Exercice corrigé NF EN ISO 17892 NF EN 1997-2

Analyse d'un Essai de Perméabilité à Charge Variable

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 28 juillet 2026• 77 min de lecture• 7 vues

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Étude de cas · Note de calculs Réf. GEO-PCV-01

Essai de perméabilité à charge variable sur un sol fin

Une formule de trois facteurs, une correction que presque personne n'applique, et un gradient cinq cents fois supérieur à celui du terrain

NiveauBTS · BUT · Licence

DomaineGéotechnique — Hydraulique des sols et essais de laboratoire

ThèmePerméamètre à charge variable, loi de Darcy et coefficient de perméabilité

PrérequisPerméabilité · loi de Darcy · charge variable · viscosité de l'eau · gradient hydraulique · NF EN 1997-2

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Le débit d'exhaure d'une fouille, la stabilité d'un barrage en terre, le temps que mettra un remblai à se consolider, l'étanchéité d'un fond de bassin : toutes ces questions se ramènent à un seul coefficient . Il s'étale sur une douzaine d'ordres de grandeur d'un sol à l'autre — du gravier à l'argile compactée — ce qui en fait la propriété la plus variable de toute la mécanique des sols, et de très loin. Sur un sol fin, on ne peut pas le mesurer à charge constante : le débit serait trop faible pour être lu. On laisse donc une charge décroître d'elle-même dans une burette étroite, et l'on chronomètre. La formule qui en sort tient en trois facteurs ; ce qui l'entoure — la température de l'eau, le gradient imposé, le nombre d'éprouvettes — pèse davantage sur le résultat que la formule elle-même.

Les Points Clés du Projet

L'exercice repose sur une intégration élémentaire de la loi de Darcy et sur deux aires de disque. Sa difficulté n'est pas dans le calcul mais dans ce qui l'encadre : trois éléments décident de la valeur du résultat sans jamais figurer dans la formule — la température de l'eau, le gradient appliqué, et le nombre d'essais :

La formule et son logarithme : la charge décroît, donc le débit aussi : le régime n'est pas permanent. L'intégration de la loi de Darcy sur la durée de l'essai fait apparaître un logarithme népérien du rapport des charges. C'est ce logarithme qui distingue l'essai à charge variable de l'essai à charge constante, et c'est aussi ce qui rend le temps de demi-charge indépendant du niveau de départ.
La correction de viscosité : la perméabilité mesure la facilité avec laquelle l'eau traverse le sol, et cette facilité dépend de la viscosité de l'eau , donc de sa température. Un essai mené à dix degrés et le même à vingt-cinq ne rendent pas le même nombre : l'écart atteint un facteur voisin de un et demi . Les résultats se rapportent donc à une température de référence de vingt degrés, et l'énoncé ne dit pas à quelle température l'essai a été mené.
Le gradient imposé : la charge initiale de quatre-vingts centimètres s'exerce sur un échantillon de quinze centimètres de haut. Le gradient hydraulique vaut donc plus de cinq, alors qu'un écoulement en place se situe entre un centième et l'unité . On mesure le sol dans des conditions qu'il ne rencontrera jamais, ce qui accélère l'essai et expose à des désordres internes — entraînement de fines, colmatage progressif — dont l'effet sur le résultat n'est ni mesuré ni signalé.
L'astuce de l'ingénieur : vérifiez le temps de demi-charge. Il vaut le rapport des sections multiplié par la hauteur d'échantillon et par le logarithme de deux, divisé par la perméabilité — et il ne dépend pas de la charge de départ . Passer de quatre-vingts à quarante centimètres prend exactement le même temps que passer de quarante à vingt. Chronométrer les deux moitiés d'un même essai donne donc un contrôle de cohérence qui ne coûte rien : si les deux durées diffèrent nettement, l'échantillon a évolué pendant l'essai — colmatage, entraînement de fines, saturation incomplète — et le résultat n'a plus de valeur.

Votre Mission :

Établir les deux sections, en tirer le coefficient de perméabilité, puis faire ce que l'énoncé ne demande pas et qui décide de la valeur du résultat : corriger la mesure de la température de l'eau , et éprouver les conditions dans lesquelles l'essai a été mené . Sans cela on publie un nombre juste dans des conditions inconnues.

Le grand défi : admettre qu'un calcul juste peut donner un résultat sans valeur. Les trois facteurs de la formule sont simples et l'arithmétique ne pose aucune difficulté : on obtient 5,78 × 10⁻⁷ m/s en deux lignes. Mais ce nombre est celui de l'eau à la température de l'essai, que l'énoncé ne donne pas — et selon qu'il ait été mené à dix ou à vingt-cinq degrés, la valeur rapportée à vingt degrés varie de 5,1 à 7,5 × 10⁻⁷ m/s. L'incertitude ainsi introduite dépasse tout ce que la précision du chronomètre et des lectures de niveau pourrait apporter. C'est le trait commun de beaucoup d'essais de laboratoire : l'erreur ne vient presque jamais du calcul, elle vient de ce qu'on a omis de noter.
Votre rôle : calculer les sections de l'échantillon et de la burette, en déduire le coefficient de perméabilité, le corriger de la température de l'eau en balayant l'hypothèse que l'énoncé laisse ouverte, puis éprouver les conditions de l'essai — gradient appliqué, temps de demi-charge, volume écoulé — et conclure sur la nature du sol.

PLAN DE REPÉRAGE — PERMÉAMÈTRE À CHARGE VARIABLE

Livrables Attendus (Checklist) :

Livrable 1 — la mesure : les deux sections, le coefficient de perméabilité brut, puis sa valeur rapportée à vingt degrés avec l'hypothèse de température explicitement signalée et l'intervalle qu'elle laisse ouvert. Un coefficient publié sans sa température de référence n'est pas une mesure : c'est un nombre.
Livrable 2 — la validité de l'essai : le gradient hydraulique réellement appliqué, comparé à celui d'un écoulement en place, le temps de demi-charge et le contrôle qu'il permet , et le volume d'eau écoulé rapporté à la précision de lecture. Puis la nature probable du sol. Le livrable dira aussi combien d'éprouvettes une couche de sol devrait comporter selon la NF EN 1997-2, et pourquoi une seule ne suffit qu'exceptionnellement.

2. Données Techniques & Normes

Les essais de perméabilité en laboratoire relèvent de la NF EN 1997-2, consacrée à la reconnaissance des terrains et aux essais, dont la clause 5.11 leur est spécifiquement consacrée ; le mode opératoire lui-même est décrit par la série NF EN ISO 17892 des méthodes d'essai de laboratoire, dont la partie 11 traite des essais à charge constante et à charge variable. Deux dispositions de la NF EN 1997-2 commandent directement la lecture de cet exercice. La première est son annexe S, qui fixe le nombre minimal d'éprouvettes à essayer par couche de sol en le faisant dépendre de l'expérience comparable disponible et de la variabilité observée entre les mesures : une éprouvette unique n'y est admise que dans le cas le plus favorable, et encore assortie d'essais de classification destinés à vérifier la compatibilité avec les connaissances existantes. L'exercice qui suit repose sur un essai unique, ce qui doit être signalé. La seconde est le classement des échantillons par classe de qualité : la perméabilité ne peut être déterminée que sur un prélèvement de la meilleure classe, c'est-à-dire non remanié, ce qui exclut tout carottage destructif. Conformément au droit d'auteur applicable aux normes NF EN, aucun tableau, aucune formule et aucun extrait de ces textes n'est reproduit ici : seules les références de clause sont citées, et tous les chiffres proviennent des mesures de l'essai ou d'un calcul explicite mené sous vos yeux. Les données de viscosité de l'eau employées à la question 3 sont des grandeurs physiques du domaine public, indépendantes de toute norme.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Perméabilité à charge variable \( k = \dfrac{a\,L}{A\,t} \ln\!\left(\dfrac{h_1}{h_2}\right) \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

GÉOMÉTRIE DU DISPOSITIF

Symbole	Description	Valeur	Unité
D	Diamètre de l'échantillon de sol, cylindrique Mesuré au pied à coulisse	100	mm
L	Hauteur de l'échantillon, sur laquelle la charge se dissipe	150	mm

Diamètre intérieur de la burette

DIX fois plus petit que celui de l'échantillon — donc une section cent fois plus petite, ce qui rend lisibles des débits infimes \( d = \mathbf{10} \text{ mm} \)

DÉROULEMENT DE L'ESSAI

Symbole	Description	Valeur	Unité
h₁	Charge hydraulique au début de l'essai	80	cm
h₂	Charge hydraulique à la fin de l'essai — exactement la moitié de la précédente	40	cm

Température de l'eau

NON PRÉCISÉE par l'énoncé — c'est pourtant elle qui décide de la valeur rapportée à 20 °C, et l'écart atteint un facteur 1,47 entre 10 et 25 °C \( t = \mathbf{30} \text{ min} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Le relevé ci-dessus est la seule source de chiffres de cet exercice. Les repères ci-dessous ne servent qu'à situer les valeurs obtenues et ne fournissent aucune donnée de calcul.

Repères de perméabilité des sols, en mètres par seconde

Plage du coefficient de perméabilité	Nature du sol et comportement hydraulique
Au-dessus de dix puissance moins cinq — sables propres et graviers	L'eau circule librement : une fouille s'y draine d'elle-même, un barrage en terre y serait impossible sans noyau étanche. Ce sont les sols où l'essai se mène à charge constante, le débit étant mesurable
En dessous de dix puissance moins neuf — argiles	L'eau met des années à parcourir un mètre. Ce sont les matériaux d'étanchéité, employés en fond de centre de stockage ou en noyau de barrage. Entre les deux plages se situent les sables fins et les limons, dont relève l'échantillon de cet exercice

Pourquoi la température de l'eau change le résultat

La perméabilité d'un sol n'est pas une propriété du sol seul : c'est une propriété du couple sol-fluide. La grandeur qui ne dépend que du sol est sa perméabilité intrinsèque, qui a la dimension d'une surface et mesure la géométrie de ses vides ; le coefficient employé en géotechnique y ajoute les propriétés du fluide, à savoir son poids volumique et sa viscosité. Or la viscosité de l'eau varie fortement avec la température : elle vaut 1,306 millipascal-seconde à dix degrés et 0,890 à vingt-cinq, soit une baisse de trente-deux pour cent pour quinze degrés d'écart. Une eau moins visqueuse traverse plus facilement le même sol, et le coefficient mesuré augmente d'autant. Le rapport entre les deux extrêmes atteint 1,47 : autrement dit, le même échantillon essayé dans un laboratoire non chauffé en février et dans le même laboratoire en août rendrait deux nombres différant de près de cinquante pour cent, sans que rien n'ait changé dans le sol. C'est la raison pour laquelle les résultats se rapportent tous à une température de référence, en pratique vingt degrés, par un simple rapport de viscosités. Trois conséquences pratiques en découlent, et la troisième est celle qu'on oublie. La première est que la température de l'eau doit être relevée pendant l'essai, au même titre que les niveaux et le temps — c'est une donnée de mesure, pas une circonstance. La deuxième est qu'un coefficient publié sans sa température de référence n'est pas exploitable : on ne sait pas ce qu'il vaut. La troisième est que cette correction, purement arithmétique et gratuite, pèse plus lourd sur le résultat que tout le raffinement du chronométrage et des lectures de niveau : chercher la seconde près sur une durée de trente minutes améliore le résultat de moins d'un dixième de pour cent, quand ignorer la température peut le fausser de trente. L'ordre des priorités qu'un opérateur devrait suivre est donc exactement l'inverse de celui que l'intuition suggère, et c'est vrai de beaucoup d'essais de laboratoire.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous.

Question 1 : Les deux sections du dispositif

Géométrie 10 min | Accessible

But de l'étape : Deux aires de disque, et une conversion d'unités. La seule difficulté est de ne pas confondre les deux diamètres, qui diffèrent d'un facteur dix — donc les deux sections d'un facteur cent, ce qui fournit au passage un contrôle immédiat.

Énoncé Q1 : Calculez les sections transversales de l'échantillon puis de la burette , en mètres carrés. Établissez ensuite leur rapport et montrez qu'il ne dépend que des diamètres — le nombre pi disparaissant de l'écriture.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'aire d'un disque vaut pi fois le carré du diamètre, divisé par quatre. Convertissez les diamètres en mètres AVANT de calculer.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le rapport des sections vaut le carré du rapport des diamètres : un dixième au carré, soit un centième exactement.

Question 2 : Le coefficient de perméabilité

Loi de Darcy 15 min | Accessible

But de l'étape : La charge décroît pendant l'essai, donc le débit aussi : le régime n'est pas permanent, et l'intégration de la loi de Darcy fait apparaître un logarithme népérien. Le reste n'est qu'une affaire d'unités, mais elle est décisive : longueurs en mètres, temps en secondes.

Énoncé Q2 : Calculez d'abord le facteur géométrique de l'essai, puis le coefficient de perméabilité en mètres par seconde . Vérifiez l'homogénéité du facteur géométrique, et traduisez le coefficient obtenu en une durée de traversée d'un mètre de sol sous gradient unitaire.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le facteur géométrique est le produit du rapport des sections par la hauteur d'échantillon. Il est homogène à une longueur.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Employez le logarithme NÉPÉRIEN, non le décimal. Le rapport des charges valant deux, le logarithme vaut 0,6931.

Question 3 : La correction que la source oublie

Viscosité 20 min | Exigeant

But de l'étape : Le coefficient calculé est celui de l'eau à la température de l'essai. Il doit être rapporté à vingt degrés par un rapport de viscosités — correction purement arithmétique, et qui pèse plus lourd que toute la précision du chronométrage. L'énoncé ne donne pas la température : l'hypothèse doit donc être signalée, et son effet chiffré.

Énoncé Q3 : Établissez le rapport de viscosités correspondant à un essai mené à dix-huit degrés, température courante d'un laboratoire non climatisé, puis le coefficient de perméabilité rapporté à vingt degrés. Balayez ensuite l'hypothèse entre dix et vingt-cinq degrés et chiffrez l'intervalle qui en résulte .

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le coefficient de perméabilité varie comme l'inverse de la viscosité : une eau plus visqueuse traverse moins facilement, donc le coefficient mesuré est plus faible.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le rapport à appliquer est celui de la viscosité à la température de l'essai sur la viscosité à vingt degrés. Un essai mené SOUS vingt degrés donne donc un coefficient corrigé PLUS GRAND que le mesuré.

Question 4 (Finale) : Les conditions de l'essai valent-elles le résultat ?

Validité 25 min | BOSS

But de l'étape : Un coefficient juste ne dit rien de la validité de l'essai qui l'a produit. Trois grandeurs permettent d'en juger, et aucune ne figure dans la formule : le gradient hydraulique appliqué, le temps de demi-charge, et le volume d'eau réellement écoulé rapporté à la précision de lecture.

Mention spéciale — le contrôle qui ne coûte rien Le temps de demi-charge d'un essai à charge variable ne dépend PAS de la charge de départ. Passer de quatre-vingts à quarante centimètres prend exactement le même temps que passer de quarante à vingt, comme une décroissance radioactive. Il suffit donc de relever un niveau intermédiaire pour disposer d'un contrôle de cohérence gratuit : si les deux moitiés de l'essai n'ont pas la même durée, l'échantillon a évolué pendant la mesure — colmatage progressif, entraînement de fines, saturation incomplète qui se poursuit — et le coefficient rapporté n'a plus de signification. Cette propriété est une conséquence directe du logarithme, et la source qui a servi de base à cet exercice ne la mentionne pas.

Calculez le gradient hydraulique appliqué au début puis à la fin de l'essai, et comparez-le à celui d'un écoulement en place. Établissez ensuite le temps de demi-charge et vérifiez ce qu'il vaut ici. Calculez enfin le volume d'eau réellement écoulé et le débit moyen correspondant, puis concluez sur la nature probable du sol en positionnant votre résultat dans l'échelle des perméabilités.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le gradient hydraulique est le rapport de la charge à la longueur sur laquelle elle se dissipe, c'est-à-dire la hauteur de l'échantillon.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Le temps de demi-charge s'obtient en écrivant la formule pour un rapport de charges égal à deux, puis en l'inversant pour en tirer la durée.

NOTE DE CALCULS

Essai de perméabilité à charge variable sur un sol fin

Question 1 : Les deux sections du dispositif

Dans la tête de l'ingénieur

« Deux aires de disque. Le calcul est celui de la classe de seconde ; l'erreur, elle, est de tous les âges. Les deux diamètres diffèrent d'un facteur dix, donc les sections d'un facteur cent . Les intervertir donnerait une perméabilité dix mille fois trop grande — un sol d'argile classé gravier. Aucun contrôle d'unité ne le signalerait, puisque les deux résultats sont bien en mètres par seconde. »

Observation : Le rapport des deux sections vaut exactement un centième, et ce nombre ne dépend d'aucune constante : le nombre pi disparaît de l'écriture, comme le facteur quatre. Seul subsiste le carré du rapport des diamètres.
Analyse du risque : Oublier de convertir les millimètres en mètres donne des sections en millimètres carrés , soit un million de fois trop grandes. Le rapport des sections, lui, resterait juste — ce qui rend l'erreur invisible à la question 2 si l'on passe par ce rapport, et catastrophique si l'on passe par les sections elles-mêmes.
Choix stratégique : Convertir d'abord les deux diamètres en mètres, appliquer ensuite la formule de l'aire d'un disque, et contrôler enfin le rapport obtenu par le carré du rapport des diamètres — chemin indépendant qui valide les deux calculs d'un coup.
Alternative : Ne calculer que le rapport des sections, qui suffit à la formule de perméabilité. C'est plus court et plus sûr — le rapport est exact, sans arrondi et sans conversion — mais on perd l'ordre de grandeur des sections, utile pour juger du volume écoulé à la question 4.
Objectif visé : Disposer des deux sections en unités du Système international, et de leur rapport, qui est le premier des trois facteurs de la formule de perméabilité.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

A = 7,854 × 10⁻³ m² · a = 7,854 × 10⁻⁵ m² · a/A = 0,0100

Rappel Théorique : pourquoi deux sections si différentes

L'échantillon est large pour que l'écoulement y soit représentatif du sol, sans effet de bord ; la burette est étroite pour que la moindre goutte qui traverse fasse baisser le niveau de façon lisible . Le dispositif amplifie donc un débit infime en un déplacement mesurable : c'est tout le principe de l'essai à charge variable, et c'est ce qui le rend possible sur un sol fin.

L'aire d'un disque : elle vaut pi fois le carré du diamètre, divisé par quatre. L'écriture par le rayon est équivalente mais expose à une erreur de plus, puisque les énoncés donnent presque toujours le diamètre — un facteur deux mal placé donne une section quatre fois fausse.
La conversion des unités : un mètre vaut mille millimètres, donc un mètre carré vaut un million de millimètres carrés. Convertir les LONGUEURS avant de calculer les aires évite d'avoir à retenir cet exposant, qui est la source d'erreur classique.
Le rapport des sections : il vaut le carré du rapport des diamètres. Ni pi ni le facteur quatre n'y subsistent : le rapport est donc EXACT, sans arrondi, ce qui en fait la grandeur la plus fiable de tout l'exercice.
Pourquoi une burette étroite : pour une même quantité d'eau traversée, plus la burette est fine, plus le niveau baisse. Sur un sol très peu perméable on emploie des burettes de quelques millimètres, faute de quoi l'essai durerait des semaines sans que le niveau bouge de façon lisible.
L'ordre de grandeur des sections : quelques dizaines de centimètres carrés pour l'échantillon, moins d'un centimètre carré pour la burette. Ces valeurs se contrôlent mentalement, et un résultat qui en sortirait de plusieurs ordres de grandeur signale immédiatement une conversion manquée.

Équations Fondamentales

La même formule appliquée deux fois. Sa répétition est l'occasion d'installer une méthode : convertir, poser, contrôler.

Section de l'échantillon

Donne la surface à travers laquelle l'eau traverse le sol.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la loi de Darcy exprime un débit, c'est-à-dire un volume par unité de temps, et qu'un débit s'obtient en multipliant une vitesse par une section . Sans elle, la vitesse d'écoulement calculée ne se rapporte à aucune quantité d'eau

Contexte de validité : Valable pour un échantillon cylindrique de section constante sur toute sa hauteur, ce que le moule d'essai garantit. Un échantillon taillé à la main dans un carottage pourrait s'en écarter sensiblement.
Avantage : Elle ne demande qu'une mesure au pied à coulisse, réalisable à un dixième de millimètre près, soit une incertitude de deux pour mille sur la section.
Paramètre clé : Le diamètre, dont l'incertitude se trouve DOUBLÉE sur la section puisqu'il y figure au carré. Une erreur de un pour cent sur le diamètre en donne deux sur la section.
Vérification : L'ordre de grandeur attendu est la dizaine de centimètres carrés. Un résultat en milliers signale des millimètres carrés, un résultat en millionièmes une conversion appliquée deux fois.
Limite : Elle donne la section BRUTE, et non la surface réellement offerte à l'écoulement, qui est celle des vides. C'est une convention de la loi de Darcy, dont la vitesse est fictive pour la même raison.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi D^2}{4} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que la section croît comme le carré du diamètre. La conséquence pratique passe souvent inaperçue : l'incertitude de mesure est doublée sur la section , et quadruplée sur le rapport des sections si l'on se trompe sur les deux diamètres à la fois. C'est pourquoi le rapport se contrôle toujours par le carré du rapport des diamètres.

Décomposition des termes :

A : section transversale de l'échantillon de sol, unité : m²
D : diamètre de l'échantillon, mesuré au pied à coulisse, unité : m
π : constante géométrique du disque, unité : —
facteur 4 : vient de ce que le rayon vaut la moitié du diamètre, unité : —
conversion : un mètre carré vaut un million de millimètres carrés, unité : —

Section de la burette

Relie la baisse de niveau lue au volume d'eau réellement traversé.

Pourquoi cette formule ?

Parce que ce n'est pas le volume qu'on mesure pendant l'essai, mais une hauteur d'eau . La section de la burette est le facteur qui convertit l'une en l'autre, et c'est elle qui décide de la sensibilité du dispositif

Contexte de validité : Valable si le diamètre intérieur est constant sur toute la hauteur de mesure, ce qui suppose une burette de verrerie calibrée et non un simple tube.
Avantage : Choisir une burette étroite amplifie la lecture : pour un même volume traversé, le niveau baisse d'autant plus que la section est faible. C'est le seul réglage dont dispose l'opérateur pour adapter l'essai au sol.
Paramètre clé : Le diamètre intérieur, qui n'est pas celui qu'on mesure de l'extérieur. Sur un tube de verre de dix millimètres extérieurs, l'épaisseur de paroi peut faire perdre vingt pour cent de section.
Vérification : La section doit valoir un centième de celle de l'échantillon, puisque les diamètres sont dans un rapport de dix. Ce contrôle croisé valide les deux calculs à la fois.
Limite : Une burette trop étroite rend la lecture sensible à la tension superficielle : le ménisque devient épais devant la hauteur mesurée, et la lecture perd en fidélité ce qu'elle a gagné en sensibilité.

\[ \begin{aligned} a &= \frac{\pi d^2}{4} \quad \text{d'où} \quad \frac{a}{A} = \left(\frac{d}{D}\right)^2 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que la section de la burette se calcule exactement comme celle de l'échantillon. La seconde écriture est celle qui compte : le rapport des sections ne dépend que des diamètres , ni pi ni le facteur quatre n'y subsistent. Ce rapport est donc exact, sans arrondi, et c'est lui qui entre dans la formule de perméabilité. Calculer les deux sections séparément puis en faire le rapport introduit deux arrondis pour rien.

Décomposition des termes :

a : section intérieure de la burette, unité : m²
d : diamètre INTÉRIEUR de la burette, unité : m
a/A : rapport des sections, exact et sans dimension, unité : —
(d/D)² : carré du rapport des diamètres, ici un centième, unité : —
sensibilité : d'autant plus grande que la burette est étroite, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

Deux diamètres dans un rapport de dix font deux sections dans un rapport de cent.

L'approche d'ingénieur : L'erreur consiste à omettre la conversion et à calculer avec des millimètres : la section de l'échantillon ressort alors à 7854 au lieu de 7,854 × 10⁻³ , soit un facteur un million. Reportée telle quelle à la question 2, elle donnerait une perméabilité de 5,8 × 10⁻¹³ m/s — valeur d'une argile de barrière d'étanchéité pour un sol qui n'en est pas une. Le résultat reste en mètres par seconde, et aucun contrôle dimensionnel ne le signale.

L'erreur : Calculer les sections en millimètres carrés et les reporter comme si elles étaient en mètres carrés.
La bonne méthode : Convertir les LONGUEURS en mètres avant tout calcul d'aire. On n'a alors jamais à se souvenir qu'un mètre carré vaut un million de millimètres carrés.
L'astuce de pro : Contrôler le rapport des sections par le carré du rapport des diamètres : ce chemin ne passe ni par pi ni par les conversions.
Le moyen mnémotechnique : Un rapport dix sur les diamètres, cent sur les sections.
L'impact direct : Une section fausse d'un facteur mille place le sol dans une tout autre famille — argile au lieu de limon — et fait basculer une décision de drainage ou d'étanchéité.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Diamètres D et d, après conversion, en m
Sections A et a, en m²
Rapport des sections a/A : sans dimension
Hauteur d'échantillon L, en m
Nombre pi : sans dimension

Les deux sections s'expriment en mètres carrés, et la conversion depuis les millimètres porte sur le CARRÉ du facteur : un million, non mille. C'est la source d'erreur la plus fréquente de tout l'exercice — et le moyen sûr de l'éviter est de convertir les longueurs, jamais les aires . Un diamètre de cent millimètres devient 0,100 mètre par une division par mille, opération que personne ne rate ; une section de 7854 millimètres carrés devient 7,854 × 10⁻³ mètre carré par une division par un million, opération que tout le monde finit par rater un jour. La règle vaut au-delà de cet exercice : convertir le plus tôt possible, sur les grandeurs les plus simples, et laisser les puissances se former d'elles-mêmes dans le calcul.,

1. Résolution Numérique Section de l'échantillon de sol

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la surface à travers laquelle l'eau traverse le sol, et donc le facteur qui relie la vitesse de Darcy au débit réel.

Méthodologie du calcul :

On convertit d'abord le diamètre en mètres, puis on applique l'aire du disque. L'ordre compte : convertir la LONGUEUR est immédiat, convertir l'aire ensuite demanderait de diviser par un million — et c'est exactement là que l'erreur se produit.

Substitution : D = 100 mm, soit 0,100 m après conversion. Aucune autre donnée n'intervient.
Piège évité : Ne pas calculer avec 100 mm sans convertir. La section ressortirait à 7854 en millimètres carrés, et reportée telle quelle donnerait une perméabilité un million de fois trop faible.
Hypothèse validée : L'échantillon est un cylindre parfait, de section constante sur ses quinze centimètres de hauteur. Le moule d'essai le garantit ; un échantillon taillé à la main s'en écarterait.
Vérification croisée : L'ordre de grandeur attendu est la dizaine de centimètres carrés : on trouve 78,5 cm², soit 7,854 × 10⁻³ m². Le contrôle passe.
Finalité : Cette section figure au dénominateur de la formule de perméabilité, où elle sera divisée par la section de la burette.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi D^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0{,}100)^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0{,}0100}{4} \\ &= \mathbf{7{,}854 \times 10^{-3}} \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

78,5 centimètres carrés, soit la surface d'un disque de dix centimètres de diamètre. C'est un compromis d'essai : assez large pour que l'écoulement traverse un volume représentatif du sol et non quelques pores privilégiés, assez étroit pour que l'échantillon soit prélevable et manipulable . Les moules courants se situent tous entre sept et quinze centimètres.

Ordre de grandeur : Un échantillon de dix centimètres de diamètre contient, pour un limon, de l'ordre de plusieurs millions de grains. C'est ce qui rend la mesure représentative à l'échelle du matériau, sinon à celle du massif.
Impact sur la suite : Elle apparaît au dénominateur du facteur géométrique de la question 2, où elle divise la section de la burette.
Cohérence : Le résultat est positif et de l'ordre attendu. Le rapport au diamètre est cohérent : une section de 78,5 cm² pour un disque de 10 cm de diamètre, soit environ 0,785 fois le carré du diamètre.
Attention : C'est la section BRUTE de l'échantillon, et non la surface offerte à l'écoulement, qui est celle des vides. La loi de Darcy raisonne ainsi par convention, et sa vitesse est fictive pour la même raison.
Comparaison : Un échantillon de 70 mm de diamètre, taille également courante, aurait une section de 38,5 cm², soit la moitié. La perméabilité calculée en serait doublée à mesures égales — d'où l'importance de la mesure au pied à coulisse.

Remarque pédagogique : Convertir la longueur avant de calculer l'aire est une habitude qui ne coûte rien et qui supprime définitivement la question de l'exposant de conversion.

Section de la burette et rapport des sections

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la mesure de l'essai est une baisse de NIVEAU, et que seule la section de la burette permet de la convertir en volume d'eau traversé.

Méthodologie du calcul :

On applique la même formule au diamètre intérieur de la burette, puis on établit le rapport des deux sections. Ce rapport se calcule mieux directement par les diamètres : ni pi ni le facteur quatre n'y subsistent, et le résultat est exact, sans le moindre arrondi.

Substitution : d = 10 mm, soit 0,010 m, d'où une section de 7,854 × 10⁻⁵ m² par la même formule qu'au bloc précédent. C'est le RAPPORT qui est calculé ici, et directement par les diamètres : π et le facteur quatre se simplifient, le résultat est donc exact.
Piège évité : Ne pas confondre le diamètre intérieur avec l'extérieur. Sur un tube de verre courant, l'épaisseur de paroi peut faire perdre un cinquième de section, et donc autant sur la perméabilité annoncée.
Hypothèse validée : Le diamètre intérieur est constant sur toute la hauteur de mesure, ce que garantit une burette de verrerie calibrée. Un simple tube étiré ne l'assurerait pas.
Vérification croisée : La section doit valoir exactement un centième de celle de l'échantillon, les diamètres étant dans un rapport de dix. On trouve 7,854 × 10⁻⁵ contre 7,854 × 10⁻³ : le contrôle passe à la quatrième décimale.
Finalité : Le rapport des sections est le premier des trois facteurs de la formule de perméabilité.

\[ \begin{aligned} \frac{a}{A} &= \frac{\pi d^2 / 4}{\pi D^2 / 4} \\ &= \left(\frac{d}{D}\right)^2 \\ &= \left(\frac{0{,}010}{0{,}100}\right)^2 \\ &= \mathbf{0{,}0100} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La burette a une section cent fois plus petite que l'échantillon. C'est ce facteur cent qui rend l'essai possible sur un sol fin : le volume qui traverse l'échantillon en trente minutes ferait baisser le niveau d'un dixième de millimètre dans un tube de la taille de l'échantillon, contre un centimètre dans la burette . Le dispositif amplifie la mesure d'un facteur cent.

Ordre de grandeur : Pour un sol dix fois moins perméable, on emploierait une burette deux à trois fois plus fine encore, ce qui allongerait la durée d'essai dans le même rapport que le carré du diamètre.
Impact sur la suite : Ce rapport de un centième est le premier facteur de la formule de perméabilité, et le seul des trois à être connu exactement.
Cohérence : Les deux sections sont dans le rapport attendu du carré des diamètres, et le rapport obtenu est exactement un centième — sans arrondi, ce qui confirme que le chemin direct par les diamètres était le bon.
Attention : Le rapport des sections est exact, mais les sections elles-mêmes portent l'incertitude de mesure des diamètres, doublée par la mise au carré. C'est le rapport qu'il faut employer, pas le quotient de deux valeurs arrondies.
Comparaison : Avec une burette de 5 mm, le rapport tomberait à un quatre-centième, et la perméabilité calculée serait quatre fois plus faible à durée d'essai égale — ou la durée quatre fois plus longue à perméabilité égale.

Remarque pédagogique : Un rapport qui se calcule sans constante ni conversion est toujours plus fiable qu'un quotient de deux résultats intermédiaires. Il faut le chercher chaque fois qu'il existe.

RÉSULTAT FINAL

A = 7,854 × 10⁻³ m², a = 7,854 × 10⁻⁵ m² et a/A = 0,0100 — exactement, sans arrondi

« Un rapport qui se calcule sans constante ni conversion est toujours plus fiable qu'un quotient de résultats arrondis. »

Question 2 : Le coefficient de perméabilité

Dans la tête de l'ingénieur

« Trois facteurs, dont un logarithme. Le logarithme n'est pas un ornement : c'est la signature d'un régime qui n'est pas permanent. La charge décroît pendant l'essai, donc le débit aussi. L'intégration de la loi de Darcy fait apparaître le logarithme népérien du rapport des charges — et c'est aussi de lui que vient la propriété remarquable exploitée à la question 4 : le temps de demi-charge ne dépend pas du niveau de départ. »

Observation : Le rapport des charges vaut exactement deux, ce qui n'est pas un hasard d'énoncé : c'est le choix d'un opérateur qui veut un repère commode. Son logarithme, 0,6931, se retient et sert de contrôle.
Analyse du risque : Employer le logarithme DÉCIMAL au lieu du népérien donnerait 0,3010 au lieu de 0,6931, soit une perméabilité 2,3 fois trop faible . Le résultat resterait de l'ordre de 10⁻⁷ m/s, dans la bonne unité et dans la bonne famille de sols : aucun contrôle d'ordre de grandeur ne le signalerait.
Choix stratégique : Calculer d'abord le facteur géométrique de l'essai, qui regroupe les deux sections et la hauteur d'échantillon et dont l'homogénéité se contrôle, puis composer avec le temps et le terme logarithmique.
Alternative : Passer par la formule brute en une seule ligne. Le résultat est le même, mais on perd le contrôle d'homogénéité intermédiaire — le facteur géométrique doit être une LONGUEUR, et une erreur sur les sections s'y voit immédiatement.
Objectif visé : Obtenir le coefficient de perméabilité en unités du Système international, et le traduire en un ordre de grandeur physiquement parlant.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

a·L/A = 1,500 × 10⁻³ m · ln 2 = 0,6931 · k = 5,776 × 10⁻⁷ m/s

Rappel Théorique : d'où vient le logarithme

Pendant un intervalle bref, le niveau baisse d'une petite hauteur dans la burette : le volume qui a traversé vaut la section de burette multipliée par cette baisse. Le même volume traverse l'échantillon selon Darcy, sous le gradient du moment. Égaler les deux donne une équation différentielle où la baisse relative est constante par unité de temps — et l'intégrale de l'inverse d'une variable est son logarithme. Le logarithme n'est donc pas une astuce de calcul : il est la forme même de la décroissance.

Le régime n'est pas permanent : la charge décroît, donc le gradient, donc le débit. C'est ce qui distingue cet essai de celui à charge constante, où le débit se mesure directement et où aucun logarithme n'apparaît.
Le facteur géométrique : il regroupe le rapport des sections et la hauteur d'échantillon. Il est homogène à une longueur, ce qui fournit un contrôle d'homogénéité intermédiaire précieux : une erreur d'unité sur les sections s'y voit avant de contaminer le résultat.
La forme de la décroissance : la charge décroît exponentiellement avec le temps. Il en résulte que le temps mis à diviser la charge par deux est constant, quelle que soit la charge de départ — propriété exploitée à la question 4.
Le choix du rapport deux : un opérateur choisit ses niveaux de lecture. Prendre exactement le double simplifie le contrôle mental, puisque le logarithme de deux se retient. Ce n'est pas une nécessité, c'est une commodité.
Les unités du résultat : une perméabilité est homogène à une vitesse, ce qui surprend au premier abord. C'est la vitesse qu'aurait l'eau traversant le sol sous un gradient unitaire — vitesse fictive, rapportée à la section totale et non à celle des vides.

Équations Fondamentales

Un regroupement géométrique, puis la formule intégrée. Le premier existe surtout pour être contrôlé.

Facteur géométrique de l'essai

Regroupe la géométrie du dispositif en une seule longueur.

Pourquoi cette formule ?

Parce que les trois grandeurs géométriques de l'essai — les deux sections et la hauteur d'échantillon — n'interviennent que par ce groupement. Le calculer à part permet d'en contrôler l'homogénéité avant de composer avec le temps : le résultat doit être une longueur

Contexte de validité : Valable quel que soit le sol et quelle que soit la durée d'essai : c'est une caractéristique du dispositif, non du matériau. Il ne change que si l'on change de burette ou d'échantillon.
Avantage : Il rend visible ce qui, dans le résultat, vient du montage et ce qui vient du sol. Deux essais menés sur le même dispositif partagent ce facteur.
Paramètre clé : Le rapport des sections, connu exactement, et la hauteur d'échantillon, mesurée. C'est cette dernière qui porte toute l'incertitude du groupement.
Vérification : Le résultat doit être homogène à une longueur et de l'ordre du millimètre : un centième de quinze centimètres. Un résultat en mètres ou en microns signale une conversion manquée.
Limite : Il suppose la hauteur d'échantillon constante et la section uniforme. Un échantillon tassé pendant l'essai, ce qu'un fort gradient peut provoquer, invaliderait ce groupement sans qu'on s'en aperçoive.

\[ \begin{aligned} \frac{a\,L}{A} &= \frac{a}{A} \cdot L \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que la géométrie de l'essai se résume à une longueur unique, produit du rapport des sections par la hauteur traversée. La lecture utile est celle-ci : le dispositif se règle par le rapport des sections , et la nature de l'essai par la hauteur d'échantillon. Un sol moins perméable appelle une burette plus fine, non un échantillon plus court. Raccourcir l'échantillon augmenterait le gradient, ce qui est justement ce qu'on cherche à éviter.

Décomposition des termes :

a·L/A : facteur géométrique, homogène à une longueur, unité : m
a/A : rapport des sections, exact, unité : —
L : hauteur d'échantillon traversée par l'écoulement, unité : m
ordre attendu : le millimètre, soit un centième de la hauteur, unité : m
dépendance : du dispositif seul, jamais du sol, unité : —

Coefficient de perméabilité à charge variable

Donne la perméabilité du sol à partir de la décroissance observée.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le débit n'est pas constant : il décroît avec la charge, et l'on ne peut donc pas simplement diviser un volume par un temps. L'intégration de la loi de Darcy sur la durée de l'essai fournit la relation exacte, et le logarithme en est la trace . C'est la forme adaptée aux sols peu perméables

Contexte de validité : Valable pour un écoulement laminaire, un sol saturé et homogène, et une perméabilité constante pendant la durée de l'essai. Cette dernière condition est la plus fragile : un fort gradient peut entraîner les fines et la faire varier.
Avantage : Elle ne demande que deux lectures de niveau et un chronomètre. C'est ce qui la rend praticable là où la mesure d'un débit serait hors de portée.
Paramètre clé : La durée de l'essai, qui figure au dénominateur, et les deux niveaux, qui n'interviennent que par leur rapport — ce qui rend le résultat insensible à une erreur d'origine commune aux deux lectures.
Vérification : Le résultat doit tomber dans la plage attendue pour la famille de sol supposée. Une valeur au-dessus de 10⁻⁵ m/s sur un sol fin signalerait une fuite le long de la paroi du moule.
Limite : Elle donne la perméabilité à la température de l'essai, non celle rapportée à vingt degrés. C'est l'objet de la question 3, et l'écart n'est pas négligeable.

\[ \begin{aligned} k &= \frac{a\,L}{A\,t} \ln\!\left(\frac{h_1}{h_2}\right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que la perméabilité se lit dans la vitesse à laquelle la charge décroît. Deux propriétés méritent d'être relevées. La première est que seul le RAPPORT des charges intervient , et non leurs valeurs : une erreur d'origine commune aux deux lectures s'annule. La seconde est que le temps de demi-charge en découle directement. Les deux serviront de contrôles à la question 4.

Décomposition des termes :

k : coefficient de perméabilité, homogène à une vitesse, unité : m/s
t : durée de l'essai, en secondes, unité : s
h₁ et h₂ : charges au début et à la fin, même unité, unité : m
ln : logarithme NÉPÉRIEN, non décimal, unité : —
h₁/h₂ : rapport sans dimension, ici exactement deux, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

Le logarithme est népérien. Le décimal donnerait un résultat 2,3 fois trop faible, dans la bonne famille de sols.

L'approche d'ingénieur : L'erreur consiste à employer le logarithme décimal : 0,3010 au lieu de 0,6931 . La perméabilité tomberait à 2,51 × 10⁻⁷ m/s au lieu de 5,78 × 10⁻⁷, soit 2,3 fois moins — valeur toujours de l'ordre de 10⁻⁷, toujours dans la famille des limons, et donc parfaitement crédible. Aucun contrôle d'ordre de grandeur ne l'attraperait : seul le fait de savoir que l'intégration produit un logarithme népérien permet de trancher.

L'erreur : Employer le logarithme décimal au lieu du népérien, sur une touche de calculatrice voisine.
La bonne méthode : Retenir que le logarithme de deux vaut 0,693 en népérien et 0,301 en décimal. Le premier est le bon, et il se contrôle d'un coup d'œil.
L'astuce de pro : Contrôler le facteur géométrique séparément : il doit être une longueur de l'ordre du millimètre. Une erreur de section s'y voit avant de contaminer le résultat.
Le moyen mnémotechnique : Le logarithme vient d'une intégration : il est donc népérien, toujours.
L'impact direct : Un facteur 2,3 sur la perméabilité déplace un délai de consolidation, un débit d'exhaure ou une durée de rabattement d'autant — et fait basculer un choix de méthode.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Facteur géométrique a·L/A, une longueur, en m
Durée de l'essai t, convertie en s
Rapport des charges h₁/h₂ : sans dimension
Logarithme népérien : sans dimension
Coefficient de perméabilité k, une vitesse, en m/s

Le facteur géométrique est une longueur, divisé par un temps il donne une vitesse, et le logarithme étant sans dimension le résultat est bien en mètres par seconde. Qu'une perméabilité soit homogène à une vitesse mérite un mot — c'est la vitesse qu'aurait l'eau traversant le sol sous un gradient unitaire — car cette lecture rend le nombre tangible. Ici, 5,78 × 10⁻⁷ mètre par seconde signifie qu'il faudrait vingt jours à l'eau pour parcourir un mètre de ce sol sous un gradient de un, ou dix-huit mètres par an. Ces deux traductions valent mieux qu'une puissance de dix pour se représenter ce dont on parle, et elles fournissent au passage un contrôle : un sol qui laisserait passer l'eau de dix-huit mètres par an n'est ni un gravier, où elle ferait des kilomètres, ni une argile, où elle ferait quelques centimètres.,

1. Résolution Numérique Facteur géométrique de l'essai

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que regrouper la géométrie avant de composer avec le temps permet d'en contrôler l'homogénéité, et d'attraper une erreur de section avant qu'elle ne contamine le résultat.

Méthodologie du calcul :

On multiplie le rapport des sections par la hauteur d'échantillon. Le résultat doit être homogène à une longueur — c'est le contrôle que ce regroupement existe pour rendre possible, et il ne coûte qu'une ligne.

Substitution : a/A = 0,0100, rapport exact établi en question 1 ; L = 150 mm, soit 0,150 m après conversion.
Piège évité : Ne pas oublier de convertir la hauteur d'échantillon. Laissée en millimètres, elle donnerait un facteur géométrique mille fois trop grand, et une perméabilité de 5,8 × 10⁻⁴ m/s — celle d'un sable propre.
Hypothèse validée : La hauteur d'échantillon reste constante pendant l'essai. Un tassement sous le gradient appliqué la réduirait, ce que rien dans le dispositif ne mesure.
Vérification croisée : Le résultat doit être une longueur de l'ordre du millimètre, soit un centième de quinze centimètres. On trouve 1,500 mm : le contrôle passe.
Finalité : Ce facteur sera divisé par la durée d'essai puis multiplié par le terme logarithmique.

\[ \begin{aligned} \frac{a\,L}{A} &= \frac{a}{A} \times L \\ &= 0{,}0100 \times 0{,}150 \\ &= \mathbf{1{,}500 \times 10^{-3}} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

1,500 millimètre : la géométrie de tout le dispositif se résume à cette longueur. Elle ne dépend que du montage, jamais du sol , et deux essais menés sur le même perméamètre la partagent — ce qui en fait une constante d'appareil, à calculer une fois pour toutes . Le sol n'intervient qu'ensuite, par la durée qu'il impose.

Ordre de grandeur : Un millimètre et demi pour un rapport de sections d'un centième et un échantillon de quinze centimètres. Une burette deux fois plus fine diviserait ce facteur par quatre.
Impact sur la suite : Il sera divisé par les 1800 secondes de l'essai, puis multiplié par le logarithme du rapport des charges.
Cohérence : Le résultat est bien homogène à une longueur et de l'ordre attendu. Sa valeur, un centième de la hauteur d'échantillon, reflète exactement le rapport des sections.
Attention : Ce facteur suppose la hauteur d'échantillon inchangée. Sous un gradient de plus de cinq, un limon peu consolidé peut se tasser de quelques dixièmes de millimètre pendant l'essai, ce que le dispositif ne mesure pas.
Comparaison : Sur un perméamètre à burette de 5 mm et échantillon de 70 mm, le facteur vaudrait 0,00179 mm, soit près de mille fois moins : la durée d'essai serait allongée d'autant à perméabilité égale.

Remarque pédagogique : Un groupement intermédiaire dont on peut contrôler la dimension est toujours préférable à un calcul mené d'un trait. Il coûte une ligne et supprime une classe entière d'erreurs.

Coefficient de perméabilité

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le résultat de l'essai, et la seule grandeur qui entrera ensuite dans un calcul de débit, de consolidation ou d'étanchéité.

Méthodologie du calcul :

On divise le facteur géométrique par la durée d'essai, puis on multiplie par le logarithme népérien du rapport des charges. Le rapport valant exactement deux, ce logarithme vaut 0,6931 — valeur qui se retient et qui sert de contrôle contre l'emploi du logarithme décimal.

Substitution : a·L/A = 1,500 × 10⁻³ m, établi au bloc précédent ; t = 30 min soit 1800 s ; h₁/h₂ = 0,80/0,40 = 2 exactement.
Piège évité : Ne pas employer le logarithme décimal, qui vaut 0,3010 pour deux. Le résultat, 2,51 × 10⁻⁷ m/s, resterait dans la famille des limons et ne se signalerait par rien.
Hypothèse validée : L'écoulement est laminaire, le sol homogène et saturé, et la perméabilité constante pendant les trente minutes. C'est cette dernière hypothèse que le gradient élevé met en cause, et la question 4 y revient.
Vérification croisée : Le résultat doit tomber entre 10⁻⁹ et 10⁻⁵ m/s pour un sol fin. On trouve 5,78 × 10⁻⁷, soit 18,2 mètres par an ou vingt jours pour traverser un mètre sous gradient unitaire.
Finalité : Cette valeur sera rapportée à vingt degrés à la question 3, correction que l'énoncé ne demande pas et qui pèse pourtant plus que tout le reste.

\[ \begin{aligned} k &= \frac{a\,L}{A\,t} \ln\!\left(\frac{h_1}{h_2}\right) \\ &= \frac{1{,}500 \times 10^{-3}}{1800} \times \ln(2) \\ &= 8{,}333 \times 10^{-7} \times 0{,}6931 \\ &= \mathbf{5{,}776 \times 10^{-7}} \text{ m/s} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

5,78 × 10⁻⁷ mètre par seconde, soit 18,2 mètres par an. Autrement dit vingt jours pour traverser un mètre de ce sol sous gradient unitaire — ce qui range l'échantillon parmi les sols peu perméables, entre le sable fin et le limon . Une argile mettrait des années à faire le même trajet.

Ordre de grandeur : Un limon se situe couramment entre 10⁻⁸ et 10⁻⁶ m/s. La valeur obtenue est dans le tiers supérieur de cette plage, du côté du sable fin plutôt que de l'argile.
Impact sur la suite : C'est la valeur d'entrée de tout calcul de débit d'exhaure, de temps de consolidation ou de dimensionnement de drainage sur ce sol.
Cohérence : Le résultat est positif, dans la plage attendue pour un sol fin, et l'écart avec la valeur publiée par la source — 5,8 × 10⁻⁷ — est de 0,4%, imputable à son arrondi. L'arithmétique de la source est ici correcte.
Attention : C'est la perméabilité à la TEMPÉRATURE DE L'ESSAI, que l'énoncé ne donne pas. Publiée telle quelle, elle n'est pas exploitable : la question 3 chiffre ce que cette omission coûte.
Comparaison : Le même essai mené sur 45 minutes au lieu de 30 aurait donné, à sol identique, un rapport de charges différent — et non un coefficient différent. C'est le sol qui impose la durée, non l'inverse.

Remarque pédagogique : Traduire une perméabilité en mètres par an ou en jours de traversée rend immédiatement contrôlable un nombre que sa puissance de dix rend abstrait. Deux divisions, et le résultat devient discutable.

RÉSULTAT FINAL

a·L/A = 1,500 × 10⁻³ m et k = 5,776 × 10⁻⁷ m/s — soit 18,2 m/an, ou 20 jours pour un mètre

« Le logarithme vient d'une intégration : il est népérien, et le décimal donnerait un résultat crédible et faux. »

Question 3 : La correction que la source oublie

Dans la tête de l'ingénieur

« Le calcul est juste et le résultat inexploitable. Il manque une donnée que personne n'a relevée. Un coefficient de perméabilité se rapporte toujours à vingt degrés . Celui de la question 2 est celui de l'eau à la température de l'essai, que l'énoncé ne donne pas — et selon qu'il ait été mené à dix ou à vingt-cinq degrés, la valeur corrigée varie d'un facteur 1,47. »

Observation : La viscosité de l'eau chute de 1,306 à 0,890 millipascal-seconde entre dix et vingt-cinq degrés, soit trente-deux pour cent pour quinze degrés d'écart. Une eau moins visqueuse traverse plus vite le même sol.
Analyse du risque : Publier un coefficient sans sa température de référence, c'est publier un nombre et non une mesure . Le lecteur ne peut ni le comparer à un autre essai, ni l'employer dans un calcul de débit : il ignore ce qu'il vaut. Et rien dans le nombre lui-même ne signale ce qui manque.
Choix stratégique : Établir le rapport de viscosités correspondant à une hypothèse de température explicitement posée, appliquer la correction, puis balayer l'hypothèse sur toute la plage plausible d'un laboratoire et chiffrer l'intervalle qui en résulte.
Alternative : Employer les formules empiriques qui donnent le rapport de viscosités directement en fonction de la température, sans passer par les valeurs tabulées. Le résultat est identique à mieux d'un pour cent près ; la table a l'avantage de rendre visible la variation.
Objectif visé : Rapporter le coefficient mesuré à la température de référence, et chiffrer l'incertitude que l'absence de cette donnée introduit dans le résultat.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

RT = 1,0516 à 18 °C · k20 = 6,074 × 10⁻⁷ m/s · intervalle 5,13 à 7,53 × 10⁻⁷

Rappel Théorique : la perméabilité n'est pas une propriété du sol seul

La grandeur qui ne dépend que du sol est sa perméabilité INTRINSÈQUE, homogène à une surface, et qui mesure la géométrie de ses vides. Le coefficient employé en géotechnique y ajoute les propriétés du fluide — son poids volumique et sa viscosité . C'est donc une propriété du couple sol-fluide, et la température de l'eau y entre au même titre que la porosité du sol.

La viscosité et la température : l'eau à dix degrés est près d'une fois et demie plus visqueuse qu'à vingt-cinq. Sa résistance à l'écoulement dans les pores varie d'autant, et le coefficient mesuré avec elle.
Le sens de la correction : un essai mené SOUS vingt degrés emploie une eau plus visqueuse, donc mesure une perméabilité plus faible que celle de référence. La correction la relève. Au-dessus de vingt degrés, elle l'abaisse.
La forme de la correction : un simple rapport de viscosités. Elle est purement arithmétique, ne demande aucune mesure supplémentaire au-delà d'un thermomètre, et ne coûte donc rien — ce qui rend son omission d'autant plus regrettable.
L'ordre de priorité des soins : chercher la seconde près sur trente minutes améliore le résultat de moins d'un dixième de pour cent ; ignorer la température peut le fausser de trente. L'attention doit se porter là où l'effet est grand, non là où l'effort est visible.
Ce qui reste après correction : la variabilité du sol lui-même, qui dépasse largement tout cela. C'est pourquoi la NF EN 1997-2 demande plusieurs éprouvettes par couche : la dispersion entre échantillons dépasse d'un ordre de grandeur l'effet de la température.

Équations Fondamentales

Un rapport de viscosités, puis un produit. La difficulté n'est pas dans le calcul mais dans le fait d'y penser.

Rapport de correction de viscosité

Traduit l'écart de température en un facteur multiplicatif.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la perméabilité varie comme l'inverse de la viscosité du fluide, toutes choses égales par ailleurs. Le rapport des viscosités entre la température d'essai et celle de référence donne donc directement le facteur de correction , sans qu'aucun autre paramètre du sol n'ait à intervenir

Contexte de validité : Valable tant que la température ne modifie que le fluide. Sur une argile gonflante, un écart thermique important peut aussi modifier la structure du sol, et la correction cesse alors d'être suffisante.
Avantage : Elle ne demande qu'un thermomètre et une table de viscosité. C'est la correction la plus rentable de tout l'essai : quelques secondes de relevé pour un effet pouvant atteindre trente pour cent.
Paramètre clé : La température de l'eau au moment de l'essai — donnée de mesure à part entière, au même titre que les niveaux et le temps, et non une circonstance.
Vérification : Le rapport doit être supérieur à un si l'essai a été mené sous vingt degrés, inférieur au-dessus. Ce contrôle de sens attrape une inversion du quotient.
Limite : Elle suppose la température homogène et stable pendant tout l'essai. Sur un essai de plusieurs heures dans un local non climatisé, la température dérive et la correction devient approximative.

\[ \begin{aligned} R_T &= \frac{\eta_T}{\eta_{20}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que la correction est le rapport de la viscosité à la température d'essai sur celle à vingt degrés. Le sens du rapport est ce qu'il faut retenir : une eau froide est plus visqueuse, l'essai sous-estime donc la perméabilité , et la correction la relève. L'inverser donnerait une erreur de dix pour cent dans le mauvais sens. Le contrôle tient en une phrase : froid, donc correction supérieure à un.

Décomposition des termes :

RT : rapport de correction de viscosité, sans dimension, unité : —
ηT : viscosité dynamique de l'eau à la température d'essai, unité : mPa·s
η20 : viscosité dynamique à vingt degrés, soit 1,0016, unité : mPa·s
sens : supérieur à un si l'essai est sous vingt degrés, unité : —
origine : données physiques publiques, hors norme, unité : —

Perméabilité rapportée à vingt degrés

Rend le résultat comparable à toute autre mesure et utilisable en calcul.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'un coefficient de perméabilité ne se compare et ne s'emploie que rapporté à une température convenue. Sans cette référence, deux essais menés sur le MÊME sol dans deux laboratoires ne se recouperaient pas , et l'écart serait attribué au sol alors qu'il ne vient que du thermomètre

Contexte de validité : Valable pour l'eau pure ou faiblement minéralisée. Un fluide de nature différente, comme un lixiviat de décharge, appellerait une correction portant aussi sur le poids volumique.
Avantage : Elle rend le résultat transportable : d'un laboratoire à l'autre, d'une saison à l'autre, d'un rapport à l'autre. C'est la condition pour que la valeur puisse être comparée à une exigence contractuelle.
Paramètre clé : Le rapport de viscosités, et donc la température relevée. Si elle ne l'a pas été, la correction devient un balayage d'hypothèse — ce qui est le cas ici.
Vérification : Le résultat corrigé doit se situer dans l'intervalle du balayage, et du bon côté de la valeur brute selon que l'essai était plus chaud ou plus froid que la référence.
Limite : Elle ne corrige que l'effet du fluide. Elle ne dit rien de la représentativité de l'échantillon, ni du gradient appliqué, qui sont les deux autres réserves de cet essai.

\[ \begin{aligned} k_{20} &= k_T \cdot \frac{\eta_T}{\eta_{20}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit d'appliquer le rapport de viscosités au coefficient mesuré. Ce qui compte davantage est la conclusion pratique : la température doit être relevée pendant l'essai , faute de quoi ce produit ne peut pas être formé et le résultat reste attaché à des conditions inconnues. Un thermomètre coûte moins qu'un chronomètre de précision, et il pèse cent fois plus sur le résultat.

Décomposition des termes :

k20 : perméabilité rapportée à vingt degrés, unité : m/s
kT : perméabilité mesurée à la température d'essai, unité : m/s
RT : rapport de correction, calculé au bloc précédent, unité : —
référence : vingt degrés, convention usuelle, unité : °C
condition : la température doit avoir été relevée, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

Un coefficient publié sans sa température de référence est un nombre, pas une mesure.

L'approche d'ingénieur : L'erreur consiste à publier 5,78 × 10⁻⁷ m/s sans autre précision. Selon la température réelle de l'essai, la valeur rapportée à vingt degrés se situe entre 5,13 et 7,53 × 10⁻⁷ m/s , soit un facteur 1,47 entre les deux extrêmes de la plage plausible d'un laboratoire . L'incertitude ainsi laissée ouverte dépasse tout ce que la précision du chronométrage et des lectures de niveau pourrait apporter — et elle se supprime d'un coup d'œil au thermomètre.

L'erreur : Omettre de relever la température de l'eau, puis publier le coefficient brut comme s'il était rapporté à vingt degrés.
La bonne méthode : Traiter la température comme une donnée de mesure, au même titre que les niveaux et le temps, et la porter sur la feuille d'essai.
L'astuce de pro : Contrôler le sens de la correction : eau froide, donc plus visqueuse, donc perméabilité mesurée sous-estimée, donc correction supérieure à un.
Le moyen mnémotechnique : Froid égale visqueux égale lent : la correction relève.
L'impact direct : Une erreur de trente pour cent sur la perméabilité déplace d'autant un délai de consolidation ou un débit d'exhaure, et peut faire passer un sol d'un côté à l'autre d'une exigence contractuelle d'étanchéité.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Viscosité dynamique de l'eau, en mPa·s
Rapport de correction RT : sans dimension
Température, en °C
Perméabilité mesurée kT, en m/s
Perméabilité corrigée k20, en m/s

Le rapport de deux viscosités est sans dimension, quelle que soit l'unité dans laquelle elles sont exprimées, pourvu qu'elle soit la même pour les deux. L'unité de la viscosité dynamique mérite d'être située — le millipascal-seconde, soit l'ancien centipoise — parce que l'eau à vingt degrés y vaut très exactement une unité, à deux millièmes près. Cette coïncidence n'est pas fortuite : le centipoise a précisément été défini pour que l'eau à température ordinaire en vale un, ce qui en fait un repère mnémotechnique commode. Une viscosité de 1,3 se lit donc immédiatement comme « trente pour cent de plus que l'eau ordinaire », et le rapport de correction se contrôle de tête.,

1. Résolution Numérique Rapport de correction de viscosité

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la perméabilité varie comme l'inverse de la viscosité du fluide, et que l'essai n'a pas été mené à la température de référence.

Méthodologie du calcul :

On forme le rapport de la viscosité de l'eau à la température d'essai sur celle à vingt degrés. L'énoncé ne donnant pas cette température, on pose une hypothèse explicite — dix-huit degrés, valeur courante d'un laboratoire non climatisé — que le bloc suivant balaiera sur toute la plage plausible.

Substitution : Viscosité dynamique de l'eau : 1,0533 mPa·s à 18 °C et 1,0016 mPa·s à 20 °C. Ce sont des données physiques du domaine public, indépendantes de toute norme.
Piège évité : Ne pas inverser le rapport. Écrire la viscosité à vingt degrés au numérateur donnerait 0,9509, correction qui ABAISSE la perméabilité alors qu'un essai mené au frais la sous-estime déjà.
Hypothèse validée : L'essai a été mené à 18 °C. C'est une HYPOTHÈSE, non une donnée : l'énoncé ne dit rien de la température, et le bloc suivant chiffre ce que cette lacune coûte.
Vérification croisée : Le rapport doit dépasser un puisque l'essai est supposé plus froid que la référence. On trouve 1,0516 : le contrôle de sens passe.
Finalité : Ce rapport multipliera le coefficient mesuré pour donner sa valeur rapportée à vingt degrés.

\[ \begin{aligned} R_T &= \frac{\eta_{18}}{\eta_{20}} \\ &= \frac{1{,}0533}{1{,}0016} \\ &= \mathbf{1{,}0516} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un rapport de 1,0516 : deux degrés d'écart valent déjà 5,2% sur le résultat. C'est plus que toute l'incertitude de lecture des niveaux et du chronomètre réunies , pour une donnée qui ne demande qu'un thermomètre plongé dans la burette . Le rapport entre l'effet et l'effort est ici sans équivalent dans l'essai.

Ordre de grandeur : La viscosité de l'eau varie d'environ 2,3% par degré autour de vingt degrés. Ce taux se retient et permet d'estimer la correction de tête à mieux de un pour cent sur la plage courante.
Impact sur la suite : Il relève le coefficient mesuré de 5,2% pour donner la valeur de référence, seule exploitable en calcul et en comparaison.
Cohérence : Le rapport dépasse un, conformément au sens attendu pour un essai plus froid que la référence, et son ampleur — cinq pour cent pour deux degrés — est cohérente avec le taux de 2,3% par degré.
Attention : La température retenue est une hypothèse, non une mesure. Toute note de calcul doit le dire, et donner l'intervalle correspondant plutôt qu'une valeur unique faussement précise.
Comparaison : Un essai mené à dix degrés donnerait un rapport de 1,3038, soit trente pour cent de correction. À vingt-cinq degrés, 0,8886, soit onze pour cent dans l'autre sens.

Remarque pédagogique : Poser explicitement une hypothèse et la balayer vaut toujours mieux que la taire. Le lecteur sait alors ce qu'il ignore, ce qui est la seule façon honnête de publier un résultat incomplet.

Perméabilité rapportée à vingt degrés

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule forme sous laquelle un coefficient de perméabilité se compare, se transmet et s'emploie dans un calcul.

Méthodologie du calcul :

On multiplie le coefficient mesuré par le rapport de correction. Puis on balaie l'hypothèse de température sur la plage plausible d'un laboratoire, de dix à vingt-cinq degrés, pour chiffrer ce que l'omission coûte — c'est cet intervalle, et non la valeur centrale, qui constitue le résultat honnête de l'essai.

Substitution : kT = 5,776 × 10⁻⁷ m/s, mesuré en question 2 ; RT = 1,0516 sous l'hypothèse de 18 °C.
Piège évité : Ne pas publier la valeur corrigée seule. Sans l'intervalle du balayage, elle affiche une précision que l'absence de mesure de température ne permet pas.
Hypothèse validée : Le fluide est de l'eau pure ou faiblement minéralisée, et sa température est restée stable pendant les trente minutes de l'essai.
Vérification croisée : La valeur corrigée doit dépasser la mesurée, l'essai étant supposé plus froid que la référence, et tomber dans l'intervalle du balayage. Les deux contrôles passent.
Finalité : C'est cette valeur, avec son intervalle, qui sera positionnée dans l'échelle des perméabilités à la question 4.

\[ \begin{aligned} k_{20} &= k_T \cdot R_T \\ &= 5{,}776 \times 10^{-7} \times 1{,}0516 \\ &= \mathbf{6{,}074 \times 10^{-7}} \text{ m/s} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

6,07 × 10⁻⁷ m/s sous l'hypothèse retenue, mais l'intervalle est ce qui compte : de 5,13 à 7,53 × 10⁻⁷ m/s selon que l'essai ait été mené à vingt-cinq ou à dix degrés , soit un facteur 1,47 entre les deux extrêmes — pour une donnée qui se relève en une seconde . L'incertitude introduite dépasse tout le reste du calcul.

Ordre de grandeur : Un facteur 1,47 sur une perméabilité est modéré au regard de la variabilité naturelle d'une couche de sol, qui atteint couramment un facteur dix. Mais c'est une incertitude ÉVITABLE, et c'est ce qui la distingue.
Impact sur la suite : C'est la valeur de référence du sol, celle qui entrera dans les calculs de débit, de consolidation ou d'étanchéité, et celle qui se compare à une exigence contractuelle.
Cohérence : La valeur corrigée dépasse bien la mesurée et se situe dans l'intervalle du balayage, du côté attendu. L'ensemble reste dans la famille des sols peu perméables.
Attention : L'intervalle donné ne couvre QUE l'incertitude de température. Il ne dit rien de la variabilité du sol lui-même, que la NF EN 1997-2 traite en imposant plusieurs éprouvettes par couche — et l'exercice n'en compte qu'une.
Comparaison : L'incertitude de lecture des niveaux, de l'ordre du millimètre sur quarante centimètres, contribue pour moins de 0,4% au résultat. L'omission de la température pèse cent fois plus.

Remarque pédagogique : Le résultat honnête d'un essai incomplet est un intervalle, jamais une valeur. Donner une valeur unique reviendrait à masquer ce qu'on ne sait pas.

RÉSULTAT FINAL

RT = 1,0516 et k20 = 6,074 × 10⁻⁷ m/s — intervalle 5,13 à 7,53 selon la température

« Un thermomètre coûte moins qu'un chronomètre de précision, et il pèse cent fois plus sur le résultat. »

Question 4 : Les conditions de l'essai valent-elles le résultat ?

Dans la tête de l'ingénieur

« Le coefficient est juste. Reste à savoir dans quelles conditions il a été obtenu, et si ces conditions ont un rapport avec le terrain. Le gradient hydraulique appliqué vaut plus de cinq , quand un écoulement en place se situe entre un centième et l'unité. On mesure le sol dans des conditions qu'il ne rencontrera jamais — ce qui accélère l'essai et expose à des désordres internes que rien ne mesure. »

Observation : La charge initiale de quatre-vingts centimètres se dissipe sur quinze centimètres d'échantillon. Le rapport des deux est le gradient, et il vaut 5,33 — cinq à cinq cents fois celui d'un écoulement naturel.
Analyse du risque : Un fort gradient peut entraîner les particules fines à travers l'échantillon, ce qui modifie le sol pendant qu'on le mesure . Le coefficient dérive alors au cours de l'essai, et la valeur rapportée n'est celle d'aucun état du matériau — ni celui de départ, ni celui d'arrivée.
Choix stratégique : Chiffrer le gradient appliqué et le comparer à celui du terrain. Établir le temps de demi-charge, qui fournit un contrôle de cohérence gratuit. Calculer enfin le volume écoulé, pour juger de ce que la lecture exige de précision.
Alternative : Réduire la charge initiale pour se rapprocher du gradient de terrain. L'essai durerait alors beaucoup plus longtemps — la durée varie comme l'inverse du logarithme du rapport des charges — et l'évaporation deviendrait à son tour une source d'erreur.
Objectif visé : Juger de la validité de l'essai à partir de trois grandeurs qui ne figurent dans aucune formule, et conclure sur la nature du sol.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

i = 5,33 puis 2,67 · demi-charge = 1800 s · volume = 31,4 cm³

Rappel Théorique : le temps de demi-charge et ce qu'il contrôle

La charge décroît exponentiellement avec le temps. Il en résulte que la durée mise à la diviser par deux est constante , quelle que soit la charge de départ — exactement comme une période radioactive. Relever un niveau intermédiaire fournit donc un contrôle de cohérence qui ne coûte rien : les deux moitiés de l'essai doivent durer le même temps.

Le gradient hydraulique : rapport de la charge à la longueur sur laquelle elle se dissipe. C'est lui qui pilote la vitesse d'écoulement selon la loi de Darcy, et il vaut ici plus de cinq contre moins de un en place.
Pourquoi un gradient élevé en laboratoire : pour que l'essai se termine dans la journée. À gradient de terrain, la même mesure demanderait des jours, et l'évaporation en burette deviendrait la principale source d'erreur.
Ce qu'un gradient élevé peut abîmer : il peut entraîner les particules fines, colmater progressivement l'échantillon, voire le tasser. Le sol change alors pendant qu'on le mesure, et le coefficient dérive sans que rien ne le signale.
Le temps de demi-charge : il ne dépend pas de la charge de départ, seulement du dispositif et du sol. C'est ce qui en fait un contrôle : deux demi-périodes inégales révèlent une évolution de l'échantillon.
Le volume écoulé : il donne la mesure de ce que l'essai demande à la lecture. Ici trente et un centimètres cubes en trente minutes, soit un centimètre cube par minute — débit qu'une burette rend lisible et qu'un débitmètre ne verrait pas.

Équations Fondamentales

Un rapport, puis une inversion de la formule de perméabilité. La seconde révèle une propriété que la première ne laissait pas deviner.

Gradient hydraulique appliqué

Mesure l'intensité de la sollicitation hydraulique imposée à l'échantillon.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la loi de Darcy relie la vitesse d'écoulement au gradient, et non à la charge seule. Une même charge appliquée sur un échantillon deux fois plus court produit un gradient deux fois plus fort , donc un écoulement deux fois plus rapide — et c'est le gradient, non la charge, qui décide de l'agressivité de l'essai

Contexte de validité : Valable pour un échantillon homogène où la perte de charge se répartit uniformément sur la hauteur. Un échantillon stratifié concentrerait le gradient sur ses couches les moins perméables.
Avantage : Il se calcule en une division et permet de comparer immédiatement les conditions d'essai à celles du terrain. C'est le premier contrôle de pertinence d'un essai de perméabilité.
Paramètre clé : La hauteur d'échantillon, qui est au dénominateur. Un échantillon court accélère l'essai en aggravant le gradient : le gain de temps se paie en représentativité.
Vérification : Le gradient doit décroître au cours de l'essai, puisque la charge décroît. Ici de 5,33 à 2,67, soit exactement de moitié comme la charge.
Limite : Il ne dit rien de ce que le sol supporte. Le gradient critique au-delà duquel les fines sont entraînées dépend de la granulométrie et ne se déduit pas du gradient appliqué.

\[ \begin{aligned} i &= \frac{h}{L} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que le gradient est le rapport de la charge à la longueur traversée. Ce qu'il faut en retenir tient au terme de comparaison : un écoulement en place se situe entre 0,01 et 1 , et l'essai impose ici 5,33. On mesure donc le sol dans des conditions qu'il ne rencontrera jamais en service. C'est un compromis assumé, à condition d'être signalé.

Décomposition des termes :

i : gradient hydraulique, sans dimension, unité : —
h : charge hydraulique au moment considéré, unité : m
L : hauteur d'échantillon sur laquelle elle se dissipe, unité : m
en place : de 0,01 sous une nappe à 1 près d'un drain, unité : —
en essai : de 5,33 au début à 2,67 à la fin, unité : —

Temps de demi-charge

Donne la durée nécessaire pour diviser la charge par deux, et fournit un contrôle d'essai.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la décroissance étant exponentielle, cette durée ne dépend pas de la charge de départ. Elle caractérise le couple dispositif-sol et rien d'autre, ce qui permet de la comparer d'une moitié d'essai à l'autre et d'y lire toute évolution de l'échantillon

Contexte de validité : Valable tant que la perméabilité reste constante pendant l'essai. C'est précisément l'hypothèse que le contrôle sert à éprouver : si les deux demi-périodes diffèrent, l'hypothèse est fausse.
Avantage : Le contrôle ne coûte qu'un relevé de niveau intermédiaire. Aucun matériel supplémentaire, aucun calcul lourd : une comparaison de deux durées.
Paramètre clé : La perméabilité elle-même, qui est au dénominateur. Un sol dix fois moins perméable donne une demi-période dix fois plus longue, ce qui permet de dimensionner la durée d'essai avant de le lancer.
Vérification : Le rapport des charges valant exactement deux dans cet essai, la demi-période doit être égale à la durée totale. C'est une identité, et elle se vérifie au millième de seconde.
Limite : Le contrôle détecte une évolution de l'échantillon, mais ne dit pas laquelle. Colmatage, entraînement de fines, saturation qui se poursuit : les trois donnent des demi-périodes inégales.

\[ \begin{aligned} t_{1/2} &= \frac{a\,L}{k\,A} \ln 2 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que la durée de demi-charge s'obtient en inversant la formule de perméabilité pour un rapport de charges égal à deux. La conséquence est celle qui compte : elle ne dépend pas du niveau de départ , exactement comme une période radioactive. Passer de 80 à 40 centimètres prend le même temps que passer de 40 à 20. Un relevé intermédiaire suffit donc à contrôler tout l'essai.

Décomposition des termes :

t₁/₂ : durée mise à diviser la charge par deux, unité : s
ln 2 : logarithme népérien de deux, soit 0,6931, unité : —
k : perméabilité, au dénominateur, unité : m/s
indépendance : la durée ne dépend pas de la charge de départ, unité : —
contrôle : deux demi-périodes inégales révèlent une dérive, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

Deux demi-périodes inégales révèlent que l'échantillon a changé pendant qu'on le mesurait.

L'approche d'ingénieur : L'erreur consiste à publier le coefficient sans avoir contrôlé la constance de la perméabilité pendant l'essai. Or ce contrôle ne coûte qu'un relevé intermédiaire à quarante centimètres : les deux moitiés doivent durer exactement le même temps, soit 15 minutes chacune si l'on relève le passage à 56,6 cm, ou 30 minutes si l'on prolonge jusqu'à 20 cm . Toute inégalité notable signale un colmatage, un entraînement de fines ou une saturation encore incomplète — et dans les trois cas le coefficient rapporté n'est celui d'aucun état du sol.

L'erreur : Publier un coefficient sans avoir vérifié que la perméabilité est restée constante pendant l'essai.
La bonne méthode : Relever un niveau intermédiaire et comparer les deux durées. C'est le contrôle le moins coûteux et le plus révélateur de l'essai.
L'astuce de pro : Choisir le niveau intermédiaire au produit des deux autres sous la racine : la moyenne géométrique partage l'essai en deux durées égales.
Le moyen mnémotechnique : Charge divisée par deux : toujours la même durée, quel que soit le départ.
L'impact direct : Un échantillon qui se colmate pendant l'essai donne une perméabilité intermédiaire entre deux états, qui ne décrit ni le sol en place ni le sol colmaté.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Gradient hydraulique i : sans dimension
Temps de demi-charge, en s
Volume écoulé, en cm³
Débit moyen, en cm³/min
Vitesse de Darcy, en m/s

Le gradient est un rapport de deux longueurs, donc sans dimension, et c'est ce qui permet de comparer un essai de laboratoire à un écoulement de terrain sans aucune conversion. Le volume écoulé mérite d'être ramené à une unité parlante — trente et un centimètres cubes, soit deux cuillerées à soupe — parce que ce nombre dit tout de la difficulté de l'essai. C'est la quantité d'eau qui a traversé l'échantillon en une demi-heure, et elle se répartit en un débit moyen d'environ un centimètre cube par minute. Un tel débit est invisible pour un débitmètre courant, et c'est précisément la raison d'être du dispositif à charge variable : en le convertissant en une baisse de niveau de quarante centimètres dans une burette étroite, on le rend lisible à la règle graduée. Toute l'ingéniosité de l'essai tient dans ce changement d'échelle.,

1. Résolution Numérique Gradient hydraulique appliqué

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le gradient, et non la charge, qui pilote la vitesse d'écoulement — et parce qu'il décide de l'agressivité de l'essai vis-à-vis de l'échantillon.

Méthodologie du calcul :

On divise la charge par la hauteur d'échantillon sur laquelle elle se dissipe, au début puis à la fin de l'essai. Le gradient décroît comme la charge , donc de moitié ici, et sa comparaison au gradient de terrain est le premier contrôle de pertinence de l'essai.

Substitution : h₁ = 0,80 m et h₂ = 0,40 m ; L = 0,150 m, hauteur de l'échantillon.
Piège évité : Ne pas diviser par la hauteur de la burette ou par la hauteur totale du dispositif. La perte de charge se produit dans le SOL, et seule sa hauteur intervient.
Hypothèse validée : La perte de charge se répartit uniformément sur la hauteur de l'échantillon, ce qui suppose un sol homogène. Une couche moins perméable y concentrerait le gradient.
Vérification croisée : Le gradient doit décroître au cours de l'essai, dans le même rapport que la charge. On passe de 5,33 à 2,67 : exactement de moitié, comme attendu.
Finalité : Ce chiffre sera comparé au gradient d'un écoulement en place, ce qui fonde la principale réserve sur l'essai.

\[ \begin{aligned} i &= \frac{h}{L} \\ &= \left\{\,\frac{0{,}80}{0{,}150} \;;\; \frac{0{,}40}{0{,}150}\,\right\} \\ &= \mathbf{\{\,5{,}33 \;;\; 2{,}67\,\}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un gradient de 5,33 au début, contre 0,01 à 1 pour un écoulement en place. L'essai sollicite donc le sol cinq à cinq cents fois plus fort qu'il ne le sera jamais — choix assumé, qui ramène la mesure à trente minutes au lieu de plusieurs jours . Encore faut-il le signaler, car il expose à des désordres internes que rien ne mesure.

Ordre de grandeur : Sous une nappe au repos, le gradient vaut quelques centièmes. Au voisinage immédiat d'un drain ou d'un pompage, il peut atteindre l'unité. Au-delà, on est en laboratoire ou en situation de renard hydraulique.
Impact sur la suite : Il fonde la principale réserve de l'essai : le sol est mesuré dans des conditions qu'il ne rencontrera pas, et un entraînement de fines reste possible.
Cohérence : Les deux gradients sont dans le rapport des deux charges, soit exactement deux, et l'ensemble décroît comme il se doit. La construction est cohérente.
Attention : Un gradient élevé peut entraîner les fines à travers l'échantillon, ce qui modifie le sol pendant qu'on le mesure. Le contrôle du bloc suivant est précisément destiné à détecter cette dérive.
Comparaison : Réduire la charge initiale à dix centimètres ramènerait le gradient à 0,67, proche du terrain — mais la baisse de niveau à mesurer deviendrait de cinq centimètres, et l'évaporation en burette deviendrait la principale source d'erreur.

Remarque pédagogique : Comparer les conditions d'essai à celles du terrain devrait être le premier réflexe devant tout résultat de laboratoire. C'est une division, et elle conditionne l'interprétation de tout le reste.

Temps de demi-charge

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il ne dépend pas de la charge de départ, et fournit donc un contrôle de constance de la perméabilité qui ne coûte qu'un relevé intermédiaire.

Méthodologie du calcul :

On inverse la formule de perméabilité en y posant un rapport de charges égal à deux. La durée obtenue ne dépend que du dispositif et du sol , jamais du niveau de départ — c'est ce qui en fait un contrôle utilisable à tout moment de l'essai.

Substitution : a = 7,854 × 10⁻⁵ m², A = 7,854 × 10⁻³ m², L = 0,150 m, k = 5,776 × 10⁻⁷ m/s, ln 2 = 0,6931.
Piège évité : Ne pas croire que la durée dépend de la charge de départ. C'est l'intuition qui trompe : une charge deux fois plus forte produit un débit deux fois plus grand, et les deux effets se compensent exactement.
Hypothèse validée : La perméabilité est constante pendant l'essai. C'est justement l'hypothèse que ce contrôle sert à éprouver, et qu'un écart entre les deux demi-périodes prendrait en défaut.
Vérification croisée : Le rapport des charges de cet essai valant exactement deux, la demi-période doit être égale à la durée totale, soit 1800 s. On la retrouve au millionième de seconde : c'est une identité, non une coïncidence.
Finalité : Il fournit le protocole de contrôle à recommander : relever un niveau intermédiaire et comparer les deux durées.

\[ \begin{aligned} t_{1/2} &= \frac{a\,L}{k\,A} \ln 2 \\ &= \frac{1{,}500 \times 10^{-3}}{5{,}776 \times 10^{-7}} \times 0{,}6931 \\ &= \mathbf{1800} \text{ s} = 30 \text{ min} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Trente minutes pour diviser la charge par deux, quel que soit le niveau de départ. Passer de 80 à 40 centimètres et passer de 40 à 20 prennent exactement le même temps — propriété d'une décroissance exponentielle, la même qui gouverne une désintégration radioactive . Elle offre un contrôle gratuit que la source ne mentionne pas.

Ordre de grandeur : Un sol dix fois moins perméable donnerait une demi-période de cinq heures. Ce calcul, mené AVANT l'essai, permet de dimensionner la durée et de choisir la burette en conséquence.
Impact sur la suite : Il fournit le protocole de contrôle : un relevé intermédiaire, deux durées à comparer, et une dérive détectée si elles diffèrent.
Cohérence : La demi-période égale exactement la durée de l'essai, ce qui était attendu puisque le rapport des charges vaut deux. L'écart est nul au millionième de seconde : c'est une identité algébrique.
Attention : Ce contrôle détecte une évolution de l'échantillon sans dire laquelle. Colmatage progressif, entraînement de fines et saturation encore incomplète donnent tous trois des demi-périodes inégales.
Comparaison : Pour partager cet essai en deux durées égales, il faudrait relever le passage à la moyenne géométrique des deux niveaux, soit 56,6 cm — et non à 60 cm, qui en est la moyenne arithmétique.

Remarque pédagogique : Une propriété qui rend une mesure indépendante d'un paramètre est toujours à chercher : elle fournit presque toujours un contrôle gratuit, et celui-ci ne demande qu'un coup d'œil supplémentaire à la burette.

Volume écoulé et débit moyen

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce volume dit ce que l'essai exige de la lecture, et explique pourquoi le dispositif à charge variable existe.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la section de la burette par la baisse de niveau. Le résultat, rapporté à la durée, donne le débit moyen — grandeur qui ne se mesure pas directement sur un sol fin, et que tout le montage a précisément pour but de rendre lisible.

Substitution : a = 7,854 × 10⁻⁵ m² ; baisse de niveau = 0,80 − 0,40 = 0,40 m ; durée = 1800 s.
Piège évité : Ne pas employer la section de l'ÉCHANTILLON. Le volume ressortirait cent fois trop grand, soit plus de trois litres au lieu de trente et un centimètres cubes — invraisemblable pour un limon en trente minutes.
Hypothèse validée : Aucune évaporation en burette et aucune fuite le long de la paroi du moule. La seconde est la plus fréquente en pratique, et elle donnerait une perméabilité surestimée.
Vérification croisée : Le débit moyen doit être de l'ordre du centimètre cube par minute, valeur qu'une burette rend lisible et qu'un débitmètre courant ne verrait pas. On trouve 1,05 cm³/min.
Finalité : Ce chiffre justifie le principe même du dispositif et permet de juger de la précision de lecture nécessaire.

\[ \begin{aligned} V &= a \,(h_1 - h_2) \\ &= 7{,}854 \times 10^{-5} \times 0{,}40 \\ &= 3{,}142 \times 10^{-5} \text{ m}^3 = \mathbf{31{,}4} \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Trente et un centimètres cubes en trente minutes, soit deux cuillerées à soupe. Un centimètre cube par minute est invisible pour un débitmètre courant — et c'est exactement pour cela que le dispositif convertit ce débit en une baisse de quarante centimètres dans une burette étroite . Toute l'ingéniosité de l'essai tient dans ce changement d'échelle.

Ordre de grandeur : Sur un sol dix fois moins perméable, le même dispositif ne laisserait passer que trois centimètres cubes en trente minutes, et l'évaporation en burette deviendrait comparable au débit mesuré.
Impact sur la suite : Il fixe la précision de lecture nécessaire : un millimètre sur quarante centimètres, soit 0,25%, ce qui est aisément atteint sur une burette graduée.
Cohérence : Le volume est cohérent avec la section de burette et la baisse de niveau, et le débit moyen correspond bien à l'ordre de grandeur attendu pour un sol peu perméable de cette taille d'échantillon.
Attention : Ce volume suppose l'absence de fuite le long de la paroi du moule. C'est le défaut le plus fréquent de l'essai, et il donne systématiquement une perméabilité SURESTIMÉE, donc du côté qui rassure.
Comparaison : L'incertitude de lecture, un millimètre sur quarante centimètres, contribue pour 0,25% au résultat — quatre-vingts fois moins que l'omission de la température relevée à la question 3.

Remarque pédagogique : Rapporter un volume à un objet familier — ici deux cuillerées à soupe — rend immédiatement sensible ce que l'essai mesure, et pourquoi il faut un dispositif pour le mesurer.

RÉSULTAT FINAL

i = 5,33 → 2,67, demi-charge = 30 min et V = 31,4 cm³ — un limon, ou un sable fin limoneux

« On mesure ce sol cinq à cinq cents fois plus fort qu'il ne sera jamais sollicité : c'est un choix, il doit être dit. »

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission — Perméabilité d'un sol fin à charge variable

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai systématiquement vérifié les unités (notamment MPa, kN, m) avant mes applications numériques. J'ai bien distingué les calculs à l' ELU (sécurité globale) et à l' ELS (déformations et confort). J'ai compris pourquoi j'ai utilisé cette formule précise de la norme, plutôt que de l'appliquer aveuglément.

L'échantillon, de dix centimètres de diamètre et quinze de hauteur, présente une section de 7,854 × 10⁻³ m² ; la burette, dix fois plus étroite, une section cent fois moindre de 7,854 × 10⁻⁵ m². Leur rapport vaut exactement un centième — il ne dépend que des diamètres, ni le nombre pi ni le facteur quatre n'y subsistant, ce qui en fait la grandeur la plus fiable de tout l'exercice. Le facteur géométrique du dispositif s'établit donc à 1,500 × 10⁻³ mètre, longueur qui ne dépend que du montage et qu'un même perméamètre conserve d'un essai à l'autre. La charge étant passée de quatre-vingts à quarante centimètres en trente minutes, le logarithme népérien du rapport des charges vaut 0,6931 et le coefficient de perméabilité 5,776 × 10⁻⁷ mètre par seconde. Ce nombre gagne à être traduit : c'est 18,2 mètres par an, ou vingt jours pour traverser un mètre de ce sol sous gradient unitaire. L'arithmétique de la source dont cet exercice est tiré est ici correcte, à son arrondi près.

Trois réserves accompagnent ce résultat, et la première suffit à le rendre inexploitable en l'état : le coefficient calculé est celui de l'eau à la TEMPÉRATURE DE L'ESSAI, que l'énoncé ne donne pas — la plage plausible couvre un facteur 1,47, incertitude qui se supprimait d'un coup d'œil au thermomètre. Un contrôle gratuit existe par ailleurs : le temps de demi-charge ne dépend pas de la charge de départ, et deux demi-périodes inégales révéleraient un colmatage, un entraînement de fines ou une saturation incomplète.

Mécanique des SolsÉtape 32 sur 60

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Commentaires3

Échanges des lecteurs et réponses de l'équipe — nouveaux commentaires publiés après validation.

Bado

19 mai 2026

Bjr juste vous dire merci les question

Bado

19 mai 2026

1-Comment interpréter les essais au pénétromètre dynamique lourd.
2-quelle interprétation faire pour les les matériaux latéritique et argileux selon leurs Ip

Études Géotechnique✓ Équipe

20 mai 2026

Bonjour,
L’essai au Pénétromètre Dynamique Lourd (DPH, selon la norme NF EN ISO 22476-2) est un essai in situ consistant à évaluer la résistance d’un sol en y enfonçant un train de tiges muni d’une pointe débordante, sous l’action d’un mouton de battage d’une masse de \( 50 \text{ kg} \) tombant en chute libre d’une hauteur constante de \( 50 \text{ cm} \).

Analyse et calculs :L’interprétation s’appuie sur le comptage du nombre de coups \( \text{N}_{20} \) nécessaires pour obtenir un enfoncement de \( 20 \text{ cm} \). Ce paramètre permet de calculer la résistance dynamique à la pointe, notée \( \text{q}_\text{d} \), classiquement évaluée par la formule de battage (type formule des Hollandais) :\[ \text{q}_\text{d} = \frac{\text{M}}{\text{M} + \text{P}} \cdot \frac{\text{M} \cdot \text{g} \cdot \text{h}}{\text{A} \cdot \text{e}} \]

L’exploitation géotechnique se fait par le tracé du pénétrogramme, qui illustre la variation de \( \text{q}_\text{d} \) avec la profondeur. Une variation brusque de portance sur le graphe \( \Rightarrow \) un changement de couche stratigraphique ou la présence d’une anomalie. Le découpage de ce profil permet d’estimer la contrainte admissible du terrain et de statuer sur la profondeur d’ancrage optimale pour les fondations.

Interprétation des matériaux latéritiques et argileux selon leur Indice de Plasticité (\( \text{I}_\text{p} \)): L’Indice de Plasticité quantifie l’étendue du domaine plastique d’un sol, calculé par la différence entre la limite de liquidité et la limite de plasticité issues des essais d’Atterberg :\[ \text{I}_\text{p} = \text{w}_\text{L} – \text{w}_\text{P} \]

En France, la norme NF P 11-300 et le GTR 2000 encadrent l’interprétation de ce paramètre pour évaluer le comportement des sols fins :\( \text{I}_\text{p} < 12 \Rightarrow \) Sol peu plastique (fraction fine souvent assimilée à la classe A1). Les matériaux sont modérément sensibles aux variations hydriques. \( 12 \le \text{I}_\text{p} \le 25 \Rightarrow \) Sol moyennement plastique (classe A2). \( 25 < \text{I}_\text{p} \le 40 \Rightarrow \) Sol plastique (classe A3). \( \text{I}_\text{p} > 40 \Rightarrow \) Sol très plastique (classe A4). Une telle valeur indique une forte proportion d’argile active \( \Rightarrow \) instabilité volumétrique et risque majeur de phénomène de retrait-gonflement.

Analyse spécifique pour les latérites :Les sols latéritiques ont un comportement particulier dominé par une matrice argilo-ferrugineuse liant des concrétions graveleuses. En terrassement et en construction routière, un graveleux latéritique exploitable en couche d’assise doit idéalement présenter un \( \text{I}_\text{p} \) faible (généralement \( \text{I}_\text{p} \le 15 \) pour une couche de base). Un \( \text{I}_\text{p} \) élevé (typique des latérites trop argileuses) trahit une sensibilité excessive à l’eau, entraînant une chute drastique de l’indice CBR en période humide.
Dans ce cas, l’utilisation brute est proscrite et nécessite une amélioration (lithostabilisation granulaire ou traitement au ciment/chaux).

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