Exercice corrigé NF EN ISO 80000-5

Analyse d'un Système Fermé

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 25 mars 2026• 100 min de lecture

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Étude de cas · Note de calculs Réf. NTH-24-131

Analyse d'un système fermé en compression polytropique

Banc de qualification d'une chemise de cylindre refroidie : vérification de la pression et de la température atteintes en fin de compression, de la puissance de commande et de la chaleur que la chemise doit évacuer.

NiveauBTS 2ᵉ année · Licence 2

DomaineThermodynamique appliquée

ThèmeSystème fermé et transformation polytropique

PrérequisÉquation d'état des gaz parfaits sous forme massique · premier principe pour un système fermé · travail des forces de pression · capacités thermiques massiques

1. La commande CAHIER DES CHARGES

À rendre le 09/07

Note de service NS-24-131 · Bureau des essais, pour le Bureau d'études thermique · 30 juin 2026

La chemise de refroidissement du cylindre d'essai doit être qualifiée avant lancement de la série. L'essai du 26 juin a enfermé 0,500 kg d'air sec dans le cylindre à 100,0 kPa absolus, puis l'a comprimé de 0,400 m³ à 0,100 m³ en 60 s sous l'action du vérin hydraulique. Le tracé pression-volume relevé pendant l'essai donne un indice polytropique de 1,300. Aucune sonde de température n'équipait le volume d'air : les températures doivent être établies par le calcul.

Le dossier de qualification part au service qualité le 10 juillet, et la commande des chemises de série suit immédiatement. Quatre points en dépendent : la pression maximale atteinte dans le cylindre, la température que voient les joints du piston, la puissance appelée au groupe hydraulique, et la puissance que la chemise doit réellement évacuer.

R. D., responsable du bureau des essais

Ce qui est demandé La pression en fin de compression (kPa), les températures initiale et finale de l'air (K et °C), le travail reçu par l'air et la puissance mécanique correspondante (kJ et kW), enfin la variation d'énergie interne, la chaleur échangée et la puissance à évacuer par la chemise (kJ et kW).

Critère de validation Quatre limites, toutes portées par le dossier du banc : pression finale \( P_2 \leq 700 \) kPa (pression maximale admissible du cylindre, plaque constructeur) ; température finale \( \theta_2 \leq 160 \) °C (limite d'emploi des joints de piston, fiche matière) ; puissance mécanique \( \leq 1{,}50 \) kW (groupe hydraulique) ; puissance à évacuer \( \leq 0{,}400 \) kW (chemise de refroidissement).

2. Le site et l'ouvrage PLAN

PLAN DE REPÉRAGE

Élévation du banc et coupe A-A — cylindre d'essai à chemise refroidie Éch. 1:20 · Indice C · 30 juin 2026 · Plan nº PL-24-131-02

01 Cylindre d'essai — alésage ∅ 800 mm, pression maximale admissible 700 kPa
02 Piston et joints — limite d'emploi des joints 160 °C
03 Chemise de refroidissement à eau — espace annulaire, entrée d'eau à 15 °C
04 Vérin hydraulique de commande et son groupe — puissance nominale 1,50 kW
05 Capteurs de pression et de position — tracé pression-volume de l'essai

Le schéma fixe la géométrie du cylindre, la position de la chemise autour du volume d'air et l'emplacement des deux capteurs. Il ne dit pas la position du piston en fin de course, ni la température de l'air : ce sont précisément les grandeurs que la note doit établir.

Ordre de grandeur : 400 litres d'air enfermés, soit le volume d'une grande armoire — ramenés au quart en une minute par un piston de 80 cm de diamètre.

3. Le dossier PIÈCES & DONNÉES

Le dossier réunit le procès-verbal de l'essai du 26 juin, l'extrait de la fiche technique du banc et la composition de l'air sec dont se déduisent les deux constantes du fluide. Les grandeurs, symboles et unités employés sont ceux de la NF EN ISO 80000-5 ; les températures sont exprimées sur l'échelle internationale de température ITS-90, et la constante molaire des gaz découle des valeurs fixées du SI.

« Essai du 26 juin 2026, cylindre d'essai seul, vannes d'admission et de purge fermées pendant toute la compression. Masse d'air enfermée déterminée par double pesée du cylindre, avant et après remplissage : 0,500 kg, air séché sur silicagel. Pression initiale au manomètre absolu étalonné : 100,0 kPa. Volume initial 0,400 m³, volume final 0,100 m³, lus au capteur de position. Durée de la compression : 60 s, à vitesse de piston constante. L'ajustement du tracé pression-volume en coordonnées logarithmiques donne une droite de pente 1,300, coefficient de détermination 0,998 : la transformation est polytropique d'indice \( n = 1{,}300 \) sur toute la course. »

Origine : bureau des essais · 26 juin 2026 · PV nº B-26-0188.

« Cylindre d'essai, alésage 800 mm. Pression maximale admissible 700 kPa en valeur absolue, portée sur la plaque du constructeur. Joints de piston en élastomère fluoré, limite d'emploi 160 °C en service continu. Groupe hydraulique de commande : 1,50 kW. Chemise de refroidissement à eau : capacité 0,400 kW pour une eau entrant à 15 °C. »

Origine : constructeur du banc · 14 mars 2024 · fiche FT-BE-800.

Composition molaire de l'air sec et masses molaires des constituants

Constituant	Fraction molaire
Diazote N₂ — diatomique, \( M \) = 28,0 g·mol⁻¹	0,78
Dioxygène O₂ — diatomique, \( M \) = 32,0 g·mol⁻¹	0,21
Argon Ar — monoatomique, \( M \) = 39,9 g·mol⁻¹	0,01

Ligne retenue : le mélange dans son ensemble, l'air du banc étant séché mais non séparé. Sa masse molaire vaut \( M = 0{,}78 \times 28{,}0 + 0{,}21 \times 32{,}0 + 0{,}01 \times 39{,}9 = 29{,}0 \) g·mol⁻¹, d'où la constante massique \( R = R_m/M = 8{,}314/29{,}0 = 0{,}287 \) kJ·kg⁻¹·K⁻¹. Le mélange étant diatomique à 99 %, cinq degrés de liberté y sont actifs, ce qui donne \( c_v = \tfrac{5}{2}R = 0{,}718 \) et \( c_p = \tfrac{7}{2}R = 1{,}005 \) kJ·kg⁻¹·K⁻¹. Domaine dans lequel ces valeurs se lisent : les cinq degrés de liberté supposent la rotation des molécules pleinement active et leur vibration encore gelée, ce qui vaut de la température ambiante à environ 600 K. Au-delà, la vibration se peuple et \( c_v \) croît vers \( \tfrac{7}{2}R \). La note vérifiera que les deux températures de l'essai restent dans cette plage. Ces valeurs supposent en outre l'air sec : l'humidité abaisse la masse molaire du mélange et relève \( R \). La table porte enfin les coordonnées critiques des deux constituants majoritaires, qui servent à contrôler que le modèle du gaz parfait s'applique : 126,2 K et 3,39 MPa pour le diazote, 154,8 K et 5,08 MPa pour le dioxygène.

Données de l'étude

ÉTAT INITIAL, TRANSFORMATION ET PROPRIÉTÉS DU FLUIDE

Symbole	Description	Valeur	Unité	Condition de validité
\( m \)	Masse d'air enfermée dans le cylindre Pièce nº1 — 26/06/2026	0,500	kg	Double pesée, vannes fermées : le système est fermé, la masse est constante sur toute la transformation
\( P_1 \)	Pression initiale Pièce nº1 — 26/06/2026	100,0	kPa	Valeur absolue, manomètre absolu étalonné — aucune addition de la pression atmosphérique
\( V_1 \)	Volume initial occupé par l'air Pièce nº1 — 26/06/2026	0,400	m³	Donnée d'essai — sans condition
\( V_2 \)	Volume final occupé par l'air Pièce nº1 — 26/06/2026	0,100	m³	Donnée d'essai — sans condition
\( n \)	Indice polytropique de la transformation Pièce nº1 — 26/06/2026	1,300	—	Mesuré sur ce banc, chemise en service ; constant sur la course (ajustement à 0,998). À ne pas confondre avec \( \gamma = 1{,}400 \), qui ne vaudrait que sans échange de chaleur
\( c_v \)	Capacité thermique massique à volume constant de l'air Pièce nº3 — table de référence	0,718	kJ·kg⁻¹·K⁻¹	Air sec assimilé à un gaz diatomique, \( c_v = \tfrac{5}{2}R \) : rotation active et vibration gelée, soit de l'ambiante à environ 600 K. À vérifier contre \( T_1 \) et \( T_2 \)
\( R \)	Constante massique de l'air BIPM — brochure du SI, 9ᵉ éd. Pièce nº3 — table de référence	0,287	kJ·kg⁻¹·K⁻¹	\( R = R_m/M \) avec \( M = 29{,}0 \) g·mol⁻¹ pour de l'air sec à 78 % N₂, 21 % O₂, 1 % Ar. Change avec l'humidité
\( \Delta t \)	Durée de la compression Pièce nº1 — 26/06/2026	60	s	Vitesse de piston constante ; c'est cette lenteur qui rend la transformation quasi statique et permet l'échange thermique par la chemise

LIMITES DU MATÉRIEL À RESPECTER

Symbole	Description	Valeur	Unité	Condition de validité
\( P_{\text{max}} \)	Pression maximale admissible du cylindre Pièce nº2 — plaque constructeur	700	kPa	Valeur absolue, à température d'emploi ≤ 200 °C selon la plaque
\( \theta_{\text{j}} \)	Limite d'emploi des joints de piston Pièce nº2 — fiche matière	160	°C	Élastomère fluoré, service continu ; des pointes plus élevées sont admises en service intermittent, régime non applicable ici
\( P_{\text{gr}} \)	Puissance nominale du groupe hydraulique Pièce nº2 — 14/03/2024	1,50	kW	La puissance calculée est celle reçue par le gaz ; la marge doit couvrir les frottements du piston, non mesurés
\( P_{\text{ch}} \)	Capacité de la chemise de refroidissement Pièce nº2 — 14/03/2024	0,400	kW	Pour une eau entrant à 15 °C ; capacité dégradée si l'eau entre plus chaude

Ce que le dossier ne dit pas

L'humidité résiduelle de l'air après séchage n'est pas relevée : \( R = 0{,}287 \) kJ·kg⁻¹·K⁻¹ vaut pour de l'air sec, et l'hypothèse doit figurer dans la note.
Les frottements du piston sur le cylindre ne sont pas mesurés : le travail calculé est celui reçu par le gaz, non l'effort développé par le vérin, qui lui est supérieur.
La température de l'eau de refroidissement pendant l'essai n'est pas consignée, alors que la capacité de 0,400 kW de la chemise est annoncée pour une eau entrant à 15 °C.

Ce que coûte une erreur

Employer l'exposant de l'adiabatique, 1,400, au lieu de l'indice mesuré 1,300 surestime la pression finale de 14,9 % et le travail de 43,7 % : la chemise serait déclarée insuffisante et l'on relancerait une campagne d'essais de plusieurs semaines pour un défaut qui n'existe pas.
Sous-estimer la température finale conduit à valider des joints qui travaillent au-delà de leur limite d'emploi : la fuite n'apparaît qu'après la qualification, sur toute la série lancée, et le remplacement se fait alors machine par machine chez les clients.

La piste que donnerait votre chef de projet

Attendez-vous à un stockage inférieur à l'apport : c'est la présence de la chemise qui l'impose. Un second chemin, par une capacité thermique propre à la transformation polytropique, permet de contrôler le résultat.

NOTE DE CALCULS

Analyse d'un système fermé en compression polytropique

Question 1 : Pression atteinte en fin de compression

Note de calculs · feuillet 1/4 Indice C · 30 juin 2026

Objet : pression absolue atteinte par l'air enfermé en fin de course du piston, et confrontation à la pression maximale admissible du cylindre d'essai.

Ce qu'on a déjà sur la table

\( P_1 \) = 100,0 kPa absolus, \( V_1 \) = 0,400 m³, \( V_2 \) = 0,100 m³ — pièce nº1
Indice polytropique mesuré \( n \) = 1,300 — pièce nº1
Pression maximale admissible \( P_{\text{max}} \) = 700 kPa — pièce nº2

Voir le résultat seul (auto-évaluation)

\( P_2 = \mathbf{606{,}3} \text{ kPa} \)

Le problème posé :

Le mécanisme physique est double, et c'est ce qui fait la difficulté : en réduisant le volume offert aux molécules, on augmente la fréquence de leurs chocs sur les parois, donc la pression ; mais le travail dépensé pour cela les échauffe aussi, ce qui augmente la pression une seconde fois — sauf que la chemise en retire une part, qui n'est ni nulle ni totale. Le modèle retenu est la loi polytropique, la seule qui décrive un échange thermique partiel : son indice n'est pas choisi mais mesuré sur le tracé de l'essai, ce qui le rend propre à ce banc et à ce débit d'eau.

Ce que le chargé d'études regarde d'abord

Observation L'indice relevé, 1,300, se place strictement entre 1 et 1,400. Cet encadrement n'est pas anodin : il dit que la chemise évacue une partie de la chaleur produite, mais pas la totalité. Un indice de 1,400 signalerait une chemise inopérante, un indice de 1,000 une chemise assez puissante pour maintenir la température.

Le risque Employer 1,400, l'exposant de l'air sans échange de chaleur, donne 696,4 kPa : le cylindre paraîtrait sollicité à 99,5 % de sa plaque au lieu de 86,6 %, et l'essai serait déclaré limite alors qu'il ne l'est pas.

Écartée Passer par l'équation d'état appliquée à l'état 2 est impossible à ce stade : elle demanderait \( T_2 \), qui n'est pas mesurée et que l'on ne saura calculer qu'une fois \( P_2 \) connue. L'ordre des feuillets n'est pas arbitraire.

À vous de trancher — avant d'ouvrir

Trois exposants circulent dans ce dossier : 1, puis 1,300 relevé au procès-verbal, puis 1,400 qui est le coefficient isentropique de l'air. Lequel entre dans le calcul de la pression finale, sachant que le procès-verbal précise « à vitesse de piston constante » sur 60 s ?

1,400, parce que c'est le coefficient de l'air
1,300, parce que c'est ce que le tracé de l'essai a donné
1, parce qu'une compression aussi lente laisse le temps à la température de s'égaliser

Ce qu'a retenu le bureau, et pourquoi

L'option 2. La donnée qui tranche est l'ajustement du tracé à 0,998 : l'indice n'est pas une propriété du gaz que l'on irait chercher dans une table, c'est une caractéristique de la transformation telle qu'elle s'est produite sur ce banc, chemise en service. L'option 1 décrirait une compression sans aucun échange de chaleur — elle donnerait 696,4 kPa, soit +14,9 %. L'option 3 confond deux notions distinctes : la lenteur rend la transformation quasi statique, c'est-à-dire assez lente pour que le gaz reste à l'équilibre interne à chaque instant, mais elle ne la rend pas isotherme, ce qui exigerait que la chemise évacue toute la chaleur au fur et à mesure. Elle donnerait 400,0 kPa, soit −34,0 %.

Rappel théorique : la famille des transformations polytropiques

Entre les deux cas d'école — la transformation isotherme, où le gaz reste à température constante parce qu'il échange librement avec l'extérieur, et la transformation isentropique, où il n'échange rien — se trouve tout le domaine des transformations réelles. La loi polytropique est ce qui les décrit d'une seule écriture.

Une seule famille, un seul paramètre : toute transformation vérifiant \( P\,V^{n} = \) constante est dite polytropique d'indice \( n \). L'indice se lit directement sur le tracé expérimental : en portant \( \ln P \) en fonction de \( \ln V \), une transformation polytropique donne une droite, et \( n \) en est la pente changée de signe. C'est ainsi que le procès-verbal l'a obtenu.
Quatre cas particuliers qui bornent le domaine : \( n = 0 \) donne \( P \) constante, c'est l'isobare ; \( n = 1 \) donne \( PV \) constant, c'est l'isotherme d'un gaz parfait ; \( n = \gamma \) donne l'isentropique, c'est-à-dire l'adiabatique réversible ; et \( n \to \infty \) donne le volume constant, c'est l'isochore. Un indice compris entre 1 et \( \gamma \) décrit donc une compression qui s'échauffe tout en cédant de la chaleur.
L'indice se mesure, il ne se choisit pas : il dépend de la machine, de sa vitesse et de son refroidissement, non du gaz. Deux compresseurs traitant le même air donnent des indices différents ; le même compresseur, dont on coupe l'eau, voit son indice remonter vers \( \gamma \). C'est ce qui en fait un indicateur de l'efficacité du refroidissement.

Hypothèses retenues, leur contrôle et leur garant

Le système est fermé : la masse d'air ne varie pas pendant la compression or ici le procès-verbal précise que les vannes d'admission et de purge sont restées fermées pendant toute la course, et la masse de 0,500 kg a été établie par double pesée avant l'essai garantie par la pièce nº1
La transformation est quasi statique : le gaz reste à l'équilibre interne à chaque instant or ici la course du piston vaut 0,597 m parcourus en 60 s, soit une vitesse de 9,95 mm·s⁻¹ ; rapportée à la vitesse du son dans l'air, de l'ordre de 340 m·s⁻¹, elle représente 3 × 10⁻⁵ — les inégalités de pression s'effacent infiniment plus vite qu'elles ne se créent cinq ordres de grandeur d'écart, calculés ci-contre
L'indice polytropique reste constant sur toute la course or ici l'ajustement du tracé en coordonnées logarithmiques donne un coefficient de détermination de 0,998 : les points relevés s'alignent sur une droite unique, ce qui est exactement la signature d'un indice constant garantie par la pièce nº1

Domaine d'emploi : cette relation cesse de s'appliquer dès que l'indice varie au cours de la course — ce qui se produit si le débit d'eau de la chemise change en cours d'essai, ou si la vitesse du piston n'est pas constante. Le tracé n'est alors plus une droite en coordonnées logarithmiques, et il faut découper la course en tronçons, chacun avec son propre indice.

Équation mobilisée Loi de la transformation polytropique

D'où elle découle : elle est la définition même de la famille, et non un résultat démontré. Ce qui se démontre, c'est qu'elle contient l'isotherme et l'isentropique comme cas particuliers : en écrivant le premier principe pour une transformation où la capacité thermique du gaz garde une valeur constante \( c_n \), on retrouve exactement \( P\,V^{n} = \) constante, avec un indice lié à cette capacité.

\[ \begin{aligned} P\,V^{n} &= \text{constante} \\[4pt] \Longrightarrow \quad P_2 &= P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{n} \end{aligned} \]

Ce que dit cette équation : la pression ne varie pas comme l'inverse du volume, mais comme l'inverse du volume élevé à une puissance supérieure à un. Diviser le volume par quatre multiplie donc la pression par plus de quatre, et l'excédent mesure exactement ce que l'échauffement du gaz ajoute à l'effet purement géométrique du rapprochement des molécules.

\( P_1, P_2 \) : pressions absolues aux états initial et final, en kPa ou dans toute unité, pourvu que ce soit la même aux deux états
\( V_1, V_2 \) : volumes occupés par la masse d'air aux deux états, en m³ — même remarque sur l'unité
\( n \) : indice polytropique de la transformation, sans unité — propriété de la transformation, non du gaz

Application numérique

Valeurs retenues pour ce calcul

\( P_1 = 100{,}0 \text{ kPa} \) pièce nº1 — pression absolue, conservée en kPa
\( V_1 = 0{,}400 \text{ m}^3 \ ; \ V_2 = 0{,}100 \text{ m}^3 \) pièce nº1 — seul leur rapport intervient
\( n = 1{,}300 \) pièce nº1 — indice mesuré sur le tracé de l'essai, chemise en service

1. Rapport de compression Rapport des volumes entre les deux états

\[ \begin{aligned} \frac{V_1}{V_2} &= \frac{0{,}400 \ \text{m}^3}{0{,}100 \ \text{m}^3} \\[4pt] &= \mathbf{4{,}000} \end{aligned} \]

Analyse du chiffre :

Ce rapport est sans dimension, les deux volumes étant exprimés dans la même unité : c'est ce qui permettra de conserver la pression en kilopascals sans conversion. Un rapport de 4 est modeste au regard d'un moteur — un Diesel travaille entre 14 et 25 — mais il suffit ici à porter la pression au-delà de six fois sa valeur initiale.

2. Application de la loi polytropique Pression absolue en fin de compression

\[ \begin{aligned} P_2 &= P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{n} \\[4pt] &= 100{,}0 \ \text{kPa} \times (4{,}000)^{1{,}300} \\[4pt] &= 100{,}0 \ \text{kPa} \times 6{,}0629 \\[4pt] &= \mathbf{606{,}3} \ \text{kPa} \end{aligned} \]

Analyse du chiffre :

La pression est multipliée par 6,06 alors que le volume n'est divisé que par 4 : l'écart entre ces deux facteurs est la signature de l'échauffement du gaz. Le contrôle d'encadrement se fait de tête et doit être fait : une compression isotherme du même rapport donnerait exactement 400 kPa, une compression sans aucun refroidissement 696,4 kPa. Le résultat tombe entre les deux, plus près de la seconde — ce qui est cohérent avec un indice de 1,300, lui-même plus proche de 1,400 que de 1.

DIAGRAMME DE CLAPEYRON — LA COMPRESSION ET SES DEUX BORNES

Les trois courbes partent du même état 1 et se séparent d'autant plus que le volume diminue. Le tracé bleu est celui de l'essai ; les deux autres bornent le domaine du possible pour cette compression, et la position de l'état 2 entre eux mesure l'efficacité réelle de la chemise. Le trait mixte rouge porte la pression maximale admissible du cylindre.

Vérification normative

Résultat du feuillet

P₂ = 606,3 kPa

Grandeur \( P_2 \)

Valeur obtenue 606,3 kPa

Exigence ≤ 700 kPa
Plaque du constructeur — pièce nº2

Taux de travail 86,6 %

Ce que ce critère protège : l'intégrité de l'enveloppe sous pression et, derrière elle, les personnes présentes autour du banc. La pression maximale admissible portée sur la plaque est la valeur au-delà de laquelle le constructeur ne garantit plus la tenue du cylindre ; la dépasser, même brièvement, expose à une rupture dont l'énergie libérée est celle de 400 litres d'air comprimé. Elle n'est pas une valeur de confort mais une limite de sécurité.

CRITÈRE VÉRIFIÉ — la pression atteinte reste 93,7 kPa sous la plaque du cylindre, et l'essai peut être versé au dossier de qualification. La pression \( P_2 \) est reprise à la question 2 pour établir la température finale, et à la question 3 pour le travail de compression.

Établi par vous, chargé d'études au bureau d'études thermique

Vérifié par le responsable du bureau d'études · 3 juillet 2026

Le résultat part à le service qualité — procès-verbal de qualification, ligne « pression maximale atteinte »

Maîtriser cette question, et vérifier qu'on l'a comprise

Les formes sous lesquelles elle tombe

Forme	Ce qui est donné	Ce qui est cherché	Ce qui change dans la démarche
Directe	L'état initial, le volume final et l'indice	La pression finale	Aucun changement — c'est le cas traité ci-dessus.
Inverse	La pression maximale admissible, à l'égalité	Le volume final minimal, donc la course maximale du piston	Même relation, mêmes hypothèses ; on isole \( V_2 \), ce qui fait passer l'exposant de \( n \) à \( 1/n \). Traitée juste en dessous.
Condition modifiée	Le tracé de l'essai au lieu de l'indice	La même pression finale	L'étape qui s'ajoute est la détermination de \( n \) : on porte \( \ln P \) en fonction de \( \ln V \), la pente changée de signe donne l'indice. Le reste de la démarche est intact.
Données incomplètes	Ni l'indice, ni le tracé — seulement « compression rapide dans un cylindre calorifugé »	La même pression finale	On pose \( n = \gamma \), déduit de la structure moléculaire du gaz — en déclarant que l'on suppose l'échange thermique nul, jamais en silence.

Ce qui ne change jamais : dans les quatre formes, la transformation est décrite par la conservation du produit \( P\,V^{n} \), et seule l'inconnue se déplace. Nommer cet invariant est ce qui permet de reconnaître la question, qu'elle parle d'un cylindre d'essai, d'un compresseur d'atelier, d'une pompe à vélo ou du gonflage d'un amortisseur.

La forme inverse, traitée

Énoncé : on impose la pression finale juste égale aux 700 kPa de la plaque. Jusqu'à quel volume le piston peut-il alors comprimer l'air, à indice inchangé ? Traitez-la avant d'ouvrir : c'est la variante d'examen la plus fréquente, et celle qui piège le plus, parce qu'elle demande d'isoler une autre variable dans la même relation.

Voir la résolution de la forme inverse

\[ \begin{aligned} V_{2,\text{min}} &= V_1 \left( \frac{P_1}{P_{\text{max}}} \right)^{1/n} \\[4pt] &= 0{,}400 \ \text{m}^3 \times \left( \frac{100{,}0 \ \text{kPa}}{700 \ \text{kPa}} \right)^{1/1{,}300} \\[4pt] &= 0{,}400 \ \text{m}^3 \times (0{,}142\,86)^{0{,}769\,23} \\[4pt] &= \mathbf{0{,}0895} \ \text{m}^3 \end{aligned} \]

Ce que la forme inverse change : l'exposant s'inverse et passe de 1,300 à 0,769, et surtout le sens de l'inégalité se retourne : plafonner la pression revient à imposer un volume final minimal, non maximal, puisque comprimer davantage ferait monter la pression. C'est là que se perdent les points. Le résultat éclaire le verdict : l'essai s'arrête à 0,100 m³ alors que le cylindre en tolérerait 0,0895, soit 20,8 mm de course supplémentaire sur les 597 mm parcourus. La marge existe, mais elle est faible en course.

Les erreurs de cette question

Les deux erreurs ci-dessous portent l'une sur la valeur de l'exposant, l'autre sur le sens du rapport. Aucune n'est détectable par une analyse d'unités, les trois grandeurs en jeu étant homogènes ou sans dimension.

Écrire \( P_2 = 100{,}0 \times 4^{1{,}400} \), en prenant le coefficient isentropique de l'air pour l'indice de l'essai

Ce que ça donne 696,4 kPa au lieu de 606,3 kPa, soit +14,9 %. Le taux de travail affiché passerait de 86,6 % à 99,5 %, et la qualification conclurait à un essai en limite de plaque.

Le signe qui la trahit Le résultat obtenu est celui d'une compression sans aucun échange de chaleur. Or le dossier décrit une chemise d'eau en service et un essai de 60 s : conclure à un échange nul contredit l'objet même de l'essai. Chaque fois qu'un résultat rend inutile un organe décrit dans l'énoncé, c'est que le modèle employé n'est pas celui du problème.

Écrire \( P_2 = 100{,}0 \times (V_2/V_1)^{n} = 100{,}0 \times 0{,}250^{1{,}300} \)

Ce que ça donne 16,49 kPa au lieu de 606,3 kPa, soit −97,3 % : une compression qui ferait chuter la pression au sixième de sa valeur initiale.

Le signe qui la trahit Le sens physique se contrôle avant tout calcul : on réduit le volume offert au gaz, donc sa pression doit augmenter. Un résultat inférieur à la pression initiale sur une compression est faux quel qu'il soit, et il ne demande aucune connaissance de la bonne réponse pour être écarté.

Contrôle — trois questions avant de tourner la page

Vérifier qu'on a compris, pas qu'on a lu

Trois questions, à traiter de tête et avant de cocher. Un corrigé limpide se lit d'un trait et donne l'illusion de savoir refaire : ces trois-là sont le seul moyen de le vérifier. Les trois jetons s'allument, et le feuillet reçoit son tampon.

1 Ce que le résultat autorise

Le feuillet conclut que \( P_2 = 606{,}3 \) kPa reste sous les 700 kPa de la plaque, à 86,6 %. Qu'est-ce que cela permet d'engager dès maintenant, et qu'est-ce que cela n'autorise pas encore ?

La chemise de refroidissement est qualifiée : elle a bien limité la pression sous la plaque. Non — ce feuillet ne dit rien de la puissance que la chemise a réellement évacuée, qui est l'objet de la qualification et qui sera établie au quatrième feuillet. Il constate seulement que l'indice résultant conduit à une pression admissible : c'est une conséquence de l'action de la chemise, pas sa mesure. L'essai s'est déroulé dans le domaine de pression admissible du cylindre ; le procès-verbal peut être versé au dossier sur ce point. Juste — le verdict porte sur la tenue de l'enveloppe sous pression, et sur rien d'autre. Sa portée s'arrête là : ni la température des joints, ni la puissance du groupe, ni la charge de la chemise n'ont encore été touchées. On peut augmenter la course du piston sans nouvelle vérification, la marge étant de 13,4 %. Non — cette réponse sur-utilise le résultat en confondant marge en pression et marge en course. La forme inverse traitée plus haut montre que les 13,4 % de marge en pression ne représentent que 20,8 mm de course sur 597, parce que la pression varie comme le volume à la puissance 1,300. Une marge relative ne se transporte pas d'une grandeur à l'autre.

2 Sensibilité — la bonne valeur, pas la bonne impression

Si le débit d'eau de la chemise était doublé et que l'indice mesuré tombait à 1,200, tout le reste étant inchangé, que devient \( P_2 \) ?

\( P_2 = 559{,}7 \) kPa — la pression baisse de 7,7 %, proportionnellement à la baisse de l'indice. Non — ce chiffre applique à la pression la variation relative de l'indice, 1,200/1,300 = 0,923. Or l'indice est un exposant, non un facteur : sa variation agit à travers une puissance, pas une multiplication. L'écart avec le vrai résultat est de 6,0 %. \( P_2 = 527{,}8 \) kPa — la pression baisse de 12,9 %, et le taux de travail tombe à 75,4 %. Juste — \( P_2 = 100{,}0 \times 4^{1{,}200} = 527{,}8 \) kPa. Ce que cela enseigne dépasse le chiffre : refroidir davantage abaisse la pression finale, donc décharge l'enveloppe. Le dimensionnement est sensible à l'indice — un dixième d'indice vaut près de 13 % de pression —, ce qui fait de la qualification de la chemise une exigence de sécurité et pas seulement de rendement. \( P_2 = 606{,}3 \) kPa — inchangée, la pression finale ne dépendant que du rapport de compression. Non — le rapport de compression fixe seulement le rapport des volumes ; c'est l'indice qui dit comment la pression y répond. À rapport identique, une isotherme donnerait 400 kPa et une adiabatique 696,4 kPa : l'écart entre ces deux bornes, 74 % de la valeur isotherme, mesure exactement le poids de l'indice.

3 Reconnaître la question

Lequel de ces trois énoncés relève de la méthode ci-dessus ? Décidez avant de cocher. En examen, l'échec vient rarement du calcul : il vient de ne pas avoir reconnu de quelle question il s'agissait.

Un compresseur d'atelier aspire l'air ambiant à 1,00 bar et le refoule après réduction du volume d'un facteur 6 ; le relevé du cycle donne un exposant de 1,25. Quelle pression atteint-il ? Juste — le mot qui tranche est « le relevé du cycle donne un exposant » : l'indice est fourni comme résultat de mesure, avec un rapport de volumes et une pression initiale. C'est exactement la même relation, appliquée à une autre machine. Que l'exposant vaille 1,25 au lieu de 1,300 ne change rien à la démarche. De l'air à 100 kPa et 20 °C est comprimé de 0,400 à 0,100 m³ dans un cylindre plongé dans un bain thermostaté. Quelle est la pression finale ? Non — « bain thermostaté » fixe la température, donc impose \( n = 1 \) : la relation devient \( P_1V_1 = P_2V_2 \) et la pression finale vaut 400 kPa. La confusion est naturelle parce que les volumes et l'état initial sont identiques ; c'est la mention du thermostat qui tranche, et elle remplace l'indice mesuré. De la vapeur d'eau saturante à 200 kPa est comprimée jusqu'au tiers de son volume selon un exposant de 1,13. Quelle est sa pression finale ? Non — l'hypothèse violée est celle du gaz parfait. Une vapeur saturante se trouve sur sa courbe de saturation : la comprimer la fait condenser partiellement, et la pression suit alors la courbe de saturation au lieu d'une loi en puissance. L'exposant fourni ne décrit pas une transformation à phase unique, et il faut employer les tables de propriétés de l'eau.

Feuillet visé — 3/3 Renvoyé à l'étude

Si un item ne tombe pas juste

Item 1 Relire le verdict : la valeur, son exigence, et ce que le critère protège.

Item 2 Relire la relation et la décomposition des termes : c'est là que se lit quel paramètre commande le résultat.

Item 3 Relire le tableau des formes et son invariant, en tête de cette section.

Question 2 : Températures initiale et finale de l'air

Note de calculs · feuillet 2/4 Indice C · 30 juin 2026

Objet : températures de l'air enfermé aux états initial et final, et confrontation de la température finale à la limite d'emploi des joints de piston.

Ce qu'on a déjà sur la table

\( P_2 \) = 606,3 kPa — feuillet 1
\( m \) = 0,500 kg, \( P_1 \) = 100,0 kPa, \( V_1 \) = 0,400 m³, \( V_2 \) = 0,100 m³ — pièce nº1
\( R \) = 0,287 kJ·kg⁻¹·K⁻¹ — pièce nº3 ; \( \theta_j \) = 160 °C — pièce nº2

Voir le résultat seul (auto-évaluation)

\( T_1 = \mathbf{278{,}75} \text{ K} \quad ; \quad T_2 = \mathbf{422{,}50} \text{ K} = \mathbf{149{,}4} \ ^\circ\text{C} \)

Le problème posé :

Le mécanisme physique est que la température d'un gaz mesure l'énergie d'agitation de ses molécules, et que cette agitation se manifeste à l'échelle de la machine par le produit de la pression et du volume : à masse donnée, un gaz chaud pousse plus fort sur un volume plus grand. Le modèle retenu est l'équation d'état des gaz parfaits sous sa forme massique, parce que le dossier fournit une masse et une constante massique, non une quantité de matière et la constante molaire — la forme de l'équation suit la forme des données.

Ce que le chargé d'études regarde d'abord

Observation Aucune sonde n'équipait le volume d'air, mais l'état est surdéterminé : pression, volume et masse sont connus aux deux états. La température ne se mesure pas ici, elle se déduit — et elle se déduit deux fois, par deux chemins indépendants.

Le risque Employer la constante molaire des gaz, 8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹, au lieu de la constante massique de l'air, 0,287 kJ·kg⁻¹·K⁻¹, divise la température par 29 : on trouverait 9,6 K, soit une température de l'ordre de celle de l'hydrogène liquide.

Écartée Se contenter du rapport \( T_2/T_1 = (V_1/V_2)^{n-1} = 1{,}516 \) donnerait bien le facteur d'échauffement, mais pas les températures elles-mêmes : or c'est une valeur absolue, et non un rapport, qu'il faut confronter aux 160 °C des joints.

À vous de trancher — avant d'ouvrir

Deux chemins mènent à la température finale, et ils sont tous deux exacts. Lequel un bureau d'études écrit-il dans sa note, et lequel garde-t-il pour contrôler ?

L'équation d'état appliquée à l'état 2, avec la pression calculée au feuillet précédent
La relation polytropique en température et volume, qui n'utilise que des données d'essai
Les deux, l'un servant de contrôle à l'autre

Ce qu'a retenu le bureau, et pourquoi

L'option 3, et c'est une règle de méthode plus qu'un choix de calcul. Les deux chemins sont physiquement indépendants : le premier passe par la pression, le second par le seul rapport des volumes et l'indice. Ils ne peuvent tomber sur la même valeur que si \( P_2 \), l'équation d'état et la loi polytropique sont simultanément justes. Sur un feuillet dont le résultat décide de la tenue d'un joint, cette redondance ne coûte que deux lignes. La donnée qui rend le contrôle possible est la présence de l'indice au procès-verbal : sans lui, le second chemin n'existerait pas. L'écart entre les deux chemins sera ici inférieur à 0,01 K ; tout écart supérieur à quelques dixièmes signalerait une erreur, non un arrondi.

Hypothèses retenues, leur contrôle et leur garant

L'air se comporte comme un gaz parfait aux deux états or ici les deux constituants majoritaires ont pour coordonnées critiques 126,2 K et 3,39 MPa pour le diazote, 154,8 K et 5,08 MPa pour le dioxygène. À l'état le plus défavorable, l'état initial, la température réduite du dioxygène vaut \( 278{,}75/154{,}8 = 1{,}80 \) et sa pression réduite \( 0{,}100/5{,}08 = 0{,}020 \) : on reste très au-dessus de la température critique et à 2 % de la pression critique, où l'écart à l'idéalité est inférieur à 1 % garantie par les coordonnées critiques des constituants, pièce nº3
L'air est sec, donc sa constante massique vaut 0,287 kJ·kg⁻¹·K⁻¹ le procès-verbal indique un séchage sur silicagel mais ne donne pas l'humidité résiduelle ; de l'air saturé à 20 °C abaisserait la masse molaire du mélange d'environ 1 %, donc relèverait \( R \) et les deux températures d'autant posée par vous — elle figure dans la note
La température est uniforme dans tout le volume d'air à chaque instant or ici la transformation est quasi statique, la vitesse de piston valant 9,95 mm·s⁻¹ ; la température calculée est donc une température d'équilibre, et non une moyenne entre un cœur chaud et une couche froide contre la chemise posée par vous — elle figure dans la note

Domaine d'emploi : l'hypothèse d'uniformité est celle qui cède la première. Contre la paroi refroidie il existe en réalité une couche limite plus froide que le cœur du gaz, et c'est le cœur qui commande la pression tandis que ce sont les surfaces qui commandent la température vue par les joints. Tant que la transformation reste lente, l'écart demeure faible ; sur une machine rapide, il faudrait mesurer la température de paroi au lieu de la calculer.

Équations mobilisées Équation d'état des gaz parfaits, forme massique

D'où elle découle : de la forme molaire \( P\,V = n_{\text{mol}}\,R_m\,T \), dans laquelle on remplace la quantité de matière par le quotient de la masse et de la masse molaire. Le groupement \( R_m/M \) devient alors une constante propre au gaz considéré, appelée constante massique, et l'équation ne fait plus intervenir que des grandeurs directement pesables.

\[ \begin{aligned} P\,V &= m\,R\,T \\[4pt] \Longrightarrow \quad T &= \frac{P\,V}{m\,R} \end{aligned} \]

Ce que dit cette équation : pour une masse de gaz donnée, le produit de la pression par le volume est proportionnel à la température absolue. Ce produit a la dimension d'une énergie : la température apparaît donc comme une mesure de l'énergie que le gaz est capable de restituer par unité de masse. C'est ce qui explique que des kilopascals multipliés par des mètres cubes donnent des kilojoules, et que le quotient par une capacité massique donne des kelvins.

\( P \) : pression absolue du gaz, en kPa
\( V \) : volume occupé, en m³
\( m \) : masse de gaz enfermée, en kg — constante ici, le système étant fermé
\( R \) : constante massique du gaz, en kJ·kg⁻¹·K⁻¹ — propre à l'air, à ne pas confondre avec la constante molaire universelle
\( T \) : température thermodynamique, en K

Relation polytropique en variables température-volume

D'où elle découle : de la loi \( P\,V^{n} = \) constante combinée à l'équation d'état, en éliminant la pression entre les deux. Elle donne accès à la température finale sans passer par la pression, ce qui en fait un chemin indépendant et donc un contrôle véritable.

\[ \begin{aligned} T\,V^{\,n-1} &= \text{constante} \\[4pt] \Longrightarrow \quad T_2 &= T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{n-1} \end{aligned} \]

Ce que dit cette équation : l'échauffement d'une compression polytropique ne dépend que du rapport des volumes et de l'excédent de l'indice sur l'unité. Si l'indice valait exactement 1, l'exposant serait nul et la température ne bougerait pas : on retrouve l'isotherme. Plus l'indice s'écarte de 1, plus le gaz s'échauffe, ce qui donne à \( n-1 \) le sens physique d'une mesure du défaut de refroidissement.

\( T_1, T_2 \) : températures thermodynamiques aux deux états, en K — la relation est fausse avec des degrés Celsius
\( V_1/V_2 \) : rapport de compression volumétrique, sans unité
\( n-1 \) : exposant, sans unité — vaut 0,300 ici, à ne pas confondre avec l'indice lui-même

Application numérique

Valeurs retenues pour ce calcul

\( m = 0{,}500 \text{ kg} \ ; \ R = 0{,}287 \text{ kJ·kg}^{-1}\text{·K}^{-1} \) pièce nº1 et pièce nº3 — constante massique de l'air sec
\( P_1 = 100{,}0 \text{ kPa} \ ; \ V_1 = 0{,}400 \text{ m}^3 \) pièce nº1 — état initial
\( P_2 = 606{,}3 \text{ kPa} \ ; \ V_2 = 0{,}100 \text{ m}^3 \) calculée à la question 1, et pièce nº1
\( n - 1 = 0{,}300 \) déduit de l'indice mesuré, pour le contrôle croisé

1. Préparation du dénominateur commun Produit de la masse par la constante massique

\[ \begin{aligned} m\,R &= 0{,}500 \ \text{kg} \times 0{,}287 \ \text{kJ·kg}^{-1}\text{·K}^{-1} \\[4pt] &= \mathbf{0{,}1435} \ \text{kJ·K}^{-1} \end{aligned} \]

Analyse du chiffre :

Ce groupement intervient aux deux états et se calcule donc une seule fois. Son unité, le kilojoule par kelvin, annonce déjà la suite : divisée par elle, une énergie exprimée en kilojoules donnera directement des kelvins. C'est aussi la capacité thermique qu'aurait cette masse d'air si sa capacité massique valait \( R \), ce qui n'est le cas d'aucune transformation réelle mais fournit un repère.

2. Température à l'état initial Température de l'air avant compression

\[ \begin{aligned} T_1 &= \frac{P_1\,V_1}{m\,R} \\[4pt] &= \frac{100{,}0 \ \text{kPa} \times 0{,}400 \ \text{m}^3}{0{,}1435 \ \text{kJ·K}^{-1}} \\[4pt] &= \frac{40{,}00 \ \text{kJ}}{0{,}1435 \ \text{kJ·K}^{-1}} \\[4pt] &= \mathbf{278{,}75} \ \text{K} \end{aligned} \]

Analyse du chiffre :

Soit 5,60 °C. Le chiffre est plausible et il mérite d'être regardé : l'air enfermé était plus froid que l'ambiance d'un atelier, ce qui s'explique par le passage sur silicagel et par le remplissage lui-même. Le contrôle d'unités tombe juste : des kilopascals multipliés par des mètres cubes donnent des kilojoules, divisés par des kilojoules par kelvin ils donnent des kelvins. Une température qui sortirait en dehors de la fourchette 250–320 K pour de l'air d'atelier signalerait une erreur d'unité, non un fait physique.

3. Température à l'état final Température de l'air après compression

\[ \begin{aligned} T_2 &= \frac{P_2\,V_2}{m\,R} \\[4pt] &= \frac{606{,}3 \ \text{kPa} \times 0{,}100 \ \text{m}^3}{0{,}1435 \ \text{kJ·K}^{-1}} \\[4pt] &= \frac{60{,}63 \ \text{kJ}}{0{,}1435 \ \text{kJ·K}^{-1}} \\[4pt] &= \mathbf{422{,}50} \ \text{K} \end{aligned} \]

Analyse du chiffre :

La température absolue est multipliée par 1,516 alors que le volume est divisé par 4 : l'échauffement est réel mais bien plus modéré que ne le serait celui d'une compression sans refroidissement, qui porterait l'air à 485,3 K. La chemise a donc retiré, en température, l'équivalent de 62,8 K sur les 206,6 K qu'aurait produits une compression sans échange.

4. Contrôle par un chemin indépendant Température finale par la relation polytropique

\[ \begin{aligned} T_2 &= T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{n-1} \\[4pt] &= 278{,}75 \ \text{K} \times (4{,}000)^{0{,}300} \\[4pt] &= 278{,}75 \ \text{K} \times 1{,}5157 \\[4pt] &= \mathbf{422{,}50} \ \text{K} \end{aligned} \]

Analyse du chiffre :

Les deux chemins tombent sur la même valeur. Ce n'est pas une redondance décorative : le premier a mobilisé la pression calculée au feuillet précédent, le second n'a utilisé que le rapport des volumes et l'indice, tous deux relevés à l'essai. Leur accord valide donc simultanément \( P_2 \), l'équation d'état et la loi polytropique. Un écart de quelques kelvins entre les deux aurait révélé une faute dans l'un des trois.

5. Passage à l'échelle Celsius Température finale en degrés Celsius

\[ \begin{aligned} \theta_2 &= T_2 - 273{,}15 \ \text{K} \\[4pt] &= 422{,}50 \ \text{K} - 273{,}15 \ \text{K} \\[4pt] &= \mathbf{149{,}4} \ ^\circ\text{C} \end{aligned} \]

Analyse du chiffre :

Cette conversion n'intervient qu'après tous les calculs, et pour une seule raison : la fiche matière des joints est écrite en degrés Celsius. Toutes les relations de ce feuillet exigent la température absolue, et les employer avec des degrés Celsius donnerait des résultats qui dépendraient de l'échelle choisie — ce qu'aucune grandeur physique ne peut faire.

Vérification normative

Résultat du feuillet

θ₂ = 149,4 °C

Grandeur \( \theta_2 \)

Valeur obtenue 149,4 °C (422,50 K)

Exigence ≤ 160 °C (433,15 K)
Fiche matière des joints — pièce nº2

Taux de travail 97,5 %

Ce que ce critère protège : l'étanchéité du système fermé, donc la validité même de l'essai. Un élastomère porté au-delà de sa limite d'emploi perd son élasticité et cesse de reprendre sa forme : la fuite qui s'ensuit laisse échapper de la masse, et le système n'est plus fermé — toutes les grandeurs calculées dans cette note deviendraient fausses. Le taux de travail est formé sur les températures thermodynamiques, seule échelle dont l'origine est physique et dont un rapport a donc un sens ; le même rapport formé en degrés Celsius afficherait 93,3 %, sans signification.

CRITÈRE VÉRIFIÉ — les joints restent dans leur domaine d'emploi, avec 10,6 °C de marge. La marge est faible et se signale : elle ne survivrait pas à une dégradation du refroidissement. Ce résultat valide au passage la condition d'emploi de la plaque du cylindre, dont la pression maximale admissible n'est garantie que jusqu'à 200 °C : avec 149,4 °C atteints, le verdict du feuillet 1 est confirmé dans son domaine. L'écart \( T_2 - T_1 = 143{,}75 \) K est repris aux questions 3 et 4, où il commande à la fois le travail et la chaleur échangée.

Établi par vous, chargé d'études au bureau d'études thermique

Vérifié par le responsable du bureau d'études · 3 juillet 2026

Le résultat part à le service qualité — procès-verbal de qualification, ligne « température vue par les joints »

Maîtriser cette question, et vérifier qu'on l'a comprise

Les formes sous lesquelles elle tombe

Forme	Ce qui est donné	Ce qui est cherché	Ce qui change dans la démarche
Directe	Pression, volume et masse aux deux états	Les deux températures	Aucun changement — c'est le cas traité ci-dessus.
Inverse	La température admissible par les joints, à l'égalité	L'indice polytropique maximal, donc le refroidissement minimal exigé	Même relation, mêmes hypothèses ; on isole \( n \), ce qui fait apparaître un logarithme puisque l'inconnue était en exposant. Traitée juste en dessous.
Condition modifiée	Une quantité de matière au lieu d'une masse	Les mêmes températures	L'équation reprend sa forme molaire \( PV = n_{\text{mol}}R_mT \), avec la constante universelle. Le reste de la démarche est intact, mais les deux constantes ne s'échangent pas : elles diffèrent d'un facteur égal à la masse molaire.
Données incomplètes	La masse n'est pas fournie	La seule température finale	On abandonne l'équation d'état pour la relation polytropique en température et volume, qui n'a besoin ni de la masse ni de la constante — à condition de disposer de la température initiale, qu'il faut alors mesurer ou déclarer.

Ce qui ne change jamais : la température d'un gaz parfait est entièrement déterminée par les trois autres grandeurs d'état, et elle doit toujours être exprimée sur l'échelle absolue. Ce qui se déplace d'une forme à l'autre, c'est la relation employée pour l'atteindre, jamais cette double exigence. C'est cet invariant qui permet de reconnaître la question devant une bouteille, un cylindre, un ballon ou une conduite.

La forme inverse, traitée

Énoncé : on impose la température finale juste égale aux 160 °C des joints. Quel indice polytropique maximal cela autorise-t-il, et que faudrait-il en conclure sur le refroidissement ? Traitez-la avant d'ouvrir : c'est la variante d'examen la plus fréquente, et celle qui piège le plus, parce qu'elle demande d'isoler une autre variable dans la même relation.

Voir la résolution de la forme inverse

\[ \begin{aligned} n_{\text{max}} - 1 &= \frac{\ln \left( T_{\text{j}} / T_1 \right)}{\ln \left( V_1 / V_2 \right)} \\[4pt] &= \frac{\ln \left( 433{,}15 \ \text{K} / 278{,}75 \ \text{K} \right)}{\ln (4{,}000)} \\[4pt] &= \frac{0{,}4407}{1{,}3863} \\[4pt] \Longrightarrow \quad n_{\text{max}} &= \mathbf{1{,}318} \end{aligned} \]

Ce que la forme inverse change : l'inconnue était en exposant, elle en sort par un logarithme — c'est le geste que la forme directe ne demandait pas, et c'est là que se perdent les points. Le sens de l'inégalité se conserve : plafonner la température plafonne l'indice. Le résultat éclaire tout le dossier : l'essai a donné 1,300 pour un maximum admissible de 1,318, soit une marge de 0,018 seulement en indice. Autrement dit, une dégradation même légère du refroidissement — un filtre encrassé, une eau d'entrée plus chaude en été — ferait franchir la limite des joints. C'est une réserve à porter au dossier de qualification, alors même que le critère est vérifié.

Les erreurs de cette question

Les deux erreurs ci-dessous portent sur le dénominateur de la même expression. Toutes deux produisent des températures absurdes, ce qui en fait des erreurs faciles à détecter — à condition de regarder le résultat au lieu de le recopier.

Écrire \( T_1 = P_1V_1/R \), en oubliant la masse au dénominateur

Ce que ça donne 139,4 K au lieu de 278,75 K, soit −50,0 % exactement, puisque la masse vaut 0,500 kg. La température finale suivrait à 211,3 K, et les joints seraient déclarés très largement dans leur domaine.

Le signe qui la trahit 139,4 K, c'est −134 °C : de l'air d'atelier ne se trouve pas dans cet état, il serait proche de sa liquéfaction. Le contrôle ne demande aucune connaissance de la bonne réponse — il suffit de savoir qu'un gaz manipulé à l'air libre se situe entre 250 et 320 K.

Employer la constante molaire universelle 8,314 au lieu de la constante massique 0,287

Ce que ça donne 9,62 K au lieu de 278,75 K, soit −96,5 % : un facteur 29, qui est exactement la masse molaire de l'air en grammes par mole.

Le signe qui la trahit L'analyse d'unités suffit, à condition de la mener jusqu'au bout : la constante molaire s'exprime en joules par mole et par kelvin, la mettre au dénominateur avec une masse en kilogrammes laisse une mole par kilogramme dans l'unité du résultat. Un résultat dont l'unité n'est pas le kelvin pur n'est pas une température.

Contrôle — trois questions avant de tourner la page

Vérifier qu'on a compris, pas qu'on a lu

1 Ce que le résultat autorise

Le feuillet conclut que \( \theta_2 = 149{,}4 \) °C reste sous les 160 °C des joints, à 97,5 %. Qu'est-ce que cela permet d'engager dès maintenant, et qu'est-ce que cela n'autorise pas encore ?

Les joints tiennent : leur choix est validé pour la série, quel que soit le régime de la machine. Non — le verdict porte sur cet essai, à cet indice et à ce rapport de compression. La forme inverse traitée plus haut montre que la marge en indice n'est que de 0,018 : un refroidissement dégradé, une eau plus chaude en été, et la limite est franchie. Généraliser à tous les régimes revient à ignorer la sensibilité du résultat. Les joints sont restés dans leur domaine d'emploi pendant l'essai ; le point peut être versé au dossier, assorti d'une réserve sur la faiblesse de la marge. Juste — le verdict porte sur la tenue des joints dans les conditions de l'essai, et sur rien d'autre. Sa portée s'arrête là, et la réserve fait partie du livrable : un critère vérifié à 97,5 % ne s'annonce pas de la même manière qu'un critère vérifié à 60 %. Rien ne peut être conclu, faute de mesure directe de la température. Non — cette réponse laisse inutilisé le double contrôle mené dans le feuillet. La température est établie par deux chemins physiquement indépendants qui concordent à moins de 0,01 K près : c'est une détermination, non une estimation. Refuser de conclure reviendrait à exiger une sonde là où le calcul suffit.

2 Sensibilité — la bonne valeur, pas la bonne impression

Si l'air était admis à 20,0 °C au lieu de 5,60 °C — un atelier plus chaud en été —, tout le reste étant inchangé, que devient \( \theta_2 \), et le critère est-il encore respecté ?

\( \theta_2 = 163{,}8 \) °C — le critère est dépassé de 3,8 °C. Non — ce chiffre s'obtient en ajoutant l'écart de 14,4 °C directement à la température finale, comme si l'échauffement était additif. Or il est multiplicatif : c'est la température absolue qui est multipliée par 1,5157. L'écart avec le vrai résultat est de 7,4 °C. \( \theta_2 = 171{,}2 \) °C — le critère est dépassé de 11,2 °C. Juste — le calcul se mène de tête sur les températures absolues : \( 293{,}15 \times 1{,}5157 = 444{,}4 \) K, soit 171,2 °C. Un écart de 14,4 °C à l'aspiration en produit 21,8 au refoulement, parce que le facteur d'échauffement s'applique à l'écart lui aussi. Le dimensionnement est donc sensible à la température d'admission, et la marge de 10,6 °C constatée à l'essai ne survit pas à un atelier d'été. \( \theta_2 = 149{,}4 \) °C — inchangée, l'échauffement ne dépendant que du rapport de compression. Non — le rapport de compression fixe le rapport des températures absolues, pas leur différence. Multiplier une température plus élevée par le même facteur donne une température finale plus élevée : c'est précisément ce que dit la relation \( T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{n-1} \), où \( T_1 \) figure en facteur.

3 Reconnaître la question

Une bouteille de 20 L contient 1,2 kg d'azote sous 55 bar. Quelle est la température du gaz ? Juste — le mot qui tranche est « contient 1,2 kg » : une masse est donnée, avec un volume et une pression, et c'est la température qu'on demande. C'est exactement l'équation d'état sous forme massique appliquée à un seul état d'équilibre. Il faudra seulement employer la constante massique de l'azote, non celle de l'air. De l'air à 100 kPa et 15 °C est chauffé à volume constant jusqu'à 300 kPa. Quelle est sa température finale ? Non — ni la masse ni le volume ne sont donnés : l'équation d'état appliquée à un état ne peut pas aboutir. L'énoncé relève de la comparaison de deux états d'une même masse à volume constant, qui donne directement \( T_2 = T_1 \times P_2/P_1 \). La confusion est naturelle parce que la relation employée dérive de la même équation d'état — mais elle s'applique à un rapport, pas à un état isolé. Un cylindre contient 2,0 kg de fluide frigorigène sous 8 bar, dont une partie est liquide et l'autre vapeur. Quelle est la température ? Non — l'hypothèse violée est celle du gaz parfait, et plus radicalement celle de la phase unique. Dans un mélange liquide-vapeur en équilibre, pression et température ne sont plus indépendantes : la température est celle de saturation à 8 bar, qui se lit dans une table de propriétés du fluide et ne dépend ni du volume ni de la masse.

Feuillet visé — 3/3 Renvoyé à l'étude

Si un item ne tombe pas juste

Item 1 Relire le verdict : la valeur, son exigence, et ce que le critère protège.

Item 2 Relire la relation et la décomposition des termes : c'est là que se lit quel paramètre commande le résultat.

Item 3 Relire le tableau des formes et son invariant, en tête de cette section.

Question 3 : Travail reçu par l'air et puissance mécanique

Note de calculs · feuillet 3/4 Indice C · 30 juin 2026

Objet : travail des forces de pression reçu par l'air sur toute la course du piston, puissance mécanique moyenne, et confrontation à la puissance du groupe hydraulique.

Ce qu'on a déjà sur la table

\( P_2 \) = 606,3 kPa — feuillet 1
\( T_1 \) = 278,75 K et \( T_2 \) = 422,50 K, soit \( T_2 - T_1 \) = 143,75 K — feuillet 2
\( m\,R \) = 0,1435 kJ·K⁻¹ — feuillet 2 ; \( n \) = 1,300 et \( \Delta t \) = 60 s — pièce nº1
Puissance du groupe \( P_{\text{gr}} \) = 1,50 kW — pièce nº2

Voir le résultat seul (auto-évaluation)

\( W = \mathbf{68{,}77} \text{ kJ} \quad ; \quad P_{\text{m}} = \mathbf{1{,}146} \text{ kW} \)

Le problème posé :

Le mécanisme physique est celui d'une force qui travaille sur une distance : le piston pousse sur l'air avec une force égale au produit de la pression par sa section, et cette force s'exerce sur toute la course. La difficulté tient à ce que la pression n'est pas constante — elle sextuple pendant le mouvement —, si bien qu'on ne peut pas multiplier une force par un déplacement. Le modèle retenu est l'intégration du travail élémentaire le long de la transformation, c'est-à-dire l'aire sous la courbe dans le plan pression-volume ; pour une loi en puissance, cette intégrale s'écrit une fois pour toutes et ne fait plus intervenir que les deux états extrêmes.

Ce que le chargé d'études regarde d'abord

Observation Les deux produits \( P\,V \) valent 40,00 kJ à l'état 1 et 60,63 kJ à l'état 2 : ils ont la dimension d'une énergie, et leur écart de 20,63 kJ est déjà l'ordre de grandeur du travail, à un facteur \( 1/(n-1) \) près.

Le risque Écrire le dénominateur \( 1-n \) au lieu de \( n-1 \) sans toucher au numérateur inverse le signe : on annoncerait −68,77 kJ, c'est-à-dire un travail fourni par le gaz, sur une compression. L'erreur ne change aucun chiffre, seulement le sens physique du résultat.

Écartée Multiplier une pression moyenne par la variation de volume — soit 353 kPa fois 0,300 m³, donc 105,9 kJ — surestime de 54 % : la pression ne varie pas linéairement avec le volume, et sa moyenne arithmétique n'a pas de sens ici.

À vous de trancher — avant d'ouvrir

La formule du travail polytropique s'écrit avec un dénominateur \( n-1 \) ou \( 1-n \) selon les ouvrages, et le numérateur change de sens en conséquence. Comment lever le doute sans avoir à retenir laquelle des deux écritures va avec quelle convention ?

En retenant par cœur l'écriture associée à la convention du récepteur
En calculant la valeur absolue, puis en fixant le signe par le sens physique de la transformation
En vérifiant l'unité du résultat, qui trancherait le signe

Ce qu'a retenu le bureau, et pourquoi

L'option 2. Le sens physique ne dépend ni de l'ouvrage ni de la convention : sur une compression, le milieu extérieur fournit de l'énergie au gaz, donc le travail reçu par le gaz est positif dans la convention du récepteur. La mémoire n'a rien à retenir de plus. L'option 1 fonctionne tant que l'on ne change pas d'ouvrage, ce qui arrive à tout le monde. L'option 3 ne peut rien trancher : une unité est insensible au signe, et les deux résultats, +68,77 et −68,77 kJ, s'expriment tous deux en kilojoules. C'est précisément ce qui rend l'erreur de signe indétectable par l'analyse dimensionnelle, et c'est pourquoi elle doit être écartée par un raisonnement physique.

Rappel théorique : le travail des forces de pression et la convention de signe

Le travail échangé par un gaz avec ce qui le comprime est appelé travail de frontière mobile, parce qu'il n'existe que si la frontière du système se déplace. C'est la seule forme de travail qu'un système fermé simple puisse échanger.

D'où vient l'intégrale : sur un déplacement élémentaire du piston, la force pressante vaut \( P\,S \) et le déplacement \( \mathrm{d}x \), d'où un travail élémentaire \( P\,S\,\mathrm{d}x = P\,\mathrm{d}V \) en valeur absolue. Comme la compression réduit le volume, le travail reçu s'écrit \( \delta W = -P\,\mathrm{d}V \), et le travail total est l'intégrale de cette expression le long du chemin suivi. C'est pourquoi le travail dépend du chemin, alors que l'énergie interne n'en dépend pas.
La convention retenue ici : tout ce que le système reçoit est compté positivement, ce qui conduit à écrire le premier principe \( \Delta U = Q + W \). C'est la convention du récepteur, celle de la thermodynamique physique et chimique. Les traités de machines thermiques emploient souvent la convention inverse, qui compte positivement le travail fourni et écrit \( \Delta U = Q - W \). Les deux sont correctes ; les mélanger dans un même calcul ne l'est pas.
Pourquoi l'aire sous la courbe : dans le plan pression-volume, \( P\,\mathrm{d}V \) est l'aire d'un rectangle élémentaire, et l'intégrale est l'aire comprise entre la courbe et l'axe des volumes. Deux transformations reliant les mêmes états par des chemins différents délimitent des aires différentes, donc échangent des travaux différents : la représentation graphique rend ce fait immédiatement visible.

Hypothèses retenues, leur contrôle et leur garant

La pression du gaz est à chaque instant celle qui s'exerce sur le piston or ici la transformation est quasi statique, la vitesse du piston valant 9,95 mm·s⁻¹ contre 340 m·s⁻¹ pour la vitesse du son : aucune surpression locale ne subsiste devant la face du piston, et la pression relevée au capteur est bien celle qui travaille cinq ordres de grandeur d'écart, établis au feuillet 1
Le travail calculé est celui reçu par le gaz, frottements exclus le procès-verbal ne mesure pas l'effort développé par le vérin ; les frottements du piston sur le cylindre s'ajoutent au travail thermodynamique et sont supportés par le groupe hydraulique, non par le gaz. La marge disponible sous les 1,50 kW doit donc les couvrir posée par vous — elle figure dans la note
La puissance calculée est une moyenne sur les 60 s de la course or ici la pression sextuple pendant la course, donc la puissance instantanée n'est pas constante : à vitesse de piston constante, elle croît comme la pression, et la valeur en fin de course dépasse la moyenne d'un facteur voisin de 2 posée par vous — elle figure dans la note

Domaine d'emploi : l'expression employée est indéterminée pour \( n = 1 \), où le dénominateur s'annule. Ce n'est pas un défaut de la formule mais le signe que l'isotherme demande une autre intégration, dont le résultat fait intervenir un logarithme : \( W = P_1V_1 \ln(V_1/V_2) \). Dès que l'indice s'approche de 1, il faut basculer sur cette seconde expression plutôt que de forcer la première.

Équations mobilisées Travail de frontière mobile d'une transformation polytropique

D'où elle découle : de l'intégration de \( \delta W = -P\,\mathrm{d}V \) en remplaçant \( P \) par \( C/V^{n} \), où \( C \) est la constante de la loi polytropique. La primitive de \( V^{-n} \) vaut \( V^{1-n}/(1-n) \) pour tout \( n \) différent de 1, et en réintroduisant \( C = P_1V_1^{\,n} = P_2V_2^{\,n} \) on fait disparaître la constante au profit des deux états.

\[ \begin{aligned} W &= -\int_{V_1}^{V_2} P \, \mathrm{d}V \\[4pt] &= \frac{P_2\,V_2 - P_1\,V_1}{n-1} \end{aligned} \]

Ce que dit cette équation : le travail reçu par le gaz est proportionnel à l'écart entre les deux produits pression-volume, lesquels sont des énergies. Le facteur \( 1/(n-1) \) amplifie considérablement cet écart : il vaut 3,33 pour un indice de 1,300, et il croîtrait sans limite si l'indice se rapprochait de 1. Physiquement, cela traduit qu'à même rapport de compression, une transformation mieux refroidie demande de parcourir un chemin plus bas dans le plan pression-volume, donc d'y délimiter une aire plus petite.

\( W \) : travail reçu par le gaz, en kJ — positif en compression avec la convention du récepteur
\( P_1V_1, P_2V_2 \) : produits pression-volume aux deux états, en kJ lorsque les pressions sont en kPa et les volumes en m³
\( n-1 \) : écart de l'indice à l'unité, sans unité — vaut 0,300 ici ; l'expression est indéterminée s'il s'annule

Même travail, exprimé par l'écart de température

D'où elle découle : de la précédente, en remplaçant chacun des deux produits \( P\,V \) par \( m\,R\,T \) grâce à l'équation d'état. Elle est rigoureusement équivalente, mais elle mobilise des grandeurs différentes — la masse et les températures au lieu des pressions et des volumes —, ce qui en fait un contrôle véritable et non une répétition.

\[ \begin{aligned} W &= \frac{m\,R\,(T_2 - T_1)}{n-1} \end{aligned} \]

Ce que dit cette équation : le travail de compression est entièrement déterminé par l'échauffement subi par le gaz. C'est un résultat fort : deux compressions différentes qui portent la même masse d'air au même écart de température, avec le même indice, ont coûté le même travail, quels que soient les volumes et les pressions en jeu.

\( m \) : masse de gaz, en kg
\( R \) : constante massique du gaz, en kJ·kg⁻¹·K⁻¹
\( T_2 - T_1 \) : échauffement subi, en K — une différence, donc identique en kelvins et en degrés Celsius

Puissance mécanique moyenne

D'où elle découle : de la définition de la puissance, énergie échangée par unité de temps. La course étant parcourue à vitesse constante en 60 s, le quotient donne la valeur moyenne sur la course.

\[ \begin{aligned} P_{\text{m}} &= \frac{W}{\Delta t} \end{aligned} \]

Ce que dit cette équation : une même énergie appelle une puissance d'autant plus grande qu'on l'échange vite. C'est ce passage de l'énergie à la puissance qui décide du dimensionnement du groupe hydraulique : comprimer plus lentement le même air ne coûte pas moins d'énergie, mais demande une machine moins puissante.

\( P_m \) : puissance mécanique moyenne reçue par le gaz, en kW
\( W \) : travail reçu sur toute la course, en kJ
\( \Delta t \) : durée de la course, en s

Application numérique

Valeurs retenues pour ce calcul

\( P_1 = 100{,}0 \text{ kPa} \ ; \ V_1 = 0{,}400 \text{ m}^3 \) pièce nº1 — état initial
\( P_2 = 606{,}3 \text{ kPa} \ ; \ V_2 = 0{,}100 \text{ m}^3 \) calculée à la question 1, et pièce nº1
\( m\,R = 0{,}1435 \text{ kJ·K}^{-1} \ ; \ T_2 - T_1 = 143{,}75 \text{ K} \) établis à la question 2, pour le contrôle croisé
\( n - 1 = 0{,}300 \ ; \ \Delta t = 60 \text{ s} \) pièce nº1

1. Produits pression-volume aux deux états Écart des produits pression-volume

\[ \begin{aligned} P_2\,V_2 - P_1\,V_1 &= 606{,}3 \ \text{kPa} \times 0{,}100 \ \text{m}^3 - 100{,}0 \ \text{kPa} \times 0{,}400 \ \text{m}^3 \\[4pt] &= 60{,}63 \ \text{kJ} - 40{,}00 \ \text{kJ} \\[4pt] &= \mathbf{20{,}63} \ \text{kJ} \end{aligned} \]

Analyse du chiffre :

L'unité tombe d'elle-même : un kilopascal est un kilojoule par mètre cube, donc des kilopascals multipliés par des mètres cubes donnent des kilojoules. C'est la raison pour laquelle il n'a pas fallu convertir les pressions en pascals — travailler en kPa et en m³ donne directement des kJ, et fait gagner deux conversions. L'écart de 20,63 kJ n'est pas encore le travail : il faut encore le diviser par 0,300.

2. Travail reçu sur toute la course Travail de frontière mobile

\[ \begin{aligned} W &= \frac{P_2\,V_2 - P_1\,V_1}{n-1} \\[4pt] &= \frac{20{,}63 \ \text{kJ}}{1{,}300 - 1} \\[4pt] &= \frac{20{,}63 \ \text{kJ}}{0{,}300} \\[4pt] &= \mathbf{68{,}77} \ \text{kJ} \end{aligned} \]

Analyse du chiffre :

Le résultat est positif, conformément au sens physique : le vérin fournit de l'énergie au gaz. Son ordre de grandeur se contrôle par encadrement — une compression isotherme du même rapport ne coûterait que \( P_1V_1 \ln 4 = 55{,}45 \) kJ, une compression sans refroidissement 74,11 kJ. Le résultat tombe entre les deux, ce qui est cohérent avec un indice compris entre 1 et 1,400.

3. Contrôle par un chemin indépendant Travail exprimé par l'écart de température

\[ \begin{aligned} W &= \frac{m\,R\,(T_2 - T_1)}{n-1} \\[4pt] &= \frac{0{,}1435 \ \text{kJ·K}^{-1} \times 143{,}75 \ \text{K}}{0{,}300} \\[4pt] &= \frac{20{,}63 \ \text{kJ}}{0{,}300} \\[4pt] &= \mathbf{68{,}76} \ \text{kJ} \end{aligned} \]

Analyse du chiffre :

Les deux chemins concordent à 0,01 kJ près, soit 0,015 %, écart entièrement imputable à l'arrondi de \( P_2 \) à quatre chiffres significatifs. Le premier chemin a mobilisé les pressions et les volumes, le second la masse et les températures : leur accord valide l'ensemble de la chaîne établie depuis le premier feuillet. On retient 68,77 kJ.

4. Passage à la puissance Puissance mécanique moyenne sur la course

\[ \begin{aligned} P_{\text{m}} &= \frac{W}{\Delta t} \\[4pt] &= \frac{68{,}77 \ \text{kJ}}{60 \ \text{s}} \\[4pt] &= \mathbf{1{,}146} \ \text{kW} \end{aligned} \]

Analyse du chiffre :

Des kilojoules divisés par des secondes donnent des kilowatts. Cette puissance est une moyenne : à vitesse de piston constante, la puissance instantanée croît avec la pression et atteint en fin de course une valeur voisine du double de la moyenne. Le dimensionnement d'un groupe hydraulique se fait sur cette pointe autant que sur la moyenne, et c'est une des raisons pour lesquelles la marge sous les 1,50 kW ne doit pas être réduite à la portion congrue.

LE TRAVAIL, LU COMME UNE AIRE DANS LE PLAN PRESSION-VOLUME

L'aire teintée entre la courbe et l'axe des volumes est exactement le travail reçu par l'air. Elle se lit de droite à gauche, dans le sens de la compression. Une transformation mieux refroidie passerait plus bas et délimiterait une aire plus petite : c'est en cela que le refroidissement d'un compresseur réduit l'énergie qu'il consomme.

Vérification normative

Résultat du feuillet

P_m = 1,146 kW

Grandeur \( P_{\text{m}} \)

Valeur obtenue 1,146 kW (68,77 kJ en 60 s)

Exigence ≤ 1,50 kW
Groupe hydraulique — pièce nº2

Taux de travail 76,4 %

Ce que ce critère protège : la capacité du banc à mener l'essai à son terme à vitesse constante. Un groupe qui atteint sa puissance nominale avant la fin de la course ralentit, la vitesse de piston cesse d'être constante, et l'indice polytropique relevé perd sa signification — c'est-à-dire que l'essai lui-même devient inexploitable. La marge de 23,6 % n'est pas du confort : elle couvre les frottements du piston, non mesurés, et la pointe de puissance en fin de course.

CRITÈRE VÉRIFIÉ — le groupe hydraulique de 1,50 kW suffit à mener la compression à vitesse constante, avec 0,354 kW de réserve. Le travail \( W \) est repris à la question 4, où il constitue le terme d'apport du bilan énergétique.

Établi par vous, chargé d'études au bureau d'études thermique

Vérifié par le responsable du bureau d'études · 3 juillet 2026

Le résultat part à le service maintenance — fiche du groupe hydraulique, ligne « puissance appelée en essai »

Maîtriser cette question, et vérifier qu'on l'a comprise

Les formes sous lesquelles elle tombe

Forme	Ce qui est donné	Ce qui est cherché	Ce qui change dans la démarche
Directe	Les deux états et l'indice	Le travail reçu, puis la puissance	Aucun changement — c'est le cas traité ci-dessus.
Inverse	La puissance disponible, à l'égalité	La durée minimale de la course	Même relation, mêmes hypothèses ; on isole \( \Delta t \) au lieu de \( P_m \). Traitée juste en dessous.
Condition modifiée	Un indice égal à 1, soit une compression isotherme	Le même travail	L'expression employée devient indéterminée : l'étape qui tombe est l'intégration en puissance, et ce qui la remplace est \( W = P_1V_1\ln(V_1/V_2) \). Le reste de la démarche est intact.
Données incomplètes	La pression finale n'est pas fournie	Le même travail	On emploie la seconde écriture, qui ne demande que la masse, la constante massique et les deux températures — en déclarant que l'on suppose le gaz parfait, puisque c'est elle qui rend les deux formes équivalentes.

Ce qui ne change jamais : le travail des forces de pression est l'aire comprise entre le chemin suivi et l'axe des volumes, et il dépend donc du chemin et non seulement des états extrêmes. Ce qui se déplace d'une forme à l'autre, c'est l'expression de cette aire, jamais sa nature. Nommer cet invariant est ce qui permet de reconnaître la question devant un cylindre d'essai, un compresseur, un moteur ou un vérin.

La forme inverse, traitée

Énoncé : on impose la puissance mécanique juste égale aux 1,50 kW du groupe. En combien de temps, au minimum, la course peut-elle alors être parcourue ? Traitez-la avant d'ouvrir : c'est la variante d'examen la plus fréquente, et celle qui piège le plus, parce qu'elle demande d'isoler une autre variable dans la même relation.

Voir la résolution de la forme inverse

\[ \begin{aligned} \Delta t_{\text{min}} &= \frac{W}{P_{\text{gr}}} \\[4pt] &= \frac{68{,}77 \ \text{kJ}}{1{,}50 \ \text{kW}} \\[4pt] &= \mathbf{45{,}8} \ \text{s} \end{aligned} \]

Ce que la forme inverse change : la durée passe du dénominateur au résultat, et le sens de l'inégalité se retourne : plafonner la puissance revient à imposer une durée minimale, non maximale, puisque aller plus vite appellerait plus de puissance. C'est là que se perdent les points. Le résultat est à arrondir par le haut et non au plus proche : 46 s laissent 0,3 % de marge, 45 s feraient déjà dépasser le groupe. Une réserve s'impose par ailleurs, et elle limite la portée du résultat : accélérer la course modifierait l'indice polytropique lui-même, en laissant moins de temps à la chemise pour évacuer la chaleur — le travail ne resterait donc pas égal à 68,77 kJ.

Les erreurs de cette question

Les deux erreurs ci-dessous sont les seules réellement observées sur ce calcul. La première ne change aucun chiffre, seulement un signe ; la seconde applique la bonne démarche à la mauvaise transformation.

Écrire \( W = (P_2V_2 - P_1V_1)/(1-n) \), en gardant le numérateur dans le même sens

Ce que ça donne −68,77 kJ au lieu de +68,77 kJ : la valeur absolue est juste, le signe est inversé. Au bilan de la dernière question, cela conduirait à \( Q = +120{,}4 \) kJ au lieu de −17,16 kJ, c'est-à-dire à conclure que la chemise chauffe l'air au lieu de le refroidir.

Le signe qui la trahit Le sens physique se contrôle sans aucun calcul : on comprime, donc on fournit de l'énergie au gaz, donc le travail reçu est positif. Un travail négatif sur une compression est faux quelle que soit sa valeur. L'analyse dimensionnelle, elle, ne peut rien ici : les deux résultats s'expriment en kilojoules.

Employer l'expression de l'isotherme \( W = P_1V_1\ln(V_1/V_2) \) sur une transformation d'indice 1,300

Ce que ça donne 55,45 kJ au lieu de 68,77 kJ, soit −19,4 %. La puissance annoncée tomberait à 0,924 kW et le groupe paraîtrait sollicité à 62 % au lieu de 76 %.

Le signe qui la trahit L'expression employée ne contient pas l'indice, alors que l'énoncé en fournit un et insiste sur sa mesure. Chaque fois qu'une donnée mise en avant par l'énoncé n'apparaît nulle part dans le calcul, c'est que la relation employée décrit une autre transformation que celle du problème.

Contrôle — trois questions avant de tourner la page

Vérifier qu'on a compris, pas qu'on a lu

1 Ce que le résultat autorise

Le feuillet conclut que \( P_m = 1{,}146 \) kW reste sous les 1,50 kW du groupe, à 76,4 %. Qu'est-ce que cela permet d'engager dès maintenant, et qu'est-ce que cela n'autorise pas encore ?

Le groupe peut mener l'essai deux fois plus vite, la marge de 23,6 % le permettant. Non — doubler la vitesse doublerait la puissance appelée, soit 2,29 kW, très au-delà des 1,50 kW. Une marge de 23,6 % en puissance n'autorise qu'un gain de 23,6 % sur la durée, et encore : la forme inverse traitée plus haut montre que la durée ne peut descendre sous 45,8 s. Le groupe existant convient pour cet essai à 60 s ; la fiche du groupe peut être renseignée, sous réserve des frottements non mesurés et de la pointe de fin de course. Juste — le verdict porte sur la puissance moyenne reçue par le gaz dans les conditions de cet essai, et sur rien d'autre. Les deux réserves font partie du livrable : elles disent exactement ce que la marge de 23,6 % doit encore absorber. Rien ne peut être conclu tant que les frottements du piston ne sont pas mesurés. Non — cette réponse laisse inutilisé le résultat obtenu. Le travail thermodynamique est une borne inférieure de ce que le groupe doit fournir : établir qu'elle vaut 76,4 % de la puissance disponible est une information exploitable, à condition de dire — comme le fait le verdict — qu'elle ne couvre pas les frottements.

2 Sensibilité — la bonne valeur, pas la bonne impression

Si la chemise était mise hors service et que la compression devenait adiabatique (\( n = 1{,}400 \)), tout le reste étant inchangé, que devient le travail reçu ?

\( W = 74{,}07 \) kJ — soit 7,7 % de plus, proportionnellement à la hausse de l'indice. Non — ce chiffre applique au travail la variation relative de l'indice, 1,400/1,300. Or l'indice intervient deux fois : il élève la pression finale, et il réduit le facteur \( 1/(n-1) \). Ces deux effets ne se composent pas par une simple proportion. L'écart avec le vrai résultat est de 0,1 %, ce qui rend cette réponse trompeusement proche — la démarche reste fausse et cesserait de tomber juste pour un autre rapport de compression. \( W = 74{,}11 \) kJ — soit 7,8 % de plus, et une puissance de 1,235 kW. Juste — le calcul se mène par la seconde écriture : \( P_2 = 100{,}0 \times 4^{1{,}400} = 696{,}4 \) kPa, d'où \( P_2V_2 - P_1V_1 = 29{,}64 \) kJ et \( W = 29{,}64/0{,}400 = 74{,}11 \) kJ. Ce que cela enseigne : refroidir pendant la compression réduit le travail à fournir, de 7,8 % ici. C'est la raison économique pour laquelle les compresseurs industriels sont refroidis, et non seulement une précaution pour les matériaux. \( W = 68{,}77 \) kJ — inchangé, le travail ne dépendant que des deux volumes. Non — les deux volumes fixent seulement les bornes de l'intégration ; c'est l'indice qui fixe le chemin suivi entre elles, donc l'aire délimitée. Deux transformations reliant les mêmes volumes par des chemins différents échangent des travaux différents : c'est la définition même d'une grandeur qui dépend du chemin.

3 Reconnaître la question

Un gaz se détend dans un vérin de 0,05 à 0,20 m³ en suivant une loi d'exposant 1,15, à partir de 900 kPa. Quel travail fournit-il au piston ? Juste — le mot qui tranche est « en suivant une loi d'exposant » : le chemin est donné sous forme polytropique, avec les deux volumes et la pression initiale. C'est exactement la même intégrale. Seul le sens change — il s'agit d'une détente, donc le travail reçu par le gaz sera négatif et celui qu'il fournit au piston positif. Un piston maintenu sous une pression constante de 300 kPa par un poids voit le gaz sous lui chauffer et passer de 0,10 à 0,18 m³. Quel travail le gaz fournit-il ? Non — la pression est constante : la transformation est isobare, ce qui correspond à un indice nul. L'aire sous la courbe est alors un simple rectangle, et le travail vaut \( P\,\Delta V = 24 \) kJ sans aucune intégration. La confusion est naturelle parce qu'il s'agit bien d'un travail de frontière mobile — mais employer la formule polytropique avec \( n = 0 \) donnerait le même résultat par un chemin inutilement long. De l'eau liquide est comprimée par une pompe de 1 à 40 bar. Quel travail la pompe fournit-elle par kilogramme ? Non — l'hypothèse violée est celle du fluide compressible. Un liquide ne change pratiquement pas de volume sous pression : l'aire sous la courbe dans le plan pression-volume est quasi nulle, et le travail de la pompe ne se calcule pas par cette intégrale mais par \( v\,\Delta P \), le volume massique restant constant. La démarche est apparentée mais la relation est différente.

Feuillet visé — 3/3 Renvoyé à l'étude

Si un item ne tombe pas juste

Item 1 Relire le verdict : la valeur, son exigence, et ce que le critère protège.

Item 2 Relire la relation et la décomposition des termes : c'est là que se lit quel paramètre commande le résultat.

Item 3 Relire le tableau des formes et son invariant, en tête de cette section.

Question 4 : Bilan du premier principe et charge de la chemise

Note de calculs · feuillet 4/4 Indice C · 30 juin 2026

Objet : variation d'énergie interne de l'air, chaleur échangée avec l'extérieur et son signe, puissance thermique évacuée par la chemise et confrontation à sa capacité.

Ce qu'on a déjà sur la table

\( W \) = 68,77 kJ reçu par l'air — feuillet 3
\( T_2 - T_1 \) = 143,75 K — feuillet 2
\( m \) = 0,500 kg — pièce nº1 ; \( c_v \) = 0,718 et \( R \) = 0,287 kJ·kg⁻¹·K⁻¹ — pièce nº3
\( \Delta t \) = 60 s — pièce nº1 ; capacité de la chemise \( P_{\text{ch}} \) = 0,400 kW — pièce nº2

Voir le résultat seul (auto-évaluation)

\( \Delta U = \mathbf{51{,}61} \text{ kJ} \ ; \ Q = \mathbf{-17{,}16} \text{ kJ} \ ; \ P_{\text{evac}} = \mathbf{0{,}286} \text{ kW} \)

Le problème posé :

Le mécanisme physique est un partage : le vérin a versé 68,77 kJ dans le gaz, et cette énergie ne peut aller qu'à deux endroits — rester dans le gaz sous forme d'agitation moléculaire, ce que mesure la hausse de température, ou sortir par la paroi refroidie. Ce que la chemise a réellement évacué est donc ce qui reste une fois retranché ce qui est resté. Le modèle retenu est le premier principe appliqué au système fermé, qui n'est rien d'autre que l'écriture comptable de ce partage, complété par la première loi de Joule qui donne accès au terme de stockage à partir de la seule température.

Ce que le chargé d'études regarde d'abord

Observation Le gaz s'est échauffé de 143,75 K, ce qui représente 51,61 kJ stockés, alors qu'il a reçu 68,77 kJ de travail. Il manque 17,16 kJ au bilan, et ce manque n'a qu'une issue possible : la paroi.

Le risque Employer \( c_p \) au lieu de \( c_v \) pour le stockage donne 72,23 kJ, soit plus que le travail reçu : la chaleur ressortirait positive, à +3,46 kJ, et l'on conclurait que la chemise réchauffe l'air au lieu de le refroidir. L'erreur ne se voit pas sur un chiffre mais sur un signe, donc sur le sens de l'installation.

Écartée Estimer la chaleur évacuée à partir du débit d'eau et de son échauffement serait la mesure directe, mais le procès-verbal ne consigne ni le débit ni les températures d'eau : le bilan sur le gaz est le seul chemin que le dossier permette.

À vous de trancher — avant d'ouvrir

L'air s'échauffe de 143,75 K pendant la compression. Que peut-on en déduire, avant tout calcul, sur le signe de la chaleur échangée avec la chemise ?

La chaleur est nécessairement reçue par l'air, puisque sa température augmente
La chaleur est nécessairement cédée par l'air, puisque l'indice mesuré est inférieur au coefficient isentropique
On ne peut rien en déduire : seul le bilan chiffré tranchera

Ce qu'a retenu le bureau, et pourquoi

L'option 2, et c'est le point le plus contre-intuitif de tout le dossier. L'option 1 confond deux choses distinctes : la température d'un gaz peut monter sans aucun apport de chaleur, par le seul travail de compression — c'est le cas d'une adiabatique. Ici, mieux encore, elle monte alors même que le gaz cède de la chaleur, simplement moins qu'il ne reçoit de travail. La donnée qui tranche est la position de l'indice : \( 1 < n < \gamma \) impose une capacité thermique polytropique négative, donc une chaleur de signe opposé à la variation de température. L'option 3 est prudente mais renonce à un contrôle gratuit : savoir avant de calculer que \( Q \) doit être négatif permet de détecter immédiatement une erreur de signe sur \( W \) ou une confusion entre \( c_p \) et \( c_v \) — qui donneraient toutes deux un \( Q \) positif.

Rappel théorique : la capacité thermique polytropique et son signe

Chaque type de transformation possède sa propre capacité thermique, c'est-à-dire son propre rapport entre la chaleur reçue et l'élévation de température obtenue. Celle de la transformation polytropique réserve une surprise que ce feuillet met en évidence.

Une capacité par transformation : à volume constant, il faut \( c_v \) par kilogramme et par kelvin ; à pression constante, il faut davantage — \( c_p = c_v + R \) — parce qu'une partie de l'énergie sert à repousser le milieu extérieur. Pour une polytropique quelconque, la capacité vaut \( c_n = c_v - R/(n-1) \), expression qui redonne bien \( c_v \) lorsque l'indice tend vers l'infini, c'est-à-dire à volume constant.
Pourquoi elle peut être négative : pour tout indice strictement compris entre 1 et \( \gamma \), le terme soustrait dépasse \( c_v \) et la capacité devient négative. Cela signifie que le gaz cède de la chaleur tout en gagnant de la température : le travail de compression lui apporte plus d'énergie que sa température n'en réclame, et l'excédent sort par la paroi. Ce n'est pas une anomalie mais la définition même d'une compression refroidie.
Ce que le signe de \( Q \) mesure ici : il ne dit pas si le gaz chauffe ou refroidit — la température, elle, monte dans tous les cas d'une compression. Il dit dans quel sens l'énergie traverse la paroi, donc ce que la chemise doit prendre en charge. C'est cette grandeur, et non l'élévation de température, qui dimensionne un échangeur.

Hypothèses retenues, leur contrôle et leur garant

Les énergies cinétique et potentielle macroscopiques de la masse d'air sont négligées devant les termes du bilan or ici la masse vaut 0,500 kg et la vitesse du piston 9,95 mm·s⁻¹, ce qui donne une énergie cinétique de 2,5 × 10⁻⁵ J, à comparer aux 68 770 J de travail — un rapport de 4 × 10⁻¹⁰ dix ordres de grandeur d'écart, calculés ci-contre
La capacité thermique massique \( c_v \) est constante de 278,75 à 422,50 K or ici les deux températures encadrent un intervalle entièrement contenu dans le palier où l'air compte cinq degrés de liberté actifs. La portée de cette hypothèse se chiffre : si les modes de vibration étaient pleinement excités, \( c_v \) passerait de \( \tfrac{5}{2}R \) à \( \tfrac{7}{2}R \), le stockage de 51,61 à 72,23 kJ, et la chaleur évacuée changerait de signe garantie par la pièce nº3, dans son domaine de lecture
Toute la chaleur cédée par l'air passe par la chemise le cylindre échange aussi avec l'air ambiant par ses faces non chemisées, et le dossier ne quantifie pas cette part ; la négliger attribue à la chemise la totalité de la chaleur, ce qui place le contrôle du côté défavorable et rend un résultat conforme d'autant plus solide posée par vous — elle figure dans la note

Domaine d'emploi : le bilan écrit ici suppose le système fermé. Il cesse de s'appliquer dès qu'une masse traverse la frontière — ce qui serait le cas d'un compresseur en service, qui aspire et refoule. Le bilan doit alors s'écrire pour un système ouvert, et c'est l'enthalpie, non l'énergie interne, qui y prend la place du terme de stockage.

Équations mobilisées Variation d'énergie interne d'un gaz parfait

D'où elle découle : de la première loi de Joule, selon laquelle l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température. Sa variation entre deux états se calcule donc en imaginant n'importe quel chemin reliant les deux températures, et le plus simple est le chemin à volume constant, pour lequel la chaleur reçue vaut par définition \( m\,c_v\,\Delta T \).

\[ \begin{aligned} \Delta U &= m\,c_v\,(T_2 - T_1) \end{aligned} \]

Ce que dit cette équation : l'énergie stockée dans l'agitation moléculaire ne dépend que de la température atteinte, jamais du chemin suivi pour y parvenir. C'est pourquoi \( c_v \) s'emploie ici bien que le volume ait varié d'un facteur quatre : l'indice « v » rappelle comment cette capacité se mesure, pas dans quelles conditions elle s'applique.

\( \Delta U \) : variation d'énergie interne de la masse d'air, en kJ
\( m \) : masse de gaz, en kg — constante, le système étant fermé
\( c_v \) : capacité thermique massique à volume constant, en kJ·kg⁻¹·K⁻¹
\( T_2 - T_1 \) : échauffement subi, en K

Premier principe pour un système fermé

D'où elle découle : du principe de conservation de l'énergie, qui pose que la variation de l'énergie contenue dans un système est égale à la somme algébrique de tout ce qui a traversé sa frontière. Pour un système fermé au repos, deux formes seulement traversent cette frontière : le travail et la chaleur.

\[ \begin{aligned} \Delta U &= Q + W \\[4pt] \Longrightarrow \quad Q &= \Delta U - W \end{aligned} \]

Ce que dit cette équation : ce qui est stocké est égal à ce qui est entré, moins ce qui est ressorti. La chaleur apparaît ici comme le terme d'ajustement du bilan : c'est l'énergie qu'il a fallu évacuer pour que le gaz suive exactement la loi polytropique relevée à l'essai. Un signe négatif signifie une sortie, un signe positif une entrée — la convention du récepteur ne se discute pas une fois choisie.

\( Q \) : chaleur reçue par le gaz, en kJ — négative si le gaz en cède
\( W \) : travail reçu par le gaz, en kJ — positif en compression
\( \Delta U \) : variation d'énergie interne, en kJ

Capacité thermique polytropique, pour le contrôle

D'où elle découle : en écrivant le premier principe sous forme différentielle le long de la transformation polytropique et en identifiant le coefficient qui relie la chaleur élémentaire à l'élévation de température. Elle donne accès à \( Q \) sans passer par le travail, ce qui en fait un contrôle indépendant.

\[ \begin{aligned} c_n &= c_v - \frac{R}{n-1} \\[4pt] \Longrightarrow \quad Q &= m\,c_n\,(T_2 - T_1) \end{aligned} \]

Ce que dit cette équation : la chaleur échangée est proportionnelle à l'échauffement, mais avec un coefficient qui dépend du chemin suivi et qui peut être négatif. Ce coefficient s'annule pour \( n = \gamma \) — c'est l'adiabatique — et tend vers l'infini pour \( n = 1 \) — c'est l'isotherme, où le gaz échange de la chaleur sans varier de température.

\( c_n \) : capacité thermique massique de la transformation polytropique, en kJ·kg⁻¹·K⁻¹ — négative pour \( 1 < n < \gamma \)
\( c_v \) : capacité thermique massique à volume constant, en kJ·kg⁻¹·K⁻¹
\( R \) : constante massique du gaz, en kJ·kg⁻¹·K⁻¹

Application numérique

Valeurs retenues pour ce calcul

\( m = 0{,}500 \text{ kg} \ ; \ c_v = 0{,}718 \text{ kJ·kg}^{-1}\text{·K}^{-1} \) pièce nº1 et pièce nº3, dans son domaine de lecture
\( T_2 - T_1 = 143{,}75 \text{ K} \) établi à la question 2
\( W = 68{,}77 \text{ kJ} \) calculé à la question 3 — reçu par le gaz, donc positif
\( R = 0{,}287 \text{ kJ·kg}^{-1}\text{·K}^{-1} \ ; \ n - 1 = 0{,}300 \) pièce nº3 et pièce nº1, pour le contrôle indépendant
\( \Delta t = 60 \text{ s} \) pièce nº1

1. Énergie restée dans le gaz Variation d'énergie interne de la masse d'air

À vous : posez ce calcul

Vous avez la relation et les valeurs retenues juste au-dessus. Écrivez la substitution complète, unités comprises, menez-la jusqu'au résultat, puis seulement alors ouvrez le corrigé. Chercher avant de lire est ce qui fixe la méthode ; lire d'abord ne fixe rien.

Comparer avec le corrigé

\[ \begin{aligned} \Delta U &= m\,c_v\,(T_2 - T_1) \\[4pt] &= 0{,}500 \ \text{kg} \times 0{,}718 \ \text{kJ·kg}^{-1}\text{·K}^{-1} \times 143{,}75 \ \text{K} \\[4pt] &= 0{,}359 \ \text{kJ·K}^{-1} \times 143{,}75 \ \text{K} \\[4pt] &= \mathbf{51{,}61} \ \text{kJ} \end{aligned} \]

Si votre résultat diffère : deux écarts sont probables sur ce calcul précis. Si vous trouvez 72,23 kJ, vous avez employé \( c_p = 1{,}005 \) au lieu de \( c_v \) — le rapport entre les deux résultats vaut alors exactement 1,400. Si vous trouvez 103,2 kJ, la masse a été oubliée et le résultat porte encore un kilogramme au dénominateur de son unité. Pour trancher, divisez votre résultat par 51,61 : un rapport de 1,400 désigne la première erreur, un rapport de 2,000 la seconde.

Analyse du chiffre :

Le gaz a donc retenu 51,61 kJ sur les 68,77 kJ qu'il a reçus, soit 75 %. Le signe est positif, ce qui est cohérent avec une température qui monte : l'énergie interne d'un gaz parfait est une fonction croissante de la seule température. Ce chiffre est déjà, à lui seul, la réponse à la question de fond du dossier — puisqu'il manque 17,16 kJ au bilan, et qu'ils n'ont pu sortir que par la paroi.

2. Bilan du premier principe Chaleur échangée avec l'extérieur

\[ \begin{aligned} Q &= \Delta U - W \\[4pt] &= 51{,}61 \ \text{kJ} - 68{,}77 \ \text{kJ} \\[4pt] &= \mathbf{-17{,}16} \ \text{kJ} \end{aligned} \]

Analyse du chiffre :

Le signe négatif est l'information principale de ce feuillet : dans la convention du récepteur, il signifie que l'air a cédé 17,16 kJ à son environnement. Et il les a cédés tout en s'échauffant de 143,75 K, ce qui n'a rien de contradictoire : le travail lui a apporté plus d'énergie que sa montée en température n'en réclamait, et l'excédent est sorti par la chemise. C'est très exactement ce que traduit un indice polytropique compris entre 1 et 1,400.

3. Contrôle par un chemin indépendant Capacité thermique de la transformation polytropique

\[ \begin{aligned} c_n &= c_v - \frac{R}{n-1} \\[4pt] &= 0{,}718 \ \text{kJ·kg}^{-1}\text{·K}^{-1} - \frac{0{,}287 \ \text{kJ·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}}{0{,}300} \\[4pt] &= (0{,}718 - 0{,}9567) \ \text{kJ·kg}^{-1}\text{·K}^{-1} \\[4pt] &= \mathbf{-0{,}2387} \ \text{kJ·kg}^{-1}\text{·K}^{-1} \end{aligned} \]

Analyse du chiffre :

Cette capacité est négative, comme annoncé : elle l'est pour tout indice strictement compris entre 1 et 1,400. Une capacité thermique négative n'a rien d'un artefact de calcul — elle exprime qu'il faut retirer de la chaleur à ce gaz pour qu'il suive ce chemin-là en s'échauffant. Elle s'annulerait exactement pour \( n = 1{,}400 \), ce qui est la définition de l'adiabatique.

4. Vérification croisée de la chaleur Chaleur échangée, par la capacité polytropique

\[ \begin{aligned} Q &= m\,c_n\,(T_2 - T_1) \\[4pt] &= 0{,}500 \ \text{kg} \times (-0{,}2387) \ \text{kJ·kg}^{-1}\text{·K}^{-1} \times 143{,}75 \ \text{K} \\[4pt] &= \mathbf{-17{,}16} \ \text{kJ} \end{aligned} \]

Analyse du chiffre :

Les deux chemins donnent la même valeur, signe compris. Le premier est passé par le travail calculé au feuillet 3, le second n'a utilisé que les deux capacités et l'indice : leur accord valide simultanément le travail, la variation d'énergie interne et la loi polytropique. C'est le contrôle le plus complet de toute la note, et il ne coûte que trois lignes.

5. Passage à la puissance Puissance thermique évacuée par la chemise

\[ \begin{aligned} P_{\text{evac}} &= \frac{\left| Q \right|}{\Delta t} \\[4pt] &= \frac{17{,}16 \ \text{kJ}}{60 \ \text{s}} \\[4pt] &= \mathbf{0{,}286} \ \text{kW} \end{aligned} \]

Analyse du chiffre :

On prend ici la valeur absolue parce qu'une capacité d'échangeur s'exprime toujours positivement : le signe a déjà dit le sens, la capacité dit l'intensité. Cette puissance de 0,286 kW représente 25 % de la puissance mécanique reçue, ce qui est l'autre lecture du même bilan : un quart de l'énergie fournie ressort par la paroi, les trois autres quarts restent dans le gaz.

Vérification normative

Résultat du feuillet

P_évac = 0,286 kW

Grandeur \( P_{\text{evac}} \)

Valeur obtenue 0,286 kW (17,16 kJ en 60 s)

Exigence ≤ 0,400 kW
Chemise, eau entrant à 15 °C — pièce nº2

Taux de travail 71,5 %

Ce que ce critère protège : la réalité même de l'indice polytropique relevé. Une chemise incapable d'évacuer la chaleur produite ne maintiendrait pas la transformation sur son chemin : l'indice remonterait vers 1,400, la température finale avec lui, et les joints sortiraient de leur domaine d'emploi. La capacité de la chemise n'est donc pas un critère de confort thermique mais la condition de validité de tout le reste de la note.

CRITÈRE VÉRIFIÉ — la chemise évacue 0,286 kW pour une capacité de 0,400 kW, avec 28,5 % de réserve. La qualification peut être prononcée, sous réserve de la température de l'eau d'entrée, non consignée pendant l'essai. Résultat terminal. Il alimente, avec les trois précédents, l'avis de qualification remis au service qualité le 10 juillet.

Établi par vous, chargé d'études au bureau d'études thermique

Vérifié par le responsable du bureau d'études · 3 juillet 2026

Le résultat part à le service qualité — dossier de qualification de la chemise, avis de conformité

Maîtriser cette question, et vérifier qu'on l'a comprise

Les formes sous lesquelles elle tombe

Forme	Ce qui est donné	Ce qui est cherché	Ce qui change dans la démarche
Directe	Le travail et l'écart de température	La chaleur échangée et son signe	Aucun changement — c'est le cas traité ci-dessus.
Inverse	La capacité de l'échangeur, à l'égalité	La durée minimale de la course	Même bilan, mêmes hypothèses ; on isole \( \Delta t \) au lieu de la puissance. Traitée juste en dessous.
Condition modifiée	Une transformation adiabatique au lieu de polytropique	La même chaleur	L'étape qui tombe est le calcul : \( Q = 0 \) par définition, et le bilan se réduit à \( \Delta U = W \). L'échangeur n'a plus lieu d'être, ce qui est le cas limite vers lequel tend une chemise défaillante.
Données incomplètes	Le travail n'est pas fourni	La même chaleur	On emploie la capacité thermique polytropique, qui donne \( Q \) à partir du seul écart de température et de l'indice — en déclarant la valeur de \( c_v \) retenue et son domaine, jamais en silence.

Ce qui ne change jamais : l'énergie se conserve, et la variation d'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température. Ce qui se déplace d'une forme à l'autre, c'est le terme du bilan que l'on cherche, jamais la structure du bilan lui-même. Nommer cet invariant est ce qui permet de reconnaître la question devant un cylindre, un réacteur chimique, une enceinte calorifugée ou un local à climatiser.

La forme inverse, traitée

Énoncé : on impose la puissance évacuée juste égale aux 0,400 kW de la chemise. En combien de temps, au minimum, la course peut-elle être parcourue sans que la chemise soit dépassée, à indice inchangé ? Traitez-la avant d'ouvrir : c'est la variante d'examen la plus fréquente, et celle qui piège le plus, parce qu'elle demande d'isoler une autre variable dans la même relation.

Voir la résolution de la forme inverse

\[ \begin{aligned} \Delta t_{\text{min}} &= \frac{\left| Q \right|}{P_{\text{ch}}} \\[4pt] &= \frac{17{,}16 \ \text{kJ}}{0{,}400 \ \text{kW}} \\[4pt] &= \mathbf{42{,}9} \ \text{s} \end{aligned} \]

Ce que la forme inverse change : la durée passe du dénominateur au résultat, et le sens de l'inégalité se retourne : plafonner la puissance impose une durée minimale. C'est là que se perdent les points. Le résultat s'arrondit par le haut, à 43 s. Il éclaire aussi la comparaison des deux organes : le groupe hydraulique impose 45,8 s au minimum, la chemise seulement 42,9 s. C'est donc le groupe, et non la chemise, qui limite la vitesse d'essai — un renseignement qu'aucun des deux feuillets ne donnait séparément. Une réserve subsiste toutefois : accélérer la course laisserait moins de temps à l'échange thermique et ferait remonter l'indice, si bien que \( Q \) ne resterait pas égal à 17,16 kJ.

Les erreurs de cette question

Les deux erreurs ci-dessous ont ceci de commun qu'elles inversent le signe du résultat, donc le sens de l'installation : elles font conclure qu'il faut chauffer là où il faut refroidir.

Employer \( c_p = 1{,}005 \) au lieu de \( c_v \) pour la variation d'énergie interne

Ce que ça donne \( \Delta U = 72{,}23 \) kJ au lieu de 51,61 kJ, soit +40,0 %, et surtout \( Q = +3{,}46 \) kJ au lieu de −17,16 kJ : la conclusion devient que la chemise apporte de la chaleur à l'air.

Le signe qui la trahit Le résultat contredit la position de l'indice, qui est une donnée d'essai : \( 1 < n < 1{,}400 \) impose une chaleur négative. Il contredit aussi le dispositif décrit, où une chemise parcourue par de l'eau à 15 °C ne peut manifestement pas réchauffer un gaz à 149 °C. Un résultat qui contredit le sens de circulation d'un organe du dossier est faux, quel qu'il soit.

Écrire \( Q = \Delta U + W \), en additionnant les deux termes au lieu de les retrancher

Ce que ça donne +120,4 kJ au lieu de −17,16 kJ, soit une puissance de 2,01 kW à apporter par la chemise — cinq fois sa capacité, et dans le mauvais sens.

Le signe qui la trahit La chaleur annoncée dépasse le travail fourni : le système restituerait plus d'énergie qu'il n'en a reçu, ce qui viole la conservation de l'énergie. Le contrôle est immédiat et ne demande aucune connaissance du résultat juste — dans un bilan, aucun terme ne peut excéder la somme de ceux qui l'alimentent.

Contrôle — trois questions avant de tourner la page

Vérifier qu'on a compris, pas qu'on a lu

1 Ce que le résultat autorise

Le feuillet conclut que la chemise évacue 0,286 kW pour une capacité de 0,400 kW, à 71,5 %. Qu'est-ce que cela permet d'engager dès maintenant, et qu'est-ce que cela n'autorise pas encore ?

La chemise est surdimensionnée : on peut retenir en série un modèle de capacité inférieure. Non — la capacité de 0,400 kW est annoncée pour une eau entrant à 15 °C, condition qui n'a pas été consignée pendant l'essai et qui ne sera pas tenue en été. La réserve de 28,5 % couvre précisément cette incertitude, ainsi que la part de chaleur évacuée par les faces non chemisées, que le calcul a attribuée à la chemise. La chemise remplit son office dans les conditions de l'essai ; la qualification peut être prononcée, assortie d'une réserve sur la température de l'eau d'entrée. Juste — le verdict porte sur la charge thermique réellement imposée à la chemise pendant cet essai, et sur rien d'autre. La réserve fait partie du livrable : elle nomme exactement la condition de validité que le procès-verbal n'a pas relevée. Rien ne peut être conclu : la chaleur n'a pas été mesurée sur le circuit d'eau. Non — cette réponse laisse inutilisé le double calcul du feuillet. La chaleur est établie par deux chemins indépendants qui concordent, dont l'un ne fait intervenir que l'indice et les capacités. Le bilan sur le gaz est une détermination, non une estimation : exiger une mesure côté eau reviendrait à refuser ce que la conservation de l'énergie garantit.

2 Sensibilité — la bonne valeur, pas la bonne impression

Si le refroidissement était amélioré au point de ramener l'indice à 1,200, tout le reste étant inchangé, que devient la puissance à évacuer, et la chemise suffit-elle encore ?

\( P_{\text{evac}} = 0{,}177 \) kW — elle baisse, puisque le gaz s'échauffe moins. Non — ce chiffre suit l'intuition que « moins chaud » signifie « moins à évacuer », en appliquant à la puissance le rapport des échauffements. Or c'est exactement l'inverse : la chemise s'échauffe moins parce qu'elle a évacué davantage. L'écart avec le vrai résultat atteint 67 %. \( P_{\text{evac}} = 0{,}532 \) kW — elle augmente, et la chemise ne suffit plus : il faudrait 133 % de sa capacité. Juste — avec \( n = 1{,}200 \), l'échauffement tombe à 89,06 K, le travail à 63,90 kJ et le stockage à 31,97 kJ ; la chaleur évacuée devient \( 31{,}97 - 63{,}90 = -31{,}93 \) kJ, soit 0,532 kW. Ce que cela enseigne est le cœur du sujet : un meilleur refroidissement se paie par une charge d'échangeur plus grande. Abaisser l'indice n'est pas gratuit, et le dimensionnement de la chemise est très sensible à cette valeur. \( P_{\text{evac}} = 0{,}286 \) kW — inchangée, la chaleur évacuée ne dépendant que du travail fourni. Non — la chaleur évacuée est la différence entre le travail fourni et l'énergie stockée, et l'indice fait varier les deux termes en sens contraire : il abaisse le travail de 7,1 % mais le stockage de 38 %. C'est l'écart entre ces deux variations, et non l'une des deux, qui commande la charge de l'échangeur.

3 Reconnaître la question

Un gaz enfermé dans un cylindre reçoit 45 kJ de travail d'un agitateur et voit sa température monter de 60 K. Quelle chaleur a-t-il échangé avec l'extérieur ? Juste — le mot qui tranche est « enfermé » : le système est fermé, on connaît le travail reçu et l'échauffement, on cherche le troisième terme du bilan. Que le travail vienne d'un agitateur et non d'un piston ne change rien — le premier principe ne distingue pas les formes de travail. Un compresseur aspire 0,3 kg·s⁻¹ d'air à 1 bar et 20 °C et le refoule à 8 bar et 230 °C. Quelle puissance thermique perd-il par sa carrosserie ? Non — une masse traverse la frontière : le système est ouvert, et son bilan fait intervenir l'enthalpie et non l'énergie interne, parce qu'il faut compter le travail d'écoulement à l'entrée et à la sortie. La confusion est naturelle, le dispositif étant un compresseur dans les deux cas — c'est la présence d'un débit qui tranche. Un récipient fermé contient 2 kg d'eau à 100 °C sous 1 bar ; on lui apporte 500 kJ. Quelle est sa température finale ? Non — l'hypothèse violée est celle de la phase unique. À 100 °C sous 1 bar, l'eau est à sa température d'ébullition : l'énergie apportée sert d'abord à vaporiser, à température constante, et non à échauffer. La relation \( \Delta U = m\,c_v\,\Delta T \) ne s'applique pas ; il faut passer par la chaleur latente et les tables de propriétés de l'eau.

Feuillet visé — 3/3 Renvoyé à l'étude

Si un item ne tombe pas juste

Item 1 Relire le verdict : la valeur, son exigence, et ce que le critère protège.

Item 2 Relire la relation et la décomposition des termes : c'est là que se lit quel paramètre commande le résultat.

Item 3 Relire le tableau des formes et son invariant, en tête de cette section.

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

SCHÉMA BILAN

La coupe porte les trois termes du premier principe là où ils se produisent physiquement : le travail entre par le piston, l'énergie interne reste dans le volume d'air avec la pression et la température atteintes, la chaleur sort par la chemise. Les trois chiffres se lisent d'un coup d'œil comme un bilan — 68,77 entrés, 51,61 restés, 17,16 sortis. La jauge du bas ne porte que le critère le plus sollicité des quatre.

Rapport de fin de mission

RÉCAPITULATIF DES RÉSULTATS

Question	Grandeur	Valeur	Critère	Statut
Q1	Pression en fin de compression	606,3 kPa	≤ 700 kPa	VÉRIFIÉ
Q2	Température vue par les joints	149,4 °C	≤ 160 °C	VÉRIFIÉ
Q3	Puissance mécanique appelée	1,146 kW	≤ 1,50 kW	VÉRIFIÉ
Q4	Puissance thermique évacuée	0,286 kW	≤ 0,400 kW	VÉRIFIÉ

Les quatre critères sont vérifiés, et la chemise de refroidissement peut être qualifiée sur la base de cet essai. Le critère le plus sollicité est de loin la température vue par les joints, à 97,5 %, très au-dessus des trois autres — 86,6 % pour la pression, 76,4 % pour le groupe hydraulique, 71,5 % pour la chemise elle-même. Le bilan énergétique referme la démonstration : sur les 68,77 kJ fournis par le vérin, 51,61 kJ sont restés dans l'air sous forme d'énergie interne et 17,16 kJ sont sortis par la paroi, ce qui correspond exactement à l'indice polytropique de 1,300 relevé à l'essai.

La décision que cette note permet de prendre est de prononcer la qualification de la chemise, assortie de deux réserves qui doivent figurer au dossier. La première porte sur la faiblesse de la marge en température : la forme inverse du deuxième feuillet montre que l'indice admissible plafonne à 1,318 pour 1,300 mesuré, si bien qu'une dégradation même légère du refroidissement ferait sortir les joints de leur domaine d'emploi. La seconde porte sur la température de l'eau d'entrée, non consignée pendant l'essai alors que la capacité de 0,400 kW de la chemise est annoncée pour 15 °C. Resteraient à vérifier, dans une étude complète, les frottements du piston — qui s'ajoutent à la puissance appelée au groupe —, l'humidité résiduelle de l'air après séchage, et la part de chaleur évacuée par les faces non chemisées du cylindre, que ce calcul a intégralement attribuée à la chemise.

Ce qu'il faut emporter

Le type de problème Bilan d'énergie d'un système fermé subissant une transformation polytropique. Le problème se nomme par sa structure — une masse constante, un chemin imposé entre deux états, et les trois termes du premier principe à répartir — et non par la machine qui le réalise.

Ce qui le trahit dans un énoncé Trois signes, dont deux suffisent : une masse de gaz enfermée, sans débit ni écoulement ; une loi en puissance donnée ou un exposant relevé sur un tracé ; et une question portant sur le travail, la chaleur ou l'un des deux à partir de l'autre.

La démarche Établir d'abord l'état final par la loi polytropique, puis les températures par l'équation d'état sous la forme — massique ou molaire — qu'imposent les données ; calculer ensuite le travail par l'intégrale de la loi en puissance ; déduire l'énergie interne de la seule température, par la capacité à volume constant ; et refermer le bilan sur la chaleur. À chaque étape, écrire le domaine de température dans lequel les capacités thermiques employées se lisent, et le confronter aux températures obtenues.

Là où la méthode casse Elle casse en trois endroits, et chacun se reconnaît à un signe précis. Si une masse traverse la frontière — un débit, une aspiration, un refoulement —, le système est ouvert et c'est l'enthalpie qui remplace l'énergie interne dans le bilan. Si le fluide change d'état, la relation entre température et énergie interne cesse de valoir et il faut les tables de propriétés. Et si l'indice varie au cours de la transformation, il n'existe plus d'expression fermée du travail : il faut découper la course en tronçons.

Contrôle de mémoire

Trois questions à traiter sans remonter dans le document. Répondre de mémoire d'abord, ouvrir ensuite. L'écart entre les deux est la seule mesure honnête de ce qui est acquis.

1. De quel paramètre dépendaient les valeurs \( c_v = 0{,}718 \) et \( R = 0{,}287 \) kJ·kg⁻¹·K⁻¹, et comment a-t-on montré que ce cas tombait dans leur plage ?

Elles dépendent de deux paramètres distincts. \( R \) dépend de la composition du gaz, par sa masse molaire : 29,0 g·mol⁻¹ pour de l'air sec à 78 % de diazote, 21 % de dioxygène et 1 % d'argon — l'humidité la modifierait. \( c_v \) dépend en outre de la température, par le nombre de degrés de liberté actifs : la valeur \( \tfrac{5}{2}R \) suppose la rotation active et la vibration gelée, ce qui vaut de l'ambiante à environ 600 K. On l'a montré en constatant que les deux températures calculées, 278,75 et 422,50 K, encadrent un intervalle entièrement contenu dans ce palier.

2. Quelle hypothèse fait tomber l'expression du travail employée si on la retire, et que faudrait-il faire à la place ?

Deux hypothèses la portent. Si l'on retire le caractère quasi statique, la pression du gaz cesse d'être uniforme et celle qui s'exerce sur le piston n'est plus celle qu'on intègre : le travail réel dépasse alors le travail thermodynamique, et il faut le mesurer. Si l'on retire la constance de l'indice, l'intégrale n'a plus d'expression fermée : il faut découper la course en tronçons, chacun avec son propre indice lu sur le tracé. Enfin, le cas particulier \( n = 1 \) annule le dénominateur et impose de basculer sur \( W = P_1V_1\ln(V_1/V_2) \).

3. Le résultat de la question 2 entrait dans quels calculs, et quel critère s'est révélé le plus sollicité ?

L'écart de température \( T_2 - T_1 = 143{,}75 \) K entrait dans les deux calculs suivants : il donne le travail par la seconde écriture de la question 3, puis la variation d'énergie interne et la chaleur à la question 4. La température finale elle-même a fourni le critère le plus sollicité de toute la note : 149,4 °C pour une limite de 160 °C, soit 97,5 % rapporté aux températures thermodynamiques, loin devant les trois autres critères.

Et si l'on changeait un paramètre ?

On modifie une seule donnée : le débit d'eau de la chemise est augmenté et l'indice polytropique relevé tombe de 1,300 à 1,200, tout le reste étant inchangé. Que deviennent les quatre résultats de la note, et la qualification tient-elle toujours ? Traitez-le avant d'ouvrir.

Voir la réponse

Trois critères se détendent et le quatrième bascule. La pression finale tombe à \( 100{,}0 \times 4^{1,200} = 527{,}8 \) kPa, soit 75,4 % de la plaque au lieu de 86,6 %. La température finale devient \( 278{,}75 \times 4^{0,200} = 367{,}8 \) K, soit 94,7 °C pour 149,4 °C auparavant : les joints passent de 97,5 % à 84,9 %, et la réserve qui inquiétait disparaît. Le travail tombe à 63,90 kJ et la puissance mécanique à 1,065 kW, soit 71,0 % du groupe. Mais la chaleur évacuée passe de 17,16 à 31,93 kJ, donc la puissance de la chemise de 0,286 à 0,532 kW : il faudrait 133 % de sa capacité, et le critère qui était le moins sollicité devient le seul non vérifié.

La leçon dépasse les chiffres, et c'est elle qu'il faut emporter : mieux refroidir n'est pas gratuit. En abaissant l'indice, on réduit à la fois la pression, la température et le travail — trois gains réels —, mais on augmente mécaniquement la charge de l'échangeur, parce que la chaleur évacuée est la différence entre un travail qui baisse de 7,1 % et un stockage qui baisse de 38 %. Le critère qui commande se déplace donc d'un organe à l'autre selon le réglage, et c'est précisément pourquoi une note de calculs vérifie les quatre critères au lieu de s'arrêter au plus évident.

ThermodynamiqueÉtape 21 sur 24

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