Analyse de l'Essai Triaxial UU
Trois éprouvettes d'une même argile cisaillées sans consolidation ni drainage sous trois confinements différents : cercles de Mohr, enveloppe horizontale, et passage de la moyenne mesurée à la valeur caractéristique de calcul.
Contexte de l'Étude & Enjeux
Le Contexte : Une fouille doit être ouverte rapidement dans une argile saturée, et sa stabilité à court terme doit être vérifiée. Le laboratoire a taillé trois éprouvettes dans le même échantillon et les a cisaillées en cellule triaxiale sans consolidation préalable et sans drainage, sous trois pressions de confinement de 100, 200 et 300 kPa. Les déviateurs mesurés à la rupture valent respectivement 120, 124 et 118 kPa. On vous demande de construire les cercles de Mohr correspondants, d'en tirer l'enveloppe de rupture, et d'établir la valeur caractéristique de la résistance à transmettre au calcul de stabilité.
Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :
-
Pourquoi un essai sans drainage une fouille ouverte en quelques jours ne laisse pas le temps aux pressions interstitielles de se dissiper dans une argile. L'essai reproduit donc cette condition : ni consolidation, ni drainage. Il fournit la résistance mobilisable à court terme, celle qui gouverne la stabilité immédiate.
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Le fait central de l'essai le confinement triple d'une éprouvette à l'autre, et le déviateur à la rupture ne bouge pratiquement pas. Cette indépendance n'est pas une anomalie : c'est le comportement attendu d'un sol saturé cisaillé sans drainage, et elle a une explication physique précise.
-
Une résistance, pas deux paramètres l'enveloppe étant horizontale, le sol se décrit par une seule grandeur, la résistance non drainée, et non par un couple cohésion et angle de frottement. C'est une simplification considérable pour le calcul, à condition d'en respecter le domaine d'emploi.
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De la mesure à la valeur de calcul trois essais donnent trois valeurs. La norme ne demande ni la moyenne ni la plus faible, mais une estimation prudente de la grandeur qui gouverne l'état-limite considéré — et cette estimation n'est pas la même selon que la rupture mobilise un grand volume de sol ou une zone localisée.
Dépouiller l'essai de bout en bout : établir les contraintes principales et les cercles de Mohr, construire l'enveloppe de rupture et interpréter la pente obtenue, puis passer des trois mesures à la valeur caractéristique en distinguant les deux estimations prudentes que la norme prévoit.
- Le grand défi interpréter correctement une pente non nulle mais minuscule. La régression donnera un angle négatif, ce qu'aucun sol ne peut présenter physiquement. Conclure demande de comparer cet angle à la dispersion des mesures plutôt que de le prendre pour un résultat.
- Votre rôle construire les trois cercles, ajuster l'enveloppe, éprouver la signification de sa pente, puis calculer les deux valeurs caractéristiques prévues par la norme et indiquer laquelle retenir selon le mécanisme de rupture examiné.
- Les contraintes principales à la rupture des trois éprouvettes et les résistances non drainées individuelles, accompagnées d'un contrôle de la dispersion des mesures.
- Les centres et rayons des trois cercles de Mohr, avec la lecture qu'en permet leur disposition relative.
- La pente de l'enveloppe de rupture et l'angle apparent qui en découle, assortis d'une conclusion argumentée sur la signification de cette pente et sur la condition de saturation qu'elle atteste.
- Les deux valeurs caractéristiques prévues par la norme, estimation prudente de la valeur moyenne et fractile à cinq pour cent, avec l'indication du mécanisme de rupture auquel chacune correspond.
L'essai est conduit selon la NF EN ISO 17892-8, qui régit la compression triaxiale non consolidée non drainée sur sol saturé. La reconnaissance et l'exploitation des essais relèvent de la NF EN 1997-2. Le passage des valeurs mesurées à la valeur employée dans les calculs relève de la NF EN 1997-1, dont la clause 2.4.5.2 demande que la valeur caractéristique soit une estimation prudente de la valeur qui gouverne l'état-limite considéré. Son alinéa (11) précise que, si des méthodes statistiques sont employées, la probabilité qu'une valeur plus défavorable gouverne l'état-limite ne doit pas dépasser cinq pour cent ; la note associée distingue deux cas — une estimation prudente de la valeur moyenne, entendue comme la moyenne assortie d'un niveau de confiance de 95 %, et, lorsque la rupture est locale, une estimation prudente de la valeur basse, entendue comme le fractile à 5 %. Cette distinction est reprise telle quelle à la dernière question.
Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)
Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !
- Contrainte principale majeure à la rupture \( \sigma_{1r} = \sigma_{3} + (\sigma_{1}-\sigma_{3})_{r} \)
- Résistance non drainée d'un essai \( c_{u} = \dfrac{(\sigma_{1}-\sigma_{3})_{r}}{2} \)
- Centre du cercle de Mohr \( C = \dfrac{\sigma_{1r}+\sigma_{3r}}{2} \)
- Rayon du cercle de Mohr \( R = \dfrac{\sigma_{1r}-\sigma_{3r}}{2} \)
- Pente de l'enveloppe par moindres carrés \( a = \dfrac{\sum (C_{i}-\bar{C})(R_{i}-\bar{R})}{\sum (C_{i}-\bar{C})^{2}} \)
- Valeur caractéristique, forme normative \( X_{k} = X_{m}\,(1 - k_{n}\,V_{X}) \)
- Coefficient pour l'estimation prudente de la moyenne \( k_{n} = \dfrac{t_{0{,}95\,;\,n-1}}{\sqrt{n}} \)
- Coefficient pour le fractile à cinq pour cent \( k_{n} = t_{0{,}95\,;\,n-1}\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} \)
CONDITIONS D'ESSAI ET MESURES À LA RUPTURE
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( \sigma_{3} \) | Pressions de confinement imposées aux trois éprouvettes. Elles sont appliquées sans consolidation préalable : l'éprouvette n'a pas le temps d'évacuer d'eau avant le cisaillement NF EN ISO 17892-8 | 100 · 200 · 300 | kPa |
| \( (\sigma_{1}-\sigma_{3})_{r} \) | Déviateurs mesurés à la rupture sur les trois éprouvettes, dans l'ordre des confinements croissants NF EN ISO 17892-8 | 120 · 124 · 118 | kPa |
| \( S_{r} \) | Degré de saturation des éprouvettes. La saturation complète est la condition sans laquelle l'enveloppe cesse d'être horizontale : sur un sol partiellement saturé, l'air se comprime, la contrainte effective augmente avec le confinement et le déviateur croît avec lui NF EN ISO 17892-8 | 100 | % |
| \( n \) | Nombre d'éprouvettes essayées. Il intervient directement dans le coefficient statistique employé à la dernière question : avec trois essais, ce coefficient est nettement plus pénalisant qu'avec dix NF EN 1997-1 | 3 | sans |
- Argile de consistance ferme, prélevée en carottier à paroi mince, éprouvettes taillées dans le même échantillon : \( \text{argile saturee} \)
- Vitesse de cisaillement suffisamment rapide pour qu'aucune dissipation ne se produise pendant l'essai : \( \text{condition non drainee} \)
PARAMÈTRES STATISTIQUES DE LA VALEUR CARACTÉRISTIQUE
| Symbole | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| \( t_{0{,}95\,;\,n-1} \) | Coefficient de Student unilatéral à 95 % pour deux degrés de liberté, l'écart-type étant estimé sur l'échantillon et non connu a priori. Le nombre de degrés de liberté vaut le nombre d'essais diminué de un NF EN 1997-1 | 2,920 | sans |
| \( \alpha \) | Probabilité maximale qu'une valeur plus défavorable gouverne l'état-limite, fixée par la clause de la norme relative aux valeurs caractéristiques NF EN 1997-1 | 5 | % |
| \( \text{mecanisme} \) | Mécanisme de rupture examiné. Il commande le choix entre les deux estimations prudentes : une rupture mobilisant un grand volume de sol relève de la moyenne, une rupture locale du fractile bas. Cette donnée ne vient pas du laboratoire mais du calcul d'ouvrage NF EN 1997-1 | à préciser | — |
| \( \text{loi} \) | Loi de distribution supposée pour la population des résistances. La forme employée suppose une distribution normale, hypothèse usuelle mais non vérifiable sur trois valeurs | normale | — |
- Saturation complète, sans laquelle l'enveloppe cesse d'être horizontale et la lecture change de nature : \( S_{r} = 100 \text{ \%} \)
- Éprouvettes provenant du même horizon, condition pour que les trois valeurs décrivent une même population : \( \text{meme echantillon} \)
- Emploi limité aux vérifications à court terme, avant dissipation des pressions interstitielles : \( \text{stabilite immediate} \)
Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)
Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.
Coefficient de Student unilatéral à 95 % selon le nombre d'essais| Nombre d'essais | Coefficient et effet sur l'estimation prudente de la moyenne |
|---|---|
| 3 essais | \( t = 2{,}920 \) — coefficient effectif 1,686 |
| 5 essais | \( t = 2{,}132 \) — coefficient effectif 0,953 |
| 10 essais | \( t = 1{,}833 \) — coefficient effectif 0,580 |
| 20 essais | \( t = 1{,}729 \) — coefficient effectif 0,387 |
3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé
Le dépouillement va du plus factuel au plus engageant. Les deux premières questions ne font que reformuler les mesures : contraintes principales, puis cercles de Mohr. La troisième construit l'enveloppe et met à l'épreuve la pente obtenue. La quatrième transforme les mesures en une valeur de calcul, opération qui n'est plus du ressort du laboratoire seul mais qui dépend du mécanisme de rupture que l'ingénieur examine.
Question 1 : Contraintes principales à la rupture
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Le déviateur est l'écart entre les deux contraintes principales : la majeure s'obtient donc en l'ajoutant au confinement.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
En essai non drainé sur sol saturé, la résistance au cisaillement vaut la moitié du déviateur à la rupture.
Question 2 : Les trois cercles de Mohr
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Le centre est la demi-somme des contraintes principales, le rayon leur demi-différence.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Comparez les trois rayons entre eux avant de regarder les centres : c'est là que se lit le comportement.
Question 3 : L'enveloppe de rupture et l'angle nul
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
Avec trois cercles, aucune tangente ne passe exactement par les trois conditions : il faut ajuster.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Un angle de frottement négatif n'a aucun sens physique. Cherchez ce que la valeur obtenue mesure réellement.
Question 4 (Finale) : De la moyenne à la valeur de calcul
Besoin d'un indice ? (Niveau 1)
L'incertitude sur une moyenne décroît avec la racine du nombre d'essais ; l'incertitude sur une valeur individuelle, non.
Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)
Les deux coefficients ne diffèrent que par la façon dont l'écart-type est pondéré : divisé par la racine du nombre d'essais dans un cas, multiplié par un facteur légèrement supérieur à un dans l'autre.
Analyse de l'Essai Triaxial UU
"Le procès-verbal donne un confinement et un déviateur par éprouvette. Reconstituer l'état de contrainte à la rupture demande d'ajouter l'un à l'autre. Avant même de calculer, je remarque que le confinement triple alors que le déviateur ne bouge pas."
- Ce que je lis immédiatement les trois déviateurs, 120, 124 et 118 kPa, sont contenus dans une fourchette de 6 kPa alors que les confinements s'échelonnent sur 200 kPa. Cette indépendance est le fait central de l'essai.
- Ce que j'en attends si le déviateur ne dépend pas du confinement, les trois cercles auront le même rayon et l'enveloppe sera horizontale. Le sol se décrira alors par une seule grandeur au lieu de deux.
- Le contrôle que je prépare apprécier la dispersion des trois valeurs. Six kilopascals d'étendue sur une moyenne de 120 représentent 5 % : il faudra dire si c'est peu ou beaucoup avant d'interpréter quoi que ce soit.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Cet essai reproduit une situation précise : celle d'un sol chargé ou déchargé si rapidement que l'eau de ses pores n'a pas le temps de s'évacuer. L'éprouvette n'est ni consolidée avant le cisaillement, ni drainée pendant. Elle conserve donc son volume et sa teneur en eau du début à la fin.
Deux relations : la reconstitution de la contrainte principale majeure, puis la résistance non drainée qui s'en déduit.
Contrainte principale majeure à la rupture :elle reconstitue la contrainte axiale totale au moment de la rupture, à partir du confinement et du déviateur mesuré.
Parce que la machine d'essai mesure une force axiale supplémentaire, donc un déviateur, et non la contrainte axiale totale. Le confinement s'exerçant sur toutes les faces, la contrainte axiale totale est la somme des deux.
- \( \sigma_{1r} \) : contrainte principale majeure totale à la rupture, unité : kPa
- \( \sigma_{3} \) : pression de confinement imposée par la cellule, unité : kPa
- \( (\sigma_{1}-\sigma_{3})_{r} \) : déviateur mesuré à la rupture, unité : kPa
elle donne la contrainte de cisaillement maximale que l'éprouvette a pu mobiliser.
Parce que la contrainte de cisaillement maximale, dans un état de contrainte donné, vaut le rayon du cercle de Mohr, lui-même égal à la demi-différence des contraintes principales. Le déviateur étant cette différence, la résistance en est la moitié.
- \( c_{u} \) : résistance au cisaillement non drainée de l'éprouvette, unité : kPa
- \( (\sigma_{1}-\sigma_{3})_{r} \) : déviateur à la rupture de l'éprouvette, unité : kPa
"Le déviateur mesuré est le supplément de contrainte axiale. On le confond aisément avec la contrainte axiale totale, d'autant que la machine d'essai n'affiche que lui."
- Ce que donne l'erreur, chiffres à l'appui en prenant le déviateur pour la contrainte majeure, la troisième éprouvette donnerait \( \sigma_{1r} = 118 \) kPa pour un confinement de 300 kPa — soit une contrainte majeure inférieure à la mineure, situation impossible. Le cercle de Mohr aurait un rayon négatif.
- Le contrôle qui écarte l'erreur immédiatement la contrainte principale majeure doit toujours être supérieure ou égale à la mineure, donc le centre du cercle supérieur à son rayon. Ce contrôle est immédiat sur chacune des trois éprouvettes et détecte la confusion dès la première ligne.
- Pourquoi l'erreur passerait sur la première éprouvette avec un confinement de 100 kPa et un déviateur de 120 kPa, la confusion donnerait \( \sigma_{1r} = 120 \) kPa, valeur supérieure au confinement et donc d'apparence acceptable. Le contrôle ne révèle la faute qu'à partir de la deuxième éprouvette : il faut donc l'appliquer aux trois et non à la seule première.
Exécution de la Note de Calculs
- Les contraintes de confinement et les déviateurs s'expriment tous en kilopascals
- Leur somme reste en kilopascals, comme la contrainte principale majeure
- La résistance non drainée, demi-déviateur, est également en kilopascals
- Le facteur 2 du dénominateur est un nombre pur issu de la géométrie du cercle de Mohr
- Aucune conversion n'intervient dans cette question
On calcule les trois contraintes principales majeures, puis les trois résistances non drainées individuelles, et l'on apprécie enfin la dispersion des mesures.
1. Résolution Numérique Contraintes principales majeures des trois éprouvettesPourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elles complètent la description de l'état de contrainte à la rupture, nécessaire à la construction des cercles.
On ajoute à chaque pression de confinement le déviateur mesuré sur l'éprouvette correspondante.
- Appariement des données chaque déviateur doit être associé au confinement de sa propre éprouvette, dans l'ordre croissant des confinements.
- Contrôle prévu chaque contrainte majeure doit dépasser le confinement correspondant, ce qui est nécessairement le cas puisque le déviateur est positif.
Les trois contraintes majeures valent 220, 324 et 418 kPa. Elles croissent d'environ 100 kPa d'une éprouvette à l'autre, ce qui reflète presque exactement l'écart entre les confinements : le déviateur, lui, n'y contribue que marginalement.
- Ce que la progression révèle les écarts entre contraintes majeures valent 104 et 94 kPa, alors que les écarts entre confinements valent 100 et 100. La différence, quelques kilopascals, est exactement celle des déviateurs : le confinement gouverne, le déviateur suit sans varier.
- Contrôle satisfait chaque contrainte majeure dépasse bien son confinement, de 120, 124 et 118 kPa respectivement. Aucune confusion entre déviateur et contrainte majeure n'a été commise.
Remarque pédagogique : Reconstituer les contraintes principales avant de construire les cercles est plus qu'une formalité : c'est l'occasion de vérifier l'appariement des données. Une inversion entre deux éprouvettes ne se verrait pas sur les déviateurs seuls, très proches les uns des autres, mais fausserait les centres des cercles de plus de cent kilopascals.
Résistances non drainées individuellesPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la grandeur qui décrit le matériau dans ce cadre, et celle sur laquelle portera la valeur caractéristique.
On divise chaque déviateur à la rupture par deux.
- Substitution déviateurs de 120, 124 et 118 kPa.
- Cohérence attendue les trois résistances doivent être aussi peu dispersées que les déviateurs dont elles sont la moitié, puisque la division par deux ne modifie pas la dispersion relative.
Les trois résistances valent 60,0, 62,0 et 59,0 kPa. Elles ne s'ordonnent pas selon le confinement : la plus forte correspond au confinement intermédiaire et la plus faible au confinement le plus élevé. Cette absence d'ordre est un premier indice que la variation observée relève du hasard des mesures et non d'un effet du confinement.
- L'ordre des valeurs est instructif si le confinement influait sur la résistance, les trois valeurs se classeraient dans le même ordre que lui, croissant ou décroissant. Ce n'est pas le cas : l'ordre 60, 62, 59 ne suit ni l'un ni l'autre.
- Un ordre de grandeur cohérent une résistance non drainée de 60 kPa correspond à une argile ferme. Une argile molle donnerait 20 à 40 kPa, une argile raide plus de 100. La valeur est donc plausible pour le matériau décrit.
Remarque pédagogique : La division par deux paraît anodine, mais elle transforme un déviateur, grandeur de machine, en une résistance au cisaillement, grandeur de matériau. C'est cette dernière qui entrera dans les calculs de stabilité, et une omission du facteur deux doublerait la résistance retenue.
Dispersion des trois mesuresPourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il faut savoir si l'écart entre les trois valeurs est faible ou important avant d'interpréter quoi que ce soit de la pente de l'enveloppe.
On calcule l'étendue des trois résistances et on la rapporte à leur moyenne pour obtenir une dispersion relative.
- Valeurs extrêmes maximum 62,0 kPa et minimum 59,0 kPa, soit une étendue de 3,0 kPa.
- Moyenne provisoire \( (60{,}0 + 62{,}0 + 59{,}0)/3 = 60{,}3333 \) kPa, valeur reprise à la dernière question.
L'étendue relative vaut 4,97 %, ce qui est faible pour trois essais de laboratoire sur un sol naturel. Cette faible dispersion conforte l'homogénéité de l'échantillon et la qualité des essais, et elle servira de référence à la troisième question pour juger si la pente de l'enveloppe est significative.
- Ce que cette valeur permet d'anticiper avec 5 % de dispersion sur trois mesures qui ne s'ordonnent pas selon le confinement, il est déjà probable que la pente de l'enveloppe ne sera qu'un artefact. La troisième question le chiffrera.
- Ce que cette dispersion n'établit pas elle ne dit rien de la variabilité du terrain en place. Les trois éprouvettes proviennent du même échantillon : la dispersion mesurée est celle de l'essai et de l'hétérogénéité locale, non celle de la formation.
Remarque pédagogique : Distinguer la dispersion de l'essai de celle du terrain est essentiel pour la dernière question. La valeur caractéristique calculée sur trois éprouvettes d'un même échantillon décrit cet échantillon, non la couche entière. Étendre le résultat à l'ensemble du site demanderait des prélèvements en plusieurs points.
"Chaque état de rupture se représente par un cercle. Trois cercles de même taille glissés le long de l'axe donneraient immédiatement une tangente horizontale : je regarde d'abord les rayons, ensuite les centres."
- Ce que je construis le centre, demi-somme des contraintes principales, positionne le cercle sur l'axe. Le rayon, leur demi-différence, en fixe la taille. Ces deux grandeurs suffisent à décrire complètement l'état de rupture.
- L'ordre de lecture que je choisis les rayons d'abord. S'ils sont égaux, l'enveloppe est horizontale quelle que soit la position des centres, et le reste de l'analyse en découle.
- Le contrôle que je garde en tête le rayon vaut exactement la moitié du déviateur, donc la résistance non drainée déjà calculée. Les deux séries de valeurs doivent coïncider.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Le cercle de Mohr rassemble, pour un état de contrainte donné, tous les couples de contrainte normale et de contrainte de cisaillement que l'on rencontre en faisant tourner la facette d'étude. Sa position sur l'axe traduit le niveau de contrainte moyen, son rayon la sévérité du cisaillement.
Deux relations élémentaires, qui achèvent la description géométrique des trois états de rupture.
Centre du cercle de Mohr :il positionne le cercle sur l'axe des contraintes normales.
Parce que le cercle est construit sur le segment joignant les deux contraintes principales, dont il constitue le diamètre. Le centre est donc le milieu de ce segment, soit la demi-somme des deux extrémités.
- \( C \) : abscisse du centre du cercle de Mohr, unité : kPa
- \( \sigma_{1r}\,,\;\sigma_{3r} \) : contraintes principales majeure et mineure à la rupture, unité : kPa
il donne la contrainte de cisaillement maximale mobilisée par l'éprouvette.
Parce que le cercle a pour diamètre l'écart entre les deux contraintes principales. Son rayon en est la moitié, et il représente géométriquement la plus grande ordonnée du cercle, donc le cisaillement maximal.
- \( R \) : rayon du cercle de Mohr, égal à la contrainte de cisaillement maximale, unité : kPa
- \( \sigma_{1r} - \sigma_{3r} \) : déviateur à la rupture, unité : kPa
"Les trois cercles ont des centres très différents, de 160 à 359 kPa. On en déduit que les trois éprouvettes ont été sollicitées très différemment, et qu'elles devraient donc présenter des résistances différentes."
- Pourquoi les contraintes effectives sont identiques l'éprouvette n'étant ni consolidée ni drainée, augmenter la pression de cellule de 100 kPa augmente la pression de l'eau de 100 kPa également. La contrainte effective, différence des deux, ne change pas d'une éprouvette à l'autre. Le squelette granulaire est donc dans le même état dans les trois cas.
- Ce que l'on conclurait à tort en attribuant l'écart de 3 kPa entre les rayons à l'effet du confinement, on obtiendrait une résistance croissant de 60 kPa sous 100 kPa de confinement à un peu moins de 59 kPa sous 300 kPa — soit une résistance décroissante, physiquement impossible pour un sol. Le simple signe de l'effet suffit à rejeter l'interprétation.
- Ce que les centres servent malgré tout à établir ils ne renseignent pas sur la résistance mais permettent de tracer l'enveloppe et d'en ajuster la pente, ce qui constitue précisément le test de la condition de saturation mené à la question suivante. Ils ne sont donc pas inutiles : ils servent à vérifier une hypothèse, non à quantifier une résistance.
Exécution de la Note de Calculs
- Les contraintes principales, les centres et les rayons s'expriment tous en kilopascals
- Les demi-sommes et demi-différences conservent cette unité
- Le facteur 2 des deux dénominateurs est un nombre pur
- Le rayon doit être numériquement égal à la résistance non drainée établie précédemment
- Aucune conversion n'intervient dans cette question
On calcule les trois centres, puis les trois rayons, et l'on vérifie la cohérence de ces derniers avec les résistances déjà établies.
1. Résolution Numérique Centres des trois cerclesPourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'ils positionnent les cercles sur l'axe et serviront d'abscisses à l'ajustement de l'enveloppe.
On calcule la demi-somme des deux contraintes principales de chaque éprouvette.
- Substitution les couples (100 ; 220), (200 ; 324) et (300 ; 418) kPa.
- Contrôle prévu chaque centre doit être supérieur au rayon correspondant, faute de quoi le cercle empiéterait sur les contraintes négatives.
Les trois centres valent 160,0, 262,0 et 359,0 kPa, séparés d'environ cent kilopascals. Ils s'échelonnent donc largement, ce qui donnera à l'ajustement de l'enveloppe une base d'abscisses étendue et rendra la pente d'autant mieux déterminée.
- Contrôle satisfait chaque centre dépasse largement le rayon correspondant, de 100, 200 et 300 kPa respectivement — soit exactement la contrainte de confinement, ce qui est la propriété générale d'un cercle triaxial.
- Une étendue favorable à l'ajustement 199 kPa séparent le premier centre du dernier. Une pente ajustée sur une base aussi large est bien mieux déterminée que sur des centres rapprochés, ce dont la question suivante tirera parti.
Remarque pédagogique : Le centre d'un cercle triaxial vaut toujours le confinement augmenté du rayon, ce qui se vérifie ici sur les trois. Cette identité fournit un contrôle immédiat et évite d'avoir à reformer la demi-somme lorsque le déviateur est déjà connu.
Rayons des trois cerclesPourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'ils portent toute l'information sur la résistance, et que leur comparaison décide de la forme de l'enveloppe.
On calcule la demi-différence des deux contraintes principales de chaque éprouvette.
- Substitution les mêmes trois couples de contraintes principales.
- Contrôle croisé les rayons obtenus doivent coïncider avec les résistances non drainées déjà calculées, puisque les deux grandeurs valent le demi-déviateur.
Les trois rayons valent 60,0, 62,0 et 59,0 kPa et coïncident exactement avec les résistances non drainées établies à la question précédente. Ils sont pratiquement égaux malgré des centres séparés de deux cents kilopascals : les trois cercles ont la même taille et ne diffèrent que par leur position.
- Le contrôle croisé est satisfait rayons et résistances non drainées coïncident aux trois éprouvettes. Aucune erreur d'appariement ni de facteur deux n'a été commise dans les deux questions.
- Ce que la disposition annonce des cercles de même taille glissés le long de l'axe admettent une tangente commune horizontale. L'enveloppe sera donc pratiquement plate, et l'angle de frottement apparent voisin de zéro — ce que la question suivante quantifie.
Remarque pédagogique : Que le rayon et la résistance non drainée soient la même grandeur n'est pas une coïncidence de notation : c'est la définition même de cette résistance comme contrainte de cisaillement maximale. Les calculer deux fois par des chemins différents constitue néanmoins un contrôle utile, car il détecte une erreur d'appariement entre confinements et déviateurs.
"Trois cercles ne se laissent pas ajuster exactement par une droite : il faut donc une régression. Elle va me donner une pente, et cette pente sera presque nulle. Toute la difficulté est de dire ce que « presque » veut dire."
- La méthode que je retiens porter les rayons en fonction des centres et ajuster une droite par moindres carrés. La pente obtenue est le sinus de l'angle de frottement apparent, à ceci près qu'aux très petits angles sinus et tangente se confondent.
- Ce que je sais déjà du résultat les rayons ne s'ordonnent pas selon les centres : le plus grand correspond au centre intermédiaire. La pente sera donc faible et son signe imprévisible.
- Le raisonnement que je devrai conduire un angle de frottement négatif est physiquement impossible : cela signifierait qu'un sol résiste d'autant moins qu'on le serre. Obtenir un tel résultat signale que la pente mesurée n'est pas un frottement.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Un sol saturé cisaillé sans drainage présente une enveloppe de rupture horizontale en contraintes totales. Ce résultat, qui peut surprendre puisque aucun sol n'est dépourvu de frottement, s'explique entièrement par le fait que le frottement s'exerce sur des contraintes effectives, lesquelles ne varient pas d'une éprouvette à l'autre dans cet essai.
Deux relations : l'ajustement de la pente par moindres carrés, puis l'angle apparent qu'elle représente.
Pente de l'enveloppe par moindres carrés :elle ajuste au mieux la droite reliant les rayons des cercles à leurs centres.
Parce que trois cercles ne peuvent pas être exactement tangents à une même droite en général. La méthode des moindres carrés fournit la droite qui minimise la somme des écarts au carré, seul critère qui donne une solution unique et indépendante de l'ordre des points.
- \( a \) : pente de la droite ajustée dans le plan des centres et des rayons, unité : sans
- \( C_{i}\,,\;R_{i} \) : centre et rayon du cercle de rang i, unité : kPa
- \( \bar{C}\,,\;\bar{R} \) : moyennes des centres et des rayons, unité : kPa
elle traduit la pente ajustée en un angle, grandeur directement comparable à l'expérience.
Parce qu'une pente sans dimension n'évoque rien, alors qu'un angle se compare immédiatement aux valeurs connues. La conversion permet en outre de constater qu'un angle négatif serait dépourvu de sens physique.
- \( \varphi_{app} \) : angle de frottement apparent en contraintes totales, unité : degrés
- \( a \) : pente ajustée de l'enveloppe, unité : sans
"La régression donne une pente de −0,004814, donc un angle de −0,276°. Le calcul est exact et le résultat s'écrit sans difficulté : il ne reste qu'à le reporter au procès-verbal."
- Ce que la pente produit sur la plage explorée, chiffres à l'appui sur les 199 kPa qui séparent le premier centre du dernier, une pente de −0,004814 fait varier le rayon de \( 199 \times 0{,}004814 = 0{,}958 \) kPa. Or la dispersion des trois rayons atteint 3,0 kPa d'étendue. L'effet attribué à la pente est donc trois fois plus petit que le bruit des mesures : il ne peut pas en être distingué.
- La démonstration par le signe le signe négatif tranche à lui seul. Une résistance décroissante avec le confinement contredirait le comportement de tout matériau frottant. Puisque le résultat est physiquement impossible et néanmoins issu d'un calcul exact, c'est que la grandeur calculée n'est pas celle qu'on croit : ce n'est pas un frottement, c'est le bruit de trois mesures presque identiques.
- Ce que la pente établit réellement, et qui est précieux elle constitue le test de la condition de saturation. Sur un sol partiellement saturé, l'air se comprimerait sous le confinement croissant, la contrainte effective augmenterait et la pente serait nettement positive. Une pente indiscernable de zéro atteste donc la saturation complète et valide l'interprétation en résistance non drainée unique. La bonne conclusion n'est pas « l'angle vaut −0,276° » mais « l'enveloppe est horizontale, ce qui confirme la saturation ».
Exécution de la Note de Calculs
- Les centres et les rayons s'expriment en kilopascals
- Les écarts à la moyenne restent en kilopascals
- Le numérateur de la pente est en kilopascals au carré, le dénominateur également
- La pente est donc sans dimension, comme il se doit pour un sinus
- L'angle s'obtient en radians et se convertit en degrés
On calcule d'abord les moyennes des centres et des rayons, puis les deux sommes de la régression, la pente qui en résulte, et enfin l'angle apparent.
1. Résolution Numérique Moyennes des centres et des rayonsPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que la régression se construit sur les écarts à ces deux moyennes, qu'il faut donc établir en premier.
On calcule la moyenne arithmétique des trois centres, puis celle des trois rayons.
- Centres 160,0, 262,0 et 359,0 kPa.
- Rayons 60,0, 62,0 et 59,0 kPa.
Le centre moyen vaut 260,3333 kPa et le rayon moyen 60,3333 kPa. La droite ajustée passera nécessairement par ce point, propriété générale de la régression par moindres carrés qui fournit un contrôle graphique immédiat.
- Une propriété utile de la régression la droite des moindres carrés passe toujours par le point moyen du nuage. Tracer ce point avant d'ajuster permet de vérifier visuellement la cohérence de la droite obtenue.
- Le rayon moyen sera réutilisé 60,3333 kPa est aussi la moyenne des trois résistances non drainées, puisque rayon et résistance sont la même grandeur. Cette valeur sert de point de départ à la dernière question.
Remarque pédagogique : Quatre décimales sont conservées sur des moyennes de nombres entiers ou à une décimale. Ce n'est pas de la précision affichée pour elle-même : les écarts à la moyenne qui suivent sont de l'ordre de l'unité, et un arrondi prématuré les fausserait sensiblement.
Pente de l'enveloppe ajustéePourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'elle mesure la dépendance apparente de la résistance au niveau de contrainte, et constitue le test de la condition de saturation.
On forme les écarts à la moyenne pour chaque cercle, on calcule la somme des produits croisés au numérateur et la somme des carrés des écarts en centre au dénominateur, puis on divise.
- Écarts en centre −100,3333 ; +1,6667 ; +98,6667 kPa. Le premier et le troisième sont grands, le deuxième pratiquement nul.
- Écarts en rayon −0,3333 ; +1,6667 ; −1,3333 kPa. Ils sont petits et ne suivent pas l'ordre des centres.
La pente vaut −0,004814. Le numérateur est dominé par le troisième terme, −131,5556, produit du plus grand écart en centre par un écart en rayon négatif : c'est la seule éprouvette dont le rayon est nettement inférieur à la moyenne alors que son centre est le plus élevé. Un écart de 1,3 kPa sur une mesure suffit donc à donner à la pente son signe.
- La fragilité du résultat si la troisième éprouvette avait donné 60,0 kPa au lieu de 59,0, la moyenne des rayons passerait à 60,6667 kPa, le numérateur deviendrait +3,3333 et la pente serait positive, à +0,00017. Un kilopascal de différence sur une seule mesure inverse donc le signe du résultat.
- Un dénominateur confortable 19 804,67 kPa² traduit l'étendue des centres, laquelle est grande. Ce n'est donc pas la géométrie de la campagne qui fragilise la pente, mais bien la petitesse des écarts en rayon.
Remarque pédagogique : La démonstration de fragilité par substitution d'une valeur est plus convaincante qu'un raisonnement général : elle montre que le résultat tient à une seule mesure et à un seul kilopascal. C'est un contrôle qui ne coûte qu'un recalcul et qui dit immédiatement si une conclusion mérite d'être défendue.
Angle apparent et conclusion sur la saturationPourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il faut traduire la pente en une grandeur interprétable, puis dire ce que le résultat établit réellement.
On prend l'arc tangente de la pente, on convertit en degrés, et l'on compare l'effet de cette pente sur la plage explorée à la dispersion des mesures.
- Substitution \( a = -0{,}004814 \).
- Comparaison à conduire effet de la pente sur les 199 kPa d'étendue des centres, à confronter aux 3,0 kPa d'étendue des rayons.
L'angle apparent vaut −0,276°, valeur négative et donc physiquement impossible pour un frottement. Sur les 199 kPa d'étendue des centres, cette pente ne fait varier le rayon que de 0,958 kPa, à comparer aux 3,0 kPa d'étendue effectivement mesurée. L'effet est trois fois plus petit que le bruit : la pente n'est pas distinguable de zéro.
- La conclusion correcte l'enveloppe est horizontale, l'angle de frottement apparent est nul, et le matériau se décrit par une seule résistance non drainée. C'est ce constat, et non la valeur de −0,276°, qui doit figurer au procès-verbal.
- Ce que ce résultat atteste par ailleurs la condition de saturation complète des éprouvettes. Une saturation incomplète aurait produit une pente nettement positive, l'air comprimé sous confinement croissant augmentant la contrainte effective. La platitude mesurée valide donc l'interprétation en résistance non drainée unique.
- Ce que ce résultat ne dit pas il ne dit rien de l'angle de frottement effectif du matériau, qui existe et se situerait probablement entre 20 et 30° pour une argile de ce type. Cet angle ne se mesure que par un essai avec mesure de pression interstitielle ou avec drainage.
Remarque pédagogique : Cette question illustre une situation fréquente : un calcul exact conduisant à une valeur qu'il faut refuser d'interpréter comme telle. Le discernement ne porte pas sur l'arithmétique, qui est juste, mais sur la question de savoir ce que la grandeur calculée mesure réellement. Aucun contrôle automatique ne peut se substituer à ce jugement.
"Trois essais, trois valeurs, et une seule à transmettre au calcul de stabilité. Ce n'est ni la moyenne, qui serait imprudente, ni la plus faible, qui serait arbitraire. La norme demande une estimation prudente — et elle en distingue deux, selon ce que la rupture mobilise."
- Ce que la norme demande exactement que la probabilité qu'une valeur plus défavorable gouverne l'état-limite ne dépasse pas cinq pour cent. Elle précise ensuite deux lectures : la moyenne assortie d'un niveau de confiance de 95 %, ou le fractile à 5 % lorsque la rupture est locale.
- Pourquoi deux valeurs et non une une rupture qui mobilise un grand volume de sol moyenne les hétérogénéités : c'est la valeur moyenne qui la gouverne, et c'est sur elle que porte l'incertitude. Une rupture localisée, au contraire, se déclenche là où le sol est le plus faible : c'est une valeur basse individuelle qui compte.
- Le poids du nombre d'essais avec trois éprouvettes, le coefficient de Student vaut 2,920 contre 1,833 pour dix. La pénalité statistique d'une campagne réduite est considérable, et elle se paie directement en résistance de calcul.
Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)
Une campagne d'essais fournit des valeurs dispersées ; un calcul en demande une seule. La norme ne prescrit pas de formule mais une exigence : la valeur retenue doit être une estimation prudente de la grandeur qui gouverne l'état-limite considéré. Traduire cette exigence demande de savoir quelle grandeur gouverne, et ce n'est pas toujours la même.
Trois relations : la forme générale de la valeur caractéristique, puis les deux coefficients correspondant aux deux estimations prudentes.
Forme générale de la valeur caractéristique :elle exprime la valeur caractéristique comme la moyenne mesurée réduite d'une fraction dépendant de la dispersion.
Parce que la pénalité à appliquer doit croître avec la dispersion des mesures et décroître avec leur nombre. Rapporter cette pénalité au coefficient de variation plutôt qu'à l'écart-type absolu rend la formule indépendante de l'unité et de l'ordre de grandeur de la grandeur mesurée.
- \( X_{k} \) : valeur caractéristique de la grandeur, unité : kPa
- \( X_{m} \) : moyenne arithmétique des valeurs mesurées, unité : kPa
- \( V_{X} \) : coefficient de variation, écart-type rapporté à la moyenne, unité : sans
- \( k_{n} \) : coefficient statistique dépendant du nombre d'essais et du cas considéré, unité : sans
il donne le coefficient à employer lorsque la rupture mobilise un grand volume de sol.
Parce que l'incertitude porte alors sur l'estimation de la moyenne de la population, et non sur une valeur individuelle. Or l'incertitude sur une moyenne décroît comme la racine du nombre d'essais, d'où la division par cette racine.
- \( t_{0{,}95\,;\,n-1} \) : coefficient de Student unilatéral à 95 %, pour n moins un degrés de liberté, unité : sans
- \( n \) : nombre d'essais réalisés, unité : sans
il donne le coefficient à employer lorsque la rupture est locale.
Parce que l'incertitude porte alors sur une valeur individuelle et non sur une moyenne. Elle combine la dispersion naturelle de la population et l'incertitude sur la position de sa moyenne, d'où un facteur supérieur à un au lieu d'une division par la racine du nombre d'essais.
- \( \sqrt{1 + 1/n} \) : facteur traduisant l'incertitude combinée sur la valeur individuelle et sur la moyenne, unité : sans
"Trois essais donnent 60, 62 et 59 kPa. La moyenne, 60,33 kPa, résume l'information disponible et paraît la valeur naturelle à transmettre au calcul de stabilité."
- Ce que la moyenne coûte, chiffres à l'appui l'estimation prudente de la moyenne vaut 57,76 kPa, soit 4,27 % de moins que la moyenne mesurée. Le fractile à cinq pour cent vaut 55,18 kPa, soit 8,54 % de moins. Retenir la moyenne surestimerait donc la résistance de calcul de 4,3 % à 9,3 % selon le mécanisme, et sans qu'aucun coefficient partiel ne rattrape cet écart puisqu'il porte sur la valeur caractéristique elle-même.
- Pourquoi le fractile est exactement deux fois plus pénalisant ici le rapport des deux coefficients vaut \( \sqrt{n}\sqrt{1+1/n} = \sqrt{n+1} \), soit exactement 2 pour trois essais. Ce n'est pas une coïncidence numérique mais une propriété de la formule, et elle rappelle que le choix entre les deux estimations n'est pas un détail : il double ou divise par deux la pénalité appliquée.
- L'erreur symétrique, tout aussi coûteuse retenir systématiquement le fractile bas par prudence serait tout aussi fautif dans l'autre sens. Sur une stabilité générale de talus, mécanisme qui mobilise un grand volume, il pénaliserait le projet de 8,5 % sans aucun fondement : la rupture y est gouvernée par la moyenne, que la norme désigne explicitement dans ce cas. La prudence n'est pas de prendre toujours la plus faible valeur, elle est de prendre celle qui correspond au mécanisme.
Exécution de la Note de Calculs
- Les résistances, la moyenne et l'écart-type s'expriment en kilopascals
- Le coefficient de variation, rapport de deux grandeurs de même unité, est sans dimension
- Les coefficients de Student et les coefficients statistiques sont sans dimension
- Le produit du coefficient par le coefficient de variation est sans dimension, comme il se doit dans la parenthèse
- La valeur caractéristique conserve l'unité de la moyenne, donc le kilopascal
On calcule d'abord la moyenne, l'écart-type et le coefficient de variation, puis les deux valeurs caractéristiques, et l'on conclut sur leur usage respectif.
1. Résolution Numérique Moyenne, écart-type et coefficient de variationPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les deux valeurs caractéristiques se construisent sur ces trois grandeurs, qu'il faut donc établir avec soin.
On calcule la moyenne arithmétique, puis la somme des carrés des écarts à cette moyenne, que l'on divise par le nombre d'essais diminué de un avant d'en prendre la racine, et enfin le rapport de l'écart-type à la moyenne.
- Valeurs 60,0, 62,0 et 59,0 kPa, résistances non drainées des trois éprouvettes.
- Diviseur de la variance \( n - 1 = 2 \) et non \( n \), la moyenne étant elle-même estimée sur l'échantillon. Employer \( n \) sous-estimerait la dispersion de 18 % sur trois valeurs.
La moyenne vaut 60,3333 kPa, l'écart-type 1,5275 kPa et le coefficient de variation 2,53 %. Cette dispersion est très faible : les coefficients de variation observés sur des résistances non drainées d'un même horizon dépassent couramment 10 à 20 %. La valeur obtenue reflète le fait que les trois éprouvettes proviennent du même échantillon.
- Une dispersion qui ne décrit pas le terrain 2,53 % mesure la répétabilité de l'essai sur un échantillon unique, non la variabilité de la couche. Employer ce coefficient pour une couche entière sous-estimerait fortement la dispersion réelle et conduirait à une valeur caractéristique trop favorable.
- Cohérence avec l'étendue relative l'étendue relative établie à la première question valait 4,97 %. Pour trois valeurs issues d'une loi normale, le rapport de l'étendue à l'écart-type vaut environ 1,7 en moyenne, ce qui donnerait ici 2,6 kPa contre 3,0 mesuré : les deux indicateurs de dispersion sont cohérents entre eux.
Remarque pédagogique : Le choix du diviseur de la variance n'est pas anodin sur trois valeurs. Avec \( n \) au lieu de \( n-1 \), l'écart-type tomberait à 1,2472 kPa et la valeur caractéristique de la moyenne remonterait à 58,23 kPa, soit un gain artificiel de 0,47 kPa. Le diviseur correct est celui qui corrige le biais introduit par l'estimation de la moyenne sur le même échantillon.
Estimation prudente de la valeur moyennePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la valeur caractéristique à retenir lorsque le mécanisme de rupture mobilise un grand volume de sol.
On calcule le coefficient statistique en divisant le coefficient de Student par la racine du nombre d'essais, puis on applique la forme générale de la valeur caractéristique.
- Coefficient de Student \( t_{0{,}95\,;\,2} = 2{,}920 \), pour trois essais et donc deux degrés de liberté.
- Coefficient statistique \( k_{n} = 2{,}920/\sqrt{3} = 1{,}68586 \).
L'estimation prudente de la valeur moyenne vaut 57,76 kPa, soit 2,575 kPa sous la moyenne mesurée. La pénalité représente 4,27 % de la moyenne, ce qui est modéré et tient à la très faible dispersion des trois essais : avec un coefficient de variation de 10 %, la pénalité aurait atteint 16,9 %.
- Le déviateur caractéristique associé \( 2 \times 57{,}7581 = 115{,}5 \) kPa. Cette valeur est celle qu'un calcul exprimé en déviateur emploierait directement, et elle se déduit de la résistance caractéristique par le même facteur deux qu'à la première question.
- L'effet du faible nombre d'essais avec dix éprouvettes de même dispersion, le coefficient statistique tomberait à 0,580 et la valeur caractéristique remonterait à 59,45 kPa. Les sept essais supplémentaires vaudraient donc 1,7 kPa de résistance de calcul, soit près de 3 %.
Remarque pédagogique : Il est instructif de vérifier que la forme employée redonne bien l'expression usuelle : \( X_{m}(1 - k_{n}V_{X}) = X_{m} - t\,s/\sqrt{n} \), soit \( 60{,}3333 - 2{,}920 \times 1{,}5275/\sqrt{3} = 57{,}7581 \) kPa. Les deux écritures sont identiques, la première présentant l'avantage d'être indépendante de l'unité de la grandeur.
Fractile à cinq pour centPourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la valeur caractéristique à retenir lorsque la rupture peut se déclencher localement, sans compensation par les zones voisines.
On calcule le coefficient statistique correspondant au fractile, puis on applique la même forme générale.
- Coefficient statistique \( k_{n} = 2{,}920 \times \sqrt{1 + 1/3} = 2{,}920 \times 1{,}154701 = 3{,}37173 \).
- Rapport aux deux coefficients \( 3{,}37173/1{,}68586 = 2{,}0000 \), soit exactement \( \sqrt{n+1} \) pour trois essais.
Le fractile à cinq pour cent vaut 55,18 kPa, soit 5,150 kPa sous la moyenne mesurée et 2,575 kPa sous l'estimation prudente de la moyenne. La pénalité atteint 8,54 % de la moyenne, exactement le double de la précédente, conformément au rapport de deux entre les deux coefficients.
- Pourquoi le rapport vaut exactement deux le rapport des deux coefficients vaut \( \sqrt{n}\sqrt{1+1/n} = \sqrt{n+1} \), soit \( \sqrt{4} = 2 \) pour trois essais. Cette égalité est propre à \( n = 3 \) : pour dix essais, le rapport vaudrait \( \sqrt{11} = 3{,}32 \), et l'écart entre les deux valeurs caractéristiques serait bien plus marqué.
- L'écart croît avec le nombre d'essais augmenter le nombre d'essais rapproche fortement l'estimation de la moyenne de la moyenne elle-même, mais ne rapproche pas le fractile bas dans la même proportion, celui-ci restant borné par la dispersion naturelle de la population. Multiplier les essais profite donc surtout aux mécanismes à grand volume.
Remarque pédagogique : Le fractile à cinq pour cent tend, pour un très grand nombre d'essais, vers la moyenne diminuée de 1,645 écart-type, valeur du fractile de la loi normale. Le facteur \( \sqrt{1+1/n} \) et le coefficient de Student traduisent le supplément de pénalité dû au fait que la moyenne et l'écart-type sont estimés sur un échantillon limité.
Choix de la valeur à transmettrePourquoi fait-on ce calcul ? Parce que les deux valeurs sont valides et que retenir la mauvaise fausse le dimensionnement dans un sens ou dans l'autre.
On compare les deux valeurs, on rappelle le critère de choix, et l'on formule le résultat sous une forme exploitable par l'ingénieur d'étude.
- Critère de choix l'étendue du volume de sol mobilisé par le mécanisme de rupture examiné, information que le laboratoire ne détient pas.
- Forme du résultat les deux valeurs, chacune assortie de son usage, plutôt qu'une valeur unique dont le lecteur ignorerait la portée.
Les trois valeurs s'échelonnent de 55,18 à 60,33 kPa, soit une étendue de 5,15 kPa représentant 8,5 % de la moyenne. Pour la vérification de stabilité d'une fouille, mécanisme qui mobilise un volume de sol étendu le long d'une surface de glissement, c'est l'estimation prudente de la valeur moyenne, 57,76 kPa, qui doit être retenue.
- Justification du choix pour ce cas une rupture de talus de fouille se développe le long d'une surface qui traverse plusieurs mètres de terrain. Les hétérogénéités locales s'y compensent, et c'est bien la valeur moyenne de la couche qui gouverne l'équilibre. Le fractile bas serait ici injustifiablement pénalisant.
- Le cas où le choix inverse s'imposerait pour la vérification du frottement d'un pieu isolé sur une faible hauteur, ou de l'ancrage d'un tirant, la rupture se localise et aucune compensation n'intervient. Le fractile à cinq pour cent, 55,18 kPa, serait alors la valeur pertinente.
- Ce que le procès-verbal doit porter « résistance non drainée : moyenne 60,3 kPa sur trois essais, écart-type 1,53 kPa ; estimation prudente de la valeur moyenne 57,8 kPa ; fractile à 5 % 55,2 kPa ; valeurs établies sur un seul échantillon, non représentatives de la variabilité de la couche ». Cette rédaction laisse à l'ingénieur d'étude le choix qui lui revient, tout en signalant la limite de la campagne.
Remarque pédagogique : La limite la plus sérieuse de ce dépouillement n'est pas statistique mais physique : trois éprouvettes d'un même échantillon ne décrivent pas une couche. Le coefficient de variation de 2,53 % mesure la répétabilité de l'essai, non l'hétérogénéité du terrain, laquelle atteint couramment 15 à 25 % sur une argile naturelle. Une valeur caractéristique de couche exigerait des prélèvements en plusieurs points, et la pénalité statistique y serait bien supérieure.
BILAN FINAL DE LA MISSION
Checklist d'Auto-Évaluation
Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :
Les trois éprouvettes donnent des contraintes majeures de 220, 324 et 418 kPa pour des résistances non drainées de 60,0, 62,0 et 59,0 kPa. Les trois cercles de Mohr, de rayons pratiquement identiques mais de centres séparés de deux cents kilopascals, admettent une tangente commune horizontale : la pente ajustée, −0,004814, ne fait varier le rayon que de 0,958 kPa sur la plage explorée, contre 3,0 kPa de dispersion mesurée. Elle n'est donc pas distinguable de zéro, et son signe négatif, physiquement impossible, confirme qu'elle ne mesure pas un frottement. Ce résultat atteste en revanche la saturation complète des éprouvettes et valide l'interprétation en résistance non drainée unique. La moyenne s'établit à 60,33 kPa avec un écart-type de 1,53 kPa. Les deux valeurs caractéristiques prévues par la norme valent 57,76 kPa pour une rupture mobilisant un grand volume de sol et 55,18 kPa pour une rupture locale, soit une pénalité de 4,27 % et 8,54 % respectivement.
Deux décisions font la qualité de ce dépouillement, et aucune ne relève du calcul. La première est d'avoir refusé d'interpréter la pente ajustée comme un angle de frottement. Le calcul était exact, la valeur s'écrivait sans difficulté, et elle décrivait pourtant un sol dont la résistance diminuerait quand on le serre. Comparer son effet, 0,958 kPa, à la dispersion des mesures, 3,0 kPa, transforme un résultat aberrant en une information utile : l'enveloppe est plate, donc les éprouvettes étaient saturées. La seconde est d'avoir fourni les deux valeurs caractéristiques au lieu d'une. La norme n'en prescrit pas une seule : elle demande une estimation prudente de ce qui gouverne l'état-limite, et cette grandeur diffère selon que la rupture s'étend ou se localise. Choisir à la place de l'ingénieur d'étude, qui seul connaît le mécanisme, reviendrait à pénaliser le projet de 8,5 % sans raison ou à le sous-dimensionner d'autant. Le laboratoire livre les deux et dit à quoi chacune sert.
