Ajustements de Pente pour la Construction

1. Présentation du Projet CAHIER DES CHARGES

Contexte de l'Étude & Enjeux

Le Contexte : Une collectivité vous confie l'aménagement d'une aire de stationnement de 25 mètres de long à flanc de coteau. Le terrain naturel présente une pente régulière de 12 %, alors que l'ouvrage à réaliser exige une plateforme rigoureusement horizontale. Il faut donc remodeler le terrain : on creuse dans la partie haute (le déblai) et on rapporte de la terre dans la partie basse (le remblai). Une contrainte de raccordement à la voirie existante impose que le bord amont de la plateforme soit calé exactement à 0,20 m sous le terrain naturel. Cette contrainte unique, imposée par le projet, verrouille toute la géométrie du terrassement : tout le reste s'en déduit par le calcul.

Les Points Clés du Projet

Pour avancer sereinement, voici les éléments fondamentaux que vous devez avoir à l'esprit. Gardez un œil attentif sur ces critères déterminants :

Enjeu Principal : Créer une plateforme horizontale de 10,00 m de largeur sur 25,00 m de longueur sur un versant à 12 %. La section transversale se décompose en un triangle de déblai en amont et un triangle de remblai en aval, séparés par le point d'équilibre où la plateforme recoupe le terrain naturel.
Environnement : Le versant a une pente constante de 12 %, c'est-à-dire une chute de 12 cm par mètre parcouru à l'horizontale. Le profil est supposé identique sur toute la longueur du projet : on est dans le cas favorable du prisme droit, où le volume se déduit directement de l'aire de la section.
L'objectif final : Établir le bilan des mouvements de terres : la terre extraite du déblai suffit-elle à monter le remblai ? Si le bilan est déficitaire, il faudra acheter et transporter des matériaux d'emprunt ; s'il est excédentaire, il faudra évacuer les excédents en dépôt. Dans les deux cas, c'est une ligne budgétaire lourde que le maître d'œuvre doit chiffrer avant travaux.
L'astuce de l'ingénieur : Dessinez toujours le profil en travers avant de calculer. Une ligne de terrain naturel, une ligne de projet horizontale, et le point où elles se croisent : ces trois traits contiennent déjà toute la solution. Le calcul ne fait que mettre des chiffres sur un dessin juste.

Votre Mission :

Vous êtes projeteur en bureau d'études VRD. Le maître d'ouvrage veut savoir, avant de lancer la consultation des entreprises, combien de mètres cubes de terre vont réellement circuler sur ce chantier et, surtout, s'il faudra en acheter. Votre note de calculs doit passer de la géométrie (hauteurs, largeurs, aires) aux volumes, puis du volume géométrique au volume réel de matériau à mobiliser, en tenant compte du fait qu'un mètre cube de sol ne reste pas un mètre cube quand on l'extrait puis qu'on le recompacte.

Le grand défi : Le projet est volontairement dissymétrique. Le calage à 0,20 m en amont déplace le point d'équilibre très près du bord haut : le triangle de remblai sera bien plus gros que le triangle de déblai. Le réflexe « la plateforme est centrée, donc les volumes s'équilibrent » est ici faux.
Votre rôle : Enchaîner rigoureusement quatre étapes : la hauteur de remblai, les aires des deux sections, les volumes sur 25 m, puis le bilan des matériaux corrigé du contre-foisonnement. Chaque résultat alimente le suivant : une erreur d'arrondi au début se propage jusqu'au budget.

PLAN DE REPÉRAGE

Livrables Attendus (Checklist) :

Une note géométrique complète du profil en travers : hauteur de remblai aval, position du point d'équilibre, largeurs et aires des deux sections. Chaque grandeur doit être justifiée par une relation explicite, pas seulement annoncée.
Un bilan chiffré des mouvements de terres exprimé en mètres cubes en place, conformément à la règle de métré du fascicule 2 du CCTG, avec conclusion explicite : projet excédentaire ou déficitaire, et volume à importer ou à évacuer.

2. Données Techniques & Normes

Les données ci-dessous sont celles du dossier de consultation. Elles se répartissent en deux familles bien distinctes, et il est essentiel de ne pas les confondre. D'un côté, les paramètres géométriques — pente du versant, largeur et longueur de la plateforme — qui décrivent la forme de l'ouvrage et se lisent directement sur les plans. De l'autre, les contraintes imposées — le calage altimétrique du bord amont et le comportement volumique du sol — qui n'ont rien de géométrique mais qui pilotent pourtant tout le résultat final. Une seule de ces contraintes, le calage à 0,20 m, suffit à rendre le projet dissymétrique et à faire basculer le bilan des terres. Lisez donc les données comme un ingénieur : en cherchant laquelle commande les autres.

Formulaire & Aide-Mémoire (À consulter en cas de besoin)

Retrouvez ici les formules principales pour cet exercice. Ne les apprenez pas par cœur, comprenez comment les appliquer !

Dénivelé engendré par une pente \( D = L \times \dfrac{p\,[\%]}{100} \)
Répartition du dénivelé \( D = H_{\text{d}} + H_{\text{r}} \)
Largeur d'une zone à partir de sa hauteur \( L_{i} = \dfrac{H_{i}}{p\,[\%]/100} \)
Aire d'une section triangulaire \( A = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \)
Volume d'un prisme droit \( V = A \times L_{\text{proj}} \)
Volume en place nécessaire au remblai \( V_{\text{nec}} = \dfrac{V_{\text{r}}}{C_{\text{c}}} \)
Bilan des mouvements de terres \( B = V_{\text{d}} - V_{\text{nec}} \)

Hypothèses et Paramètres de l'Étude

GÉOMÉTRIE DU SITE ET DE L'OUVRAGE

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( p \)	Pente naturelle du versant, constante sur toute l'emprise	12	%
\( L_{\text{plat}} \)	Largeur de la plateforme, mesurée dans le sens de la plus grande pente	10,00	m
\( L_{\text{proj}} \)	Longueur de la plateforme, perpendiculairement au profil en travers	25,00	m
\( C_{\text{c}} \)	Coefficient de contre-foisonnement du remblai : volume compacté obtenu à partir d'un mètre cube de sol en place CCTG Fasc. 2 — art. 6.5.1	0,90	sans unité

Conversion de la pente en ratio de calcul

Pente en ratio : \( \text{tan}\,\alpha = p / 100 = \mathbf{0{,}12} \text{ m/m} \)
Lecture physique : \( 1{,}00 \text{ m a l'horizontale} \;\Rightarrow\; \mathbf{0{,}12} \text{ m de chute} \)

CONTRAINTES DE PROJET ET EXIGENCES D'EXÉCUTION

Symbole	Description	Valeur	Unité
\( H_{\text{d}} \)	Calage altimétrique imposé : profondeur de déblai au bord amont de la plateforme	0,20	m
\( q_{4} \)	Objectif de densification retenu pour le remblai : 95 % de l'OPN en moyenne, 92 % de l'OPN au minimum en fond de couche GTR 2024 Fasc. 1 — tableau 1	95 / 92	% OPN
\( \text{metre} \)	Unité de règlement des déblais et des emprunts : le mètre cube en place, avant extraction CCTG Fasc. 2 — art. 6.5.1 / 6.6	en place	m³

Hypothèses simplificatrices assumées

Talus : \( \text{flancs de fouille et de remblai supposes verticaux} \)
Profil : \( \text{section constante sur les } \mathbf{25{,}00} \text{ m de longueur} \)
Décapage : \( \text{terre vegetale non comptabilisee dans les cubatures} \)

Extraits de Normes & Abaques (Documents Annexes)

Servez-vous des documents ci-dessous pour extraire les coefficients nécessaires à votre résolution.

Extrait du GTR 2024, fascicule 1 — objectifs de densification

Classe / Catégorie	Coefficient ou Valeur
Objectif « q4 » — corps de remblai courant	95 % de l'OPN en moyenne, 92 % de l'OPN au minimum en fond de couche
Objectif « q3 » — couche de forme	98,5 % de l'OPN en moyenne, 96 % de l'OPN au minimum en fond de couche
Domaine d'emploi de l'objectif q4	Suffisant en principe pour tout remblai de hauteur \( H < 15 \) m
Seuil de stabilité sous poids propre	Masse volumique sèche > 95 % de l'optimum Proctor normal (GTR 2024 Fasc. 1, § 1.7.1)

Règle de métré applicable — fascicule 2 du CCTG, Terrassements généraux

Article 6.5.1 (déblais) et article 6.6 (emprunts) : le prix s'applique soit au mètre cube en place, avant extraction, soit au mètre cube en œuvre, après compactage. Le texte précise que la première formule doit être adoptée en règle générale. Le recours au mètre cube en œuvre est réservé aux cas où la cubature des volumes en place n'est pas réalisable avec une précision suffisante ; il exige alors que le dossier géotechnique permette une appréciation du coefficient de foisonnement et de contre-foisonnement. C'est très exactement le statut de la donnée \( C_{\text{c}} = 0{,}90 \) de cet exercice : aucune norme ne la fixe, elle provient de la reconnaissance des sols du site.

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Afin d'assurer un dimensionnement sécuritaire et conforme aux standards, nous procédons selon les étapes méthodiques détaillées ci-dessous. La logique est strictement séquentielle : on part de la pente, qui donne les hauteurs ; les hauteurs donnent les largeurs ; hauteurs et largeurs donnent les aires ; les aires donnent les volumes géométriques ; enfin le comportement volumique du sol transforme ces volumes géométriques en quantités réelles de matériau à mobiliser. Chaque question ne peut être traitée qu'une fois la précédente aboutie.

Question 1 : Hauteur maximale de remblai en aval

Géométrie des pentes 10 min | Facile

But de l'étape : Établir la deuxième hauteur caractéristique du profil. Sans elle, aucune aire, aucun volume et aucun bilan n'est calculable. C'est la question qui traduit la contrainte de calage imposée par le projet en une grandeur géométrique exploitable.

Énoncé Q1 : Le bord amont de la plateforme est calé à 0,20 m sous le terrain naturel. Sachant que le versant descend à 12 % et que la plateforme mesure 10,00 m de largeur, calculer la hauteur maximale de remblai \( H_{\text{r}} \) à l'extrémité aval de la plateforme. Détaillez d'abord le dénivelé total du terrain naturel sur la largeur de la plateforme, puis déduisez-en la hauteur cherchée.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

La plateforme est horizontale et le terrain naturel descend. Sur la largeur totale, l'écart entre les deux lignes varie donc du calage imposé en amont jusqu'à la hauteur de remblai en aval. Cet écart total, c'est exactement le dénivelé du terrain naturel sur cette même largeur.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Commencez par \( D = L_{\text{plat}} \times p/100 \), puis appliquez la répartition \( D = H_{\text{d}} + H_{\text{r}} \). La valeur intermédiaire attendue est un dénivelé total de 1,20 m.

Question 2 : Aires des sections de déblai et de remblai

Métré de profil en travers 20 min | Intermédiaire

But de l'étape : Localiser le point d'équilibre, c'est-à-dire l'abscisse où la plateforme recoupe le terrain naturel, puis quantifier les deux surfaces de terrassement. C'est l'étape qui révèle numériquement la dissymétrie du projet.

Énoncé Q2 : Déterminer les largeurs \( L_{\text{d}} \) et \( L_{\text{r}} \) des zones en déblai et en remblai, puis calculer les aires \( A_{\text{d}} \) et \( A_{\text{r}} \) des deux sections triangulaires du profil en travers. Vérifiez systématiquement que la somme des deux largeurs redonne la largeur totale de la plateforme : c'est votre contrôle de cohérence gratuit.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Les deux triangles ont un point commun essentiel : leur hypoténuse est portée par la même ligne de terrain naturel. Ils ont donc le même rapport hauteur sur base, égal à la pente. C'est le principe des triangles semblables.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Utilisez \( L_{\text{d}} = H_{\text{d}} / (p/100) \) puis \( L_{\text{r}} = L_{\text{plat}} - L_{\text{d}} \). La largeur de déblai attendue est d'environ 1,667 m : le point d'équilibre est donc très proche du bord amont.

Question 3 : Cubatures du déblai et du remblai

Cubatures 15 min | Intermédiaire

But de l'étape : Passer de la surface au volume. C'est ce volume, exprimé en mètre cube en place, qui constitue l'unité de règlement des travaux de terrassement et qui alimentera directement le bordereau de prix.

Énoncé Q3 : Le profil en travers est supposé constant sur les 25,00 m de longueur du projet. Calculer le volume de déblai en place \( V_{\text{d}} \) et le volume de remblai compacté \( V_{\text{r}} \). Précisez bien, pour chaque volume, dans quel état du matériau il est exprimé : c'est ce qui rendra la question 4 possible.

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Quand une section reste identique d'un bout à l'autre, l'ouvrage est un prisme droit. Le volume se réduit alors à une simple multiplication, sans aucune moyenne de profils à faire.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Appliquez \( V = A \times L_{\text{proj}} \) à chacune des deux aires. Le volume de déblai attendu est voisin de 4,17 m³, à comparer aux quelque 104 m³ de remblai.

Question 4 (Finale) : Bilan des mouvements de terres

Mouvement des terres 25 min | BOSS

But de l'étape : Quitter la géométrie pure pour entrer dans la réalité du matériau. Un mètre cube extrait du sol ne redonne pas un mètre cube de remblai compacté : c'est cette différence, et elle seule, qui décide si le chantier devra acheter ou évacuer de la terre.

Mention spéciale — le piège du bilan géométrique : Beaucoup de candidats concluent dès la question 3 en comparant directement \( V_{\text{d}} \) et \( V_{\text{r}} \). C'est faux : ces deux volumes ne décrivent pas le sol dans le même état. Le premier est un volume en place, le second un volume compacté. Les comparer revient à additionner des grandeurs incompatibles.

À l'aide du coefficient de contre-foisonnement \( C_{\text{c}} = 0{,}90 \), calculer le volume de sol en place réellement nécessaire pour réaliser le remblai, puis établir le bilan des mouvements de terres. Conclure : le projet est-il excédentaire ou déficitaire, et de combien de mètres cubes en place ?

Besoin d'un indice ? (Niveau 1)

Choisissez un seul état de référence et ramenez-y toutes les quantités. Le fascicule 2 du CCTG impose de raisonner en mètre cube en place : c'est donc le remblai compacté qu'il faut reconvertir, et non l'inverse.

Toujours bloqué ? (Indice Niveau 2)

Puisque \( C_{\text{c}} = V_{\text{compacte}} / V_{\text{en place}} \), on inverse la relation : \( V_{\text{nec}} = V_{\text{r}} / C_{\text{c}} \). Comme \( C_{\text{c}} < 1 \), le besoin en sol en place est supérieur au volume de remblai fini, de l'ordre de 115,7 m³.

NOTE DE CALCULS

Ajustements de Pente pour la Construction

Question 1 : Hauteur maximale de remblai en aval

Dans la tête de l'ingénieur

"Je regarde mon profil et je vois deux lignes : le terrain naturel, qui descend régulièrement, et ma plateforme, qui reste rigoureusement horizontale. Entre ces deux lignes, l'écart change de signe quelque part. À gauche je suis sous le terrain — je creuse. À droite je suis au-dessus — je remblaie. Le projet ne me donne qu'une seule cote, celle du bord amont. Mais cette cote unique suffit, parce que la géométrie du versant me donne gratuitement tout le reste : l'écart total entre mes deux lignes, d'un bout à l'autre de la plateforme, c'est exactement le dénivelé du terrain naturel."

Observation : La plateforme est horizontale et le versant descend à 12 %. L'écart entre les deux lignes croît donc linéairement de l'amont vers l'aval, sans discontinuité.
Analyse du risque : Le réflexe dangereux est de supposer la plateforme centrée sur le terrain naturel, ce qui donnerait \( H_{\text{d}} = H_{\text{r}} \). Ici le calage impose 0,20 m seulement en déblai : la symétrie est volontairement brisée et l'ignorer fausse tout le bilan des terres.
Choix stratégique : Je calcule d'abord le dénivelé total du terrain naturel sur la largeur de la plateforme, puis j'en retranche le calage imposé. Deux opérations élémentaires, aucune inconnue intermédiaire.
Alternative : J'aurais pu poser un repère altimétrique et écrire les cotes de chaque point du profil, comme en topographie. La méthode est rigoureuse mais plus lourde pour un profil aussi simple : je la garde pour les projets à plusieurs pentes.
Objectif visé : Disposer des deux hauteurs caractéristiques \( H_{\text{d}} \) et \( H_{\text{r}} \), qui sont les hauteurs des deux triangles dont je devrai calculer les aires à l'étape suivante.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

H_r = 1,00 m

Rappel Théorique : la pente, une proportionnalité entre horizontale et verticale

Une pente exprimée en pourcentage n'est ni un angle, ni une longueur : c'est un rapport. Dire que le terrain descend à 12 %, c'est dire que pour 100 mètres parcourus à l'horizontale, on perd 12 mètres d'altitude. Autrement dit, la relation entre distance horizontale et dénivelé est une proportionnalité pure, de coefficient \( p/100 \). Toute la géométrie d'un terrassement sur versant régulier découle de cette unique propriété : il n'y a aucune trigonométrie à faire, seulement des multiplications et des divisions.

Définition de la pente : \( p\,[\%] = 100 \times \dfrac{\text{denivele}}{\text{distance horizontale}} \). On travaille toujours avec le ratio \( p/100 \), jamais avec le nombre 12 brut.
Pente et angle : Le ratio \( p/100 \) est la tangente de l'angle du versant, et non l'angle lui-même. Ici \( \arctan(0{,}12) \approx 6{,}8^\circ \) : sur des pentes faibles, distance horizontale et distance suivant le terrain sont quasiment confondues, d'où la simplicité du calcul.
Additivité du dénivelé : Sur un versant à pente constante, les dénivelés s'additionnent le long du profil. Le dénivelé total sur 10,00 m est donc la somme des dénivelés partiels, ce qui autorise la décomposition \( D = H_{\text{d}} + H_{\text{r}} \).
Rôle du calage de projet : Une plateforme horizontale n'a qu'un seul degré de liberté vertical : son altitude. Fixer un seul point — ici le bord amont à 0,20 m sous le terrain — verrouille intégralement la position de la plateforme, donc toutes les hauteurs de déblai et de remblai.
Conséquence sur le mouvement des terres : Descendre la plateforme augmente le déblai et diminue le remblai ; la remonter fait l'inverse. Le calage est donc, à lui seul, le levier principal dont dispose le projeteur pour équilibrer un chantier de terrassement.

Équations Fondamentales

Deux relations suffisent à résoudre cette question. La première transforme une pente en longueur ; la seconde répartit cette longueur entre la partie creusée et la partie rapportée. Elles sont présentées séparément car elles ne relèvent pas de la même logique : l'une est une loi géométrique du terrain, l'autre est une conséquence du calage de projet.

Formule 1 — Dénivelé engendré par une pente constante :

Elle convertit la largeur de la plateforme en différence d'altitude du terrain naturel entre ses deux bords.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le seul renseignement dont je dispose sur le versant est sa pente. Tant que je ne l'ai pas convertie en une hauteur exprimée en mètres, je ne peux la comparer à rien : ni au calage imposé, ni aux hauteurs de terrassement. Cette formule est donc le passage obligé entre la donnée du site et la géométrie du projet.

Contexte de validité : Pente constante sur toute la largeur considérée. Si le versant présentait une rupture de pente, il faudrait découper le profil en tronçons et sommer les dénivelés.
Avantage : Aucune fonction trigonométrique, donc aucun risque d'erreur de mode degré/radian sur la calculatrice. Le calcul est vérifiable de tête.
Paramètre clé : La division par 100. C'est elle qui transforme un pourcentage en ratio ; l'oublier multiplie le dénivelé par cent et rend le résultat absurde.
Vérification : Le dénivelé obtenu doit être petit devant la largeur pour une pente faible. Ici on attend un ordre de grandeur de l'ordre du mètre pour 10 m de largeur.
Limite : La formule donne le dénivelé dans le sens de la plus grande pente. Si la plateforme était orientée en biais par rapport aux courbes de niveau, il faudrait d'abord projeter la largeur sur cette direction.

\[ \begin{aligned} D = L_{\text{plat}} \times \frac{p\,[\%]}{100} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit une chose très simple : « plus je m'éloigne horizontalement, plus je descends, et toujours dans la même proportion ». Le terrain ne fait aucune surprise : il perd 12 cm par mètre parcouru. Sur les 10 mètres de la plateforme, il aura donc perdu dix fois cette valeur. C'est cette hauteur totale perdue par le terrain que la plateforme, elle, ne perd pas — puisqu'elle reste plate — et qui devra donc être absorbée par le terrassement.

Décomposition des termes :

\( D \) : dénivelé du terrain naturel entre le bord amont et le bord aval de la plateforme, unité : m
\( L_{\text{plat}} \) : largeur de la plateforme mesurée dans le sens de la plus grande pente, unité : m
\( p\,[\%] \) : pente du versant exprimée en pourcentage, telle que lue sur le plan topographique, unité : %
\( p/100 \) : pente convertie en ratio, directement multipliable par une longueur, unité : m/m
\( 100 \) : constante de conversion du pourcentage en rapport sans dimension, unité : sans unité

Formule 2 — Répartition du dénivelé entre déblai et remblai :

Elle traduit le fait que tout le dénivelé du terrain se retrouve dans le terrassement, partagé entre ce qu'on enlève en haut et ce qu'on ajoute en bas.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle exprime la conservation géométrique du profil : la plateforme étant horizontale, l'écart vertical entre elle et le terrain varie exactement comme le terrain. Ce que le terrain perd en altitude sur la largeur, l'écart le gagne. Le calage \( H_{\text{d}} \) étant imposé, la hauteur de remblai \( H_{\text{r}} \) en devient une conséquence obligée, et non un choix.

Contexte de validité : Plateforme rigoureusement horizontale. Si le projet comportait une pente longitudinale ou un devers, il faudrait retrancher la contribution de cette pente de projet.
Avantage : Elle fournit un contrôle immédiat : à tout moment, la somme des deux hauteurs doit redonner le dénivelé. C'est une vérification gratuite en fin de calcul.
Paramètre clé : Le calage \( H_{\text{d}} \). C'est la seule grandeur libre du projet : la déplacer de quelques centimètres change immédiatement les deux triangles à la fois.
Vérification : Les deux hauteurs doivent être positives. Une hauteur négative signalerait que la plateforme est entièrement en déblai ou entièrement en remblai.
Limite : La relation ne vaut que si le point d'équilibre tombe à l'intérieur de la plateforme. Si le calage dépassait le dénivelé total, il n'y aurait plus de remblai du tout.

\[ \begin{aligned} H_{\text{r}} = D - H_{\text{d}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que le terrassement se partage le dénivelé du terrain. Imaginez une règle plate posée en travers d'une rampe : plus vous enfoncez son extrémité haute dans la rampe, plus son extrémité basse se retrouve en l'air. Ce qu'on ne creuse pas en haut, on est obligé de le rattraper en bas. Ici, le calage n'enfonce la règle que de 20 cm : il reste donc l'essentiel du dénivelé à compenser par du remblai.

Décomposition des termes :

\( H_{\text{r}} \) : hauteur maximale de remblai, mesurée verticalement au bord aval de la plateforme, unité : m
\( D \) : dénivelé total du terrain naturel sur la largeur de la plateforme, unité : m
\( H_{\text{d}} \) : hauteur maximale de déblai, imposée par le calage altimétrique du projet, unité : m
\( H_{\text{d}} + H_{\text{r}} \) : somme de contrôle, qui doit toujours restituer le dénivelé \( D \), unité : m
signe de \( H_{\text{r}} \) : indicateur de configuration, positif tant que la plateforme sort du terrain en aval, unité : sans unité

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de calculer le dénivelé sur la demi-largeur de la plateforme, en écrivant \( D = (L_{\text{plat}}/2) \times p/100 = 0{,}60 \) m, parce qu'ils ont en tête le schéma classique de la plateforme centrée sur le terrain naturel..."

L'approche d'ingénieur : La demi-largeur n'a de sens que dans le cas symétrique, où le point d'équilibre est au milieu. Ce n'est pas le cas ici, et rien dans l'énoncé ne le suggère : c'est le calage imposé qui décide de la position du point d'équilibre, pas la géométrie de la plateforme.

L'erreur : Appliquer la demi-largeur revient à présupposer le résultat qu'on cherche, à savoir la position du point d'équilibre. C'est un raisonnement circulaire.
La bonne méthode : Calculer le dénivelé sur la largeur totale, puis répartir ce dénivelé à l'aide de la contrainte de calage. La symétrie, si elle existe, apparaîtra comme un résultat, pas comme une hypothèse.
L'astuce de pro : Avant de calculer, dessinez le profil à l'échelle, même grossièrement. Un calage de 20 cm sur un dénivelé de 1,20 m se voit immédiatement comme très excentré.
Le moyen mnémotechnique : « Le terrain donne le total, le projet donne le partage. » La pente fournit \( D \) ; le calage fournit la répartition entre \( H_{\text{d}} \) et \( H_{\text{r}} \).
L'impact direct : Avec la demi-largeur, on trouverait \( H_{\text{r}} = 0{,}40 \) m au lieu de 1,00 m, soit une aire de remblai divisée par plus de six. Le bilan des terres serait sous-estimé de façon massive, et le budget d'apport de matériaux totalement faux.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Pente \( p \) : conversion de % vers m/m (ratio sans dimension) , en divisant par 100
Largeur \( L_{\text{plat}} \) : déjà exprimée en m , aucune conversion nécessaire
Calage \( H_{\text{d}} \) : donné en m, à ne surtout pas confondre avec des cm (0,20 m et non 20 m)
Dénivelé \( D \) : produit d'une m par un ratio, donc homogène à des m
Hauteur \( H_{\text{r}} \) : différence de deux longueurs, donc exprimée en m

Les deux calculs qui suivent sont enchaînés : le premier produit le dénivelé total, le second le consomme. On les traite séparément pour bien identifier la nature de chacun. Toutes les longueurs sont conservées au centimètre près, ce qui est la précision usuelle d'un profil en travers de terrassement, et largement suffisante devant les tolérances d'exécution.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Dénivelé total du terrain naturel sur la largeur de la plateforme

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que ce dénivelé est la quantité totale à répartir entre le déblai et le remblai. Il fixe l'ampleur du terrassement avant même qu'on sache comment il se partage.

Méthodologie du calcul :

On convertit d'abord la pente en ratio, puis on la multiplie par la largeur totale de la plateforme. Le calcul est mené en deux temps explicites pour rendre visible la conversion, qui est la seule source d'erreur possible ici.

Substitution : On injecte \( L_{\text{plat}} = 10{,}00 \) m et \( p = 12 \) %, lus directement dans le tableau des données.
Piège évité : Ne jamais écrire \( 10 \times 12 \). Le pourcentage doit être ramené au ratio 0,12 avant toute multiplication.
Hypothèse validée : La pente est constante sur l'emprise, comme l'indique explicitement l'énoncé : la multiplication directe est donc légitime.
Vérification croisée : 12 % signifie 12 cm par mètre ; sur 10 mètres, cela fait 120 cm, soit 1,20 m. Le calcul mental confirme le résultat.
Finalité : Ce dénivelé sera immédiatement réutilisé dans le calcul 2 pour en déduire la hauteur de remblai.

\[ \begin{aligned} D &= L_{\text{plat}} \times \frac{p\,[\%]}{100} \\[6pt] &= 10{,}00 \text{ m} \times \frac{12}{100} \\[6pt] &= 10{,}00 \text{ m} \times 0{,}12 \\[6pt] &= \mathbf{1{,}20} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Un dénivelé de 1,20 m sur 10 m de largeur est parfaitement représentatif d'un aménagement de coteau courant. Il confirme qu'on est dans le domaine des terrassements légers, très loin des grands remblais routiers.

Ordre de grandeur : 1,20 m, c'est la hauteur d'une rambarde. Pour une plateforme de 10 m de large, le remodelage reste modeste et réalisable avec des engins courants.
Impact sur la suite : Ce dénivelé est le plafond absolu des deux hauteurs de terrassement : ni le déblai ni le remblai ne pourront jamais le dépasser.
Cohérence : Le résultat est bien très inférieur à la largeur (1,20 m contre 10,00 m), ce qui est attendu pour une pente faible de 12 %.
Attention : Le calage imposé (0,20 m) ne représente que un sixième de ce dénivelé. On peut déjà anticiper un projet fortement déséquilibré vers le remblai.
Comparaison : Un remblai dont la hauteur reste très inférieure à 15 m relève de l'objectif de densification q4 du GTR 2024, sans exigence de compactage renforcé.

Remarque pédagogique : Prenez l'habitude d'écrire la conversion 12/100 = 0,12 sur une ligne à part. Sur une copie, cette ligne visible vaut souvent des points ; sur un chantier, elle évite l'erreur d'un facteur cent.

Calcul 2 — Hauteur maximale de remblai au bord aval

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la hauteur du triangle de remblai, grandeur indispensable à la question suivante. C'est aussi l'indicateur qui révèle d'un coup d'œil le déséquilibre du projet.

Méthodologie du calcul :

On applique la répartition du dénivelé : le total calculé précédemment moins le calage imposé par le projet. Une simple soustraction, mais qui porte tout le sens de la question.

Substitution : On injecte \( D = 1{,}20 \) m issu du calcul 1 et \( H_{\text{d}} = 0{,}20 \) m issu des données de projet.
Piège évité : Ne pas additionner les deux valeurs. Le déblai et le remblai se partagent le dénivelé, ils ne s'y ajoutent pas.
Hypothèse validée : La plateforme est horizontale : aucune pente de projet ne vient consommer une part du dénivelé.
Vérification croisée : Contrôle immédiat : \( 0{,}20 + 1{,}00 = 1{,}20 \) m, on retrouve bien le dénivelé total.
Finalité : Cette hauteur servira de hauteur du triangle de remblai pour le calcul d'aire de la question 2.

\[ \begin{aligned} H_{\text{r}} &= D - H_{\text{d}} \\[6pt] &= 1{,}20 \text{ m} - 0{,}20 \text{ m} \\[6pt] &= \mathbf{1{,}00} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le rapport entre les deux hauteurs est de cinq pour un : 1,00 m de remblai contre 0,20 m de déblai. Le projet est donc très nettement en remblai, et il ne fait déjà plus aucun doute que le site ne pourra pas s'autoalimenter en matériaux.

Ordre de grandeur : Un mètre de remblai est une hauteur très courante en aménagement de plateforme ; elle ne pose aucun problème particulier de stabilité.
Impact sur la suite : Les aires variant comme le carré des hauteurs, un rapport de 5 sur les hauteurs annonce un rapport voisin de 25 sur les surfaces.
Cohérence : Les deux hauteurs sont positives et leur somme redonne exactement \( D \) : la configuration déblai-remblai est confirmée.
Attention : Si le calage avait été fixé à 1,20 m ou plus, il n'y aurait plus aucun remblai : la plateforme serait entièrement encaissée dans le versant.
Comparaison : Avec \( H = 1{,}00 \) m, on est très loin du seuil de 15 m au-delà duquel le GTR 2024 recommande d'étudier un objectif de densification renforcé.

Remarque pédagogique : Retenez que le projeteur choisit \( H_{\text{d}} \) et subit \( H_{\text{r}} \). Optimiser un terrassement, c'est essentiellement jouer sur le calage jusqu'à rendre le bilan des terres acceptable.

SCHÉMA APRÈS CALCULS — RÉPARTITION DU DÉNIVELÉ

RÉSULTAT FINAL

H_r = 1,00 m

"Cette hauteur est celle du triangle de remblai : elle commande directement l'aire calculée à la question suivante."

Question 2 : Aires des sections de déblai et de remblai

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai mes deux hauteurs, mais une hauteur seule ne fait pas une surface. Il me manque les bases de mes deux triangles, c'est-à-dire l'endroit précis où la plateforme sort du terrain. Ce point, je l'appelle le point d'équilibre : à gauche je creuse, à droite je remblaie, et exactement dessus je ne fais rien. Or je n'ai pas besoin de le mesurer sur un plan : la pente me le donne. Puisque le terrain descend de 0,12 m par mètre, il lui faut parcourir une distance bien précise pour descendre des 0,20 m qui me séparent du fond de mon déblai."

Observation : Les deux triangles ont leur hypoténuse portée par la même droite, la ligne de terrain naturel. Ils sont donc semblables et partagent le même rapport hauteur sur base : la pente.
Analyse du risque : Si je me trompe sur la position du point d'équilibre, je me trompe simultanément sur les deux aires, et l'erreur se propage jusqu'au bilan financier. C'est le point le plus sensible de tout l'exercice.
Choix stratégique : Je calcule \( L_{\text{d}} \) par la pente, puis j'obtiens \( L_{\text{r}} \) par simple différence avec la largeur totale. Ce choix me donne une vérification automatique : la somme doit faire 10,00 m.
Alternative : J'aurais pu calculer \( L_{\text{r}} = H_{\text{r}}/(p/100) \) indépendamment. C'est correct, mais je perds le contrôle croisé : deux calculs séparés peuvent être faux tous les deux sans que rien ne le signale.
Objectif visé : Obtenir les deux aires du profil en travers, qui sont les grandeurs directement multipliables par la longueur pour donner les cubatures.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

A_d = 0,167 m² | A_r = 4,167 m²

Rappel Théorique : le point d'équilibre et les triangles semblables

Sur un profil en travers, la ligne rouge du projet et la ligne noire du terrain naturel se coupent en un point que les terrassiers appellent le point d'équilibre, ou point de passage déblai-remblai. Ce point n'a rien d'anecdotique : c'est lui qui découpe le profil en deux zones de nature opposée. Toute la difficulté d'un métré de terrassement consiste à le localiser correctement, car en amont on facture du déblai et en aval du remblai, deux prestations aux prix unitaires très différents.

Définition du point d'équilibre : C'est le point où la cote projet est égale à la cote terrain naturel. En ce point précis, la hauteur de terrassement est nulle : on ne creuse ni ne remblaie.
Principe des triangles semblables : Les deux triangles étant délimités par la même ligne de terrain, ils vérifient tous deux \( H/L = p/100 \). Cette égalité de rapport est ce qui permet de passer d'une hauteur à une largeur sans mesure supplémentaire.
Fermeture géométrique du profil : Les deux zones étant contiguës et jointives, leurs largeurs se somment pour redonner la largeur de la plateforme : \( L_{\text{d}} + L_{\text{r}} = L_{\text{plat}} \). C'est une relation de contrôle obligatoire.
Aire d'une section triangulaire : Les flancs étant supposés verticaux, chaque section est un triangle rectangle dont l'aire vaut la moitié du produit de la base par la hauteur. C'est le cas idéal, celui du premier chiffrage.
Sensibilité quadratique : Comme la base est elle-même proportionnelle à la hauteur, l'aire varie comme le carré de la hauteur : \( A = H^2/(2p/100) \). Doubler une hauteur de terrassement quadruple la surface, donc le volume et le coût.

Équations Fondamentales

Trois relations distinctes interviennent ici et il serait maladroit de les mélanger. La première localise le point d'équilibre, la deuxième ferme le profil, la troisième mesure les surfaces. Chacune répond à une question différente et se présente donc dans son propre encadré.

Formule 1 — Largeur d'une zone déduite de sa hauteur :

Elle donne la distance horizontale nécessaire au terrain naturel pour descendre d'une hauteur donnée.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle est l'inverse exact de la relation de la question 1. Là, on connaissait une distance et on cherchait une hauteur ; ici on connaît une hauteur et on cherche la distance. C'est la même proportionnalité lue dans l'autre sens, et c'est elle qui localise le point d'équilibre.

Contexte de validité : Pente non nulle. Sur un terrain horizontal, la division serait impossible : il n'y aurait d'ailleurs ni point d'équilibre ni terrassement en travers.
Avantage : Elle donne directement la cotation d'implantation du point d'équilibre depuis le bord amont, valeur immédiatement utilisable par le chef de chantier pour piqueter.
Paramètre clé : La pente au dénominateur. Plus le terrain est plat, plus le point d'équilibre s'éloigne : les zones de raccordement deviennent très étendues.
Vérification : La largeur trouvée doit rester inférieure à la largeur de la plateforme. Dans le cas contraire, la plateforme est entièrement en déblai.
Limite : Elle suppose la plateforme horizontale. Avec un devers de projet, il faudrait raisonner sur la pente relative entre terrain et projet.

\[ \begin{aligned} L_{i} = \frac{H_{i}}{p\,[\%]\,/\,100} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle répond à la question : « combien de mètres dois-je avancer pour que le terrain ait descendu de tant ? » Si le terrain perd 12 cm par mètre et qu'il me faut perdre 20 cm, alors j'avance un peu moins de deux mètres. C'est exactement le raisonnement d'un randonneur qui estime la distance à parcourir pour redescendre d'un certain dénivelé.

Décomposition des termes :

\( L_{i} \) : largeur horizontale de la zone considérée, déblai ou remblai, unité : m
\( H_{i} \) : hauteur maximale de terrassement de cette même zone, unité : m
\( p/100 \) : pente du terrain naturel exprimée en ratio, unité : m/m
indice \( i \) : repère de zone, valant d pour le déblai et r pour le remblai, unité : sans unité
\( L_{\text{d}} \) : cas particulier donnant l'abscisse du point d'équilibre depuis le bord amont, unité : m

Formule 2 — Fermeture géométrique du profil :

Elle exprime que les deux zones se partagent la largeur totale de la plateforme, sans recouvrement ni vide.

Pourquoi cette formule ?

Parce qu'elle transforme une évidence géométrique en outil de calcul. Plutôt que de refaire une division pour \( L_{\text{r}} \), on exploite le fait que les deux zones pavent exactement la plateforme. On gagne en rapidité et surtout on se dote d'un contrôle interne.

Contexte de validité : Le point d'équilibre doit se situer strictement à l'intérieur de la plateforme, ce que confirme \( 0 < L_{\text{d}} < L_{\text{plat}} \).
Avantage : Une soustraction remplace une division : moins d'opérations, donc moins d'occasions de propager une erreur d'arrondi.
Paramètre clé : La largeur totale \( L_{\text{plat}} \), qui joue le rôle de contrainte de fermeture du profil.
Vérification : En recalculant \( L_{\text{r}} = H_{\text{r}}/(p/100) \), on doit retrouver la même valeur. C'est la preuve par deux chemins.
Limite : Elle ne vaut que pour un profil à deux zones. Un profil comportant une risberme ou un fossé exigerait un découpage en plusieurs segments.

\[ \begin{aligned} L_{\text{r}} = L_{\text{plat}} - L_{\text{d}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit tout simplement que la plateforme n'a pas de trou : ce qui n'est pas en déblai est nécessairement en remblai. C'est le même raisonnement que découper une planche en deux morceaux : connaître la longueur totale et celle d'un morceau suffit à connaître l'autre. Cette banalité apparente est en réalité le meilleur garde-fou du métré.

Décomposition des termes :

\( L_{\text{r}} \) : largeur horizontale de la zone en remblai, du point d'équilibre au bord aval, unité : m
\( L_{\text{plat}} \) : largeur totale de la plateforme de projet, unité : m
\( L_{\text{d}} \) : largeur horizontale de la zone en déblai, du bord amont au point d'équilibre, unité : m
\( L_{\text{d}} + L_{\text{r}} \) : somme de contrôle devant restituer exactement la largeur de la plateforme, unité : m
\( L_{\text{r}} / L_{\text{plat}} \) : proportion de la plateforme située en remblai, indicateur de déséquilibre, unité : sans unité

Formule 3 — Aire d'une section triangulaire :

Elle convertit une base et une hauteur en surface de terrassement sur le profil en travers.

Pourquoi cette formule ?

Parce que sous l'hypothèse de flancs verticaux, chaque zone de terrassement est exactement un triangle rectangle : un côté vertical de hauteur \( H_{i} \), un côté horizontal de longueur \( L_{i} \), et l'hypoténuse portée par le terrain naturel. La formule de l'aire du triangle s'applique donc sans aucune approximation.

Contexte de validité : Flancs verticaux et terrain naturel rectiligne sur la zone. Avec des talus inclinés, la section devient un trapèze et la formule change.
Avantage : Elle donne un chiffrage immédiat et conservatif pour un avant-projet, sans passer par un logiciel de modélisation de terrain.
Paramètre clé : La hauteur, car la base lui est proportionnelle : l'aire évolue donc en \( H^2 \) et non linéairement.
Vérification : Le rapport des deux aires doit valoir le carré du rapport des hauteurs. Ici on attend \( (1{,}00/0{,}20)^2 = 25 \).
Limite : Elle sous-estime les volumes réels d'un chantier, où les talus de déblai et de remblai ajoutent toujours de la matière hors emprise stricte.

\[ \begin{aligned} A_{i} = \frac{L_{i} \times H_{i}}{2} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit que la terre concernée occupe la moitié du rectangle qui contiendrait le triangle. Concrètement : si vous imaginiez creuser un bloc rectangulaire de 1,67 m de large sur 0,20 m de haut, vous en enlèveriez deux fois trop. Le terrain naturel, en descendant en biais, ne vous en laisse que la moitié à retirer.

Décomposition des termes :

\( A_{i} \) : aire de la section de terrassement sur le profil en travers, unité : m²
\( L_{i} \) : base du triangle, mesurée horizontalement, unité : m
\( H_{i} \) : hauteur du triangle, mesurée verticalement au droit du bord de plateforme, unité : m
\( 2 \) : diviseur traduisant le passage du rectangle enveloppe au triangle réel, unité : sans unité
\( A_{\text{r}}/A_{\text{d}} \) : indicateur de déséquilibre du profil, égal au carré du rapport des hauteurs, unité : sans unité

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de conserver la demi-largeur de 5,00 m comme base pour les deux triangles, en écrivant \( A_{\text{d}} = (5{,}00 \times 0{,}20)/2 \) et \( A_{\text{r}} = (5{,}00 \times 1{,}00)/2 \), par habitude du profil symétrique..."

L'approche d'ingénieur : Chaque triangle a sa propre base, imposée par sa propre hauteur et par la pente. Utiliser 5,00 m des deux côtés revient à placer arbitrairement le point d'équilibre au milieu, ce qui contredit directement le résultat de la question 1.

L'erreur : Elle brise la cohérence entre hauteurs et largeurs. Avec une base de 5,00 m et une hauteur de 0,20 m, la pente implicite serait de 4 % et non de 12 % : le profil dessiné ne correspondrait plus au terrain.
La bonne méthode : Calculer \( L_{\text{d}} \) à partir de la pente, puis obtenir \( L_{\text{r}} \) par fermeture. Le point d'équilibre est un résultat, jamais une hypothèse de départ.
L'astuce de pro : Contrôlez toujours que chaque triangle respecte la pente : le rapport \( H_{i}/L_{i} \) doit valoir 0,12 pour les deux. Si ce n'est pas le cas, une base est fausse.
Le moyen mnémotechnique : « Une pente, deux triangles, un seul rapport. » Les deux triangles sont semblables : ils ne peuvent pas avoir des pentes différentes.
L'impact direct : Avec la demi-largeur, on trouverait \( A_{\text{d}} = 0{,}50 \) m² et \( A_{\text{r}} = 2{,}50 \) m², soit un déblai triplé et un remblai réduit de 40 %. Le bilan des terres serait faussé dans les deux sens à la fois.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Hauteurs \( H_{\text{d}} \) et \( H_{\text{r}} \) : exprimées en m , issues de la question 1
Pente : utilisée sous forme de ratio 0,12, jamais sous forme de pourcentage brut
Largeurs \( L_{\text{d}} \) et \( L_{\text{r}} \) : quotient d'une m par un ratio, donc en m
Aires \( A_{\text{d}} \) et \( A_{\text{r}} \) : produit de deux longueurs divisé par 2, donc en m²
Arrondis : les largeurs sont conservées au millimètre en calcul intermédiaire, pour éviter toute dérive sur les volumes finaux

Quatre calculs se succèdent : deux largeurs, puis deux aires. On traite chaque grandeur dans son propre encadré, car ce sont bien quatre résultats distincts, chacun avec sa propre interprétation. Les largeurs sont des quotients non finis : on conserve délibérément quatre décimales en intermédiaire pour ne pas polluer les cubatures de la question 3.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Largeur de la zone en déblai et abscisse du point d'équilibre

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il localise le point d'équilibre, c'est-à-dire la frontière physique entre la zone qu'on creuse et celle qu'on remblaie. C'est la cote que le géomètre ira piqueter sur le terrain.

Méthodologie du calcul :

On divise la hauteur de déblai imposée par le ratio de pente. Le résultat est un quotient non fini que l'on conserve avec quatre décimales avant tout arrondi de présentation.

Substitution : On injecte \( H_{\text{d}} = 0{,}20 \) m, donnée de calage, et le ratio de pente \( 0{,}12 \).
Piège évité : Diviser, et non multiplier. On cherche une distance plus grande que la hauteur, puisque la pente est faible.
Hypothèse validée : Le terrain naturel est rectiligne entre le bord amont et le point d'équilibre : la proportionnalité s'applique sans découpage.
Vérification croisée : Contrôle inverse : \( 1{,}6667 \times 0{,}12 = 0{,}200 \) m. On retombe bien sur le calage imposé.
Finalité : Cette largeur est à la fois la base du triangle de déblai et la donnée d'entrée du calcul suivant.

\[ \begin{aligned} L_{\text{d}} &= \frac{H_{\text{d}}}{p\,[\%]\,/\,100} \\[6pt] &= \frac{0{,}20 \text{ m}}{0{,}12} \\[6pt] &= \mathbf{1{,}6667} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le point d'équilibre se situe à 1,67 m seulement du bord amont, sur une plateforme qui en mesure 10,00. Autrement dit, moins d'un sixième de la plateforme est en déblai : la dissymétrie annoncée est ici pleinement quantifiée.

Ordre de grandeur : 1,67 m, c'est à peine plus que la largeur d'un godet de pelle. La zone de déblai est très étroite, ce qui aura des conséquences pratiques sur le choix des engins.
Impact sur la suite : Cette valeur est la base du triangle de déblai et, par complément, elle fixe aussi la base du triangle de remblai.
Cohérence : La largeur trouvée est bien supérieure à la hauteur (1,67 m contre 0,20 m), ce qui est logique pour une pente douce de 12 %.
Attention : Ne pas arrondir à 1,7 m à ce stade : sur les volumes finaux, cet écart apparent de 3 cm se traduirait par plusieurs dixièmes de mètre cube.
Comparaison : Si le calage avait été de 0,60 m, le point d'équilibre serait à 5,00 m : le profil serait parfaitement symétrique et le bilan bien plus favorable.

Remarque pédagogique : Sur un plan de terrassement, cette abscisse porte un nom : le point de passage. Elle est systématiquement reportée sur les profils en travers du dossier d'exécution, car elle conditionne l'organisation du chantier.

Calcul 2 — Largeur de la zone en remblai par fermeture du profil

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il fournit la base du triangle de remblai tout en offrant, gratuitement, une vérification de cohérence du travail précédent.

Méthodologie du calcul :

On retranche la largeur de déblai de la largeur totale de la plateforme, puis on contrôle le résultat par la voie indépendante \( H_{\text{r}}/(p/100) \).

Substitution : On injecte \( L_{\text{plat}} = 10{,}00 \) m et \( L_{\text{d}} = 1{,}6667 \) m issu du calcul précédent.
Piège évité : Utiliser la valeur non arrondie de \( L_{\text{d}} \). Partir de 1,67 m introduirait déjà une erreur de 3 mm sur \( L_{\text{r}} \).
Hypothèse validée : Les deux zones sont jointives : il n'existe ni palier ni ouvrage intermédiaire sur le profil.
Vérification croisée : Par l'autre chemin : \( 1{,}00 / 0{,}12 = 8{,}3333 \) m. Les deux méthodes concordent exactement.
Finalité : Cette largeur servira de base au triangle de remblai dans le calcul d'aire qui suit.

\[ \begin{aligned} L_{\text{r}} &= L_{\text{plat}} - L_{\text{d}} \\[6pt] &= 10{,}0000 \text{ m} - 1{,}6667 \text{ m} \\[6pt] &= \mathbf{8{,}3333} \text{ m} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

La zone de remblai occupe 8,33 m sur 10,00 m, soit 83 % de la plateforme. Le chantier sera donc, très majoritairement, un chantier d'apport de matériaux et non d'extraction.

Ordre de grandeur : 8,33 m, c'est cinq fois la largeur de la zone de déblai — exactement le rapport des deux hauteurs, comme l'exige la similitude.
Impact sur la suite : Combinée à une hauteur cinq fois plus grande, cette base va produire une aire vingt-cinq fois supérieure à celle du déblai.
Cohérence : Contrôle de fermeture : \( 1{,}6667 + 8{,}3333 = 10{,}0000 \) m. Le profil est parfaitement bouclé.
Attention : Une zone de remblai aussi étendue impose un compactage soigné par couches conforme à l'objectif q4, faute de quoi des tassements différentiels apparaîtront sous la plateforme.
Comparaison : Le rapport 5 entre les deux largeurs se retrouvera à l'identique entre les deux hauteurs : c'est la signature des triangles semblables.

Remarque pédagogique : Le double calcul de \( L_{\text{r}} \) n'est pas une perte de temps : c'est la seule vérification indépendante disponible avant les cubatures. Prenez l'habitude de la faire systématiquement.

Calcul 3 — Aire de la section en déblai

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette aire représente la quantité de terre à extraire par mètre linéaire de plateforme. C'est la grandeur qui sera multipliée par la longueur pour obtenir la cubature.

Méthodologie du calcul :

On applique la formule du triangle rectangle à la base et à la hauteur du déblai, en conservant la largeur non arrondie.

Substitution : On injecte \( L_{\text{d}} = 1{,}6667 \) m et \( H_{\text{d}} = 0{,}20 \) m.
Piège évité : Ne pas oublier la division par 2. C'est l'erreur la plus fréquente, et elle double purement et simplement le métré.
Hypothèse validée : Le flanc de fouille est supposé vertical : la section est bien un triangle rectangle et non un trapèze.
Vérification croisée : Par la formule quadratique \( A = H^2/(2 \times 0{,}12) = 0{,}04/0{,}24 = 0{,}1667 \) m². Résultat identique.
Finalité : Cette aire alimente directement le calcul du volume de déblai à la question 3.

\[ \begin{aligned} A_{\text{d}} &= \frac{L_{\text{d}} \times H_{\text{d}}}{2} \\[6pt] &= \frac{1{,}6667 \text{ m} \times 0{,}20 \text{ m}}{2} \\[6pt] &= \frac{0{,}3333 \text{ m}^2}{2} \\[6pt] &= \mathbf{0{,}1667} \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Une section de 0,17 m² seulement : c'est l'équivalent d'un carré de 41 cm de côté. Le déblai de ce projet est presque négligeable à l'échelle du chantier.

Ordre de grandeur : 0,17 m² par mètre linéaire, c'est moins d'un godet de mini-pelle par mètre de plateforme.
Impact sur la suite : Le volume de déblai sera très faible : le site ne pourra pas s'autoalimenter et un apport extérieur est déjà certain.
Cohérence : L'aire est bien inférieure au produit base par hauteur (0,33 m²), conformément au facteur 1/2 du triangle.
Attention : Cette aire n'inclut pas le décapage de la terre végétale, qui fait l'objet d'un poste de métré distinct et n'est pas réutilisable en remblai.
Comparaison : Sur un profil symétrique à même dénivelé, l'aire de déblai aurait été de 1,50 m², soit neuf fois plus.

Remarque pédagogique : La formule quadratique \( A = H^2/(2p) \) est un excellent outil de contrôle mental. Elle montre d'un coup d'œil que l'aire explose avec la hauteur et s'effondre quand la pente augmente.

Calcul 4 — Aire de la section en remblai

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que cette aire représente la quantité de matériau à mettre en œuvre par mètre linéaire. C'est le poste dominant du chantier, et donc du budget.

Méthodologie du calcul :

Même formule que pour le déblai, appliquée cette fois à la base et à la hauteur du remblai. Le contraste des deux résultats est l'enseignement principal de cette question.

Substitution : On injecte \( L_{\text{r}} = 8{,}3333 \) m et \( H_{\text{r}} = 1{,}00 \) m.
Piège évité : Ne pas confondre cette aire, qui est un volume compacté par mètre linéaire, avec un volume de sol en place : la distinction sera décisive en question 4.
Hypothèse validée : Le flanc de remblai est supposé vertical, hypothèse d'avant-projet qui sous-estime légèrement le volume réel.
Vérification croisée : Rapport attendu : \( A_{\text{r}}/A_{\text{d}} = (1{,}00/0{,}20)^2 = 25 \). Or \( 4{,}1667/0{,}1667 = 25{,}0 \). Confirmé.
Finalité : Cette aire alimente le calcul du volume de remblai, poste principal du bilan des terres.

\[ \begin{aligned} A_{\text{r}} &= \frac{L_{\text{r}} \times H_{\text{r}}}{2} \\[6pt] &= \frac{8{,}3333 \text{ m} \times 1{,}00 \text{ m}}{2} \\[6pt] &= \frac{8{,}3333 \text{ m}^2}{2} \\[6pt] &= \mathbf{4{,}1667} \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

4,17 m² contre 0,17 m² : le remblai représente vingt-cinq fois le déblai. Ce n'est pas une anomalie mais la conséquence mathématique de la variation quadratique de l'aire avec la hauteur.

Ordre de grandeur : 4,17 m², c'est l'équivalent d'un carré de 2 m de côté à combler pour chaque mètre de plateforme.
Impact sur la suite : Ce sera le poste dominant du bilan : les 25 mètres de longueur vont transformer cette section en une centaine de mètres cubes.
Cohérence : Le rapport de 25 correspond exactement au carré du rapport des hauteurs, ce qui valide simultanément les quatre calculs de cette question.
Attention : Cette section est un volume de remblai fini, compacté. Il ne faudra en aucun cas la comparer directement au déblai en place sans conversion préalable.
Comparaison : La somme des deux aires vaut 4,33 m², à comparer aux 6,00 m² du rectangle enveloppe \( L_{\text{plat}} \times D / 2 \) : l'ordre de grandeur global est cohérent.

Remarque pédagogique : Ce facteur 25 est la leçon la plus rentable de tout l'exercice : en terrassement, un projeteur qui parvient à abaisser une hauteur de moitié divise la surface concernée par quatre. C'est de là que vient l'essentiel des économies sur un mouvement de terres.

SCHÉMA APRÈS CALCULS — POINT D'ÉQUILIBRE ET AIRES

RÉSULTAT FINAL

A_d = 0,1667 m² · A_r = 4,1667 m²

"Un rapport de 25 entre les deux sections : le chantier sera très majoritairement un chantier de remblai."

Question 3 : Cubatures du déblai et du remblai

Dans la tête de l'ingénieur

"Mes deux sections sont établies. Il me reste à les étirer sur la longueur du projet. L'énoncé m'offre ici un cadeau considérable : le profil est constant sur les 25 mètres. Je n'ai donc ni moyenne de profils à faire, ni méthode des prismatoïdes à appliquer — juste une multiplication. Mais je reste vigilant sur un point : ces deux volumes que je m'apprête à calculer ne décrivent pas le sol dans le même état. Le premier, c'est de la terre telle qu'elle est dans le sol ; le second, c'est de la terre déjà compactée dans l'ouvrage fini. Je note soigneusement cette distinction, car c'est elle qui fera basculer la question 4."

Observation : La section étant identique d'un bout à l'autre, l'ouvrage est un prisme droit et le volume se réduit à un simple produit aire par longueur.
Analyse du risque : Le vrai danger n'est pas arithmétique mais sémantique : croire que \( V_{\text{d}} \) et \( V_{\text{r}} \) sont directement comparables. Ce sont deux volumes exprimés dans deux états différents du matériau.
Choix stratégique : Je calcule les deux volumes séparément et j'étiquette explicitement chacun : « en place » pour le déblai, « compacté » pour le remblai. Cet étiquetage vaut protection contre l'erreur de la question suivante.
Alternative : Pour un profil variable, j'aurais utilisé la méthode des profils moyens, en multipliant la demi-somme de deux aires successives par leur entredistance. Elle est inutile ici et n'apporterait aucune précision supplémentaire.
Objectif visé : Produire les deux cubatures du projet, exprimées en mètres cubes, seules quantités directement utilisables dans un bordereau de prix unitaires.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

V_d = 4,17 m³ (en place) | V_r = 104,17 m³ (compacté)

Rappel Théorique : la cubature, du profil en travers au mètre cube facturé

Le métré des terrassements — que la profession appelle la cubature — consiste à transformer une géométrie de plans en quantités de matière. C'est l'opération qui fait le lien entre le bureau d'études et le bordereau de prix. Le fascicule 2 du CCTG, Terrassements généraux, encadre précisément cette opération : à son article 6.5.1, il stipule que le prix du déblai s'applique soit au mètre cube en place, avant extraction, soit au mètre cube en œuvre, après compactage, et que la première formule doit être adoptée en règle générale. Cette phrase, apparemment anodine, détermine tout le vocabulaire de la note de calculs.

Le prisme droit : Lorsqu'une section reste constante le long d'un axe, le volume vaut l'aire de la section multipliée par la longueur. C'est le cas le plus favorable du métré, et celui de cet exercice.
La méthode des profils : Dans le cas général, on lève des profils en travers à intervalles réguliers et l'on calcule le volume entre deux profils comme la moyenne de leurs aires multipliée par leur entredistance. C'est la méthode de référence des projets linéaires.
Le volume en place : C'est le volume du sol tel qu'il se trouve dans le terrain naturel, avant toute intervention. C'est l'unité de règlement retenue en règle générale par le fascicule 2 du CCTG.
Le volume en œuvre : C'est le volume mesuré dans l'ouvrage fini, après compactage. Le CCTG ne l'admet que lorsque la cubature des volumes en place n'est pas réalisable avec une précision suffisante.
La conséquence pratique : Une note de calculs sérieuse indique toujours l'état du matériau à côté de chaque mètre cube. Un volume sans état est une quantité non facturable, car elle ne renvoie à aucun prix unitaire identifiable.

Équations Fondamentales

Une seule relation suffit ici, mais elle mérite d'être bien comprise plutôt que simplement appliquée. Sa simplicité est directement héritée d'une hypothèse forte — la constance du profil — qu'il faut savoir reconnaître et, le cas échéant, savoir abandonner.

Formule — Volume d'un prisme droit :

Elle extrude une section constante le long de la longueur du projet pour en donner le volume.

Pourquoi cette formule ?

Parce que l'énoncé garantit un profil en travers constant sur les 25 mètres. Dans ces conditions, l'ouvrage est un cylindre généralisé et la formule du prisme droit est rigoureusement exacte, sans la moindre approximation. Elle représente donc à la fois le calcul le plus simple et le plus juste.

Contexte de validité : Section rigoureusement constante. Dès que le terrain naturel varie longitudinalement, il faut passer à la méthode des profils moyens.
Avantage : Elle est exacte et instantanée : aucun logiciel, aucune interpolation, aucune incertitude de méthode à justifier auprès du maître d'œuvre.
Paramètre clé : L'aire de la section, qui concentre à elle seule toute la complexité géométrique du profil. La longueur n'est qu'un multiplicateur.
Vérification : Le rapport entre les deux volumes doit rester identique au rapport des aires, soit 25. La longueur, commune aux deux, ne le modifie pas.
Limite : Elle ne dit rien de l'état du matériau. C'est une formule purement géométrique : c'est à l'ingénieur d'attacher à chaque volume l'état auquel il correspond.

\[ \begin{aligned} V_{i} = A_{i} \times L_{\text{proj}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle décrit un empilement de tranches identiques. Imaginez 25 tranches d'un mètre d'épaisseur, toutes rigoureusement semblables, posées les unes derrière les autres : le volume total est simplement 25 fois le volume d'une tranche. C'est exactement le raisonnement du pain de mie, où l'on connaît le volume du pain dès qu'on connaît une tranche et leur nombre.

Décomposition des termes :

\( V_{i} \) : volume de terrassement de la zone considérée, déblai ou remblai, unité : m³
\( A_{i} \) : aire de la section correspondante sur le profil en travers, unité : m²
\( L_{\text{proj}} \) : longueur du projet, mesurée perpendiculairement au profil en travers, unité : m
\( V_{\text{d}} \) : cas du déblai, volume exprimé en place, avant extraction, unité : m³
\( V_{\text{r}} \) : cas du remblai, volume exprimé en œuvre, après compactage, unité : m³

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de conclure dès cette question : « il manque 100 m³, donc il faut importer 100 m³ ». Ils comparent directement \( V_{\text{d}} \) et \( V_{\text{r}} \) sans se demander si ces deux nombres parlent bien de la même chose..."

L'approche d'ingénieur : Ces deux volumes sont géométriquement corrects mais physiquement hétérogènes. L'un décrit un sol en place, l'autre un sol compacté dans l'ouvrage. Les soustraire directement revient à additionner des grandeurs de nature différente.

L'erreur : Elle ignore que le sol change de volume entre son état naturel et son état compacté. Le déficit annoncé serait sous-estimé.
La bonne méthode : Choisir un état de référence unique — le mètre cube en place, conformément au fascicule 2 du CCTG — et y ramener toutes les quantités avant toute soustraction.
L'astuce de pro : Écrivez systématiquement l'état à côté du chiffre : « 4,17 m³ en place » et « 104,17 m³ compactés ». Une unité mal étiquetée est une erreur qui attend son heure.
Le moyen mnémotechnique : « Un mètre cube n'est pas un mètre cube. » En terrassement, le volume dépend toujours de l'état : en place, foisonné, ou compacté.
L'impact direct : La conclusion hâtive donnerait un déficit de 100,00 m³ au lieu des 111,57 m³ réels, soit plus de 11 m³ de matériaux oubliés au budget, et autant de camions non prévus.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

Aires \( A_{\text{d}} \) et \( A_{\text{r}} \) : exprimées en m² , issues de la question 2
Longueur \( L_{\text{proj}} \) : exprimée en m, à ne pas confondre avec la largeur L_plat du profil
Volumes : produit d'une m² par une m, donc exprimés en m³
État du déblai : volume en place, conforme à l'unité de règlement du fascicule 2 du CCTG
État du remblai : volume en œuvre, c'est-à-dire après compactage à l'objectif q4

Deux cubatures indépendantes sont à produire, chacune dans son encadré. Les aires sont reprises avec quatre décimales, puis les volumes sont arrondis au centième de mètre cube — précision très supérieure à ce qu'exige un métré de chantier, mais nécessaire pour que le bilan de la question 4 reste parfaitement traçable.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Volume de déblai en place

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il donne la ressource en matériau disponible sur le site. C'est ce que le chantier peut espérer réutiliser sans rien acheter.

Méthodologie du calcul :

On multiplie l'aire de la section de déblai par la longueur du projet, puis on précise immédiatement l'état du matériau obtenu.

Substitution : On injecte \( A_{\text{d}} = 0{,}1667 \) m² de la question 2 et \( L_{\text{proj}} = 25{,}00 \) m des données.
Piège évité : Ne pas utiliser la largeur 10,00 m à la place de la longueur 25,00 m : la largeur est déjà consommée dans l'aire.
Hypothèse validée : Le profil est constant sur les 25 m, ce que l'énoncé garantit explicitement.
Vérification croisée : Valeur exacte par les fractions : \( (1/6) \times 25 = 25/6 = 4{,}1667 \) m³. Concordance parfaite.
Finalité : Ce volume constitue le terme positif du bilan de la question 4 : la ressource disponible.

\[ \begin{aligned} V_{\text{d}} &= A_{\text{d}} \times L_{\text{proj}} \\[6pt] &= 0{,}1667 \text{ m}^2 \times 25{,}00 \text{ m} \\[6pt] &= \mathbf{4{,}17} \text{ m}^3 \text{ en place} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

4,17 m³, c'est moins d'un camion-benne. Sur un chantier de cette taille, cette ressource est si faible qu'elle sera vraisemblablement consommée par le seul réglage de la plateforme.

Ordre de grandeur : Un camion-benne de chantier courant transporte 8 à 10 m³ : le déblai total du projet ne remplit même pas une demi-benne.
Impact sur la suite : Cette ressource est marginale devant le besoin en remblai : le bilan sera nécessairement très déficitaire.
Cohérence : La valeur exacte \( 25/6 = 4{,}1667 \) m³ s'arrondit bien à 4,17 m³ : aucune dérive n'est introduite.
Attention : Ce volume est en place. Une fois extrait, il foisonnera et occupera un volume apparent nettement supérieur dans les bennes.
Comparaison : Rapporté à la surface de plateforme (250 m²), cela représente une épaisseur moyenne de déblai de 1,7 cm seulement.

Remarque pédagogique : Rapporter un volume à une épaisseur moyenne est un excellent réflexe de contrôle : il rend immédiatement sensible un ordre de grandeur qui, exprimé en mètres cubes, reste abstrait.

Calcul 2 — Volume de remblai compacté

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il quantifie le besoin de l'ouvrage : le volume que le remblai fini devra occuper une fois compacté à l'objectif q4.

Méthodologie du calcul :

Même extrusion que pour le déblai, appliquée à l'aire de la section de remblai. On étiquette le résultat comme un volume en œuvre, puisqu'il décrit l'ouvrage terminé.

Substitution : On injecte \( A_{\text{r}} = 4{,}1667 \) m² de la question 2 et la même longueur \( L_{\text{proj}} = 25{,}00 \) m.
Piège évité : Ne pas considérer ce volume comme du sol à extraire : c'est un volume de sol fini, déjà en place dans l'ouvrage et compacté.
Hypothèse validée : Le remblai est supposé homogène et compacté uniformément à l'objectif de densification q4 sur toute sa hauteur.
Vérification croisée : Valeur exacte par les fractions : \( (25/6) \times 25 = 625/6 = 104{,}1667 \) m³, soit 104,17 m³ après arrondi.
Finalité : Ce volume sera converti en besoin de sol en place à la question 4, avant toute comparaison avec la ressource.

\[ \begin{aligned} V_{\text{r}} &= A_{\text{r}} \times L_{\text{proj}} \\[6pt] &= 4{,}1667 \text{ m}^2 \times 25{,}00 \text{ m} \\[6pt] &= \mathbf{104{,}17} \text{ m}^3 \text{ compactes} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

104,17 m³ contre 4,17 m³ : le rapport de 25 établi sur les aires se conserve intégralement sur les volumes, la longueur étant commune. Le projet demande vingt-cinq fois plus de matériau qu'il n'en produit.

Ordre de grandeur : 104 m³, c'est environ douze camions-bennes de 8 à 10 m³. La logistique d'approvisionnement devient un vrai sujet de chantier.
Impact sur la suite : C'est ce volume qu'il faudra convertir en sol en place via le coefficient de contre-foisonnement pour établir le vrai besoin.
Cohérence : \( 104{,}17 / 4{,}17 = 25{,}0 \) : le rapport des volumes est rigoureusement celui des aires, comme attendu.
Attention : Ce volume suppose un compactage conforme à l'objectif q4 du GTR 2024. Un compactage insuffisant produirait des tassements différentiels et une géométrie finale hors tolérance.
Comparaison : Rapporté à la surface de plateforme, ce remblai représente une épaisseur moyenne de 42 cm, soit environ deux couches de compactage de 20 à 25 cm.

Remarque pédagogique : L'épaisseur moyenne de 42 cm n'est pas qu'une curiosité : elle annonce directement le nombre de couches élémentaires à mettre en œuvre, donnée dont dépend le choix du compacteur et le rendement du chantier.

SCHÉMA APRÈS CALCULS — EXTRUSION DES SECTIONS SUR 25 M

RÉSULTAT FINAL

V_d = 4,17 m³ en place · V_r = 104,17 m³ compactés

"Deux volumes exacts, mais exprimés dans deux états différents : ils ne peuvent pas encore être comparés."

Question 4 : Bilan des mouvements de terres

Dans la tête de l'ingénieur

"J'ai deux nombres, et le réflexe serait de les soustraire. Je m'en garde bien. Le premier décrit de la terre encore dans le sol, avec sa structure, ses vides naturels, sa cohésion. Le second décrit de la terre déjà mise en œuvre et compactée dans l'ouvrage. Entre les deux, le matériau a été arraché — il a foisonné — puis réorganisé et serré — il a contre-foisonné. Le coefficient qu'on me donne, \( C_{\text{c}} = 0{,}90 \), fait le pont : il me dit qu'un mètre cube pris dans le sol ne me rendra que 0,90 m³ de remblai fini. Je vais donc convertir mon besoin en ouvrage en un besoin en sol, et alors seulement je pourrai comparer."

Observation : Le coefficient est inférieur à 1. Le remblai fini est donc plus dense que le sol en place : il faudra mobiliser plus de terre qu'il n'en apparaît dans l'ouvrage.
Analyse du risque : Se tromper de sens de conversion — multiplier au lieu de diviser — donnerait 93,75 m³ au lieu de 115,74 m³, soit 22 m³ de matériaux manquants découverts en pleine exécution.
Choix stratégique : Je ramène tout au mètre cube en place, l'unité de règlement retenue en règle générale par le fascicule 2 du CCTG. C'est l'état de référence le plus défendable devant un maître d'ouvrage.
Alternative : J'aurais pu tout ramener au volume compacté, en multipliant le déblai disponible par \( C_{\text{c}} \). Le bilan serait cohérent, mais exprimé dans une unité non conforme à la règle de métré du marché.
Objectif visé : Délivrer une conclusion opérationnelle : excédent ou déficit, et de combien. C'est cette seule ligne qui alimentera la consultation des entreprises.

Voir uniquement le résultat final (Auto-évaluation)

Bilan = −111,57 m³ en place, soit un projet déficitaire

Rappel Théorique : foisonnement, contre-foisonnement et états du matériau

Un sol n'a pas un volume, il en a trois, selon l'état dans lequel on le considère. Le GTR 2024 rappelle au paragraphe 1.7.1 de son fascicule 1 que le compactage « permet de réduire le volume des vides dans les matériaux utilisés, en particulier ceux générés au cours du processus d'extraction » — c'est-à-dire ceux du foisonnement — et qu'en compactant on augmente la masse volumique sèche et la résistance au cisaillement. Le mouvement des terres est donc une histoire de vides : on les crée en extrayant, on les supprime en compactant.

L'état en place : Le sol tel qu'il est dans le terrain naturel, avec sa structure et sa compacité d'origine. C'est l'état de référence du métré selon le fascicule 2 du CCTG.
L'état foisonné : Après extraction, le sol est désorganisé et gonflé de vides. Son volume apparent augmente : c'est le foisonnement, celui que l'on constate dans les bennes des camions.
L'état compacté : Après mise en œuvre par couches et compactage à l'objectif visé, le sol est plus dense que le foisonné, et ici plus dense que le sol en place lui-même. C'est le contre-foisonnement.
La signification de \( C_{\text{c}} = 0{,}90 \) : Un mètre cube prélevé en place ne fournit que 0,90 m³ de remblai fini. Autrement dit, il faut 1/0,90 soit environ 1,11 m³ en place pour obtenir un mètre cube d'ouvrage.
Le statut normatif de ce coefficient : Aucun texte ne le fixe. Le fascicule 2 du CCTG précise, à ses articles 6.5.1 et 6.6, qu'il appartient au dossier géotechnique du marché de permettre son appréciation. C'est une donnée de projet, jamais une valeur réglementaire.

Équations Fondamentales

Deux relations closent l'étude. La première effectue la conversion d'état, la seconde réalise la comparaison. L'ordre est impératif : toute comparaison faite avant conversion est dépourvue de sens physique.

Formule 1 — Volume de sol en place nécessaire au remblai :

Elle convertit un besoin en ouvrage fini en besoin en sol à extraire ou à acheter.

Pourquoi cette formule ?

Parce que le coefficient est défini dans le sens en place vers compacté : \( C_{\text{c}} = V_{\text{compacte}} / V_{\text{en place}} \). Or notre inconnue est le volume en place, et notre donnée le volume compacté. Il faut donc inverser la relation, ce qui transforme une multiplication en division.

Contexte de validité : Le matériau d'apport doit être de nature et d'état hydrique comparables au sol du site, faute de quoi le coefficient ne lui est pas transposable.
Avantage : Elle exprime le besoin dans l'unité même du bordereau de prix : le mètre cube en place, conforme à l'article 6.5.1 du fascicule 2 du CCTG.
Paramètre clé : Le coefficient \( C_{\text{c}} \), issu du dossier géotechnique. Une incertitude de quelques centièmes sur cette valeur se traduit directement en mètres cubes facturés.
Vérification : Comme \( C_{\text{c}} < 1 \), le résultat doit être supérieur au volume de remblai fini. Un résultat inférieur signale une inversion.
Limite : Elle ne dit rien du volume transporté. Pour dimensionner les rotations de camions, il faudrait en plus le coefficient de foisonnement, qui n'est pas fourni ici.

\[ \begin{aligned} V_{\text{nec}} = \frac{V_{\text{r}}}{C_{\text{c}}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? Elle dit qu'il faut prélever davantage que ce que l'on veut obtenir. Pensez à un oreiller que vous comprimez dans une housse : pour remplir une housse d'un volume donné avec de la matière bien tassée, il vous faut partir d'un oreiller plus volumineux. Ici, chaque mètre cube de remblai fini exige 1,11 m³ de sol prélevé dans le terrain.

Décomposition des termes :

\( V_{\text{nec}} \) : volume de sol en place à mobiliser pour réaliser le remblai, unité : m³ en place
\( V_{\text{r}} \) : volume du remblai fini, mesuré dans l'ouvrage après compactage, unité : m³ compactés
\( C_{\text{c}} \) : coefficient de contre-foisonnement, rapport du volume compacté au volume en place, unité : sans unité
\( 1/C_{\text{c}} \) : facteur de majoration du besoin, valant ici environ 1,11, unité : sans unité
\( V_{\text{nec}} - V_{\text{r}} \) : surplus de sol consommé par le seul effet du compactage, unité : m³ en place

Formule 2 — Bilan des mouvements de terres :

Elle confronte la ressource disponible sur le site au besoin réel, tous deux exprimés en mètre cube en place.

Pourquoi cette formule ?

Parce que c'est la seule question qui intéresse réellement le maître d'ouvrage : faut-il acheter de la terre, ou faut-il en évacuer ? La soustraction n'a de sens que parce que les deux termes ont été préalablement ramenés au même état. Le signe du résultat porte à lui seul la conclusion du projet.

Contexte de validité : Les deux volumes doivent être exprimés dans le même état, ici en place. C'est la condition d'homogénéité de la soustraction.
Avantage : Le signe du résultat suffit à décider : positif on évacue, négatif on importe. C'est une conclusion directement exploitable en réunion de projet.
Paramètre clé : Le besoin converti \( V_{\text{nec}} \), qui concentre à la fois la géométrie du remblai et le comportement volumique du sol.
Vérification : L'ordre de grandeur doit rester proche du volume de remblai, puisque la ressource en déblai est ici marginale.
Limite : Le bilan suppose les déblais réutilisables en remblai. Si la reconnaissance les classait inaptes, la ressource serait nulle et le déficit encore plus élevé.

\[ \begin{aligned} B = V_{\text{d}} - V_{\text{nec}} \end{aligned} \]

Que dit cette équation physiquement ? C'est un solde de compte, exactement comme un relevé bancaire. D'un côté ce que le site produit, de l'autre ce que le projet consomme. Si le solde est positif, il reste de la terre : on l'évacue en dépôt. S'il est négatif, il en manque : on l'achète en carrière ou en emprunt. Le signe est la décision.

Décomposition des termes :

\( B \) : bilan des mouvements de terres, positif en excédent et négatif en déficit, unité : m³ en place
\( V_{\text{d}} \) : ressource, volume de déblai disponible sur le site, unité : m³ en place
\( V_{\text{nec}} \) : besoin, volume de sol en place requis pour monter le remblai, unité : m³ en place
signe de \( B \) : indicateur de décision, évacuation si positif, apport si négatif, unité : sans unité
\( |B| \) : quantité à porter au bordereau de prix, en apport ou en évacuation, unité : m³ en place

L'Erreur Classique (Le Piège)

"Beaucoup d'étudiants font l'erreur de multiplier au lieu de diviser, en écrivant \( V_{\text{nec}} = 104{,}17 \times 0{,}90 = 93{,}75 \) m³. Le calcul est arithmétiquement juste, mais il répond à une tout autre question que celle posée..."

L'approche d'ingénieur : Multiplier par \( C_{\text{c}} \) revient à demander : « quel remblai fini obtiendrais-je avec 104,17 m³ de sol en place ? ». Ce n'est pas la question. On cherche l'inverse : quel volume de sol faut-il pour obtenir 104,17 m³ de remblai fini.

L'erreur : Elle diminue le besoin alors que le compactage l'augmente. On sous-estime l'apport de 21,99 m³, soit près de trois camions.
La bonne méthode : Partir de la définition du coefficient, \( C_{\text{c}} = V_{\text{compacte}} / V_{\text{en place}} \), et l'isoler algébriquement plutôt que de deviner l'opération.
L'astuce de pro : Testez le sens du calcul avant de le poser : puisque \( C_{\text{c}} < 1 \), le besoin en sol doit être plus grand que le remblai fini. Toute réponse plus petite est fausse.
Le moyen mnémotechnique : « On serre, donc on en prend plus. » Le compactage densifie : il faut donc mobiliser un volume de sol supérieur au volume d'ouvrage.
L'impact direct : Sur le chantier, cette erreur se solde par une rupture d'approvisionnement en fin de remblai, avec arrêt de l'atelier de compactage et commande d'urgence à prix majoré.

Exécution de la Note de Calculs

Check-up des Unités (Optionnel)

\( V_{\text{r}} \) : volume en m³, état compacté , issu de la question 3
\( C_{\text{c}} \) : rapport de deux volumes, donc grandeur sans unité
\( V_{\text{nec}} \) : quotient d'un m³ par un nombre sans unité, donc en m³ en place
\( V_{\text{d}} \) : volume en m³, état en place , homogène à \( V_{\text{nec}} \)
\( B \) : différence de deux volumes de même état, donc en m³ en place , avec un signe porteur de sens

Deux calculs terminent l'étude : une conversion d'état, puis une comparaison. Le premier est le seul endroit de tout l'exercice où intervient une propriété du matériau et non une propriété géométrique ; c'est aussi le seul où une donnée provient du dossier géotechnique et non des plans.

1. Résolution Numérique Calcul 1 — Volume de sol en place nécessaire à la réalisation du remblai

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce qu'il traduit le besoin de l'ouvrage en besoin de matériau à prélever. C'est l'étape qui rend la comparaison finale légitime.

Méthodologie du calcul :

On divise le volume de remblai compacté par le coefficient de contre-foisonnement. Le sens de l'opération est vérifié avant le calcul, par un raisonnement sur les ordres de grandeur.

Substitution : On injecte \( V_{\text{r}} = 104{,}17 \) m³ compactés de la question 3 et \( C_{\text{c}} = 0{,}90 \) du dossier géotechnique.
Piège évité : Diviser et non multiplier. Le contrôle de sens est immédiat : le résultat doit dépasser 104,17 m³.
Hypothèse validée : Le matériau d'apport est supposé de caractéristiques comparables au sol du site, ce qui autorise à lui appliquer le même coefficient.
Vérification croisée : Contrôle inverse : \( 115{,}74 \times 0{,}90 = 104{,}17 \) m³. On retrouve exactement le volume de remblai.
Finalité : Ce besoin sera directement confronté à la ressource dans le calcul du bilan.

\[ \begin{aligned} V_{\text{nec}} &= \frac{V_{\text{r}}}{C_{\text{c}}} \\[6pt] &= \frac{104{,}17 \text{ m}^3}{0{,}90} \\[6pt] &= \mathbf{115{,}74} \text{ m}^3 \text{ en place} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le besoin en sol dépasse le volume d'ouvrage de 11,57 m³, soit 11,1 % de plus. Ce surplus n'apparaît nulle part dans la géométrie : il est entièrement dû au compactage, et c'est précisément pour cela qu'il est si souvent oublié.

Ordre de grandeur : 11,57 m³ de surplus, c'est plus d'un camion entier de matériau qui n'existe sur aucun plan et que seul ce calcul révèle.
Impact sur la suite : C'est ce besoin majoré, et non le volume géométrique, qui sera confronté à la ressource : le déficit final s'en trouve aggravé d'autant.
Cohérence : Le résultat est bien supérieur au volume de remblai, comme l'impose \( C_{\text{c}} < 1 \). Le sens du calcul est validé.
Attention : Ce volume est exprimé en place. Il ne correspond pas au volume qui circulera dans les bennes, lequel dépend du coefficient de foisonnement, non fourni dans ce dossier.
Comparaison : Un coefficient de 0,80 au lieu de 0,90 porterait le besoin à 130,21 m³, soit 14,5 m³ supplémentaires : la sensibilité à cette donnée géotechnique est considérable.

Remarque pédagogique : Retenez la lecture inverse du coefficient : 1/0,90 ≈ 1,11. Il faut 1,11 m³ de sol en place par mètre cube d'ouvrage. Cette forme est bien plus parlante sur un chantier que le coefficient brut.

Calcul 2 — Bilan des mouvements de terres du projet

Pourquoi fait-on ce calcul ? Parce que c'est la conclusion de la mission. Toute la note de calculs n'existe que pour produire ce nombre et son signe.

Méthodologie du calcul :

On soustrait le besoin converti de la ressource disponible, les deux étant désormais exprimés en mètre cube en place. On interprète ensuite le signe avant même la valeur.

Substitution : On injecte \( V_{\text{d}} = 4{,}17 \) m³ en place et \( V_{\text{nec}} = 115{,}74 \) m³ en place.
Piège évité : Respecter l'ordre des termes : ressource moins besoin. L'inverser changerait le signe et inverserait la conclusion.
Hypothèse validée : Les déblais du site sont supposés aptes au réemploi en remblai, hypothèse qui devra être confirmée par la classification du sol selon le GTR.
Vérification croisée : Contrôle de bouclage : \( 4{,}17 + 111{,}57 = 115{,}74 \) m³. La ressource plus l'apport couvre exactement le besoin.
Finalité : Ce chiffre alimente directement le poste « apport de matériaux » du bordereau de prix unitaires.

\[ \begin{aligned} B &= V_{\text{d}} - V_{\text{nec}} \\[6pt] &= 4{,}17 \text{ m}^3 - 115{,}74 \text{ m}^3 \\[6pt] &= \mathbf{-111{,}57} \text{ m}^3 \text{ en place} \end{aligned} \]

Analyse intermédiaire du chiffre :

Le bilan est négatif : le projet est déficitaire. Il faudra importer 111,57 m³ de matériaux en place. Le site ne couvre que 3,6 % de son propre besoin : c'est un chantier d'apport, presque intégralement.

Ordre de grandeur : 111,57 m³, c'est douze à quatorze camions-bennes à approvisionner, avec les rotations et les nuisances de circulation associées.
Impact sur la suite : Ce volume devient un poste de bordereau à part entière : fourniture, transport et mise en œuvre du matériau d'emprunt, réglé au mètre cube en place selon l'article 6.6 du fascicule 2 du CCTG.
Cohérence : Le déficit est très proche du besoin total, ce qui est logique puisque la ressource du site est quasi nulle devant lui.
Attention : Le matériau importé devra être apte au remblai au sens du GTR et compacté à l'objectif q4 : 95 % de l'OPN en moyenne, 92 % au minimum en fond de couche.
Comparaison : Abaisser la plateforme pour porter le calage à 0,60 m rendrait le profil symétrique et ramènerait le déficit à environ 20 m³ : le levier de conception est considérable.

Remarque pédagogique : Ce résultat doit être présenté au maître d'ouvrage avec sa sensibilité : « déficit de 112 m³, susceptible de varier de plus ou moins 15 m³ selon la valeur retenue du coefficient de contre-foisonnement ». Un chiffre unique, donné sans marge, est une promesse impossible à tenir.

SCHÉMA APRÈS CALCULS — BILAN DÉFICITAIRE

RÉSULTAT FINAL

B = −111,57 m³ en place

"Bilan négatif : le projet est déficitaire, il faut importer 111,57 m³ de matériaux en place."

SCHÉMA BILAN — CHAÎNE COMPLÈTE DES CALCULS

SYNTHÈSE DU BUREAU D'ÉTUDES

BILAN FINAL DE LA MISSION

Rapport de Fin de Mission

Checklist d'Auto-Évaluation

Avant de clore cet exercice, vérifiez que vous avez bien assimilé la démarche globale de conception :

J'ai systématiquement converti la pente en ratio avant tout calcul, et je n'ai jamais multiplié une longueur par le nombre 12 brut. J'ai compris que le point d'équilibre est un résultat imposé par le calage du projet, et non une hypothèse de symétrie. J'ai vérifié la fermeture du profil (L_d + L_r = L_plat) et le rapport quadratique entre les aires. J'ai indiqué l' état du matériau (en place, foisonné, compacté) à côté de chaque mètre cube de ma note de calculs. J'ai divisé par le coefficient de contre-foisonnement, après avoir vérifié que le besoin en sol devait être supérieur au volume d'ouvrage. Je sais que le règlement des déblais et des emprunts se fait au mètre cube en place en règle générale, conformément au fascicule 2 du CCTG.

La mission est remplie et la conclusion est sans ambiguïté : le projet est déficitaire de 111,57 m³ en place. La plateforme est géométriquement validée — dénivelé de 1,20 m absorbé par 0,20 m de déblai et 1,00 m de remblai, point d'équilibre implanté à 1,667 m du bord amont — mais le site ne produit que 3,6 % des matériaux dont il a besoin. Le maître d'ouvrage doit donc intégrer dès maintenant, à son estimation, un poste d'apport de matériaux d'emprunt réglé au mètre cube en place, ainsi que la logistique de transport correspondante, de l'ordre d'une douzaine de rotations de camions.

Ce qu'il faut retenir : la géométrie du profil ne suffit pas à chiffrer un mouvement des terres. Le déficit géométrique de 100,00 m³ devient 111,57 m³ une fois le contre-foisonnement pris en compte — 11,57 m³ qui n'apparaissent sur aucun plan et n'existent que dans le comportement du matériau. Côté conception, une piste reste ouverte : porter le calage de 0,20 m à 0,60 m rendrait le profil symétrique et diviserait le déficit par plus de cinq, sans rien changer à la plateforme livrée.

Ajustements de Pente pour la Construction

Ajustements de Pente pour la Construction

Le premier mois à 1 €

Ajustements de Pente pour la Construction

Contexte de l'Étude & Enjeux

GÉOMÉTRIE DU SITE ET DE L'OUVRAGE

CONTRAINTES DE PROJET ET EXIGENCES D'EXÉCUTION

3. Méthodologie de Résolution & Travail Demandé

Question 1 : Hauteur maximale de remblai en aval

Question 2 : Aires des sections de déblai et de remblai

Question 3 : Cubatures du déblai et du remblai

Question 4 (Finale) : Bilan des mouvements de terres

Ajustements de Pente pour la Construction

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

Exécution de la Note de Calculs

BILAN FINAL DE LA MISSION

Checklist d'Auto-Évaluation

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Continuez votre progression

Terrassement pour pose de canalisations

Calcul du Temps de Transport en Terrassement

Calcul de déboursé total en Terrassement

Calcul de Pente de Talus en Terrassement

Remblais et Déblais sur un Terrain Complexe

Préparation du Terrain pour une Construction

Un point pas clair dans cet exercice ?

Stage, alternance ou premier emploi ?

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