Exercice corrigé

Analyse de la Demande de Transport

GCÉquipe EtudiantGénieCivil•Mis à jour le 25 mars 2026• 95 min de lecture

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Étude de cas · Note de calculs Réf. TRA-DEM-03

Analyse de la Demande de Transport

Relation domicile-travail A vers B — temps généralisés, calage d'un modèle Logit et report modal

NiveauBUT Génie Civil · Licence professionnelle Transports et Mobilité

DomaineIngénierie des transports

ThèmePrévision de la demande et choix modal dans un projet de transport collectif

PrérequisNotion de pourcentage et de part de marché · fonction exponentielle et logarithme népérien · lecture d'une chaîne de déplacement · valeur du temps · modèle à quatre étapes

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Une métropole envisage de créer une ligne de tramway entre une zone résidentielle et une zone d'emplois séparées d'une dizaine de kilomètres. La relation supporte déjà 10 000 déplacements par jour le matin, assurés à 82 % par la voiture et à 18 % par une ligne de bus. Avant d'engager plusieurs centaines de millions d'euros, l'autorité organisatrice doit répondre à une question précise : combien d'automobilistes le tramway convaincra-t-il ? Toute la difficulté tient à ce que la réponse ne se lit pas dans les temps de parcours affichés, mais dans ce que les usagers perçoivent réellement de chaque mode.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Le projet : Une ligne de tramway en site propre, plus rapide que le bus en véhicule et deux fois plus fréquente. Sur le papier, elle bat même la voiture : 25 minutes contre 30.
La subtilité : Un déplacement ne se réduit pas au temps passé dans le véhicule. Il faut y ajouter la marche, l'attente et, pour la voiture, la recherche d'une place. Ces temps-là sont ressentis bien plus durement que le temps assis dans une rame.
L'objectif final : Prévoir la part de marché du tramway, le nombre de voitures réellement retirées de la route et les recettes attendues. Surestimer le report modal, c'est surdimensionner la ligne et fausser le bilan socio-économique du projet.
L'astuce de l'ingénieur : Un modèle de choix modal ne se construit jamais dans le vide : on le cale d'abord sur une situation observée. La ligne de bus existante est ici le point d'ancrage qui rend la prévision crédible.

Votre Mission :

Vous êtes chargé d'étude en modélisation de la demande. Votre mission est d'établir la prévision de fréquentation de la future ligne : reconstituer les temps généralisés des trois modes, caler le modèle de choix modal sur la part de marché observée du bus, en déduire la part de marché du tramway, puis chiffrer le report depuis la voiture et les recettes de billetterie.

Le grand défi : Comprendre pourquoi un mode plus rapide et moins cher que la voiture ne capte pourtant pas la majorité du marché — et le démontrer par le calcul, pas par l'intuition.
Votre rôle : Mener la chaîne complète : temps généralisés, vérification de la valeur du temps implicite, calage de la constante modale, application du modèle Logit, puis traduction en voyageurs, en voitures retirées et en euros.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Les temps généralisés des trois modes, la vérification de la valeur du temps implicite des coefficients du modèle, et la constante modale calée sur la part de marché observée du bus — c'est elle qui rend la prévision crédible.
La part de marché du tramway, le nombre de déplacements retirés à la voiture, et les recettes de billetterie journalières puis annualisées, en distinguant clairement ce qui relève du report modal de ce qui relève du simple transfert depuis le bus.

2. Données Techniques & Normes

Les données se répartissent en deux ensembles. Le premier décrit les caractéristiques de service de chaque mode — temps, fréquences, tarifs — telles qu'un usager les subit réellement, marche et attente comprises. Le second regroupe les paramètres du modèle de comportement : les coefficients de sensibilité au temps et au coût, la pénibilité des temps hors véhicule, et la part de marché observée qui servira de point d'ancrage au calage.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Temps généralisé \( T_g = T_{\text{veh}} + \lambda \times T_{\text{hors}} \)
Valeur du temps implicite \( v = \dfrac{\beta_t}{\beta_c} \times 60 \)
Utilité mesurée d'un mode \( V_m = \beta_t \, T_{g,m} + \beta_c \, C_m \)
Utilité totale d'un mode \( U_m = V_m + K_m \)
Écart d'utilité imposé par une part observée \( \Delta = \ln\!\left( \dfrac{1 - P}{P} \right) \)
Modèle Logit binomial \( P_i = \dfrac{1}{1 + e^{\,U_j - U_i}} \)
Trafic d'un mode \( N_i = D \times P_i \)
Recettes journalières \( R_j = N_i \times r \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

CARACTÉRISTIQUES DE SERVICE DES TROIS MODES

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( T_{\text{veh,VP}} \)	Temps de conduite de porte à porte en voiture, hors stationnement	30	min
\( T_{\text{hors,VP}} \)	Recherche d'une place de stationnement et marche jusqu'au lieu de travail	5	min
\( C_{\text{VP}} \)	Coût perçu du déplacement en voiture : carburant, usure et stationnement	5	€
\( T_{\text{veh,bus}} \)	Temps passé à bord du bus, entre l'arrêt de montée et l'arrêt de descente	38	min
\( T_{\text{hors,bus}} \)	Marche aux deux extrémités, 4 min de chaque côté, plus 6 min d'attente moyenne pour un intervalle de 12 min	14	min
\( T_{\text{veh,tram}} \)	Temps prévisionnel à bord du tramway, en site propre avec priorité aux feux	25	min
\( T_{\text{hors,tram}} \)	Marche aux deux extrémités, 4 min de chaque côté, plus 3 min d'attente moyenne pour un intervalle de 6 min	11	min
\( C_{\text{TC}} \)	Prix du titre de transport unitaire, identique pour le bus et le tramway	2	€

Demande à répartir entre les modes

Déplacements de A vers B en pointe du matin : \( D = \mathbf{10\,000} \text{ deplacements/jour} \)
Part de marché observée du bus : \( P_{\text{bus}} = \mathbf{18} \text{ \%} \)

PARAMÈTRES DU MODÈLE DE COMPORTEMENT

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( \beta_t \)	Sensibilité au temps généralisé : perte d'utilité par minute supplémentaire	-0,05	util/min
\( \beta_c \)	Sensibilité au coût : perte d'utilité par euro supplémentaire	-0,30	util/€
\( \lambda \)	Coefficient de pénibilité des temps hors véhicule, retenu pour l'étude : une minute de marche ou d'attente pèse autant que deux minutes à bord	2	—
\( v_{\text{ref}} \)	Valeur du temps de référence pour le motif domicile-travail en milieu urbain, France entière, à laquelle les coefficients du modèle doivent être confrontés DGITM, fiche outil V — Valeurs de référence prescrites, § 1.a	10,6	€/h
\( r \)	Recette moyenne encaissée par voyage, abonnements et tarifs réduits compris, constatée sur le réseau	0,80	€/voyage
\( n_j \)	Nombre de jours ouvrables retenus pour l'annualisation d'un flux domicile-travail	250	jours/an

Point d'ancrage du calage

Voyages quotidiens en bus aujourd'hui : \( N_{\text{bus}} = 10000 \times 0{,}18 = \mathbf{1800} \text{ voyages/jour} \)
Deplacements quotidiens en voiture aujourd'hui : \( N_{\text{VP}} = 10000 \times 0{,}82 = \mathbf{8200} \text{ deplacements/jour} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Valeurs du temps de référence en milieu urbain, tous modes

Motif du déplacement	France entière
Professionnel	18,6 €/h
Domicile-travail, études, garderie	10,6 €/h
Achat, soin, visites, loisir, tourisme	7,2 €/h
Sans détail du motif	8,4 €/h

Évolution de la valeur du temps dans le temps

Les valeurs ci-dessus sont exprimées en euros de 2015 pour l'année 2015. La valeur du temps des voyageurs évolue comme le produit intérieur brut par tête : elle doit donc être actualisée avant d'être appliquée à une étude portant sur une autre année. Cette règle d'actualisation explique pourquoi deux études menées à dix ans d'écart sur le même projet n'utilisent pas les mêmes coefficients, sans qu'aucune des deux ne soit fausse.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

La démarche suit l'ordre d'un modèle de choix modal réel. On décrit d'abord ce que coûte chaque mode à l'usager, on vérifie que les paramètres du modèle sont conformes aux valeurs de référence, on cale ensuite le modèle sur une situation observée, et l'on ne prévoit qu'après. Caler avant de prévoir n'est pas une précaution : c'est ce qui distingue une prévision d'une opinion.

Question 1 : Temps généralisés des trois modes et valeur du temps implicite

Reconstitution de la chaîne de déplacement 25 min | Accessible

But de l'étape : Un usager ne compare pas des temps de parcours affichés, il compare des déplacements complets, de sa porte à son bureau. Cette question reconstitue ces chaînes et vérifie au passage que les coefficients du modèle traduisent bien une valeur du temps réaliste.

Énoncé Q1 : Calculez le temps généralisé de chacun des trois modes, en pondérant les temps hors véhicule par le coefficient de pénibilité. Déterminez ensuite la valeur du temps implicite au modèle et comparez-la à la valeur de référence prescrite pour le motif domicile-travail en milieu urbain.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Le temps généralisé additionne le temps passé à bord et les temps hors véhicule, ces derniers étant comptés double. N'oubliez pas que la voiture a elle aussi un temps hors véhicule.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La valeur du temps s'obtient en divisant la sensibilité au temps par la sensibilité au coût : le résultat est en euros par minute, à convertir en euros par heure.

Question 2 : Calage de la constante modale sur la situation observée

Calage d'un modèle de choix discret 30 min | Intermédiaire

But de l'étape : Le temps et le coût n'expliquent qu'une partie du comportement. Cette question mesure tout ce qu'ils n'expliquent pas en confrontant le modèle à une part de marché réellement observée.

Énoncé Q2 : Calculez les utilités mesurées de la voiture et du bus à partir des temps généralisés et des coûts. Déterminez ensuite l'écart d'utilité que la part de marché observée du bus impose au modèle, et déduisez-en la constante modale des transports collectifs. Commentez son signe et sa valeur.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Écrivez le modèle Logit sous sa forme inverse : à une part de marché connue correspond un et un seul écart d'utilité. C'est le logarithme du rapport des parts.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

La constante est la différence entre l'écart imposé par l'observation et l'écart expliqué par le temps et le coût. Attention aux signes : la constante porte sur les transports collectifs.

Question 3 : Part de marché du tramway par le modèle Logit

Prévision de la demande 25 min | Intermédiaire

But de l'étape : Appliquer au projet le modèle désormais calé, et obtenir une part de marché défendable — c'est-à-dire cohérente avec le comportement réellement observé sur la même relation.

Énoncé Q3 : Calculez l'utilité mesurée du tramway, puis son utilité totale en y ajoutant la constante calée à la question précédente. Appliquez le modèle Logit et déterminez la part de marché du tramway face à la voiture. Comparez au résultat qu'aurait donné un modèle sans constante.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La constante calée sur le bus s'applique au tramway : elle décrit ce que les usagers perçoivent des transports collectifs en général, pas d'un véhicule particulier.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Sous sa forme condensée, le modèle Logit binomial ne dépend que de l'écart d'utilité entre les deux modes : \( P_i = 1 / (1 + e^{\,U_j - U_i}) \).

Question 4 (Finale) : Report modal, trafic reporté et recettes de la ligne

Synthèse et traduction opérationnelle 35 min | BOSS

But de l'étape : undefined

Mention spéciale — la question qui décide de l'investissement : C'est ici que la prévision devient un argument budgétaire. Deux chiffres seront lus par le décideur : le nombre de voitures réellement retirées de la route, qui fonde le bilan environnemental, et les recettes, qui fondent l'équilibre d'exploitation. Confondre fréquentation et report modal fausse les deux.

Calculez la fréquentation du tramway et le nombre de déplacements restant en voiture. Déterminez ensuite le nombre de déplacements réellement retirés à la voiture, en distinguant ce report du simple transfert des anciens usagers du bus. Chiffrez enfin les recettes journalières puis annuelles de la ligne, en justifiant chaque terme de l'annualisation.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La fréquentation du tramway est le produit de la demande totale par la part de marché. Le report depuis la voiture, lui, est la différence entre les déplacements en voiture avant et après.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Pour l'annualisation, deux facteurs s'ajoutent au nombre de jours : chaque usager fait son déplacement dans les deux sens, et un flux domicile-travail ne se produit pas les week-ends ni les congés.

NOTE DE CALCULS DÉTAILLÉE (PAS-À-PAS)

Analyse de la Demande de Transport

Question 1 : Temps généralisés des trois modes et valeur du temps implicite

Dans la tête de l'ingénieur

"La première tentation serait de comparer les temps affichés : 30 minutes en voiture, 38 en bus, 25 en tramway. Ce serait une faute de méthode. Un usager ne compare pas des temps de parcours, il compare des déplacements de porte à porte : la marche jusqu'à l'arrêt, l'attente sur le quai, la recherche d'une place de stationnement en font partie au même titre que le trajet lui-même. Et ces minutes-là ne se valent pas : attendre debout sous la pluie est bien plus pénible qu'être assis dans une rame. Je vais donc reconstruire chaque chaîne complète, en pondérant ce qui doit l'être."

Observation : Le tramway annonce 25 minutes contre 30 pour la voiture. Mais il impose deux marches et une attente là où la voiture n'impose qu'un stationnement : la comparaison brute ne porte pas sur les mêmes objets.
Analyse du risque : Comparer les seuls temps en véhicule conduirait à conclure que le tramway est plus rapide que la voiture. Toute la prévision de fréquentation reposerait alors sur une comparaison biaisée, et le report modal serait surestimé.
Choix stratégique : J'adopte la notion de temps généralisé, qui additionne toutes les composantes de la chaîne en pondérant les temps hors véhicule. C'est la seule grandeur qui permette de comparer un mode individuel et un mode collectif sur la même base.
Alternative : J'aurais pu convertir chaque composante en euros à l'aide de la valeur du temps et raisonner en coût généralisé. Les deux formulations sont équivalentes ; je garde les minutes, plus parlantes, et je vérifie séparément que la valeur du temps implicite est correcte.
Objectif visé : Disposer de trois temps généralisés comparables, et m'assurer que les coefficients du modèle traduisent bien un comportement conforme aux valeurs de référence.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

T_g voiture = 40 min · T_g bus = 66 min · T_g tramway = 47 min · valeur du temps implicite : 10,00 €/h

Rappel Théorique : Le temps généralisé et la valeur du temps

Deux notions structurent toute analyse de choix modal. La première, le temps généralisé, répond à la question « combien de temps ce déplacement coûte-t-il vraiment à l'usager ? ». La seconde, la valeur du temps, répond à « combien cet usager est-il prêt à payer pour en économiser une heure ? ». Ensemble, elles permettent de mettre le temps et l'argent sur une même échelle.

Le déplacement est une chaîne : Il commence à la porte du domicile et finit à celle du lieu de travail. Marche d'accès, attente, trajet à bord, marche terminale, recherche de stationnement : tous ces maillons comptent, et aucun n'est gratuit pour l'usager.
Les temps hors véhicule sont plus pénibles : Une minute passée à attendre ou à marcher est ressentie plus durement qu'une minute assis dans un véhicule : incertitude, inconfort, exposition aux intempéries. On la compte donc plusieurs fois dans le temps généralisé, au moyen d'un coefficient de pénibilité.
L'attente vaut la moitié de l'intervalle : Lorsque les usagers se présentent à l'arrêt sans consulter l'horaire — ce qui est le cas dès que la fréquence est élevée — l'attente moyenne vaut la moitié de l'intervalle entre deux passages. C'est ce qui rend la fréquence aussi déterminante que la vitesse.
La valeur du temps convertit les minutes en euros : C'est le rapport de la sensibilité au temps à la sensibilité au coût. Elle exprime le prix qu'un usager accepte de payer pour gagner une heure, et elle dépend fortement du motif du déplacement.
Elle est encadrée par des valeurs de référence : Pour les évaluations socio-économiques de projets de transport, les valeurs du temps sont prescrites et non laissées au choix du modélisateur. En milieu urbain, le motif domicile-travail est retenu à 10,6 €/h pour la France entière, contre 18,6 €/h pour un déplacement professionnel et 7,2 €/h pour un motif personnel.

Équations Fondamentales

Deux relations suffisent : l'une reconstruit la chaîne de déplacement, l'autre vérifie que les paramètres du modèle sont conformes au référentiel d'évaluation.

Temps généralisé d'un mode :

Il traduit en une seule durée l'ensemble de ce que le déplacement coûte en temps à l'usager, pénibilité comprise.

Pourquoi cette formule ?

Comparer un mode individuel et un mode collectif sur le seul temps de parcours reviendrait à comparer un trajet complet à un fragment de trajet. Le temps généralisé rétablit la symétrie en ramenant les deux à la même définition : de porte à porte. Le coefficient de pénibilité traduit ensuite un fait bien établi de l'observation des comportements : à durée égale, une attente est ressentie comme plus longue qu'un trajet à bord. Sans lui, on sous-estimerait systématiquement le coût réel des modes collectifs, dont la chaîne comporte beaucoup plus de temps hors véhicule.

Contexte de validité : Déplacement régulier de type domicile-travail, où l'usager connaît son itinéraire. Pour un déplacement occasionnel, la pénibilité de l'attente et de la recherche d'information est plus forte encore.
Avantage : Elle rend visible le poids réel de la fréquence : doubler la fréquence divise l'attente par deux, et cette économie est comptée double dans le temps généralisé.
Paramètre clé : Le coefficient de pénibilité. Le porter de 2 à 1 ferait tomber le temps généralisé du bus de 66 à 52 minutes et changerait complètement la hiérarchie des modes.
Vérification : Le temps généralisé est toujours supérieur au temps en véhicule, pour tous les modes, y compris la voiture.
Limite : Elle suppose la pénibilité identique pour la marche et l'attente. Les modèles fins distinguent les deux, l'attente étant généralement la plus mal supportée à cause de son incertitude.

\[ \begin{aligned} T_g = T_{\text{veh}} + \lambda \times T_{\text{hors}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? On additionne le temps réellement passé à bord et les temps de marche et d'attente, ces derniers étant comptés deux fois parce que l'usager les ressent deux fois plus longs. Le résultat n'est pas une durée mesurable au chronomètre : c'est une durée ressentie, et c'est bien elle qui gouverne le choix.

Décomposition des termes :

\( T_g \) : temps generalise du mode, duree ressentie de porte a porte, unité : min
\( T_{\text{veh}} \) : temps passe a bord du vehicule, unité : min
\( \lambda \) : coefficient de penibilite des temps hors vehicule, unité : —
\( T_{\text{hors}} \) : somme des temps de marche, d'attente et de stationnement, unité : min

Valeur du temps implicite au modèle :

Elle exprime en euros par heure l'arbitrage entre temps et argent que les coefficients du modèle traduisent implicitement.

Pourquoi cette formule ?

Les deux coefficients \( \beta_t \) et \( \beta_c \) n'ont aucune signification pris isolément : seule leur proportion décrit un comportement. Multiplier les deux par dix ne changerait rien aux parts de marché prévues. Leur rapport, en revanche, est une grandeur économique mesurable et comparable à un référentiel : c'est le prix qu'un usager accepte de payer pour gagner une unité de temps. Vérifier ce rapport est donc le seul moyen de contrôler qu'un modèle de choix modal est correctement paramétré avant de s'en servir.

Contexte de validité : Le rapport n'a de sens que si le temps utilisé dans l'utilité est bien le temps généralisé. Appliqué au seul temps en véhicule, il décrirait un autre arbitrage.
Avantage : Elle rend le modèle auditable : n'importe quel lecteur peut confronter la valeur obtenue au référentiel prescrit, sans avoir accès aux enquêtes de calage.
Paramètre clé : La sensibilité au coût, au dénominateur. Une population plus sensible au prix — étudiants, revenus modestes — présente une valeur du temps plus faible.
Vérification : Le résultat doit tomber dans l'ordre de grandeur du motif étudié : quelques euros par heure pour un motif personnel, une dizaine pour un domicile-travail, davantage pour un motif professionnel.
Limite : Elle décrit un comportement moyen. La dispersion réelle entre usagers est considérable, et deux personnes du même quartier peuvent avoir des valeurs du temps du simple au triple.

\[ \begin{aligned} v = \frac{\beta_t}{\beta_c} \times 60 \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Perdre une minute coûte \( \beta_t \) d'utilité ; perdre un euro en coûte \( \beta_c \). Le rapport des deux donne combien d'euros valent une minute aux yeux de l'usager, et le facteur 60 convertit ce prix à l'heure. Les deux coefficients étant négatifs, leur rapport est positif : une valeur du temps est toujours un prix, jamais une pénalité.

Décomposition des termes :

\( v \) : valeur du temps implicite au modele, unité : €/h
\( \beta_t \) : sensibilite au temps generalise, unité : util/min
\( \beta_c \) : sensibilite au cout monetaire, unité : util/€
\( 60 \) : nombre de minutes contenues dans une heure, unité : min/h

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants comparent directement les temps affichés — 25 minutes pour le tramway contre 30 pour la voiture — et concluent que le tramway est le mode le plus rapide de la relation."

L'approche d'ingénieur : La conclusion est fausse, et elle l'est d'une manière particulièrement trompeuse : elle s'appuie sur des chiffres exacts. Voici où se situe l'erreur et ce qu'elle produit.

L'erreur : Les 25 minutes du tramway sont un temps à bord, alors que les 30 minutes de la voiture sont un temps de porte à porte, ou presque. Les deux nombres ne mesurent pas la même chose : l'un est un fragment de chaîne, l'autre une chaîne presque complète.
La bonne méthode : Ramener les deux modes à la même définition. Le tramway impose 8 minutes de marche et 3 minutes d'attente, comptées double, soit 22 minutes ajoutées ; la voiture impose 5 minutes de stationnement, comptées double, soit 10 minutes ajoutées.
L'impact chiffré : Le tramway passe de 25 à 47 minutes généralisées, la voiture de 30 à 40 minutes. L'avantage de 5 minutes annoncé en faveur du tramway devient un retard de 7 minutes : l'écart réel est de 12 minutes, et il change de signe.
Le moyen mnémotechnique : Demandez-vous toujours où commence et où finit le temps annoncé. Un temps de parcours de transport collectif s'arrête presque toujours aux portes du véhicule ; celui d'une voiture, presque jamais.
L'impact direct : Cette confusion conduit à annoncer des reports modaux qui ne se produisent jamais. Les lignes livrées sur cette base sont surdimensionnées, et l'écart entre fréquentation prévue et constatée alimente la défiance envers les études de trafic.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Temps en véhicule, marche, attente : tous en minutes. Aucune conversion n'est nécessaire tant qu'on reste dans la chaîne de déplacement.
Coefficient de pénibilité : sans unité. Il multiplie une durée et rend une durée.
Temps généralisé : en minutes. Ce n'est pas une durée mesurable au chronomètre mais une durée ressentie, et il faut le dire quand on la communique.
Sensibilités : en util par minute et en util par euro. L'unité d'utilité est arbitraire, seul le rapport des coefficients a un sens.
Valeur du temps : en euros par heure, obtenue en multipliant par 60 un rapport exprimé en euros par minute.

Quatre calculs : les trois temps généralisés, puis la vérification de la valeur du temps. Le coefficient de pénibilité s'applique uniformément aux trois modes, y compris à la voiture — l'oublier pour elle seule reviendrait à truquer la comparaison.

1. Résolution Numérique Calcul du temps généralisé de la voiture

Pourquoi fait-on ce calcul ? La voiture est le mode de référence de la relation : c'est à elle que les autres seront comparés, et il serait tentant de la traiter comme un trajet sans accessoire.

Méthodologie du calcul :

On additionne le temps de conduite et le temps de stationnement, ce dernier étant compté double au même titre que la marche et l'attente des modes collectifs.

Substitution : \( T_{\text{veh,VP}} = 30 \) min, \( T_{\text{hors,VP}} = 5 \) min et \( \lambda = 2 \).
Piège évité : Ne pas exempter la voiture de la pondération. La recherche d'une place est au moins aussi désagréable qu'une attente à l'arrêt : la traiter à part biaiserait toute la comparaison en sa faveur.
Hypothèse validée : Les 30 minutes de conduite sont un temps de porte à porte hors stationnement, mesuré en conditions de pointe.
Vérification croisée : Le temps généralisé dépasse le temps de conduite de 10 minutes, soit exactement le double du temps hors véhicule : la pondération est bien appliquée.
Finalité : Ce temps entrera dans l'utilité de la voiture, calculée en question 2.

\[ \begin{aligned} T_{g,\text{VP}} &= 30 \text{ min} + 2 \times 5 \text{ min} \\ &= 30 \text{ min} + 10 \text{ min} \\ &= \mathbf{40} \text{ min} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Quarante minutes ressenties pour trente minutes réellement passées au volant : le quart du temps généralisé de la voiture tient au seul stationnement.

Ordre de grandeur : Une majoration de 33 % par rapport au temps de conduite, pour cinq minutes de stationnement seulement : la pondération a un effet considérable.
Impact sur la suite : C'est le temps auquel les deux modes collectifs devront se mesurer, et non les 30 minutes affichées.
Cohérence : Le résultat est supérieur au temps en véhicule, comme l'exige la définition du temps généralisé.
Attention : Ce chiffre est sensible à la politique de stationnement. Porter la recherche de place de 5 à 15 minutes ferait passer le temps généralisé de 40 à 60 minutes et suffirait à inverser la hiérarchie face au tramway : c'est le levier le plus puissant dont dispose une collectivité.
Comparaison : Un stationnement réservé et immédiat en pied d'immeuble ramènerait le temps généralisé à 30 minutes : l'écart de 10 minutes est entièrement imputable aux conditions de stationnement.

Remarque pédagogique : Retenez ce point : dans un projet de transport collectif, la politique de stationnement pèse souvent plus lourd sur le report modal que les caractéristiques de la ligne elle-même. Elle agit directement sur le mode concurrent, et pour un coût très inférieur.

Calcul du temps généralisé du bus

Pourquoi fait-on ce calcul ? Le bus est le point d'ancrage du calage : son temps généralisé doit être établi avec le même soin que celui de la voiture, sans quoi le modèle serait calé de travers.

Méthodologie du calcul :

On additionne le temps à bord et les temps hors véhicule — 8 minutes de marche aux deux extrémités et 6 minutes d'attente moyenne — ces derniers comptés double.

Substitution : \( T_{\text{veh,bus}} = 38 \) min, \( T_{\text{hors,bus}} = 8 + 6 = 14 \) min et \( \lambda = 2 \).
Piège évité : Les 6 minutes d'attente correspondent à la moitié de l'intervalle de 12 minutes, non à l'intervalle entier. Prendre 12 minutes doublerait la pénalité d'attente.
Hypothèse validée : Les usagers se présentent à l'arrêt sans consulter l'horaire, ce qui est vérifié pour un intervalle de 12 minutes ou moins.
Vérification croisée : Les temps hors véhicule pèsent 28 minutes sur 66, soit 42 % du temps généralisé : c'est bien l'ordre de grandeur attendu pour un mode collectif de surface.
Finalité : Ce temps servira à calculer l'utilité mesurée du bus, base du calage de la constante modale.

\[ \begin{aligned} T_{g,\text{bus}} &= 38 \text{ min} + 2 \times (8 + 6) \text{ min} \\ &= 38 \text{ min} + 28 \text{ min} \\ &= \mathbf{66} \text{ min} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Soixante-six minutes ressenties, contre quarante pour la voiture : le bus est perçu deux tiers plus long que la voiture, alors que son temps à bord ne la dépasse que de huit minutes.

Ordre de grandeur : Un écart de 26 minutes généralisées pour seulement 8 minutes d'écart en véhicule : les trois quarts du handicap du bus viennent de sa chaîne, pas de sa vitesse.
Impact sur la suite : C'est cet écart qui expliquera une partie de la part de marché modeste du bus — mais pas la totalité, et c'est précisément ce que révélera le calage.
Cohérence : Le bus est le mode au temps généralisé le plus élevé, ce qui est cohérent avec sa part de marché de 18 %, la plus faible des trois.
Attention : Réduire l'intervalle du bus de 12 à 6 minutes ferait gagner 3 minutes d'attente, comptées double, soit 6 minutes généralisées. Une action sur la fréquence est donc deux fois plus efficace qu'une action équivalente sur la vitesse commerciale.
Comparaison : Pour ramener le bus au niveau de la voiture, il faudrait lui faire gagner 26 minutes généralisées, soit supprimer la totalité de ses temps hors véhicule et gagner encore deux minutes à bord : c'est hors d'atteinte pour ce mode.

Remarque pédagogique : Ce résultat explique une observation courante : améliorer la fréquence d'une ligne produit souvent plus d'effet sur la fréquentation qu'accélérer son parcours, alors que la seconde action est bien plus coûteuse.

Calcul du temps généralisé du tramway

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le mode du projet : son temps généralisé décide de tout le reste de l'étude.

Méthodologie du calcul :

Même construction que pour le bus, avec un temps à bord réduit et une attente moitié moindre grâce à un intervalle de 6 minutes au lieu de 12.

Substitution : \( T_{\text{veh,tram}} = 25 \) min, \( T_{\text{hors,tram}} = 8 + 3 = 11 \) min et \( \lambda = 2 \).
Piège évité : Ne pas oublier la marche d'accès sous prétexte que le tramway dessert mieux le territoire. La distance aux stations est la même que pour le bus : les 8 minutes sont inchangées.
Hypothèse validée : Le tracé du tramway reprend celui du bus : les temps de marche d'accès sont donc identiques, seule l'exploitation change.
Vérification croisée : Le gain sur le bus vaut 13 minutes à bord et 6 minutes généralisées d'attente, soit 19 minutes au total : \( 66 - 19 = 47 \) min, ce qui est bien le résultat obtenu.
Finalité : Ce temps entrera dans l'utilité du tramway, calculée en question 3.

\[ \begin{aligned} T_{g,\text{tram}} &= 25 \text{ min} + 2 \times (8 + 3) \text{ min} \\ &= 25 \text{ min} + 22 \text{ min} \\ &= \mathbf{47} \text{ min} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Quarante-sept minutes ressenties, contre quarante pour la voiture. Le tramway, plus rapide de cinq minutes à bord, reste plus long de sept minutes une fois la chaîne complète comptée.

Ordre de grandeur : Le tramway gagne 19 minutes généralisées sur le bus, mais en perd 7 sur la voiture : il change la hiérarchie entre modes collectifs sans renverser celle du mode individuel.
Impact sur la suite : Ce déficit de 7 minutes se traduira par une utilité inférieure à celle de la voiture, avant même la prise en compte de la constante modale.
Cohérence : Le temps généralisé du tramway est intermédiaire entre celui de la voiture et celui du bus, ce qui correspond à un service intermédiaire entre les deux.
Attention : Les temps hors véhicule pèsent 22 minutes sur 47, soit 47 % du temps généralisé. Le tramway ne se joue donc pas sur sa vitesse mais sur sa fréquence et sur la distance de ses stations : c'est là que se trouvent les marges de progression.
Comparaison : Passer l'intervalle de 6 à 4 minutes ferait gagner une minute d'attente, comptée double, et ramènerait le temps généralisé à 45 minutes. Rapprocher les stations de 2 minutes de marche en ferait gagner 4 : les deux leviers sont d'efficacité comparable.

Remarque pédagogique : Ce calcul justifie une règle de conception : sur une ligne de transport collectif urbain, l'implantation des stations et la fréquence pèsent davantage sur l'attractivité que la vitesse en ligne. Les usagers ne comparent pas des vitesses, ils comparent des chaînes.

Vérification de la valeur du temps implicite au modèle

Pourquoi fait-on ce calcul ? Avant d'utiliser un modèle de choix modal, il faut vérifier qu'il décrit un comportement plausible. La valeur du temps est le seul contrôle disponible sans accès aux enquêtes de calage.

Méthodologie du calcul :

On forme le rapport des deux sensibilités, qui donne un prix en euros par minute, puis on le convertit en euros par heure.

Substitution : \( \beta_t = -0{,}05 \) util/min et \( \beta_c = -0{,}30 \) util/€. Les deux étant négatifs, leur rapport est positif.
Piège évité : Ne pas oublier la conversion en heures. Le rapport brut de 0,1667 s'exprime en euros par minute : annoncé tel quel, il donnerait l'impression d'une valeur du temps dérisoire.
Hypothèse validée : Le temps figurant dans l'utilité est bien le temps généralisé : la valeur obtenue décrit donc l'arbitrage sur l'ensemble de la chaîne, marche et attente comprises.
Vérification croisée : Le motif étudié est un domicile-travail en milieu urbain, pour lequel la valeur de référence prescrite est de 10,6 €/h : l'écart est de 5,7 %.
Finalité : Cette vérification autorise à utiliser le modèle pour la suite de l'étude.

\[ \begin{aligned} v &= \frac{0{,}05 \text{ util/min}}{0{,}30 \text{ util/€}} \times 60 \text{ min/h} \\ &= 0{,}1667 \text{ €/min} \times 60 \text{ min/h} \\ &= \mathbf{10{,}00} \text{ €/h} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Dix euros de l'heure : les coefficients du modèle traduisent un arbitrage temps-argent conforme à la valeur de référence de 10,6 €/h prescrite pour ce motif, à 5,7 % près.

Ordre de grandeur : Un écart de 5,7 % avec la valeur prescrite est parfaitement acceptable pour un modèle calé localement, dont les coefficients proviennent d'enquêtes sur la population du secteur.
Impact sur la suite : Cette conformité autorise à utiliser le modèle. Un écart d'un facteur deux, en revanche, aurait imposé de recaler les coefficients avant toute prévision.
Cohérence : La valeur obtenue se situe bien entre les 7,2 €/h d'un motif personnel et les 18,6 €/h d'un motif professionnel, ce qui correspond au motif domicile-travail effectivement étudié.
Attention : Les valeurs de référence sont exprimées en euros de 2015 et évoluent comme le produit intérieur brut par tête. Comparer un modèle actuel à une valeur non actualisée sous-estimerait l'écart : la vérification doit toujours porter sur la même année de référence.
Comparaison : En Île-de-France, la valeur prescrite pour le même motif est de 13,4 €/h. Le modèle utilisé ici serait donc mal calé pour une étude francilienne, alors qu'il convient pour une métropole de province.

Remarque pédagogique : Cette vérification prend deux minutes et évite les erreurs les plus coûteuses. Un modèle de choix modal dont la valeur du temps est aberrante produira des prévisions aberrantes, quelle que soit la qualité du reste de la chaîne de calcul.

COMPARAISON DES TEMPS GÉNÉRALISÉS

RÉSULTAT FINAL

\( v \) = 10,00 €/h

"Le modèle est conforme au référentiel — et les temps généralisés inversent la hiérarchie apparente : 40 min pour la voiture contre 47 pour le tramway."

Question 2 : Calage de la constante modale sur la situation observée

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai maintenant des temps et des coûts, donc de quoi calculer des utilités. Mais si je m'arrête là, mon modèle affirmera que le comportement des usagers s'explique entièrement par le temps et l'argent. C'est manifestement faux : personne ne choisit sa voiture uniquement parce qu'elle est rapide. Le confort, l'absence de correspondance, la possibilité de transporter des objets, la liberté d'horaire — rien de tout cela n'apparaît dans mes données. Heureusement, une situation observée existe : la ligne de bus et ses 18 % de part de marché. Je vais m'en servir pour mesurer ce que mon modèle ne sait pas expliquer."

Observation : Le bus est plus lent et moins cher que la voiture. Si seuls le temps et le coût comptaient, il capterait déjà une part de marché bien supérieure à 18 % : l'écart entre prédiction et observation est la matière première du calage.
Analyse du risque : Un modèle non calé produit des reports modaux massifs et systématiquement irréalistes. C'est l'erreur la plus fréquente et la plus lourde de conséquences en prévision de trafic, parce qu'elle est invisible tant qu'on ne confronte pas le modèle à une observation.
Choix stratégique : J'introduis une constante modale sur les transports collectifs et je la détermine en imposant au modèle de reproduire exactement la part de marché observée. Cette constante n'est pas un artifice : elle mesure les différentiels d'utilité liés au confort, à la fiabilité et à la régularité, dont le référentiel d'évaluation prévoit explicitement la prise en compte.
Alternative : J'aurais pu ajouter des variables explicatives — nombre de correspondances, taux de places assises, régularité. Je l'écarte faute de données mesurées sur cette relation : mieux vaut une constante honnêtement calée que des variables inventées.
Objectif visé : Obtenir un modèle qui reproduit exactement l'existant. C'est la seule condition qui rende légitime son emploi pour prévoir une situation qui n'existe pas encore.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

V voiture = -3,50 util · V bus = -3,90 util · écart imposé par l'observation : 1,5164 · constante modale : -1,1164 util

Rappel Théorique : Utilité, constante modale et calage d'un modèle de choix

Un modèle de choix modal repose sur une idée simple : chaque option reçoit un score d'attractivité, et la probabilité de la choisir croît avec ce score. Toute la difficulté tient à ce que le score doit contenir tout ce qui compte pour l'usager — y compris ce que le modélisateur ne sait pas mesurer.

L'utilité est un score relatif : Sa valeur absolue n'a aucune signification. Ajouter la même constante à toutes les options ne changerait aucune part de marché : seuls les écarts entre options gouvernent le choix.
La partie mesurée n'est qu'une partie : Le temps et le coût sont observables et se mettent en équation. Le confort, la fiabilité, la sécurité, l'information des usagers ne le sont pas directement — et le référentiel d'évaluation prévoit expressément d'ajuster les coûts de transport pour tenir compte de ces différentiels d'utilité.
La constante modale porte cet écart : C'est un terme constant, propre à chaque mode, qui capte tout ce que les variables mesurées n'expliquent pas. Sa valeur n'est pas choisie : elle est calculée pour que le modèle reproduise une part de marché observée.
Le modèle Logit s'inverse : À toute part de marché correspond un et un seul écart d'utilité, donné par le logarithme du rapport des parts. C'est cette inversion qui rend le calage possible : on part du résultat connu pour remonter au paramètre inconnu.
Un modèle non calé n'est pas un modèle : Prévoir une situation future suppose de reproduire d'abord la situation présente. Un modèle qui se trompe sur l'existant se trompera davantage encore sur le projet, et rien dans ses résultats ne permettra de s'en apercevoir.

Équations Fondamentales

Trois relations : le score mesuré d'un mode, l'inversion du modèle Logit qui transforme une part observée en écart d'utilité, et la définition de la constante comme différence entre les deux.

Utilité mesurée d'un mode :

Elle donne la part du score d'attractivité que le temps et le coût suffisent à expliquer.

Pourquoi cette formule ?

C'est la forme linéaire retenue par les modèles de choix discret : chaque caractéristique du service est multipliée par sa sensibilité, et les contributions s'additionnent. La linéarité est une hypothèse forte — elle suppose que la dixième minute perdue pèse autant que la première — mais elle rend le modèle estimable et interprétable. Les deux coefficients sont négatifs parce que le temps et l'argent sont des sacrifices : toute utilité calculée ainsi est donc négative, et c'est normal.

Contexte de validité : Les coefficients doivent être identiques pour tous les modes : une minute est une minute et un euro est un euro, quel que soit le véhicule. C'est ce qui rend les scores comparables.
Avantage : Elle sépare proprement ce qui est mesuré de ce qui ne l'est pas, et rend donc visible la part du comportement que le modèle explique réellement.
Paramètre clé : Le temps généralisé, dont le poids domine ici : à 40 minutes et 5 euros, la voiture perd 2,00 util par le temps et 1,50 par le coût.
Vérification : Le résultat doit être négatif pour tout mode réel. Une utilité positive signalerait une erreur de signe sur l'un des coefficients.
Limite : Elle ignore tout ce qui n'est pas temps ou coût. C'est précisément cette limite que la constante modale vient corriger, et c'est pourquoi les deux ne se conçoivent pas l'une sans l'autre.

\[ \begin{aligned} V_m = \beta_t \, T_{g,m} + \beta_c \, C_m \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Chaque minute généralisée retire 0,05 point d'attractivité, chaque euro en retire 0,30. Le score final mesure la somme des sacrifices consentis pour effectuer le déplacement par ce mode : plus il est proche de zéro, plus le mode est attractif.

Décomposition des termes :

\( V_m \) : utilite mesuree du mode, expliquee par le temps et le cout, unité : util
\( \beta_t \) : sensibilite au temps generalise, unité : util/min
\( T_{g,m} \) : temps generalise du mode, unité : min
\( \beta_c \) : sensibilite au cout, unité : util/€
\( C_m \) : cout du deplacement par ce mode, unité : €

Écart d'utilité imposé par une part de marché observée :

Elle remonte d'une part de marché connue vers l'écart d'utilité qui la produit.

Pourquoi cette formule ?

Le modèle Logit binomial établit une correspondance bijective entre l'écart d'utilité de deux options et leurs parts de marché : à chaque écart correspond une part et une seule, et réciproquement. Cette propriété permet de retourner le modèle. Plutôt que de calculer une part à partir d'utilités supposées, on part de la part réellement observée et l'on en déduit l'écart d'utilité que le modèle doit reproduire. Le logarithme apparaît naturellement en inversant l'exponentielle du modèle.

Contexte de validité : Choix entre deux options seulement. Avec trois modes ou davantage, l'inversion ne suffit plus et il faut estimer les paramètres par maximum de vraisemblance.
Avantage : Elle transforme une observation de terrain en un paramètre de modèle, sans aucune hypothèse supplémentaire : c'est le calage sous sa forme la plus élémentaire.
Paramètre clé : La part observée. Une part de 18 % impose un écart de 1,52 ; une part de 30 % n'imposerait plus que 0,85. La sensibilité est forte, et la qualité du comptage est donc déterminante.
Vérification : Une part inférieure à 50 % donne un écart positif en faveur de l'autre mode ; une part supérieure à 50 % donnerait un écart négatif.
Limite : Elle suppose la part observée représentative et stable. Un comptage effectué un jour de grève ou de vacances scolaires fausserait toute la suite de l'étude.

\[ \begin{aligned} \Delta = \ln\!\left( \frac{1 - P}{P} \right) \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Si 18 usagers sur 100 prennent le bus, alors 82 prennent la voiture : la voiture est choisie 4,56 fois plus souvent. Le logarithme de ce rapport donne exactement l'avantage d'utilité dont la voiture doit disposer pour produire une telle proportion.

Décomposition des termes :

\( \Delta \) : ecart d'utilite en faveur du mode majoritaire, unité : util
\( P \) : part de marche observee du mode minoritaire, unité : —
\( \ln \) : logarithme neperien, inverse de la fonction exponentielle, unité : —

Constante modale des transports collectifs :

Elle mesure la part de l'écart de comportement que le temps et le coût n'expliquent pas.

Pourquoi cette formule ?

L'observation impose un écart total ; les variables mesurées n'en expliquent qu'une fraction. La constante est simplement la différence entre les deux. Son interprétation est directe : elle chiffre, en unités d'utilité, l'ensemble des avantages non mesurés du mode individuel — pas de correspondance, bagages, horaire libre, véhicule personnel. Une fois calée sur un mode collectif, elle est transposable à un autre mode collectif de la même relation, car elle décrit un rapport aux transports en commun plus qu'un rapport à un véhicule particulier.

Contexte de validité : La transposition du bus au tramway suppose que les usagers perçoivent les deux modes de manière comparable. C'est une hypothèse prudente : le tramway bénéficie généralement d'une image plus favorable, ce qui rendrait la prévision légèrement pessimiste.
Avantage : Elle garantit que le modèle reproduit exactement la situation observée, ce qui est la condition minimale pour lui accorder du crédit sur une situation future.
Paramètre clé : L'écart imposé par l'observation, qui domine largement la part expliquée : 1,52 contre 0,40 ici. Autrement dit, les trois quarts du comportement échappent aux variables du modèle.
Vérification : Une constante négative sur les transports collectifs signifie que la voiture bénéficie d'un avantage non mesuré, ce qui est le cas général en milieu urbain français.
Limite : Elle est spécifique à la relation étudiée et à sa population. La transposer à un autre couple origine-destination, ou à une autre agglomération, n'aurait aucune justification.

\[ \begin{aligned} K = \left( V_{\text{VP}} - V_{\text{bus}} \right) - \Delta_{\text{obs}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? L'observation exige que la voiture domine de 1,52 point d'utilité. Le temps et le coût n'en produisent que 0,40. Il manque donc 1,12 point, que le modèle attribue à tout ce qu'il ne mesure pas : c'est l'aveu quantifié de son ignorance, et c'est ce qui le rend fiable.

Décomposition des termes :

\( K \) : constante modale des transports collectifs, unité : util
\( V_{\text{VP}} \) : utilite mesuree de la voiture, unité : util
\( V_{\text{bus}} \) : utilite mesuree du bus, unité : util
\( \Delta_{\text{obs}} \) : ecart d'utilite impose par la part de marche observee, unité : util

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants appliquent directement le modèle Logit aux utilités mesurées, sans constante modale, au motif que l'énoncé ne la mentionne pas."

L'approche d'ingénieur : Le calcul est alors formellement juste et le résultat radicalement faux. Voici comment le détecter, et pourquoi cette erreur est la plus grave de toute la prévision de trafic.

L'erreur : Sans constante, le modèle appliqué à la situation actuelle donne pour le bus \( P = 1/(1 + e^{0{,}40}) = 0{,}401 \), soit 40 % de part de marché. Or on en observe 18 : le modèle se trompe d'un facteur 2,2 sur une situation qu'il est censé décrire.
La bonne méthode : Vérifier systématiquement que le modèle reproduit l'existant avant de l'appliquer au projet. Ici, la vérification échoue, ce qui impose d'introduire la constante et de la caler.
L'impact chiffré : Sur le tramway, le modèle non calé donnerait \( P = 1/(1 + e^{-0{,}55}) = 0{,}634 \), soit 63,4 % de part de marché, contre 36,2 % avec la constante. L'erreur porte sur 2 720 voyageurs par jour et sur le dimensionnement complet de la ligne.
Le moyen mnémotechnique : Un modèle qui n'a jamais été confronté à une observation n'est pas un modèle, c'est une hypothèse. On cale d'abord, on prévoit ensuite — jamais l'inverse.
L'impact direct : Une ligne dimensionnée sur 63 % de part de marché reçoit un matériel et une fréquence calibrés pour près du double de la fréquentation réelle. Le surcoût d'exploitation est permanent, et l'écart entre prévision et réalité alimente durablement la défiance envers les études de trafic.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Temps généralisés : en minutes, valeurs issues de la question 1.
Coûts : en euros par déplacement, valeurs de l'énoncé.
Utilités : en util. L'unité est arbitraire : seuls les écarts entre utilités ont un sens physique.
Part de marché : sans unité, exprimée en proportion entre 0 et 1 dans les formules, en pourcentage dans les commentaires.
Constante modale : en util, comme les utilités auxquelles elle s'ajoute.

Quatre calculs. Les deux premiers établissent ce que le modèle explique, le troisième ce que l'observation impose, et le quatrième mesure l'écart entre les deux. Ce dernier nombre est le véritable produit de la question.

1. Résolution Numérique Calcul de l'utilité mesurée de la voiture

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le score de référence de la relation : les deux modes collectifs seront comparés à lui.

Méthodologie du calcul :

On multiplie le temps généralisé par la sensibilité au temps, le coût par la sensibilité au coût, et l'on additionne les deux contributions.

Substitution : \( T_{g,\text{VP}} = 40 \) min, \( C_{\text{VP}} = 5 \) €, \( \beta_t = -0{,}05 \) et \( \beta_c = -0{,}30 \).
Piège évité : Utiliser le temps généralisé de 40 minutes et non le temps de conduite de 30. Avec 30, l'utilité vaudrait -3,00 et le calage donnerait une constante fausse de 0,50 util.
Hypothèse validée : Les coefficients sont identiques pour tous les modes, ce qui rend les scores directement comparables entre eux.
Vérification croisée : Les deux contributions valent -2,00 et -1,50 util : le temps pèse 57 % de la désutilité de la voiture, le coût 43 %.
Finalité : Cette utilité servira de référence pour le calage, puis pour la prévision.

\[ \begin{aligned} V_{\text{VP}} &= -0{,}05 \times 40 + (-0{,}30 \times 5) \\ &= -2{,}00 \text{ util} - 1{,}50 \text{ util} \\ &= \mathbf{-3{,}50} \text{ util} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un score de -3,50 util. La valeur en elle-même ne signifie rien : c'est un point de comparaison, et il ne prendra son sens qu'une fois confronté à celui des autres modes.

Ordre de grandeur : Le temps et le coût contribuent presque à parts égales : 2,00 contre 1,50 util. C'est le signe d'un mode équilibré, où aucun des deux facteurs ne domine.
Impact sur la suite : Cette utilité sera comparée à celle du bus pour le calage, puis à celle du tramway pour la prévision : elle intervient deux fois.
Cohérence : Le résultat est négatif, comme l'exige un modèle dont tous les coefficients sont négatifs.
Attention : Une politique de stationnement portant le coût de 5 à 8 € ferait tomber cette utilité à -4,40 util, soit une dégradation de 0,90 util — plus des trois quarts de la constante modale à laquelle le tramway se heurte. C'est dire l'efficacité de ce levier.
Comparaison : Pour obtenir la même dégradation par le temps, il faudrait allonger le trajet de 18 minutes : le levier tarifaire est bien plus rapide à actionner que le levier de la congestion.

Remarque pédagogique : Notez que l'utilité mesurée ne contient aucune information sur le confort. C'est une lacune assumée du modèle à ce stade, et c'est exactement ce que le calage va corriger.

Calcul de l'utilité mesurée du bus

Pourquoi fait-on ce calcul ? Le bus est le seul mode collectif dont on observe la part de marché : c'est sur lui, et sur lui seul, que le calage est possible.

Méthodologie du calcul :

Même formule que pour la voiture, avec le temps généralisé du bus et le prix du titre de transport.

Substitution : \( T_{g,\text{bus}} = 66 \) min, \( C_{\text{bus}} = 2 \) €, coefficients inchangés.
Piège évité : Ne pas intervertir les données : le temps le plus long va avec le coût le plus faible. Une inversion donnerait -2,80 util et une constante fausse de 0,70 util.
Hypothèse validée : Le prix payé est le titre unitaire de 2 €, cohérent avec un usager occasionnel. Le calcul des recettes utilisera en revanche la recette moyenne réellement encaissée.
Vérification croisée : Les contributions valent -3,30 et -0,60 util : le temps pèse ici 85 % de la désutilité, contre 57 % pour la voiture. Le bus est pénalisé par le temps, pas par le prix.
Finalité : Cette utilité, comparée à celle de la voiture, donnera l'écart que le temps et le coût expliquent.

\[ \begin{aligned} V_{\text{bus}} &= -0{,}05 \times 66 + (-0{,}30 \times 2) \\ &= -3{,}30 \text{ util} - 0{,}60 \text{ util} \\ &= \mathbf{-3{,}90} \text{ util} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un score de -3,90 util, inférieur de 0,40 util seulement à celui de la voiture. Le temps et le coût, à eux seuls, ne creusent donc qu'un écart très modeste entre les deux modes.

Ordre de grandeur : Un écart de 0,40 util correspond, converti par la valeur du temps, à 8 minutes de trajet : le modèle mesuré ne voit qu'un handicap de huit minutes entre bus et voiture.
Impact sur la suite : Cet écart de 0,40 est la part expliquée du comportement. Tout ce que l'observation exigera au-delà ira dans la constante.
Cohérence : L'utilité du bus est inférieure à celle de la voiture, ce qui est cohérent avec sa part de marché minoritaire.
Attention : Un écart de 0,40 util correspondrait à une part de marché de 40 % pour le bus. Or on en observe 18 : le modèle mesuré surestime le bus d'un facteur 2,2, et cet écart ne peut être ignoré.
Comparaison : Rendre le bus gratuit ne ferait gagner que 0,60 util, soit à peine plus de la moitié de la constante modale : c'est pourquoi la gratuité seule déplace peu les parts de marché.

Remarque pédagogique : Cette dernière comparaison est un résultat bien établi en économie des transports : la gratuité d'un réseau améliore l'accessibilité des populations captives mais produit un report modal limité, parce qu'elle n'agit que sur le terme le plus faible de l'utilité.

Calcul de l'écart d'utilité imposé par la part de marché observée

Pourquoi fait-on ce calcul ? L'observation contient une information que le modèle ignore. Il faut d'abord la traduire dans le langage du modèle, c'est-à-dire en écart d'utilité.

Méthodologie du calcul :

On inverse le modèle Logit : à la part de marché observée du bus correspond un écart d'utilité unique, donné par le logarithme du rapport des deux parts.

Substitution : \( P_{\text{bus}} = 0{,}18 \), donc un rapport des parts de \( 0{,}82 / 0{,}18 = 4{,}5556 \).
Piège évité : Le rapport se forme part du majoritaire sur part du minoritaire. L'inverse donnerait -1,5164 et une constante de +1,92, de signe opposé au bon sens.
Hypothèse validée : Les 18 % proviennent d'un comptage représentatif de la pointe du matin en période scolaire ordinaire.
Vérification croisée : Une part de 50 % donnerait un rapport de 1 et un écart nul : le résultat obtenu, positif, est cohérent avec une part inférieure à la moitié.
Finalité : Cet écart sera comparé à celui que le temps et le coût expliquent, et la différence donnera la constante.

\[ \begin{aligned} \Delta_{\text{obs}} &= \ln\!\left( \frac{1 - 0{,}18}{0{,}18} \right) \\ &= \mathbf{1{,}5164} \text{ util} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

L'observation exige un écart de 1,5164 util en faveur de la voiture, alors que le temps et le coût n'en produisent que 0,40. Les trois quarts du comportement échappent donc aux variables mesurées.

Ordre de grandeur : Le rapport des parts vaut 4,56 : la voiture est choisie quatre fois et demie plus souvent que le bus, ce que traduit le logarithme obtenu.
Impact sur la suite : C'est la contrainte que le modèle doit satisfaire. La constante sera calculée pour la satisfaire exactement, sans marge d'ajustement.
Cohérence : L'écart est positif, ce qui correspond bien à une part de marché du bus inférieure à 50 %.
Attention : Ce résultat est très sensible au comptage. Une part observée de 15 % au lieu de 18 donnerait un écart de 1,7346 et une constante de -1,3346, soit 20 % de plus. La fiabilité du comptage conditionne toute la prévision.
Comparaison : Converti en minutes par la valeur du temps, cet écart de 1,5164 util représente 30 minutes de trajet : les usagers se comportent comme si le bus était une demi-heure plus long qu'il ne l'est réellement.

Remarque pédagogique : Cette dernière lecture est la plus parlante pour un décideur : dire « les usagers perçoivent le bus comme une demi-heure plus long qu'il ne l'est » explique en une phrase pourquoi améliorer sa vitesse de quelques minutes ne changera pas sa part de marché.

Calcul de la constante modale

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le produit final du calage : le nombre qui rend le modèle capable de reproduire l'existant, et donc digne de confiance pour le projet.

Méthodologie du calcul :

On retranche de l'écart imposé par l'observation l'écart que le temps et le coût expliquent. La différence est portée par la constante des transports collectifs.

Substitution : \( V_{\text{VP}} - V_{\text{bus}} = -3{,}50 + 3{,}90 = 0{,}40 \) util et \( \Delta_{\text{obs}} = 1{,}5164 \) util.
Piège évité : La constante s'applique aux transports collectifs et non à la voiture. La placer sur la voiture donnerait +1,1164 et inverserait complètement l'interprétation.
Hypothèse validée : Les 18 % sont exactement reproduits par construction : le calage n'admet aucune tolérance, c'est une égalité et non un ajustement.
Vérification croisée : Avec cette constante, l'écart total devient \( 0{,}40 + 1{,}1164 = 1{,}5164 \), et le modèle redonne bien 18 % : la vérification est immédiate.
Finalité : Cette constante sera transposée au tramway en question 3.

\[ \begin{aligned} K &= (-3{,}50 + 3{,}90) \text{ util} - 1{,}5164 \text{ util} \\ &= 0{,}40 \text{ util} - 1{,}5164 \text{ util} \\ &= \mathbf{-1{,}1164} \text{ util} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Une constante de -1,1164 util : la voiture bénéficie d'un avantage équivalent à 22 minutes de trajet, que ni le temps ni le coût ne mesurent.

Ordre de grandeur : Converti par la valeur du temps, l'avantage non mesuré de la voiture vaut \( 1{,}1164/0{,}05 = 22 \) minutes de trajet, ou encore 3,72 € par déplacement.
Impact sur la suite : C'est le handicap que le tramway devra surmonter, en plus de ses sept minutes de retard en temps généralisé.
Cohérence : La constante est négative sur les transports collectifs, ce qui traduit l'avantage non mesuré du mode individuel : confort, absence de correspondance, liberté d'horaire, capacité d'emport.
Attention : Cette constante ne doit pas être lue comme un jugement sur le bus. Elle mesure ce que le modèle ne sait pas décrire, y compris des facteurs qui n'ont rien à voir avec la qualité du service — habitudes, contraintes de garde d'enfants, trajets chaînés.
Comparaison : Pour effacer entièrement ce handicap par le seul prix, il faudrait subventionner chaque voyage à hauteur de 3,72 €, soit près du double du prix du titre : une action tarifaire seule n'y suffirait pas.

Remarque pédagogique : Retenez la signification de ce nombre : ce n'est pas un paramètre d'ajustement mais une mesure de l'ignorance du modèle. Un modélisateur honnête l'annonce, l'interprète et en discute la transposabilité — il ne la dissimule pas dans ses coefficients.

CE QUE LE CALAGE RÉVÈLE

RÉSULTAT FINAL

\( K \) = -1,1164 util

"Les trois quarts de l'écart de comportement échappent au temps et au coût — c'est cette part que la constante mesure et que le tramway devra surmonter."

Question 3 : Part de marché du tramway par le modèle Logit

Dans la tête de l'ingénieur

"Le modèle est désormais calé : il reproduit exactement les 18 % observés du bus. Je peux donc l'appliquer au projet. La logique est simple : le tramway remplace le bus, il hérite de la même constante modale — les usagers ne perçoivent pas différemment un tramway et un bus quant à ce que le modèle ne mesure pas — et je recalcule sa part de marché face à la voiture. Le résultat sera bien inférieur à ce qu'un modèle non calé annoncerait, et c'est précisément ce qui en fait une prévision défendable."

Observation : Le tramway améliore nettement le service : 19 minutes généralisées gagnées sur le bus. Mais il reste 7 minutes derrière la voiture, et il hérite du handicap de 1,1164 util mesuré au calage.
Analyse du risque : Oublier la constante en passant du calage à la prévision annulerait tout le travail de la question précédente. C'est une erreur d'exécution fréquente : on cale puis on oublie ce qu'on a calé.
Choix stratégique : J'applique le modèle Logit sous sa forme condensée, qui ne dépend que de l'écart d'utilité. Elle évite de calculer deux exponentielles et supprime le risque d'oublier un terme au dénominateur.
Alternative : J'aurais pu conserver le bus en parallèle du tramway et traiter un choix à trois modes. Je l'écarte : le projet prévoit la substitution du bus par le tramway sur cette relation, et un modèle à deux options décrit exactement cette situation.
Objectif visé : Obtenir une part de marché que l'on puisse défendre devant un comité d'engagement, parce qu'elle repose sur un modèle qui a déjà fait ses preuves sur l'existant.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

V tramway = -2,95 util · U tramway = -4,0664 util · écart avec la voiture : 0,5664 · part de marché : 36,2 %

Rappel Théorique : Le modèle Logit binomial et sa forme condensée

Le modèle Logit convertit des scores d'attractivité en parts de marché. Sa construction répond à une exigence simple : produire des probabilités toujours positives, dont la somme vaut 1, et qui croissent avec l'utilité. L'exponentielle est la fonction la plus simple qui satisfasse ces trois conditions.

L'exponentielle rend tout positif : Les utilités sont négatives, mais leurs exponentielles ne le sont jamais. C'est ce qui garantit des probabilités valides, quelle que soit l'échelle arbitraire des utilités.
Seuls les écarts comptent : Ajouter la même constante à toutes les utilités laisse les parts de marché inchangées. C'est pourquoi la forme condensée, qui ne fait intervenir que la différence d'utilité, est rigoureusement équivalente à la forme développée — et bien moins sujette aux erreurs.
La réponse est non linéaire : Un écart d'utilité nul donne 50 % ; un écart de 1 donne 27 % ; un écart de 2 donne 12 %. La sensibilité est maximale autour de l'équilibre et s'atténue aux extrêmes : il est bien plus facile de faire passer une part de 45 à 55 % que de 5 à 15 %.
La constante se transpose au sein d'une famille de modes : Elle décrit le rapport des usagers aux transports collectifs plutôt qu'à un véhicule particulier. La transposer du bus au tramway est une hypothèse prudente : le tramway bénéficie généralement d'une image plus favorable, ce qui rendrait la prévision légèrement pessimiste.
Le modèle suppose l'indépendance des alternatives : Le rapport des probabilités de deux options ne dépend que de ces deux options. Cette propriété est confortable pour un choix entre deux modes très différents, mais elle devient gênante entre modes proches — un bus et un tramway parallèles, par exemple, que le modèle traiterait à tort comme des options indépendantes.

Équations Fondamentales

Deux relations : l'assemblage de l'utilité totale à partir de sa partie mesurée et de sa constante, puis le passage de l'écart d'utilité à la part de marché.

Utilité totale d'un mode :

Elle réunit ce que le modèle explique et ce qu'il a mesuré sans l'expliquer.

Pourquoi cette formule ?

La décomposition en une partie mesurée et une constante n'est pas une commodité de calcul : elle traduit la structure même d'un modèle de choix discret. La partie mesurée varie avec le projet — un tramway plus rapide améliore son score — tandis que la constante reste attachée à la famille de modes et ne bouge pas. C'est ce qui rend le modèle utilisable en prévision : on modifie ce que le projet change, on conserve ce qu'il ne change pas.

Contexte de validité : La constante calée sur un mode collectif s'applique à un autre mode collectif de la même relation et de la même population.
Avantage : Elle sépare nettement ce qui relève du projet de ce qui relève du contexte, ce qui permet de tester plusieurs variantes de projet sans recaler à chaque fois.
Paramètre clé : La constante, qui pèse ici 1,1164 util contre 2,95 pour la partie mesurée : elle représente à elle seule 27 % du score total du tramway.
Vérification : L'utilité totale d'un mode collectif est toujours inférieure à son utilité mesurée, puisque la constante est négative.
Limite : Si le tramway modifiait profondément la perception du transport collectif — image, confort, régularité —, la constante calée sur le bus serait trop pessimiste. Le résultat obtenu est alors une borne basse.

\[ \begin{aligned} U_m = V_m + K_m \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Le score total est le score mesuré, diminué du handicap non mesuré du mode collectif. Pour la voiture, la constante est nulle par convention : c'est elle qui sert de référence, et seuls les écarts à cette référence ont un sens.

Décomposition des termes :

\( U_m \) : utilite totale du mode, unité : util
\( V_m \) : utilite mesuree, expliquee par le temps et le cout, unité : util
\( K_m \) : constante modale du mode, nulle pour le mode de reference, unité : util

Modèle Logit binomial sous forme condensée :

Il convertit l'écart d'utilité entre deux modes en une part de marché.

Pourquoi cette formule ?

La forme développée fait apparaître deux exponentielles, dont le rapport se simplifie en divisant haut et bas par l'exponentielle de l'utilité du mode étudié. On obtient une expression qui ne dépend que de la différence des utilités — ce qui est cohérent avec le fait que l'échelle des utilités est arbitraire. Cette forme condensée présente un avantage pratique décisif : elle rend impossible l'oubli d'un terme au dénominateur, qui est l'erreur la plus fréquente sur la forme développée.

Contexte de validité : Choix entre deux options exactement. Avec trois modes ou plus, il faut revenir à la forme développée et sommer toutes les exponentielles.
Avantage : Une seule exponentielle à calculer, et un contrôle immédiat : un écart nul doit donner exactement 0,5.
Paramètre clé : L'écart d'utilité, seul argument de la fonction. Une erreur de signe sur cet écart donne la part du mauvais mode, et le résultat reste plausible : c'est une erreur qui ne se voit pas.
Vérification : Le résultat doit être compris entre 0 et 1, et inférieur à 0,5 lorsque l'écart est positif en faveur de l'autre mode.
Limite : Le modèle traite les deux options comme indépendantes. Appliqué à deux modes très proches, il surestimerait leur part cumulée face à un troisième.

\[ \begin{aligned} P_i = \frac{1}{1 + e^{\,U_j - U_i}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Plus l'autre mode est attractif, plus l'exponentielle au dénominateur est grande, et plus la part du mode étudié diminue. À écart nul, l'exponentielle vaut 1 et la part vaut exactement une moitié : l'indifférence produit le partage égal, ce qui est le comportement attendu de tout modèle de choix raisonnable.

Décomposition des termes :

\( P_i \) : part de marche du mode etudie, unité : —
\( U_i \) : utilite totale du mode etudie, unité : util
\( U_j \) : utilite totale du mode concurrent, unité : util
\( e \) : base du logarithme neperien, unité : —

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants, arrivés à cette étape, appliquent le modèle Logit à l'utilité mesurée du tramway, en oubliant d'y ajouter la constante calée à la question précédente."

L'approche d'ingénieur : L'oubli est d'autant plus insidieux que le calcul reste formellement correct et que le résultat obtenu paraît flatteur. Voici comment il se repère et ce qu'il coûte.

L'erreur : Sans la constante, l'écart d'utilité vaut \( -3{,}50 + 2{,}95 = -0{,}55 \) en faveur du tramway, et le modèle annonce \( P = 1/(1 + e^{-0{,}55}) = 0{,}634 \), soit 63,4 % de part de marché.
La bonne méthode : Appliquer au tramway la même constante que celle calée sur le bus. L'écart devient +0,5664 en faveur de la voiture, et la part de marché tombe à 36,2 %.
L'impact chiffré : L'écart entre les deux prévisions porte sur 27,2 points de part de marché, soit 2 720 voyages par jour. Sur la ligne, cela représente la différence entre une rame toutes les six minutes et une rame toutes les trois — c'est-à-dire un doublement du parc et des coûts d'exploitation.
Le moyen mnémotechnique : Le test est immédiat : rejouez la situation actuelle avec votre modèle. S'il ne redonne pas les 18 % observés, c'est qu'un terme manque quelque part.
L'impact direct : Une prévision à 63 % conduit à commander un matériel roulant surdimensionné, dont le coût d'acquisition et d'exploitation pèsera pendant trente ans sur le budget de l'autorité organisatrice — pour transporter la moitié des voyageurs annoncés.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Temps généralisé du tramway : 47 minutes, valeur issue de la question 1.
Coût du titre de transport : 2 €, identique à celui du bus.
Utilités et constante : en util. La constante s'ajoute à l'utilité mesurée, elle ne la multiplie pas.
Écart d'utilité : en util, et orienté en faveur de la voiture dans la convention retenue ici.
Part de marché : sans unité, comprise entre 0 et 1, convertie en pourcentage pour la restitution.

Cinq calculs enchaînés : l'utilité mesurée du tramway, son utilité totale, l'écart avec la voiture, l'exponentielle de cet écart, puis la part de marché. Le passage de l'utilité mesurée à l'utilité totale est l'étape que l'on oublie le plus souvent.

1. Résolution Numérique Calcul de l'utilité mesurée du tramway

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la part du score du tramway que le temps et le coût expliquent : le point de départ de la prévision.

Méthodologie du calcul :

Même formule que pour les deux autres modes, appliquée au temps généralisé du tramway et au prix du titre de transport.

Substitution : \( T_{g,\text{tram}} = 47 \) min, \( C_{\text{tram}} = 2 \) €, coefficients inchangés.
Piège évité : Utiliser le temps généralisé de 47 minutes et non les 25 minutes à bord. Avec 25, l'utilité vaudrait -1,85 util et la part de marché prévue bondirait à 66 % : c'est l'erreur qui produit les prévisions irréalistes.
Hypothèse validée : Le tarif du tramway est aligné sur celui du bus, hypothèse cohérente avec une tarification unique de réseau.
Vérification croisée : Le tramway améliore l'utilité mesurée du bus de \( -2{,}95 + 3{,}90 = 0{,}95 \) util, soit exactement 19 minutes généralisées gagnées multipliées par 0,05.
Finalité : Cette utilité recevra la constante modale pour devenir comparable à celle de la voiture.

\[ \begin{aligned} V_{\text{tram}} &= -0{,}05 \times 47 + (-0{,}30 \times 2) \\ &= -2{,}35 \text{ util} - 0{,}60 \text{ util} \\ &= \mathbf{-2{,}95} \text{ util} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un score mesuré de -2,95 util, supérieur à celui de la voiture qui vaut -3,50. Sur les seuls temps et coûts, le tramway devance donc la voiture.

Ordre de grandeur : Un avantage de 0,55 util sur la voiture, obtenu grâce à un coût trois fois inférieur qui compense les sept minutes généralisées de retard.
Impact sur la suite : Cet avantage sera plus qu'annulé par la constante modale de -1,1164 : c'est là que se joue la crédibilité de la prévision.
Cohérence : L'utilité mesurée du tramway est intermédiaire entre celle du bus et zéro, ce qui correspond à un service intermédiaire entre le bus et le mode idéal.
Attention : S'arrêter ici conduirait à annoncer que le tramway est plus attractif que la voiture. Ce serait exactement la conclusion que le calage vient d'invalider : le même raisonnement appliqué au bus prédisait 40 % là où on en observe 18.
Comparaison : Le tramway gagne 0,95 util sur le bus, soit près de 85 % de la constante modale. Il comble donc l'essentiel du retard du bus sur les variables mesurées, mais pas le handicap non mesuré.

Remarque pédagogique : Cette étape illustre une difficulté propre à la modélisation : le résultat intermédiaire est encourageant et le résultat final ne l'est pas. Il faut résister à la tentation de s'arrêter au chiffre qui arrange.

Calcul de l'utilité totale du tramway

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est l'étape qui applique au projet ce que le calage a mesuré : sans elle, le modèle redevient celui qui se trompait d'un facteur deux sur l'existant.

Méthodologie du calcul :

On ajoute à l'utilité mesurée la constante modale des transports collectifs, déterminée en question 2.

Substitution : \( V_{\text{tram}} = -2{,}95 \) util et \( K = -1{,}1164 \) util.
Piège évité : La constante est négative : elle se retranche. L'ajouter avec un signe positif donnerait -1,8336 util et une part de marché de 84 %, résultat manifestement absurde.
Hypothèse validée : Le tramway est perçu comme le bus quant aux facteurs non mesurés. C'est une hypothèse prudente, discutée plus loin dans la synthèse.
Vérification croisée : L'utilité totale doit être inférieure à l'utilité mesurée, ce qui est bien le cas : -4,0664 contre -2,95.
Finalité : Cette utilité sera comparée à celle de la voiture, qui ne porte pas de constante.

\[ \begin{aligned} U_{\text{tram}} &= -2{,}95 \text{ util} + (-1{,}1164) \text{ util} \\ &= \mathbf{-4{,}0664} \text{ util} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le score du tramway tombe à -4,0664 util, désormais inférieur à celui de la voiture. L'avantage de 0,55 util acquis sur les variables mesurées est effacé, et au-delà.

Ordre de grandeur : La constante retire 1,1164 util, soit deux fois l'avantage que le tramway avait construit : le renversement est net, pas marginal.
Impact sur la suite : L'écart avec la voiture change de signe, ce qui fera passer la part de marché sous la barre des 50 %.
Cohérence : Le même calcul appliqué au bus donnerait \( -3{,}90 - 1{,}1164 = -5{,}0164 \) util, et le modèle redonnerait exactement 18 % : le calage est vérifié.
Attention : Ce résultat ne signifie pas que le projet est mauvais. Il signifie qu'un tramway seul, sans mesure d'accompagnement sur le stationnement ou la circulation, ne renverse pas les habitudes : c'est un enseignement, pas un verdict.
Comparaison : Pour que le tramway égale la voiture, il faudrait annuler l'écart de 0,5664 util, soit gagner 11 minutes généralisées supplémentaires — ou dégrader d'autant le mode concurrent.

Remarque pédagogique : La dernière comparaison ouvre directement sur la stratégie : onze minutes généralisées peuvent se gagner sur le tramway par la fréquence et l'implantation des stations, ou se perdre sur la voiture par la politique de stationnement. Les deux voies sont ouvertes.

Calcul de l'écart d'utilité entre les deux modes

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le seul argument dont dépend la part de marché : le modèle Logit ne connaît que cet écart.

Méthodologie du calcul :

On retranche l'utilité totale du tramway de celle de la voiture, en orientant l'écart en faveur du mode concurrent, conformément à la forme condensée du modèle.

Substitution : \( U_{\text{VP}} = -3{,}50 \) util, sans constante, et \( U_{\text{tram}} = -4{,}0664 \) util.
Piège évité : Respecter l'orientation de l'écart. L'inverser donnerait -0,5664 et une part de 63,8 % pour le tramway : le résultat resterait plausible et l'erreur passerait inaperçue.
Hypothèse validée : La voiture ne porte pas de constante : elle sert de référence, et c'est par rapport à elle que la constante des transports collectifs a été définie.
Vérification croisée : L'écart est positif, ce qui annonce une part de marché du tramway inférieure à 50 % : cohérent avec une utilité totale inférieure.
Finalité : Cet écart est l'unique entrée du modèle Logit sous sa forme condensée.

\[ \begin{aligned} \Delta &= -3{,}50 \text{ util} - (-4{,}0664) \text{ util} \\ &= \mathbf{0{,}5664} \text{ util} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un écart de 0,5664 util en faveur de la voiture, soit un peu plus du tiers de l'écart de 1,5164 qui prévalait avec le bus. Le tramway réduit fortement le handicap, sans l'annuler.

Ordre de grandeur : L'écart est divisé par 2,7 par rapport à la situation actuelle : c'est l'effet du projet, mesuré dans l'unité du modèle.
Impact sur la suite : Un écart de cet ordre correspond à une part de marché voisine de 36 %, à comparer aux 18 % actuels : le doublement est acquis.
Cohérence : L'écart reste positif, ce qui est cohérent avec une voiture toujours majoritaire.
Attention : Converti en minutes par la valeur du temps, cet écart de 0,5664 util représente 11,3 minutes. C'est l'ordre de grandeur du gain qu'une politique de stationnement contraignante peut produire à elle seule.
Comparaison : Un écart nul donnerait 50 % de part de marché. Le tramway s'en approche sans l'atteindre, ce qui traduit un projet performant mais insuffisant pour renverser seul les comportements.

Remarque pédagogique : Retenez cette conversion : diviser un écart d'utilité par la sensibilité au temps le traduit en minutes. C'est le meilleur moyen de rendre un résultat de modèle intelligible à un lecteur non spécialiste.

Calcul de l'exponentielle de l'écart

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le terme qui traduit l'écart d'utilité en rapport de préférence entre les deux modes.

Méthodologie du calcul :

On applique la fonction exponentielle à l'écart d'utilité. Le résultat s'interprète directement comme le nombre de fois où la voiture est choisie pour un choix de tramway.

Substitution : \( \Delta = 0{,}5664 \) util.
Piège évité : Ne pas confondre l'exponentielle avec une multiplication. L'écart étant positif, le résultat est supérieur à 1 : un résultat inférieur signalerait une erreur de signe.
Hypothèse validée : L'écart utilisé est bien celui des utilités totales, constante comprise.
Vérification croisée : Le logarithme de 1,7619 doit redonner 0,5664 : la fonction est bien inversée.
Finalité : Ce nombre entre directement au dénominateur du modèle Logit condensé.

\[ \begin{aligned} e^{\Delta} &= e^{0{,}5664} \\ &= \mathbf{1{,}7619} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La voiture est choisie 1,76 fois plus souvent que le tramway. C'est l'interprétation directe de ce nombre, et elle se communique sans aucun jargon.

Ordre de grandeur : Un rapport de 1,76 contre 4,56 aujourd'hui avec le bus : le tramway divise par 2,6 la domination de la voiture.
Impact sur la suite : Ce rapport se convertit immédiatement en parts de marché : une part pour le tramway contre 1,76 pour la voiture, sur un total de 2,76.
Cohérence : Le résultat est supérieur à 1, comme l'exige un écart d'utilité positif en faveur de la voiture.
Attention : L'exponentielle amplifie les erreurs : une erreur de 0,1 util sur l'écart, soit deux minutes de temps généralisé, déplace ce rapport de 10 % et la part de marché de 2,4 points. La précision des temps d'entrée compte autant que celle du modèle.
Comparaison : Un rapport de 1 correspondrait à l'indifférence parfaite et donc au partage égal du marché : le tramway en est proche sans l'atteindre.

Remarque pédagogique : Ce nombre est souvent le plus utile à retenir d'une étude de choix modal : « la voiture reste choisie près de deux fois plus souvent que le tramway » dit tout ce qu'un élu a besoin de savoir, sans une seule formule.

Calcul de la part de marché du tramway

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le résultat attendu de la question, et l'entrée de tout le dimensionnement de la ligne.

Méthodologie du calcul :

On applique la forme condensée du modèle Logit : l'inverse de un plus l'exponentielle de l'écart.

Substitution : \( e^{\Delta} = 1{,}7619 \).
Piège évité : Ne pas oublier le 1 au dénominateur : il représente l'exponentielle de l'écart du mode avec lui-même, qui vaut toujours 1. L'omettre donnerait 0,568, soit 20 points de trop.
Hypothèse validée : Le choix se limite à deux modes : le tramway se substitue au bus sur cette relation.
Vérification croisée : La part de la voiture vaut \( 1 - 0{,}3621 = 0{,}6379 \), et le rapport \( 0{,}6379/0{,}3621 = 1{,}7617 \) redonne bien l'exponentielle : la cohérence interne est vérifiée.
Finalité : Cette part de marché sera appliquée à la demande totale en question 4.

\[ \begin{aligned} P_{\text{tram}} &= \frac{1}{1 + 1{,}7619} \\ &= \mathbf{0{,}3621} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Une part de marché de 36,2 % pour le tramway. C'est un doublement de la part des transports collectifs sur la relation, sans pour autant renverser la hiérarchie des modes.

Ordre de grandeur : 36,2 % contre 18 % aujourd'hui : le projet fait exactement doubler la part du transport collectif, ce qui est un résultat considérable pour un corridor urbain.
Impact sur la suite : Appliquée aux 10 000 déplacements, cette part donnera la fréquentation, base du dimensionnement du matériel et de la fréquence.
Cohérence : La part est inférieure à 50 %, conformément à un écart d'utilité positif en faveur de la voiture.
Attention : Ce résultat est une borne basse : la constante a été calée sur un bus, alors que le tramway bénéficie généralement d'une image plus favorable. Une constante moins pénalisante de 0,9 util donnerait 40,6 % : c'est l'ordre de grandeur de l'incertitude à annoncer.
Comparaison : Les lignes de tramway françaises mises en service ces vingt dernières années captent couramment entre un quart et deux cinquièmes des déplacements de leur corridor : le résultat obtenu se situe dans cette fourchette.

Remarque pédagogique : Une prévision de part de marché ne s'annonce jamais seule. On la donne toujours avec sa fourchette et l'hypothèse qui la fonde — ici, la transposition d'une constante calée sur le bus, qui rend le résultat volontairement prudent.

PARTS DE MARCHÉ AVANT ET APRÈS LE PROJET

RÉSULTAT FINAL

\( P_{\text{tram}} \) = 36,2 %

"La part du transport collectif double sur la relation, mais la voiture reste choisie 1,76 fois plus souvent que le tramway."

Question 4 : Report modal, trafic reporté et recettes de la ligne

Dans la tête de l'ingénieur

"Il me reste à transformer une part de marché en chiffres opérationnels. Deux d'entre eux seront lus par le décideur et je dois éviter qu'il les confonde. Le premier est la fréquentation : combien de personnes monteront dans les rames — c'est ce qui dimensionne la ligne. Le second est le report modal : combien de voitures disparaîtront réellement de la route — c'est ce qui fonde le bilan environnemental. Ces deux nombres ne sont pas égaux, et l'écart entre eux est précisément constitué des anciens usagers du bus, qui ne roulaient déjà pas en voiture."

Observation : Les 18 % d'usagers du bus n'ont jamais été des automobilistes. Les compter comme du report modal gonflerait artificiellement le bénéfice environnemental du projet.
Analyse du risque : Annoncer la fréquentation comme un report modal est l'erreur de communication la plus répandue dans les dossiers de projets. Elle multiplie ici par deux le nombre de voitures prétendument retirées.
Choix stratégique : Je calcule le report par différence entre les situations — voitures avant moins voitures après — et non par répartition de la fréquentation. C'est la seule méthode qui isole le trafic réellement transféré.
Alternative : J'aurais pu tenir compte du trafic induit : un service très attractif suscite des déplacements qui n'existaient pas. Je l'écarte, faute de données d'élasticité sur cette relation, et je signale que la prévision est donc légèrement prudente.
Objectif visé : Livrer trois chiffres distincts et clairement nommés : fréquentation, report modal, recettes. Chacun répond à une question différente et aucun ne peut se substituer aux autres.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Fréquentation : 3 621 voyages/jour · voitures restantes : 6 379 · report réel depuis la voiture : 1 821 · recettes : 2 896,80 €/jour, soit 1 448 400 €/an

Rappel Théorique : Fréquentation, report modal et annualisation des recettes

Une prévision de trafic produit plusieurs nombres qui se ressemblent et ne mesurent pas la même chose. Les distinguer n'est pas une subtilité de vocabulaire : chacun alimente une partie différente du dossier de projet, et les confondre fausse soit le dimensionnement, soit le bilan environnemental, soit l'équilibre financier.

La fréquentation dimensionne la ligne : C'est le nombre de voyages effectués sur le mode étudié. Elle détermine la capacité à offrir : taille des rames, fréquence, longueur des quais. Elle inclut tous les voyageurs, quelle que soit leur origine modale.
Le report modal fonde le bilan environnemental : C'est le nombre de déplacements retirés à la voiture, et lui seul produit des gains d'émissions, de bruit et de congestion. Il s'obtient par différence entre la situation de référence et la situation de projet.
Les deux diffèrent du transfert intramodal : Les anciens usagers du bus qui montent dans le tramway alimentent la fréquentation sans produire aucun report modal. Sur cette relation, ils représentent la moitié de la fréquentation prévue.
La recette n'est pas le tarif : Abonnements, tarifs réduits et gratuités font que la recette moyenne encaissée par voyage est très inférieure au prix du titre unitaire. Calculer les recettes au tarif plein surestime lourdement les produits d'exploitation.
L'annualisation n'est pas une multiplication par 365 : Un flux domicile-travail ne se produit ni le week-end ni pendant les congés : on retient de l'ordre de 250 jours ouvrables. En revanche, chaque usager effectue son déplacement dans les deux sens, ce qui double le nombre de voyages quotidiens.

Équations Fondamentales

Trois relations élémentaires, dont la difficulté n'est jamais mathématique mais toujours dans la définition exacte de ce que l'on compte.

Trafic d'un mode :

Elle convertit une part de marché en un nombre de voyages quotidiens.

Pourquoi cette formule ?

La part de marché est une probabilité individuelle : elle décrit la chance qu'un usager quelconque choisisse le mode. Appliquée à un grand nombre d'usagers, cette probabilité devient une proportion observée — c'est la loi des grands nombres qui autorise ce passage. Avec 10 000 déplacements, l'approximation est excellente : l'écart-type relatif sur la prévision est inférieur à 1 %, ce qui est négligeable devant l'incertitude sur les paramètres du modèle.

Contexte de validité : La demande totale est supposée inchangée par le projet. Un service très attractif peut induire des déplacements nouveaux, que ce calcul ne capte pas.
Avantage : Elle fait le lien entre le comportement individuel modélisé et le volume agrégé dont le projet a besoin pour être dimensionné.
Paramètre clé : La part de marché, dont l'incertitude se transmet intégralement : quatre points de part de marché représentent 400 voyages par jour.
Vérification : La somme des trafics de tous les modes doit redonner exactement la demande totale.
Limite : Elle donne des voyages, pas des voyageurs. Un usager effectuant l'aller et le retour compte pour deux voyages, ce dont l'annualisation devra tenir compte.

\[ \begin{aligned} N_i = D \times P_i \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Sur dix mille déplacements, un peu plus de trente-six sur cent se feront en tramway. La part de marché est une proportion : la multiplier par l'effectif total donne directement le nombre concerné.

Décomposition des termes :

\( N_i \) : nombre de voyages quotidiens sur le mode etudie, unité : voyages/j
\( D \) : demande totale sur la relation, tous modes confondus, unité : deplacements/j
\( P_i \) : part de marche du mode etudie, unité : —

Report modal depuis la voiture :

Elle isole le nombre de déplacements réellement retirés au mode individuel.

Pourquoi cette formule ?

C'est la seule grandeur qui produise un bénéfice environnemental, et elle ne se lit pas dans la fréquentation. On la calcule par différence entre deux situations : le trafic automobile de référence, avant projet, et celui de la situation de projet. Tout autre mode de calcul — répartir la fréquentation, appliquer un pourcentage — reposerait sur une hypothèse arbitraire. La différence, elle, découle directement du modèle et n'ajoute aucune hypothèse.

Contexte de validité : Les deux situations doivent porter sur la même demande totale. Si le projet induisait du trafic nouveau, la différence mêlerait report et induction.
Avantage : Elle ne demande aucune hypothèse supplémentaire : les deux termes sortent directement du modèle calé.
Paramètre clé : La part de marché de la voiture avant projet, ici 82 %, issue du comptage. Sa fiabilité conditionne celle du report annoncé.
Vérification : Le report doit être inférieur à la fréquentation du nouveau mode, l'écart correspondant aux anciens usagers du mode collectif remplacé.
Limite : Elle mesure un report sur cette seule relation et cette seule période. Le bilan complet d'un projet exige de sommer sur l'ensemble des relations desservies et sur toute la journée.

\[ \begin{aligned} \Delta N_{\text{VP}} = N_{\text{VP,ref}} - N_{\text{VP,proj}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Huit mille deux cents automobilistes avant, six mille trois cent soixante-dix-neuf après : la différence est le nombre de personnes qui ont réellement laissé leur voiture. C'est ce nombre, et lui seul, qui se convertit en tonnes de dioxyde de carbone évitées.

Décomposition des termes :

\( \Delta N_{\text{VP}} \) : deplacements retires a la voiture, unité : deplacements/j
\( N_{\text{VP,ref}} \) : trafic automobile avant projet, unité : deplacements/j
\( N_{\text{VP,proj}} \) : trafic automobile apres projet, unité : deplacements/j

Recettes annuelles de billetterie :

Elle traduit la fréquentation en produits d'exploitation, sur une base annuelle.

Pourquoi cette formule ?

Trois corrections séparent la fréquentation quotidienne d'une recette annuelle, et chacune répond à une réalité distincte. La recette moyenne par voyage tient compte des abonnements et des tarifs réduits, qui font que le titre unitaire n'est presque jamais payé. Le facteur 2 traduit le fait qu'un usager effectue un aller et un retour, donc deux voyages. Le nombre de jours ouvrables, enfin, exclut les week-ends et les congés, pendant lesquels un flux domicile-travail ne se produit pas.

Contexte de validité : Flux domicile-travail exclusivement. Une ligne desservant aussi des motifs de loisir aurait une fréquentation le week-end et une annualisation différente.
Avantage : Elle rend le résultat directement comparable aux coûts d'exploitation annuels de la ligne, qui sont eux aussi exprimés à l'année.
Paramètre clé : La recette moyenne par voyage. Retenir 2 € au lieu de 0,80 multiplierait le résultat par 2,5 et fausserait tout l'équilibre financier du projet.
Vérification : Le résultat doit rester très inférieur au produit de la fréquentation par le tarif plein et par 365 : un rapport de l'ordre de 3 à 4 est attendu.
Limite : Elle ne couvre que la billetterie. Les recettes réelles d'une autorité organisatrice comprennent aussi le versement mobilité et les contributions publiques, généralement majoritaires.

\[ \begin{aligned} R_a = N \times r \times 2 \times n_j \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Chaque voyage rapporte 0,80 €, chaque usager en fait deux par jour, et il y a 250 jours de travail dans l'année. Le produit des quatre termes donne la recette annuelle : aucun des quatre n'est facultatif, et en omettre un fausse le résultat d'un facteur qui se compte en unités entières.

Décomposition des termes :

\( R_a \) : recettes annuelles de billetterie, unité : €/an
\( N \) : frequentation quotidienne dans un sens, unité : voyages/j
\( r \) : recette moyenne reellement encaissee par voyage, unité : €/voyage
\( 2 \) : aller et retour effectues par chaque usager, unité : —
\( n_j \) : nombre de jours ouvrables dans l'annee, unité : j/an

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants annoncent que le tramway retire 3 621 voitures de la route et calculent les recettes annuelles en multipliant la fréquentation par le tarif de 2 € et par 365 jours."

L'approche d'ingénieur : Ces deux erreurs se produisent presque toujours ensemble, et elles vont dans le même sens : elles embellissent le projet. Voici leur effet exact.

L'erreur sur le report : Les 3 621 voyageurs du tramway comprennent les 1 800 anciens usagers du bus, qui ne roulaient pas en voiture. Le report réel n'est que de 1 821 déplacements, soit la moitié du chiffre annoncé. Le bilan environnemental serait doublé sans fondement.
L'erreur sur les recettes : Le calcul \( 3621 \times 2 \times 365 = 2\,643\,330 \) € annonce 2,64 millions d'euros. Or le titre unitaire n'est presque jamais payé et le flux ne se produit pas 365 jours par an : les deux corrections jouent en sens contraire du facteur 2 des allers-retours.
L'impact chiffré : Le calcul correct donne 1 448 400 € par an. L'écart avec le calcul erroné est de 1,19 million d'euros, soit 82 % de surestimation — de quoi transformer un projet déficitaire en projet à l'équilibre sur le papier.
Le moyen mnémotechnique : Trois questions à se poser avant toute annualisation : qui paie quoi, combien de fois par jour, combien de jours par an. Aucune des trois n'a de réponse évidente.
L'impact direct : Un projet évalué sur des recettes surestimées de 82 % affiche un équilibre d'exploitation qu'il n'atteindra jamais. L'écart se reporte sur la contribution publique, année après année, pendant toute la durée de la concession.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Demande totale : en déplacements par jour, dans un seul sens, sur la seule relation étudiée.
Part de marché : sans unité, utilisée sous sa forme décimale et non en pourcentage.
Fréquentation et report : en voyages ou déplacements par jour. Ce sont deux grandeurs distinctes qui partagent la même unité, d'où la nécessité de les nommer explicitement.
Recette moyenne : en euros par voyage, distincte du tarif affiché en euros par titre.
Recettes annuelles : en euros par an, après multiplication par les allers-retours et par le nombre de jours ouvrables.

Cinq calculs. Les trois premiers séparent soigneusement fréquentation et report modal, les deux derniers construisent la recette annuelle terme par terme. Chaque facteur de l'annualisation sera justifié séparément.

1. Résolution Numérique Calcul de la fréquentation quotidienne du tramway

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le nombre qui dimensionne la ligne : capacité des rames, fréquence, longueur des quais en dépendent directement.

Méthodologie du calcul :

On applique la part de marché prévue à la demande totale de la relation.

Substitution : \( D = 10000 \) déplacements/jour et \( P_{\text{tram}} = 0{,}3621 \).
Piège évité : Utiliser la part sous sa forme décimale. Multiplier par 36,21 donnerait 362 100 voyages, soit trente-six fois la demande totale : l'absurdité se repère immédiatement.
Hypothèse validée : La demande totale reste de 10 000 déplacements après le projet : on néglige le trafic induit, ce qui rend la prévision prudente.
Vérification croisée : La somme des deux modes devra redonner exactement 10 000 déplacements.
Finalité : Cette fréquentation servira au calcul des recettes, et à lui seul — pas au bilan environnemental.

\[ \begin{aligned} N_{\text{tram}} &= 10000 \text{ deplacements/j} \times 0{,}3621 \\ &= \mathbf{3621} \text{ voyages/j} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Trois mille six cent vingt et un voyages par jour dans le sens de la pointe. C'est le volume à transporter, et il inclut tous les usagers, quelle que soit leur origine modale.

Ordre de grandeur : 3 621 voyages sur la pointe du matin correspondent, pour une rame de 300 places, à douze rames pleines : la ligne devra offrir au moins cette capacité sur la période.
Impact sur la suite : C'est cette valeur, et non le report modal, qui entrera dans le calcul des recettes : tout voyageur paie, qu'il vienne du bus ou de la voiture.
Cohérence : Le résultat représente bien 36,21 % des 10 000 déplacements, conformément à la part calculée.
Attention : Ce chiffre ne doit jamais être présenté comme un nombre de voitures retirées de la route. La moitié de ces voyageurs prenaient déjà le bus, et le calcul suivant le démontre.
Comparaison : La ligne de bus actuelle transporte 1 800 voyages sur la même période : le tramway double exactement la fréquentation du transport collectif sur la relation.

Remarque pédagogique : Retenez la distinction : la fréquentation dimensionne l'offre, le report modal justifie le projet. Les deux nombres sortent du même modèle mais ne répondent pas à la même question.

Calcul du trafic automobile après projet

Pourquoi fait-on ce calcul ? Il est nécessaire pour établir le report modal par différence avec la situation actuelle.

Méthodologie du calcul :

On applique à la demande totale la part de marché complémentaire, celle de la voiture.

Substitution : \( D = 10000 \) déplacements/jour et \( P_{\text{VP}} = 1 - 0{,}3621 = 0{,}6379 \).
Piège évité : La part de la voiture se déduit du complément à 1, non de la part actuelle de 82 %. Conserver 82 % reviendrait à supposer que le projet n'a aucun effet.
Hypothèse validée : Les deux modes se partagent la totalité de la demande : le bus est supprimé et remplacé par le tramway.
Vérification croisée : \( 3621 + 6379 = 10000 \) : la somme redonne bien la demande totale.
Finalité : Ce trafic sera comparé aux 8 200 déplacements automobiles de la situation actuelle.

\[ \begin{aligned} N_{\text{VP,proj}} &= 10000 \text{ deplacements/j} \times 0{,}6379 \\ &= \mathbf{6379} \text{ deplacements/j} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Six mille trois cent soixante-dix-neuf déplacements restent effectués en voiture, contre huit mille deux cents aujourd'hui : la baisse est réelle mais la voiture demeure largement majoritaire.

Ordre de grandeur : Une baisse de 22 % du trafic automobile sur la relation, à demande totale constante : c'est un effet substantiel pour un projet de transport collectif.
Impact sur la suite : La différence avec les 8 200 actuels donnera directement le report modal.
Cohérence : La somme des deux trafics redonne la demande totale, ce qui valide la répartition.
Attention : Cette baisse de trafic libère de la capacité routière, qui peut être réoccupée par des déplacements aujourd'hui reportés à d'autres heures ou d'autres itinéraires. Sans mesure d'accompagnement, une partie du gain de congestion se dissipe ainsi.
Comparaison : Pour obtenir la même baisse de 1 821 déplacements par la seule tarification du stationnement, il faudrait porter le coût de la voiture d'environ 5 à 7 € par déplacement.

Remarque pédagogique : Ce dernier point est essentiel dans un dossier de projet : le tramway et la politique de stationnement sont des leviers complémentaires, et l'un sans l'autre voit une partie de son effet s'évaporer.

Calcul du report modal réel depuis la voiture

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le seul chiffre qui fonde le bilan environnemental du projet, et le plus souvent confondu avec la fréquentation.

Méthodologie du calcul :

On retranche le trafic automobile de projet de celui de la situation de référence. La différence est le nombre de déplacements réellement transférés.

Substitution : \( N_{\text{VP,ref}} = 10000 \times 0{,}82 = 8200 \) et \( N_{\text{VP,proj}} = 6379 \) déplacements/jour.
Piège évité : Ne pas prendre la fréquentation du tramway comme report. L'écart de 1 800 voyages correspond exactement aux anciens usagers du bus, qui n'ont jamais utilisé de voiture sur cette relation.
Hypothèse validée : La demande totale est inchangée, ce qui garantit que la différence mesure un report et non une induction de trafic.
Vérification croisée : \( 1800 + 1821 = 3621 \) : les anciens usagers du bus et les automobilistes reportés composent exactement la fréquentation du tramway.
Finalité : Ce chiffre alimentera le bilan des émissions, du bruit et de la congestion évités.

\[ \begin{aligned} \Delta N_{\text{VP}} &= 8200 \text{ deplacements/j} - 6379 \text{ deplacements/j} \\ &= \mathbf{1821} \text{ deplacements/j} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Mille huit cent vingt et un déplacements retirés à la voiture : c'est la moitié de la fréquentation du tramway, l'autre moitié venant du bus supprimé.

Ordre de grandeur : Un report de 18,2 points de part de marché, soit 1 821 déplacements : le projet convertit environ un automobiliste sur cinq de la relation.
Impact sur la suite : C'est ce nombre, et non 3 621, qu'il faudra multiplier par la longueur du trajet et par les facteurs d'émission pour établir le bilan environnemental.
Cohérence : Le report est bien inférieur à la fréquentation, et leur différence vaut exactement la fréquentation actuelle du bus.
Attention : Ce report vaut pour un sens et une période. Le rapporter à la journée entière et aux deux sens supposerait de disposer de la demande sur ces périodes, qui n'est pas fournie ici : extrapoler sans donnée serait une faute.
Comparaison : Annoncer 3 621 voitures retirées au lieu de 1 821 doublerait le bénéfice environnemental affiché. C'est l'écart entre un dossier honnête et un dossier de communication.

Remarque pédagogique : Un projet de transport collectif qui remplace une ligne existante produit nécessairement moins de report modal qu'un projet créant une desserte nouvelle. Ce n'est pas un défaut du projet, c'est une caractéristique qu'il faut énoncer et non dissimuler.

Calcul des recettes journalières de billetterie

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est le produit d'exploitation quotidien de la ligne, base de son équilibre financier.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la fréquentation par la recette moyenne réellement encaissée par voyage, qui tient compte des abonnements et des tarifs réduits.

Substitution : \( N_{\text{tram}} = 3621 \) voyages/jour et \( r = 0{,}80 \) €/voyage.
Piège évité : Ne pas utiliser le tarif affiché de 2 €. Sur un réseau urbain, la majorité des voyages sont effectués sous abonnement : le titre unitaire n'est presque jamais payé au plein tarif.
Hypothèse validée : La recette moyenne de 0,80 € par voyage est celle constatée sur le réseau, tous titres confondus.
Vérification croisée : Le rapport entre recette moyenne et tarif affiché vaut 0,40, valeur cohérente avec un réseau où les abonnements dominent.
Finalité : Cette recette journalière sera annualisée en tenant compte des allers-retours et des jours ouvrables.

\[ \begin{aligned} R_j &= 3621 \text{ voyages/j} \times 0{,}80 \text{ €/voyage} \\ &= \mathbf{2896{,}80} \text{ €/j} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un peu moins de trois mille euros par jour pour le seul sens de la pointe du matin. Le tarif affiché de 2 € aurait donné 7 242 €, soit deux fois et demie plus.

Ordre de grandeur : 2 896,80 € pour 3 621 voyages, soit exactement 0,80 € par voyage : la recette moyenne est le seul paramètre du calcul.
Impact sur la suite : C'est cette valeur qui sera annualisée. Une erreur sur la recette moyenne se propage intégralement au résultat final.
Cohérence : Le résultat est bien inférieur au produit de la fréquentation par le tarif plein, comme l'exige un réseau largement abonné.
Attention : La billetterie ne couvre qu'une fraction minoritaire du coût d'exploitation d'un réseau urbain. L'essentiel provient du versement mobilité et des contributions publiques : annoncer les seules recettes comme mesure de la viabilité serait trompeur.
Comparaison : Une hausse du tarif ne produirait pas une hausse proportionnelle des recettes : elle dégraderait l'utilité du tramway et réduirait sa part de marché. Le modèle permettrait précisément de chiffrer cet arbitrage.

Remarque pédagogique : Ce dernier point mérite d'être retenu : dans un modèle de choix modal, le tarif agit simultanément sur la recette unitaire et sur la fréquentation. Optimiser le premier sans recalculer la seconde conduit systématiquement à surestimer le produit attendu.

Calcul des recettes annuelles de la ligne

Pourquoi fait-on ce calcul ? C'est la forme sous laquelle les recettes seront comparées aux coûts d'exploitation, eux aussi annuels.

Méthodologie du calcul :

On multiplie la recette journalière par deux, pour tenir compte du retour de chaque usager, puis par le nombre de jours ouvrables de l'année.

Substitution : \( R_j = 2896{,}80 \) €/jour, facteur 2 pour l'aller-retour, \( n_j = 250 \) jours ouvrables.
Piège évité : Ne pas multiplier par 365. Un flux domicile-travail ne se produit ni les week-ends ni pendant les congés : retenir 365 jours surestimerait les recettes de 46 %.
Hypothèse validée : Chaque usager effectue un aller le matin et un retour le soir, sur la même relation et avec le même mode. C'est l'hypothèse standard pour un flux domicile-travail.
Vérification croisée : Le nombre total de voyages annuels vaut \( 3621 \times 2 \times 250 = 1810500 \), et \( 1810500 \times 0{,}80 = 1448400 \) € : les deux ordres de calcul concordent.
Finalité : Ce montant sera confronté aux coûts d'exploitation annuels dans le bilan financier du projet.

\[ \begin{aligned} R_a &= 2896{,}80 \text{ €/j} \times 2 \times 250 \text{ j/an} \\ &= \mathbf{1448400} \text{ €/an} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Environ 1,45 million d'euros de recettes annuelles de billetterie sur cette seule relation. Le calcul hâtif au tarif plein sur 365 jours aurait annoncé 2,64 millions, soit 82 % de plus.

Ordre de grandeur : 1,45 M€ pour 1,81 million de voyages annuels : la recette moyenne de 0,80 € par voyage se retrouve bien dans le résultat.
Impact sur la suite : Ce montant entre au bilan financier du projet, en regard des coûts d'exploitation et de l'annuité d'investissement.
Cohérence : Les deux ordres de calcul — recette puis annualisation, ou voyages annuels puis recette — donnent exactement le même résultat.
Attention : Ce chiffre ne concerne que la relation A vers B. Une ligne réelle dessert de nombreuses relations et son bilan complet suppose de sommer sur toutes, ce que cette étude ne fait pas et ne prétend pas faire.
Comparaison : Rapporté au report modal de 1 821 déplacements quotidiens, cela représente environ 795 € de recette annuelle par automobiliste converti : un indicateur utile pour comparer plusieurs variantes de projet.

Remarque pédagogique : L'annualisation est l'étape où se logent les erreurs les plus lourdes d'un dossier financier, parce qu'elle multiplie. Chacun de ses facteurs doit être justifié séparément et explicitement — c'est ce qui distingue une prévision d'une extrapolation.

ORIGINE DES VOYAGEURS DU TRAMWAY

RÉSULTAT FINAL

\( \Delta N_{\text{VP}} \) = 1 821 déplacements/jour

"La moitié seulement de la fréquentation du tramway est du trafic retiré à la voiture — c'est ce nombre, et non 3 621, qui fonde le bilan environnemental."

SCHÉMA BILAN — DE LA CHAÎNE DE DÉPLACEMENT AU REPORT MODAL

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai raisonné en temps généralisés, de porte à porte, et non sur les temps de parcours affichés — y compris pour la voiture, dont j'ai pondéré le temps de stationnement. J'ai vérifié que la valeur du temps implicite au modèle était conforme à la valeur de référence prescrite pour le motif étudié, avant de me servir du modèle. J'ai calé le modèle sur la situation observée avant de prévoir, et je me suis assuré qu'il reproduisait exactement la part de marché du mode existant. J'ai distingué la fréquentation du report modal, et je n'ai jamais présenté l'une comme l'autre. J'ai justifié séparément chaque facteur de l'annualisation : recette réelle par voyage, allers-retours, jours ouvrables.

Le tramway porte la part des transports collectifs de 18 % à 36,2 % sur la relation étudiée : elle double. La ligne transportera 3 621 voyages par jour dans le sens de la pointe, dont 1 821 seulement sont réellement retirés à la voiture, l'autre moitié provenant des anciens usagers du bus. Les recettes de billetterie s'établissent à 2 896,80 € par jour et par sens, soit 1 448 400 € par an une fois pris en compte les allers-retours et les 250 jours ouvrables. Le trafic automobile de la relation baisse de 8 200 à 6 379 déplacements quotidiens, soit une réduction de 22 %.

L'étude a montré que le résultat ne se joue pas dans la performance annoncée du tramway mais dans deux corrections de méthode. La première est le passage aux temps généralisés : le tramway, plus rapide de cinq minutes à bord, se révèle plus long de sept minutes une fois la marche et l'attente comptées à leur pénibilité réelle. La seconde est le calage du modèle sur la ligne de bus existante, qui révèle que les trois quarts de l'écart de comportement entre voiture et transport collectif échappent au temps et au coût. Sans ces deux corrections, le même modèle annoncerait 63 % de part de marché au lieu de 36 : il prédirait également 40 % de part au bus, là où l'on en observe 18. Deux enseignements en découlent pour la conduite du projet. D'abord, les marges de progression du tramway se trouvent dans sa fréquence et dans l'implantation de ses stations, qui pèsent près de la moitié de son temps généralisé, bien plus que dans sa vitesse en ligne. Ensuite, l'écart résiduel de 0,5664 util représente 11 minutes généralisées : c'est exactement l'ordre de grandeur qu'une politique de stationnement peut produire à elle seule. Le tramway et les mesures d'accompagnement ne sont pas alternatifs, ils sont complémentaires — et le second levier coûte une fraction du premier.

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