicite parce que la profondeur intervient à la fois dans la section mouillée \( A = by \) et dans le périmètre \( P = b + 2y \), donc dans le rayon hydraulique. La fonction \( A\,R_h^{2/3} \) étant strictement croissante, la racine est unique et l'encadrement converge sans ambiguïté.

Définition : \( y_n \) est la profondeur pour laquelle frottement et gravité s'équilibrent exactement.
Conséquence : la ligne d'eau devient parallèle au fond : \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x = 0 \).
Dépendance : \( y_n \) dépend du débit, de la géométrie, de la pente et de la rugosité — c'est-à-dire de tout.
Caractère implicite : la profondeur figure dans \( A \) et dans \( P \) : la résolution est nécessairement itérative.
Contrôle infaillible : à \( y = y_n \), la pente motrice \( S_f \) doit valoir exactement \( S_0 \).

Équations Fondamentales

Deux relations : la formule de Manning réarrangée pour la résolution, et la pente motrice qui servira de vérification.

Formule 1 — Manning-Strickler réarrangée :

Tous les termes connus sont regroupés à droite, tous les termes en \( y \) à gauche.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle transforme une équation d'apparence redoutable en une recherche de racine d'une fonction d'une seule variable, dont on peut de surcroît prouver la monotonie.

Contexte de validité : régime uniforme — c'est la seule situation où \( I = S_0 \), comme le précise le Mémento ASTEE.
Avantage : le membre de droite se calcule une fois pour toutes ; seul le membre de gauche est à itérer.
Paramètre clé : le rayon hydraulique, qui croît avec la profondeur mais de plus en plus lentement.
Vérification : \( \text{m}^2 \times \text{m}^{2/3} = \text{m}^{8/3} \) des deux côtés. Homogène.
Limite : la formule perd son sens si la pente est nulle ou négative : il n'existe alors aucune profondeur normale.

\[ \begin{aligned} Q = \frac{1}{n}\,A\,R_h^{2/3}\,S_0^{1/2} \qquad \Longleftrightarrow \qquad A\,R_h^{2/3} = \frac{Q\,n}{\sqrt{S_0}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle exprime une capacité de transport. Le membre de gauche mesure ce que la géométrie peut offrir : une grande section, bien profilée, transporte beaucoup. Le membre de droite mesure ce que le débit exige compte tenu de la rugosité et de la pente disponible. Le régime uniforme est le point où l'offre égale la demande.

Décomposition des termes :

\( A\,R_h^{2/3} \) : facteur de section, fonction croissante de \( y \), unité : m^8/3
\( Q\,n \) : exigence de transport rapportée à la rugosité, unité : m^10/3/s²·s
\( \sqrt{S_0} \) : moteur gravitaire disponible, unité : sans dimension

Formule 2 — Pente motrice :

Elle exprime la perte de charge par unité de longueur pour une profondeur quelconque.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est valable même hors du régime uniforme. C'est elle qui permettra, dès la question 4, de calculer le frottement section par section le long de la courbe de remous.

Contexte de validité : écoulement graduellement varié, où la formule de Manning reste applicable localement.
Avantage : elle fournit un contrôle immédiat de la profondeur normale : il suffit de vérifier \( S_f = S_0 \).
Paramètre clé : la section \( A \), qui intervient à la puissance 10/3 : \( S_f \) chute très vite quand la profondeur augmente.
Vérification : la forme équivalente \( S_f = n^2 V^2 / R_h^{4/3} \) donne le même résultat. Deux écritures d'une seule relation.
Limite : elle suppose que la relation de frottement établie en uniforme reste valable localement — hypothèse centrale de tout calcul de remous.

\[ \begin{aligned} S_f = \frac{n^2\,Q^2\,P^{4/3}}{A^{10/3}} = \frac{n^2\,V^2}{R_h^{4/3}} \qquad \text{et par definition} \qquad S_f(y_n) = S_0 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure la pente qu'il faudrait donner au canal pour que l'écoulement actuel soit uniforme. Si \( S_f < S_0 \), le canal est plus incliné qu'il ne faudrait : l'écoulement accélère et la ligne d'eau s'abaisse. Si \( S_f > S_0 \), c'est l'inverse. Toute la courbe de remous se déduit de ce déséquilibre.

Décomposition des termes :

\( P^{4/3} \) : influence du périmètre mouillé, siège du frottement, unité : m^4/3
\( A^{10/3} \) : influence de la section, très fortement stabilisante, unité : m^20/3
\( S_f \) : pente de la ligne d'énergie, unité : m/m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants oublient que le périmètre mouillé varie lui aussi avec la profondeur, et traitent \( R_h \) comme une constante..."

L'approche d'ingénieur : Dans un canal rectangulaire, \( A = by \) croît proportionnellement à la profondeur, mais \( P = b + 2y \) croît lui aussi. Le rayon hydraulique \( R_h = A/P \) croît donc moins vite que la profondeur et tend vers une limite. Traiter \( R_h \) comme constant fait croire que la capacité croît en \( y \), alors qu'elle croît approximativement en \( y^{5/3} \) puis se ralentit.

L'erreur : écrire \( R_h = y \), ce qui donnerait \( y_n = 1{,}193 \) m au lieu de 1,429 m — soit 24 cm de moins.
La bonne méthode : recalculer \( A \) et \( P \) à chaque essai, sans jamais figer le rayon hydraulique.
L'astuce de pro : vérifier la valeur trouvée en calculant \( S_f(y_n) \) : elle doit redonner exactement \( S_0 \).
Le moyen mnémotechnique : « l'eau monte, mais les parois montent avec elle ».
L'impact direct : une erreur de 24 cm sur \( y_n \) déplace l'asymptote de la courbe de remous et fausse toute l'estimation de sa portée.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( Q = 10{,}0 \) m³/s, \( n = 0{,}015 \) s/m^1/3
\( S_0 = 5{,}00 \times 10^{-4} \) m/m, donc \( \sqrt{S_0} = 0{,}02236 \)
\( A\,R_h^{2/3} \) en m^8/3
\( y_n \) en m, \( S_f \) en m/m

Trois calculs. Le premier établit la cible, membre de droite constant. Le deuxième encadre puis resserre la racine par essais successifs. Le troisième vérifie le résultat par la pente motrice et caractérise le régime uniforme.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Établissement de la cible

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il fixe la valeur à atteindre et évite de recalculer les termes connus à chaque essai.

Méthodologie du calcul :

Regroupement de tous les termes indépendants de la profondeur dans le membre de droite.

Substitution : \( Q = 10{,}0 \) m³/s ; \( n = 0{,}015 \) ; \( S_0 = 5{,}00 \times 10^{-4} \)
Piège évité : c'est la racine carrée de la pente qui figure au dénominateur, pas la pente elle-même.
Hypothèse retenue : régime uniforme, seule situation où la pente de Manning est celle du fond.
Vérification croisée : \( \sqrt{0{,}0005} = 0{,}02236 \) ; l'ordre de grandeur du quotient, environ 6,7, est cohérent avec un canal de quelques mètres.
Finalité : disposer d'une cible fixe pour la recherche de racine.

\[ \begin{aligned} \frac{Q\,n}{\sqrt{S_0}} = \frac{10{,}0 \times 0{,}015}{\sqrt{5{,}00 \times 10^{-4}}} = \frac{0{,}150}{0{,}022361} = \mathbf{6{,}708} \text{ m}^{8/3} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La cible vaut 6,708 m^8/3. Elle traduit à elle seule l'exigence combinée du débit, de la rugosité et de la faiblesse de la pente. Le facteur \( 1/\sqrt{S_0} \) atteint 44,7 : c'est la pente très faible qui domine, et qui imposera une grande profondeur normale.

Ordre de grandeur : une pente de 0,5 ‰ est très faible ; pour un même débit, une pente de 5 ‰ diviserait la cible par 3,2.
Impact sur la suite : plus la cible est élevée, plus la profondeur normale le sera — et plus le canal sera proche du régime fluvial.
Cohérence : la version d'origine annonçait 6,708 : la valeur est exacte.
Attention : cette cible n'a de sens qu'en régime uniforme ; elle ne s'applique à aucune section de la courbe de remous.
Comparaison : avec un canal enherbé, \( K = 25 \) soit \( n = 0{,}040 \), la cible passerait à 17,9 et la profondeur normale atteindrait 2,93 m.

Remarque pédagogique : regrouper les constantes avant d'itérer divise par trois le travail de calcul et supprime une source récurrente d'erreurs de recopie.

Calcul 2 — Recherche de la profondeur normale par encadrement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que l'équation est implicite et n'admet pas de solution analytique en canal rectangulaire.

Méthodologie du calcul :

Évaluation de \( f(y) = A\,R_h^{2/3} \) pour des valeurs croissantes, encadrement puis resserrement.

Substitution : \( A = 5y \) ; \( P = 5 + 2y \) ; \( R_h = 5y/(5+2y) \)
Piège évité : l'exposant 2/3 porte sur le rayon hydraulique seul, jamais sur le produit \( A\,R_h \).
Hypothèse retenue : fonction \( f \) strictement croissante, ce qui garantit l'unicité de la racine.
Vérification croisée : \( f(1{,}40) = 6{,}513 < 6{,}708 < 6{,}847 = f(1{,}45) \). La racine est bien encadrée.
Finalité : obtenir la profondeur normale à trois décimales.

\[ \begin{aligned} f(1{,}00) &= 5{,}00 \times \left(\frac{5{,}00}{7{,}00}\right)^{2/3} = 5{,}00 \times 0{,}7991 = 3{,}995 \\ f(1{,}40) &= 7{,}00 \times \left(\frac{7{,}00}{7{,}80}\right)^{2/3} = 7{,}00 \times 0{,}9304 = 6{,}513 \\ f(1{,}45) &= 7{,}25 \times \left(\frac{7{,}25}{7{,}90}\right)^{2/3} = 7{,}25 \times 0{,}9444 = 6{,}847 \\ f(1{,}4293) &= 7{,}1467 \times 0{,}9386 = \mathbf{6{,}708} \quad \Longrightarrow \quad y_n = \mathbf{1{,}429} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La profondeur normale vaut 1,429 m. On observe au passage la lenteur avec laquelle le facteur de section progresse : passer de 1,40 à 1,45 m — soit 5 cm — n'augmente la capacité que de 5 %. Cette faible sensibilité est caractéristique des canaux à pente douce, et elle explique pourquoi les courbes de remous y sont si longues.

Ordre de grandeur : \( y_n = 1{,}43 \) m pour une pente de 0,5 ‰ : c'est cohérent avec un canal presque plat.
Impact sur la suite : c'est vers cette valeur que la courbe de remous tendra asymptotiquement loin de l'ouvrage.
Cohérence : la version d'origine s'arrêtait à \( f(1{,}43) \approx 6{,}70 \), soit \( y_n \approx 1{,}43 \) m. Le résultat est confirmé.
Attention : la profondeur imposée à l'aval, 2,50 m, dépasse largement \( y_n \) : l'ouvrage relève la ligne d'eau de plus d'un mètre.
Comparaison : \( y_n = 1{,}429 \) m contre \( y_c = 0{,}742 \) m : la profondeur normale est presque le double de la critique.

Remarque pédagogique : encadrer avant de resserrer est plus sûr que de tâtonner au hasard : deux essais bien choisis suffisent à prouver que la racine existe et qu'elle est unique.

Calcul 3 — Vérification par la pente motrice

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la définition même du régime uniforme : à \( y_n \), la pente motrice doit égaler la pente du fond.

Méthodologie du calcul :

Application de la formule de la pente motrice à la profondeur trouvée, puis caractérisation du régime.

Substitution : \( y_n = 1{,}4293 \) m ; \( A = 7{,}147 \) m² ; \( P = 7{,}859 \) m ; \( R_h = 0{,}9094 \) m
Piège évité : on emploie la profondeur non arrondie : avec 1,43 m, l'égalité ne serait vérifiée qu'à trois décimales.
Hypothèse retenue : la formule de Manning décrit correctement le frottement, hypothèse admise dans tout l'exercice.
Vérification croisée : \( S_f = n^2V^2/R_h^{4/3} \) donne la même valeur. Les deux écritures concordent.
Finalité : confirmer la racine et caractériser l'état de référence du canal.

\[ \begin{aligned} V_n &= \frac{Q}{A} = \frac{10{,}0}{7{,}147} = 1{,}399 \text{ m/s} \qquad Fr_n = \frac{V_n}{\sqrt{g\,y_n}} = \mathbf{0{,}374} \; < \; 1 \\ S_f(y_n) &= \frac{n^2 V_n^2}{R_h^{4/3}} = \frac{0{,}015^2 \times 1{,}399^2}{0{,}9094^{4/3}} = \mathbf{5{,}00 \times 10^{-4}} = S_0 \quad \checkmark \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La pente motrice à la profondeur normale vaut exactement 5,00 × 10⁻⁴, c'est-à-dire la pente du fond : la racine est confirmée par un raisonnement entièrement indépendant de la méthode de recherche. Le nombre de Froude associé, 0,374, montre que le régime uniforme lui-même est fluvial — information capitale pour la question 3.

Ordre de grandeur : \( V_n = 1{,}40 \) m/s est une vitesse typique de canal aménagé, ni érosive ni propice au dépôt.
Impact sur la suite : \( Fr_n < 1 \) confirme que la pente est faible au sens hydraulique — c'est l'objet de la question 3.
Cohérence : \( S_f(y_n) = S_0 \) à la cinquième décimale. La profondeur normale est validée sans ambiguïté.
Attention : cette égalité ne vaut qu'à \( y_n \) : en tout autre point de la courbe de remous, \( S_f \) diffère de \( S_0 \), et c'est cet écart qui courbe la ligne d'eau.
Comparaison : à la profondeur imposée de 2,50 m, la pente motrice ne vaut plus que \( 1{,}07 \times 10^{-4} \), soit 4,7 fois moins que la pente du fond.

Remarque pédagogique : vérifier \( S_f(y_n) = S_0 \) est le contrôle le plus rapide et le plus sûr d'un calcul de profondeur normale. Il ne coûte qu'une ligne et détecte immédiatement toute erreur d'exposant.

RÉSULTAT FINAL

y_n = 1,429 m — vérifiée par S_f(y_n) = S_0 = 5,00 × 10⁻⁴

"L'ouvrage impose 2,50 m là où le canal, laissé à lui-même, n'en demanderait que 1,43 : plus d'un mètre d'exhaussement à résorber."

Question 3 : Type de pente et classification du profil

Dans la tête de l'ingénieur

"C'est le moment le plus rentable de tout l'exercice : en trois comparaisons, sans le moindre calcul lourd, je vais prévoir la forme de la courbe que je m'apprête à calculer numériquement. Et cette prévision me servira de garde-fou : si le calcul de la question 4 me donne une profondeur qui monte vers l'amont, je saurai immédiatement que j'ai commis une erreur de signe. Le raisonnement tient en deux temps. D'abord le type de pente : comme \( y_n > y_c \), le canal est à pente faible, famille M. Ensuite la zone : la profondeur imposée, 2,50 m, dépasse les deux profondeurs de référence, donc zone 1. Le profil est un M1. Et je terminerai en démontrant le signe de \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x \) à partir de l'équation elle-même, plutôt que de le retenir par cœur."

Observation : \( y_n \) vaut 1,93 fois \( y_c \) : le canal est nettement du côté fluvial, sans ambiguïté de classement.
Analyse du risque : se tromper de famille conduirait à attendre une courbe qui monte alors qu'elle descend — et à valider un calcul faux.
Choix stratégique : je démontre le signe de la dérivée au lieu de l'admettre : deux inégalités suffisent, et le résultat devient inattaquable.
Alternative : on peut aussi comparer la pente du fond à la pente critique \( S_c \) ; c'est le même test, exprimé en pentes plutôt qu'en profondeurs.
Objectif visé : disposer d'une prévision qualitative qui validera ou invalidera le calcul numérique à venir.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Pente faible (\( y_n > y_c \), \( S_0/S_c = 0{,}145 \)) | zone 1 | profil M1 | \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x > 0 \) : la ligne d'eau descend vers l'amont

Rappel Théorique : classifier avant de calculer

Un canal prismatique possède deux profondeurs de référence : la normale \( y_n \), qui dépend de tout — débit, géométrie, pente, rugosité — et la critique \( y_c \), qui ne dépend que du débit. Leur ordre relatif définit le type de pente au sens hydraulique, notion qui n'a rien à voir avec la valeur numérique de la pente géométrique : une pente de 1 % peut être « faible » pour un canal lisse et « forte » pour un canal rugueux. Si \( y_n > y_c \), le régime uniforme est fluvial et la pente est dite faible, notée M. Si \( y_n < y_c \), le régime uniforme est torrentiel et la pente est forte, notée S. Ces deux profondeurs découpent ensuite l'espace en trois zones : la zone 1 au-dessus des deux, la zone 2 entre les deux, la zone 3 en dessous des deux. La combinaison famille-zone donne le nom du profil, et surtout son sens de variation, qui se lit directement sur le signe des deux termes de l'équation \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x = (S_0 - S_f)/(1 - Fr^2) \).

Pente faible (M) : \( y_n > y_c \). Le régime uniforme est fluvial : l'aval commande.
Pente forte (S) : \( y_n < y_c \). Le régime uniforme est torrentiel : l'amont commande.
Zone 1 : \( y > y_n > y_c \). Numérateur et dénominateur tous deux positifs : \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x > 0 \).
Asymptotes : un profil M1 tend vers \( y_n \) vers l'amont et vers l'horizontale vers l'aval.
Usage pratique : la classification est un test de vraisemblance gratuit sur tout résultat numérique.

Équations Fondamentales

Deux relations : le critère de pente, exprimé en pentes plutôt qu'en profondeurs, et l'équation de l'écoulement graduellement varié, dont le signe se discute terme à terme.

Formule 1 — Pente critique :

C'est la pente qui rendrait la profondeur normale égale à la critique.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle transforme un classement qualitatif en une mesure. Dire « la pente est faible » n'apprend rien sur la marge ; dire qu'elle vaut 14,5 % de la pente critique situe précisément le canal.

Contexte de validité : canal prismatique et débit donné — \( S_c \) dépend du débit, comme \( y_c \).
Avantage : elle donne un rapport adimensionnel, plus parlant qu'une comparaison de deux profondeurs.
Paramètre clé : la rugosité : un canal plus lisse abaisse \( S_c \) et peut faire basculer la pente de faible à forte.
Vérification : on obtient bien une grandeur sans dimension, comme toute pente.
Limite : \( S_c \) varie avec le débit : un même canal peut être à pente faible en crue et à pente forte en étiage.

\[ \begin{aligned} S_c = \left(\frac{Q\,n}{A(y_c)\,R_h(y_c)^{2/3}}\right)^{2} \qquad \text{avec} \qquad S_0 < S_c \; \Longleftrightarrow \; y_n > y_c \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle répond à la question : quelle pente faudrait-il pour que le canal coule naturellement au régime critique ? En dessous de cette pente, la gravité ne suffit pas à accélérer l'eau jusqu'au critique : l'écoulement reste fluvial et profond. Au-dessus, il bascule en torrentiel.

Décomposition des termes :

\( A(y_c) \) : section mouillée évaluée à la profondeur critique, unité : m²
\( R_h(y_c) \) : rayon hydraulique à la profondeur critique, unité : m
\( S_c \) : pente critique du canal pour ce débit, unité : m/m

Formule 2 — Équation de l'écoulement graduellement varié :

Elle donne la pente de la surface libre, et son signe se discute terme à terme.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle contient toute la classification. Nul besoin de retenir un tableau de profils : le signe du numérateur et celui du dénominateur suffisent à retrouver la forme de n'importe quelle courbe.

Contexte de validité : écoulement graduellement varié : la courbure de la ligne d'eau reste faible et la pression hydrostatique.
Avantage : elle résume tout : régime, sens de variation, position des asymptotes.
Paramètre clé : l'écart \( S_0 - S_f \), qui s'annule exactement à \( y = y_n \) — d'où l'asymptote horizontale au régime uniforme.
Vérification : rapport de deux grandeurs sans dimension. \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x \) est bien une pente.
Limite : elle diverge quand \( Fr \to 1 \) : la théorie graduellement variée cesse d'être valable au voisinage du critique.

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{S_0 - S_f}{1 - Fr^2} \qquad \text{avec} \qquad S_f = S_f(y) \quad \text{et} \quad Fr = \left(\frac{y_c}{y}\right)^{3/2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le numérateur mesure le déséquilibre entre moteur et frein : si la pente du fond fournit plus que le frottement ne consomme, l'écoulement accélère. Le dénominateur dit comment cet excédent se traduit : en régime fluvial, accélérer signifie s'amincir ; en torrentiel, c'est l'inverse. Le signe du rapport contient donc à la fois la cause et la réponse.

Décomposition des termes :

\( S_0 - S_f \) : déséquilibre entre gravité motrice et frottement, unité : m/m
\( 1 - Fr^2 \) : facteur de régime, positif en fluvial et négatif en torrentiel, unité : sans dimension
\( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x \) : pente de la surface libre par rapport au fond, unité : m/m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants jugent qu'une pente de 0,05 % est « faible » parce que le nombre est petit..."

L'approche d'ingénieur : Les qualificatifs « faible » et « forte » ont en hydraulique un sens strictement relatif : ils comparent la pente réelle à la pente critique, laquelle dépend du débit, de la rugosité et de la géométrie. Une pente de 0,05 % est ici faible parce que \( S_c = 0{,}345 \% \), mais un canal très lisse transportant le même débit pourrait avoir une pente critique bien inférieure et basculer en pente forte.

L'erreur : conclure « pente faible » sans calculer \( y_n \), au seul vu de la valeur 0,0005.
La bonne méthode : comparer \( y_n \) à \( y_c \), ou de façon équivalente \( S_0 \) à \( S_c \).
L'astuce de pro : retenir que le critère est toujours un rapport, jamais une valeur absolue.
Le moyen mnémotechnique : « une pente n'est forte que par rapport à ce que l'eau y fait ».
L'impact direct : confondre M et S inverse le sens du calcul : on partirait de l'amont au lieu de l'aval, et la condition aux limites serait la mauvaise.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( y_c = 0{,}7415 \) m, \( y_n = 1{,}4293 \) m, \( y_{aval} = 2{,}50 \) m
\( S_0 = 5{,}00 \times 10^{-4} \) m/m
\( S_c \) en m/m, \( Fr \) sans dimension
\( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x \) en m/m

Trois calculs. Le premier établit le type de pente et le quantifie par la pente critique. Le deuxième identifie la zone et nomme le profil. Le troisième démontre le signe de la dérivée et en donne la valeur à l'origine.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Type de pente

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il détermine la famille du profil et, avec elle, le sens dans lequel le calcul devra être conduit.

Méthodologie du calcul :

Comparaison directe des deux profondeurs de référence, puis quantification par le rapport à la pente critique.

Substitution : \( y_c = 0{,}7415 \) m ; \( y_n = 1{,}4293 \) m ; \( A(y_c) = 3{,}708 \) m² ; \( R_h(y_c) = 0{,}5720 \) m
Piège évité : la pente critique s'évalue à la profondeur critique, pas à la profondeur normale.
Hypothèse retenue : débit constant : la pente critique change si le débit change.
Vérification croisée : les deux tests concordent : \( y_n > y_c \) et \( S_0 < S_c \). Le classement est confirmé deux fois.
Finalité : établir que la famille du profil est M.

\[ \begin{aligned} y_n = 1{,}4293 \text{ m} \; &> \; y_c = 0{,}7415 \text{ m} \qquad \Longrightarrow \qquad \text{pente } \mathbf{faible} \text{ (famille M)} \\ S_c &= \left(\frac{10{,}0 \times 0{,}015}{3{,}708 \times 0{,}5720^{2/3}}\right)^{2} = \mathbf{3{,}448 \times 10^{-3}} \\ \frac{S_0}{S_c} &= \frac{5{,}00 \times 10^{-4}}{3{,}448 \times 10^{-3}} = \mathbf{0{,}145} \; < \; 1 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La pente du fond ne représente que 14,5 % de la pente critique : le canal est très franchement à pente faible, et le classement ne souffre aucune discussion. Le régime uniforme lui-même est fluvial, avec \( Fr_n = 0{,}374 \). Toute perturbation aval se propagera donc vers l'amont.

Ordre de grandeur : il faudrait une pente sept fois plus forte, soit 3,4 ‰, pour amener ce canal au régime critique.
Impact sur la suite : la famille M impose de calculer depuis l'aval, conformément au principe rappelé par le Mémento ASTEE.
Cohérence : \( y_n/y_c = 1{,}93 \) : les deux profondeurs sont bien séparées, sans risque d'ambiguïté de classement.
Attention : ce classement dépend du débit. En étiage, \( y_c \) diminue mais \( y_n \) aussi : il faudrait le refaire.
Comparaison : un canal enherbé, \( K = 25 \), aurait une pente critique de 2,45 % : il serait encore plus nettement à pente faible.

Remarque pédagogique : exprimer le classement sous forme de rapport \( S_0/S_c \) plutôt que d'inégalité donne une information supplémentaire gratuite : la marge qui sépare le canal du basculement de régime.

Calcul 2 — Zone et nom du profil

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la zone détermine le signe des deux termes de l'équation, donc la forme de la courbe.

Méthodologie du calcul :

Positionnement de la profondeur imposée par rapport aux deux profondeurs de référence.

Substitution : \( y_{aval} = 2{,}50 \) m ; \( y_n = 1{,}4293 \) m ; \( y_c = 0{,}7415 \) m
Piège évité : la zone se numérote de haut en bas : la zone 1 est celle des grandes profondeurs, pas des petites.
Hypothèse retenue : la profondeur reste dans la même zone sur tout le tronçon étudié — ce que le calcul confirmera.
Vérification croisée : l'exhaussement imposé, \( 2{,}50 - 1{,}429 = 1{,}071 \) m, est positif et important : on est bien au-dessus de \( y_n \).
Finalité : nommer le profil et prévoir son allure.

\[ \begin{aligned} y_{aval} = 2{,}50 \; > \; y_n = 1{,}429 \; > \; y_c = 0{,}742 \qquad \Longrightarrow \qquad \text{zone } \mathbf{1} \\ \text{famille M} + \text{zone 1} \qquad \Longrightarrow \qquad \text{profil } \mathbf{M1} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le profil est un M1, la courbe de remous la plus fréquente en pratique : c'est celle qui se forme en amont de tout barrage, seuil ou pont sur un cours d'eau à pente douce. Elle est entièrement située au-dessus de la profondeur normale, qu'elle rejoint asymptotiquement vers l'amont. L'exhaussement imposé, 1,071 m, mesure l'ampleur de la perturbation à résorber.

Ordre de grandeur : l'ouvrage relève la ligne d'eau de 75 % par rapport au régime uniforme : c'est une perturbation majeure.
Impact sur la suite : le profil M1 étant très étendu, la question 6 montrera que son influence porte sur plusieurs kilomètres.
Cohérence : une courbe M1 est toujours au-dessus de \( y_n \) : toute profondeur calculée inférieure à 1,429 m signalerait une erreur.
Attention : la courbe ne peut jamais franchir l'asymptote \( y_n \) : elle s'en approche indéfiniment sans l'atteindre.
Comparaison : si l'ouvrage avait imposé 1,00 m, on serait en zone 2 et le profil serait un M2, avec une courbe qui monte vers l'amont.

Remarque pédagogique : la classification est le seul contrôle qualitatif disponible avant le calcul numérique. Elle ne coûte rien et détecte immédiatement une erreur de signe dans le bilan d'énergie.

Calcul 3 — Démonstration du signe et pente de la surface libre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'une règle démontrée vaut mieux qu'une règle mémorisée, et parce que le résultat servira de test à la question 4.

Méthodologie du calcul :

Évaluation du signe de chaque terme de l'équation à la section aval, puis calcul numérique de la dérivée.

Substitution : \( y = 2{,}50 \) m ; \( S_f = 1{,}069 \times 10^{-4} \) ; \( Fr = 0{,}1615 \)
Piège évité : l'axe \( x \) est ici compté vers l'aval dans l'équation différentielle ; c'est en le renversant qu'on obtient le sens de variation vers l'amont.
Hypothèse retenue : écoulement graduellement varié, seule condition de validité de l'équation.
Vérification croisée : \( y > y_n \Rightarrow S_f < S_0 \) et \( y > y_c \Rightarrow Fr < 1 \). Les deux signes se déduisent de la zone.
Finalité : prévoir que la ligne d'eau descend en remontant vers l'amont, et de combien.

\[ \begin{aligned} y > y_n \; &\Longrightarrow \; S_f < S_0 \; \Longrightarrow \; S_0 - S_f > 0 \\ y > y_c \; &\Longrightarrow \; Fr < 1 \; \Longrightarrow \; 1 - Fr^2 > 0 \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{5{,}00 \times 10^{-4} - 1{,}069 \times 10^{-4}}{1 - 0{,}1615^2} = \frac{3{,}931 \times 10^{-4}}{0{,}9739} = \mathbf{4{,}04 \times 10^{-4}} \; > \; 0 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La dérivée est positive : la profondeur croît dans le sens de l'écoulement, donc elle décroît en remontant vers l'amont. Sa valeur, \( 4{,}04 \times 10^{-4} \), signifie que la ligne d'eau s'abaisse d'environ 4 cm sur 100 m au voisinage de l'ouvrage. C'est la prévision que le calcul de la question 4 devra confirmer.

Ordre de grandeur : \( 4{,}04 \times 10^{-4} \) est proche de \( S_0 \) lui-même : près de l'ouvrage, le frottement est presque négligeable devant la pente.
Impact sur la suite : cette valeur annonce une baisse d'environ 4 cm sur le premier pas de 100 m.
Cohérence : la surface libre est presque horizontale : sa pente vaut 4,04 × 10⁻⁴ par rapport au fond, qui descend lui-même de 5 × 10⁻⁴.
Attention : cette dérivée n'est pas constante : elle tend vers zéro quand la profondeur se rapproche de \( y_n \), d'où la lenteur du raccordement.
Comparaison : au voisinage de \( y_n \), la dérivée s'annule : le remous s'étale alors sur des kilomètres pour les derniers centimètres.

Remarque pédagogique : calculer la dérivée avant le pas complet fournit une estimation immédiate du résultat attendu : ici environ 4 cm de baisse sur 100 m. Si le calcul de la question 4 s'en écartait fortement, il faudrait le reprendre.

ZONES DU CANAL ET ALLURE DU PROFIL M1

RÉSULTAT FINAL

Profil M1 — pente faible (S_0/S_c = 0,145), zone 1 ; la ligne d'eau descend vers l'amont

"Trois comparaisons suffisent à prévoir la forme de la courbe. Le calcul numérique ne fera que la chiffrer."

Question 4 : Profondeur à 100 m en amont

Dans la tête de l'ingénieur

"Toute la difficulté de cette question tient dans un signe. En remontant le courant, le fond du canal monte de \( S_0 \Delta x \), mais la charge totale augmente elle aussi de \( S_f \Delta x \), puisque l'énergie ne peut que se dissiper vers l'aval. L'énergie spécifique amont vaut donc \( E_{av} - (S_0 - \bar{S}_f)\Delta x \), avec un signe moins. Écrire un plus donne une profondeur qui augmente vers l'amont — ce qui contredit frontalement le profil M1 établi à la question 3, et fait tourner l'itération dans le vide. Et j'ai un second point de vigilance : la pente motrice fait intervenir \( A^{10/3} \). Pour \( A = 12{,}5 \) m², cela vaut 4 533, pas 3 015. Un exposant fractionnaire mal évalué à la calculatrice, et le frottement est surestimé de moitié."

Observation : la question 3 a prévu une baisse d'environ 4 cm sur 100 m. Tout résultat qui s'en écarterait fortement serait suspect.
Analyse du risque : une erreur de signe donne une courbe qui monte vers l'amont : le remous se propagerait à l'envers et l'emprise du projet serait fausse.
Choix stratégique : j'établis le bilan de charge plutôt que de recopier une formule, et je vérifie le résultat contre la prévision de la question 3.
Alternative : la méthode du pas direct, qui se donne la profondeur et calcule la distance, évite toute itération — elle sera utilisée en question 5.
Objectif visé : obtenir la profondeur à 100 m et valider la cohérence avec la classification du profil.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( E_{av} = 2{,}5326 \) m | \( S_{f,av} = 1{,}069 \times 10^{-4} \) | \( y(100\ \text{m}) = \mathbf{2{,}460} \) m — une baisse de 4,0 cm

Rappel Théorique : le bilan de charge entre deux sections

Entre deux sections d'un canal, la charge totale \( H = z + y + V^2/2g \) diminue toujours dans le sens de l'écoulement, de la quantité \( \bar{S}_f \Delta x \). C'est le seul principe nécessaire ; tout le reste en découle. En notant \( E = y + V^2/2g \) l'énergie spécifique et en remarquant que la cote du fond amont dépasse celle de l'aval de \( S_0 \Delta x \), le bilan s'écrit \( z_{av} + S_0\Delta x + E_{am} = z_{av} + E_{av} + \bar{S}_f \Delta x \), d'où la relation cherchée. Le signe négatif devant le terme de pente traduit un fait simple : sur un canal à pente faible où l'écoulement est très ralenti, la pente du fond « rend » plus d'énergie que le frottement n'en consomme, si bien que l'énergie spécifique décroît en remontant. La méthode dite du pas direct retourne cette relation : plutôt que de chercher la profondeur pour une distance donnée — ce qui est implicite — on se donne la profondeur et l'on calcule la distance, ce qui est explicite.

Principe unique : la charge totale décroît toujours vers l'aval, de \( \bar{S}_f \Delta x \).
Cote du fond : en remontant de \( \Delta x \), le fond monte de \( S_0 \Delta x \).
Résultat : \( E_{am} = E_{av} - (S_0 - \bar{S}_f)\Delta x \) — le signe moins est essentiel.
Pente motrice moyenne : \( \bar{S}_f = (S_{f,am} + S_{f,av})/2 \), d'où le caractère implicite du calcul.
Pas direct : se donner \( y \) et calculer \( \Delta x \) rend la méthode explicite et supprime l'itération.

Équations Fondamentales

Deux relations : le bilan de charge entre deux sections, dont on tire le signe, et la pente motrice moyenne qui rend le calcul implicite.

Formule 1 — Bilan de charge entre deux sections :

Établi à partir de la conservation de la charge totale, diminuée du frottement.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la seule façon d'obtenir le bon signe sans le retenir par cœur. En écrivant la charge totale, cote du fond comprise, l'ambiguïté disparaît.

Contexte de validité : canal prismatique, pertes singulières négligées, pas suffisamment court pour que \( \bar{S}_f \) soit représentative.
Avantage : elle repose sur un principe unique — la charge décroît — sans aucune convention à mémoriser.
Paramètre clé : l'écart \( S_0 - \bar{S}_f \). Ici il vaut \( 3{,}9 \times 10^{-4} \), soit 78 % de la pente du fond.
Vérification : une pente multipliée par une longueur donne bien des mètres, homogènes à une énergie spécifique.
Limite : la moyenne arithmétique de \( S_f \) suppose une variation quasi linéaire sur le pas — hypothèse à vérifier, ce que fera la question 5.

\[ \begin{aligned} \underbrace{z_{av} + S_0\Delta x + E_{am}}_{\text{charge amont}} = \underbrace{z_{av} + E_{av}}_{\text{charge aval}} + \bar{S}_f\Delta x \qquad \Longrightarrow \qquad E_{am} = E_{av} - (S_0 - \bar{S}_f)\,\Delta x \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle met en balance deux effets contraires. En remontant, on gagne de l'altitude — donc de la charge — mais on remonte aussi la ligne d'énergie, qui était plus haute en amont. Comme la pente du fond l'emporte largement sur le frottement dans cette zone très ralentie, le bilan net est une perte d'énergie spécifique vers l'amont, donc une profondeur plus faible.

Décomposition des termes :

\( S_0 \Delta x \) : dénivelée du fond entre les deux sections, unité : m
\( \bar{S}_f \Delta x \) : perte de charge par frottement sur le pas, unité : m
\( E_{am}, E_{av} \) : énergies spécifiques amont et aval, unité : m

Formule 2 — Pente motrice moyenne :

Elle rend le calcul implicite, puisqu'elle dépend de la profondeur cherchée.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la pente motrice varie le long du pas. Prendre celle de la seule section aval surestimerait le frottement, et prendre celle de l'amont l'inverse : la moyenne des deux est le compromis naturel.

Contexte de validité : pas court devant l'échelle de variation de \( S_f \), condition à vérifier a posteriori.
Avantage : elle est du second ordre en \( \Delta x \), donc beaucoup plus précise qu'une évaluation à une seule extrémité.
Paramètre clé : la profondeur amont, inconnue au départ : d'où la nécessité d'itérer.
Vérification : \( \bar{S}_f \) doit rester encadrée par les deux valeurs extrêmes. C'est une moyenne, pas une extrapolation.
Limite : sur un pas trop long, la moyenne arithmétique devient insuffisante ; il faut alors subdiviser.

\[ \begin{aligned} \bar{S}_f = \frac{S_f(y_{am}) + S_f(y_{av})}{2} \qquad \text{avec} \qquad S_f(y) = \frac{n^2 Q^2 P(y)^{4/3}}{A(y)^{10/3}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle reconnaît que le frottement n'est pas uniforme sur le tronçon. La section amont, plus étroite, freine davantage que la section aval. La perte réelle se situe entre les deux, et la moyenne en donne une excellente approximation tant que le pas reste modéré.

Décomposition des termes :

\( S_f(y_{av}) \) : pente motrice à la section connue, unité : m/m
\( S_f(y_{am}) \) : pente motrice à la section cherchée, unité : m/m
\( A^{10/3} \) : puissance de la section, à évaluer avec soin, unité : m^20/3

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants — et la version d'origine de cet exercice — écrivent \( E_{am} = E_{av} + (S_0 - \bar{S}_f)\Delta x \), avec un signe plus..."

L'approche d'ingénieur : Ce signe se retrouve en trois lignes à partir de la charge totale, cote du fond comprise. Avec un plus, l'énergie spécifique amont serait supérieure à celle de l'aval, donc la profondeur augmenterait vers l'amont — ce qui contredit le profil M1 démontré à la question 3. Le symptôme est reconnaissable : l'itération ne converge jamais, car aucune profondeur ne satisfait la relation.

L'erreur : viser \( E_{am} = 2{,}566 \) m au lieu de 2,494 m, ce qui conduirait à \( y = 2{,}53 \) m — soit une hausse de 3 cm vers l'amont.
La bonne méthode : écrire la charge totale complète, \( z + y + V^2/2g \), et poser que sa diminution vers l'aval vaut \( \bar{S}_f \Delta x \).
L'astuce de pro : contrôler le signe par la classification : un profil M1 impose une profondeur décroissante vers l'amont.
Le moyen mnémotechnique : « en remontant un M1, on redescend vers la normale ».
L'impact direct : avec le mauvais signe, la ligne d'eau s'élève indéfiniment vers l'amont et l'emprise de la zone inondable devient infinie.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( y_{av} = 2{,}50 \) m, \( \Delta x = 100 \) m
\( A \) en m², \( P \) en m, \( R_h \) en m
\( E \) en m, \( S_f \) en m/m
\( S_0 \Delta x = 0{,}0500 \) m — dénivelée du fond sur le pas

Trois calculs. Le premier caractérise complètement la section aval, connue. Le deuxième établit le bilan d'énergie et en déduit l'énergie spécifique cible. Le troisième itère jusqu'à convergence sur la profondeur amont.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Caractérisation de la section aval

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule section entièrement connue : elle sert de point de départ à toute la remontée.

Méthodologie du calcul :

Géométrie, vitesse, énergie spécifique et pente motrice à la profondeur imposée.

Substitution : \( y_{av} = 2{,}50 \) m ; \( A = 12{,}50 \) m² ; \( P = 10{,}00 \) m ; \( R_h = 1{,}250 \) m
Piège évité : \( A^{10/3} = 12{,}50^{10/3} = \mathbf{4\,533} \), et non 3 015. L'exposant fractionnaire doit être vérifié.
Hypothèse retenue : la formule de Manning s'applique localement, avec la pente motrice de la section.
Vérification croisée : la forme \( S_f = n^2V^2/R_h^{4/3} = 0{,}015^2 \times 0{,}64/1{,}3465 \) donne la même valeur, \( 1{,}069 \times 10^{-4} \).
Finalité : disposer de l'énergie spécifique et de la pente motrice de départ.

\[ \begin{aligned} A_{av} &= 5{,}00 \times 2{,}50 = 12{,}50 \text{ m}^2 \qquad P_{av} = 5{,}00 + 2 \times 2{,}50 = 10{,}00 \text{ m} \\ V_{av} &= \frac{10{,}0}{12{,}50} = 0{,}800 \text{ m/s} \qquad E_{av} = 2{,}50 + \frac{0{,}800^2}{19{,}62} = \mathbf{2{,}5326} \text{ m} \\ S_{f,av} &= \frac{0{,}015^2 \times 10{,}0^2 \times 10{,}00^{4/3}}{12{,}50^{10/3}} = \frac{0{,}0225 \times 21{,}544}{4\,532{,}8} = \mathbf{1{,}069 \times 10^{-4}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La pente motrice à l'aval ne vaut que 1,069 × 10⁻⁴, soit 4,7 fois moins que la pente du fond : l'eau y est si lente — 0,80 m/s — que le frottement devient presque négligeable. C'est cet écart considérable entre \( S_0 \) et \( S_f \) qui fait descendre la ligne d'eau en remontant vers l'amont.

Ordre de grandeur : la hauteur cinétique ne vaut que 3,3 cm sur 2,50 m de profondeur : l'énergie est presque entièrement potentielle.
Impact sur la suite : \( E_{av} \) et \( S_{f,av} \) sont les deux données du bilan d'énergie du calcul suivant.
Cohérence : \( S_{f,av} < S_0 \), comme l'exige le profil M1 démontré en question 3. Le signe du numérateur est confirmé.
Attention : la version d'origine annonçait \( 1{,}608 \times 10^{-4} \), soit 50 % de trop, en évaluant \( 12{,}50^{10/3} \) à 3 015 au lieu de 4 533.
Comparaison : à la profondeur normale, la pente motrice vaudrait \( 5{,}00 \times 10^{-4} \) : elle est ici divisée par 4,7 par l'exhaussement.

Remarque pédagogique : calculer la pente motrice par les deux écritures équivalentes — celle en \( A^{10/3} \) et celle en \( V^2/R_h^{4/3} \) — coûte trente secondes et détecte immédiatement une erreur d'exposant fractionnaire.

Calcul 2 — Bilan d'énergie et énergie spécifique cible

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'étape où l'on se trompe : le signe du terme de pente décide du sens de variation de toute la courbe.

Méthodologie du calcul :

Première estimation de la pente motrice moyenne, puis application du bilan de charge.

Substitution : \( E_{av} = 2{,}5326 \) m ; \( S_0 = 5{,}00 \times 10^{-4} \) ; \( \Delta x = 100 \) m
Piège évité : le signe moins devant le terme de pente. Il se déduit de la charge totale, il ne se retient pas.
Hypothèse retenue : première itération avec \( \bar{S}_f = S_{f,av} \), en l'absence de la profondeur amont.
Vérification croisée : \( E_{am} < E_{av} \) : l'énergie spécifique décroît vers l'amont, conformément au profil M1.
Finalité : obtenir l'énergie spécifique que devra vérifier la profondeur cherchée.

\[ \begin{aligned} \bar{S}_f^{(0)} &= S_{f,av} = 1{,}069 \times 10^{-4} \\ E_{am} &= E_{av} - (S_0 - \bar{S}_f)\,\Delta x = 2{,}5326 - (5{,}00 - 1{,}069)\times 10^{-4} \times 100 \\ &= 2{,}5326 - 0{,}03931 = \mathbf{2{,}4933} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'énergie spécifique perd 3,93 cm sur les 100 m remontés. Ce chiffre est la différence entre les 5,00 cm de dénivelée du fond et les 1,07 cm consommés par le frottement : la pente du fond l'emporte très largement. C'est la traduction quantitative du profil M1, et l'ordre de grandeur correspond précisément à la dérivée calculée en question 3.

Ordre de grandeur : 3,93 cm de perte d'énergie spécifique pour 5,00 cm de dénivelée : le frottement n'en reprend que 21 %.
Impact sur la suite : cette énergie cible sera inversée pour obtenir la profondeur, sur la branche fluviale de la courbe \( E(y) \).
Cohérence : \( E_{am} = 2{,}4933 < E_{av} = 2{,}5326 \). Le signe est bien celui qu'impose le profil M1.
Attention : la version d'origine visait 2,5652 m, valeur supérieure à \( E_{av} \) : aucune profondeur de la branche fluviale ne pouvait la satisfaire en descendant.
Comparaison : l'énergie spécifique minimale du canal vaut 1,112 m : on en est très loin, la branche fluviale est donc sans ambiguïté.

Remarque pédagogique : écrire la charge totale complète avant de simplifier prend une ligne de plus mais supprime définitivement l'incertitude sur le signe. C'est un investissement rentable.

Calcul 3 — Itération sur la profondeur amont

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la pente motrice moyenne dépend de la profondeur cherchée : il faut boucler.

Méthodologie du calcul :

Inversion de l'énergie spécifique sur la branche fluviale, puis réévaluation de la pente motrice moyenne et reprise.

Substitution : \( E(y) = y + 0{,}20387/y^2 \) — forme obtenue en remplaçant \( Q \), \( b \) et \( g \)
Piège évité : l'équation \( E(y) = E_{am} \) a deux racines ; on retient celle qui est supérieure à \( y_c \), donc fluviale.
Hypothèse retenue : l'écoulement reste fluvial sur tout le pas — vérifié puisque \( y \gg y_c \).
Vérification croisée : la baisse obtenue, 4,01 cm, est à comparer aux 4,04 cm prévus par la dérivée de la question 3. Accord à 1 % près.
Finalité : livrer la profondeur à 100 m en amont de l'ouvrage.

\[ \begin{aligned} \text{iteration 1} &: \; E_{am} = 2{,}4933 \; \Longrightarrow \; y_{am} = 2{,}4596 \text{ m} \\ \text{iteration 2} &: \; \bar{S}_f = \frac{1{,}117 + 1{,}069}{2}\times 10^{-4} = 1{,}093 \times 10^{-4} \; \Longrightarrow \; E_{am} = 2{,}4936 \; \Longrightarrow \; y_{am} = \mathbf{2{,}4599} \text{ m} \\ \text{iteration 3} &: \; \text{variation} < 0{,}1 \text{ mm} \quad \Longrightarrow \quad \text{convergence} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La profondeur à 100 m en amont vaut 2,460 m, soit une baisse de 4,0 cm par rapport à la section de contrôle. Le résultat est conforme à tous égards : il est inférieur à \( y_{aval} \), supérieur à \( y_n \), et il coïncide à 1 % près avec la prévision issue de la dérivée. La convergence est atteinte dès la deuxième itération, la correction de pente motrice étant très faible.

Ordre de grandeur : 4 cm sur 100 m, c'est une ligne d'eau quasiment horizontale — caractéristique d'un remous de barrage.
Impact sur la suite : à ce rythme, il faudra des kilomètres pour résorber l'exhaussement de 1,071 m — c'est l'objet de la question 6.
Cohérence : \( y_n = 1{,}429 < 2{,}460 < 2{,}500 = y_{aval} \). Le résultat respecte le profil M1.
Attention : la version d'origine ne parvenait à aucun résultat : ses essais à 2,40 puis 2,48 m ne convergeaient pas, la cible d'énergie étant fausse.
Comparaison : la surface libre descend de 4,0 cm quand le fond monte de 5,0 cm : la cote absolue de l'eau monte donc de 1,0 cm vers l'amont.

Remarque pédagogique : distinguer la profondeur, comptée depuis le fond, de la cote de la surface libre, comptée depuis un plan horizontal, évite bien des confusions : ici la première descend tandis que la seconde monte légèrement.

RÉSULTAT FINAL

y(100 m) = 2,460 m — une baisse de 4,0 cm, conforme au profil M1

"Toute la question tenait dans un signe. Il ne se retient pas : il se démontre à partir de la charge totale."

Question 5 : Fiabilité du pas et distance associée à une profondeur

Dans la tête de l'ingénieur

"L'énoncé m'a imposé un seul pas de 100 m. Est-ce raisonnable ? La question mérite d'être posée, parce que la méthode repose sur une moyenne arithmétique de la pente motrice entre les deux extrémités — approximation d'autant meilleure que le pas est court. Beaucoup d'auteurs recommandent par prudence de subdiviser. Je vais donc vérifier plutôt que présumer : je refais le calcul avec deux, quatre, puis dix pas, et je compare. Le résultat est instructif : l'écart entre un pas unique et cent pas est de deux microns. Autrement dit, la prudence était ici superflue — et je peux le prouver. Enfin, je retournerai la méthode : plutôt que de chercher la profondeur à une distance donnée, je me donnerai la profondeur et je calculerai la distance. Le calcul devient alors explicite, sans aucune itération."

Observation : sur 100 m, la profondeur ne varie que de 1,6 % : la pente motrice ne peut donc pas varier beaucoup non plus.
Analyse du risque : subdiviser inutilement coûte du temps sans rien apporter ; ne pas subdivider quand il le faudrait fausse le profil.
Choix stratégique : je quantifie l'erreur de discrétisation au lieu de la craindre ou de l'ignorer.
Alternative : la méthode du pas direct supprime l'itération : elle est plus rapide dès qu'on veut tracer un profil complet.
Objectif visé : valider la qualité numérique du résultat de la question 4 et disposer d'un outil de tracé rapide.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Écart 1 pas / 100 pas : 0,002 mm | variation de \( S_f \) sur le pas : 4,3 % | \( y = 2{,}40 \) m atteint à \( \Delta x = \mathbf{251} \) m

Rappel Théorique : erreur de discrétisation et méthode du pas direct

Toute intégration numérique d'une équation différentielle introduit une erreur de discrétisation, qui décroît lorsque le pas diminue. Dans la méthode employée ici, cette erreur provient d'une seule approximation : le remplacement de la pente motrice réelle, variable le long du pas, par la moyenne arithmétique de ses valeurs aux deux extrémités. Cette approximation est excellente lorsque \( S_f \) varie peu et de façon quasi linéaire sur le pas, ce qui se produit chaque fois que la profondeur elle-même varie peu. Le critère pratique est donc simple : si la profondeur ne change que de quelques pour cent sur le pas, la moyenne suffit largement. À l'inverse, dans les zones où la ligne d'eau se courbe fortement — près du régime critique, ou dans les profils M2 et M3 — il faut resserrer le pas. La méthode du pas direct offre par ailleurs une alternative élégante : en se donnant la profondeur et en calculant la distance, on transforme un problème implicite en un calcul direct, ce qui permet de tracer un profil complet sans jamais itérer.

Source d'erreur unique : la moyenne arithmétique de \( S_f \) sur le pas.
Critère pratique : faible variation de \( y \) sur le pas implique faible variation de \( S_f \), donc moyenne fiable.
Zones sensibles : voisinage du régime critique, où la ligne d'eau se courbe brutalement.
Pas direct : on impose \( \Delta y \) et l'on obtient \( \Delta x \) — méthode explicite, sans itération.
Bonne pratique : vérifier l'indépendance au pas plutôt que de la supposer, dans un sens comme dans l'autre.

Équations Fondamentales

Deux relations : l'indicateur de variation de la pente motrice sur un pas, et la méthode du pas direct inversée.

Formule 1 — Variation relative de la pente motrice :

Elle mesure la qualité de l'approximation par la moyenne arithmétique.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle répond directement à la question posée : la moyenne est-elle représentative ? Si les deux valeurs extrêmes sont proches, la réponse est évidemment oui.

Contexte de validité : tout pas de calcul d'un profil graduellement varié.
Avantage : elle se calcule à partir de grandeurs déjà obtenues : aucun travail supplémentaire.
Paramètre clé : la variation de profondeur sur le pas, qui commande celle de \( S_f \).
Vérification : rapport de deux pentes. Sans dimension.
Limite : c'est un indicateur et non une borne d'erreur rigoureuse : seule la comparaison de plusieurs discrétisations la fournit.

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{S_f} = \frac{\left|S_f(y_{am}) - S_f(y_{av})\right|}{\bar{S}_f} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure de combien le frottement change entre les deux extrémités du pas. Si l'écart reste de quelques pour cent, remplacer la courbe réelle par une droite entre les deux points ne fait pratiquement aucune différence : l'erreur commise porte sur une correction déjà petite.

Décomposition des termes :

\( S_f(y_{am}) \) : pente motrice à l'extrémité amont du pas, unité : m/m
\( S_f(y_{av}) \) : pente motrice à l'extrémité aval du pas, unité : m/m
\( \varepsilon_{S_f} \) : variation relative sur le pas, unité : sans dimension

Formule 2 — Méthode du pas direct :

On se donne la profondeur et l'on calcule la distance, ce qui supprime l'itération.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle inverse la difficulté. La profondeur étant choisie, la pente motrice moyenne est immédiatement connue, et la distance s'obtient par une simple division.

Contexte de validité : canal prismatique — c'est la condition qui rend la méthode applicable.
Avantage : explicite : aucune itération, ce qui la rend idéale pour tracer un profil complet.
Paramètre clé : le dénominateur \( S_0 - \bar{S}_f \), qui tend vers zéro quand la profondeur approche \( y_n \) : les pas deviennent alors très longs.
Vérification : \( \text{m} / (\text{m/m}) = \text{m} \). Le résultat est bien une longueur.
Limite : elle ne permet pas de fixer a priori les abscisses de calcul : on obtient les distances, pas l'inverse.

\[ \begin{aligned} \Delta x = \frac{E_{av} - E_{am}}{S_0 - \bar{S}_f} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle répond à : quelle longueur faut-il pour perdre cette énergie ? Le numérateur est l'énergie spécifique à céder, le dénominateur le taux auquel elle se cède par mètre. Plus la profondeur approche la normale, plus ce taux s'annule, et plus la distance requise s'allonge — jusqu'à devenir infinie.

Décomposition des termes :

\( E_{av} - E_{am} \) : énergie spécifique cédée entre les deux sections, unité : m
\( S_0 - \bar{S}_f \) : taux de variation de l'énergie spécifique par mètre, unité : m/m
\( \Delta x \) : distance vers l'amont, unité : m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants décrètent qu'un pas de 100 m est « trop grand » ou « acceptable » sans jamais le vérifier..."

L'approche d'ingénieur : La finesse d'un pas ne se juge pas en mètres mais par rapport à l'échelle de variation du phénomène. Ici la ligne d'eau ne bouge que de 4 cm sur 100 m : le pas est court au regard de ce qui se passe. Le test décisif consiste à refaire le calcul avec un pas deux fois plus petit et à comparer. Si l'écart est négligeable, le pas convient ; sinon, on subdivise encore.

L'erreur : subdiviser en dix pas « par sécurité », au prix de dix fois plus de calculs, pour un gain de deux microns.
La bonne méthode : faire un seul test de division par deux, et conclure sur cette base.
L'astuce de pro : regarder la variation relative de \( S_f \) sur le pas : elle prédit l'erreur sans refaire le calcul.
Le moyen mnémotechnique : « un pas se juge à ce que la courbe y fait, pas à sa longueur ».
L'impact direct : le même pas de 100 m serait largement insuffisant dans un profil M2 près du régime critique, où la ligne d'eau plonge de plusieurs décimètres en quelques mètres.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( y(100\ \text{m}) = 2{,}4599 \) m — résultat de la question 4
\( S_f \) en m/m, \( \varepsilon_{S_f} \) sans dimension
\( E \) en m, \( \Delta x \) en m
Écarts exprimés en mm pour rester lisibles

Trois calculs. Le premier subdivise le pas et compare les résultats. Le deuxième explique cette insensibilité par la faible variation de la pente motrice. Le troisième applique la méthode du pas direct pour obtenir la distance associée à une profondeur donnée.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Test d'indépendance au pas

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un résultat numérique n'a de valeur que si l'on a vérifié qu'il ne dépend pas de la discrétisation.

Méthodologie du calcul :

Reprise du calcul de la question 4 avec des pas de plus en plus fins, à distance totale constante.

Substitution : distance totale 100 m, découpée en 1, 2, 4, 10 puis 100 pas
Piège évité : chaque sous-pas doit être itéré séparément : la profondeur de sortie de l'un devient la donnée du suivant.
Hypothèse retenue : même condition aux limites aval dans tous les cas, soit \( y = 2{,}50 \) m.
Vérification croisée : les valeurs se stabilisent dès deux pas : la convergence est immédiate.
Finalité : prouver que le pas imposé par l'énoncé est largement suffisant.

\[ \begin{aligned} 1 \text{ pas de } 100 \text{ m} &: \; y = 2{,}459857 \text{ m} \\ 2 \text{ pas de } 50 \text{ m} &: \; y = 2{,}459855 \text{ m} \\ 10 \text{ pas de } 10 \text{ m} &: \; y = 2{,}459855 \text{ m} \\ 100 \text{ pas de } 1 \text{ m} &: \; y = 2{,}459855 \text{ m} \qquad \Longrightarrow \qquad \text{ecart} = \mathbf{0{,}002} \text{ mm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'écart entre un pas unique et cent pas atteint deux microns. Le pas de 100 m imposé par l'énoncé est donc non seulement acceptable mais très largement suffisant — au point que subdiviser serait un pur gaspillage. Ce constat n'était pas acquis d'avance : il fallait le vérifier.

Ordre de grandeur : 0,002 mm est cent mille fois plus petit que la précision d'une mesure de niveau sur le terrain.
Impact sur la suite : on pourra tracer le profil de la question 6 avec des pas de 25 m sans aucune inquiétude.
Cohérence : la convergence est monotone et immédiate, ce qui est le comportement attendu d'un schéma d'ordre deux.
Attention : cette conclusion vaut pour ce profil. Un M2 près du critique exigerait des pas de quelques mètres.
Comparaison : l'erreur de discrétisation est négligeable devant l'incertitude sur le coefficient de Manning, qui porte facilement sur 5 à 10 %.

Remarque pédagogique : un test d'indépendance au pas coûte un seul calcul supplémentaire et transforme un résultat numérique en résultat démontré. C'est le réflexe qui distingue un calcul d'ingénieur d'un calcul d'écolier.

Calcul 2 — Explication : variation de la pente motrice sur le pas

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il explique le résultat précédent et fournit un critère utilisable sans refaire le calcul.

Méthodologie du calcul :

Comparaison des pentes motrices aux deux extrémités du pas et de leur écart relatif.

Substitution : \( S_f(2{,}4599) = 1{,}117 \times 10^{-4} \) ; \( S_f(2{,}50) = 1{,}069 \times 10^{-4} \)
Piège évité : c'est la variation relative qui compte, pas la variation absolue : les deux pentes sont minuscules en valeur absolue.
Hypothèse retenue : variation de \( S_f \) quasi linéaire sur le pas — d'autant plus vrai que l'écart est faible.
Vérification croisée : la profondeur ne varie que de 1,6 % sur le pas ; l'écart de 4,3 % sur \( S_f \) est cohérent avec la forte puissance de \( A \).
Finalité : disposer d'un critère prédictif de la qualité du pas.

\[ \begin{aligned} \frac{\Delta y}{y} &= \frac{2{,}500 - 2{,}460}{2{,}500} = \mathbf{1{,}6\ \%} \\ \varepsilon_{S_f} &= \frac{(1{,}117 - 1{,}069)\times 10^{-4}}{1{,}093 \times 10^{-4}} = \mathbf{4{,}3\ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La pente motrice ne varie que de 4,3 % entre les deux extrémités du pas. Remplacer une variation aussi douce par sa moyenne ne peut introduire qu'une erreur du second ordre sur une correction déjà faible, ce qui explique les deux microns constatés. On note au passage l'amplification : 1,6 % sur la profondeur donne 4,3 % sur \( S_f \), soit un facteur voisin de 2,7, cohérent avec la puissance 10/3 de la section.

Ordre de grandeur : une variation de \( S_f \) inférieure à 10 % sur un pas est le signe d'une discrétisation confortable.
Impact sur la suite : ce critère permet de choisir le pas a priori pour le tracé complet de la question 6.
Cohérence : le facteur d'amplification 2,7 est proche de la dérivée logarithmique théorique de \( S_f \) par rapport à \( y \).
Attention : cet indicateur ne remplace pas le test d'indépendance au pas : il le prédit, il ne le démontre pas.
Comparaison : près du régime critique, une variation de 1,6 % de \( y \) peut produire plus de 100 % sur la courbure de la ligne d'eau.

Remarque pédagogique : comprendre pourquoi un résultat est insensible au pas vaut mieux que de le constater : cela permet de transposer la conclusion à d'autres configurations sans tout recalculer.

Calcul 3 — Distance associée à une profondeur de 2,40 m

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la méthode inversée est celle qu'on emploie en pratique pour tracer un profil, et parce qu'elle corrige une valeur erronée de la version d'origine.

Méthodologie du calcul :

Calcul de l'énergie spécifique et de la pente motrice à la profondeur choisie, puis application directe de la formule du pas direct.

Substitution : \( y_{am} = 2{,}40 \) m ; \( E_{am} = 2{,}4354 \) m ; \( S_f(2{,}40) = 1{,}193 \times 10^{-4} \)
Piège évité : le numérateur est \( E_{av} - E_{am} \), positif en remontant : la distance obtenue est comptée vers l'amont.
Hypothèse retenue : pente motrice moyenne sur le tronçon, comme précédemment.
Vérification croisée : en repartant du résultat de la question 4, la profondeur passe de 2,460 à 2,400 m sur environ 151 m supplémentaires, soit 251 m au total. Les deux voies concordent.
Finalité : obtenir directement la distance, sans itération.

\[ \begin{aligned} E_{am} &= 2{,}40 + \frac{0{,}20387}{2{,}40^2} = 2{,}4354 \text{ m} \\ \bar{S}_f &= \frac{1{,}193 + 1{,}069}{2}\times 10^{-4} = 1{,}131 \times 10^{-4} \\ \Delta x &= \frac{2{,}5326 - 2{,}4354}{(5{,}00 - 1{,}131)\times 10^{-4}} = \frac{0{,}09723}{3{,}869 \times 10^{-4}} = \mathbf{251} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Il faut remonter 251 m pour que la profondeur descende de 2,50 à 2,40 m. On observe déjà le ralentissement caractéristique du profil M1 : les 4 premiers centimètres ont coûté 100 m, les 6 suivants en coûtent 151. Plus la ligne d'eau se rapproche de la normale, plus le dénominateur \( S_0 - \bar{S}_f \) s'amenuise et plus la distance s'allonge.

Ordre de grandeur : 251 m pour 10 cm de baisse : le remous s'étale sur des distances considérables.
Impact sur la suite : en extrapolant ce ralentissement, on devine que la portée totale se comptera en kilomètres.
Cohérence : la valeur est positive et supérieure aux 100 m de la question 4, comme il se doit pour une profondeur plus faible.
Attention : la version d'origine annonçait −298 m : le signe était inversé, et la valeur surestimée de 19 % du fait de la pente motrice erronée.
Comparaison : le dénominateur est passé de \( 3{,}91 \times 10^{-4} \) à \( 3{,}87 \times 10^{-4} \) : il commence à peine à décroître, mais le mouvement est enclenché.

Remarque pédagogique : la méthode du pas direct est celle qu'on emploie en pratique pour tracer un profil : on choisit une série de profondeurs entre la valeur imposée et la profondeur normale, et l'on obtient directement les abscisses correspondantes.

RÉSULTAT FINAL

Δx(y = 2,40 m) = 251 m — et le pas de 100 m est validé à 0,002 mm près

"Les quatre premiers centimètres ont coûté 100 m, les six suivants en coûtent 151 : le remous ralentit, et il ne fait que commencer."

Question 6 : Portée du remous et volume stocké

Dans la tête de l'ingénieur

"Une profondeur à 100 m n'engage personne. La question qui décide de l'emprise foncière d'un projet, c'est : jusqu'où l'ouvrage relève-t-il la ligne d'eau ? Or une courbe M1 rejoint son asymptote de façon exponentielle : les premiers décimètres se résorbent vite, les derniers centimètres coûtent des kilomètres. Il faut donc se donner un critère d'arrêt, car mathématiquement la courbe ne rejoint jamais la normale. Je retiendrai 5 cm, ordre de grandeur de ce qu'on sait mesurer sur le terrain. Et je vais confronter le résultat à un ordre de grandeur simple : si toute l'énergie excédentaire devait se dissiper à la seule pente du fond, il faudrait \( (y_{aval}-y_n)/S_0 \), soit 2,1 km. Le calcul complet me dira si cette estimation de coin de table est optimiste ou pessimiste — et de combien."

Observation : l'exhaussement à l'ouvrage atteint 1,071 m, soit 75 % de la profondeur normale : la perturbation est majeure.
Analyse du risque : sous-estimer la portée conduit à omettre des riverains de l'étude d'impact et de l'emprise foncière.
Choix stratégique : je fixe un critère d'arrêt explicite — 5 cm — plutôt que d'arrêter le calcul arbitrairement.
Alternative : on pourrait retenir un critère relatif, par exemple 1 % de l'exhaussement initial ; il donne ici une portée voisine.
Objectif visé : chiffrer la longueur d'influence de l'ouvrage et le volume d'eau qu'il immobilise.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Portée à 5 cm : 4 280 m | à 1 cm : 5 730 m | volume stocké : 9 050 m³ | soit 2,0 fois l'ordre de grandeur \( (y_{aval}-y_n)/S_0 \)

Rappel Théorique : pourquoi un remous n'a pas de fin

Une courbe M1 tend vers la profondeur normale de façon asymptotique : elle s'en approche indéfiniment sans jamais l'atteindre. La raison est visible dans l'équation elle-même — le numérateur \( S_0 - S_f \) s'annule exactement à \( y = y_n \), donc la pente de la surface libre tend vers zéro en même temps que l'écart de profondeur. Le rapprochement se fait ainsi de plus en plus lentement, selon une décroissance de type exponentiel. Il en résulte qu'un remous n'a pas de longueur au sens strict : il n'a qu'une portée conventionnelle, définie par un critère que l'ingénieur doit choisir et annoncer. Les valeurs usuelles retiennent un écart résiduel de quelques centimètres, ou une fraction de l'exhaussement initial. Un ordre de grandeur commode s'obtient en supposant que toute la hauteur excédentaire se résorbe à la seule pente du fond, soit \( L \approx (y_{aval}-y_n)/S_0 \) ; l'expérience montre que la portée réelle vaut couramment deux fois cette estimation, précisément à cause du ralentissement asymptotique.

Approche asymptotique : \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x \to 0 \) quand \( y \to y_n \). La courbe n'atteint jamais l'asymptote.
Conséquence : la portée est conventionnelle et dépend du critère d'arrêt annoncé.
Ordre de grandeur : \( (y_{aval}-y_n)/S_0 \) — estimation basse, à corriger d'un facteur voisin de 2.
Volume stocké : intégrale de l'exhaussement sur la portée : c'est un volume d'écrêtement gratuit.
Enjeu réglementaire : la portée détermine l'emprise de l'étude d'impact et les parcelles concernées.

Équations Fondamentales

Deux relations : l'ordre de grandeur de la portée, et le volume stocké obtenu par intégration du profil.

Formule 1 — Ordre de grandeur de la portée :

Estimation rapide, obtenue en négligeant le frottement devant la pente du fond.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle donne en une division un ordre de grandeur exploitable dès l'esquisse d'un projet, avant tout calcul détaillé.

Contexte de validité : profils M1 sur canal à pente faible, où le frottement est nettement inférieur à la pente du fond.
Avantage : immédiate, et elle donne une borne inférieure — donc une estimation prudente dans le bon sens.
Paramètre clé : la pente du fond, au dénominateur : une pente deux fois plus faible double la portée.
Vérification : \( \text{m}/(\text{m/m}) = \text{m} \). Le résultat est bien une longueur.
Limite : elle sous-estime systématiquement la portée, car elle ignore le ralentissement asymptotique.

\[ \begin{aligned} L_{ordre} \approx \frac{y_{aval} - y_n}{S_0} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle demande : sur quelle longueur le fond descend-il d'une hauteur égale à l'exhaussement ? Si la surface libre était rigoureusement horizontale, c'est exactement là que le fond viendrait la rejoindre. La réalité est plus lente, parce que la surface libre n'est pas horizontale : elle redescend elle aussi, quoique moins vite.

Décomposition des termes :

\( y_{aval} - y_n \) : exhaussement imposé par l'ouvrage, unité : m
\( S_0 \) : pente du fond, seule à résorber cet exhaussement, unité : m/m
\( L_{ordre} \) : longueur d'influence estimée, unité : m

Formule 2 — Volume d'eau stocké :

Intégrale de l'exhaussement sur toute la portée du remous.

Pourquoi cette formule ?

Parce que ce volume est à la fois un risque — de l'eau immobilisée en zone habitée — et une ressource : il écrête naturellement les pointes de crue.

Contexte de validité : canal prismatique de largeur constante : le volume s'obtient par simple intégration en largeur.
Avantage : il se calcule sans effort supplémentaire, en sommant les trapèzes du profil déjà tracé.
Paramètre clé : l'exhaussement local \( y(x) - y_n \), maximal à l'ouvrage et décroissant vers l'amont.
Vérification : \( \text{m} \times \text{m} \times \text{m} = \text{m}^3 \). Cohérent.
Limite : en rivière naturelle, la largeur croît avec la profondeur et le volume réel serait bien supérieur.

\[ \begin{aligned} \mathcal{V} = b\int_0^{L}\left[y(x) - y_n\right]\mathrm{d}x \;\approx\; b\sum_{i}\frac{(y_i - y_n) + (y_{i+1} - y_n)}{2}\,\Delta x_i \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure l'eau en trop. C'est le volume qui ne serait pas là si l'ouvrage n'existait pas : de l'eau que l'ouvrage a retenue et qui devra bien s'écouler un jour. À l'échelle d'une crue, ce volume amortit la pointe ; à l'échelle d'une parcelle riveraine, il définit la surface inondée.

Décomposition des termes :

\( y(x) - y_n \) : exhaussement local par rapport au régime uniforme, unité : m
\( b \) : largeur du canal, constante ici, unité : m
\( \mathcal{V} \) : volume d'eau stocké par le remous, unité : m³

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants arrêtent le calcul dès que la profondeur « ressemble » à la profondeur normale, sans annoncer de critère..."

L'approche d'ingénieur : Une courbe M1 n'atteint jamais son asymptote : la portée dépend entièrement du critère retenu. Annoncer « le remous s'étend sur 4 km » sans préciser à quel écart résiduel n'a donc aucun sens opposable. La bonne pratique consiste à annoncer le critère en même temps que la valeur, et si possible à en donner deux, pour montrer la sensibilité.

L'erreur : annoncer une portée sans critère, ou arrêter le calcul quand on est fatigué de le poursuivre.
La bonne méthode : fixer un écart résiduel explicite et l'annoncer avec le résultat.
L'astuce de pro : donner deux critères — ici 5 cm et 1 cm — pour montrer que la portée passe de 4,3 à 5,7 km.
Le moyen mnémotechnique : « un remous n'a pas de fin, seulement un seuil de tolérance ».
L'impact direct : entre les deux critères, l'écart de portée atteint 1,45 km — largeur d'une commune entière dans une étude d'impact.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( y_{aval} = 2{,}50 \) m, \( y_n = 1{,}4293 \) m
\( S_0 = 5{,}00 \times 10^{-4} \) m/m
Portées en m, volume en m³
Pas de calcul retenu : 5 m, validé par la question 5

Trois calculs. Le premier établit l'ordre de grandeur de la portée. Le deuxième intègre le profil complet et donne les portées réelles pour deux critères. Le troisième chiffre le volume d'eau stocké et le traduit en grandeurs parlantes.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Ordre de grandeur de la portée

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il faut toujours disposer d'une estimation à la main avant de lancer un calcul long, ne serait-ce que pour en contrôler l'ordre de grandeur.

Méthodologie du calcul :

Division de l'exhaussement imposé par la pente du fond.

Substitution : \( y_{aval} - y_n = 2{,}500 - 1{,}429 = 1{,}071 \) m ; \( S_0 = 5{,}00 \times 10^{-4} \)
Piège évité : l'exhaussement se mesure par rapport à la profondeur normale, jamais par rapport à la critique.
Hypothèse retenue : surface libre supposée horizontale — hypothèse volontairement grossière, d'où le caractère d'ordre de grandeur.
Vérification croisée : la valeur obtenue, environ 2 km, est déjà considérable : elle annonce un problème d'emprise foncière.
Finalité : disposer d'un repère pour juger le résultat du calcul complet.

\[ \begin{aligned} L_{ordre} = \frac{y_{aval} - y_n}{S_0} = \frac{2{,}500 - 1{,}429}{5{,}00 \times 10^{-4}} = \frac{1{,}071}{5{,}00 \times 10^{-4}} = \mathbf{2\,141} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'estimation rapide donne 2,1 km. Ce chiffre suppose une surface libre parfaitement horizontale, ce qui est faux : la ligne d'eau redescend elle aussi, quoique plus lentement que le fond. La portée réelle sera donc supérieure, et le calcul complet va préciser de combien.

Ordre de grandeur : 2,1 km pour un exhaussement d'un mètre sur une pente de 0,5 ‰ : le rapport est purement géométrique.
Impact sur la suite : cette valeur servira de référence pour juger le facteur correctif à appliquer.
Cohérence : l'estimation est nécessairement une borne inférieure, puisqu'elle néglige le ralentissement asymptotique.
Attention : annoncer 2,1 km comme résultat serait une sous-estimation de moitié — dangereuse dans une étude d'impact.
Comparaison : sur une pente de 5 ‰, la même perturbation ne porterait que sur 214 m : la pente est le facteur dominant.

Remarque pédagogique : une estimation en une ligne avant tout calcul long est le meilleur garde-fou contre les erreurs d'ordre de grandeur : si le résultat final avait donné 200 m ou 40 km, il aurait fallu chercher l'erreur.

Calcul 2 — Portées réelles pour deux critères

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la réponse attendue par le maître d'ouvrage : la longueur de vallée effectivement concernée.

Méthodologie du calcul :

Intégration pas à pas vers l'amont, avec un pas de 5 m, jusqu'à ce que l'écart à la profondeur normale passe sous chaque critère.

Substitution : critères successifs de 0,50 m ; 0,20 m ; 0,10 m ; 0,05 m ; 0,01 m
Piège évité : la courbe n'atteint jamais \( y_n \) : sans critère d'arrêt, la boucle ne se termine pas.
Hypothèse retenue : pas de 5 m, très largement suffisant d'après le test d'indépendance de la question 5.
Vérification croisée : la portée à 5 cm vaut exactement 2,00 fois l'ordre de grandeur — coïncidence remarquable et facile à retenir.
Finalité : livrer la longueur d'influence avec son critère explicite.

\[ \begin{aligned} y - y_n < 0{,}50 \text{ m} &: \; x = 1\,595 \text{ m} \qquad y - y_n < 0{,}20 \text{ m} : \; x = 2\,855 \text{ m} \\ y - y_n < 0{,}10 \text{ m} &: \; x = 3\,605 \text{ m} \qquad y - y_n < \mathbf{0{,}05} \text{ m} : \; x = \mathbf{4\,280} \text{ m} \\ y - y_n < 0{,}01 \text{ m} &: \; x = \mathbf{5\,730} \text{ m} \qquad \frac{4\,280}{2\,141} = \mathbf{2{,}00} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La portée à 5 cm atteint 4 280 m, soit exactement le double de l'estimation rapide. Le ralentissement asymptotique saute aux yeux : la moitié de l'exhaussement se résorbe en 1,6 km, mais passer de 50 cm à 5 cm d'écart en réclame 2,7 de plus. Et pour descendre à 1 cm d'écart, il faut encore 1 450 m supplémentaires.

Ordre de grandeur : plus de 4 km de vallée concernés par un ouvrage qui ne relève l'eau que d'un mètre.
Impact sur la suite : c'est cette longueur qui définit l'emprise de l'étude d'impact et les riverains à consulter.
Cohérence : le rapport de 2,00 avec l'ordre de grandeur est conforme à ce que l'on observe couramment sur les profils M1.
Attention : le choix du critère change le résultat de 34 % : il doit impérativement accompagner la valeur annoncée.
Comparaison : à 100 m de l'ouvrage, l'exhaussement vaut encore 1,03 m ; il faut 1,6 km pour le ramener à la moitié.

Remarque pédagogique : retenir le facteur 2 entre l'estimation \( (y_{aval}-y_n)/S_0 \) et la portée à quelques centimètres est un excellent réflexe de prédimensionnement : il permet d'annoncer un ordre de grandeur fiable en réunion, sans calcul.

Calcul 3 — Volume d'eau stocké par le remous

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce volume est à la fois un risque d'inondation et une capacité d'écrêtement : il intéresse directement le projet.

Méthodologie du calcul :

Sommation par trapèzes de l'exhaussement le long du profil, multipliée par la largeur du canal.

Substitution : profil intégré de 0 à 4 280 m ; \( b = 5{,}00 \) m ; pas de 5 m
Piège évité : c'est l'écart \( y - y_n \) qu'on intègre, pas la profondeur : le volume du régime uniforme ne compte pas.
Hypothèse retenue : largeur constante : le canal est rectangulaire à parois verticales.
Vérification croisée : un volume moyen approché, \( \frac{1}{2} \times 1{,}071 \times 4\,280 \times 5{,}00 = 11\,460 \) m³, encadre correctement le résultat par excès.
Finalité : traduire le remous en volume, grandeur immédiatement parlante.

\[ \begin{aligned} \mathcal{V} &= b\int_0^{4\,280}\left[y(x) - y_n\right]\mathrm{d}x = \mathbf{9\,050} \text{ m}^3 \\ \frac{\mathcal{V}}{Q} &= \frac{9\,050}{10{,}0} = 905 \text{ s} = \mathbf{15} \text{ minutes de debit} \\ \text{surface en eau} &= 4\,280 \times 5{,}00 = 21\,400 \text{ m}^2 = \mathbf{2{,}1} \text{ ha} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le remous immobilise 9 050 m³ d'eau supplémentaires, l'équivalent de quinze minutes de débit ou de près de quatre piscines olympiques. Ce volume est réparti sur 2,1 hectares de plan d'eau. Pour un canal rectangulaire à parois verticales, l'emprise ne s'élargit pas ; en rivière naturelle, où la largeur croît avec la profondeur, l'emprise latérale serait bien plus importante.

Ordre de grandeur : 9 050 m³, c'est un volume d'écrêtement non négligeable à l'échelle d'un petit bassin versant.
Impact sur la suite : ce volume retarde la propagation d'une crue et écrête légèrement sa pointe — effet favorable rarement valorisé.
Cohérence : l'estimation triangulaire donne 11 460 m³ ; le calcul exact, 9 050 m³. L'écart de 21 % traduit la convexité du profil.
Attention : en rivière naturelle, la section s'élargit avec la profondeur et le volume réel serait plusieurs fois supérieur.
Comparaison : quinze minutes de débit, c'est peu pour une crue de plusieurs heures, mais suffisant pour décaler la pointe de quelques minutes.

Remarque pédagogique : traduire un profil hydraulique en volume, surface et durée est ce qui permet à un maître d'ouvrage non hydraulicien de comprendre l'effet de son projet. Une courbe de remous ne parle qu'aux spécialistes ; 2 hectares et 9 000 m³ parlent à tout le monde.

PROFIL COMPLET DE LA COURBE DE REMOUS SUR 6 KILOMÈTRES

RÉSULTAT FINAL

Portée = 4 280 m (critère 5 cm) — 9 050 m³ stockés sur 2,1 ha

"Un ouvrage qui relève l'eau d'un mètre se fait sentir sur plus de quatre kilomètres. C'est cela, l'emprise réelle d'un projet."

SCHÉMA BILAN — LA CHAÎNE COMPLÈTE DES CALCULS

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche de tracé d'une courbe de remous :

J'ai compris que \( y_c \) caractérise le débit tandis que \( y_n \) caractérise le canal — et que confondre les deux rend la classification impossible. J'ai vérifié la profondeur normale en montrant que la pente motrice y vaut exactement la pente du fond. J'ai classé le profil avant de le calculer , et utilisé cette prévision comme garde-fou du résultat numérique. J'ai démontré le signe du bilan d'énergie en écrivant la charge totale, cote du fond comprise, au lieu de le mémoriser. J'ai testé l'indépendance au pas plutôt que de présumer que 100 m étaient trop ou assez. J'ai annoncé la portée du remous avec son critère , sachant qu'une courbe M1 n'atteint jamais son asymptote.

La mission est remplie. Le canal présente une profondeur critique de 0,742 m, qui ne dépend que du débit, et une profondeur normale de 1,429 m, vérifiée par l'égalité \( S_f(y_n) = S_0 = 5{,}00 \times 10^{-4} \). Comme \( y_n > y_c \), la pente est faible au sens hydraulique — elle ne représente que 14,5 % de la pente critique — et la profondeur imposée de 2,50 m dépasse les deux : le profil est un M1. L'équation de l'écoulement graduellement varié donne alors une dérivée positive, ce qui signifie que la ligne d'eau descend en remontant vers l'amont. Le bilan d'énergie sur un pas de 100 m conduit à une profondeur de 2,460 m, soit une baisse de 4,0 cm parfaitement conforme à la prévision. Le test d'indépendance au pas montre un écart de 0,002 mm entre un pas unique et cent pas : la discrétisation imposée était largement suffisante. Enfin, l'intégration complète du profil établit que l'ouvrage se fait sentir sur 4 280 m — critère de 5 cm d'écart résiduel — et qu'il immobilise 9 050 m³ d'eau sur 2,1 hectares.

La plus-value technique de cette note tient à quatre points. D'abord, elle a corrigé deux erreurs de la version d'origine, dont l'une empêchait purement et simplement de répondre à la question posée. La première est arithmétique : la pente motrice à la section aval y était évaluée à \( 1{,}608 \times 10^{-4} \) alors qu'elle vaut \( 1{,}069 \times 10^{-4} \), soit une surestimation de 50 %. L'origine en est identifiable : \( 12{,}50^{10/3} \) y était calculé à 3 015 au lieu de 4 533 — une erreur d'exposant fractionnaire à la calculatrice, que la double écriture \( S_f = n^2V^2/R_h^{4/3} \) aurait immédiatement détectée. La seconde erreur est plus grave car elle est conceptuelle : le bilan d'énergie y était écrit \( E_{am} = E_{av} + (S_0 - \bar{S}_f)\Delta x \), avec un signe plus. Or en remontant le courant, le fond monte de \( S_0\Delta x \) tandis que la ligne d'énergie ne remonte que de \( \bar{S}_f\Delta x \) : l'énergie spécifique décroît vers l'amont, et le signe correct est un moins. Avec le mauvais signe, la cible d'énergie devenait 2,565 m au lieu de 2,494 m, valeur supérieure à celle de la section aval : aucune profondeur ne pouvait la satisfaire en descendant, les essais successifs à 2,40 puis 2,48 m ne convergeaient pas, et la question restait sans réponse. Le résultat correct, 2,460 m, contredit d'ailleurs frontalement ce que le mauvais signe suggérait : 2,533 m, c'est-à-dire une ligne d'eau qui monterait vers l'amont, en contradiction directe avec le profil M1 établi trois questions plus tôt.

Le deuxième apport est d'avoir fait de la classification un instrument de contrôle et non une formalité. Les trois comparaisons de la question 3 — pente faible, zone 1, profil M1 — permettent de prévoir avant tout calcul que la ligne d'eau doit descendre vers l'amont, et la dérivée \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x = 4{,}04 \times 10^{-4} \) annonce même l'ordre de grandeur du résultat : environ 4 cm sur 100 m. Le calcul complet donne 4,01 cm, soit un accord à 0,5 % près. Cette prévision est ce qui aurait immédiatement signalé l'erreur de signe de la version d'origine. Le troisième apport est le test d'indépendance au pas, entièrement nouveau. Beaucoup d'auteurs recommandent par prudence de subdiviser les pas de calcul ; nous avons préféré vérifier. L'écart entre un pas unique de 100 m et cent pas de 1 m atteint deux microns, et l'explication est claire : la pente motrice ne varie que de 4,3 % sur le pas, si bien que la moyenne arithmétique est excellente. Nous avons également corrigé la distance associée à une profondeur de 2,40 m, que la version d'origine annonçait à −298 m — signe inversé et valeur surestimée de 19 % du fait de la pente motrice erronée — alors qu'elle vaut 251 m vers l'amont.

Le quatrième apport est la question de la portée, absente de l'énoncé d'origine et pourtant la seule qui décide de l'emprise d'un projet. Une courbe M1 tend vers la profondeur normale de façon asymptotique : elle ne l'atteint jamais, et sa portée n'existe donc que par rapport à un critère annoncé. Avec un écart résiduel de 5 cm, l'influence de l'ouvrage s'étend sur 4 280 m ; avec 1 cm, sur 5 730 m. Le choix du critère change donc le résultat de 34 %, ce qui interdit d'annoncer une portée sans le préciser. Un enseignement pratique se dégage de ce calcul : l'estimation rapide \( (y_{aval}-y_n)/S_0 \) donne 2 141 m, et la portée réelle à 5 cm vaut exactement 2,00 fois cette valeur. Ce facteur 2 constitue un excellent réflexe de prédimensionnement. Enfin, l'intégration du profil chiffre le volume immobilisé par le remous à 9 050 m³, l'équivalent de quinze minutes de débit, répartis sur 2,1 hectares de plan d'eau. Il faut souligner que ce chiffre vaut pour un canal rectangulaire à parois verticales : en rivière naturelle, où la largeur croît avec la profondeur, le volume et surtout l'emprise latérale seraient plusieurs fois supérieurs.

Sur le plan normatif, cet exercice relève pour l'essentiel de la mécanique des fluides et non de la normalisation : la profondeur critique découle de la minimisation de l'énergie spécifique, la classification des profils de la simple comparaison de trois profondeurs, et la méthode d'intégration du bilan de charge entre deux sections. Aucun coefficient empirique n'intervient, à l'exception du coefficient de Manning lui-même. Le Mémento technique ASTEE 2017 apporte néanmoins trois éléments utiles, tous vérifiés dans le document. Son équation 35 énonce la formule de Manning-Strickler \( V = K\,R_h^{2/3}\,I^{1/2} \) en précisant que \( I \) désigne la « pente motrice de l'écoulement », égale à la pente de l'ouvrage « en régime uniforme » — précision qui est le cœur même de cet exercice, puisqu'elle établit que dans une courbe de remous, il faut employer \( S_f \) et non \( S_0 \). Son Tableau 14 donne les coefficients de Strickler pour les sections ouvertes, dont K = 70 pour les ouvrages superficiels en béton ; le \( n = 0{,}015 \) de l'énoncé équivaut à \( K = 66{,}7 \), soit un écart de 4,8 % qui confirme la cohérence de la donnée avec un canal bétonné. Le référentiel rappelle enfin qu'en régime fluvial, « le niveau aval se répercute sur les niveaux amont » et qu'« il faut donc connaître les conditions aux limites amont (débit) et aval (niveau d'eau) » : c'est exactement la structure du problème traité. En revanche, nous devons signaler que le fonds documentaire ne contient ni la classification des profils de remous — la nomenclature M1, M2, S1 et suivantes, due à Bakhmeteff — ni aucune description de la méthode du pas direct. Ces éléments ne relèvent pas de la normalisation et se démontrent intégralement, ce que fait la présente correction. Signalons pour finir que la version d'origine affirmait, au sujet de la profondeur critique, que « les normes interviennent dans le choix des coefficients de sécurité ou des méthodes de calcul globales intégrant ces principes » : aucun document du fonds ne prescrit de coefficient de sécurité sur une profondeur critique, et cette formulation vague a été retirée.

Hydraulique à Surface LibreÉtape 38 sur 60

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