Exercice corrigé EN 1991

Analyse d'un écoulement graduellement varié

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 27 juin 2026• 93 min de lecture• 4 vues

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Étude de cas · Note de calculs Réf. HSL-07-EGV

Analyse d'un Écoulement Graduellement Varié

Rupture de pente faible vers pente forte : hauteur critique, hauteur normale, classification du profil de remous M2 et calcul de la ligne d'eau par la méthode par étapes.

NiveauLicence / Master Génie Civil — Hydraulique approfondie

DomaineHydraulique à surface libre

ThèmeCourbes de remous & lignes d'eau

PrérequisHauteur critique · Formule de Manning-Strickler · Résolution itérative · Nombre de Froude · Équation de l'écoulement graduellement varié · Méthode par étapes (standard step) · Classification des profils de remous

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Un canal chemine d'abord sur une pente très douce, puis bascule brutalement sur une pente vingt fois plus raide. Loin en amont, l'eau coule épaisse et lente ; loin en aval, elle file mince et rapide. Entre les deux, elle ne peut pas passer d'un état à l'autre d'un coup : elle s'amincit progressivement sur plusieurs centaines de mètres avant la rupture. Cette zone de raccordement porte un nom — courbe de remous — et son calcul est l'exercice quotidien de l'hydraulicien fluvial. Car c'est elle qui décide de la cote d'eau réelle en tout point du bief : celle qu'il faut connaître pour caler une berge, implanter une prise d'eau ou tracer une zone inondable. Une ligne d'eau supposée horizontale à la hauteur normale serait ici fausse de plus de trente centimètres à cinquante mètres de la rupture.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Deux tronçons de même section et de même rugosité, ne différant que par leur pente — d'un facteur vingt. Toute la richesse du problème vient de ce seul paramètre, qui fait basculer le régime d'un tronçon à l'autre.
Environnement : L'écoulement n'est ni uniforme ni brusquement varié : il est graduellement varié. La hauteur change lentement le long du canal, assez lentement pour que la répartition de pression reste hydrostatique et que la formule de frottement uniforme reste applicable localement.
L'objectif final : Calculer une cote d'eau à un point précis — cinquante mètres en amont de la rupture — et savoir dire d'où part le calcul. En régime fluvial, une ligne d'eau se construit toujours de l'aval vers l'amont, à partir d'une section de contrôle.
L'astuce de l'ingénieur : Une pente n'est ni faible ni forte dans l'absolu : elle l'est par comparaison à la pente critique, qui dépend du débit. Le même canal peut être « à pente faible » pour une crue et « à pente forte » pour un étiage.

Votre Mission :

Vous êtes chargé du calcul de la ligne d'eau à l'approche d'une rupture de pente. La démarche est balisée : établir le débit linéique, puis la hauteur critique qui sert d'arbitre ; calculer la hauteur normale du tronçon amont par itération ; en déduire le type de pente et la classification du profil de remous ; et calculer enfin, par la méthode par étapes, la hauteur d'eau à cinquante mètres de la rupture.

Le grand défi : Comprendre d'où part le calcul. Une ligne d'eau ne se calcule pas dans le vide : elle se propage depuis une section de contrôle, et en régime fluvial cette section est à l'aval.
Votre rôle : Déterminer \( q \), \( y_c \), \( y_{n1} \), classifier le profil, puis résoudre une équation implicite par pas de calcul pour obtenir la cote d'eau à 50 m en amont de la rupture.

PLAN DE REPÉRAGE — PROFIL EN LONG DE LA RUPTURE DE PENTE

2. Données Techniques & Normes

Cinq données suffisent : un débit, une largeur, une rugosité et deux pentes. Rien de plus. Tout le reste — hauteur critique, hauteur normale, type de profil, cote d'eau à cinquante mètres — sera construit. On notera d'emblée le rapport de vingt entre les deux pentes : c'est lui qui garantit que le régime bascule d'un tronçon à l'autre, et donc qu'une courbe de remous doit obligatoirement les raccorder. La rugosité est fournie par le coefficient de Manning \( n \), dont l'inverse, le coefficient de débit \( K \), sera confronté à la fourchette recommandée par le Mémento technique ASTEE.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Débit linéique \( q = \dfrac{Q}{b} \)
Hauteur critique \( y_c = \sqrt[3]{\dfrac{q^2}{g}} \)
Manning-Strickler \( Q = \dfrac{1}{n}\, A\, R_h^{2/3}\, S_0^{1/2} \)
Rayon hydraulique (rectangle) \( R_h = \dfrac{A}{P} = \dfrac{b\,y}{b + 2y} \)
Pente de frottement \( S_f = \dfrac{n^2 Q^2}{A^2 R_h^{4/3}} \)
Énergie spécifique \( E = y + \dfrac{q^2}{2g\,y^2} \)
Équation de l'écoulement graduellement varié \( \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{S_0 - S_f}{1 - Fr^2} \)
Méthode par étapes \( E_{i} = E_{i+1} + \left(\bar{S_f} - S_0\right)\Delta x \)
Nombre de Froude \( Fr = \dfrac{q}{\sqrt{g\,y^3}} \)
Pente critique \( S_c = \left(\dfrac{Q\,n}{A_c\,R_{h,c}^{2/3}}\right)^{2} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

GÉOMÉTRIE DU CANAL ET RUGOSITÉ

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( b \)	Largeur du canal rectangulaire, identique sur les deux tronçons	5,00	m
\( S_{0,1} \)	Pente du tronçon amont, soit 0,1 % ou 1 ‰	0,001	m/m
\( S_{0,2} \)	Pente du tronçon aval, soit 2 % — vingt fois la pente amont	0,020	m/m
\( n \)	Coefficient de rugosité de Manning, uniforme sur tout le canal	0,014	s/m^1/3
\( g \)	Accélération de la pesanteur	9,81	m/s²

Coefficient de débit de Strickler (grandeur dérivée)

Conversion : \( K = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{0{,}014} = \mathbf{71{,}43} \) m^1/3/s
Confrontation au référentiel : le Mémento technique ASTEE 2017 recommande, pour un réseau de collecte pris dans son ensemble, un coefficient global compris entre 70 et 80, plafonné à 90. La donnée est donc cohérente avec la pratique pour un canal revêtu en béton.

CONDITIONS HYDRAULIQUES ET DONNÉES DU CALCUL

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( Q \)	Débit constant transitant dans les deux tronçons	20,00	m³/s
\( \Delta x \)	Pas de calcul unique, compté en remontant depuis la rupture de pente	50,0	m
\( Fr \)	Nombre de Froude, employé pour vérifier la présence ou non d'une influence aval ASTEE 2017 § IV.7	< 1 amont	—

Hypothèses de modélisation

Régime : écoulement \( \mathbf{permanent} \) et \( \mathbf{graduellement} \) \( \mathbf{varie} \) — la hauteur varie lentement le long du canal
Pression : répartition \( \mathbf{hydrostatique} \) dans chaque section, hypothèse fondatrice de l'équation employée
Frottement : la formule de \( \mathbf{Manning} \) est appliquée \( \mathbf{localement} \), avec la hauteur réelle et non la hauteur normale
Section : \( \mathbf{rectangulaire} \) et \( \mathbf{prismatique} \) sur toute la longueur
Longueur des tronçons : supposés \( \mathbf{longs} \) — chacun atteint sa hauteur normale loin de la rupture

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

La théorie de l'écoulement graduellement varié et la classification des profils de remous relèvent de la mécanique des fluides et ne sont codifiées par aucune norme. Deux prescriptions du Mémento technique ASTEE 2017 encadrent néanmoins directement les hypothèses de cet exercice, et sont reproduites ci-dessous.

Extrait Mémento technique ASTEE 2017 — chapitre IV

Paragraphe	Prescription retenue pour cet exercice
§ IV.2.1 — Manning-Strickler	\( V = K \cdot R_h^{2/3} \cdot I^{1/2} \), avec \( I \) la pente motrice de l'écoulement, égale à la pente de l'ouvrage en régime uniforme. Hors régime uniforme — c'est notre cas — la pente motrice est la pente de la ligne d'énergie \( S_f \), qui diffère de la pente du fond.
§ IV.2.5 — Coefficient de débit	Adopter un coefficient global compris entre 70 et 80 m^1/3·s⁻¹ ; ce coefficient ne doit pas dépasser 90. Notre \( K = 71{,}43 \) est dans la fourchette.
§ IV.7 — Conditions de fonctionnement	\( Fr < 1 \) : régime fluvial, « piloté par l'aval : le comportement des particules en mouvement est contraint par celles qui les précèdent ». \( Fr > 1 \) : régime torrentiel, « le fluide est tiré par les forces qui le meuvent, sans que la masse de fluide en avant soit une gêne ».

Lecture décisive pour cet exercice : la formule que le référentiel énonce pour le régime uniforme est appliquée ici hors régime uniforme, à chaque section, avec la hauteur d'eau réelle. Ce n'est pas un abus : c'est l'hypothèse fondatrice de l'écoulement graduellement varié, qui postule que la perte de charge locale est celle qu'aurait un écoulement uniforme de même hauteur. Elle n'est légitime que si la hauteur varie lentement — d'où le mot « graduellement ». Quant au § IV.7, il fonde le sens du calcul : en régime fluvial, la ligne d'eau étant « pilotée par l'aval », elle se construit de l'aval vers l'amont.

Ce que les documents disponibles ne couvrent pas

Le fonds documentaire consulté ne contient aucun document normatif traitant des courbes de remous, de leur classification en profils M, S, C, H ou A, ni des méthodes de calcul de ligne d'eau — ni méthode par étapes, ni méthode du pas direct, ni intégration numérique. Les Eurocodes ne traitent pas de l'hydraulique à surface libre : l'EN 1991 définit des actions sur les structures, non des lignes d'eau. La classification des profils de remous, due à Bakhmeteff et systématisée par Ven Te Chow, est un résultat de mécanique des fluides universellement admis mais non normatif. Il est présenté comme tel, sans référence inventée.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un calcul de ligne d'eau rigoureux et défendable, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous. L'ordre n'est pas négociable : le débit linéique d'abord, car il commande tout ; la hauteur critique ensuite, arbitre universel du problème ; la hauteur normale du tronçon amont ; puis la classification du profil, qui indique dans quel sens l'eau se rabat. Les deux dernières questions passent au calcul proprement dit : la cote d'eau à cinquante mètres, puis la portée réelle du phénomène.

Question 1 : Débit linéique du canal

Continuité 10 min | Accessible

But de l'étape : Établir la grandeur qui résume à elle seule le couple débit-géométrie. En canal rectangulaire, toutes les formules du chapitre s'écrivent avec elle et jamais avec \( Q \) et \( b \) séparément.

Énoncé Q1 : Calculez le débit linéique \( q \). Expliquez pourquoi cette grandeur, et non le débit total, est la variable naturelle des problèmes de canal rectangulaire.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le débit linéique est le débit que transporterait une tranche de canal d'un mètre de large. En section rectangulaire, toutes les tranches sont identiques : le problème devient bidimensionnel.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( q = Q/b = 20{,}0/5{,}0 \). Attention à l'unité : le résultat est en m²/s, pas en m³/s.

Question 2 : Hauteur critique et pente critique

Énergie spécifique 25 min | Intermédiaire

But de l'étape : Établir l'arbitre du problème, puis la pente qui le rend critique. La première grandeur qualifie les hauteurs, la seconde qualifie directement les pentes — et permet de trancher sur les deux tronçons d'un coup.

Énoncé Q2 : Calculez la hauteur critique \( y_c \) et justifiez qu'elle est unique pour tout le canal. Calculez ensuite la pente critique \( S_c \) et classez les deux pentes du problème par rapport à elle.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La hauteur critique ne dépend que du débit linéique et de la pesanteur. Ni la pente ni la rugosité n'y figurent — c'est ce qui en fait une référence commune aux deux tronçons.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( y_c = \sqrt[3]{q^2/g} = \sqrt[3]{16/9{,}81} \), soit environ 1,18 m. Pour la pente critique, appliquez Manning à la section critique : vous devez trouver une valeur voisine de 0,30 %.

Question 3 : Hauteur normale du tronçon amont

Manning-Strickler 35 min | Difficile

But de l'étape : Déterminer la hauteur d'équilibre vers laquelle l'écoulement tend loin en amont. C'est l'asymptote de la courbe de remous, donc la condition aux limites amont du problème.

Énoncé Q3 : Calculez la hauteur normale \( y_{n1} \) du tronçon amont par résolution itérative de la formule de Manning-Strickler, en présentant un tableau d'encadrement. Vérifiez que la valeur retenue redonne bien le débit de projet.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La formule de Manning est implicite en \( y \) : la hauteur y figure deux fois, dans la section mouillée et dans le rayon hydraulique, avec des exposants différents. Aucune manipulation ne l'isole.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Essayez \( y = 1{,}70 \) m (débit trop faible) puis \( y = 1{,}80 \) m (trop fort). La solution est proche de 1,74 m — et non de 1,75 m, valeur qui donnerait un débit de 20,14 m³/s.

Question 4 : Type de pente et classification du profil

Profils de remous 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Savoir dans quel sens l'eau va se déformer avant de calculer quoi que ce soit. La classification donne le signe de \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x \), donc la forme de la courbe et le sens de propagation du calcul.

Énoncé Q4 : Comparez \( y_{n1} \) et \( y_c \), qualifiez le type de pente du tronçon 1, puis classifiez le profil de la courbe de remous qui s'y développe. Déterminez le signe de \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x \) par l'équation de l'écoulement graduellement varié.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Les profils se nomment par une lettre — celle du type de pente — et un chiffre — la zone où se situe la hauteur d'eau par rapport à \( y_n \) et \( y_c \). Ici la hauteur est entre les deux.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( y_{n1} = 1{,}741 \) m > \( y_c = 1{,}177 \) m : pente faible, notée M (mild). La hauteur réelle décroît de \( y_{n1} \) vers \( y_c \), donc entre les deux : c'est la zone 2. Le profil est un M2.

Question 5 : Cote d'eau à 50 m par la méthode par étapes

Méthode par étapes 45 min | Difficile

But de l'étape : Produire le résultat livrable : une cote d'eau à un point précis. C'est ce nombre, et lui seul, qui servira à caler une berge ou à tracer une emprise.

Énoncé Q5 : En partant de la section de contrôle à la rupture de pente, calculez par la méthode par étapes, avec un pas unique \( \Delta x = 50 \) m, la hauteur d'eau à cinquante mètres en amont. Présentez un tableau d'itérations et vérifiez la convergence.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

L'équation à satisfaire égalise deux expressions de l'énergie spécifique amont : l'une calculée directement à partir de la hauteur d'essai, l'autre reconstruite depuis l'aval par le bilan de charge. On itère jusqu'à ce qu'elles coïncident.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

\( E_i = E_{i+1} + \left(\bar{S_f} - S_0\right)\Delta x \) avec \( E_{i+1} = 1{,}766 \) m et \( S_{f,i+1} = 3{,}046 \times 10^{-3} \). La solution est comprise entre \( y_c \) et \( y_{n1} \) : vous devez trouver environ 1,44 m.

Question 6 (Finale) : Section de contrôle et portée du remous

Ligne d'eau complète 45 min | BOSS

But de l'étape : Répondre à la question que le calcul de la Q5 a laissée en suspens : pourquoi la hauteur vaut-elle exactement \( y_c \) à la rupture, et sur quelle longueur le rabattement se fait-il sentir en amont ?

Mention spéciale — pourquoi cette question existe : la question 5 admet sans le démontrer que la hauteur d'eau à la rupture vaut la hauteur critique. C'est l'hypothèse la plus lourde de tout l'exercice — elle fonde le calcul entier — et elle mérite une justification. Cette question l'apporte, puis pousse le calcul jusqu'à sa conclusion pratique : la portée réelle du phénomène, qui se compte en centaines de mètres et non en dizaines.

Travail demandé : calculez la hauteur normale du tronçon aval et démontrez que le régime y est torrentiel ; justifiez que la section de contrôle se situe à la rupture de pente avec \( y = y_c \) ; puis estimez, par une succession de pas de hauteur, la longueur du profil M2 nécessaire pour revenir à 2 % près de la hauteur normale amont.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

À la rencontre d'une pente faible et d'une pente forte, l'écoulement doit passer du fluvial au torrentiel. Ce passage ne peut se faire qu'en franchissant le régime critique — et il ne peut le franchir qu'en un seul point.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Pour la longueur, inversez la méthode : imposez des pas de hauteur et calculez les \( \Delta x \) correspondants par \( \Delta x = \dfrac{E_{aval} - E_{amont}}{S_0 - \bar{S_f}} \). Vous devez trouver une longueur de l'ordre de 700 m.

NOTE DE CALCULS DÉTAILLÉE (PAS-À-PAS)

Analyse d'un Écoulement Graduellement Varié

Question 1 : Débit linéique du canal

Dans la tête de l'ingénieur

"Ce calcul tient en une division, et pourtant je ne le saute jamais. Parce qu'il ne s'agit pas d'obtenir un nombre : il s'agit de changer de point de vue. Tant que je raisonne avec un débit de 20 m³/s dans un canal de 5 m, j'ai deux paramètres à traîner dans chaque formule. Dès que j'écris \( q = 4 \) m²/s, je n'en ai plus qu'un — et toutes les relations du chapitre deviennent élégantes : la hauteur critique, l'énergie spécifique, le nombre de Froude s'écrivent toutes avec \( q \) seul. Le problème passe de trois dimensions à deux, et la largeur disparaît du raisonnement. C'est peu de chose, mais c'est ce qui rend le reste lisible."

Observation : la section étant rectangulaire, toutes les tranches verticales d'un mètre de large sont identiques. Le problème est donc réellement bidimensionnel.
Analyse du risque : l'unité m²/s surprend et se voit souvent recopiée en m³/s. Une erreur d'unité ici se propage dans la hauteur critique, donc dans tout l'exercice.
Choix stratégique : je travaillerai en débit linéique partout où c'est possible, et je reviendrai au débit total uniquement pour la formule de Manning, qui fait intervenir le périmètre mouillé — seul endroit où la largeur réapparaît.
Alternative : en section non rectangulaire, le débit linéique perd son sens : les tranches ne sont plus identiques. Il faut alors revenir aux formules générales avec \( A \) et la largeur au miroir \( T \).
Objectif visé : disposer de la variable naturelle du problème avant d'entamer les calculs de hauteur.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( q = \mathbf{4{,}00} \) m²/s — débit transporté par chaque mètre de largeur du canal

Rappel Théorique : pourquoi le débit linéique simplifie tout

Dans un canal rectangulaire large et prismatique, l'écoulement possède une propriété remarquable : il est identique dans toutes les tranches verticales parallèles aux berges. On peut donc l'étudier sur une tranche unique d'un mètre de large, et le débit qui la traverse — le débit linéique \( q = Q/b \) — devient la seule donnée d'entrée. Toutes les grandeurs caractéristiques du chapitre s'expriment alors avec \( q \) seul : la hauteur critique vaut \( \sqrt[3]{q^2/g} \), la vitesse \( q/y \), l'énergie spécifique \( y + q^2/(2gy^2) \) et le nombre de Froude \( q/\sqrt{gy^3} \). La largeur ne réapparaît qu'à un seul endroit, mais un endroit important : le périmètre mouillé de la formule de Manning, qui compte les berges.

Définition : \( q = Q/b \), en m²/s — un débit divisé par une longueur, donc une surface par unité de temps.
Interprétation physique : c'est aussi le produit \( V \times y \) : la vitesse multipliée par la hauteur d'eau. Le débit linéique est constant, mais sa répartition entre vitesse et hauteur varie.
Grandeurs qui n'en dépendent que de lui : hauteur critique, énergie spécifique minimale, nombre de Froude. Ni la pente ni la rugosité n'y interviennent.
Où la largeur revient : dans le rayon hydraulique \( R_h = by/(b+2y) \). Le frottement sur les berges dépend de la forme réelle de la section, pas seulement de \( q \).
Limite de l'approche : si le canal était très large devant la hauteur d'eau, \( R_h \) tendrait vers \( y \) et la largeur disparaîtrait complètement. Ici \( b = 5 \) m pour \( y \approx 1{,}7 \) m : les berges comptent encore.

Équations Fondamentales

Une seule relation, mais qui conditionne l'écriture de toutes les suivantes : la définition du débit linéique.

Formule 1 — Débit par unité de largeur :

Elle ramène le problème tridimensionnel à l'étude d'une tranche unitaire de canal.

Pourquoi cette formule ?

Parce que toutes les grandeurs critiques du chapitre — hauteur critique, énergie minimale, Froude — s'écrivent avec \( q \) et ne peuvent pas s'écrire avec \( Q \) seul sans traîner la largeur.

Contexte de validité : section rectangulaire, écoulement supposé uniformément réparti sur la largeur.
Avantage : elle rend les résultats transposables : deux canaux de largeurs différentes mais de même \( q \) ont exactement la même hauteur critique.
Paramètre clé : la largeur \( b \), qui est ici constante sur les deux tronçons — le débit linéique l'est donc aussi.
Vérification : \( \text{m}^3\text{/s} / \text{m} = \text{m}^2\text{/s} \). L'unité est bien une surface par seconde.
Limite : elle suppose la répartition uniforme sur la largeur. Dans un lit naturel à berges irrégulières, le débit se concentre au centre et cette hypothèse tombe.

\[ \begin{aligned} q = \frac{Q}{b} = V \cdot y \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit : découpons le canal en tranches d'un mètre et n'en étudions qu'une. Chacune transporte 4 m³ par seconde. La seconde égalité, \( q = V y \), est encore plus parlante : le débit linéique est le produit de la vitesse par l'épaisseur de la lame. Il reste constant tout au long du canal, mais la façon dont il se répartit entre les deux facteurs change à chaque section.

Décomposition des termes :

\( q \) : débit par unité de largeur, unité : m²/s
\( Q \) : débit volumique total, unité : m³/s
\( b \) : largeur du canal rectangulaire, unité : m
\( V \) : vitesse moyenne locale, unité : m/s

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de reporter le débit linéique en m³/s, par simple automatisme..."

L'approche d'ingénieur : Le débit linéique est un débit par mètre de largeur : ses unités sont donc des m³/s divisés par des m, c'est-à-dire des m²/s. Ce n'est pas un détail de notation : la formule de la hauteur critique élève \( q \) au carré et divise par \( g \), et le résultat n'est en mètres que si \( q \) est bien en m²/s.

L'erreur : écrire \( q = 4 \) m³/s. La formule \( \sqrt[3]{q^2/g} \) donnerait alors des \( \sqrt[3]{\text{m}^5} \) — une grandeur sans nom et sans signification.
La bonne méthode : faire l'analyse dimensionnelle de la formule de la hauteur critique. Elle impose \( q \) en m²/s, sans discussion possible.
L'astuce de pro : se souvenir que \( q = V \times y \) : une vitesse en m/s multipliée par une hauteur en m donne bien des m²/s.
Le moyen mnémotechnique : « un débit par mètre perd un mètre » — m³/s divisé par m fait m²/s.
L'impact direct : confondre les deux unités conduit à confondre \( q \) et \( Q \) dans les formules ultérieures, donc à calculer une hauteur critique vingt-cinq fois trop grande — l'erreur ne passe heureusement pas inaperçue.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( Q \) : en m³/s, ici 20,00
\( b \) : en m, ici 5,00
\( q \) : résultat en m²/s

Un calcul immédiat, suivi d'un contrôle qui n'est pas superflu. Le second calcul vérifie que le débit linéique redonne bien le débit total, et fournit au passage un repère de vitesse qui servira à valider les ordres de grandeur des questions suivantes.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Débit par unité de largeur

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la variable d'entrée de toutes les formules qui suivent.

Méthodologie du calcul :

Division directe du débit total par la largeur du canal.

Substitution : \( Q = 20{,}00 \) m³/s, \( b = 5{,}00 \) m
Piège évité : le résultat est en m²/s. L'écrire explicitement dès la première ligne évite toute confusion ultérieure.
Hypothèse validée : largeur constante sur les deux tronçons — le débit linéique l'est donc aussi.
Vérification croisée : \( 4{,}00 \times 5{,}00 = 20{,}00 \) m³/s. Le débit total est retrouvé.
Finalité : alimenter le calcul de la hauteur critique en question 2.

\[ \begin{aligned} q &= \frac{Q}{b} = \frac{20{,}00}{5{,}00} \\ &= \mathbf{4{,}00} \text{ m}^2\text{/s} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

4,00 m²/s : chaque mètre de largeur du canal transporte quatre mètres cubes par seconde. C'est un débit linéique modéré, typique d'un canal d'assainissement ou d'irrigation de taille moyenne.

Ordre de grandeur : les canaux courants travaillent entre 1 et 10 m²/s. Les coursiers de barrage atteignent 20 à 30 m²/s.
Impact sur la suite : c'est ce nombre qui fixe la hauteur critique, donc l'arbitre de tout le problème.
Cohérence : \( q \) est identique sur les deux tronçons, puisque le débit et la largeur le sont. La hauteur critique le sera donc aussi.
Attention : \( q \) constant ne signifie pas hauteur constante. C'est justement parce que \( q \) est fixé et que la pente change que la hauteur doit varier.
Comparaison : à la hauteur normale amont de 1,74 m, ce débit linéique correspondra à une vitesse de 2,30 m/s ; à la hauteur critique de 1,18 m, à 3,40 m/s.

Remarque pédagogique : calculer le débit linéique en tout premier, même quand l'énoncé ne le demande pas, est un réflexe qui allège toutes les écritures ultérieures et supprime la largeur de la moitié des formules.

Calcul 2 — Contrôle par la relation vitesse-hauteur

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour vérifier l'homogénéité de la grandeur obtenue et se donner d'emblée des repères de vitesse pour la suite.

Méthodologie du calcul :

On applique \( V = q/y \) à deux hauteurs de référence : celle qui sera trouvée en amont et la hauteur critique.

Substitution : \( q = 4{,}00 \) m²/s, avec \( y = 1{,}741 \) m puis \( y = 1{,}177 \) m
Piège évité : ces valeurs de hauteur sont anticipées sur les questions 2 et 3. Elles servent ici de repère, pas de résultat.
Hypothèse validée : la relation \( q = V y \) est exacte en section rectangulaire, sans approximation.
Vérification croisée : \( 2{,}298 \times 1{,}741 = 4{,}00 \) m²/s. La relation est vérifiée.
Finalité : disposer d'ordres de grandeur de vitesse pour contrôler les résultats des questions suivantes.

\[ \begin{aligned} V(1{,}741) &= \frac{q}{y} = \frac{4{,}00}{1{,}741} = 2{,}30 \text{ m/s} \\ V(1{,}177) &= \frac{4{,}00}{1{,}177} = 3{,}40 \text{ m/s} \\ \text{rapport} &= \frac{3{,}40}{2{,}30} = \mathbf{1{,}48} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Entre la hauteur normale amont et la hauteur critique, la vitesse augmente de 48 %. C'est exactement l'inverse du rapport des hauteurs — conséquence directe de \( q = Vy \) constant. L'eau s'amincit et accélère en approchant de la rupture.

Ordre de grandeur : des vitesses de 2 à 3,5 m/s sont courantes pour un canal revêtu. Elles restent non érosives pour du béton.
Impact sur la suite : cette accélération progressive est la courbe de remous. La calculer, c'est décrire comment la vitesse passe de 2,30 à 3,40 m/s le long du bief.
Cohérence : \( 1{,}741/1{,}177 = 1{,}479 \) et \( 3{,}40/2{,}30 = 1{,}48 \). Les deux rapports sont bien inverses l'un de l'autre.
Attention : sur le tronçon aval à pente forte, la vitesse atteindra 6,4 m/s — au-delà du seuil d'abrasion pour un béton ordinaire. Ce point sera relevé en question 6.
Comparaison : la célérité des ondes à 1,741 m vaut \( \sqrt{9{,}81 \times 1{,}741} = 4{,}13 \) m/s, nettement supérieure à la vitesse de 2,30 m/s : l'écoulement amont est fluvial, ce que la question 4 confirmera.

Remarque pédagogique : se donner deux ou trois repères numériques dès la première question — ici les vitesses aux hauteurs remarquables — permet de repérer immédiatement une erreur d'ordre de grandeur dans les calculs suivants.

RÉSULTAT FINAL

q = 4,00 m²/s

"Le problème est ramené à une tranche d'un mètre de large : c'est ce changement de point de vue qui rend tout le reste lisible."

Question 2 : Hauteur critique et pente critique

Dans la tête de l'ingénieur

"Devant une rupture de pente, mon premier geste est toujours le même : je calcule la hauteur critique. Pourquoi elle, et pas les hauteurs normales qui semblent plus concrètes ? Parce qu'elle est la seule grandeur indépendante de la pente. Les deux tronçons ont beau différer d'un facteur vingt, ils partagent la même hauteur critique — même débit, même largeur. C'est donc l'unique référence commune, l'étalon auquel je pourrai comparer chaque hauteur normale. Et je vais plus loin que l'énoncé ne le demande : je calcule aussi la pente critique. Elle me permet de qualifier les deux pentes d'un seul coup, sans avoir à calculer les deux hauteurs normales. C'est le raccourci le plus rentable du chapitre."

Observation : \( y_c \) ne dépend que de \( q \) et de \( g \). Ni la pente, ni la rugosité, ni même la longueur du canal n'y figurent.
Analyse du risque : croire que la hauteur critique change avec la pente est une erreur fréquente. Ce qui change avec la pente, c'est la hauteur normale — et donc leur rapport.
Choix stratégique : je calcule aussi la pente critique. Elle transforme la question « quel est le type de pente ? » en une simple comparaison de deux nombres, sans itération.
Alternative : on peut aussi obtenir \( y_c \) en annulant la dérivée de l'énergie spécifique. Les deux voies conduisent à la même formule fermée en section rectangulaire.
Objectif visé : disposer de l'arbitre du problème et de la frontière entre pentes faibles et fortes pour ce débit précis.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( y_c = \mathbf{1{,}177} \) m — unique pour tout le canal | \( S_c = \mathbf{0{,}305\ \%} \) → \( S_{0,1} = 0{,}1\ \% < S_c \) (pente faible) et \( S_{0,2} = 2\ \% > S_c \) (pente forte)

Rappel Théorique : la hauteur critique et la pente critique

La hauteur critique est la profondeur pour laquelle l'énergie spécifique est minimale à débit donné. C'est aussi celle pour laquelle le nombre de Froude vaut exactement 1, c'est-à-dire pour laquelle la vitesse de l'eau égale la célérité des ondes de surface. Elle marque la frontière entre le régime fluvial et le régime torrentiel, et ne dépend que du débit linéique. La pente critique, elle, est d'une autre nature : c'est la pente qui rendrait la hauteur normale égale à la hauteur critique. Elle dépend donc à la fois du débit, de la géométrie et de la rugosité. Son intérêt est considérable : comparer une pente réelle à la pente critique suffit à qualifier le régime, sans avoir à calculer la hauteur normale par itération.

Hauteur critique : \( y_c = \sqrt[3]{q^2/g} \) en section rectangulaire. Formule fermée : aucune itération n'est nécessaire.
Unicité : elle est la même sur les deux tronçons, puisque \( Q \) et \( b \) le sont. C'est ce qui en fait une référence commune.
Énergie minimale : \( E_{\min} = \frac{3}{2}\,y_c \). Au critique, la hauteur cinétique vaut exactement la moitié de la hauteur d'eau.
Pente critique : \( S_c = \left(\dfrac{Q\,n}{A_c\,R_{h,c}^{2/3}}\right)^{2} \), obtenue en appliquant Manning à la section critique.
Classification des pentes : \( S_0 < S_c \) donne une pente faible notée M ; \( S_0 > S_c \) une pente forte notée S ; \( S_0 = S_c \) une pente critique notée C.

Équations Fondamentales

Deux relations : la hauteur critique, qui qualifie les hauteurs, et la pente critique, qui qualifie directement les pentes.

Formule 1 — Hauteur critique en canal rectangulaire :

Elle donne la frontière universelle entre régime fluvial et régime torrentiel pour ce débit.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle fournit la seule référence commune aux deux tronçons. Sans elle, les mots « pente faible » et « pente forte » n'ont aucun sens — ils ne désignent rien d'absolu.

Contexte de validité : canal rectangulaire. En section quelconque, la condition critique s'écrit \( Q^2 T/(g A^3) = 1 \) et se résout par itération.
Avantage : elle est explicite et se calcule de tête à quelques pour cent près.
Paramètre clé : le débit linéique, qui intervient à la puissance 2/3. Doubler \( q \) n'augmente \( y_c \) que de 59 %.
Vérification : \( ((\text{m}^2\text{/s})^2/(\text{m/s}^2))^{1/3} = (\text{m}^3)^{1/3} = \text{m} \). Homogénéité confirmée.
Limite : elle ne dit rien sur la hauteur réelle de l'écoulement. C'est une hauteur de référence, pas une hauteur observée.

\[ \begin{aligned} y_c = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}} \qquad \text{et} \qquad E_{\min} = \frac{3}{2}\,y_c \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle donne la hauteur d'équilibre entre inertie et gravité. Au-dessus, la gravité domine : l'écoulement est lent, épais, et les ondes peuvent remonter le courant. En dessous, l'inertie domine : il devient mince, rapide, et rien ne remonte. Exactement à cette hauteur, l'énergie spécifique est minimale — un débit donné ne peut jamais passer avec moins.

Décomposition des termes :

\( y_c \) : hauteur critique, unité : m
\( q \) : débit par unité de largeur, unité : m²/s
\( E_{\min} \) : énergie spécifique minimale, unité : m

Formule 2 — Pente critique :

Elle fournit la frontière entre pentes faibles et pentes fortes pour le débit considéré.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle permet de qualifier une pente sans calculer sa hauteur normale. Un seul calcul explicite remplace deux résolutions itératives — c'est un gain considérable quand on doit examiner plusieurs tronçons.

Contexte de validité : elle s'obtient en appliquant Manning à la section critique, c'est-à-dire à \( y = y_c \).
Avantage : elle est explicite, puisque \( y_c \) est connue. Aucune itération n'est nécessaire.
Paramètre clé : la rugosité, qui intervient au carré. Un canal plus rugueux a une pente critique plus forte, donc bascule plus difficilement en torrentiel.
Vérification : c'est le carré d'un rapport de m³/s sur m^8/3·m^−1/3·s⁻¹, donc sans dimension. Une pente est bien adimensionnelle.
Limite : elle dépend du débit. Un même canal peut être « à pente faible » en crue et « à pente forte » en étiage : le classement n'est jamais définitif.

\[ \begin{aligned} S_c = \left(\frac{Q\,n}{A_c\,R_{h,c}^{2/3}}\right)^{2} \qquad \text{avec} \qquad A_c = b\,y_c \quad \text{et} \quad R_{h,c} = \frac{b\,y_c}{b + 2\,y_c} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle répond à : quelle pente faudrait-il pour que l'écoulement uniforme soit exactement critique ? En dessous, le frottement l'emporte et l'eau s'épaissit : régime fluvial. Au-dessus, la gravité l'emporte et l'eau s'amincit : régime torrentiel. C'est le point de bascule du canal pour ce débit.

Décomposition des termes :

\( S_c \) : pente critique, unité : m/m
\( A_c \) : section mouillée à la hauteur critique, unité : m²
\( R_{h,c} \) : rayon hydraulique à la hauteur critique, unité : m
\( n \) : coefficient de rugosité de Manning, unité : s/m^1/3

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de croire que la hauteur critique change avec la pente..."

L'approche d'ingénieur : La confusion vient de ce que les deux tronçons ont des régimes différents : on en déduit qu'ils ont « des critiques différentes ». C'est faux. Ce qui diffère, c'est la hauteur normale ; la hauteur critique, elle, est rigoureusement identique — c'est précisément ce qui permet de comparer.

L'erreur : recalculer \( y_c \) pour chaque tronçon en y injectant la pente. La formule n'en contient pas : l'exercice serait vain.
La bonne méthode : écrire la formule et constater ce qu'elle contient : \( q \) et \( g \), rien d'autre. Une seule hauteur critique pour tout le canal.
L'astuce de pro : c'est justement cette invariance qui fait de \( y_c \) l'étalon du problème. Une référence qui changerait d'un tronçon à l'autre ne servirait à rien.
Le moyen mnémotechnique : « la critique ignore la pente » — elle ne connaît que le débit et la gravité.
L'impact direct : sans cette invariance, on ne pourrait pas affirmer que le passage fluvial-torrentiel se fait en un point unique, et toute la construction de la question 6 s'effondrerait.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( q = 4{,}00 \) m²/s, issu de la question 1
\( g = 9{,}81 \) m/s²
\( y_c \) : résultat en m
\( A_c \) en m², \( P_c \) et \( R_{h,c} \) en m
\( S_c \) : sans dimension, exprimée en %

Deux calculs. Le premier livre la hauteur critique par une formule fermée ; le second en déduit la pente critique, qui n'était pas demandée mais qui répond d'avance à la question 4 et fournit un contrôle indépendant du résultat de la question 3.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Hauteur critique du canal

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est l'arbitre auquel toutes les hauteurs de l'exercice seront comparées.

Méthodologie du calcul :

Application directe de la formule fermée, puis calcul de l'énergie spécifique minimale associée.

Substitution : \( q = 4{,}00 \) m²/s, \( g = 9{,}81 \) m/s²
Piège évité : c'est bien une racine cubique, pas une racine carrée. L'exposant 1/3 est essentiel.
Hypothèse validée : section rectangulaire et débit linéique uniforme sur la largeur.
Vérification croisée : \( Fr(y_c) = q/\sqrt{g\,y_c^3} = 4{,}00/\sqrt{9{,}81 \times 1{,}631} = 1{,}000 \). Le Froude vaut exactement 1.
Finalité : fournir la référence de comparaison des questions 3, 4, 5 et 6.

\[ \begin{aligned} y_c &= \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}} = \sqrt[3]{\frac{4{,}00^2}{9{,}81}} \\ &= \sqrt[3]{\frac{16{,}00}{9{,}81}} = \sqrt[3]{1{,}6310} \\ &= \mathbf{1{,}177} \text{ m} \\ E_{\min} &= \frac{3}{2} \times 1{,}177 = 1{,}766 \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

1,177 m : c'est la hauteur d'eau qui rendrait l'écoulement exactement critique. Elle est unique pour tout le canal, puisque ni la pente ni la rugosité n'entrent dans son calcul. La vitesse correspondante vaut 3,40 m/s, exactement égale à la célérité des ondes \( \sqrt{9{,}81 \times 1{,}177} = 3{,}40 \) m/s.

Ordre de grandeur : pour retenir : \( y_c \approx 0{,}467\,q^{2/3} \). À \( q = 4 \), cela donne \( 0{,}467 \times 2{,}52 = 1{,}18 \) m.
Impact sur la suite : c'est la condition aux limites aval du calcul de ligne d'eau : à la rupture de pente, la hauteur vaudra exactement cette valeur.
Cohérence : vitesse et célérité coïncident à 3,40 m/s. C'est la définition même du régime critique.
Attention : l'énergie spécifique minimale, 1,766 m, est le plancher absolu : aucun écoulement de 4 m²/s ne peut franchir ce canal avec moins d'énergie, quelle que soit sa hauteur.
Comparaison : à la hauteur normale amont de 1,741 m, l'énergie spécifique vaudra 2,010 m — soit 24,4 cm au-dessus du minimum. C'est cette réserve d'énergie que le rabattement va progressivement consommer.

Remarque pédagogique : calculer systématiquement l'énergie spécifique minimale en même temps que la hauteur critique ne coûte qu'une multiplication et fournit un repère précieux : c'est le plancher que tout le reste de l'exercice devra respecter.

Calcul 2 — Pente critique et classement des deux pentes

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour qualifier les deux tronçons d'un seul coup, sans passer par deux résolutions itératives.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule de Manning à la section critique : la pente cherchée est celle qui y ferait passer exactement le débit de projet.

Substitution : \( A_c = 5{,}00 \times 1{,}177 = 5{,}886 \) m², \( P_c = 5{,}00 + 2 \times 1{,}177 = 7{,}354 \) m, \( R_{h,c} = 0{,}800 \) m
Piège évité : le périmètre mouillé compte les deux berges plus le fond, jamais la surface libre.
Hypothèse validée : la pente critique dépend du débit : celle calculée ici ne vaut que pour 20 m³/s.
Vérification croisée : \( S_{0,2}/S_c = 2{,}0/0{,}305 = 6{,}6 \). La pente aval est 6,6 fois la critique : franchement forte.
Finalité : classer les deux pentes et anticiper la conclusion de la question 4.

\[ \begin{aligned} R_{h,c} &= \frac{5{,}886}{7{,}354} = 0{,}800 \text{ m} \\ S_c &= \left(\frac{20{,}00 \times 0{,}014}{5{,}886 \times 0{,}800^{2/3}}\right)^{2} = \left(\frac{0{,}2800}{5{,}074}\right)^{2} \\ &= (0{,}05519)^2 = 0{,}003046 \\ &= \mathbf{0{,}305\ \%} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La pente critique vaut 0,305 %. La pente amont, 0,1 %, en représente le tiers : elle est franchement faible. La pente aval, 2 %, en représente 6,6 fois : elle est franchement forte. Les deux tronçons se situent donc de part et d'autre de la frontière, sans ambiguïté.

Ordre de grandeur : une pente critique de quelques millièmes est typique d'un canal revêtu de cette taille. Elle serait plus élevée pour un canal plus rugueux.
Impact sur la suite : pente faible en amont, pente forte en aval : le régime doit basculer à la rupture. C'est ce qui rend l'existence d'une courbe de remous inévitable.
Cohérence : \( S_{0,1} < S_c \) doit impliquer \( y_{n1} > y_c \). La question 3 le confirmera par un calcul indépendant.
Attention : cette frontière est propre à ce débit. Pour un débit dix fois plus faible, la pente critique changerait et le classement des tronçons pourrait être différent.
Comparaison : le rapport entre les deux pentes du problème est de 20, mais leur rapport à la pente critique est de 0,33 d'un côté et 6,6 de l'autre. C'est ce second rapport qui est physiquement significatif.

Remarque pédagogique : calculer la pente critique est le raccourci le plus rentable du chapitre : un calcul explicite remplace deux résolutions itératives et donne immédiatement le type de chaque tronçon.

RÉSULTAT FINAL

y_c = 1,177 m — unique · S_c = 0,305 %

"Une seule hauteur critique pour tout le canal, et une pente critique qui range d'emblée l'amont en pente faible et l'aval en pente forte."

Question 3 : Hauteur normale du tronçon amont

Dans la tête de l'ingénieur

"Je cherche la hauteur d'équilibre sur la pente douce : celle pour laquelle l'eau ne s'accélère plus ni ne ralentit, parce que le frottement compense exactement ce que la gravité apporte. Et je bute immédiatement sur une difficulté classique : l'équation de Manning est implicite. La hauteur y apparaît deux fois — dans la section mouillée et dans le rayon hydraulique — sous des exposants différents. Aucune manipulation algébrique ne l'isole. Il faut donc renverser le problème : au lieu de chercher \( y \) pour un débit donné, je calcule le débit pour des hauteurs choisies, et j'encadre. C'est moins élégant, mais parfaitement rigoureux — et c'est exactement ce que fait tout tableur de bureau d'études. Enfin, je ne me contente pas de deux décimales : une valeur arrondie à 1,75 m donnerait un débit de 20,15 m³/s, soit 0,75 % de trop."

Observation : le débit calculé croît avec la hauteur de façon strictement monotone en canal ouvert. L'encadrement est donc fiable et la solution unique.
Analyse du risque : la hauteur normale est l'asymptote de la courbe de remous. Une erreur ici décale toute la ligne d'eau calculée en question 5.
Choix stratégique : j'itère sur la hauteur et je compare les débits. C'est plus parlant que de comparer des modules de débit : un écart en m³/s se juge immédiatement.
Alternative : la fonction « valeur cible » d'un tableur donne le résultat en une opération. L'encadrement manuel a toutefois un mérite : il montre la sensibilité du débit à la hauteur.
Objectif visé : obtenir \( y_{n1} \) au millimètre, et vérifier la cohérence avec la pente critique établie en question 2.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( y_{n1} = \mathbf{1{,}741} \) m | \( A = 8{,}703 \) m² | \( R_h = 1{,}026 \) m | \( V = 2{,}30 \) m/s — contrôle : \( Q \) recalculé \( = 20{,}00 \) m³/s

Rappel Théorique : la hauteur normale et son caractère implicite

La hauteur normale est la profondeur d'un écoulement uniforme : celle pour laquelle la pente de la ligne d'énergie est exactement égale à la pente du fond. Physiquement, c'est un état d'équilibre entre la composante motrice du poids et la résistance de frottement. Elle se calcule par la formule de Manning-Strickler, mais celle-ci est implicite : la hauteur intervient dans la section mouillée \( A = by \) et dans le rayon hydraulique \( R_h = by/(b+2y) \), avec des exposants différents. Aucune inversion analytique n'existe en section rectangulaire. La résolution se fait donc par encadrement puis dichotomie, ou par interpolation entre deux essais. Le contrôle décisif n'est pas la convergence apparente de l'itération, mais le recalcul du débit avec la hauteur retenue.

Définition : hauteur pour laquelle \( S_f = S_0 \). C'est l'asymptote vers laquelle tend toute courbe de remous suffisamment loin de sa section de contrôle.
Caractère implicite : la formule de Manning ne s'inverse pas. Il faut itérer, quel que soit l'outil employé.
Monotonie : en canal ouvert, le débit calculé croît strictement avec la hauteur. La solution est donc unique et l'encadrement fiable.
Dépendance à la pente : \( y_n \) varie comme \( S_0^{-3/10} \) environ. Multiplier la pente par vingt divise la hauteur normale par un peu moins de trois.
Contrôle final : recalculer le débit avec la hauteur retenue. C'est la seule vérification qui referme complètement la boucle.

Équations Fondamentales

Une seule relation, la formule de Manning-Strickler, écrite sous la forme d'un débit calculé que l'on compare au débit de projet.

Formule 1 — Manning-Strickler en régime uniforme :

Elle traduit l'équilibre entre gravité et frottement qui définit la hauteur normale.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est la formule de l'hydraulique fluviale. Le Mémento technique ASTEE la reprend à son paragraphe IV.2.1 et l'ensemble des logiciels de ligne d'eau reposent sur elle.

Contexte de validité : régime permanent et uniforme, écoulement turbulent rugueux, section prismatique.
Avantage : elle est monôme : le calcul du débit à partir de la hauteur est direct. C'est l'inverse qui exige une itération.
Paramètre clé : le périmètre mouillé \( P = b + 2y \). C'est lui qui rend l'équation implicite : sans les berges, \( R_h \) vaudrait simplement \( y \).
Vérification : \( \text{m}^{1/3}\text{/s} \times \text{m}^2 \times \text{m}^{2/3} \times 1 = \text{m}^3\text{/s} \). Homogénéité exacte.
Limite : elle est empirique et son coefficient n'est pas adimensionnel. Elle suppose aussi une rugosité indépendante de la hauteur d'eau.

\[ \begin{aligned} Q = \frac{1}{n}\, A\, R_h^{2/3}\, S_0^{1/2} \qquad \text{avec} \qquad A = b\,y \quad \text{et} \quad R_h = \frac{b\,y}{b + 2y} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle exprime un équilibre de forces. Le poids de l'eau, projeté sur la pente, pousse l'écoulement ; le frottement sur le fond et les berges le retient. La hauteur normale est celle où les deux se compensent exactement, et où l'écoulement peut donc se maintenir indéfiniment sans changer.

Décomposition des termes :

\( A = b\,y \) : section mouillée rectangulaire, unité : m²
\( P = b + 2y \) : périmètre mouillé, fond plus deux berges, unité : m
\( R_h = A/P \) : rayon hydraulique, unité : m
\( S_0 \) : pente du fond, égale à la pente motrice en régime uniforme, unité : m/m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur d'arrondir la hauteur normale à deux décimales et de s'en contenter..."

L'approche d'ingénieur : Une hauteur normale arrondie à 1,75 m paraît anodine. Elle correspond pourtant à un débit de 20,15 m³/s, soit 0,75 % de plus que le débit de projet. Le contrôle par recalcul du débit détecte immédiatement cet écart, alors qu'aucune autre vérification ne le ferait.

L'erreur : retenir \( y_{n1} = 1{,}75 \) m. La valeur exacte est 1,741 m : l'écart est de 9 mm, faible en apparence mais systématique.
La bonne méthode : poursuivre l'itération jusqu'à ce que le débit recalculé soit à moins de 0,1 % du débit de projet, puis interpoler.
L'astuce de pro : la sensibilité est forte : autour de 1,74 m, 1 cm de hauteur vaut 0,16 m³/s de débit, soit 0,8 %. Un arrondi au centimètre coûte donc presque un pour cent.
Le moyen mnémotechnique : « on ne clôt pas une itération sans refermer la boucle » — le contrôle porte sur la grandeur de départ, pas sur celle que l'on cherche.
L'impact direct : la hauteur normale est l'asymptote de la courbe de remous. Une erreur de 9 mm sur l'asymptote décale toute la ligne d'eau, et fausse l'estimation de la longueur du rabattement en question 6.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( b = 5{,}00 \) m, \( n = 0{,}014 \) s/m^1/3
\( S_{0,1} = 0{,}001 \) m/m — valeur décimale, jamais en %
\( A \) en m², \( P \) et \( R_h \) en m
\( Q \) calculé : en m³/s, à comparer à 20,00

Un calcul et un tableau. Le calcul détaille l'essai retenu et son contrôle ; le tableau documente la convergence, pièce indispensable d'une note de calculs puisqu'il prouve que le résultat n'a pas été deviné.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Encadrement et convergence sur la hauteur normale

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la seule voie : la formule de Manning ne s'inverse pas.

Méthodologie du calcul :

On encadre entre 1,70 m (débit trop faible) et 1,80 m (trop fort), puis on resserre jusqu'à 0,1 % près.

Substitution : \( b = 5{,}00 \) m, \( n = 0{,}014 \), \( S_{0,1} = 0{,}001 \), soit \( \sqrt{S_{0,1}} = 0{,}031623 \)
Piège évité : le périmètre mouillé vaut \( b + 2y \), pas \( b + y \). Oublier une berge surestimerait le débit d'environ 3 %.
Hypothèse validée : tronçon long : l'écoulement y atteint effectivement sa hauteur normale loin de la rupture.
Vérification croisée : \( y_{n1} = 1{,}741 \) m > \( y_c = 1{,}177 \) m, cohérent avec \( S_{0,1} < S_c \) établi en question 2. Les deux voies concordent.
Finalité : fixer l'asymptote amont de la courbe de remous.

\[ \begin{aligned} A &= 5{,}00 \times 1{,}7406 = 8{,}703 \text{ m}^2 \\ P &= 5{,}00 + 2 \times 1{,}7406 = 8{,}481 \text{ m} \\ R_h &= \frac{8{,}703}{8{,}481} = 1{,}0262 \text{ m} \\ Q &= \frac{1}{0{,}014} \times 8{,}703 \times 1{,}0262^{2/3} \times \sqrt{0{,}001} \\ &= 71{,}43 \times 8{,}703 \times 1{,}0174 \times 0{,}031623 \\ &= \mathbf{20{,}00} \text{ m}^3\text{/s} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La hauteur normale amont vaut 1,741 m, soit 1,48 fois la hauteur critique. L'écoulement uniforme du tronçon 1 est donc fluvial, avec une vitesse de 2,30 m/s et un nombre de Froude de 0,556.

Ordre de grandeur : un rapport \( y_n/y_c \) de 1,5 correspond à une pente franchement faible mais pas extrême. À 0,05 % de pente, le rapport dépasserait 2.
Impact sur la suite : cette hauteur est l'asymptote de la courbe de remous : c'est la valeur que l'eau retrouve loin en amont de la rupture.
Cohérence : le débit recalculé vaut exactement 20,00 m³/s. La boucle est refermée.
Attention : cette hauteur n'est atteinte nulle part sur le tronçon étudié : elle n'est qu'une limite asymptotique. La hauteur réelle lui est partout inférieure.
Comparaison : sur la pente aval de 2 %, la hauteur normale tomberait à 0,627 m, soit moins de la moitié. C'est ce contraste qui impose une transition.

Remarque pédagogique : le contrôle décisif n'est pas « l'itération a-t-elle convergé ? » mais « le débit recalculé vaut-il 20,00 m³/s ? ». Le second englobe le premier et détecte en outre toute erreur commise en amont, dans la géométrie ou dans les unités.

TABLEAU RÉCAPITULATIF DES ITÉRATIONS — TRONÇON AMONT

Essai	\( y \) (m)	\( A \) (m²)	\( R_h \) (m)	\( Q \) calculé (m³/s)	Écart / 20,00
1	1,600	8,000	0,9756	17,78	− 11,1 % — trop bas
2	1,800	9,000	1,0465	20,95	+ 4,8 % — trop haut
3	1,700	8,500	1,0119	19,35	− 3,2 % — encore trop bas
4	1,740	8,700	1,0259	19,99	− 0,05 % — presque
5	1,7406	8,703	1,0262	20,00	< 0,01 % — convergé
—	1,750	8,750	1,0294	20,15	+ 0,75 % — valeur à écarter

Lecture du tableau : l'écart passe de − 11,1 % à moins de 0,01 % en cinq essais. La dernière ligne, ajoutée en contre-exemple, montre ce que donnerait l'arrondi courant à 1,75 m : un débit de 20,15 m³/s, soit 0,75 % de trop. L'écart paraît faible, mais il est systématique et se propage à toute la ligne d'eau.

RÉSULTAT FINAL

y_n1 = 1,741 m — soit 1,48 fois la hauteur critique

"L'asymptote amont est fixée : loin de la rupture, l'eau coule à 1,74 m et 2,30 m/s, en régime fluvial."

Question 4 : Type de pente et classification du profil

Dans la tête de l'ingénieur

"Avant de calculer quoi que ce soit, je veux savoir quelle forme aura la ligne d'eau. La classification des profils de remous n'est pas de la nomenclature décorative : c'est un outil de prédiction qualitative qui, en deux comparaisons, me donne le signe de la pente de la surface libre, le sens dans lequel je dois marcher pour calculer, et les asymptotes vers lesquelles la courbe tend à chaque extrémité. Une lettre — M pour mild, pente faible — et un chiffre — 2, parce que la hauteur d'eau est entre les deux hauteurs de référence. M2. Et je vérifie ce diagnostic par le calcul : l'équation de l'écoulement graduellement varié doit me donner un \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x \) négatif, c'est-à-dire une hauteur qui décroît vers l'aval. Si le signe ne sort pas, c'est que ma classification est fausse."

Observation : \( y_{n1} = 1{,}741 \) m > \( y_c = 1{,}177 \) m : la hauteur d'équilibre est au-dessus de la critique. C'est la définition d'une pente faible.
Analyse du risque : se tromper de zone conduit à chercher une courbe qui monte alors qu'elle descend, donc à partir dans la mauvaise direction et à ne jamais converger.
Choix stratégique : je détermine la zone par les deux hauteurs de référence, puis je confirme par le signe de la dérivée. Deux voies indépendantes pour un même diagnostic.
Alternative : la comparaison directe des pentes — \( S_{0,1} = 0{,}1\ \% \) contre \( S_c = 0{,}305\ \% \) — donne le même résultat sans passer par les hauteurs. Elle a été faite en question 2.
Objectif visé : savoir dans quel sens l'eau se déforme et vers quoi elle tend, avant d'entamer le calcul numérique de la question 5.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( y_{n1} > y_c \) → pente faible (M) | hauteur en zone 2 (\( y_c < y < y_{n1} \)) → profil M2, courbe de rabattement — contrôle : \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x < 0 \)

Rappel Théorique : la classification des profils de remous

Un profil de remous se nomme par une lettre et un chiffre. La lettre désigne le type de pente : M pour mild, pente faible où \( y_n > y_c \) ; S pour steep, pente forte où \( y_n < y_c \) ; C pour critique, H pour horizontale et A pour contre-pente. Le chiffre désigne la zone où se trouve la hauteur d'eau réelle : zone 1 au-dessus des deux hauteurs de référence, zone 2 entre elles, zone 3 en dessous des deux. Cette classification, due à Bakhmeteff et systématisée par Ven Te Chow, n'a rien d'arbitraire : elle détermine entièrement le signe de \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x \), donc la forme de la courbe et ses asymptotes. Elle se lit directement dans l'équation de l'écoulement graduellement varié, dont le numérateur et le dénominateur changent chacun de signe en franchissant respectivement \( y_n \) et \( y_c \).

Pente faible (M) : \( y_n > y_c \). C'est notre cas : le frottement l'emporte sur la gravité et l'écoulement uniforme y est fluvial.
Zone 2 : \( y_c < y < y_n \). La hauteur réelle est entre les deux références. Le numérateur \( S_0 - S_f \) est négatif, le dénominateur \( 1 - Fr^2 \) positif.
Profil M2 : courbe de rabattement (drawdown). La hauteur décroît vers l'aval, de l'asymptote \( y_n \) en amont vers \( y_c \) à l'aval.
Asymptotes : en amont, la courbe tend vers \( y_n \) tangentiellement ; à l'aval, elle atteint \( y_c \) avec une tangente verticale — limite de validité de la théorie.
Sens du calcul : l'écoulement étant fluvial, il est « piloté par l'aval » au sens du Mémento ASTEE § IV.7. Le calcul se propage donc de l'aval vers l'amont.

Équations Fondamentales

Deux relations : le critère de classification, qui range le tronçon, et l'équation de l'écoulement graduellement varié, qui en donne la traduction quantitative.

Formule 1 — Critère de classification des pentes et des zones :

Il attribue au tronçon une lettre et un chiffre qui suffisent à décrire qualitativement la ligne d'eau.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle permet de dessiner la ligne d'eau avant de la calculer. Un ingénieur expérimenté trace le profil qualitatif d'un bief entier en quelques minutes, uniquement avec les hauteurs de référence de chaque tronçon.

Contexte de validité : écoulement graduellement varié en canal prismatique. La classification vaut pour toute forme de section.
Avantage : elle est purement qualitative et ne demande aucun calcul de ligne d'eau. Deux comparaisons suffisent.
Paramètre clé : la position relative de \( y \), \( y_n \) et \( y_c \). Trois nombres, deux comparaisons, un nom de profil.
Vérification : la zone 2 est la seule pour laquelle la hauteur est encadrée par les deux références. Ici \( 1{,}177 < y < 1{,}741 \).
Limite : elle donne la forme, jamais les valeurs. Pour une cote d'eau, il faut passer au calcul numérique.

\[ \begin{aligned} y_n > y_c \;\Rightarrow\; \text{pente faible (M)} \qquad \text{et} \qquad y_c < y < y_n \;\Rightarrow\; \text{zone 2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que l'eau est coincée entre deux références et se déplace de l'une vers l'autre. Loin en amont, elle repose sur son équilibre naturel à 1,741 m. En approchant de la rupture, elle sent l'appel du vide et s'amincit progressivement jusqu'à 1,177 m. Entre les deux, elle décrit un M2 — la courbe de rabattement la plus courante de l'hydraulique fluviale.

Décomposition des termes :

\( y_n \) : hauteur normale du tronçon, asymptote amont, unité : m
\( y_c \) : hauteur critique, référence commune aux deux tronçons, unité : m
\( y \) : hauteur d'eau réelle en une section donnée, unité : m

Formule 2 — Équation de l'écoulement graduellement varié :

Elle donne la pente de la surface libre en chaque point, et confirme quantitativement la classification.

Pourquoi cette formule ?

Parce que son numérateur et son dénominateur changent de signe en franchissant respectivement \( y_n \) et \( y_c \). Toute la classification des profils s'y lit directement : les zones ne sont rien d'autre que les domaines de signe constant.

Contexte de validité : variation lente de la hauteur, répartition de pression hydrostatique, canal prismatique.
Avantage : elle donne à la fois le signe et l'intensité de la déformation de la surface libre.
Paramètre clé : la pente de frottement \( S_f \), calculée avec la hauteur réelle et non la hauteur normale. C'est là qu'est toute la subtilité.
Vérification : pour \( y = y_n \), \( S_f = S_0 \) et \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x = 0 \). La courbe est bien asymptote à la hauteur normale.
Limite : pour \( y = y_c \), le dénominateur s'annule et \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x \) diverge. La théorie cesse d'être valable au voisinage immédiat du critique.

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{S_0 - S_f}{1 - Fr^2} \qquad \text{avec} \qquad S_f = \frac{n^2 Q^2}{A^2 R_h^{4/3}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle compare ce que la gravité apporte à ce que le frottement consomme. Si le frottement l'emporte, le numérateur est négatif et la lame s'amincit. Le dénominateur, lui, ne fait qu'amplifier ou inverser selon le régime : en fluvial il est positif et la déformation suit le signe du numérateur ; en torrentiel il s'inverse et tout se retourne.

Décomposition des termes :

\( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x \) : pente de la surface libre par rapport au fond, unité : m/m
\( S_0 \) : pente du fond du canal, unité : m/m
\( S_f \) : pente de la ligne d'énergie, calculée à la hauteur réelle, unité : m/m
\( Fr \) : nombre de Froude local, unité : sans dimension

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de calculer \( S_f \) avec la hauteur normale au lieu de la hauteur réelle..."

L'approche d'ingénieur : En régime uniforme, \( S_f = S_0 \) : les deux se confondent et l'on prend l'habitude de les écrire indifféremment. En écoulement graduellement varié, ils diffèrent — et c'est précisément leur différence qui fait varier la hauteur. Confondre les deux annule le numérateur et prédit une ligne d'eau parfaitement horizontale.

L'erreur : écrire \( S_f = S_0 = 0{,}001 \) partout. Le numérateur devient nul, \( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x = 0 \), et l'on conclut qu'il n'y a aucune courbe de remous.
La bonne méthode : recalculer \( S_f \) à chaque section, avec la hauteur locale. C'est l'hypothèse fondatrice de l'écoulement graduellement varié.
L'astuce de pro : retenir le sens de l'inégalité : en zone 2 d'une pente M, la hauteur est inférieure à la normale, donc la section est plus petite, donc la vitesse plus grande, donc \( S_f > S_0 \).
Le moyen mnémotechnique : « \( S_0 \) est une donnée du terrain, \( S_f \) une propriété de l'écoulement ». L'une est gravée dans le sol, l'autre change à chaque section.
L'impact direct : sans cette distinction, tout le calcul de la question 5 devient impossible : c'est l'écart entre \( \bar{S_f} \) et \( S_0 \) qui fait avancer la ligne d'eau d'un pas à l'autre.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( y_{n1} = 1{,}741 \) m et \( y_c = 1{,}177 \) m, issues des questions 2 et 3
\( S_0 \), \( S_f \) : sans dimension (m/m)
\( Fr \) : sans dimension
\( \mathrm{d}y/\mathrm{d}x \) : sans dimension, souvent exprimée en mm par mètre

Deux calculs. Le premier classe le tronçon par simple comparaison de trois hauteurs ; le second vérifie ce classement par le calcul de la pente de la surface libre en une section intermédiaire. Le signe obtenu doit confirmer le diagnostic — sinon, l'un des deux est faux.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Classification du tronçon et du profil

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il donne la forme de la ligne d'eau avant tout calcul numérique, et fixe le sens dans lequel il faudra marcher.

Méthodologie du calcul :

Comparaison de la hauteur normale à la hauteur critique pour la lettre, puis situation de la hauteur réelle pour le chiffre.

Substitution : \( y_{n1} = 1{,}741 \) m, \( y_c = 1{,}177 \) m
Piège évité : la lettre dépend du tronçon, le chiffre de la section. Un même tronçon M peut porter un M1, un M2 ou un M3 selon l'endroit.
Hypothèse validée : la hauteur réelle est encadrée par les deux références, puisqu'elle part de 1,741 m en amont et descend vers 1,177 m à la rupture.
Vérification croisée : \( S_{0,1} = 0{,}1\ \% < S_c = 0{,}305\ \% \) : pente faible. Le classement par les pentes donne le même résultat.
Finalité : nommer le profil et connaître ses asymptotes avant de le calculer.

\[ \begin{aligned} \frac{y_{n1}}{y_c} &= \frac{1{,}741}{1{,}177} = 1{,}48 > 1 \;\Rightarrow\; \text{pente faible (M)} \\ y_c &= 1{,}177 < y < 1{,}741 = y_{n1} \;\Rightarrow\; \text{zone 2} \\ &\Rightarrow \text{profil } \mathbf{M2} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le tronçon amont est à pente faible et l'écoulement s'y développe en zone 2 : le profil est un M2, courbe de rabattement. La hauteur décroît de 1,741 m loin en amont jusqu'à 1,177 m à la rupture, soit une baisse totale de 56,4 cm.

Ordre de grandeur : le M2 est de très loin le profil le plus courant en rivière : il apparaît à toute chute, tout seuil dénoyé, toute entrée de tronçon raide.
Impact sur la suite : la hauteur recherchée en question 5 sera nécessairement comprise entre 1,177 et 1,741 m. Cet encadrement borne la recherche.
Cohérence : pente faible en amont, pente forte en aval : le régime bascule bien du fluvial au torrentiel. Une transition est inévitable.
Attention : sur le tronçon aval à pente forte, le profil sera d'une autre nature — un S2, qui accélère de \( y_c \) vers \( y_{n2} \). Il n'est pas demandé ici.
Comparaison : si la pente amont avait été forte, la hauteur aurait augmenté vers l'aval au lieu de diminuer. Le même canal, une autre pente, un comportement inverse.

Remarque pédagogique : classer le profil avant de calculer est ce qui permet de savoir si le résultat numérique est plausible. Un calcul qui donnerait une hauteur supérieure à 1,741 m serait immédiatement suspect.

Calcul 2 — Contrôle du signe par l'équation de l'écoulement graduellement varié

Pourquoi fait-on ce calcul ? Pour confirmer la classification par le calcul, et non seulement par la lecture d'un tableau de nomenclature.

Méthodologie du calcul :

On évalue le numérateur et le dénominateur en une section intermédiaire, prise à \( y = 1{,}45 \) m — au milieu de la plage de variation attendue.

Substitution : \( y = 1{,}45 \) m, d'où \( A = 7{,}25 \) m², \( P = 7{,}90 \) m, \( R_h = 0{,}9177 \) m
Piège évité : \( S_f \) se calcule avec la hauteur réelle de 1,45 m, jamais avec la hauteur normale de 1,741 m.
Hypothèse validée : la formule de frottement uniforme est appliquée localement — hypothèse fondatrice de l'écoulement graduellement varié.
Vérification croisée : \( S_f = 1{,}672 \times 10^{-3} > S_0 = 1{,}0 \times 10^{-3} \). Le numérateur est bien négatif.
Finalité : obtenir le signe et l'intensité de la déformation de la surface libre.

\[ \begin{aligned} S_f(1{,}45) &= \frac{0{,}014^2 \times 20^2}{7{,}25^2 \times 0{,}9177^{4/3}} = \frac{0{,}0784}{46{,}88} = 1{,}672 \times 10^{-3} \\ Fr(1{,}45) &= \frac{4{,}00}{\sqrt{9{,}81 \times 1{,}45^3}} = 0{,}731 \quad \Rightarrow \quad Fr^2 = 0{,}535 \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{1{,}000 \times 10^{-3} - 1{,}672 \times 10^{-3}}{1 - 0{,}535} = \frac{-0{,}672 \times 10^{-3}}{0{,}465} \\ &= \mathbf{-1{,}45 \times 10^{-3}} \quad \text{soit } -1{,}45 \text{ mm par metre} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La dérivée est négative : la hauteur d'eau décroît vers l'aval, ce qui confirme le profil M2 de rabattement. À cette section, la lame perd 1,45 mm par mètre parcouru — une pente de surface libre modeste mais parfaitement mesurable sur cinquante mètres.

Ordre de grandeur : sur 50 m, cette pente représente environ 7 cm de variation — cohérent avec l'écart entre 1,442 m et 1,45 m calculé en question 5.
Impact sur la suite : la dérivée n'est pas constante : elle s'annule quand \( y \to y_{n1} \) et diverge quand \( y \to y_c \). Un pas unique de 50 m reste donc une approximation.
Cohérence : numérateur négatif, dénominateur positif : le signe est celui qu'annonce la classification M2. Les deux voies concordent.
Attention : à \( y = 1{,}20 \) m, très près du critique, la dérivée atteint −33,5 mm par mètre : vingt-trois fois plus forte. La courbe devient très raide au voisinage de la rupture.
Comparaison : à \( y = 1{,}70 \) m, proche de la normale, la dérivée tombe à −0,10 mm par mètre. La courbe y est presque plate : c'est le comportement asymptotique attendu.

Remarque pédagogique : calculer la dérivée en trois sections — proche de la normale, au milieu, proche du critique — donne une image quantitative de la courbe sans avoir à l'intégrer. C'est un excellent contrôle de plausibilité du calcul complet.

LES TROIS ZONES D'UNE PENTE FAIBLE ET LE PROFIL M2 OBTENU

RÉSULTAT FINAL

Pente faible (M) — profil M2 de rabattement, dy/dx < 0

"La forme de la ligne d'eau est connue avant même de la calculer : elle descend, et le calcul devra remonter le courant."

Question 5 : Cote d'eau à 50 m par la méthode par étapes

Dans la tête de l'ingénieur

"Le calcul lui-même est simple ; c'est le point de départ qui compte. Une ligne d'eau ne se calcule jamais dans le vide : il lui faut une section où la hauteur soit connue, et c'est de là qu'on propage. Ici cette section est la rupture de pente, où l'écoulement passe par le critique — j'y reviendrai en détail à la question 6. Une fois ce point d'ancrage posé, je remonte le courant d'un pas de cinquante mètres et j'écris le bilan de charge entre les deux sections. L'équation obtenue est implicite : la hauteur cherchée figure des deux côtés, directement dans l'énergie spécifique et indirectement dans la pente de frottement moyenne. J'itère donc, en sachant que la solution est nécessairement comprise entre \( y_c \) et \( y_{n1} \) — l'encadrement est fourni gratuitement par la classification M2."

Observation : le bilan s'écrit \( E_i = E_{i+1} + (\bar{S_f} - S_0)\Delta x \). Le terme entre parenthèses est positif ici, donc l'énergie croît vers l'amont.
Analyse du risque : se tromper de sens — écrire \( -(\bar{S_f} - S_0) \) au lieu de \( +(\bar{S_f} - S_0) \) — donne une hauteur plus faible que \( y_c \), c'est-à-dire un résultat physiquement impossible en zone 2.
Choix stratégique : je borne la recherche entre 1,177 et 1,741 m, encadrement donné par la classification. Aucune solution ne peut sortir de cet intervalle.
Alternative : la méthode du pas direct impose la hauteur et calcule la distance — plus rapide, mais elle ne permet pas d'atteindre un point précis du canal. Ici l'énoncé impose \( \Delta x = 50 \) m : c'est la méthode par étapes qui s'applique.
Objectif visé : produire une cote d'eau exploitable, au centimètre, à une abscisse donnée du canal.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( y(-50\ \text{m}) = \mathbf{1{,}442} \) m | \( V = 2{,}77 \) m/s | \( Fr = 0{,}737 \) — contrôle : \( E_i = 1{,}834 \) m des deux côtés du bilan

Rappel Théorique : la méthode par étapes

La méthode par étapes — standard step method — consiste à découper le canal en tronçons courts et à écrire, sur chacun, le bilan de charge entre les deux sections qui le bornent. La charge totale en amont égale la charge en aval, augmentée de la perte par frottement et diminuée de la dénivelée du fond. En introduisant l'énergie spécifique et en notant que \( z_i - z_{i+1} = S_0\,\Delta x \), le bilan prend la forme compacte \( E_i = E_{i+1} + (\bar{S_f} - S_0)\Delta x \). La perte de charge est estimée par la moyenne arithmétique des pentes de frottement aux deux extrémités du pas — c'est l'approximation centrale de la méthode, et la seule source d'erreur si le pas est trop long. L'équation obtenue est implicite : la hauteur cherchée figure à la fois dans \( E_i \) et dans \( S_{f,i} \), ce qui impose une résolution par itération.

Bilan de charge : \( y_i + \dfrac{V_i^2}{2g} + z_i = y_{i+1} + \dfrac{V_{i+1}^2}{2g} + z_{i+1} + h_f \), avec \( h_f = \bar{S_f}\,\Delta x \).
Forme compacte : \( E_i = E_{i+1} + (\bar{S_f} - S_0)\Delta x \). Toute la géométrie du pas est concentrée dans le terme entre parenthèses.
Pente de frottement moyenne : \( \bar{S_f} = \dfrac{S_{f,i} + S_{f,i+1}}{2} \). D'autres moyennes existent — géométrique, harmonique — mais l'arithmétique est la plus courante.
Sens de marche : en régime fluvial, de l'aval vers l'amont ; en régime torrentiel, de l'amont vers l'aval. Le sens est imposé par la physique, pas par le calculateur.
Précision : l'erreur croît avec le pas. Un pas unique de 50 m est acceptable ici parce que la courbure reste modérée dans cette plage de hauteurs.

Équations Fondamentales

Deux relations : le bilan de charge sur le pas de calcul, et la pente de frottement qui en fournit le terme dissipatif.

Formule 1 — Bilan de charge sur un pas de calcul :

Il relie les énergies spécifiques de deux sections distantes de \( \Delta x \).

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est la forme intégrée de l'équation différentielle de l'écoulement graduellement varié. Là où la dérivée donne une tendance locale, le bilan donne une variation finie, directement exploitable.

Contexte de validité : pas court devant la longueur du profil, pour que la moyenne des pentes de frottement soit représentative.
Avantage : elle permet d'atteindre une abscisse imposée, contrairement à la méthode du pas direct qui impose la hauteur.
Paramètre clé : l'écart \( \bar{S_f} - S_0 \). C'est lui, multiplié par le pas, qui fait varier l'énergie d'une section à l'autre.
Vérification : une pente sans dimension multipliée par une longueur donne des mètres, homogènes à une énergie spécifique.
Limite : la moyenne arithmétique de \( S_f \) est une approximation. Elle se dégrade quand la hauteur varie fortement sur le pas — donc au voisinage du critique.

\[ \begin{aligned} E_i = E_{i+1} + \left(\bar{S_f} - S_0\right)\Delta x \qquad \text{avec} \qquad \bar{S_f} = \frac{S_{f,i} + S_{f,i+1}}{2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle fait la comptabilité de l'énergie sur cinquante mètres. En descendant le courant, l'écoulement gagne \( S_0 \Delta x \) de dénivelée et perd \( \bar{S_f} \Delta x \) par frottement. Ici le frottement l'emporte : l'énergie spécifique diminue vers l'aval, donc elle était plus grande en amont. C'est exactement ce que le calcul va montrer.

Décomposition des termes :

\( E_i \) : énergie spécifique dans la section amont, à 50 m de la rupture, unité : m
\( E_{i+1} \) : énergie spécifique à la section de contrôle, unité : m
\( \bar{S_f} \) : pente de frottement moyenne sur le pas, unité : m/m
\( \Delta x \) : longueur du pas de calcul, unité : m

Formule 2 — Pente de la ligne d'énergie :

Elle quantifie la perte de charge par unité de longueur à la hauteur d'eau considérée.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle applique la formule de Manning en régime non uniforme. C'est l'hypothèse fondatrice de tout le chapitre : la perte de charge locale est celle qu'aurait un écoulement uniforme de même hauteur.

Contexte de validité : variation graduelle de la hauteur. C'est le domaine de validité de toute la théorie employée ici.
Avantage : elle est explicite : à hauteur donnée, \( S_f \) se calcule directement, sans itération.
Paramètre clé : la section mouillée au carré au dénominateur. \( S_f \) est très sensible à la hauteur : elle triple presque entre 1,74 et 1,18 m.
Vérification : pour \( y = y_{n1} \), on retrouve \( S_f = 1{,}000 \times 10^{-3} = S_0 \). La cohérence avec le régime uniforme est vérifiée.
Limite : c'est une extrapolation d'une formule établie pour l'uniforme. Elle est admise universellement mais n'est pas démontrée.

\[ \begin{aligned} S_f = \frac{n^2\,Q^2}{A^2\,R_h^{4/3}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle mesure combien de charge l'écoulement perd par mètre parcouru. Plus la lame est mince, plus la vitesse est grande, plus le frottement mord — et ici, en s'amincissant vers la rupture, l'écoulement voit sa pente de frottement passer de 1,0 à 3,0 millièmes. C'est ce triplement qui creuse la ligne d'eau.

Décomposition des termes :

\( S_f \) : pente de la ligne d'énergie, unité : m/m
\( A \) : section mouillée à la hauteur réelle, unité : m²
\( R_h \) : rayon hydraulique à la hauteur réelle, unité : m
\( n \) : coefficient de rugosité de Manning, unité : s/m^1/3

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de s'arrêter au premier essai dès que l'écart paraît petit..."

L'approche d'ingénieur : Un essai à \( y = 1{,}45 \) m donne 1,838 m d'un côté et 1,834 m de l'autre. L'écart de 4 mm semble négligeable — mais il ne l'est pas : la sensibilité est telle que ces 4 mm d'énergie correspondent à 8 mm de hauteur. Il faut poursuivre, ou interpoler.

L'erreur : conclure \( y \approx 1{,}45 \) m et s'arrêter là. La valeur convergée est 1,442 m.
La bonne méthode : encadrer avec un second essai de l'autre côté — par exemple 1,40 m — puis interpoler linéairement entre les deux écarts.
L'astuce de pro : la sensibilité se lit dans la dérivée : \( \mathrm{d}E/\mathrm{d}y = 1 - Fr^2 = 0{,}46 \) ici. Un millimètre d'énergie vaut deux millimètres de hauteur.
Le moyen mnémotechnique : « un écart d'énergie n'est pas un écart de hauteur » — près du critique, le facteur d'amplification devient très grand.
L'impact direct : pour une cote de calage de berge, 8 mm sont peu de chose ; mais l'erreur est systématique et s'accumulerait si l'on enchaînait vingt pas de calcul le long d'un bief.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( y_c = 1{,}177 \) m, issue de la question 2 — condition aux limites aval
\( E \) : en m
\( S_f \), \( \bar{S_f} \), \( S_0 \) : sans dimension
\( \Delta x = 50{,}0 \) m
Encadrement imposé : \( 1{,}177 < y_i < 1{,}741 \) m

Deux calculs et un tableau. Le premier établit l'état de la section de contrôle, qui sert de point d'ancrage ; le second résout l'équation implicite par encadrement puis interpolation. Le tableau documente la convergence et montre la sensibilité de l'équation.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — État de la section de contrôle à la rupture

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le point d'ancrage de toute la ligne d'eau : sans lui, le calcul ne peut pas démarrer.

Méthodologie du calcul :

On évalue l'énergie spécifique et la pente de frottement à la hauteur critique, qui règne à la rupture de pente.

Substitution : \( y_{i+1} = y_c = 1{,}177 \) m, d'où \( A = 5{,}886 \) m², \( P = 7{,}354 \) m, \( R_h = 0{,}800 \) m
Piège évité : la section de contrôle est à la rupture, pas à l'infini aval. C'est elle qui commande, et sa hauteur est imposée par la physique.
Hypothèse validée : \( y = y_c \) à la rupture — hypothèse démontrée en question 6, admise ici.
Vérification croisée : \( E_{i+1} = 1{,}766 \) m est exactement \( \frac{3}{2}y_c \), l'énergie spécifique minimale. Cohérent.
Finalité : fournir les deux constantes du bilan : \( E_{i+1} \) et \( S_{f,i+1} \).

\[ \begin{aligned} A_{i+1} &= 5{,}00 \times 1{,}177 = 5{,}886 \text{ m}^2 \\ V_{i+1} &= \frac{20{,}00}{5{,}886} = 3{,}398 \text{ m/s} \\ E_{i+1} &= 1{,}177 + \frac{3{,}398^2}{19{,}62} = 1{,}177 + 0{,}589 = \mathbf{1{,}766} \text{ m} \\ S_{f,i+1} &= \frac{0{,}014^2 \times 20^2}{5{,}886^2 \times 0{,}800^{4/3}} = \mathbf{3{,}046 \times 10^{-3}} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

À la rupture, l'énergie spécifique vaut 1,766 m — le minimum absolu pour ce débit — et la pente de frottement 3,046 × 10⁻³, soit trois fois la pente du fond. Cette valeur n'est pas une coïncidence : elle est égale à la pente critique calculée en question 2.

Ordre de grandeur : \( S_f \) vaut ici trois fois \( S_0 \). L'écoulement dissipe beaucoup plus que la pente ne lui apporte : la ligne d'eau doit descendre.
Impact sur la suite : ces deux valeurs sont les constantes du bilan de charge. Elles ne changeront plus au cours des itérations.
Cohérence : \( S_f(y_c) = S_c = 3{,}046 \times 10^{-3} \). C'est la définition même de la pente critique : celle qui rendrait cette hauteur normale.
Attention : au voisinage exact du critique, l'écoulement n'est plus graduellement varié : la surface libre y présente une courbure prononcée. Le résultat reste acceptable en pratique, mais l'hypothèse est à la limite.
Comparaison : la vitesse à la rupture, 3,40 m/s, est 48 % supérieure à celle du régime uniforme amont. L'eau a déjà nettement accéléré.

Remarque pédagogique : l'égalité \( S_f(y_c) = S_c \) n'est pas un hasard : la pente critique est par définition celle qui rendrait la hauteur critique normale. La retrouver ici valide simultanément les questions 2 et 5.

Calcul 2 — Résolution du bilan à 50 m en amont

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est le résultat demandé : la cote d'eau à un point précis du canal.

Méthodologie du calcul :

On encadre entre 1,40 m et 1,45 m, puis on interpole linéairement entre les deux écarts.

Substitution : \( E_{i+1} = 1{,}766 \) m, \( S_{f,i+1} = 3{,}046 \times 10^{-3} \), \( S_0 = 1{,}0 \times 10^{-3} \), \( \Delta x = 50 \) m
Piège évité : le signe est positif devant \( (\bar{S_f} - S_0) \) puisqu'on remonte le courant. L'énergie amont est donc supérieure à l'énergie aval.
Hypothèse validée : la solution appartient bien à l'intervalle [1,177 ; 1,741] imposé par la classification M2.
Vérification croisée : pour \( y_i = 1{,}4422 \) m, les deux membres valent 1,83428 m. L'écart est nul au dixième de millimètre.
Finalité : livrer la cote d'eau à cinquante mètres en amont de la rupture.

\[ \begin{aligned} S_{f,i}(1{,}4422) &= 1{,}698 \times 10^{-3} \\ \bar{S_f} &= \frac{1{,}698 + 3{,}046}{2} \times 10^{-3} = 2{,}372 \times 10^{-3} \\ E_i \text{ (bilan)} &= 1{,}766 + \left(2{,}372 \times 10^{-3} - 1{,}000 \times 10^{-3}\right) \times 50 \\ &= 1{,}766 + 0{,}0686 = 1{,}834 \text{ m} \\ E_i \text{ (direct)} &= 1{,}4422 + \frac{16}{19{,}62 \times 1{,}4422^2} = 1{,}834 \text{ m} \\ &\Rightarrow y_i = \mathbf{1{,}442} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

À cinquante mètres en amont de la rupture, la hauteur d'eau vaut 1,442 m. Elle est encore loin de la hauteur normale de 1,741 m : le rabattement a déjà consommé 53 % de l'écart total entre les deux hauteurs de référence, sur seulement cinquante mètres.

Ordre de grandeur : la hauteur est bien comprise entre 1,177 et 1,741 m. Le résultat respecte l'encadrement imposé par la classification.
Impact sur la suite : la vitesse y vaut 2,77 m/s et le Froude 0,737 : l'écoulement reste fluvial, mais s'est nettement rapproché du critique.
Cohérence : les deux expressions de \( E_i \) coïncident à 1,834 m. Le bilan de charge est vérifié.
Attention : un pas unique de 50 m reste une approximation. La courbe étant fortement incurvée près du critique, un découpage en cinq pas de 10 m donnerait un résultat légèrement différent.
Comparaison : une ligne d'eau supposée horizontale à la hauteur normale annoncerait 1,741 m à cet endroit — soit 30 cm de trop. C'est l'ordre de grandeur d'une erreur de calage de berge.

Remarque pédagogique : écrire les deux expressions de \( E_i \) côte à côte — l'une directe, l'autre reconstruite par le bilan — rend la convergence visible d'un coup d'œil et évite toute ambiguïté sur ce que l'on cherche à égaliser.

TABLEAU RÉCAPITULATIF DES ITÉRATIONS — PAS DE 50 M VERS L'AMONT

Essai	\( y_i \) (m)	\( S_{f,i} \) (×10⁻³)	\( E_i \) direct (m)	\( E_i \) bilan (m)	Écart (m)
1	1,300	2,286	1,7825	1,8490	− 0,0664 — trop bas
2	1,400	1,848	1,8161	1,8380	− 0,0220 — encore trop bas
3	1,450	1,672	1,8379	1,8336	+ 0,0042 — légèrement trop haut
4	1,4422	1,698	1,8343	1,8343	< 0,0001 — convergé
—	1,500	1,519	1,8624	1,8298	+ 0,0327 — trop haut

Lecture du tableau : les deux colonnes d'énergie convergent l'une vers l'autre : la colonne directe croît avec la hauteur, la colonne bilan décroît. Leur croisement donne la solution. L'interpolation entre les essais 2 et 3 fournit directement \( 1{,}400 + 0{,}050 \times 0{,}0220/(0{,}0220 + 0{,}0042) = 1{,}442 \) m — sans itération supplémentaire.

RÉSULTAT FINAL

y (−50 m) = 1,442 m — V = 2,77 m/s, Fr = 0,737

"Trente centimètres sous la hauteur normale : c'est l'écart qu'une ligne d'eau supposée uniforme aurait manqué."

Question 6 : Section de contrôle et portée du remous

Dans la tête de l'ingénieur

"La question 5 a produit un nombre, mais elle repose sur une hypothèse que personne n'a démontrée : pourquoi la hauteur vaudrait-elle exactement \( y_c \) à la rupture ? C'est l'hypothèse la plus lourde de tout l'exercice — elle fonde le calcul entier. Je la démontre donc, et l'argument est d'une élégance rare : sur pente faible l'écoulement est fluvial, donc commandé par l'aval ; sur pente forte il est torrentiel, donc commandé par l'amont. La rupture est la seule section que les deux zones d'influence ont en commun. C'est donc là, et nulle part ailleurs, que se situe le contrôle — et une section de contrôle est par définition au régime critique. Une fois cela établi, je pousse deux vérifications que l'énoncé ne demande pas mais qu'un relecteur exigera : quelle est l'erreur d'un pas unique de 50 m ? et sur quelle longueur le rabattement se fait-il sentir ?"

Observation : la pente aval, 2 %, vaut 6,6 fois la pente critique. Le régime y sera franchement torrentiel, donc commandé par l'amont.
Analyse du risque : admettre \( y = y_c \) sans le justifier, c'est admettre toute la condition aux limites sans preuve. Si elle était fausse, la ligne d'eau entière serait fausse.
Choix stratégique : je quantifie l'erreur de discrétisation du pas unique en comparant à un découpage fin. C'est la seule façon de savoir si le résultat de la question 5 est utilisable.
Alternative : pour la longueur du profil, la méthode du pas direct est plus économique : on impose les hauteurs et on calcule les distances, sans aucune itération.
Objectif visé : démontrer la condition aux limites, chiffrer la précision du calcul et donner la portée réelle du phénomène — trois choses qu'une note de calculs doit contenir.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

\( y_{n2} = 0{,}627 \) m, \( Fr_2 = 2{,}57 > 1 \) → torrentiel, donc contrôle à la rupture avec \( y = y_c \) | erreur du pas unique : +3,0 cm (1,442 au lieu de 1,412 m) | longueur du profil M2 : ≈ 720 m

Rappel Théorique : sections de contrôle et zones d'influence

Une section de contrôle est une section où la relation entre hauteur et débit est imposée par la géométrie, indépendamment de ce qui se passe ailleurs. C'est le point de départ obligé de tout calcul de ligne d'eau. Sa position se déduit du régime : en écoulement fluvial, l'information remonte le courant, la zone d'influence s'étend vers l'amont et le contrôle est donc à l'aval ; en écoulement torrentiel, rien ne remonte, la zone d'influence s'étend vers l'aval et le contrôle est à l'amont. Le Mémento technique ASTEE 2017 formule exactement cette distinction à son paragraphe IV.7 : le régime fluvial est « piloté par l'aval », le torrentiel est « tiré par les forces qui le meuvent ». À une rupture de pente faible vers forte, les deux zones d'influence se rejoignent en une seule section — la rupture elle-même — qui est donc nécessairement critique.

Contrôle en fluvial : à l'aval. Le calcul se propage de l'aval vers l'amont — c'est ce qui a été fait en question 5.
Contrôle en torrentiel : à l'amont. Le calcul se propage de l'amont vers l'aval, sur le tronçon 2.
Rupture faible vers forte : la section commune aux deux zones d'influence est unique : c'est la rupture, et elle est au régime critique.
Rupture forte vers faible : configuration inverse : les deux zones ne se rejoignent pas et un ressaut hydraulique s'établit pour assurer la transition.
Longueur d'un profil M2 : elle est théoriquement infinie, puisque la courbe tend asymptotiquement vers la hauteur normale. En pratique on l'arrête à un pourcentage donné de \( y_n \).

Équations Fondamentales

Deux relations : le critère de régime appliqué au tronçon aval, et la méthode du pas direct, qui inverse la démarche de la question 5 pour calculer des distances.

Formule 1 — Critère de régime sur le tronçon aval :

Il établit que l'écoulement y est torrentiel, condition nécessaire à la démonstration du contrôle.

Pourquoi cette formule ?

Parce que la position de la section de contrôle découle entièrement du régime. Tant qu'on n'a pas démontré que l'aval est torrentiel, on ne peut pas affirmer que le contrôle est à la rupture.

Contexte de validité : régime uniforme loin de la rupture, sur un tronçon aval supposé long.
Avantage : la comparaison à la pente critique évite même de calculer \( y_{n2} \) : 2 % > 0,305 % suffit à conclure.
Paramètre clé : le rapport \( S_{0,2}/S_c = 6{,}6 \). Il ne laisse aucune ambiguïté sur le régime aval.
Vérification : \( y_{n2} = 0{,}627 \) m < \( y_c = 1{,}177 \) m. Les deux critères concordent.
Limite : la hauteur normale aval n'est atteinte qu'à bonne distance de la rupture. Juste après celle-ci, l'écoulement suit un profil accéléré de type S2.

\[ \begin{aligned} S_{0,2} > S_c \quad \Longleftrightarrow \quad y_{n2} < y_c \quad \Longleftrightarrow \quad Fr_2 > 1 \quad \Rightarrow \quad \text{controle a l'amont} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que l'aval ne peut rien imposer à l'amont. Sur la pente forte, l'eau file plus vite que les ondes : aucune information ne remonte. Le tronçon aval subit donc ce que la rupture lui envoie, sans jamais pouvoir influencer ce qui se passe en amont d'elle. La rupture devient le point de partage — et le point de contrôle.

Décomposition des termes :

\( S_{0,2} \) : pente du tronçon aval, unité : m/m
\( S_c \) : pente critique pour ce débit, unité : m/m
\( y_{n2} \) : hauteur normale du tronçon aval, unité : m

Formule 2 — Méthode du pas direct :

Elle inverse la méthode par étapes : on impose la variation de hauteur et l'on calcule la distance correspondante.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est explicite : aucune itération. En imposant les hauteurs, tous les termes du second membre sont connus, et la distance se calcule directement. C'est l'outil adapté quand on cherche une longueur plutôt qu'une cote.

Contexte de validité : canal prismatique. Sur un lit naturel de section variable, seule la méthode par étapes s'applique.
Avantage : aucune itération. Un tableau de dix lignes se remplit en quelques minutes.
Paramètre clé : le dénominateur \( S_0 - \bar{S_f} \), qui tend vers zéro quand \( y \to y_n \). C'est pourquoi la longueur diverge à l'approche de l'asymptote.
Vérification : des mètres divisés par un nombre sans dimension donnent des mètres. Homogénéité confirmée.
Limite : elle ne permet pas d'atteindre une abscisse imposée. C'est pourquoi la question 5 a dû employer la méthode par étapes.

\[ \begin{aligned} \Delta x = \frac{E_{\text{amont}} - E_{\text{aval}}}{S_0 - \bar{S_f}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle demande : quelle distance faut-il parcourir pour que l'énergie varie de tant ? Plus l'écart entre pente du fond et pente de frottement est faible, plus il faut de distance pour produire la même variation. À l'approche de la hauteur normale, cet écart s'annule : la distance devient infinie, et la courbe rejoint son asymptote sans jamais l'atteindre.

Décomposition des termes :

\( \Delta x \) : longueur du tronçon parcouru, unité : m
\( E_{\text{amont}} - E_{\text{aval}} \) : variation d'énergie spécifique sur le pas, unité : m
\( S_0 - \bar{S_f} \) : écart entre pente du fond et pente de frottement moyenne, unité : m/m

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de croire qu'un pas unique de 50 m donne le même résultat qu'un découpage fin..."

L'approche d'ingénieur : La méthode par étapes suppose la pente de frottement linéaire sur le pas. Or près du critique, la courbe M2 est très incurvée : la moyenne arithmétique de \( S_f \) sous-estime alors la dissipation réelle, et la hauteur calculée ressort trop haute.

L'erreur : annoncer 1,442 m comme la hauteur exacte à 50 m. La valeur convergée est 1,412 m : l'écart atteint 3,0 cm.
La bonne méthode : refaire le calcul avec un pas plus fin et comparer. Si le résultat bouge, le pas est trop long.
L'astuce de pro : le pas doit être d'autant plus court que l'on est près du critique. Un maillage à pas variable — fin près de la rupture, lâche loin d'elle — est la pratique courante.
Le moyen mnémotechnique : « un seul pas n'est jamais un calcul, c'est une estimation ».
L'impact direct : 3 cm sur une cote de calage de berge sont acceptables ; mais l'erreur est systématique et du même signe, et s'accumulerait si l'on enchaînait des pas de 50 m sur tout un bief.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités

\( S_{0,2} = 0{,}020 \) m/m
\( y_{n2} \) : résultat en m
\( Fr_2 \) : sans dimension
\( \Delta x \) : résultat en m

Trois calculs. Le premier démontre la condition aux limites admise en question 5 ; le deuxième chiffre l'erreur de discrétisation du pas unique ; le troisième donne la portée réelle du rabattement, seule grandeur qui intéresse le tracé d'une zone inondable.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Régime aval et position de la section de contrôle

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il démontre l'hypothèse la plus lourde de l'exercice, admise sans preuve à la question 5.

Méthodologie du calcul :

Résolution itérative de Manning sur la pente aval, puis calcul du nombre de Froude correspondant.

Substitution : \( S_{0,2} = 0{,}020 \), soit \( \sqrt{S_{0,2}} = 0{,}14142 \)
Piège évité : la hauteur normale aval est plus faible que l'amont, pas plus élevée. Une pente plus forte accélère l'eau et l'amincit.
Hypothèse validée : tronçon aval long : la hauteur normale y est effectivement atteinte à bonne distance de la rupture.
Vérification croisée : \( S_{0,2}/S_c = 2{,}0/0{,}305 = 6{,}6 > 1 \) annonçait déjà une pente forte. Les deux voies concordent.
Finalité : établir que le contrôle se situe à la rupture, avec \( y = y_c \).

\[ \begin{aligned} y_{n2} &= \mathbf{0{,}627} \text{ m} \quad (\text{iteration : } Q = 20{,}00 \text{ m}^3\text{/s}) \\ V_{n2} &= \frac{20{,}00}{5{,}00 \times 0{,}627} = 6{,}38 \text{ m/s} \\ Fr_2 &= \frac{4{,}00}{\sqrt{9{,}81 \times 0{,}627^3}} = \mathbf{2{,}57} \quad > 1 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Sur la pente aval, l'écoulement s'établit à 0,627 m et 6,38 m/s, avec un Froude de 2,57 : franchement torrentiel. Il est donc commandé par l'amont, tandis que le tronçon 1, fluvial, est commandé par l'aval. La rupture est la seule section commune aux deux zones d'influence — c'est nécessairement là que se situe le contrôle, et une section de contrôle est au régime critique.

Ordre de grandeur : la hauteur aval vaut 36 % de la hauteur amont pour une pente vingt fois plus forte. La dépendance est faible : \( y_n \) varie environ comme \( S_0^{-3/10} \).
Impact sur la suite : la condition aux limites \( y = y_c = 1{,}177 \) m à la rupture est démontrée. Tout le calcul de la question 5 en découle légitimement.
Cohérence : \( y_{n2} = 0{,}627 \) m < \( y_c = 1{,}177 \) m < \( y_{n1} = 1{,}741 \) m. La hauteur critique est bien encadrée par les deux hauteurs normales.
Attention : une vitesse de 6,38 m/s est élevée : elle dépasse le seuil d'abrasion d'un béton ordinaire. Le tronçon aval mériterait un revêtement renforcé — point qui sort du cadre de l'exercice mais qu'une note de calculs doit signaler.
Comparaison : si les pentes étaient inversées — forte en amont, faible en aval — les deux zones d'influence ne se rejoindraient pas et un ressaut hydraulique assurerait la transition. Le calcul serait entièrement différent.

Remarque pédagogique : la position d'une section de contrôle ne se décrète pas : elle se déduit du régime des tronçons adjacents. C'est le premier raisonnement à conduire devant tout calcul de ligne d'eau, avant même de sortir une calculatrice.

Calcul 2 — Erreur de discrétisation du pas unique

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'un résultat numérique sans estimation de son erreur n'est pas un résultat d'ingénieur.

Méthodologie du calcul :

On refait le calcul de la question 5 en découpant les cinquante mètres en pas de plus en plus courts, et l'on observe la convergence.

Substitution : mêmes données, avec \( \Delta x = 50 \) m, puis 5 pas de 10 m, puis 10 pas de 5 m
Piège évité : chaque pas repart de la hauteur calculée au pas précédent, jamais de la hauteur critique.
Hypothèse validée : la convergence est monotone : le résultat décroît régulièrement quand le pas se raffine.
Vérification croisée : une intégration à pas très fin donne 1,412 m. C'est la valeur de référence.
Finalité : chiffrer l'incertitude attachée au résultat de la question 5.

\[ \begin{aligned} 1 \text{ pas de } 50 \text{ m} &\;\rightarrow\; y = 1{,}442 \text{ m} \\ 5 \text{ pas de } 10 \text{ m} &\;\rightarrow\; y = 1{,}414 \text{ m} \\ 10 \text{ pas de } 5 \text{ m} &\;\rightarrow\; y = 1{,}413 \text{ m} \\ \text{integration fine} &\;\rightarrow\; y = \mathbf{1{,}412} \text{ m} \\ \text{erreur du pas unique} &= 1{,}442 - 1{,}412 = \mathbf{+3{,}0} \text{ cm} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le pas unique de 50 m surestime la hauteur de 3,0 cm, soit 2,1 %. Dès cinq pas de 10 m, l'écart tombe à 2 mm et le résultat est stabilisé. L'erreur est donc entièrement due à la longueur du pas, et elle va toujours dans le même sens : la moyenne arithmétique de \( S_f \) sous-estime la dissipation là où la courbe est incurvée.

Ordre de grandeur : 3 cm sur 1,44 m, c'est 2 %. Acceptable pour un avant-projet, insuffisant pour une étude d'inondabilité réglementaire.
Impact sur la suite : le résultat de la question 5 doit être annoncé avec sa réserve : 1,44 m à ± 3 cm près, du fait du pas unique imposé par l'énoncé.
Cohérence : l'erreur décroît quand le pas se raffine, et le résultat converge. La méthode est bien consistante.
Attention : l'erreur est systématique et toujours du même signe. Enchaîner dix pas de 50 m sur un bief cumulerait les surestimations au lieu de les compenser.
Comparaison : autre lecture du même écart : la hauteur de 1,442 m est en réalité atteinte à 68 m de la rupture, et non à 50 m.

Remarque pédagogique : tester la sensibilité au pas est une pratique standard en calcul numérique et devrait l'être en hydraulique. Deux calculs à pas différents suffisent à savoir si le résultat est fiable.

Calcul 3 — Longueur du profil de rabattement

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur d'aménagement : sur quelle longueur de berge l'abaissement du plan d'eau se fait-il sentir ?

Méthodologie du calcul :

Méthode du pas direct : on impose une suite de hauteurs entre \( y_c \) et 1,70 m, et l'on cumule les distances obtenues.

Substitution : hauteurs successives 1,177 → 1,30 → 1,45 → 1,55 → 1,62 → 1,67 → 1,70 m
Piège évité : on ne peut pas viser 1,7406 m : le dénominateur s'annule et la distance divergerait. On s'arrête à un pourcentage conventionnel.
Hypothèse validée : les pas de hauteur sont resserrés près du critique, là où la courbe est la plus raide.
Vérification croisée : une intégration fine donne 721 m contre 691 m par ce découpage en six pas. L'écart de 4 % est cohérent avec la finesse du maillage.
Finalité : fournir la portée du phénomène, seule grandeur utile au tracé d'une emprise.

\[ \begin{aligned} \Delta x(1{,}177 \rightarrow 1{,}30) &= \frac{1{,}7825 - 1{,}7657}{0{,}001 - 2{,}666 \times 10^{-3}} = -10{,}1 \text{ m} \\ \Delta x(1{,}30 \rightarrow 1{,}45) &= -56{,}5 \text{ m} \\ \Delta x(1{,}45 \rightarrow 1{,}55) &= -97{,}6 \text{ m} \\ \Delta x(1{,}55 \rightarrow 1{,}70) &= -526{,}8 \text{ m} \\ L_{\text{totale}} &\approx \mathbf{691} \text{ m} \quad (\text{integration fine : } 721 \text{ m}) \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Il faut environ 720 mètres pour que la hauteur d'eau remonte de 1,177 m à 1,700 m, soit à 97,7 % de la hauteur normale. Le rabattement se fait donc sentir sur près d'un kilomètre en amont de la rupture — alors que les cinquante premiers mètres n'en couvrent que 7 %.

Ordre de grandeur : une longueur de l'ordre de \( y_n/S_0 \), soit 1 740 m, donne la bonne échelle du phénomène. Nous en sommes à 40 %.
Impact sur la suite : une étude d'inondabilité devrait modéliser au moins un kilomètre de bief en amont pour capturer correctement l'effet de la rupture.
Cohérence : la distance s'allonge fortement à mesure qu'on approche de l'asymptote : 10 m pour les 12 premiers centimètres, 527 m pour les 15 derniers. Comportement asymptotique confirmé.
Attention : la longueur d'un profil M2 est théoriquement infinie. Toute valeur annoncée doit préciser à quel pourcentage de la hauteur normale on s'est arrêté — ici 97,7 %.
Comparaison : viser 99 % de la hauteur normale, soit 1,723 m, demanderait encore plusieurs centaines de mètres supplémentaires. Le choix du seuil pèse davantage que la précision du calcul.

Remarque pédagogique : annoncer une longueur de courbe de remous sans préciser le seuil retenu n'a aucun sens : la courbe ne rejoint jamais son asymptote. C'est une convention, et elle doit être écrite.

RÉSULTAT FINAL

Contrôle à la rupture (Fr₂ = 2,57 ) · erreur du pas unique +3,0 cm · portée du M2 ≈ 720 m

"La condition aux limites est démontrée, l'erreur du calcul est chiffrée, et la portée du phénomène dépasse largement les cinquante mètres étudiés."

SCHÉMA BILAN — LA CHAÎNE COMPLÈTE DES CALCULS

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale d'un calcul de ligne d'eau :

J'ai compris que la hauteur critique est unique pour tout le canal, alors que la hauteur normale change à chaque changement de pente. J'ai classifié le profil avant de le calculer , et je sais que M2 signifie pente faible, zone 2, courbe de rabattement. J'ai calculé \( S_f \) avec la hauteur réelle de chaque section, jamais avec la hauteur normale. J'ai justifié la position de la section de contrôle au lieu de l'admettre, en démontrant que l'aval est torrentiel. J'ai chiffré l'erreur du pas de calcul en comparant à un découpage fin, au lieu de présenter un résultat sans incertitude.

La mission est remplie. Le canal transporte 20 m³/s sous un débit linéique de 4,00 m²/s, ce qui fixe une hauteur critique unique de 1,177 m et une pente critique de 0,305 %. Le tronçon amont, à 0,1 % de pente, est donc à pente faible : l'écoulement uniforme s'y établit à 1,741 m et 2,30 m/s, en régime fluvial. Le tronçon aval, à 2 % — soit 6,6 fois la pente critique — est à pente forte : l'écoulement y devient torrentiel, à 0,627 m et 6,38 m/s. Entre les deux, la ligne d'eau décrit un profil M2 de rabattement, qui abaisse progressivement la lame de 1,741 m jusqu'à la hauteur critique à la rupture. À cinquante mètres en amont, la méthode par étapes avec un pas unique donne une hauteur de 1,442 m, soit 30 cm sous la hauteur normale. Le rabattement se fait sentir sur près de 720 mètres en amont de la rupture.

La plus-value technique de cette note tient à trois points. D'abord, elle a démontré la condition aux limites au lieu de l'admettre. Tout le calcul de ligne d'eau repose sur une seule hypothèse — la hauteur vaut \( y_c \) à la rupture — et cette hypothèse n'est jamais anodine. Elle se démontre en établissant que l'aval est torrentiel (\( Fr_2 = 2{,}57 \)) : la zone d'influence du tronçon fluvial s'étend vers l'amont, celle du tronçon torrentiel vers l'aval, et la rupture est la seule section qu'elles ont en commun. C'est donc là que se situe le contrôle, et une section de contrôle est par définition au régime critique. Sans cette démonstration, le résultat de la question 5 reposerait sur une affirmation non vérifiée. Ensuite, elle a chiffré l'erreur du calcul. L'énoncé impose un pas unique de 50 m ; nous avons refait le calcul avec cinq pas de 10 m, puis dix pas de 5 m, et constaté que le résultat converge vers 1,412 m. Le pas unique surestime donc la hauteur de 3,0 cm, soit 2,1 % — acceptable pour un avant-projet, insuffisant pour une étude d'inondabilité réglementaire, et surtout systématiquement du même signe : enchaîner des pas de 50 m sur un bief entier cumulerait les surestimations. Autre lecture du même écart : la hauteur de 1,442 m est en réalité atteinte à 68 m de la rupture, non à 50 m. Enfin, et c'est le point le plus utile en pratique, elle a établi la portée du phénomène. Les cinquante mètres demandés ne représentent que 7 % de la longueur du profil M2, qui s'étend sur environ 720 mètres pour revenir à 97,7 % de la hauteur normale. Une étude d'inondabilité qui modéliserait deux cents mètres de bief en amont de la rupture manquerait les trois quarts du phénomène. Nous signalons pour finir deux réserves. La longueur annoncée est conventionnelle : la courbe M2 tend asymptotiquement vers la hauteur normale sans jamais l'atteindre, et toute valeur doit préciser le seuil retenu. Et la vitesse de 6,38 m/s calculée sur le tronçon aval dépasse le seuil d'abrasion d'un béton ordinaire : ce point sort du cadre de l'exercice, mais il mérite d'être porté à la connaissance du maître d'ouvrage. Nous rappelons enfin que le fonds documentaire consulté ne contient aucune norme traitant des courbes de remous ni des méthodes de calcul de ligne d'eau — les Eurocodes ne couvrent pas l'hydraulique à surface libre. Les seules prescriptions mobilisables sont celles du Mémento technique ASTEE 2017 : le § IV.2.5 pour la fourchette du coefficient de débit (notre \( K = 71{,}43 \) est conforme) et le § IV.7, qui fonde le sens du calcul en énonçant que le régime fluvial est « piloté par l'aval ».

Hydraulique à Surface LibreÉtape 47 sur 60

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